resumen del tema derivación de funciones de varias variables

7/25/2019 Resumen Del Tema Derivacin de Funciones de Varias Variables

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1. La funcin derivada parcial UMA/p. 1

Derivacin de funciones de varias variables

1. La funcin derivada parcial

Se llaman derivadas parciales de una funcin de dos variables z = f(x, y), respecto de x y de y , alas siguientes funciones:

fx

(x, y) = lmh0

f(x +h, y) f(x, y)h

, fy

(x, y) = lmk0

f(x, y+k) f(x, y)k

Nota: Las derivadas parciales, respecto de una variable, se obtienen a partir de las reglas usuales de derivacin,considerando constante todas las variables salvo la variable respecto de la que estamos derivando.

Notacin. Se utilizan las siguientes notaciones:

zx= z

x=

f

x =

f

x(x, y) = fx= f

x= fx(x, y) = Dxf(x, y) =D1f(x, y);

zy = z

y =

f

y =

f

y(x, y) =fy =f

y = fy(x, y) = Dyf(x, y) = D2f(x, y).

1.1. Interpretacin de las derivadas parciales

Las derivadas parciales pueden interpretarse:

Gomtricamente Las pendientes de la superficie z = f(x, y) en las direcciones de los ejes x e y .

Fsicamente la velocidad de cambio (o razn de cambio instantneo) de z respecto de cada unade las variables x e y , cuando la otra permanece constante.

1.2. Derivadas parciales de funciones de ms de dos variables

Se definen de manera anloga a dos variables: se suponen constante todas la variables, salvo lavariable respecto de la que se est derivando.

1.3. Continuidad y derivadas parciales

Recordemos que para n = 1, es decir, para las funciones de una variable, de la existencia de laderivada en un punto se deriva tambin que la funcin es continua en ese punto. Sin embargo,para

funciones de varias variables, la existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidadde una funcin.

2. Derivadas parciales de rdenes superiores

Derivadas parciales de segundo orden

Las derivadas parciales de una funcin de dos variables f(x, y) son, a su vez, funciones de dosvariables, fx(x, y), fy(x, y) y, por lo tanto, podemos obtener de ellas, nuevamente, sus derivadasparciales, llamadas derivadas parciales de segundo orden. As, resultan las siguientes cuatro deri-

vadas parciales de segundo orden:

x

f

x

,

y

f

x

,

x

f

y

,

y

f

y

.

Notacin. Para simplificar los parntesis usaremos la siguiente notacin:

(fx)x= fxx=

x

f

x

=

2f

x2 =D1(D1f) = D11f;

(fx)y =fxy=

y

f

x

=

2f

yx=D2(D1f) = D21f;

(fy)x= fyx =

x f

y =

2f

xy =D1(D2f) = D12f;

(fy)y =fyy = y

fy

=

2fyy

=D2(D2f) = D22f.

Para evitar confusin con el orden de derivacin (fxy = D21f), unas veces va de izquierda a derecha fxyy otras de derecha a izquierdaDyxf. Utilizaremos el siguiente criterio: se empieza derivando por la variablems cercanaa la funcin.


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p. 2/UMA

2.0.1. Derivadas parciales cruzadas.

Las derivadas parciales fxy y fyx, se llaman derivadas parciales cruzadasy cuando son continuascoinciden.

Teorema 2.1 (Teorema de Schwartz). Seaf : D R2 R una funcin definida en el abiertoD de R2. Si las derivadas parcialesfxy : D R2 R yfyx : D R2 R existen y son funcionescontinuas enD, entonces

fxy =fyx.

El teorema 2.1, de igualdad de las derivadas parciales cruzadas, tambin se aplica a funcionesde tres o ms variables siempre y cuando f y todas sus derivadas parciales primeras y segundassean continuas.

2.0.2. Derivadas parciales de tercer orden

Si adems, las derivadas parciales de tercer orden son continuas, entonces no importa el orden dederivacin de las derivadas parciales cruzadas de tercer orden. En consecuencia, si hacemos lasderivadas parciales de tercer orden, resultan 23 = 8 derivadas, pero si son continuas se reducen a3 + 1 = 4 derivadas distintas:

f

fx fxx fxxxfxxy

fxy fxyx

fxyy

fy

fyx fyxxfyxyfyy fyyx

fyyy

Si son continuas ffx

fy

fxx

fxy

fyy

fxxx

fxxy

fxyy

fyyy

2.1. Derivadas parciales de orden n

Si hacemos las derivadas parciales de orden n, resultan 2n derivadas, pero si son continuas se reducena n+ 1 derivadas distintas. Por ejemplo, para n = 10 tenemos 210 = 1024 derivadas diferentes sino son continuas, mientras que si son continuas se reducen a 10 + 1 = 11.

Si las derivadas parciales son continuas no importa el orden de derivacin, sino el nmero deveces que se ha derivado respecto de cada variable. Ahora bien, aunque el resultado final de lasderivadas parciales no depende del orden de derivacin, el proceso de derivacin puede resultarmucho ms complicado en un orden que en otro.

3. Derivadas direccionales

Definicin 3.1 (Derivada direccional). Sea f :D

R2

R una funcin definida en el

conjunto abiertoD de R2 y sea p D un punto dado deD. Seau un vector unitario dado.Se define la derivada de la funcin f en p, en la direccin del vectoru , denotada

f

u(p), o bien

Duf(p), como el siguiente lmite, si existe y es finito.

Duf(p) = lmt0

f(p +tu ) f(p)t

(1)

El concepto de derivada direccional generaliza el concepto de derivada parcial, de manera que lasderivadas parciales pueden obtenerse como casos particulares de las derivadas direccionales. As,fx es la derivada direccional en la direccin del vector (1, 0) y fy en la direccin del vector (0, 1),

es decir: fx(p) =Duf(p) para u= (1, 0); fy(p) =Duf(p) para u= (0, 1).

Se debe observar que puede existir la derivada direccional de una funcin, en un punto, conrespecto a un vector, y sin embargo, puede suceder que no exista la derivada direccional con respectoa otro vector.


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3.1 Derivada direccional de funciones de ms de dos variables UMA/p. 3

3.1. Derivada direccional de funciones de ms de dos variables

El concepto de derivada direccional se puede generalizar para cualquier nmero de variables. As,para el caso general podemos enunciar la siguiente definicin:

3.2. Relacin entre la derivada direccional y las derivadas parciales

Si f es difereniable, se tiene. Duf = fx u1+ fy u2. Es decir, la derivada direccional se puedeobtener como la suma de los productos de las derivadas parciales por las componentes del vectorunitario de direccin.

3.2.1. Derivada direccional y continuidad

La existencia de todas las derivadas direccionales de una funcin en un punto no garantiza lacontinuidad de la funcin en dicho punto, ya que el clculo de las derivadas direccionales equivalea acercarseal punto slo mediante rectas.

4. Diferenciabilidad

4.1. Incremento y diferencial

Llamando x e y a los incrementos de x e y respectivamente, el incremento de la funcin sedefine por

z= f(x + x, y+ y) f(x, y).La diferencial total de la variable z se va a definir mediante la expresin

dz= z

xdx+

z

ydy.

4.2. Generalizacin del concepto de diferenciabilidad

Definicin 4.1. Una funcinf :D R Res diferenciable en x0 D si existe una constante Atal que

f(x0+h) =f(x0) +Ah+r(h), con lmh0

r(h)h

= 0.

Definicin 4.2 (Funcin diferenciable de dos variables). Una funcin f :D R2 R esdiferenciable en el punto p(x0, y0) D si existen dos constantes A y B tales que

f

(x0, y0) + (h, k)

=f(x0, y0) + Ah+ Bk+ r(h, k) con lm(h,k)(0,0)

r(h, k)

(h, k) = 0

fes diferenciable en la reginD si es diferenciable en todo punto deD.

Nota: Esta definicin de diferenciabilidad puede generalizarse a funciones de cualquier nmero de variables. En

efecto, paran = 3 se tiene

Definicin 4.3 (Diferenciabilidad de funciones de tres variables). Una funcin f : D R3 R es diferen-ciable en el punto p(x0, y0, z0) D si existen tres constantes A,B y Ctales que

f

(x0, y0, z0) + (h1, h2, h3)

=f(x0, y0, z0) +Ah1+Bh2+Ch3+r(h1, h2, h3),

con lm(h1,h2,h3)(0,0,0)

r(h1, h2, h3)

(h1, h2, h3) = 0.

4.3. Diferenciabilidad y continuidad

Teorema 4.1 (Diferenciabilidad implica continuidad). Si la funcin f :D R2 Rdefinida en un conjunto abierto

Dde R2, es diferenciable en el punto p= (x0, y0)

D, entonces

es continua en ese punto.

f diferenciable enp f continua enp.

El recproco no es cierto, ya que existen funciones continuas que no son diferenciables.


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p. 4/UMA

4.4. Diferenciabilidad y derivadas parciales

Proposicin 4.1 (Diferenciabilidad implica existencia de las derivadas parciales). Siuna funcinf :D R2 R es diferenciable en el punto p D, entonces existen sus derivadasparciales en dicho punto.

f diferenciable enp

existen las parciales defenp.

Corolario 4.1.1 (Caracterizacin de la diferenciabilidad). La funcinf : D R2 R definida en un conjunto abiertoD de R2, es diferenciable en el puntop= (x0, y0) D, si:

1. Existen las derivadas parciales def enp: A=f

x(x0, y0), B =

f

y(x0, y0).

2. El siguiente lmite vale cero lm(h,k)(0,0)

r(h, k)

(h, k) = lm(h,k)(0,0)f (h, k)

h2 +k2 = 0;

donde, f=f(x0+ h, y0+k) f(x0, y0) y (h, k) =Ah+Bk.

Nota: Lo que est indicando la 2a

condicin es que el diferencial es una buena aproximacin del incremento. Esdecir, que la aproximacin lineal es una buena aproximacin de la funcin.

Proposicin 4.2 (Segunda forma de la diferenciabilidad). Una funcin f dada por z =f(x, y) es diferenciable en(x, y) siz puede expresarse en la forma

z= fx(x, y)x+fy(x, y)y+1x +2y;

donde ambos1 y2 0 cuando (x, y) (0, 0).

4.5. La diferencial

Si la funcin f :D R2 R es diferenciable en el punto p = (x0, y0) D, entonces a la partelineal en h y k ((h, k) =Ah+Bk) de la expresin del residuo

f

(x0, y0) + (h, k)

= f(x0, y0) + Ah+Bk +r(h, k) con lm(h,k)(0,0)

r(h, k)

(h, k) = 0

se le llama diferencialde la funcinf en (x0, y0) y se denota por df(x0, y0). As,

df(x0, y0) = Ah+Bk.

Y dado que, como se vio en la proposicin 4.1, A y B representan las derivadas parciales de lafuncinfen el punto (x0, y0), resulta

df(x0, y0) = f

x(x0, y0)h+

f

y(x0, y0)k.

Y teniendo en cuenta que sif(x, y) =x, se tiene h = dx y sif(x, y) = y, se tiene k = dy, podemosescribir

df(x0, y0) = f

x(x0, y0)dx+

f

y(x0, y0)dy.

O de manera ms general:

Definicin 4.4 (La diferencial). Si la funcin f : D R2 R es diferenciable en el conjuntoabiertoD de R2, entonces, para cada x= (x, y) D, se llama diferencialde la funcin f en x yse denota por df, a la expresin:

df= f

xdx +

f

ydy (2)

Notacin. Hay que tener en cuenta que el diferencial de una funcin de dos variables depende de cuatrovariables: x, y, dx y dy . De ah que en ocasiones se escriba

df(x,y,dx,dy) =f

xdx+

f

ydy.


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4.6 Condicin suficiente para la diferenciabilidad UMA/p. 5

4.6. Condicin suficiente para la diferenciabilidad

Teorema 4.2 (Derivadas parciales continuas implican diferenciabilidad). Sea f :D Rn R una funcin definida en el conjunto abierto D deRn. Si las funciones (derivadas parciales)

f

xi: D Rn R, i= 1, 2, , n, D D

son continuas en el punto x0 D, entoncesfes diferenciable enx0.El recproco de este teorema no es cierto, ya que existen funciones diferenciables en un punto p

y sin embargo sus derivadas parciales en dicho punto no son continuas. Por lo tanto, si las derivadasparciales no son continuas, entonces no podemos asegurar nada. No obstante, este teorema permitecomprobar la diferenciabilidad de una funcin de una manera fcil, y se puede extender a undominio D de la siguiente forma:Si las derivadas parciales son continuas en un dominioDentoncesla funcin es diferenciable en ese dominio.

4.7. Caracterizacin de las funciones diferenciables

4.7.1. Condiciones para la diferenciabilidad

Recapitulando, podemos resumir las condiciones de diferenciabilidad de la siguiente forma:

Condiciones necesarias de diferenciabilidad:

Si la funcin es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto.

Si la funcin es diferenciable en un punto, entonces existen las derivadas parciales en esepunto.

Condicin suficiente de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales son continuas en unpunto, entonces la funcin es diferenciable en ese punto.

Los recprocos de los teoremas anteriores no son ciertos. Aunque lo que s podemos utilizar sonsus negaciones lgicas.

Condiciones necesarias de diferenciabilidad (negaciones lgicas):

Si la funcin no es continua en un punto, entonces no es diferenciable en ese punto.

Si no existen las derivadas parciales en un punto, entonces la funcin no es diferenciableen ese punto.

Condicin suficiente de diferenciabilidad: Si la funcin no es diferenciable en un punto,entonces alguna de las derivadas parciales no es continua en ese punto.

Para recordarlas podemos realizar el siguientes esquema grfico

Parcialescontinuas

DiferenciablesContinuas

Diferenciables

Existen derivadas parciales

Fig. 1: Parciales contdiferenciable continua. Diferenciable existen parciales.

Diferenciabilidad de las funciones elementales

Con objeto de desarrollar una intuicin que permita detectar a priori la diferenciabilidad de lasfunciones de varias variables deben tenerse en cuenta las siguientes proposiciones

Proposicin 4.3. Toda funcin polinmicaf : R2 R, f(x, y) = ni,j=0 aijxiyjes diferenciable en todo punto (x0, y0) R2.


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p. 6/UMA

Proposicin 4.4.

(a) La suma y el producto de funciones diferenciables es otra funcin diferenciable.

(b) El cociente de dos funciones diferenciables es otra funcin diferenciable en todos aquellospuntos que no anulen el denominador.

Proposicin 4.5. La composicin de dos funciones diferenciables es otra funcin diferenciable.

4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales

El clculo de la derivada direccional aplicando el lmite (1) que aparece en la definicin (pg. 2) resulta un pocoengorroso. No obstante, para las funciones diferenciables existe la posibilidad de calcular las derivadas direccionalesde una manera mucho ms fcil. Como la suma de los productos de las derivadas parciales por las componentes delvector unitario de direccin. En efecto,

Teorema 4.3 (Derivada direccional y derivadas parciales). Seaf :D Rn R una funcin diferenciableen el punto x0 D, y seau= (u1, , un) un vector unitario. Entonces

f

u(x0) =

n

i=1

f

xi(x0) ui. (3)

5. Gradiente

5.1. Definicin

Si la funcin es diferenciable, entonces la derivada direccional y el diferencial recuerdan un productoescalar

Duf=fxu1+fyu2= (fx, fy) (u1, u2) =fu;

df=fxdx +fydy= (fx, fy) (dx, dy) =f vT.

Este resultado nos hace tener en consideracin el vector cuyas componentes son las derivadasparciales de una funcin en un punto. As, Dada una funcin diferenciable de dos variables, se llamavector gradiente de dicha funcin en un punto p, al vector cuyas componentes son las derivadasparciales de la funcin en dicho punto. Y se denota por cualquiera de los smbolosgradf(p), f(p)o

f(p).gradf(p) = f(p) = f(p) =

f

x(p),

f

y(p)

.

(El smbolose denomina nabla).De manera anloga se define el vector gradiente para tres o ms variables

gradf(p) =

f(p) =

f(p) =

f

x(p),

f

y(p),

f

z(p) .

Formalmente la definicin es la siguiente:

Definicin 5.1 (Gradiente). Sea f :D Rn R una funcin diferenciable definida en elconjunto abiertoD de Rn. Se define el (vector) gradientede la funcin f en el punto x0 D ,como el vector de Rn dado por

gradf(x0) =

f

x1(x0),

f

x2(x0), , f

xn(x0)

. (4)

Observacin. Para funciones de una variable y = f(x) tenamos que

df =f(x)dx= f(x) h.Para funciones de varias variables tenemos que

df =fxdx+ fydy= (fx, fy)

dxdy

= f h.


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5.2 Vector gradiente y derivada direccional UMA/p. 7

Si se comparan ambas expresiones, se observa que el gradiente,f, puede pensarse como la generalizacindel concepto de derivada para funciones de varias variables. Si bien, hay que advertir que mientras que laderivada de una funcin de una variable en un punto es un nmero, la derivada de una funcin de variasvariables es un vector.

Propiedad 1 (Reglas del gradiente). Sean f, g : Rn R dos funciones diferenciables. Setiene:

(a) (f+ g) = f+ g,(b) (f g) = gf+ fg,(c) (fr) =rfr1f.

Observacin. Como podemos observar en la proposicin anterior, el comportamiento del gradiente nosrecuerda el de la derivada.

5.2. Vector gradiente y derivada direccional

A partir del vector gradiente, la derivada direccional de una funcin diferenciable fen un punto pen la direccin del vector unitario u , se puede expresar como un producto escalar

fu

(p) = fu.

Es decir,la derivada direccional de la funcinfen el punto pen la direccin del vector unitarioues el producto escalar del vector gradiente def en el punto p por el vectoru. Este hecho permiteobtener las siguientes propiedades

5.2.1. Propiedades que relacionan el gradiente y las derivadas direccionales

Si la funcinfes diferenciable, se tiene:

Propiedad 2 (Gradiente nulo). Si en un punto p el gradiente es cero, entonces todas lasderivadas direccionales en ese punto valen cero.

f(p) = 0 Dvf(p) = 0, cualquiera que seav.

Es decir, si todas las derivadas parciales son nulas, entonces todas las derivadas direccionalestambin lo son.

Propiedad 3 (Derivada direccional mxima). La derivada direccional es mxima en la di-reccin y sentido del gradiente, mnima en sentido contrario, y nula en la direccin perpendicularal gradiente, adems, el valor mximo de esta derivada es el mdulo del gradiente.

Demostracin. En efecto, teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores es el productode los mdulos de los vectores por el coseno del ngulo que forman, y llamando al ngulo que

forman el gradiente fy el vector de direccin u, resultaf

u(p) =

fu= f u cos= f 1 cos = f cos .

Ahora bien,1 cos 1, luego el valor mximo del producto f cos se obtiene cuandocos = 1 y el valor mnimo cuando cos = 1, es decir:Cuando

fy uson vectores de la misma direccin y sentido, se tiene = 0, y por lo tantocos = 1,de donde

f

u(p) =

fu= f u cos 0 = f 1 1 = f.

Cuando fy uson vectores de la misma direccin pero de sentidos opuestos, se tiene = , y porlo tanto cos = 1, de donde

f

u(p) =

fu= f u cos = f 1 (1) = f.


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p. 8/UMA

Y cuandofy uson vectores perpendiculares, se tiene = /2, y por lo tanto cos = 0, de donde

f

u(p) =

fu= f u cos /2 = f 1 0 = 0.

Esquemticamente:

f u Duf(p) = f(p) mxima,f u Duf(p) = f(p) mnima,

f u Duf(p) = 0.

5.3. Gradiente y curvas de nivel

Propiedad 4 (Gradiente y curvas de nivel). En cada punto de una superficie, el vector gra-diente es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto.

f vT.

Observacin. Obsrvese que el gradiente de una funcin de dos variables z = f(x, y) solamente tiene doscomponentesf= (fx, fy) y, por lo tanto, es un vector del plano.

6. Plano tangente

6.1. Vectores tangentes

6.1.1. (a) A una curva plana

Como vector tangente podemos elegir cualquiera de los vectores siguientes, todos ellos paralelosentre s:

vT = (dx,dy)

(1,

dy

dx

) = 1, y(x).6.1.2. (a) A una superficie

De manera anloga, a lo anterior, se tiene

vT = (dx,dy,dz)

y= cte. vT = (dx, 0, dz) (1, 0, zx

);

x= cte. vT = (0,dy,dz) (0, 1,zy

).

6.2. Vectores normales

6.2.1. Vector normal a una curva planaSe llama vector normala una curva, en un punto de la misma, al vector perpendiculara su rectatangente en dicho punto. Anlogamente, se llama vector normala una superficie, en un punto dela misma, al vector perpendiculara su plano tangente en dicho punto. Es evidente que si existe unvector normal entonces existen infinitos, ya que si vp es un vector normal, entonces tambin lo esvp, con R.(a) Curvas dadas de forma explcitas y = f(x). Dada una funcin de una variabley = f(x)y un punto (x0, y0) de la misma, el vector tangente a su grfica en dicho punto vendr definidopor (dx,dy), o bien,

h, f(x0)h

, o ms simplificado, vT =

1, f(x0)

, y en consecuencia, el vector

normal a la curva en el punto (x0, y0)vendr definido por

vp =f(x0), 1.

Donde se ha tenido en cuenta que para calcular un vector perpendicular a otro conocido delplano basta con cambiar las coordenadas de orden y una de ellas de signo.


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6.3 Plano tangente UMA/p. 9

(b) Curvas dadas en forma implcita F(x, y) = 0. La curva de ecuacin F(x, y) = 0 puedeconsiderarse como una curva de nivel de la superficie z = F(x, y). En consecuencia, el vectorgradiente de esta funcinF, ser un vector normal a la curva dada.

vp= FNota: El mismo razonamiento puede hacerse si la curva viene definida de manera explcita. En efecto, dada una curva

plana de ecuacin y = f(x), igualando a cero (o a una constante) la ecuacin, podemos considerar la curvayf(x) = 0como una curva de nivel, F(x, y) = 0, de una funcin de dos variables z= F(x, y), siendo F(x, y) = y f(x), con locual el vector gradiente de esta funcin ser un vector normal a la curva dada.

vp = F

6.2.2. Vector normal a una superficie

(a) Superficies dadas de forma explcitas z = f(x, y). El vector normal vp a una superficieSen un puntoPde la misma, ser un vector perpendicular al plano tangente a la superficie en dichopunto. Ahora bien, el vector perpendicular al plano tangente en el punto P ser perpendicular acualquier recta tangente a la superficie en dicho punto. Un vector, genrico, tangente a la super-ficie viene dado por las componentes vT = (dx,dy,dz). En particular, los vectores tangentes a la

superficie, en el punto P, en las direcciones de los ejes OX y OY vienen dados respectivamentepor:

vTx=

1, 0,

f

x(x0, y0)

, vTy =

0, 1,

f

y(x0, y0)

.

El vector normal a la superficie ha de ser perpendicular a los dos vectoresvTxy vTy, luego se puedeobtener a partir del producto vectorial de los mismos, as

vp = vTx vTy =

i j k1 0 fx(x0, y0)0 1 fy(x0, y0)

= fx(x0, y0), fy(x0, y0), 1.

Nota: Para que la existencia del plano tangente en el punto P(x0, y0, z0) est garantizada, la funcin ha de ser

diferenciable en el punto p(x0, y0).

(b) Superficies dadas de forma implcita F(x,y,z) = 0. Dada una superficie de ecuacinz = f(x, y), igualando a cero (o a una constante) la ecuacin, podemos considerar la superficiez f(x, y) = 0como una superficie de nivel de una funcin de tres variablesF(x,y ,z) = 0siendoF(x,y ,z) =y f(x, y), con lo cual el vector gradiente de esta funcin ser un vector normal a lasuperficie dada.

vp = F.Es evidente que si la funcin viene definida de manera explcita z = f(x, y), entonces ambosprocedimientos coinciden. En efecto, haciendoF(x,y ,z) =z f(x, y), resulta

vp = F = (Fx, Fy , Fz) = (fx, fy, 1).6.3. Plano tangente

(a) Superficies dadas de forma explcita z = f(x, y). El plano tangente ha de contener todaslas rectas tangentes a la superficie en el punto correspondiente, luego, en particular, ha de contenerlas rectas tangentes en las direcciones de los ejes OX y OY, por lo tanto, los vectores

vTx=

1, 0,

f

x(x0, y0)

y vTy =

0, 1,

f

y(x0, y0)

sern paralelos al plano buscado.Por tanto el plano tangente buscado contiene al punto x0, y0; f(x0, y0) y es paralelo a los vectoresvTx=

1, 0, fx(x0, y0)

y vTy =

0, 1, fy(x0, y0)

, por lo que su ecuacin ser

x x0 y y0 z z01 0 fx(x0, y0)0 1 fy(x0, y0)

= 0;


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p. 10/UMA

de donde resulta z z0 fx(x0, y0)(x x0) fy(x0, y0)(y y0) = 0 que se puede expresar de laforma:

z z0= fx(x0, y0)(x x0) +fy(x0, y0)(y y0)o bien, despejando z , y poniendo z0= f(x0, y0) resulta

z = f(x0, y0) +fx(x0, y0)(x

x0) +fy(x0, y0)(y

y0) (5)

Nota: Si la funcin no es diferenciable, entonces la ecuacin anterior no representa el plano tangente, ya que en estecaso el plano tangente no existe. Es decir, si la funcin no es diferenciable, pero tiene derivadas parciales, podemosconstruir la ecuacin anterior, pero en este caso dicha ecuacin no representa el plano tangente, sino simplemente unplano que pasa por el punto (x0, y0).

Al mismo resultado llegamos sabiendo que el vector vp= (fx, fy, 1)es perpendicular al planobuscado. En este caso ser vp px= 0, y en consecuencia obtenemos el mismo resultado.

fx(x0, y0) (x x0) fy(x0, y0) (y y0) +z z0 = 0;de donde

z z0= fx(x0, y0) (x x0) +fy(x0, y0) (y y0).que es el mismo resultado anterior.

(b) Superficies dadas de forma implcita F(x,y,z) = 0. Supongamos que la superficie vienedefinida de manera implcita, mediante la ecuacin F(x,y ,z) = 0. Si la funcin viene definida demanera explcita z = f(x, y), fcilmente puede convertirse a la forma implcita. En efecto, dadauna superficie de ecuacinz = f(x, y), igualando a cero (o a una constante) obtenemos la ecuacin,zf(x, y) = 0, y la podemos considerar definida de manera implcita. Por tanto tenemos la ecuacinzf(x, y) = 0que puede considerarse como una superficie de nivel"de una funcin de tres variablesF(x,y ,z) = 0, siendoF(x,y ,z) =z f(x, y), con lo cual en cada punto (x,y ,z)el vector gradientede esta funcin ser un vector normal a la superficie dada.

vp=

F.

En consecuencia, el plano tangente a la superficie en el punto P(x0, y0, z0)ser el plano que contieneaPy tiene por vector normal a F(x0, y0, z0). Para hallar su ecuacin, tomamos un punto genricoX(x,y ,z) del plano, y tendr que serF(x0, y0, z0)

P X, y en consecuencia su producto escalar

ha de ser ceroF(x0, y0, z0) P X= 0, luego su ecuacin ser

F

x(x0, y0, z0) (x x0) + F

y(x0, y0, z0) (y y0) + F

z(x0, y0, z0) (z z0) = 0. (6)

6.3.1. Recta normal

Se llama recta normal a una superficie

Sen un puntoP(x0, y0, z0)de la misma, a la recta que pasa

por Py tiene por vector director al vector normal a la superficie en dicho punto. Es decir, la rectaperpendicular al plano tangente a la superficie en P. Teniendo en cuenta que el vector normal a lasuperficie en el punto P(x0, y0, z0) esF(x0, y0, z0), podemos concluir que la ecuacin de la rectanormal a la superficie en el punto Pviene definida por las ecuaciones:

x x0Fx(x0, y0, z0)

= y y0

Fy(x0, y0, z0)=

z z0Fz(x0, y0, z0)

(7)

6.4. La aproximacin lineal en dos variables

Para hacer clculos aproximados de operaciones podemos utilizar cualquiera de las dos opciones:

(a) Para hallar el valor aproximado de una funcin en un punto, calculamos la ecuacin del planotangente, en un punto cercano, y sustituimos las coordenadas del punto sobre la ecuacin dedicho plano.

f(x, y) f(x0, y0) +fx(x0, y0)(x x0) +fx(x0, y0)(y y0).


11/20

7. Derivada de funciones vectoriales UMA/p. 11

(b) Aproximar el incremento mediante la diferencial f=df.

f(x, y) f(x0, y0) df(x0, y0).O bien

f(x, y) f(x0, y0) +df(x0, y0).

Hay que advertir que estas aproximaciones slo sern validas para valores muy cercanos al puntoconocido y para funciones diferenciables.Los resultados anteriores pueden extenderse a funciones de tres o ms variables, como se hace

en el siguiente ejemplo.

7. Derivada de funciones vectoriales

7.1. La matriz jacobiana

7.1.1. Generalizacin del concepto de derivada a funciones vectoriales

Se pretende aqu generalizar el concepto de derivada a funciones vectoriales. Partiremos de laderivada de una funcin en un punto, el paso a la funcin derivada se hace simplemente cambiando

el punto concreto por un punto genrico.Derivada de funciones de una variable. Se tiene f : R R.

y = f(x) f(x0)es un nmero.Derivada de funciones de varias variable. Se tiene f : Rn R.

z= f(x, y) f= (fx, fy) es un vector fila.Derivada de funciones vectoriales. Veamos como definirlo.Partamos del caso ms simple: f : R R2.

f(t) = (f1, f2)

Jf = f

1(t)

f

2(t) es un vector columna.

Para el caso generalf : Rn Rm, tendremos que recopilarm nderivadas. Lo lgico es recopilarlasen una matriz que generalice los casos anteriores.Por ejemplo, para el caso: f : R3 R2

f(x,y ,z) = (f1, f2) Jf=

(f1)x (f1)y (f1)z(f2)x (f2)y (f2)z

es una matriz.

7.1.2. Generalizacin del concepto de diferencial a funciones vectoriales

Para entenderlo mejor comencemos con un ejemplo

Ejemplo 7.1 (Expresando el diferencial en forma matricial). Expresar de forma matricial el dife-rencial de la funcin vectorial f : R2 R2, definida porf(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)).Solucin. Calculando el diferencial por componentes, se tiene

df= (df1, df2) =

f1x

dx+ f1

y dy ,

f2x

dx+ f2

y dy

;

y ese vector se puede expresar como el producto de dos matrices, de la siguiente forma

f1x

dx + f1

y dy ,

f2x

dx + f2

y dy

=

f1x

f1y

f2x

f2y

dxdy

.

En consecuencia

df=

f1x

f1y

f2x

f2y

dxdy

.


12/20

p. 12/UMA

En general, si la funcinf : D Rn Rm es diferenciable en el punto x0 = (x1, , xn) D,entonces su diferencial ser:

df(x0) =(h) = f

x1dx1+

f

x2dx2+ + f

xndxn.

Que se puede expresar de manera matricial, de la forma

df(x0) = f

x1,

f

x2, , f

xn

dx1dx2

...dxn

=Jf(x0)dx.

A la matriz Jf(x0)se le llama matriz Jacobiana de la funcin fen el puntox0.Ahora bien, teniendo en cuenta que la funcin f= (f1, f2, , fm), ser

f

xi=

f1xi

,f2xi

, ,fmxi i= 1, 2, , n

Con lo cual resulta que la matriz jacobiana es

Jf=

f1x1

f1x2

f1xn

f2x1

f2x2

f2xn

fmx1

fmx2

fmxn

=

f1f2

...fm

8. Regla de la cadena

8.1. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana

Supongamos que la funcin g : Rm Rn es diferenciable en x0 y la funcin f : Rm Rn esdiferenciable eng(x0). Lo que dice la regla de la cadena es que la funcin compuestafg: Rm Rpser diferenciable en x0 y que

(f g)(x0) =f(g(x0)) g(x0)entendindose el lado derecho de esta expresin como una composicin de transformaciones lineales,o bien, en trminos matriciales

J(f g)(x0) =Jf(g(x0)) Jg(x0)

entendindose el lado derecho de esta ltima expresin como una multiplicacin de matrices. Esdecir,la (matriz que representa a la) derivada de la composicin es igual al producto de las (matricesque representan a las) derivadas de las funciones componentes.

El teorema que establece rigurosamente la regla de la cadena en el caso general puede enunciarsede la siguiente forma:

Teorema 8.1 (Regla de la cadena). Seaf : Df Rn Rp una funcin definida en el abiertoDf de Rn yg :Dg Rm Rn una funcin definida en el abiertoDg de Rm tal queg(Dg) Df. Si g es diferenciable en x0 Dg y f es diferenciable en g(x0) Df entonces la funcinf g: Dg Rm Rp es diferenciable enx0 y su derivada viene dada por la matriz:

J(f g)(x0) =Jf

g(x0)

Jg(x0). (8)


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8.2 Regla de la cadena. Perspectiva prctica: Parciales UMA/p. 13

8.2. Regla de la cadena. Perspectiva prctica: Parciales

8.2.1. Regla de la cadena con una variable independiente

Planteamiento prctico. Con objeto de recordar con facilidad las frmulas correspondientes a laregla de la cadena planteamos un segundo razonamiento (ms prctico) centrado en dos variables.

Supongamos una funcin de dos variables z = f(x, y), y supongamos que cada una de las

variables x e y depende de una tercera variable t, mediante las funciones x = x(t), y = y(t).Podemos sustituir los valores de x e y en la funcin z = f(x, y), con lo cual z pasara a dependerdirectamente de t y podramos calcular la derivada de z respecto de t.

z = f(x, y)

x= x(t)y = y(t)

z = fx(t), y(t) =h(t) dz

dt =h(t).

Esto que puede hacerse por sustitucin de las variables (sustituyendo primero y derivando despus),tambin puede hacerse por la regla de la cadena. Para obtener la frmula correspondiente, partimosde dz , y a partir de ah obtenemos dz/dt, por simple divisin. En efecto,

dz = f

xdx+

f

ydy dz

dt =

f

x

dx

dt +

f

y

dy

dt

Nota: La composicin tambin puede hacerse a partir del producto de las matrices jacobianas. En efecto, se tiene

R R2

R

t (x(t), y(t))( x , y ) z(x, y)

z(t)

g f

f gdz

dt =J(f g) = J f

g(t)

Jg(t) =

z

x, z

y

(x(t),y(t))

dx/dtdy/dt

=

z

x

dx

dt +

z

y

dy

dt

Donde (x, y) = (x(t), y(t)).

Esta regla puede enunciarse de una manera ms formal mediante el siguiente

Teorema 8.2 (Regla de la cadena con una variable independiente). Sea z = f(x, y),donde f es una funcin diferenciable de x e y. Si x = g(t) e y = h(t), siendo g y h funcionesderivables de t, entoncesz es una funcin derivable det, y su derivada es

dz

dt =

z

x

dx

dt +

z

y

dy

dt (9)

8.2.2. Regla de la cadena para dos variables independientes

Planteamiento prctico. Supongamos una funcin de dos variables z = f(x, y), y supongamosque cada una de las variables x e y dependen de otras dos variable s y t, mediante las funcionesx = x(s, t), y = y(s, t). Podemos sustituir los valores de x e y en la funcin z = f(x, y), con locual z pasara a depender directamente de s y t y podramos calcular las derivadas parciales de zrespecto de s y respecto de t.

z = f(x, y)

x= x(s, t)y= y(s, t)

z = fx(s, t), y(s, t) =h(s, t)

z

s =?

z

t =?

Esto que puede hacerse por sustitucin de las variables (sustituyendo primero y derivandodespus), tambin puede hacerse por la regla de la cadena. Para obtener la frmula correspondiente,partimos dedz , y a partir de ah obtenemos z/sy z/t por simple divisin. En cada caso, d setransforma en, ya que al hacer la divisin suponemos que la otra variable permanece constante.En efecto,

dz=f

xdx +

f

ydy

zs

= fx

xs

+ fy

ys

t= cte.

z

t =

f

x

x

t +

f

y

y

t s= cte.

Estos resultados se pueden enunciar de una manera ms formal mediante el siguiente


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p. 14/UMA

Teorema 8.3 (Regla de la cadena con dos variables independientes). Sea z = f(x, y),dondefes una funcin diferenciable dexy dey. Six = g(s, t) ey = h(s, t) son tales que existentodas las parciales primeras x/s, x/t, y/s y y/t, entonces z/s y z/t existen yvienen dadas por

z

s =

z

x

x

s+

z

y

y

s;

y z

t =

z

x

x

t +

z

y

y

t

Nota: La composicin tambin puede hacerse a partir del producto de las matrices jacobianas. En efecto, se tiene

R2

R2

R

(s, t) (x(s, t), y(s, t))( x , y ) z(x, y)

z(s, t)

g f

f g

zs

, z

t =J(f g) =Jfg(s, t) Jg(s, t) = z

x, z

y(x(s,t),y(s,t))

x

s

x

t

ys

yt

==

z

x

x

s+

z

y

y

s,

z

x

x

t +

z

y

y

t

(x(s,t),y(s,t))

9. Funciones implcitas

9.1. Funciones de una variable

Planteamiento prctico. Supongamos la ecuacin F(x, y) = 0, si supiramos despejar y en

trminos de x, tendramosy = f(x), y podramos calcular dy

dx=?

F(x, y) = 0 y= f(x) dydx

=?

El problema se presenta cuando no sabemos o no queremos despejar y en trminos de x cmopodemos calcular dicha derivada? La respuesta la da el siguiente

Teorema 9.1 (De la funcin implcita). Supongamos la funcinz = F(x, y). Sea(x0, y0) R2un punto tal queF(x0, y0) = 0. Supongamos que la funcinF tiene derivadas parciales continuasen alguna bolaB con centro en (x0, y0) y que Fy(x0, y0)= 0. Entonces F(x, y) = 0 se puederesolver paray en trminos dex y definir as una funciny = f(x)con dominio en una vecindadV dex0, tal quey0= f(x0), la cual tiene derivada continua enV que puede calcularse como

y =f(x) =Fx(x, y)

Fy(x, y) , x V. (10)

Esquemticamente sera:

F(x0, y0) = 0Fx y Fy continuasFy(x0, y0) = 0

y= f(x), tal que y0= f(x0), y adems y =Fx(x, y)Fy(x, y)

Observacin. Hay que aclarar que los papeles de las letras x e y son perfectamente intercambiables. As,si la funcin z = F(x, y) es tal que en el punto (x0, y0) vale cero, F(x0, y0) = 0, que en una bola con centro

en (x0, y0) tiene derivadas parciales continuas y que su derivada respecto dexes distinta de cero en (x0, y0),es decir, Fx(x0, y0) = 0. Entonces, el teorema de la funcin implcita garantiza la existencia de una funcinx= g(y) tal quex0= g(y0), paray en una vecindad de y0, y adems su derivada, en esa vecindad, es

dx

dy =g (y) =

Fy(x, y)Fx(x, y)


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9.2 Funciones de dos variables UMA/p. 15

Es evidente que si en el punto (x0, y0) se tiene

Fx(x0, y0) = 0 y Fy(x0, y0) = 0entonces el teorema de la funcin implcita nos dice que en los alrededores de ( x0, y0), la grfica de la curvaF(x0, y0) = 0 se puede ver como la grfica de una funcin y = f(x) o bien como la grfica de una funcinx= f(y).

Puntos regulares. Siz = F(x, y)es una funcin tal queF(x0, y0) = 0y en una bola B con centro en(x0, y0)las parciales Fx y Fy son continuas y siFx(x0, y0) = 0 Fy(x0, y0) = 0(o equivalentementesi

Fx(x0, y0)2

+

Fy(x0, y0)2 = 0) entonces (x0, y0) se dice que es un punto regularde la curva

F(x, y) = 0.Es decir, los puntos regulares son aquellos puntos (x0, y0)tales que en una bola con centro en ellos,a partir de F(x, y) = 0, se puede despejarx o y en trminos de y o x, respectivamente, y estableceruna funcin con derivada continua x = g(y) y = g(x).Si el punto (x0, y0)no es regular de F(x, y) = 0, se dice que es un punto singular.

9.2. Funciones de dos variables

Planteamiento prctico. Supongamos la ecuacin F(x,y ,z) = 0, si supiramos despejar z en

trminos dex e y , tendramosz = f(x, y), y podramos calcular zx

=?y zy

=?

F(x,y ,z) = 0 z= f(x, y)

z

x=?

z

y =?

El problema se presenta cuando no sabemos o no queremos despejar z en trminos de x e y cmopodemos calcular dichas derivadas? El siguiente teorema nos da la respuesta

Teorema 9.2 (De la funcin implcita). Supongamos la funcin w = F(x,y,z). Sea p =

(x0, y0, z0) R3 un punto tal queF(x0, y0, z0) = 0. Supongamos que la funcinF tiene derivadasparciales continuas en alguna bolaB con centro enp y queFz(p) = 0. EntoncesF(x,y ,z) = 0 sepuede resolver paraz en trminos dex ey y definir as una funcinz = f(x, y) con dominio enuna vecindadV de (x0, y0), tal quez0=f(x0, y0), la cual tiene derivadas parciales continuas enV que pueden calcularse como

z

x =

Fx(x,y ,z)Fz(x,y ,z)

, z

y =

Fy(x,y ,z)Fz(x,y,z)

; (x, y) V.

Esquemticamente sera:

F(x0

, y0

, z0

) = 0Fx, Fy, Fz continuasFz(x0, y0, z0) = 0

z = f(x, y), conz0= f(x0, y0), yz

x=

Fx(x,y,z)Fz(x,y,z)

z

y =

Fy(x,y,z)Fz(x,y,z)

Demostracin. Partimos de queF(x,y ,z) = 0. Al ser continuas las derivadas parciales de la funcinF, podemos calcular su diferencial, ser dF(x,y,z) = 0, de donde

Fxdx +Fydy+Fzdz= 0

Fxdx

dx+Fy

dy

dx+ Fz

dz

dx = 0;

Fxdx

dy +Fy

dy

dy+Fz

dz

dy = 0.

Ahora bien:(a)Paray = cte., en el primer caso resulta

Fx+ 0 + Fzz

x= 0 z

x =

Fx(x,y ,z)Fz(x,y,z)


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p. 16/UMA

(b) Parax= cte., en el segundo caso resulta

0 +Fy+Fzz

y = 0 z

y =

Fy(x,y,z)Fz(x,y ,z)

Las derivadas parciales tambin pueden calcularse a partir de las reglas ordinarias de derivacin,suponiendo una de las variables constante, con la nica observacin de multiplicar por la derivada

parcial correspondiente, cada vez que derivemos z .

10. Extremos de las funciones de varias variables

10.1. Definiciones

Recuerda (Funciones de una variable). La funcin f :I R R, definida en el intervalo abierto I deR, se dice que tiene un mximo (mnimo) local o relativo en un punto x0 I si en un entornoVx0 de x0se tiene f(x0) f(x) (f(x0) f(x), respectivamente) para todo x enVx0 . En otras palabras, f tiene unmximo (mnimo) local en x0 si f(x0) es el valor ms grande (ms pequeo) de la funcin en torno a x0.

x

y

x0

f(x0) P

x1

f(x1) Q

y = f(x)

Fig. 2: y= f(x) tiene un mnimo local en x = x0 y un mximo local en x = x1.

Una condicin necesaria para que la funcin ftenga un extremo (mximo o mnimo) local en x0 es que,sif(x0) existe, entoncesf(x0) = 0. Geomtricamente esta condicin significa que si la grfica de la funcines suave en x0, su recta tangente en dicho punto debe ser horizontal. Es decir, en un extremo local la grficade la funcin o no tiene recta tangente, o si la tiene es una recta horizontal.

10.1.1. Mximos y mnimos absolutos

Definicin 10.1 (Mximos y mnimos absolutos). Los valores f(x0, y0) y f(x1, y1) tal quef(x0, y0) f(x, y) f(x1, y1)para todo(x, y)enDse conocen como mnimo absoluto y mximoabsoluto de fen la reginD.

Teorema 10.1 (Teorema de existencia del mximo y del mnimo absoluto). Toda funcincontinua, definida en una regin cerrada y acotada, alcanza, en dicha regin, un valor mximoabsoluto y un mnimo absoluto.

10.1.2. Mximos y mnimos relativos

Definicin 10.2 (Extremo local). Sea f :D Rn R una funcin definida en el conjuntoabiertoD de R

n

. Se dice que ftiene un mximo (mnimo) local o relativo en el punto x0 D sif(x0) f(x) (f(x0) f(x) respectivamente) para toda x en una bolaB de centro enx0.

f(x0, y0) es mnimo relativo f(x, y) f(x0, y0), (x, y) Bx0 .f(x0, y0) es mximo relativo f(x, y) f(x0, y0), (x, y) Bx0 .

Es decir, al igual que en el caso de funciones de una variable, la funcin f tendr un mximo(mnimo) local enx0 D si f(x0)es el valor ms grande (ms pequeo, respectivamente) de todoslos valores de f(x)para x en una bola de centro en x0.

Definicin 10.3 (Puntos crticos). Se llaman puntos crticos de una funcin a aquellos puntosen los que el gradiente vale cero o no est definido, es decir,

1. Puntos en los que todas las derivadas parciales valen cero (simultneamente).fx(x0, y0) = 0 y fy(x0, y0) = 0.

2. Puntos en los que alguna de las derivadas parciales no est definida.

fx(x0, y0) o fy(x0, y0) no existe.


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10.2 Estudio de la naturaleza de los puntos crticos UMA/p. 17

mnimo

Mximo

mnimo

Mximo

Punto silla

Fig. 3: Puntos crticos.

En el primer caso, sifes diferenciable, sera f(x0, y0) = (0, 0)y, por tanto, todas las derivadasdireccionales en(x0, y0)deben ser nulas y en consecuencia todas las rectas tangentes a la superficieen el punto (x0, y0) son horizontales, lo que significa que el plano tangente a la superficie en dichopunto es un plano horizontal. En el segundo caso, al no existir alguna de las derivadas parciales enel punto(x0, y0), la funcin no es diferenciable en dicho punto y por tanto carece de plano tangenteen el mismo. Lo que, grficamente, significa que se trata de un punto anguloso. En consecuencia,en ambos casos tenemos puntos candidatos a extremos relativos.

No podemos asegurar la existencia de extremo relativo ya que, en ambos casos, puede darse la

situacin de un punto silla.

Definicin 10.4 (Punto silla). Si un punto crtico (x0, y0) no corresponde ni a mximo nimnimo relativo, entonces el punto correspondiente de la superficie (x0, y0, f(x0, y0)) se llamapunto silla.

Es decir,(x0, y0)corresponde a un punto silla si en todo disco abierto centrado en(x0, y0)la funcintoma valores por encima y por debajo de f(x0, y0).

El ejemplo ms tpico de punto silla es el que corresponde a la situacin denominada silla demontar o puerto, no obstante, pueden darse otras situaciones ms irregulares.

Teorema 10.2 (Los extremos relativos se producen solamente en puntos crticos). Si

f(x0, y0)es un extremo relativo defen una regin abiertaR, entonces(x0, y0)es un punto crticodef.

Al afirmar el teorema que en un mximo y en un mnimo relativo, las derivadas parciales o noexisten o valen cero, lo que nos viene a decir es que los extremos de una funcin, en una reginabierta, se producen solamente en los puntos crticos. Sin embargo, hay que advertir que no en todopunto crtico existe un mximo o un mnimo, ya que se puede producir lo que se llama un puntosilla, que no son ni mximos ni mnimos relativos.

Si la regin fuera cerrada podran darse lo que se llaman extremos en la frontera.

10.2. Estudio de la naturaleza de los puntos crticos

10.2.1. a) Mtodo algebraico

Existen funciones que, por su sencillez, permiten estudiar la naturaleza de sus puntos crticos me-diante argumentos exclusivamente algebraicos. Es decir, el estudio de la naturaleza de los extremosrelativos, se hace a partir de la propia funcin, mediante transformaciones algebraicas de la misma.Comparando el valor de la funcin en el punto crtico con el valor de la funcin en los alrededoresdel punto crtico.

10.2.2. b) Criterio de los cortes con planos verticales

Para comprobar que en un punto crtico no existe ni mximo ni mnimo cortamos la superficiemediante planos verticales que pasen por el punto crtico, si las curvas resultantes tienen puntospor encima y por debajo del punto crtico, entonces se trata de un punto silla. El mtodo es slorefutativo y no permite afirmar la existencia de mximo o mnimo, sino slo de punto silla.

10.2.3. c) Criterio del hessiano.

Los mtodos algebraicos solamente son tiles para funciones relativamente fciles. Para funcio-nes ms complicadas no son operativos y necesitamos acudir a criterios analticos, estudiando lasderivadas parciales segundas.


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p. 18/UMA

Caso particular de funciones de dos variables.

Para estudiar la naturaleza de los puntos crticos, formamos la matriz hessiana en dichos puntos

Hf(x, y) =

fxx fxyfyx fyy

.

Y comparamos los signos de los dos determinantes principales:

D1= fxx, D2= |Hf(x, y)| =fxx fxyfyx fyy

=fxxfyy fxy2.Resultando, para el caso de dos variables:

H fxx

+ + mnimo

Mximo Silla

0 Duda

Observacin. El criterio del hessiano puede fallar a la hora de estudiar la naturaleza de los extremosrelativos de dos formas: Bien porque alguna de las derivadas parciales no est definida, entonces no se puedeaplicar el criterio; o bien, porque el hessiano sea cero, en cuyo caso el criterio no da informacin. En estecaso habr que aplicar otras tcnicas, como puede ser el cortar la superficie por planos verticales.

Nota: Al ser fxy = fyx, se tiene que cuando el hessiano es positivo, entonces las dos derivadas parciales fxx(x0, y0)y fyy(x0, y0) deben tener el mismo signo, lo que significa que se puede reemplazar una por la otra en la definicin delcriterio.

El criterio del hessiano tambin se conoce como criterio de las derivadas parciales segundas, yse puede enunciar formalmente mediante el siguiente teorema

Teorema 10.3 (Criterio del hessiano). Seaf una funcin con derivadas parciales primeras ysegundas continuas en una regin abierta que contiene un punto(x0, y0), para el quefx(x0, y0) = 0yfy(x0, y0) = 0. Y seaD el valor del siguiente determinante

D= |Hf(x0, y0)| =fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)

1. SiD >0 yfxx(x0, y0)> 0, entoncesf(x0, y0) es un mnimo relativo.

2. SiD >0 yfxx(x0, y0)< 0, entoncesf(x0, y0) es un mximo relativo.

3. SiD


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10.3 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange UMA/p. 19

10.3. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange

Planteamiento del problema. En los problemas clsicos de mximos y mnimos se trata de hacermxima o mnima una funcin f(x, y) sujeta a una restriccin g(x, y) = 0.

Grficamente el problema consiste en determinar el punto ms bajo (o ms alto) de la superficiede ecuacin z = f(x, y)que est situado sobre la curva de ecuacin g(x, y) = 0, y se puede resolverde dos maneras diferentes:

a) Mediante un corte vertical de la superficie.b) Mediante cortes horizontales (curvas de nivel).

Desde el punto de vista analtico, el primer caso corresponde a reducir el problema a unavariable, y el segundo al mtodo de los multiplicadores de Lagrange.

a) Mediante un corte vertical. Grficamente consiste en cortar la superficie f(x, y) medianteel plano (o cilindro) vertical de base la curva plana g(x, y) = 0 y hallar los extremos de la curvaespacial resultante.

Analticamente esto se consigue despejando la variable y en la ecuacin g(x, y) = 0, y sustitu-yendo el valor obtenido,y = (x), en la en la funcin f, con lo cual el problema se reduce al clculode mximos y mnimos de una funcin de una sola variable.

f(x, y) =f

x, (x)

=h(x).

El problema se presenta cuando no es posible o no es prctico despejar la variable y en la ecuacing(x, y) = 0.

Observacin. El extremo de la funcin f(x, y) condicionado por la ecuacing(x, y) = 0, no es extremo de la funcin f(x, y), considerada aisladamente, sino de la interseccin de lafuncin con el plano vertical.

b) Mediante los multiplicadores de Lagrange.

Teorema 10.4 (Mtodo de los multiplicadores de Lagrange). Si f y g satisfacen las

hiptesis del teorema de Lagrange yftiene un mximo o mnimo sujeto a la ligadurag(x, y) = 0,entonces dicho extremo se produce en uno de los puntos crticos de la funcinL dada por

L(x,y ,) =f(x, y) +g(x, y) (11)

Nota: Para funciones de tres variables se tiene

L(x ,y,z,) = f(x ,y,z ) +g(x,y,z)

En consecuencia, si las funciones f y g tienen derivadas parciales continuas, entonces, los ex-tremos de la funcinf(x, y), condicionados por la restriccin

g(x, y) = 0,

se producen en los puntos crticos de la funcin

L(x,y ,) =f(x, y) + g(x, y).

Dichos puntos crticos vendrn determinados por las soluciones del sistema

Lx= 0Ly = 0L= 0

fx+ gx = 0fy+ gy = 0g(x, y) = 0

(12)

El procedimiento ms cmodo para resolver el sistema consiste en eliminar entre las dos

primeras ecuaciones y sustituir el resultado en la tercera. En el proceso de resolucin del sistemahay que procurar evitar perder soluciones en las simplificaciones. Por ejemplo, de la ecuacin x= xse obtienen dos soluciones x = 0 y = 1, mientras que si tachamos la x perdemos la solucinx= 0.Para determinar la naturaleza de los puntos crticos podemos seguir dos procedimientos:


20/20

p. 20/UMA

a) Funcin implcita. Consiste en suponer que el problema se ha resuelto por sustitucin de lavariable, sin resolverlo por dicho mtodo, pero estudiando la naturaleza de los puntos crticos comosi as se hubiera hecho. En el supuesto de que la ecuacing(x, y) = 0 definaycomo funcin implcitarespecto de la variablex, en un entorno del punto crtico(x0, y0). Es decir,y = h(x), cony0= h(x0).Podemos suponer que hemos sustituido, enf(x, y), y por su valor y= h(x), con lo que obtenemosuna funcin de una sola variable f(x) = fx, h(x). La naturaleza del punto crtico (x0, y0) enf(x, y)condicionado porg(x, y) = 0, ser la del punto crtico x0 enf

. Es evidente que la funcinf(x, y) posee un mximo (resp., mnimo) condicionado por g(x, y) = 0, en (x0, y0) si y solamentesi la funcin f(x) = f

x, h(x)

posee un mximo (resp., mnimo) en x0. Con lo cual el estudio

de la naturaleza de los puntos crticos se hace en una funcin de una sola variable, acudiendo alsigno de su segunda derivada f

x0, h(x0), h

(x0), h(x0)

, sin que para ello sea necesario conocer

la expresin de y = h(x), puesto que h(x0), est dado, por el punto crtico; y h(x0) y h

(x0), seobtienen directamente a partir de g(x, y) = 0, en virtud del teorema de la funcin implcita.

El mtodo se generaliza a ms de dos variables de manera natural. As, La funcin f(x,y ,z)posee un mximo (resp., mnimo) condicionado por la restriccin g(x,y ,z) = 0, en(x0, y0, z0) si ysolamente la funcinf(x, y) =f

x,y ,h(x, y)

posee un mximo (resp., mnimo) en(x0, y0). Con lo

cual el estudio de la naturaleza de los puntos crticos se hace en una funcin de una variable menos,

acudiendo al signo de su hessiano (ello siempre que la ecuacin g(x,y ,z) = 0 defina implcitamentez= h(x, y), en un entorno del punto (x0, y0)). As,

Hf(x0, y0) =

f

xx f

xy

fyx f

yy

donde no es necesario conocer la expresin z = h(x, y), y los valores de z , zx, zy , zxx, zxy y zyy , enel punto(x0, y0), necesarios para el clculo de dicho hessiano, se determinan mediante la derivacinimplcita.

b) En el caso de dos variables, tambin puede estudiarse la naturaleza del punto crtico estudiamosel signo del determinante:

=

L Lx LyLx Lxx LxyLy Lyx Lyy

=

0 gx gygx Lxx Lxygy Lyx Lyy

= mnimo,= + mximo,= 0 duda.

Resolvamos el ejemplo ??mediante el mtodo de los multiplicadores de Lagrange.

10.4. Mximos y mnimos absolutos sobre un recinto cerrado y acotado

Estamos interesados, ahora, en encontrar el valor mximo y el valor mnimo que alcanza una funcincontinua sobre un recinto cerrado y acotado. Bajo estos supuestos, los extremos absolutos de lafuncin, limitndonos a dicho recinto, pueden producirse solamente en dos lugares diferentes; obien, en algn extremo relativo que es a su vez extremo absoluto; o bien, en el contorno del recinto.

Nota: Si la funcin no es continua o el recinto no es cerrado y acotado, entonces, ni est garantizada la existenciade los extremos absolutos, ni que est situado en dichos lugares.

Toda funcin continua definida en un recinto cerrado y acotado alcanza un valor mximo y unvalor mnimo sobre dicho recinto. Para hallar los mximos y mnimos absolutos de una funcincontinua en un recinto cerrado y acotado realizaremos el siguiente proceso:

1. Hallamos los puntos crticos en el interior del recinto. Para ello hallamos los puntos crti-cos de la funcin, ignorando el contorno del recinto, y una vez hallados los puntos crticosseleccionamos los situados en el interior del recinto.

2. Hallamos los puntos crticos en el contorno del recinto. Para ello estudiamos los extremos de

la funcin condicionadospor el contorno; bien aplicando los multiplicadores de Lagrange, obien por sustitucin de la variable.

3. Comparamos los valores de la funcin en los puntos crticos hallados. El mayor correspondeal mximo y el menor al mnimo.

resumen del tema derivación de funciones de varias variables

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