dependientes del tiempo · movimiento relativo de un conductor y un campo magnético . ... e dl 0 g...
TRANSCRIPT
Campos electromagnéticos Dependientes del tiempo
B
E
Flujo magnético
Ley de Faraday-Henrry
Inducción electromagnética Michael Faraday
E
B
LE
B
L
Joseph Henry
Fundamento
Fig. Campo eléctrico producido por un campo magnético dependiente del tiempo
B
B
aumenta disminuye 0
dt
d B 0
dt
d BEV negativa EV positiva
Crecimiento y decrecimiento del flujo magnético
dt
dV B
E
En un campo magnético variable se induce una fem en cualquier circulo cerrado, la cual es igual a
menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético a través del circuito
S
N
L
dSuBdt
dldE
Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico tal que su
circulación a lo largo de un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada con respecto al
tiempo del flujo magnético a través de una superficie limitada por el camino
B
Nu
ld
L
dS
E
Unidad: Voltio Todo efecto de inducción tiende a
oponerse al cambio que lo produce Ley de Lenz
Consideremos el siguiente circuito
Campo eléctrico y campo magnético
El signo de se obtiene a través de
Inducción electromagnética
B
Bv
v
X
Y
ZT
U
S
Ro
EVQ
P
l
x
La ley de inducción electromagnética
S
N
L
dSuBdt
dldE
E
B
(local) dt
dV B
E
Cambio del flujo se debe a un movimiento o a una deformación del camino sin que varíe en el tiempo B
L
Consideremos
PQRS Circuito cerrado
Perpendicular al plano del sistema B
Cada carga del conductor móvil ( ) PQq BvqF
BvqEq eq
BvEeq
BE
vBEeq
lPQ QP y BvllEV eq
SPRSQR y , No se ejercen fuerzas PQRS VVE Circulación de eqE Bv
BvlVE
xSP PQRS lx PQRSB BlxdSuB NB
dt
dxBlBvx
dt
d
dt
d B
)(E
B VBlvdt
d
dt
dV B
E
Se obtiene de nuevo la
Bv
EV
Movimiento relativo de un conductor y un campo magnético
Potencial eléctrico e inducción electromagnética
z
VE
y
VE
x
VE zyx
Debido a lo anterior
La circulación del campo eléctrico estático a lo largo de cualquier camino (cerrado) es cero
L
ldE 0
Si el campo electromagnético depende del tiempo
S
N
L
dSuBdt
dldE
En un campo electromagnético dependiente del tiempo la circulación del campo eléctrico no es
nula.
En el caso anterior, el campo no se puede expresar como menos el gradiente del potencial
eléctrico
Si el campo electromagnético no depende del tiempo
•Potencial escalar
•Potencial vectorial
Ley de Faraday-Henry en forma diferencial
t
B
y
E
x
Ezxy
t
B
z
E
y
E xyz
t
B
x
E
z
E yzx
t
BE
Estas ecuaciones expresan las relaciones que deben existir entre la derivada
respecto al tiempo del campo magnético en un punto y el campo eléctrico
existente en ese mismo punto del espacio.
Autoinductancia
Ocurre un efecto importante relacionado incluso cuando se considera un solo circuito aislado. Cuando en el circuito está
presente una corriente, se establece un campo magnético que crea un flujo magnético a través del mismo circuito; este flujo
cambia cuando la corriente cambia.
i
NL B
Como resultado de la corriente i, hay un flujo magnético medio a través de cada vuelta de la bobina B
definimos la autoinductancia del circuito como L
Si la corriente i en el circuito cambia, también lo hace el flujo B
dt
diL
dt
dN B
dt
diL
De acuerdo con la ley de Faraday para una bobina con N espiras
fem autoinducida
El signo menos en la ecuación es un reflejo de la ley de Lenz; nos dice que la fem autoinducida en un circuito
se opone a cualquier cambio en la corriente en ese circuito.
Símbolo
Inductancia Mutua
Autoinducción
dt
dIM 1
122
dt
dIM 2
211
MMM 1221
dt
dIM 1
2
dt
dIM 2
1
El flujo magnético a través de un área cerrada por un circuito varia con el tiempo debido a
corrientes variables en el tiempo en circuitos cercanos. Esta condición induce una fem a través de un
proceso conocido como inductancia mutua. Se llama así porque depende de la interacción de dos
circuitos.
1I 2IConsideremos dos bobinas.. Siendo y las corrientes que circulan a través de ellas,
respectivamente.
Inductancia
MMM 1221
2
1
2
2
2
222
2
2
2
1
dt
IdMI
Cdt
dIR
dt
IdL
2
2
2
1
1
112
1
2
1
1
dt
IdMI
Cdt
dIR
dt
IdL
Análogamente la relación de la corriente en el circuito (2) con los parámetros del sistema
Derivando la ecuación `del circuito (1) respecto al tiempo, y tomando en cuenta que se obtiene dt
dqI 1
1
(1)
(2)
El transformador y el generador son aplicaciones prácticas comunes de este proceso
campoEEEE 21
Para dos partículas cargadas sujetas a interacción electromagnética, el principio de conservación de la
energía se debe reformular incluyendo la energía del campo
21 y EE Son las energías de cada partícula pk EE ,
campoE Es la energía asocia con su campo electromagnético común
(3)
1111 MCL VVVRI dt
dILVL
111
1
11
C
qVC
Relacionando la corriente en el circuito (1) con los parámetros del sistema
Representación de una autoinductancia
Establecimiento de una corriente en un circuito
R
EV
L
Rt
E eR
VI 1Corriente
Inductancia en un circuito
Energía del campo magnético
2Ri
dt
diLi
Es la energía consumida por unidad de tiempo en mover los electrones a través de la
red cristalina del conductor y que se transfiere a los iones que forman la red.
Es la energía que se necesita por unidad de tiempo para establecer la corriente o su
campo magnético asociado.
22
2
1
2
1BEE
dVBdVEEEE BE
22
2
1
2
1
Interpretación: La energía gastada en
establecer la corriente se ha
almacenado en el espacio
circundante
Promediando sobre el volumen
dVBEB
2
2
1
dV
Permeabilidad del medio
Diferencial de volumen
La energía total de un sistema, donde este presente un campo magnético como el eléctrico es
dt
diLi
dt
dEB 2
2
1LiEB
Oscilaciones eléctricas
C
q
dt
diLRi
dt
diLVL
C
qVC
CL VVRi
Relación de Ohm
Al sustituir queda,
Un circuito eléctrico se caracteriza entre otras cosas por la presencia de
Capacitores
Resistencias
Inductancias, etc
¿Cómo estos elementos determinan la corriente por una fem dada?
)( tsenAex t )(
0 tseneii t
22
0
02 2
02
2
xdt
dx
dt
xd 02
02
2
idt
di
L
R
dt
id
Mecánica (Oscilación libre) Electromagnetismo(Oscilación libre)
C
LR
42 C
LR
42 Raíz negativa Raíz positiva
)(
0 tseneii tMiremos otra vez la ecuación
Hagamos que LR
tAsenx f tsenii f0
2222
0
2
0
4 ff
mF
A
2
2
0
1
0
CLR
Vi
f
f
Oscilaciones forzadas
Ocurren cuando agregamos un fuente (fem)
Organizando términos
tAsenx f
tm
Fx
dt
dx
dt
xdf cos2 02
02
2
Mecánica (Oscilación forzada) Electromagnetismo(Oscilación forzada)
tL
Vi
LCdt
di
L
R
dt
idf
cos
10
2
2
Oscilador Circuito Eléctrico
Masa, Inductancia,
Amortiguamiento, Resistencia,
Constante elástica, Inversa de la capacitancia,
Desplazamiento, Carga,
Velocidad,
Corriente,
Fuerza aplicada, fem aplicada,
k
m
x
dt
dxv
0F
L
R
C1
q
0EV
dt
dqi
Relación de Ohm Nueva relación
RiV 00ZiVE
Correspondencia entre un oscilador amortiguado y un circuito eléctrico
Circuitos acoplados
12 MI 21 MI
dt
dIMVM
2
1
1121 MCL VVVRI dt
dILVL
111
1
1
1 C
qVC
Consideremos
Cuando una corriente circula por un circuito(1), se establece a su alrededor un campo magnético
proporcional a , y a través del circuito(2) hay un flujo magnético que también es proporcional a . 1I
1I2 1I
M Coeficiente de proporcionalidad Análogamente, en el circuito (2)
M Inductancia mutua (henrys), depende de la forma de los circuitos
dt
dIMVM
1
21I Variable
2 varia 2Idt
dIMVM
2
1Variable
1 varia
Esta es la razón por la cual se llama inductancia mutua M
Relación de la corriente en el circuito (1) con los parámetros del sistema
De la relación de Ohm
(1)
2
1
2
2
2
222
2
2
2
1
dt
IdMI
Cdt
dIR
dt
IdL
2
2
2
1
1
112
1
2
1
1
dt
IdMI
Cdt
dIR
dt
IdL
Análogamente la relación de la corriente en el circuito (2) con los parámetros del sistema
Derivando (1) respecto al tiempo, y tomando en cuenta que se obtiene dt
dqI 1
1
campoEEEE 21
(1)
(2)
El transformador y el generador son aplicaciones prácticas comunes de este proceso
El aspecto mas importante y fundamental de la inducción es que se puede intercambiar energía entre dos
circuitos por medio del campo electromagnético.
Del fenómeno de inducción mutua podemos decir que la interacción electromagnética entre dos
partículas cargadas s puede describir como el intercambio de energía por intermedio del campo
electromagnético mutuo.
Para dos partículas cargadas sujetas a interacción electromagnética, el principio de conservación de la
energía se debe reformular incluyendo la energía del campo
21 y EE Son las energías de cada partícula pk EE ,
campoE Es la energía asocia con su campo electromagnético común
(3)
En (3) es la suma de los tres términos lo que permanece constante durante el movimiento
Relacionando la corriente en el circuito (1) con los parámetros del sistema
Principio de conservación de la carga
En todos los procesos que ocurren en el universo, la cantidad neta de carga siempre debe
de permanecer constante Nu
jdS
q
S Las cargas se mueven
El principio de conservación de la carga exige
pérdida de carga = flujo de carga saliente-Flujo de carga entrante
= flujo neto de carga saliente
Flujo neto de carga por unidad de tiempo
S
N dSujI
Pérdida de carga por unidad de tiempo dentro de S
S
N dSujdt
dq
De la ley de Gauss
S
N dSuEq
0 S
N dSuEdt
d
dt
dq 0
Al sustituir (3) en (2) e igualando a cero
(2)
(3)
(1)
00 S
N
S
N dSuEdt
ddSuj
Cuando los campos son estáticos 0S
N dSuEdt
d 0
S
N dSuj
Para campos estáticos no hay acumulación o perdida de carga en ninguna región del espacio Ley de Kirchhoff
Entonces debería existir una relación entre la derivada del flujo del campo eléctrico respecto al tiempo y la circulación del campo magnético en el mismo lugar
Ley de Ampere-Maxwell
t
BE
Expresa la relación local en la misma región del espacio EB
,
Entonces debería existir una relación entre la derivada de un campo eléctrico respecto al tiempo y un
campo magnético en el mismo lugar.
S
N
L
dSuBdt
dldE
Relaciona la circulación del campo eléctrico con la derivada
respecto al tiempo del flujo del campo magnético.
.
S
N
L
dSujldB
0
Hasta ahora sabemos por la ley de Ampere (caso estacionario)
No contiene ninguna derivada del flujo del campo eléctrico respecto al
tiempo
Ley F-H
Si aplicamos la ley de Ampere (1) a la superficie S, limitada por a curva L
Nu
dS
S
L LSNo
L encoge L
ldB
disminuye L Convierte en un punto L
ldB
anula
0S
N dSuj
Concuerda para el caso estático 00 S
N
S
N dSuEdt
ddSuj
Si el campo es dependiente del tiempo
Para campos dependientes del tiempo debe modificarse la ley de Ampere
S
N
S
N
L
dSuEdt
ddSujldB
00
S
N
S
N
L
dSuEdt
ddSujldB
000
S
N
L
dSuEdt
dIldB
000
También
E
Estático? Ley de Ampere
La sugerencia a modificar la ley de Ampere, James Clerk Maxwell (1831-1879)
Circulación del campo magnético
La ley de Ampere S
N
L
dSujldB
0 Relaciona una corriente estacionaria con el campo
magnético que produce
S
N
L
dSuEdt
dIldB
000 La ley de Ampere-Maxwell
Un campo eléctrico dependiente
del tiempo también contribuye al
campo magnético.
En ausencia de corrientes S
N
L
dSuEdt
dldB
00
Un campo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de un campo magnético en el mismo lugar
B
E
LB
E
L
Campo magnético producido por un campo eléctrico dependiente del tiempo
E
B
aumenta disminuye dt
d Enegativa positiva E
dt
d E
Fuerza magnetomotríz dt
d EB
00
Ley de Ampere-Maxwell en forma diferencial
t
EjB
00
Relación entre la corriente eléctrica en un punto del
espacio y los campos eléctricos y magnéticos en el mismo
punto.
En el espacio vacio 0j
t
EB
00
t
E
0
De la ecuación (*), el efecto de un campo eléctrico dependiente del tiempo es añadir
A la densidad de corriente, este término le llamo corriente de Desplazamiento
(*)
t
Ej
y
B
x
Bz
zxy
000
t
Ej
z
B
y
B xx
yz
000
t
Ej
x
B
z
B y
yzx
000
Campo electromagnético caracterizado por dos vectores )( BvEqF
La teoría del campo electromagnético se resumen en cuatro leyes
Ley de Gauss para el campo eléctrico
Ley de Gauss para el campo magnético
Ley de Faraday-Henry
Ley de Ampere-Maxwell
La carga y la corriente se denominan las fuentes del campo electromagnético q I
Las dos leyes de Gauss Ley de Gauss para el campo eléctrico
Ley de Gauss para el campo magnético
Validadas para campos eléctrico y magnéticos dependientes del tiempo
Las ecuaciones de maxwell son compatibles con el principio de relatividad
Ecuaciones de Maxwell
Son invariantes frente a una transformación de Lorentz
Limitaciones
Funcionan muy bien para tratar interacciones entre un gran nuero de cargas, como las antenas radiantes, los
Circuitos eléctricos
Las interacciones electromagnéticas entre partículas elementales ( energías altas), hay que usar un tratamiento
diferente conforme a las leyes de la mecánica cuántica.
Electrodinámica Cuántica Electrodinámica clásica
Ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético
Ley Forma integral Forma diferencial
Ley de Gauss para el campo
eléctrico
Ley de Gauss para el campo
magnético
Ley de Faraday-Henrry
Ley de Ampere-Maxwell
S N
qdSuE
0
0 dSuBNS
S NL
dSuBdt
dldE
.
dSuEdt
dildB
S NL
000
0
E
0 B
t
BE
t
EjB
000
En el espacio libre o vacio, donde no hay cargas ( ) ni corriente ( )
0 E
0 0j
0 B
t
EB
00t
BE
Inducción electromagnética y el principio de relatividad
dt
dV B
E
S
N
L
dSuBdt
dldE
Validas sin importar el origen de la variación del flujo
Para un observador en su propio sistema de referencia
Ve a través de un circuito estacionario B B
E
t
(1) (2)
Relacionado B
(2)
Reconoce la presencia de un midiendo la fuerza que se ejerce sobre una carga en reposo en su sistema de referencia
E
Cuando el observado ve que se debe a un movimiento del conductor respecto a su Sistema de referencia , no observa
B
E
BvqF
fem Ejercida por sobre las cargas del conductor móvil B
¿Cómo puede ser que dos situaciones diferentes y aparentemente sin relación tengan
una descripción común?
La respuesta está en el principio de relatividad
E
Nu
v
Q
v
Bv
SP
Bv
R
lx
Punto de vista intuitivo Circuito rotante
B
Nu
v
Q
v
R
S
P
En un sistema de referencia cteB
El circuito esta rotando, no se observa
BvqF
B
Para un observado fijo a un sistema que se mueve con el circuito
B
Nu
v
Q
v
R
S
P
Bt
B
Ve un circuito en reposo y un campo magnético cuya dirección rota en el espacio B
Relaciona entonces las fuerzas que actúan sobre los electrones del circuito con asociado
con el campo magnético variable, de acuerdo a E
S
N
L
dSuBdt
dldE
La verificación experimental de la ley de inducción electromagnética para campos magnético
variables es simplemente una reafirmación de la validez general del principio de relatividad