1. En la figura, el anillo homogéneo muy delgado de radio R= 12.5 cm está suspendido de una varilla horizontal. Hallar el periodo de las pequeñas

oscilaciones que realiza el añillo alrededor de la varilla (g=π 2m /s2 )

Por teorema de stainer:

I=Icm+MD 2

I=M R2+M R2=2M R2

T=2π √ IMgD

⟹T=2π √ 2MR2MgR⟹

T=2π √ 2Rg ⟹T=2 π √ 2 (12.5 X 10−2 )π 2

T=2π 0.5π⟹1 s

T=1 s

2. La energía total de un cuerpo que oscila en MAS E=30μJ , y la fuerza máxima que actúa sobre el es de F = 1,5 mN. Hallar la ecuación del movimiento, sabiendo que el periodo de oscilación es T= 2s y la fase inicial ϕ=45 °

si ϕ=45 °= π4

T=2 s

F=1,5mN=1,5 x10−3N

EM=30 μJ=30 x10−6 J

HALLAR LA ECUACION DEL MOVIMIENTO:

X=A sen (WT+ϕ )

SiT=2⟹T=2πW

⟹W=2πT

Si ET=KA2

2∧F=KX

2 (30 x10−6 )=KA2 F=KA

SiK A2=60 x 10−6

⟹KA x A=60 x10−6

F x A=90x 10−6

A=60 x 10−6

F= 60x 10−6

1,5x 10−3=0,04m

∴LA ECUACION DELMOVIMIENTO SERA :

X=0,04 sen(πT + π4 )

3. Un cuerpo oscila armónicamente con una frecuencia F=5Hz, de modo que al

llegar a un extremo su aceleración es de 10 π2m / s2. ¿Cuál es la amplitud de las

oscilaciones?

F=5Hz

en los extremos la oscilacion esmaxima :

a=10π 2m / s2

cual es laamplitud parala frecuenciaangular⟹

w=2 π F⟹w=2 π (s )

w=10 π

sabemosque :

amax=AW 2⟹ A=amaxw2

⟹

A= 10π 2

(10π )2= 10 π2

100 π2=0,1⟹10cm

4. Una caja de masa M = 8 Kg esta sobre una mesa horizontal. En la caja se encuentra suspendida una carga de masa m = 2Kg por medio de un muelle de constante de elasticidad K = 400 N/m. ¿con que amplitud de las oscilaciones de la carga, la caja empezara a saltar sobre la mesa?

solucion :sabemos que la A=X+X 0

haciendo un DCLdelbloque paraver la deformaciondel bloque conrspectoa lacaragaM

de la primera ley del equilibrio

∑ FY=0⟹F=mg

pero⟹ F=K X0

X 0=DEFORMACION DELRESORTE

⟹K X0=mg⟹ X0=MG /K…1

DCLdel bloque :M∑ FY=0

F=Mg

KX=Mg

X=M g /k

REEMPLAZANDOEN 1Y 2 EN LA ECUACION :A=X+X0

A=MgK

+mgK⟹ g

K(M+m )⟹ A= g

K(M+m )

reemplazando : A= 10400

(8+2 )=100400

=0,25m

5. Un bloque de masa m unido por un resorte de constante elástica k a una caja de masa M oscila armónicamente sin fricción. ¿con que amplitud de las oscilaciones del bloque comenzara la caja a moverse por la mesa?

solucion :

enel resorte la fuerza sera :F=KA…1

sila superficie y lacaja tienenrozamiento

Fs=μN… pero F=Fs

⟹ F=μN….2

tambien se deduceque :N=Mg+mg

N= (M+m) g

reemplazando2en1

A= FK→A=μN

K

peroN=(m+M )g

⟹ A=μ (m+M )G

K

6. Se tiene un sistema compuesto de masa m y un resorte de constante k. si se corta el resorte por la mitad, y se cuelga de la misma masa m con una mitad de aquella, determinar.

si :si :1Ke

= 1K 1

+ 1K 2

Ke=K1+K 2

del problema: se parte a lamitad esdecir laconstante deregides aumenta :

1Ke

= 12K

=Ke=2K ´

periodoinicial periodonuevo

T=2π √ mK T=2π √ m2K

7. Un oscilador mecánico está compuesto de un coche de masa m =3Kg y dos

constantes elásticas k 1=25N /m y K2=50N /m . si empujamos el coche hacia un

lado, ¿Cuál será el periodo de las oscilaciones? No hay rozamientos.

K1=25N /mk2=60N /mla constantede rigidez sera :

Ke=25+50=75

T=2π √ mKe=2π √ 375⟹2 π √ 125=2 π 125⟹ 2π25s

T=2π5S

8. Un oscilador mecánico compuesto de un resorte de constante elástica k = 200 N/m y un coche masa m = 2Kg, oscila en un plano inclinado liso. Determinar el periodo

de las oscilaciones y la ecuación que define el movimiento (g=10m /s2)

determinar T en la en laecuacion delmovimiento :

k=200N /mT=2 π √ mK=2π √ 2200

T=2π √ 1100

⟹T=2π 110

=π5S

2KgT= π5S

paralaecuacion sera :X=A cos (WT )

primero lafrecuencia angular :W=√ Km⟹w=√ 2002 ⟹w=10 rad /s

como tenemo sundesfasaje :

⟹ X=A cos (WT +∝ )… pero∝=0

⟹ X=A cos (WT )⟹ X=( 10200 )cos (10T )

se sabeque A=WK⟹ X=0,05cos (10T )m

9. Dos muelles cuyas constantes eléctricas son K1=80N /m y K2=20N /m estan el

instante mostrando en la figura, estirado y comprimido las longitudes X1=0,5m y

X2=0,3m, Respectivamente. Si la masa del bloque es m = 4Kg, determina el

periodo y la amplitud de las oscilaciones

POR∑ F=m .a

∑ F=F1+F2

F1=K1 X1Ke X=K1. X1+K2 . X2

F2=K2 X2Ke=(K1+K 2 ) X2

X1

si X2=X1

⟹Ke=K1+K2

solucion :

Ke=K1+K 2

K1=80

Ke=80+20=100

K2=20

4 Kg

parael periodo :

T=2π √ mKe⟹2π √ 4100

=2 π √ 125=2 π ( 15 )T=2π

5S

10. Determinar la frecuencia angular del sistema mostrado, si se sabe que no existe rozamiento de las poleas cuya masa es despreciable, y además k = 80N/m y m= 5 Kg

F=Kx F=2T…1

peroT=K eXe

K e=constante equivalente

X e=deformacion equivalente

sihay deformaciondel resorte esntonces : Xe=2 X

reemplazandoen1

F=2T

⟹KX=2 (XeK e)

KX=2K e Xe

KX=2K e (2 X )

KX=4K e X

K=4K e

K e=K4…2

reemplazandoen2

W=√ K e /4m

=√ 80 /45 =√ 205W=√4=2 rad /s

11. En el oscilador horizontal sin fricción de la figura, se pide encontrar la máxima amplitud que pueden tener las oscilaciones, de modo que el bloque superior no resbale. El coeficiente de fricción entre m y M es μ.

solucion :

si coeficientede friccion entrem yM es μ

⟹ primero hacemosun DCLdel bloquemde la

segundaley de newton:

F=m .a

peroFR

=μN∧N=mg

μN=m.a

μ .m. g=m .g

μ ,g=a…1

pero cuando X=A…enlaley de hooke

⟹ F=KX⟹ F=KA…2

pero de lasegundaley denewton :

∑ F=m.a

F=(m+M )a... 3

reemplazando1 y2en3

KA=(m+M )μg

A=(m+M ) μg

K

12. Un deslizador de 0,5 Kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante elastica. K= 450 N/m, esta en MAS con una amplitud de 0,04m, calcule

a) La rapidez maxima del deslizadorb) Su rapidez cuando esta en X= -0,0015mc) Magnitud de la aclaracion maximad) Su aceleracion en X= -0,015me) Su energia mecanica total en cualquier punto de su movimiento

solucion :

a) la velocidad maximacuando x=0

⟹Vmax=WA⟹√ Km A⟹Vmax=√ 4500,5 (0,04 )=1,20ms

b) suvelocidad encu alquier punto es :

V=W √A2−X2⟹V=√ Km √A2−X2

reemplazando :V=√ 4500,5 √(0,04 )2−(0,015)2=1,11m /s

c) la aceleracionmaxima :⟹a=W 2 A⟹a=¿

amax=KmA⟹amax=

4500,5

(0,04 )=36m /s

d) la aceleracionencualquier posiciones :

a (X )=W 2⟹a (X )= 4500,5

(0,015 )=13,5m /s2

e) paralaenergiamecanica :

E=12KA2=1

2(450 )¿

13. Una porrista ondea su pompón en MAS con una amplitud de 18,0 cm y frecuencia de 0,85 Hz calcule.

a) La magnitud máxima de la aceleración y de la velocidadb) La aceleración y rapidez cuando la coordenada del pompón es X = +9,0 cmc) El tiempo que tarde en moverse directamente de la P.E a un punto situado a

12,0 cm de distanciasolucion :

teniendo F=0,85⟹hallamosW⟹W=2πF=2π (0,85 )=5,34 rad /sA=18x 10−2m

a) cuando X=0

amax=W2⟹ (5,34 )2 (0,18 )=5,132m /s2

V max=WA⟹ (3,34 ) (0,18 )=0,9612m /s

b) cuando X=9,0 cm

amax=−W 2 X⟹−¿

V max=W √A2 X2=(5,34 )√¿¿¿

c) tiempo que tardade P . Ea X=12cm

si X=A cos (WT+ϕ )

⟹hallandoϕ⟹ X=0⟹0=A cos (W (0 )+ϕ )

T=0⟹0=A cos (ϕ )

ϕ=90

ahoratenemos : pero π=180

X=A cos(WT−π2 )ϕ=−π

2

usandocoseno de la diferenciade lso angulos y cos (∝−β )=cos∝cos β+¿ sin β+sin β¿

A cos (WT− π2 )=A cosWT cos π2 +A sinWT sin π

2

X=A cos (WT−π2¿)=A sinWT ¿

∴ X=A sinWT

el tiempo sera despejando :sinWT= XA⟹WT=sin−1( XA )⟹T= I

W [sin−1( XA )]reemplazando :T= 1

5,34sin−1[ 0,120,18 ]=7,82S

14. Un objeto de 0,4 Kg en SMM (movimiento armónico simple): tiene ax=−2,70m / s2 cuando X=0,3m ¿Cuánto tarda una oscilación?

solucion :

sabemosque∑ F 0m.a…1F=−K K…2

DE1Y 2m.a=−K X

m .a=−KX(0,45 ) (−2,70 )=−K (0,3 )

K=0,4 (−2,70)

0,3=3,6N /m

teniendo la constantede elasticidad ,hallamosel tiempo ,usando la formula :

T=2π √ mK⟹2π √ 0,43,6=2,09 segundos

15. Sobre una pista de aire horizontal sin fricción, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fuerza es 2,5 N/m. en la grafica la figura muestra la aceleración del deslizador en función del tiempo calcule.

a) La masa del deslizadorb) El desplazamiento máximo del deslizador desde el P.Ec) La fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el deslizador

solucion

paraunaondacompleta tomadadesdeT=0,1 shasta

T=0,3 ssu aceleracion seramaxima=12m /s2 y su

tiempo sera T=0,2 s

a) lamasa⟹T=2π √ mK⟹ T2π

=√mK⟹ mK ( T2 π ) 2

∴m=K ( T2π ) 2⟹m=250( 0,22π ) 2=0,253Kgb) sabiendoque F=XK parala amplitud⟹ F=KA

tambien por la segundaley de newton :∑ F=m.a

⟹KA=m.a⟹ A=m .aK

=(0,253 ) (12 )250

=0,0121m

c) la fuerzamaxima sera :

F=m .a⟹ F=(0,253 ) (12 )=3,036N

16. La velocidad de una masa de 0,50 Kg en un resorte este en función del tiempo por

V X (t )=(3,60 cms )sin [(4,71 s2 )T− π2 ] calcule:

a) El periodo b) La amplitudc) La aceleración máxima de la masad) La constante de fuerza del resorte

Solución:

DEV X (3,60 cms )sin[ (4,71 s2 )T−π2 ]

a) el periodo esta dada por :W=7,71

T=2πW

= 2 π4,71

=1,334 s

b) comoV esunaecuacion derivada⟹

3,60cms

=WA

A=3,6 x 10−2

4,71=7,64 x10−3

c) la aceleracionesta dada por la formula :

amax=W2 (7,64 x10−3 )¿

d) La constante de la fuerza es:

W=√ Km⟹despejando K=W 2⟹(0,5)¿

17. El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1,50 Kg en un resorte

esta dado por la ecuación: X (T )=(7,40cm)cos [ (4,16 s−1 )T−2,42 ] calculé:

a) El tiempo que tarda una vibración completab) La constante de la fuerza del resortec) La rapidez máxima de la masad) La fuerza máxima que actúa sobre la masae) Posición, rapidez, y aceleración de la masa en T= 1,0 sf) La fuerza que actúa sobre la masa en ese momento

Solución:

de la ecuacion siguiente podemosdeducir : A ,W ,∅

⟹ X (T )=7,40cm cos [ (4,16 s−1 ) t−2,42 ]A=7,40cm,W=4,14 rad /s ,∅=−2,42

a) T=2πW

= 2 π4,16

=1,51 s

b) la constante sera :W=√ Km⟹K=mW 2

K= (1,5 ) (4,16 )2=26N /m

c) V max=WA=(4,16 ) (7,40 x10−2 )=0,3078m /s

d) F=KX⟹ F=KA⟹F=(26 ) (7,40 x10−2 )=1,924N /m

e) X ,V ,a⟹T=1,0 s

para X (T )=(7,40cm ) cos [ (4,16 s−1 )T−2,42 ]X (T )=(7,4 cm) cos [ (4,16 s−1 )T−2,42 ]X (T )=7,39cm⟹0,0739m

V=W √A2−X2=4,16√0,074−0,0739=0,0416m /s

a=W 2 A=1,27m /s2

18. El bloque de la figura oscila con MAS de amplitud A = 6cm. El instante que pasa por su posición de equilibrio se deja caer verticalmente sobre el bloque una masa de barro de 100 g de masa, quedando adherida a él. Determinar nuevos valores del periodo y la amplitud m 0 100 g, K = 4 N/m

mb=100 g

analizando :

antes del choque :ET=12KA 1

2

E1=12MV 1

2=12KA2

MV 12=KA2

V 12= KA2

M⟹=√ Km A2

antes del choque lacomponete X⟹MV 1

despues del choque lamasa yel bloque tienenunavelocidad diferenteV 2

y su componente total en X sera (M+m )V 2=MV 1+0

⟹V 2=( MM+m )V 1

la energiacinetica2⟹

E2=12

(M+m )V 22

E2=12

(M+m )M 2V 1

2

(M+m )2⟹ 1

2 ( M 2

M+m )V 12

E2=12MV 1

2( MM+m)

E2=E1( MM+m)

si :E2=12KA2⟹ 1

2KA1

2( MM+m ) 12 KA 12

A22=A1√ M

M+m…1

reemplazandoen1

A22=A1√ M

M+m=6 √ 100200=√18=3√2cm

parael periodonuevo tendremosencuentalasmasas delbloque y lamasadel barro

T=2π √ M+mK

=2 π √ 0,2004 =0,31 s

19. Una esfera de 1 kg permanece en equilibrio, suspendida desde unresorte de rigidez 100 N/m. la esfera es elevada 4 cm y luego es lanzada con una rapidez de

0,4 √3m /s hacia abajo. Determine la posicion luego de 2π15s de su lanzamiento

(g=10m /s2)

K=100 Nmdeterminar la posicionenT=2π

15s

Y=4cmW=√ Km⟹W=√ 1001 =10 rad / s

1kg

en la velocidad hayaremos el∅

⟹V=A cos (WT+∅ )⟺T=0 p .e

0,4 √3=0,4 (10 ) cos (10 (0 )+∅ )

0,4 √3=cos∅

(10 )0,4

cos∅=√310

⟹∅=cos−1(√310 )⟹ pasamos aradianes∅=80

180 °⟶ π rad

80 °⟶ X X=4 π9

⟹ para unT=2π15

⟹ su posiciónserá :

Y (T )=A sin (WT+∅ )

Y ( 2π15 )=4sin(10 (2 π15 )+ 4 π9 )Y=( 2π15 )=4 sin( 4 π3 + 4 π

9 )20. El periodo de un pendulo es 4s. hallar el nuevo periodo si la longitud del pendulo

se incrementa en 21%.

periodoinicial :

T=2π √ LgT=4

( 42π )2= Lg

( 2π ) 2=Lgg= L

(2/ π )2… 1

nuevo periodo :

T=2π √ (L+0,21L )g

( T2π )2= L+0,21 Lg

g=L(1+0,21)

(T /2π ) 2…2

igualando1 y2

L

( 2π ) 2=L (1+0,21 )

(T /2π )2

( T2π )2=( 2π )2 (1,21 )

aplicandoraiz a todo :T2π

= 2π

√1,21

T=4 √1,21

T=4,4 s

21. Un bloque de 1 kg se fija un resorte de K = 25N/m, de tal manera que oscila en una superficie horizontal lisa. En t = 0 esta comprimido 3 cm y es soltado. Determine las ecuaciones de la posición y velocidad respectivamente

cuandoT=0 A=3cmmasa=1kg

K=25N /m

parala frecuenciaangular :

W=√ Km⟹√ 251 =5 rads

de X=A cos (WT+∅ ) si T=0

⟹0=3cos (0+∅ ) A=3

0=cos∅

∅=cos−1⟹90 pero90°=π2

∅=π2

paralaecuaciondelmovimiento :

X=A sin (WT+∅ )

X=3sin(5T+ π2 )

para la velocidad⟹ dxdT

=AW cos (WT+∅ )

peroV= dxdT

V=AW cos (WT+∅ )

V= (5 ) (3 )cos (5T+ π2 )

V=15cos (5T + π2 )

22. Un bloque adherido a un resorte verticales se desplaza hacia abajo 4 cm respecto

a la posición de equilibrio y se suelta. La aceleración inicial del bloque es0,16m / s2

hacia arriba si el bloque realiza un MAS, determine la ecuación del movimiento.

a=0,16m / s2

4 cm

amax=AW2⟹W 2= a

A=√ 0,160,04

=2

∅=3 π /2W=2 rad / s

la ecuacion sera :Y=4sin (2T + 3π2 )cm

23. Al suspender un bloque de 10 kg de un resorte, este se estira 6,25 cm. Determine el periodo de oscilación al suspender un bloque de 16 kg del mismo resorte

(considere MAS y g = 10m /s2¿¿

K1 K2

6,25 cm

10kg16kg

F=KX K1=K2

K= FX

=(10 ) (10 )6,25 x10−2

K=1600 Nm⟹T=2π √ mK =2π √ 16

1600

T=2π ( 440 )⟹0,2π⟹T=0,2πs

24. Un bloque unido a un resorte oscila sobre su piso horizontal liso. Si se observa entre los extremos de cada oscilación existe una distancia de 40 cm; determine su función del tiempo, considere que en t = 0 el bloque pasa por x = +10 cm hacia la derecha y su rapidez máxima es de 2m/s.

X=A sin (WT+∅ )⟹V=AW cos (WT+∅ )

W=V max

A= 20,2

=10 rads

A=0,2

el∅⟹T=0⟹ X=10cm

20cm p . e 20cm

X=A sin (WT+∅ )

10=20sin (OT+∅ )

1020

=sin∅⟹∅=30 °=π6

si partimosdel equilibrio

⟹ X=A sin (WT+∅ )

V=AW cos (WT+∅ )

V=0,2 (10 )cos ¿¿

V=2cos ¿¿

25. Hallar la amplitud y fase inicial de la oscilacion armonica resultante de la composicion de dos oscilaciones de igual dirección, cuyas ecuaciones, vienen

dadas por: X1=0,02sin(5πt+ π2 ) , X2=0,03sin(5 πt+ π4 )X1=A1sin (WT+∝1 )

X2=A2 sin (WT+∝2 )

si : X1+X2

A0=sin (WT+∅ )=A1 sin (WT+∝1 )+A2sin (WT +∝2 )

A0=sinWT cos∅+A0sin∅ cosWT=A1sinWT cos∝1+A1sin∝1 cosWT

A2 sinWT cos∝2+A2sin∝2cosWT

A0 sinWT cos∅+A0 sin∅ cosWT=¿ sinWT ( A1cos∝1+A2 cos∝2 )¿

cosWT ( A1 sin∝1+A2sin∝2 )

A0 sinWT cos∅=¿ sinwt ( A1cos∝1+A2 cos∝2 )¿

A0 cos∅=A1cos∝1+A2 cos∝2…1

A0 sin∅ cosWT=cosWT ( A1 sin∝1+A2sin∝2 )

A0 sin∅=( A1sin∝1+A2sin∝2 )…2

2÷1

A0 sin∅=A1 sin∝1+A2sin∝2

A0 cos∅=A1cos∝1+A2 cos∝2

tan∅=A1sin∝1+A2 sin∝2A2 cos∝1+A2 cos∝2

X1=0,02sin(5πt+ π2 )X2=0,03 sin(5 πt+ π4 )hallar laamplitud y fase inicial :

∅=tan−1[ A1sin∝1+A2 sin∝2A1cos∝1+A2 cos∝2 ]

∅=tan−1[ 0,02sin π2 +0,03sin π4

0,02cosπ2+0,03cos

π4

]∅=tan−1[ 0,0410+0,21 ]∅=tan−1 [0,01918 ]

∅=62,87 °

∅=62 ° ,52 ´ ,12

26. Una particula oscila armonicamente con una amplitud A = 75 cm, de modo que inicia su movimientoen un extremo. Cuando ella se encuentra a 7 cm de la posicion de equilibrio su velocidad es de 48 cm/s ¿cul es el periodo de las oscilaciones?.

75cm

X=7cm⇒V=48cm /s

V=W √A2−X2

48 x 10−2=W √(0,75 )2−(0,07 ) 2

W= 48 x10−2

√(0,75 )2 (0,07 ) 2= 48x 10

−2

0,75

W=0,64 rads

W=2 πT⇒T= 24

0,64=0,13π

T=9,8 s

27. A un resorte que cuelga de una pared se le suspende una carga m1=10 g

estirandose una longitud de 8 cm. Cuando el sistema se estaciona en su posicion

de equilibrio, una segunda carga de masam2=40g es enganchada debajo de m1 que obliga al sistema oscilar vertical y armonicamente. Encontrar la ecuacion que describe el movimiento

p . e

X1=8cm

m1=10 g

F=(10 x10−3 ) (10 )

F=0,1N

si :⇒F=KX

K= Fk

K= 0,10,08

⇒1,25N /m

si :W=√ KmW=√ 1,25

50 x10−3

W=5 rad /s

X2

10 g

40 g

F=50 x10−3 x 10

F=0,5N

X= FK

= 0,51,25

X=0,4

la ecuacion seraenel extremo

X=A cosWT

X=0,4cos ST

28. Una plancha metalica de forma rectangular de masa M = 4 kg se encuentra apoyada a cuatro resortes colocados en sus vertices, siendo todos iguales de de constante elastica K =100 N/m. ¿Cuál sera el periodo de oscilaciones que podria experimentar el sistema?

K1=K2=K3=K4=100N /m

Ke=K1+K 2+K 3+K 4

Ke=400

T=2π √ mKe=¿2π √ 4400

=2π √ 1100

=2π 110

¿

T= π55