CLCULO DIFERENCIAL Y MULTIVARIABLE DERIVACIN IMPLCITA Es posible derivar una funcin dada implcitamente sin necesidad de expresarlo explcitamente. El mtodo consiste en derivar los dos miembros de la relacin. El procedimiento se conoce como derivacin implcita. Definicin: se denomina funcin implcita cuando se da una relacin entre x y y por medio de una ecuacin no resuelta para y, entonces y se llama funcin implcita de x. Por ejemplo:x 2 4 = 0 define a y como una funcin implcita de x. Es claro que por medio

de esta ecuacin x se define igualmente como funcin implcita de y. Uno de los procedimientos para calcular la derivada implcita es derivar la ecuacin trmino a trmino, considerando y como funcin de x, y de la ecuacin resultante despejardy , o lo que es lo mismo despejar y. dx

Ejercicio 1. Hallar dy/dx o yen la funcin ax 6 + 2 x 3 y y 7 x = 10 . Solucin Calculando la derivada:d d d 7 d ax 6 + 2 x3 y y x= 10 dx dx dx dx

Derivando:dy dy + 6 x 2 y y 7 (1) 7 y 6 x =0 dx dx

6ax 5 + 2 x 3

Pasando trminos semejantes:

CLCULO DIFERENCIAL Y MULTIVARIABLE2 x3 dy dy 7 y6 x = 6ax 5 6 x 2 y + y 7 . dx dx

Factorizando:

(2 x

3

7 y6 )

dy = 6ax 5 + y 7 6 x 2 y dx

dy y 7 6ax 5 6 x 2 y = dx 2 x3 7 y 6

Es importante hacer notar que, en general, el resultado contendr tanto a x como a y. Ejercicio 2. Encontrar la derivada de 3 x 4 2 y = 0. Solucin Se trata de una funcin implcita, como se mencion anteriormente podemos encontrar su derivada, despejando y y realizando la derivacin con respecto a x. Despejando y3x 4 = 2 y y= 3 4 x 2

una vez despejada y, podemos obtener su derivaday 3 4 3 x = 4 x 4 1 , realizando las operaciones para simplificar la x 2 2

expresin tenemos:y x = 12 3 x ;6 x 3 . 2

En caso de que sea posible despejar y,

la derivacin implcita es muy

sencilla, sin embargo esto no siempre es posible.

CLCULO DIFERENCIAL Y MULTIVARIABLE Ejercicio 3.x 2 y 3 + 2 xy 3 + 5 x + 3 y +11 = 0

Solucin Ya que mencionamos la formula para encontrar derivadas implcitas era:dx fx = dy fy

Primeramente obtenemos la derivada parcial de la funcin con respecto a la variable x, es decir f x ; siendo la funcin: x 2 y 3 + 2 xy 3 + 5 x + 3 y +11f x = 2 x 2 1 y 3 + 2(1) y 3 + 5(1) + 0 , simplificando:f x = 2 xy 3 + 2 y 3 + 5

Obteniendo la derivada parcial de la funcin con respecto a y tenemos:f y = x 2 (3) y 3 1 + 2 x ( 3) y 11 + 0 + 3(1) + 0 ; simplificando: f y = 3 x 2 y 2 6 xy 4 + 3

Sustituyendo en la frmula:dx (2 xy 3 + 2 y 3 + 5) = dy 3 x 2 y 2 6 xy 4 + 3

Ejercicio 4.x 3 y 2 + 3 x 3 y + 3 = 0

Solucin

CLCULO DIFERENCIAL Y MULTIVARIABLE Derivando parcialmente la funcin con respecto a x, tenemos:f x = 3 x 2 y 2 + 3

Derivando parcialmente la funcin con respecto a y, tenemos:f y = 2 x 3 y 3 3

Sustituyendo en la frmula:dx 3 x 2 y 2 + 3 = dy 2 x 3 y 3 3

Ejercicio 5. Encuentre y de la siguiente ecuacin: 4 xy 3 x 2 y + x 3 5 x + 6 = 0 Solucin Se derivan ambos lados de la ecuacin con respecto a x.Dx ( 4 xy 3 ) Dx ( x 2 y ) + Dx ( x 3 ) Dx (5 x ) + Dx (6) = Dx (0)

Derivando:12 xy 2 y '+4 y 3 ( x 2 y '+y 2 x) + 3 x 2 5 + 0 = 0

Simplificando:12 xy 2 y '+ y 3 x 2 y 'y 2 x + 3 x 2 5 = 0 4

12 xy 2 y 'x 2 y ' = 4 y 3 + 2 xy 3 x 2 + 5 y ' (12 xy 2 x 2 ) = 4 y 3 + 2 xy 3 x 2 + 5 y' = 4 y 3 + 2 xy 3 x 2 + 5 12 xy 2 x 2

Ejercicio 6. Hallar y de la siguiente ecuacin: 5 x 2 xy 4 y 2 = 0

CLCULO DIFERENCIAL Y MULTIVARIABLE

SolucinDx (5 x 2 ) Dx ( xy ) Dx (4 y 2 ) = Dx (0)

Realizndola derivada:10 x [ xD ( y ) + yD ( x )] 8 yy ' = 0 x x 10 x xy '+y 8 yy ' = 0

Factorizando:(1 x + y ) = xy '+ yy ' 0 8 ( xy '+ yy ' ) =1 x + y 8 0 y ' ( x +8 y ) =1 x + y 0 y' = 1 x +y 0 x +8 y

Ejercicio 7. Hallar y de la siguiente ecuacin: x 2 y 3 + 4 xy + x 6 y = 2 Solucinx 2 3 y 2 y '+y 3 2 x + 4 xy '+ y 6 y ' = 0 4

Simplificandox 2 3 y 2 y '+ xy ' y ' = y 3 2 x 4 y 4 6

Factorizando:y ' ( x 2 3 y 2 + 4 x 6) = y 3 2 x 4 y y' = 2 y3 x + 4 y 3x 2 y 2 + 4 x 6