derivación varias variables 0012
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Ingeniería MatemáticaUniversidad de Chile
GuíaSemana 4
Ingeniería MatemáticaFACULTAD DE CIENCIASFÍSICAS Y MATEMÁTICASUNIVERSIDAD DE CHILECálculo en Varias Variables 08- 1
1. RESUMEN
Gradiente. Sean Ω ⊂ RN un abierto, f : Ω → R, x0 ∈ Ω, con f diferen-ciable en x0. La derivada de f en x0, f ′(x0) es una matriz fila de tamaño1×N de modo que puede identificarse con un vector de RN , que llamamosgradiente de f en x0 y lo denotamos por ∇f(x0). Identificando los vectoresde RN con las matrices columna, tenemos entonces que ∇f(x0) = f ′(x0)
T
y
∇f(x0) =
∂f∂x1
(x0)∂f∂x2
(x0)
···
∂f∂xN
(x0)
.
• La dirección del gradiente ∇f(x0), es aquella de máximo crecimiento de
f a partir del punto x0.
El hiperplano tangente al grafo de f en el punto (x0, f(x0)) es el conjuntode puntos (x, xN+1) ∈ RN+1 que satisfacen
xN+1 = f(x0) + ∇f(x0) · (x − x0).
En el caso de que se trate de un conjunto de nivel NC(f) = x ∈ RN | f(x) =C de f , y si ∇f 6= 0. Se define el hiperplano tangente a NC(F ) en x0 comoel conjunto de puntos x ∈ RN que satisfacen
∇f(x) · (x − x0) = 0
2. EJERCICIOS PROPUESTOS
Gradiente y Plano Tangente
P1.- Hallar el gradiente de f en cada uno de los siguientes casos:
a) f(x, y, z) = (x − y)exz, en (1, 2,−1).
b) f(x, y) = x2 − y2 sen y, en (π, π).
c) f(x) = ‖x‖α, x ∈ Rn\0, α ∈ R+. En x = 0 y x 6= 0.Hint: Separe en los casos α < 1 y α > 1 para estudiar la diferen-ciabilidad en 0.
P2.- a) Hallar la ecuación para el plano tangente a cada superficie z =f(x, y) en el punto indicado:
i) z = x3 + y3 − 6xy en (1, 2,−3)
ii) z = cosx sen y en (0, π/2, 1)
b) Calcular, para los siguientes casos, la dirección de mayor creci-miento en (1, 1, 1)
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i) f(x, y, z) = xy + yz + xz3
ii) f(x, y, z) = 1x2+y2+z2
P3.- Considere la función f : R3 → R definida por:
f(x, y, z) =exy + z2
1 + cos2(xy)
a) Encuentre ∇f(x, y, z).
b) Encuentre el plano tangente al grafo de f en el punto (x, y, z) =(0, 3, 2).
P4.- Sea S la superficie:
S =
(x, y, z) ∈ R3 : z2 + (√
x2 + y2 − 2)2 = 1
a) Encuentre los planos tangentes a S en(
0, 2 + 1√2, 1√
2
)
y (0, 1, 0).
b) Bosqueje la intersección de S al plano x = 0. En el bosquejo
indique(
0, 2 + 1√2, 1√
2
)
y (0, 1, 0)y dibuje los vectores normales
a S en dichos puntos.
P5.- Calcular una ecuación para el plano tangente a la gráfica de:
f(x, y) =ex
x2 + y2
en x = 1, y = 2.
P6.- Encuentre la linealización de
f(x, y) = x2 − xy +1
2y2 + 3
en el punto (3, 2).
P7.- a) Trazar las curvas de nivel de
f(x, y) = −x − 9y2
para c = 0,−1,−10
b) Sobre su trazo, dibujar ∇f en (1, 1). Explicar.
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P8.- El capitan PF tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio.La temperatura del casco de la nave, cuando el está en la posición(x, y, z) estará dada por:
T (x, y, z) = e−(x2+2y2+3z2)
donde x, y, z están medidos en metros. Actualmente él está en (1, 1, 1):
a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápido latemperatura?.
b) Si la nave viaja a 8 metros por segundo, ¿con qué rapidez decre-cerá la temperatura?.
c) Desafortunadamente, el metal del casco se quebrará si se enfría auna tasa mayor que
√14e2 grados por segundo. Describir el con-
junto de posibles direcciones en las que puede avanzar bajandola temperatura a una tasa no mayor que esa.
Curvas parametrizadas
P9.- Encuentre la derivada de f(x, y, z) = xyz en la dirección del vectorvelocidad de la hélice
r(t) = (cos 3t, sen 3t, 3t)
en t = π3 .
P10.- Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) = x3 − xy + cos(π(x + y))
a) Encuentre un vector normal a la curva de nivel f = 1 en el punto(1, 1).
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de nivelf = 1 en el punto (1, 1).
c) Encuentre un vector normal al grafo de f en el punto (1, 1).
d) Encuentre el plano tangente al grafo de f en (1, 1).
P11.- Considere la superficie S = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 − z = 0.
a) Encuentre el plano tangente a S en el punto (0,−π, π2).
b) Considere la curva definida por σ(t) = (t sen t, t cos t, t2).Muestre que σ está contenida en S y que pasa por el punto(0,−π, π2) ¿Cuál es el valor de t allí?Calcule el vector v, tangente a la curva en (0,−π, π2). Haga undibujo.
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3. PROBLEMAS RESUELTOS
P12.- P3 C2 PRIM 07, M. Leseigneur
a) Muestre que la ecuación del plano tangente a la elipsoide x2
a2 +y2
b2+ z2
c2 = 1 en el punto (x0, y0, z0), puede escribirse como:
xx0
a2+
yy0
b2+
zz0
c2= 1
b) Encuentre todos los puntos de la elipsoide x2
a2 + y2
b2+ z2
c2 = 1 paralos cuales el plano tangente forma un ángulo de π
4 con el eje OZ.Identifique la ecuación que satisfacen dichos puntos y expliquesu resultado geométricamente.
Solución
a) Si definimos la función g(x, y, z) = x2
a2 + y2
b2+ z2
c2 − 1, entoncesel vector normal al plano deseado corresponde al gradiente de g.Este es:
∇g =
(
2x
a2,2y
b2,2z
c2
)
Luego, la ecuación del plano corresponde a:
〈∇g, x − x0〉 = 0
Es decir:
2x
a2(x − x0) +
2y
b2(y − y0) +
2z
c2(z − z0) = 0
Luego, utilizando el hecho quex2
0
a2 +y2
0
b2+
z2
0
c2 = 1, se obtiene:
xx0
a2+
yy0
b2+
zz0
c2= 1
b) Necesitamos encontrar los puntos tales que la normal del planoanterior forma un ángulo de π
4 con el eje OZ. Si se impone estacondición:
cos(π
4
)
=〈(
2x0
a2 , 2y0
b2, 2z0
c2
)
, (0, 0, 1)〉∥
∥
(
2x0
a2 , 2y0
b2, 2z0
c2
)∥
∥
Esto lleva a:
√2
2 =2zo
c2
√
4(
x2
0
a4 +y2
0
b4+
z2
0
b4
)
12 =
z2o
c4(
x2
0
a4 +y2
0
b4+
z2
0
b4
)
12
(
x2
0
a4 +y2
0
b4+
z2
0
b4
)
=z2
0
c4
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Finalmente:z20
c4=
x20
a4+
y20
b4
lo que corresponde a elementos pertenecientes al cono de estaúltima ecuación.
P13.- (P1 EX OT 2005, M. Leseigneur)Encontrar todos los puntos de la superficie
z = ex+y + sen(x − y)
cuyo plano tangente es paralelo a z = x + y.
Solución
Sea F (x, y, z) = z − ex+y − sen(x− y), entonces el vector normal a lasuperficie del enunciado es:
∇F =
−ex+y − cos(x − y)−ex+y + cos(x − y)
1
Dado que la curva de nivel F (x, y, z) = 0 coincide con la superficiedel enunciado.Por otro lado, el plano z − x − y = 0 tiene por vector normal:
−1−1
1
Por lo que si se quiere que el plano tangente en (x0, y0, z0) sea paraleloal plano pedido, debemos imponer que sus vectores normales seanparalelos, es decir:
−ex0+y0 − cos(x0 − y0)−ex0+y0 + cos(x0 − y0)
1
= λ
−1−1
1
para algún λ 6= 0. Entonces:
λ = 1, −ex0+y0 − cos(x0 − y0) = −1, −ex0+y0 +cos(x0 − y0) = −1
Y se tienen las siguientes ecuaciones:
ex0+y0 = 2 ⇔ x0+y0 = ln(2), cos(x0−y0) = 0 ⇔ x0−y0 = 2kπ para algúnk ∈ ZFinalmente, los puntos son:
(x, y) ∈ R2| (∃k ∈ Z) x =ln(2)
2+ kπ, y =
ln(2)
2− kπ
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