Algunas demostraciones de cnicas

1.- Deduccin de la ecuacin cannica de la elipse

Desarrollaremos la demostracin del clculo de la ecuacin cannica de una elipse con centro

coincidente con el origen de coordenadas y dimetros mayor y menor coincidentes con los ejes x

e y respectivamente.

Si P(x,y) es un punto perteneciente a la elipse, se verifica, por aplicacin de la definicin de esta

cnica, que:

PF + PF = constante (1) Como el vrtice A pertenece a la elipse,

AF + AF = constante (2) De acuerdo al grfico, AF = a c y AF = a + c (3) Reemplazando las expresiones indicadas en (3) en la ecuacin (2) y simplificando resulta:

PF + PF = 2a siendo 2a la longitud del dimetro mayor.

Adems, como B pertenece tambin a la elipse, BF + BF = 2a (4) Los tringulos rectngulos BOF y BOF son iguales por tener un cateto comn, los otros catetos iguales (igual a la semidistancia focal c) y el ngulo comprendido igual (se trata del ngulo

recto)

En consecuencia, las hipotenusas BF y BF son iguales y reemplazando en (4) resulta:

2 BF = 2a BF = a En el tringulo rectngulo BOF, aplicando el Teorema de Pitgoras,

BF2 = BO2 + OF2 (5)

Como BF = a (semidimetro mayor); BO = b (semidimetro menor) y OF = c (semidistancia

focal), reemplazando en (5) resulta:

a2 = b2 + c2 (6)

que es la relacin que vincula estos elementos de la elipse.

Apoyndonos en las deducciones anteriores, y a partir de la definicin de la elipse, resulta:

PF + PF = 2a [(c x)2 + y2] + [(c + x)2 + y2] = 2a [(c + x)2 + y2] = 2a - [(c x)2 + y2]

Elevando ambos miembros al cuadrado y operando:

c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 -4a[(c x)2 + y2] + c2 2cx + x2 + y2 Simplificando y ordenando los trminos de la ecuacin precedente:

cx = a2 - a[(c x)2 + y2] a2 cx = a[(c x)2 + y2] Elevando nuevamente al cuadrado miembro a miembro para eliminar la raz:

(a2 cx)2 = (a[(c x)2 + y2])2 a4 2cxa2 + c2x2 = a2c2 2cxa2 + a2x2 + a2y2 Simplificando y agrupando:

a4 - a2c2 = a2x2 - c2x2 + a2y2

a2(a2 c2) = (a2 c2)x2 + a2y2 (a2 c2)x2 + a2y2 = a2(a2 c2) Aplicando la ecuacin (6) en la expresin anterior:

b2x2 + a2y2 = a2b2

Dividiendo miembro a miembro por a2b2 y simplificando:

(b2x2 + a2y2) / a2b2 = a2b2 / a2b2

x2/a2 + y2/b2 = 1

que es la ecuacin cannica de la elipse.

2.- Deduccin de la ecuacin cannica de la hiprbola

Se propone al alumno que realice por s la deduccin de la ecuacin cannica de la hiprbola,

aplicando un procedimiento similar al utilizado en el punto precedente para la elipse.

Debe tenerse en cuenta que si P (x,y) es un punto de la hiprbola, por definicin,

|PF PF| = constante (1) donde F y F son los focos de la hiprbola. La constante es igual a 2a, siendo 2a la longitud del dimetro real o eje transverso de la cnica.

La deduccin es semejante a la que se emple con la elipse.

La relacin entre el semidimetro real a, el semidimetro imaginario b y la semidistancia focal c

es en la hiprbola igual a:

c2 = a2 + b2 (2)

Utilizando la definicin de la hiprbola dada por la relacin (1) y la ecuacin (2) es posible,

reiteramos, empleando un mecanismo similar al usado con la elipse, obtener la ecuacin

cannica de la hiprbola:

x2/a2 - y2/b2 = 1

La anterior es una hiprbola cuyo dimetro real coincide con el eje x y cuyo dimetro imaginario

coincide con el eje y.

3.- Ecuaciones paramtricas de las cnicas

En los archivos adjuntos se deducen las ecuaciones paramtricas de las cnicas.