derivada derivada e cinemática · o valor de f ´(3), derivada da função f no ponto 3, pode ser...
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Derivada
Derivada e cinemática
1. Seja g a função definida por .
Mostre que as retas, r e s , tangentes ao gráfico da função g nos pontos
de abcissas 2 e -2, respetivamente, são paralelas.
x)x(g
1
Adaptado MT 11Texto
2
22
2
x
)(g)x(glim)´(gmx
r
)x(x
xlim
x
xlimxx 22
2
2
2
11
22
4
1
2
1
22
2
22
xlim
)x(x
)x(lim
xx
2
22
2
x
)(g)x(glim)´(gm
xs
2
12
C.A
)(g
.
2
12 )(g
2
2
11
2 x
xlimx
4
1
2
1
22
2
22
xlim
)x(x
xlim
xx 4
1 sm
Como os declives de r e s são iguais então as retas são paralelas.
4
1 rm
2. Considere a função f, de domínio [-2, +[, definida por
Determine, caso exista, uma equação da reta t, tangente ao gráfico da função f no ponto de
abcissa 2.
2se 106
22 se 22 xxx
x-x)x(f
2
22
2
x
)(f)x(flim)´(f
x0
02 2
22
x
xlim
x
)x)(x(
xlim
)x)(x(
xlim
xx 222
2
222
42
2
0
02
4
1
22
1
2
xlim
x 4
1 em
22
C.A
)(f
.
2 ponto no direita à de gráfico ao tangentesemirreta -
2 ponto no esquerda à de gráfico ao tangentesemirreta -
,fd
,fe
2
3
4
1
2
322 xy:ebe),(
2
42
2
86
2
21062
2
2
2
2
2
x
)x)(x(lim
x
xxlim
x
xxlim)´(f
xxx
2 242
dx
m)x(lim
62 622 xy:dbd),(
2
3
4
1y x
Podemos falar de semitangentes:
• Equação da semitangente à esquerda
62 x-y
• Equação da semitangente à direita
R: Como as derivadas laterais são distintas então não existe f ´(2), pelo
que não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.
24
2
32366086
C.A.
2
xx
xxx
Adaptado Dimensões 11Santilhana
Opção (A)
3. Na figura estão representadas, em referencial o.n. parte do gráfico da
função g e a reta t tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa 1.
Sabe-se que o ângulo tem amplitude .
Indique o valor de g´(1).
(A) - (B)
(C) -1 (D)
3
33
3
3
1
A é correta opção a então
3-)33
2 sendo
3
2 e 1 que Dado
3
2 é reta da inclinação a então
3 Como
(tg)(tg)(tgmm)g´(
t
tt
3
2
4. Na figura seguinte encontra-se representada graficamente a função g .
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
012 (A) )´(g)´(g 0g´(3)
2 (B)
)´(g
02
1 (C)
)g´(-
)g´(023 (D) )´(g)´(g
Opção (B)
Expoente 11ASA
02
03
03
01
positivo) é-2, em , de gráfico ao tangentereta da declive (o 02
que se-conclui gráfico do observaçãoPor
)´(g
)´(g
)´(g
)´(g
xg)´(g
5. Na figura estão representadas:
• parte do gráfico de uma função f diferenciável em 3;
• uma reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3;
O valor de f ´(3), derivada da função f no ponto 3, pode ser igual a:
(A) -1 (B) 0 (C) (D) 1 )(f 3
1
Adaptado de Banco Itens, GAVE
Opção (A)
03 que concluímos gráfico, de observaçãopor que, se-Note
(A). em é acontece isso onde opção únicaA
negativa.ser de terá3 em derivada a logo
0 e 3
)f(
x
mm)´(f rr
5
4a
6. A reta t é tangente ao gráfico de f no ponto A (5,2).
Se f ´(5)= então:
(A) (B) (C) (D)
2
1
5
6a 1a
9
8a
Opção (C)
Novo Espaço 11Porto Editora
102
1
2
1 então eixo o com reta da interseção de ponto do abcissa a é
2
1
2
1 Portanto
2
1
2
52
2
1 então
2
1
2
15
xx,Oxta
xy:t
bbtA
bxy:t
m)´(f t
12
1 xy7. A reta de equação é perpendicular à reta r, tangente ao
gráfico da função f no ponto de abcissa .
O valor de é:
(A) 3 (B) 2 (C) (D)
h
)(f)h(flimh
0
2
5
2
1
Opção (B)
Novo Espaço 11Porto Editora
2 então
e Como
2 então reta àlar perpendicu é dada reta a Se
0
0
h
)(f)h(flim
m)´(f)´(fh
)(f)h(flim
mr
h
rh
r
8. Seja g uma função real de variável real. Sabe-se que a reta de equação
y=-3x+2 é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa -2.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
322
(A)0
h
)h(glimh
Expoente 11ASA
32
8 (B)
2
x
)x(glim
x
32
2 (C)
2
x
)x(glimx
382
(D)0
h
)h(glimh
Se a reta de equação y=-3x+2 é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa -2
Então .
Dado que g(-2)=y(-2)=8 e utilizando a definição de derivada no ponto, concluímos que
ou . 382
0
h
)h(glimh
32 )´(g
32
8
2
x
)x(glim
x
Então a opção correta é (D)
9. Seja f uma função real de variável real tal que:
e
9.1 Indique, caso exista, o valor de .
9.2 Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.
9.3 Calcule
32 )(f 522
0
h
)(f)h(flimh
)x(flimx 2
.xx
)(f)x(flimx 65
222
Expoente 11ASA
9.1. Como então , logo existe a reta tangente ao
gráfico de f no ponto de abcissa 2 . Sendo que f (2)=3 então
52 )´(f522
0
h
)(f)h(flimh
32
)x(flimx
)x)(x(
)(f)x(flim
xx
)(f)x(flim.
xx 32
2
65
2 39
222
322
24255
065
C.A.
2
xxx
xx
32
12 )´(f
3
1
2
2
22
xlim
x
)(f)x(flim
xx
9.2 Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.
Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.
Pela alínea anterior temos que , isto é , mt=5 então t:y=5x+b.
Como o ponto de coordenadas (2,3) pertence a t, temos que:
3=5x2+b b=-7
Logo t: y=5x-7
52 )´(f
515 )(
A derivada e a cinemática
1. Um ponto P move-se numa reta de tal forma que, em cada instante t (em segundos), a
distância d (em cm) à origem O é dada pela expressão d(t) =t2 -19t +60 .
1.1 No instante inicial, qual a distância do ponto P à origem?
1.2 Determine a velocidade média do ponto P nos três primeiros segundos.
1.3 Determine a velocidade no instante t =4 e indique a distância à origem nesse instante.
1.4 Determine a expressão da velocidade em cada instante t e indique em que instante a
velocidade é nula.Caderno Apoio às
Metas
1.1 606001900 2 )(d
1.2 16
3
6012
03
0330
)(d)(d.v.m.tv ,
A distância do ponto P à origem no instante inicial é 60 cm.
A velocidade média do ponto P nos três primeiros segundos é -16 cm/s
126031933
C.A.
2 )(d
velocidade instantânea em t =4 = d´(4) =
4
4
4 t
)(d)t(dlimt
11154
154
4
06019
44
2
4
)t(lim
t
)t)(t(lim
t
ttlim
ttt
06041944
C.A.
2 )(d
A velocidade no instante t=4 é -11 cm/s e a distância à origem é 0 cm.
1.3 Determine a velocidade no instante t =4 e indique a distância à origem
nesse instante.
1.4 Determine a expressão da velocidade em cada instante t e indique em que
instante a velocidade é nula.
d(t) =t2 -19t +60
0
00
0 tt
)t(d)t(dlim)t´(d
tt
0
02
02
0
02
02 191960196019
00 tt
t tt tlim
tt
) t (t t tlim
tttt
0
000
0
02
02 1919
00 tt
) t(t)t)(tt(t lim
tt
) t(t t tlim
tttt
19219
1900
0
00
00
t)tt(lim
tt
) t(t)t(t lim
tttt
Logo d´(t)=2t - 19 2
1901920 ; tt)t´(d
A velocidade é nula ao fim de 9,5 s.
Exercícios que podem resolver nos vossos manuais
• Determinação da derivada num ponto
• Interpretação da derivada na resolução de exercício de
escolha múltipla
• Exercícios de cálculo de velocidade média e velocidade
instantânea