derivadas_parciales

MATEMÁTICA III Ingeniería. Industrial

1

Departamento de ciencias

Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función

z f ( x, y ) con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito:

x 0

z f ( x x, y ) f ( x, y )lim

x x

el cual se calcula suponiendo y constante.

Se llama derivada parcial de una función z f ( x, y ) con respecto a la variable independiente y

al siguiente límite, si existe y es finito:

y 0

z f ( x, y y ) f ( x, y )lim

y y

el cual se calcula suponiendo x constante.

Observación.- Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivadas.

Interpretación geométrica de la derivada

Si consideramos la superficie que tiene por ecuación ( , )z f x y , el plano y b , corta a la

superficie en la curva ( , )z f x b , La recta tangente a esta curva en el punto x a tiene por

pendiente el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente

0

( , ) ( , )( , ) lim

xh

f a h b f a bf a b

h

y=b

z=f(x, y)

y

x

z

z=f(x, b)

P(a, b, f(a, b))

Corte de z = f(x, y) con y = b

Corte de ( , )z f x y con y b

( , )z f x b

y b

( , )z f x y

( , , ( , ))p a b f a b

x = a

x

z

z=f(x, b)

Proyección del corte de z=f(x, y) con y = b

sobre el plano ZX

tg = fx(a, b)

Proyección del corte de ( , )z f x b

con y b , sobre el plano ZX

tan ( , )xb f a b

b

z ( , )z f x b

x x a

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE

VARIAS VARIABLES


2

La interpretación geométrica de la derivada parcial de f respecto a y es análoga

Ejemplo.- Dada la función f definida por 2 2 2

f ( x , y ) x ln( xy ) y sin( x y ) Halla

las derivadas parciales con respecto a x y a y

Solución:

2 2 2fln( xy ) 1 2xy cos( x y )

x

;

2 2 2 2 2u 2xsin( x y ) 2 y cos( x y )

y y

Ejemplo.- Dada la función definida porx y sin y

f e

. Halla sus derivadas parciales en el

punto P( 0, 2 )

Solución:

x y sin y

2( 0 , ) 2( 0 , )

fye e

x 2

2( 0 , )

x y sin y

( 0 , 2 )

f( x cos y )e 0

y

Plano tangente y recta normal a una superficie

Se llama plano tangente a una superficie en un punto p Df , al plano que contiene todas las

tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

Si la superficie está definida de manera explicita por la ecuación Z=F(x,y), entonces la ecuación

del plano tangente en un punto 0 0 0

P( x , y ,z )de la superficie viene definido por la ecuación:

0 0 0 0 0 0 0 0 0

f f( x , y ,z )( x x ) ( x , y ,z )( y y ) ( z z ) 0

x y

En el caso que la superficie este definida en forma implícita por f ( x, y,z ) 0 entonces la

ecuación del plano tangente será:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

f f f( x , y ,z )( x x ) ( x , y ,z )( y y ) ( x , y ,z )( z z ) 0

x y z

Y la ecuación de la recta normal en ambos casos será:

f ( x, y,z ) 0 LN :

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

fx x t ( x , y ,z )

x

fy y t ( x , y ,z )

y

fz z t ( x , y ,z )

z

;


3

En el caso en que la superficie S ; este definida por z f ( x, y ) , en la ecuación de la

recta normal se considerará 0 0 0

f( x , y , z ) 1

z

.

Ejemplo.- Halla la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie de

ecuación 2 2 3

z 3x y y 5xy 2x 2 y 4 en el punto P(1,0,4 ).

Solución

Hallamos las derivadas parciales:

2 2 2

(1, 0,4) (1, 0,4)(1,0,4) (1, 0, 4)

6 5 2 2; 6 3 5 2 7z z

xy y x y y xx y

Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,0,4) es: 2x 7 y z 2 0 .

Y la recta normal es:

x 1 2 t

y 7 t

z 4 t

Derivadas parciales de órdenes superiores.

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas

parciales de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

2

2

z z

x x x

;

2z z

y x y x

;

2z z

x y x y

;

2

2

z z

y y y

Si las derivadas parciales de primer orden y las derivadas parciales mixtas son

continuas en algún disco abierto, entonces las derivadas mixtas son iguales.

2 2z z

y x x y

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.

Ejemplo.- Calcular las derivadas parciales primeras de 2 2 x y

f ( x , y ,z ) x y e

Solución

Las derivadas de primer orden son: x yf

2x y ex

;

x yf2 y x e

y

.Las derivadas de segundo orden son: 2

2

2

x yf2 y e

x

;

2

2

2

x yf2 y e

y

;

2

x yf( 1 xy )e

x y

;

2

x yf( 1 xy )e

y x


4

Diferencial total y cálculo aproximado.

Se llama incremento total de una función ( , )z f x y en un punto ( , )P x y a la

diferencia ( , ) ( , )z f x x y y f x y donde x y y son incrementos

arbitrarios de los argumentos.

Una función 2:f D R R es diferenciable en el punto 0 0

p( x , y ) , si existen 0( , )of x y

x

y 0( , )of x y

y

de modo que para todo vector ( ( , ))x y tal que 0 0( , ) ( , )x y x y D se

tiene que 0 0

0 0

( , ) ( , )( , ) ( , )o of x y f x y

f x y x y x yx y

Diferencial total:-

Si ( , )z f x y es una función diferenciable en 2( , )x y R entonces la diferencial total de f

se define como la función f f

df dx dydx dy

; donde xdx ; dy y

Cálculos aproximados:

La diferencial de una función se puede utilizar como aproximación del incremento.

( , ) ( , ) ( , )z dz f x x y y f x y df x y .

Observación.- Para 3R las definiciones de diferencial total y cálculo aproximado se

definen de manera análoga a 2R .

Ejemplo.- Estimar 2 2f ( x, y ) ( 2,01 ) 2,02 (0,99 )

Solución

Tomamos 2 2f ( x, y ) x y z ,como 0 0 0

p( x , y ,z ) ( 2,2,1 ) ; así 0,01h ; 0,02k ;

0,01r ; luego tenemos que 2 2 2(2,2,1) 2 2 1 3f ; además;

2

2 2( 2 ,2 ,1 ) ( 2 ,2 ,1 )

f x 2

y 32 x y z

;

2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f z

z x y z

;

finalmente se tiene que:

2 2 4 1 2 1 1 12,01 2,02 0,99 3 3,023

3 100 3 50 3 100

.


5

Derivada direccional y vector gradiente.

La derivada direccional de nf : D R R en el punto x D y en la dirección de u

vector unitario de nR denotada por ( )u

D f x Se define por

0

( ) ( )( ) lim

hu

f x hu f xD f x

h

, siempre que exista.

Si : nf D R R es una función diferenciable, entonces la derivada direccional se

calcula

por la fórmula: 1 1 2

1 2

( ,... ) ......n nu

n

f f fD f x x u u u

x x x

Observación.- En 2R puede tomarse como un vector unitario a (cos ,sin )u

Ejemplo.- Calcula, la derivada direccional de la función en el punto

P(1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.

Solución

2

( 1,2)

( 1,2)

2 3 14f

x yx

; ( 1,2)

(1,2)

6 12f

xyy

; además

2 2

(1,2) 1 2,

5 51 2

vu

v

,

por lo tanto 1 2 38

(1,2) 14. 125 5 5

u

D f

Gradiente de una función

Si : nf D R R es una función diferenciable, entonces el gradiente de f es el vector

definido por 1 2

( ) , ,......,

n

f f ff x

x x x

Propiedades

1.- 1 1 2 1 2( ,... ) ( , ,...., )( , ...... )n n nu

D f x x f x x x u u u

2.- El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto

dado, mientras que el gradiente cambiado el signo señala la dirección de máxima

disminución.

3.- La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide

con su modulo es decir ( ) max ( )u

f x D f x


6

Ejemplo.- Dada la función 2 2

f ( x, y ) 2x 3y

a) Calcula ( )u

D f x

en el punto P(1,1) en el sentido del vector que forma un ángulo de

120º con el sentido positivo del eje OX.

b) Calcula máx ( )u

D f x

Solución

a) 1 3

(cos120 ,sin120 ) ,2 2

u

; además

( 1,2)

( 1,1)

4 4f

xx

;

)

( 1, 1)

(1,16 6f

yy

luego

1 3

( ) 4, 6 , 2 3 32 2u

D f x

.

b) (1,1) (4, 6)f 2 2m x ( ) ( ) 2 ( 6) 2 10

uá D f x f x

.

Derivada de la función compuesta

Teorema.- Sea 2:f D R R una función diferenciable, definida por ( , )u f x y y

( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y

x y r s r s

;

Entonces u es una función de r y s es decir ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s , y se tiene:

u u x u y

r x r y r

; u u x u y

s x s y s

.

Caso Particular: Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( )y y t , entonces la derivada total de z

respecto de x se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien, aplicando la

siguiente fórmula:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

Ejemplo.- Dada la función2

f ( x , y ) xy xy donde 2 2x s t ; y st ; hallar

;z z

s t

Solución

Como 2 ; 2 ; 2 2 ; ;f z x x y y

y y xy x s t t sx y s t s t

entonces

2 3 2 3 2( )(2 ) (2 ) (4 3 2 )f f x f y

y y s xy x t t s t s st ts x s y s

2 3 2 2 2( )(2 ) (2 )( ) (2 2 ( 1) 3 )f f x f y

y y t xy x s s s t s s t t tt x t y t

derivadas_parciales

Documents