desarrollo del despacho econÓmico en sistemas...
TRANSCRIPT
Escuela
Polit
écnic
a S
uperi
or
de L
inare
s
UNIVERSIDAD DE JAÉN Escuela Politécnica Superior de Linares
Trabajo Fin de Grado
______
DESARROLLO DEL DESPACHO
ECONÓMICO EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
POTENCIA
Alumno: Amine Laaguidi Tutor: D. Francisco Jurado Melguizo Depto.: Ingeniería Eléctrica
Septiembre, 2018
1
Índice
1 Introducción ................................................................................................ 4
1.1 Introducción ......................................................................................... 4
1.2 Objetivo del trabajo .............................................................................. 4
2 Flujo de cargas ............................................................................................ 6
2.1 Introducción ......................................................................................... 6
2.2 Definición sobre la topología del circuito .............................................. 6
2.3 Matriz de admitancias del sistema........................................................ 7
2.4 Ecuaciones del flujo e cargas ............................................................. 10
2.5 Flujos de potencia por las líneas ........................................................ 12
2.6 Flujos de potencia a través de los transformadores ........................... 13
2.7 El método de Newton-Raphson .......................................................... 15
2.8 Método de Newton-Raphson aplicado al flujo de cargas .................... 17
3 El flujo de cargas óptimo ........................................................................... 20
3.1 Introducción ....................................................................................... 20
3.2 Optimización de una función no lineal ................................................ 20
3.2.1 Optimización con restricciones de igualdad................................... 21
3.2.2 Optimización con restricciones de desigualdad ............................. 22
3.2.3 Característica consumo-generación de un grupo de generación ... 23
3.2.3.1 Característica de una central térmica ..................................... 23
3.2.3.2 Calculo de los parámetros de la Ecuación característica ....... 23
3.2.4 Despacho económico sin perdidas ................................................ 25
3.2.4.1 Sin restricciones de potencia entregada ................................. 25
3.2.4.2 Con restricción de potencia entregada.................................... 26
3.2.5 Despacho económico con perdidas .............................................. 27
4 Herramientas para el cálculo del flujo óptimo de potencias ....................... 31
4.1 Introducción ....................................................................................... 31
4.2 Modelado ........................................................................................... 31
4.2.1 Formato de datos .......................................................................... 31
2
4.2.2 Líneas ........................................................................................... 31
4.2.3 Generadores ................................................................................. 32
4.2.4 Cargas .......................................................................................... 32
4.2.5 Elementos en paralelo .................................................................. 33
4.2.6 Ecuaciones de la red ..................................................................... 33
4.3 Flujo de cargas óptimo ....................................................................... 33
4.3.1 Formulación del flujo de cargas extendido .................................... 35
4.3.1.1 Costes definidos por el usuario ............................................... 35
4.3.1.2 Restricciones definidas por el usuario .................................... 37
4.3.1.3 Variable definidos por el usuario ............................................. 37
4.3.2 Extensiones estándares ................................................................ 37
4.3.2.1 Costes lineales definidos por partes ....................................... 37
4.3.2.2 Cargas despachables o generadas ........................................ 39
4.3.2.3 Curvas de capacidad del generador ....................................... 40
5 Casos de estudio ...................................................................................... 42
5.1 Introducción ........................................................................................... 42
5.1 Caso de estudio 1: sistema de 14 nudos ............................................ 42
5.1.1 Datos de entrada .......................................................................... 42
5.1.2 Flujo de cargas sin optimizar ........................................................ 44
5.1.3 Flujo de cargas óptimo .................................................................. 45
5.2 Caso de estudio 2: sistema de 89 Pegase nudos ............................... 48
5.2.1 Datos de entrada .......................................................................... 48
5.2.2 Flujo de cargas sin optimizar ........................................................ 48
5.2.3 Flujo de cargas óptimo .................................................................. 49
5.3 Comparativa de solucionadores ......................................................... 50
6 Conclusiones............................................................................................. 52
Bibliografía ...................................................................................................... 53
Anexo A
A1 Caso 89 pegase: Resulados del flujo de cargas
A2 Caso 89 pegase: Resulados del flujo de cargas óptimo
3
A3 Caso 14 nudos: Resulados del flujo de cargas
A4 Caso 14 nudos: Resulados del flujo de cargas óptimo
A5 Caso 14 nudos: Resulados del solucionador "fmincon"
A6 Caso 14 nudos: Resulados del solucionador "knitro"
Anexo B
B1 Cálculo de los elementos de la matriz jacobiana del método de N- Raphson
4
1 Introducción
1.1 Introducción
Con la creciente dependencia que la industria, la agricultura y el confort en los
hogares tienen con la continuidad de abastecimiento de energía eléctrica, la continuidad
del suministro de la misma juega un papel cada vez más importante en el marco de la
ingeniería eléctrica.
Cada suministrador está obligado a proveer a sus consumidores de un cierto grado
de continuidad y calidad del servicio (por ejemplo tensión y frecuencia en un rango
específico).
Así pues, las compañías suministradores deben garantizar una cierta continuidad
del suministro eléctrico de manera económicamente rentable y técnicamente factible.
Para satisfacer a estas dos condiciones, se hace necesario, por tanto, desarrollar
un algoritmo rápido y eficaz para simular el proceso de carga para calcular el flujo de cargas
eléctrico óptimo. Sin embargo, este cálculo no resulta sencillo debido al gran número de
factores que intervienen en dicha simulación. El problema depende de la potencia de los
grupos generación, de las cargas, de los límites de las líneas de transporte y los límites
establecidos en los nodos de consumo y generación. Se introducen muchos factores que
deben de tener en cuenta en el desarrollo del cálculo de flujo de cargas óptimo.
En este trabajo se basará en algoritmos de cálculos y herramientas de optimización
con las variables, potencias y límites de las líneas, como datos de partida se simularán
casos de estudio para flujo de cargas sin optimización y con optimización con distintos
algoritmos de optimización. Además se hará una comparación entre dichos algoritmos.
1.2 Objetivo del trabajo
El objetivo principal de este trabajo es estudiar mediante la herramienta Matpower
la solución del problema del flujo de carga de dos casos concretos, así como hacer
solucionar los mismos casos con la opción del flujo óptimo de potencia. Finalmente
comparar los distintos solucionadores integrados en Matpower. Para ello es se tiene que
tener en cuenta que:
Para la aplicación de cualquier método para la solución de un flujo de carga, es
necesario tener un conocimiento previo de los componentes un sistema potencia. De esta
forma que el primer capítulo sirve de introducción en la que se explica la necesidad del
estudio del flujo de cargas óptimo y se comentan las líneas a seguir a lo largo del trabajo.
El segundo capítulo introduce brevemente los componentes o elementos que se
tienen en cuenta para el análisis del flujo de cargas, presentando el modelo de cada uno
5
de estos elementos y las ecuaciones del flujo de cargas. Así como la solución del flujo de
cargas por el método de Newton-Raphson. Finalmente se desarrolla el método matemático
para el cálculo del flujo de cargas óptimo.
En el tercer capítulo se desarrolla el método matemático para el cálculo del flujo de
cargas óptimo y se introduce el concepto de las restricciones de igualdad y desigualdad.
El cuarto capítulo es una iniciación al entorno Matpower y el método de
programación implementado sus desarrolladores para resolver el flujo de cargas óptimo.
En el quinto capítulo se presentan los resultados obtenidos para dos casos de
estudio: uno de pequeña dimensión (catorce nudos), y otro de tamaño realista (ochenta y
nueve nudos). Además se presenta una comparación entre los distintos solucionadores de
Matpower.
Finalmente en el sexto capítulo se resume brevemente el desarrollo del trabajo y se
describen las conclusiones extraídas del estudio
A continuación se indican en la bibliografía los documentos consultados para
la realización del presente trabajo.
En el anexo A se presentan en detalle todos los resultados obtenidos, caso 14 y 89
nudos, por la simulación en Matpower y los que se han obtenido mediante los diferentes
solucionadores, MIPS, Knitro y Fmincon del flujo de cargas óptimo.
El anexo B describe como se obtienen los elementos de la matriz jacobiana utilizada
en el método de Newton-Raphson.
6
2 Flujo de cargas
2.1 Introducción
Los estudios de flujo de cargas tienen una enorme importancia en el diseño y
planificación de las ampliaciones de un sistema de energía, así como la determinación del
funcionamiento en estado óptimo de los sistemas eléctricos de potencia existentes. La
información que se obtiene de un estudio de flujo de cargas es, para un dado número de
cargas llamado demanda, el modulo y el ángulo de fase de las tensiones en cada nudo en
régimen estacionario y, mediante estos, los flujos de potencia activa y reactiva en cada
línea; también se pueden deducir las intensidades, perdidas de potencia activa y reactiva
en las líneas de transmisión y cualquier otro parámetro característico que se pueda deducir
de ello.
Los estudios de cargas, antes del avance de los métodos computacionales, se
hacían utilizando los analizadores de redes, ya que en una red con cierta complejidad, con
los métodos precarios de cálculo que se tenían, la solución era irrealizable. Esos
analizadores reproducían a una escala definida (celdas metálicas con gavetas modulares)
los distintos elementos de la red: los generadores era reguladores de inducción que
variaban el modulo y el argumento de la tensiones generadas, o eran verdaderos
generadores en miniatura propulsados por motores controlados; se empleaban diales que
permitían el ajusta fino de los parámetros; la red llevaba impedancias ajustables, según la
red que se pretendía calcular. Mediante medidas directas, se deducían las magnitudes
eléctricas en los distintos puntos de la red. Los analizadores ocupaban grandes espacios
y su manejo y diseño eran muy complejos.
Hoy en día, esos analizadores son obsoletos de forma que se han abandonado totalmente
ya que avance en los sistemas computacionales ha ayudado en crear herramientas que
permiten procesar avanzados programas de cálculo para el estudio de los flujos de carga.
2.2 Definición sobre la topología del circuito
En cualquier sistema eléctrico de potencia se pueden encontrar nudos, que son las
barras de una subestación a un nivel de tensión determinado, dicho de otro modo, son
puntos a los que concurren 3 o más circuitos si son pasivo, o 2 o más circuitos si alguno es
activo (generación de carga); las rama son los circuitos que unen 2 nudos, que
corresponden generalmente a las líneas, o en otros casos a los transformadores
agregados y/o reactancias de generadores.
Como ya se sabe, cuando se representa el sistema, se lo supone a un mismo nivel
de tensión (en por unidad p.u.) representando sólo las reactancias de cortocircuito de los
transformadores reales y eliminando los transformadores ideales.
7
Todas las ramas del circuito se pueden representar por esquemas equivalentes en
𝜋 de parámetros concentrados (admitancias o impedancias). De esta forma, es evidente
que en cada nudo se pueden componer las columnas de todas las representaciones 𝜋 que
inciden sobre el mismo. El sistema original se representa así en un modelo más simple,
incluyendo la aplicación de cargas y generaciones. Por tanto, la figura 2.1 representa una
red de 5 nudos y 5 ramas, con generadores en los nudos 1 y 5, y demanda en el nudo 4:
Figura 2.1 Red de cinco nudos y cinco ramas
En este modelo de sistema, se emplean admitancias en vez de impedancias pues
cuando no existe conexión entre dos puntos suponer que existe una admitancia nula, lo
cual sería aritméticamente engorroso si usamos impedancias (infinitas); así, por ejemplo
en nuestro sistema tendríamos, con la notación adoptada:
Tendríamos, con la notación adoptada: �̅�1 = 0, �̅�5 = 0, �̅�13 = 0, �̅�14 = 0, �̅�15 = 0, �̅�25 =
0, �̅�45 = 0,
2.3 Matriz de admitancias del sistema.
A continuación emplearemos un ejemplo simple para demostrar la deducción de
esta importante matriz el análisis de sistemas eléctricos.
En la figura 2.2 viene representado el esquema de un sistema de 4 líneas y 4 nudos.
Las ramas conectadas entre dos nudos representan líneas del sistema, y las ramas
conectadas entre un nudo y tierra cualquier elemento shunt en los nudos, incluyendo la
capacitancia del modelo en 𝜋 de las líneas correspondiente a ese nudo. La corriente
inyectada a cada línea se denota por 𝐼𝑖.
8
La ley de Kirchoff para las corrientes exige que la inyección de corriente en cada
nudo sea igual a la suma de las corrientes que fluyen por las líneas unidas a ese nudo más
las corrientes que fluyen a tierra desde ese nudo. Así podemos escribir,
𝐼1̅ = 𝐼1̅3 + 𝐼1̅2 + 𝐼1̅1 (2.1)
Figura 2.2 Sistema de cuatro nudos y cuatro líneas.
Donde 𝐼12 , 𝐼13 e 𝐼11 son las corrientes que circulan por las líneas 1-2, 1-3 y 1-tierra,
respectivamente.
Aplicando la ley de Ohm a estas corrientes se pueden escribir de la siguiente forma:
𝐼1̅2 =�̅�1 − �̅�2 𝑧1̅2
= �̅�12 (�̅�1 − �̅�2 )
𝐼1̅3 =�̅�1 − �̅�3 𝑧1̅3
= �̅�13 (�̅�1 − �̅�3 )
𝐼1̅1 =�̅�1 𝑧1̅1
= �̅�11 �̅�1
(2.2)
Sustituyendo (2.2) en (2.1) se tiene:
𝐼1̅ = �̅�12 (�̅�1 − �̅�2 ) + �̅�13 (�̅�1 − �̅�3 ) + �̅�11 �̅�1 (2.3)
Suponiendo que el nudo 1 está conectado al nudo 4 por una admitancia nula, �̅�4 =
0, así la ecuación (2.3) quedaría:
𝐼1̅ = �̅�12 (�̅�1 − �̅�2 ) + �̅�13 (�̅�1 − �̅�3 ) + �̅�14 (�̅�1 − �̅�4 ) + + �̅�11 �̅�1 (2.4)
La ventaja de hacer esta consideración es que no hay que preocuparse de si el
nudo está unido o no lo está a otros nudos, simplemente si no está unido a otro su
admitancia es nula y, por tanto, el término correspondiente desaparece.
9
Sustituyendo y ajustando (2.4)
𝐼1̅ = �̅�1 (�̅�11 + �̅�12 + �̅�13 + �̅�14 ) + �̅�2 (−�̅�12 ) + �̅�3 (−�̅�13 ) + �̅�4 (−�̅�14 ) (2.5)
Realizando el mismo desarrollo en el resto de los nudos se obtienen las siguientes
ecuaciones:
𝐼2̅ = �̅�1 (−�̅�21 ) + �̅�2(�̅�21 + �̅�22 + �̅�23 + �̅�24 ) + �̅�3 (−�̅�23 ) + �̅�4 (−�̅�24 ) 𝐼3̅ = �̅�1 (−�̅�31 ) + �̅�2 (−�̅�32 ) + �̅�3 (�̅�31 + �̅�32 + �̅�33 + �̅�34 ) + �̅�4 (−�̅�34 ) 𝐼4̅ = �̅�1 (−�̅�41 ) + �̅�2 (−�̅�42 ) + �̅�3 (−�̅�43 ) + �̅�4 (�̅�41 + �̅�42 + �̅�43 + �̅�44 )
(2.6)
De la figura anterior se puede deducir que la admitancia de un nudo i a otro nudo k
es igual a la admitancia del nudo 𝑘 hacia el 𝑖, o sea, 𝑌𝑖𝑘 =𝑌𝑘𝑖.
En las ecuaciones (2.5) y (2.6) podemos ver las inyecciones de corriente son
funciones lineales de las tensiones en los nudos. Por tanto, se pueden escribir estas
ecuaciones de formas más compacta usando notación matricial:
[ 𝐼1̅𝐼2̅𝐼3̅𝐼4̅]
= [
�̅�11 + �̅�12 + �̅�13 + �̅�14 −�̅�12 −�̅�13 −�̅�14−�̅�21 �̅�21 + �̅�22 + �̅�23 + �̅�24 −�̅�23 −�̅�24−�̅�31 −�̅�32 �̅�31 + �̅�32 + �̅�33 + �̅�34 −�̅�34−�̅�41 −�̅�42 −�̅�43 �̅�41 + �̅�42 + �̅�43 + �̅�44
] ×
[ �̅�1�̅�2�̅�3�̅�4]
(2.7)
La matriz que relaciona las intensidades inyectadas en los nudos con las tensiones
nodales se llama matriz de admitancias de red (𝑌𝑏𝑢𝑠 en nomenclatura anglosajona)
Llamando al elemento de la 𝑖, columna 𝑘, por 𝑌𝑖𝑘 se puede rescribir esta matriz
como:
𝑌𝑏𝑢𝑠 =
[ �̅�11 �̅�12 �̅�13 �̅�14�̅�21 �̅�22 �̅�23 �̅�24�̅�31 �̅�32 �̅�33 �̅�34�̅�41 �̅�42 �̅�43 �̅�44]
(2.8)
Escribiendo la ecuación (2.7) con esta notación se tiene:
[ 𝐼1̅𝐼2̅𝐼3̅𝐼4̅]
=
[ �̅�11 �̅�12 �̅�13 �̅�14�̅�21 �̅�22 �̅�23 �̅�24�̅�31 �̅�32 �̅�33 �̅�34�̅�41 �̅�42 �̅�43 �̅�44]
×
[ �̅�1�̅�2�̅�3�̅�4]
(2.9)
Sobre la matriz de admitancias se puede decir que:
Es una matriz simétrica, es decir, 𝑌𝑖𝑘 = 𝑌𝑘𝑖
Los elementos de la diagonal principal se obtienen por la suma de las admitancias
de todas las ramas conectadas al nudo 𝑖, incluyendo las ramas Shunt:
�̅�𝑖𝑖 = ∑ �̅�𝑖𝑛
𝑁
𝑛=1
(2.10)
10
Siendo N el número de nudos del sistema. Se hace resaltar que esta �̅�𝑖𝑛 no es nula
sólo cuando existe una conexión física entre los nudos 𝑖 y 𝑛.
Los elementos que no pertenecen a la diagonal principal se calculan como el
negativo de la admitancia que une los nudos 𝑖 y 𝑘, o sea
�̅�𝑖𝑘 = −�̅�𝑖𝑘 (2.11)
Estas observaciones facilitan la formación de la matriz de admitancias de una
manera rápida mediante la simple inspección visual del esquema del sistema.
A continuación se muestra un ejemplo de determinación de la matriz de
impedancias de un sistema.
Ejemplo 2.1
Considerar el sistema dado en la figura 2.3, donde los parámetros indican
admitancias:
Figura 2.3 Sistema para el ejemplo 2.1.
Considerando las observaciones realizadas con anterioridad podemos ver
fácilmente que la matriz de admitancias de este sistema es:
𝑌𝑏𝑢𝑠 = [
3 − 𝑗7.9 −2 + 𝑗4 −1 + 𝑗4 0−2 + 𝑗4 4 − 𝑗8.8 −2 + 𝑗5 0−1 + 𝑗4 −2 + 𝑗5 5 − 𝑗11.7 −2 + 𝑗30 0 −2 + 𝑗3 2 − 𝑗2.6
]
2.4 Ecuaciones del flujo e cargas
Se define la potencia compleja inyectada en un nudo, 𝑆�̅�, como la diferencia entre
la potencia compleja generada en ese nudo, 𝑆�̅�𝑖, y la potencia compleja demandada en el
mismo 𝑆�̅�𝑖:
𝑆�̅� = 𝑆�̅�𝑖 + 𝑆�̅�𝑖 (2.12)
11
Se pretende obtener una expresión para expresar esta potencia en términos de
tensiones nodales y elemento de la matriz de admitancias ya que el estado de un sistema
eléctrico queda completamente determinado si se conocen las tensiones complejas de
todos sus nudos.
Según la teoría de circuitos la potencia compleja se puede determinar de la
siguiente forma:
𝑆�̅� = �̅�𝑖𝐼�̅�∗ (2.13)
A partir de la ecuación (2.9) podemos expresar la inyección de corriente de un nudo
de la siguiente forma:
𝐼�̅� = ∑ �̅�𝑖𝑛�̅�𝑛
𝑁
𝑛=1
(2.14)
Sustituyendo (2.14) en (2.13) e obtiene:
𝑆�̅� = �̅�𝑖 (∑ �̅�𝑖𝑛�̅�𝑛
𝑁
𝑛=1
)
∗
= �̅�𝑖∑�̅�𝑖𝑛∗�̅�𝑛∗
𝑁
𝑛=1
(2.15)
Como �̅�𝑖, �̅�𝑛 e �̅�𝑖𝑛 son números complejos los podemos descomponer en módulo y
argumento:
�̅�𝑖 = 𝑉𝑖∠𝛿𝑖 �̅�𝑛 = 𝑉𝑛∠δ𝒏 → V̅𝒏
∗ = 𝑉𝑛∠−δ𝒏
�̅�𝑖𝑛 = 𝑌𝑖𝑛∠𝜃𝑖𝑛 → Y̅𝒊𝒏∗ = 𝑌𝑖𝑛∠−𝜃𝑖𝑛
(2.16)
Sustituyendo (2.16) en (2.15):
𝑆�̅� = 𝑉𝑖∠𝜹𝒊∑(𝑉𝑛∠−𝛿𝑛. 𝑌𝑖𝑛∠−𝜃𝑖𝑛) = ∑(𝑉𝑖𝑉𝑛∠𝛿𝑖−𝛿𝑛. 𝑌𝑖𝑛∠−𝜃𝑖𝑛)
𝑁
𝑛=1
𝑁
𝑛=1
(2.17)
Por otra parte, la expresión de 𝑌𝑖𝑛 se puede desarrollar como:
�̅�𝑖𝑛 = 𝑌𝑖𝑛∠𝜃𝑖𝑛 = 𝑌𝑖𝑛 cos 𝜃𝑖𝑛 + 𝑗𝑌𝑖𝑛 sen 𝜃𝑖𝑛 = 𝐺𝑖𝑛 + 𝑗𝐵𝑖𝑛 (2.18)
�̅�𝑖𝑛∗ = 𝐺𝑖𝑛 − 𝑗𝐵𝑖𝑛 (2.19)
Done 𝐵𝑖𝑛 es la susceptancia y 𝐺𝑖𝑛 la conductancia. Sustituyendo (2.19) en (2.17):
𝑆�̅� = ∑[𝑉𝑖𝑉𝑛∠𝛿𝑖 − 𝛿𝑛(𝐺𝑖𝑛 − 𝑗𝐵𝑖𝑛)]
𝑁
𝑛=1
(2.20)
Sabemos también que la potencia compleja se puede descomponer en potencia
activa y reactiva, de la siguiente forma:
12
𝑆�̅� = 𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖 (2.21)
Al igual que la potencia compleja, las potencias activa y reactiva son la diferencia
entre la potencia generada y demandada en cada nudo:
𝑃𝑖 = 𝑃𝐺𝑖 − 𝑃𝐿𝑖 𝑄𝑖 = 𝑄𝐺𝑖 −𝑄𝐿𝑖
(2.22)
Separando la parte real de la imaginaria en la ecuación (2.20) podemos determinar,
según la ecuación (2.21) las potencias activa y reactiva en un nudo, respectivamente:
𝑃𝑖 = 𝑉𝑖∑[𝑉𝑛(𝐺𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑛 + 𝐵𝑖𝑛𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑛)]
𝑉
𝑛=1
𝑄𝑖 = 𝑉𝑖∑[𝑉𝑛(𝐺𝑖𝑛𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑛 −𝐵𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑛)]
𝑉
𝑛=1
(2.23)
Donde 𝛿𝑖𝑛 = 𝛿𝑖 − 𝛿𝑛
Las ecuaciones deducidas (2.23) son las llamadas ecuaciones el flujo de cargas.
En un sistema de potencia, no todas las inyecciones en los nudos, ec. (2.23), pueden
especificarse independientemente. Al menos una de ellas tiene que ser dependiente para
garantizar el equilibrio entre la potencia generada y la consumida más las pedidas. En el
flujo de cargas, dicha inyección independiente suele ser asignada a un nudo, el nudo slack
o nudo holgura.
En los problemas de flujo de cargas se pueden distinguir tres tipos de nudos:
Los nudos PV, donde la potencia activa y la tensión son datos de partida. Estos
nudos corresponden a los generadores del sistema.
Los nudos PQ, para los cuales los datos son la potencia activa y reactiva.
Corresponden típicamente a los nudos de demanda.
El nudo slack, para el que se suele fijar el valor de la tensión y de ángulo
(normalmente V=1 𝑝. 𝑢. y δ = 0).
El problema de flujo de cargas consiste en resolver las ecuaciones (2.23) para cada
nudo de la red hasta determinar todas las inyecciones de potencia de los generadores
(excepto la de nudo slack) y el consumo de la cargas. Una vez resuelto el flujo de cargas
y teniendo ya las tensiones complejas en todos los nudos, podemos calcular los flujos de
potencia por las líneas.
2.5 Flujos de potencia por las líneas
Sea el modelo genérico de una línea en un sistema eléctrico de potencia
representada en siguiente esquema:
13
Figura 2.4 Esquema de una línea genérica.
La inyección por el nudo 𝑖 en la línea 𝑖𝑘 es:
𝐼�̅�𝑘 = �̅�𝑖𝑘(�̅�𝑖 − �̅�𝑘) + �̅�𝑖𝑘𝑠ℎ�̅�𝑖 (2.24)
Teniendo en cuenta la ecuación (2.13) la potencia compleja inyectada en la línea
desde el nudo 𝑖 es:
𝑆̅ = �̅�𝑖𝐼�̅�𝑘∗ = �̅�𝑖[�̅�𝑖𝑘(�̅�𝑖 − �̅�𝑘) + �̅�𝑖𝑘
𝑠ℎ�̅�𝑖] (2.25)
Operando sobre esta ecuación y considerando la ecuación (2.21), podemos
determinar los flujos de potencia activa y reactiva por línea 𝑖𝑘:
𝑃𝑖𝑘 = −𝑉𝑖
2𝐺𝑖𝑘 + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑘 +𝐵𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑘)
𝑄𝑖𝑘 = 𝑉𝑖2𝐵𝑖𝑘 − 𝑉𝑖
2𝑏𝑖𝑘𝑠ℎ + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑘 − 𝐵𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑘)
(2.26)
Donde 𝑏𝑖𝑘𝑠ℎ es la parte imaginaria de �̅�𝑖𝑘
𝑠ℎ. Podemos utilizar las mismas ecuaciones para
determinar las inyecciones de potencia en la línea 𝑖𝑘 desde el nudo 𝑘, cambiando los
subíndices:
𝑃𝑘𝑖 = −𝑉𝑘
2𝐺𝑘𝑖 + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑘𝑖 + 𝐵𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑘𝑖)
𝑄𝑖𝑘 = 𝑉𝑘2𝐵𝑖𝑘 − 𝑉𝑖
2𝑏𝑘𝑖𝑠ℎ + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑘𝑖 − 𝐵𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑘𝑖)
(2.27)
Donde 𝑏𝑘𝑖𝑠ℎ es la parte imaginaria de �̅�𝑘𝑖
𝑠ℎ.
En las líneas de transporte de energía eléctrica solo se considera la susceptancia y
también �̅�𝑖𝑘𝑠ℎ = �̅�𝑘𝑖
𝑠ℎ. Como se verá más adelante no ocurre lo mismo con el modelo de
transformadores con el cambiador de tomas.
2.6 Flujos de potencia a través de los transformadores
En la figura 2.5 viene mostrado un modelo equivalente de un transformador formado
por un transformador ideal con una relación de transformación 1: 𝑡𝑖𝑘 y una impedancia en
serie representa las perdidas resistivas y la impedancia de fuga. Los datos de un sistema
usualmente están expresados como en (b), aunque ambas representaciones son
14
equivalentes, con el factor de conversión 𝑇𝑖𝑘 = 1/�̅�𝑖𝑘. El factor 𝑇𝑖𝑘 es un número complejo,
𝑇𝑖𝑘 = 𝑡𝑖𝑘∠𝜑𝑖𝑘 , cuyo modulo indica el valor de la toma seleccionada y el ángulo indica el
desfase introducido por el transformador.
Figura 2.5 Modelo de un transformador
El caso que nos corresponde en este trabajo sólo trata transformadores que no
inducen desfase. Entonces el factor 𝑇𝑖𝑘es un número real, 𝑇𝑖𝑘 = 𝑡𝑖𝑘. Para este caso, y
teniendo en cuenta la figura 2.5.b, resulta el circuito equivalente en π indicado en la figura
2.6:
Figura 2.6 Circuito equivalente en 𝜋 de un transformador
Donde A, B y C valen:
𝐴 =1
𝑡𝑖𝑘�̅�𝑖𝑘
𝐵 =1
𝑡𝑖𝑘(1
𝑡𝑖𝑘− 1) �̅�𝑖𝑘
𝐶 = (1 −1
𝑡𝑖𝑘) �̅�𝑖𝑘
(2.28)
Así la potencia inyectada en el nudo i de un transformador con cambiador de tomas que no
produce desfase es:
𝑃𝑖𝑘 = −1
𝑡𝑖𝑘𝑉𝑖2𝐺𝑖𝑘 + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑘 +𝐵𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑘) (2.29)
15
𝑄𝑖𝑘 =1
𝑡𝑖𝑘𝑉𝑘2𝐵𝑖𝑘 − 𝑉𝑖
2𝑏𝑘𝑖𝑠ℎ + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑘𝑖 − 𝐵𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑘𝑖)
En la cual se ha tenido en cuenta una posible susceptancia shunt, 𝑏𝑖𝑘𝑠ℎ.
La potencia inyectada en el nudo k del transformador será:
𝑃𝑘𝑖 = −𝑡𝑖𝑘𝑉𝑘
2𝐺𝑘𝑖 + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑘𝑖 + 𝐵𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑘𝑖)
𝑄𝑖𝑘 = 𝑡𝑖𝑘𝑉𝑘2𝐵𝑖𝑘 − 𝑉𝑖
2𝑏𝑘𝑖𝑠ℎ + 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑘𝑠𝑒𝑛𝛿𝑘𝑖 − 𝐵𝑖𝑘𝑐𝑜𝑠𝛿𝑘𝑖
(2.30)
Estas ecuaciones son de aplicación más general que las ecuaciones (2.26) y (2.27),
ya que si disponemos de un transformador sin cambiador de tomas activo o una línea, el
valor de 𝑡𝑖𝑘es la unidad (𝑡𝑖𝑘 = 1) .
Las ecuaciones vistas para la resolución al problema de flujo de cargas son no
lineales, lo que implica la utilización de métodos iterativos para su resolución. La
determinación de valores iniciales adecuados, que hagan converger el proceso iterativo
hacia un punto físicamente viable, de entre las muchas soluciones matemáticamente
posibles. Afortunadamente, las características especiales del problema de flujo de cargas,
donde se sabe de antemano que las tensiones se mueven en un margen relativamente
pequeño alrededor de su valor nominal, y que los desfases entre nudos adyacentes se
mueven en márgenes estrechos por motivos de estabilidad, hacen que el denominado perfil
plano sea casi siempre la mejor opción para iniciar el proceso iterativo. Dicho perfil consiste
en hacer 𝛿𝑖0 = 0 para todos los nudos y 𝑉𝑖
0 = 1 p.u para todos los nudos de consumo. Si se
ha ejecutado previamente un flujo de carga diferente, y los cambios en el estado del
sistema con solución del caso anterior. La experiencia demuestra, sin embargo, que utilizar
unos valores próximos a la solución, pero arbitrarios, suele dar peores resultado que en el
perfil plano.
A continuación se explica el funcionamiento del método de resolución de sistemas
de ecuaciones no lineales de Newton-Raphson y su aplicación al flujo de cargas.
2.7 El método de Newton-Raphson
La expansión en serie de Taylor para una función de dos o más variables es la base
del método de Newton-Raphson para resolver el problema de flujo de cargas. El estudio
del método se iniciará por el análisis de la solución de un problema en el que intervienen
solamente dos ecuaciones y dos variables. Entonces, se verá cómo extender el análisis a
la solución de ecuaciones de flujo de cargas.
Considérese la ecuación de un función ℎ1, de dos variables 𝑥1 y 𝑥2, que es igual a la
constante 𝑏1 y que se expresa como
𝑔1(𝑥1, 𝑥2) = ℎ1(𝑥1, 𝑥2) − 𝑏1 = 0 (2.31)
16
La segunda ecuación que contiene una función ℎ2 tal que:
𝑔2(𝑥1, 𝑥2) = ℎ2(𝑥1, 𝑥2) − 𝑏2 = 0 (2.32)
Donde 𝑏2 es una constante. Las funciones 𝑔1 y 𝑔2 se introducen por conveniencia para
permitir el análisis de las diferencias entre los valores calculados de ℎ1 y ℎ2 y sus valores
especificados respectivos 𝑏1 y 𝑏2 .
Se estimará que la soluciones de estas ecuaciones son 𝑥10 y 𝑥2
0 . Los superíndices
cero indican que esos valores son estimaciones iniciales y no son la soluciones reales 𝑥1∗
y 𝑥2∗. Se designarán las correcciones ∆𝑥1
0 y ∆𝑥20 como los valores que se tienen que sumar
a 𝑥10 y 𝑥2
0 para dar las soluciones correctas 𝑥1∗ y 𝑥2
∗ . Así, se puede escribir
𝑔1(𝑥1
∗, 𝑥2∗) = 𝑔1(𝑥1
0 + ∆𝑥10 , 𝑥2
0 + ∆𝑥20) = 0
𝑔2(𝑥1∗, 𝑥2
∗) = 𝑔2(𝑥10 + ∆𝑥1
0 , 𝑥20 + ∆𝑥2
0) = 0 (2.33)
El problema ahora es encontrar la solución para ∆𝑥10 y ∆𝑥2
0 que se hace al expandir
las ecuaciones (2.33) en series de Taylor alrededor de la solución supuesta, para tener
𝑔1(𝑥1∗, 𝑥2
∗) = 𝑔1(𝑥10 , 𝑥2
0) + ∆𝑥10𝜕𝑔1𝜕𝑥1
|𝑥10,𝑥2
0
+ ∆𝑥20𝜕𝑔1𝜕𝑥2
|𝑥10,𝑥2
0
+⋯ = 0
𝑔2(𝑥1∗, 𝑥2
∗) = 𝑔2(𝑥10 , 𝑥2
0) + ∆𝑥10𝜕𝑔2𝜕𝑥1
|𝑥10,𝑥2
0
+ ∆𝑥20𝜕𝑔2𝜕𝑥2
|𝑥10,𝑥2
0
+⋯ = 0
(2.34)
Despreciando las derivadas parciales de orden mayor que 1, se pueden rescribir las
ecuaciones (2.34) en forma matricial como sigue
[ 𝜕𝑔1𝜕𝑥1
𝑑𝑔1𝑑𝑥2
𝑑𝑔2𝑑𝑥1
𝑑𝑔2𝑑𝑥2]
𝑥10,𝑥2
0
× [∆𝑥1
0
∆𝑥20] = [
0 − 𝑔1(𝑥10 , 𝑥2
0)
0 − 𝑔2(𝑥10 , 𝑥2
0)] = [
𝑏1 − ℎ1(𝑥10 , 𝑥2
0)
𝑏2 − ℎ2(𝑥10 , 𝑥2
0)] (2.35)
Donde la matriz cuadrada de derivadas parciales se le denomina matriz Jacobiana J, el
superíndice 𝐽0 indica que se han usado los estimados iniciales 𝑥10 y 𝑥2
0para calcular los
valores numéricos de las derivadas parciales. Se observa que 𝑔1(𝑥10 , 𝑥2
0)es el valor
calculado de 𝑔1 que se basa en los valores estimados iniciales, pero este valor calculado
no es el valor cero especificado por la ecuación (2.31), a menos que los valores estimados
iniciales sean la solución correcta. Como se hizo anteriormente, se designará el valor
especificado de 𝑔1 menos el valor calculado de 𝑔1 como el error ∆𝑔10 y se define de manera
similar el error ∆𝑔20. Se tiene entonces el siguiente sistema lineal de ecuaciones de error
𝐽0 [∆𝑥1
0
∆𝑥20] = [
∆𝑔10
∆𝑔20] (2.36)
17
Los valores de ∆𝑥10 y ∆𝑥2
0 se podrán determinar al resolverlas ecuaciones de error,
ya sea por factorización triangular de la jacobiana o (para problemas muy pequeños)
invirtiendo la matriz. Sin embargo, estos valores añadidos a los iniciales no determinarán
la solución correcta y nuevamente se hará un intento suponiendo unos nuevos estimados
𝑥11 y 𝑥2
1 donde
𝑥11 = 𝑥1
0 + ∆𝑥10
𝑥21 = 𝑥2
0 + ∆𝑥20
(2.37)
El proceso se repetirá hasta que la corrección es tan pequeña en magnitud de forma
que satisface el índice de precisión seleccionado ε > 0; esto es, hasta que |∆𝑥1| y |∆𝑥2|
sean ambos menores que ε.
2.8 Método de Newton-Raphson aplicado al flujo de cargas
Cuando en las ecuaciones (2.23) n se hace igual a i y los términos correspondientes
se separan de las sumatorias, se obtiene:
𝑃𝑖 = 𝑉𝑖2𝐺𝑖𝑖 + 𝑉𝑖∑[𝑉𝑛(𝐺𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑛 +𝐵𝑖𝑛𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑛)]
𝑁
𝑛=1𝑛≠1
𝑄𝑖 = −𝑉𝑖2𝐵𝑖𝑖 + 𝑉𝑖∑[𝑉𝑛(𝐺𝑖𝑛𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑛 − 𝐵𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑛)]
𝑁
𝑛=1
(2.38)
Estas ecuaciones se pueden derivar fácilmente con respecto a los ángulos y a los
módulos de las tensiones. Por ahora se pospondrá la consideración de los nudos de voltaje
controlado y se considerará que todos los nudos (excepto el de compensación) son de
carga con demandas conocidas 𝑃𝐿𝑖 y 𝑄𝐿𝑖. El nudo de compensación tiene valores
especificados para 𝛿1 y 𝑉1, y para cada una de los otros nudos del sistema se tienen que
calcular las dos variables de estado 𝛿𝑖 y 𝑉𝑖 en la solución de flujos de carga. Los valores
conocidos de 𝑃𝐿𝑖 y 𝑄𝐿𝑖 corresponden al negativo de las constates 𝑏 mostrados en las
ecuaciones (2.31) y (2.32). En cada uno de los nudos que no son de compensación, los
valores estimados 𝛿𝑖 y 𝑉𝑖 corresponden a los estimados de 𝑥10 y 𝑥2
0 de la sección anterior.
Los errores que corresponden a la ∆𝑔 de la ecuación (36) se obtienen de las siguientes
ecuaciones:
∆𝑃𝑖 = 𝑃𝑖 − 𝑃𝑖
𝑐𝑎𝑙
∆𝑄𝑖 = 𝑄𝑖 − 𝑄𝑖𝑐𝑎𝑙
(2.39)
Donde 𝑃1 y 𝑄1 están dadas por las ecuaciones (2.22) y 𝑃𝑖𝑐𝑎𝑙 y 𝑄𝑖
𝑐𝑎𝑙 están dadas por las
ecuaciones (2.23).
18
Para simplificar, ahora se escriben las ecuaciones de error para un sistema de
cuatro nudos extendiendo las ecuaciones de error para los sistemas con más de cuatro
nudos.
Para la potencia activa, 𝑃𝑖, se tiene:
∆𝑃𝑖 =𝜕𝑃𝑖𝜕𝛿2
∆𝛿2 +𝜕𝑃𝑖𝜕𝛿3
∆𝛿3 +𝜕𝑃𝑖𝜕𝛿4
∆𝛿4 +𝜕𝑃𝑖𝜕𝑉2
∆𝑉2 +𝜕𝑃𝑖𝜕𝑉3
∆𝑉3 +𝜕𝑃𝑖𝜕𝑉4
∆𝑉4 (2.40)
Los últimos tres términos se pueden multiplicar por sus respectivos módulos de la
tensión sin alterar sus valores, y de esta manera obtiene:
∆𝑃𝑖 =𝜕𝑃𝑖𝜕𝛿2
∆𝛿2 +𝜕𝑃𝑖𝜕𝛿3
∆𝛿3 +𝜕𝑃𝑖𝜕𝛿4
∆𝛿4 + 𝑉2𝜕𝑃𝑖𝜕𝑉2
∆𝑉2𝑉2+ 𝑉3
𝜕𝑃𝑖𝜕𝑉3
∆𝑉3𝑉3+ 𝑉4
𝜕𝑃𝑖𝜕𝑉4
∆𝑉4𝑉4
(2.41)
Esto reporta algunas ventajas computacionales como puede verse en el anexo B.
Una ecuación similar para los errores se puede escribir para la potencia reactiva, 𝑄𝑖:
∆𝑄𝑖 =
𝜕𝑄𝑖𝜕𝛿2
∆𝛿2 +𝜕𝑄𝑖𝜕𝛿3
∆𝛿3 +𝜕𝑄𝑖𝜕𝛿4
∆𝛿4 + 𝑉2𝜕𝑄𝑖𝜕𝑉2
∆𝑉2𝑉2
+ 𝑉3𝜕𝑄𝑖𝜕𝑉3
∆𝑉3𝑉3+ 𝑉4
𝜕𝑃𝑄𝑖𝜕𝑉4
∆𝑉4𝑉4
(2.42)
Cada nudo del sistema que no es de compensación tiene dos ecuaciones parecidas
a (2.41) y (2.42). Al juntar todas las ecuaciones de error en forma matricial se llega a:
[ 𝜕𝑃2𝜕𝛿2
⋯𝜕𝑃2𝜕𝛿4
⋮ 𝐻 ⋮𝜕𝑃4𝜕𝛿2
⋯𝜕𝑃4𝜕𝛿4
||
𝑉2𝜕𝑃2𝜕𝛿2
⋯ 𝑉4𝜕𝑃2𝜕𝛿4
⋮ 𝑁 ⋮
𝑉2𝜕𝑃4𝜕𝛿2
⋯ 𝑉4𝜕𝑃4𝜕𝛿4
𝜕𝑄2𝜕𝛿2
⋯𝜕𝑄2𝜕𝛿4
⋮ 𝑀 ⋮𝜕𝑄4𝜕𝛿2
⋯𝜕𝑄4𝜕𝛿4
||
𝑉2𝜕𝑄2𝜕𝛿2
⋯ 𝑉4𝜕𝑄2𝜕𝛿4
⋮ 𝐿 ⋮
𝑉2𝜕𝑄4𝜕𝛿2
⋯ 𝑉4𝜕𝑄4𝜕𝛿4 ]
⏟ Jacobiana
×
[ ∆𝛿2⋮⋮⋮∆𝛿4∆𝑉4𝑉2⋮∆𝑉4𝑉4 ]
⏟ Correcciones
=
[ ∆𝑃2⋮⋮⋮∆𝑃4∆𝑄2⋮⋮⋮∆𝑄4]
⏟ Errores
(2.43)
No se pueden incluir los errores para el nudo de referencia porque ∆𝑃1 y ∆𝑄1 están
indefinidos cuando 𝑃1 y 𝑄1 no se programan. También se omiten de las ecuaciones todos
los términos en que intervienen ∆𝛿1 y ∆𝑉1 porque ambas correcciones son cero en el nudo
de referencia.
La solución de la ecuación (2.43) se encuentra por iteración de la siguiente manera:
Estimar los valores de 𝛿𝑖0 y 𝑉𝑖
0 para las variables de estado. Estas estimaciones
bien pueden ser el perfil plano, comentado anteriormente, o la solución de un flujo de carga
anterior.
Usar los estimados para calcular 𝑃𝑖𝑐𝑎𝑙,0 y 𝑄𝑖
𝑐𝑎𝑙,0 de las ecuaciones (2.23), los errores
∆𝑃𝑖0 y ∆𝑃𝑖
0 de las ecuaciones (2.39) y los elementos de las derivadas parciales de la
jacobiana J.
19
Resolviendo la ecuación (2.43) para las correcciones iniciales ∆𝛿𝑖0 y ∆𝑉𝑖
0/𝑉𝑖0.
Sumando las correcciones encontradas a los estimados iniciales para obtener:
𝛿𝑖1 = 𝛿𝑖
0 + ∆𝛿𝑖0 (2.44)
𝑉𝑖1 = 𝑉𝑖
0 + ∆𝑉𝑖0 = 𝑉𝑖
0 (1 +∆𝑉𝑖
0
𝑉𝑖0 ) (2.45)
Usar los nuevos valores 𝛿𝑖1 y 𝑉𝑖
1 como los valores iniciales de la iteración 2 y
continuar el proceso.
En términos más generales, las ecuaciones (2.44) y (2.45) son:
𝛿𝑖𝑘+1 = 𝛿𝑖
𝑘 + ∆𝛿𝑖𝑘 (2.46)
𝑉𝑖𝑘+1 = 𝑉𝑖
𝑘 + ∆𝑉𝑖𝑘 = 𝑉𝑖
𝑘 (1 +∆𝑉𝑖
𝑘
𝑉𝑖𝑘) (2.47)
El cálculo de los elementos de la matriz jacobiana está en el anexo B. la siguiente
tabla expresa el resultado de este cálculo:
Para 𝑖 ≠ 𝑘 Para 𝑖 = 𝑘 𝐻𝑖𝑘 = 𝐿𝑖𝑘 = 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑛𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑛 − 𝐵𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑛) 𝑁𝑖𝑘 = −𝑀𝑖𝑘 = 𝑉𝑖𝑉𝑘(𝐺𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠𝛿𝑖𝑛 +𝐵𝑖𝑛𝑠𝑒𝑛𝛿𝑖𝑛)
𝐻𝑖𝑖 = −𝑄𝑖 − 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑖2
𝑁𝑖𝑖 = 𝑃𝑖 + 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑖2
𝐿𝑖𝑖 = 𝑄𝑖 − 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑖2
𝑀𝑖𝑖 = 𝑃𝑖 − 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑖2
Hasta aquí, se han considerado todos los nudos que no son de compensación así
como los nudos de carga. Ahora se considerarán también los nudos de tensión controlada.
Los nudos de tensión controlada se pueden tomar en cuenta de forma que si, por
ejemplo, el nudo 4 del sistema de cuatro nudos es un nudo de tensión controlada, entonces
la 𝑉4 tiene un valor constante especificado y la corrección de la tensión ∆𝑉4/𝑉4 siempre
deber ser cero. Por tanto, la sexta columna de la jacobiana de la ecuación (2.43) siempre
se multiplica por cero y así, puede ser eliminada. Además, como no se especifica a 𝑄4, no
se puede definir el error ∆𝑄4 y así, se debe omitir la sexta fila de la ecuación (2.43) que
corresponde a 𝑄4. Por supuesto, 𝑄4 se puede calcular después de que se tiene la solución
del flujo de cargas.
En el caso general de que haya 𝑁𝑔 nudos de tensión controlada además del nudo
de compensación, se omite una fila y una columna para cada nudo en la jacobiana del
sistema. Esta tendrá entonces (2𝑁 −𝑁𝑔 − 2) filas y (2𝑁 − 𝑁𝑔 − 2) columnas.
20
3 El flujo de cargas óptimo
3.1 Introducción
El objetivo de realizar el flujo de cargas óptimo es de hacer que el consumo de
materia prima del generador o el coste de generación del sistema sea mínimo mediante
la determinación de potencia generada por cada unidad de generación bajo la condición
de restricción de la demanda de carga del sistema. El flujo de cargas se considera sencillo
cuando no se tienen en cuenta las restricciones de línea. Sin embargo en el flujo de carga
óptimo el valor de la potencia activa de cada generador se determina teniendo como
objetivo final la optimización de los costes de generación, y además las tensiones en los
nudos se ajustan al valor de la tensión de suministro con unos límites estrechos de
tolerancia necesarios para mantener una adecuada calidad de suministro.
El flujo de cargas óptimo fue introducido por Carpentier en 1962, su objetivo es
determinar los ajustes óptimos para un sistema eléctrico de potencia dado de manera que
optimice la función objetivo tal como el coste total de generación, las pérdidas del sistema,
deviación de tensión en las barras, emisiones por unidades de generación, número de
acciones de control y los límites de funcionamiento de equipos. Los diferentes variables de
control como los generadores, potencia real entregada y sus tensiones, ajustes del
conmutador de transformador, cambiadores de fases y reactores, son esenciales para
obtener un ajuste óptimo del sistema basado en la formulación del problema.
Para introducir el concepto de optimización de función objetivo hay que entender el
concepto matemático antes de su aplicación.
3.2 Optimización de una función no lineal
La optimización no lineal es una herramienta importante en el diseño asistido por
ordenador y es parte de una clase de programación denominada programación no lineal.
El objetivo principal es de minimizar la función objetivo, de coste, no lineal que es sujeta a
restricciones de igualdad y desigualdad.
Las herramientas matemáticas utilizadas para resolver este problema de
optimización vienen directamente del cálculo multi-variable.
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) (3.48)
La condición necesaria para minimizar la función coste se obtiene calculando la
derivada de 𝑓 con respecto a las variables igualadas a cero,
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖= 0 𝑖 = 1,… . , 𝑛 (3.49)
Luego
21
∇𝑓 = 0 (3.50)
Donde
∇𝑓 =(𝜕𝑓
𝜕𝑥1,𝜕𝑓
𝜕𝑥2, …
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛) (3.51)
Este término es más bien conocido como el vector gradiente. Los términos
asociados a las derivadas segundas son:
𝐻 =𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗 (3.52)
Es una ecuación que resulta después en una matriz simétrica que se conoce como
la matriz ℎ𝑒𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 de una función.
Para que la función 𝑓 tenga un mínimo, la matriz hessiana tiene que ser positiva, el
signo de la matriz se obtiene sustituyendo el valor del extremo local o relativo, esta
condición requiere que todos los valores propios de dicha matriz evaluada en su extremo
local sean positivos.
En resumen, el mínimo de la función se obtiene calculando sus derivadas parciales
e igualándolas a cero. De la misma forma si hacemos la segunda derivada de la función
obteniendo valores positivos esto indica que son valor del mínimo local o relativo.
3.2.1 Optimización con restricciones de igualdad
Este tipo de problema surge cuando existe una dependencia funcional entre los
parámetros que se van a elegir. El problema es minimizar la función de costes
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) (3.53)
Está sujeta a la siguiente restricción de igualdad
𝑔𝑖(𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0 𝑖 = 1,2, … . , 𝑘 (3.54)
Este tipo de problema de ecuación se puede resolver haciendo uso del método de
Multiplicadores de la Lagrange, de manera que introduzcamos el vector λ de unas
cantidades indeterminadas.
La nueva función se expresa de la siguiente forma:
ℒ = 𝑓 +∑λ𝑖
𝑘
𝑖=1
g𝑖
(3.55)
Las condiciones necesarias deducidas para el restringido mínimo relativo ℒ son tal
como sigue:
𝜕ℒ
𝜕𝑥𝑖=𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖+∑λ𝑖
𝜕𝑔𝑖𝜕𝑥𝑖
𝑘
𝑖=1
= 0 (3.56)
22
𝜕ℒ
𝜕λ𝑖= 𝑔𝑖 = 0 (3.57)
Donde la ecuación (3.10) es la restricción asumida al principio.
3.2.2 Optimización con restricciones de desigualdad
En la práctica es más probable que el problema de optimización tenga tanto
restricciones de igualdad como las de desigualdad. El objetivo es de minimiza la función
de costes
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) (3.58)
Está sujeta a la siguiente restricción de igualdad
𝑔𝑖(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 (3.59)
Y la siguiente restricción desigualdad
𝑢𝑗(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≤ 0 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 (3.60)
Si incluimos la restricción de desigualdad el vector µ, de una indeterminada cantidad, en la
ecuación de Lagrange mencionada anteriormente obtendremos
ℒ = 𝑓 +∑λ𝑖
𝑘
𝑖=1
g𝑖 +∑μ𝑗
𝑚
𝑖=1
u𝑗 (3.61)
ℒ = 𝑓 +∑λ𝑖
𝑘
𝑖=1
g𝑖 +∑μ𝑗
𝑚
𝑖=1
u𝑗 (7.16)
Las condiciones necesarias deducidas para el restringido mínimo relativo ℒ son tal
como sigue:
𝜕ℒ
𝜕𝑥𝑖= 0 𝑖 = 1,… , 𝑛 (3.62)
𝜕ℒ
𝜕λ𝑖= 𝑔𝑖 = 0 𝑖 = 1,… , 𝑘 (3.63)
𝜕ℒ
𝜕𝜇𝑗= 𝑢𝑗 ≤ 0 𝑗 = 1,… ,𝑚 (3.64)
𝜇𝑗𝑢𝑗 = 0 & 𝜇𝑗 > 0 𝑗 = 1,… ,𝑚 (3.65)
La ecuación (3.16) es ecuación de restricción de igualdad. Suponiendo que (𝑥1,
𝑥2 ,…𝑥𝑛) es el mínimo relativo. La restricción de desigualdad (7.17) se dice inactiva si la
desigualdad estricta se mantiene en (𝑥1, 𝑥2 ,…𝑥𝑛) y 𝜇𝑖 = 0. Por otro lado, cuando si la
23
igualdad estricta se mantiene, la restricción se dice activa en ese punto. Es lo que se
conoce como la condición necesaria de Kuhn-Tucker.
3.2.3 Característica consumo-generación de un grupo de generación
3.2.3.1 Característica de una central térmica
La unidad de una función de consumo de combustible del generador es MBtu/h. El
coste de combustible multiplicado por Btu/h indicaría el precio en €/h consumido por el
generador. La potencia neta entregada, designada por PG, se expresa en Megavatios.
A dichos costes habrá que añadir mano de obra, mantenimiento de forma que el
coste de generación de un grupo Ci se representa generalmente mediante una curva
cuadrática que incluye un coste fijo, y un coste variable que depende de potencia activa
trifásica entregada por el generador:
𝐶𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑃𝑖 + 𝛾𝑖𝑃𝑖2 (3.66)
Donde 𝛽 y 𝛾𝑖 son coeficientes de la ecuación característica, 𝛼 es la constante equivalente
al consumo de combustible del grupo generador sin la potencia entregada. Se puede
observar desde la ecuación característica que la potencia entregada viene limitada por la
capacidad mínima y máxima de grupo generador,
Figura 3.1 Característica Generación-Consumo
𝑃𝐺𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐺 ≤ 𝑃𝐺𝑚𝑎𝑥 (3.67)
La potencia mínima entregada por las características técnicas u otros parámetros
como la turbina. En general, la carga mínima con la cual la central es operativa viene
condicionada por el generador de vapor y el ciclo de regeneración.
3.2.3.2 Calculo de los parámetros de la Ecuación característica
Los parámetros de la ecuación de generación del grupo generador se pueden
determinar haciendo las siguientes aproximaciones basadas en:
- La experimentos de rendimiento del grupo generador
24
- Registro histórico de operación del grupo generador
- Datos de diseño del grupo generador suministrados por el cliente
Hoy en día, se pueden obtener fácilmente datos estadísticos del combustible y
potencia entregada. Mediante el análisis y cálculo de dichos datos, podremos determinar
la ecuación característica y sus parámetros correspondientes. Por ejemplo, si la curva
cuadrática es que mejor se acerca según los datos estadísticos, podemos utilizar e método
de mínimos cuadrados para el cálculo de los parámetros. El proceso de cálculo sería lo
siguiente:
Asumiendo que 𝐶𝑖 y 𝑃𝑖 son los datos estadísticos obtenidos, donde 𝑖 = 1,2, …𝑛 y
que la curva de combustible es una función cuadrática. Para determinar los coeficientes 𝛽,
𝛾 y 𝛼, calculamos el error para cada par 𝐶𝑖 y 𝑃𝑖:
∆𝐹𝑖 = (𝑎𝑃𝑖2 + 𝑏𝑃𝑖 + 𝑐) − 𝐹𝑖 (3.68)
Siguiendo el principio del mínimo cuadrado, obtenemos la siguiente función objetivo,
𝐽 = (∆𝐹𝑖)2 =∑(𝑎𝑃𝑖
2 + 𝑏𝑃𝑖 + 𝑐−𝐹𝑖)2
𝑛
𝑖=1
(3.69)
Para minimizarla, obtendremos la condición necesaria para un valor extremo de la
función objetivo cuando calculamos la primera derivada de la ecuación 3.22 respecto a
cada una de la variables independientes 𝛽, 𝛾 y 𝛼 igualándola a cero:
𝜕𝐽
𝜕𝑎=∑2𝑃𝑖
2(𝑎𝑃𝑖2 + 𝑏𝑃𝑖 + 𝑐 − 𝐹𝑖) = 0
𝑛
𝑖=1
(3.70)
𝜕𝐽
𝜕𝑏=∑2𝑃𝑖(𝑎𝑃𝑖
2 + 𝑏𝑃𝑖 + 𝑐 − 𝐹𝑖) = 0
𝑛
𝑖=1
(3.71)
𝜕𝐽
𝜕𝑐=∑2(𝑎𝑃𝑖
2 + 𝑏𝑃𝑖 + 𝑐 − 𝐹𝑖) = 0
𝑛
𝑖=1
(3.72)
A partir de la ecuación (3.23)-(3.25), deducimos
(∑𝑃𝑖2
𝑛
𝑖=1
)𝑎 + (∑𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1
)𝑏 + 𝑛𝑐 =∑𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
(3.73)
(∑𝑃𝑖
3
𝑛
𝑖=1
)𝑎 + (∑𝑃𝑖2
𝑛
𝑖=1
)𝑏 + (∑𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1
)𝑐 =∑(𝐹𝑖𝑃𝑖)
𝑛
𝑖=1
(3.74)
(∑𝑃𝑖4
𝑛
𝑖=1
)𝑎 + (∑𝑃𝑖3
𝑛
𝑖=1
)𝑏 + (∑𝑃𝑖2
𝑛
𝑖=1
)𝑐 =∑(𝐹𝑖𝑃𝑖2)
𝑛
𝑖=1
(3.75)
Podemos obtener los coeficiente 𝛽, 𝛾 y 𝛼 resolviendo las ecuaciones (3.26)-(3.28)
25
3.2.4 Despacho económico sin perdidas
3.2.4.1 Sin restricciones de potencia entregada
Dado que 𝐹1 (𝑃𝐺1), 𝐹2 (𝑃𝐺2),…, 𝐹𝑛 (𝑃𝐺𝑛), es la ecuación característica de N grupos
generadores, el total de la carga demandada es 𝑃𝐷. Se trata de minimizar el total del
consumo de combustible F sujeta a la restricción que es la suma de la potencia generada
y que tiene que ser igual a la potencia consumida.
𝑚𝑖𝑛𝐹 = 𝐹1(𝑃𝐺1) + 𝐹2(𝑃𝐺2) +⋯+ 𝐹𝑛(𝑃𝐺𝑛) =∑𝐹𝑖
𝑁
𝑖=1
(𝑃𝐺𝑖) (3.76)
∑𝑃𝐺𝑖 = 𝑃𝐷
𝑁
𝑖=1
(3.77)
Esta es una optimización del problema de restricción, y podemos resolverla
utilizando el método de 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 multiplier method. Primero formamos la función de
𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 añadiendo la función de restricción a la función objetivo después de multiplicar
la primera por 𝜆, el multiplicador de 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒
𝐿 = 𝐹 + 𝜆(𝑃𝐷 −∑𝑃𝐺𝑖
𝑁
𝑖=1
) (3.78)
La condición necesaria para el valor extremo de la función de 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 define la primera
derivada igual a cero, respecto a cada una de las variables independientes.
𝜕𝐿
𝜕𝑃𝐺𝑖=𝜕𝐹
𝜕𝑃𝐺𝑖− 𝜆 = 0 𝑖 = 1,2, … ,𝑁 (3.79)
𝜕𝐹
𝜕𝑃𝐺𝑖= 𝜆 𝑖 = 1,2, … ,𝑁 (3.80)
Sabiendo que la función de consumo de combustible de grupo generador va
únicamente relacionada a su propia potencia entregada, podemos rescribir la ecuación
(3.33) de la siguiente forma:
𝜕𝐹𝑖𝜕𝑃𝐺𝑖
= 𝜆 𝑖 = 1,2, … ,𝑁 (3.81)
𝜕𝐹1𝜕𝑃𝐺1
=𝜕𝐹2𝜕𝑃𝐺2
= ⋯ =𝜕𝐹𝑁𝜕𝑃𝐺𝑁
= 𝜆 (3.82)
Donde 𝜆 es el coste incremental de producción o generación.
La condición para el despacho económico óptimo es
𝑑𝐶𝑖𝑑𝑃𝑖
= 𝜆 𝑖 = 1,… , 𝑛𝑔 (3.83)
𝛽𝑖 + 2𝛾𝑖𝑃𝑖 = 𝜆 (3.84)
26
La ecuación (3.30) es precisamente la restricción de igualdad que he hemos
impuesto. Resumiendo, cuando no se tienen en cuenta las perdidas y se considera que
hay límite de generación, todas las centrales deben operar con en el mismo coste
incremental de producción satisfaciendo la restricción de igualdad dada en ecuación (3.30).
Operando en la ecuación (3.37)
𝑃𝑖 =𝜆 − 𝛽𝑖2𝛾𝑖
(3.85)
∑𝜆−𝛽𝑖2𝛾𝑖
= 𝑃𝐷
𝑛𝑔
𝑖=1
(3.86)
𝜆 =𝑃𝐷 + ∑
𝛽𝑖2𝛾𝑖
𝑛𝑔𝑖=1
∑12𝛾𝑖
𝑛𝑔𝑖=1
(3.87)
Una vez obtenido el valor de 𝜆 se sustituye en la ecuación 3.38 para obtener el óptimo valor
de generación programada.
3.2.4.2 Con restricción de potencia entregada
En el caso anterior no se hemos tenido en cuenta las dos desigualdades donde la
potencia entregada de cada unidad tiene que ser mayor o igual a la mínima potencia
permitida y también tiene que ser menor o igual a la máxima potencia permitida en dicha
unidad.
Teniendo en cuenta las restricciones de desigualdad, podemos escribir la función
de coste de la siguiente forma:
𝑚𝑖𝑛𝐹 = 𝐹1(𝑃𝐺1) + 𝐹2(𝑃𝐺2) +⋯+ 𝐹𝑛(𝑃𝐺𝑛) =∑𝐹𝑖
𝑁
𝑖=1
(𝑃𝐺𝑖) (3.88)
De manera que
∑𝑃𝐺𝑖 = 𝑃𝐷
𝑁
𝑖=1
(3.89)
𝑃𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐺𝑖 ≤ 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 (3.90)
A las ecuaciones (3.41) y (3.43) le podemos aplicar el siguiente proceso de cálculo:
Despreciar la ecuación de desigualdad 3.43
Comprobar los límites de potencia entregada en cada unidad según la ecuación
(3.43). Si la potencia entregada supera los límites, hacemos que esta sea igual a su
correspondiente limite, de manera que
27
𝑑𝐶𝑖𝑑𝑃𝑖
= 𝜆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐺𝑖 ≤ 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥
(3.91)
𝑑𝐶𝑖𝑑𝑃𝑖
≤ 𝜆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃𝐺𝑖 = 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥
(3.92)
𝑑𝐶𝑖𝑑𝑃𝑖
≥ 𝜆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃𝐺𝑖 = 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 (3.93)
La unidad generadora que supera los límites se indica con signo negativo, solo las
unidades dentro de los límites de generación pueden operar bajo el mismo el coste
incremental.
𝑃𝐷𝑘 = −𝑃𝐺𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑘(𝑘 = 1,…𝑛𝑘)
Reagrupamos la ecuación de balance de potencia:
∑ 𝑃𝐺𝑖
𝑁
𝑖=1𝑖∈𝑛𝑘
= 𝑃𝐷 +∑𝑃𝐷𝑘
𝑛𝑘
𝑘=1
(3.94)
O bien,
∑ 𝑃𝐺𝑖
𝑁
𝑖=1𝑖∈𝑛𝑘
= 𝑃𝐷 −∑𝑃𝐺𝑘
𝑛𝑘
𝑘=1
(3.95)
Repetimos el proceso hasta que se cumplan todas las desigualdades.
3.2.5 Despacho económico con perdidas
Cuando las distancias de transmisión son muy pequeñas y las densidades de
cargas son considerablemente alta, se pueden despreciar las pérdidas de transmisión y el
despacho económico se puede cumplir con todas las unidades generadores operando con
el mismo coste incremental de generación. Sin embargo, a gran escala, en un sistema
interconectado donde la potencia tiene que recorrer largas distancias con áreas de carga
de baja densidad, las pérdidas son un factor importante y afectan al óptimo despacho de
generación. Una práctica común que se utiliza para incluir las pérdidas de transmisión es
expresar el total de dichas perdidas en forma de función cuadrática de las potencias
entregadas por el generador.
La forma cuadrática más simple:
𝑃𝐿 =∑∑𝑃𝑖
𝑛𝑔
𝑗=1
𝐵𝑖𝑗𝑃𝑗
𝑛𝑔
𝑖=1
(3.96)
28
Si queremos hacerla más general añadiendo un término lineal y una constante:
𝑃𝐿 =∑∑𝑃𝑖
𝑛𝑔
𝑗=1
𝐵𝑖𝑗𝑃𝑗
𝑛𝑔
𝑖=1
+∑𝑃𝑖
𝑛𝑔
𝑗=1
𝐵0𝑖 +𝐵00
(3.97)
Coeficientes 𝐵𝑖𝑗 son los coeficientes de pérdidas.
El despacho económico consiste en minimizar los costes de generación 𝐶𝑖, que es
la función de la potencia entregada por la unidad generadora
𝐶𝑡 =∑𝐶𝑖
𝑛𝑔
𝑖=1
=∑𝛼𝑖 + 𝛽𝑖𝑃𝐺𝑖 + 𝛾𝑖𝑃𝐺𝑖2
𝑛
𝑖=1
(3.98)
Esta función queda sujeta a la restricción de generación que tiene que ser igual al
de la potencia demanda más las pérdidas lo que se puede expresar de la siguiente forma,
∑𝑃𝐺𝑖
𝑛𝑔
𝑖=1
= 𝑃𝐷 + 𝑃𝐿 (3.99)
Teniendo en cuenta que tiene que cumplir la restricciones de desigualdad
𝑃𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐺𝑖 ≤ 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 𝑖 = 1,… , 𝑛𝑔 (3.100)
Donde 𝑃𝑚𝑖𝑛 y 𝑃𝑚𝑎𝑥 son, respectivamente, el límite mínimo y máximo de generación.
Utilizando el multiplicador de 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 y añadiendo términos adicionales para incluirlos en
las restricciones de desigualdad, se obtiene
ℒ = 𝐶𝑡 + 𝜆(𝑃𝐷 + 𝑃𝐿 −∑𝑃𝑖
𝑛𝑔
𝑖=1
)+∑μ𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥
𝑛𝑔
𝑖=1
(𝑃𝐺𝑖 − 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥) +∑μ𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛
𝑛𝑔
𝑖=1
(𝑃𝐺𝑖
− 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛)
(3.101)
Con la restricción implementada quiere decir que 𝜇𝐺𝑖(max) = 0 cuando 𝑃𝑖 <
𝑃𝐺𝑖(max)and that 𝜇𝐺𝑖(min) = 0 cuando 𝑃𝑖 > 𝑃𝐺𝑖(min). La restricción se considera activa en la
función solamente cuando se sobrepasan los límites. El mínimo de la función no restringida
se encuentra en el punto donde las derivadas parciales de la función es cero.
𝑑ℒ
𝑑𝑃𝐺𝑖= 0 (3.102)
𝑑ℒ
𝑑𝜆 = 0 (3.103)
𝑑ℒ
μ𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝐺𝑖 − 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑎𝑥 = 0 (3.104)
𝑑ℒ
μ𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝐺𝑖 − 𝑃𝐺𝑖𝑚𝑖𝑛 = 0 (3.105)
29
Las ecuaciones (3.55) y (3.56) indica que Pi no puede tiene un valor superior a sus
límites, y cuando Pi se encuentra dentro de sus límites 𝜇𝐺𝑖(min) = 𝜇𝐺𝑖(min) = 0 y la función
pasa a ser la misma que la de 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒.
La primera condición dada por (3.55)
𝜕𝐶𝑡𝜕𝑃𝐺𝑖
+ 𝜆 (0 +𝜕𝑃𝐿𝜕𝑃𝐺𝑖
− 1) = 0
Sabiendo que
𝐶𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2 +⋯+ 𝐶𝑛𝑔
Entonces
𝜕𝐶𝑡𝜕𝑃𝐺𝑖
=𝜕𝐶𝑖𝜕𝑃𝐺𝑖
Luego la condición para despacho optimo es
𝜕𝐶𝑡𝜕𝑃𝐺𝑖
+ 𝜆𝜕𝐶𝑖𝜕𝑃𝐺𝑖
= 𝜆 𝑖 = 1,… , 𝑛𝑔 (3.106)
La segunda condición dada por la ec. (3.56), pasa a ser
∑𝑃𝐺𝑖
𝑛𝑔
𝑖=1
= 𝑃𝐷 + 𝑃𝐿 (3.107)
La ecuación (3.60) es precisamente la restricción de igualdad impuesto.
Reajustando la ecuación (3.59) obtenemos
(1
1 −𝜕𝑃𝐿𝜕𝑃𝐺𝑖
)𝜕𝐶𝑖𝜕𝑃𝐺𝑖
= 𝜆 𝑖 = 1,… , 𝑛𝑔 (3.108)
𝐿𝑖𝜕𝐶𝑖𝜕𝑃𝐺𝑖
= 𝜆 𝑖 = 1,… , 𝑛𝑔 (3.109)
Donde 𝐿𝑖es el factor de penalidad de la unidad generadora 𝑖 y es igual a
𝐿𝑖 =
1
1 −𝜕𝑃𝐿𝜕𝑃𝐺𝑖
(3.110)
Por tanto, el efecto de las pérdidas de transmisión hace que se introduzca el factor
de penalidad con un valor que depende principalmente de la ubicación de la unidad
generadora. La ecuación (3.62) indica que el coste mínimo se obtiene cuando el coste
incremental de cada unidad generadora multiplicado por el factor de penalidad es el mismo
para todas unidades generadoras.
El coste incremental viene dado por la ecuación (3.61), y las pérdidas
incrementales de transmisión se obtienen de la siguiente formula de perdidas,
30
𝛽𝑖 + 2𝛾𝑖𝑃𝑖 + 2𝜆∑𝐵𝑖𝑗𝑃𝑗
𝑛𝑔
𝑗=1
+ 𝐵0𝑖𝜆 = 𝜆 (3.111)
Reagrupando,
(𝛾𝑖𝜆+ 𝐵𝑖𝑖)𝑃𝑖 +∑𝐵𝑖𝑗𝑃𝑗
𝑛𝑔
𝑗=1𝑗≠𝑖
=1
2(1 − 𝐵0𝑖 −
𝛽𝑖𝜆) (3.112)
Si queremos extender la ecuación (3.65) y aplicarla a todas la unidades
generadores, pasaría a ser expresada como ecuación lineal en forma de matriz
[ 𝛾𝑖𝜆+ 𝐵𝑖𝑖 𝐵12 ⋯ 𝐵1𝑛𝑔
𝐵21𝛾2𝜆+ 𝐵22 ⋯ 𝐵2𝑛𝑔
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝐵𝑛𝑔1 𝐵𝑛𝑔2 ⋯𝛾𝑛𝑔
𝜆+ 𝐵𝑛𝑔𝑛𝑔]
[
𝑃1𝑃2⋮𝑃𝑛𝑔
] =1
2
[ 1 − 𝐵01 −
𝛽1𝜆
1 − 𝐵02 −𝛽2𝜆
⋮
1 − 𝐵0𝑛𝑔 −𝛽𝑛𝑔
𝜆 ]
(3.113)
Escribiendo la ecuación en formato reducido
𝑬𝑷 = 𝑫 (3.114)
31
4 Herramientas para el cálculo del flujo óptimo de
potencias
4.1 Introducción
Hoy en día, dada la precisión y rapidez necesarias para predefinir las cargas y
generaciones en la red, existe una variedad de programas informáticos destinados a hacer
un análisis completos y exhaustivos de los flujos de cargas, así que calcular los valores
óptimos siguiendo los criterios particulares de cada sistema eléctrico.
Unos de los programas que más se utiliza en este ámbito es el Matpower. En este trabajo
se utilizará Matpower tanto para el cálculo del despacho económico como para el flujo de
carga óptimo.
Combinando potencia y eficiencia, Matpower es una herramienta computacional de
MATLAB M-File ampliamente utilizada para resolver los flujos de cargas simples y óptimas
de un sistema eléctrico. Su diseño fácil como herramienta de simulación enfocada a la
investigación y educación hace que su utilización sea aún más fácil de entender, dicho
diseño garantiza los mejores resultados posibles manteniendo el código de comandos y de
programación fácil de entender y modificar.
4.2 Modelado
Matpower emplea los modelos estándares en régimen estable típicamente
utilizados en el análisis del flujo de cargas. Todos los valores son expresados en valor por
unidad y los ángulos complejos son expresados en radianes. El programa no tiene en
cuenta los generadores y líneas desconectadas de la red antes de constituir el modelo del
caso de estudio. Las barras son numeradas consecutivamente, empezando por 1, y los
generadores van ordenado por el número de barras.
4.2.1 Formato de datos
Los datos de entrada tienen que ser en formato matricial dado que Matlab es un
programa con estructura vectorial y matricial. Solo el valor de la potencia base es un
escalar, las barras, líneas, generación y coste de generación se introducen en formato
matricial. En las matrices cada fila corresponde a una barra, línea, o generador particular.
El número de filas en “𝑏𝑢𝑠”, “𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐ℎ” y “𝑔𝑒𝑛” son 𝑛𝑏 , 𝑛𝑙 y 𝑛𝑔, respectivamente. Si existe, el
“gencost” tendrá 𝑛𝑔 o 2𝑛𝑔 filas, dependiendo si incluye el coste de la potencia reactiva o
solamente la potencia activa.
4.2.2 Líneas
Todas las líneas de transporte eléctrico, transformadores y cambiadores de fases
van modelado con una línea en común que consiste en el modelo en π de la línea eléctrica,
32
con impedancia en serie 𝑍𝑠 = 𝑟𝑠 + 𝑗𝑥𝑠. Y el total de la susceptancia 𝑏𝑐 en serie con el
modelo ideal del transformador cambiador de fase. En Figura 4.1 viene representado el
modelo con los parámetros que la componen, el transformador tiene una relación de
transformación τ y ángulo 𝜃𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡 .
Las corrientes 𝑖𝑓 y 𝑖𝑡 indican la corriente que entra y sale en cada línea,
respectivamente, pueden ser representadas en una matriz de admitancia de línea 𝑌𝑏𝑟 con
sus tensiones correspondiente 𝑣𝑓 y 𝑣𝑡 .
[ 𝑖𝑓𝑖𝑡] = 𝑌𝑏𝑟 [
𝑣𝑓 𝑣𝑡 .] (4.115)
Con los elementos de admitancia en serie en el modelo π denominado con 𝑦𝑠 = 1/𝑧𝑠, la
matriz de admitancia de línea puede escribirse como,
𝑌𝑏𝑟 = [(𝑦𝑠 + 𝑗
𝑏𝑐2)1
𝜏2−𝑦𝑠
1
𝜏𝑒−𝑗𝜃𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡
−𝑦𝑠1
𝜏𝑒𝑗𝜃𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡𝑦𝑠 + 𝑗
𝑏𝑐2
] (4.116)
Figura 4.1 Modelo de rama
4.2.3 Generadores
Un generador se modela como potencia generada compleja en una barra
específica, para un generador 𝑖 la potencia generada se escribe de la siguiente forma,
𝑆𝑔𝑖 = 𝑝𝑔
𝑖 + 𝑗𝑞𝑔𝑖 (4.117)
Las unidades MW y MVAR se expresarán en 𝑝. 𝑢.
4.2.4 Cargas
Las potencias activas y reactivas con un valor fijo se modelan como potencia
especifica consumida en una barra. Para una barra 𝑖, la carga es
𝑆𝑑𝑖 = 𝑝𝑑
𝑖 + 𝑗𝑞𝑑𝑖 (4.118)
33
La impedancia y la corriente de las cargas constantes no implementan de forma
directa, no obstante las impedancias en paralelo se pueden modelar como un elemento en
paralelo.
4.2.5 Elementos en paralelo
Los elementos conectados en paralelo con la línea como capacitancia y la
inductancia se modelan como impedancia fijada a tierra en una barra concreta. En una
barra 𝑖 la admitancia es
𝑦𝑠ℎ𝑖 = 𝑔𝑠ℎ
𝑖 + 𝑗𝑏𝑠ℎ𝑖 (4.119)
4.2.6 Ecuaciones de la red
Para una red con 𝑛𝑏 barras, todos los elementos constantes de la impedancia del
modelo convertido en forma de matriz compleja 𝑛𝑏 𝑥 𝑛𝑏 denominada matriz de admitancia
𝑌𝑏𝑢𝑠 que relaciona el nodo de corrientes 𝐼𝑏𝑢𝑠 con el nodo de tensiones 𝑉:
𝑌𝑏𝑢𝑠 =𝐼𝑏𝑢𝑠𝑉 (4.120)
De forma similar, para una red con 𝑛𝑙 líneas, la matriz de admitancia del sistema de
líneas 𝑛𝑙 𝑥 𝑛𝑏 𝑌𝑓 y 𝑌𝑡 relaciona las tensiones en las barras con los vectores 𝑛𝑙 𝑥 1 de las
corrientes 𝐼𝑓 y 𝐼𝑡 en el inicio y final de cada línea:
𝐼𝑓 = 𝑌𝑓𝑉
𝐼𝑡 = 𝑌𝑡𝑉
4.3 Flujo de cargas óptimo
Matpower incluye el código para resolver los problemas del flujo de cargas. La
versión estándar sigue la siguiente forma
min𝑥𝑓(𝑥) (4.121)
Que a su vez queda sujeta a las siguientes restricciones
𝑔(𝑥) = 0 (4.122)
ℎ(𝑥) = 0 (4.123) 𝑥𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑚𝑎𝑥 (4.124)
El vector de optimización, x, de un problema de flujo de cargas óptimo se compone
de un número de vectores de tensión 𝑛𝑏𝑥 1con ángulos ⊝ y magnitudes 𝑉𝑚 así como los
vectores 𝑛𝑔 𝑥 1 de la potencia activa y reactiva de los generadores.
34
𝑥 =
[
⊝𝑉𝑚𝑃𝑔𝑄𝑔
]
(4.125)
La función objetivo 4.7 es la suma de las funciones polinómicas de costes 𝑓𝑃𝑖 y 𝑓𝑄
𝑖 de la
potencia activa y reactiva generadas, respectivamente, para cada generador
min⊝,𝑉𝑚,𝑃𝑔 ,𝑄𝑔
∑𝑓𝑃𝑖 (𝑝𝑔
𝑖 ) +
𝑛𝑔
𝑖=1
𝑓𝑄𝑖 (𝑞𝑔
𝑖 ) (4.126)
min⊝,𝑉𝑚,𝑃𝑔 ,𝑄𝑔
∑𝑓𝑃𝑖 (𝑝𝑔
𝑖 ) +
𝑛𝑔
𝑖=1
𝑓𝑄𝑖 (𝑞𝑔
𝑖 )
Las restricciones de igualdad en (4.8) son las dos ecuaciones no lineales
𝑔𝑃 (⊝,𝑉𝑚 , 𝑃𝑔 ) = 𝑃𝑏𝑢𝑠 (⊝,𝑉𝑚) + 𝑃𝑑 − 𝐶𝑔𝑃𝑔 = 0 (4.127)
𝑔𝑞 (⊝, 𝑉𝑚 , 𝑄𝑔 ) = 𝑄𝑏𝑢𝑠 (⊝, 𝑉𝑚) + 𝑄𝑑 − 𝐶𝑔𝑄𝑔 = 0 (4.128)
Mientras que las restricciones de desigualdad en (4.9) son 2 conjuntos de límites del flujo
en la línea como funciones no lineales del ángulo de tensión y sus valores en la barra, que
corresponde al inicio y final de la línea, respectivamente.
En general, los flujos se expresan en potencia aparente en MVA, pero puede ser
expresado en flujos de potencia activa o corriente, dando lugar a las siguientes posibles
formas de restricciones de flujo:
𝐹𝑓 (⊝, 𝑉𝑚) = {
𝑆𝑓(⊝,𝑉𝑚), 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑃𝑓(⊝,𝑉𝑚), 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐼𝑓(⊝, 𝑉𝑚), 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
(4.129)
El límite de variación (4.10) incluye la restricción de igualdad, ángulo de barra y los
límites de superior e inferior de los valores de tensión en todas las barras junto con la
potencia activa y reactiva generadas:
𝜃𝑖𝑟𝑒𝑓 ≤ 𝜃𝑖 ≤ 𝜃𝑖
𝑟𝑒𝑓 𝑖 ∈ 𝑇𝑟𝑒𝑓 (4.130)
𝑣𝑚𝑖,𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑣𝑚
𝑖 ≤ 𝑣𝑚𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑖 = 1… 𝑛𝑏 (4.131)
𝑝𝑔𝑖,𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑝𝑔
𝑖 ≤ 𝑝𝑔𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑖 = 1…𝑛𝑔 (4.132)
𝑞𝑔𝑖,𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑞𝑔
𝑖 ≤ 𝑞𝑔𝑖,𝑚𝑎𝑥 𝑖 = 1…𝑛𝑔 (4.133)
El ángulo de referencia 𝜃𝑖𝑟𝑒𝑓
y los límites de tensión 𝑣𝑚𝑖,𝑚𝑎𝑥 y 𝑣𝑚
𝑖,𝑚𝑖𝑛 son especificados
en las columnas VA (9), VMAX (12) y VMIN (13), respectivamente, de la fila 𝑖 de la matriz
de barra. De forma similar, los límites del generador 𝑞𝑔𝑖,𝑚𝑎𝑥,𝑞𝑔
𝑖,𝑚𝑖𝑛,𝑝𝑔𝑖,𝑚𝑎𝑥 y 𝑝𝑔
𝑖,𝑚𝑖𝑛 vienen en
35
las columnas QMAX (4),QMIN (5), PMAX (9) y PMIN(10), respectivamente, de la fila 𝑖 de
la matriz de generación.
4.3.1 Formulación del flujo de cargas extendido
Matpower utiliza una estructura de flujo óptimo de potencia extensible para permitir
que el usuario pueda modificar o aumentar la formulación del problema sin tener que
reescribir las partes compartidas con la formulación del flujo óptimo de potencia estándar.
Dicha opción permite introducir varios parámetros de entrada manteniendo la posibilidad
de utilizar los solucionadores pre-compilados. La formulación estándar se modifica
introduciendo opcionalmente el coste 𝑓𝑢 definido por el usuario, restricciones, y variables 𝑧
y se puede escribir de la siguiente forma:
min𝑥,𝑧
𝑓(𝑥) + 𝑓𝑢 (𝑥, 𝑧) (4.134)
Queda sujeta a las siguientes restricciones
𝑔(𝑥) = 0 (4.135)
ℎ(𝑥) ≤ 0 (4.136) 𝑥𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑚𝑎𝑥 (4.137)
𝑙 ≤ 𝐴 [𝑥𝑧] ≤ 𝑢 (4.138)
𝑧𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑚𝑎𝑥 (4.139)
A continuación el mecanismo con el cual se puede extender dicha formulación.
4.3.1.1 Costes definidos por el usuario
La función del coste definido por el usuario 𝑓𝑢 se escribe en función de parámetros
𝐻, 𝐶,𝑁, 𝑟, 𝑘, 𝑑 𝑦 𝑚. Todos los parámetros son vectores 𝑛𝑤 𝑥 1 excepto la matriz simétrica
𝐻 𝑛𝑤 𝑥 𝑛𝑤 y la matriz N 𝑛𝑤 𝑥 (𝑛𝑥 + 𝑛𝑧 ). El coste se puede escribe de la siguiente forma
𝑓𝑢 (x, z) =1
2𝑤𝑇𝐻𝑤 + 𝐶𝑇𝑤 (4.140)
Donde 𝑤 se define en varias etapas como sigue. Primero, creamos un nuevo vector
𝑢 aplicando una transformación lineal 𝑁 y llevando 𝑟 al conjunto de variables de
optimización
𝑟 = 𝑁 [ 𝑥 𝑧 ] (4.141)
𝑢 = 𝑟 − �̂�
36
Además de una función escalada que se aplica a cada elemento de 𝑢 para obtener los
distintos elementos de 𝑤.
𝑤𝑖 = {
𝑚𝑖𝑓𝑑𝑖(𝑢𝑖 + 𝑘𝑖), 𝑢𝑖 < −𝑘𝑖 0, − 𝑘𝑖 ≤ 𝑢𝑖 ≤ 𝑘𝑖𝑚𝑖𝑓𝑑𝑖(𝑢𝑖 − 𝑘𝑖), 𝑢𝑖 > −𝑘𝑖
, (4.142)
𝑓𝑑𝑖(𝛼) = {𝛼, 𝑠𝑖 𝑑𝑖 = 1
𝛼2, 𝑠𝑖 𝑑𝑖 = 1 (4.143)
Matpower implementa la opción lineal y cuadrática, esta forma de 𝑓𝑢 da una cierta
flexibilidad para cubrir un amplio rango de coste, de una función lineal simple de variables
de optimización a penalizaciones escaladas cuadráticas sobre las cantidades, como
pueden ser tensiones fuera de los límites deseados.
Figura 4.2 𝜔𝑖 en función 𝑟𝑖 for 𝑑𝑖 = 1 (opción lineal)
37
Figura 4.3 𝜔𝑖 en función 𝑟𝑖 for 𝑑𝑖 = 2 (opción cuadrática)
4.3.1.2 Restricciones definidas por el usuario
En general, las restricciones definidas por el usuario (4.24) son restricciones
lineales que implican todas la variables de optimización y que se especifican mediante la
matriz A y los vectores de los limites superiores inferiores 𝑙 y 𝑢. Estos parámetros se
pueden utilizar para crear restricciones de igualdad (𝑙𝑖 = 𝑢𝑖) o restricciones de desigualdad
delimitados 𝑢𝑖 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 en la parte superior, por 𝑙𝑖 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 en la parte inferior o por los
dos lados.
4.3.1.3 Variable definidos por el usuario
La creación de variables adicionales z por el usuario se hace implícitamente
basándose en la diferencia entre el número de columnas en A y la dimensión de 𝑥. Los
vectores añadidos 𝑧𝑚𝑖𝑛 y 𝑧𝑚𝑎𝑥 pueden imponer los límites inferiores y superiores de 𝑧,
respectivamente.
4.3.2 Extensiones estándares
Además de hacer esta estructura de flujo óptimo de potencia extensible para el
usuario final, Matpower hace uso, internamente, de dicha estructura para implementar
capacidades adicionales.
4.3.2.1 Costes lineales definidos por partes
La formulación estándar del flujo óptimo de potencia en (4.7) — (4.10) no permite
solucionar funciones de coste lineal por partes que normalmente surgen de subastas
discretas y ofertas de compra en el mercado eléctrico.
38
Cuando las funciones de estas características son convexas, sin embargo, pueden
ser modelados utilizando el método de la variable de coste restringido. La función de coste
lineal definido por partes 𝑐(𝑥) se remplaza por una variable temporal 𝑦 y el conjunto de las
restricciones lineales que forman una cuenca convexa haciendo que la variable de coste
𝑦 se situé en el apígrafo de la función 𝑐(𝑥) (es el conjunto de puntos situados en o sobre
esta), en la figura 6—3 viene representado un n-segmento de dicha función.
𝑐(𝑥) =
{
𝑚1
(𝑥 − 𝑥1) + 𝑐1, 𝑥 ≤ 𝑥1𝑚2(𝑥 − 𝑥2) + 𝑐2, 𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2
⋮ ⋮
𝑚𝑛(𝑥 − 𝑥𝑛) + 𝑐𝑛, 𝑥𝑛−1 < 𝑥
(6.32 (4.144)
Definida por la secuencia de puntos (𝑥𝑗, 𝑐𝑗), 𝑗 = 0…𝑛, donde 𝑚𝑗 indica la pendiente del
segmento 𝑗 − 𝑡ℎ
𝑚𝑗 =𝑐𝑖 − 𝑐𝑗−1
𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1 𝑗 = 1…𝑛 (4.145)
Figura 4.4 Coste variable restringido
Así como 𝑥0< 𝑥1 <…<𝑥𝑛 y m1𝑚1 ≤ 𝑚2 ≤…< 𝑚𝑛.
La forma convexa de la figura que corresponde a esta función de coste está formada
por 𝑛 las restricciones sobre la variable temporal de coste 𝑦:
𝑦 ≥ 𝑚𝑗(𝑥 − 𝑥𝑗) + 𝑐𝑗 𝑗 = 1…𝑛. (4.146)
El termino de coste añadido a la función objetivo en lugar de 𝑐(𝑥) es simplemente
la variable temporal 𝑦.
39
4.3.2.2 Cargas despachables o generadas
Una simple aproximación a las cargas despachables o sensibles al precio es de
modelarlas como potencia activa generada con un coste negativo asociado. Esto se puede
hacer asignando un generador con potencia generada negativa, que oscila entre mínimo
negativo igual a la carga más grande posible y un máximo de cero generación.
A título de ejemplo ilustrativo de carga sensible al precio podemos considerar una
carga con función de beneficio marginal representada en la figura 4-5. La potencia
𝑝𝑑 demandada por esta carga es cero para precios mayores que λ1, 𝑝1 para precios entre λ1
y λ2 y 𝑝1 + 𝑝2 para precios menores que λ2.
Figura 4.5 Beneficio marginal
En la figura 4-6 se puede apreciar el generador negativo con la curva de coste lineal
definido por partes, esta aproximación asume que os bloques de la potencia demandada
puede estar parcialmente generada o “dividida”.
En un modelo de red de corriente alterna, existe también la cuestión de la potencia
reactiva generada para cada carga. Normalmente, la potencia reactiva de un generador
puede tomar cualquier valor encontrado dentro de los límites. Dado que no es el
comportamiento normal de la carga, el modelo utilizado en Matpower supone que las
cargas generadas mantienen un factor de potencia constante. Al calcular un flujo óptimo
de potencia en corriente alterna, Matpower genera de forma automática una restricción
adicional de igualdad para reforzar un factor de potencia constante para cualquier”
generador negativo” utilizado para modelar cargas generadas.
40
Figura 4.6 Función del coste total para potencia generada negativa
4.3.2.3 Curvas de capacidad del generador
La formulación del flujo óptimo de potencia incluye las restricciones en las potencias
activas y reactivas del generador, definidas por los límites inferiores (𝑝𝑚𝑖𝑛 y 𝑞𝑚𝑖𝑛) y
superiores de (𝑝𝑚𝑎𝑥 y 𝑞𝑚𝑎𝑥).Por otra parte, la curva real de capacidad de generación
supone, simultáneamente, una compensación de capacidad entre la máxima potencia
activa y reactiva generada.
Para hacer una aproximación a esta compensación, tanto en la parte superior como
la parte inferior Matpower tiene la habilidad de añadir aún más restricciones, trozos
inclinados, a las restricciones estándares tal como vienen ilustrado en la figura 4-7. La zona
gris representa la zona de operación factible de la unidad generadora.
41
Figura 4.7 Curva P-Q de capacidad del generador
Las restricciones añadidas son construidas a partir de las líneas que atraviesan los
dos pares de puntos definidos por los 6 parámetros 𝑝1,𝑞1𝑚𝑖𝑛 ,𝑞1
𝑚𝑎𝑥,𝑝2, 𝑞2𝑚𝑖𝑛y 𝑞2
𝑚𝑎𝑥.
42
5 Casos de estudio
5.1 Introducción
En este capítulo se presentan los resultados del cálculo del flujo de cargas óptimo
de dos sistemas de potencia, uno de pequeña dimensión y otro de tamaño realista. Como
primera fase de cálculo se calculará el flujo de cargas sin optimizar. Una vez obtenidos los
resultados procederemos a hacer el cálculo de flujo de cargas óptimo haciendo uso de uno
de los solucionadores de optimización implementados en Matpower.
En este caso, aunque se puede recurrir a otro, el solucionador de optimización
utilizado es el que viene definido por defecto, 𝑀𝐼𝑃𝑆∗, en las opciones de optimización de
Matpower y es el solucionador del punto interior de Matpower.
Finalmente se hará una comparación entre los distintos solucionadores de
optimización implementados en Matpower.
Para cada caso de estudio se detallan los datos de entrada del problema: valores
de las cargas en los nudos, así como los límites de inferiores y superiores que marcarán
las restricciones en algunos puntos de los sistemas.
5.1 Caso de estudio 1: sistema de 14 nudos
5.1.1 Datos de entrada
Este caso de estudio está basado en el sistema de 14 nudos proporcionado por el
IEEE [IEEEA] como caso de prueba. Representa una porción del sistema eléctrico
estadounidense tal como era en 1962 (figura 5.1). Los datos de las líneas y
transformadores del sistema están reflejados en la tabla 5.1 y tabla 5.2. Se puede ver en
la figura 5.1 que existen dos zonas diferenciadas: una de alta tensión formada por los nudos
1,2,3,4 y 5, donde se encuentran todos los grupos de generación, separada por
transformadores de otra zona de baja tensión formada por los nudos 6, 9,10, 11,12, 13 y
14. La base de potencia para el sistema es de 100 MVA.
Figura 5.1
𝑀𝐼𝑃𝑆∗: Matpower Interior Point Solver
43
Este sistema se ha usado en varias publicaciones que han estudiado la resolución
del flujo de cargas óptimo y sistemas eléctricos de potencia interconectados.
Nº de Linea
Desde barra
Hasta barra
Impedancia de Línea (p.u.) Coef. De Ajuste del transformador
Susceptancia (p.u.) Media Linea cargada Resistencia Reactancia
1 1 2 0.01938 0.05917 1 0.02640
2 1 5 0.05403 0.22304 1 0.02190
3 2 3 0.04699 0.19797 1 0.01870
4 2 4 0.05811 0.17632 1 0.02460
5 2 5 0.05695 0.17388 1 0.01700
6 3 4 0.06701 0.17103 1 0.01730
7 4 5 0.01335 0.04211 1 0.00640
8 4 7 0 0.20912 0.978 0
9 4 9 0 0.55618 0.969 0
10 5 6 0 0.25202 0.932 0
11 6 11 0.09498 0.1989 1 0
12 6 12 0.12291 0.25581 1 0
13 6 13 0.06615 0.13027 1 0
14 7 8 0 0.17615 1 0
15 7 9 0 0.11001 1 0
16 9 10 0.03181 0.0845 1 0
17 9 14 0.12711 0.27038 1 0
18 10 11 0.08205 0.19207 1 0
Figura 5.1 Sistema IEEE de 14 barras
44
19 12 13 0.22092 0.19988 1 0
20 13 14 0.17093 0.34802 1 0
Tabla 5.1 datos de Línea - Sistema de 14 Barras IEEE
Nº de barras
Tensión de Barra Generación Cargas Límites de potencia reactivas
Magnitud (p.u.)
Ángulo de fase
(grados)
Potencia activa (MW)
Potencia reactiva (MVAR)
Potencia activa (MW)
Potencia reactiva (MVAR)
(MVAR)
(MVAR)
1 1.060 0 114.17 -16.9 0 0 0 10
2 1.045 0 40.00 0 21.7 12.7 -42.0 50.0
3 1.010 0 0 0 94.2 19.1 23.4 40.0
4 - 0 0 0 47.8 -3.9 - -
5 - 0 0 0 7.6 1.6 - -
6 1.070 0 0 0 11.2 7.5 - -
7 - 0 0 0 0 0 - -
8 1.090 0 0 0 0 0 - -
9 - 0 0 0 29.5 16.6 - -
10 - 0 0 0 9.0 5.8 - -
11 - 0 0 0 3.5 1.8 - -
12 - 0 0 0 6.1 1.6 - -
13 - 0 0 0 13.8 5.8 - -
14 - 0 0 0 14.9 5.0 - -
Tabla 5.2 Datos de barras - Sistema de 14 Barras IEEE
5.1.2 Flujo de cargas sin optimizar
Introducimos los datos de entrada del sistema eléctrico de potencia en cuestión y
ejecutamos el código de Matpower para obtener los siguientes resultados
Tensión Potencia generada
Nº barra Mag (pu) Ang (º) P (MW) Q (MVAr)
1 1.060 0.000 232.39 -16.55
2 1.045 -4.983 40.00 43.56
3 1.010 -12.725 0.00 25.08
4 1.018 -10.313 - -
5 1.020 -8.774 - -
6 1.070 -14.221 0.00 12.73
7 1.062 -13.360 - -
8 1.090 -13.360 0.00 17.62
9 1.056 -14.939 - -
10 1.051 -15.097 - -
11 1.057 -14.791 - -
12 1.055 -15.076 - -
13 1.050 -15.156 - -
𝑄𝑚𝑖𝑛 𝑄𝑚𝑎𝑥
45
14 1.036 -16.034 - -
Total: 272.39 82.44 Tabla 5.3 Resultados Tensión y Potencias generadas
Nº de Linea
Desde barra
Hasta barra
Gen. Desde barra Gen. Hasta barra Perdidas
P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)
1 1 2 156.88 -20.40 -152.59 27.68 4.298 13.12
2 1 5 75.51 3.85 -72.75 2.23 2.763 11.41
3 2 3 73.24 3.56 -70.91 1.60 2.323 9.79
4 2 4 56.13 -1.55 -54.45 3.02 1.677 5.09
5 2 5 41.52 1.17 -40.61 -2.10 0.904 2.76
6 3 4 -23.29 4.47 23.66 -4.84 0.373 0.95
7 4 5 -61.16 15.82 61.67 -14.20 0.514 1.62
8 4 7 28.07 -9.68 -28.07 11.38 0.000 1.70
9 4 9 16.07 -0.43 -16.08 1.73 0.000 1.30
10 5 6 44.09 12.47 -44.09 -8.05 0.000 4.42
11 6 11 7.35 3.56 -7.30 -3.44 0.055 0.12
12 6 12 7.79 2.50 -7.71 -2.35 0.072 0.15
13 6 13 17.75 7.22 -17.54 -6.80 0.212 0.42
14 7 8 -0.00 -17.16 0.00 17.62 0.000 0.46
15 7 9 28.07 5.78 -28.07 -4.98 0.000 0.80
16 9 10 5.23 4.22 -5.21 -4.18 0.013 0.03
17 9 14 9.43 3.61 -9.31 -3.36 0.116 0.25
18 10 11 -3.79 -1.62 3.8 1.64 0.013 0.03
19 12 13 1.61 0.75 -1.61 -0.75 0.006 0.01
20 13 14 5.64 1.75 -5.59 -1.64 0.054 0.11
Total: 13.393 54.54
Tabla 5.4 Resultados Perdidas y distribución de cargas
En los perfiles de tensión obtenidos en la tabla 5.3 se puede observar que para los
nodos de consumo PQ las tensiones son más bajas que en las barras de generación PV
donde las tensiones se mantienen constantes. Esto, se debe a la caída de tensión en las
líneas de transmisiones de la energía eléctrica que se puede apreciar en las pérdidas
generadas en cada línea del sistema eléctrico representadas en la tabla 5.4.
Las pérdidas obtenidas se pueden escribir en términos de potencia de la siguiente forma,
𝑺 = 𝟏𝟑,𝟑𝟗𝟑 + 𝒋𝟓𝟒,𝟓𝟒
5.1.3 Flujo de cargas óptimo
Para el mismo sistema eléctrico de potencia pero, en este caso, haciendo uso de la
potente herramienta de optimización de Matpower mediante su solucionador MIPS,
iniciales de Matpower interior point solver,que se basa en un algoritmo explicado
anteriormente.
El valor de la función objetivo resultante: 𝟖𝟎𝟖𝟏.𝟓𝟑 $/𝒉𝒓
46
Tensión Potencia generada Lambda ($/MVA-hr)
Nº barra Mag (pu) Ang (º) P (MW) Q (MVAr) P Q
1 1.060 0.000 194.33 0.00 36.724 -0.094
2 1.041 -4.022 40.00 23.69 38.360 -
3 1.016 -9.926 0.00 24.13 40.575 -
4 1.014 -8.665 - - 40.190 0.120
5 1.016 -7.428 - - 39.661 0.208
6 1.060 -12.689 0.00 11.55 39.734 -
7 1.046 -11.188 - - 40.172 0.120
8 1.060 -10.415 8.49 8.27 40.170 -
9 1.044 -12.997 - - 40.166 0.196
10 1.039 -13.233 - - 40.318 0.309
11 1.046 -13.091 - - 40.155 0.228
12 1.045 -13.533 - - 40.379 0.212
13 1.040 -13.583 - - 40.575 0.353
14 1.024 -14.274 - - 41.197 0.571
Total: 268.29 67.63
Tabla 5.5 Resultados Tensión, Potencias generadas y costes
Nº de Linea
Desde barra
Hasta barra
Gen. Desde barra Gen. Hasta barra Perdidas
P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)
1 1 2 129.67 -6.36 -126.77 9.40 2.902 8.86
2 1 5 64.66 6.37 -62.61 -3.21 2.051 8.47
3 2 3 55.59 0.47 -54.25 0.56 1.344 5.66
4 2 4 48.92 -0.48 -47.63 0.79 1.285 3.90
5 2 5 37.28 1.59 -36.54 -3.00 0.737 2.25
6 3 4 -11.21 4.57 11.31 -5.63 0.099 0.25
7 4 5 -49.17 11.58 49.50 -10.53 0.331 1.04
8 4 7 22.85 -3.99 -22.85 5.04 0.000 1.05
9 4 9 14.84 1.17 -14.84 -0.04 0.000 1.12
10 5 6 42.06 15.14 -42.06 -10.90 0.000 4.23
11 6 11 6.09 4.56 -6.04 -4.46 0.049 0.10
12 6 12 7.65 2.66 -7.58 -2.51 0.072 0.15
13 6 13 17.12 7.73 -16.91 -7.32 0.208 0.41
14 7 8 -8.49 -8.05 8.49 8.27 0.000 0.22
15 7 9 31.34 3.01 -31.34 -2.02 0.000 1.00
16 9 10 6.49 3.20 -6.47 -3.16 0.015 0.04
17 9 14 10.20 2.95 -10.06 -2.67 0.131 0.28
18 10 11 -2.53 -2.64 2.54 2.66 0.010 0.02
19 12 13 1.48 0.91 -1.47 -0.91 0.006 0.01
20 13 14 4.88 2.42 -4.84 -2.33 0.047 0.10
Total: 9.287 39.16
Tabla 5.6 Resultados de potencias generadas y perdidas
47
Barra Vmin IVI Vmax
1 0.940 1.060 1.060
6 0.940 1.060 1.060
8 0.940 1.060 1.060
Tabla 5.7 Restricciones de tensión
Gen Barra Pmin mu Pmin Pg Pmax
4 6 0.266 0.00 0.00 100.00
Gen Barra Qmin mu Qmin Qg Qmax
1 1 0.094 0.00 0.00 10.00
Tabla 5.8 Restricciones de generación
Los resultados obtenidos en la tabla 5.6 indican el flujo de cargas óptimo tanto de
potencia activa en MW como de potencia reactiva en MVAR que circula por cada línea.
El coste de generación representado en forma del valor de la función objetivo que
refleja el precio más económico que se pueden obtener optimizando el flujo de cargas del
sistema, lo que demuestra la eficacia de calcular el flujo de cargas óptimo que garantiza,
en este caso, la obtención el coste mínimo de generación de energía eléctrica.
Dentro de los resultados obtenidos podemos también destacar los valores del coste
incremental de la energía activa y reactiva λ en $/MWh. Este valor se puede definir como
el coste adicional en dólares por hora para incrementar la salida en 1MW.
En la práctica las potencias entregadas por los generadores se deben encontrar
dentro de unos límites mínimo y máximo, tal y como se ha indicado anteriormente. Esto
quiere decir que el método de resolución explicado se debe modificar ligeramente. Si en el
proceso iterativo descrito uno o varios generadores alcanzaran alguno de sus límites (tanto
el límite máximo como el mínimo) sus potencias activas entregadas quedarían fijadas
en el correspondiente límite, y habría que seguir el proceso con el resto de generadores
hasta conseguir que funcionen con el mismo coste incremental. Si durante el proceso de
resolución varios generadores quedan simultáneamente fuera de sus límites de
generación se fija el límite para el generador que funcionando en su límite tenga menor
coste incremental y se continúa la resolución del despacho con el resto de generadores.
El coste incremental de la central o en general, del sistema será el correspondiente
al coste incremental común del último grupo de generadores.
El coste incremental del sistema será mayor que el coste incremental de
aquellos generadores que alcanzaron su límite de potencia máxima a generar, sin
embargo puede ser menor que el coste incremental de aquellos generadores que
deben de funcionar en el límite inferior de generación.
48
5.2 Caso de estudio 2: sistema de 89 Pegase nudos
5.2.1 Datos de entrada
Este caso de estudio representa con precisión el tamaño y la complejidad de una
pequeña parte de la red Europea de transporte de alta tensión. La red contiene 89 barras,
12 generadores, y 210 líneas. Las tensiones de operación son 380,220, y 150 kV.
En primer lugar se calculará el flujo de cargas con el método Newton Raphson para
obtener los flujos en las líneas sistema junto con las pérdidas derivadas. En segundo lugar
se calculará el flujo de cargas óptimo mediante el solucionador MIPS para obtener los
resultados económicos óptimos y en consecuencia las pérdidas mínimas.
5.2.2 Flujo de cargas sin optimizar
Al igual que en el caso de estudio anterior a continuación vienen representados los
datos y resultados más relevantes. A la quinta iteración se obtienen los siguientes
resultados
Datos de barras
Barras Tensión Generación Cargas
Mag (pu) Ang (deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)
913 1.031 0.000 1249.10 696.32 -
2107 1.039 1.912 1269.40 588.34 -
2267 1.039 13.146 362.00 200.98 -
3659 1.052 3.048 1097.40 689.66 -
4586 1.048 -8.937 -545.70 42.68 -
5097 1.054 -7.409 21.10 3.14 -
6233 1.053 7.855 879.60 369.49 -
6798 1.054 8.137 949.70 273.70 -
7279 1.034 -11.087 -681.70 5.38 -
7960 1.052 7.890 419.00 154.28 -
8605 1.024 1.619 427.00 193.78 -
9239 1.052 7.895 419.00 154.11 -
Total: 5865.90 3371.87 5727.89 1374.90
Tabla 5.9 Tensiones y potencias generadas
Dado el tamaño considerable del sistema en estudio, en la tabla 5.9 solo vienen
representados los valores de las tensiones y sus ángulos de fases correspondientes en
los puntos de generación también se recogen las potencias activas y reactivas en dichos
puntos.
Perdidas
P (MW) Q (MVAr)
Total: 132.427 2556.70
Tabla 5.10 Perdidas
49
En cuanto al resto de los resultados detallados vienen recogidos en anexo A
5.2.3 Flujo de cargas óptimo
Para el mismo sistema eléctrico de potencia pero, en este caso, haciendo uso de la
potente herramienta de optimización de Matpower mediante su solucionador MIPS,
iniciales de Matpower interior point solver, utilizado anteriormente para el sistema de 14
nodos.
Del mismo modo, que en el apartado anterior, en los resultados que siguen
solamente se han recogido los datos relevantes en cuanto al resto de resultados se pueden
consultar en anexo A.
el reparto óptimo de potencias entre los generadores se consigue cuando
todos ellos trabajen con el mismo coste incremental, ya que en caso contrario habría que
disminuir la potencia entregada por el generador de mayor para disminuir su valor
hasta igualarlo con el del resto de generadores de la central. El razonamiento es aplicable
independientemente del número de generadores que existan en la central.
El valor de obtenido de la función objetivo en este caso es de 𝟓𝟖𝟏𝟗,𝟖𝟏 $/𝒉𝒓
Datos de barras
Barras Tensión Generación Cargas
Mag (pu) Ang (deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)
913 1.034 0.000 1692.04 527.63 -
2107 1.039 0.419 1211.23 661.90 -
2267 1.052 3.877 166.67 228.16 -
3659 1.043 1.009 666.67 372.46 -
4586 1.061 -7.004 50.96 -29.81 -
5097 1.063 -7.217 21.23 4.19 -
6233 1.057 -0.660 531.84 -189.96 -
6798 1.061 -0.599 333.44 355.88 -
7279 1.059 -7.363 100.00 -6.64 -
7960 1.060 -0.658 222.88 274.18 -
8605 1.033 -1.671 600.00 125.52 -
9239 1.060 -0.655 222.86 274.18 -
Total: 5819.81 2597.70 5727.89 1374.90
Tabla 5.11 Tensiones y potencias generadas
Perdidas
P (MW) Q (MVAr)
Total: 86.242 1791.84
Tabla 5.12 Perdidas
50
Tal como se esperaba del proceso de optimización del flujo de cargas, se observa
una disminución en los valores de pérdidas en comparación con el flujo de cargas
convencional.
La optimización del sistema ha hecho que el sistema se reajusta de forma óptima
para reducir las pérdidas por transporte y así obtener costes de generación más bajos.
5.3 Comparativa de solucionadores
La comparación de los solucionadores del flujo de cargas óptimo se basa en la
simulación de los casos de estudio seleccionados bajo las mismas condiciones. Las
simulaciones han sido ejecutadas utilizando el Matpower en Matlab.
Los solucionadores que forman parte de esta comparativa son MIPS, KNITRO y
Fmincon, su modo de operación es el mismo que el del MIPS con la diferencia en el
algoritmo y la elección del punto de inicio de la ejecución. El tiempo de simulación en (s)
será el criterio de comparación que marcaría el solucionador con mejor rendimiento.
Para la simulación se ha utilizado una computadora con procesador Intel de 2.10
GHz, 4 GB de memoria RAM y bajo el sistema operativo Windows 7.
Solucionadores
MIPS Knitro Fmincon
T. convergencia (s)
IEEE14 0.13 0.88 0.22
𝐅. 𝐎.∗ 8081.53 8081.52 8081.55
IEEE57 0.12 0.16 1.18
F.O. 41737.79 41737.77 41737.76
IEEE118 0.22 - 0.29
F.O. 129660.70 - 129660.70
Tabla 5.13 Tabla comparativa de solucionadores
Los resultados de simulación en la tabla 5.13 son los tiempos de ejecución de
cada sistema eléctrico de potencia utilizando los distintos solucionadores. El solucionador
MIPS exhibe el mejor tiempo de ejecución tanto para sistema pequeño como sistemas de
gran escala, mientras que KNITRO se puede considerar como el más lento para sistemas
con pocas barras aunque por ser de versión de estudiante no permite procesar más de
300 variables de entrada lo que explica la ausencia de resultados para el sistema de 118
barras.
𝐹. 𝑂∗: Función Objetivo
51
El solucionador Fmincon da mejores resultados, en términos de tiempo, en casos
del sistema de 14 barras y 118 barras. En cuanto los resultados de las funciones objetivos
mostradas en la tabla x aproximadamente las mismas con variaciones en las décimas.
Como ultima observación, hay que señalar que la comparación de los
solucionadores es relativa ya que depende principalmente de la capacidad de la
computadora, obteniendo resultados con menor tiempo para computadoras de mayores
características.
52
6 Conclusiones
En primer lugar se han descrito las ecuaciones del problema de flujo de
cargas: una serie de ecuaciones no lineales que relacionan los consumos y generaciones
en los nudos con los niveles de tensión en los mismos. Generalmente el sistema de
ecuaciones no lineales resultante se resuelve mediante el método de Newton-Raphson,
que es el que se ha usado en este trabajo.
En segundo lugar se han detallado los dos tipos de cálculo, despacho económico
tanto con y sin pérdidas, también se han explicado los métodos de optimización con y sin
restricciones de igualdad utilizado para obtener el valor óptimo de la función objetivo.
En tercer lugar se ha introducido la herramienta Matpower de cálculo utilizada para
obtener el flujo de cargas óptimo. Además se ha explicar, de forma general, el método de
modelación utilizado para obtener dicho flujo.
Con esto se han simulado dos casos de estudios, de pequeña y gran escala, y se
ha resuelto el flujo de carga óptimo de cada caso. Las variables de salida obtenidos en este
trabajo son las tensiones junto con sus ángulos en los nudos PQ y las de los flujos de
potencia aparente en todas las líneas del sistema. A partir de estas variables se han
calculado las perdidas en cada nudo y posteriormente el valor óptimo de función objetivo.
A diferencia del flujo de carga sin optimizar los resultados obtenidos son mucho más
económico de manera que las pérdidas en la opción optimizada son menores, algo que se
ve reflejado en los costes.
En cuanto a la comparación de los diferente solucionadores de Matpower, los
resultados de la función objetivo usando el método MIPS con prácticamente coincidentes
con las mismas funciones objetivo usando el método de simulación de K NITRO y Fmincon.
La diferencia se encuentra en los tiempos de simulación donde un solucionador tarda más
que otro según el tamaño del sistema eléctrico en estudio y las características del equipo
de simulación.
Estos algoritmos de optimización no han sido utilizados en el pasado por la falta de
datos y limitación en los recursos computacionales. Hoy en día, muchas empresas tienen
base de datos, las facilidades computacionales han sido incrementadas, y muchos
ingenieros han trabajado en el desarrollo de técnicas optimización de los flujos de cargas.
53
Bibliografía
Hadi Saadat, “Power system analysis Third Edition”, PSA Publishings 2010
J. Duncan Glover, Mulukutla S. Sarma, Thomas J. Overbye, “Power System Analysis and
Design” Fifth Edition Cengage Learning 2012
Jizhong Zhu, Optimization of power system operation, Jhon Wiley & Sons 2009
Ray D. Zimmerman, Carlos E. Murillo-Sánchez MATPOWER User’s Manual December 16,
2016
Ray D. Zimmerman, Hongye Wang “M atpower Interior Point Solver MIPS 1.2.2
User’s Manual December 16, 2016”
MATPOWER home page: www.pserc.cornell.edu/matpower/matpower.html
Tello Maita, Josimar, Marulanda Guerra, Agustín, “Interior Point Methods in Optimal
Power Flow solvers comparison using Matlab”, 2013 Publicado en
https://www.researchgate.net
Stéphane Fliscounakis, Patrick Panciatici, Member, IEEE, Florin Capitanescu, and Louis
Wehenkel, “Contingency Ranking With Respect to Overloadsin Very Large Power
Systems Taking Into Account Uncertainty, Preventive, and Corrective Actions” Pubicado
in IEEE Transactions on Power Systems (Volume: 28, Issue: 4, Nov. 2013)
Carlos Murillo-Sánchez, “fmincon Solves AC optimal power flow in Matpower”. PSERC.
http://www.pserc.cornell.edu/matpower/docs/ref/matpower5.0/fmincopf_solver.html
Artelys Knitro – “Nonlinear optimization solver, Student edition”,
https://www.artelys.com/en/optimization-tools/knitro
>> results=runpf(case89pegase)
MATPOWER Version 6.0, 16-Dec-2016 -- AC Power Flow (Newton)
Newton's method power flow converged in 5 iterations.
Converged in 0.02 seconds================================================================================| System Summary |================================================================================
How many? How much? P (MW) Q (MVAr)--------------------- ------------------- ------------- -----------------Buses 89 Total Gen Capacity 9921.2 -1582.5 to 4520.1Generators 12 On-line Capacity 9921.2 -1582.5 to 4520.1Committed Gens 12 Generation (actual) 5865.9 3371.9Loads 35 Load 5727.9 1374.9 Fixed 35 Fixed 5727.9 1374.9 Dispatchable 0 Dispatchable -0.0 of -0.0 -0.0Shunts 44 Shunt (inj) -5.6 559.7Branches 210 Losses (I^2 * Z) 132.43 2556.70Transformers 32 Branch Charging (inj) - 0.0Inter-ties 0 Total Inter-tie Flow 0.0 0.0Areas 1
Minimum Maximum ------------------------- --------------------------------Voltage Magnitude 0.968 p.u. @ bus 6833 1.087 p.u. @ bus 2449Voltage Angle -11.21 deg @ bus 4014 30.74 deg @ bus 8581P Losses (I^2*R) - 14.68 MW @ line 5416-7637Q Losses (I^2*X) - 244.88 MVAr @ line 7637-8581
================================================================================| Bus Data |================================================================================ Bus Voltage Generation Load # Mag(pu) Ang(deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ------- -------- -------- -------- -------- -------- 89 0.999 -2.728 - - - - 228 1.052 -6.262 - - -23.43 57.40 271 1.039 -7.776 - - 96.70 26.80 317 1.052 7.798 - - - - 659 1.051 7.758 - - - - 792 1.034 -0.892 - - 295.30 41.90 913 1.031 0.000* 1249.10 696.32 - - 955 1.002 -9.134 - - 244.20 152.70 1037 1.053 6.608 - - - - 1163 1.010 0.453 - - - - 1317 1.039 4.860 - - 149.30 -2.00 1367 1.023 1.555 - - - - 1445 1.035 1.566 - - 238.40 210.90 1531 1.019 -9.561 - - - - 1579 1.007 -3.372 - - - - 1611 1.046 -7.256 - - 274.10 166.50 1616 1.005 -2.075 - - - -
Anexo A
A1 Caso 89 pegase: Resulados del flujo de cargas
A.1
2/08/18 0:14 MATLAB Command Window 2 of 7
1676 1.009 0.393 - - - - 1815 1.058 1.930 - - 63.66 9.70 1968 1.023 -9.076 - - 118.40 137.00 2107 1.039 1.912 1269.40 588.34 - - 2154 1.038 4.120 - - -357.45 33.05 2168 1.016 -10.987 - - 8.60 -1.48 2267 1.039 13.146 362.00 200.98 - - 2268 0.993 -3.228 - - - - 2299 1.041 -9.188 - - 402.10 110.20 2441 0.991 -2.851 - - - - 2449 1.087 -3.975 - - 301.90 -103.20 2520 1.000 -2.864 - - - - 2870 1.053 6.608 - - - - 2908 1.022 -8.626 - - 203.80 61.00 3097 1.049 6.053 - - 361.91 3.66 3242 1.055 -7.412 - - 296.10 82.30 3279 1.034 -0.852 - - - - 3493 1.041 -8.481 - - 226.30 61.10 3506 1.003 -9.100 - - - - 3659 1.052 3.048 1097.40 689.66 - - 4014 1.034 -11.211 - - - - 4423 1.042 -9.185 - - - - 4427 1.037 -8.989 - - 296.80 77.70 4495 1.038 -8.944 - - 336.30 104.40 4586 1.048 -8.937 -545.70 42.68 - - 4665 1.039 -9.573 - - 390.50 62.50 4929 1.053 6.608 - - 37.00 8.70 5097 1.054 -7.409 21.10 3.14 - - 5155 1.031 -8.936 - - 411.30 168.00 5210 1.033 1.843 - - 347.61 74.37 5416 1.038 13.370 - - - - 5509 0.998 -4.249 - - - - 5587 1.041 -8.453 - - - - 5762 1.042 2.398 - - - - 5776 1.074 -5.370 - - 222.70 80.50 5848 1.009 -3.019 - - - - 5996 1.042 2.398 - - - - 6069 0.977 -4.165 - - -456.66 -131.97 6233 1.053 7.855 879.60 369.49 - - 6293 0.994 -2.463 - - - - 6542 1.070 -0.548 - - 355.98 -147.98 6704 1.003 -1.525 - - - - 6798 1.054 8.137 949.70 273.70 - - 6826 1.077 -5.785 - - 326.90 -82.30 6833 0.968 -4.881 - - - - 7051 1.014 1.516 - - - - 7180 0.971 -4.970 - - - - 7279 1.034 -11.211 -681.70 5.38 - - 7526 1.015 -2.233 - - -179.73 -63.08 7563 1.041 -11.087 - - 531.70 -12.80 7637 1.036 19.540 - - - - 7762 1.011 -1.708 - - - - 7829 1.061 -2.763 - - -114.36 30.04 7960 1.052 7.890 419.00 154.28 - - 8103 1.005 0.142 - - 39.34 -10.70
A.1
2/08/18 0:14 MATLAB Command Window 3 of 7
8179 1.001 -3.338 - - - - 8181 1.002 -2.957 - - - - 8229 1.074 -5.370 - - - - 8329 1.044 7.173 - - - - 8335 1.019 -9.585 - - 637.92 139.57 8420 1.047 -7.203 - - - - 8574 1.003 -1.909 - - - - 8581 1.040 30.740 - - -1299.13 -140.85 8605 1.024 1.619 427.00 193.78 - - 8847 1.012 1.211 - - - - 8921 1.007 -1.113 - - - - 8964 1.016 -11.018 - - 925.91 147.97 9024 1.058 3.598 - - - - 9025 1.005 -2.615 - - - - 9064 1.005 -2.063 - - - - 9192 1.024 -8.845 - - 17.92 23.30 9239 1.052 7.895 419.00 154.11 - - -------- -------- -------- -------- Total: 5865.90 3371.87 5727.89 1374.90
================================================================================| Branch Data |================================================================================Brnch From To From Bus Injection To Bus Injection Loss (I^2 * Z) # Bus Bus P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ----- ----- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 1 3097 659 -361.91 6.67 362.78 4.11 0.870 10.78 2 9024 4929 -250.63 49.82 251.75 -36.42 1.120 13.40 3 1815 6542 73.69 -38.26 -72.80 41.90 0.882 3.63 4 6542 1445 -32.91 66.13 34.16 -62.71 1.242 3.42 5 6069 6833 272.69 156.51 -272.13 -151.70 0.559 4.81 6 6069 2268 -154.41 -117.77 154.91 122.21 0.498 4.44 7 6069 7180 261.56 94.34 -261.17 -90.07 0.389 4.27 8 6069 6293 -320.33 -144.86 321.39 157.00 1.061 12.14 9 1968 9192 -122.40 -21.95 122.44 22.47 0.041 0.52 10 1968 3493 -0.31 -0.36 0.31 0.37 0.001 0.01 11 1968 955 5.87 21.74 -5.77 -21.30 0.097 0.44 12 1968 228 -1.18 -0.39 1.19 0.46 0.012 0.07 13 1968 6826 -81.01 -35.57 82.95 42.27 1.944 6.69 14 1968 8964 295.88 -1.54 -293.68 11.49 2.201 9.94 15 1968 5776 -4.05 -1.07 4.18 1.40 0.121 0.33 16 9192 955 1.95 3.51 -1.92 -3.43 0.024 0.08 17 9192 6826 -11.75 -5.55 12.02 6.49 0.272 0.94 18 9192 8964 56.98 -3.04 -56.38 5.15 0.597 2.12 19 8574 1616 69.71 -58.21 -69.67 58.52 0.032 0.32 20 8574 1163 -368.38 -17.12 369.68 32.49 1.297 15.37 21 8574 9064 77.19 -53.89 -77.16 54.17 0.033 0.29 22 8574 8921 -418.84 -56.66 419.36 62.68 0.515 6.01 23 3493 2299 8.36 -0.98 -8.35 1.09 0.006 0.10 24 2299 4423 -27.29 -28.21 27.29 28.21 0.000 0.00 25 6826 2299 0.96 0.52 -0.95 -0.44 0.003 0.07 26 7563 2299 -3.17 0.72 3.20 -0.62 0.024 0.11 27 4427 2299 1.07 -2.89 -1.07 2.91 0.005 0.02 28 8335 2299 -0.35 -0.36 0.35 0.37 0.005 0.01 29 5155 2299 0.37 -1.03 -0.37 1.04 0.001 0.01
A.1
2/08/18 0:14 MATLAB Command Window 4 of 7
30 271 2299 28.30 -9.62 -28.11 10.33 0.188 0.72 31 2449 2299 2.36 0.15 -2.26 0.06 0.095 0.21 32 4665 2299 -25.88 -3.51 25.92 3.69 0.039 0.18 33 4495 2299 1.62 -1.34 -1.62 1.35 0.001 0.01 34 3493 5587 -237.92 -62.58 237.92 62.71 0.000 0.12 35 4586 3493 -2.53 2.26 2.53 -2.22 0.001 0.04 36 228 3493 42.68 1.88 -42.25 -0.23 0.428 1.66 37 6826 3493 6.48 3.99 -6.44 -3.56 0.042 0.43 38 7563 3493 -2.48 0.67 2.51 -0.55 0.027 0.11 39 4427 3493 -6.24 0.02 6.26 0.03 0.023 0.06 40 8335 3493 -0.53 -0.19 0.54 0.21 0.008 0.01 41 5155 3493 -12.53 -8.92 12.57 9.11 0.045 0.18 42 271 3493 0.74 -0.12 -0.74 0.13 0.001 0.01 43 5776 3493 2.19 0.84 -2.16 -0.70 0.027 0.14 44 2449 3493 1.92 0.35 -1.86 -0.19 0.061 0.16 45 4665 3493 -2.36 0.53 2.37 -0.48 0.014 0.04 46 4495 3493 -29.57 -0.32 29.63 0.56 0.057 0.24 47 5587 4586 39.30 -41.45 -39.21 42.06 0.092 0.61 48 4423 4586 -27.29 -27.85 27.33 28.14 0.041 0.28 49 4929 2870 0.00 -0.69 -0.00 0.69 0.000 0.00 50 4929 659 -201.44 36.22 201.77 -32.12 0.329 4.11 51 4929 1037 0.00 -0.61 -0.00 0.61 0.000 0.00 52 4929 659 -235.47 47.86 235.96 -43.05 0.495 4.81 53 1815 5210 0.25 0.95 -0.25 -0.93 0.005 0.02 54 1815 1445 9.57 16.71 -9.46 -16.28 0.106 0.43 55 1616 7762 -221.98 -135.16 222.28 137.30 0.294 2.14 56 1616 2520 291.66 91.24 -291.23 -86.73 0.425 4.52 57 9064 7762 -191.54 -148.76 191.71 150.81 0.175 2.05 58 9064 89 268.69 110.00 -268.27 -106.21 0.426 3.79 59 1317 659 -747.86 -87.79 751.44 127.01 3.574 39.21 60 1317 8605 598.56 112.20 -595.36 -77.06 3.198 35.14 61 8605 1367 297.62 83.32 -297.59 -82.95 0.036 0.36 62 8605 8921 724.74 187.53 -720.57 -150.21 4.170 37.32 63 1163 1676 252.37 69.24 -252.34 -68.95 0.027 0.29 64 1163 7051 -622.04 -85.37 623.01 97.32 0.967 11.95 65 913 7762 607.33 343.53 -605.17 -318.88 2.153 24.64 66 2107 7762 1248.93 467.53 -1241.35 -377.23 7.580 90.30 67 2107 5996 -545.77 -150.66 546.25 155.79 0.475 5.14 68 2107 6293 566.24 271.46 -560.18 -217.72 6.065 53.74 69 913 7762 641.78 352.80 -639.20 -326.96 2.574 25.84 70 6704 8921 -301.01 -101.63 301.22 104.12 0.210 2.49 71 228 4586 233.18 -19.90 -231.01 30.63 2.172 10.73 72 2441 6293 -238.62 -92.07 238.78 94.00 0.160 1.93 73 955 3506 -266.54 -109.44 266.54 109.62 -0.000 0.18 74 955 8964 30.04 -18.53 -29.82 19.78 0.222 1.25 75 3506 2908 -28.41 -44.75 28.59 45.87 0.180 1.12 76 228 6826 -1.21 -2.45 1.22 2.51 0.007 0.07 77 228 5776 -0.67 -0.57 0.67 0.59 0.005 0.02 78 8964 6826 -22.68 0.36 23.96 1.82 1.280 2.17 79 5776 6826 64.51 -36.12 -64.38 36.66 0.131 0.54 80 659 8329 388.80 189.61 -388.23 -184.44 0.576 5.17 81 659 7051 949.74 267.52 -938.90 -156.94 10.838 110.59 82 659 9239 -418.89 -152.94 419.00 154.11 0.108 1.17 83 659 7960 -418.89 -153.15 419.00 154.28 0.108 1.13 84 659 6233 -364.74 -225.54 364.84 226.45 0.100 0.92
A.1
2/08/18 0:14 MATLAB Command Window 5 of 7
85 659 5416 -1079.73 280.46 1088.63 -171.43 8.898 109.03 86 659 6798 -949.08 -266.75 949.70 273.70 0.616 6.95 87 792 3279 -339.69 -33.34 339.69 33.58 0.000 0.24 88 7563 792 -2.27 0.94 2.38 -0.52 0.115 0.42 89 7279 792 -35.02 14.70 37.09 -8.19 2.074 6.51 90 8335 792 -127.04 13.16 129.52 6.29 2.486 19.45 91 2449 792 -13.70 18.41 13.96 -16.79 0.258 1.62 92 4665 792 -6.49 2.83 6.81 -1.81 0.322 1.02 93 4495 792 -5.81 1.99 6.01 -1.15 0.196 0.84 94 5416 2267 194.09 -38.37 -194.00 39.14 0.087 0.77 95 5416 7637 -1282.72 236.90 1297.40 -97.40 14.675 139.49 96 8964 2168 -251.94 -65.35 251.94 65.49 0.000 0.15 97 3659 5996 649.71 456.89 -648.68 -445.27 1.026 11.63 98 5762 5996 0.00 2.42 0.00 -2.42 0.000 0.00 99 3242 5097 -26.93 30.50 26.93 -30.50 0.000 0.00 100 7563 3242 -74.52 3.62 75.58 1.18 1.063 4.80 101 4427 3242 -0.43 -0.20 0.43 0.21 0.002 0.02 102 3242 7279 101.58 20.66 -100.73 -13.62 0.854 7.05 103 271 3242 -0.09 -0.19 0.09 0.19 0.000 0.00 104 3242 1611 -0.30 1.57 0.30 -1.55 0.002 0.01 105 5097 1611 -5.83 33.64 5.88 -33.37 0.044 0.28 106 8181 8179 212.47 18.54 -212.33 -17.11 0.140 1.44 107 8181 7762 -454.24 -127.06 455.20 138.09 0.952 11.03 108 9025 7762 -323.52 -88.29 323.99 93.95 0.468 5.66 109 7563 4427 -4.92 1.32 4.95 -1.14 0.027 0.19 110 7563 7279 10.19 16.37 -10.16 -16.24 0.031 0.13 111 7563 8335 -3.90 4.56 3.93 -4.36 0.033 0.20 112 7563 5155 -3.45 1.00 3.46 -0.86 0.002 0.14 113 7563 271 -6.81 0.54 6.82 -0.15 0.010 0.39 114 2449 7563 3.21 0.25 -3.08 0.14 0.130 0.39 115 4665 7563 43.25 -10.39 -43.04 11.55 0.212 1.16 116 4495 7563 1.92 -0.77 -1.90 0.85 0.026 0.07 117 7563 1611 -69.59 11.94 70.61 -7.30 1.015 4.64 118 4427 7279 1.57 -0.13 -1.56 0.19 0.011 0.06 119 4427 8335 0.26 0.21 -0.26 -0.21 0.002 0.01 120 4427 5155 -0.38 12.74 0.39 -12.67 0.010 0.07 121 4427 271 -52.38 2.79 52.55 -1.69 0.170 1.11 122 2449 4427 1.56 0.28 -1.51 -0.13 0.055 0.14 123 4665 4427 -0.81 0.38 0.81 -0.37 0.002 0.01 124 4495 4427 2.67 3.30 -2.67 -3.30 0.002 0.01 125 4427 1611 -0.64 -0.09 0.64 0.11 0.003 0.02 126 5210 1445 27.87 -14.35 -27.84 14.51 0.025 0.16 127 8179 5509 230.48 13.82 -230.09 -10.13 0.394 3.69 128 8179 7762 -367.01 -85.36 367.97 96.70 0.964 11.34 129 7279 4014 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 130 8335 7279 86.55 -64.65 -85.96 68.09 0.589 3.45 131 5155 7279 1.10 -0.16 -1.09 0.20 0.004 0.04 132 271 7279 2.47 0.07 -2.46 0.08 0.013 0.15 133 2449 7279 20.68 3.77 -19.96 -1.08 0.713 2.69 134 4665 7279 1.27 -0.37 -1.26 0.41 0.017 0.03 135 4495 7279 0.93 -0.18 -0.92 0.22 0.012 0.04 136 1611 7279 46.75 3.05 -46.30 0.18 0.453 3.23 137 5509 1579 -178.94 -71.44 179.26 74.77 0.328 3.33 138 8335 1531 -191.01 -14.24 191.01 14.31 0.000 0.08 139 5155 8335 0.18 0.12 -0.18 -0.12 0.001 0.00
A.1
2/08/18 0:14 MATLAB Command Window 6 of 7
140 2449 8335 76.20 41.55 -74.87 -31.77 1.329 9.78 141 4665 8335 0.76 3.04 -0.74 -2.98 0.014 0.06 142 4495 8335 1.72 1.99 -1.71 -1.93 0.011 0.06 143 7762 2268 360.14 204.70 -359.01 -191.64 1.125 13.05 144 5155 271 -35.84 -10.83 35.90 11.65 0.060 0.82 145 5155 2908 -5.89 16.28 5.93 -16.11 0.038 0.17 146 4665 5155 -0.42 0.31 0.42 -0.30 0.000 0.01 147 4495 5155 0.02 0.35 -0.02 -0.35 0.000 0.00 148 5155 1611 -45.20 -15.97 45.38 17.55 0.176 1.57 149 271 2908 34.89 21.51 -34.63 -20.65 0.257 0.86 150 4665 271 -0.73 0.02 0.73 0.01 0.000 0.02 151 4495 271 -0.57 0.11 0.57 -0.10 0.003 0.01 152 271 1611 -14.19 -8.23 14.20 8.42 0.020 0.18 153 1579 5848 -179.26 -57.99 179.40 59.26 0.140 1.27 154 7051 8847 315.89 81.41 -315.74 -79.58 0.155 1.83 155 5776 8229 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 156 317 6233 -514.71 -142.47 514.76 143.04 0.052 0.57 157 4665 2449 -66.16 -14.78 67.38 22.15 1.219 7.36 158 2449 4495 73.56 31.30 -72.61 -23.71 0.952 7.59 159 4665 4495 -35.01 9.86 35.11 -9.47 0.092 0.39 160 1611 8420 -457.86 -152.79 457.86 153.26 0.000 0.47 161 9024 6542 122.35 -6.95 -122.25 15.87 0.098 8.92 162 9024 6542 128.12 -14.63 -128.01 24.09 0.117 9.46 163 6069 9192 187.75 57.12 -187.53 -40.69 0.214 16.43 164 6069 1968 209.14 120.41 -208.84 -97.46 0.299 22.94 165 7829 1968 2.41 0.67 -2.38 -0.39 0.029 0.28 166 8574 2299 362.27 153.79 -361.54 -101.79 0.727 52.00 167 8574 5587 277.61 53.23 -277.22 -20.90 0.383 32.33 168 4929 1815 148.08 1.39 -147.90 10.71 0.175 12.10 169 1815 792 0.73 0.20 -0.72 -0.16 0.008 0.04 170 6704 4586 300.79 102.31 -300.29 -60.40 0.501 41.91 171 2441 3506 238.39 93.20 -238.13 -64.27 0.252 28.92 172 1367 6826 297.40 81.37 -296.82 -41.51 0.585 39.86 173 1676 228 252.17 67.46 -251.74 -36.82 0.429 30.64 174 7829 6826 93.35 -24.25 -93.28 29.56 0.064 5.31 175 659 3279 340.66 86.55 -339.69 -33.58 0.969 52.97 176 5210 792 56.29 -5.50 -56.04 8.19 0.256 2.69 177 1445 792 94.82 -1.51 -94.63 5.58 0.187 4.06 178 7180 2168 260.95 94.05 -260.54 -64.01 0.405 30.04 179 6833 8964 271.90 156.24 -271.41 -119.40 0.493 36.84 180 3659 3242 447.69 232.77 -446.54 -136.62 1.149 96.15 181 8181 4427 241.56 115.17 -241.22 -85.23 0.340 29.95 182 9025 7563 323.32 91.39 -322.76 -41.41 0.560 49.98 183 2267 5210 556.00 161.84 -554.79 -47.82 1.212 114.02 184 5210 7279 19.83 -1.61 -18.98 6.05 0.855 4.44 185 5210 8335 79.41 6.62 -78.05 9.11 1.359 15.74 186 5210 2449 14.47 -8.47 -14.24 10.41 0.225 1.94 187 5210 4665 5.22 -1.60 -4.83 2.61 0.392 1.02 188 5210 4495 4.34 -0.73 -4.15 1.54 0.191 0.81 189 8179 7279 348.67 107.83 -347.83 -57.03 0.832 50.80 190 1445 7279 9.97 -1.06 -9.48 3.24 0.487 2.18 191 5509 8335 217.49 66.47 -217.21 -44.82 0.280 21.65 192 5509 1531 191.22 32.33 -191.01 -14.31 0.213 18.02 193 1445 8335 37.06 3.38 -36.45 3.79 0.618 7.17 194 7762 5155 318.39 183.75 -317.73 -133.31 0.660 50.43
A.1
2/08/18 0:14 MATLAB Command Window 7 of 7
195 7762 271 245.74 67.28 -245.40 -39.94 0.343 27.34 196 7829 5776 18.61 -6.46 -18.52 7.39 0.084 0.93 197 8329 1445 191.93 92.41 -191.62 -70.13 0.312 22.28 198 8329 1445 196.14 94.27 -195.80 -71.51 0.334 22.76 199 1445 2449 7.69 -4.91 -7.54 5.91 0.146 1.00 200 1445 4665 2.63 -0.68 -2.46 1.18 0.170 0.50 201 2268 2908 203.92 91.79 -203.69 -69.48 0.232 22.31 202 8847 5776 276.20 88.59 -275.73 -54.61 0.467 33.98 203 8847 8103 39.36 -9.92 -39.34 10.70 0.016 0.78 204 317 2449 514.66 140.46 -513.28 -31.32 1.379 109.14 205 7637 8581 -1297.71 104.03 1299.13 140.85 1.422 244.88 206 5848 7526 -179.70 -59.69 179.73 63.08 0.032 3.39 207 89 4495 268.07 110.72 -267.59 -77.88 0.478 32.85 208 2520 4665 291.17 90.53 -290.65 -54.20 0.526 36.33 209 5996 8420 459.29 245.33 -457.86 -153.26 1.426 92.06 210 2154 5996 357.14 -39.09 -357.03 50.94 0.108 11.85 -------- -------- Total: 132.427 2556.70
results =
version: '2' baseMVA: 100 bus: [89x13 double] gen: [12x21 double] branch: [210x17 double] gencost: [12x7 double] order: [1x1 struct] et: 0.0210 success: 1 iterations: 5
>>
A.1
>> results=runopf(case89pegase)
MATPOWER Version 6.0, 16-Dec-2016 -- AC Optimal Power FlowMATPOWER Interior Point Solver -- MIPS, Version 1.2.2, 16-Dec-2016 (using built-in linear solver)Converged!
Converged in 0.32 secondsObjective Function Value = 5819.81 $/hr================================================================================| System Summary |================================================================================
How many? How much? P (MW) Q (MVAr)--------------------- ------------------- ------------- -----------------Buses 89 Total Gen Capacity 9921.2 -1582.5 to 4520.1Generators 12 On-line Capacity 9921.2 -1582.5 to 4520.1Committed Gens 12 Generation (actual) 5819.8 2597.7Loads 35 Load 5727.9 1374.9 Fixed 35 Fixed 5727.9 1374.9 Dispatchable 0 Dispatchable -0.0 of -0.0 -0.0Shunts 44 Shunt (inj) -5.7 569.0Branches 210 Losses (I^2 * Z) 86.24 1791.84Transformers 32 Branch Charging (inj) - 0.0Inter-ties 0 Total Inter-tie Flow 0.0 0.0Areas 1
Minimum Maximum ------------------------- --------------------------------Voltage Magnitude 0.974 p.u. @ bus 6833 1.100 p.u. @ bus 2449Voltage Angle -12.22 deg @ bus 8964 21.15 deg @ bus 8581P Losses (I^2*R) - 14.29 MW @ line 5416-7637Q Losses (I^2*X) - 238.47 MVAr @ line 7637-8581Lambda P -1.29 $/MWh @ bus 8581 1.04 $/MWh @ bus 8964Lambda Q -0.08 $/MWh @ bus 2449 0.43 $/MWh @ bus 8581
================================================================================| Bus Data |================================================================================ Bus Voltage Generation Load Lambda($/MVA-hr) # Mag(pu) Ang(deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P Q----- ------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- ------- 89 1.007 -3.702 - - - - 1.013 0.002 228 1.064 -6.094 - - -23.43 57.40 1.000 -0.002 271 1.048 -8.015 - - 96.70 26.80 1.011 0.003 317 1.057 -0.698 - - - - 1.000 -0.001 659 1.058 -0.721 - - - - 1.000 0.000 792 1.048 -7.062 - - 295.30 41.90 1.004 0.001 913 1.034 0.000* 1692.04 527.63 - - 1.000 - 955 1.009 -10.120 - - 244.20 152.70 1.026 0.019 1037 1.061 -1.787 - - - - 1.004 -0.001 1163 1.023 -3.312 - - - - 1.008 0.002 1317 1.048 -1.457 - - 149.30 -2.00 1.002 - 1367 1.032 -1.731 - - - - 1.003 - 1445 1.048 -5.736 - - 238.40 210.90 1.001 0.007
A2 Caso 89 pegase: Resulados del flujo de cargas óptimo
A.2
2/08/18 0:15 MATLAB Command Window 2 of 8
1531 1.037 -9.454 - - - - 1.016 -0.002 1579 1.019 -3.561 - - - - 1.011 -0.001 1611 1.054 -7.312 - - 274.10 166.50 1.005 0.003 1616 1.013 -3.053 - - - - 1.010 0.002 1676 1.023 -3.336 - - - - 1.008 0.002 1815 1.067 -6.010 - - 63.66 9.70 1.004 -0.001 1968 1.031 -10.375 - - 118.40 137.00 1.026 0.017 2107 1.039 0.419 1211.23 661.90 - - 1.000 0.001 2154 1.035 2.422 - - -357.45 33.05 0.999 0.001 2168 1.024 -12.187 - - 8.60 -1.48 1.041 0.017 2267 1.052 3.877 166.67 228.16 - - 0.988 0.024 2268 0.999 -4.047 - - - - 1.016 0.007 2299 1.053 -8.838 - - 402.10 110.20 1.013 -0.002 2441 0.995 -4.099 - - - - 1.020 0.012 2449 1.100 -8.449 - - 301.90 -103.20 0.997 -0.082 2520 1.008 -3.771 - - - - 1.013 0.002 2870 1.061 -1.787 - - - - 1.004 -0.001 2908 1.030 -9.220 - - 203.80 61.00 1.021 0.011 3097 1.056 -2.403 - - 361.91 3.66 1.005 0.000 3242 1.063 -7.218 - - 296.10 82.30 1.003 - 3279 1.048 -7.032 - - - - 1.004 0.001 3493 1.053 -8.132 - - 226.30 61.10 1.028 0.001 3506 1.010 -10.085 - - - - 1.026 0.019 3659 1.043 1.009 666.67 372.46 - - 0.998 - 4014 1.059 -7.363 - - - - 1.005 -0.003 4423 1.053 -8.818 - - - - 1.013 -0.002 4427 1.047 -9.175 - - 296.80 77.70 1.019 0.002 4495 1.050 -9.382 - - 336.30 104.40 1.022 -0.004 4586 1.061 -7.004 50.96 -29.81 - - 1.000 -0.003 4665 1.051 -9.849 - - 390.50 62.50 1.021 -0.005 4929 1.061 -1.787 - - 37.00 8.70 1.004 -0.001 5097 1.063 -7.217 21.23 4.19 - - 1.003 - 5155 1.040 -9.159 - - 411.30 168.00 1.018 0.005 5210 1.049 -5.371 - - 347.61 74.37 0.999 0.010 5416 1.051 4.221 - - - - 0.987 0.025 5509 1.011 -4.417 - - - - 1.014 0.001 5587 1.053 -8.095 - - - - 0.990 -0.006 5762 1.039 0.688 - - - - 0.999 0.001 5776 1.085 -8.565 - - 222.70 80.50 1.007 -0.001 5848 1.022 -3.216 - - - - 1.010 -0.001 5996 1.039 0.688 - - - - 0.999 0.001 6069 0.983 -5.305 - - -456.66 -131.97 1.024 0.013 6233 1.057 -0.660 531.84 -189.96 - - 1.000 -0.000 6293 0.998 -3.726 - - - - 1.018 0.011 6542 1.079 -8.406 - - 355.98 -147.98 1.020 -0.010 6704 1.015 -3.187 - - - - 1.008 0.001 6798 1.061 -0.599 333.44 355.88 - - 1.000 - 6826 1.087 -8.703 - - 326.90 -82.30 1.006 -0.002 6833 0.974 -6.030 - - - - 1.028 0.015 7051 1.028 -3.128 - - - - 1.007 0.002 7180 0.977 -6.119 - - - - 1.028 0.014 7279 1.059 -7.363 100.00 -6.64 - - 1.005 -0.003 7526 1.027 -2.453 - - -179.73 -63.08 1.010 -0.001 7563 1.054 -10.043 - - 531.70 -12.80 1.023 -0.002 7637 1.049 10.235 - - - - -1.139 0.418
A.2
2/08/18 0:15 MATLAB Command Window 3 of 8
7762 1.017 -2.349 - - - - 1.008 0.002 7829 1.072 -5.776 - - -114.36 30.04 1.004 -0.001 7960 1.060 -0.658 222.88 274.18 - - 1.000 0.000 8103 1.018 -4.414 - - 39.34 -10.70 1.009 0.002 8179 1.011 -3.552 - - - - 1.011 0.002 8181 1.011 -3.331 - - - - 1.011 0.002 8229 1.085 -8.565 - - - - 1.007 -0.001 8329 1.052 -1.197 - - - - 1.002 0.002 8335 1.037 -9.477 - - 637.92 139.57 1.016 -0.002 8420 1.054 -7.268 - - - - 1.005 0.003 8574 1.013 -3.344 - - - - 1.010 0.002 8581 1.053 21.153 - - -1299.13 -140.85 -1.294 0.429 8605 1.033 -1.671 600.00 125.52 - - 1.003 - 8847 1.026 -3.374 - - - - 1.008 0.002 8921 1.018 -2.978 - - - - 1.008 0.001 8964 1.024 -12.218 - - 925.91 147.97 1.041 0.017 9024 1.066 -4.577 - - - - 1.015 -0.005 9025 1.012 -3.099 - - - - 1.011 0.002 9064 1.013 -3.094 - - - - 1.010 0.002 9192 1.032 -10.136 - - 17.92 23.30 1.025 0.016 9239 1.060 -0.655 222.86 274.18 - - 1.000 0.000 -------- -------- -------- -------- Total: 5819.81 2597.70 5727.89 1374.90
================================================================================| Branch Data |================================================================================Brnch From To From Bus Injection To Bus Injection Loss (I^2 * Z) # Bus Bus P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ----- ----- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 1 3097 659 -361.91 6.81 362.77 3.83 0.858 10.64 2 9024 4929 -235.40 52.79 236.38 -41.04 0.982 11.75 3 1815 6542 72.32 -38.20 -71.48 41.67 0.841 3.47 4 6542 1445 -49.45 66.23 50.98 -62.03 1.529 4.20 5 6069 6833 278.71 153.89 -278.14 -149.02 0.567 4.88 6 6069 2268 -204.88 -116.64 205.60 123.10 0.725 6.47 7 6069 7180 267.35 91.15 -266.96 -86.80 0.396 4.35 8 6069 6293 -299.89 -132.82 300.81 143.26 0.913 10.44 9 1968 9192 -128.51 -18.38 128.56 18.93 0.044 0.55 10 1968 3493 -1.01 -0.32 1.02 0.37 0.007 0.05 11 1968 955 0.30 24.50 -0.18 -23.98 0.113 0.52 12 1968 228 -1.78 -0.33 1.80 0.48 0.026 0.15 13 1968 6826 -50.76 -48.88 51.98 53.06 1.214 4.18 14 1968 8964 286.13 1.95 -284.10 7.21 2.026 9.15 15 1968 5776 -2.52 -1.89 2.59 2.07 0.068 0.18 16 9192 955 1.09 3.99 -1.06 -3.90 0.025 0.09 17 9192 6826 -7.05 -7.61 7.22 8.20 0.171 0.59 18 9192 8964 55.59 -2.57 -55.04 4.56 0.559 1.98 19 8574 1616 -134.05 11.26 134.12 -10.58 0.069 0.68 20 8574 1163 -12.55 -88.24 12.62 89.12 0.074 0.88 21 8574 9064 -136.26 16.81 136.33 -16.22 0.068 0.60 22 8574 8921 -203.74 -105.52 203.89 107.25 0.149 1.74 23 3493 2299 8.54 -1.02 -8.54 1.13 0.006 0.11 24 2299 4423 -176.00 -10.33 176.00 10.40 0.000 0.06 25 6826 2299 0.06 0.51 -0.06 -0.49 0.001 0.02
A.2
2/08/18 0:15 MATLAB Command Window 4 of 8
26 7563 2299 -2.04 0.56 2.05 -0.51 0.010 0.04 27 4427 2299 -4.23 -2.29 4.25 2.33 0.013 0.04 28 8335 2299 -0.38 -0.20 0.38 0.21 0.004 0.01 29 5155 2299 -0.66 -1.26 0.66 1.28 0.001 0.02 30 271 2299 15.63 -10.31 -15.56 10.58 0.072 0.28 31 2449 2299 0.57 0.89 -0.55 -0.84 0.018 0.04 32 4665 2299 -66.41 4.98 66.66 -3.82 0.248 1.16 33 4495 2299 -4.14 -1.10 4.15 1.14 0.005 0.04 34 3493 5587 -314.86 -51.02 314.86 51.23 -0.000 0.20 35 4586 3493 6.56 2.51 -6.56 -2.36 0.003 0.15 36 228 3493 40.28 2.53 -39.91 -1.08 0.374 1.45 37 6826 3493 -0.89 4.41 0.91 -4.26 0.014 0.15 38 7563 3493 -1.85 0.56 1.87 -0.50 0.015 0.06 39 4427 3493 -12.56 1.33 12.65 -1.11 0.091 0.22 40 8335 3493 -0.56 -0.04 0.57 0.05 0.007 0.01 41 5155 3493 -26.09 -9.28 26.24 9.86 0.144 0.58 42 271 3493 0.11 -0.27 -0.11 0.27 0.000 0.00 43 5776 3493 -0.06 1.19 0.07 -1.16 0.007 0.04 44 2449 3493 0.24 0.96 -0.22 -0.92 0.015 0.04 45 4665 3493 -3.76 0.98 3.79 -0.86 0.034 0.11 46 4495 3493 -79.30 9.06 79.70 -7.35 0.408 1.71 47 5587 4586 -108.92 -24.71 109.26 26.99 0.343 2.28 48 4423 4586 -176.00 -10.03 176.82 15.70 0.815 5.67 49 4929 2870 0.00 -0.70 -0.00 0.70 0.000 0.00 50 4929 659 -188.77 40.45 189.06 -36.85 0.288 3.60 51 4929 1037 0.00 -0.62 0.00 0.62 0.000 0.00 52 4929 659 -220.49 52.48 220.92 -48.26 0.434 4.22 53 1815 5210 -0.32 0.79 0.32 -0.78 0.003 0.02 54 1815 1445 -0.32 15.46 0.38 -15.19 0.067 0.27 55 1616 7762 -403.72 -57.00 404.43 62.18 0.712 5.18 56 1616 2520 269.59 82.43 -269.24 -78.64 0.356 3.78 57 9064 7762 -386.78 -72.84 387.23 78.15 0.453 5.31 58 9064 89 250.45 104.73 -250.09 -101.47 0.366 3.26 59 1317 659 -202.34 -124.40 202.69 128.24 0.349 3.83 60 1317 8605 53.04 149.21 -52.83 -146.88 0.212 2.33 61 8605 1367 288.03 81.41 -287.99 -81.07 0.034 0.34 62 8605 8921 364.80 190.99 -363.56 -179.90 1.240 11.09 63 1163 1676 108.00 65.48 -107.99 -65.42 0.006 0.07 64 1163 7051 -120.62 -137.80 120.70 138.79 0.080 0.99 65 913 7762 823.95 262.57 -820.66 -224.91 3.290 37.66 66 2107 7762 961.84 361.07 -957.35 -307.51 4.496 53.56 67 2107 5996 -288.15 55.31 288.28 -53.93 0.128 1.38 68 2107 6293 537.55 245.52 -532.18 -197.95 5.368 47.57 69 913 7762 868.09 265.07 -864.16 -225.59 3.932 39.48 70 6704 8921 -159.60 -88.79 159.67 89.59 0.068 0.80 71 228 4586 82.73 0.40 -82.47 0.91 0.265 1.31 72 2441 6293 -231.23 -86.46 231.37 88.24 0.148 1.78 73 955 3506 -277.03 -104.55 277.03 104.74 0.000 0.19 74 955 8964 34.07 -20.26 -33.79 21.81 0.276 1.55 75 3506 2908 -46.27 -43.24 46.53 44.81 0.254 1.57 76 228 6826 4.99 -2.85 -4.96 3.14 0.031 0.29 77 228 5776 1.34 -0.95 -1.32 1.02 0.017 0.08 78 8964 6826 -17.85 -3.72 18.67 5.10 0.815 1.38 79 5776 6826 19.58 -21.35 -19.56 21.43 0.020 0.08 80 659 8329 321.60 163.21 -321.20 -159.67 0.395 3.54
A.2
2/08/18 0:15 MATLAB Command Window 5 of 8
81 659 7051 386.11 225.40 -383.91 -203.00 2.196 22.40 82 659 9239 -222.79 -273.46 222.86 274.18 0.067 0.72 83 659 7960 -222.81 -273.48 222.88 274.18 0.067 0.70 84 659 6233 -185.97 286.89 186.03 -286.31 0.063 0.57 85 659 5416 -973.63 199.35 980.59 -113.97 6.968 85.38 86 659 6798 -333.29 -354.21 333.44 355.88 0.148 1.67 87 792 3279 -254.61 -32.87 254.61 33.01 0.000 0.13 88 7563 792 -0.68 0.29 0.69 -0.25 0.010 0.04 89 7279 792 -0.39 2.59 0.40 -2.56 0.009 0.03 90 8335 792 -37.50 -3.75 37.71 5.39 0.209 1.63 91 2449 792 -5.03 16.61 5.18 -15.71 0.144 0.91 92 4665 792 -2.16 0.87 2.20 -0.76 0.034 0.11 93 4495 792 -1.74 0.51 1.76 -0.44 0.017 0.07 94 5416 2267 302.54 -84.93 -302.33 86.83 0.214 1.90 95 5416 7637 -1283.13 226.66 1297.43 -90.82 14.291 135.84 96 8964 2168 -257.72 -61.53 257.72 61.68 0.000 0.15 97 3659 5996 314.26 197.15 -314.04 -194.57 0.228 2.58 98 5762 5996 0.00 2.41 0.00 -2.41 0.000 0.00 99 3242 5097 -8.85 28.98 8.85 -28.98 0.000 0.00 100 7563 3242 -58.09 4.65 58.72 -1.80 0.632 2.85 101 4427 3242 -0.53 -0.16 0.53 0.18 0.002 0.02 102 3242 7279 4.46 4.38 -4.45 -4.36 0.003 0.03 103 271 3242 -0.19 -0.18 0.19 0.18 0.000 0.01 104 3242 1611 0.55 1.55 -0.55 -1.54 0.002 0.01 105 5097 1611 12.38 33.17 -12.33 -32.88 0.047 0.29 106 8181 8179 122.61 -19.94 -122.56 20.42 0.047 0.48 107 8181 7762 -361.27 -88.00 361.85 94.74 0.582 6.74 108 9025 7762 -270.93 -70.81 271.25 74.70 0.321 3.89 109 7563 4427 -1.98 1.28 1.98 -1.24 0.006 0.04 110 7563 7279 -133.68 21.12 135.18 -14.92 1.503 6.20 111 7563 8335 -1.27 3.24 1.28 -3.17 0.011 0.07 112 7563 5155 -1.44 1.32 1.44 -1.28 0.001 0.04 113 7563 271 -4.25 0.87 4.25 -0.71 0.004 0.15 114 2449 7563 0.99 0.81 -0.97 -0.75 0.020 0.06 115 4665 7563 4.75 -6.45 -4.75 6.48 0.007 0.04 116 4495 7563 0.53 -0.45 -0.53 0.45 0.003 0.01 117 7563 1611 -49.84 12.34 50.36 -9.95 0.523 2.39 118 4427 7279 -1.39 -0.23 1.40 0.28 0.008 0.05 119 4427 8335 0.14 0.12 -0.14 -0.12 0.001 0.00 120 4427 5155 1.33 14.88 -1.32 -14.79 0.013 0.10 121 4427 271 -50.66 5.12 50.82 -4.10 0.157 1.02 122 2449 4427 0.48 0.68 -0.46 -0.65 0.015 0.04 123 4665 4427 -0.92 0.57 0.92 -0.56 0.003 0.01 124 4495 4427 -7.46 8.08 7.47 -8.03 0.010 0.05 125 4427 1611 -0.69 -0.04 0.69 0.06 0.003 0.02 126 5210 1445 40.36 -2.61 -40.32 2.87 0.040 0.26 127 8179 5509 220.98 -12.37 -220.62 15.70 0.354 3.32 128 8179 7762 -273.83 -46.75 274.34 52.79 0.513 6.04 129 7279 4014 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 130 8335 7279 -140.64 -49.16 141.72 55.48 1.082 6.32 131 5155 7279 -0.94 -0.43 0.95 0.47 0.003 0.04 132 271 7279 -0.52 -0.40 0.52 0.41 0.001 0.01 133 2449 7279 -1.32 6.60 1.39 -6.33 0.071 0.27 134 4665 7279 -1.99 0.61 2.03 -0.53 0.041 0.08 135 4495 7279 -0.89 0.07 0.90 -0.04 0.010 0.03
A.2
2/08/18 0:15 MATLAB Command Window 6 of 8
136 1611 7279 0.13 -3.53 -0.13 3.54 0.003 0.02 137 5509 1579 -178.94 -72.02 179.26 75.28 0.321 3.26 138 8335 1531 -186.59 -3.78 186.59 3.85 0.000 0.07 139 5155 8335 0.08 0.02 -0.08 -0.02 0.000 0.00 140 2449 8335 19.14 42.74 -18.77 -39.96 0.378 2.78 141 4665 8335 -0.52 2.34 0.53 -2.30 0.008 0.03 142 4495 8335 0.48 1.39 -0.47 -1.37 0.003 0.02 143 7762 2268 405.20 206.00 -403.86 -190.48 1.338 15.52 144 5155 271 -35.98 -10.82 36.04 11.62 0.060 0.81 145 5155 2908 5.65 16.46 -5.61 -16.29 0.038 0.17 146 4665 5155 -0.46 0.42 0.46 -0.41 0.000 0.01 147 4495 5155 -0.15 0.47 0.15 -0.46 0.000 0.00 148 5155 1611 -50.04 -13.55 50.25 15.36 0.203 1.81 149 271 2908 47.26 21.07 -46.86 -19.72 0.402 1.35 150 4665 271 -0.76 0.08 0.76 -0.06 0.000 0.02 151 4495 271 -0.66 0.19 0.66 -0.18 0.004 0.02 152 271 1611 -18.93 -5.96 18.95 6.22 0.028 0.27 153 1579 5848 -179.26 -58.09 179.40 59.33 0.137 1.24 154 7051 8847 263.21 86.60 -263.10 -85.31 0.109 1.29 155 5776 8229 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.00 156 317 6233 -345.79 -96.10 345.81 96.35 0.023 0.25 157 4665 2449 -20.69 -26.31 20.98 28.06 0.291 1.75 158 2449 4495 18.07 37.36 -17.82 -35.36 0.250 2.00 159 4665 4495 -25.89 10.16 25.95 -9.93 0.053 0.22 160 1611 8420 -381.61 -139.63 381.61 139.96 0.000 0.33 161 9024 6542 114.91 -8.12 -114.83 15.87 0.086 7.76 162 9024 6542 120.32 -15.96 -120.22 24.21 0.102 8.25 163 6069 9192 196.34 53.51 -196.11 -36.04 0.227 17.47 164 6069 1968 218.75 117.04 -218.44 -93.08 0.313 23.97 165 7829 1968 1.81 0.73 -1.79 -0.56 0.017 0.17 166 8574 2299 279.99 143.47 -279.53 -110.88 0.456 32.58 167 8574 5587 206.15 43.77 -205.94 -26.15 0.209 17.62 168 4929 1815 135.80 -2.01 -135.66 12.04 0.145 10.03 169 1815 792 0.30 0.20 -0.30 -0.19 0.002 0.01 170 6704 4586 159.39 89.48 -159.22 -75.92 0.162 13.56 171 2441 3506 230.99 87.60 -230.75 -60.89 0.233 26.71 172 1367 6826 287.81 79.47 -287.27 -42.74 0.539 36.72 173 1676 228 107.81 63.88 -107.72 -57.01 0.096 6.87 174 7829 6826 92.20 -24.11 -92.14 29.20 0.062 5.09 175 659 3279 255.15 62.19 -254.61 -33.01 0.534 29.18 176 5210 792 35.97 -1.94 -35.87 3.00 0.101 1.06 177 1445 792 52.51 -1.30 -52.45 2.51 0.056 1.21 178 7180 2168 266.73 90.83 -266.32 -60.20 0.413 30.63 179 6833 8964 277.91 153.61 -277.41 -116.29 0.499 37.32 180 3659 3242 352.41 175.31 -351.70 -115.79 0.711 59.53 181 8181 4427 238.45 114.71 -238.12 -85.95 0.327 28.77 182 9025 7563 270.72 73.97 -270.33 -39.62 0.385 34.35 183 2267 5210 469.00 141.33 -468.15 -61.82 0.845 79.51 184 5210 7279 2.95 -1.42 -2.93 1.54 0.022 0.12 185 5210 8335 29.73 3.22 -29.54 -1.07 0.186 2.15 186 5210 2449 7.49 -7.92 -7.40 8.71 0.092 0.80 187 5210 4665 2.07 -0.76 -2.01 0.92 0.062 0.16 188 5210 4495 1.65 -0.34 -1.62 0.46 0.027 0.11 189 8179 7279 175.21 58.29 -175.00 -45.55 0.209 12.74 190 1445 7279 1.19 -0.74 -1.18 0.79 0.009 0.04
A.2
2/08/18 0:15 MATLAB Command Window 7 of 8
191 5509 8335 212.45 53.63 -212.20 -34.02 0.253 19.61 192 5509 1531 186.79 20.36 -186.59 -3.85 0.195 16.51 193 1445 8335 12.92 1.45 -12.85 -0.60 0.074 0.85 194 7762 5155 304.64 178.10 -304.04 -132.21 0.601 45.89 195 7762 271 232.91 61.48 -232.61 -37.35 0.303 24.13 196 7829 5776 20.35 -6.66 -20.25 7.74 0.097 1.08 197 8329 1445 158.78 80.16 -158.56 -64.87 0.214 15.29 198 8329 1445 162.26 81.78 -162.03 -66.16 0.229 15.63 199 1445 2449 3.55 -4.61 -3.50 5.01 0.058 0.40 200 1445 4665 0.98 -0.33 -0.95 0.40 0.024 0.07 201 2268 2908 198.07 90.02 -197.86 -69.16 0.217 20.86 202 8847 5776 223.55 94.33 -223.24 -71.18 0.318 23.14 203 8847 8103 39.36 -9.94 -39.34 10.70 0.016 0.76 204 317 2449 345.73 94.06 -345.12 -45.24 0.617 48.82 205 7637 8581 -1297.75 97.62 1299.13 140.85 1.385 238.47 206 5848 7526 -179.70 -59.77 179.73 63.08 0.031 3.31 207 89 4495 249.88 106.07 -249.47 -77.80 0.412 28.27 208 2520 4665 269.18 82.51 -268.74 -52.07 0.440 30.45 209 5996 8420 382.61 204.27 -381.61 -139.96 0.996 64.31 210 2154 5996 357.14 -39.05 -357.03 50.98 0.108 11.94 -------- -------- Total: 86.242 1791.84
================================================================================| Voltage Constraints |================================================================================Bus # Vmin mu Vmin |V| Vmax Vmax mu----- -------- ----- ----- ----- -------- 2449 - 0.900 1.100 1.100 386.897
================================================================================| Generation Constraints |================================================================================ Gen Bus Active Power Limits # # Pmin mu Pmin Pg Pmax Pmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 3 2267 0.012 166.67 166.67 500.00 - 4 3659 0.002 666.67 666.67 2000.00 - 6 5097 - 7.08 21.23 21.23 0.003 9 7279 - -908.93 100.00 100.00 0.005 11 8605 - 200.00 600.00 600.00 0.003
Gen Bus Reactive Power Limits # # Qmin mu Qmin Qg Qmax Qmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 3 2267 - -78.83 228.16 228.16 0.024 5 4586 0.003 -29.81 -29.81 92.96 - 9 7279 0.003 -6.64 -6.64 14.78 -
================================================================================| Branch Flow Constraints |================================================================================Brnch From "From" End Limit "To" End To # Bus |Sf| mu |Sf| |Smax| |St| |St| mu Bus----- ----- ------- -------- -------- -------- ------- -----
A.2
2/08/18 0:15 MATLAB Command Window 8 of 8
34 3493 - 318.97 319.00 319.00 0.038 5587 95 5416 2.100 1303.00 1303.00 1300.60 - 7637
results =
version: '2' baseMVA: 100 bus: [89x17 double] gen: [12x25 double] branch: [210x21 double] gencost: [12x7 double] order: [1x1 struct] om: [1x1 opf_model] x: [202x1 double] mu: [1x1 struct] f: 5.8198e+03 var: [1x1 struct] nln: [1x1 struct] et: 0.3240 success: 1 raw: [1x1 struct]
>>
A.2
>> results=runpf(case14)
MATPOWER Version 6.0, 16-Dec-2016 -- AC Power Flow (Newton)
Newton's method power flow converged in 2 iterations.
Converged in 0.03 seconds================================================================================| System Summary |================================================================================
How many? How much? P (MW) Q (MVAr)--------------------- ------------------- ------------- -----------------Buses 14 Total Gen Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Generators 5 On-line Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Committed Gens 5 Generation (actual) 272.4 82.4Loads 11 Load 259.0 73.5 Fixed 11 Fixed 259.0 73.5 Dispatchable 0 Dispatchable -0.0 of -0.0 -0.0Shunts 1 Shunt (inj) -0.0 21.2Branches 20 Losses (I^2 * Z) 13.39 54.54Transformers 3 Branch Charging (inj) - 24.4Inter-ties 0 Total Inter-tie Flow 0.0 0.0Areas 1
Minimum Maximum ------------------------- --------------------------------Voltage Magnitude 1.010 p.u. @ bus 3 1.090 p.u. @ bus 8Voltage Angle -16.03 deg @ bus 14 0.00 deg @ bus 1P Losses (I^2*R) - 4.30 MW @ line 1-2Q Losses (I^2*X) - 13.12 MVAr @ line 1-2
================================================================================| Bus Data |================================================================================ Bus Voltage Generation Load # Mag(pu) Ang(deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ------- -------- -------- -------- -------- -------- 1 1.060 0.000* 232.39 -16.55 - - 2 1.045 -4.983 40.00 43.56 21.70 12.70 3 1.010 -12.725 0.00 25.08 94.20 19.00 4 1.018 -10.313 - - 47.80 -3.90 5 1.020 -8.774 - - 7.60 1.60 6 1.070 -14.221 0.00 12.73 11.20 7.50 7 1.062 -13.360 - - - - 8 1.090 -13.360 0.00 17.62 - - 9 1.056 -14.939 - - 29.50 16.60 10 1.051 -15.097 - - 9.00 5.80 11 1.057 -14.791 - - 3.50 1.80 12 1.055 -15.076 - - 6.10 1.60 13 1.050 -15.156 - - 13.50 5.80 14 1.036 -16.034 - - 14.90 5.00 -------- -------- -------- -------- Total: 272.39 82.44 259.00 73.50
A3 Caso 14 nudos: Resulados del flujo de cargas
A.3
================================================================================| Branch Data |================================================================================Brnch From To From Bus Injection To Bus Injection Loss (I^2 * Z) # Bus Bus P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ----- ----- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 1 1 2 156.88 -20.40 -152.59 27.68 4.298 13.12 2 1 5 75.51 3.85 -72.75 2.23 2.763 11.41 3 2 3 73.24 3.56 -70.91 1.60 2.323 9.79 4 2 4 56.13 -1.55 -54.45 3.02 1.677 5.09 5 2 5 41.52 1.17 -40.61 -2.10 0.904 2.76 6 3 4 -23.29 4.47 23.66 -4.84 0.373 0.95 7 4 5 -61.16 15.82 61.67 -14.20 0.514 1.62 8 4 7 28.07 -9.68 -28.07 11.38 0.000 1.70 9 4 9 16.08 -0.43 -16.08 1.73 0.000 1.30 10 5 6 44.09 12.47 -44.09 -8.05 0.000 4.42 11 6 11 7.35 3.56 -7.30 -3.44 0.055 0.12 12 6 12 7.79 2.50 -7.71 -2.35 0.072 0.15 13 6 13 17.75 7.22 -17.54 -6.80 0.212 0.42 14 7 8 -0.00 -17.16 0.00 17.62 0.000 0.46 15 7 9 28.07 5.78 -28.07 -4.98 0.000 0.80 16 9 10 5.23 4.22 -5.21 -4.18 0.013 0.03 17 9 14 9.43 3.61 -9.31 -3.36 0.116 0.25 18 10 11 -3.79 -1.62 3.80 1.64 0.013 0.03 19 12 13 1.61 0.75 -1.61 -0.75 0.006 0.01 20 13 14 5.64 1.75 -5.59 -1.64 0.054 0.11 -------- -------- Total: 13.393 54.54
results =
version: '2' baseMVA: 100 bus: [14x13 double] gen: [5x21 double] branch: [20x17 double] gencost: [5x7 double] bus_name: {14x1 cell} order: [1x1 struct] et: 0.0320 success: 1 iterations: 2
>>
A.3
>> mpopt = mpoption('pf.alg', 'NR','opf.ac.solver','mips');>> [r,succes]=runopf(case14,mpopt)
MATPOWER Version 6.0, 16-Dec-2016 -- AC Optimal Power FlowMATPOWER Interior Point Solver -- MIPS, Version 1.2.2, 16-Dec-2016 (using built-in linear solver)Converged!
Converged in 0.13 secondsObjective Function Value = 8081.53 $/hr================================================================================| System Summary |================================================================================
How many? How much? P (MW) Q (MVAr)--------------------- ------------------- ------------- -----------------Buses 14 Total Gen Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Generators 5 On-line Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Committed Gens 5 Generation (actual) 268.3 67.6Loads 11 Load 259.0 73.5 Fixed 11 Fixed 259.0 73.5 Dispatchable 0 Dispatchable -0.0 of -0.0 -0.0Shunts 1 Shunt (inj) -0.0 20.7Branches 20 Losses (I^2 * Z) 9.29 39.16Transformers 3 Branch Charging (inj) - 24.3Inter-ties 0 Total Inter-tie Flow 0.0 0.0Areas 1
Minimum Maximum ------------------------- --------------------------------Voltage Magnitude 1.014 p.u. @ bus 4 1.060 p.u. @ bus 1Voltage Angle -14.27 deg @ bus 14 0.00 deg @ bus 1P Losses (I^2*R) - 2.90 MW @ line 1-2Q Losses (I^2*X) - 8.86 MVAr @ line 1-2Lambda P 36.72 $/MWh @ bus 1 41.20 $/MWh @ bus 14Lambda Q -0.09 $/MWh @ bus 1 0.57 $/MWh @ bus 14
================================================================================| Bus Data |================================================================================ Bus Voltage Generation Load Lambda($/MVA-hr) # Mag(pu) Ang(deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P Q----- ------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- ------- 1 1.060 0.000* 194.33 0.00 - - 36.724 -0.094 2 1.041 -4.022 36.72 23.69 21.70 12.70 38.360 - 3 1.016 -9.926 28.74 24.13 94.20 19.00 40.575 - 4 1.014 -8.665 - - 47.80 -3.90 40.190 0.120 5 1.016 -7.428 - - 7.60 1.60 39.661 0.208 6 1.060 -12.689 0.00 11.55 11.20 7.50 39.734 - 7 1.046 -11.188 - - - - 40.172 0.120 8 1.060 -10.415 8.49 8.27 - - 40.170 - 9 1.044 -12.997 - - 29.50 16.60 40.166 0.196 10 1.039 -13.233 - - 9.00 5.80 40.318 0.309 11 1.046 -13.091 - - 3.50 1.80 40.155 0.228 12 1.045 -13.533 - - 6.10 1.60 40.379 0.212
A4 Caso 14 nudos: Resulados del flujo de cargas óptimo
A.4
13 1.040 -13.583 - - 13.50 5.80 40.575 0.353 14 1.024 -14.274 - - 14.90 5.00 41.197 0.571 -------- -------- -------- -------- Total: 268.29 67.63 259.00 73.50
================================================================================| Branch Data |================================================================================Brnch From To From Bus Injection To Bus Injection Loss (I^2 * Z) # Bus Bus P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ----- ----- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 1 1 2 129.67 -6.36 -126.77 9.40 2.902 8.86 2 1 5 64.66 6.37 -62.61 -3.21 2.051 8.47 3 2 3 55.59 0.47 -54.25 0.56 1.344 5.66 4 2 4 48.92 -0.48 -47.63 0.79 1.285 3.90 5 2 5 37.28 1.59 -36.54 -3.00 0.737 2.25 6 3 4 -11.21 4.57 11.31 -5.63 0.099 0.25 7 4 5 -49.17 11.58 49.50 -10.53 0.331 1.04 8 4 7 22.85 -3.99 -22.85 5.04 0.000 1.05 9 4 9 14.84 1.17 -14.84 -0.04 0.000 1.12 10 5 6 42.06 15.14 -42.06 -10.90 -0.000 4.23 11 6 11 6.09 4.56 -6.04 -4.46 0.049 0.10 12 6 12 7.65 2.66 -7.58 -2.51 0.072 0.15 13 6 13 17.12 7.73 -16.91 -7.32 0.208 0.41 14 7 8 -8.49 -8.05 8.49 8.27 0.000 0.22 15 7 9 31.34 3.01 -31.34 -2.02 0.000 1.00 16 9 10 6.49 3.20 -6.47 -3.16 0.015 0.04 17 9 14 10.20 2.95 -10.06 -2.67 0.131 0.28 18 10 11 -2.53 -2.64 2.54 2.66 0.010 0.02 19 12 13 1.48 0.91 -1.47 -0.91 0.006 0.01 20 13 14 4.88 2.42 -4.84 -2.33 0.047 0.10 -------- -------- Total: 9.287 39.16
================================================================================| Voltage Constraints |================================================================================Bus # Vmin mu Vmin |V| Vmax Vmax mu----- -------- ----- ----- ----- -------- 1 - 0.940 1.060 1.060 583.780 6 - 0.940 1.060 1.060 55.184 8 - 0.940 1.060 1.060 71.069
================================================================================| Generation Constraints |================================================================================ Gen Bus Active Power Limits # # Pmin mu Pmin Pg Pmax Pmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 4 6 0.266 0.00 0.00 100.00 -
Gen Bus Reactive Power Limits # # Qmin mu Qmin Qg Qmax Qmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 1 1 0.094 0.00 0.00 10.00 -
A.4
>> mpopt = mpoption('pf.alg', 'NR','opf.ac.solver','fmincon');>> [r,succes]=runopf(case14,mpopt)
MATPOWER Version 6.0, 16-Dec-2016 -- AC Optimal Power FlowYour initial point x0 is not between bounds lb and ub; FMINCONshifted x0 to strictly satisfy the bounds.
First-order Norm of Iter F-count f(x) Feasibility optimality step 0 1 1.363275e+04 1.260e+00 6.654e+02 1 2 9.592893e+03 3.395e-01 1.435e+03 6.028e-01 2 3 9.134088e+03 2.380e-01 3.135e+02 7.827e-02 3 4 8.686484e+03 1.378e-01 1.524e+02 7.420e-02 4 5 8.079494e+03 5.790e-04 2.966e+01 1.143e-01 5 6 8.081072e+03 1.729e-04 7.637e+00 2.349e-02 6 7 8.081553e+03 4.644e-06 3.230e-01 1.688e-02
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing infeasible directions, to within the selected value of the function tolerance,and constraints are satisfied to within the selected value of the constrainttolerance.
<stopping criteria details>
Converged in 0.22 secondsObjective Function Value = 8081.55 $/hr================================================================================| System Summary |================================================================================
How many? How much? P (MW) Q (MVAr)--------------------- ------------------- ------------- -----------------Buses 14 Total Gen Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Generators 5 On-line Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Committed Gens 5 Generation (actual) 268.3 67.6Loads 11 Load 259.0 73.5 Fixed 11 Fixed 259.0 73.5 Dispatchable 0 Dispatchable -0.0 of -0.0 -0.0Shunts 1 Shunt (inj) -0.0 20.7Branches 20 Losses (I^2 * Z) 9.29 39.14Transformers 3 Branch Charging (inj) - 24.3Inter-ties 0 Total Inter-tie Flow 0.0 0.0Areas 1
Minimum Maximum ------------------------- --------------------------------Voltage Magnitude 1.014 p.u. @ bus 4 1.060 p.u. @ bus 1Voltage Angle -14.27 deg @ bus 14 0.00 deg @ bus 1P Losses (I^2*R) - 2.90 MW @ line 1-2Q Losses (I^2*X) - 8.86 MVAr @ line 1-2Lambda P 36.72 $/MWh @ bus 1 41.20 $/MWh @ bus 14Lambda Q -0.10 $/MWh @ bus 1 0.57 $/MWh @ bus 14
A5 Caso 14 nudos: Resulados del solucionador "fmincon"
A.5
================================================================================| Bus Data |================================================================================ Bus Voltage Generation Load Lambda($/MVA-hr) # Mag(pu) Ang(deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P Q----- ------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- ------- 1 1.060 0.000* 194.31 0.09 - - 36.722 -0.095 2 1.041 -4.022 36.72 23.58 21.70 12.70 38.358 - 3 1.016 -9.927 28.70 24.13 94.20 19.00 40.574 - 4 1.014 -8.664 - - 47.80 -3.90 40.188 0.119 5 1.016 -7.427 - - 7.60 1.60 39.658 0.207 6 1.060 -12.678 0.13 11.53 11.20 7.50 39.729 - 7 1.046 -11.189 - - - - 40.170 0.119 8 1.060 -10.421 8.43 8.28 - - 40.169 -0.000 9 1.044 -12.995 - - 29.50 16.60 40.165 0.195 10 1.039 -13.229 - - 9.00 5.80 40.316 0.308 11 1.046 -13.084 - - 3.50 1.80 40.152 0.228 12 1.045 -13.522 - - 6.10 1.60 40.374 0.212 13 1.040 -13.573 - - 13.50 5.80 40.571 0.353 14 1.024 -14.269 - - 14.90 5.00 41.195 0.571 -------- -------- -------- -------- Total: 268.29 67.61 259.00 73.50
================================================================================| Branch Data |================================================================================Brnch From To From Bus Injection To Bus Injection Loss (I^2 * Z) # Bus Bus P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ----- ----- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 1 1 2 129.66 -6.28 -126.76 9.32 2.902 8.86 2 1 5 64.65 6.37 -62.60 -3.22 2.050 8.46 3 2 3 55.61 0.48 -54.26 0.56 1.345 5.67 4 2 4 48.91 -0.49 -47.62 0.79 1.284 3.90 5 2 5 37.26 1.58 -36.52 -2.99 0.736 2.25 6 3 4 -11.24 4.56 11.33 -5.63 0.100 0.25 7 4 5 -49.21 11.56 49.54 -10.52 0.331 1.05 8 4 7 22.86 -4.00 -22.86 5.04 0.000 1.05 9 4 9 14.84 1.17 -14.84 -0.04 0.000 1.12 10 5 6 41.98 15.12 -41.98 -10.90 0.000 4.22 11 6 11 6.12 4.56 -6.07 -4.45 0.049 0.10 12 6 12 7.66 2.66 -7.58 -2.51 0.072 0.15 13 6 13 17.13 7.72 -16.93 -7.31 0.208 0.41 14 7 8 -8.43 -8.06 8.43 8.28 -0.000 0.22 15 7 9 31.29 3.02 -31.29 -2.03 0.000 0.99 16 9 10 6.45 3.21 -6.44 -3.17 0.015 0.04 17 9 14 10.17 2.96 -10.04 -2.68 0.131 0.28 18 10 11 -2.56 -2.63 2.57 2.65 0.010 0.02 19 12 13 1.48 0.91 -1.48 -0.90 0.006 0.01 20 13 14 4.90 2.42 -4.86 -2.32 0.047 0.10 -------- -------- Total: 9.287 39.14
================================================================================| Voltage Constraints |
A.5
================================================================================Bus # Vmin mu Vmin |V| Vmax Vmax mu----- -------- ----- ----- ----- -------- 1 0.005 0.940 1.060 1.060 583.919 2 0.005 0.940 1.041 1.060 0.066 3 0.006 0.940 1.016 1.060 0.015 4 0.007 0.940 1.014 1.060 0.006 5 0.007 0.940 1.016 1.060 0.007 6 0.005 0.940 1.060 1.060 54.743 7 0.005 0.940 1.046 1.060 0.107 8 0.005 0.940 1.060 1.060 70.907 9 0.005 0.940 1.044 1.060 0.053 10 0.005 0.940 1.039 1.060 0.057 11 0.005 0.940 1.046 1.060 0.127 12 0.006 0.940 1.045 1.060 0.044 13 0.006 0.940 1.040 1.060 0.036 14 0.006 0.940 1.024 1.060 0.022
================================================================================| Generation Constraints |================================================================================ Gen Bus Active Power Limits # # Pmin mu Pmin Pg Pmax Pmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 4 6 0.274 0.00 0.13 100.00 -
Gen Bus Reactive Power Limits # # Qmin mu Qmin Qg Qmax Qmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 1 1 0.095 0.00 0.09 10.00 -
r =
version: '2' baseMVA: 100 bus: [14x17 double] gen: [5x25 double] branch: [20x21 double] gencost: [5x7 double] bus_name: {14x1 cell} order: [1x1 struct] om: [1x1 opf_model] x: [38x1 double] mu: [1x1 struct] f: 8.0816e+03 var: [1x1 struct] nln: [1x1 struct] et: 0.2180 success: 1 raw: [1x1 struct]
succes =
1
A.5
>> mpopt = mpoption('pf.alg', 'NR','opf.ac.solver','knitro');>> [r,succes]=runopf(case14,mpopt)
MATPOWER Version 6.0, 16-Dec-2016 -- AC Optimal Power Flow
Knitro 11.0.1 STUDENT LICENSE (problem size limit = 300)
Knitro 11.0.1 STUDENT LICENSE (problem size limit = 300)
======================================= Student License (NOT FOR COMMERCIAL USE) Artelys Knitro 11.0.1=======================================
Knitro presolve eliminated 1 variable and 0 constraints.
algorithm: 1bar_directinterval: 0feastol: 5e-006honorbnds: 1opttol: 0.0001outlev: 1par_concurrent_evals: 0xtol: 0.0001Knitro changing bar_initpt from AUTO to 3.Knitro changing bar_murule from AUTO to 4.Knitro changing bar_penaltycons from AUTO to 1.Knitro changing bar_penaltyrule from AUTO to 2.Knitro changing bar_switchrule from AUTO to 2.Knitro changing linesearch from AUTO to 1.Knitro changing linsolver from AUTO to 2.Knitro fixing 1 variable eliminated from the presolve.
Problem Characteristics ( Presolved)-----------------------Objective goal: MinimizeObjective type: generalNumber of variables: 38 ( 37) bounded below only: 0 ( 0) bounded above only: 0 ( 0) bounded below and above: 24 ( 24) fixed: 1 ( 0) free: 13 ( 13)Number of constraints: 28 ( 28) linear equalities: 0 ( 0) quadratic equalities: 0 ( 0) gen. nonlinear equalities: 28 ( 28) linear one-sided inequalities: 0 ( 0) quadratic one-sided inequalities: 0 ( 0) gen. nonlinear one-sided inequalities: 0 ( 0) linear two-sided inequalities: 0 ( 0) quadratic two-sided inequalities: 0 ( 0) gen. nonlinear two-sided inequalities: 0 ( 0)Number of nonzeros in Jacobian: 226 ( 220)
A6 Caso 14 nudos: Resulados del solucionador "knitro"
A.6
Number of nonzeros in Hessian: 127 ( 121)
EXIT: Locally optimal solution found.
Final Statistics----------------Final objective value = 8.08152439856135e+003Final feasibility error (abs / rel) = 4.53e-007 / 2.73e-007Final optimality error (abs / rel) = 1.36e-004 / 1.84e-006# of iterations = 6# of CG iterations = 0# of function evaluations = 7# of gradient evaluations = 7# of Hessian evaluations = 6Total program time (secs) = 0.048 ( 0.094 CPU time)Time spent in evaluations (secs) = 0.037
===============================================================================
Converged in 0.88 secondsObjective Function Value = 8081.52 $/hr================================================================================| System Summary |================================================================================
How many? How much? P (MW) Q (MVAr)--------------------- ------------------- ------------- -----------------Buses 14 Total Gen Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Generators 5 On-line Capacity 772.4 -52.0 to 148.0Committed Gens 5 Generation (actual) 268.3 67.6Loads 11 Load 259.0 73.5 Fixed 11 Fixed 259.0 73.5 Dispatchable 0 Dispatchable -0.0 of -0.0 -0.0Shunts 1 Shunt (inj) -0.0 20.7Branches 20 Losses (I^2 * Z) 9.29 39.16Transformers 3 Branch Charging (inj) - 24.3Inter-ties 0 Total Inter-tie Flow 0.0 0.0Areas 1
Minimum Maximum ------------------------- --------------------------------Voltage Magnitude 1.014 p.u. @ bus 4 1.060 p.u. @ bus 1Voltage Angle -14.27 deg @ bus 14 0.00 deg @ bus 1P Losses (I^2*R) - 2.90 MW @ line 1-2Q Losses (I^2*X) - 8.86 MVAr @ line 1-2Lambda P 36.72 $/MWh @ bus 1 41.20 $/MWh @ bus 14Lambda Q -0.09 $/MWh @ bus 1 0.57 $/MWh @ bus 14
================================================================================| Bus Data |================================================================================ Bus Voltage Generation Load Lambda($/MVA-hr) # Mag(pu) Ang(deg) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P Q----- ------- -------- -------- -------- -------- -------- ------- -------
A.6
1 1.060 0.000* 194.33 0.00 - - 36.724 -0.094 2 1.041 -4.022 36.72 23.69 21.70 12.70 38.360 - 3 1.016 -9.926 28.74 24.13 94.20 19.00 40.575 - 4 1.014 -8.665 - - 47.80 -3.90 40.190 0.120 5 1.016 -7.428 - - 7.60 1.60 39.661 0.208 6 1.060 -12.689 0.00 11.55 11.20 7.50 39.734 - 7 1.046 -11.188 - - - - 40.172 0.120 8 1.060 -10.415 8.49 8.27 - - 40.170 - 9 1.044 -12.997 - - 29.50 16.60 40.166 0.196 10 1.039 -13.233 - - 9.00 5.80 40.318 0.309 11 1.046 -13.091 - - 3.50 1.80 40.155 0.228 12 1.045 -13.533 - - 6.10 1.60 40.379 0.212 13 1.040 -13.583 - - 13.50 5.80 40.575 0.353 14 1.024 -14.274 - - 14.90 5.00 41.198 0.571 -------- -------- -------- -------- Total: 268.29 67.63 259.00 73.50
================================================================================| Branch Data |================================================================================Brnch From To From Bus Injection To Bus Injection Loss (I^2 * Z) # Bus Bus P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr) P (MW) Q (MVAr)----- ----- ----- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 1 1 2 129.67 -6.36 -126.77 9.40 2.902 8.86 2 1 5 64.66 6.36 -62.61 -3.21 2.051 8.47 3 2 3 55.59 0.47 -54.25 0.56 1.344 5.66 4 2 4 48.92 -0.48 -47.63 0.79 1.285 3.90 5 2 5 37.28 1.59 -36.54 -3.00 0.737 2.25 6 3 4 -11.21 4.57 11.31 -5.63 0.099 0.25 7 4 5 -49.16 11.58 49.50 -10.53 0.331 1.04 8 4 7 22.85 -3.99 -22.85 5.04 0.000 1.05 9 4 9 14.84 1.17 -14.84 -0.04 0.000 1.12 10 5 6 42.06 15.14 -42.06 -10.90 0.000 4.23 11 6 11 6.09 4.56 -6.04 -4.46 0.049 0.10 12 6 12 7.65 2.66 -7.58 -2.51 0.072 0.15 13 6 13 17.12 7.73 -16.91 -7.32 0.208 0.41 14 7 8 -8.49 -8.05 8.49 8.27 0.000 0.22 15 7 9 31.34 3.01 -31.34 -2.02 0.000 1.00 16 9 10 6.49 3.20 -6.47 -3.16 0.015 0.04 17 9 14 10.20 2.95 -10.06 -2.67 0.131 0.28 18 10 11 -2.53 -2.64 2.54 2.66 0.010 0.02 19 12 13 1.48 0.91 -1.47 -0.91 0.006 0.01 20 13 14 4.88 2.42 -4.84 -2.33 0.047 0.10 -------- -------- Total: 9.287 39.16
================================================================================| Voltage Constraints |================================================================================Bus # Vmin mu Vmin |V| Vmax Vmax mu----- -------- ----- ----- ----- -------- 1 - 0.940 1.060 1.060 583.797 2 0.012 0.940 1.041 1.060 - 3 - 0.940 1.016 1.060 0.004 4 - 0.940 1.014 1.060 0.004
A.6
5 - 0.940 1.016 1.060 0.011 6 - 0.940 1.060 1.060 55.185 7 - 0.940 1.046 1.060 0.001 8 - 0.940 1.060 1.060 71.075 9 0.009 0.940 1.044 1.060 - 10 - 0.940 1.039 1.060 0.001 11 - 0.940 1.046 1.060 0.002 12 - 0.940 1.045 1.060 0.003 13 - 0.940 1.040 1.060 0.002 14 - 0.940 1.024 1.060 0.001
================================================================================| Generation Constraints |================================================================================ Gen Bus Active Power Limits # # Pmin mu Pmin Pg Pmax Pmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 4 6 0.266 0.00 0.00 100.00 -
Gen Bus Reactive Power Limits # # Qmin mu Qmin Qg Qmax Qmax mu---- ----- ------- -------- -------- -------- ------- 1 1 0.094 0.00 0.00 10.00 -
r =
version: '2' baseMVA: 100 bus: [14x17 double] gen: [5x25 double] branch: [20x21 double] gencost: [5x7 double] bus_name: {14x1 cell} order: [1x1 struct] om: [1x1 opf_model] x: [38x1 double] mu: [1x1 struct] f: 8.0815e+03 var: [1x1 struct] nln: [1x1 struct] et: 0.8770 success: 1 raw: [1x1 struct]
succes =
1
>>
A.6
B.1. Cálculo de los elementos de la matriz jacobiana del método de Newton-Raphson.
En este anexo de deducirán las expresiones de que está formada la matriz jacobianadel método de Newton-Raphson.
Dicha matriz jacobiana tiene la forma que se ve en la ecuación (2.43) y se reproduceaquí de nuevo:
4444444 34444444 21
LL
MMMM
LL
LL
MMMM
LL
Jacobiano
V
QV
V
QV
QQLM
V
QV
V
QV
QQV
PV
V
PV
PPNH
V
PV
V
PV
PP
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
4
44
2
42
4
4
2
4
4
24
2
22
4
2
2
2
4
44
2
42
4
4
2
4
4
24
2
22
4
2
2
2
δδ
δδ
δδ
δδ
(B.1)
Vemos que esta matriz está compuesta a su vez por cuatro submatrices, H, N, M y L.Las expresiones de cada elemento de estas submatrices son las siguientes:
k
ikik
k
iik
k
ikik
k
iik
V
QVL
QM
V
PVN
PH
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
δ
δ
(B.2)
Los elementos de las submatrices N y L van multiplicados por el módulo de la tensiónporque así resulta una jacobiana más simple y simétrica y, por tanto, más eficientecomputacionalmente.
Las ecuaciones que se usan para calcular las derivadas son las (2.38), que acontinuación se expresan:
Anexo BElementos de la matriz jacobiana del método de Newton-
Raphson.
B.1
( )[ ]
( )[ ]∑
∑
=
≠=
−+−=
++=
N
nininininniiiii
N
inn
ininininniiiii
BsenGVVBVQ
senBGVVGVP
1
2
1
2
cos
cos
δδ
δδ
(B.3)
Dentro de cada submatriz se distinguen dos casos, que el elemento pertenezca a la di-agonal principal de dicha submatriz (i = k) o que esté fuera de esta (i ≠ k).
Se determinarán primero las expresiones para las diagonales principales de lassubmatrices.
Submatriz H.
Según las ecuaciones (B.2) la expresión para este caso es:
i
iii
PH =
∂∂δ
(B.4)
Derivando la primera expresión de (B.3):
∑[ ( )]≠=
+−=∂∂
=N
inn
ininininnii
iii BsenGVV
PH
1
cosδδδ
(B.5)
Si se mira la segunda ecuación de (B.3) podemos ver que se cumple:
i
iiiii
PBVQ
δ∂∂−−= 2 (B.6)
de donde se deduce que:
iiiii
i BVQP 2−−=
∂∂δ
(B.7)
Submatriz N.
Su expresión para este caso es:
i
iiii V
PN = V
∂∂
(B.8)
Derivando la primera expresión de (B.3) se tiene:
∑[ ( )]≠=
++=∂∂=
N
inn
ininininniiiii
iiii senBGVVGV
V
PVN
1
2 cos2 δδ (B.9)
que se puede poner como:
B.1
( )[ ] iiii
P
N
inn
ininininniiiiiiii
iiii PGVsenBGVVGVGV
V
PVN
i
+=+++=∂∂= ∑
≠=
2
1
22 cos
4444444 34444444 21
δδ (B.10)
Submatriz M.
Su expresión en este caso es:
i
iii
QM = ∂
∂δ (B.11)
Derivando la segunda expresión de (B.3):
∑[ ( )]≠=
+=∂∂=
N
inn
ininininnii
iii senBGVV
QM
1δcosδ δ (B.12)
Comparando (B.12) con la primera expresión de (B.3) vemos que se cumple:
i
iiiii
QGVP
δ∂∂+= 2 (B.13)
despejando la derivada:
iiiii
i GVPQ 2−=
∂∂
δ (B.14)
Submatriz L.
En este caso su expresión es, según (B.2):
i
iiii V
QL = V
∂∂
(B.15)
Derivando la segunda expresión de (B.3):
∑[ ( )]=
−+−=∂∂=
N
nininininniiii
i
iiii BsenGVVBV
V
QVL
1
2 cos2 δδ (B.16)
que se puede poner como:
( )[ ] iiii
Q
N
nininininniiiiiii
i
iiii QBVBsenGVVBVBV
V
QVL
i
+−=−+−−=∂∂= ∑
=
2
1
22 cos4444444 34444444 21
δδ (B.17)
A continuación se considerarán los casos en que los elementos de las submatricesestán fueran de sus diagonales principales, es decir, i ≠ k.
B.1
Submatriz N.
Según (B.2) la expresión para este caso es:
k
iik
PH =
∂∂δ
(B.18)
Derivando la primera expresión de (B.3) se obtiene:
i k ( ik ik ik ik )k
iik BsenGVV
PH δδ
δcos−=
∂∂= (B.19)
Submatriz N.
Se expresión es:
k
ikik V
PN = V
∂∂
(B.20)
Derivando la primera expresión de (B.3) se llega a:
i k ( ik ik ik ik )k
ikik senBGVV
V
PVN δδ +=
∂∂= cos (B.21)
Submatriz M.
Su expresión es:
k
iik
QM
δ∂∂= (B.22)
Derivando la segunda expresión de (B.3):
( )ikikikikkik
iik senBGVV
QM δδ
δ+−=
∂∂= cos (B.23)
Submatriz L.
Y, por último, la expresión para esta submatriz en este caso, según, (B.2), es:
k
ikik V
QVL
∂∂= (B.24)
Derivando la segunda expresión de (B.3):
( )ikikikikkik
ikik BsenGVV
V
QVL δδ cos−=
∂∂= (B.25)
B.1
Observando estos últimos resultados, podemos observar que se cumplen lassiguientes relaciones:
ikik
ikik
MN
LH
−==
(B.26)
A continuación se expone una tabla con los resultados de todos los elementoscalculados.
Para i ≠ k Para i = k
( )( )ikikikikkiikik
ikikikikkiikik
senBGVVMN
BsenGVVLH
δδδδ
+=−=−==
cos
cos
2
2
iiiiii
iiiiii
VGPN
VBQH
+=
−−=
2
2
iiiiii
iiiiii
VGPM
VBQL
−=
−=
B.1
B 1 Diagrama de flujo del Método Newton-Raphson
B.1