Demostrar las siguientes propiedades para todo aϵ Z .

(1) Probar que a .0=0

a+0=a (Elementoneutrode laadicióndeenteros )

a . (a+0 )=a .a(Propiedad fundamental de la igualdad)

a .a+a .0=a . a(Propiedad distributi va)

−(a .a )+(a .a )+a .0=(a .a )+[−(a .a ) ] (Opuesto dea .a )

a .0=0

(2) Probar que (−1 ) . a=−a

a) Lema 1: 1.a=a

(1+0 ) . a=a (Elemento neutrode la adición )

1.a+0.a=a (Propiedad distributiva )

1.a=a(Propiedad anterior )

b) Lema 2: −(ab )=(−a )b=a (−b)

−(ab )+(ab )=0 (Opuestode−(ab ) )

−(ab )+(ab )=0.b(Propiedad anterior )

0.b= (−a+a ) . b=(−a ) . b+ab(Opuestode−a)

−(ab )=(−a ) . b

(Propiedad fundamental de laigualdad conel opuestode ab)

Análogamente se prueba para −(ab )=a(−b)

c) Demostración principal

−1+1=0(Opuesto de−1)

(−1+1 ) . a=0.a(. es ley decomposicióninterna)

(−1 ) . a+1.a=0.a (Propiedad distributiva )

(−1 ) . a+a=0 (Lema1 )

(−1 ) . a+a+(−a )=0+ (−a ) (Opuesto dea )

(−1 ) . a=−a(Elementoneutro de laadición)