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MATEMÁTICA 1Cristina Ochoviet / Fabián Vitabar
4 Capítulo 1. LOS NÚMEROS
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Los números y
las regularidadesObserva las regularidades
presentes en las expresiones
decimales de las siguientes
fracciones y completa la última
sin realizar cálculos:
17
0,142857142857142857...
27
0,285714285714285714...
37
0,428571428571428571...
47
0,571428571428571428...
57
0,714285714285714285...
67
=
=
=
=
=
=
capítulo 1
Los números de las cavernasLa numeración escrita es probablemente tan antigua como la propiedad privada; nació, indudablemente, del deseo del hombre de llevar cuenta de sus rebaños y de sus otros bienes. Incisiones sobre un palo o en un árbol, rayas en las piedras o en las rocas, marcas en la arcilla; tales son las primeras formas de este ensayo de registrar los números por medio de símbolos escritos. Las investigaciones arqueológicas permiten verifican la existencia de estos registros desde tiempo inmemorial; se los encuentra en las cavernas del hombre prehistórico, tanto en Europa como en África y en Asia. La numeración es por lo menos tan antigua como el lenguaje escrito, y hay muchas razones para pensar que lo precedió.
Extraído de Número. El lenguaje de la ciencia de Tobias Dantzig
LOS NÚMEROS
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Datos numéricos curiosos1 gramo de veneno de una cobra puede matar a 150 personas.1 sola pila puede contaminar 175 000 litros de agua.3 bebés por segundo nacen aproximadamente en el mundo.3,20 metros es la altura que puede saltar un canguro.8 ojos tienen las arañas.
9 días puede vivir una cucaracha sin su cabeza.69% de los hogares uruguayos tiene al menos una computadora.9 gramos pesa un colibrí.9 veces por minuto late el corazón de una ballena.42 dientes tiene un perro, mientras que el hombre solo 32.50 veces su propio peso es lo que puede levantar una hormiga.
El poema de un ingenieroEl ingeniero Frederic Massallé Guarné escribió en una tarde de verano este inspirado poema:
Vas a leer, y jamás desprecia 3 1 4 1 5 9el rimado ardid, muy fácil memorial, 2 6 5 3 5 8indicando función diametral 9 7 9que “pi” –del alfabeto- llamó Grecia 3 2 3 8 4 6al darnos pura luz, que aparecía 2 6 4 3 3 8con la fecunda Geometría. 3 2 7 9
Si se hacen cuentas de las letras resulta 3,141592653589793238462643383279 lo cual permite recordar muchos decimales de pi a través de los versos del poema. ¿Por qué don Frederic se paró en este punto y dado que estaba de vacaciones no continuó con los versos? Los siguientes decimales son 0288… y aquí surge el problema del cero, que ni la poesía logra superar.
Extraído de El club de la hipotenusa de Claudi Alsina
¿Podrías inventar un poema que permita –al igual que este– obtener algunas cifras decimales del número pi? (Ten en cuenta que este poema fue escrito antes de suprimir la letra “LL” del alfabeto).
Sala de pi del Palais de la Découverte (París)
*
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6 Capítulo 1. LOS NÚMEROS
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a. Presta atención a las siguientes frases… ¿Observas alguna particularidad?
Dábale arroz a la zorra el abad¿Acaso hubo búhos acá?
Eva usaba rímel y le miraba suaveNo traces en ese cartón
Yo dono rosas, oro no doyYo hago yoga hoy
b. Habrás observado que las frases anteriores se leen igual de izquierda a derecha, que de derecha a izquierda. Reciben el nombre de palíndromos.También trabajaremos con números palíndromos, como por ejemplo:
400412321
121666
9904774099
¿Puedes decir cuántos números palíndromos de dos cifras hay?
c. ¿Y de tres cifras?
d. Escribe un número palíndromo de quince cifras.
LOS NÚMEROS NATURALES
Palíndromo viene del griego palindromos, palabra formada por palin (de nuevo) y dromos (pista de carrera), esto es, carrera en círculos.
Ángel guarda sus billetes de $20 en los libros de la biblioteca. Su biblioteca tiene siete estantes, en cada estante tiene veintiocho libros, y en cada libro guarda nueve billetes.•¿Cuántos billetes de $20 tiene Ángel?• ¿Le alcanza para comprarse una computadora de última generación?
Considera el número 1 741 725. Eleva cada dígito a la séptima potencia y suma los resultados. • ¿Qué número obtienes?• ¿Sucederá lo mismo con cualquier número de siete cifras?
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Abre el applet 1.1.Visualizarás tres números cuya suma es, en cada caso, constante. También podrás ver el producto de esos tres números para cada caso.
¿Cómo ubicarías los puntos amarillos para que cada producto sea el mayor posible?
En esta sección trabajamos con números que seguramente te hayan resultado muy familiares. Son los números que habitualmente utilizamos para contar objetos: los números naturales.
Para dar respuesta a las situaciones propuestas realizaste diferentes operaciones con estos números, como por ejemplo la adición, la multiplicación y la potenciación.
a. Representa en la recta numérica los siguientes números naturales: 2, 3, 4, 5, 13.
b. ¿Es posible asignarle a todo número natural un punto de la recta? Explica tu respuesta.
c. ¿A todo punto de la recta le corresponde un número natural?¿Por qué?
d. ¿Cuál es el menor número natural? ¿Y el mayor?
Como habrás visto a todo número natural le corresponde un punto de la recta numérica pero hay puntos de dicha recta a los que no les corresponde ningún número natural.
Un señor feudal estaba decidido a matar a un cuervo que había hecho su nido en la torre de su castillo. Repetidas veces había intentado sorprender al pájaro, pero en vano: cuando el hombre se aproximaba, el cuervo abandonaba su nido, se colocaba vigilante sobre un árbol próximo y solo volvía a la torre cuando el hombre la había abandonado. Un día el señor recurrió a una estratagema: dos hombres entraron en la torre, el uno quedó dentro y el otro salió y se fue; pero el pájaro no se dejó engañar y esperó hasta que el segundo hubo salido a su vez. El experimento fue repetido los días siguientes con dos, tres y cuatro hombres, pero siempre sin éxito. Finalmente, cinco hombres entraron en la torre y salieron cuatro. Entonces el pájaro perdió la cuenta, incapaz de distinguir entre cuatro y cinco, volvió prontamente a su nido.
Extraído de Número. El lenguaje de la ciencia de Tobias Dantzig
Los números naturales
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8 Capítulo 1. LOS NÚMEROS
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LOS NÚMEROS ENTEROS
Uruguay posee una base permanente en la Antártida, llamada Base Científica Antártica Artigas, cuyo cometido es desarrollar diversos proyectos de investigación científica.
Durante una semana de invierno se registraron las siguientes temperaturas máximas y mínimas.
El disco de Secchi se utiliza para medir la visibilidad hacia lo profundo del mar. Este disco se sumerge con un peso que se le cuelga en el centro de la cara inferior, y se observa desde la superficie a qué profundidad el disco desaparece de la vista. Esta visibilidad depende de la altura del sol, de la claridad del cielo y del color del agua, entre otros factores.
En una investigación realizada se observó que el disco de Secchi se hacía invisible a -35 metros cuando el mar tenía color azul oscuro; a -27 metros para el color azul; -18 metros para el azul verdoso; -12 metros para el verde azulado y -9 para el verde, y en aguas que presentaban una coloración azul intensa, como es el caso de las del Mar de los Sargazos, el disco se veía, en días transparentes, hasta -66 metros.
• Si esta experiencia se realizara en las costas de Rocha, ¿cuál te parece que sería la profundidad a la que se dejaría de ver el disco?• ¿A qué profundidad debería sumergirse un buzo profesional para asegurarse de no ser visto desde la superficie?
• ¿Qué día se registraron una máxima y una mínima por encima de 0º?• ¿Cuáles fueron esas temperaturas?• ¿Qué días se registraron las temperaturas más bajas? ¿Cuáles fueron?• ¿Y las más altas?• ¿Hubo algún día en que no se registraron temperaturas por debajo de 0º? ¿Cuándo?• Entre el sábado y el domingo, ¿se habrá registrado en algún instante una temperatura de -1º? ¿Y de -5º?
Máxima Mínima
3 3 4 4 4 3 3
-3 -3 -2 -2 -20 1
Vie Sáb Dom Lun Mar Mié Jue
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Abre el applet 1.2.a. Visualizarás varios números enteros que pueden moverse arrastrando el punto asociado a cada uno de ellos. Deberás ubicarlos correctamente en la recta numérica. Recibirás una sorpresa una vez finalizada la tarea.
Números enteros negativos Números enteros positivos
Los números enteros
b. Completa la siguiente tabla utilizando los números enteros que representaste en la recta numérica.
c. ¿Existen números enteros menores que cero? ¿Cuántos?
d. En la recta numérica ya había algunos números naturales representados, ¿con cuáles de los números enteros que representaste coinciden?
En esta sección trabajamos con el conjunto de los números enteros. Estos son útiles en diversos contextos, por ejemplo: para indicar temperaturas por encima y por debajo de 0º, para distinguir alturas de profundidades, para expresar ganancias y pérdidas.
A través de las diferentes actividades, habrás apreciado que podemos distinguir los números enteros negativos, los números enteros positivos, y el cero (que no es positivo ni negativo).
+3 +1-8 -5 -1
+7 -4
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LOS NÚMEROS RACIONALES
En la pizzería “El lugareño” cada pizza al tacho rinde ocho porciones. Un mozo que atiende el mostrador anota, al final de la jornada, el total de las ventas para cerrar la caja.
a. ¿Cuántas porciones de muzzarella se vendieron esa jornada?
b. ¿Qué significa la anotación 1538
?
c. ¿Cuántas porciones en total se vendieron?
d. Para ese día se habían preparado 40 tachos de prepizza. ¿Cuánto sobró?
Muzzarella: 1538
Con aceitunas: 968
Pizza común: 1048
Es habitual que los caños de agua se identifiquen a través de su diámetro expresado en pulgadas. Por ejemplo, para la instalación de agua de una casa se utilizan caños de ½. Esto significa que el diámetro interior de estos caños es de media pulgada.A continuación te presentamos una regla graduada en pulgadas.
a. ¿Cuánto mide en pulgadas el segmento rojo?
b. En esta imagen puedes ver la sección de tres caños de PVC a tamaño real. ¿Puedes indicar el diámetro de la sección de cada uno de ellos?
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En un restaurante donde se vende comida al peso, se ajustó una balanza digital para que al colocar sobre ella un plato vacío, indicara 0.000 en el visor.Al retirar el plato, se observa lo que muestra la fotografía:
a. ¿Cómo interpretas ese número?
b. ¿Qué número aparecerá en el visor si colocamos dos platos vacíos?
c. ¿Cómo harías para que en el visor apareciera el número -0,494?
Abre el applet 1.3.Verás varios números racionales que pueden moverse arrastrando el punto asociado a cada uno de ellos. Tendrás que ubicarlos correctamente en la recta numérica.
En esta sección trabajamos con el conjunto de los números racionales. Habrás visto que estos admiten diferentes representaciones (como las fracciones, los números decimales, los números mixtos y los porcentajes);la conveniencia de utilizar una u otra depende del contexto.
Los números racionales
50%-0,75
-2,00,5
½ -1,2563
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LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Los hombres de todos los tiempos se han interesado en el número hoy conocido como pi.
En la Biblia, en el primer libro de los Reyes, se relata la construcción del templo de Salomón. En un parte se explica cómo se construyó una pileta: “De bronce fundido, hizo una gran pileta, conocida por el nombre de Mar, completamente redonda, que tenía 10 codos de borde a borde, y 5 codos de profundidad, un hilo de 30 codos medía su contorno.” (1Re. 7, 23)
• ¿De qué manera aparece una referencia al número pi en este relato?
El número pi continúa hoy en día siendo motivo de fascinación, incluso hasta convertirse en el objetivo de científicos y caza récords. Sus infinitas cifras decimales, que no presentan regularidades, han propiciado la competencia por estos récords. Esta batalla consiste en presentar una lista con la mayor cantidad posible de cifras decimales de pi.
El actual Récord Guiness de cantidad de cifras decimales de pi, lo tiene el japonés Shigeru Kondo, que aportó un lista con cinco billones de cifras decimales. A continuación te presentamos mil cifras decimales de pi:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
El japonés Kondo pudo obtener este récord gracias a la potencia de las computadoras. Las distintas civilizaciones a lo largo de la historia, han utilizando herramientas matemáticas propias de su cultura, y se han interesado por hallar aproximaciones racionales para el número pi. Al margen te ofrecemos algunos ejemplos.
Antiguo Egipto: 25681
La Biblia: 3010
Arquímedes: 227
Fibonacci: 864274
S. Duchesne: 1521484
A. Métius: 355113
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Los números irracionales
a. Dividiendo numerador entre denominador de una fracción obtenemos la expresión decimal de cada número racional. Por ejemplo, para hallar
la expresión decimal de 25681
dividimos 256 entre 81:
25681
3,1604938271604938271604...=
Si observas con atención verás que la secuencia de números 160493827 se repite infinitas veces, y se llama período. Usualmente se escribe una sola vez el período, y se coloca sobre él un arco para indicar que este es el bloque de cifras que se repite.
25681
3,160493827=
En el caso de la aproximación bíblica, al dividir 30 entre 10 obtenemos 3, que bien puede escribirse como 30
103,0
= , es decir, una expresión decimal de período 0. Es así que todo número racional admite una expresión decimal periódica; este período puede ser inclusive 0.
• ¿Cuántas cifras decimales correctas de pi nos permiten obtener las fracciones de las aproximaciones bíblica y del antiguo Egipto?
b. Usando una computadora, halla la expresión decimal de cada una de las restantes aproximaciones propuestas en la página anterior, e indica en cada caso cuántas cifras decimales de pi aporta cada una.
c. ¿Cuál te parece que es la mejor aproximación?
d. Con la ayuda de una computadora muy potente, ¿será posible encontrar una fracción que nos permita obtener las infinitas cifras decimales de pi? ¿Por qué?
Como habrás visto, la expresión decimal de un número racional presenta regularidades: es periódica. Mientras que la expresión decimal de pi no presenta ninguna regularidad, no se trata de una expresión decimal periódica. Los números que tienen esta última característica reciben el nombre de números irracionales.
Investiga en internet acerca de otros números irracionales famosos.• ¿A qué deben su fama?
14 Capítulo 1. LOS NÚMEROS
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LOS NÚMEROS REALES
En esta actividad trabajaremos con todos los números que conocemos, y que hemos abordado en las secciones anteriores.
Se va a jugar el “Clásico de los números”, y para ello los números reales se separan en dos cuadros: el de los números Racionales (Q) y el de los números Irracionales (I). Todos los números son muy fanáticos y pertenecen a uno u otro cuadro
a. ¿Por qué y 3,14 juegan en distinto cuadro?
b. ¿Por qué 0,12345678910111213… juega en el cuadro de los números irracionales?
c. ¿En qué cuadro juegan 227
, 9− y el número de oro?
d. Presenta tres nuevos ejemplos de números que jueguen en cada uno de los cuadros.
e. ¿Cuántos números fanáticos tiene cada cuadro?
Q I
¡Adiós, tres catorce!
8−
14
−
167
4
3,14
23
− 4
12,537
2
0,12345678910111213...
53
117
3−
Al unir el conjunto de los números Racionales con el conjunto de los números Irracionales, obtenemos el conjunto de los números Reales. De esta manera, en el conjunto de los números Reales están todos los números que conocemos.
Los números Naturales y los números Enteros son números Racionales, y por lo tanto, son también números Reales.
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Vemos en el siguiente diagrama una síntesis de cómo se relacionan los conjuntos numéricos:
A continuación te presentamos los afiches de varias películas en las que se han utilizado números para darles título. Investiga y explica qué relación guarda cada número con el argumento de la película.
Conjunto de los Números RACIONALES (Q)
Conjunto de los Números IRRACIONALES (I)
Conjunto de losNúmeros ENTEROS (Z)
Conjunto de los Números
NATURALES (N)
Conjunto de los Números REALES (R)
Los números reales
8 ½. Federico Fellini/ Cineriz -Francinex
50/50. Jonathan Levine/Summit Entertainment
300. Zack Zinder/Warner Bros. Pictures
2012. Roland Emmerich/Columbia Pictures
10000 BC. Roland Emmerich/arner Bros. Pictures
1984. Michael Radford/MGM
. Darren Aronofsky/Harvest Film Works Truth & Soul
127 horas. Danny Boyle/Fox Searchlight Pictures
DESAFÍOS
16
En la figura se han separado los cuatro nombres utilizando tres segmentos. ¿Puedes separar los cuatro nombres usando solamente dos segmentos de recta?
G U Z M A N
M A N U E L
M A R C E L
C E L I N A
En una caja hay una bolita. Si, una vez por día, coloco en la caja el mismo número de bolitas que hay en ella, demoro veinte días para llenar la caja. ¿Cuántos días me lleva llenar la caja por la mitad?
En el depósito de un supermercado hay tres cajas. Una solo tiene manzanas, otra solo peras, y la restante tiene manzanas y peras. Ninguna de las cajas está etiquetada correctamente. ¿Cuál es el menor número de frutas que tendré que sacar de las cajas para poder colocar las etiquetas correctamente?
Sin levantar el lápiz del papel, ¿puedes pasar por todos los puntos dibujando solo cuatro trazos rectos?
Capítulo 1. LOS NÚMEROS
ACTIVIDADES
17
Belle Époque Durazno: water de US$ 700.000 y sillón con flores de oro Belle Époque. Casa del doctor Emilio Penza
DURAZNO | VÍCTOR RODRÍGUEZ
En Durazno hay un inodoro valuado en US$ 700.000. Fabricado en 1887 en Francia, el médico Emilio Penza lo trajo a Uruguay. Al finalizar sus estudios en Italia hizo construir una majestuosa residencia estilo Belle Époque, a fines del siglo XIX.
El anuncio de la existencia del inodoro lo hizo el intendente de Durazno, Carmelo Vidalín, en los actos centrales por la Jura de la Constitución en el museo histórico Casa de Rivera.
Sólo hay tres inodoros en el mundo como el que está en Durazno (los otros en Europa).
La pieza está ubicada desde hace 121 años en el mismo lugar: el baño principal de la residencia que perteneciera al médico, una casa de enormes proporciones y finísimas terminaciones, en pleno centro de la ciudad. Años atrás, la casa fue adquirida por la Intendencia de Durazno en US$ 80.000; una cifra casi 10 veces menor que el valor del famoso artefacto.
Pintado a mano, exhibe en su parte exterior e interior finos diseños de color azul oscuro,
Capítulo 1. LOS NÚMEROS
1. ¿Cuántos inodoros de la mejor calidad en plaza pueden comprarse con el valor de este famoso inodoro?
2. ¿Cuántos autos BMW convertibles se podrían comprar?
3. ¿Qué comodidades tendría una casa en la playa de ese monto?
4. ¿Cuántos televisores de plasma se podrían comprar?
5. Si se mantiene el precio de este costoso inodoro, ¿cuántos pesos deberías ahorrar por día para poder comprarlo al cabo de diez años?
coloreados con tinta china de calamar y esmaltado con aceite de ballena, dijo a El País el restaurador, Enrique Costa, que se encargó de la investigación.
En un principio, la Intendencia manejó la posibilidad de trasladarlo a otro sitio para ponerlo a la vista pública, dijo la directora de Cultura, Susana Flores. Sin embargo, pese a haberse anunciado el alto valor de la tasación, las autoridades mantendrán el inodoro en su lugar de origen para que sea visitado por el público una vez que se habilite la restauración de la Casa de Penza.
LA TASACIÓN. Costa -oriundo de Punta del Este- es un calificado profesional que, entre otros trabajos, participó en la restauración del Teatro Solís.
El restaurador aseguró que el valor asignado al inodoro “no es un capricho o una evaluación propia”. Ese precio surge de la bienal de París, donde “en la comunidad de museos de Louvre hay piezas que -si se consiguen - ya tienen su precio. Está la foto del water y lo que sale la pieza, está catalogado en 500.000 euros”, resaltó.
Extraído de El País Digital (23/7/08)