departamento de ingeniería civil

Optimización Estructural en Superestructuras de puentes con vigas

simplemente apoyadas.

Autor: Ernesto Javier Martín Rosabal

Tutor: Dr. Ing. Juan José Hernández Santana.

Consultante: Iván Antonio Negrin Díaz.

, Mes y Año

Departamento de Ingeniería Civil

Junio del 2018

Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de

Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria

“Chiqui Gómez Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica

de la mencionada casa de altos estudios.

Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente:

Atribución- No Comercial- Compartir Igual

Para cualquier información contacte con:

Dirección de Información Científico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de

Las Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830

Teléfonos.: +53 01 42281503-1419

i

PENSAMIENTO

‘’No basta tener un buen ingenio, lo principal es aplicarlo bien’’

René Descartes

ii

DEDICATORIA

A mi hermana, gracias a ella elegí la profesión correcta…

iii

AGRADECIMIENTOS

A todos los que día a día contribuyeron a mi formación tanto en lo profesional como en lo

personal. Gracias

iv

RESUMEN

En el presente trabajo se investiga la forma óptima del tablero de puente construido en los

viales de la cayería norte de la provincia de Villa Clara. Basándose en las condiciones de

costo cubana y aplicando todo un procedimiento matemático automatizado para interactuar

entre el programa basado en elementos finitos CSiBridge y el programa matemático

MatLab, se obtiene la estructura más rentable considerando únicamente el costo del

hormigón, el acero ordinario y de pretensado. En el trabajo se aprovecha la capacidad del

CSiBridge para la obtención de las solicitaciones, determinando a partir de las mismas el

área de refuerzo necesaria para resistirlas, por las expresiones manuales definidas en la

AASHTO programadas en MatLab. A partir de las aplicaciones implementadas en MatLab

se aplican técnicas de computación evolutiva precisamente Algoritmos Genéticos, mediante

los que al aplicarlos a todo el proceso matemático programado se llega al mínimo de la

función objetivo. Para su correcto funcionamiento se establecen los valores de las variables

discretas así como las restricciones que condicionan la aplicación de las distintas variantes

que puede tomar el tablero. Finalmente se analizan los resultados, teniendo en cuenta

aspectos como: influencia de las variables, recomendaciones de diseño y argumentos

científicos; trazando así las líneas para futuras investigaciones.

v

ABSTRACT

In the present work the optimal form of the bridge deck constructed in the roads of the

northern keys of the province of Villa Clara is investigated. Based on the Cuban cost

conditions and applying an automated mathematical procedure to interact between the finite

element program CSiBridge and the MatLab mathematical program, the most profitable

structure is obtained considering only the cost of concrete, ordinary steel and prestressing.

In the work, the capacity of the CSiBridge is used to obtain the requests, determining from

them the reinforcement area necessary to resist them, by the manual expressions defined in

the AASHTO programmed in MatLab. From the applications implemented in MatLab,

evolutionary computation techniques are applied precisely to Genetic Algorithms, by

means of which, when applied to the whole programmed mathematical process, the

minimum of the objective function is reached. For its correct operation the values of the

discrete variables are established as well as the restrictions that condition the application of

the different variants that the board can take. Finally, the results are analyzed, taking into

account aspects such as: influence of the variables, design recommendations and scientific

arguments; thus drawing the lines for future research.

vi

TABLA DE CONTENIDOS

PENSAMIENTO ..................................................................................................................... i

DEDICATORIA .................................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii

RESUMEN ............................................................................................................................ iv

ABSTRACT ............................................................................................................................ v

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1

CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA OPTIMIZACIÓN

ESTRUCTURAL EN PUENTES. .......................................................................................... 6

1.1 Introducción. ................................................................................................................ 6

1.2 Breve reseña histórica sobre la optimización estructural. ............................................ 7

1.3 Formulación del problema de diseño óptimo. ............................................................. 9

1.4 Métodos de solución al problema de optimización. .................................................. 10

1.4.1 Programación matemática ................................................................................... 10

1.4.2 Técnicas heurísticas y meta-heurísticas .............................................................. 12

1.5 Desarrollo de las investigaciones de optimización estructural referidas a puentes

utilizando como función objetivo el costo. ...................................................................... 15

1.6 Desarrollo de las investigaciones de optimización estructural en Cuba. ................... 17

1.7 Empleo de la computación para resolver el problema de optimización. ................... 20

1.7.1 CSIBridge ........................................................................................................... 20

vii

1.7.2 MATLAB ............................................................................................................ 20

1.7.3 Applied Program Interface (API) ....................................................................... 22

1.8 Métodos manuales para el análisis de superestructuras en puentes tipo viga-losa. ... 23

1.8.1 Método de Guyon -Massonet – Bares. ................................................................ 23

1.8.2 Método de los coeficientes de la AASHTO. ....................................................... 24

1.9 Conclusiones parciales del capítulo. .......................................................................... 25

CAPÍTULO 2. PROCEDIMIENTO AUTOMATIZADO PARA LA OPTIMIZACIÓN

ESTRUCTURAL UTILIZANDO LA INTERFAZ API CSIBRIDGE Y LOS RECURSOS

DE MATLAB………………………………………………………………………………27

2.1 Procedimiento para la modelación del puente. .......................................................... 27

2.1.1 Creación del modelo estructural del puente en CSiBridge2017. ................... 28

2.1.2 Cargas actuantes.(Specifications 2004) ......................................................... 32

2.2 Características en el diseño de la sección de hormigón pretensado. ......................... 38

2.2.1 Límites para la Tensión en los Tendones de Pretensado .................................... 38

2.2.2 Límites para la tensión en el hormigón ............................................................... 39

2.2.3 Análisis de la etapa elástica en el hormigón pretensado. .................................... 42

2.2.4 Metodología de cálculo para determinar el área de acero pretensado. ............... 47

2.2.5 Chequeo a flexión de la viga I pretensada. ......................................................... 47

2.3 Formulación para la obtención del modelo de puente optimizado empleando la

interfaz API CSiBridge-MATLAB. ................................................................................. 52

2.3.1 Elección del criterio de optimización. ................................................................ 52

2.3.2 Procedimiento para dar solución al problema. .................................................... 52

2.3.3 Definición de la función objetivo. ...................................................................... 54

2.3.4 Identificación de las restricciones. ...................................................................... 54

2.3.5 Elección de las variables. .................................................................................... 55

2.3.6 Declaración de los parámetros asignados. .......................................................... 56

viii

2.3.7 Método de optimización ..................................................................................... 56


CAPÍTULO 3. APLICACIÓN DEL ALGORITMO A PUENTE DE 20M CON DOS

VIAS DE CIRCULACIÓN. ................................................................................................. 60

3.1 Modelación del puente. .............................................................................................. 60

3.2 Algoritmo de optimización estructural. Funciones de la API utilizadas para la

obtención de las solicitaciones y modificación de los parámetros estructurales. ............ 65

3.3 Análisis de los resultados. .......................................................................................... 68


CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................... 74

Conclusiones .................................................................................................................... 74

Recomendaciones ............................................................................................................ 74

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 76

ANEXOS .............................................................................................................................. 80

Anexo I Algoritmo programado en MatLab. ............................................................... 80

Anexo II Precios aplicados en la investigación. ........................................................ 96

INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de proyectos de puentes en Cuba aumenta debido a la necesidad de cruzar

pequeños arroyos, ríos y espacios de difícil acceso que de otra manera no se podría llegar.

El proceso de diseño del mismo juega un papel importante y se hace necesario su desarrollo

e investigación para economizar dicho diseño, por lo que es aceptable asumir que en

cualquier licitación de obras de envergadura, el proyecto que cumpla adecuadamente con

los requisitos locales de seguridad y servicio, que además represente el menor costo posible

al cliente, en otras palabras: el proyecto óptimo, tendrá una mayor probabilidad de

adjudicarse el contrato y de materializarse.

El presente trabajo investiga un método que permita automatizar el diseño óptimo de la

superestructura de puentes viga-losa de hormigón pretensado y definir qué criterios de pre

dimensionamiento son los más efectivos en sentido general, a fin de aproximarse a la

solución más rentable.

Se considera como normativa de aplicación de cargas y de diseño estructural, el código

siguiente:

Aplicación de cargas y Diseño Estructural: AASHTO LRFD Especificaciones para

el diseño de puentes 2004

NC 733:2009 PUENTES Y ALCÁNTARILLAS. Requisitos de Diseño y Cálculo

El empleo de la API CSiBridge-MatLab para la optimización estructural en el caso de

puentes es totalmente novedoso en el país. Aunque mundialmente sí se han desarrollado

investigaciones referente al tema en los últimos años.

INTRODUCCIÓN 2

Las técnicas de optimización se basan en encontrar un conjunto de variables de diseño que

minimicen una función objetivo, cumpliendo con una serie de restricciones impuestas a

dichas variables.

Para este caso la función objetivo adoptada es el costo en función del espaciamiento entre

las vigas del puente, su peralto, el ancho del ala inferior y el espesor del tablero. Su sintaxis

se programa al final de la función de optimización creada en MATLAB para interactuar con

el modelo mecánico del puente en CSiBridge gracias al empleo de la API. El procedimiento

termina cuando se haya alcanzado el diseño que requiera el menor costo posible

cumpliendo siempre con los criterios de resistencia y funcionabilidad respectivamente.

Problema Científico

Hoy en el país se necesitan criterios de diseños óptimos en función de los costos de

fabricación para los puentes, pues con el incremento del turismo y la necesidad de extender

los destinos a toda la cayería norte, resulta indispensable ahorrar hasta el último recurso en

aras de multiplicar la cantidad de obras (puentes) a ejecutar para la comunicación vial de

los mismos.

¿El empleo de la interfaz API CSiBridge-MATLAB y sus recursos de optimización

aplicado al proyecto de superestructuras de puentes de vigas contribuye a la obtención de

soluciones más racionales que las logradas por los métodos tradicionales?

Objetivo General

Desarrollar y validar un algoritmo para la optimización estructural de superestructuras en

puentes a partir del proyecto típico cubano para 20m de luz empleando la API CSiBridge-

MatLab que permita establecer una línea de recomendaciones de diseño en función de

minimizar costos en superestructuras de puentes.

Objetivos Específicos

Valorar el estado del conocimiento nacional e internacional, que han tenido

proyectos de investigación relacionados con metodologías de optimización de

modelos estructurales de puentes.

INTRODUCCIÓN 3

Seleccionar los métodos más apropiados para el análisis de puentes de vigas y el

diseño de secciones pretensadas.

Elaborar la formulación matemática de un problema de optimización estructural

teniendo como función objetivo el costo, a partir de las funciones de la API

CSiBridge-MatLab.

Aplicar los algoritmos formulados del problema de optimización analizado al

proyecto típico de los puentes construidos en la cayería norte de Villa Clara, sobre

la base de métodos no lineales de optimización presentes en el toolbox de

optimización del MatLab y las herramientas de cálculo estructural provenientes del

CSiBridge.

Validar el algoritmo desarrollado en función de los resultados de costos obtenidos,

con los de la superestructura real del proyecto típico y en función de eso,

desarrollar recomendaciones para otras fases de la investigación.

Interrogantes Científicas

¿Cuál es el estado actual del conocimiento sobre métodos de optimización para el

caso de estructuras de puentes?

¿Cómo elaborar un algoritmo matemático automatizado de optimización estructural

a puentes de tablero SA empleando API CSiBridge-MatLab?

¿A qué criterios se podrá llegar después de obtener los resultados de la optimización

y compararlos con el proyecto típico real del puente?

Hipótesis

La implementación de procedimientos automatizados basados en Métodos de Optimización

a puentes con las funciones de la API CSiBridge-MatLab permite desarrollar un proyecto

que cumpla adecuadamente con los requisitos locales tanto de seguridad como servicio, y

que además represente el menor costo posible.

INTRODUCCIÓN 4

Objeto de estudio

Métodos de optimización mediante la interfaz API CSiBridge-MatLab que permitan

automatizar el diseño óptimo de superestructuras de puentes.

Novedad científica

La utilización de la API CSiBridge para realizar el diseño de puentes en Cuba es totalmente

novedoso, hasta el momento los proyectistas del país enfocan el diseño de los puentes a que

cumplan con los criterios de resistencia y funcionabilidad, haciéndose compleja la

comparación de distintas variantes de diseño que finalmente permita obtener la más

racional; por lo que en ocasiones los costos van más allá de las necesidades reales de la

obra.

Valor metodológico

La creación de un procedimiento automatizado para obtener modelos racionales en función

de los costos de fabricación a partir del uso de la API CSiBridge y el correcto lenguaje de

programación en MatLab, dan lugar al desarrollo de cursos para futuras investigaciones, en

aras de obtener resultados aún más precisos en términos económicos para conjuntos

estructurales de puentes.

Valor práctico

El algoritmo desarrollado permite que el procedimiento de optimización en puentes sea:

La base para realizar el diseño estructural.

Un procedimiento automatizado, ágil en el diseño de los mismos, mejorando la

variable económica.

Confiable, disminuyendo los costos de fabricación. (Esto permite la ejecución de

proyectos más viables).

INTRODUCCIÓN 5

Organización del Informe

El presente trabajo tiene la siguiente estructura:

Resumen

Introducción

Capítulo 1: Estado del conocimiento sobre la optimización estructural en puentes.

Capítulo 2: Procedimiento automatizado para la optimización estructural utilizando la

interfaz API CSiBridge y los recursos de MATLAB.

Capítulo 3: Aplicación del algoritmo a puente de 20m con dos vías de circulación.

Conclusiones y Recomendaciones

Bibliografía

Anexos

CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL EN

PUENTES 6

CAPÍTULO 1. ESTADO DEL CONOCIMIENTO SOBRE LA

OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL EN PUENTES.

1.1 Introducción.

La optimización estructural en el diseño de un puente incrementa el valor del mismo

mejorando su rendimiento en el entorno operativo a menor costo de producción, mediante

la reducción de la cantidad de material utilizado en su fabricación, garantizando un tiempo

de vida mucho mayor bajo sus condiciones de operación. Al utilizar la optimización, se

incrementan los conocimientos sobre el comportamiento del producto y mejorará el diseño,

mientras se comparan los datos nuevos, con los obtenidos de análisis realizados

previamente.

De esta forma la optimización estructural puede definirse como: ‘’Búsqueda de diseños de

estructuras que minimicen una función objetivo, frente a un juego de variables de diseño y

teniendo en cuenta restricciones a cumplir, tales como valores máximos de esfuerzo o

deformación, volumen, masa, etc., obteniendo la mejor solución y que a su vez se fabrique

con la menor cantidad de material posible, basado en el simple concepto de remover el

material ineficiente de una estructura, la forma resultante de ésta evoluciona o se desarrolla

hacia la óptima.

La optimización estructural se ha convertido en un campo de investigación bastante amplio,

que busca desarrollar metodologías que permitan encontrar nuevas soluciones e incluso

mejorar las existentes de manera que, bajo ciertos criterios, resulten ser las mejores y que a

su vez se fabriquen con la menor cantidad de material posible y con mayor facilidad.


PUENTES 7

En este capítulo se hará un análisis de la bibliografía existente hasta el momento en el

escenario internacional y nacional, introduciéndonos además en la formulación del

problema de diseño óptimo. Se explican los principales métodos de optimización

empleados, normativas de diseño, descripción de los software y sus utilidades en el proceso

de optimización.

1.2 Breve reseña histórica sobre la optimización estructural.

El primer trabajo destacable sobre optimización ya estaba relacionado con la optimización

de estructuras y fue realizado por Galileo Galilei (1564-1642) en su obra, publicada en

1638, (Discorsi e Dimonstrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze attenenti alla

mecanica et i movimenti local) este versaba sobre la forma óptima de una viga en voladizo,

con una carga puntual en su extremo libre. Más tarde, el desarrollo del cálculo

infinitesimal de Leibniz (1646-1716) y el cálculo de variaciones de Lagrange (1736-1813)

sentarían las bases de la optimización de funciones moderna. Posteriormente llegaría el

principio de mínima acción de Hamilton (1808-1865); el cual formulaba que para sistemas

de la mecánica clásica, la evolución temporal de todo sistema físico, se daba de tal manera

que una cantidad llamada "acción" tendía a ser la mínima posible. En 1952, Gerard y

Shanley difunden las Técnicas Intuitivas, basadas en los estudios anteriores, esta consistía

en la suposición de que el diseño óptimo de peso mínimo es aquel en el que todos los

modos de fallo de la estructura ocurren simultáneamente. Klein en 1955 es el primero en

plantear el problema generalizado de optimización estructural como un problema estándar

de programación no lineal, señalando la diferencia entre la localización geométrica de la

solución entre los problemas lineales y no lineales. En 1957 Barta (On the minimum weight

of certain redundant structures) publica una investigación para determinar los conjuntos de

barras redundantes con el fin de probar el teorema de Sved (The minimum weight of certain

redundant structures 1954) según el cual mediante la eliminación adecuada de las barras

redundantes de una estructura es posible obtener una estructura estáticamente determinada

con el mínimo peso para un estado de carga dado. Pearson (Structural design by high-speed

computing machines) en 1958 integra las técnicas de análisis estructural y los métodos de

optimización en un esquema coherente de diseño ya que es él quien primero desarrolla un


PUENTES 8

método que obtiene simultáneamente el óptimo estructural y su mecanismo de colapso;

empleó un generador de números aleatorios para variar los elementos redundantes hasta

alcanzar soluciones óptimas, advirtiendo que solo las estructuras estáticamente

determinadas carecen de barras con secciones nulas. En el propio siglo XX A. Michell (The

limits of economy of material in frame-structures) establecería los principios fundamentales

para el diseño óptimo de barras de peso mínimo. Para ello se valió de un teorema previo

desarrollado por Clerk Maxwell (On reciprocal figures, frames and diagrams of forces,

1870) estableciendo un nuevo teorema según el cual:

”Una estructura alcanza el límite absoluto en la economía de material si el espacio

ocupado por esta puede ser sometido a una deformación pequeña apropiada tal que la

deformación unitaria de todas las barras de la estructura se incrementa no menos que el

cambio de longitud relativo de cualquier elemento en el espacio”.

Las estructuras de Michell, sin embargo, presentaban el problema de ser siempre

estáticamente determinadas, y generalmente con un gran número de barras, por lo que en

muchos casos son impracticables desde el punto de vista práctico. Este trabajo fue

analizado y discutido por otros, destacando los trabajos de H. L. Cox (The design of

structures of least weight. Pergamon Press, Oxford; New York, 1965), J. Owen (The

analysis and design of light structures. American Elsevier Pub. Co., New York, 1965), y E.

Parkes (Braced frameworks; an introduction to the theory of structures. Pergamon Press,

Oxford; New York, 1965). A. Chan (The design of Michell optimum structures. H.M.S.O.,

London, 1962) desarrolló un conjunto de técnicas para la construcción gráfica de los

campos de deformaciones unitarias descritos por Michell. W. Prager (A note on discretized

Michell structures. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering) desarrolla

un conjunto de técnicas para mejorar la eficiencia de estructuras cercanas al óptimo y

definió un nuevo criterio de diseño para los elementos en una estructura de Michell

discretizada. Posteriormente E.W. y Parkes (Joints in optimum frameworks. International

Journal of Solids and Structures) de forma simultánea a W. Prager (Optimal layout of

cantilever trusses. Journal of Optimization Theory and Applications) introdujeron el efecto

de la rigidez de las uniones en las estructuras. Prager y Rozvany (Optimal layout of


PUENTES 9

grillages 1976, Optimization of structural geometry 1977, Optimal design of flexural

systems: beams, grillages, slabs, plates, and shells 1976) desarrollaron una teoría para la

distribución óptima de estructuras reticulares utilizando una analogía con la teoría de

Michell. Estos trabajos representaron la primera aproximación a la modificación de la

distribución de las estructuras y, a pesar de ser completamente diferente a la filosofía de los

posteriores trabajos de programación matemática, sirvieron para el desarrollo de

estos.(Sánchez 2012)

1.3 Formulación del problema de diseño óptimo.

El propósito del diseño óptimo de estructuras es obtener, un conjunto de valores de las

variables de diseño, que haga mínima una función objetivo y cumpla una serie de

restricciones que dependen de dichas variables. La determinación de la función objetivo en

la tarea de optimización no es una cuestión trivial ya que de esta dependerá los resultados

que se obtengan, en (Negrín M, A. 2010) se plantea:

“En un problema de optimización estructural existe una solución única para una variante

específica, por lo que los resultados de la optimización van a depender fundamentalmente

de los parámetros asignados”.

Las variables de diseño de una estructura pueden ser: propiedades de la sección transversal

de los elementos (áreas, espesores, momentos de inercia, etc.); geometría de la estructura

(coordenadas de nudos, cantos de vigas, etc.); topología de la estructura (nudos y

conexiones de los elementos), y propiedades del material de la estructura. El tipo de

optimización a realizar dependerá del tipo de variables que se consideren. Tradicionalmente

se ha buscado el diseñar las estructuras de peso mínimo, lo que ha conducido a que la

función objetivo más habitual sea el peso de la estructura. Sin embargo, en otras

aplicaciones el peso no es el factor determinante y se recurre al empleo de otras funciones

objetivo, tales como el costo, la fiabilidad, la rigidez, etc. Las restricciones son las

condiciones que debe cumplir el diseño para que pueda ser considerado válido. (Martí,

Tomás et al. 2001)


PUENTES 10

En términos matemáticos, el problema de diseño óptimo se puede formular como: encontrar

el vector de variables de diseño x que minimice: 𝑓(𝑥) sujeto a:

ℎ𝑗(𝑥) = 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑚𝑖

𝑔𝑖(𝑥) ≥ 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑚𝑑

𝑥𝑖𝑙 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖𝑠 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Siendo: x el vector n-dimensional de variables de diseño; 𝑓(𝑥) la función objetivo; ℎ𝑗(𝑥) la

restricción de diseño de igualdad j; 𝑔𝑖(𝑥) la restricción de diseño de desigualdad j; 𝑚𝑖 el

número de restricciones de igualdad; 𝑚𝑑 el número de restricciones de desigualdad; 𝑛 el

número de variables, y 𝑥𝑖𝑙 (𝑥𝑖𝑠) el límite inferior (superior) de la variable i. (Martí, Tomás

et al. 2001)

1.4 Métodos de solución al problema de optimización.

A continuación se enumeran algunos de los diferentes métodos de optimización de

estructuras empleados en los últimos cuarenta años pudiéndolos dividir en dos grandes

grupos: programación matemática y los métodos heurísticos o meta-heurísticos.

1.4.1 Programación matemática

A partir del trabajo de Dorn, Gomory and Greenberg las técnicas de programación

matemáticas se clasificaron en tres grupos:

Las técnicas basadas en una malla de puntos denominadas técnicas de Ground

Structure, donde se eliminan las barras de la estructura.

Las técnicas donde las coordenadas y las propiedades de las secciones se introducen

como variables de diseño denominadas técnicas geométricas.

Los métodos híbridos donde se realizan ambas tareas a la vez.


PUENTES 11

1.4.1.1 Técnicas basadas en una malla de puntos o Ground Structure

La técnica más sencilla es el método del diseño completamente esforzado o Fully Stressed

Design Stress-Ratio donde en cada iteración las secciones de los elementos estructurales

son redimensionados en base a la proporción entre la tensión que soporta cada miembro y

su tensión admisible:

𝐴𝑖(𝑡) = 𝐴𝑖(𝑡 − 1)σ𝑖(𝑡 − 1)

σ𝑖𝑎𝑑𝑚

Donde 𝐴𝑖(𝑡) y σ𝑎𝑑𝑚 son la sección y tensión admisible del elemento i en la iteración t,

𝐴𝑖(𝑡 − 1) y σ𝑖(𝑡 − 1) son la sección y la tensión del elemento i en la iteración (𝑡 − 1).

Mediante esta aproximación cuando la sección de una barra de la estructura se reduce a

cero, se procede a eliminarla. Los resultados obtenidos mediante esta técnica para

estructuras sometidas a un único estado de cargas generalmente son estáticamente

determinados.

El trabajo de Topping (The Application of Dynamic Relaxation to the Design of Modular

Space Structures, 1978) demostró que los resultados obtenidos con el Fully Stressed Design

Stress-Ratio no son siempre óptimos. Esto es debido a que el método no considera la

compatibilidad de las estructuras resultantes y si la distribución resultante es indeterminada,

la sección de los elementos no asegura la compatibilidad de la estructura sin sobretensionar

alguno de los elementos. Para evitar este inconveniente Reinschmidt y Russell (Linear

methods in structural optimization, July 1970) (Applications of linear programming in

structural layout and optimization. Computers and Structures, 1974) (Discussion

of”optimum design of trusses for ultimate loads”, September 1971) formularon de forma

exitosa una técnica iterativa que redimensionaba la distribución obtenida mediante los

métodos de programación lineal y el Fully Stressed Design Stress-Ratio.


PUENTES 12

1.4.1.2 Técnicas geométricas

Son técnicas por medio de las cuales el objetivo y las restricciones de desigualdad

expresados como polinomios y las restricciones de igualdad como monomios, pueden ser

transformados en un programa convexo. Con este enfoque, la función objetivo resultante se

vuelve extremadamente alineal, ya que las longitudes de los miembros varían al variar las

coordenadas de los nudos.

Uno de los primeros trabajos con este enfoque fue el de Schmit (Structural design by

systematic synthesis, 1960). En este consideró las coordenadas de los nudos como variables

al formular el clásico problema de optimización de tres barras. Para su resolución empleó

un algoritmo no lineal que utilizaba el método de la máxima pendiente. En las conclusiones

a dicho trabajo fue el primero en indicar que en una estructura estáticamente indeterminada,

sometida a varios estados de carga, no todos los miembros están completamente esforzados

al menos en un estado.

1.4.1.3 Técnicas hibridas

El diseño simultáneo de la topología el tamaño de la estructura conduce a un gran número

de variables de diseño con diferentes dominios que dan lugar a un gran rango de

sensibilidades. Además, como demostraron Sved y Ginos (Structural optimization under

multiple loading, 1968), el espacio de soluciones factibles suele ser disjunto, haciendo muy

difícil la búsqueda del óptimo global. Para evitar estos problemas algunos investigadores

dividen las variables de diseño en dos espacios de diseño mientras que otros solo las

consideran a intervalos alternos del proceso de diseño.

1.4.2 Técnicas heurísticas y meta-heurísticas

Las técnicas heurísticas y metaheurísticas, a diferencia de las técnicas de optimización

tradicionales, no siguen unos métodos o reglas preestablecidas de búsqueda. A pesar de no

seguir ningún tipo de procedimiento deductivo son capaces de proporcionar soluciones

buenas en un periodo de tiempo razonablemente corto. El principal inconveniente de este

zim://A/Monomio.html


PUENTES 13

tipo técnicas es que no garantizan la localización del óptimo absoluto, por lo que para tener

la certeza de haberlo obtenido (o al menos un punto muy próximo) debe ejecutarse el

algoritmo varias veces. (Sánchez 2012)

1.4.2.1 Recocido Simulado (SA)

Simulated Annealing (SA) (recocido simulado, cristalización simulada o enfriamiento

simulado) es un algoritmo de búsqueda meta-heurística para problemas de optimización

global; el objetivo general de este tipo de algoritmos es encontrar una buena aproximación

al valor óptimo de una función en un espacio de búsqueda grande, a este valor óptimo se lo

denomina "óptimo global" El nombre e inspiración viene del proceso de recocido del acero

y cerámicas, una técnica que consiste en calentar y luego enfriar lentamente el material para

variar sus propiedades físicas. El calor causa que los átomos aumenten su energía y que

puedan así desplazarse de sus posiciones iniciales (un mínimo local de energía); el

enfriamiento lento les da mayores probabilidades de recristalizar en configuraciones con

menor energía que la inicial (mínimo global).

1.4.2.2 Computación evolutiva

La computación evolutiva nace como consecuencia de los inconvenientes y limitaciones de

los métodos más formales como la Programación Matemática o el Método del Criterio de

Optimalidad al ser aplicados a problemas complejos. Estas técnicas tradicionales requieren

de funciones continuas y derivables. Tal situación no siempre es posible cuando se abordan

problemas de optimización de estructuras. (Sánchez 2012)

Los Algoritmos Genéticos (GA): son métodos de optimización y búsqueda de

soluciones basados en los postulados de la evolución biológica, se basan en los

conceptos Darwinianos de supervivencia de los individuos más aptos. En ellos se

mantiene un conjunto de entidades que representan posibles soluciones, las cuales

se mezclan, y compiten entre sí, de tal manera que las más aptas son capaces de

prevalecer a lo largo del tiempo, los diseños representado por los individuos más

aptos representan los diseños óptimos. El éxito de esta técnica de optimización en

zim://A/Algoritmo_de_b%C3%BAsqueda.html

zim://A/Heur%C3%ADstica_%28inform%C3%A1tica%29.html

zim://A/Optimizaci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29.html

zim://A/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica.html

zim://A/Espacio_de_b%C3%BAsqueda.html

zim://A/Recocido.html

zim://A/%C3%81tomo.html

zim://A/Energ%C3%ADa.html

zim://A/Energ%C3%ADa.html

zim://A/Evoluci%C3%B3n_biol%C3%B3gica.html


PUENTES 14

todos los ámbitos del saber ha sido incuestionable, superando en muchos casos al

resto de técnicas de optimización. Una simple búsqueda de los términos Genetic

Algorithm en SciVerse Hub arroja más de 361.000 resultados frente a los casi

212.000 que devuelve los términos Mathematical Programming que no representa

una única técnica sino un conjunto de técnicas mucho más antiguas que la primera.

La Optimización por enjambre de partículas (PSO): permite optimizar un problema

a partir de una población de soluciones candidatas, denotadas como "partículas", las

cuales son inicializadas aleatoriamente dentro del espacio de búsqueda de la función

objetivo. Cada partícula representa una posible solución del problema. Las

partículas se mueven por el espacio de búsqueda atraídas por la posición de mayor

aptitud lograda por la partícula (óptimo local) así como la mejor aptitud lograda en

todo el enjambre (óptimo global), durante cada iteración del algoritmo, de modo

similar al de un enjambre. El fundamento teórico de esto es hacer que la nube de

partículas converja rápidamente hacia las mejores soluciones.

La Optimización por colonia de hormigas (ACO): inicialmente propuesto por

Marco Dorigo en 1992 en su tesis de doctorado Optimization, Learning and Natural

Algorithms, el primer algoritmo surgió con el objetivo de buscar el camino óptimo

en un grafo, basado en el comportamiento de las colonias de hormigas; las mismas

están formadas por individuos que desarrollan diversas tareas como la exploración

en busca de comida, el transporte de la misma, la construcción de nidos y la

defensa. Cada miembro de la colonia realiza su propia tarea interaccionando con el

resto de individuos de la colonia, de modo que si un individuo no es capaz de

realizar su tarea, la colonia en su conjunto si lo hace. El proceso de división de las

tareas entre individuos es más efectivo que la tarea realizada por un individuo

aislado.


PUENTES 15

1.5 Desarrollo de las investigaciones de optimización estructural referidas a puentes

utilizando como función objetivo el costo.

(Carbonell 2005) aplicó una búsqueda exhaustiva de máximo gradiente, SA y TA a la

optimización de bóvedas de hormigón armado para pasos de carretera. El problema tuvo 21

variables entre las que se encontraron tres tipos de hormigones. Los mejores resultados se

obtienen con SA que es capaz de disminuir un 7.6 % el coste económico de un diseño

realizado por una oficina de cálculo experimentada. Función objetivo: disminuir costos

(Liu and Frangopol 2005) emplearon el NSGA para priorizar las actuaciones anuales en el

mantenimiento de puentes de hormigón armado a lo largo de su vida útil teniendo como

objetivos maximizar el buen estado de los puentes, maximizar su menor índice de

seguridad y minimizar el coste de las actuaciones del mantenimiento. Función

multiobjetivo: disminuir costos y aumentar la seguridad.

(Srinivas and Ramanjaneyulu 2007) Un enfoque integrado para el diseño óptimo de

cubiertas de puentes utilizando algoritmos genéticos y redes neurales artificiales, a partir

de un análisis comparativo entre los dos métodos de optimización empleados, llega a la

solución óptima del tablero de puentes de viga-T en función de los diferentes espacios entre

las mismas obteniendo el menor costo posible. Función objetivo: disminuir costos

(Martí, González-Vidosa et al. 2009) Diseño de puentes peatonales prefabricados de

hormigón pretensado mediante optimización heurística, las soluciones y resultados de su

investigación indican que la optimización heurística es la alternativa a emplear más

confiable para el diseño de estructuras pretensadas. Función objetivo: disminuir costos

(Martí, Yepes et al. 2014) Diseño automático de tableros óptimos de puentes de carretera

de vigas prefabricadas mediante algoritmos meméticos híbridos. Los resultados muestran

que el algoritmo es capaz de reducir el costo de modo significativo, en torno al 8%, para

este tipo de estructuras que se encuentran altamente industrializadas. Sin embargo, se han

encontrado ahorros que pueden llegar al 50% en algunos casos realmente ejecutados.

Función objetivo: disminuir costos


PUENTES 16

(Luz, Yepes et al. 2015) Diseño de estribos abiertos en puentes de carretera obtenidos

mediante optimización híbrida de escalada estocástica. La resistencia característica del

hormigón empleado en cualquier parte del estribo resultó ser la menor disponible, con

disposiciones de pilares de canto variable; en contra del criterio habitual, los estribos más

eficientes desde el punto de vista económico son aquellos que presentan zapatas aisladas.

Función objetivo: disminuir costos

(García-Segura and Yepes 2016) Optimización multiobjetivo de puentes viales de hormigón

armado postesados. Comparando el mejor resultado de costo con los estándares, la

herramienta encontró un puente con respecto al medio ambiente más amigable y más

barato, reduciendo el acero de refuerzo pero incrementando el volumen de hormigón y el

acero tensado, se encontró una relación directa entre la emisión de CO 2 y el costo ya que

reducir el costo por un euro reduce la emisión de 2,34kg de gases. Función multiobjetivo:

disminuir costos, las emisiones de CO 2 y aumentar la seguridad

(Valladares 2016) Optimización de la fuerza de pretensado en puentes continuos de

hormigón. Tesis de Maestría, en su tesis, manteniendo las dimensiones de la estructura;

optimiza el costo de la misma, disminuyendo la cantidad de refuerzo pasivo y variando la

fuerza de pretensado en función de la excentricidad. El mismo propone un enfoque para la

optimización estructural ya que anteriores investigadores trataban de minimizar el costo de

la estructura reduciendo el peso, este enfoque podría ser verdadero para las estructuras de

acero, no es exacto para las estructuras compuestas y las de hormigón pretensado.

Maximizar la cantidad de refuerzo para minimizar el peso de la estructura en conjunto

causaba un aumento del costo si el precio del acero era demasiado alto comparado con el

hormigón; por lo que el mejor enfoque fue reducir el coste total de la estructura en lugar del

peso. Función objetivo: disminuir costos

(Yepes, Martí et al. 2017) Heurística en el diseño detallado óptimo de puentes de carretera

prefabricados. después de emplear varios métodos, TAMO fue demostrado ser el

procedimiento más eficiente para la optimización estructural del puente, como resultados

finales se obtuvieron menores costos aumentando la resistencia del hormigón entre 40 y


PUENTES 17

50Mpa y utilizando el acero mínimo de pretensado requerido. Función objetivo: disminuir

costos

(García-Segura, Yepes et al. 2017) Optimización de por vida basada en la confiabilidad de

puentes de viga cajón pos-tensados. Plantea que reduciendo el número de las acciones de

mantenimiento se minimizan las emisiones de gases, dichas acciones deben estar

programadas para reducir el impacto de las interrupciones de tráfico impuestas sobre la

sociedad al mismo tiempo. Como conclusiones indica que es aconsejable mejorar la

durabilidad durante el diseño de puente incrementando el tiempo de iniciación de corrosión.

Este enfoque incrementa el coste inicial pero reduce el coste de ciclo vital. Sin embargo, un

nivel de seguridad inicial más alto no resulta en una mejor interpretación de ciclo vital

siempre. Función multiobjetivo: disminuir costos y tiempo de iniciación de corrosión

(García-Segura, Yepes et al. 2017) Diseño multiobjetivo de puentes viales de hormigón

postesados utilizando redes neuronales artificiales. Sus conclusiones indican que ANN es

una buena herramienta de reproducir la respuesta de la estructura y reducir el costo de

tiempo. Sin embargo, los últimos pasos necesitan que modelos más exactos converjan más

cerca del delantero de Pareto verdadero. Como resultado se obtuvo que para grados bajos

de resistencia del hormigón, hay un incremento en el efecto de iniciación de la corrosión,

mientras que los incrementos de la resistencia del hormigón favorecen ciclos de vida de

servicios más largos, una buena combinación tanto de la resistencia del hormigón como el

recubrimiento del acero proporciona una correcta durabilidad y un ahorro de los costos en

el ciclo de vida del puente. Función multiobjetivo: disminuir costos, el factor de seguridad

en conjunto, y el tiempo de iniciación de corrosión.

1.6 Desarrollo de las investigaciones de optimización estructural en Cuba.

(Cesar Rivero 1973) Optimización de losas de hormigón armado; se plantea una aplicación

sencilla, pero con una fuerte base teórica, de la programación lineal del diseño óptimo de

una losa de hormigón armado. (Torres 1978) Cálculo de secciones económicas en vigas

rectangulares; este trabajo anunciaba que el criterio utilizado para la cuantía de acero


PUENTES 18

económica en vigas entre 60-70% de la balanceada era muy alto para las condiciones de

costo cubanas. (Vázquez and Eguiguren 1979) Optimización de secciones en vigas

rectangulares; se perfecciona un poco las limitaciones de (Torres 1978) pero adolece

todavía de una formulación matemática, en este trabajo, cabe desatacar que en la

introducción ya se comienza a usar vocabulario técnico correcto, relacionando la palabra

optimización con la más económica de todas las soluciones posibles de un diseño dado. A

comienzos de los años 80 el profesor Negrín comienza a desarrollar una serie de trabajos de

optimización de vigas de hormigón armado, tratando de resolver las limitaciones de los

trabajos referentes. En (Negrín 1988), Diseño óptimo de estructuras de hormigón armado a

flexo-compresión, se concluye categóricamente que: para países productores de acero la

cuantía económica si es la reconocida por los textos clásicos de hormigón armado: 60-70 %

de la balanceada; para países no productores pude llegar a 40-50 %, aunque decide el

criterio de fisuración como frontera límite. Posteriormente (Castellanos 2000) reafirma, con

una mejor formulación matemática, con más conocimiento de causa y más resultados

obtenidos, todas las conclusiones planteadas por (Negrín 1988), Diseño óptimo de

estructuras de hormigón armado a flexo-compresión., después como documentos más

acabados aparecen las referencias (Negrín 2005) Un enfoque general sobre diseño óptimo

de estructuras y (Negrín 2009) Diseño óptimo de estructuras de Hormigón Armado.

Monografía. En la tesis de grado (Negrín M, A. 2010) Optimización de conjuntos

estructurales de hormigón armado; a diferencia de otros trabajos, se tiene en cuenta la

cimentación, así como las columnas y vigas, se tienen en cuenta los costos directos de estos

elementos, incluyendo los costos de elaboración de acero, colocación, entre otros; tiene un

gran valor metodológico y en cierto modo práctico ya que se puede decir que fue de los

primeros en el país que vio la optimización estructural como conjunto y no de forma

individual, además de utilizar un método clásico en el mundo de la optimización como es el

Método Basado en la Teoría de Diseño de Experimentos. (Negrín M, A. 2014) en su Tesis

de Maestría logra resultados importantes al optimizar todos los elementos de un pórticos de

hormigón armado (vigas, columnas y cimientos), se pudo comprobar que los factores

ignorados con frecuencia en la modelación cómo la reducción de inercia de los elementos

estructurales, el comportamiento no lineal de la estructura y la interacción suelo –

estructura, producen cambios en el análisis de la estructura, pero que son cambios que sólo


PUENTES 19

influyen en el diseño de las columnas y por tanto no van a influir en los resultados finales

de la optimización.

(Negrin Diaz 2016) Optimización de conjuntos estructurales considerando los factores

usualmente ignorados en la modelación; fue el primer trabajo de optimización estructural

en el que se aplicaran herramientas computacionales para implementar todo el aparato

matemático relacionado con el proceso de optimización, se obtuvo como conclusión que la

interfaz API SAP2000-MatLab es una excelente herramienta para darle solución al

problema de optimización. Se obtuvo resultados lógicos comparados con otros trabajos

previos, criterios de rangos económicos de algunas variables que influyen en la

optimización y ayudan al proyectista a una aproximación inicial: el rango económico del

peralto de las vigas puede estar entre L/8.5 y L/11. Los anchos de los elementos como las

vigas y las columnas deben ser los menores posibles por especificaciones constructivas o de

diseño. También los peraltos de las columnas en estructuras de baja altura pueden ser

pequeños, quedando estas con sección cuadrada o de rectangularidad pequeña. Además,

para una posible simplificación del problema de optimización se pueden usar los siguientes

datos: La relación de costos de acero/hormigón está en el orden del 50-75% (siendo la

menor para pórticos con pequeñas luces) mientras que la relación costo refuerzo

transversal/longitudinal oscila en un rango del 20-50%. Posteriormente (Medina Naranjo

2017) Interfaz en MatLab para la optimización de conjuntos estructurales; plantea en su

trabajo que para el caso objeto de estudio el peralto óptimo está en un rango entre L/11 y

L/18, lo cual demuestra un considerable aumento con respecto a investigaciones previas,

mientras que la cuantía económica oscila entre 0.4 y 1.1 %, valores que nos dan a entender

un uso de poco acero a costa de un aumento de la cantidad de hormigón; de forma general,

recomiendan una disminución de los peraltos de las vigas en estructuras de 3 niveles debido

al predominio de la carga axial, lo que conlleva al aumento del ancho de la columna.


PUENTES 20

1.7 Empleo de la computación para resolver el problema de optimización.

La computación ha impulsado la optimización estructural como ciencia por lo que su

implementación en este campo es vital. Para darle solución al presente problema se empleó

como software de diseño el CSiBridge y para programar todo el procedimiento matemático

basado en la optimización de la estructura el MATLAB, relacionándolos entre sí con la

interfaz API. Seguidamente se exponen sus principales características.

1.7.1 CSIBridge

CSiBridge es un software integral del estado de la técnica para el análisis estructural y

sísmico; para el diseño y evaluación de los puentes simples y complejos con un método de

análisis basado en la teoría de elementos finitos. Los modelos de Puente son generados a

partir de plantillas que el programa trae como predefinidos; permitiendo al participante un

gran ahorro de tiempo en la elaboración del modelo del puente a diseñar. Con el CSiBridge,

se pueden definir geometrías complejas de puente, condiciones de contorno y los casos de

carga demandadas. Los modelos de puente se definen paramétricamente, el uso de términos

que son familiares a los ingenieros de puentes, como: líneas de diseño, estribo, apoyos,

pilares, inclinaciones o esviaje, rotula, pos tensado, secciones agrietadas; etc.

1.7.2 MATLAB

MATLAB es el nombre abreviado de “MATriz LABoratory”. Es un programa para realizar

cálculos numéricos con vectores y matrices, y por tanto se puede trabajar también con

números escalares (tanto reales como complejos), con cadenas de caracteres y con otras

estructuras de información más complejas. MatLab es un lenguaje de alto rendimiento para

cálculos técnicos, es al mismo tiempo un entorno y un lenguaje de programación. Uno de

sus puntos fuertes es que permite construir nuestras propias herramientas reutilizables.

Podemos crear fácilmente nuestras propias funciones y programas especiales (conocidos

como M-archivos) en código MatLab, los podemos agrupar en Toolbox (también llamadas

librerías): colección especializada de M-archivos para trabajar en clases particulares de


PUENTES 21

problemas. MatLab, a parte del cálculo matricial y álgebra lineal, también puede manejar

polinomios, funciones, ecuaciones diferenciales ordinarias y gráficos. (Fernández 2009)

Además, MatLab posee un amplio abanico de programas de apoyo especializados,

denominados Toolbox que extienden significativamente el número de funciones

incorporadas en el programa original.(Afonso Aspiro 2016)

1.7.2.1 Entre los principales Toolbox tenemos:

Curve fitting: Ajustes de modelos y análisis.

Data Acquisition: Adquiere y envía datos a un instrumento electrónico.

Excel link: Permite usar Matlab con datos leídos directamente desde planillas Excel.

Statistics: Permite aplicar modelos estadísticos y modelos de probabilidades.

Structural Dynamics: Analiza modelos de elementos finitos y lleva a cabo análisis

modales de sistemas mecánicos.

Optimization: Consta de un conjunto de funciones que resuelven problemas de

extremos, con o sin condiciones, de funciones reales las cuales son generalmente

multivariables y no lineales.

1.7.2.1.1 Toolbox de optimización

La caja de herramientas de optimización consta de un conjunto de funciones o comandos

que determinan el mínimo de una función lineal o no lineal, que puede ser multivariable o

no, con restricciones de igualdad y desigualdad lineales o no lineales. Además, posee

funciones para la resolución de algunos tipos de problemas matriciales en extremos.

Algunas de las principales funciones de la caja de herramientas de optimización:

fminbnd: Esta función resuelve los problemas de optimización de funciones de una

variable sin restricciones, se la conoce también como optimización escalar.


PUENTES 22

fminsearch: Esa función en cambio resuelve los problemas de optimización de

funciones de más de una variable sin restricciones.

fminunc: Ésta al igual que la anterior proporciona el mínimo de una función de

variables sin restricciones, pero, con la diferencia que utiliza información del

gradiente y el hessiano de la función objetivo.

fmincon: Ésta función determina el mínimo de una función multivariable con

restricciones de igualdad y desigualdad, lineales y no lineales.

quadprog: Realiza la minimización de una función cuadrática con restricciones de

igualdad y desigualdad lineales.

linprog: Esta función realiza la optimización de problemas de programación lineal.

lsqnonlin: Resuelve por mínimos cuadrados problemas no lineales de funciones o de

ajuste de datos.

1.7.3 Applied Program Interface (API)

Interfaz de programación de aplicaciones (IPA) o API (del inglés Application

Programming Interface) es el conjunto de funciones y procedimientos (o métodos, en la

programación orientada a objetos) que ofrece cierta biblioteca para ser utilizado por otro

software como una capa de abstracción. Una interfaz de programación representa la

capacidad de comunicación entre componentes de software. Se trata del conjunto de

llamadas a ciertas bibliotecas que ofrecen acceso a ciertos servicios desde los procesos y

representa un método para conseguir abstracción en la programación, generalmente

(aunque no necesariamente) entre los niveles o capas inferiores y los superiores del

software. Uno de los principales propósitos de la API consiste en proporcionar un conjunto

de funciones de uso general. De esta forma, los programadores se benefician de las ventajas

de la API haciendo uso de su funcionalidad, evitándose el trabajo de programar todo desde

el principio.

zim://A/Idioma_ingl%C3%A9s.html

zim://A/Subrutina.html

zim://A/M%C3%A9todo_%28inform%C3%A1tica%29.html

zim://A/Programaci%C3%B3n_orientada_a_objetos.html

zim://A/Software.html

zim://A/Programaci%C3%B3n.html

zim://A/Subrutina.html

zim://A/Programador.html


PUENTES 23

Los aspectos más relevantes de las principales características que ofrece la API se resumen

a continuación:

Directo, acoplamiento rápido y sólido con los métodos de diseño y análisis del

CSiBridge.

El flujo de datos es de dos vías, ya que puede ser utilizado para facilitar ambos

procedimientos pre y post-procesamiento.

No hay necesidad de usar archivos intermedios, lo que reduce significativamente el

tiempo necesario para el intercambio de datos cuando se trabaja en modelos de gran

tamaño.

Compatibilidad con la mayoría de los lenguajes de programación más importantes.

Transferencia de datos y el control simultáneo de un modelo estructural por

diferentes aplicaciones de terceros.

Desarrollo de aplicaciones de terceros que permanecerán compatible con futuras

versiones de CSiBridge.

Capacidad para desarrollar una interfaz personalizada para CSiBridge, calibrado

para las necesidades del usuario, o para incorporarla en una aplicación que permite

la programación del usuario.

1.8 Métodos manuales para el análisis de superestructuras en puentes tipo viga-losa.

Al aplicar como principal método de análisis el programa basado en elementos finitos CSiBridge, se

comprobarán los resultados con los métodos manuales más empleados para el caso de puentes con tableros de

viga-losa: Método de Guyon -Massonet – Bares y el método de los coeficientes de la AASHTO, para

la validación de los resultados obtenidos.

1.8.1 Método de Guyon -Massonet – Bares.

La idea fundamental que plantea este método es la sustitución de la superestructura del

puente por una losa virtual ortotrópica, tal que pueda ser analizada por las ecuaciones de la

teoría de la losa, pero, aplicando un procedimiento basado en los coeficientes de


PUENTES 24

distribución, que obvia resolver las ecuaciones que en ello se plantean, mediante el uso de

tablas confeccionadas para este método. (Taylor & Valdés, 1980)

Principios en que se basa el método:

I. La estructura real es reemplazada por una losa ortotrópica que tenga las mismas

rigideces medias a flexión y a torsión, de modo que sea rigurosamente tratada por el

cálculo diferencial, llegando a obtener los coeficientes de distribución para una

condición de borde dada.

II. La distribución transversal real de la carga se analiza admitiendo que la misma es

sustituida por una carga distribuida sinusoidal a lo largo del eje longitudinal (X) del

puente de la forma:

a. 𝑝(𝑥) = 𝑝1 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑚∗𝜋𝑥

𝐿

1.8.2 Método de los coeficientes de la AASHTO.

El Método de los coeficientes de la AASHTO considera que la losa para ciertos rangos de

luces actúa como elemento distribuidor de la sobrecarga, por lo cual es más factible su uso

en puentes cuya losa sea continua fundida ‘’in situ’’ o se asegure la continuidad mediante

algún artificio.

Los momentos flectores de la carga accidental para cada viga interior se determinan

aplicando a la viga la fracción de carga por ruedas (ambas, delanteras y traseras)

determinadas según el coeficiente:

𝑘 =𝑏0

1.5 (𝑏0 = 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠) para puente de vigas de

hormigón con dos carriles o más. Cuando 𝑏0 excede el valor de 3.05m, la norma plantea

que la carga sobre cada viga será la reacción de las cargas por rueda, suponiendo que la losa

entre vigas actúa como una viga simplemente apoyada (método de reducción de

hiperestaticidad). (Taylor & Valdés, 1980)


PUENTES 25

1.9 Conclusiones parciales del capítulo.

1. En la formulación del problema de optimización se definen las variables, la o las

funciones objetivos y las restricciones, por lo que es esencial su correcta aplicación

para obtener resultados satisfactorios.

2. La revisión bibliográfica referida a los trabajos de optimización estructural muestra

que debido a la variabilidad de las estructuras en sus geometrías y materiales la

función objetivo que proporciona resultados más exactos y confiables es el costo.

3. Los puentes isostáticos tipo viga-losa de hormigón pretensado resultan los más

económicos y de mejor ejecución hoy, para las condiciones del país, ya que

posibilita elaborar sus partes en plantas de elementos prefabricados donde la calidad

es garantizable, transportando los mismos posteriormente hasta el objeto de obra en

ejecución.

4. El estudio de optimización estructural se enmarca solamente en la superestructura

del puente, una vez obtenido los resultados, se podrán generalizar en estas

tipologías ya que su geometría no se modificará dependiendo de la altura ni de su

longitud, no ocurriendo así con la subestructura. (Todas las investigaciones

encontradas lo estudian por separado)

5. Por las investigaciones anteriores se establecen las técnicas heurísticas y

metaheurísticas como las más exactas a aplicar en estudios de optimización

estructural.

6. El CSiBridge está considerado entre las 5 herramientas más potentes en el mundo

para la modelación, análisis y diseño de estructuras de puentes, por lo que su

integración con el MatLab para dar respuesta al problema de optimización ha estado

presente en las investigaciones más recientes encontradas.

7. La aplicación de la API CSiBridge-MatLab reduce la variable tiempo

exponencialmente ya que se evita la necesidad de elaborar más de un modelo

estructural, garantizando con esta herramienta un sólido acoplamiento entre el

algoritmo programado para la optimización y los métodos de análisis y diseño.

8. Las normativas cubanas aplicadas a puentes llegan casi a la década de

confeccionada por lo que se hace necesaria su actualización, es por eso que se


PUENTES 26

emplearán las cargas móviles y el método de introducir la seguridad recomendado

por la ASSHTO.

CAPÍTULO 2. PROCEDIMIENTO AUTOMATIZADO PARA LA OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL

UTILIZANDO LA INTERFAZ API CSIBRIDGE Y LOS RECURSOS DE MATLAB. 27

CAPÍTULO 2. PROCEDIMIENTO AUTOMATIZADO PARA LA

OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL UTILIZANDO LA INTERFAZ API

CSIBRIDGE Y LOS RECURSOS DE MATLAB.

En este capítulo se elabora la formulación completa del problema de optimización

estructural a superestructuras de puentes; se detalla la manera en que se modelará el puente

tipo viga-losa objeto de estudio, se muestran las cargas que serán aplicadas al caso, así

como sus combinaciones para determinar las solicitaciones a que está sometida la

superestructura de dicho puente. Se exponen algunas de las características que presentan

los elementos pretensados y las expresiones para su diseño. Esta formulación consiste en la

elaboración del algoritmo de interfaz entre MATLAB y CSiBridge desarrollado en el

entorno de programación MATLAB para interactuar con el modelo ya creado en CSiBridge

y obtener el diseño más racional en función de la variable costo.

2.1 Procedimiento para la modelación del puente.

La optimización estructural será aplicada a la superestructura de un puente tipo viga-losa de

20 metros de luz y dos vías de tránsito. Por las investigaciones anteriormente desarrolladas

se determina que es de suma complejidad analizar el problema de la optimización de un

puente considerando el conjunto estructural, es por ello que se han desarrollado técnicas

que permiten definir funciones multiobjetivo que además del costo de la superestructura

tienen en cuenta el peso que será la principal incidencia que tendrá la misma en la

subestructura, controlando esto entonces resulta aceptable independizar los elementos y

trabajarlos detalladamente.



2.1.1 Creación del modelo estructural del puente en CSiBridge2017.

El modelo estructural del puente realizado en CSiBridge2017 es creado cumpliendo una

secuencia condicionada por el propio programa abarcando cada una de las invariantes de la

modelación. Los pasos a seguir son:

Unidades de medida: al crear un nuevo modelo se definen primero las unidades de medida

con las que se van a trabajar antes de elaborar el propio modelo mecánico del puente,

aunque posteriormente en el proceso de creación del mismo estas se puedan cambiar.

Fig. 1Ventana de dimensionamiento rápido a puentes CSiBridge.

Esquema general: En esta pestaña se define el eje de lo que será el puente y su longitud,

luego se ubica la posición y dimensión de las vías a transitar. El eje no necesariamente tiene

que ser de la misma longitud del puente, es posible definir un único eje para más de un

puente.



Fig. 2Esquema general CSiBridge

Componentes del puente: La pestaña brinda 3 cualidades que definirán los componentes del

puente; una primera en la que se establecen las propiedades de los materiales y secciones de

los elementos estructurales por independiente; una segunda en la que se define lo que será

la superestructura del puente: tablero, diafragmas, juntas y variaciones que pudiese tener la

geometría; y en una tercera todo lo referente a la subestructura: vínculo al suelo, estribos y

apoyos intermedios.



Fig. 3Ventana de componentes del puente CSiBridge

Cargas actuantes: Primeramente se definen los vehículos y clases de vehículos; luego es

preciso declarar los tipos de cargas; definir los valores de las mismas y actuaciones en el

puente diferenciándolas por la forma en que actúan (puntual, linealmente distribuidas o en

unidades de áreas).

Fig. 4Definición de Cargas CSiBridge



Datos del puente: En esta pestaña se asignan todos los parámetros definidos anteriormente,

tramos de apoyos intermedios, discretización del puente, estribos, apoyos, tendones

pretensados, acero pasivo; es en esta fase donde las cargas antes declaradas se ubican en la

estructura analizada.

Fig. 5Asignación de los datos del puente CSiBridge

Análisis y diseño: En estas dos últimas pestañas se definen y seleccionan los casos de

cargas a utilizar en el análisis, así como las combinaciones de cargas para obtener la

envolvente de las solicitaciones a tener en cuenta para el diseño del puente; también en esta

última se seleccionara el código de diseño que regirá los cálculos realizados por el propio

programa.

Fichero del modelo: Se debe guardar este archivo .bdb en la carpeta de la función que se

creará en MatLab para interactuar con el mismo pues esta carpeta será añadida al directorio

de MatLab. El nombre colocado debe corresponderse a la ruta definida en esta función para

que los comandos de la API declarados abran y operen sobre el modelo.



2.1.2 Cargas actuantes.(Specifications 2004)

En este epígrafe se analizan los requisitos mínimos para cargas y fuerzas aplicadas a

puentes, sus límites de aplicación, factores de carga y combinaciones de cargas usadas para

diseñar los mismos.

2.1.2.1 Cargas y Denominación de las Cargas.

Cargas permanentes

DD = fricción negativa (downdrag), DC = peso propio de los componentes estructurales y

accesorios no estructurales, DW = peso propio de las superficies de rodamiento e

instalaciones para servicios públicos, EH = empuje horizontal del suelo, EL = tensiones

residuales acumuladas resultantes del proceso constructivo, incluyendo las fuerzas

secundarias del postesado, ES = sobrecarga de suelo, EV = presión vertical del peso propio

del suelo de Relleno

Cargas transitorias

BR = fuerza de frenado de los vehículos, CE = fuerza centrífuga de los vehículos, CR =

fluencia lenta, CT = fuerza de colisión de un vehículo, CV = fuerza de colisión de una

embarcación, EQ = sismo , FR = fricción, IC = carga de hielo, IM = incremento por carga

vehicular dinámica, LL = sobrecarga vehicular, LS = sobrecarga viva, PL = sobrecarga

peatonal, SE = asentamiento, SH = contracción, TG = gradiente de temperatura, TU =

temperatura uniforme, WA = carga hidráulica y presión del flujo de agua, WL = viento

sobre la sobrecarga, WS = viento sobre la estructura.

2.1.2.2 Factores de Carga y Combinaciones de Cargas

La solicitación mayorada total se tomará como:

𝑄 = ∑𝜂𝑖𝛾𝑖𝑄𝑖 (Ec. 3.4.1-1 Norma AASHTO)

Los componentes y conexiones de un puente deberán satisfacer la Ecuación 1.3.2.1-1 de la

Norma AASHTO para las combinaciones aplicables de solicitaciones extremas mayoradas

según se especifica para cada uno de los siguientes estados límites:



RESISTENCIA I – Combinación de cargas básica que representa el uso vehicular

normal del puente, sin viento.

RESISTENCIA II – Combinación de cargas que representa el uso del puente por parte

de vehículos de diseño especiales especificados por el Propietario, vehículos de

circulación restringida, o ambos, sin viento.

RESISTENCIA III – Combinación de cargas que representa el puente expuesto a

vientos de velocidades superiores a 90 km/h.

RESISTENCIA IV – Combinación de cargas que representa relaciones muy elevadas

entre las solicitaciones provocadas por las cargas permanentes y las provocadas por las

sobrecargas.

RESISTENCIA V – Combinación de cargas que representa el uso del puente por parte

de vehículos normales con una velocidad del viento de 90 km/h.

EVENTO EXTREMO I – Combinación de cargas que incluye sismos.

EVENTO EXTREMO II – Combinación de cargas que incluye carga de hielo, colisión

de embarcaciones y vehículos, y ciertos eventos hidráulicos con una sobrecarga

reducida diferente a la que forma parte de la carga de colisión de vehículos, CT.

SERVICIO I – Combinación de cargas que representa la operación normal del puente

con un viento de 90 km/h, tomando todas las cargas a sus valores nominales. También

se relaciona con el control de las deflexiones de las estructuras metálicas enterradas,

revestimientos de túneles y tuberías termoplásticas y con el control del ancho de

fisuración de las estructuras de hormigón armado. Esta combinación de cargas también

se debería utilizar para investigar la estabilidad de taludes.

SERVICIO II – Combinación de cargas cuya intención es controlar la fluencia de las

estructuras de acero y el resbalamiento que provoca la sobrecarga vehicular en las

conexiones de resbalamiento crítico.

SERVICIO III – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en

superestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.

SERVICIO IV – Combinación de cargas relacionada exclusivamente con la tracción en

subestructuras de hormigón pretensado, cuyo objetivo es controlar la fisuración.

FATIGA – Combinación de cargas de fatiga y fractura que se relacionan con la

sobrecarga gravitatoria vehicular repetitiva y las respuestas dinámicas bajo un único

camión de diseño con la separación entre ejes especificada en el Artículo 3.6.1.4.1 de la

Norma AASHTO.



Tabla 1Combinaciones de Cargas y Factores de Carga

2.1.2.3 Características de las cargas aplicadas a superestructuras.

2.1.2.3.1 Sobrecarga Vehicular de Diseño

La sobrecarga vehicular sobre las calzadas de puentes o estructuras incidentales, designada

como HL-93, deberá consistir en una combinación de:

Camión de diseño o tandem de diseño, y

Carga de carril de diseño.

Camión de Diseño

Los pesos y las separaciones entre los ejes y las ruedas del camión de diseño serán como se

especifica en la Figura 6. Se deberá considerar un incremento por carga dinámica como se

especifica en el Artículo 3.6.2 de la Norma AASHTO.

A excepción de lo especificado en los Artículos 3.6.1.3.1 y 3.6.1.4.1 de la Norma

AASHTO, la separación entre los dos ejes de 145.000 N se deberá variar entre 4300 y 9000

mm para producir las solicitaciones extremas.



Fig. 6Características del camión de diseño

Tandem de Diseño

El tandem de diseño consistirá en un par de ejes de 110.000 N con una separación de 1200

mm. La separación transversal de las ruedas se deberá tomar como 1800 mm. Se deberá

considerar un incremento por carga dinámica según lo especificado en el Artículo 3.6.2 de

la Norma AASHTO.

Carga del Carril de Diseño

La carga del carril de diseño consistirá en una carga de 9,3 N/mm, uniformemente

distribuida en dirección longitudinal. Transversalmente la carga del carril de diseño se

supondrá uniformemente distribuida en un ancho de 3000 mm. Las solicitaciones debidas a

la carga del carril de diseño no estarán sujetas a un incremento por carga dinámica.

2.1.2.3.2 Incremento por Carga Dinámica: IM

A menos que los Artículos 3.6.2.2 y 3.6.2.3 de la Norma AASHTO permitan lo contrario,

los efectos estáticos del camión o tandem de diseño, a excepción de las fuerzas centrífugas

y de frenado, se deberán mayorar aplicando los porcentajes indicados en la Tabla 2,

incremento por carga dinámica.



El factor a aplicar a la carga estática se deberá tomar como: (1 + IM/100). El incremento

por carga dinámica no se aplicará a las cargas peatonales ni a la carga del carril de diseño.

Tabla 2Incremento por Carga Dinámica, IM.

2.1.2.3.3 Fuerza de Frenado: BR

La fuerza de frenado se deberá tomar como el mayor de los siguientes valores:

25 por ciento de los pesos por eje del camión de diseño o tandem de diseño, o

5 por ciento del camión de diseño más la carga del carril ó 5 por ciento del tandem de

diseño más la carga del carril.

La fuerza de frenado se deberá ubicar en todos los carriles de diseño que se consideran

cargados de acuerdo con el Artículo 3.6.1.1.1 de la Norma AASHTO y que transportan

tráfico en la misma dirección. Se asumirá que estas fuerzas actúan horizontalmente a

una distancia de 1800 mm sobre la superficie de la calzada en cualquiera de las direcciones

longitudinales para provocar solicitaciones extremas. Todos los carriles de diseño deberán

estar cargados simultáneamente si se prevé que en el futuro el puente puede tener tráfico

exclusivamente en una dirección.

2.1.2.3.4 Presión Horizontal del Viento

Se asumirá que las presiones aquí especificadas son provocadas por una velocidad básica

del viento 𝑉𝐵 , de 160 km/h.

Se asumirá que la carga de viento está uniformemente distribuida sobre el área expuesta al

viento. El área expuesta será la sumatoria de las áreas de todos los componentes,

incluyendo el sistema de piso y las barandas, vistas en elevación y perpendiculares a la

dirección de viento supuesta. Esta dirección se deberá variar para determinar las



solicitaciones extremas en la estructura o en sus componentes. En el análisis se pueden

despreciar las superficies que no contribuyen a la solicitación extrema considerada.

Para puentes o elementos de puentes a más de 10.000 mm sobre el nivel del terreno o del

agua, la velocidad de viento de diseño, 𝑉𝐷𝑍 se deberá ajustar de la siguiente manera:

𝑉𝐷𝑍 = 2.5 𝑉0 (𝑉10

𝑉𝐵) ln (

𝑍

𝑍0) (Ec. 3.8.1.1-1 Norma AASHTO)

donde:

𝑉𝐷𝑍= velocidad de viento de diseño a la altura de diseño, Z (km/h)

𝑉10 = velocidad del viento a 10.000 mm sobre el nivel del terreno o sobre el nivel de agua

de diseño (km/h)

𝑉𝐵 = velocidad básica del viento igual a 160 km/h a una altura de 10.000 mm, con la cual se

obtienen las presiones de diseño especificadas en los Artículos 3.8.1.2 y 3.8.2 de la Norma

AASHTO.

Z = altura de la estructura en la cual se están calculando las cargas de viento, medida desde

la superficie del terreno o del nivel del agua, > 10.000 mm

𝑉0 = velocidad friccional, característica meteorológica del viento tomada como se

especifica en la Tabla 1 para diferentes características de la superficie contra el viento

(km/h)

𝑍0 = longitud de fricción del fetch o campo de viento aguas arriba, una característica

meteorológica del viento tomada como se especifica en la Tabla 1 (mm)

Presión del Viento sobre las Estructuras: WS

Si las condiciones locales lo justifican, se puede seleccionar una velocidad básica del viento

de diseño diferente para las combinaciones de cargas que no involucran viento actuando

sobre la sobrecarga. Se asumirá que la dirección del viento de diseño es horizontal, a menos

que el Artículo 3.8.3 de la Norma AASHTO especifique lo contrario. En ausencia de datos

más precisos, la presión del viento de diseño, en MPa, se puede determinar como:



𝑃𝐷 = 𝑃𝐵 (𝑉𝐷𝑍

𝑉𝐵)

2

= 𝑃𝐵𝑉𝐷𝑍

2

25600 (Ec. 3.8.1.2.1-1 Norma AASHTO)

𝑃𝐵 = presión básica del viento especificada en la Tabla 1 (MPa)

La carga de viento total no se deberá tomar menor que 4,4 N/mm en el plano de un cordón

a barlovento ni 2,2 N/mm en el plano de un cordón a sotavento de un componente

reticulado o en arco, ni se deberá tomar menor que 4,4 N/mm en componentes de vigas o

vigas cajón.

2.1.2.3.5 Presión Vertical del Viento

A menos que el Artículo 3.8.3 de la Norma AASHTO determine lo contrario, se deberá

considerar una fuerza de viento vertical ascendente de 9,6 x 10 -4 MPa por el ancho del

tablero, incluyendo los parapetos y aceras, como una carga lineal longitudinal. Esta fuerza

se deberá aplicar sólo para los estados límites que no involucran viento actuando sobre la

sobrecarga, y sólo cuando la dirección del viento se toma perpendicular al eje longitudinal

del puente. Esta fuerza lineal se deberá aplicar en el punto correspondiente a un cuarto del

ancho del tablero a barlovento juntamente con las cargas de viento horizontales

especificadas en el Artículo 3.8.1 de la Norma AASHTO.

2.2 Características en el diseño de la sección de hormigón pretensado.

2.2.1 Límites para la Tensión en los Tendones de Pretensado

La tensión en los tendones debida al pretensado o en el estado límite de servicio no deberá

ser mayor que los siguientes valores:

• Los valores especificados en la Tabla 3, o

• Los valores recomendados por el fabricante de los tendones o anclajes.

La tensión en los tendones en los estados límites de resistencia y evento extremo no deberá

ser mayor que el límite de resistencia a la tracción especificado en la Tabla 5.4.4.1-1 de la

Norma AASHTO.



Tabla 3Límites de tensión para los tendones de pretensado

2.2.2 Límites para la tensión en el hormigón

2.2.2.1 Tensiones antes de las Pérdidas.

Tensiones de Compresión.

El límite para la tensión de compresión en los elementos de hormigón pretensado y

postesado, incluyendo los puentes construidos por segmentos, será de 0,60 f'ci (MPa).

Tensiones de Tracción.

Para las tensiones de tracción se deberán aplicar los límites indicados en la Tabla 4.



Tabla 4Límites para la tensión de tracción en el hormigón antes de las pérdidas

2.2.2.2 Tensiones en estado límite de Servicio después de las Pérdidas.

Tensiones de Compresión

La compresión se deberá investigar utilizando la Combinación de Cargas para Estado

Límite de Servicio I especificada en la Tabla 3.4.1-1 de la Norma AASHTO. Se aplicarán

los límites indicados en la Tabla 5.

El factor de reducción, φw, se deberá tomar igual a 1,0 si las relaciones de esbeltez de las

almas y alas, calculadas de acuerdo con el Artículo 5.7.4.7.1 de la Norma AASHTO, son

menores o iguales que 15. Si la relación de esbeltez del alma o el ala es mayor que 15, el

factor de reducción, φw, se deberá calcular de acuerdo con el Artículo 5.7.4.7.2 de dicha

norma.



Tabla 5Límites para la tensión de compresión en el hormigón después de las pérdidas.

Tensiones de Tracción

Para las combinaciones de cargas de servicio que involucran cargas de tráfico, las tensiones

de tracción en los elementos que tienen tendones de pretensado adherentes o no adherentes

se deberían investigar utilizando la Combinación de Cargas para Estado Límite de Servicio

III especificada en la Tabla 3.4.1-1 de la Norma AASHTO. Se aplicarán los límites

indicados en la Tabla 6.



Tabla 6Límites para la tensión de tracción en el hormigón pretensado en E.L. de Servicio después de las pérdidas.

2.2.3 Análisis de la etapa elástica en el hormigón pretensado.

Transferencia del pretensado

Corresponde esta fase a la combinación de la fuerza inicial Po sobre la sección

prefabricada, y la carga complementaria en la etapa, generalmente el peso propio,

representada por el momento flector 𝑀𝑜, como se ilustra en la figura 7. La sección

resistente es la que corresponde a la viga prefabricada. (Hernández J 2013)

Las tensiones originadas por el pretensado vienen dadas, por las siguientes expresiones:

𝑓𝑐𝑜𝑖 =𝑃𝑜

𝐴𝑐1−

𝑃𝑜 ∙ 𝑒𝑜1

𝑊1

𝑓𝑐𝑜𝑖′ =

𝑃𝑜

𝐴𝑐1+


𝑊1′

Debiéndose cumplirse que:



𝑓𝑐1 = 𝑓𝑐𝑜𝑖 +𝑀𝑜

𝑊1=

𝑃𝑜

𝐴𝑐1−


𝑊1+

𝑀𝑜

𝑊1≥ 𝑅1

𝑓𝑐1′ = 𝑓𝑐𝑜𝑖

′ −𝑀𝑜

𝑊1′ =

𝑃𝑜

𝐴𝑐1+


𝑊1′ −

𝑀𝑜

𝑊1′ ≤ 𝑅2

El análisis de esta hipótesis de carga es similar al que se aplica para las secciones no

compuestas.

Fig. 7Diagrama de esfuerzos en la transferencia. Sección prefabricada.

Colocación de la losa complementaria

Tratándose de un elemento pretensado fabricado en planta, puede esperarse que transcurra

un tiempo prolongado entre su fabricación y puesta en obra, permitiendo estimar, si esto

sucede, que se han desarrollado ya las pérdidas diferidas y la fuerza de pretensado es la

efectiva (𝑃𝑒). Por otro lado la sección resistente continúa siendo la que corresponde a la

viga prefabricada, solo que ahora la carga se incrementa significativamente debido al peso

muerto del hormigón que se está colocando, y a la carga constructiva que se deriva del

proceso tecnológico de colocación, carga que puede variar en dependencia de la tecnología

que se utilice. Si se llama 𝑀𝑑 a la suma del momento asociado al peso propio del elemento

prefabricado (𝑀𝑜), del momento 𝑀𝑐1 provocado por la carga muerta del hormigón

colocado (𝑞𝑐 = 𝑤𝑐ℎ𝑐𝑙1), y del momento 𝑀𝑐2 asociado a la carga constructiva (puede

encontrarse entre 1 𝑘𝑁 𝑚2⁄ 𝑦 2 𝑘𝑁 𝑚2⁄ en obras sociales), entonces las tensiones que

tienen lugar en las fibras extremas de la sección resistente para esta fase son las que se

muestran en la figura 8. (Hernández J 2013)



Fig. 8Diagrama de esfuerzos en la fase de ejecución de la losa.

En este caso las tensiones originadas por el pretensado y la carga exterior son temporales

(𝑓𝑐1𝑡, 𝑓𝑐1𝑡′ ), y se evalúan a partir de las siguientes expresiones:

𝑓𝑐1𝑡 =𝑃𝑒

𝐴𝑐1−

𝑃𝑒 ∙ 𝑒𝑜1

𝑊1+

𝑀𝑑

𝑊1

𝑓𝑐1𝑡′ =

𝑃𝑒

𝐴𝑐1+


𝑊1′ −

𝑀𝑑

𝑊1′

Siendo:

𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 + 𝑀𝑐1 + 𝑀𝑐2

Y debe cumplirse en este caso que:

𝑓𝑐1𝑡 ≤ 𝑅3

Etapa de servicio.

Al completarse en obra la sección compuesta luego de fabricarse la losa hormigón, y una

vez que el mismo haya adquirido su resistencia, los esfuerzos que surgen en la nueva

sección bajo las cargas de servicio son radicalmente diferentes a los que se originaron en la

sección prefabricada durante la fase anterior, diferencia que puede apreciarse en la figura 9.

Considérese que la totalidad de la sobrecarga provocada por el resto de las acciones

permanentes y temporales, originan el momento 𝑀𝑎𝑏, mientras que el momento provocado

solo por la carga de larga duración (𝐷 + 𝐿𝑙𝑑) es 𝑀𝑎𝑎. Es evidente que ambos son resistidos

por la sección compuesta con sus nuevas características geométricas, y en ellos no se



incluye ni el peso propio de la viga prefabricada, como tampoco el peso de la losa de

hormigón. En este análisis el momento 𝑀𝑑 no incluye la carga de ejecución, solo el peso

propio de la viga prefabricada y de la losa hormigonada “in situ”. (Hernández J 2013)

Fig. 9Diagrama de esfuerzos en la etapa de servicio. Sección compuesta.

En la figura 9 los momentos exteriores (𝑀𝑑 + 𝑀𝑎𝑎) y (𝑀𝑑 + 𝑀𝑎𝑏) son excluyentes, o sea,

actúa uno de ellos según sea la hipótesis de carga que se esté analizando, y en función de

ello la tensión límite debe ser comparada con la que tiene lugar a nivel de la fibra superior

de la sección:

Estado [2]a: Carga: 𝐷 + 𝐿𝑙𝑑 Momento: 𝑀𝑎𝑎 Tensión Límite: 𝑅3

Estado [2]b: Carga: 𝐷 + 𝐿 Momento: 𝑀𝑎𝑏 Tensión Límite: 𝑅4

Siendo así, las tensiones que tienen lugar en las fibras extremas de la sección compuesta son:

Fibra extrema inferior:

𝑓𝑐2𝑏′ = 𝑓𝑐𝑜

′ −𝑀𝑑

𝑊1′ −

𝑀𝑎𝑏

𝑊2′ =

𝑃𝑒

𝐴𝑐1+


𝑊1′ −

𝑀𝑑

𝑊1′ −

𝑀𝑎𝑏

𝑊2′ ≥ 𝑅5

𝑃𝑒 (1

𝐴𝑐1+

𝑒𝑜1

𝑊1′) −

𝑀𝑑

𝑊1′ −

𝑀𝑎𝑏

𝑊2′ ≥ 𝑅5

Y finalmente puede expresarse:



𝑃𝑒 = 𝛼𝑃𝑜 ≥𝑀𝑑 + 𝑀𝑎𝑏 (

𝑊1′

𝑊2′) + 𝑅5𝑊1

′

(𝑒𝑜1 +𝑊1

′

𝐴𝑐1)

Fibra extrema superior:

Como se ilustra en la figura 9 el esfuerzo en la fibra superior de la sección dependerá de la

Hipótesis de carga que se desee considerar:

Estado [2]a: Carga: 𝐷 + 𝐿𝑙𝑑

𝑓𝑐2𝑏 =𝑀𝑎𝑎

𝑊2≤ 𝑅3

Estado [2]b: Carga: 𝐷 + 𝐿

𝑓𝑐2𝑏 =𝑀𝑎𝑏

𝑊𝑐≤ 𝑅4

En la interface entre la sección prefabricada y la losa “in situ” puede surgir un esfuerzo

superior al anterior, por lo que también debe ser comprobado dentro de las dos hipótesis de

carga:

Estado [2]a: Carga: 𝐷 + 𝐿𝑙𝑑

𝑓𝑐2𝑏(𝑥) =𝑃𝑒

𝐴𝑐1−


𝑊1+

𝑀𝑑

𝑊1+

𝑀𝑎𝑎

𝐼2

(𝑣2 − ℎ𝑐) ≤ 𝑅3

𝑃𝑒 = 𝛼𝑃𝑜 ≥𝑀𝑑 + 𝑀𝑎𝑎 (

𝑣2 − ℎ𝑐

𝐼2) 𝑊1 − 𝑅3𝑊1

(𝑒𝑜1 −𝑊1

𝐴𝑐1)

Estado [2]b: Carga: 𝐷 + 𝐿

𝑓𝑐2𝑏(𝑥) =𝑃𝑒

𝐴𝑐1−


𝑊1+

𝑀𝑑

𝑊1+

𝑀𝑎𝑏

𝐼2

(𝑣2 − ℎ𝑐) ≤ 𝑅4



𝑃𝑒 = 𝛼𝑃𝑜 ≥𝑀𝑑 + 𝑀𝑎𝑏 (

𝑣2 − ℎ𝑐

𝐼2) 𝑊1 − 𝑅4𝑊1

(𝑒𝑜1 −𝑊1

𝐴𝑐1)

2.2.4 Metodología de cálculo para determinar el área de acero pretensado.

Una vez calculadas las distintas fuerzas efectivas de pretensado en la etapa de servicio

necesarias para que la sección prefabricada soporte las solicitaciones a que está sometida,

se selecciona la mayor de todas; esta es la que condiciona la cantidad de tendones a aplicar.

𝑛𝑏 =𝑃𝑒

0.6𝑓𝑝𝑢∗𝐴𝑏

𝐴𝑝𝑠 = 𝑛𝑏 ∗ 𝐴𝑏

Con la fuerza con que se determinó el área de acero pretensado será necesario chequear las

tensiones en la transferencia del pretensado y verificar que estén por debajo de los límites

permisibles para el hormigón tanto a tracción como a compresión.

2.2.5 Chequeo a flexión de la viga I pretensada.

El enfoque de LRFD para el diseño de elementos pretensados está basado en los valores de

tensión límite y controla la proporción de la profundidad de la línea neutra c, y la

profundidad efectiva 𝑑𝑒 (Ref. 12.14-12.16). Este enfoque es variable, nombrado como un

enfoque unificado aplicable al diseño de hormigón armado, pretensado, y parcialmente

pretensado en su estado límite último (…) La alternativa de LRFD permite un enfoque de

diseño racional, requiere aplicar los límites de tensión unificando el procedimiento.

(Edward G. Nawy)

2.2.5.1 Tensión en el Acero de Pretensado a la Resistencia Nominal a la Flexión.

Elementos con Tendones Adherentes

Para secciones rectangulares o con alas solicitadas a flexión respecto de un eje para las

cuales se utiliza la distribución de tensiones aproximada especificada en el Artículo 5.7.2.2

de la Norma AASHTO y para las cuales 𝑓𝑝𝑒 es mayor o igual que 0,5𝑓𝑝𝑢 , la tensión media

en el acero de pretensado, 𝑓𝑝𝑠 , se puede tomar como:



𝑓𝑝𝑠 = 𝑓𝑝𝑢(1 − 𝑘𝑐

𝑑𝑝) (Ec. 5.7.3.1.1-1 Norma AASHTO)

siendo:

𝑘 = 2(1,04 −𝑓𝑝𝑦

𝑓𝑝𝑢) (Ec. 5.7.3.1.1-2 Norma AASHTO)

para comportamiento de sección Te:

𝑐 =𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑢+𝐴𝑠𝑓𝑦−𝐴𝑠

′ 𝑓𝑦′−0.85𝛽1𝑓𝑐

′(𝑏−𝑏𝑤)ℎ𝑓

0.85𝑓𝑐′𝛽1𝑏𝑤+𝑘𝐴𝑝𝑠

𝑓𝑝𝑢

𝑑𝑝

(Ec 5.7.3.1.1-3 Norma AASHTO)

para comportamiento de sección rectangular:

𝑐 =𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑢+𝐴𝑠𝑓𝑦−𝐴𝑠

′ 𝑓𝑦′

0.85𝑓𝑐′𝛽1𝑏+𝑘𝐴𝑝𝑠

𝑓𝑝𝑢

𝑑𝑝

(Ec 5.7.3.1.1-4 Norma AASHTO)

donde:

𝐴𝑝𝑠 = área del acero de pretensado (mm 2), 𝑓𝑝𝑢 = resistencia a la tracción especificada del

acero de pretensado (MPa), 𝑓𝑝𝑦= tensión de fluencia del acero de pretensado (MPa), 𝐴𝑠=

área de la armadura de tracción de acero no pretensado (mm 2), 𝐴𝑠′ = área de la armadura

de compresión (mm 2), 𝑓𝑦= tensión de fluencia de la armadura de tracción (MPa), 𝑓𝑦′ =

tensión de fluencia de la armadura de compresión (MPa), 𝑏 = ancho del ala comprimida

(mm), 𝑏𝑤 = ancho del alma (mm), ℎ𝑓 = altura del ala comprimida (mm), 𝑑𝑝 = distancia

entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de los tendones de pretensado (mm), 𝑐 =

distancia entre el eje neutro y la cara comprimida (mm), 𝛽1 = factor para el diagrama de

tensiones.

2.2.5.2 Resistencia a la Flexión

Resistencia a la Flexión Mayorada

La resistencia a la flexión mayorada 𝑀𝑟 se deberá tomar como:

𝑀𝑟 = 𝜑𝑀𝑛 (Ec 5.7.3.2.2-1 Norma AASHTO)



donde:

𝑀𝑛 = resistencia nominal (N ∗ mm), 𝜑 = factor de resistencia

Coeficiente Modificador de la Resistencia.

El coeficiente reductor de la capacidad portante de la sección se determina en función del

tipo de solicitación que se evalúe y se exponen en la tabla 7:

Tabla 7Coeficiente reductor de la capacidad portante de la sección, ϕ

TIPO DE SOLICITACIÓN 𝝓

Secciones en tracción controlada en hormigón armado 0,90

Secciones en tracción controlada en hormigón pretensado 1,00

Cortante y torsión:

hormigón de densidad normal

hormigón de baja densidad

0,90

0,80

Secciones en compresión controlada con espirales o zunchos* 0,75

Apoyo sobre hormigón 0,70

Compresión en modelos de bielas y tirantes 0,70

Compresión en zonas de anclaje:

hormigón de densidad normal

hormigón de baja densidad

0,80

0,65

Tracción en el acero en las zonas de anclaje 1,00

Resistencia durante el hincado de pilotes 1,00

* Excepción de lo especificado para Zonas Sísmicas en el estado límite

correspondiente a evento extremo.

Las secciones en tracción controlada tienen como característica que la deformación del

acero más traccionado sobrepasa el valor de 0,005. Como acero más traccionado se

entiende aquel refuerzo situado más cerca del borde sometido a los esfuerzos de tracción



mayor, como se indica en la figura 10. Puede observarse como para la deformación de

dicho refuerzo, εt, que está colocada a dt del borde de la sección más comprimido, es mayor

que la del tendón resultante, εp2, a dp del borde más comprimido. Considerar esta última

deformación para clasificar el comportamiento de la sección es conservador, aunque es un

procedimiento empleado dado su simplicidad. (Hernández J 2013)

La frontera de la tracción controlada se encuentra entonces a:

𝜀𝑝2 = 0,005 y 𝑐 = 0,375𝑑𝑝

Fig. 10Acero más traccionado

Las secciones en compresión controlada están limitadas por el fallo balanceado definido

por la deformación de fluencia del refuerzo. Como se sabe en el caso del acero pretensado

no existe escalón de fluencia y por tanto tampoco puede establecerse una deformación de

fluencia como se hace para el refuerzo ordinario, por tanto el fallo balanceado se reconoce

cuando:

𝜀𝑝2 = 0,002 y 𝑐 = 0,6𝑑𝑝

Para deformaciones entre 0,002 y 0,005 las secciones están en la zona de transición y se

admite una variación lineal de ϕ en función de la deformación como se ilustra en la figura

11. Lo más práctico es proponer las ecuaciones en función de la profundidad de la línea

neutra, las que quedarían de la forma siguiente:

Para hormigón pretensado: 𝜙 = 0,583 + 83,33𝜀𝑝2 𝜙 = 0,333 +0,25

𝑐

𝑑𝑝

Para hormigón armado : 𝜙 = 0,65 + 50𝜀𝑝2 𝜙 = 0,5 +0,15

𝑐

𝑑𝑝



Fig. 11Variación de ϕ en la zona de transición.

Secciones con Alas

Para las secciones con alas solicitadas a flexión respecto de un eje o a flexión biaxial con

carga axial como se especifica en el Artículo 5.7.4.5 para las cuales se utiliza la

distribución de tensiones aproximada especificada en el Artículo 5.7.2.2 y los tendones

son adherentes, y si la altura del ala comprimida es menor que c, según lo determinado de

acuerdo con la Ecuación 5.7.3.1.1-3 de la Norma AASHTO, la resistencia nominal a la

flexión se puede tomar como:

𝑀𝑛 = 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑠 (𝑑𝑝 −𝑎

2) + 𝐴𝑠𝑓𝑦 (𝑑𝑠 −

𝑎

2) − 𝐴′

𝑠𝑓′𝑦

(𝑑′𝑠 −

𝑎

2) + 0.85𝑓′𝑐(𝑏 − 𝑏𝑤)𝛽1ℎ𝑓 (

𝑎

2−

ℎ𝑓

2) (Ec 5.7.3.2.2-1 Norma AASHTO)

donde:

𝐴𝑝𝑠= área del acero de pretensado (mm 2), 𝑓𝑝𝑠 = tensión media en el acero de pretensado a

la resistencia nominal a la flexión, 𝑑𝑝 = distancia entre la fibra extrema comprimida y el

baricentro de los tendones de pretensado (mm), 𝐴𝑠= área de la armadura de tracción no

pretensada (mm 2), 𝑓𝑦 = tensión de fluencia especificada de las barras de armadura (MPa),

𝑑𝑠 = distancia entre la fibra extrema comprimida y el baricentro de la armadura de tracción

no pretensada (mm), 𝐴′𝑠 = área de la armadura de compresión (mm 2), 𝑓′

𝑦 = tensión de

fluencia especificada de la armadura de compresión (MPa), 𝑑′𝑠= distancia entre la fibra



extrema comprimida y el baricentro de la armadura de compresión (mm), 𝑓′𝑐= resistencia a

la compresión especificada del hormigón a 28 días, a menos que se especifique una edad

diferente (MPa), 𝑏 = ancho de la cara comprimida del elemento (mm), 𝑏𝑤 = ancho de alma

o diámetro de una sección circular (mm), 𝛽1= factor para el diagrama de tensiones, ℎ𝑓 =

altura del ala comprimida de un elemento de sección Te o doble Te (mm), 𝑎 = 𝑐 ∗ 𝛽1;

altura del diagrama de tensiones equivalente (mm).

2.3 Formulación para la obtención del modelo de puente optimizado empleando la

interfaz API CSiBridge-MATLAB.

Con el modelo del puente creado en el CSiBridge siguiendo la metodología antes expuesta,

se elabora un algoritmo matemático basado en las funciones de la API, en la plataforma del

MATLAB, que con dichas funciones permitirá la comunicación entre estos dos programas,

entendiendo que el modelo del CSiBridge trabajará como una aplicación externa del propio

MATLAB. El modelo mecánico del puente también pudiese elaborarse desde el mismo

editor de MATLAB siguiendo los comandos que la API dispone para ello.

2.3.1 Elección del criterio de optimización.

En función de la necesidad que tenga el investigador, será posible aplicar infinitos criterios

de optimización a la estructura estudiada. Por los resultados de los trabajos anteriormente

analizados se pudo definir que para este tipo de estructura uno de los elementos que no

puede faltar en la optimización es el costo, ya que de este dependerá qué tan factible sea la

obra a ejecutar. Por las condiciones actuales del país es indispensable que este estudio valla

dirigido a hacer lo más económica posible la obra, de ahí que se eligió como criterio la

minimización del costo total de la superestructura del puente; para ello será necesario

encontrar la combinación de variables que cumpliendo con las restricciones impuestas

permitan como resultado final la estructura que presente el costo mínimo.

2.3.2 Procedimiento para dar solución al problema.

La metodología general para solucionar el problema planteado se inicia con la modelación

del puente en el programa CSiBridge; posteriormente en el MatLab se programa con las

funciones expuestas en la API una secuencia que primeramente modifica las dimensiones



iniciales del modelo, luego corre el análisis para así ejecutar el diseño; los resultados se

exportan hasta el propio MatLab donde se verifica que cumplan con las condiciones

planteadas; de ser cumplidas se calcula el costo mínimo por la función objetivo, de no

cumplirse las condiciones se volverá a modificar las dimensiones del modelo. Este proceso

será iterativo hasta que se encuentre el mínimo de la función objetivo. En la figura se

muestra un diagrama de flujo donde es representado de manera muy general cada paso

necesario para dar solución al problema de optimización.

Fig. 12Diagrama de flujo para dar solución al problema de optimización.



2.3.3 Definición de la función objetivo.

Al definir la función objetivo se expone de manera unívoca y con precisión la comprensión

del concepto; en esta se determinan las cualidades esenciales del tema implicado. Para el

caso objeto de estudio, las cualidades que permitirán desarrollar la misma serán los costos

de las vigas pretensadas y la losa superior del tablero.

𝐶𝑠 = 𝑐𝑣𝑖𝑔𝑎 + 𝑐𝑙𝑜𝑠𝑎

donde:

Cs: Costo total de la superestructura $

𝑐𝑣𝑖𝑔𝑎: Sumatoria de los costos de las vigas pretensadas $

𝑐𝑙𝑜𝑠𝑎: Costo de la losa superior del tablero $

𝑐𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑐ℎ + 𝑐𝑎𝑝 + 𝑐𝑐

chv: Costo del hormigón en vigas

cap: Costo del acero pretensado

cc: Costo del refuerzo transversal

𝑐𝑙𝑜𝑠𝑎 = 𝑐ℎ𝑙 + 𝑐𝑟𝑙

chl: Costo del hormigón en losa

crl: Costo del refuerzo longitudinal en losa

2.3.4 Identificación de las restricciones.

En el problema a desarrollar, la imposición de restricciones condicionará el proceso de

optimización de la función objetivo con respecto a algunas variables. Las restricciones

pueden estar condicionando tanto a las variables independientes como al conjunto que

compone el modelo; siempre que estas restricciones no se cumplan, la función objetivo será

penalizada.



Entre las restricciones que condicionan el diseño de los elementos se aplican: la demanda

de las cargas actuantes entre la capacidad de la estructura; los intervalos de las variables

independientes, los cuales están condicionados por los valores mínimos o máximos

establecidos en las normativas; los límites de tensión tanto para los tendones como el

hormigón en las dos etapas (transferencia del pretensado y servicio); los valores límites de

deflexión.

2.3.5 Elección de las variables.

En matemáticas una variable es un símbolo constituyente de una fórmula o algoritmo; la

misma puede ser utilizada en un proceso repetitivo: asignándosele un valor en un sitio, ser

luego utilizada en otro, más adelante reasignársele un nuevo valor para más tarde utilizarla

de la misma manera, procedimientos conocidos con el nombre de iteración.

2.3.5.1 Variables independientes y variables dependientes

En una expresión matemática, por ejemplo una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), el símbolo x representa a

la variable independiente, y el símbolo y representa a la variable dependiente. Se define

variable independiente como un símbolo x que toma diversos valores numéricos dentro de

un conjunto de números específicos y que modifica el resultado o valor de la variable

dependiente.

Para dar solución al problema que se plantea, se eligieron 4 variables independientes:

Peralto de la viga pretensada.

Ancho del ala inferior de la viga pretensada

Número de vigas interiores en la sección del tablero.

Espesor de la losa superior del tablero.

Como principales variables dependientes:

Área de acero pretensado.

Área de refuerzo ordinario en losa

zim://A/F%C3%B3rmula_%28expresi%C3%B3n%29.html

zim://A/Algoritmo.html

zim://A/Iteraci%C3%B3n.html

zim://A/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica.html



Las variables expuestas tienen relación directa entre sí para determinar la resistencia de la

estructura, cuando aumenten algunas, otras disminuirán y mediante el proceso de cálculo se

podrá definir que variante será la más racional.

2.3.6 Declaración de los parámetros asignados.

Los parámetros asignados estarán definidos en función del objeto de obra a analizar y son

los que no se modificaran bajo ninguna situación (serán constantes). Para el caso presente

se toman dimensiones equivalentes a los puentes construidos hoy en la cayería norte: ancho

del puente, longitud, cantidad de carriles y ancho de los mismos; cargas de barandas,

viento, vehiculares, por el asfalto, etc.; resistencia del acero, diámetros disponibles y

resistencia del hormigón utilizado.

2.3.7 Método de optimización

Por los trabajos anteriormente estudiados se pudo determinar que las técnicas heurísticas y

metaheurísticas son las más potentes a la aplicación en la optimización estructural. Dentro

de las mismas, con la computación evolutiva y específicamente con los Algoritmos

Genéticos se pudieron obtener resultados más exactos en problemas donde la función

objetivo es el costo. El propio MatLab dentro de su biblioteca tiene implementada la

programación completa de lo que se define como Algoritmos Genéticos, pudiéndose aplicar

sin mucha complejidad en el problema analizado.

Fig. 13Interfaz gráfica de Algoritmos Genéticos en MATLAB.



2.3.7.1 Definición

Los Algoritmos Genéticos son un tipo de algoritmo de búsqueda heurística inspirados en la

genética y la selección natural enunciada por el naturalista inglés Charles Darwin en el libro

“The Origin of Species by Means of Natural Selection Or the Preservation of Favoured

Races in the Struggle for Life” (El Origen de las Especies). Según esta teoría los individuos

más aptos de una población son los que sobreviven al adaptarse más fácilmente a los

cambios que se producen en su entorno.(Zaforteza 2009)

Fig. 14Diagrama de flujo de un Algoritmo Genético básico.



Los mecanismos de búsqueda de los Algoritmos Genéticos se basan en la genética y la

selección natural. Combinan el concepto de supervivencia artificial de los individuos más

adaptados (o aptos) con operadores genéticos imitados de la naturaleza como el cruce o la

mutación. Los Algoritmos Genéticos difieren de los métodos tradicionales de optimización

de varias formas: (Sánchez Caballero 2012)

Utilizan funciones de objetivo para determinar la aptitud del individuo (punto del

dominio) a evaluar, no derivadas u otro tipo de información adicional. Los

Algoritmos Genéticos son ciegos.

No trabajan con las variables de diseño, sino con una codificación de estas.

Utilizan un conjunto de puntos del dominio en contraposición con los métodos

tradicionales que se basan en un único punto. Esto se traduce en que en cada

iteración los Algoritmos Genéticos procesan y evalúan un determinado número de

diseños.

Utilizan reglas u operadores estocásticos en lugar de las tradicionales reglas

determinísticas.

Existe la certeza matemática de que el algoritmo es capaz de obtener siempre un

óptimo global, si no existe una limitación temporal en el cálculo.

La principal cualidad de este tipo de algoritmo es su robustez y el equilibrio entre eficiencia

y eficacia en la determinación de puntos óptimos. Esto les permite ser aplicados, con ciertas

restricciones, a un amplio abanico de problemas de optimización. También los hace ideales

cuando la búsqueda tiene lugar en entornos altamente cambiantes (p.e. la función objetivo

varía con el tiempo) o altamente restringidos, donde las restricciones suelen ser

contrapuestas entre sí. (Sánchez Caballero 2012)

Cualquier Algoritmo Genético, independientemente del problema planteado, está

compuesto por los siguientes cuatro componentes:

Una representación de las potenciales soluciones del problema.

Un método para crear la población inicial de posibles soluciones.

Una función de evaluación que juega el papel de medio calificando las soluciones

en base a su fitness.



Operadores genéticos que alteran la composición de los hijos.


1. La modelación del puente por el CSI Bridge permite obtener los momentos flectores

actuantes sobre la superestructura para las combinaciones de carga seleccionadas

con alta confiabilidad. En este proceso es decisiva la correcta aplicación de las

cargas y definición de los componentes del puente. El software no brinda suficientes

herramientas para el diseño de la sección pretensada, garantizando únicamente su

chequeo.

2. Se aplicará el procedimiento para determinar la seguridad de la AASHTO. Los

estados de carga evaluados son: Resistencia I, Servicio I y Servicio III.

3. En el agotamiento se aplicarán los coeficientes reductores explicados en el epígrafe

2.2.5.2.

4. El costo mínimo de la estructura se analiza a corto plazo, por lo que no se tiene en

cuenta las reparaciones necesarias a lo largo de su vida útil.

5. Se definieron cuatro variables independientes (peralto de la viga pretensada, ancho

del ala inferior de la viga pretensada, número de vigas interiores en la sección del

tablero, espesor de la losa superior del tablero) y 2 dependientes (área de acero

pretensado, área de refuerzo ordinario en losa) que influyen directamente en la

capacidad del puente a resistir las solicitaciones actuantes.

CAPÍTULO 3. APLICACIÓN A PUENTE DE 20M CON DOS VIAS DE CIRCULACIÓN. 60

CAPÍTULO 3. APLICACIÓN DEL ALGORITMO A PUENTE DE

20M CON DOS VIAS DE CIRCULACIÓN.

En el presente capítulo se detallan cada una de las herramientas que fueron utilizadas para

dar solución al problema planteado. Se comienza con la modelación de las distintas

variantes de puentes (variando la cantidad de vigas interiores), tomando como referencia

los puentes de viga postesada construidos hoy en la cayería norte; posteriormente se

enumeran las funciones de la API aplicadas para la extracción y modificación de datos del

propio modelo del puente para confeccionar el algoritmo de optimización, posibilitando

finalmente analizar los resultados obtenidos y llegar a criterios económicos de

predimensionamiento para estructuras con geometrías similares.

Fig. 15Tramo 20m puente viga postesada.

3.1 Modelación del puente.

Uno de los objetivos de la investigación es determinar si la superestructura de costo

mínimo es también la que mejor % de optimización estructural presente, de ello dependerá

la flexibilidad del tablero; la que está condicionada por las características del mismo. Para

ello se modifica en el propio algoritmo las dimensiones de la sección transversal de las

vigas, espesor de la losa superior y el área de acero pretensado, pero para cambiar el

número de vigas interiores del tablero será preciso hacer modelos independientes a los que

se les variarán los parámetros antes mencionados.


Entre los datos asignados, el eje del puente, la cantidad y ancho de los carriles de

circulación, fueron los primeros en tener incidencia. Se definió un eje de 20m y dos carriles

de 3.75m cada uno.

Para definir el tablero se creó un hormigón de 35Mpa y G40 como acero ordinario, dicho

tablero tiene un ancho total de 12.5m; las vigas interiores varían en función de la variante

estudiada. (Ver figura 16)

Fig. 16Tablero de puente 20m de longitud, 12.5m de ancho y dos vías de circulación.

Entre las cargas aplicadas resultaron: carga del asfalto con una magnitud de 1.35kN/m2, las

defensas con 2.95kN/m, el frenado 162.5kN y el viento con 12kN/m. Cada uno de estos

valores fueron calculados como se explica en el epígrafe 2.1.2.3 del Capítulo anterior.

Como carga móvil se tuvo en cuenta el vehículo HL-93K (camión de diseño) y el HL-93M

(tándem de diseño) con sus respectivos coeficientes de impacto por carga dinámica.


Fig. 17Carga asfáltica.

Fig. 18Carga de defensas.

Fig. 19Carga de frenado.


Fig. 20Carga de viento.

En total se realizan cinco modelos que van desde el actual (modelo base) con 7 vigas

interiores hasta el mínimo definido por la norma con 3 vigas interiores.

En los cinco modelos una incógnita a considerar es la densidad del mayado a utilizar, de

manera que arrojen los resultados correctos sin llegar a tener un modelo innecesariamente

costoso para la máquina que lo procesa. Las sensibilidades de los resultados de

desplazamiento se analizaron en casos extremos, donde en función de los resultados y su

variación se establecería un mallado capaz de cubrir las necesidades de todos los modelos.

A continuación se muestran los resultados.

Fig. 21Análisis de sensibilidad tablero de 3 vigas interiores.

0.0205

0.021

0.0215

0.022

0.0225

0.023

0.0235

0.024

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

De

spla

zam

ien

tos

en

Z

Cantidad de tramos en la dirección de X

TABLERO CON SECCION DE 5 VIGAS


Fig. 22Análisis de sensibilidad tablero de 7 vigas interiores.

Como se puede observar en las figuras 26 y 27 el modelo comienza a converger a partir 24

tramos dentro de los 20m para los dos casos, esto condiciona elementos finitos de 0.83m de

longitud paralela al eje del puente, por lo que se decide trabajar en los cinco modelos con

un mallado de 0.83m que es el más ligero de los que convergen en la solución.

Fig. 23Mallado del tablero.

Con la correcta modelación de los cinco modelos y el mallado adecuado, estos se guardan

en una carpeta en el escritorio quedando listos para interactuar con el MatLab y comenzar

con el proceso de optimización estructural.

0.0114

0.0116

0.0118

0.012

0.0122

0.0124

0.0126

0.0128

0.013

0.0132

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

DES

PLA

ZAM

IEN

TOS

EN Z

CANTIDAD DE TRAMOS EN LA DIRECCIÓN DE X

tablero con Seccion de 9 vigas


3.2 Algoritmo de optimización estructural. Funciones de la API utilizadas para la

obtención de las solicitaciones y modificación de los parámetros estructurales.

Una vez elaborado el modelo de puente en el CSiBridge se procede a la programación en

MatLab, donde se escribirán todas las funciones que permiten relacionar ambos programas,

así como la modificación y diseño de los elementos estructurales.

Para dar solución al problema de optimización se aplicaron las siguientes funciones,

obtenidas en la Ayuda del CSiBridge, con las que a partir de la secuencia expuesta se pudo

determinar el modelo óptimo.

1. Primeramente resulta preciso escribir la ruta del ejecutable de la aplicación, ubicada en la

carpeta de instalación.

ProgramPath = 'C: \Program Files\Computers and Structures\CSiBridge

2017\CSiBridge.exe'

APIDLLPath = 'C: \Program Files\Computers and Structures\CSiBridge

2017\CSiBridge19.dll'

2. Luego se crea el objeto de ayuda OAPI.

a = NET.addAssembly (APIDLLPath)

helper = CSiBridge19.Helper

helper = NET.explicitCast (helper,'CSiBridge19.cHelper')

3. Se crea el objeto tipo SAP2000.

SapObject = helper.CreateObject (ProgramPath)

SapObject = NET.explicitCast (SapObject,'CSiBridge19.cOAPI')

helper = 0

4. Inicia la aplicación.

SapObject.ApplicationStart

5. Se crea el modelo de SAP2000.

SapModel = NET.explicitCast (SapObject.SapModel,'CSiBridge19.cSapModel')

6. Se inicializa la aplicación y se definen las unidades de medidas.

ret = SapModel.InitializeNewModel

ret = SapModel.SetPresentUnits(CSiBridge19.eUnits.kN_m_C)

7. Apertura de modelo existente CSiBridge19.


ret = File.OpenFile(strcat('C:\Users\Ernesto J Martín R\Desktop\NO

TOCAR\modelo5vigas', filesep,'modelo5vigas.bdb'))

8. Una vez abierto el modelo creado se asignan los valores iniciales de las variables, estas

se encuentran en el fichero llamado Conversion.

9. Ya con los valores iniciales de las variables se desbloquea el modelo.

ret = SapModel.SetModelIsLocked(false())

10. Para correr el modelo y obtener las solicitaciones sin tener en cuenta la acción de los

tendones pretensados en la propia estructura se asignó al tendón inicialmente un área igual

a 0.

ret = PropTendon.SetProp(num2str(TEN(i)),'tGr270', 2, 0.00000001)

11. Se cambian las dimensiones y el material de las vigas.

ret = PropFrame.SetPrecastI_1('Type II', 'h35mpa', bb, dd, tt, cc)

12. Se cambia el espesor y material del tablero

ret = PropArea.SetShell_1('ASEC1', 1, true(), 'h35mpa', 0, p2, p2)

13. Definidos ya los elementos, se corre el análisis para obtener las solicitaciones.

ret = Analyze.RunAnalysis()

14. Obtención de las solicitaciones en los elementos tipo frame.

[ret,NumberResults, Obj, ObjSta, Elm, ElmSta, LoadCase, StepType, StepNum, P, V2,

V3, T, M2, M3] = Results.FrameForce(num2str(Frame(3)),

CSiBridge19.eItemTypeElm.ObjectElm, NumberResults, Obj, ObjSta, Elm, ElmSta,

LoadCase, StepType, StepNum, P, V2, V3, T, M2, M3)

15. Con las solicitaciones y las dimensiones de la sección de hormigón se procede a

calcular el área de acero pretensado y posteriormente se chequean las tensiones admisibles.

16. Nuevamente se desbloquea el modelo para asignar el ‘área de acero pretensado

calculada.

ret = SapModel.SetModelIsLocked(false());

17. Se modifica el tendón.

ret = PropTendon.SetProp(num2str(TEN(i)),'tGr270', 2, Aps/10000);

18. Se corre el análisis.

ret = Analyze.RunAnalysis();


Ya en este paso queda definido finalmente el modelo de puente en el CSiBridge por lo

que en el próximo se chequea la flecha, imponiendo ciertas restricciones definidas por la

norma.

19. Para obtener el desplazamiento en el punto central del tablero y compararlo con el

permisible se utilizó:

[ret,NumberResults, Obj, Elm, LoadCase, StepType, StepNum, U1, U2, U3, R1, R2,

R3] = Results.JointDispl('219',CSiBridge19.eItemTypeElm.ObjectElm ,

NumberResults, Obj, Elm, LoadCase, StepType, StepNum, U1, U2, U3, R1, R2, R3)

20. Una vez que cumpla el modelo de puente por deformación entonces se obtendrán los

resultados de las solicitaciones en los objetivos tipo frame para comprobar su capacidad

resistente en pasos posteriores.

[ret,NumberResults, Obj, ObjSta, Elm, ElmSta, LoadCase, StepType, StepNum, P, V2,

V3, T, M2, M3] = Results.FrameForce (num2str (Frame(3)),


LoadCase, StepType, StepNum, P, V2, V3, T, M2, M3);

21. Se seleccionan todos los objetos tipo Shell para obtener las fuerzas internas de los

mismos.

ret = SelectObj.PropertyArea('ASEC1')

22. Se obtienen las fuerzas internas.

[ret,NumberResults, Obj, Elm, PointElm, LoadCase, StepType, StepNum, F11, F22,

F12, FMax, FMin, FAngle, FVM, M11, M22, M12, MMax, MMin, MAngle, V13, V23, VMax,

VAngle] = Results.AreaForceShell('Areas', CSiBridge19.eItemTypeElm.SelectionElm,

NumberResults, Obj, Elm, PointElm, LoadCase, StepType, StepNum, F11, F22, F12,

FMax, FMin, FAngle, FVM, M11, M22, M12, MMax, MMin, MAngle, V13, V23, VMax,

VAngle);

23. Chequeo a flexión de la viga I pretensada.

Se calcula la capacidad resistente de la viga pretensada y se verifica que sea mayor que las

solicitaciones antes obtenidas en los elementos tipo frame.

24. Cálculo del área de acero en la losa.

Con las solicitaciones en la losa se calcula por el método directo el área de acero necesaria.

25. Se define la función objetivo.


3.3 Análisis de los resultados.

Una vez concluido el proceso de optimización en el MatLab se comprobaron las

solicitaciones con las que se efectuó todo el proceso de cálculo con las obtenidas por los

métodos manuales (Método de Guyón -Massonet – Bares), validando así la confiabilidad de

los resultados.

Fue preciso hacer un estudio de la población con la que el GA realizaría la búsqueda, para

obtener el óptimo real de la función. Para ello se establecieron 3 tipos de poblaciones: una

primera con 5 individuos, la segunda con 10 y la tercera con 20 individuos; resultando ésta

última la más eficaz al ser capaz de obtener desde las primeras generaciones de búsqueda

los resultados más próximos al resultado óptimo. Por tanto, a las cinco variantes les fue

aplicado un tamaño de población de 20 individuos. (Ver figura 29)

Fig. 24Análisis de la influencia de la población en la búsqueda del modelo óptimo.


Al finalizar el proceso para las cinco variantes se obtuvieron los siguientes resultados

óptimos.

Variante Peralto

óptimo(m) Aps(cm2)

Espesor

de losa

(m)

Ancho de

alma (m)

5 vigas 1,55 23,13 0.18 0.16

6 vigas 1,45 19,45 0.18 0.16

7 vigas 1,35 18,05 0.18 0.16

8 vigas 1,25 16 0.18 0.16

9 vigas 1,15 12,74 0.18 0.16

Se estudió el comportamiento de cada una y se evidenció que para el caso de tableros de 5 y

6 vigas existe una menor variación del costo óptimo de las primeras generaciones con

respecto a las últimas, lo que explica que en estos modelos hay una menor variabilidad de

su geometría para las condiciones impuestas que en los demás. (Ver figura 30)

Fig. 25Comportamiento de cada variante en el proceso de búsqueda en función de las generaciones del GA.


Al obtenerse el mínimo de la función en cada caso, se define como factor común en

todas las variantes los tableros con el mínimo de espesor, así como en el alma de las vigas,

las mínimas permisibles y el máximo peralto de las mismas; esto va condicionado por el

excesivo costo del acero pretensado para las condiciones de costos cubanas, que al ser

importado, el precio del mismo es considerablemente alto en relación a los demás

productos necesarios para garantizar el funcionamiento estructural del puente (acero

ordinario y hormigón).

La influencia de la cantidad de vigas permite que entre más hayan, menos solicitadas

estarán las mismas por lo que menor área de acero pretensado será necesaria para soportar

las acciones actuantes. Si menor área de acero pretensado hay, entonces más económico

será el diseño; estos resultados están limitados en función de la sección de hormigón

definida, por lo que este criterio no es ni absoluto, ni lineal. (Ver figura 31)

Fig. 26Influencia de la cantidad de vigas del tablero en el costo total.


La variante más económica la protagoniza el modelo de 9 vigas, donde con un área de

pretensado exclusivamente de 12.74cm2 y una sección de hormigón con 1.33m de peralto

(considerando la losa superior) garantiza una costo por vigas de $ 9652.22 y $9526.00 el

tramo de losa que le tributa a la misma.

El costo unitario de las vigas en la variante con 8 es de $ 12039.00 (Ver figura 32) y el

tramo de losa que le tributa de $ 11369.00 (Ver figura 32) que al multiplicar por 8 resultan

los $ 187270.00; si lo comparamos con el caso de 7 donde el costo de las vigas es $

13556.00 (Ver figura 32) y de la losa $ 11475.00 (Ver figura 32) obteniéndose un costo

total de $ 175220.00, se evidencia que el modelo que sucede al óptimo es el del tablero con

7 vigas.

Fig. 27Variación del costo de cada viga y el tramo de losa que le tributa en función del número de vigas.

En función del número de vigas interiores del tablero se define el espaciamiento de las

mismas, entre más separadas estén mayores serán las solicitaciones en la losa y más área de


acero se necesita por lo que su costo aumenta. La incidencia en las vigas se refleja por el

ancho que le tributa a cada una, esto es directamente proporcional al área de acero

pretensado, mientras mayor es el tramo que tributa en la viga, mayor es la solicitación y

más área de acero pretensado se requiere para soportar las acciones actuantes.(Ver figura

32)

El concepto de estructura óptima, en el que se expone que los elementos de la misma

trabajan al máximo de su capacidad, no es un patrón a tener en cuenta cuando se trata de

obtener el mínimo costo de la superestructura. La variante con la que se obtenga el mínimo

de la función estará dada por la que presenta la menor cantidad del material más caro para

las condiciones de costo que se evalúen, no siendo así con la óptima estructuralmente ya

que en función de la resistencia de cada uno de sus miembros se distribuirá un % de carga

proporcional a los mismos hasta que todos trabajen al máximo de su capacidad. (Ver figura

33)

Fig. 28Análisis del % de optimización definido por Taylor.



1. En la programación del Algoritmo Genético se establece para este tipo de

investigación trabajar como mínimo con poblaciones de 20 individuos.

2. El elemento geométricos para la sección de hormigón predominante en la

resistencia a flexión es el peralto por lo que se aprovecharon al máximo; elementos

como el espesor de la losa y ancho del alma garantizaban más peso que resistencia

por lo que se definieron los mínimos posibles.

3. Se obtuvo el mínimo de la función en la variante de 9 vigas, para la cual la relación

entre área de acero pretensado y sección de hormigón resulto ser la menor de todas.

4. Cuanto más espaciadas estén las vigas interiores de un tablero mayor serán sus

solicitaciones y requerirán mayores secciones de hormigón y área de acero por lo

que el costo unitario ascenderá.

5. El % de optimización estructural definido por Taylor no es un parámetro a tener en

cuenta para este tipo de investigaciones.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 74

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones

1 Existen muy pocos trabajos en los que se aplique el CSiBridge y las herramientas del

MatLab en conjunto, para el desarrollo de este tipo de investigaciones.

2 El programa basado en el análisis por elementos finitos CSiBridge resulta una

herramienta potente para la obtencion de las solicitaciones en este tipo de estructuras.

Para el diseño de pretensado fue de carácter obligatorio aplicar las expresiones

manuales definidas por la AASHTO ya que el programa solamente chequea los

elementos de este tipo.

3 En esencia, el procedimiento matemático desarrollado se dividió en dos etapas:

primeramente por medio de las funciones de la API se modificaron las características

del tablero hasta obtener las solicitaciones, para con estas en una segunda etapa,

programar todo un procedimiento de cálculo estructural determinando asi la

capacidad resistente de dicha estructura.

4 Al aplicar al modelo creado el proceso de GA implementado en las aplicaciones del

MatLab se obtuvo en las cinco variantes del tablero analizadas, ahorros con una

media de 35% con respecto a la estructura real.

5 El costo exesivo del acero de pretenado constituyó la variable predominante en el

caso objeto de estudio por lo que los resultados óptimos convergieron a vigas de

hormigón armado.

Recomendaciones

Para lograr mejores resultados en esta temática se recomienda:

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 75

1 Utilizar y mejorar el algoritmo de interface creado para optimizar el diseño de otras

estructuras de puente tanto de hormigón armado como pretensado.

2 Hacer un estudio detallado de las funciones de la API del CSiBridge y localizar las

que permiten directamente interactuar con la superestructura como conjunto.

3 Estudiar tableros con otras configuraciones más complejas que incluyan vigas

continuas de secciones diferentes a la estudiada, así como el uso diafragmas.

4 Diferenciar el refuerzo de las vigas interiores y exteriores en función de la

flexibilidad del tablero.

5 Hacer un estudio más detallado del comportamiento de la losa superior del tablero ya

que representa casi el 50% del costo total de la estructura.

6 Establecer límites constructivos más precisos, teniendo en cuenta otros factores como

la transportación y ejecución de los elementos prefabricados.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 76

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Afonso Aspiro, Y. (2016). Estimación de parámetros estructurales en puentes usando la

OAPI SAP2000, MATLAB, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Facultad de

Construcciones. Departamento de Ingeniería Civil.

Ariñez Fernández, F. A. (2012). Criterios para la optimización del predimensionamiento de

puentes de sección cajón, Caminos.

Carbonell, A. (2005). "Optimización heurística de bóvedas de paso de carretera." Trabajo

de investigación CST/GPRC-05.

Castellanos, J. (2000). Procedimiento General para el diseño óptimo de estructuras.

Aplicaciones en vigas de hormigón armado, Tesis de grado de Doctor en Ciencias

Técnicas, ISPJE, Ciudad Habana, Cuba.

Edward G Nawy. Prestressed Concrete. A Fundamental Approach Fourth Edition.

Fernández, M. C. C. (2009). "Manual básico de Matlab." Edit. Complutense, Madrid.

Fontán, A. (2009). "Optimización de la sección transversal y del pico de lanzamiento de

puentes lanzados de hormigón pretensado."

García-Segura, T. and V. Yepes (2016). "Multiobjective optimization of post-tensioned

concrete box-girder road bridges considering cost, CO2 emissions, and safety." Engineering

Structures 125: 325-336.

García-Segura, T., et al. (2017). "Multi-objective design of post-tensioned concrete road

bridges using artificial neural networks." Structural and Multidisciplinary Optimization

56(1): 139-150.


García-Segura, T., et al. (2017). "Lifetime reliability-based optimization of post-

tensioned box-girder bridges." Engineering Structures 145: 381-391.

Hernández J, H. (2013). Hormigón Estructural Diseño por Estados Límites, La Habana:

Félix Varela.

Liu, M. and D. M. Frangopol (2005). "Bridge annual maintenance prioritization under

uncertainty by multiobjective combinatorial optimization." Computer‐Aided Civil and

Infrastructure Engineering 20(5): 343-353.

Luz, A., et al. (2015). "Diseño de estribos abiertos en puentes de carretera obtenidos

mediante optimización híbrida de escalada estocástica." Informes de la Construcción

67(540): 114.

Martí, J., et al. (2009). "Heuristic optimization of prestressed concrete precast pedestrian

bridges." Computer Aided Optimum Design in Engineering XI 106: 121.

Martí, J. V., et al. (2014). "Diseño automático de tableros óptimos de puentes de carretera

de vigas artesa prefabricadas mediante algoritmos meméticos híbridos." Revista

Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 30(3): 145-154.

Martí, P., et al. (2001). "Aplicación de las técnicas de optimización en la enseñanza del

hormigón estructural." Ed. ACHE, I Jornadas de ACHE sobre la enseñanza del hormigón

estructural, Madrid: 203-209.

Medina Naranjo, M. A. (2017). Interfaz MatLab-SAP2000 para la optimización de

conjuntos estructurales, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Facultad de

Construcciones. Departamento de Ingeniería Civil.

Mellier, C. (2010). "Optimal Design of Bridges for High-Speed Trains." KTH. Master of

Science Thesis, Stockholm.

Negrín, A. (1988). "Diseño óptimo de estructuras de hormigón armado a flexo

compresión." KIEV, Ucrania: Instituto de Ingeniería de la construcción de Kiev (KICI).

Negrín, A. (2009). "Diseño óptimo de estructuras de Hormigón Armado." Monografía.

Facultad de Construcciones. Santa Clara, Cuba: UCLV.


Negrín, A. (2005). Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras. Boletín

estadístico de la construcción. Tegucigalpa, Honduras: Cámara Hondureña de la

construcción.

Negrin Diaz, I. A. (2016). Optimización de conjuntos estructurales considerando los

factores usualmente ignorados en la modelación usando la OAPI SAP 2000-MatLab,

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Facultad de Construcciones.

Departamento de Ingeniería Civil.

Negrín M, A. (2014). Optimización de conjuntos estructurales de edificios aporticados de

Hormigón Armado. Santa Clara, Villa Clara, Cuba: UCLV.

Negrín M, A. (2010). Optimización de conjuntos estructurales de edificios aporticados de

hormigón armado. . Santa Clara, Villa Clara, Cuba: UCLV.

Ozakca, M. and N. Tavsi (2003). "Analysis and shape optimization of variable thickness

box girder bridges in curved platform." Electronic Journal of Structural Engineering 3: 1-

22.

Sánchez, S. (2012). Optimización estructural y topológica de estructuras morfológicamente

no definidas mediante algoritmos genéticos, Tesis doctoral. Universitat politécnica de

Valencia, Valencia, Espanha.

Sequera Gutiérrez, D. A. and L. F. Solano Rodríguez (2013). Algoritmo para la calibración

de modelos estructurales en elementos finitos de puentes usando ansys, Facultad de

Ingeniería.

Specifications, A.-L. B. D. (2004). "American Association of State Highway and

Transportation Officials (AASHTO)." Washington, DC.

Srinivas, V. and K. Ramanjaneyulu (2007). "An integrated approach for optimum design of

bridge decks using genetic algorithms and artificial neural networks." Advances in

Engineering Software 38(7): 475-487.

Taylor, G. & Valdés, E., 1980. Puentes. 1ra ed. Granma: Pueblo y Educación.


Torres, R. (1978). "Cálculo de secciones económicas en vigas rectangulares." Trabajo de

Diploma no publicado, Universidad Central de las Villas, Santa Clara, Cuba.

Valladares, E. R. R. (2016). Optimization of the prestressing force in continuous concrete

bridges, Arizona State University.

Vázquez, M. and C. Eguiguren (1979). "Optimización de secciones en vigas rectangulares."

Trabajo de Diploma no publicado, Universidad Central de las Villas, Santa Clara, Cuba.

Yepes, V., et al. (2017). "Heuristics in optimal detailed design of precast road bridges."

Archives of Civil and Mechanical Engineering 17(4): 738-749.

Zaforteza, I. J. P. (2009). Optimización heurística de pórticos de edificación de hormigón

armado.

NC:733, (2009). Carreteras. Puentes y Alcántarillas. Requisitos de Diseño y Método de

Cálculo. Cuba, Patente nº 733.

ANEXOS 80

ANEXOS

Anexo I Algoritmo programado en MatLab.

%% full path to the program executable

% set it to the installation folder

ProgramPath = 'C:\Program Files\Computers and Structures\CSiBridge

2017\CSiBridge.exe';

%% full path to API dll

% set it to the installation folder

APIDLLPath = 'C:\Program Files\Computers and Structures\CSiBridge

2017\CSiBridge19.dll';

%% create OAPI helper object

a = NET.addAssembly(APIDLLPath);

helper = CSiBridge19.Helper;

helper = NET.explicitCast(helper,'CSiBridge19.cHelper');

%% create Sap2000 object

SapObject = helper.CreateObject(ProgramPath);

SapObject = NET.explicitCast(SapObject,'CSiBridge19.cOAPI');

helper = 0;

%% start Sap2000 application

SapObject.ApplicationStart;

%% create SapModel object

SapModel = NET.explicitCast(SapObject.SapModel,'CSiBridge19.cSapModel');

%% initialize model

ret = SapModel.InitializeNewModel;

ret = SapModel.SetPresentUnits(CSiBridge19.eUnits.kN_m_C);

ANEXOS 81

%% Apertura de modelo existente CSiBridge19

File = NET.explicitCast(SapModel.File,'CSiBridge19.cFile');

ret = File.OpenFile(strcat('C:\Users\Ernesto J Martín R\Desktop\NO

TOCAR\modelo9vigas', filesep,'modelo9vigas.bdb'));

%% Conversión9

% p(1)

if p(1)==1

p1=0.75;

elseif p(1)==2

p1=0.8;

elseif p(1)==3

p1=0.85;

elseif p(1)==4

p1=0.9;

elseif p(1)==5

p1=0.95;

elseif p(1)==6

p1=1.0;

elseif p(1)==7

p1=1.05;

elseif p(1)==8

p1=1.10;

else

p1=1.15;

end

% p(2)

if p(2)==1

p2=0.18;

elseif p(2)==2

p2=0.19;

elseif p(2)==3

p2=0.2;

ANEXOS 82

elseif p(2)==4

p2=0.21;

else

p2=0.22;

end

% p(3)

if p(3)==1

p3=0.45;

elseif p(3)==2

p3=0.5;

else

p3=0.55;

end

% p(4)

if p(4)==1

p4=0.16;

elseif p(4)==2

p4=0.17;

elseif p(4)==3

p4=0.18;

elseif p(4)==4

p4=0.19;

else

p4=0.20;

end

%% Desbloquear modelo


%% Asignar Area inicial normal

PropTendon = NET.explicitCast(SapModel.PropTendon,'CSiBridge19.cPropTendon');

TEN=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];

for i=1:9

ANEXOS 83

ret = PropTendon.SetProp(num2str(TEN(i)),'tGr270', 2, 0.00000001);

end

%% Cambiar dimensiones y material de las vigas

bb=NET.createArray('System.Double',4);

dd=NET.createArray('System.Double',7);

tt=NET.createArray('System.Double',2);

bb(1)=0.30;

bb(2)=p3;

bb(3)=0;

bb(4)=0;

dd(1)=p1;

dd(2)=0.01;

dd(3)=0.08;

dd(4)=0;

dd(5)=0.16;

dd(6)=0.16;

dd(7)=0;

tt(1)=p4;

tt(2)=p4;

cc(1)=0;

PropFrame = NET.explicitCast(SapModel.PropFrame,'CSiBridge19.cPropFrame');

ret = PropFrame.SetPrecastI_1('Type II', 'h35mpa', bb, dd, tt, cc);

%% Cambiar espesor y material del tablero

PropArea = NET.explicitCast(SapModel.PropArea,'CSiBridge19.cPropArea');

ret = PropArea.SetShell_1('ASEC1', 1, true(), 'h35mpa', 0, p2, p2);

%% Correr el análisis

Analyze = NET.explicitCast(SapModel.Analyze,'CSiBridge19.cAnalyze');


%% Obtener resultados

% Objetos tipo Frame

Frame=[101 102 103 104 105 106 107 108 109];

ANEXOS 84

NumberResults=0;

Obj=NET.createArray('System.String',2);

ObjSta=NET.createArray('System.Double',2);

Elm=NET.createArray('System.String',2);

ElmSta=NET.createArray('System.Double',2);

LoadCase=NET.createArray('System.String',2);

StepType=NET.createArray('System.String',2);

StepNum=NET.createArray('System.Double',2);

P=NET.createArray('System.Double',2);

V2=NET.createArray('System.Double',2);


T=NET.createArray('System.Double',2);

M2=NET.createArray('System.Double',2);


Results = NET.explicitCast(SapModel.Results,'CSiBridge19.cAnalysisResults');

[ret,NumberResults, Obj, ObjSta, Elm, ElmSta, LoadCase, StepType, StepNum, P,

V2, V3, T, M2, M3] = Results.FrameForce(num2str(Frame(5)),



M3Serv=(max(M3(25),M3(28)))*3.13;

max(M3(25),M3(28));

%% CALCULO DEL AREA DE ACERO PRETENSADO

%% Dimensiones de la seccion prefabricada

b =bb(1);

bi =bb(2);

bw =tt(1);

h =dd(1)+p2;

hf =p2;

t =0.08;

tp =dd(6);

hi =dd(5);

%% Dimensiones de la losa

ANEXOS 85

% espesor de la losa in situ

hc=hf;

% ancho de la losa

B=1.37;

%% Propiedades de las cargas

L=20;

%% Propiedades del hormigon

% resistencia caracteristica del hormigon de la viga

fcp=35;

% resistencia caracteristica del hormigon de la viga en la transferencia

fcip=33;

% resistencia caracteristica del hormigon de la losa

fc1p=35;

% modulo de deformacion del hormigon

Ec=4700*sqrt(fcp);

Eci=4700*sqrt(fcip);

Ec1=4700*sqrt(fc1p);

% densidad del hormigon

gammah=24;

%% Propiedades del acero pretensado

% resistencia maxima del acero pretensado

fpy=1593;

fpu=1770;

% relacion P0/Pe

alfa=0.85;

% area real de una barra de acero pretensado

Ab=0.000093;

% diametro de la barra de acero pretensado

dv=0.0125;

% módulo de elasticidad del acero

Ep=195000;

ANEXOS 86

%% Características generales de la sección prefabricada

Sh=(((bw*h^2)/2)+(b-bw)*hf*(h-hf/2)+((bi-bw)*hi*(hi/2))+((b-bw)*t/2*(h-t/3-

hf)+(bi-bw)*tp/2*(hi+tp/3)))*1000000;

Ac=(bw*h+(b-bw)*hf+(bi-bw)*hi+((b-bw)*t/2+(bi-bw)*tp/2))*10000;

Vp=Sh/Ac;

V=h*100-Vp;

I=(bw*h^3/12+bw*h*(h/2-Vp/100)^2+(b-bw)*hf^3/12+(b-bw)*hf*(Vp/100-

h+hf/2)^2+(bi-bw)*hi^3/12+(bi-bw)*hi*(Vp/100-hi/2)^2+(b-bw)*t/2*(Vp/100-

h+hf+t/3)^2+(bi-bw)*tp/2*(Vp/100-hi-tp/3)^2)*100000000;

W=(I/V)/1000000;

Wp=(I/Vp)/1000000;

n=Ep/Ec;

ni=Eci/Ec;

%% Caracteisticas generales de la seccion compuesta

if B>16*hc+bw

bc=16*hc+bw;

elseif B<16*hc+bw

bc=B;

else

bc=B;

end

nc=Ec1/Ec;

An=nc*(bc-b)*hc;

Acc=Ac/10000+An;

Sc=Sh/1000000+An*(h-hc/2);

Vcp=Sc/Acc*100;

Vc=(h-Vcp/100)*100;

Ic=(I+Ac*(Vcp-Vp)^2+(An*10000*(hc*100)^2)/12+An*10000*(Vc-

hc*100/2)^2)/100000000;

Wc=Ic/(Vc/100);

Wcp=Ic/(Vcp/100);

%% Calculo de los momentos de carga permanente

ANEXOS 87

qg=Ac/10000*gammah;

qc=(B-b)*hc*gammah;

M0=(qg*L^2)/8;

Mc=(qc*L^2)/8;

Md=M0+Mc;

Ma=M3Serv-Md;

Maa=M3Serv-Md;

M2a=M3Serv-Mc;

M2b=M3Serv;

%% Cálculo de las tensiones admisibles

R1a=-0.25*sqrt(fcip);

R1b=-0.5*sqrt(fcip);

r2=0.6*fcip;

r3=0.45*fcp;

R4=0.6*fcp;

R5=-0.25*sqrt(fcp);

%% Cálculo del area de pretensado

dsp=0.2*h;

e0=Vp/100-dsp;

e01=Vcp/100-dsp;

Pe4=(Md+Ma*Wp/Wcp+R5*1000*Wp)/(e0+Wp/(Ac/10000));

Pe3=(Md+Maa*W*(((Vc/100)-hc)/Ic)-r3*1000*W)/(e0-(W/(Ac/10000)));

if Pe4>Pe3

Pe=Pe4;

else

Pe=Pe3;

end

P0=Pe/alfa;

nb=Pe/(0.6*fpu*1000*Ab);

Aps=nb*Ab*10000;

%% CHEQUEO DE LAS TENSIONES ADMISIBLES

ANEXOS 88

%% Chequeo para la transferencia

% fibra superior

fcoi=(P0/1000)/(Ac/10000)-(P0/1000)*e01/W;

fc1=fcoi+(M0/1000)/W;

if R1a<fc1

f1=0;

elseif R1a>fc1

f1=100000; % disp ('la fibra inferior no cumple en la transferencia');

else

f1=0;

end

% fibra inferior

fcoip=(P0/1000)/(Ac/10000)+(P0/1000)*e01/Wp;

fc1p=fcoip-(M0/1000)/Wp;

if r2<fc1p

f2=100000; % disp ('la fibra inferior no cumple en la transferencia');

elseif r2>fc1p

f2=0;

else

f2=0;

end

%% Chequeo para cargas de servicio

fco=(Pe/1000)/(Ac/10000)-(Pe/1000)*e0/W;

fc2b=fco+(Md/1000)/W+((Maa/1000)/Ic)*((Vc/100)-hc);

% fibra superior

if R4>fc2b

f3=0;

elseif R4<fc2b

f3=100000; % disp ('la fibra superior no cumple en la etapa de

servicio');

else

f3=0;

ANEXOS 89

end

% fibra inferior

fcop=((Pe/1000)/(Ac/10000)+(Pe/1000)*e0/Wp);

fc2p=((fcop-(Md/1000)/Wp)-(Ma/1000)/Wcp);

if R5==fc2p

f4=0;

elseif R5>fc2p

f4=100000; %disp ('la fibra inferior no cumple en la etapa de

servicio');

else

f4=0;

end

f1raEt=[f1 f2 f3 f4];

f_seguir=max(f1raEt);

if f_seguir==0

Dis_Def9

else

ret = SapObject.ApplicationExit(false());

end

ret = SapObject.ApplicationExit(false());

f_todos=[f_seguir,f_DisDef,f5,f6];

p;

f=max(f_todos);

%% Dis_Def9

%% Desbloquear modelo


%% Modificar tendón

ten=[10 20 30 40 50 60 70 80 90];

NumberPoints = 3;

x=NET.createArray('System.Double',3);

y=NET.createArray('System.Double',3);

z=NET.createArray('System.Double',3);

ANEXOS 90

MyType(1) = 1;

MyType(2) = 7;

MyType(3) = 6;

x(1) = 0;

y(1) = 0.2*h;

x(2) = 10;

y(2) = -(0.3*h);

x(3) = 20;

y(3) = 0.2*h;

TendonObj = NET.explicitCast(SapModel.TendonObj,'CSiBridge19.cTendonObj');

for i=1:length(ten)

ret = PropTendon.SetProp(num2str(TEN(i)),'tGr270', 2, Aps/10000);

end

ret = TendonObj.SetTendonData('ten1', NumberPoints, MyType, x, y, z, 'Local');









%% Correr el análisis

Analyze = NET.explicitCast(SapModel.Analyze,'CSiBridge19.cAnalyze');


%% Chequeo de flecha

% get point displacements

NumberResults=0;




ANEXOS 91



U1=NET.createArray('System.Double',2);



R1=NET.createArray('System.Double',2);



[ret,NumberResults, Obj, Elm, LoadCase, StepType, StepNum, U1, U2, U3, R1, R2,

R3] = Results.JointDispl('381',CSiBridge19.eItemTypeElm.ObjectElm ,

NumberResults, Obj, Elm, LoadCase, StepType, StepNum, U1, U2, U3, R1, R2, R3);

U3Def=max(U3(13),U3(14));

if U3Def > -(20/800)

f6=0;

elseif U3Def==-(20/800)

f6=0;

else

f6=1000000; %disp ('no cumple por deflexión');

end

%% OBTENER RESULTADOS

%% Objetos tipo Frame

[ret,NumberResults, Obj, ObjSta, Elm, ElmSta, LoadCase, StepType, StepNum, P,

V2, V3, T, M2, M3] = Results.FrameForce(num2str(Frame(5)),



M3Res=max(M3(33),M3(36))*3;

%% Objetos tipo Shell

% Seleccionar elemtos tipo Shell

SelectObj=NET.explicitCast(SapModel.SelectObj,'CSiBridge19.cSelect');

ret = SelectObj.PropertyArea('ASEC1');

% Obtener fuerzas

Results = NET.explicitCast(SapModel.Results,'CSiBridge19.cAnalysisResults');

NumberResults=0;

ANEXOS 92



PointElm=NET.createArray('System.String',2);




F11=NET.createArray('System.Double',2);



FMax=NET.createArray('System.Double',2);

FMin=NET.createArray('System.Double',2);

FAngle=NET.createArray('System.Double',2);

FVM=NET.createArray('System.Double',2);




MMax=NET.createArray('System.Double',2);

MMin=NET.createArray('System.Double',2);

MAngle=NET.createArray('System.Double',2);



VMax=NET.createArray('System.Double',2);

VAngle=NET.createArray('System.Double',2);

[ret,NumberResults, Obj, Elm, PointElm, LoadCase, StepType, StepNum, F11, F22,

F12, FMax, FMin, FAngle, FVM, M11, M22, M12, MMax, MMin, MAngle, V13, V23, VMax,

VAngle] = Results.AreaForceShell('Areas', CSiBridge19.eItemTypeElm.SelectionElm,

NumberResults, Obj, Elm, PointElm, LoadCase, StepType, StepNum, F11, F22, F12,

FMax, FMin, FAngle, FVM, M11, M22, M12, MMax, MMin, MAngle, V13, V23, VMax,

VAngle);

for i=1:24192

M11_1(i)=M11(i);

M22_1(i)=M22(i);

end

ANEXOS 93

M11_Max=max(M11_1);

M22_Max=max(M22_1);

%% CHEQUEO A FLEXIÓN DE LA VIGA I PRETENSADA.

k=2*(1.04-(fpy/fpu));

B1=1.05-fcp/140;

dp=h-dsp;

As=10.32;

Asp=As;

fy=300000;

% para comportamiento de sección Te:

ct=((Aps/10000)*fpu*1000+(As/10000)*fy-(Asp/10000)*fy-0.85*B1*fcp*1000*(B-

bw)*hf)/(0.85*fcp*1000*B1*bw+k*(Aps/10000)*(fpu*1000/dp));

% para comportamiento de sección rectangular:

cr=(((Aps/10000)*fpu*1000+(As/10000)*fy-

(Asp/10000)*fy)/(0.85*fcp*1000*B1*B+k*(Aps/10000)*fpu*1000/dp));

if ct>hf

c=ct;

else

c=cr;

end

a=c*B1;

fps=fpu*1000*(1-k*(c/dsp));

ds=0.07;

dps=0.07;

Mn=(Aps/10000)*fps*(dp-a/2)+(As/10000)*fy*((h-ds)-a/2)+0.85*fcp*1000*(0.8-

bw)*B1*hf*(a/2-hf/2);

dp=0.8*h;

if c<=0.375*dp

fi=1;

elseif c>0.6*dp

fi=0.75;

else

ANEXOS 94

fi=0.333+0.25/(c/dp);

end

Mr=fi*Mn;

Mu=M3Res;

if Mu>Mr

f5=1000000;

elseif Mu<Mr

f5=0;

else

f5=0;

end

%% CALCULO DEL AREA DE ACERO PRINCIPAL EN LA LOSA

%% Método de diseño directo (suponiendo que la sección está en tracción

controlada)

Mul=M22_Max;

bl=1;

d=hc-(0.0127/2)-0.025;

a1=d-sqrt(d^2-(2*Mul/(0.9*0.85*fcp*1000*bl)));

Aspos22=(0.85*fcp*1000*a1*bl)/fy;

Ascm1=Aspos22*10^4;

Ab=1.29;

S1=bl*100*Ab/Ascm1;

Mu2=-(M22_Min);

a2=d-sqrt(d^2-(2*Mu2/(0.9*0.85*fcp*1000*bl)));

Asneg22=(0.85*fcp*1000*a2*bl)/fy;

Ascm2=Asneg22*10^4;

Ab=1.29;

S2=bl*100*Ab/Ascm2;

Mu3=M11_Max;

a3=d-sqrt(d^2-(2*Mu3/(0.9*0.85*fcp*1000*bl)));

Aspos11=(0.85*fcp*1000*a3*bl)/fy;

Ascm3=Aspos11*10^4;

ANEXOS 95

Ab=1.29;

S3=bl*100*Ab/Ascm3;

Mu4=-(M11_Min);

a4=d-sqrt(d^2-(2*Mu4/(0.9*0.85*fcp*1000*bl)));

Asneg11=(0.85*fcp*1000*a4*bl)/fy;

Ascm4=Asneg11*10^4;

Ab=1.29;

S4=bl*100*Ab/Ascm4;

%% DEFINICION DE LA FUNCION OBJETIVO

%% Costos Unitarios

% Viga postensada

Cuhv = 1680; % Costo unitario hormigón en viga $/m3

Cut = 45971; % Costo unitario Torón 12.7mm 1860Mpa $/t

Cuc = 849; % Costo unitario acero 10mm $/t

% Losa de tablero

Cuhl =1680; % Costo unitario de hormigón en losa $/m3

Cubrl=850; % Costo unitario barras de refuerzo 12mm en losa $/t

%% Costo total viga

Cvig=Cuhv*(9*((dd(5)*bb(2)+(bb(2)+tt(2))/2)*dd(6)+tt(1)*(dd(1)-

(dd(3)+dd(2)+dd(5)+dd(6)))+((bb(1)+tt(1))/2)*dd(3)))+Cut*(9*(7.849*20*Aps/10000))

+Cuc*(9*(79*2*(h+tt(1)))*7.849*0.0000715);

%% Costo total losa

Closa=Cuhl*(hf*12.5*20)+Cubrl*((Aspos22+Asneg22+Aspos11+Asneg11)*12.5*20*7.849);

%% Costo total

C=Cvig+Closa;

f_DisDef=C;

ANEXOS 96

Anexo II Precios aplicados en la investigación.

ANEXOS 97

departamento de ingeniería civil

Documents