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ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN

Vol. 35, No. 1, Abril 2014, pp. 13-28

Desarrollo de un Exoesqueleto paraRehabilitación de Tobillo y Rodilla

R. López∗

J. Torres∗

S. Salazar ∗

R. Lózano∗∗

∗ CINVESTAV, México.∗∗ UTC, France.

RESUMENLos exoesqueletos son sistemas electro-mecánicos acoplados a lasextremidades del cuerpo humano enfocados al incremento de su fuerza,velocidad y rendimiento principalmente. Las principales aplicacionesson en la milicia, en la industria y en la medicina, en particular sepueden utilizar para la rehabilitación de las extremidades. En esteartículo se presenta un exoesqueleto de dos grados de libertad pararealizar ejercicios de rehabilitación en tobillo y rodilla. El diseño yconstrucción del exoesqueleto está basado en la instrumentación ycontrol de una ortesis del miembro inferior derecho. El Exoesqueletoutiliza sensores que estiman la fuerza producida por el humano y seencuentran acoplados a los actuadores SEA (Series Elastic Actuator)que se utilizan para amplificar la fuerza humana. La amplificación de lafuerza puede aumentarse o disminuirse según se necesite, permitiendoal usuario una mejora evolutiva hasta llegar a la rehabilitación. Ademásmediante sensores se estima la posición y velocidad angular de lasarticulaciones, que se utilizan para controlar el movimiento de la pierna.En resumen, el objetivo perseguido es de contar con un diseño propiode bajo costo de un exoesqueleto que ofrezca una disminución en elesfuerzo requerido por el usuario para mantenerse en pie y hacer algunosejercicios de rehabilitación estáticos independientes como flexionar yextender la pierna derecha o izquierda.

Palabras clave: Exoesqueleto, Rehabilitación, Ortesisinstrumentada, SEA, Control de Fuerza.

14 Revista Mexicana de Ingeniería Biomédica · volumen 35 · número 1 · Abril, 2014

Correspondencia:Ricardo López

Av. Instituto PolitécnicoNacional 2508, Col. San PedroZacatenco, Delegación GAM,México D.F. Código Postal

07360, Departamento deControl AutomáticoCorreo electrónico:

[email protected]

Fecha de recepción:26 de Septiembre de 2013

Fecha de aceptación:6 de Febrero de 2014

ABSTRACT

Exoskeletons are electro-mechanical systems coupled to the body limbsfocused mainly in increasing strength, speed and performance. The mainapplications are in the military, industry and medicine, particularly usedfor the rehabilitation in the extremities. In this paper we presented aexoskeleton with two degrees of freedom for rehabilitation of ankle andknee. The design and construction are based on the instrumentation andcontrol of a right lower limb orthoses. The Exoskeleton uses sensors thatestimate the force produced by the human, these sensors are coupledin the SEA (Series Elastic Actuator) used for amplify human strength.The amplification strength can be increased or decreased as needed,allowing the user an evolutionary improvement to reach rehabilitation.The exoskeleton has sensors for estimated angular position and angularvelocity of joints, which are used to control the leg movement. The goalis to design a low-cost exoskeleton that provides a reduction in the effortrequired by the user to remain in in a standing position and to do somestatic rehabilitation exercises such as flexion and extension of the legs.

Keywords: Exoskeleton, Rehabilitation, instrumented orthosis,SEA, Force control.

INTRODUCCIÓN

El ser humano en su vida cotidiana estáexpuesto a sufrir lesiones en las diferentesarticulaciones del cuerpo tales como la rodillao el tobillo. Lo anterior debido al desgastenatural del cuerpo humano, accidentes o lesionespor actividades deportivas, esto puede causardiferentes tipos de discapacidades o atrofias.Por lo tanto resulta importante el diseñoy construcción de mecanismos que auxiliendotando de fuerza para mejorar los movimientosde las articulaciones del ser humano para larehabilitación de la extremidad afectada.

El objetivo en algunos exoesqueletos es larehabilitación y el aumento de fuerza de lasarticulaciones. Nuestro interés es el desarrollode tecnologías para ayudar a seres humanoscon distintas discapacidades y auxiliarlos en susdiferentes tareas cotidianas.

Figura 1: Exoesqueleto de dos grados de libertadpara asistir la pierna derecha.

La rehabilitación está enfocada en dosobjetivos. Primero recuperar la fuerza muscularque básicamente es la capacidad del músculopara contraerse y segundo recuperar laresistencia que es la capacidad de realizar elmismo movimiento repetidas veces.

López y col. Desarrollo de un Exoesqueleto para rehabilitación de tobillo y rodilla. 15

La asistencia del fisioterapeuta para realizarel ejercicio puede variar dejando que elpaciente haga el ejercicio completamente solo,asistiendo completa o parcialmente para larealización del mismo. Existen diferentes tiposde ejercicios de rehabilitación como los ejerciciosde fortalecimiento, estos incrementan la cantidadde fuerza que el músculo puede generar. Enun ejercicio isométrico, la longitud de lafibra muscular es constante, de forma que lacontracción muscular ocurre sin movimientoarticular. Un ejercicio isotónico es un ejerciciodinámico realizado con una carga o resistenciaconstante, pero sin controlar la velocidad delmovimiento, en estos ejercicios la tensión deuna fibra muscular es relativamente constante.El ejercicio isocinético origina un movimientoarticular constante, para esto se varía laresistencia en una respuesta a la fuerza muscularaplicada. La ventaja del ejercicio isocinéticoes que el musculo puede fortalecerse de formaóptima manteniendo un rango de movimientoarticular completo, cosa que no es posiblecon los isométricos ni con los isotónicos.La desventaja del ejercicio isocinético es querequiere de la utilización de una máquinapara variar la resistencia mientras se mantieneuna tasa constante de movimiento [1]. En lasúltimas décadas, muchos robots dedicados a larehabilitación de extremidades inferiores se handesarrollado para recobrar la movilidad de lasextremidades afectadas.

Los llamados entrenadores de la marchaestáticos son sistemas robóticos que se centranen los movimientos guiados de extremidades conel fin de tener un efecto óptimo desde un punto devista terapéutico y funcional. El objetivo de estossistemas es la obtención del fortalecimiento eficazde los músculos y el desarrollo de resistencia,así como la movilidad articular y coordinaciónde movimientos. El MotionMaker [2] de SwortecSA, es un sistema de entrenamiento estacionarioque permite realizar ejercicios de movimientosen las articulaciones con la participación activade los miembros paralizados. Las extremidadesestán conectadas a la ortesis en el nivel del piepara simular fuerzas naturales de reacción delsuelo. Este sistema ofrece ejercicios controladospor sensores en tiempo real combinados con la

electro estimulación controlada y adaptados a losesfuerzos del paciente. El lambda [3] es un robotpara rehabilitación y ejercitación, se utiliza en lamovilización de las extremidades inferiores, consu ayuda se proporciona el movimiento de lasextremidades inferiores en el plano sagital, el cualincluye una rotación adicional de la movilizacióndel tobillo. Otros ejemplo de este tipo deconfiguración es un sistema de rehabilitación conalambres impulsado por la pierna desarrolladopor el Instituto Nacional de Ciencia IndustrialAvanzada y Tecnología (AIST) de Tsukuba [4].

Con lo que respecta al movimiento del tobilloeste es complicado debido a sus estructurasóseas complejas [5]. Muchos sistemas se handesarrollado para ejercitar o restaurar estosmovimientos del tobillo y la rodilla. Estossistemas pueden agruparse en estacionarioso activos. Los sistemas estacionarios son losmecanismos robóticos diseñados para ejercitarel tobillo humano y los movimientos derodilla sin caminar. El paciente se colocasiempre en el mismo lugar y sólo el miembrorequerido se ejercita. Algunos ejemplos de estosexoesqueletos son: AKROD [6]; Leg-Robot [7];GIST [8]. Las ortesis del pie activas, porel contrario a los sistemas estacionarios, sonexoesqueletos actuados que el usuario llevapuesto mientras camina en la superficie o encaminadora. Entre otras, tienen la finalidadde controlar la posición y el movimiento deltobillo, compensar la debilidad y/o corregirdeformidades. Estos sistemas son una evoluciónde las tradicionales ortesis pasivas de miembrosinferiores, con capacidades adicionales parapromover la dinámica de la marcha apropiadapara la rehabilitación [9]. Algunos ejemplosson: Anklebot [10]; Interactive Motion [11],[12]; KAFO [13]; RGT [14]. Estos son algunosde los exoesqueletos con objetivos similares alpresentado en este artículo, el cual presentaalgunas ventajas al utilizar actuadores de tipoSEA, El costo se reduce en comparacióncon otros actuadores utilizados en diferentesexoesqueletos. Otra de las ventajas de utilizareste tipo de actuadores se encuentra en laestructura mecánica que proporciona torqueseficientes sin la necesidad de utilizar motorescon mucha potencia. Al observar los distintos


exoesqueletos que existen se consideró quediseñar un exoesqueleto pretendiendo que puedautilizarse en diferentes usuarios resulta muycomplicado. La ventaja principal de utilizaruna ortesis que está diseñada para cumplir conlas necesidades individuales de cada usuarioes permitirnos que la robótica que conformael exoesqueleto únicamente se enfoque eninstrumentar adecuadamente para realizar losejercicios de rehabilitación y así generalizar el usode este tipo de exoesqueletos.

Las ventajas de utilizar exoesqueletos para larehabilitación, son, aprovechar la precisión quetiene un robot en poder aumentar gradualmentela velocidad en las repeticiones de una secuencia,la extensión de la posición articular, la resistenciao fuerza de oposición de un ejercicio de aumentode fuerza, etc. En algunos ejercicios la resistenciaque opone el fisioterapeuta deberá ser aumentadagradualmente para obtener una mejoría en elpaciente, sin embargo sin la presencia de sensoresque estimen datos precisos queda solamente lapercepción errónea humana de la fuerza, lo quepodría retrasar la rehabilitación del paciente.Durante el tratamiento, hay que recordar que elfisioterapeuta también puede provocar fracturas.Por lo tanto, se debe conocer el estado delpaciente, realizar siempre tomas cortas, presionesmanuales y rehuir de resistencias externasy distales que supongan brazos de palancaexcesivos. Los exámenes musculares son unaguía de utilidad para evaluar la mejoría en lafuerza muscular durante la fase de recuperación,en este sentido los robots tiene la ventaja depoder almacenar en su memoria el historialcompleto del paciente y así evaluar gradualmentesu mejoría.

En este trabajo desarrollamos unexoesqueleto de dos grados de libertad queasistirá a la rodilla y el tobillo de la piernaderecha (o izquierda) Figura (1). El objetivoprincipal es proporcionar una amplificación defuerza al usuario tal que permita mantenerseen pie, además de poder realizar algunosejercicios como flexionar la pierna reduciendoasí el esfuerzo producido por el humano. Este

prototipo se utiliza en ejercicios estáticos y node la marcha, de tal forma que el peso del mismono afecta la extremidad izquierda. El prototipoutiliza un control de fuerza programado en unmicrocontrolador, que proporciona las señalesque controlan los movimientos de rotación en lasarticulaciones biomecánicas que funcionan conactuadores de tipo SEA (Actuadores ElásticosSeriales) como los que se presentan en [15].Los actuadores SEA contienen un resortecolocado entre la transmisión y la carga desalida, cuya elongación es medida por mediode un potenciómetro lineal, con esto se puedeestimar la fuerza humana. Esta señal es unade las entradas de control, además se utilizanenconders ópticos para medir la posición angulary giróscopos para medir la velocidad angularen las articulaciones. Por último, la parteque amplifica la fuerza en el exoesqueleto esla transmisión del actuador obtenida por laganancia que existe en un mecanismo con untornillo sin fin y un husillo de bolas.

Este artículo está estructurado de la siguientemanera, en la sección 2 se describe el diseñodel dispositivo. En la sección 3 se presentael modelado del actuador, el modelo dinámicodel exoesqueleto y la pierna humana. En lasección 4 se presenta el control y el análisis deestabilidad. La sección 5 está dedicada al estudioen simulación del exoesqueleto. En la sección 6se muestran los resultados obtenidos en tiemporeal, y por último se presentan las conclusionesen la sección 7. En resumen en este trabajose presenta el desarrollo de un exoesqueletode dos grados de la libertad (la rodilla y eltobillo), la construcción del actuador SEA, elmodelo dinámico del exoesqueleto, el control PDcon compensación de la gravedad, los resultadosexperimentales y de simulación.

Una de las principales aportaciones de estetrabajo es en el campo de los exoesqueletosbasados en actuadores de tipo SEA, puesse integran dos actuadores para construir unexoesqueleto con dos grados de libertad, queauxilia en el esfuerzo realizado por la piernahumana derecha.


METODOLOGÍA

Prototipo experimental del exoesqueleto

Estructura de la pierna

Se diseñó un exoesqueleto instrumentandola ortesis de una persona de 76 kg. Para laconstrucción del dispositivo se trabajó sobre unaparato largo mixto con socket cuadrilateralque consta de un aparato terminal tobillo - piecon apoyo en cóndilos femorales. El materialde la carcasa es polipropileno con barras deduraluminio laterales y mediales, y articulaciónde rodilla libre. El aparato completo mide 83cmde largo, 47cm de la parte alta de la pierna y36cm de la parte baja. Está instrumentado conactuadores tipo SEA, sensores de fuerza, encoderópticos y giróscopos, ver Figura (2).

Actuadores Elásticos Seriales (SEA)

Se diseñaron dos actuadores para acoplarsea la rodilla y al tobillo. El actuador que seconstruyó para la rodilla es muy similar al que seconstruyó para asistir al tobillo, las diferenciasentre estos sólo radican en el tamaño y formade las diferentes piezas que conforman a losactuadores, pero están basados en el mismoprincipio de funcionalidad. Cada uno se componede dos partes principales. En la Figura (3) enel recuadro b se muestran desacopladas las dospartes del actuador, para acoplarlas se hacea través de baleros lineales que le permitendeslizarse para comprimirse o expandirse. Laprimera parte mide 33.4cm para el actuador dela rodilla y 6.1cm para el actuador del tobillo,esta parte contiene en el extremo final una husillode bolas, y un arreglo de resortes con constanteks1=173.8N/m para el actuador de la rodillay ks2=181.0N/m para el del tobillo, esto nospermite estimar fuerzas generadas por el humanode magnitudes alrededor de 0 a 5 N. Los resortesse colocan de manera que se deforman cuandose aplica una fuerza al extremo del actuadorcompleto, esta elongación se mide por un sensorde posición lineal, y se utiliza para estimarla fuerza aplicada por el usuario. En la partesuperior de cada actuador se acopló un motor de12volts con un torque máximo de 5Nm (actuador

de la rodilla) y 1.8Nm (actuador del tobillo),estos motores están acoplados a un tornillo sinfin con paso de 30.480mm en la rodilla y 5.08mmen el tobillo tomando en cuenta los movimientosnaturales de la pierna humana, los cuales algirar desplazan las tuercas de bolas realizando eldesplazamiento del actuador, lo que se traduceen una expansión o compresión dependiendo dela dirección en la que gire el motor.

Los actuadores se fijan al aparato ortopédicopor medio de rótulas como se observa en laFigura (4), lo que permite a los actuadorespivotear con libertad de tal forma que alexpandirse o comprimirse la pierna se extiendeo se flexiona. En la Figura (3) en el recuadro ase muestra el actuador utilizado para asistir a larodilla y en el recuadro c se muestra el actuadorutilizado para asistir a el tobillo.

MicrocontroladorRabbit 3400

CONTROL

ENTRADAS (SENSORES)

SensorGiroscópico

SensorSensor

Encoder Óptico

SensorSensor

Posición Lineal

Resorte

INCREMENTO DE FUERZA

Transmisión porHusillo a Bolas

Driver MD03 Motor

SALIDA (ACTUADOR)

Figura 2: Componentes del prototipoexperimental y diagrama a bloques de loscomponentes del prototipo.


Figura 3: a) Modelo mecánico del actuadorpara la rodilla acoplado, b)Modelo mecánico delactuador para la rodilla desacoplado en las dospartes principales que lo conforman, c) Modelomecánico del acutador para el tobillo acoplado.

Electrónica incorporada

La parte electrónica del exoesqueletoesta conformada principalmente por unmicrocontrolador rabbit 3400 que se utiliza comocerebro del sistema, este procesa las señalesde entrada que provienen de un sensor deposición lineal MLT 0R5N0750 F5C, un enconderóptico 600EN-128-CBL que mide la posiciónangular y un giróscopo LPR510AL que mide lavelocidad angular. Cada articulación utiliza estos3 sensores, la señal de salida es de tipo PWMy se amplifica por medio de un Driver MD03que proporciona la cantidad de voltaje suficientepara operar a los motores de los actuadores.En la Figura (2) se observa en un diagrama abloques la instrumentación del exoesqueleto.

Figura 4: Unión entre los actuadores con elexoesqueleto mediante un punto que pivota.

Modelo dinámico

Modelo dinámico del Actuador ElásticoSerial (SEA)

El prototipo experimental opera usando unalgoritmo de control de la fuerza y esto se llevaa cabo mediante el uso de un actuador tipoSEA [16], [17], [18], [19] y [20]. El principio defuncionamiento es el siguiente. Un resorte seintroduce entre el tren de engranajes y de lacarga. La fuerza se calcula mediante el uso deun sensor de posición y la ley de Hook (F =ksx). El resorte se introduce para convertir elproblema de control de fuerza en un problemade control de posición. Esas características sonideales para nuestra aplicación debido a que lafuerza utilizada representa un factor importanteen la rehabilitación del paciente.

Mecánica del Exoesqueleto

Mecánica del Actuador

Figura 5: Representación gráfica del modelodinámico de un actuador tipo SEA yrepresentación gráfica de las fuerzas que actúanen el biomecanismo.


El modelo dinámico del actuador SEA asícomo diferentes tipos de controles se hanestudiado en artículos como [21]. En este artículose presenta un modelo dinámico, a partir de lasuposición de que un actuador tipo SEA tieneuna estructura mecánica como se muestra enla parte inferior de la Figura (5). Donde fm esla fuerza que produce el motor a través de latransmisión mecánica, K es una amplificaciónde fuerza aplicada al torque del motor τmot quesurge de utilizar un tornillo sin fin, mm es unapequeña masa que se desliza a lo largo del tornillosin fin por medio de un husillo de bolas, ml

es la masa total a la que se le aplica la fuerzaresultante del actuador fa, ks es la constante delresorte colocado entre la masa mm y la masa ml

y existe un pequeño coeficiente de fricción bm queresulta del rozamiento del tornillo sin fin con elhusillo de bolas.

Del sistema mecánico del actuador se derivaque a la fuerza del motor fm se le opone la masamm, la rigidez del resorte con constante ks y elcoeficiente de fricción bm, de lo anterior resultala siguiente ecuación de segundo orden lineal concoeficientes constantes:

fm − bmxm − fa = mmxm (1)

La posición de la tuerca y la carga estánrepresentados por xn y xl respectivamente.Podemos ver que fa definido como fa = ks(xm−xl) es la única fuerza que actúa sobre la masa ml

por lo tanto

xl = faml

(2)

Del las ecuaciones (2) y (1) se obtiene elmodelo dinámico del actuador.

famm

ks+ fa

bmks

+ fa(1 + mm

ml) = fm − xlbm (3)

El modelo anterior se puede reducir siconsideramos que bm << 1, resultando:

famm

ks+ fa(1 + mm

ml) = fm (4)

Realmente, la última expresión es válidapara ambos actuadores que se fabrican para

el exoesqueleto bajo estudio, considerando losvalores de los parámetros (fai, fmi, ksi, mi ymmi) definidos anteriormente. En adelante paratodo el artículo el subíndice i = 1 se refiere alactuador en la articulación del tobillo, mientrasi = 2 se refiere al actuador en la articulación dela rodilla.

Modelo dinámico del exoesqueleto

En la parte superior de la Figura (5)se representan las fuerzas que actúan sobrediferentes puntos de la parte baja y alta de lapierna a lo largo de la extremidad y que producenlos diferentes torques que afectan el movimientode las articulaciones del biomecanismo. Donde l1es la longitud de la pierna baja, l2 es la longitudde la pierna alta, l5 es la longitud a la que seencuentra aplicada la fuerza del actuador fa1que asiste al tobillo. La fuerza fa2 es debidaal actuador que asiste a la rodilla, θ1 y θ2 sonlos ángulos en las articulaciones de la rodilla yel tobillo respectivamente, m1 es la masa de lapierna baja y m2 es la masa de la pierna alta, Mes la masa adicional a la pierna colocada sobre elexoesqueleto y g que representa la aceleración dela gravedad. Así también se generan los vectores,~l1, ~l2, ~l3 y ~l4 donde ı y son vectores unitariosasociados con la dirección de los ejes coordenadoscartesianos en el plano (x, y).

~l1 = l1 cos θ1ı+ l1 sin θ1 (5)

~l2 = l2 cos θ2ı+ l2 sin θ2 (6)

Note que l1 y l2 corresponden alas magnitudes de los vectores ~l1 y ~l2respectivamente.

~l3 = (l1 cos θ1 − 12 l2 cos θ2)ı

+(l1 sin θ1 + 12 l2 sin θ2) (7)

~l4 = (l1 cos θ1 − l2 cos θ2)ı+ (l1 sin θ1+l2 sin θ2) (8)

~l5 = l5ı (9)

Al realizar el producto vectorial representadopor "×", entre ~l1, ~l2, ~l3, ~l4 y ~l5 y las distintas


fuerzas que actúan en el exoesqueleto, obtenemoslos torques que producen los desplazamientoangulares θ1 y θ2. De lo anterior podemos escribirlas ecuaciones dinámicas del tobillo (10) y larodilla (11).

J1θ1 = −12~l1 × (m1g)k −~l3 × (m2g)k−~l4 × (Mg)k + τ1

(10)

J2θ2 = −12~l2 × (m2g)k −~l2 × (Mg)k + τ2 (11)

donde k es un vector unitario asociado al eje z.La entrada τ1 en la ecuación (10) es la sumade los torques producidos por las fuerzas de losactuadores fa1 y fa2 adicionalmente existe untorque producido por la fuerza humana τh1 quecompensa una porción de la gravedad que afectaa la pierna, ver ecuación (23).

τ1 = −~l3 × fa2 +~l5 × fa1 + τh1 (12)

El torque τ2 en la ecuación de la rodilla (11)es la suma del torque producido por la fuerzaresultante del actuador fa2 y el torque producidopor la fuerza humana τh2 que compensa unaporción de la gravedad que afecta a la piernaalta, ver ecuación (24).

τ2 = 12~l2 × fa2 + τh2 (13)

Se observa que en las ecuaciones (12) y(13) fa1 y fa2 están multiplicados únicamentepor las longitudes l5 y l2, respectivamente.Ahora utilizando (12) y (10) y realizando losproductos vectoriales obtenemos la siguienteecuación dinámica del tobillo:

J1θ1 = −12m1gl1 cos θ1

−m2g(l1 cos θ1 − 12 l2 cos θ2)

−Mg(l1 cos θ1 − l2 cos θ2)−fa2[l1(cos θ1 − sin θ1)−1

2 l2(cos θ2 − sin θ2)]+l5fa1 + τh1

(14)

Si sustituimos (13) en (11) y realizamoslos productos vectoriales obtenemos la ecuaciónpara la rodilla:

J2θ2 = −12m2gl2 cos θ2 −Mgl2 cos θ2

+12 l2fa2 + τh2

(15)

Por lo tanto de (14) y (15) podemos expresarel modelo dinámico del exoesqueleto como:

Jθ +G = τ (16)

donde:

J =[J1 00 J2

]; θ =

[θ1θ2

];

G =[g1(θ)g2(θ)

]; τ =

[τ1τ2

]

Considerando la pierna como la unión de dosbarras cilíndricas [22], el momento de inercia J1y J2 para el tobillo y la rodilla respectivamenteson:

J1 = 13m1l

21 +m2( l

223 + l21)

+m2l1l2(sin θ1 sin θ2 − cos θ1 cos θ2(17)

J2 = 13m2l

22 (18)

Los términos de gravedad g1(θ) y g2(θ) son:

g1(θ) = 12m1gl1 cos θ1

+m2g(l1 cos θ1 − 12 l2 cos θ2)

+Mg(l1 cos θ1 − l2 cos θ2)(19)

g2(θ) = 12m2gl2 cos θ2 +Mgl2 cos θ2 (20)

Considerando que el exoesqueleto no cargaracompletamente con el peso del humano, setiene que el humano compensará una partede la gravedad mientras la parte restante lacompensará el actuador. De esta manera sepuede dividir el término de gravedad como sigue:

g1(θ) = kg1g1(θ) + (1− kg1)g1(θ) (21)

g2(θ) = kg2g2(θ) + (1− kg2)g2(θ) (22)


con 0 < kgi < 1 para i=1,2.El término (1 − kg1)g1(θ) es debido a un

torque en el tobillo τh1 generado con fuerzaproporcionada por el humano, así como eltérmino (1 − kg2)g2(θ) es debido a un torque enla rodilla τh2 generado con fuerza proporcionadapor el humano como se observa en las siguientesecuaciones:

τh1 = (1− kg1)g1(θ) (23)

τh2 = (1− kg2)g2(θ) (24)

De estas últimas expresiones resulta claroque el esfuerzo del humano se ve reducido porun factor menor a uno. Ahora bien, para poderañadir el modelo del actuador (4) en el modelodel exoesqueleto, se propone realizar un cambiode variables z1 = fa y z2 = fa así obtenemos:

εz = Aaz +Ba (25)

donde:

Aa =[

0 ε

−(1 + mm

ml

)δ

]; Ba =

[0fm

];

ε = mm

ks; δ = bm

ks<< 1; z =

[z1z2

]

Ahora bien reescribiendo el modelo dinámico(16) a ecuaciones de estados donde x1 = θ yx2 = θ obtenemos:

xl = x2x2 = J−1[−G] + J−1τ

(26)

Del modelo (26) en conjunto con el modelo(25) se obtiene una representación del estadocon perturbaciones singulares dado que J >>Iε. Este sistema dinámico responde a estímulosexternos con diferentes tiempos transitorios unorápido y el otro lento, el modelo dinámicodel actuador es el que tiene una dinámicarápida debido a que el parámetro ε es delorden de 7.4∗10−6. De tal forma que al hacerε = 0, se causa un cambio abrupto en laspropiedades dinámicas del sistema, pues laecuación diferencial (25) degenera en la ecuaciónalgebraica:

0 = Aaz +Ba (27)

Se dice que el modelo (25) y (26) está en laforma "típica"si (27) tiene todas sus raíces realesaisladas:

z = hi(t, x) (28)

para i = 1, 2, ..., kEsta hipótesis asegura que a cada raíz de

(27), corresponde un modelo reducido biendefinido, los que se obtienen sustituyendo (28)en (26), con ε = 0, resultando en:

x = f [t, x, h(t, x), 0] (29)

De la ecuación anterior se ha suprimido elsubíndice i de h ya que el sistema solo tiene unaraíz en (27) que es:

fa = fm

(ml

ml +mm

)(30)

El modelo reducido (29) se suele llamarmodelo de estado casi estacionario, porque lasvariables z (cuya velocidad z = (Aaz + Ba)/εpuede ser muy elevada cuando ε es pequeño y(Aaz+Ba) 6= 0) converge de manera muy rápidaa la raíz (30), que es un punto de equilibriode (25). La validación de utilizar el método deperturbaciones singulares en nuestro sistema, sehace mediante el teorema de Tikhonov [23]. Lasconsideraciones de la ecuación algebraica (30)se pueden interpretar para las fuerzas de losactuadores en el tobillo y la rodilla fa1 y fa2de manera que al sustituirlas en las ecuaciones(12) y (13) respectivamente se obtiene las nuevasexpresiones para las entradas de torque:

τ1 = −fa2l1(cos θ1 − sin θ1)+1

2fa2l2(cos θ2 − sin θ2)+l5

((m1

mm1+1

)fm1

)+ τh1

(31)

τ2 = 12 l2

((m2

mm2 + 1

)fm2

)+ τh2 (32)

Note que la fuerza fa2 no se sustituye en (31)ya que no es una entrada directamente, puessolamente es el efecto que tiene el actuador dela rodilla en la articulación del tobillo θ1.


Modelo dinámico de la pierna humana

Existen varios puntos de vista sobre laestrategia de control motriz humano que utilizael SNC (Sistema Nervioso Central) para elcontrol de movimiento de las extremidades.Diversos autores han sugerido algunas variablesde control muscular tales como la fuerza,longitud, velocidad, rigidez y amortiguamientode los músculos, sin embargo es difícil plantearque existe una estrategia única de control. Loanterior debido a que el SNC puede resolver unagran cantidad de tareas. Existe una amplia gamade investigación en este campo, por ejemplo: [24],[25], [26].

Para representar el modelo musculoesqueléticodel humano como se ve en la ecuación(33) se utiliza un método llamadomasa−resorte−amortiguador (MSD), donde Ies la matriz de masas, B es la matriz deamortiguamiento y K matriz de elasticidad, ϕ,ϕ y ϕ representan los vectores de distancia,velocidad y aceleración respectivamente yW es el vector que contiene el peso de lasdiferentes masas. [27]. Las masas representanlas propiedades de las inercias de los diferentessegmentos del cuerpo humano, los resortes yamortiguadores representan las propiedadesmecánicas de los diferentes segmentos comohuesos, músculos, tendones y ligamentos [28].Los valores de los parámetros varían en cadapersona, los valores utilizados en este artículose basan en los obtenidos en [29] realizandopruebas experimentales con una persona de76kg (mh1=15kg, mh2=61kg, kh1=78.4kN/m,kh2 = 34,1kN/m y bh1=0.76kN.s/m).

Iϕ+Bϕ+Kϕ = Wu (33)

donde:

I =[mh1 0

0 mh2

];B =

[bh1 00 0

];

K =[kh1 + kh2 −kh2−kh2 kh2

];W =

[mh1gmh2g

]

La estrategia de control que suponemosutiliza el SNC para el control de movimientosde la pierna en este caso, es un PD (u = ekph +ekvh) con ganancias constantes positivas kph ykvh y su valor dependerá de cada persona. Lafuerza producida por la pierna humana ϕ =fh es proporcional dinámicamente al error deposición e = ϕd − ϕ, así como a la velocidadde cambio del error (e), donde en general ϕdes la posición deseada por el humano. Estasfuerzas (fh1 y fh2) serán medidas por los sensoresde fuerza colocados en el exoesqueleto. Elhumano proporciona la referencia de posicionesarticulares lo que genera un error de posiciónangular y de velocidad con la que se desea moverel exoesqueleto, lo anterior es controlado por elalgoritmo de corrección PD.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−15

−10

−5

0

5

M(q)q..

[Nm

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

0

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

−1

0

C(q,q)q

. .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.4

−0.2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−40

−20

0

G(q)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

20

40

60

Tiempo [s]

Tobillo

Rodilla

Rodilla

Tobillo

Rodilla

Tobillo

Figura 6: Torques generados por los términos dela Matriz de Inercia M(q)q, Matriz Centrífuga yde Coriolis C(q, q)q y Vector de Gravedad G(q).


Control

Control PD con compensación de lagravedad

Para el diseño del control se implementó ensimulación un modelo general del exoesqueletode la siguiente forma:

M(q)q + C(q, q)q +G(q) = τ (34)

donde M(q) es denominada la matriz de inercia,C(q, q) matriz centrífuga y de coriolis, y G(q) esel vector de pares gravitacionales, sin embargo eluso de este modelo para realizar movimientoslentos está sobrado debido a que estosejercicios producen aceleraciones y velocidadesangulares pequeñas. Los valores máximosque se alcanzan durante la simulación son:q1=0.30rad/s, q2=0.61rad/s, q1=0.30rad/s2 yq2=0.60rad/s2 por lo tanto los torques generadospor movimientos que involucran a la matriz deinercia M(q) y la matriz centrífuga y de coriolisC(q, q) son pequeños. La mayor cantidad deltorque necesario para generar movimientos enlas articulaciones es debida al vector de paresgravitacionales G(q). En la Figura (6) podemosobservar los resultados de la simulación donde seaplica una trayectoria deseada al modelo generaldel exoesqueleto en lazo abierto. Los resultadosmuestran una comparación entre los términos(M(q)q, C(q, q)q y G(q)) generados por haceruna flexión y extensión en las articulaciones.Podemos despreciar estos términos del modelo yutilizar un modelo dinámico reducido como el dela ecuación (16).

Un control PD no garantiza el cumplimientodel objetivo de control de posición en sistemascuyos modelos dinámicos contienen el términode pares gravitacionales, a menos que la posicióndeseada qd sea tal que G(qd) = 0. Por lo tantose utilizó un control PD con compensación degravedad [30]. La entrada del control que seaplica para el modelo dinámico del exoesqueleto(16) es:

fm =[fm1(θ1, θ1, fh1)fm2(θ2, θ2, fh2)

](35)

Recordemos que fh1 es una fuerza queproporciona el humano y que se mide por mediodel sensor de fuerza acoplado en el actuador deltobillo y fh2 la fuerza humana medida por el

sensor de fuerza acoplado en la rodilla, fm1 esel control aplicado al actuador del tobillo y tienela forma:

fm1 =(mm1+1m1

)[kp1l5

(θd1 − θ1)− kd1l5θ1

+ 1l5~l3 × fa2 + kg1

l5g1(θ)]

(36)

donde θ1 es la velocidad angular medida porun giróscopo, kp1 es la ganancia proporcionalque se aplican al error de posición y kv1 laganancias derivativas que se aplican al errorde la velocidad, θd1 es la posición angulardeseada y que intuitivamente asigna el humano alinducir una fuerza fh1, de la Figura (5) podemosobservar que:

fh1 = xs1ks1 = (x01 − xc1)ks1 (37)

donde xs1 es la deflexión del resorte que seutiliza como sensor de fuerza que asiste al tobillo,x01 es la longitud del actuador inicial y xc1es la longitud del actuador comprimido porla aplicación de fuerza fh1 en el resorte conconstante ks1. En la Figura (7) se observa larelación que existen entre xc1 con θd1 expresadacomo:

xc1 = l5sin (θd1) =⇒ θd1 = sin−1

l5

x01 − fh1ks1

(38)

Figura 7: Representación gráfica de la ubicacióndel actuador que asiste al tobillo del ladoizquierdo, y del actuador que asiste a la rodilladel lado derecho.


De manera muy similar fm2 de la ecuación(35) es el control aplicado a la rodilla y tiene laforma:

fm2 =(mm2+1m2

)2l2

[kp2(θd2 − θ2)−kd2θ2 + kg2g2(θ)]

(39)

donde θ2 es la velocidad angular medida porun giróscopo, kp2 es la ganancia proporcionalque se aplican al error de posición y kv2 laganancias derivativas que se aplican al errorde la velocidad, θd2 es la posición angulardeseada y que intuitivamente asigna el humano alinducir una fuerza fh2, de la Figura (5) podemosobservar que:

fh2 = xs2ks2 = (x02 − xc2)ks2 (40)

donde xs2 es la deflexión del resorte que seutiliza como sensor de fuerza que asiste a larodilla, x02 es la longitud del actuador inicial,y xc2 es la longitud del actuador comprimidopor la aplicación de fuerza fh2 en el resorte conconstante ks2. En la Figura (7) se observa larelación que existen entre xc2 con θd2 expresadacomo:

x2c1 = l22 + l21 − 2l1l2 cos

(θd2 + π

2)

=⇒ θd2 = cos−1

(x02− fh2

ks2

)2−l22−l21

−2l1l2

− π2

(41)Conviene notar que las posiciones angulares

deseadas θ1, θ2 son determinados por la fh1 y fh2,que se pueden interpretar como la referencia queda el usuario de manera subjetiva en el sentidoque el cerebro da la orden de levantarse a unacierta posición de flexión o de extensión máxima.

Análisis de estabilidad en lazo cerrado

Si sustituimos el control fm1 de (36) en laentrada (31) y sustituimos el control fm2 de(39) en la entrada (32) obtenemos las siguientesentradas de control.

τ1 = kp1(θd1 − θ1)− kd1θ1 + g1(θ) (42)

τ2 = kp2(θd2 − θ2)− kd2θ2 + g2(θ) (43)

Entonces si sustituimos la entrada del tobillo(42) en el modelo dinámico (16) se obtiene lasiguiente ecuación de segundo orden:

θ1 = J−11 [kp1e1 + kd1e1] (44)

Similarmente si sustituimos la entrada dela rodilla (43) en el modelo dinámico (16)obtenemos:

θ2 = J−12 [kp2e2 + kd2e2] (45)

El polinomio característico del error esde segundo grado y los valores de gananciaskpi y kdi determinan el valor de las raícescaracterísticas, por ello siempre existen valoresde ganancias proporcional y derivativa talesque el error (θd1 − θ) tiende a cero. Supongaentonces que se ha alcanzado la posición deseada,esto implica que las fuerzas producidas por losactuadores se reducen a:

fm1 =(mm1+1m1l5

)[kg1g1(θd)

+~l3 ×(mm2+1m2

l22

)kg2g2(θd)]

(46)

fm2 =(mm2 + 1m2

l22

)kg2g2(θd) (47)

Entonces después de un tiempo transitoriolas entradas de control de los motores fm1,fm2 dependen de la posición angular de laarticulación en el tobillo θ1 y la rodilla θ2, dela gravedad g, de las masas mmi, mi, M, y delas distancias l5 y l2

2 , además de una gananciakgi, esta ganancia equivale a una amplificaciónde fuerza en el exoesqueleto que nos mantieneel error de posición angular e = 0 y e = 0. Elvalor de kgi se propone en base a la gananciade fuerza que se desea obtener del exoesqueleto,de las expresiones (21) y (22) se puede observarque mientras más se aumenta kgi el esfuerzopara el humano es menor y la compensaciónde la gravedad dependerá en mayor parte delexoesqueleto. Sin embargo, se debe tomar encuenta que existe una saturación en esta fuerza,pues se debe considerar que la potencia de los


motores está limitada a un cierto valor del lafuerza del motor fm, que depende del torquemáximo del motor τmot, y de la ganancia máximade la transmisión mecánica K.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Simulación

En esta sección se presenta la simulacióndel modelo del exoesqueleto en conjunto con elmodelo del humano. Los resultados obtenidosde la simulación se presentan en la Figura (8)para el tobillo y la rodilla. Se considera que lasarticulaciones tienen un rango de movimientoentre 0.785 y 1.57 rad. Basados en [31]. Segeneraron dos trayectorias a partir de una señalsinusoidal, que simula el movimiento de lasarticulaciones al realizar una serie de flexiones yextensiones de rodilla y tobillo. Las trayectoriasdeseadas se introducen al modelo dinámico delhumano (33) de tal forma que la señal desalida obtenida por el modelo de la piernahumana se utiliza como referencia de entrada a lasimulación del modelo dinámico del exoesqueleto(16) y se le aplica la ley de control (35) concondiciones iniciales cero. De los resultados deesta simulación se observa que el ángulo deposición actual θ se aproxima al ángulo deposición deseada θd con un tiempo de respuestamuy rápido, la respuesta está en función de unabuena sintonización de las ganancias de controlkp y kd, (kp1=502, kp2=495, kd1=41 y kd2=38).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1050

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10100

120

140

160

180

qd1

q1

qd2

q2

Tobillo

Rodilla[grados]

[s]

Figura 8: Comparación entre posición angulardeseada y posición angular de las articulacionesen simulación.

La tabla (1) muestra los parámetrosutilizados en la simulación del modelo dinámicodel exoesqueleto y del humano, los parámetrosse obtienen por medio de mediciones en elmecanismo utilizado por una persona de 76 kg.

Experimentación

En esta sección se muestran las pruebasexperimentales que se realizaron con elexoesqueleto, las cuales consisten en realizaralgunos ejercicios de flexiones y regulación delas articulaciones en diferentes posiciones. Enlas gráficas podemos observar una comparaciónentre la fuerza de entrada aplicada por el humanofh (cuyos datos fueron obtenidos del sensorde fuerza) y la fuerza de salida producidapor el actuador fa (basada en el tamañodel PWM enviado al motor en el actuador).En esta comparación se observa que existeuna amplificación de la fuerza por un factoraproximado de 40 en el tobillo y 60 en larodilla ambos en relación al máximo torqueproducido por sus respectivos motores. La Figura(9) muestra la comparación de fuerzas en laarticulación del tobillo y la rodilla. En estasgráficas la señal fh está multiplicada x10 parapoder observar con mayor claridad los resultadosobtenidos.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50foutfin

x10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−60

−40

−20

0

20

40

60foutfin

x10

Tobillo

Rodilla

[N]

[N]

[s]

[s]

Figura 9: Comparación entre la fuerzaproporcionada por el humano y la salidaresultante del mecanismo para las articulaciones(datos experimentales).

En la Figura (9) se observa que el torquemáximo producido con la ayuda del exoesqueletollega a una saturación aproximadamente en 45Npara el tobillo mientras que para la rodilla lasaturación del máximo torque que proporcionael exoesqueleto es muy cercano a 60N, éstaamplificación en el torque nos resulta en unmenor esfuerzo para el humano.

De las mismas pruebas experimentales semuestran los datos arrojados por los sensoresque miden las posiciones angulares, estos sondatos reales de un ejercicio similar al realizadoen la simulación de la Figura (8). La gráfica dela Figura (10) muestra la comparación entre laposición angular y la posición angular deseadaen las articulaciones del tobillo y la rodilla. Laposición angular deseada se obtiene por mediode la interpretación de los sensores de fuerza ynos indica la posición en la que el usuario quierecolocar las articulaciones.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6APdAP

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7APdAP

[rad]

[rad]

[s]

[s]

Tobillo

Rodilla

Figura 10: Comparación entre posición angulardeseada y posición angular de las articulaciones(datos experimentales).

CONCLUSIONES

La importancia para atender las necesidadesdel hombre como en la rehabilitación omejoramiento de articulaciones, músculos,huesos, tendones, etc., mantiene el estudio ydesarrollo de nuevos exoesqueletos. Este trabajoamplía la línea de investigación que se tiene enlos exoesqueletos que utilizan actuadores tipoSEA (Actuadores Elásticos Seriales) integrandodos grados de libertad que permiten asistir a larodilla y también al tobillo de la pierna derecha.El exoesqueleto que se muestra en este trabajoestá enfocado en la rehabilitación estática de lasarticulaciones, por tal motivo el volumen y laportabilidad del exoesqueleto no es el objetivoprincipal de este trabajo.

En este trabajo se consideró que losparámetro tales como la masa del usuario, lalongitud de la pierna entre otros, son conocidos.El cambiar de usuario en el exoesqueleto,implica cambiar los valores de los parámetrosprogramados en el control.


Por estas razones se considera que un trabajofuturo consistirá en la realización de leyes decontrol robusto o adaptable que permitan utilizarel exoesqueleto a diferentes usuarios.

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