diagrama de características y geometría de masas estabilidad ii

Trabajo Prctico N 1: Diagrama de Caractersticas y Geometra de Masas

Estabilidad IIB 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Repaso de conceptos de Estabilidad I (complemento terico)

Geometra de masas

1. Baricentro de una Superficie

En Resistencia de Materiales interesa, entre otras cosas, la determinacin del Centro de Gravedad o Baricentro de superficies planas. Sus coordenadas podemos calcularlas como sigue:

F

xF

x

n

i

ii

G

1 (1) F

yF

y

n

i

ii

G

1 (2)

1.1. Determinacin Grfica de Baricentros de figuras geomtricas

El Centro de Gravedad o Baricentro de superficies planas estar en la interseccin de dos o ms ejes de simetra de dichas superficies (en el caso que los tuvieran):

1.2. Determinacin Grfica de Baricentros de figuras compuestas (figuras sin ejes de simetra que pueden ser descompuestas en figuras simples) mediante el Polgono Funicular

Dado un conjunto de fuerzas en el plano, un polgono funicular para ese sistema de fuerzas es una lnea poligonal (no necesariamente cerrada) cuyos vrtices recaen sobre las lneas de accin de la fuerzas y los ngulos que forman en cada vrtice el polgono funicular dependen de la magnitud de la fuerza. Cabe destacar que el polgono funicular no es nico, sino que para un conjunto de fuerzas pueden dibujarse muchos polgonos funiculares que cumplan las condiciones anteriores.

Consideremos una seccin homognea (peso especfico constante) donde el rea sea proporcional a la masa de la misma. Sea su superficie una tal como la indicada en la figura (ver al dorso), a la cual podemos subdividirla en figuras simples (rectngulos 1, 2 y 3) de baricentros G1, G2 y G3 conocidos y superficies A1, A2 y A3 tambin conocidas. Con estas condiciones podremos considerar a estas superficies parciales proporcionales a las fuerzas de masa aplicadas en los centros de gravedad G1, G2 y G3.

Tendremos as un sistema finito de n fuerzas coplanares, y el polgono funicular que las mismas determinan constar de n+1 lados. Para determinar dicho polgono funicular se dibuja un diagrama de fuerzas paralelas y se procede a encontrar la fuerza resultante. Para ello se siguen los siguientes pasos:

1. Se llevan en una escala conveniente las fuerzas, una a continuacin de la otra y se define de este modo el mdulo de la resultante R1.

2. Se selecciona un punto arbitrario del diagrama de fuerzas al que llamaremos polo O1.

3. Se trazan los llamados radios polares que unen los extremos de las fuerzas con el punto O1, al existir n fuerzas existirn n+1 extremos y por tanto el mismo nmero de radios polares.


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB 64.12

4. Se toma el primero de los radios polares y se dibuja una semirrecta paralela al mismo que intersecte la recta de accin de la primera fuerza.

5. Se consideran el segundo, tercero, ..., n-simo radio polar y se dibujan segmentos paralelos entre las rectas de accin de las fuerzas originales, uno a continuacin de otro.

6. Se toma en (n+1)-simo radio polar y se dibuja una semirrecta empezando desde el extremo del ltimo segmento dibujado.

As los n+1 radios polares del diagrama de fuerzas constituyen una lnea poligonal continua, que es precisamente el polgono funicular asociado a la eleccin del polo O1. Ntese que si se toma un polo diferente O1' y se repite el procedimiento de 6 pasos anteriores se obtiene un polgono funicular diferente, pero que es igualmente vlido para calcular un punto de paso de la recta de accin de la resultante.

La resultante obtenida con la ayuda del funicular correspondiente determina una recta a la cual pertenece el baricentro G.

Haciendo girar las superficies A1, A2 y A3 en 90 se obtiene una resultante R1 cuya recta de accin intercepta a la R1 (vertical) en el punto G.

2. Momento Esttico de una Superficie

Los numeradores de las ecuaciones (1) y (2), que indicaremos SY y SX y que calculamos como:

dFxSdFyS YX ;

se denominan Momentos Estticos de la superficie respecto de los ejes x e y respectivamente. Tambin podr escribirse:

GYGX xFSyFS ;

Si una superficie de rea A, se subdivide en otras de reas A y A, cuyos momentos estticos son conocidos, el momento esttico total, SX, iguala a la suma algebraica de los momentos estticos parciales:

XXX SSS

Si la seccin total de rea A est formada por partes llenas



A y partes huecas de reas A, el momento esttico de la parte llena es igual al momento esttico de SX de la seccin total disminuido del momento esttico de las partes huecas SX :

XXX SSS

El momento esttico de una superficie plana resulta nulo para cualquier eje baricntrico o tambin:

La anulacin del momento esttico respecto de un eje es condicin necesaria y suficiente para que dicho eje sea baricntrico.

3. Momentos de segundo orden de una superficie

3.1. Momento de Inercia de una Superficie

Llamaremos Momentos de Inercia de una superficie respecto un eje, a la suma de los productos de cada elemento de rea por el cuadrado de su distancia a dicho eje.

dFxJdFyJ YX22 ;

3.2. Momento de Inercia Centrfugo

Llamaremos Momentos de Inercia Centrfugo de una superficie respecto dos ejes, a la suma de los productos de cada elemento de rea por su distancia a dichos ejes.

dFyxJ XY

Cuando el Momento Centrfugo es nulo, JXY = 0, los eje se llaman conjugados de inercia.

3.3. Momento de Inercia Polar

Llamaremos Momentos de Inercia Polar de una superficie respecto de un punto O, a la suma de los productos de cada elemento de rea por el cuadrado de su distancia a dicho punto.

dFrJO2

y siendo 222 yxr resulta:

YXO JJdFydFxdFyxJ 2222

La suma de los momentos de inercia de una seccin respecto a cualquier par de ejes normales entre s, que tengan el mismo origen O, es constante e igual al momento de inercia polar de la seccin con respecto al punto O interseccin de ambos ejes.

4. Regla de Steiner

Sea gg un eje baricntrico y xx un eje paralelo al anterior, situado a la distancia d. El momento de inercia de la seccin con respecto al eje xx est expresado por la siguiente ecuacin:

2dFJJ GX

El momento de inercia de una seccin con respecto a un eje es igual al momento de inercia de la seccin con respecto al eje baricntrico paralelo al anterior, ms el



producto del rea de la seccin por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes.

5. Momentos de Inercia de algunas superficies

5.1. Rectngulo:

El momento de inercia del rectngulo con respecto al eje gg est expresado por:

123

32

2

32

2

2

2

2

22

2

2

hbybdyybJ

dyybdAyJ

h

h

h

h

G

h

h

h

h

G

5.2. Tringulo:

El momento de inercia de un tringulo con respecto a un eje que pasa por un vrtice y es paralelo al lado opuesto, est expresado por:

363

2

2

44

;

32

3

00

3

0

2

hbJh

hbJJpero

hby

h

bdyy

h

bJ

h

byx

h

y

b

xpero

dyxdAdAyJ

GGX

hh

X

h

X

5.3. Crculo:

El momento de inercia polar de un crculo respecto al polo G coincidente con su centro, est expresado por:

642

1

;

32444

4

442

0

42

0

4

dJJJ

JJJJJ

drrd

rJ

GYX

YXYXG

G

6. Transposicin angular

Sean los eje u y v normales entre s, teniendo el mismo origen O que los eje x e y, tambin normales entre s. Nos proponemos determinar JU, JV y JUV en funcin de JX, JY y JXY supuestos conocidos.

Un elemento de rea dF tendr como coordenadas:



cossin

sincos

yxv

yxu

Puede demostrarse que:

2sincossin

2sinsincos

222

222

XYYXV

XYYXU

JJJdFuJ

JJJdFvJ

sumando ambas ecuaciones se obtiene:

OYXVU JJJJJ

Para el momento de inercia centrfugo hacemos:

2cos2sin2 XYYX

UV JJJ

dFvuJ

7. Ejes Principales de Inercia

El valor de los momentos de inercia JU y JV ser funcin del valor que adopte el ngulo , habiendo un valor para el cual estos sern mximos o mnimos.

El ngulo que deben formar los ejes u y v con los ejes x y y para obtener los valores mximos y mnimos de JU y JV podremos obtenerlo, haciendo la derivada respecto de del momento de inercia JU nulo.

02cos2sin2

UVXYYXU JJJJ

d

dJ

O sea que la posicin de los ejes principales de inercia queda determinada por la condicin JUV = 0, por lo que ambos ejes son conjugados de inercia.



Si el punto O es el centro de gravedad de la seccin, se llaman ejes baricntricos principales de inercia. Si la seccin tiene un eje de simetra, este es un eje baricntrico principal de inercia, mientras que el otro estar orientado a 90 respecto de ste.

XY

XY

JJ

Jtg

22

8. Construccin del Crculo de Mohr-Land

Sea la seccin de la figura y supondremos haber calculado los valores de JX, JY y JXY.

Sobre un semieje, por ejemplo el +y, llevamos en escala el valor de JX determinando el punto A; en la misma escala llevamos a continuacin el valor de JY determinando el punto B.

Con centro en el punto medio de GB tracemos un crculo que pase por G y por B. Su dimetro ser el momento de inercia polar respecto del centro G.

YXG JJJ

Sobre la perpendicular levantada por A a la recta GB llevemos en escala, y con su signo, el valor de JXY, determinando el punto P, llamado punto central de inercia o polo. Si el signo del momento centrfugo es positivo, las coordenadas del punto P tendrn el mismo signo, y si es negativo, signos contrarios.

8.1. Determinacin de los momentos de inercia con respecto a dos ejes baricntricos:

Tracemos el crculo de Mohr y determinemos su polo P y sean dos ejes baricntricos cualquiera ss y tt. La cuerda AB queda determinado por los puntos en que los ejes ss y tt cortan a la circunferencia.

El valor de JST, momento de inercia centrfugo, est medido por la longitud del segmento de perpendicular trazado del punto P a la cuerda AB.

El valor de JS, momento de inercia medido respecto del eje ss, est medido por la longitud del segmento de perpendicular trazado del punto P a la tangente a la circunferencia en el punto A.

El valor de JT, momento de inercia medido respecto del eje tt, est



medido por la longitud del segmento de perpendicular trazado del punto P a la tangente a la circunferencia en el punto B.

8.2. Dado un eje baricntrico cualquiera, hallar su conjugado de inercia:

Tracemos el crculo de Mohr y determinemos su polo P y sea c1c1 un eje baricntrico cualquiera, que corta a la circunferencia en el punto B.

Tracemos la secante determinada por los puntos P y B, que cortan a la circunferencia en el punto A.

El eje c2c2 determinado por los puntos G y A ser el eje conjugado de inercia del eje c1c1.

8.3. Trazado de los ejes Principales de Inercia:

Tracemos el crculo de Mohr y determinemos su polo P.

Tracemos el dimetro que pasa por P y corta a la circunferencia en los puntos E y N.

El eje determinado por los puntos E y G y el eje , determinado por los puntos N y G, son los ejes principales de

inercia. El momento de inercia mximo corresponde al eje , y su valor estar medido por el segmento EP.

9. Radio de Giro

Se denomina radio de giro de una seccin con respecto a un eje a una longitud i que, elevada al cuadrado y multiplicada por el rea, nos da el valor del momento de inercia respecto del mismo eje.

A

JiJAi XXXX

2

10. Mdulo Resistente:

Se llama mdulo resistente de una seccin, con respecto al eje baricntrico, al cociente resultante entre el momento de inercia de la misma respecto a dicho eje y la distancia del punto ms alejado de la seccin respecto al eje en cuestin.

3max

cmv

JW XX

Diagramas de Caractersticas

1. Definiciones

1.1. Momento Flexor

En la seccin S de una viga sometida a la accin de cargas exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es el momento de todas las fuerzas exteriores actuantes a la izquierda de S respecto del baricentro de S, o a la derecha con signo contrario.



1.2. Esfuerzo de Corte

En la seccin S de una viga sometida a la accin de cargas exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es la componente vertical de todas las fuerzas exteriores aplicada a la izquierda de S, o a la derecha con signo contrario.

1.3. Esfuerzo de Axil

En la seccin S de una viga sometida a la accin de cargas exteriores RA, P1, P2, P3, P4, y RB, es la componente horizontal de todas las fuerzas exteriores aplicada a la izquierda de S respecto del baricentro de S, o a la derecha. Es positiva si es de traccin y negativa si es de compresin.

2. Determinacin Grfica de los diagramas de Caractersticas

Sea la viga AB simplemente apoyada, solicitada por las cargas P1, P2, y P3.

Determinemos las reacciones de vnculo RA y RB que equilibran el sistema por medio de un funicular de polo O1 elegido de modo que la lnea de cierre 5 sea horizontal.

El diagrama trazado con los lados 1, 2, 3 y 4 del funicular, es el diagrama de momentos flexores en escala de momentos que se construye multiplicando la escala lineal por la escala de fuerzas por la distancia polar h del funicular.

Como todas las fuerzas exteriores son verticales, en este caso, el esfuerzo axil N resulta nulo; el esfuerzo cortante Q tambin ser vertical y su diagrama lo obtenemos proyectando el vectorial del funicular.

3. Relaciones entre Carga, Esfuerzo Cortante y Momento Flexor

Sea la viga AB simplemente apoyada, solicitada por un sistema de cargas. Determinemos las reacciones de vnculo RA y RB que equilibran el sistema.

Al pasar de C a C1 el incremento del esfuerzo cortante proviene de:

pdx

dQp

x

Q

xpQ

xx

00 limlim



La carga especfica p es, numricamente, la derivada respecto de xdel esfuerzo cortante. (salvo el signo).

Al pasar de C a C1 el incremento del momento

flexor proviene de la fuerza Q y de la carga p.x:

2

xxpxQM

Qdx

dMxpQ

x

Mxx

2limlim 00

El esfuerzo de corte es la derivada respecto de x del momento flexor, por lo tanto, El momento flexor es mximo en las secciones en que el esfuerzo cortante resulta nulo o pasa por el valor cero (cambie de signo).

Derivando M dos veces respecto de x ser:

pdx

Md

dx

dQ

dx

dM

dx

d

dx

Md

2

2

2

2

O sea que la derivada segunda del momento flexor respecto de x dos veces es igual, numricaente, a la carga especfica p (salvo el signo).

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