DemostrandoporInduccionFranciscoRuizBenjumedaRevistaTzaloa,a no1,n umero3La comprensi on del innito es uno de los retos mas apasionantes que existen para el entendimientohumano. Todoloqueconoceel serhumanoesnito1ysuexperienciasobreel mundotambienloes. Enmatematicas, el concepto de innito es central. Enlamayorade las ocasiones, losmatematicos trabajanconconjuntos de objetos (comolos n umeros) que soninnitos. Muchasdelas propiedades, resultados oteoremas seestablecenparaunainnidaddecasos, objetos osituaciones.Lademostraciondedichaspropiedadesrequieredemetodosingeniososquepermitanvalidarlas, nosoloparaunn umeronitodecasosparticulares, sinoparaunainnidaddeellos.Uno de estos es el metodo de Induccion Matem atica, mismo que sirve para probar o establecer queunadeterminadapropiedadsecumpleparatodon umeronatural.Es difcil establecer cuandoseusopor primeravezestemetododedemostracion, peroexistenevidencias de que sus ideas principales se remontan a tiempos muy antiguos. Desde epocas anterioresaCristo,esposibleencontrar trabajosdematematicosquecontienenrazonamientos cercanosalainduccionmatematica,taleselcasodelademostraciondeEuclides(300AC)sobrelaexistenciadeunainnidadden umerosprimos.Alrededor del siglo X,Al-Karaji (953-1029 DC), matematico persa musulm an, trabajo el teroremadel binomioylageneraci ondesus coecientes (triangulodePascal)utilizandounmetodoqueincluyelospasosprincipalesdelaInduccionMatem aticamoderna. Posteriormente,Samaual al-Maghribi(1130-1180DC), extendiolostrabajosdeAl-Karaji,siendosudemostracionelejemplomascompletoderazonamiento porInduccionMatem aticadelostiemposantiguos.Sin embargo, en ninguno de esos trabajos se establece explcitamente la hipotesis de induccion tal ycomo lo hacemos hoy en da. El primer matematico en hacer una exposicion explcita del PrincipiodeInduccionMatem aticafueBlaisePascal (1623-1662)2. TambienesimportantemencionarlascontribucionesquehizoenestecampoPierredeFermat(1601/8?-1665),quienusoampliamentesumetododel DescensoInnito, el cual esunavariantedel PrincipiodeInduccionMatem atica.Finalmente, enel sigloXIX, conbaseenlostrabajosdeGiuseppePeano(1858-1932)yRichardDedekind(1831-1916), seestablecedemaneradenitivaeltratamientosistem aticoyriguroso queseusahoyendapararealizardemostracionesporInduccionMatem atica.Ahora, dejemos unpocodeladolahistoriaycontinuemos nuestraexposicionhaciendoenfasisendoscaractersticasfundamentalesdelconjuntodelosn umerosnatrurales:enprimerlugar,losnaturalesformanunconjuntoinnito,ordenadoyquecuentaconunprimerelemento(eln umero1) y,en segundo lugar, queelresto deloselementos delconjunto (losdem asnaturales) segeneranapartirdeln umero1medianterepetidasaplicacionesdelafunci onsucesor:s(n) = n + 1.Laspropiedadesanterioressonfundamentales, puesdeellassederivanlasbaseslogicasquedansustentoalavalidezdelasdemostracionesporInduccion.Ensuformamasb asica,elmetododeInduccionMatem aticaconstade2etapas.SideseamosprobarqueunadeterminadapropiedadPsecumpleparatodon umeronatural,entoncesprocedemosaplicandoelsiguienteesquema31Finito:quetienen2Traitedutrianglearithmetique(1665)3Enalgunostextos, al presentar el esquemadeinduccionsuelendiferenciarsetresetapas enlugar dedos. En1Paso1(BasedelaInduccion).-Sedemuestraqueelprimernatural(eln umero1)cumplelapropiedad:P(1).Paso2(PasoInductivo).- Partiendodelasuposicion(Hipotesis deInduccion) dequeunn umeronatural cualquierakcumpleconlapropiedad: P(k), procedemosademostrarque,enconsecuencia,el n umerok + 1tambiendebecumplircondichapropiedad: P(k + 1). Esdecir,probamoslavalidezdelaimplicacionP(k) P(k + 1).Encasodepoder realizarexitosamenteloanterior, entoncesconcluimosquelapropiedadPsecumpleparatodoslosn umerosnaturales.Acontinuacion,veremosc omofuncionaelmetodoatravesderevisaralgunosejemplosconcretos.Ejemplo1.Pruebequeparatodon umeronaturaln1 + 2 + +n =n(n+1)2.Solucion.Probaremos lavalidezdelaformulaatraves deInduccionMatematica.Paso1(BasedelaInduccion).-Procedemosamostrarlavalidezdelaformulaparaelcason = 1.1 =1(1+1)2=22= 1Paso2 (PasoInductivo).- Suponemos que la formula es valida para unn umero naturalcualquieran =k.Hip otesisdeInduccion:1 + 2 + +k =k(k+1)2yapartirdeestoestablecemoslavalidezdelaformulaparan =k + 1.1 + 2 + + (k + 1) = (1 + 2 + +k) + (k + 1)=k(k + 1)2+k + 1=k(k + 1) + 2(k + 1)2=(k + 1)(k + 2)2=(k + 1) [(k + 1) + 1]2Con esto termina nuestra prueba por induccion y podemos concluir que la formula se cumpleoesvalidaparatodon umeronaturaln.Esimportantedarsecuentaqueelprincipiodeinduccionfuncionaporquealdemostrarquecadavezquelapropiedadsecumpleparaunn umeronaturalcualquiera, entoncestambiensecumpleparaelsiguiente.Sabiendoquelapropiedadsecumpleparaelprimern umeronatural(eln umero1), entoncestambiensecumpleparael n umero2. Comosecumplepara2, entoncestambiensedebecumplirpara3yassucesivamente.Ejemplo2.Pruebequeparatodon umeronaturalnestostextos,laprimeraetapaconsisteprobarlavalidezdeP(1),lasegundaetapaconsisteenenunciarlaHip otesisde Induccion(i.e. suponerla validez deP(k), para un naturalcualquierak) y en la tercera etapa se prueba la validezdeP(k +1).Notese que enestostextos,la primera etapacorresponde exactamenteconnuestro Paso 1, mientras quelaconjunci ondelasetapas2y3eslogicamenteequivalenteconnuestroPaso2,dondesepruebaP(k) P(k + 1).212+ 22+ +n2=n(n+1)(2n+1)6.Solucion.Probaremos lavalidezdelaformulaatraves deInduccionMatematica.Paso1(BasedelaInduccion).-Procedemosamostrarlavalidezdelaformulaparaelcason = 1.12=1(1+1)[2(1)+1]6=1(2)(3)6=66= 1Paso2 (PasoInductivo).- Suponemos que la formula es valida para unn umero naturalcualquieran =k.Hip otesisdeInduccion:12+ 22+ +k2=k(k+1)(2k+1)6yapartirdeestoestablecemoslavalidezdelaformulaparan =k + 1.12+ 22+ + (k + 1)2=

12+ 22+ +k2

+ (k + 1)2=k(k + 1)(2k + 1)6+ (k + 1)2=k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)26=(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)]6=(k + 1)(2k2+ 7k + 6)6=(k + 1)(k + 2)(2k + 3)6=(k + 1) [(k + 1) + 1] [2(k + 1) + 1]6Porloqueconcluimosquelaformulasecumpleparatodon umeronaturaln.Las demostracionespor Induccionpuedencompararseconel efectodomin o. Si ponemos variaschasdedomin oparadasycolocadasenhileraunaseguidadelaotra, al tirarlaprimeracha,esta caera sobre la segunda provocando su cada; la cada de la segunda provoca que caiga la terceracha;latercerachaderribaalacuartayassucesivamentehastaquetodaslaschascaen. Enestacomparaci on, alcaerlaprimerachaseiniciaunaespeciedereaccion encadenaqueterminaprovocando lacadadetodaslaschas.De igual forma, una vez que se han realizado las dos etapas de una demostracion por Induccion, lavalidezdelapropiedadpara eln umero1(basedelainduccion)implicalavalidezdelapropiedadparael2,lavalidezparael2implicalavalidezparael3yassucesivamente(pasoinductivo),demaneraquepodemosconcluirquelapropiedad esvalidaparatodoslosn umerosnaturales.AunqueensuformamassimplelaInduccionMatem aticaseusaparaprobarquedeterminadapropiedad se cumple para todo n umero natural, es posible adaptar el metodo para probar la validezdeunaarmaci onparaotrosconjuntosden umeros(nosolamentelosnaturales).Acontinuacion,presentamosuntercerejemplodondesepruebalavalidezdeunapropiedadquesecumplesoloparalosn umerosimpares.Ejemplo3.Pruebequeparatodon umeroimparn,eln umeron21esdivisibleentre8.3Solucion. Probaremos la validez de esta propiedad de divisibilidad por medio deInduccion Mate-matica.Cabese nalarqueenlapruebaseutilizaralanotaci ondecongruencias.4Paso1(BasedelaInduccion).-Procedemosamostrarlavalidezdelaformulaparaelcason = 1.121 = 1 1 = 0 0 (mod 8).Paso2(PasoInductivo).- Suponemos que lapropiedades validaparaunn umeroimparpositivocualquieran = 2k + 1,dondek {0, 1, 2, . . .}.Hip otesisdeInduccion:(2k + 1)21 0 (mod 8).Ahora, conbaseenesto, probamoslavalidezdelapropiedadparael siguienteimparn=2k + 3.(2k + 3)21 = [(2k + 1) + 2]21= (2k + 1)2+ 2(2)(2k + 1) + 4 1= (2k + 1)21 + 4(2k + 1) + 4=

(2k + 1)21

+ 8k + 8Aplicandolahipotesisdeinducciontenemos(2k + 3)21 =

(2k + 1)21

+ 8k + 8 0 + 0 + 0 (mod 8).Porloqueseconcluyequen21 0 (mod 8)paratodon umeroimparn.En este ejemplo, pudimos ver c omo el esquema de Induccion Matem atica puede ser modicado paraprobar que una propiedad se cumple para un conjunto que no sea necesariamente el de los n umerosnaturales. Estopudohacerseporqueel conjuntodelosimparescumpleconlasdospropiedadesb asicas quefundamentan elPrincipio deInduccion:losimpares forman unconjuntoordenado quetiene un elemento mnimo (el n umero 1) y el resto del conjunto se genera a partir deeste elementomnimomedianteaplicacionesrepetidasdelafunci onsucesorparaimparess(i) =i + 2.1, s(1) = 3, s(3) = 5, s(5) = 7, s(7) = 9, etc.Aestetipodeconjuntosselesllamaconjuntosbienordenados. Losnaturalesesel ejemplomasconocido de conjunto bien ordenado. De la misma manera que la Induccion Matem atica tradicionalseusaparademostrarqueunapropiedadsecumpleparael conjuntodelosn umerosnaturales,podemosusarmetodos adaptados deinduccionparaprobarqueunapropiedadsecumpleparaotrosconjuntos,siempreycuandoestosseanbienordenados.Ejemplo4.Pruebe5quen! > 3n2, paratodonaturaln 3.Solucion. Procedemos aprobar por Induccionlavalidez deladesigualdadparatodon umeronaturaln 3.4Diremosqueab (modm), cuandoa b=kmparaalg unenterok. Si deseasconocermasafondoalgunosdetallesconrespectoal conceptodecongruenciamodulom,tesugerimosconsultarel artculosobreestetemaqueapareceenturevistaTzaloaNo.2,a no2009.5Recuerdequen! = 1 2 . . . n.4Paso1(BasedelaInduccion).-Procedemosamostrarlavalidezdeladesigualdadparaelprimercason = 3.3! = 1 2 3 = 6> 31= 332Paso2(PasoInductivo).-Suponemosqueladesigualdadesvalidaparan=k, dondekesunn umeronaturalcualquieratalquek 3.Hip otesisdeInduccion:k! > 3k2Ahoraprobamoslavalidezdeladesigualdadparan =k + 1, dondek 3.(k + 1)! = 1 2 3 . . . k (k + 1) =k! (k + 1).Aplicandolahipotesisdeinducciontenemos(k + 1)! = k!(k + 1) > 3k2 (k + 1) > 3k2 3 = 3k1= 3(k+1)2.Porloqueseconcluyequen! > 3n2, paratodonaturaln 3.En este ultimo ejemplopudimosobservar c omo elmetodo deinduccion se puedeusar comenzandoen un natural distinto de uno. En algunos casos tenemos que una determinada propiedad se cumpleparatodon umeronaturaln m,enestoscasoselesquemadeInduccionsemodica,demaneraqueenvezdeprobarlabasedelainduccionparan = 1,sehaceparan =m.Paraconcluir nuestraexposicion, trataremosotravariantedel PrincipiodeInduccionqueparaciertosproblemassuelesermasc omodaquelaversi onoriginal.Enestavariante,conocidacomoInduccionFuerteoInduccionCompleta,seplantealahipotesisdeinducciondemaneramasgen-eral: sesuponequelapropiedadesvalidaparamk, enlugardesuponerquelapropiedadesunicamentevalidaparak. Cabemencionarqueambosprincipios(Inducci oneInduccionFuerte)sonlogicamenteequivalentes, porloquepuedenserusadosindistintamenteylaelecciondecualdeellosusarnodebetenerotraconsideracionadicional quelafacilidadquepresenteunouotroprincipiopararesolver elproblema.Parailustrar el usodel PrincipiodeInduccionFuerte, enel siguienteejemploexpondremos lapruebadeunapropiedaddelosn umerosdeFibonacci.Antesdepresentarelejerciciorecordemosc omosedenelasucesiondeFibonacciF1= 1F2= 1Fn= Fn2 +Fn1, paran 3.Esas,quelosprimerosn umerosdelasucesiondeFibonaccison1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...Ejemplo5.Pruebequeparatodoenteron 1, Fn< 2n.Solucion. Procedemos a probar porInduccion Fuertelavalidez deesta propiedad delos n umerosdeFibonacci.Paso1(BasedelaInduccion).-Procedemosamostrarlavalidezparalosn umerosF1yF2F1= 1 < 21F2= 1 < 4 = 225Paso 2 (Paso Inductivo).- Seakun n umero natural cualquiera tal quek 2. Suponemos quelapropiedadsecumpleparatodon umeroFm,donde1 m k.Hip otesisdeInduccion:Fm< 2m, para1 m k.UsandolaHip otesisdeInduccionparaFk1yFk, establecemoslavalidezdelapropiedadparaFk+1,conk 2.Fk+1= Fk1 +Fk< 2k1+ 2k= 2k1+ 2 2k1= (1 + 2) 2k1= 3 2k1< 22 2k1= 2k+1PorloqueseconcluyequeFn< 2n, paratodonaturaln.Apesar de que cuando usamos el esquemade InduccionFuerte, enlahipotesis de induccionsuponemoslavalidezdelapropiedadparatodosloscasosdondemk, esfrecuentequeeneldesarrollodelpasoinductivosoloseanecesarioutilizaralgunasdelasinstanciasposibles.N oteseque en el ejemplo anterior solo usamos 2 instancias de la hipotesis de induccion: param = ky param = k 1.Otrodetalledel ultimoejemploquemereceespecial atenci onestaenlademostraciondelabasedelainduccion: al probarlabasedelainduccionnosolosehizoparaF1, sinoqueademasfuenecesariohacerlotambienparaF2. LoanteriorobedecealanaturalezamismadelasucesiondeFibonacci, yaqueestasegeneraapartirdeF1yF2medianteladenicion: Fn=Fn2 + Fn1,paran 3.En estecaso, elconjuntodeFibonacciesunconjuntobienordenado con lapropiedadespecialdecontarcon2elementosmnimos:F1yF2,quesonlosgeneradoresdelconjuntoy,porlotanto,labasedelainducciondebeserprobadaparaambos.Como pudimos ver en este artculo, la Induccion Matem atica permite probar la validez de formulasy propiedades que se cumplen para todos los n umeros naturales. Asimismo, tambien vimos que estemetodo esigualmente utilcuandoserequiere probarunapropiedad paraotros conjuntos,siempreycuandoestosseanbienordenados.Las ideas que sustentan al Principio de Induccion se remontan a epocas muy antiguas y su formal-izaci on se ha venido renando con el paso del tiempo. Debido a su enorme poder, actualmente se leutiliza demanera muy extensa tanto en matematicas como en ciencias de lacomputacion. Existenmuchasvariantesdeesteprincipio,quevandesdelasversionesequivalentes(comoelPrincipiodeInduccion FuerteoelPrincipiodelBuen Orden6)hasta losesquemasdeinduccion para elcaso deordinalestransnitos7.EJERCICIOS1. Pruebeque3esdivisorden3+ 2nparatodoenteropositivon.6ElPrincipiodelBuenOrdenestableceque:Si Pesunsubconjuntonovacioden umerosnaturales, entoncesPtieneunelementomnimo.7Losordinalestransnitossonn umerosconstruidosconlateoradeconuntosyqueest anmasalladel innitode losn umerosnaturales.Elestudiodeestosn umeros(AritmeticaTransnita)tienesusorgenesenlostrabajosdelmatem aticofrancesGeorgCantor(1845-1918).62. Pruebesinesunentero positivo cualquiera, entonces secumplelasiguienteformula para lasumadecubos13+ 23+ +n3=n2(n+1)243. El juegodeNimsejuegaentredospersonasconlassiguientesreglas: Seponeunn umerondechasigualessobrelamesa.Cadajugadorensuturnopuedetomar1,2o3chas.Eljugador que toma la ultima cha pierde. Demuestre que el primer jugador tiene una estrategiaganadora siempreycuandon 1 (mod 4).4. Pruebequeeln umerototaldediagonales quetieneunpolgono convexo denlados(n 3),esn(n3)2.5. Pruebequeparatodoenteropositivon112+123+ +1n(n+1)=nn+1.6. ConsiderelasucesiondeFibonacciF1, F2, . . .ydemuestreque(F1)2+ (F2)2+ + (Fn)2=Fn Fn+17. Pruebeque(3n)! > 26n4paratodoenteropositivon.Bibliografa1. Swokowski,Earl.AlgebraUniversitaria.CECSA,Mexico1987.2. DeOteyza,et.al.TemasSelectosdeMatematicas.PrenticeHall,Mexico1988.3. CourantR,H.Robbins.QuesonlasMatematicas?FCE,Mexico2002.7