DERIVACION IMPLICITA

Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008

DERIVACION IMPLICITADERIVACION IMPLICITA

En general, la ecuación , para determinados intervalos de ,

define a como una función de ; en tal caso su derivada

se determina por el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en

derivar directamente, la ecuación considerada, como un polinomio en e

teniendo presente que, para determinar dos intervalos de , la variable se

comporta como función de y es diferenciable con respecto a , es decir,

existe , que por la regla de la cadena, debe derivarse primero con

respecto a y luego con respecto a

0),( yxf x

)(xyy x )(xy

x y

x y

x x

)(xyy x

Ej: Por el método de derivación implícita, encontrardx

dy

1) 222 ayx

02

dx

dyy

dx

dy

y

x

dx

dy

dx

dyyx

022

-

x2

2) 053 33 xyxy

23ydx

dy x3dx

dy 033 2 xy

dx

dy )33()33( 22 xyxy

xy

xy

xy

xy

dx

dy

2

2

2

2

33

33

Ej: Determinar , si xxxf 2)( 2 )(xf

Solución:

)(

)2()( 212

xf

xxxf

2

1 )22()2( 212

xxx

)(xf xx

x

22

)1(22

Ej: Hallar la derivada de la relacióny 0132 xyy

Solución:13013 22 yxyyxy

Por definición de valor absoluto se tiene:

i) 132 yxy ii) 132 yxy

En i) y ii), derivando implícitamente, se observa que la derivada del 2º miembro es nula, por lo tanto, para i) y ii), se tiene:

dx

dyy2 y3 0dx

dyx3-

)32( yy dx

dy y3xy

y

dx

dy

32

3

Ej: Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva

En el punto (1,1) de ella

53 22 yyxx

Solución: (1,1) es pto. de la curva.

Derivando implícitamente con respecto a se tiene:x

xyx 332 dx

dy y2 0dx

dy

115

5

23

32

)1,1(

NT mmdx

dy

yx

yx

dx

dy -

T:

02

11

)1(11

yx

xy

xy N:

xy

xy

11

DERIVADA DE ORDEN SUPERIORDERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

-Sí es diferenciable, entonces se tiene , 1 ª derivada

de con respecto a

)(xfy )(xfdx

dy y x

- Puesto que es función de , se tiene derivando con

respecto a

)(xf x )(xf

x

)(

)(2

2

xfdx

ydxf

dx

d

, 2ª derivada de con respecto a xy

- es función de , entonces:)(xf x

)(

)( )3(3

3

xfdx

ydxf

dx

d

, 3ª derivada de con respecto a x

-Sí tiene derivadas, se llega a la expresión:)(xfy

dx

d

n

n)()(

)(

)1(x

nn

n

fdx

yd

x

nf

, -ésima derivada de con

respecto a xy

Ej: Determinar las derivadas sucesivas de

Solución:

)(xfy 3

1 153 23 xxx

0)(

2)(

62)(

56)(

)(

2

xf

xf

xxf

xxxf

IV

Ej: Determinar en la ecuación , suponiendo

que es función de

2

2

dx

yd 2 yyxx

y x

Solución: xy 1x

y

dx

dy

dx

dy

dx

dy

1

10

Derivando implícitamente:

02

2

2

2

dx

yd

dx

yd

dx

dy

dx

dy x

dx

dy

xdx

yd2

1

12

2

22

2

2

2

)1(

)1(2

1

1

1

1

x

y

dx

yd

x

y

xdx

yd

2

APLICACIONES DE LA DERIVACIONAPLICACIONES DE LA DERIVACION

TEOREMA TEOREMA (Teorema de los valores extremos)

Si es una función continua definida en el intervalo cerrado ,

existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual

toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal

que en el cual toma el menor valor.

f ba,

bax ,1 bxa 1

f bax ,2 bxa 2

f

GráficamenteGráficamente

bax , se cumple en que)()()( 12 xfxfxf

)( 1xf es el máximo valor de en f ba, y

)( 2xf es el mínimo valor de en f ba,

x

y

a01x 2x b

)( 2xf

)( 1xf

)(xfy

TEOREMA: TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma su

valor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del

Intervalo. Si existe , entonces

f

0x)( 0xf 0)( 0 xf

COROLARIO: Sí es un mínimo de , entonces ,

Siempre que exista la derivada

)( 0xf f 0)( 0 xf

NOTA: Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al

intervalo, puesto que , definida en

0x2)( xxf 21 x

Tiene un máximo en y un mínimo en y además

en todo punto del intervalo

2x 1x 0)( xf

2,1

x

y

0

2)( xxfy

1 2

1)1( f

4)2( f

es un mínimo de

es un máximo de

2,1enf

2,1enf

APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONESREPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES

Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función.

Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí:)(xfy

),(0)( 111 yxxf es un máximo o un mínimo

)(xf concavidad

0)(xf Punto de inflexión de la función, cambio de concavidad

Entonces:

)(0)(0)( 111 xfxfxf 1) es un máximo relativo de la función en 1x

2) )(0)(0)( 111 xfxfxf es un mínimo relativo de en 1x

)(xf

3) )(0)( 1 xfxf tiene un punto de inflexión en 1x

NOTA 1: Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de

inflexión se llaman puntos críticos de la función.

)(xf

NOTA 2: No siempre cuando la función tiene un 0dx

dy )(xfy

punto extremo (máximo o mínimo).

Ej: Estudie y grafique la función 15)( 5 xxxf

Dominio de existencia: R

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

010)(,55)( 44 xxfxxf

0)1()1()1(

0)1()1(2

22

xxx

xx

Rix

x

x

1

1

Puntos extremos 11 xyx-1 1

Sí

)(0)(1 xfxfx

)(0)(11 xfxfx

)(0)(1 xfxfx

es creciente

es decreciente

es creciente

Concavidad:

00)(,20)( 3 xxfxxf Punto de inflexión )1,0(

Sí

)(0)(0

)(0)(0

xfxfx

xfxfx

es cóncava hacia abajo

es cóncava hacia arriba

Ahora: )(0)1(0)1( xfff y tiene un máximo, su valor

5)1( f

)(0)1(0)1( xfff tiene un mínimo, su valor

3)1( f

Así la gráfica resulta:

x

y

0

15)( 5 xxxf

-1 1

1

5

-3