Estudio de la implementacion de relacionesde redundancia para deteccion de fallas ?

J. Villanueva C. Verde

Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Coyoacan DF 04510,Mexico, alonso villa@msn.com

Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Coyoacan DF 04510,Mexico, verde@unam.mx

Resumen: Se presenta un estudio sobre los problemas de la implementacion de las relacionesde redundancia analticas para el diagnostico de fallas utilizando como ejemplo un modelo nolineal de un satelite de masa puntual. En particular, la necesidad de requerir derivadas desenales conocidas ya sean entradas y salidas se aborda con dos tecnicas; usando diferenciadoresexactos por modos deslizantes y transformando la relacion redundante basica para obteneruna realizacion en variables de estado. Los resultados en simulacion para el caso de estudiomuestran que la implementacion del residuo base con diferenciadores va modos deslizantesgenera mas ruido que cuando se realiza una transformacion del residuo.

Palabras clave: deteccion de fallas, relaciones analticas redundantes, residuos transformados,diferenciadores robustos.

1. INTRODUCCION

Los problemas de la deteccion e identificacion, FDI defallas han sido atacados por la comunidad de control au-tomatico desde los anos 80s usando modelos matematicosy parametros estadsticos. En un inicio las soluciones es-tuvieron fuertemente dominadas por la problematica de laingeniera aeronautica, nuclear y petroqumica (Himmel-blau, 1978); (Chen, 1996); (Isermann, 2006). Sin embargo,hoy en da la complejidad y costo de los sistemas haceindispensable el dotar a estos de modulos de diagnosticode fallas con alta jerarqua que ayuden a los operadores yreduzcan riesgos y mejoren la integridad de los sistemas.Cuando no se dispone de modelos matematicos de losprocesos a monitorear, el problema ha sido atacado en elmarco de caractersticas de las senales medibles asociadasa las fallas siendo este enfoque ampliamente usado eningeniera de procesos (Russell et al., 2000).

La clave para el diagnostico de fallas es la generacion desenales llamadas residuos, estas satisfacen la condicion:

r(t) = 0 cuando se esta en operacion normal, yr(t) 6= 0 al menos en un intervalo de tiempo ante laocurrencia de una falla.

Las herramientas mas usadas para generar los residuosr(t) con modelos analticos, en el marco de la teora desistemas, explotan la informacion disponible para evaluaren tiempo real el residuo y se pueden clasificar en estima-dores u observadores (Besancon, 2007), algoritmos deidentificacion (Isermann, 2010) y relaciones analticasde redundancia (Bokor and Szabo, 2009).

En el caso de considerar modelos lineales tanto en va-riables de estado como en el dominio de la frecuencia,las tres herramientas de FDI para generar los residuos y

? Los autores agradecen el apoyo de DGPA-UNAM

el procesamiento para calcularlos estan bien consolidadasy discutidas en Ding (2003) y Varga (2013). Mas aun,existen casos practicos exitosos reportados en Isermann(2011); sin olvidar que al presentarse una falla el modelonominal incremental no siempre es valido para fallas deconsiderable magnitud. En cuanto a la implementacion delos algoritmos, las perturbaciones, errores de redondeo yruido en mediciones afectan en general el desempeno de losdetectores y ha motivado la inclusion de umbrales adapta-bles para robustecer los residuos (Verde et al., 2013). Uncaso crtico es la necesidad de derivar las mediciones, locual amplifica el ruido y no es recomendable.

En el caso de modelos no lineales los observadores handominado las soluciones de FDI para generar la senalresiduo r(t) con diversas variantes, como son los observa-dores disenados con un enfoque geometrico (De Persis andIsidori, 2001), los de modos deslizantes (Edwards et al.,2000), observadores intervalo (Raissi et al., 2010).

Sin embargo, no todos los modelos satisfacen las estructu-ras requeridas para el diseno de los observadores y no esfacil en caso de modelos de gran dimension determinar elconjunto de subsistemas utiles para el diagnostico, dadoque no se desea recuperar el estado del sistema, sinounicamente las salidas medibles. Por lo que respecta a lageneracion de los residuos r(t) con relaciones analticasredundantes para sistemas no lineales, se ha derivado laexpresion generica base en el libro de Blanke et al. (2006)resultando funcion de derivadas de las senales conocidas yde las fallas mismas. Esta expresion poco se ha analizadoy usado en el caso no lineal principalmente debido a lanecesidad de requerir derivadas de las senales conocidas ypoca sistematizacion para generar los residuos. Ademas,dado que dichas relaciones dependen de las derivadas delas fallas, hace difcil la interpretacion de que tipo defalla y perturbaciones pueden aislarse en un caso practico.

Este hecho es contrario en el caso lineal, el cual se hadiscutido ampliamente inclusive aspectos computacionalesy de implementacion. En el trabajo de Varga (2013) sepropone un algoritmo de integracion de metodos que dacomo resultado un filtro especfico por falla. Una opcionpara determinar mediciones y subsistemas con capacidadde generar relaciones analticas es usar el Analisis Estruc-tural (Dustegor et al., 2004), el cual esta basado en teorade grafos y que permite agrupar las restricciones del mo-delo que generar redundancia en el grafo. Una aplicacionexitosa para determinar el sensor requerido en el caso defalla en turbina de gas se encuentra reportada en Verdeand Sanchez-Parra (2010).

Recientemente se han propuesto trabajos como el de Kry-sander et al. (2008) que buscan algoritmos para encontrarlas relaciones analticas redundantes de menor dimension,debido a la dificultad de manejar sistemas de gran ordenen la implementacion de las relaciones analticas redun-dantes. Frisk (2005) propone eliminar las derivadas enlas relaciones analticas redundantes va transformacionespara simplificar la implementacion de los residuos conpoco ruido y generar una realizacion en el espacio deestados, aunque esta tecnica presenta la desventaja deque la relacion de redundancia tiene que cumplir ciertascondiciones. Estos enfoques asumen que las fallas son fuer-temente detectables, condicion que no siempre se cumple,como es el escenario de fallas que causan alteraciones enlos parametros de friccion. Esta condicion no se mencionaexplcitamente en el trabajo de Frisk.

Por otro lado, Cruz Z. (2010) propone un algoritmorobusto de diferenciacion el cual tiene una convergenciaexacta en tiempo finito a la derivada y corresponde auna modificacion del algoritmo Super-Twisting (AST),abriendo una opcion para estudiar las implicaciones deusarlo en la generacion de residuos con relaciones analticasredundantes. Este hecho motivo a hacer un comparacionentre los residuos que se implementan utilizando unatransformacion no lineal disminuyendo el orden de lasderivadas en las relaciones de redundancia analtica y porotra parte la sustitucion de las derivadas requeridas en lasrelaciones mediante diferenciadores va modos deslizantes.

El objetivo del trabajo es mostrar que la manipulacion delas variables de una relacion de redundancia para evitar elcalculo de las derivadas genera residuos con menos ruido,sin incrementar la complejidad del algoritmo.

Este trabajo esta organizado de la siguiente forma. La sec-cion 2 presenta las herramientas preliminares de FDI quepermiten formular el problema de la implementacion de losresiduos va relaciones analticas redundantes ARR, porsus siglas del ingles (analitical redundancy relation), obte-nida a partir de un modelo de estado tomado de Blankeet al. (2006). La seccion 3 presenta las dos herramientasque se desean comparar, por un lado las condiciones yel procedimiento para transformar las ARR y reducir suorden y por el otro el algoritmo basico del diferenciadorrobusto. En la seccion 4 se describe el modelo de un satelitecon masa puntual tomado de De Persis and Isidori (2001),incluyendo un controlador estabilizante, ademas se obtie-nen los residuos sensibles a fallas utilizando los metodosantes mencionados. Los resultados en simulacion de losresiduos obtenidos con fallas en uno de los actuadores

del satelite se presentan en la seccion 5 y finalmente sedescriben las conclusiones del trabajo en la seccion 6.

2. PRELIMINARES DE FDI

Considere el sistema no lineal

x(t) = g(x(t), u(t), f(t)) (1)

y(t) = h(x(t), u(t), f(t)) (2)

con el vector de estados x(t)

et al., 1997), observadores por modos deslizantes (Edwardset al., 2000), por mencionar algunos.

As mismo, tanto la comunidad de control como la deinteligencia artificial han propuesto diversos metodos pa-ra obtener las ARR tratando de generar residuos concondiciones menos restringidas que las impuestas por losobservadores. En particular, asumiendo que las funcionesinvolucradas en (1-2) son diferenciables con respecto a susargumentos, se puede generar las ARR basicas siguiendoel procedimiento propuesto por Blanke et al. (2006). Paraello se derivan las salidas tantas veces como sea necesariopara eliminar las variables desconocidas sean estados ofallas de no interes del sistema. Asumiendo que todas lasfunciones son diferenciables con respecto a sus argumentos,entonces es posible construir la derivada y(t) de la senalde salida y(t) como se muestra a continuacion:

y(t) =h

x()x(t) + h

u()u(t) + h

f()f(t) (8)

Reemplazando x en la ecuacion anterior y derivando demanera iterativa hasta un orden q y asumiendo que existentodas las derivadas requeridas se obtiene la siguienteexpresion

y(q)(t) = Hq(x(t), u(q)(t), f(q)

(t)) (9)

Hq() es el conjunto de ecuaciones formado a partir de ladiferenciacion iterativa del vector de salida, el cual tieneuna dimension (q + 1)p, donde las diferentes variables delas que depende tienen las siguientes dimensiones: x

0 es exacto uniforme y convergente, asegurando as laestimacion de s0(t) y de su derivada s0(t). Las gananciask1 y k2 se seleccionan arbitrariamente de tal forma queambas desigualdades

k21(k2 1

4k21) >

2, y k2 >

se satisfagan (Moreno, 2009).

Por tanto con ayuda de (14-15) se pueden implementar lasARRs con el diferenciador disenado separadamente paracada senal cuya derivada sea requerida. Es decir, se disenantantos derivadores por modos deslizantes como derivadassean necesarias.

3.2 Realizacion de ARR

Frisk (2005) estudio de manera formal las propiedadesde una ARR y desarrollo una metodologa para reducirel numero de derivadas para la evaluacion va teorade realizacion cuando la relacion redundante involucraderivadas de primer orden.

Sea una ARR dada por:

c(z, z) = 0 (18)

Existe una realizacion en espacio de estados para la ARRsi esta cumple las siguientes condiciones:

(18) puede ser llevada a la forma:

c(z, z) =

ni=1

gi(z)zi + (z) (19)

Existe un potencial para el campo vectorialg(z) = (g1, ..., gn(z)), tal que:

d(z)

dt=

ni=1

gi(z)zi (20)

La existencia del potencial esta sujeta a la condi-cion:

gizj gjzi

= 0 (21)

Si se cumplen las condiciones anteriores se puede reescribirla ec. (19) en la forma:

c(z, z) =d(z)

dt+ (z) (22)

filtrando la ec. (22) por un sistema dinamico no lineal setiene:

r + h(r, z) =d(z)

dt+ (z) (23)

donde la ec. (23) puede ser realizada en la forma de espacioestados.

4. CASO DE ESTUDIO

Se aplicaron las herramientas descritas en las secciones an-teriores a un sistema no lineal para comparar el desempenoque tienen al generar residuos.

Dado el modelo de un satelite con masa puntual (De Persisand Isidori, 2001).

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x1(t)x24(t) 1

1

x21(t)+ 2u1(t)

x3(t) = x4(t)

x4(t) = 2x2(t)x4(t)x1(t)

+ 2u2(t)

x1(t)+ 2

f(t)

x1(t)

y1(t) = x1(t) y2(t) = x3(t) y3(t) = x4(t)

donde yi son senales medibles, ui son entradas conocidas yrepresentan el empuje radial y angular, i son constantesconocidas, f la falla que se desea detectar la cual repre-senta una falla en el empuje tangencial, los estados x1 yx3 representan la posicion del satelite, x2 representa lavelocidad radial y x4 representa la velocidad angular.

Una relacion de redundancia puede ser obtenida mediantesustitucion directa de yi en la ecuacion de x4 obteniendolo siguiente:

y1y3 + 2y1y3 2u2 = 2f (24)Como se observa de la ecuacion anterior el lado izquierdoc = y1y3 + 2y1y3 2u2 es una relacion de redundanciadado que cumple con c = 0 cuando hay ausencia de fallas.

Se nota que y1y3+2y1y32u2 no es totalmente derivable,pero si c(y, y) es multiplicado por y1 se obtiene una nuevarelacion de redundancia dada por

c(y, y) = y21 y3 + 2y1y3y1 u2y1 (25)donde

y21 y3 + 2y1y3y1 =d(y3y

21)

dt(26)

reescribiendo la ec. (25) y filtrando mediante un sistemadinamico se tiene

r + h(r, z) =d(y3y

21)

dt u2y1 (27)

para garantizar la estabilidad de (27) h(r, z) se elige comor con > 0, entonces la realizacion en espacio de estadosesta dada por:

= w y3y21 + u2y1 (28)r = + y3y

21 (29)

donde = r y es independiente de las derivadas.

5. COMPARACION Y RESULTADOS

Para estabilizar el satelite se diseno un controlador LQRpara el sistema linealizado (Brockett, 1978), el objetivo dela simulacion es mostrar las diferencias entre los residuosque se obtienen mediante los metodos descritos en laseccion anterior. Las referencias impuestas al sistema semuestran en la Fig. 1 donde la posicion radial es constanteen el valor de ur1 = 1 y la posicion angular es unatrayectoria periodica que toma valores de ur2 = [0, 2pi], entodos los experimentos se simula una falla en el actuadoru2 en t = 150[s] que representa una falla en el empujetangencial con magnitud dada por 2max|ur2| y agregandoruido a las mediciones del 1 % del valor medido.

Figura 1. Senales de referencia

Figura 2. Senales de control

Las senales de control tienen el comportamiento mostradoen la Fig. 2.

Las salidas medidas del sistema se muestran en la Fig.3.

Figura 3. Salidas medidas del sistema no lineal

Utilizando un diferenciador simple de Simulink R paraimplementar la ARR de la ec. (24) se obtiene el residuomostrado en la Fig. 4.

Figura 4. Residuo implementado con diferenciador deSimulink R

Utilizando el diferenciador robusto para implementar laARR de la ec.

y1y3 + 2y1y3 2u2 = 2f (30)se obtiene el residuo mostrado en la Fig. 5.

Figura 5. Residuo implementado con diferenciador robusto

Simulando las ec. (28) y (29) se obtuvo el residuo mostradoen la Fig. 6.

Figura 6. Residuo implementado mediante realizacion

6. CONCLUSIONES

El metodo basado en realizacion tiene buen desempenocuando hay presente ruido en las mediciones ya que elresiduo presenta la variacion debida a la falla sin serafectado por el ruido, si la ARR cumple las condicionespara ser llevada a una representacion en espacio de estadoses un metodo recomendable para evitar la perdida de lacapacidad para la identificacion de las fallas; sin embargo,las condiciones requeridas para poder llevar las ARR a esaforma son muy restrictivas, por lo que supone un puntonegativo a esta forma de implementacion.

Utilizando un diferenciador simple para implementar laARR genero un residuo que impidio la identificacion dela falla, ya que al implementar la ARR de esta manera altener ruido en las mediciones se pierde la capacidad paraver el cambio en el residuo debido a la falla.

Utilizando el diferenciador robusto se noto una mejoraen el residuo con respecto al diferenciador simple, estoes de gran importancia ya que demuestra que al utilizarun algoritmo robusto para el calculo de las derivadasse mejoran los resultados del residuo obtenido, inclusocuando hay ruido en las mediciones. El inconveniente deluso de esta tecnica esta en la parte del diseno, ya que esnecesario disenar tantos diferenciadores como derivadas senecesiten para implementar las ARR.

La importancia en la forma de implementacion de lasARR se deja claramente expuesta en el caso de estudio,ya que a partir de la misma ARR se mostraron 3 formasdistintas de implementar dicha relacion obteniendo dife-rentes resultados, dejando en claro que se necesita una

forma general de implementacion para las ARR y quedicha metodologa sea robusta ademas de que permita laadecuada identificacion de las fallas que se presenten en elsistema sin las restricciones que presenta el metodo basadoen realizacion.

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