desigualdades, formulas y kronecker

Tarea 1

Netzahualcoyotl Guadarrama CamarenaCINVESTAV MÉXICO

23 de septiembre de 2010

Resumen

1. Introducción

Motivación del estudio de:

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formula de Leibnitz-Newton

Desigualdad Matricial de Lyapunov

Complemento de Schur

para el estudio de sistemas con retardo.

1.1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Sea f; g : [a; b]! R funciones continuas en [a; b] e integrables en [a; b].Entonces �Z b

a

f (x) g (x) dx

�2�Z b

a

f 2 (x) dx �Z b

a

g2 (x) dx

1

Netzahualcoyotl Guadarrama Camarena DCA CINVESTAV

0 � (xf (x) + g (x))2

0 �Z b

a

(xf (x) + g (x))2 dx

= x2Z b

a

f (x)2 dx+ 2x

Z b

a

f (x) g (x) dx+

Z b

a

g (x)2 dx

= Ax2 +Bx+ C

A =R baf (x)2 dx; B = 2

R baf (x) g (x) dx y C =

R bag2 (x) dx:

y Ax2 +Bx+ C es positiva.Cuando (B2 � 4AC) � 0: entonces f (�) = 0 tiene dos raíces diferentes �1 y �2, 8� 2 R

y f (�) � 0:

B2 � 4AC < 0

4

�Z b

a

f (x) g (x) dx

�2� 4

Z b

a

f (x)2 dx

Z b

a

g (x)2 dx < 0

B2 < 4AC�Z b

a

f (x) g (x) dx

�2�Z b

a

f (x)2 dx

Z b

a

g (x)2 dx � 0

�Z b

a

f (x) g (x) dx

�2�Z b

a

f (x)2 dx

Z b

a

g (x)2 dx

1.2. Formula de Leibnitz-Newton

Sea f continua en todos los puntos de [a; b] y f = g0 para alguna función g entonces:

bZa

f = g(b)� g(a)

Sea

F (x) =

xZa

f

2


Entonces F 0 = f = g0 sobre [a; b]. Existe un numero c tal que:

F = g + c

Y c satisface:

0 = F (a) = g(a) + c

tal que c = �g(a)

F (x) = g(x)� g(a)y para x = b:

bRa

f = F (b) = g(b)� g(a)

usando esta formula en

tZt��

�0(y(s))y�(s)ds = �(y(t))� �(y(t� �))

f es continua sobre [t� � ; t] y f = g0 = �0(y(s))y�(s) para �(y(s)), y tambien derivandotenemos que

d

ds[�(y(s))] = �0(y(s))y0(s)

entonces

tZt��

�0(y(s))y0(s)ds =sZa

f(s)ds

de F 0 = f = g0 = �0(y(s))y�(s) sobre [t� � ; t]9 c que satisface

F = g + c

0 = F (a) = g(a) + c

= �(y(t� �)) + c

3


entonces

c = �g(a) = ��(y(t� �))

F (s) = g(s)� g(a)para x = b tenemos que

tZt��

�0(y(s))y0(s)ds = �(y(t))� �(y(t� �))

1.3. Regla de leibniz

sea f y ft continuas sobreD en R, con �,� funciones que son diferenciables en el intervalo[c; d] con valor en [a; b]: Si ' esta de�nida sobre [c; d] por

'(t) =

�(t)Z�(t)

f(x; t)dx

Entonces ' tiene una derivada para cada t en [c; d] dada por.

'0(t) = f(�(t); t)�0(t)� f(�(t); t)�0(t) +�(t)R�(t)

ft(x; t)dx:

Prueba:Sea H de�nida ´para (u; v; t) por.

H(u; v; t) =vRu

f(x; t)dx

Cuando u y v pertenecen a [a; b] y t pertenece a [c; d] la función ' de�nida

F (t) =bRa

f(x; t)dx es la composición dada por '(t) = H(�(t); �(t); t): Aplicando la Regla

de la cadena, tenemos que:'0(t) = Hu(�(t); �(t); t)�

0(t) +Hv(�(t); �(t); t)�0(t) +Ht(�(t); �(t); t)

TeoremaSea f continua sobre J y g creciente sobre J que tiene derivada en el punto c en J .

Entonces la función F , de�nida para x en J .

4


F (x) =xRa

fdg

tiene una derivada en c y F 0(c) = f(c)g0(c)

Del teorema tenemos que:Hu(u; v; t) = f(u; t) Hv(u; v; t) = �f(v; t)

Si f y sus derivada sobre [c; d] y F 0(t) =bRa

ft(x; t)dx tenemos que:Ht(u; v; t) =uRv

f(x; t)dx

sustituyendo u = �(t) y v = �(t) entoncesHt(u; v; t) =�(t)R�(t)

f(x; t)dx:�nalmente�(t)R�(t)

f(x; t)dx =

'0(t) = f(�(t); t)�0(t)� f(�(t); t)�0(t) +�(t)R�(t)

ft(x; t)dx

�(t)R�(t)

f(x; t)dx = f(�(t); t)�0(t)� f(�(t); t)�0(t) +�(t)R�(t)

ft(x; t)dx

1.4. Desigualdad matricial ��ATB +BTA

�� ATA+1

BTB

Sean A;B 2 Rn�m simetricas de�nidas positivas, � 2 Rn�n con la desigualdad.

ATB +BTA � AT�A+BT��1BSea

H := AT�A+BT��1B � ATB �BTA

sea un vector v tal que

vTHv = vT�AT�A+BT��1B � ATB �BTA

�v

= vT�AT�A

�v + vT

�BT��1B

�v � vT

�ATB

�v � vT

�BTA

�v

= vTAT�12�

12Av + vTBT��

12��

12Bv � vTAT� 1

2��12Bv � vTBT�� 1

2�12Av

y los vectores v1 y v2 como

5


v1 = �12Av

v2 = ��12Bv

Sustituyendo

vTHv = vT1 v1 + vT2 v2 � vT1 v2 � vT2 v1

= kv1 � v2k2

dekv1 � v2k2 � 0

tenemos que

H � 0entonces

AT�A+BT��1B � ATB �BTA � 0Finalmente

ATB +BTA � AT�A+BT��1B

1.4.1. Desigualdad matricial �2uTv � uT su+ vT s�1v

sea s 2 Rnxn con s � 0 y sean u; v 2 Rn

construyendo la matriz�s II s�1

�; s�1 2 Rnxn

entonces�uT vT

� � s II s�1

� �uv

�= uT su+vTu+uTv+vT s�1v � 0; uT su+vT s�1v � �2uTv:

usando los dos signos.

��uTv + vTu

�� uTSu+ vTS�1v

0 � uTuS ��uTv + vTu

�+ vTS�1v

0 � (uS � v)T�u� S�1v

�0 = (uS � v)T

�u� S�1v

�6


Entonces, si u = 0 o v = 0, esto implica que

�2uTv � uTSu+ vTS�1v

1.5. Complemento de Schur

Si ~A =�A BC D

�con A y D de diferente dimensión de tal forma que se pueda factorizar

con una matriz diagonal inferior y diagonal superior de la forma ~A = LU

L =

�I 0

CA�1 I

�, U =

�A B0 D � CA�1B

�Entonces se le llama complemento de Schur al elemento D � CA�1B:Sobre la inversión de una matriz de la forma de S

Sea S una matriz cuadrada.

S =

�S11 S12ST12 S22

�donde S11 es una matriz simétrica nxn y S22 es una matriz simétrica mxm. Entonces

S > 0 si y sólo si

S11 > 0

S22 > 0

S11 � S12S�122 ST12 > 0

S22 � ST12S�111 S12 > 0

PruebaNecesidad: Sea S > 0: Entonces 9 una matriz H con columnas (n+m) que tales que

S = HHT :

H =

�XY

�X 2 Rnxn Y 2 Rmxm

Entonces S = HHT =

�XXT XY T

Y XT Y Y T

�entonces S11 = XX t � 0

Si S11 tiene un valor propio igual a cero con el correspondiente vector propio �x 6= 0,

podemos ver que para el��x0

�que no es cero tenemos

7


��x0

�TS

��x0

�= �xTS11�x = 0

lo cual contradice el hecho de que S > 0: Entonces, S11 es no singular y S11 > 0:Similarmente por S11S+11 = XX

+ tal que

S22 � ST12S+11S12 � 0

S22 � ST12S�111 S12 � 0

por contradicción S22 > 0:Los valores propios de S�1 son recíprocos de S y además, S�1 > 0 y S > 0: Por lo tanto

S�1 =

�A BBT C

�> 0

con 0 < A 2 Rnxn; 0 < C 2 Rmxm; entonces A�1 > 0 y C�1 > 0: La condición SS�1 =Inxnhace que�S11 � S12S�122 ST12

�A = Inxn�

S22 � ST12S�111 S12�C = Imxm

o equivalente�S11 � S12S�122 ST12

�= A�1 > 0nxm�

S22 � ST12S�111 S12�= C�1 > 0mxn

1.6. De�niciones y propiedades del producto de Kronecker

De�niciónSean A 2 Fm�n , B 2 F p�q. Donde F es R ó C Entonces el producto de Kronecker (o

tensor) de A y B esta de�nido como

AB =

264 a11B ::: a1nB...

. . ....

am1B ::: amnB

375 = [aijB]m;ni;j�1 2 Rmp�nq

Propiedades

A�B = I B + A I

e(A�B) = eIB+AI = eA eB

8


eIA = I eA

eBI = eB I

(AB) (C D) = AC BD

(AB)� = A� B�

tr(AB) = tr(A)tr(B)

(AB) = �A �B

(AB)�1 = A�1 B�1

(�A)B = A (�B) = � (AB) ; � 2 R

(A+ C)B = AB + C B

A (B + C) = AB + A C

(AB) C = A (B C)

I A = diag[A;A; :::; A]

(A1 B1) (A2 B2) ::: (Ap Bp) = (A1A2:::Ap) (B1B2:::Bp)

P T (AB)P = B A; A 2 Rn�n; B 2 Rm�m y P 2 Rnm�nm

det (AB) = (detA)n (detB)m ; A 2 Rn�n; B 2 Rm�m

1.6.1. Escritura de ATXB contra [A �B]x:

Del estudio de J.J. Silvester de la formaPki=1AiXBi = C

la cual se representa como�BTi A1 + � � �+BTk Ak

�V ec(X) = V ec(C)

9


1.6.2. Escritura de ATX +XA = �Q

Aplicando las propiedades del producto de Kronecker a la ecuación de J.J. Silvester y ala de Lyapunov, tenemos que

La ecuación de Lyapunov es un caso particular de la ecuación de Silvester

AX +XB = �QLa matriz de Lyapunov esta dada como:

AX +XAT = �QSea A 2 F nxm; B 2 Fmxm; Q 2 F nxm:Entonces

Axi +Xbi = qi = Axi +mXi=1

bjixi

26664A+ b11I b21I : : : bm1Ib12I A+ b22I : : : bm2I...

.... . .

...b1mI b2mI : : : bmmI

3777526664x1x2...xm

37775 =26664q1q2...qm

37775del hecho que

ImA =

264 A 0 0

0. . . 0

0 0 A

375

B In =

264 b11I b12I : : :

b21I. . .

... bmmI

375tenemos que

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264264 A 0 0

0. . . 0

0 0 A

375+264 b11I b12I : : :

b21I. . .

... bmmI

37537526664x1x2...xm

37775 =26664q1q2...qm

37775[(Im A) + (B In)]V ec(X) = V ec(Q)

2. Conclusiones

Referencias

[1] Alexander S. Poznyak Advanced Mathematical Tools For Automatic Control Engineers,Elsevier, British 2009.

[2] G. H. Golub, S. Nash, C. F. Van Loan. A Hessenberg-Schur method for the problem AX+XB=C

[3] XXI Congreso de ecuaciones diferenciales y aplicaciones, Ciudad Real 2009.

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