deméneghi. temas especiales de geotecnia. vol 1. 150701

TEMAS ESPECIALES DE GEOTECNIA

Una selección de artículos

Volumen 1

Agustín Deméneghi Colina

Profesor del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México

Mayo de 2014

ÍNDICE Tema Página

ECUACIONES CONSTITUTIVAS

Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena 4 Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas 9 Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas

16

Curvas de consolidación en arcillas sensitivas 26 Deformations assesment in expansive clays 34 Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo 38

INTERACIÓN ESTÁTICA SUELO-ESTRUCTURA

Interacción estática suelo-estructura 47

CIMENTACIONES PROFUNDAS Análisis y diseño geotécnico de pilas y pilotes 104

DISEÑO GEOTÉCNICO Y ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES Ejemplo de diseño de una zapata aislada 139 Ejemplo de diseño de una zapata corrida 163 Análisis y diseño de una cimentación compensada 191 Ejemplo de análisis y diseño de un pilote de concreto reforzado

226

TEMAS ESPECIALES DE GEOTECNIA

Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. C.

CIMENTACIONES

XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS, 2008

301

1 INTRODUCCIÓN

Cada disciplina de la ingeniería civil tiene que desarrollar técnicas apropiadas a su propia especificidad. Tal es el caso de la mecánica de suelos, en la que se tienen que encontrar las leyes que rigen el comportamiento de los medios granulares.

Un medio granular tiene la característica de que su rigidez (como medio) aumenta con la presión de confinamiento; además, en estos materiales la relación esfuerzo-deformación unitaria es en general no lineal. Por lo tanto, debemos buscar procedimientos que tomen en cuenta estas características específicas de un medio granular.

En este artículo se presenta un procedimiento que trata de contemplar los factores citados en el párrafo anterior, para el cálculo del asentamiento de un cimiento apoyado sobre un suelo friccionante. La ventaja de esta técnica es que permite computar dichas deformaciones con un número muy reducido de propiedades mecánicas.

2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA 2.1 Confinamiento inicial

Consideremos un elemento de suelo sometido al estado de esfuerzo por peso propio mostrado en la figura 1. La presión de confinamiento promedio inicial, por peso propio del terreno, vale

pco = (pvo + pho + pho) / 3

Si pho = Ko pvo, donde Ko es el coeficiente de presión

en reposo del suelo, entonces

pco = (1/3)(1 + 2Ko) pvo (1)

pvopho

pho pho

pho

pvo

Figura 1. Estado de esfuerzos por peso propio.

Por otra parte, si el suelo tiene una cierta cohesión o

cementación, podemos considerar que ésta se debe a una presión de confinamiento interno intrínseca, la cual denominaremos pcie. La presión de confinamiento inicial pbeo será entonces la suma de la presión de confinamiento intrínseca, pcie, más la presión externa por peso propio, pco, es decir

pbeo = pcie + pco (2)

2.2 Ecuación constitutiva para la estimación de la deformación de un elemento de suelo, ocasionada por incrementos externos de esfuerzo

Juárez Badillo (1965) utiliza la siguiente expresión para el cálculo de la deformación volumétrica de los materiales

dV/V = - γ (dσ/σ) (3)

donde

V = volumen de un elemento de suelo σ = esfuerzo isotrópico sobre el elemento de suelo

Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena

Settlement assessment of a foundation in sand

Agustín Deméneghi Colina, Facultad de Ingeniería, UNAM, Cd. Universitaria.

RESUMEN: Se presenta un procedimiento para el cálculo del asentamiento de un cimiento apoyado en un depósito de arena. Se utiliza una ecuación constitutiva no lineal que toma en cuenta el efecto de la presión de confinamiento en la magnitud de la rigidez del terreno. La ventaja de esta técnica es que, al considerar la no linealidad del suelo, se hace uso de muy pocas propiedades mecánicas, que además no cambian con la presión de confinamiento. El procedimiento se aplica al cómputo del asentamiento de un cimiento que puede estar apoyado sobre varios estratos de arena. Se incluye un ejemplo ilustrativo de este cálculo.

ABSTRACT: A procedure for the calculation of the settlement of a foundation in sand is presented. Confinement pressure on soil and a non linear stress-strain relationship are deemed. With this technique we use only a few mechanical properties. We can take into account several strata of soil. An illustrative example is included for the calculation of the settlement of a foundation in sand.


302 AGUSTÍN DEMÉNEGHI COLINA


γ = parámetro que mide la compresibilidad volumétrica del material

Vemos que en la expresión anterior, tanto la

deformación como el esfuerzo se “normalizan”. A continuación, extenderemos el concepto de normalización para aplicarlo al cálculo de la deformación de un suelo friccionante.

Por otra parte, al construir una obra de ingeniería se incrementan los esfuerzos sobre un elemento de suelo (figura 2), donde σz, σx y σy son los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por la presencia de la obra de ingeniería.

σz

σy

σx σx

σy

σz Figura 2. Incrementos de esfuerzos por una obra de ingeniería.

Supongamos por un momento que el confinamiento

inicial pbeo (ecuación 2) se mantiene constante. Demos incrementos de esfuerzo σz, σx y σy (figura 2); podemos usar entonces una variante de la ley de Hooke para el cálculo de la deformación unitaria

ε ≅ (1/A) [σz - ν (σx + σy)]r (4)

donde (1/A) es el coeficiente de proporcionalidad entre

el esfuerzo desviador y la deformación unitaria, ν es la relación de Poisson y r un exponente que depende de la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria del suelo.

Suponiendo que el espesor ∆zo del elemento es suficientemente pequeño para que la relación entre el incremento de esfuerzo horizontal y el incremento de esfuerzo vertical sea constante, tenemos que

a1 = σx / σz a2 = σy / σz (5)

σx = a1 σz σy = a2 σz (6)

Sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la ecuación 4

ε ≅ (1/A) {σz [1 - ν (a1 + a2)] }r (7)

ε ≅ (1/A) (f σz )r (8)

siendo

f = 1 - ν (a1 + a2) (9)

Por otra parte, como mencionamos antes, la

deformación es función inversa del esfuerzo de confinamiento. Veamos a continuación cómo tomar en cuenta este efecto. Consideremos un elemento de suelo sometido a una presión de confinamiento inicial pbeo; demos incrementos de esfuerzo σz, σx y σy sobre el cuerpo, tal como se ilustra en la figura 2. Estos incrementos de esfuerzo ocasionan que la presión de confinamiento pbeo aumente en una cantidad Δpbe, dando lugar a un nuevo valor de pbe, que vale

pbe = pbeo + Δpbe (10)

En términos generales, en mecánica de suelos se acepta

que Δpbe es igual al incremento de esfuerzo normal en el plano octaédrico, o sea, que es igual al promedio de los incrementos de esfuerzo

Δpbe = (1/3) (σz + σx + σy)

Para fines prácticos podemos sustituir la cantidad de

(1/3) por coeficientes, es decir

Δpbe = b1 σz + b2 (σx + σy) (11)

donde, dada la experiencia actual b1 = 1/3 y b2 = 1/3 . Reemplazando las ecuaciones 6 en la ecuación 11

Δpbe = c σz (12)

donde

c = b1 + b2 (a1 + a2) (13)

Sustituyendo en la ecuación 10

pbe = pbeo + c σz (14)

Demos ahora incrementos diferenciales de esfuerzo al elemento. Con los resultados anteriores, podemos plantear una ecuación constitutiva general, en la que la deformación unitaria sea directamente proporcional a la variante de la ley de Hooke dada por la ecuación 4, e inversamente proporcional a la presión de confinamiento dada por la ecuación 14 (figura 3), es decir (Deméneghi, 1984)

d(∆z) 1 (f σz/pa)r d(f σz/pa) ⎯⎯⎯ = − ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (15) ∆z A [ (pbeo + c σz) / pa ] s

donde A es el módulo de rigidez del suelo, y r y s son exponentes que dependen del tipo de suelo. pa = presión


CIMENTACIONES


303

atmosférica = 101.3 kPa, que se introduce con el fin de que el módulo A sea adimensional (véase Janbu, 1963).

La ecuación 15 es una ecuación constitutiva diferencial general que podemos usar para calcular la deformación de un suelo, para diferentes condiciones de carga.

3 CÁLCULO DE LA DEFORMACIÓN DE UN ELEMENTO DE SUELO GRANULAR Para el cálculo de la deformación vertical de un elemento de suelo de espesor Δzo (figura 3) podemos usar la ecua-ción 15, que corresponde a una ecuación constitutiva dife-rencial en un medio granular.

En suelos friccionantes, el exponente r varía entre 0 y 0.2. Para fines prácticos podemos tomar r = 0; la ecuación 15 queda d(∆z) 1 d(f σz/pa) ⎯⎯⎯ = − ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (16) ∆z A [ (pbeo + c σz) / pa ] s

Integremos la ecuación 16. Al aumentar el esfuerzo normal vertical de 0 a σz, la altura del elemento cambia de la altura inicial Δzo a la altura final Δzf (figura 3). Por lo tanto, debemos integrar la ecuación 16 de Δzo a Δzf el primer miembro y de 0 a σz el segundo miembro

d(Δz) 1 d(f σz/pa) ∫Δzo ⎯⎯ = - ∫o ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (17)

Δz A [(pbeo + c σz) / pa] s

Δzf f [(pbeo + cσz)1-s – (pbeo)1-s] ⎯ = exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯} (18) Δzo (1-s) c A pa

1-s

Pero (figura 3)

Δzf = Δzo + Δw (19)

Δzf/Δzo = 1 + Δw/Δzo

∆W= ∆Z

∆Zf ∆Zo

Figura 3. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo.

Δw/Δzo = Δzf/Δzo – 1 (20) Δw f [(pbeo + cσz)1-s – (pbeo)1-s] ⎯⎯ = exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯} – 1 (21) Δzo (1-s) c A pa

1-s

El desplazamiento Δw se mide hacia arriba. Para que el

desplazamiento hacia abajo sea positivo (como es usual en mecánica de suelos), hagamos δz = - Δw. La ecuación 21 queda

f [(pbeo + cσz)1-s – (pbeo)1-s]

δz ={1-exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯} }Δzo (22) (1-s) c A pa

1-s

La ecuación 22 permite calcular la deformación vertical

de un elemento de suelo friccionante de espesor Δzo, sujeto a incrementos de esfuerzo σz, σx y σy. Cabe aclarar que en suelos friccionantes el exponente s es del orden de 0.5.

Para fines prácticos, para el cómputo de la deformación

de un suelo friccionante conviene entonces emplear la ecuación 22 con s = 0.5, con el procedimiento que se indica a continuación.

El coeficiente Ko se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy, 1982)

Ko = (1 – sen φ)(OCR)sen φ (23)

donde φ es el ángulo de fricción interna y OCR es la

relación de preconsolidación del suelo en el campo. La relación de Poisson ν se obtiene

ν = Ko / (1 + Ko) (24) El módulo de rigidez promedio Am del suelo se

determina a partir del número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT), con la siguiente expresión aproximada

Am = 26.25 N1.125 (25)

El módulo desfavorable se calcula en función del nivel

de confianza α con

A = Am C (26) donde

C = exp[-0.784 tα √ 1.00758 + 0.0152(ln N – 2.976)2] (27)

tα es una variable t de Student, cuyos valores en función de α se muestran en la tabla 1. Cabe aclarar que existe una probabilidad α de que el módulo A del suelo sea menor que el valor dado por la ecuación 26.

Finalmente, la deformación δz de un estrato de suelo

friccionante de espesor Δzo se obtiene usando la ecuación 22.


304 AGUSTÍN DEMÉNEGHI COLINA


Tabla 1. Variable aleatoria t de Student Nivel de

Confianza α tα

% 2.5 1.978 5 1.657 10 1.288 15 1.041 20 0.844 25 0.676 30 0.526 40 0.254 50 0

4 EJEMPLO

Calcular el asentamiento de la zapata rectangular de concreto reforzado de la figura E-1. Solución: La determinación de los incrementos de esfuerzo se lleva a cabo usando la presión de contacto entre suelo y cimiento, que en este caso vale q = 197.35 kPa. En la tabla E-1 se exhibe el cómputo de las deformaciones de los tres estratos de suelo. Las presiones por peso propio y los incrementos de esfuerzo se obtienen a la mitad de cada estrato. Se usaron las ecuaciones 22 a 27. Ilustremos la aplicación del método no lineal con el cómputo de la deformación del estrato 1: La presión vertical inicial a la mitad del estrato 1 es pvo = 0.75(16) = 12 kPa Ko = 1 – sen 37° = 0.398 La relación de Poisson es ν = Ko/(1+Ko) = 0.398/(1+0.398) = 0.285 pco = [(1+2(0.398))/3](12) = 7.185 kPa Los incrementos de esfuerzo normal a la mitad del estrato valen σz = 196.71 kPa σx = 117.05 kPa σy = 119.40 kPa f = 1 - ν (a1 + a2) = 1 - ν [(σx + σy)/σz] f = 1 – 0.285 [(117.05+119.40)/196.71] = 0.657 c = b1 + b2 (a1 + a2) = b1 + b2 [(σx + σy)/σz] c = 1/3 + (1/3)[(117.05+119.40)/196.71] = 0.734 Am = 26.25 N1.125 (ecuación 25)

y

170

25

20030

x

Distancias en centímetros630 kN Croquis sin escala

30

30

Arena limpia N = 25 golpes γ = 16 kN/m3 30Φ = 37°

Arena limosa N = 32 golpes γ = 18 kN/m3 40Φ = 39°

Limo arenoso N = 28 golpes γ = 17 kN/m3 50Φ = 38°

Roca

EJEMPLOFIGURA E-1

Am = 26.25(25)1.125 = 981.32 Para α = 20%, tα = 0.844 (tabla 1) Reemplazando en la ecuación 27: C = exp[(-0.784)(0.844) √ 1.00758 + 0.0152(ln 25 – 2.976)2] C = 0.515 A = C Am = 0.515(981.32) = 504.92 Sustituyendo valores en la ecuación 22:

0.657{[(7.185+0.734(196.71)]1-0.5 – (7.185)1-0.5} δz ={1-exp{- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯}}(0.3)

(1-0.5)(0.734)(504.92)(101.3)1-0.5

δz = 0.001017 m = 0.102 cm

Para obtener la deformación de los estratos 2 y 3 se procede en forma similar. De acuerdo con la tabla E-1, sumando las deformaciones de los tres estratos con α = 20%, se encuentra un asentamiento total de δzT = 4.18 mm. Para α = 50% (hundimiento promedio) se usa un procedimiento análogo y se halla δzT = 2.15 mm.

Es interesante comparar estos asentamientos con el obtenido con las fórmulas de Steinbrenner (Terzaghi, 1943) y Denver (1985), el cual resulta 4.4 mm, muy similar a δzT = 4.18 mm con α = 20%.


CIMENTACIONES


305

Tabla E-1. Ejemplo α = 20%

Estrato A pvo Ko ν pbeo σz σx σy c f δz kPa kPa kPa kPa kPa mm

1’ 504.92 12 0.398 0.285 7.185 196.71 117.05 119.40 0.734 0.658 1.02 2 665.95 18 0.371 0.270 10.448 180.11 53.09 47.82 0.520 0.848 1.36 3 573.39 25.85 0.384 0.278 15.240 134.84 15.81 11.33 0.400 0.944 1.80

Suma 4.18

5 CONCLUSIONES

a) Debido a que en un elemento de suelo la presión de confinamiento varía durante la construcción de una obra de ingeniería, se plantea una ecuación diferencial constitutiva para el cálculo de la compresión del elemento, en la cual la deformación unitaria es inversamente proporcional a la presión de confinamiento (ecuación 15).

b) La ecuación diferencial constitutiva se integra para el intervalo de variación de los incrementos de esfuerzo ocasionados por la obra de ingeniería, lo que permite encontrar una expresión para el cómputo de la deformación de un estrato de arena (ecuación 22).

c) Se presentó un ejemplo para el cálculo del asentamiento de una zapata aislada, apoyada sobre tres estratos de suelo arenoso.

REFERENCIAS

Deméneghi, A (1984). “Análisis de deformaciones en suelos granulares”, Rev Ingeniería, Facultad de Ingeniería, UNAM, Vol LIV, N° 3: 34-38

Denver, H (1985). “Settlement calculation for footings on sand”, XI Int Conf Soil Mech Found Eng, vol IV: 2183-2190, San Francisco

Janbu, N (1963). “Soil compressibility as determined by oedometer and triaxial tests”, European Conf Soil Mech Found Eng, Wiesbaden, Germany, Vol 1: 19-25

Juárez Badillo, E (1965). “Compressibility of soils”, 5th Symp Civil Hydr Eng, Dep Indian Inst Science, Bangalore

Mayne, P W y Kulhawy, F H (1982). Ko-OCR relation-ships in soil. Jour Geot Eng Div, ASCE, GT8, junio

Terzaghi, K (1943). Theoretical Soil Mechanics, Wiley

Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos

e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas Prediction of deformations in overconsolidated clays

Agustín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA2

1Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México 2 Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México

RESUMEN: Se presenta un procedimiento no lineal para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas preconsolidadas totalmente saturadas. Se considera además la influencia del incremento de esfuerzo desviador en la magnitud de la compresión de un elemento de suelo. Se utilizan los conceptos anteriores para el cálculo de asentamientos de estructuras apoyadas sobre arcillas preconsolidadas. Se incluye un ejemplo de aplicación. ABSTRACT: A non linear procedure for the calculation of long term deformations in fully saturated, overconsolidated clays, is presented. It also takes into account the influence of deviator stress increment in the amount of deformation in these soils. These concepts are used to calculate the settlements of structures resting over these soils. An example of settlement prediction is included.

1 INTRODUCCIÓN Para el cálculo de la deformación a largo plazo de un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, es usual utilizar los resultados de pruebas de consolidación unidimensional, practicadas sobre muestras inalteradas extraídas del estrato de suelo. En ocasiones la estimación de la compresión se acerca en forma más o menos satisfactoria a la compresión que sufre el estrato en el campo.

Sin embargo, otras veces ocurre que la deformación de la arcilla en el campo es menor que la deformación estimada con los resultados del ensaye de consolidación unidimensional. Skempton y Bjerrum (1957) analizaron este fenómeno y concluyeron que esta diferencia se debe a que el incremento de esfuerzo desviador in situ no necesariamente es similar al incremento de esfuerzo desviador en el laboratorio. Esta discrepancia hace que el incremento de presión de poro en el campo sea menor que el incremento de presión de poro en el consolidómetro, lo que a su vez da lugar a que la compresión in situ sea menor que la compresión en el laboratorio.

Por otra parte, una arcilla preconsolidada ha almacenado energía de deformación por la mayor carga que tuvo durante su historia geológica; cuando ocurre en este suelo un incremento de esfuerzo desviador, se libera parte de esta energía de deformación. En consecuencia, el incremento de presión de poro en el campo resulta menor que el incremento de presión de poro en el odómetro.

Las razones expuestas en los párrafos anteriores explican el porqué la deformación in situ es menor que la deformación en el laboratorio, siendo esta diferencia mayor en arcillas preconsolidadas.

En su forma original, el trabajo de Skempton y Bjerrum fue presentado de manera gráfica, y lo que nosotros exponemos en este artículo son expresiones analíticas derivadas del procedimiento de estos autores, las cuales se pueden programar en una calculadora con relativa facilidad. Previamente a la presentación de estos conceptos, tratamos un método no lineal para el cálculo de las deformaciones en arcillas preconsolidadas.

2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS

2.1 Ecuación constitutiva

Consideremos un elemento de arcilla precon-solidada totalmente saturada, sometida a una prueba de consolidación unidimensional, como se muestra en la figura 1. Denominemos con pveo al confinamiento inicial vertical y a σz el incremento de esfuerzo normal vertical sobre el elemento.

El confinamiento inicial vertical pveo está dado por

'vocieveo ppp (1)

donde pcie es la presión de confinamiento equivalente a la cementación del suelo (en caso

2 Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas


que la hubiera), y pvo’ es la presión normal vertical efectiva inicial sobre el elemento.

Debido al incremento de esfuerzo vertical σz sobre el espécimen de suelo, éste sufre una deformación vertical Δwf como se indica en la figura 1.

σz

Z, W

pvo'

ΔWf ΔW < 0

ΔZo

ΔZf

x, u

Figura 1. Incremento de esfuerzo normal, σz, sobre un elemento de suelo de espesor inicial Δzo Definamos la diferencial de deformación unitaria vertical dεz de la siguiente forma

z

wdd z

(2)

De acuerdo con la figura 2

wzz o wdwdzdzd o

Reemplazando en la ecuación 2

z

zdd z

(3)

Demos ahora un incremento de esfuerzo diferencial dσz como se indica en la figura 2. Proponemos la siguiente ecuación constitutiva para el cálculo de la deformación unitaria en compresión no confinada

s

a

zveo

a

z

z

p

p

p

d

Ad

1 (4)

donde pa = presión atmosférica = 101.3 kPa, A es un coeficiente que mide la rigidez del material, y s es un

exponente que depende del tipo de suelo. En arcillas totalmente saturadas s ≈ 1; reemplazando este valor en la ecuación 4

Z, W

d(σz)

ΔWΔWf d(ΔW) ΔW < 0

ΔZΔZf

ΔZo

x, u

Figura 2. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo

zveo

zz p

d

Ad

1

(5) Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 5, e integrando

zf

ozveo

zz

z p

d

Az

zd

0

1

Es decir

A

veo

zveo

o

f

p

p

z

z1

(6) Por otra parte, de acuerdo con la figura 2

fof wzz

o

f

o

f

z

w

z

z

1

oo

ff z

z

zw

1 (7) Reemplazando la ecuación 6 en la ecuación 7

o

A

veo

zveof z

p

pw

1

1

(8)

DEMÉNEGHI, A. et al. 3


De acuerdo con la convención de signos de la figura 2, el valor de Δwf dado por la ecuación 8 da siempre negativo. Para tener una magnitud positiva de la deformación del elemento, hagamos ΔδP = - Δwf, donde ΔδP es la deformación al término de la consolidación primaria del elemento de suelo. La expresión 8 queda

o

A

veo

zveoP z

p

p

1

1 (9)

La ecuación 9 permite calcular la deformación ΔδP, en compresión confinada, de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo, sometido a un incremento de esfuerzo vertical σz.

2.2 Determinación del módulo de rigidez A

El módulo de rigidez A lo obtenemos despejándolo de la ecuación 9

o

P

veo

zveo

z

p

p

A

1log

log

(10)

donde log x = log10 x

Por otra parte, es usual calcular la relación de vacíos en una prueba de consolidación. El módulo A se puede obtener en función de dicha relación de vacíos, de la siguiente forma

oo

foo

oP z

e

eez

e

e

11

o

f

o

P

e

e

z

1

11

(11)

Si, como es común, en arcillas preconsolidadas la presión equivalente debida a la cementación entre partículas es cercana a cero: pcie ≈ 0, la presión pveo ≈ pvo’. Tomando en cuenta además la ecuación 11 en la ecuación 10, el módulo A queda

o

f

vo

vf

e

e

p

p

A

1

1log

'

'log

(12) La expresión 12 se puede utilizar para determinar el módulo de rigidez en la rama de recompresión, As’. En efecto, sean P1(pv1’, e1) y P2(pv2’, e2) dos puntos en dicha rama (pv2’ > pv1’), entonces

1

2

1

2

1

1log

'

'log

'

e

e

p

p

A v

v

s (13) Un procedimiento similar se usa para obtener el módulo de rigidez en la rama virgen, A’.

3 CRITERIO DE SKEMPTON Y BJERRUM PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS Como señalamos antes, Skempton y Bjerrum (1957) señalan que las magnitudes de las deformaciones obtenidas a partir de resultados de una prueba de consolidación unidimensional pueden ser diferentes a los valores de las deformaciones sufridas por una obra en el sitio, dependiendo esta diferencia de la relación entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro. Veamos a continuación la forma de estimar esta diferencia.

La deformación en consolidación unidimensional vale

zovPcon zm

siendo mv el coeficiente de compresibilidad volumétrica del suelo. En el consolidómetro el incremento de presión de poro, en el momento de aplicar la carga, ΔuWcon = σz, por lo que

WconovPcon uzm (14)

Por otra parte, el incremento de presión de poro en el campo es función del incremento de esfuerzo desviador, es decir

22yx

zSkeyx

Wcpo Au

(15)



donde ASke es el coeficiente de presión de poro de Skempton (1953), cuyos valores, para condiciones de trabajo, se exhiben en la tabla 1. Tabla 1. Valores del coeficiente ASke en condiciones de trabajo (Skempton y Bjerrum, 1957)

Tipo de arcilla Aske

Arcilla blanda muy sensitiva > 1

Arcilla normalmente consolidada ½ a 1

Arcilla preconsolidada ¼ a ½

Arcilla arenosa fuertemente preconsolidada 0 a ¼

Skempton y Bjerrum consideran que el asentamiento en el campo se puede calcular con la ecuación 14, sustituyendo el incremento de presión de poro en el sitio, es decir

WcpoovPcpo uzm (16) Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 14 y 16

12

1

z

yxSkezSke

Wcon

Wcpo

Pcon

Pcpo

AA

u

u

(17)

O sea

PconPcpo (18) donde

o

A

veo

zveoPcon z

p

p s

'

1

1 (19)

4 PREDICCIÓN DE DEFORMACIONES A LARGO PLAZO EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS

De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, el cómputo de la deformación a largo plazo en un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, se puede llevar a cabo con los siguientes pasos

a) Se extrae una muestra inalterada del suelo, de preferencia a la mitad del estrato

b) Se realiza una prueba de consolidación unidimensional en una probeta labrada de la muestra inalterada

c) Con los resultados de la prueba de consolidación, se obtienen el coeficiente de consolidación cv del suelo (empleando los

procedimientos usuales de la geotecnia), y el módulo de rigidez As’ en el tramo de recompresión, usando la ecuación 13

1

2

1

2

1

1log

'

'log

'

e

e

p

p

A v

v

s (13)

d) Se calcula la deformación del estrato para compresión unidimensional, al término de la consolidación primaria, utilizando la ecuación 19

o

A

veo

zveoPcon z

p

p s

'

1

1 (19)

e) Se obtiene la deformación del estrato en campo, al término de la consolidación primaria, con la ecuación 18

PconPcpo (18)

donde, de acuerdo con la expresión 17

12

1

z

yxSkezSke

AA

(17)

f) La deformación del estrato para un tiempo, t, se determina

UPcpotPcpo , (20)

donde U es el grado de consolidación primaria, que es función del factor tiempo T

2e

v

z

tcT

(21)

Las magnitudes de U se muestran en la tabla 2.

Hicimos una comparación de los asentamientos de estructuras, tomados de Skempton y Bjerrum (1957), empleando el método de estos autores y el procedimiento que planteamos en este artículo. Los resultados se exhiben en la tabla 3; vemos que los valores de coeficiente μ son prácticamente los mismos.



Tabla 2. Relación teórica U-T

U(%) T

0 0

10 0.008

15 0.018

20 0.031

25 0.049

30 0.071

35 0.096

40 0.126

45 0.159

50 0.197

55 0.238

60 0.287

65 0.342

70 0.405

75 0.477

80 0.565

85 0.684

90 0.848

95 1.127

100 ≈ 2.0

(Tomada de Juárez Badillo y Rico, 1976) Tabla 3. Magnitudes del coeficiente μ

Obra Valores del coeficiente μ

Skempton y Bjerrum

Este artículo

Tanque de almacenamiento

0.80 0.80

Arcilla de Chicago 0.90 0.90

Arcilla de Londres 0.50 0.49

Arcilla de Oxford 0.55 0.55

5 FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZO Los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por un cimiento cargado se pueden valuar con las siguientes expresiones, válidas para un medio homogéneo, isótropo y linealmente elástico (con una relación de Poisson ν), con carga repartida q aplicada sobre la superficie de un medio seminfinito (Deméneghi y Puebla, 2012) Círculo cargado Los incrementos de esfuerzo bajo el centro de un círculo cargado están dados por Incremento de esfuerzo normal vertical

2/322

3

1za

zqz

Incremento de esfuerzo radial horizontal (Yoder, 1959)

2/322

3

2/122

1221

2 za

z

za

zqr

Rectángulo cargado Los incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado están dados por (figura 3) Incremento de esfuerzo normal vertical (Damy, 1985)

zB

xy

B

xyz

zyzx

qz

12222 tan

11

2 Incrementos de esfuerzo normal horizontal (Dashkó y Kagán, 1980)

yz

xB

y

x

xy

zB

Bzy

xyzqx

11

122

tantan21

tan22

xz

yB

x

y

xy

zB

Bzx

xyzqy

11

122

tantan21

tan22

q y

x

z

σz

σy

σx Figura 3. Incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado



6 EJEMPLO Calcular el asentamiento bajo el centro de la losa de cimentación de la estructura de la figura 4, para tiempos de 6 meses y 5 años después de terminada la construcción. La losa tiene 8 por 16 m en planta, y transmite al terreno un incremento de presión media de 80 kPa.

Se practicó además una prueba de consolidación sobre una muestra inalterada extraída del estrato de arcilla preconsolidada. Las coordenadas de dos puntos de la curva de compresibilidad en la rama de recompresión son: P1 (0.281 kg/cm2, 1.061), P2 (1.217 kg/cm2, 1.024); cv = 0.000046 cm2/s. En esta arcilla el fenómeno de consolidación secundaria es pequeño y se puede despreciar para fines prácticos.

Considerar en la arcilla ’ = 29°, pcie = 0, una relación de preconsolidación OCR = 2 y un coeficiente de Skempton Aske = 1/3

NAF

Arena compacta0.6 m

Gamma = 18 kN/m3

Arcilla preconsolidada, OCR = 2, pcie = 00.6 m

Gamma = 16 kN/m3

Roca Figura 4. Ejemplo Solución El módulo As’ lo obtenemos con la ecuación 13

9.80

061.11

024.11log

281.0

217.1log

'

sA pveo = pvo’ =(18-9.81)(0.6)+(16-9.81)(0.3)= 6.771 kPa

A la mitad del estrato, los incrementos de esfuerzo valen σz = 79.61 kPa σx = 64.87 kPa σy = 57.68 kPa Utilizamos la ecuación 19

mPcon 0186.06.0771.6

61.79771.61

9.80

1

Usando la ecuación 17

8465.0

61.792

68.5787.643/11

3

61.79

La deformación en campo, al término de la consolidación primaria vale (ecuación 18)

mPcpo 01574.00186.08465.0 a) Tiempo = 6 meses t = 6(30)(86400) = 15,552,000 s

795.0

30

000,552,15000046.02 T

U = 88.4%

mmesesP 0139.001574.0884.06 b) Tiempo = 5 años t = 5(365.25)(86400) = 157,788,000 s

206.8

30

000,788,157000046.02 T

U = 100%

mañosP 01574.001574.015 (Arcilla preconsolidada. Ejemplo 5 años)



7 VALORES ESTADÍSTICOS Para fines preliminares de análisis se pueden usar las siguientes magnitudes obtenidas a partir de datos estadísticos

31027

469.3400885.116.2512.12

5.2491'

2

IP

tIP

As

54414

099.3500637.143.2379.28

3.757'

2

IP

tIP

A

donde IP es el índice plástico, en porciento, y tα es una variable t de Student, cuyos valores en función del nivel de confianza α aparecen en la tabla 4. Para fines preliminares se puede usar 15% ≤ α ≤ 30%. Tabla 4. Magnitudes de la variable aleatoria tα

Nivel de confianza α

Módulo As’ Módulo A’

% Variable aleatoria tα

2.5 1.982 1.975

5 1.659 1.654

10 1.289 1.287

15 1.041 1.040

20 0.845 0.844

25 0.677 0.676

30 0.526 0.526

40 0.254 0.254

50 0 0

8 CONCLUSIONES

De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, se concluye lo siguiente:

a) La compresión de un elemento de arcilla

preconsolidada se puede predecir usando un método no lineal de deformación, considerando que la compresibilidad del suelo disminuye con el esfuerzo normal vertical efectivo sobre el suelo

b) La deformación de un estrato de arcilla preconsolidada, totalmente saturada, resulta en el campo menor o igual que la deformación calculada a partir de resultados de pruebas de consolidación unidimensional

c) La diferencia entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el

incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro da lugar a que el aumento de presión de poro in situ sea menor que el aumento de presión de poro en el laboratorio, lo que conduce a que la deformación unitaria de un estrato en campo sea menor a la deformación unitaria de una probeta en el odómetro

d) En este artículo se presentó un procedimiento analítico para tomar en cuenta el efecto del esfuerzo desviador in situ, siguiendo los conceptos presentados por Skempton y Bjerrum. La solución que exponemos se puede programar en una computadora con relativa facilidad

REFERENCIAS

Damy, J (1985). “Integración de las ecuaciones de Boussinesq, Westergaard y Fröhlich, sobre super-ficies poligonales de cualquier forma, cargadas con fuerzas verticales uniformemente repartidas”, Rev Ingeniería, Vol LV, N° 1: 82-86

Dashkó, R E y Kagán, A A (1980). Mecánica de Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la Ingeniería, Cap 2, MIR, Moscú

Deméneghi, A y Puebla, M (2012). “Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo”, Apuntes de Comportamiento de Suelos, Facultad de Ingeniería, UNAM, México, D F

Juárez Badillo, E y Rico, A (1976). Mecánica de Suelos, Limusa, México, D F

Skempton, A W (1954). “The pore pressure coefficients A and B”, Géotechnique, 4: 143-147

Skempton, A W y Bjerrum, L (1957). “A contribution to the settlement analysis of foundations in clay”, Géotechnique, 7(4), 168-178

Yoder, E J (1959). Principles of Pavement Design, Wiley

(Arcillas preconsolidadas. ADC. MPC)

XXV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica

Acapulco, Gro., del 11 al 13 de noviembre de 2010


1 INTRODUCCIÓN

Las arcillas sensitivas se forman en cuerpos de agua salada, y, por esta razón, poseen una estructura floculenta, lo que ocasiona que su comportamiento sea muy diferente a las arcillas que se producen en cuerpos de agua dulce. La estructura floculenta da lugar a que en una arcilla sensitiva sus partículas queden unidas entre sí, y, por lo tanto, su rigidez no dependa de manera significativa de la presión vertical efectiva en el campo; es decir, su rigidez (o deformabilidad) está supeditada más al pegamento entre partículas que a la presión vertical efectiva. Por otra parte, la adhesión entre los granos es relativa-mente débil, lo que ocasiona que, además de la deforma-ción por consolidación primaria, en estos suelos se manifieste en forma notable el fenómeno de deformación por consolidación secundaria. Así, las arcillas sensitivas exhiben diversas clases de curvas de consolidación, siendo tres de ellas típicas: (a) curvas tipo I, (b) curvas tipo II, y (c) suelos con cavidades (Zeevaert, 1986). En este trabajo se presenta un procedimiento para la predicción de las deformaciones a largo plazo de las arcillas sensitivas, que toma en cuenta su estructura floculenta, su rigidez debida al pegamento y los fenómenos de compresión por consolidación primaria y consolidación secundaria. Se incluyen al final del artículo dos ejemplos de aplicación.

2 CARACTERÍSTICAS DE LAS ARCILLAS SENSITIVAS

Las arcillas que se forman por sedimentación en cuerpos de agua se pueden dividir en dos grupos: (a) aquellas que se depositan en agua salada, y (b) aquellas que se sedimentan en agua dulce. En las primeras los cationes del agua reducen la carga eléctrica negativa de la superficie de las partículas del suelo, y favorecen la unión de dichas partículas; este fenómeno da lugar a una estructura “floculenta” (o estructura en “castillo de naipes”) del suelo, el cual queda formado por “cadenas”, cuyos eslabones son los propios granos del mismo. A estos sedimentos los denominamos “arcillas sensitivas”.

Relación de Rama cementadavacíos

Ramavirgen

pvb' = presión crítica

pvo' = presión debidaA' a peso propio

del suelo

pvb' > pvo'

pvo' pvb' Presión verticalefectiva pv', log

Figura 1. Curva de compresibilidad. Arcilla sensitiva Por el contrario, las partículas que se depositan en agua dulce no se unen entre sí, formando una estructura “dispersa”. A estos suelos los llamamos “arcillas no sensitivas”.

Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivasPrediction of long term deformations in sensitive clays

A Deméneghi, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

RESUMEN: Se presenta un procedimiento para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas. Se consideran tres clases de curvas de consolidación (tipo I, tipo II y suelos con cavidades) y se proponen métodos de cálculo de deformaciones para cada una de ellas. Se incluyen al final del artículo ejemplos de aplicación.

ABSTRACT: A procedure for the prediction of long term deformations in sensitive clays is presented. We consider three types of consolidation curves (type I, type II and soils with cavities), and methods for the calculation of deformations in each of them. We include practical examples at the end of this paper.

Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas


Las partículas de las arcillas sensitivas quedan unidas por un “pegamento” (pegamento que por cierto es de baja magnitud). Si el incremento de carga sobre este suelo es pequeño y no rompe la liga entre partículas, la deformación del mismo suele ser pequeña, mientras que si el incremento es de magnitud tal que destruye dicha liga, la deformación del suelo es muy grande, lo que conduce a fuertes asentamientos de las obras construidas sobre él.

Consideremos la curva de compresibilidad de una arcilla sensitiva mostrada en la figura 1. Sea pvo’ la presión vertical efectiva inicial, y pvb’ la presión para la cual se rompe la unión entre partículas, a la cual denominamos presión crítica. Esta presión crítica pvb’ define, en estos sedimentos, una perturbación del esqueleto estructural que cambia considerablemente las propiedades de compresibilidad del material (Zeevaert, 1973). Al intervalo de presión efectiva comprendido entre la presión inicial pvo’ y la presión crítica pvb’ le llamamos rigidez por fuerzas electromagnéticas, o simplemente rigidez electromagnética pvb’:

pvb’ = pvb’ – pvo’ (1)

En zonas alejadas de la costa la sedimentación de las partículas de arcilla se producen en aguas relativamente tranquilas, debajo de la zona de acción de las olas. El grado de floculación puede ser considerablemente grande, debido al agua salada y al carbonato de calcio en forma de conchas o partículas microscópicas que puede acumularse. Estos suelos consisten en estratos horizontales de limo y arcilla que frecuentemente tienen una estructura sumamente floculada. En muchas líneas de costa los bancos o barras forman barreras que llegan a separar la playa del mar, formando lagunas de costa. En algunos casos las lagunas son lagos permanentes cuyas aguas suben y bajan con las mareas, pero en otros casos pueden ser marismas. Los depósitos de arcilla pueden ser potentes y tener una estructura floculada muy desarrollada (Sowers y Sowers, 1975).

Como hemos comentado, las arcillas de origen marino son del tipo sensitivo. Sin embargo, se pueden formar arcillas sensitivas por otras causas. Mitchell (1993) distingue seis diferentes fenómenos que puede dar lugar a un suelo sensitivo: fábrica (o estructura) metaestable del suelo (por floculación de la arcilla, descrita en los párrafos anteriores), cementación, intemperismo, endurecimiento por tixotropía, intercambio catiónico y formación o adición de agentes dispersantes. Cuando la sensitividad St es mayor que 4, el suelo se considera como muy sensitivo (Mitchell, 1993).

Terzaghi y Peck (1967) comentan que si una arcilla tiene un límite líquido mayor que 100% y si su contenido natural de agua a una profundidad mayor que 6 ó 9 m bajo la superficie es mayor que el límite líquido, o si presenta un alto contenido de materia orgánica, es probable que se

comporte como arcilla sensitiva (a estos materiales estos autores los denominan arcillas extrasensitivas). Señalan que la arcilla de la ciudad de México, ciertas arcillas marinas del sureste de Canadá y de los países escandinavos, y varios suelos finos con alto contenido de sustancia orgánica, son del tipo sensitivo.

Una vez que se forma un estrato de arcilla sensitiva, con el tiempo se van sedimentando sobre él otros suelos. Con el incremento de carga, y con el tiempo, las partículas sufren un asentamiento por consolidación primaria, el cual en general es de pequeña magnitud, porque los granos están unidos entre sí. Adicionalmente, las partículas del suelo se acomodan entre ellas, y debido a la naturaleza viscosa del agua que rodea a dichas partículas, éstas “resbalan” unas sobre otras, dando lugar al fenómeno de consolidación secundaria, el cual se manifiesta de manera explícita cuando ya se ha disipado el incremento de presión de poro por la aplicación de la carga (es decir, cuando ha terminado la consolidación primaria).

La reducción de la relación de vacíos de la arcilla hace que se acreciente la conexión entre las partículas, lo que ocasiona un aumento de la rigidez de la masa de suelo. Este incremento del pegamento depende de la edad del depósito y de la magnitud de la carga aplicada (Bjerrum, 1973).

Por ejemplo, la arcilla sensitiva de Drammen ha ganado rigidez durante 3000 años que ha soportado la presión vertical efectiva que tiene actualmente. La arcilla de la ciudad de México, a 3.5 m de profundidad, tiene una edad de 33500 años (Reséndiz y coautores, 1970), lapso en que ha ganado rigidez por carga vertical efectiva. Aun sometida a esfuerzos cortantes de magnitud significativa, las arcillas muestran una preconsolidación aparente por el efecto de la edad (Tavenas y Leroueil, 1987).

Sea pvb’ la presión vertical efectiva para la cual se rompe el enlace entre partículas, y pvo’ la presión vertical efectiva inicial debida a peso propio del suelo a la profundidad z. Por lo comentado en los párrafos anteriores, en arcillas sensitivas siempre se cumple que (pvb’ – pvo’) > 0. Como dijimos antes, a la diferencia (pvb’ – pvo’) se le denomina rigidez de liga entre partículas (bond strength; Terzaghi y Peck, 1967). Cabe señalar que en las arcillas marinas de Noruega se ha encontrado que el cociente pvb’/pvo’ 1.6 (Bjerrum, 1967). Es interesante notar que, tomando datos de la arcilla de la ciudad de México, resulta también que el cociente pvb’/pvo’ 1.6.

Por lo tanto, para que los asentamientos no sean excesivos, podemos adoptar para fines prácticos pvb’/pvo’ = 1.5, y verificar que el incremento de esfuerzo normal vertical no sobrepase la cantidad (pvb’ – pvo’), es decir σz ≤ (pvb’ – pvo’) = 1.5pvo’ – pvo’ = 0.5 pvo’ (2)

Deméneghi, A


En el caso de una cimentación parcialmente compensada, el incremento neto de presión no debe exceder (pvb’ – pvo’). Así, si PUM = peso unitario medio de la estructura, kPa INP = incremento neto de presión, kPa pvo = presión total previamente existente a la profundidad de desplante del cajón, kPa Entonces, a la profundidad de desplante del cajón INP = PUM – pvo ≤ (pvb’ – pvo’) PUM – pvo ≤ 0.5pvo’ (3) La desigualdad 3 nos permite calcular la profundidad de desplante de un cajón estanco, para una cimentación parcialmente compensada, en la arcilla de la ciudad de México.

Se pueden usar valores mayores de pvb’ (ecuación 1), en caso de que la arcilla exhiba un grado adicional de rigidez. Para esto, se pueden emplear resultados de pruebas de consolidación, o de ensayes de campo de cono eléctrico (Santoyo y coautores, 1989).

Por otra parte, en vista de que el pegamento entre partículas es débil, éstas “resbalan” entre sí, lo que conduce a que, como señalamos antes, además de la compresión por consolidación primaria, ocurra una compresión adicional por consolidación secundaria en esta clase de suelos, la cual es del mismo orden de magnitud que la primaria.

3 ECUACIONES CONSTITUTIVAS

Consideremos un elemento de suelo sometido a carga vertical (figura 2). Si aplicamos un incremento diferencial de esfuerzo dσz, la deformación unitaria vale

s

a

zveo

a

z

z

p

p

p

d

Ad

1 (4) siendo pveo = pcie + pvo’ pcie = presión de confinamiento interno equivalente pvo’ = presión vertical efectiva sobre el elemento Pero

z

zdd z

Es decir

s

a

zveo

a

z

p

p

p

d

Az

zd

1

(5)

z

σz

y

σz

x Figura 2. Incremento de esfuerzo vertical por una obra de ingeniería Como mencionamos antes, las arcillas sensitivas tienen una estructura floculenta, lo que hace que su rigidez se mantenga aproximadamente constante, y no dependa, de manera significativa, de la magnitud de la presión vertical efectiva. Podemos usar entonces s = 0 en la ecuación 5. Así

a

z

p

d

Az

zd 1

zf

oz

a

z

zd

Apz

zd

0

1

a

z

o

f

Apz

z

ln

a

z

o

f

Apz

z exp



Pero (figura 3) Δzf = Δzo + Δw

ΔW

ΔZf

ΔZo

Figura 3. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo

oo

o

o

f

z

w

z

z

z

z

oo

f zz

zw

1

Hagamos δz = - Δw

o

o

fz z

z

z

1

oa

zz z

Ap

exp1 (6)

Por otra parte, la ley de Hooke establece que

zz dE

d 1 (7)

zz E 1

zo Ez

w 1

zo

z E

z (8)

Si hacemos s = 0 en la ecuación 4 y la comparamos con la ecuación 7

E ≈ A pa (9)

La deformación vertical δz de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo, sometido a un incremento de esfuerzo vertical σz, la podemos calcular usando la ecuación 6 ó la ecuación 8. Por otra parte, la relación entre los módulos A y E viene dada por la ecuación 9.

4 EVOLUCIÓN DE LAS DEFORMACIONES

4.1 Nota preliminar

La compresión a largo plazo de una arcilla sensitiva, en la rama “cementada” de la curva de compresibilidad (figura 1), se debe a la suma de las deformaciones por consoli-dación primaria y por consolidación secundaria δt = δPt + δSt (10) δPt = deformación por consolidación primaria δSt = deformación por consolidación secundaria

4.2 Consolidación primaria

La compresión por consolidación primaria se obtiene con las siguientes expresiones Deformación al término de la consolidación primaria

oaP

zP z

pA

exp1 (11)

O bien

zP

oP E

z (12)

EP = AP pa (13) Deformación para un tiempo t (Juárez Badillo y Rico, 1976)

PPt U (14)

U = grado o porcentaje de consolidación primaria

U = F (T)

Deméneghi, A


2e

v

z

tCT

(15)

T = factor tiempo Cv = coeficiente de consolidación Δze = espesor efectivo del estrato que se está consolidando

4.3 Consolidación secundaria

Consideremos el modelo de viscosidad intergranular de la figura 4 (unidad Z; Zeevaert, 1986), que consiste en un amortiguador N con coeficiente de fluidez ΦN y otro amortiguador 2 cuya fluidez disminuye con el tiempo. En el amortiguador N

NNN

(16)

En el amortiguador 2

22 tb

a

Por equilibrio

z = N + 2 (17)

Como los amortiguadores están en paralelo

2

NSt (18)


21

a

tbN

Nz

St

Nz a

tb

1

z

N

St

tba

a

(19)

Considerando z = constante, integramos la ecuación 19

t

NzSt

atba

0

ln

N

NzSt a

b

atb

a ln (20)

σz

N 2

σz Figura 4. Modelo de viscosidad intergranular. Unidad Z (Zeevaert, 1986) En el modelo de Newton, de acuerdo con las ecuaciones 16 y 19

z

N

NSt

NN

tba

a

1

Para t = 0 → N = z, de donde b = 0


N

NzSt a

at

a ln (21)

Por otra parte ln x = 2.31 log10 x = 2.31 log x

Tomando en cuenta un gran número de modelos Z en serie

t

aa

N

zSt 1log31.2 (22)

Pero

o

StSt z



Por lo tanto

t

aza

N

ozSt 1log31.2 (23) δSt = Ct log [1 + λ t] (24)

siendo

Ct = 2.31 ā (Δzo) z (25)

aN

(26)

La ecuación 23 la podemos poner de la siguiente forma

t

C

z

z

C

aC

v

e

e

vNtSt

2

21log

Pero (ecuación 14)

2e

v

z

tCT

T

C

z

aC

v

eNtSt

2

1log

TCtSt 1log (27)

donde

v

eN

C

z

a

2 (28)

Por otra parte, de la ecuación 6 despejamos A

o

za

z

zp

A

1ln

(29)

Definimos Acs de la siguiente forma

o

ta

zcs

z

Cp

A

1ln

(30)

O bien

oacs

zt z

pAC

exp1 (31)

También

t

ozcs C

zE

(32)

cs

ozt E

zC

(33)

Ecs = Acs pa (34)

5 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS SENSITIVAS

5.1 Nota preliminar

Como señalamos antes, la deformación de un elemento de suelo, en el tramo “cementado” de la curva de compresibilidad (figura 1), está dada por la ecuación 10

StPtt (35)

TCU tPt 1log (36)

La compresión por consolidación primaria la calculamos usando las ecuaciones 11 ó 12 y la ecuación 14. La deformación por consolidación secundaria la obtenemos utilizando las ecuaciones 27 y 31.

5.2 Determinación de propiedades

Desde el punto de vista práctico, distinguimos tres formas de curvas de consolidación: tipo I, tipo II y suelos con cavidades, las cuales se exhiben en las figuras 5, 6 y 7, respectivamente. Por razones de espacio, veremos como ilustración únicamente la determinación de propiedades para curvas tipo I (figura 5). En esta clase de curvas el módulo ξ = 5 (Zeevaert, 1986). En la curva de consolidación se toman dos puntos para tiempos grandes. En la recta de consolidación secundaria

1

212 1

1log

T

TCttt

Deméneghi, A


1

2

1

212 loglog

t

tC

T

TC tttt (37)

Figura 5. Curva de consolidación tipo I Figura 6. Curva de consolidación tipo II

1

2

12

logt

tC tt

t

(38)

Por otra parte, para U = 100%, T ≈ 2

Sea δB = deformación correspondiente al 100% de consolidación primaria. Reemplazando en la ecuación 36

δB = δP + Ct log [1 + 5(2)]

δP = δB – 1.04 Ct (39)

Ap se obtiene de la ecuación 11

Figura 7. Curva de consolidación. Suelo con cavidades

o

Pa

zP

zp

A

1ln

(40) Para U = 50%, T = 0.197

δ50 = δP/2 + Ct log [1 + 5(0.197)]

δ50 = δP/2 + 0.298 Ct (41)

Haciendo U = 50% en la ecuación 15, T = 0.197

50

2197.0

t

zC e

v

(42)

t50 lo medimos directamente en la curva de consolidación con δ50.

5.3 Ejemplos

Ejemplo 1

t (log)tB

BB

des

plaz

am

ient

o

tB

BB

des

pla

zam

ien

to

CURVA TIPO IIt (log)

1 10 100 1000 10000 100000

Def

orm

ació

n

80

100

120

140

160

t (s)



Sea la curva de consolidación de la figura E-1 (Zeevaert, 1973), para la cual: pvo’ = 0.8 kg/cm2, z = 0.3 kg/cm2, zo = 1.675 cm. Determinar las propiedades Ap, Acs y Cv. Solución En la curva de la figura E-1 medimos δB = 0.0185 cm tB = 750 s δt1 = 0.025 cm, t1 = 17 000 s δt2 = 0.028 cm, t2 = 80 000 s Reemplazando en las ecuaciones 38 y 30

cmCt 00446.0

17000

80000log

025.0028.0

2.109

675.1

00446.01ln03.1

3.0

csA 2/67.112

00446.0

675.13.0cmkg

C

zE

t

ozcs

Figura E-1. Curva de consolidación. Ejemplo 1 Reemplazamos en las ecuaciones 39 y 40 δP = 0.0185 – 1.04(0.00446) = 0.01386 cm

1.35

675.1

01386.01ln03.1

3.0

PA

2/26.3601386.0

675.13.0cmkg

zE

p

ozp

Sustituyendo en las ecuaciones 41 y 42 δ50 = 0.00693 + 0.298(0.00446) = 0.00826 cm En la curva de consolidación medimos: t50 = 130 s

scmCv /001063.0

130

8375.0197.0 22

Ejemplo 2 Para el cajón de cimentación mostrado en la figura E-2, calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año, después de construido el inmueble, debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.

NAF 1 m2 m Excavación

Limo arenoso1 m Gamma sat = 19 kN/m3 20 m

q = 70 kPa

Cv = 0.00106 cm2/s Arcilla sensitiva3 m Ap = 57.3 Gamma sat = 14 kN/m3

Acs = 110.6ξ = 5 10 m

Arena compactaPLANTA DEL EDIFICIO

Figura E-2. Estratigrafía y propiedades. Ejemplo 2 Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa

Tiempo igual a 6 meses t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Cálculo del asentamiento total por consolidación primaria. Usamos la ecuación 11

mP 0158.033.1013.57

607.30exp1

O bien, con Ep = 5805 kPa

mE

z

p

ozp 0158.0

5805

3607.30

P = 1.58 cm Utilizamos la ecuación 15

7327.0150

1555200000106.02 T

U = 86.5% Sustituimos en la ecuación 14 Pt = 6 meses = 1.58(86.5/100) = 1.36 cm Consolidación secundaria Usamos la ecuación 31

1t (s)

10 100 1000 10000 100000

100

200

300

Deméneghi, A


mCt 00818.033.1016.110

607.30exp1

O bien, con Ecs = 11204 kPa

mE

zC

cs

ozt 00818.0

11204

3607.30

Ct = 0.818 cm Reemplazamos en la ecuación 27

cmSt 547.07327.051log818.0 t = 1.36 + 0.547 = 1.907 cm

Tiempo igual a un año: t = 365.25(86400) = 31 557 600 s

487.1150

31555760000106.02 T

U = 100% (tabla 1) Sustituimos en la ecuación 14 Pt = 1 año = 1.58(1) = 1.58 cm St = 0.818 log (1 + 5(1.487)) = 0.758 cm t = 1.58 + 0.758 = 2.34 cm

6 CORRELACIONES ESTADÍSTICAS

Para fines preliminares de análisis, se presentan a continuación valores estadísticos de los módulos de deformación de la arcilla de la ciudad de México. Las siguientes propiedades se deben usar con cautela, pues el número de datos con que se contó fue reducido. Se encontraron las siguientes magnitudes: Valores medios: Ep = 8702 kPa Ecs = 18767 kPa Cv = 0.00338 cm2/s Un valor desfavorable está dado por Valor desfavorable = μ - zασ (43) donde μ = media de la población, zα = variable aleatoria con distribución normal, y σ = desviación estándar de la población. μ se toma igual al valor medio de la muestra, y para la arcilla de la ciudad de México se obtienen los siguientes valores de σ σP = 3458 kPa

σcs = 10400 kPa σcv = 0.00199 cm2/s En la tabla 1 se exhiben los valores desfavorables de las propiedades de deformación a largo plazo de la arcilla de la ciudad de México, en función del nivel de confianza α. Tabla 1. Módulos de deformación desfavorables

Nivel de

confianza α

Ep Ecs Cv

kPa kPa cm2/s

2.5 1924 -- 0.00729

5 3013 1660 0.00666

10 4270 5438 0.00594

15 5118 7988 0.00545

20 5791 10014 0.00506

25 6369 11752 0.00473

30 6888 13313 0.00443

40 7826 16132 0.00389

50 8702 18767 0.00338

Los módulos adimensionales AP y Acs se obtienen

a

Pp p

EA (44)

a

cscs p

EA (45)

7 CONCLUSIONES

a) La estructura floculenta de las arcillas sensitivas da lugar a que su rigidez, en la rama “cementada” de la curva de compresibilidad (figura 1), dependa más del pegamento entre las partículas que de la presión vertical efectiva en el lugar.

b) La deformación a largo plazo de un estrato de arcilla sensitiva, en el tramo “cementado”, se debe tanto al fenómeno de consolidación primaria como al fenómeno de consolidación secundaria. La magnitud de esta última es del mismo orden que la magnitud de la consolidación primaria.

c) En este trabajo se presentó un procedimiento para la predicción de las deformaciones a largo plazo de las arcillas sensitivas (como la arcilla de la ciudad de México), en la rama “cementada”, que toma en cuenta la estructura floculenta del



suelo, los fenómenos de consolidación primaria y secundaria, así como las diferentes curvas de consolidación de la arcilla (tipo I, tipo II y suelos con cavidades).

REFERENCIAS

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Bjerrum, L (1973). “Problems of soil mechanics and construction on soft clays”, Proc VIII Int Conf Soil Mech Found Eng: 111-159, Moscú

Juárez Badillo, E y Rico, A (1976). Mecánica de Suelos, tomo 1, Limusa, México, D F

Mitchell, J K (1993). Fundamentals of Soil Behavior, 2nd ed, Wiley

Reséndiz, D, Springall, G, Rodríguez, J M y Esquivel, R (1970). “Información reciente sobre las características del subsuelo y la práctica de la ingeniería de cimentaciones en la ciudad de México”, V Reunión Nacional Mec Suelos: IV-1 a IV-59, Soc Mex Mec Suelos, México, D F

Santoyo, E, Riqing, L X y Ovando, E (1989). El Cono en la Exploración Geotécnica, TGC Geotecnia

Sowers, G B y Sowers, G F (1975). Introducción a la Mecánica de Suelos y Cimentaciones, Limusa

Tavenas, F y Leroueil, S (1987). “Laboratory and in-situ stress-strain-time behavior of soft clays: a state-of-the-art”, Proc Int Symp Geot Eng on Soft Soils, vol 2: 3-48, Soc Mex Mec Suelos, México, D F

Terzaghi, K y Peck, R B (1967). Soil Mechanics in Engineering Practice, 2nd ed, Wiley

Zeevaert, L (1973). Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold

Zeevaert, L (1986). “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible soils”, Consolidation of Soils: Testing and Evaluation, ASTM, STP 892: 257-281, R N Yong y F C Townsend eds, Filadelfia

(XXV RNMSIG Artículo ADC 08210)

Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos

e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo


Curvas de consolidación en arcillas sensitivas Consolidation curves in sensitive clays

Agustín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA2

1Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México 2Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. México

RESUMEN: Se presentan procedimientos para la determinación de propiedades mecánicas de deformación para dos formas de curvas de consolidación en arcillas sensitivas (tipo II y suelos con cavidades). Se toma en cuenta en este artículo que, en arcillas sensitivas, además del fenómeno de consolidación primaria, ocurre una compresión significativa por consolidación secundaria, la cual debe considerarse para el cálculo de la deformación del suelo. Se incluyen ejemplos de aplicación de cómputo de asentamientos de estructuras apoyadas en arcillas sensitivas.

ABSTRACT: Procedures for the determination of mechanical properties in two consolidation curves of sensitive clays (type II and soils with cavities), are presented. We consider the effect of primary and secondary consolidation in the compression of sensitive clays, in order to compute deformations in these soils. Examples of settlement estimation are included.

1 INTRODUCCIÓN

Las arcillas sensitivas son el resultado de la sedimentación de partículas finas en el fondo de lagos de agua salada o en el fondo marino. La salinidad del agua da lugar a la formación de estructuras floculentas, que le confieren a estos suelos un comportamiento peculiar: mientras no se destruya la unión entre partículas, la deformación unitaria de estas arcillas es relativamente pequeña; por otra parte, además de la consolidación primaria, estos materiales exhiben una compresión significativa por consolidación secundaria.

En arcillas sensitivas las curvas de consolidación presentan diferentes formas. Zeevaert (1973, 1986) distingue tres de ellas: curvas tipo I, curvas tipo II y suelos con cavidades. En un artículo anterior (Deméneghi, 2010) tratamos las curvas tipo I, y en este artículo estudiaremos el comportamiento de las curvas tipo II (figura 1) y de los suelos finos con cavidades (figura 2).

Como es usual, presentamos primero expresiones derivadas de la teoría de la consolidación para la predicción de las compresiones por consolidaciones primaria y secundaria, para luego ver la manera de determinar las propiedades mecánicas del suelo en el laboratorio, y, finalmente, incluimos ejemplos de aplicación para el cálculo de la deformación de un estrato de arcilla sensitiva en el campo.

10 10²

De

form

ació

n (

m)

Tiempo, s

10³ 10 4 10 5

0

50

100

150

200

tB=500sec

B=98

Figura 1. Curva de consolidación tipo II (Zeevaert, 1986)

2 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS SENSITIVAS La deformación a largo plazo de un estrato de arcilla sensitiva se obtiene con la siguiente expresión

StPtt (1)

2 Curvas de consolidación en arcillas sensitivas


donde ΔδPt = deformación por consolidación primaria y ΔδSt = deformación por consolidación secundaria.

1 10 100 1000 10000 100000

De

form

aci

ón,

m

Tiempo, s

60

80

100

120

140

160

180

200

Figura 2. Curva de consolidación. Suelos con cavidades (Zeevaert, 1973) La deformación por consolidación primaria se calcula

UPtP (2)

siendo ΔδP la deformación al término de la consolidación primaria y U el grado de consolidación; U a su vez es función del factor tiempo T, que vale

2e

v

z

tcT

(3)

cv = coeficiente de consolidación, Δze = espesor efectivo de drenaje del estrato y t = tiempo después de aplicada la carga al estrato

Consideremos el modelo de viscosidad intergranular de la figura 3 (unidad Z; Zeevaert, 1986), que consiste en un amortiguador N con coeficiente de fluidez ΦN y otro amortiguador 2 cuya fluidez disminuye con el tiempo. En el amortiguador N

NNN

En el amortiguador 2

22 tb

a

σz

N 2

σz Figura 3. Modelo de consolidación secundaria. Unidad Z (Zeevaert, 1986) Estableciendo el equilibro de fuerzas y de compa-tibilidad de deformaciones verticales en el modelo de la figura 3 (Zeevaert, 1986; Deméneghi, 2010), arribamos a la siguiente expresión para el cálculo de la compresión por consolidación secundaria

t

aC N

tSt _1log (4)

t

CtSt 1 (5) donde

N

a

(6)

NN = fluidez del agua de los macroporos, en todo el elemento aa = fluidez del agua de los microporos, en todo el elemento Ct es la deformación entre dos ciclos consecutivos del tiempo, en el tramo recto de la consolidación secundaria, dibujada ésta en escala semilogarítmica (logaritmo en base 10). Ct se puede obtener también como la pendiente del tramo recto; así, si (t1, Δδt1) y (t2, Δδt2) son dos puntos en dicho tramo, entonces, de acuerdo con la ecuación 5

1

2

1

2

12 log1

1log

t

tC

t

t

C ttStSt



1

2

12

logt

tC tt

t

(7)

Por otra parte, la ecuación 4 la podemos poner de la siguiente forma

t

c

z

z

c

aC

v

e

e

vNtSt

2

2_

_

1log Tomando en cuenta la ecuación 3

T

c

z

aC

v

eNtSt

2

_

_

1log

TCtSt 1log (8)

donde

v

eN

C

z

a

2 (9)

Definimos además los módulos de deformación

vP

ozP m

zE

1

(10)

mv = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación primaria

tt

ozcs mC

zE

1

(11) mt = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación secundaria De las expresiones anteriores despejamos ΔδP y Ct

P

ozP E

z (12)

cs

ozt E

zC

(13) En función del tipo de curva, las propiedades de deformación cv, ξ, λ, EP y Ecs se obtienen a partir de

los resultados de pruebas de consolidación unidimensional practicadas en muestras inalteradas obtenidas del estrato de arcilla sensitiva. Ya con estas propiedades, la deformación del estrato de suelo en el campo se calcula usando la ecuación 1. En los siguientes incisos veremos la forma de determinar las propiedades de deformación para curvas tipo II y para suelos con cavidades.

3 CURVA DE CONSOLIDACIÓN TIPO II

3.1 Determinación de las propiedades de deformación

Primeramente hallamos la deformación Ct con la expresión 7

1

2

12

logt

tC tt

t

(7)

La ecuación 1 se puede poner

t

z

cCU

e

vtPt 21log

v

e

tPt

c

z

tCU

2

1log

IItPt

tCU

1log (14)

siendo

v

eII c

z

2 (15)

Sea el punto (tB, B) el punto donde termina la consolidación primaria (U =1), y (tF, F) el punto correspondiente al máximo tiempo medido. Entonces

II

B

II

F

tBF t

t

C

1

1log



BII

FIItBF t

tC

log

Despejamos τII

110

10

t

BF

t

BF

C

CBF

II

tt

(18) Calculamos ΔδP con la ecuación 14, usando las coordenadas del punto B

II

BtPB

tC

1log

II

BtBP

tC

1log (19)

Como una primera aproximación, con ΔδP/2, (U = 50%), medimos t50 en la curva de consolidación; calculamos cv despejándolo de la ecuación 3 y ξ despejándolo de la ecuación 15

50

2

50

2 197.0

t

z

t

zTc ee

v

(20)

v

e

c

z

2 (21)

Ahora

197.01log250 tP C (22)

La ecuación 22 se aplica repetidamente para medir t50 en la curva de consolidación, calculando cv y ξ hasta que la magnitud de 50 no cambie entre dos iteraciones sucesivas.

3.2 Ejemplo

Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva tipo II de la figura 1 (Zeevaert, 1986); pvo’ = 0.5 kg/cm2, σz = 0.5 kg/cm2, zo = 2.086 cm. Solución En la curva de la figura E-6 medimos δB = 98 μm = 0.098 mm = 0.0098 cm tB = 500 s δt1 = 0.0130 cm, t1 = 15 100 s

δt2 = δF =0.0153 cm, t2 = tF = 100 000 s Sustituimos en las ecuaciones 7, 11 y 18

cmCt 0028.0

15100

100000log

0130.00153.0

25.3720028.0

086.25.0

cm

kgEcs

sII 592

110

10500100000

0028.0

0098.00153.0

0028.0

0098.00153.0

Calculamos ΔδP con la ecuación 19

cm

P

009056.0

592

5001log0028.00098.0

y EP con la igualdad 10

2

17.115009056.0

086.25.0

cm

kgEP Como una primera aproximación, con ΔδP/2 = 0.004528 cm, en la figura 1 medimos: t50 = 38 s. Reemplazando en las expresiones 20 y 21

s

cmcv

22

00564.038

043.1197.0

3242.0

00564.0592

043.1 2

Ahora (ecuación 22)

cm004603.0

3242.0197.01log0028.02

009056.050

Volvemos a la curva de consolidación y medimos t50 = 40 s

s

cmcv

22

005358.040

043.1197.0



343.0005358.0592

043.1 2


cm004608.0

343.0197.01log0028.02

009056.050

50 = 0.004608 cm ≈ 0.004603 cm Por lo tanto, las propiedades de deformación son: Ep = 115.17 kg/cm2, Ecs = 372.5 kg/cm2, cv = 0.005358 cm2/2, ξ = 0.343. O bien: mv = 1/EP = 8.68x10-3 cm2/kg, mt = 1/Ecs = 2.68x10-3 cm2/kg.

4 CURVA DE CONSOLIDACIÓN EN SUELOS CON CAVIDADES

4.1 Determinación de las propiedades de deformación

En suelos con cavidades, la consolidación primaria ocurre rápidamente, por lo que la ecuación 1 queda

t

CtPt 1log (23)

Ct se obtiene en forma similar al inciso anterior, con la ecuación 13

1

2

12

logt

tC tt

t

(13)

En la ecuación 23 despejamos τ

110

t

Pt

C

t (24)

En este tipo de depósitos requerimos relacionar el tiempo de consolidación en el laboratorio τlab con el tiempo de consolidación en el campo τcpo, para lo cual procedemos de la siguiente forma: En la teoría de la consolidación se demuestra que la fluidez del agua libre del suelo N

vale (Zeevaert, 1973)

22e

vvN

z

cm

Por otra parte, considerando las siguientes relaciones

3.2tm

a

N

va

Arribamos a la siguiente expresión

v

e

cs

P

v

e

v

t

c

z

E

E

c

z

m

m 22

6.46.4

Observamos que, considerando en un suelo constantes las propiedades EP, Ecs y cv, entonces el tiempo, τ, depende del espesor de la muestra en el laboratorio o del espesor del estrato en el sitio, es decir, en el consolidómetro

v

econ

cs

Plab c

z

E

E 2

6.4

y en el campo

v

ecpo

cs

Pcpo c

z

E

E2

6.4

Dividiendo miembro a miembro

22

elab

ecpo

lab

cpo

z

z

Es decir

lab

elab

ecpocpo

z

z 2

2

(25)

Sea

2'elab

labcs

z

(26)

Entonces 2' cpoecscpo z (27)



Así, la deformación del estrato de suelo in situ la obtenemos

cpotSt

tC

1log (28)

4.2 Ejemplo. Suelo con cavidades

Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva con cavidades de la figura 2 (Zeevaert, 1973); pvo’ = 0.42 kg/cm2, σz = 0.38 kg/cm2, zo = 2.0 cm. Solución En la curva de la figura 2 medimos δP = 88 μm = 0.088 mm = 0.0088 cm δt1 = 0.0140 cm, t1 = 7000 s δt2 = 0.0160 cm, t2 = 30000 s Usamos las ecuaciones 10, 7 y 11

236.86

0088.0

238.0

cm

kgEP

cmCt 00316.0

7000

30000log

0140.00160.0

2

51.24000316.0

238.0

cm

kgEcs Para t1 = 7000 s (ecuación 24)

slab 07.162

110

7000

00316.0

0088.00140.0

Para t2 = 30000 s

slab 73.158

110

30000

00316.0

0088.00160.0

Promediamos los dos valores anteriores

τlab = 160.4 s Reemplazando en la ecuación 26

22 4.1601

4.160'

cm

scs

5 CÁLCULO DE ASENTAMIENTOS

5.1 Ejemplo. Curva tipo II

Para el cajón de cimentación mostrado en la figura 4, calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año, después de construido el inmueble, debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva. Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa Tiempo igual a 6 meses t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Cálculo del asentamiento total por consolidación primaria. Usamos la ecuación 11

cmmE

z

P

ozP 4.101408.0

6520

3607.30

Con la igualdad 3

746.0

150

1555200000108.022

e

v

z

tcT

U = 86.9%

cmUPPt 22.1869.04.1 (ecuación 2)

NAF 1 m

2 m Excavación

Limo arenoso1 m Gamma sat = 19 kN/m3

cv = 0.00106 cm2/s Arcilla sensitivaEp = 5730 kPa Gamma sat = 14 kN/m3

3 m Ecs = 11060 kPaξ = 0.35

Arena compacta

ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES

q = 70 kPa 20 m

10 m

PLANTA DEL EDIFICIO Figura 4. Ejemplo. Cálculo de asentamiento. Curva de consolidación tipo II



Usamos las ecuaciones 7 y 8

cmm

E

zC

cs

ozt 933.000933.0

9840

3607.30

cm

TCtSt

094.0

746.035.01log933.01log

cmmeses 314.1094.022.16

Tiempo igual a cinco años: t =5(365.25)(86400) = 157788000 s

cmP 4.1

257.7150

15778800000108.022

e

v

z

tcT

U = 100%

cmPt 4.1

cmCt 933.0

cm

TCtSt

524.0

57.735.01log933.01log

cmaños 92.152.04.15

5.2 Ejemplo. Suelo con cavidades

Para el cajón de cimentación mostrado en la figura 5, calcular el asentamiento 50 años después de construido el inmueble, debido a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva. Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.607 kPa

De acuerdo con la expresiones 11 y 12

cmmE

z

P

ozP 06.10106.0

8630

3607.30

cmm

E

zC

cs

ozt 379.000379.0

24210

3607.30

NAF 1 m

2 m Excavación

Limo arenoso1 m Gamma sat = 19 kN/m3

Ep = 8630 kPa Arcilla sensitivaEcs = 24210 kPa Gamma sat = 14 kN/m3

3 m τcs' = 148 s/cm2

Arena compacta

ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES

q = 70 kPa 20 m

10 m

PLANTA DEL EDIFICIO Figura 5. Ejemplo. Cálculo de asentamiento. Suelo con cavidades Tiempo t = 50(365.25)(86400) = 1 577 880 000 s Usamos las igualdades 27 y 28 sz cpoecscpo 3330000150148' 22

cm

tC

cpotSt

014.1

3330000

15778800001log379.01log

cmaños 074.2014.106.150



6 CONCLUSIONES

De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores, se concluye lo siguiente:

a) En arcillas sensitivas se pueden predecir las deformaciones por consolidación primaria y por consolidación secundaria

b) Las propiedades de deformación del suelo se pueden determinar en el laboratorio mediante pruebas de consolidación unidimensional, practicadas en muestras inalteradas extraídas de un estrato de arcilla sensitiva. En este artículo se expone el procedimiento para obtener estas propiedades en curvas de consolidación de forma tipo II y en suelos finos con cavidades

c) Se incluyen ejemplos de aplicación para la estimación de la compresión a largo plazo de un estrato formado por arcilla sensitiva

REFERENCIAS

Deméneghi, A (2010). “Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas”, Memorias XXV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica, Publicación SMMS, Acapulco, Gro: 353-361

Zeevaert, L (1973). Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, New York

Zeevaert, L (1986). “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible soils”, Consolidation of Soils: Testing and Evaluation, ASTM, STP 892: 257-281. R N Yong y F C Townsend eds, Filadelfia

Proceedings of the 17th International Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering M. Hamza et al. (Eds.) © 2009 IOS Press. doi:10.3233/978-1-60750-031-5-719

719

Deformations assessment in expansive clays An approche au calcul de déformations en argiles gonflées

A. Deméneghi Faculty of Engineering, National University of Mexico

ABSTRACT A procedure for deformations assessment of expansive clays is presented. Constitutive equations for compression due to external loads and for deformations due to changes in suction values are developed. The movements of a foundation in expansive clay are the algebraic sum of the compression produced by external loads and the deformation produced by suction changes. Examples for assessment of soil properties and deformations in expansive clays are presented

RÉSUMÉ Ce travail propose une méthode de calcul de déformations en argiles gonflées. Une loi de comportement a eté développé pour prendre en compte les charges et les variations de succion lesquelles provoque la déformation du sol. Il faut noter que les déformations d’une fondation sur argiles gonflées sont la somme algébrique de deux termes: les déformations provoquées pour les charges extérieures et pour les changes de succion. L’application de la méthode proposée se fait au moyen d’un problème pratique.

Keywords : expansive clay, suction, constitutive equations, deformations assessment, soil properties

1 INTRODUCTION

When expansive clay is overloaded by the construction of a civil engineering structure, it suffers a compression. Moreover, when this clay undergoes a change in soil suction magnitude, it swells or it shrinks.

Therefore, deformation of swelling clay is the algebraic sum of compression due to external load increments plus deformations caused by soil suction variations.

In this paper, a procedure for the prediction of soil movements due to both phenomena is presented. Examples of soil properties and deformation assessments are included. 2 DEFORMATIONS ASSESSMENT

2.1 Constitutive equations

Deformations of unsaturated clay are due to: (1) stress increments caused by the load of a structure, and (2) suction variations in subsoil. Strains due to loads of a structure are calculated with the tools of soil mechanics. Decrease of suction magnitude causes an increment in the double layer of the particles of soil and, in some cases, water molecules move into clay particles.

Therefore, soil deformation is the algebraic sum of deformation due to external load increments plus deformation due to changes in soil suction.

2.2 Deformation due to external load increments

Consider a soil element subjected to load due to weight of soil. Initial confined pressure is

3hohovo

co

pppp

++=

pvo = vertical normal stress

pho = horizontal normal stress But pho = Ko pvo, then pco = (1/3)(1 + 2Ko) pvo If soil is cemented and is subjected to soil suction ps, the initial confinement pressure pbeo is (figure 1a) pbeo = pcie + pco + b5 pa (ps/pa)

n (1) pcie = internal pressure due to cementation; ps = soil suction magnitude, b5 ≈ 1, pa = atmospheric pressure = 101.3 kPa A civil engineering structure causes over a soil element the load increments σz, σx and σy shown in figure 1b. Let pbeo be constant for a while. Strain of soil element is εz ≅ (1/A) [σz - ν (σx + σy)]r (2) A = rigidity modulus of soil ν = Poisson modulus Consider a small thickness element Δzo. Then a1 = σx / σz a2 = σy / σz (3)

σx = a1 σz σy = a2 σz (4)

Substitute equations 4 in equation 2

εz ≅ (1/A) {σz [1 - ν (a1 + a2)] }r (5) Let

f = 1 - ν (a1 + a2) (6) εz ≅ (1/A) (f σz )

r (7)

A. Deméneghi / Deformations Assessment in Expansive Clays 720

z

pbeo

pbeo

pbeo

ypbeo

x pbeopbeo

(a) Initial confinement pressure

z

σz

σx

σy

yσy

σxx σz

(b) Stress increments due to presence of an engineering structure

Figure 1. Loads over a soil element Consider now the action of confining stress. For the stress state shown in figure 1, confining pressure is pbe = pbeo + Δpbe Δpbe = (1/3) (σz + σx + σy) Δpbe = b1 σz + b2 (σx + σy) (8)

where b1 = 1/3 and b2 = 1/3 . Substitute equations 4 in equation 8 Δpbe = c σz (9) c = b1 + b2 (a1 + a2) (10) pbe = pbeo + c σz (11) We propose the following constitutive equation for the calculation of strain in the soil element of figure 1b (Deméneghi 2003)

( ))12(

1s

a

zbeo

a

z

r

a

z

p

cp

p

fd

p

f

Az

zd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=ΔΔ

σ

σσ

A, r and s are soil properties. For practical purposes we can take in cohesive soils r = 0 and s = 1. Integrate equation 12: for σz varying from 0 to σz, element thickness changes from Δzo a Δzf. Then

zbeo

zz

z cp

fd

Az

zd zf

o σσσ

+−=

ΔΔ

∫∫Δ

Δ

)(1)(0

)13(/ cAf

beo

zbeo

o

f

p

cp

z

z−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=ΔΔ σ

But (figure 2)

Δzf = Δzo + Δw , Δzf/Δzo = 1 + Δw/Δzo (14) Δw/Δzo = Δzf/Δzo – 1 (15) Let δz = - Δw

ΔW

ΔZf

ΔZo

Figure 2. Deformation of a soil element

( ) )16(1/

o

cAf

beo

zbeoz z

p

cp Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=−

σδ

In expansive clays the state stress is at the recompression line or at the normally consolidation line. Then For recompression line

( ) )17(1/

o

cAsf

beo

zbeoz z

p

cp Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=−

σδ

For normally consolidation line

( ) )18(1/

o

cAvrf

beo

zbeoz z

p

cp Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=−

σδ

2.3 Strain due to adsorption of water molecules in soil particles

In clayey soils water molecules are introduced into the solid grains; when a molecule of water introduces into two platelets of a soil particle, its electric charges are pulled apart, becoming more dipolar and attracting other water molecules; additionally, the electric charges on the surface of the platelets also concentrate, pushing away other platelets and increasing the number of molecules between them, resulting in the increase of the volume of the particles (Alonso et al. 2008). Moreover, when suction decreases the double layer of the particles


increases. Therefore, soil suffers volumetric changes from suction variations. For computation of this strain we propose the following constitutive equation

)19()(1

4

4

sc

s

a pbp

pbd

BV

dV

+−=

V = soil element volume, b4 ≈ 1, Ba = soil property pc = pco + σc (20)

σc = (1/3) (σz + σx + σy) (21) When suction changes from pso to psf (pso < psf), soil element thickness diminishes from Vo to Vf. Then

sc

sp

pa

V

V pbp

pbd

BV

dV sf

so

f

o4

4 )(1+

−= ∫∫

)22(/1

4

4aB

soc

sfc

o

f

pbp

pbp

V

V−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

Let εva be the volumetric strain

εva = ΔV/Vo = (Vo – Vf)/Vo = 1 – Vf/Vo

)23(1/1

4

4aB

soc

sfcva pbp

pbp−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=ε

Equation 23 gives volumetric strain of soil element. If εva is positive, the element contracts, but if εva is negative, the element swells. For practical purposes b4 ≅ 1. In engineering practice we need compute vertical strain εza. This value is obtained with the following procedure

εva ≅ εxa + εya + εza If there are no cracks in the subsoil: εxa ≅ εya ≅ 0 and εza ≅ εva If there is a crack pattern in one direction: εya ≅ 0, εxa ≅ εza y εza ≅ εva/2 If there are two crack patterns: εxa ≅ εya ≅ εza y εza ≅ εva/3 Magnitudes of suction are measured using field or laboratory essays.

In approximate way, we can assess the value of suction in the field with an oedometer test. The essay consists to add water into soil specimen and then apply loads when the soil is fully saturated (figure 3). Then Δpcs = b5 pa (pso/pa)

n, so pso = pa (Δpcs/b5pa)

1/n (24) and

)25(

11

ln

ln4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

o

A

soco

co

a

e

e

pbp

p

B

e

eA A Recompression Suction = 0 (Sr = 100%)

Water contentincrease

eo O BNormal consolidation line (Avr)

Swelling line (As)

Δpcspcp = preconsolidationisotropic pressure

pco pcp pcB ln pc

Figure 3. Oedometer test Modulus As is obtained in the swelling branch, considering as is usual in expansive clays that pcie = 0. Let (pc1, e1) and (pc2, e2) be two points in the swelling line (pc2 > pc1). Then

)26(

11

ln

ln

1)1(3

1

2

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−=

e

e

p

p

K

KA c

c

o

os

Avr is obtained in a similar way.

As we have commented, deformation of expansive clay is the algebraic sum of settlement due to external load increments plus deformation due to absorption of water molecules in the soil particles. 3 EXAMPLES

3.1 Soil properties assessment

In an oedometer test the following results were obtained: pvo = 12.26 kPa, eo = 1.208, eA = 1.449, pvB = 186.39 kPa, eB = 1.2, pvp = 88.29 kPa. In the swelling line {Point (pv [kPa], e)}: 1 (58.17, 1.041), 2 (119.39, 1.023). In the normal consolidation line: 1 (272.42, 1.146), 2 (578.59, 1.002). Calculate initial suction magnitude and properties Ba, As and Avr. Consider Ko = 0.7, b4 = b5 = 1, n = 0.75, pa = 101.3 kPa. Solution pco = (1+2Ko) pvo / 3 = (1+2(0.7))(12.26)/3 = 9.808 kPa pcB = (1+2Ko) pvB / 3 = (1+2(0.7))(1.9)/3 = 149.112 kPa Δpcs = pcB - pco = 149.112 - 9.808 = 139.304 kPa Substitute in equations 24 and 25 pso = 101.3 (139.304/(1)(101.3))1/0.75 = 154.91 kPa

23.27

208.11449.11

ln

91.154)1(808.9808.9

ln

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=aB

In the swelling line (equation 26)


97.42

041.11023.11

ln

17.5839.119

ln

7.01)7.01(3 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−=sA

In normal consolidation line

74.5

146.11002.11

ln

42.27259.578

ln

7.01)7.01(3 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−=vrA

3.2 Deformation predictions

A structure rests on a foundation slab of 8 per 16 m in plan, with a uniform load transfer to subsoil of 25 kPa. Construction of structure is in dry season, when suction in clay has a magnitude (ua – uw) = ps = 820 kPa. At the end of the rainy season suction decreases to 60 kPa. Subsoil stratigraphy is shown in figure E-1. Soil properties are: As = 39.8, Avr = 5.2, Ba = 31.7, n = 0.75, OCR = 8, Ko = 0.68, b4 = b5 = 1, ν = 0.40, pcie = 0, pa = 101.3 kPa, pvp = 90 kPa. Compute the movements of foundation slab from dry to rainy season. Solution Initial vertical soil pressure, at the middle of clay stratum is pvo = 18(0.6)+15(0.3) = 15.3 kPa Normal stress increments, at the middle of clay stratum are σz = 24.88 kPa σx = 17.50 kPa σy = 16.77 kPa Substitute in equations 10 and 6

792.088.24

77.1650.1731

31 =++=c

449.088.24

77.1650.174.01 =+−=f

kPapco 036.12)3.15(3

)68.0(21 =+=

kPapcp 8.70)90(3

)68.0(21 =+=

Maximum compression occurs at the end of rainy season, when soil suction is 60 kPa. Using equations 1 and 21 pbeo = 0 + 12.036 + (1)(101.3) (60/101.3)0.75 = 80.43 kPa σc = (24.88+17.50+16.77)/3 = 19.72 kPa pbeo + σc = 80.43 + 31.54 = 100.15 kPa In view that pbeo + σc > pcp, settlement caused by external load increments occurs in the normal consolidation line. Using equation 18

Dense sand 0.6 mγ = 18 kN/m3

Clay 0.6 mγ = 15 kN/m3

Rock

Figure E-1. Deformation of an expansive clay

( ) ( )cmz 42.1

43.80

88.24792.043.801

2.5792.0/449.0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

−

δ

Deformation due to absorption of water in soil. When suction decreases from 820 to 60 kPa, it follows an expansion of clay. Using equations 21, 20 and 23: σc = 19.72 kPa pc = 12.036 + 19.72 = 31.756 kPa

( )( ) 0728.0

8201756.31601756.31

17.31/1

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

−

vaε

If there are no cracks in the subsoil: εza ≅ εva = -0.0728 Expansion due to absorption of water molecules is δza = -0.0728(60) = -4.37 cm At the end of the rainy season, the movement of foundation slab is the algebraic sum of settlement caused by external load plus deformation originated by absorption of water, i e: δz = 1.42 – 4.37 = -2.95 cm

4 CONCLUSIONS

Taking into account that deformations of expansive clay are the algebraic sum of the compression due to external load increments (caused by the construction of a civil engineering structure) plus deformations produced by suctions changes in the soil, a procedure was presented for the calculation of both movements.

Compression caused by external load increments is computed using equation 17 or equation 18, while deformations produced by soil suction variations are predicted utilizing equation 23.

Examples for soil properties assessment and calculus of movements of a slab foundation in expansive clay are included.

REFERENCES

Alonso, E E, Rojas, E and Pinyol, N M 2008. Unsaturated soil mechanics, XXIV National Soil Mechanics Conference, Special Volume, pp 117-206, Mexican Society of Soil Mechanics, Aguascalientes, Ags, Mexico

Deméneghi, A 2003, Cálculo de asentamientos en arenas, Revista de la Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos, México, D F

INCREMENTOS DE ESFUERZO EN LA MASA DE SUELO

Agustín Deméneghi Colina* SOLUCIÓN DE BOUSSINESQ En 1885 Boussinesq obtuvo la distribución de esfuerzos ocasionada por una carga concentrada P aplicada en la superficie de un medio seminfinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico (figura 1). Los esfuerzos normales y cortante a la profundidad z están dados por 3P cos5 3 P z3 z = = (1) 2 z2 2 R5 P cos2 r = [3 cos5 sen2 - (1 – 2) ] (2) 2z2 1 + cos

P cos2 = - (1 – 2) [ cos3 - ] (3)

2z2 1 + cos 3 P rz = cos4 sen3 (4) 2 z2 = relación de Poisson del medio

x

P

y

Psi

R Sigmaz

Sigmar Sigmatheta

z

INCREMENTOS DE ESFUERZO POR CARGA VERTICAL CONCENTRADAFIGURA 1

* Profesor del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM

2

CÍRCULO CARGADO Los esfuerzos producidos por un círculo sometido a una carga uniforme q a una profundidad z los obtenemos integrando la solución de Boussinesq para carga concentrada (figura 2). Así, para el esfuerzo normal vertical bajo el centro del círculo (figuras 2 y 3) 3dP z3 3 z3 (q d d) dz = = 2 (2 + z2)5/2 2 (2 + z2)5/2

z3 q d d z = o

a o2

2 (2 + z2)5/2

z3 z = q [ 1 - ] (5)

(a2 + z2)3/2

Procediendo en forma análoga (Yoder, 1959) obtenemos el esfuerzo normal radial (horizontal) bajo el centro del círculo (figura 3) q 2 (1 + ) z z3 r = [ 1 + 2 - + ] (6) 2 (a2 + z2)1/2 (a2 + z2)3/2

3

Ejemplo Determinar los esfuerzos normales vertical z y horizontal (radial) r, a una profundidad de 5 m, bajo el centro de un tanque circular de radio igual a 8 m, desplantado en la superficie del terreno, que transmite a éste una presión media de 90 kPa. Considere en el terreno de cimentación una relación de Poisson = 0.3. Solución Empleando las ecuaciones 5 y 6, con q = 90 kPa, a = 8 m, = 0.3, z = 5 m, obtenemos z = 76.60 kPa, r = 16.69 kPa (Cscircargado) Carta de Newmark De la ecuación 5 despejamos el cociente (a/z): a 1 = - 1 (7) z (1 - z/q)2/3

Hagamos z/q = 0.1 en la ecuación 7: obtenemos a/z = 0.27. Demos un valor fijo a z, digamos z = 4 cm, y tracemos un círculo de radio a = 0.27z = 0.27(4) = 1.08 cm (figura 4). Bajo el centro de este círculo, a la profundidad z = 4 cm, el esfuerzo normal vertical z = 0.1 q. Por ejemplo, si q = 20 kPa, el esfuerzo a z = 4 cm es z = 0.1(20) = 2 kPa.

4

Hagamos z/q = 0.2 en la ecuación 7: obtenemos a/z = 0.40. Sea z = 4 cm, y tracemos un círculo de radio a = 0.4z = 0.4(4) = 1.6 cm (figura 4). Bajo el centro de este círculo, a la profundidad z = 4 cm, el esfuerzo z = 0.2q. En la figura 4 vemos que cada faja o corona ocasiona un esfuerzo z/q = 0.1 bajo el centro del círculo. Si dividimos cada corona como es usual en 20 segmentos, apreciamos que cada segmento produce un incremento de esfuerzo igual a 0.1/20 = 0.005 de la presión q aplicada en la superficie. Trazamos a continuación las circunferencias correspondientes a magnitudes del cociente z/q de 0.3, 0.4, ... , 0.9, como se indica en la figura 5 (la relación a/z para z/q 1). A este gráfico se conoce como carta de Newmark, y se usa para calcular el esfuerzo z a la profundidad z ocasionado por un área cargada de cualquier forma, utilizando el siguiente procedimiento: el área se dibuja a la misma escala de la carta de Newmark; este dibujo se coloca sobre la carta haciendo coincidir el centro de ésta con el punto donde se desea conocer el esfuerzo z; se cuenta el número N de segmentos que cubre el área en cuestión. El esfuerzo z vale z = N I q (8) donde q = presión vertical aplicada en el área en cuestión

I = valor de influencia de cada segmento de la carta (usualmente I = 0.005)

6

Ejemplo Hallar el esfuerzo normal vertical z a la profundidad de 6 m, bajo el centro de un rectángulo sometido a una carga uniforme de 50 kPa en su superficie. El rectángulo tiene un ancho de 10 m y una longitud de 20 m. Solución Usamos la carta de Newmark de la figura 5. La correspondencia de la carta al prototipo la hacemos de la siguiente forma

z prototipo 6 m

z carta 4 cm

B prototipo 10 m

B carta x

x = 4(10)/6 = 6.67 cm

z prototipo 6 m

z carta 4 cm

L prototipo 20 m

L carta x

x = 4(20)/6 = 13.33 cm Dibujamos un rectángulo con B = 6.67 cm y L = 13.33 cm y lo colocamos sobre la carta de Newmark, haciendo coincidir los centros del rectángulo y de la carta (figura E-1). Contamos el número de segmentos: N = 144. Usando la ecuación 8 z = N I q = (144)(0.005)(50) = 36 kPa

----------

8

RECTÁNGULO CARGADO Los esfuerzos normales bajo la esquina de un rectángulo cargado valen: Esfuerzo normal vertical z, figura 6 (Damy, 1985) q 1 1 x y z x y z = [ ( + ) + tan-1 ] (9) 2 x2+z2 y2+z2 B z B

q x

y

z

Sigmaz

Sigmax

Sigmay

INCREMENTOS DE ESFUERZO BAJO LA ESQUINA DEUN RECTÁNGULO CARGADO

(Csincresff) FIGURA 6 Esfuerzos normales horizontales x y y, figura 6 (Dashkó y Kagán, 1980) q x y z z B x = [ - - tan-1 2 2 (y2+z2) B x y x x B + (1-2) (tan-1 - tan-1 ) ] (10)

y y z q x y z z B y = [ - - tan-1 2 2 (x2+z2) B x y y y B + (1-2) (tan-1 - tan-1 ) ] (11)

x x z

9

B = (x2 + y2 + z2)1/2 (12) Ejemplo Un edificio con losa de cimentación desplantada superficialmente, de dimensiones 10 por 20 m en planta, transmite una presión media al terreno de 50 kPa. Hallar los esfuerzos normales z, x y y, a la profundidad de 6 m. Considerar en el terreno de cimentación = 0.3. Solución Las ecuaciones 9 a 11 proporcionan esfuerzos bajo la esquina de un rectángulo. Para hallar los esfuerzos bajo el centro, dividimos el área del rectángulo en cuatro, quedando x = 10/2 = 5 m, y = 20/2 = 10 m; con estas cantidades y q = 50 kPa, z = 6 m, = 0.3, utilizamos las ecuaciones 9 a 11, obtenemos los esfuerzos bajo la esquina de la cuarta parte del área z’ = 9.09 kPa x’ = 2.13 kPa y’ = 0.80 kPa Los esfuerzos bajo el centro los determinamos multiplicando por cuatro estos valores z = 36.36 kPa x = 8.52 kPa y = 3.20 kPa (Csesfmasuelo)

---------- REFERENCIAS Boussinesq, J, Application des potenciels á l’etude de l’equilibre et du mouvement des solides élastiques, París, 1885 Damy, J, “Integración de las ecuaciones de Boussinesq, Westergaard y Fröhlich, sobre superficies poligonales de cualquier forma, cargadas con fuerzas verticales uniformemente repartidas”, Rev Ingeniería, Vol LV, N° 1: 82-86, 1985 Dashkó, R E y Kagán, A A, Mecánica de Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la Ingeniería, Cap 2, MIR, Moscú, 1980 Yoder, E J, Principles of Pavement Design, Wiley, 1959 (Cs incrementos de esfuerzo 1111)

1

APUNTES DE CIMENTACIONES INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA

Agustín Deméneghi Colina* Margarita Puebla Cadena*

Héctor Sanginés García*

* Profesores del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM

NOTA PRELIMINAR La interacción suelo-estructura es aquella parte de la ingeniería que estudia las deformaciones del terreno de cimentación cuando éstas se ven afectadas por la presencia y rigidez de la propia estructura. La influencia de la estructura puede ser en condiciones estáticas, lo cual es tratado por la interacción estática suelo-estructura, o puede ser en condiciones dinámicas, lo cual cae en el campo de la interacción dinámica suelo-estructura. INTERACCIÓN ESTÁTICA SUELO-ESTRUCTURA Se conocen como métodos de interacción estática suelo-estructura aquellos procedi-mientos que para el cálculo de las deformaciones del terreno de cimentación toman en cuenta la rigidez de la estructura. Todos estos métodos están basados en el principio de que en el contacto cimiento-terreno los desplazamientos tanto de la subestructura como los del terreno son iguales, es decir, existe compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo. En términos generales, el procedimiento de cálculo para la interacción suelo-estructura consiste en tres pasos: (a) se calculan los desplazamientos de la subestructura, (b) se calculan los desplazamientos del terreno de cimentación, y (c) se establece la compatibi-lidad de deformaciones entre estructura y suelo. Podemos distinguir dos clases de situaciones en relación con la interacción: (i) cuando los cimientos están suficientemente separados, de tal forma que la carga sobre un apoyo no ejerce

influencia sobre los desplazamientos de los apoyos vecinos (este fenómeno se presenta usualmente en zapatas aisladas), y (ii) cuando se trata de un cimiento continuo donde el desplazamiento de un punto de dicho cimiento está afectado por la carga repartida en toda la subestructura (es el caso de zapatas corridas o losas de cimentación). Interacción suelo-zapatas aisladas Definición de módulo de reacción Para llevar a cabo la interacción suelo-zapatas aisladas, se hace uso del concepto de módulo de reacción o módulo de rigidez del terreno de cimentación, el cual se presenta en los siguientes párrafos. Definamos el módulo de reacción o rigidez lineal vertical de un cimiento de la siguiente forma Kv = Qv/v (1) donde Qv es la fuerza vertical aplicada al cimiento y v es el asentamiento vertical ocasionado por Qv. Se define la rigidez lineal horizontal de un cimiento Kh = Qh/h (2) donde Qh es la fuerza horizontal aplicada al cimiento y h es el desplazamiento horizontal producido por Qh. Se define la rigidez a la rotación de un cimiento

2 Kr = M/ (3) donde M es el momento aplicado al cimiento y el ángulo –en radianes- producido por dicho momento. Análisis de la interacción suelo-zapatas aisladas Ilustremos la solución de la interacción suelo-zapatas aisladas con el marco de la fig 1 (ejemplo 1). La rigidez vertical del terreno de cimentación vale Kv = 2331.96 t/m, la rigidez horizontal Kh = 1901.38 t/m y la rigidez a la rotación Kr = 1102.81 t.m/rad. Utilizaremos el método de rigideces para el análisis de la estructura (véase el anexo 1), en el que se debe cumplir K + Pe + Pc = 0 (4) donde K = matriz de rigidez de la estructura = vector de desplazamientos Pe = vector de cargas de empotramiento Pc = vector de cargas concentradas La formación de la matriz K y de los vectores , Pe y Pc, para el marco de la fig 1, viene descrito en el anexo 1; como resultado de esto, en la fig 2 se exhiben los grados de libertad de la estructura, y en las tablas 1, 2 y 3 la matriz de rigidez K, el vector de cargas de empotramiento Pe y el vector de cargas concentradas Pc de toda la estructura, respectivamente. (En la tabla 1 sólo incluimos los renglones de 1, 3, 5, 7, 9 y 11, porque, por simetría 2 = 1, 4 = -3, 6 = -5, 8 = 7, 10 = -9, 12 = -11.) La rigidez del terreno de cimentación se puede incluir en el vector de cargas concentradas Pc, de la siguiente forma: las fuerzas Qv, Qh y M se pueden obtener con las ecs 1 a 3 Qv = Kv v (5) Qh = Kh h (6)

M = Kr (7) En la fig 3 se muestran las reacciones del terreno en función de las rigideces del mismo y de los desplazamientos. Usando las ecs 5 a 7 calculamos las fuerzas Qv1, Qv2, Qh3, Qh4, M5 y M6: Qv1 = 2231.96 1, Qv2 = 2231.96 2 Qh3 = 1901.38 3, Qh4 = 1901.38 4 M5 = 1102.81 5, M6 = 1102.81 6 El vector de cargas concentradas queda

2231.96 1 2231.96 2 1901.38 3 1901.38 4

Pc = 1102.81 5 (8) 1102.81 6

0 0 0 0 0 0

Reemplazando en la ec 4 los valores de K (tabla 1), Pe (tabla 2) y Pc (ec 8), y resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos 1 = 0.010291 m, 3 = 0.0055104 m 5 = 0.00049148, 7 = 0.013289 m 9 = -0.000078886 m, 11 = -0.0054707 Los elementos mecánicos en las barras de la estructura se calculan siguiendo el procedi-miento indicado en el anexo 1. (Lo dejamos como ejercicio al lector.) Las fuerzas en los apoyos se determinan con las ecs 5 a 7 Qv1 = Qv2 = 2331.96(0.010291) = 23.998 t Qh3 = 1901.38(0.0055104) = 10.477 t Qh4 = 1901.38(-0.0055104) = -10.477 t M5 = 1102.81(0.00049148) = 0.542 t.m M6 = 1102.81(-0.00049148) = -0.542 t.m Resolvamos otro ejemplo, el de la fig 4 (ejemplo 2), despreciando los efectos de acortamiento de barras. En la fig 5 y en la tabla 4 se exhiben la

3 numeración de barras y grados de libertad. Las matrices de rigidez y los vectores de cargas de empotramiento se hallan con los valores del anexo 2 (marcos planos con barras ortogo-nales, sin considerar el acortamiento de barras). Barra 1 Matriz de rigidez 5 7 3 1299.52 649.76 423.76 5 649.76 1299.52 423.76 7 423.76 423.76 184.24 3 0 5 Pe

1 = 0 7 0 3 Barra 2 Matriz de rigidez 6 8 4 1299.52 649.76 423.76 6 649.76 1299.52 423.76 8 423.76 423.76 184.24 4 0 6 Pe

2 = 0 8 0 4 Barra 3 Matriz de rigidez 7 8 1 2 7970.4 3985.2 -1992.6 1992.6 7 3985.2 7970.4 -1992.6 1992.6 8 -1992.6 -1992.6 664.2 -664.2 1 1992.6 1992.6 -664.2 664.2 2 -wL/2 -4.62 Pe

3 = -wL/2 = -4.62 wL2/12 4.62 -wL2/12 -4.62 La matriz de rigidez y el vector de cargas de empotramiento de toda la estructura se exhiben en las tablas 5 y 6. (En la tabla 5 sólo incluimos los renglones de 1, 3, 5 y 7, porque, por simetría 2 = 1, 4 = -3, 6 = -5, 8 = -7.) El vector es

1 2 3

4

= 5

6

7

8

El vector de cargas concentradas vale (fig 4) Qv1-1.2 Qv2-1.2 Qh3

Qh4

Pc = M5

M6

0 0 La rigidez del terreno de cimentación la incluimos con las ecs 5 a 7 (obtenidas de las ecs 1 a 3) Qv = Kv v (9) Qh = Kh h (10) M = Kr (11) En la fig 6 se indican las reacciones del suelo en función de las rigideces y los desplaza-mientos. Sustituyendo valores Qv1 = 2331.96 1, Qv2 = 2331.96 2 Qh3 = 1901.38 3, Qh4 = 1901.38 4 M5 = 1102.81 5, M6 = 1102.81 6

El vector de cargas concentradas queda 2331.96 1 - 1.2 2331.96 2 - 1.2 1901.38 3

1901.38 4

Pc = 1102.81 5

1102.81 6

0 0

4 Reemplazando en la ec 4 -4.62 – 1.2 + 2331.96 1 = 0 (1) 184.24 3 + 423.76 5 + 423.76 7 + 1901.38 3 = 0 (3) 423.76 3 + 1299.52 5 + 649.76 7 + 1102.81 5 = 0 (5) 426.76 3 + 649.76 5 + 5284.72 7 + 4.62 = 0 (7) Resolviendo el sistema de ecuaciones 1 = 0.0024958 m, 3 = 0.00014033 m 5 = 0.00022213, 7 = -0.00091278 Para hallar los elementos mecánicos, se utiliza el procedimiento indicado en el anexo 1. (Lo dejamos como ejercicio al lector). Las fuerzas en los apoyos se determinan con las ecs 5 a 7 Qv1 = Qv2 = 2331.96(0.0024958) = 5.82 t Qh3 = 1901.38(0.00014033) = 0.267 t Qh4 = 1901.38(-0.00014033) = -0.267 t M5 = 1102.81(0.00022213) = 0.245 t.m M6 = 1102.81(-0.00022213) = -0.245 t.m Determinación de los módulos de reacción del suelo La determinación de las rigideces Kv, Kh y Kr se lleva a cabo usando su definición dada por las ecs 1 a 3. Por ejemplo, el módulo Kv se obtiene aplicando a la zapata una carga vertical Qv y calculando el asentamiento que produce dicha carga. Dado el carácter no lineal de los suelos, es necesario que tanto la carga sobre el cimiento, como sus dimensiones, sean lo más cercano posible a sus magnitudes definitivas en la estructura, pues de otro modo la determinación de las rigideces será sólo aproximada. Ejemplo Determinar la rigidez lineal vertical Kv de la zapata de la fig E-1, utilizando para ello la fórmula de Burland y Burbridge. El subsuelo está formado por una arena normalmente cargada, N = 15 golpes. Solución El asentamiento en milímetros de la zapata está dado por (Burland y Burbridge, 1985): = qn B

0.7 Ic Ic = 1.17/N1.4 qn = incremento neto de presión, en kPa

B = ancho de la cimentación, en metros Sustituyendo valores qn = 26/1.7(2) = 7.647 t/m2 = 74.995 kPa Ic = 0.0264 B = 1.7 m = 2.870 mm = 0.00287 m El módulo Kv vale (ec 1) Kv = 26/0.00287 = 9059.2 t/m La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los módulos de reacción, para un cimiento somero de planta circular Kv = 2ER/(1-2) (12) Kh = 32(1-)GR/(7-8) (13) Kr = 8GR3/3(1-) (14) Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L < 2.5B, mediante el siguiente artificio: Sea A = BL el área del cimiento rectangular, R = A/ (15) Para calcular Kv y Kh usamos las ecs 12 y 13 con R obtenida de la ec 15. Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje que se desea calcular Kr

R = 4 4I/ (16) Kr se computa con la ec 14, con R obtenida de la ec 16. Por lo ya señalado antes, los cálculos de los módulos de reacción con las ecs 12 a 14 son sólo aproximados, pues el comportamiento real de los suelos es no lineal. Otra forma aproximada de obtener los módulos de reacción es mediante la realización de pruebas de placa (Zeevaert, 1973). Sea kv el módulo de rigidez unitario, definido como kv = Qv/vA (17) Siendo A = área del cimiento.

5 Si ks1 es el módulo de rigidez vertical determi-nado con una prueba de placa de un pie de lado, se puede emplear la siguiente fórmula (Terzaghi, 1955) kv = ks1 [(B+0.3)/2B]2 (18) donde B es el ancho de la zapata en metros. En el caso de arcillas kv = ks1 [(n+0.5)/1.5n)] (19) donde n = L/B, siendo L la longitud del cimiento. La tabla 7 contiene valores propuestos por Terzaghi (1955) para ks1. Cabe destacar que las ecs 18 y 19 se deben usar con precaución, pues sólo son aproximadamente válidas cuando el suelo es isotrópico hasta una profundidad bajo el desplante del cimiento igual al ancho del mismo (Zeevaert, 1973). Por lo mismo, dichas ecuaciones no son aplicables a suelos estratifi-cados. Interacción suelo-cimiento continuo Sea un cimiento totalmente flexible con carga uniforme apoyado en un suelo cohesivo totalmente saturado. El asentamiento a largo plazo toma la forma indicada en la fig 7a (Sowers, 1962); el diagrama de reacción del terreno en este caso es igual al de la carga, es decir, la reacción es uniforme. Si dicho cimiento se apoya sobre un suelo friccionante, el asentamiento se distribuye como se indica en la fig 7b (Sowers, 1962); por ser el cimiento totalmente flexible, la reacción del suelo es también uniforme. Sea ahora una placa de una rigidez infinita apoyada en una arcilla totalmente saturada (fig 8a). El hundimiento es uniforme, pero el diagrama de reacción a largo plazo toma la forma indicada en la fig 8a (Sowers, 1962). Si la placa se apoya sobre un suelo friccionante, el diagrama de reacción toma la forma de la fig 8b (Sowers, 1962). Vemos entonces que los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno dependen de la clase de suelo y de la rigidez de la estructura. Un cimiento real puede quedar entre los dos casos extremos señalados, pues su rigidez no necesariamente es nula o infinita.

En los siguientes incisos veremos cómo se realiza la interacción suelo-estructura para estructuras de cimentación de rigidez finita. Interacción suelo-zapata corrida Consideremos un marco estructural con una cimentación a base de una zapata corrida (fig 9a), en el cual se trata de obtener los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno de cimentación (fig 9, b y c). Comencemos con el diagrama de reacciones. En el caso general, la forma del diagrama es diferente de una reacción uniforme (fig 9b). Sustituyamos la curva de reacción del terreno por una serie de reacciones uniformes r1, r2, ... , rn (fig 10a); el análisis estructural lo llevamos a cabo utilizando el método de rigideces, considerando las reacciones ri como incógnitas. A continuación, aplicando la tercera ley de Newton, aplicamos las cargas ri sobre el terreno (fig 10b), y obtenemos los hundimientos de éste en función de las ri, empleando el método de Chamecki (1956). El problema de la interacción se resuelve estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo, es decir, si el suelo está en contacto con la estructura de cimentación, las deformaciones de ambos medios deben ser iguales. a) Análisis estructural El análisis estructural lo realizamos empleando el método de rigideces. La matriz de rigidez, el vector de cargas de empotramiento y el vector de cargas concentradas se obtienen como se indica en el anexo 1. En una barra de cimentación (fig 11), el vector de cargas de empotramiento para el sistema local vale wL2/12 - (11/192) L2 rr - (5/192) L2 rs p’ -wL2/12 + (5/192) L2 rr + (11/192) L2 rs q’

-wL/2 + (13/32) L rr + (3/32) L rs r’ -wL/2 + (3/32) L rr + (13/32) L rs s’

(Pme)’ = 0 u’

0 v’ 0 a’ 0 b’ En el sistema global, dado que = = 0, el vector de cargas de empotramiento queda (anexo 1)

6 wL2/12 - (11/192) L2 rr - (5/192) L2 rs p -wL2/12 + (5/192) L2 rr + (11/192) L2 rs q

-wL/2 + (13/32) L rr + (3/32) L rs r -wL/2 + (3/32) L rr + (13/32) L rs s

Pme = 0 u (20)

0 v 0 a 0 b b) Cálculo de deformaciones del suelo Las cargas que transmite la estructura al terreno de cimentación son iguales en magnitud y de sentido contrario a las reacciones del suelo sobre la estructura, por la tercera ley de Newton (Deméneghi, 1996). Calculemos los asenta-mientos del terreno en función de estas cargas: consideremos una reacción rk actuando en la superficie (fig 12); la presión vertical vale rkdk/ak, donde dk y ak son la longitud y el área en las que actúa la carga, respectivamente. La deformación del estrato de espesor Hj, debida a la carga rk vale ijk = (1/Ezij) Hj zijk

pero zijk = Izijk rkdk/ak (21)

donde Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert, 1973). Ezij es el módulo lineal de deformación, el cual se define como el cociente del esfuerzo normal vertical entre la deformación unitaria vertical que se presenta, en el punto ij. Sustituyendo ijk = (1/Ezij) Hj Izijk rkdk/ak, La deformación del estrato j, debida a todas las cargas vale nr

ijk = (1/Ezij) Hj Izijk rkdk/ak, k=1

donde nr = número total de cargas rk.

Si consideramos además una deformación previa oi, el asentamiento bajo el punto i vale ne nr

i = oi + (1/Ezij) Hj Izijk rkdk/ak (22)

j=1 k=1

donde ne = número total de estratos. En la ec 22, los hundimientos del terreno quedan en función de las cargas rk. Cabe aclarar que, aunque aparentemente el procedimiento es unidimensional, en la práctica se pueden tomar en cuenta, en la estimación de Ezij tanto los incrementos de esfuerzo horizontal como el efecto de la presión de confinamiento en la rigidez del suelo, así como el hecho de que la curva esfuerzo-deformación unitaria es no lineal. En efecto, Ezij está dado por Ezij = zij/zij (23) Siendo zij el esfuerzo normal vertical en el punto ij (a la mitad del estrato j), y zij la deformación lineal unitaria vertical del estrato j. zij se puede calcular usando una teoría no lineal o una teoría lineal. Los esfuerzos normales vertical y horizontales se obtienen aplicando la ec 21 para todas las cargas rk, es decir nr

zij = Izijk rkdk/ak (24) k=1

nr

xij = Ixijk rkdk/ak (25) k=1

nr

yij = Iyijk rkdk/ak (26) k=1

c) Compatibilidad de deformaciones En esta etapa se establece la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo de cimentación, lo que equivale a considerar que tanto los desplazamientos de la estructura como los del terreno son iguales, es decir, que el suelo no se despega de la estructura (Deméneghi, 1996).

7 Comportamiento no lineal Ilustraremos la forma de realizar el análisis de interacción no lineal suelo-zapata corrida con el cimiento de la fig 13 (ejemplo 3). Para el cálculo de las deformaciones del suelo usar el método no lineal del anexo 1 del capítulo 2, con las propiedades indicadas en la tabla 8. a) Análisis estructural El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces, descrito en el anexo 1. En la fig 14 se muestran los grados de libertad y en la fig 15 el sistema de cargas sobre la estructura. Las matrices de rigidez se obtienen con los valores del anexo 2, dado que se trata de barras horizontales. Los vectores de cargas de empotramiento se calculan con la ec 20. Matriz de rigidez. Barra 1

4 5 1 2 72927.375 36463.688 -34184.707 34184.707 4 36463.688 72927.375 -34184.707 34184.707 5 -34184.707 -34184.707 21365.442 -21365.442 1 34184.707 34184.707 -21365.442 21365.442 2

Matriz de rigidez. Barra 2

5 6 2 3 72927.375 36463.688 -34184.707 34184.707 5 36463.688 72927.375 -34184.707 34184.707 6 -34184.707 -34184.707 21365.442 -21365.442 2 34184.707 34184.707 -21365.442 21365.442 3

Vector de cargas de empotramiento. Barra 1 3.15733-0.58667r1-0.26667r2 4

P1e = -3.15733+0.26667r1+0.58667r2 5

-5.92+1.3r1+0.3r2 1

-5.92+0.3r1+1.3r2 2 Vector de cargas de empotramiento. Barra 2 3.15733-0.58667r2-0.26667r3 5

P2e = -3.15733+0.26667r2+0.58667r3 6

-5.92+1.3r2+0.3r3 2 -5.92+0.3r2+1.3r3 3 La matriz de rigidez de toda la estructura (tabla 9) es la suma de las matrices de rigidez de cada una de las barras. El vector de cargas de empotramiento de toda la estructura es la suma de los vectores de carga de empotramiento de cada una de las barras, el cual vale

-5.92 + 1.3 r1 + 0.3 r2 1

Pe = -11.84 + 0.6 r1 + 2.6 r2 2

3.15733-0.58667r1-0.26667r2 4

(Sólo se muestran los renglones correspon-dientes a 1, 2 y 4 porque, por simetría 3 = 1, 6 = -4 y 5 = 0). El vector de cargas concentradas vale -35 1 -50 2 Pc = -35 3 0 4 0 6 La condición de equilibrio de cargas en los nudos de la estructura conduce a la siguiente expresión (anexo 1) K + Pe + Pc = 0 Sustituyendo valores (1): 21365.4421–21365.4422–34184.7074 +1.3 r1 + 0.3 r2 – 5.92 – 35 = 0 (27) (2): -42730.8841+42730.8842+68369.4144 + 0.6 r1 + 2.6 r2 –11.84 – 50 = 0 (28) (4): -34184.7071 +34184.7072+72927.3754 –0.58667 r1 – 0.26667 r2 + 3.15733 = 0 (29) b) Cálculo de asentamientos Hallemos el asentamiento bajo el punto 1 (fig 16a). Haciendo i = 1 en la ec 21 1=(1/Ez11)H1(Iz111r1d1/a1+Iz112r2d2/a2+Iz113 r3d3/a3) +(1/Ez12)H2(Iz121r1d1/a1+Iz122r2d2/a2+Iz123 r3d3/a3) (30) Los módulos de deformación Ez11 y Ez12 están dados por (ec 23) Ez11 = z11/z11 (31) Ez12 = z12/z12 (32) Las deformaciones unitarias z11 y z12 las obtendremos usando el procedimiento no lineal expuesto en el anexo 1 del cap 2, con las siguientes expresiones:

8 Deformación por cambio de forma pa

s-2 f 2 1 cf = 1 - exp { - () [- Acf c (s-2) (pce + c z)

s-2

pce 1

+ + ] } (33) (s-1) ((pce + c z)

s-1 (s-2)(s-1) pces-2

pce = b3pt + pco’ (34) f = 1 - [(x + y)/z] (35) c = b1 + b2 [(x + y)/z] (36) b1 = b2 = 1/3 Deformación por cambio de volumen f [(pve+z)

1-s – pve1-s]

cv = 1 - exp { - } (37) Acv pa

1-s (1-s) pve = b3pt + pvo’ (38) Ilustremos la aplicación del procedimiento calculando el módulo Ez11. Los esfuerzos z11, x11 y y11 se obtienen con las ecs 24 a 26. z11 = Iz111 r1d1/a1 + Iz112 r2d2/a2 + Iz113 r3d3/a3 (39) x11 = Ix111 r1d1/a1 + Ix112 r2d2/a2 + Ix113 r3d3/a3 (40) y11 = Iy111 r1d1/a1 + Iy112 r2d2/a2 + Iy113 r3d3/a3 (41) Obtengamos como ejemplo los valores de influencia Iz111, Ix111 e Iy111. Se coloca una presión unitaria q = 1 t/m2 en el área a1 (fig 16) y se computan los esfuerzos normales z, x y y debidos a esta carga, a la mitad del estrato 1. Obtenemos z = Iz111 = 0.4868711 t/m2

x = Ix111 = 0.227869 t/m2

y = Iy111 = 0.2098534 t/m2

Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. En la tabla 10 se presentan sus magnitudes. Sustituyendo en la ec 39 z11=0.4868711r1(1.6)/1.6(2)+0.001743138r2(3.2)/3.2(2) +0.00001886487r3(1.6)/1.6(2) z11=0.24343555r1+0.000871569r2+0.000009432435r3 (42) En forma análoga se obtienen x11 y y11 x11=0.1139345r1+0.00665339r2+0.00131314r3 (43)

y11=0.1049267r1+0.017307215r2+0.002810045r3 (44) Para el inicio de los cálculos consideramos una reacción uniforme r1 = r2 = r3 = [35(2)+50]/6.4 + 3.7 = 22.45 t/m Reemplazando en las ecs 42 a 44 z11 = 5.4849 t/m2

x11 = 2.7367 t/m2

y11 = 2.8072 t/m2

A continuación calculamos las deformaciones por cambio de forma y por cambio de volumen. Cambio de forma (ecs 33 a 36) pce = 0.9914 t/m2

= 0.5 (se considera que la deformación por cambio de forma ocurre a volumen constante) f = 0.4946, c = 0.6703 cf = 0.00075907 Cambio de volumen (ecs 37 y 38) pve = 1.62 t/m2

cv = 0.001028 z11 = cf + cv = 0.00178703 Sustituyendo valores en la ec 31 Ez11 = 5.4849/0.00178703 = 3069.334 t/m2

En forma similar se obtiene Ez12 = 3293.065 t/m2

Reemplazando en la ec 30, y considerando que por simetría r1 = r3

1 = 0.00013151 r1 + 0.0000099976 r2 (45) De manera similar obtenemos 2 = 0.000021166 r1 + 0.00027335 r2 (46) c) Compatibilidad de deformaciones La compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo equivale a resolver el sistema formado por las ecuaciones 27, 28, 29, 45 y 46. Obtenemos 1 = 0.0044939 m, 2 = 0.0038785 m 4 = 0.00055543 r1 = 33.289 t/m, r2 = 11.611 t/m

9 Con los nuevos valores de r1 = r3 (por simetría) y r2 se repite el proceso hasta que éstos ya no cambien en dos iteraciones sucesivas. Esto se logra en la iteración 6, en la que se obtiene 1 = 0.0046612 m, 2 = 0.0037665 m 4 = 0.00067864 r1 = 31.534 t/m, r2 = 13.366 t/m Comportamiento lineal En forma aproximada, se puede resolver la interacción considerando que la deformación bajo el punto i de un estrato de suelo de espesor Hj está dada por ij = (Hj/Eij) [zij - (xij +yij)] (47) donde Eij es el módulo de deformación del suelo y su relación de Poisson. Sustituyendo las ecs 24 a 26 en la ec 47 nr

ij = (Hj/Eij) [ Izijk-(Ixijk+Iyijk) ] rkdk/ak k=1

Sea Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk) (48)

nr

ij = (Hj/Eij) Iijk rkdk/ak k=1

Tomando en cuenta todos los estratos de subsuelo, y una posible deformación previa oi, la deformación del punto i es

ne nr

i = oi + (Hj/Eij) Iijk rkdk/ak (49) j=1 k=1

Ilustremos el desarrollo del procedimiento lineal con la zapata de la fig 17 (ejemplo 4). El análisis estructural es similar al del ejemplo 3 del método no lineal. En el suelo, desarrollamos la ec 49 para i = 1: 1 = (H1/E11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + I113r3d3/a3) + (H12/E12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + I123r3d3/a3) En la tabla 11 se muestran los valores de influencia para este problema. Sustituyendo valores

1 = (0.8/500)[(0.194828/2)r1-(0.02614844/2)r2 -(0.00174077/2)r3] + (1.6)/(560)[(0.23528931/2)r1

-(0.00780255/2)r2-(0.00481864/2)r3] Tomando en cuenta que r1 = r3 1 = 0.000483712 r1 – 0.00003206525 r2 (50) En forma análoga se obtiene 2 = -0.000031436 r1 + 0.00098398 r2 (51) Resolviendo el sistema de ecuaciones 27, 28, 29, 50 y 51: 1 = 0.014285 m, 2 = 0.013224 m 4 = 0.00075212 r1 = 30.487 t/m, r2 = 14.413 t/m [Nota: Es importante que los módulos de deformación Eij se determinen considerando el efecto de la presión de confinamiento en el terreno, el hecho de que la curva esfuerzo-deformación unitaria de los suelos es no lineal, así como la posible variación con el tiempo de las propiedades mecánicas.] Interacción estructura-suelo plástico parcialmente saturado En un suelo plástico parcialmente saturado, además de los asentamientos producidos por las cargas de una estructura, se presentan deformaciones debidas a cambios de humedad en el suelo. Un ejemplo de esta clase de fenómeno lo constituyen las arcillas expansivas, que sufren fuertes cambios volumétricos al variar su humedad natural. Para ilustrar el fenómeno anterior, conside-remos el cimiento de la fig 18 (ejemplo 5). La aplicación de la ec 4 K + Pe + Pc = 0 conduce al siguiente sistema de ecuaciones (1): 10939.11–10939.12–21878.124 + 1.625r1 + 0.375r2 – 7.4 – 35 = 0 (52) (2): -21878.21+21878.22+43756.44 + 0.75r1 + 3.25r2 –14.8 – 50 = 0 (53)

10 (4): -21878.21+21878.22+58341.94 –0.91667r1 – 0.41667r2 + 4.9333 = 0 (54) Supongamos que con las consideraciones hechas en los incisos anteriores, se hallan las siguientes deformaciones del suelo en función de las cargas (matriz de flexibilidades del suelo) 1 = 0.000817668 r1 + 0.0000349723 r2 (55) 2 = 0.0000634471 r1 + 0.00163405 r2 (56) Resolviendo el sistema de ecuaciones 52 a 56 obtenemos 1 = 0.021759 m, 2 = 0.020075 m 4 = 0.0010381 r1 = 26.129 t/m, r2 = 11.271 t/m Supongamos que por un aumento de humedad en el suelo, en campo libre la arcilla sufre una expansión de 3 cm en los puntos 1 y 3, y de 5 cm en el punto 2 (fig 16). Aplicando la ec 49 en las ecs 55 y 56 obtenemos 1=-0.03+0.000817668r1+0.0000349723r2 (57) 2 =-0.05+0.0000634471r1+0.00163405r2 (58) Resolviendo el sistema de ecuaciones 52, 53, 54, 57 y 58 1 = -0.013950 m, 2 = -0.018469 m 4 = 0.0020384 r1 = 18.835 t/m, r2 = 18.565 t/m Nótese el cambio notable en las reacciones del suelo por las expansiones de la arcilla. Método iterativo La interacción suelo-estructura se puede resolver mediante un método iterativo. Esto tiene aplicación en la práctica cuando se dispone de un paquete o un programa de computadora que sustituye al terreno de cimentación por “resortes”, que representan el módulo de reacción de dicho terreno. Dado que no se conoce a priori la “constante del resorte”, pues depende del diagrama de reacción del suelo, que es lo que justamente se está buscando, se tiene que recurrir a un procedimiento iterativo (Chamecki, 1956), que consiste en suponer valores iniciales de las “constantes de los resortes”, y con ellas

computar por una parte las deformaciones de la estructura, y por otra las deformaciones del suelo; la diferencia entre deformaciones de estructura y suelo permite ajustar la “constante del resorte”; el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y terreno. El método se usa de la siguiente forma: a) En el terreno se entra con las cargas ri y se

determinan las deformaciones i con la matriz de flexibilidades del suelo (se puede iniciar con la reacción uniforme); los módulos de reacción (o “constantes de los resortes”) se obtienen

Kvi = ri di / i (59)

b) En la estructura se entra con las Kvi y se

calculan las deformaciones ; las reacciones ri por unidad de longitud (en t/m) se obtienen

ri = Kvi i / di (60)

donde di es la longitud en que actúa ri.

Con estos valores de ri se entra nuevamente al suelo (inciso a), y el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y suelo. Ilustremos el proceso anterior con la zapata de la fig 19 (ejemplo 6). Los datos de estructura y suelo son los mismos del ejemplo 3 (fig 13). De acuerdo con la ec 4 K + Pe + Pc = 0 Las reacciones del terreno se pueden incorporar en el vector de cargas concentradas Pc (fig 19b). De esta forma, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones (1): (21365.442+Kv1)1–21365.4422-34184.7074 – 5.92 – 35 = 0 (61) (2): -42730.8841+(42730.884+Kv2)2+68369.4144 –11.84 – 50 = 0 (62) (4): -34184.7071 +34184.7072+72927.3754 + 3.15733 = 0 (63)

11 En el terreno de cimentación habíamos obtenido la siguiente matriz de flexibilidades (ecs 50 y 51) 1 = 0.000483712 r1 – 0.00003206525 r2 (64) 2 = -0.000031436 r1 + 0.00098398 r2 (65) Las iteraciones se realizan de la siguiente forma 1ra iteración Iniciamos el proceso considerando una reacción uniforme r1 = r2 = r3 = 22.45 t/m Terreno de cimentación. Aplicando las ecs 64, 65 y 59 1 2 Kv1 Kv2

m m t/m t/m 0.010139 0.021385 3542.592 3359.425 Estructura. Con los Kvi anteriores, y aplicando las ecs 61, 62, 63 y 60 1 2 r1 r2

m m t/m t/m 0.013295 0.014729 29.437 15.463 2da iteración Terreno de cimentación. Con los ri anteriores y aplicando las ecs 64, 65 y 59 1 2 Kv1 Kv2


m m t/m t/m 0.013498 0.014775 28.912 15.988 3ra iteración Terreno de cimentación. Aplicando las ecs 64, 65 y 59 1 2 Kv1 Kv2


m m t/m t/m 0.013493 0.014783 28.956 15.944

4ta iteración Terreno de cimentación. Aplicando las ecs 64, 65 y 59 1 2 Kv1 Kv2


m m t/m t/m 0.013493 0.014782 28.952 15.948 Apreciamos que en la 4ta iteración las deforma-ciones de suelo y estructura prácticamente coinciden. Método aproximado para tomar en cuenta la rigidez angular de las columnas que llegan a la estructura de cimentación Los procedimientos de interacción vistos en los incisos anteriores permiten tomar en cuenta todos los pisos de la estructura. Con el propósito de presentar ejemplos que se puedan resolver “a mano”, sin el auxilio de la computadora, hemos presentado ejemplos muy sencillos, en los cuales, y sólo para fines didácticos, se considera únicamente la estructura de cimentación. Supongamos que se desea hacer el análisis preliminar de una subestructura, sin tomar en cuenta los niveles superiores. En este caso, las columnas transmiten las cargas a la cimentación, pero como están unidas a la infraestructura, también imponen una condición de continuidad estructural en los nudos correspondientes. La presencia de una columna provoca que en el nudo se presente un momento flexionante que vale Ke, donde Ke es la rigidez a la rotación de la columna (rigidez angular) y es el ángulo que gira el nudo en cuestión. Este momento flexionante se agrega en el vector de cargas concentradas Pc de la ec 4 K + Pe + Pc = 0 (ec 4) Ilustremos el procedimiento con el ejemplo 4, considerando que las columnas tienen una rigidez angular Ke = 6215.222 t.m/rad. El vector Pc es

12 Grado de libertad - 35 1 - 50 2 Pc = - 35 3 6215.2224 4 6215.2225 5 6215.2226 6 Aplicando la ec 4, el sistema de ecuaciones 27 a 29 queda modificado de la siguiente forma (1): 21365.4421–21365.4422–34184.7074 +1.3 r1 + 0.3 r2 – 5.92 – 35 = 0 (66) (2): -42730.8841+42730.8842+68369.4144 + 0.6 r1 + 2.6 r2 –11.84 – 50 = 0 (67) (4): -34184.7071+34184.7072+72927.3754 –0.58667r1–0.26667r2+3.15733+6215.2224 =0 (68) En el terreno habíamos obtenido (ecs 50 y 51) 1 = 0.000483712 r1 – 0.00003206525 r2 (69) 2 = -0.000031436 r1 + 0.00098398 r2 (70) Resolviendo el sistema de ecuaciones 66 a 70 1 = 0.014190 m, 2 = 0.013411 m 4 = 0.00057055 r1 = 30.303 t/m, r2 = 14.597 t/m Determinación de elementos mecánicos Los elementos mecánicos se obtienen como se indica en el anexo 1. Para una barra horizontal de cimentación, despreciando el acortamiento de la misma, son las siguientes (sistema global, fig 20) Dirección x (sistema global) Mp = wL2/12-(11/192)L2rr–(5/192)L2rs+(4EI/L)p +(2EI/L)q-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s (71) Mq=-wL2/12+(5/192)L2rr+(11/192)L2rs+(2EI/L)p +(4EI/L)q-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s (72) Vr = -wL/2+(13/32)Lrr+(3/32)Lrs-(6EI/L2)p -(6EI/L2)q+(12EI/L3)r-(12EI/L3)s (73)

Vs = -wL/2+(3/32)Lrr+(13/32)Lrs+(6EI/L2)p +(6EI/L2)q-(12EI/L3)r+(12EI/L3)s (74) Ma = (GIt/L) a - (GIt/L) b (75) Mb = - (GIt/L) a + (GIt/L) b (76) Dirección y (sistema global) Ma = -wL2/12+(11/192)L2rr+(5/192)L2rs-(4EI/L)a -(2EI/L)b-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s (77) Mb =wL2/12-(5/192)L2rr-(11/192)L2rs-(2EI/L)a -(4EI/L)b-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s (78) Vr = -wL/2+(13/32)Lrr+(3/32)Lrs+(6EI/L2)a +(6EI/L2)b+(12EI/L3)r-(12EI/L3)s (79) Vs = -wL/2+(3/32)Lrr+(13/32)Lrs-(6EI/L2)a -(6EI/L2)b-(12EI/L3)r+(12EI/L3)s (80) Mp = - (GIt/L) p + (GIt/L) q (81) Mq = (GIt/L) p - (GIt/L) q (82) Los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante en una barra de la cimentación (fig 20) se obtienen con las siguientes expresiones (dirección x) x L/2: V = -Vr + (rr – w) x (83)

M = -Mp – Vrx + (rr – w) x2/2 (84) Mmax para x = Vr/(rr-w) (85) x L/2: V = -Vr – w x + rrL/2 + rs (x – L/2) (86)

M = - Mp -Vrx – w x2/2 + (rrL/2) (x – L/4) + (rs/2) (x – L/2)2 (87)

Mmax para x = [Vr+(rs-rr)L/2]/(rs-w) (88) En las ecs 83 a 88, el cortante es positivo si va hacia arriba a la izquierda de la barra, mientras que el momento es positivo si produce compresión en las fibras superiores de la barra. Calculemos los elementos mecánicos en los nudos de la estructura del inciso anterior (ejemplo 4, fig 17, con Ke = 6215.222 t.m/rad en las columnas). Habíamos obtenido 1 = 0.014190 m, 2 = 0.013411 m 4 = 0.00057055 r1 = 30.303 t/m, r2 = 14.597 t/m Aplicando las ecs 71 a 74

13 Mp = 3.7(3.2)2/12-(11/192)(3.2)2(30.303) -(5/192)(3.2)2(14.597) +[(4)(1130000)(0.05163)/(3.2)](0.00057055) +[(2)(1130000)(0.05163)/(3.2)](0) -(6)(1130000)(0.05163)/(3.2)2](0.01419)+ -(6)(1130000)(0.05163)/(3.2)2](0.013411) Mp = -3.534 t.m Mq = 7.662 t.m Vr = 35 t Vs = 25 t Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se hallan con las ecs 83 a 88. Sin embargo, en la práctica conviene modelar la estructura de cimentación con cuatro o más barras, para obtener mayor precisión. En el siguiente capítulo se presenta un ejemplo de análisis y diseño de una zapata corrida empleando ocho barras en la estructura de cimentación; en ese ejemplo se expone la forma de obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Interacción suelo-losa de cimentación Una losa de cimentación se puede modelar como una retícula de barras ortogonales entre sí. La solución es más precisa a medida que se incrementa el número de éstas. Para una retícula de barras horizontales, se puede despreciar el acortamiento de barras; además = 0. La matriz de rigidez y el vector de cargas de empotramiento de una barra quedan como se muestra en el anexo 2 (para su obtención se tomaron las fórmulas del anexo 1). Ilustraremos el análisis de una losa con la retícula de la fig 21 (Deméneghi, 1996). La es-tratigrafía y propiedades se muestran en la fig 22. Se desprecian los efectos de acortamiento de barras. La numeración de barras y de grados de libertad se exhiben en la fig 23. Como ilustración presentamos los de las barras 1 y 7, para el sistema global: Barra p q r s a b

1 10 12 1 2 11 13 7 10 16 1 4 11 17

A continuación hallaremos las matrices de rigidez y los vectores de empotramiento de las barras 1 y 7. Utilizando los valores del anexo 4 se obtienen las matrices K1 y K7, que se

muestran en las tablas 12 y 13, respectiva-mente. La matriz de rigidez de toda la estructura es la suma de las matrices de rigidez de todas y cada una de las barras de la estructura (el rango de cada matriz se toma de 27 por 27). A manera de ejemplo, en la tabla 14 se presenta la matriz de rigidez de la estructura para los primeros 5 grados de libertad. Determinemos a continuación los vectores de empotramiento de las barras 1 y 7. Aplicando la ec 20 GL

1.233-1.0593r1-0.4815r2 10 -1.233+0.4815r1+1.0593r2 12

P1e = -1.72+1.747r1+0.4031r2 1

-1.72+0.4031r1+1.747r2 2 0 11 0 13

GL = grado de libertad GL

0 10 0 16

P7e = -1.72+1.747r1+0.4031r4 1

-1.72+0.4031r1+1.747r4 4 1.233-1.0593r1-0.4815r4 11 -1.233+0.4815r1+1.0593r4 17

Como ejemplo presentamos a continuación el vector de cargas de empotramiento de la estructura, para los primeros 5 grados de libertad -3.44+3.494r1+0.4031r2+0.4031r4 -6.88+0.4031r1+5.241r2+0.4031r3+0.4031r5

-3.44+0.4031r2+3.494r3+0.4031r6 Pe = -6.88+0.4031r1+5.241r4+0.4031r5+0.4031r7 -13.76+0.4031r2+0.4031r4+6.988r5+0.4031r6

+0.4031r8

. . . El vector de cargas concentradas, para los primeros 5 grados de libertad vale -9.6 1

0 2 Pc = -9.6 3

0 4 0 5

. . .

14 Sustituyendo valores en la ec 4 y tomando en cuenta que por simetría 1 = 3 = 7 = 9 2 = 4 = 6 = 8 r1 = r3 = r7 = r9 r2 = r4 = r6 = r8

10 = 11 = -14 = 15 = 22 = -23 = -26 = -27 13 = 16 = -20 = -25 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones (que representa el equilibrio de cortantes o de momentos en el grado de libertad corres-pondiente): Grado de libertad 1 773.141 - 773.142 - 1662.2410 + 3.494r1 + 0.8062r2 - 3.44 - 9.6 = 0 (a) Grado de libertad 2 -773.141 + 859.7672 - 86.625 +1662.2410 -186.2313+0.8062r1+5.24r2+0.403r5-6.88 = 0 (b) Grado de libertad 5 -346.482 + 346.485 + 744.9213 +1.6124r2 +6.988r5 –13.76 = 0 (c) Grado de libertad 10 -831.121 + 831.122 + 2692.7610 - 310.2313 -1.0593r1 - 0.4815r2 +1.233 = 0 (d) Grado de libertad 13 -186.232 + 186.235 - 620.4610 + 1154.3213 -1.0593r2 - 0.4815r5 + 2.465 = 0 (e) Las deformaciones del terreno de cimentación se determinan con el procedimiento indicado en el inciso de análisis lineal. Presentamos a continuación como ejemplo la obtención de 1 1=0.0154(2.4)[0.2271(4.3r1)/4.6225 +0.009375(6.45r2)/9.245+0.0001528(4.3r3)/4.6225 +0.009375(6.45r4)/9.245+0.002988(8.6r5)/18.49 +0.0001625(6.45r6)/9.245+0.0001528(4.3r7)/4.6225 +0.0001625(6.45r8)/9.245+0.00002824(4.3r9)/4.6225]+0.0222(2.0)[0.1139(4.3r1)/4.6225 +0.04407(6.45r2)/9.245+0.002284(4.3r3)/4.6225 +0.04407(6.45r4)/9.245+0.028026(8.6r5)/18.49 +0.002638(6.45r6)/9.245+0.0022836(4.3r7)/4.6225 +0.002638(6.45r8)/9.245+0.0005157(4.3r9)/4.6225] Aprovechando la simetría de la estructura obte-nemos (Deméneghi, 1996) 1 = 0.012733r1 + 0.0033854r2 + 0.00063012r5 (f) 2 = 0.0036877r1 + 0.020326r2 + 0.0021424r5 (g) 5 = 0.0028714r1 + 0.010629r2 + 0.025023r5 (h)

La compatibilidad de deformaciones entre la estructura y el terreno de cimentación se logra reemplazando las ecs f, g y h en las ecs a, b, c, d y e, o resolviendo el sistema de ecuaciones de la a a la h: r1 = 3.235 t/m, r2 = 1.082 t/m, r5 = 1.149 t/m 10 = 0.003760, 13 = -0.0007646 1 = 0.04558 m, 2 = 0.03638 m, 5 = 0.04953 m Como ilustración, hallaremos los elementos mecánicos en las barras 1 y 7 (sistema local), para lo que se aplican las ecs 71 a 82 Barra 1 (dirección x) M10 = -1.403 t.m, M12 = -1.697 t.m V1 = 4.8 t, V2 = 1.042 t M11 = -1.404 t.m, M13 = 1.404 t.m Barra 7 (dirección y) M11 = -1.403 t.m, M17 = -1.697 t.m V1 = 4.8 t, V4 = 1.042 t M10 = 1.404 t.m, M16 = -1.404 t.m REFERENCIAS Burland, J B y Burbidge, M C, “Settlement of foundations on sand and gravel”, Proc Inst Civil Eng, part I: 1325-1381, 1985 Chamecki, S, “Structural rigidity in calculating settlements”, Jour Soil Mech Found Div, Proc ASCE, Vol 88, N° SM1, 1956 Deméneghi, A, “Interacción estática suelo-estructura, considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”, XVIII Reunión Nal Mec Suelos, Vol 1: 303-310, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1996 Sowers, G F, “Shallow foundations”, cap 6 de Foundation Engineering, ed por G A Leonards, McGraw-Hill, 1962 Terzaghi, K, “Evaluation of coefficients of subgrade reaction”, Géotechnique, V, 1955 Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, 1973 (Acise3,Acisef3,Isezc24,Isezc3,Isezc31,Isezc3, Iske7,Iske84,Iske85,Maribo8,Iske86,Islcbl)

15 TABLA 1MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 1)

Delta 1 Delta 2 Delta 3 Delta 4 Theta 5 Theta 6 Delta 7 Delta 8 Delta 9 Delta 10 Theta 11 Theta 1231913.82 0 12719.58 0 -114.832 0 -31913.8 0 -12719.5 0 -114.832 0 Delta 1

--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- Delta 212719.58 0 5202.665 0 287.082 0 -12719.5 0 -5202.66 0 287.082 0 Delta 3

--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- Delta 4-114.832 0 287.082 0 1110.049 0 114.833 0 -287.082 0 555.025 0 Theta 5

--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- Theta 6-31913.82 0 -12719.5 0 114.833 0 32578.02 -664.2 12719.58 0 -1877.77 -1992.6 Delta 7

--- --- --- --- --- --- -664.2 32578.02 0 -12719.58 1992.6 1877.77 Delta 8-12719.5 0 -5202.665 0 -287.081 0 12719.58 0 71622.66 -66420 -287.08 0 Delta 9

--- --- --- --- --- --- 0 -12719.58 -66420 71622.66 0 -287.08 Delta 10-114.832 0 287.082 0 555.025 0 -1877.77 1992.6 -287.08 0 9080.45 3985.2 Theta 11

--- --- --- --- --- --- -1992.6 1877.77 0 -287.08 3985.2 9080.45 Theta 12

TABLA 2 TABLA 3VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO VECTOR DE CARGAS CONCENTRADAS(EJEMPLO 1) (EJEMPLO 1)

0 Delta 1 Qv1 Delta 10 Delta 2 Qv2 Delta 20 Delta 3 Qh3 Delta 30 Delta 4 Qh4 Delta 40 Theta 5 M5 Theta 50 Theta 6 M6 Theta 6

-24 Delta 7 0 Delta 7-24 Delta 8 0 Delta 80 Delta 9 0 Delta 90 Delta 10 0 Delta 10

24 Theta 11 0 Theta 11-24 Theta 12 0 Theta 12

TABLA 4 NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD (EJEMPLO 2)

Barra p q r s u Grados 1 5 7 1 1 3 90 2 6 8 2 2 4 90 3 7 8 1 2 - 0

TABLA 5 MATRIZ DE RIGIDEZ DE TODA LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 2)

1 2 3 4 5 6 7 8 664.2 -664.2 0 0 0 0 -1992.6 -1992.6 1

--- --- --- --- --- --- --- --- 2 0 0 184.24 0 423.76 0 423.76 0 3 --- --- --- --- --- --- --- --- 4 0 0 423.76 0 1299.52 0 649.76 0 5 --- --- --- --- --- --- --- --- 6

-1992.6 1992.6 423.76 0 649.76 0 9269.92 3985.2 7 --- --- --- --- --- --- --- --- 8

16 TABLA 6 VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO DE TODA LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 2)

-4.62 1 -4.62 2

0 3 0 4 0 5 0 6

4.62 7 -4.62 8

TABLA 8 PROPIEDADES DE DEFORMACIÓN. EJEMPLO 3

Estrato Acf scf Acv scv Ko , t/m3

1 360 1.69 733 0.705 0.295 0.418 1.8 2 480 1.67 879 0.715 0.295 0.418 1.8

17 TABLA 9MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 3)

Delta 1 Delta 2 Delta 3 Theta 4 Theta 621365.442 -21365.442 0 -34184.707 0 Delta 1-21365.442 42730.884 -21365.442 34184.707 -34184.707 Delta 2-34184.707 34184.707 0 72927.375 0 Theta 4

TABLA 10VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 3)RELACIÓN DE POISSON = 0.295

Punto Izijk Ixijk Iyijk Iijk1,1,1 0.4868711 0.2278690 0.2098534 0.35774301,1,2 0.0017431 0.0133068 0.0346144 -0.01239361,1,3 0.0000189 0.0026263 0.0056620 -0.00242621,2,1 0.2791369 0.0305775 0.0069843 0.26805621,2,2 0.0402185 0.0682320 0.0091879 0.01737961,2,3 0.0009920 0.0067291 0.0031684 -0.00192782,1,1 0.0016360 0.0152252 0.0242973 -0.01002312,1,2 0.9737421 0.4557380 0.4197068 0.71548592,1,3 0.0016360 0.0152252 0.0242973 -0.01002312,2,1 0.0355775 0.0499689 0.0049217 0.01938482,2,2 0.5582739 0.0611550 0.0139686 0.53611252,2,3 0.0355775 0.0499689 0.0049217 0.01938483,1,1 0.0000189 0.0026263 0.0056620 -0.00242623,1,2 0.0017431 0.0133068 0.0346144 -0.01239363,1,3 0.4868711 0.2278690 0.2098534 0.35774303,2,1 0.0009920 0.0067291 0.0031684 -0.00192783,2,2 0.0402185 0.0682320 0.0091878 0.01737973,2,3 0.2791369 0.0305775 0.0069843 0.2680562

18 TABLA 11VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 4)RELACIÓN DE POISSON = 0.5

Punto Izijk Ixijk Iyijk nu Iijk1,1,1 0.4868711 0.3181542 0.2659320 0.5 0.19482801,1,2 0.0017431 0.0526524 0.0031307 0.5 -0.02614841,1,3 0.0000189 0.0034808 0.0000384 0.5 -0.00174081,2,1 0.2791369 0.0579433 0.0297519 0.5 0.23528931,2,2 0.0402185 0.0912394 0.0048027 0.5 -0.00780261,2,3 0.0009920 0.0114948 0.0001265 0.5 -0.00481862,1,1 0.0016360 0.0431202 0.0029179 0.5 -0.02138302,1,2 0.9737421 0.6363085 0.5318640 0.5 0.38965592,1,3 0.0016360 0.0431202 0.0029179 0.5 -0.02138302,2,1 0.0355775 0.0649898 0.0042220 0.5 0.00097172,2,2 0.5582739 0.1158866 0.0595037 0.5 0.47057872,2,3 0.0355775 0.0649898 0.0042220 0.5 0.00097173,1,1 0.0000189 0.0034808 0.0000384 0.5 -0.00174083,1,2 0.0017431 0.0526524 0.0031307 0.5 -0.02614843,1,3 0.4868711 0.3181542 0.2659320 0.5 0.19482803,2,1 0.0009920 0.0114948 0.0001265 0.5 -0.00481863,2,2 0.0402185 0.0912394 0.0048027 0.5 -0.00780263,2,3 0.2791369 0.0579433 0.0297519 0.5 0.2352893

TABLA 12 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 1, K1

10 12 1 2 11 13

2382.530 1191.265 -831.115 831.115 0 0 10 1191.265 2382.530 -831.115 831.115 0 0 12 -831.115 -831.115 386.565 -386.565 0 0 1 831.115 831.115 -386.565 386.565 0 0 2

0 0 0 0 310.08 -310.08 11 0 0 0 0 -310.08 310.08 13

TABLA 13 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 7, K7

10 16 1 4 11 17

310.08 -310.08 0 0 0 0 10 -310.08 310.08 0 0 0 0 16

0 0 386.565 -386.565 831.115 831.115 1 0 0 -386.565 386.565 -831.115 -831.115 4 0 0 831.115 -831.115 2382.530 1191.265 11 0 0 831.115 -831.115 1191.265 2382.530 17

19 TABLA 14 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K, PARA LOS PRIMEROS CINCO GRADOS DE LIBERTAD. SISTEMA GLOBAL

1 2 3 4 5 773.130 -3866.565 0 -386.565 0 1 -386.565 859.750 -386.565 0 -86.619 2

0 -386.565 773.130 0 0 3 -386.565 0 0 859.750 -86.619 4

0 -86.619 0 -86.619 346.477 5 (Acise3,Acisef3,Isezc24,Isezc3,Isezc31,Isezc32,Iske7,Iske8) ANEXO 2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA. SISTEMA GLOBAL MARCO CON BARRAS ORTOGONALES SIN CONSIDERAR ACORTAMIENTO DE BARRAS, NI EFECTOS DE TORSIÓN Barras horizontales

p q r s 4EI/L 2EI/L -6EI/L2 6EI/L2 p 2EI/L 4EI/L -6EI/L2 6EI/L2 q

-6EI/L2 -6EI/L2 12EI/L3 -12EI/L3 r 6EI/L2 6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3 s

Elementos mecánicos (barra sobre nudo) Mp = wL2 + (4EI/L) p + (2EI/L) q - (6EI/L2) r + (6EI/L2) s Mq = -wL2 + (2EI/L) p + (4EI/L) q - (6EI/L2) r + (6EI/L2) s Vr = -wL/2 - (6EI/L2) p - (6EI/L2) q + (12EI/L3) r - (12EI/L3) s Vs = -wL/2 + (6EI/L2) p + (6EI/L2) q - (12EI/L3) r + (12EI/L3) s Barras verticales

p q u v 4EI/L 2EI/L 6EI/L2 -6EI/L2 p 2EI/L 4EI/L 6EI/L2 -6EI/L2 q 6EI/L2 6EI/L2 12EI/L3 -12EI/L3 u -6EI/L2 -6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3 v

Elementos mecánicos (barra sobre nudo) Mp = wL2 + (4EI/L) p + (2EI/L) q + (6EI/L2) u - (6EI/L2) v Mq = -wL2 + (2EI/L) p + (4EI/L) q + (6EI/L2) u + (6EI/L2) v Vu = -wL/2 + (6EI/L2) p + (6EI/L2) q + (12EI/L3) u - (12EI/L3) v Vv = -wL/2 - (6EI/L2) p - (6EI/L2) q - (12EI/L3) u + (12EI/L3) v

20 ANEXO 3 MATRIZ DE RIGIDEZ. BARRA DE UNA RETÍCULA DE CIMENTACIÓN, = 0 SISTEMA GLOBAL SIN CONSIDERAR ACORTAMIENTO DE BARRAS DIRECCIÓN x, = 0

p q r s a b 4EI/L 2EI/L -6EI/L2 6EI/L2 0 0 p 2EI/L 4EI/L -6EI/L2 6EI/L2 0 0 q

-6EI/L2 -6EI/L2 12EI/L3 -12EI/L3 0 0 r 6EI/L2 6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3 0 0 s

0 0 0 0 GIt/L -GIt/L a 0 0 0 0 -GIt/L GIt/L b

DIRECCIÓN y, = 90°

p q r s a b GIt/L -GIt/L 0 0 0 0 p -GIt/L GIt/L 0 0 0 0 q

0 0 12EI/L3 -12EI/L3 6EI/L2 6EI/L2 r 0 0 -12EI/L3 12EI/L3 -6EI/L2 -6EI/L2 s 0 0 6EI/L2 -6EI/L2 4EI/L 2EI/L a 0 0 6EI/L2 -6EI/L2 2EI/L 4EI/L b

VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO. BARRA DE CIMENTACIÓN. SISTEMA GLOBAL [ wL2/12 - (11/192) L2 rr - (5/192) L2 rs ] cos p [ -wL2/12 + (5/192) L2 rr + (11/192) L2 rs ] cos q

Pme = [ -wL/2 + (13/32) L rr + (3/32) L rs ] cos r

[ -wL/2 + (3/32) L rr + (13/32) L rs ] cos s [ -wL2/12 + (11/192) L2 rr + (5/192) L2 rs ] sen a

[ wL2/12 - (5/192) L2 rr - (11/192) L2 rs ] sen b

22

2m 6 m 2 m

8 t/m

I = 0.0054 m4A = 0.18 m2

5 m I = 0.000675 m4 I = 0.000675 m4A = 0.09 m2 A = 0.09 m2

E = 2214000 t/m2

Qh3 Qh4

M5 M6Qv1 Qv2

(Acisef)

GEOMETRÍA Y CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURABARRAS INCLINADAS

FIGURA 1

8 t/m

I = 0.0054 m4A = 0.18 m2

5 m I = 0.000675 m4 I = 0.000675 m4A = 0.09 m2 A = 0.09 m2

E = 2214000 t/m2

Kh Kh

Kr KrKv Kv

REACCIONES DEL TERRENO DE CIMENTACIÓNFIGURA 3

23

6 m

1.54 t/m

I = 0.0054 m4

4.6 m 1.2 t I = 0.000675 m4 1.2 t I = 0.000675 m4

E = 2214000 t/m2

Qh3 Qh4

M5 M6Qv1 Qv2

GEOMETRÍA Y CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURAFIGURA 4

3

1 2

NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTADFIGURA 5

1.54 t/m

I = 0.0054 m4

4.6 m 1.2 t I = 0.000675 m4 1.2 t I = 0.000675 m4

E = 2214000 t/m2

Kh Kh

Kr KrKv Kv

REACCIONES DEL TERRENOFGURA 6

25

Zapatacorrida

MARCO ESTRUCTURAL (a)

DIAGRAMA DE ASENTAMIENTOS (b)

DIAGRAMA DE REACCIONES (c)

(Acisef3)

MARCO ESTRUCTURAL CON CIMENTACIÓN A BASE DE ZAPATA CORRIDA

FIGURA 9

26

Zapatacorrida

r4r3 r5

r2 r6r1 r7

(a) REACCIONES DEL TERRENO

r1 r7r2 r6

r3 r5r4

r7

(b) CARGAS SOBRE EL TERRENO

CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA Y EL SUELOFIGURA 10

28

3.2 m 3.2 m

2 m

PLANTA

En la estructura:35 t 50 t 35 t E = 1,130,000 t/m2

I = 0.05163 m4

3.7 t/m 0.5 m

Estrato 1 0.8 m

Estrato 2 1.6 m

RocaELEVACIÓN

CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA YTERRENO DE CIMENTACIÓN (EJEMPLO 3)

FIGURA 13

O4 O5 O6

Barra 1 Barra 2

S1 S2 S3

NUMERACIÓN DE BARRASY GRADOS DE LIBERTAD (EJEMPLO 3)

FIGURA 14

35 t 50 t 35 t

3.7 t/m

r2r1 r3

SISTEMA DE CARGASSOBRE LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 3)

FIGURA 15

29

3.2 m 3.2 m

Área 1 Área 2 Área 31 2 3 2 m

1.6 m 3.2 m 1.6 m

PLANTA

0.5 m

Estrato 1 (1,1) (2,1) (3,1) 0.8 m

Estrato 2 (1,2) (2,2) (3,2) 1.6 m

RocaELEVACIÓN

CÁLCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 3)FIGURA 16

3.2 m 3.2 m

2 m

(a) PLANTA


I = 0.05163 m4

3.7 t/m 0.5 mNAF

Estrato 1 Eu = 500 t/m2 Arcilla totalmente saturado 0.8 m

Estrato 2 Eu = 560 t/m2 Arcilla totalmente saturado 1.6 m

Roca(b) ELEVACIÓN


FIGURA 17

30

4 m 4 m

2 m

(a) PLANTA


I = 0.05163 m4

3.7 t/m 0.5 m

Estrato 1 Ecv = 500 t/m2 Arcilla parcialmente saturada 0.8 m

Estrato 2 Ecv = 556 t/m2 Arcilla parcialmente saturada 1.6 m

Roca(b) ELEVACIÓN

Ecv = módulo de deformaciónpor cambio de volumen


FIGURA 18

3.2 m 3.2 m


I = 0.05163 m4

3.7 t/m

Kv1 Kv2 Kv3

(a) MÓDULOS DE REACCIÓN

35 t 50 t 35 t

3.7 t/m

R1 = Kv1 R2 = Kv2 R3 = Kv3

(b) REACCIONES DEL TERRENO

MÉTODO ITERATIVO (EJEMPLO 6)(Acisef3) FIGURA 19

31

L/2 L/2

w

x

rs

rr

a) Cargas sobre la barra

Theta p Theta qTheta a Theta b

x

Delta r Delta s

b) Grados de libertad

Ma Mq

xMb

Vr Mp Vs

c) Elementos mecánicos(Barra sobre nudo)

(Acisef3)

ELEMENTOS MECÁNICOS SOBRE UNA BARRA DE CIMENTACIÓNSISTEMA GLOBAL

FIGURA 20

ANÁLISIS Y DISEÑO GEOTÉCNICO DE PILAS Y PILOTES

Agustín Deméneghi Colina* Margarita Puebla Cadena*

* Profesores del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería. UNAM

NOTA PRELIMINAR Cuando las condiciones del subsuelo son tales que una cimentación somera no cumple con los requisitos de seguridad, se hace necesario transmitir las cargas de la estructura a estratos muy hondos. En este caso, decimos que utilizamos una cimentación profunda. Por lo tanto, una cimentación profunda es aquella que transmite las cargas de la estructura a depósitos muy hondos, con el propósito de que se cumplan los requisitos de seguridad del terreno de sustentación. Una cimentación profunda puede consistir de pilotes, pilas, cilindros, etcétera. Dado que estos elementos tienen una geometría análoga, aun cuando existe cierto fenómeno de escala, su forma de trabajo es similar. En consecuencia, en los siguientes incisos mencionaremos el término pilotes para la revisión de la seguridad del suelo, pero se puede emplear también para los demás elementos similares, con las adecuaciones necesarias en su caso por efectos de escala. Cabe aclarar que en las cimentaciones profundas es también muy importante el procedimiento constructivo. Una cimentación a base de pilotes puede trabajar básicamente de dos formas: a) Cuando se encuentra un estrato

resistente a una cierta profundidad H (fig 1). Los pilotes se apoyan en el estrato resistente, pudiendo quedar sobre su superficie o penetrar una cierta distancia D dentro de él (fig 1). En este caso se puede presentar fricción negativa en el sedimento blando, y el pilote trabaja por punta y fricción en el estrato de apoyo (fig 2). A esta clase de fundación se le denomina cimentación a base de pilotes de punta.

b) Cuando el estrato resistente se halla a una profundidad muy grande, en cuyo caso los pilotes quedan “embebidos” en el sedimento blando (fig 3). En estas condiciones, la losa de apoyo transmite cierta carga en su contacto con el terreno. Los pilotes trabajan fundamen-talmente por fricción lateral, aun cuando también poseen cierta capacidad de carga por punta. A esta clase de fundación se le denomina cimentación a base de pilotes de fricción. Cabe aclarar que dado que la subestructura queda totalmente apoyada en el depósito de suelo blando, esta cimentación se debe emplear en estructuras de tamaño mediano, de moderada altura, donde la relación altura/ancho no sea muy grande.

CAPACIDAD DE CARGA POR RESISTENCIA AL CORTE Capacidad de carga lateral La resistencia al corte a lo largo del fuste de un pilote está dada por (Poulos y Davis, 1980) τa = ca + σn tan φa (1) Pero (fig 4) σn = Ks pv (2) τa = ca + pv Ks tan φa (3) Por lo tanto Csu = ∫o ω (ca + pv Ks tan φa) dz (4) ω = perímetro del pilote Csu = ∫o ω ca dz + ∫o ω Ks tan φa pv dz

2

Csu = ω ca L + ω Ks tan φa ∫o pv dz (5) Sea ∫o pv dz = A = A1 + A2 = área bajo el diagrama pv-profundidad (fig 5) Csu = ω L ca + ω Ks tan φa (A1 + A2) (6) Otra forma de proceder es definiendo la capacidad de carga resistente por fricción lateral de un pilote de la siguiente forma CsR = ω ca L FRs1 + ω Ks tan φa FRs2 ∫o pv dz (7) donde FRs1 y FRs2 son factores de resistencia, que dependen de la incertidumbre que se tiene respecto a la resistencia del suelo. En general, en la práctica las magnitudes de FRsi varían entre 0.5 y 0.8. Capacidad de punta La capacidad de carga última por punta está dada por Cpu = qd Ab (8) qd = fc c Nc + fq pvb Nq (9) donde fc y fq son factores de forma del cimiento, que dependen de la clase de suelo c = cohesión del suelo pvb = presión vertical al nivel de desplante del pilote, a un costado del mismo Ab = área de la base del pilote La ec 8 queda Cpu = Ab (fc c Nc + fq pvb Nq) (10) Nc y Nq son factores de capacidad de carga que valen (fig 6; Zeevaert, 1973) Nc = tan (π/4 + φ/2)

e2θ tan φ - 1 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (11) 2 cos2 (π/4 + φ/2) tan φ

(e2θ tan φ) cos2 β Nq = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (12) 2 cos2 (π/4 + φ/2) (θ, φ y β en radianes) En las ecuaciones 11 y 12 θ = 3π/4 - φ/2 + β (13) φ = ángulo de fricción interna del suelo El significado de los ángulos θ y β se indica en la fig 6. Las distancias x y y están dadas por x = ρ cos β (14) y = ρ sen β (15) donde B ρ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ e(3π/4-φ/2+β) tan φ (16) 2 cos (π/4 + φ/2) En el caso general, los pilotes pueden penetrar dentro del estrato resistente; Zeevaert (1973) hace la hipótesis de que el máximo desarrollo de la superficie de falla se alcanza para β = φ (fig 6). Las distancias xmax y ymax se obtienen usando las ecuaciones 14 y 15, haciendo β = φ en la ec 16. En síntesis, si el pilote se apoya sobre la superficie del estrato resistente, los factores de capacidad de carga Nc y Nq se hallan haciendo β = 0 en las ecuaciones 11 y 12. Si la profundidad de empotramiento es mayor que ymax, se usan las ecuaciones 11 y 12 con β = φ. Si el pilote penetra una distancia y < ymax, mediante ensaye y error con las ecuaciones 15 y 16 se determina el ángulo β que forma el radio vector con la horizontal; con la magnitud de β se utilizan las ecuaciones 11 y 12 para obtener Nc y Nq. [Cabe destacar que Vesic (1967) señala que los valores de Nq que exhiben un mejor acercamiento a resultados de pruebas de campo son los dados por Berezantzev et al (1961). Las magnitudes de Nq dadas por la ec 12 (Zeevaert, 1973) son similares a las de

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Berezantzev et al, con la ventaja de que se toma en cuenta además la profundidad de empotramiento del pilote en el estrato de apoyo.] Otra forma de proceder es definiendo la capacidad de carga resistente por punta de un pilote de la siguiente forma CpR = Ab (fc c Nc FRp1 + fq pvb Nq FRp2) (17) donde FRp1 y FRp2 son factores de resistencia, que dependen de la incertidumbre que se tiene respecto a la resistencia del suelo. En general, en la práctica las magnitudes de FRpi varían entre 0.35 y 0.7. Cabe señalar que en la práctica se recomienda la ejecución de pruebas de carga de pilotes en campo, para verificar los valores de la capacidad lateral y de la capacidad por punta. Materiales cohesivos Condiciones a corto plazo Las arcillas saturadas, a corto plazo, se comportan como materiales puramente cohesivos, en cuyo caso φa = φu = 0 (Poulos y Davis, 1980). Reemplazando en la ec 5 Csu = ω ca L (18) Los valores de ca dependen del procedi-miento constructivo. Para pilotes hincados a golpes se pueden usar la fig 7 (McClelland, 1974), la fig 8 (O’Neill, 2001) o la tabla 1 (Tomlinson, 1957). Para pilotes colados en el lugar se puede emplear la fig 9 (O’Neill, 2001). En estas figuras α = ca/cu. Si se trabaja con la capacidad resistente por adherencia, ésta se define como CsR = ω ca L FRs (19) En general 0.5 ≤ FRs ≤ 0.8 Por otra parte, la capacidad última por punta vale (ecuaciones 8 y 9) Cpu = qd Ab (20) qd = fc cu Nc + fq pvb Nq (21)

Para φa = φu = 0, de la ec 12, con β = φ = 0: Nq = 1. El factor Nc no se puede obtener con la ec 11. En teoría de la plasticidad se demuestra que Nc = 2 + π Skempton encontró que la capacidad resistente en un material cohesivo aumenta con la profundidad de empotramiento en el estrato de apoyo (fig 10), hasta un máximo, después de la cual se mantiene constante. Así, para D/B = 2 el factor Nc = 7.5. Podemos establecer que Nc = 5.14 (1+ 0.23 D/B) (22) Por lo anterior, para D/B < 2 se emplea la ec 22. Para D/B ≥ 2 se usa Nc = 7.5. En materiales cohesivos fq = 1, por lo que qd = fc cu Nc + pvb Sustituyendo en la ec 20 Cpu = (fc cu Nc + pvb) Ab (23) Por otra parte, la capacidad resistente por punta se define CpR = (fc cu Nc FRp + pvb) Ab (24) En general 0.35 ≤ FRp ≤ 0.7 La capacidad última en la cabeza del pilote, por equilibrio de fuerzas vertical es la suma de Csu y Cpu, menos el peso del pilote, es decir Qu = Csu + Cpu - Wpil Qu = ω ca L + Ab (fc cu Nc + pvb) - Wpil Pero Ab pvb ≅ Wpil Qu ≅ ω ca L + fc Ab cu Nc (25) Las magnitudes de ca se pueden tomar de las figuras 7 u 8, o de la tabla 1. Nc se calcula

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con la ec 22. Para fines prácticos se puede tomar, para un pilote de sección circular o cuadrada, fc ≅ 1.2. Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de un pilote de concreto reforzado de sección circular, hincado a golpes en una arcilla totalmente saturada, que tiene las siguientes características. cu = 30 kPa; φ = 30 cm, L = 18 m, profundidad NAF = 3 m, fc = 1.2. Solución Adherencia lateral Interpolando valores en la tabla 1: ca = 26.25 kPa P = π d = π(0.3) = 0.9425 m Capacidad por punta Ab = πd2/4 = π(0.3)2/4 = 0.070686 m2 D/B = 18/0.3 = 60 > 2 De la ec 20 Nc = 5.14 (1+ 0.23 (2)) = 7.5 Sustituyendo en la ec 25 Qu = 0.9425(26.25)(18)+1.2(0.070686)(30)(7.5) Qu = 445.33 + 19.09 = 464.42 kN

------ Condiciones a largo plazo Consideremos el estado de esfuerzo en un elemento cercano al fuste del pilote (fig 11). La ley de resistencia al corte del suelo es (fig 12) s = c + ph tan φ De acuerdo con la fig 12

a sen φ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (26)

c cot φ + (ph + pv)/2 Además

(pv – ph)/2 sen φ = ⎯⎯⎯⎯⎯

a a = (pv – ph)/2 sen φ (27) Reemplazando la ec 27 en la ec 26 y despejando ph

1 – sen2φ sen φ cos φ ph = ⎯⎯⎯⎯⎯ + 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ (28) 1 + sen2φ 1 + sen2φ A lo largo del fuste del pilote la resistencia al corte vale (fig 11) sa = ca + ph tan φa (29) Sustituyendo la ec 28 en la ec 29

sen φ cos φ sa = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa

1 + sen2φ 1 – sen2φ + pv ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa (30) 1 + sen2φ

Sean sen φ cos φ

c* = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa (31) 1 + sen2φ

1 – sen2φ Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa (32) 1 + sen2φ Reemplazando en la ec 30 sa = c* + Kφ pv (33) Suelos friccionantes La capacidad lateral vale (ec 5) Csu = ω ca L + ω Ks tan φa ∫o pv dz Si ca = 0 Csu = ω Ks tan φa ∫o pv dz (34) La capacidad por punta es (ec 10) Cpu = Ab (fc c Nc + fq pvb Nq) En suelos friccionantes, para un pilote de sección circular o cuadrada, fc ≅ fq = ff ≅ 1.2, así Cpu = Ab ff (c Nc + pvb Nq) (35) Si además c = 0 Cpu = Ab ff pvb Nq (36)

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Si la punta del pilote se encuentra bajo el nivel de agua freática (NAF), la capacidad última vale Cpu = Ab ff pvb’ Nq + Ab ub siendo ub la presión hidráulica en la punta del pilote. Pero pvb = pvb’ + ub Así Cpu = Ab (ff pvb’ Nq + pvb – pvb’) Cpu = Ab [ff pvb’ (Nq – 1) + pvb] Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] (37) La capacidad de carga resistente se define CpR ≅ Ab [ff pvb’ Nq FRp + pvb] (38) Por otra parte, por equilibrio de fuerzas verticales Qu = Csu + Cpu - Wpil (39) Reemplazando las ecuaciones 34 y 35 en la ec 39 Qu = ∫o ω pv Kstan φa dz + Ab ff pvb Nq - Wpil (40) Qu = ω Kstan φa ∫o pv dz + Abff pvb Nq) - Wpil Observamos que ∫o pv dz = A = A1 + A2 = área bajo el diagrama pv-profundidad (fig 5). La capacidad última queda Qu = ω Kstan φa (A1+A2) + Ab ff pvbNq - Wpil (41) En caso de que la arena se encuentre bajo el nivel de agua freática (NAF), se debe trabajar con el diagrama de presión efectiva en lugar del diagrama de presión total, y usar φa’ en lugar de φa en la ec 41. Por otra parte, se ha observado experimen-talmente que en suelos friccionantes pv no aumenta indefinidamente con la profundidad, sino que se mantiene constante a partir de una profundidad crítica zc. Los valores del cociente zc/d y de Ks tan φa’ se presentan en la fig 13 (Poulos y Davis, 1980), tanto para pilotes hincados (driven piles) como para pilotes colados en el lugar (bored piles).

Para pilotes hincados se debe emplear φ = (3/4) φ1’ + 10° (42) φ1’ = ángulo de fricción interna del suelo previo a la instalación del pilote Mientras que para pilotes colados in situ se utiliza φ = φ1’ - 3° (43) El factor de capacidad de carga Nq se obtiene con la ec 12 (Zeevaert, 1973). Para pilotes hincados se debe emplear φ = (φ1’ + 40°)/2 (44) mientras que para pilotes colados in situ se utiliza φ = φ1’ - 3° (45) Si se usa inyección de agua la capacidad de carga lateral se reduce en un 50%. En arenas calcáreas con ángulos de fricción mayores que 35° se tiene que reducir la capacidad de carga dada por las expresiones anteriores. McClelland (1974) sugiere que la resistencia de fricción se limite a 19 kPa y la resistencia de punta a 4800 kPa. En estas circunstancias, pilotes colados en el lugar dan una mejor solución al problema que los pilotes hincados a golpes. Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de un pilote de concreto reforzado de sección circular, en un suelo puramente friccionante que tiene las siguientes características φ1’ = 36°, Dr = 0.6, γ = 18 kN/m3; L = 15 m, diámetro d = 0.25 m, ff = 1.2, profundidad NAF = 4 m Considerar las siguientes opciones a) Pilote colado en el lugar b) Pilote hincado a golpes Solución a) Pilote colado en el lugar Fricción lateral Csu = ∫o P pv’ Ks tan φa’ dz

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φ = φ1’ – 3° = 36 – 3 = 33° (ec 43) zc/d = 6 (fig 13a) φ = φ1’ = 36°, Ks tan φa’ = 0.25 (fig 13c) zc = 6(0.25) = 1.5 m ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z (fig E-1) ∫o pv’ dz = (1/2)(1.5)(27)+27(15-1.5) = 384.75 kN/m Csu = π(0.25)(384.75)(0.25) = 75.5 kN Capacidad por punta (ec 37) Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] Con φ = φ1’ – 3° = 36 – 3 = 33° (ec 43) Utilizando las ecuaciones 14 y 15, con β = φ = 33º: xmax = 1.22 m, ymax = 0.79 m < 15 m Aplicando la ec 12, con β = φ = 33º: Nq = 47.90 Cpu = [π(0.25)2/4][(1.2)(27)(47.9)+27] = 77.5 kN Capacidad de carga última del pilote Qu = Csu + Cpu – Wpil = 75.5 + 77.5 - 17.7 = 135.3 kN b) Pilote hincado a golpes Fricción lateral φ = (3/4)φ1’ + 10° = 37° (ec 42) zc/d = 8 (fig 13a) zc = 8(0.25) = 2 m ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z (fig E-2) ∫o pv’ dz = (1/2)(2)(36)+36(15-2) = 504 kN/m Ks tan φa’ = 1.6 (fig 13b) Csu = π(0.25)(504)(1.6) = 633.3 kN Capacidad por punta (ec 37) Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] φ = (φ1’ + 40°)/2 = 38° (ec 44) Utilizando las ecuaciones 14 y 15, con β = φ = 38º: xmax = 1.83 m, ymax = 1.43 m < 15 m Por lo tanto, aplicamos la ec 12, con β = φ = 38º: Nq = 107.73 Cpu = [π(0.25)2/4][(1.2)(36)(107.73)+36 = 230.2 kN Capacidad de carga última del pilote Qu = Csu + Cpu – Wpil = 633.3 + 230.2 - 17.7 = 845.8 kN.

------ Ejemplo Calcular la capacidad de carga admisible por fricción y por punta del pilote de sección circular de la fig E-3a; d = 0.4 m. Se trata de un pilote hincado a golpes. Solución Fricción lateral Csu = ∫o ω pv’ Ks tan φa’ dz φ1’ = 40º

φ = 3 φ1’/4 + 10° = 3(40)/4+10 = 40º (ec 42) zc/d = 14.5 (fig 13a) zc = 14.5(0.4) = 5.8 m > 2.8 m (fig E-3a) El diagrama pv’-z se muestra en la fig E-3b. ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z = 62.654(2.8)+(1/2)(85.586-62.654)(2.8) = 207.54 kN/m Con φ = 40º, Ks tan φa’ = 2.1 (fig 13b) Csu = π(0.4)(207.54)(2.1) = 547.7 kN Capacidad por punta Como se trata de un suelo totalmente saturado, usamos la ec 37 Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] φ = (φ1’ + 40°)/2 = 40° (ec 44) Utilizando las ecuaciones 14 y 15, con β = φ = 40º: xmax = 3.51 m, ymax = 2.94 m > 2.8 m (fig E-3a). Por lo tanto, usando las ecuaciones 15 y 16, por ensaye y error hallamos que con β = 38.6º, y = 2.8 m Así, β = 38.6º = 0.6737 rad, φ = 0.6981 rad θ = 3π/4 - φ/2 + β = 2.6808 (ec 13) Usando la ec 12 (e2(2.6808) tan 0.6981) cos2 0.6737 Nq = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 153.75 2 cos2 (π/4 + 0.6981/2) Cpu = [π(0.4)2/4][(1.2)(85.586)(153.75)+85.586] = 1995.1 kN

-------- Pruebas de campo La capacidad de carga última de un pilote se puede obtener mediante la ejecución de las siguientes pruebas de campo. Cono holandés Qu = qc Ab + 2 fcm As (46) donde qc = resistencia en la punta del cono fcm = fricción lateral promedio en la funda del cono Ab y As son las áreas en la base y lateral del pilote, respectivamente Penetración estándar Qu = 400 N Ab + 2 Nm As (47) 2 Nm ≤ 100 kPa

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N = número de golpes bajo la punta del pilote Nm = número de golpes promedio a lo largo del pilote Qu en kN, Ab y As en m2 Correlaciones El ángulo φ1’ se puede obtener con la fórmula de Meyerhof (1956) φ1’ = 28º + 15 Dr (48) Dr = compacidad relativa O bien, se puede emplear la expresión de Kishida (1967) φ1’ = √ 20 N + 15º (49) Grupo de pilotes Además de revisar la capacidad de carga individual de cada pilote, se debe verificar la capacidad de carga del grupo de pilotes, considerando a dicho grupo como una gran “zapata”, de dimensiones iguales a la envolvente del grupo. Un caso especial es el de una cimentación a base de pilotes de fricción, donde parte del peso del edificio lo toma la losa en el contacto con el suelo, y la otra parte la toman los pilotes, trabajando a la falla. La presión última sobre el terreno en el contacto con la losa debe ser menor que la capacidad de carga resistente del suelo qR a ese nivel. Si además el inmueble transmite una fuerza vertical y dos momentos de volteo al terreno (fig 14), podemos considerar que al nivel de desplante de la losa obran una fuerza vertical última Pu y dos momentos últimos Mxu y Myu alrededor de los ejes x y y, respectivamente (fig 14). Podemos hacer la hipótesis de que el momento que toman los pilotes alrededor del eje y es (fig 15) MRy = Σ CRi xi (50) (Esta hipótesis es razonable, pues los pilotes trabajan a la falla en condiciones normales, y los que más contribuyen a tomar el momento

de volteo son los ubicados cerca de la periferia de la losa de cimentación. El error que se comete al considerar que el eje neutro pasa por el centro del cimiento es mínimo, pues los pilotes ubicados cerca de la parte central tienen un brazo de palanca muy pequeño, por lo que se puede despreciar su contribución para el momento resistente). En el contacto losa-terreno se debe tomar MRy’ = Myu – MRy (51) La excentricidad de la reacción del suelo, en dirección x es ex = MRy’ / Pu (52) El ancho reducido para fines de revisión de la capacidad de carga en el contacto losa-suelo vale B’ = B – 2ex (53) En forma análoga obtenemos MRx = Σ CRi xi (54) MRx’ = Mxu – MRx (55) ey = MRx’ / Pu (56) L’ = L – 2ey (57) La revisión de la seguridad del suelo, en el contacto losa-terreno, la llevamos a cabo usando las dimensiones reducidas B’ y L’, obtenidas con las ecuaciones 53 y 57, considerando a la losa como una zapata de gran tamaño. FRICCIÓN NEGATIVA Decremento esfuerzo en el suelo por fricción negativa La fricción negativa produce una disminución de los esfuerzos normales verticales en el suelo aledaño al fuste del pilote. Denomine-mos pvo al esfuerzo vertical inicial (antes de la colocación del pilote) y pvf al esfuerzo vertical que ya toma en cuenta la disminución de esfuerzo por la fricción negativa. La fricción negativa al nivel i vale (fig 16)

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(FN)i = (FN)i-1 - ω sa Δzi (58) donde ω = perímetro del pilote Considerando un área efectiva ai-1 alrededor del pilote, la disminución de esfuerzo normal vertical promedio en dicha área efectiva, en el nivel (i-1) es (pvoi-1 – pvfi-1) = (FN)i-1 / ai-1 es decir (FN)i-1 = (pvoi-1 – pvfi-1) ai-1 (59) Considerando un área efectiva ai alrededor del pilote, el decremento de esfuerzo normal vertical promedio en dicha área efectiva, en el nivel i es (pvoi – pvfi) = (FN)i / ai (FN)i = (pvoi – pvfi) ai (60) Sustituyendo la ec 60 en la ec 58, y despejando pvfi pvoi ai - (FN)i-1 - (c* + Kφ pvfi-1/2) ω Δzi pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (61) ai + P Kφ Δzi / 2 La determinación del diagrama de presión vertical final pvfi se lleva a cabo de la siguiente forma: en cabeza del pilote pvf = pvo y (FN) = 0; con estos valores se emplea la ec 61 y se obtiene pvfi. (FN)i se calcula con la ec 60. El proceso se repite hasta llegar a la punta del pilote. Área tributaria efectiva Para determinar la presión vertical efectiva final pvfi con la ec 61 –debida al efecto de la fricción negativa- es necesario conocer el área tributaria efectiva ai. Para un área tributaria constante ao = λ β, donde λ y β miden el espaciamiento entre pilotes, se obtiene un decremento de esfuerzo normal vertical σza = pvo - pvf, obtenido como σza = (FN)/ao. El decremento de esfuerzo en el fuste del pilote es una función de la influencia de cada pilote en el campo sobre otros

pilotes, y debe ser considerado en los cálculos (Zeevaert, 1973). Sea Σo

n [σzo] = (σzo)m el cambio total en esfuerzo vertical en el fuste del pilote O, debido al efecto de todos los pilotes en el grupo, incluyendo el pilote O. Podemos escribir (σzo)m = αzo σza αzo = (σzo)m / σza (62) O bien Σo

n [σzo] = αzo σza (63) Sea a el área tributaria efectiva; se puede establecer la siguiente condición (Zeevaert, 1973) a Σ1

n [σzo] = (σza) ao (64) Reemplazando la ec 63 en la ec 64 a αzo = ao αzo = ao / a (65) O bien a = ao / αzo (66) Vemos que si se puede estimar el valor de αzo = (σzo)m / σza (ec 62), un valor aproximado del área tributaria efectiva a se puede obtener con la ec 66. Para lograr lo anterior, se requiere calcular la magnitud de σzo en el fuste de un pilote aislado. Zeevaert (1973) considera un pilote sometido a fricción negativa, y obtiene los valores del decremento de esfuerzo vertical σzr a una distancia r del centro del pilote (fig 17). El mismo Zeevaert resuelve los tres siguientes casos CASO I sa = kz La magnitud de σzr está dada por σzr = rok { (zt/r) (1 - sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] } (67) donde zt = z / √ 2 (68)

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Sea Izr = (zt/r)(1 - sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] (69) Si tomamos en cuenta la influencia de todos los pilotes, la disminución de esfuerzo en el fuste del pilote O vale Σ1

n σzo = ro k Σon Izr (70)

Por otra parte σza ao = ∫o 2πro sa dz = ∫o 2πro kz dz = πro kz2 Sustituyendo en la ec 64 a Σ1

n [σzo] = πro kz2 a = πro kz2 / Σ1

n σzo Tomando en cuenta la ec 70 a = πro kz2 / ro k Σo

n Izr = π z2 / Σon Izr (71)

El radio del área tributaria efectiva vale R = √ a / π (72) CASO II sa = c* = constante σzc = ro sa Izc / z donde Izc = (zt/r) (1 – sen ψ) (73) Si tomamos en cuenta la influencia de todos los pilotes, la disminución de esfuerzo en el fuste del pilote O vale Σ1

n σzo = (ro sa / zt) Σon Izc (74)

Por otra parte σza ao = ∫o 2πro sa dz = 2πro sa z Sustituyendo en la ec 64 a Σ1

n [σzo] = 2πro sa z a = 2πro sa z / Σ1

n σzo

Tomando en cuenta le ec 74 a = 2π z2 / √ 2 Σo

n Izc (75) CASO III sa = c* + kz Este problema se resuelve sumando los casos I y II anteriores (Zeevaert, 1973). Para el caso I:, considerando sa = kz:

σzo = ro k Σon Izr

Para el caso II, considerando sa = c* = k he = constante con la profundidad:

σzo = ro k (he/z) Σon Izc

La suma de las dos expresiones anteriores debe ser igual a la fricción total en el fuste del pilote, con variación lineal con la profundidad, es decir 2πro [ k he z + k z2 / 2 ] = [ ro k Σo

n Izr + ro k (he/z) Σon Izc ] a

Por lo tanto

(2he + z) πz2 a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (76) z Σo

n Izr + he Σon Izc

Para fines prácticos, los valores de he y k a emplearse en la ec 76 se obtienen de la forma siguiente: de acuerdo con la ec 33 sa = c* + Kφ pv sa = c* + Kφ (pv/z) z Pero sa = c* + k z Por lo tanto k = Kφ (pv/z) (77) Para el caso II: c* = k he, por lo tanto he = c* / k (78)

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Área del campo de pilotes El área tributaria obtenida con las ecuaciones 71, 75 ó 76 no puede ser mayor que el área limitada por el campo de pilotes, la cual depende de la posición de cada pilote (fig 18). Las áreas limitada por el campo de pilotes valen (Zeevaert, 1973) Pilote de esquina ae1 = π Re1

2/4 + Re1(βFa + λFB)/2 + βλ/4 - Ab (79)

Pilote de borde en dirección β ae2 = FAβRe2 + βλ/2 - Ab (80) Pilote de borde en dirección λ ae3 = FBλRe3 + βλ/2 - Ab (81) Pilote interior ae4 = βλ - Ab (82) En las ecuaciones anteriores FA = A Re2 / β + (cos A)/2 (83) FB = B Re3 / λ + (cos B)/2 (84) Los ángulos A y B (fig 18) deben estar en radianes. En las expresiones anteriores, Rei es el radio de influencia del área tributaria, que vale Rei = √ ai / π (85) donde ai es el área tributaria, obtenida con las ecuaciones 71, 75 ó 76. [El profesor Zeevaert ha calculado con buen éxito la fricción negativa, con el criterio aquí expuesto, para pilotes en la arcilla de la ciudad de México. Además, se determinó la fricción negativa sobre unos pilotes reporta-dos por Endo et al (1969) y se comparó con la fricción negativa medida en el campo, con muy buenos resultados; véase Zeevaert (1973; apéndice E).] Ejemplo Calcular la fricción negativa sobre cada pilote de la fig E-4. Considerar en la arcilla: c = ca = 0, φ = φa = 26º, γsat = 14 kN/m3. Solución Haremos los cálculos para el estrato 1 Obtención del área tributaria efectiva

Usamos la ec 71 a = πro kz2 / ro k Σo

n Izr = π z2 / Σon Izr

De la ec 69 Izr = (zt/r) (1 - sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] Haremos el cálculo para z = 2.5 m (profundidad de contacto entre los estratos 1 y 2, fig E-4) zt = z / √ 2 = 2.5/√ 2 = 1.7678 m (ec 68) r = ro = 0.2 m ψ = tan-1 (r/zt) = 6.455° Izr = (1.7678/0.2) (1 - sen 6.455°) + [cos 6.455° + ln (tan 6.455°/2)] = 5.963 Calculemos Izr para el pilote vecino (r = 2 m): ψ = tan-1 (r/zt) = tan-1 (2/1.7678) = 48.527° Izr = (1.7678/2) (1 - sen 48.527°) + [cos 48.527° + ln (tan 48.527°/2)] = 0.08704 Para el pilote de la esquina obtenemos: Izr = 0.08437 Así, Σo

n Izr = 5.963+0.08704(2)+0.08437 = 6.172 Usando la ec 31: c* = 0 Empleando la ec 32 1 – sen2φ 1 – sen2 26° Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan 26° 1 + sen2φ 1 + sen2 26° Kφ = 0.3305 Sustituyendo valores en la ec 71 a = π z2 / Σo

n Izr = π(2.5)2 / 6.172 = 3.181 m2 Obtengamos el área de influencia: Re1 = √ ai / π (ec 85) Rei = √ 3.181 / π = 1.006 m Re2 = Re3 = Re1 = 1.006 m Sustituyendo valores en las ecuaciones 83, 84 y 79 FA = (1.459)(1.006)/2 + (cos 1.459)/2 = 0.7897 FB = 0.7897 ae1 = π(1.006)2/4+1.006[2(0.7897) +2(0.7897)]/2+2(2)/4-0.1257 = 3.258 m2 a1 = 3.181 m2 < ae1 = 3.258 m2 Por lo tanto, en los cálculos debemos usar un área tributaria a1 = 3.181 m2 Para obtener el decremento de esfuerzo por fricción negativa usamos la ec 61 pvoi ai - (FN)i-1 - (c* + Kφ pvfi-1/2) ω Δzi pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

ai + ω Kφ Δzi / 2 En la cabeza del pilote pvf = pvo = 0 y (FN) = 0 A la profundidad de 2.5 m: pvoi = 14(2.5) = 35 kPa ω = 1.2566 m

11

35(3.181) - 0 - 0

pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.181 + 1.2566(0.3305)(2.5)/2 pvf = 30.089 kPa La fricción negativa a la profundidad de 2.5 m la hallamos usando la ec 60 (FN)i = (pvoi – pvfi) ai = (35 – 30.089)(3.181) = 15.622 kN La determinación de la fricción negativa en los estratos 2 y 3 se lleva a cabo en forma similar. En la tabla E-1 se presentan los cálculos correspondientes.

--------- CÁLCULO DE DEFORMACIONES Solución de Mindlin Mindlin (1936) obtuvo los esfuerzos dentro de un medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico, producidos por una fuerza concentrada P, aplicada a una profundidad z (fig 19). Dichos esfuerzos valen P (1-2ν)(z-L) (1-2ν)(z-L) σz = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R1

3 R23 R1

5

3(z-L)3 3(3-4ν)z(z+L)2 – 3L(z+L)(5z-L) - ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R1

5 R25

30zL(z+L)3 - ⎯⎯⎯⎯⎯ ] (86) R2

7 P (1-2ν)(z-L) (1-2ν)(z+7L) σr = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R1

3 R23

4(1-ν)(1-2ν) 3r2(z-L) + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ R2(R2+z+L) R1

5 6L(1-2ν)(z+L)2 – 6L2(z+L)-3(3-4ν)r2(z-L) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

R25

30Lr2z(z+L) - ⎯⎯⎯⎯⎯ ] (87) R2

7

P (1-2ν)(z-L) σθ = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R1

3

(1-2ν)(3-4ν)(z+L) - (1-2ν)6L + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R2

3

4(1-ν)(1-2ν) (1-2ν)6L(z+L)2-6L2(z+L) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] R2(R2+z+L) R2

5 (88) Siendo R1 = [r2 + (z-L)2]1/2 (89)

R2 = [r2 + (z+L)2]1/2 (90) Pilotes de punta En general es necesario calcular el asenta-miento bajo la punta del pilote, el cual se debe a los esfuerzos ocasionados por la presión en el contacto suelo-pilote y por la fricción a lo largo de la superficie lateral del pilote. Obtendremos a continuación los esfuerzos bajo el centro del pilote, integrando la solución de Mindlin (1936). Los esfuerzos normales a una profundidad z, producidos por un círculo de radio a, con carga uniforme q aplicada a una profundidad L de un medio semiinfinito (fig 20), bajo el centro de dicho círculo, están dados por q 1 1 2L σz = ⎯⎯⎯ {(1-2ν)(z-L) [ ⎯ - ⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ ] 4(1-ν) A B (z-L)(z+L)

1 1 + (z-L) 3 [ ⎯ - ⎯⎯ ]

A3 (z-L) 3

1 1 + [(3-4ν)z(z+L) 2 – L(z+L) (5z-L) ] [ ⎯ - ⎯⎯ ] B3 (z+L) 3

12

1 1 + 6zL(z+L) 3 [ ⎯ - ⎯⎯ ] (91)

B5 (z+L) 5 q 1 1 σr = ⎯⎯ {-(1-2ν)(z-L) [ ⎯ - ⎯⎯⎯ ] 4(1-ν) A z-L

1 1 + (1-2ν)(z+7L) ( ⎯ - ⎯⎯)

B z+L

(z+L) +B -4(1-ν)(1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯ ]

2(z+L)

1 (z-L) 2 2 -3(z-L) [- ⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ]

A 3A3 3(z-L)

1 1 -2L[(1-2ν)(z+L) 2 – L(z+L) ] [ ⎯ - ⎯⎯ ]

B3 (z+L) 3 1 (z+L) 2 2 -3(3-4ν)(z-L) [- ⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ]

B 3B3 3(z+L)

1 (z+L) 2 2 -30Dz(z+L) [ - ⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] } (92)

3B3 5B5 15(z+L) 3 donde A = [a2 + (z-L) 2]1/2 (93) B = [a2 + (z+L) 2]1/2 (94) Los esfuerzos bajo el eje del pilote (fig 21) producidos por la fricción lateral valen (Geddes, 1966)

P σz = - Kz ⎯ (95)

L2

P σr = - Kr ⎯ (96)

L2 Sea m = z/L (97) Para carga lateral uniforme

1 4(1-ν) 2(2-ν) 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ [ - ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) m (m-1) (m+1) 4m(2-ν) 4m2

+ ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ ] (98) (m+1)2 (m+1)3 1 2+2ν(1-2ν) (1-2ν) 6-(1-2ν)2 Kr = ⎯⎯⎯ [ - ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) m (m-1) (m+1) 6m 2m2 - ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] (99) (m+1)2 (m+1)3 Para carga lateral aumentando linealmente con la profundidad 1 2(2-ν)m 6(2-ν)m 2(7-2ν)m2 Kz = ⎯⎯⎯ [ 2 - ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ 4π(1-ν) (m-1) (m+1) (m+1)2

4m3 m2-1 + ⎯⎯⎯ - 2(2-ν) ln ⎯⎯⎯ ] (100) (m+1)3 m2

1 Kr = ⎯⎯⎯ { 11 - 2(1-2ν)(1-ν) 4π(1-ν) m-1 m+1 + (1-2ν) ln ⎯⎯ + (1-2ν)2 ln ⎯⎯ m m m+1 m m - 6 ln ⎯⎯ + (1-2ν) ⎯⎯ + [(1-2ν)2 – 18] ⎯⎯ m m-1 m+1 9m2 2m3

+ ⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯ } (101) (m+1)2 (m+1)3

Procedimiento de cálculo Dado que el desplazamiento necesario para desarrollar la máxima fricción lateral es en general menor que el necesario para desarrollar la capacidad por punta, podemos hacer la hipótesis de que el pilote trabaja a la falla por fricción lateral, y con este resultado calcular la carga en la punta. Además, para que se satisfaga la condición de frontera de que la presión de contacto pilote-suelo es igual a la carga en la punta entre el área de

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la base del pilote, los valores dados por la ec 91 se deben multiplicar por 2. Ejemplo Para la zapata apoyada sobre pilotes de punta de la fig E-4, calcular el asentamiento de cada pilote. Pilotes hincados a golpes. Sobre cada pilote actúa una fricción negativa de 117 kN. En la arcilla γsat = 14 kN/m3 En la arena γsat = 18 kN/m3, c = 0, φ1’ = 40°, ν = 0.263. N = 50 golpes, Av = 1333.5, sv = 0.5, Af = 4034.0, sf = 1.5. Solución Fricción lateral Csu = ω Ks tan φa ∫o pv dz (ec 34) Csu = ω Ks tan φa A1 + ω Ks tan φa A2 ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z (fig E-5) = A1 + A2 Csu = P1 + P2 Donde P1 = ω Ks tan φa A1 P2 = ω Ks tan φa A2 φ = (3/4) φ1’ + 10° (ec 42) zc/d = 15 (fig 13a) zc = 15(0.4) = 6 m > 2.8 m La presión efectiva a 9.1 m de profundidad (fig E-5) vale 14(2.5)+(9.1-2.5)(14-9.81) = 62.654 kPa La presión efectiva a 11.9 m de profundidad vale 62.654+(11.9-9.1)(18-9.81) = 85.586 kPa En la fig E-6 se muestran las magnitudes de la presión efectiva a 9.1 y 11.9 m de profundidad. De este diagrama A1 = 175.431 kN/m, A2 = 32.105 kN/m. Ks tan φa’ = 2.1 (fig 13b) ω = π(0.4) = 1.2566 m P1 = 1.2566(2.1)(175.431) = 462.95 kN P2 = 1.2566(2.1)(32.105) = 84.72 kN P1 y P2 son las fuerzas que actúan sobre el área lateral del pilote. La primera actúa como carga distribuida en forma uniforme, y la segunda como carga que aumenta linealmente con la profundidad. La fricción positiva última vale 462.95+84.72 = 547.7 kN La carga sobre cada pilote es 3478/4 = 869.5 kN Por equilibrio de fuerzas verticales: 869.5+117-547.7-Cp = 0 Por lo tanto, la fuerza que obra en la punta del pilote Cp = 438.8 kN

El incremento de esfuerzo en la punta del pilote es q = 438.8/0.12566 = 3492 kPa La arena bajo la punta del pilote la dividimos en “subestratos” de 10 cm de espesor. En la tabla E-2 se muestran los incrementos de esfuerzo vertical y horizontal, para los primeros 4 “subestratos”, aplicando las ecuaciones 76, 77, 80, 81, 83, 84, 85 y 86. Se usó a = 0.2 m, L = 11.9 m En la tabla E-3 se exhiben los valores calculados de la deformación por cambio de volumen y por cambio de forma de la arena. Calculando las deformaciones hasta una profundidad de 2.4 m bajo el desplante del pilote (profundidad total 14.3 m), se obtiene un asentamiento por cambio de volumen de 0.00068 m y un asentamiento por cambio de forma de 0.04246 m. El asentamiento total resulta de 0.00068+0.04246 = 0.04314 m = 4.3 cm.

---------- Pilotes de fricción Los esfuerzos normales ocasionados por la fricción lateral sobre el pilote (fig 22) valen (Geddes, 1966; Poulos y Davis, 1974)

P σz = - Kz ⎯ (102)

L2

P σr = - Kr ⎯ (103)

L2

P σθ = - Kθ ⎯ (104)

L2 Sean m = z/L (105) n = r/L (106) A = [n2 + (m-1)2]1/2 (107) B = [n2 + (m+1)2]1/2 (108) F = (n2 + m2)1/2 (109) Entonces:

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Carga lateral uniforme 1 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ { - ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A 2(2-ν)+2(1-2ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B (1-2ν) 2(m/n)2 n2 4m2-4(1+ν)(m/n)2m2 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F A3 F3

4m(1+ν)(m+1)(m/n+1/n)2 –(4m2+n2) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3

6m2[(m4-n4)/n2] 6m[mn2- (1/n2)(m+1)5] + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ } F5 B5 (110) 1 (1-2ν) Kr = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A (7-2ν)-12(1-ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B 4(2-ν) –12(1-ν)(m/n)2 n2 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯ F A3

4n2-2m2 +2(1+2ν)(m/n)2m2 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3

3n2-2m2 +2(1+2ν)(m/n)(m+1)2(m/n+1/n) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3

6[n2m2-m4(m/n)2] 6[(m/n)(m+1)4(m/n+1/n)-m2n2 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F5 B5

1 1 + 4(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ] } (111) F+m B+m+1 1 (1-2ν) Kθ = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A 6-(1-2ν)(3-4ν)+6(1-2ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B

2(1-2ν)2 - 6(1-2ν)(m/n)2 - 6 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F

2m2-4νn2+2(1+2ν)(m/n)(m+1)2(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3

4νn2-2m2-2(1+2ν)m2(m/n)2 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3

1 1 - 4(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ] } (97)112) F+m B+m+1 Carga lateral aumentando linealmente con la profundidad 1 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ [- ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A 2(2-ν)(4m+1)-2(1-2ν)(m/n)2(m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B 2(1-2ν)(m3/n2)-8(2-ν)m mn2 + (m-1)3

+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F A3

4νn2m+4m3-15n2m-2(5+2ν)(m/n)2(m+1)3+(m+1)3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B3

2(7-2ν)mn2-6m3+2(5+2ν)(m/n)2m3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

F3

6mn2(n2-m2)+12(m/n)2(m+1)5 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B5

12(m/n)2m5+6mn2(n2-m2) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

F5

(A+m-1)(B+m+1) - 2(2-ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] } (113) (F+m)2 1 (1-2ν) Kr = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A

15

(7-2ν)-12m+12(1-ν)(m/n)2(m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B 12m-12(1-ν)(m3/n2) (m-1)3+mn2

+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯ F A3

3(m+1)3-2m3+(21-4ν)mn2+2(5+2ν)(m/n)2(m+1)3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B3

2(5+2ν)(m5/n2)+ 4(5-ν)(mn2)

- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3

6mn2(m2-n2)-12(m/n)2(m+1)5 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B5

6mn2(m2-n2)-12(m7/n2) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

F5

(A+m-1) B+m+1 + (1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯ ] + [(1-2ν)2-6] ln [ ⎯⎯⎯ ] (F+m) F+m

m-1 m + 2(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯⎯ - ⎯⎯ ] } (114) B+m+1 F+m 1 (1-2ν) Kθ = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A (1-2ν)(3-4ν)+ 6(1-2ν)(m/n)2(m+1)+6(2m-1) - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B 6(1-2ν)(m3/n2)+12m

+ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F

2(m+1)3+4mn2-2(m/n)2(m+1)3

- (1-2ν) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3

2(m+1)3+6mn2-2m3-6(m/n)2(m+1)3 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

B3

(2m3+4mn2-2m5/n2)(1-2ν) 6mn2-6m5/n2 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

F3 F3

A+m-1 B+m+1

+ (1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯ ] + [(1-2ν)2-6] ln [ ⎯⎯⎯ ] F+m F+m

m-1 m - 2(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯⎯ - ⎯⎯ ] } (115) B+m+1 F+m Otro criterio para estimar el asentamiento de una cimentación a base de pilotes apoyados en un suelo friccionante que se extiende a gran profundidad, consiste en el empleo de la siguiente fórmula (Meyerhof, 1976) 2 q √ B I δ = ⎯⎯⎯⎯ (116) N donde B = ancho del grupo de pilotes, en pies (0.3 m), q = incremento neto de presión, en toneladas por pie cuadrado (100 kPa), N = número de golpes de la prueba de penetración estándar, e I es un factor de influencia del empotramiento de los pilotes en el estrato de apoyo, dado por D’ I = 1 - ⎯⎯ ≥ 0.5 (117) 8 B con D’ = empotramiento de los pilotes en el estrato de apoyo, en pies (0.3 m). Procedimiento de cálculo Dado que en general la rigidez de los pilotes de fricción es muy grande comparada con la rigidez del suelo, la carga sobre la cimenta-ción la toman inicialmente los pilotes, lo que ocasiona que los pilotes trabajen a su capacidad de carga última, tanto por fricción lateral como por punta. Lo que no toman los pilotes lo tiene que recibir la losa de cimentación, en su contacto con el terreno. En el siguiente ejemplo se ilustra este procedimiento de cómputo. Ejemplo Calcular el asentamiento a largo plazo, bajo el centro de la zapata (punto A) de la fig E-6. El diámetro de cada pilote es d = 0.3 m. El subsuelo está formado por una arcilla de consistencia blanda, con ca’ = c’ = 0, φ’ = φa’ = 26º, Ks = 0.5, A’ = 35, b3 = 1, pt = 0, cu = 14 kPa, γsat = 14 kN/m3. El nivel de agua freática (NAF) se encuentra a 2.5 m de profundidad.

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Solución El perímetro de cada pilote es: ω = 0.94248 m El área de cada pilote es: Ab = 0.070686 m2 La carga última aproximada que toma cada pilote es Cs ≅ 14(8.6)(0.94248) = 113.47 kN Cp ≅ 14(9)(0.070686) = 8.91 kN Cu = Cs + Cp ≅ 122.38 kN El área neta de contacto es A = 9 – 4(0.070686) = 8.717 m2 La carga unitaria en el contacto zapata-terreno es q(8.717) + 4(157.4) = 800 kN q = 19.5 ≅ 20 kN/m2 = 20 kPa Fricción lateral El esfuerzo cortante a lo largo del pilote es sa = c* + Kφ pv (ec 33) donde

sen φ cos φ c* = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa (ec 31)

1 + sen2φ 1 – sen2φ Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa (ec 32) 1 + sen2φ Sustituyendo valores c* = 0 1 – sen2 26º Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan 26º = 0.33 1 + sen2 26º sa = 0.33 pv sa’ = 0.33(q + pvo’) La capacidad de carga lateral del pilote es Cs = ∫o ω (0.33q) dz + ∫o ω (0.33pvo’) dz Cs = 0.33ω q L + 0.33ω ∫o pvo’ dz Cs = 0.33ω A1 + 0.33ω A2 (a) donde A1 = qL, A2 = ∫o pvo’ dz Observamos que A1 y A2 son las áreas bajo el diagrama de presión efectiva del suelo. En la fig E-7 se muestra el diagrama de presión vertical efectiva en el suelo. Obtenemos A1 = 232.2 kN/m, A2 = 153.312 kN/m. Sustituyendo en la ec a Cs = 0.33ω A1 + 0.33ω A2 Cs = 0.33(0.9425)(232.2) + 0.33(0.9425)(153.312) Cs = 72.22 + 47.68 = 119.90 kN La capacidad de carga por punta la estimamos con la siguiente expresión Cpu = Ab (fc c Nc + fq pvb Nq) (ec 10)

Como la base del pilote se encuentra bajo el NAF Cpu = Ab (fc c’ Nc + fq pvb’ Nq) donde c’ = 0, Nq = 17.87, para φ’ = 26º Cpu = 0.070686(1.2)(62.654)(17.87) = 95 kN El peso del pilote es Wp = 0.070686(8.6)(24) = 14.6 kN Cada pilote toma Cu = 119.9+95.0-14.6 = 200.3 kN La presión en el contacto losa-terreno la determinamos con el equilibrio de fuerzas verticales 980 = q(8.717)+4(200.3) q = 20.5 kPa ≅ 20 kPa (En este caso particular, la capacidad de carga última del pilote para condiciones a largo plazo es muy similar a la capacidad de carga para condiciones a corto plazo. Si este no fuera el caso en otro problema, por ensayo y error se tendría que determinar el nuevo valor de la presión q). Cálculo de los esfuerzos verticales a la mitad de cada estrato, bajo el centro de la zapata (punto A) Usamos las ecuaciones 102, 110 y 113. En la ec 102, para carga uniforme P = 232.2(0.33)(0.9425) = 72.22 kN Para carga aumentando linealmente P = 153.312(0.33)(0.9425) = 47.68 kN En la tabla E-4 se muestran los esfuerzos ocasionados por los pilotes. En la tabla E-5 se exhiben los esfuerzos producidos por la presión en el contacto losa-terreno, así como la suma de los esfuerzos por los pilotes y por la losa. El asentamiento a largo plazo de cada estrato se calcula con la siguiente expresión δ = εvzho donde pbe + σz εvz = 1 - ( ⎯⎯⎯⎯ ) –1/A’

pbe pbe = b3 pt + pzo’ La magnitud de la deformación de cada estrato se indica en la tabla E-5. Se obtiene un asentamiento total a largo plazo de 7.1 cm.

---------- Ciudad Universitaria, D F, febrero de 2006

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REFERENCIAS Berezantzev, V G, Khristoforov, V y Golubkov, V, “Load bearing capacity and deformation of piled foundations”, Proc 5th Int Conf Soil Mech Found Eng, vol 2: 11-15, 1961 Endo, M, Minou, A, Kawasaki, K y Shibata, T, “Negative skin friction acting on steel pipe piles in clay", Proc 7th Int Conf Soil Mech Found Eng, vol 2: 93-98, 1969 Geddes, J D, “Stresses in foundation soils due to vertical subsurface loading”, Géotechnique, vol 16, Nº 3, 231-255, 1966 Kishida, H, “Ultimate bearing capacity of piles driven into loose sand”, Soils and Foundations, vol 7, Nº 3: 20-29, 1967 McClelland, B, “Design of deep penetration piles for ocean structures”, Jour Geot Eng Div, ASCE, vol 100, Nº GT7: 705-747, 1974 Meyerhof, G G, Penetration tests and bearing capacity of cohesionless soils, JSMFD, ASCE, vol 82, SM1: 1-19, 1956 Meyerhof, G G, “Bearing capacity and settlement of pile foundations”, Jour Geot Eng Div, ASCE, vol 102, Nº GT3: 197-228, 1976

Mindlin, R D, “Force at a point in the interior of a semi-infinite solid”, Physics, 7: 195-202, may 1936 O’Neill, M W, “Side resistance in piles and drilled shafts”, Jour Geot Geoenv Eng, 3-16, enero 2001 Poulos, H G y Davis, E H, Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, cap 2, Wiley, 1974 Poulos, H G y Davis, E H, Pile Foundations Analysis and Design, Wiley, 1980 Tomlinson, M J, “The adhesion of piles driven in clay soil”, IV Int Conf Soil Mech Found Eng, Londres, 1957 Vesic, A, “A study of bearing capacity of deep foundations”, Final Rep. Proj B-189, School of Civil Eng, Georgia Inst Tech, Atlanta, 1967 Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, 1973 (Acimprof21,Mindlin111,Cimprofesf,Pilfric, Pilpunta1,Pilotes12,Zeevcapca4)

TABLA 1 MAGNITUDES DE LA ADHERENCIA EN PILOTES (Tomlinson, 1957)

Material del pilote Consistencia de la arcilla

Cohesión cu Adherencia ca

kPa kPa Blanda 0-40 0-35 Firme 40-80 35-45

Concreto y madera

Dura 80-150 45-70 Blanda 0-40 0-30 Firme 40-80 30-40

Acero

Dura 80-150 --

18

TABLA E-1 CÁLCULO DE LA FRICCIÓN NEGATIVA

Estrato Área tributaria pvoi Fricción negativa pvfi

m2 kPa kN kPa 0 0 0 1 3.181 35 15.62 30.090 2 4.648 47.570 56.44 35.428 3 5.976 62.654 115.33 43.355

Los valores indicados corresponden a la base de cada estrato TABLA E-2 INCREMENTOS DE ESFUERZO BAJO LA PUNTA DEL PILOTE

Punta del pilote Carga lateral P1 Carga lateral P2 Sumas Sub-

estrato z σz σr σz σr σz σr σz σr

m kPa kPa kPa KPa kPa kPa kPa kPa 1 11.95 3187 1100 21 -3 7 -1 3215 1096 2 12.05 2307 268 7 -1 2 0 2316 267 3 12.15 1488 35 4 -1 1 0 1493 34 4 12.25 967 -15 3 0 1 0 971 -15

TABLA E-3 MAGNITUDES DE LA DEFORMACIÓN BAJO LA PUNTA DEL PILOTE

Subestrato Deformación por cambio de volumen

Deformación por cambio de forma

Suma

1 0.00018 0.01483 0.01501 2 0.00012 0.01375 0.01388 3 0.00008 0.00713 0.00721 4 0.00006 0.00328 0.00334

TABLA E-4 INCREMENTOS DE ESFUERZO,OCASIONADOS POR LOS PILOTES, BAJO EL CENTRO DE LA ZAPATA Carga uniforme Carga aumenta

lineal Suma

Un pilote4

pilotes Estrato z Kz σz Kz σz σz σz

m kPa kPa kPa kPa 1 1 -0.2718 0.2654 0.0255 -0.0164 0.2490 0.9960 2 3.5 -0.3993 0.3899 0.1786 -0.1151 0.2748 1.0992 3 6.8 -0.5813 0.5677 -0.3384 0.2182 0.7858 3.1432 4 10 -0.6034 0.5892 -0.7707 0.4968 1.0860 4.3440 5 13.1 -0.2707 0.2644 -0.3148 0.2030 0.4673 1.8692

L = 8.6 m, P1 = 72.22 kN, P2 = 47.68 kN, ν’ = 0 (Pilfric)

19

TABLA E-5 ASENTAMIENTO BAJO EL CENTRO DE LA ZAPATA Estrato Esfuerzo losa Esfuerzo

pilotes fricción lateral

Esfuerzo pilotes punta

Suma esfuerzos

Asentamiento

kPa kPa kPa kPa m 1 17.2535 0.9959 -0.1157 18.1336 0.0402 2 5.3629 1.0992 -1.2159 5.2462 0.0122 3 1.7190 3.1433 -5.9368 -1.0745 -0.0023 4 0.8283 4.3440 7.0662 12.2386 0.0145 5 0.4901 1.8693 2.7123 5.0717 0.0064

Suma 0.0709 En la losa q = 20 kPa, B = L = 3 m En la punta del pilote P = 95 kN, L = 8.6 m (Pilfric) (Acimprof21,Pilotes12,Acimproff)

20

Sedimentoblando

Estratoresistente

CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE PUNTAFIGURA 1

Q

Sedimento FNblando

Estrato FPresistente

Qp > FP Qp

FUERZAS QUE ACTÚAN EN UN PILOTE DE PUNTAFIGURA 2

21

q

FP

QpFP > Qp

CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE FRICCIÓNFIGURA 3

(Acimproff)

Q

Csu

Qpu

FRICCIÓN LATERAL ÚLTIMA SOBRE EL PILOTEFIGURA 4

22

pvaza

A1

A2

zb pvb

PRESIÓN VERTICAL A UN COSTADO DEL PILOTEFIGURA 5

Terreno suelto

DfD B

PROFUNDIDAD DE EMPOTRAMIENTO "D" ENEL ESTRATO DE APOYO

FIGURA 10

Cimiento

Terreno de apoyo

25

pv

s

Pilote

sas

ph phph

s

spv

ESTADO DE ESFUERZO EN LA CERCANÍA DEL PILOTEFIGURA 11

Esfuerzocortante

0

c

0 ph pv Esfuerzonormal

DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN HORIZONTAL phFIGURA 12

27

y

Pu

xMxu

MyuLosa

CIMIENTO SOMETIDO A CARGA VERTICAL Y DOS MOMENTOSFIGURA 14

B/2 B/2

exB'/2 B'/2

Pu

Myu Losa

xqR

ClR PilotesPilotes

CRixi

CONTRIBUCIÓN DE PILOTES Y LOSA DE CIMENTACIÓNAL MOMENTO RESISTENTE

FIGURA 15

28

pvf pvo

Pilote

Nivel (i-1)

sa sa z i

Nivel i

FRICCIÓN NEGATIVAFIGURA 16

zt

sa sa

rPilote

ro ro

INCREMENTO DE ESFUERZO VERTICAL, DEBIDO AL ESFUERZOCORTANTE A LO LARGO DEL FUSTE DEL PILOTE

FIGURA 17

29

L

Pz

r

σzσr

σθ

ESFUERZOS OCASIONADOS POR UNA FUERZA CONCENTRADA PEN EL INTERIOR DEL MEDIO

FIGURA 19

L

qz

a a

Círculo cargadoσz

σr

ESFUERZOS BAJO EL CENTRO DE UN CÍRCULO CARGADOFIGURA 20

30

P

L

z

σz

σr

ESFUERZOS BAJO EL EJE DEL PILOTE, OCASIONADOSPOR FRICCIÓN LATERAL

FIGURA 21

P

L

z

r

σz

σr

σθ

ESFUERZOS OCASIONADOS POR FRICCIÓN LATERALFIGURA 22

31

pv' pv'

Profundidad kPa Profundidad kPametros metros

1.5 27 kPa2 36 kPa

15 15

PILOTE COLADO EN EL LUGAR PILOTE HINCADO A GOLPESEJEMPLO EJEMPLO

FIGURA E-1 FIGURA E-2

pv'kPa

250

NAF 250 35

Arcilla blanda

gamma = 14 kN/m3

660

910 62.654

Arena de grano medio Csu 280 A1N= 50 golpes A2phi1' = 40ª 1190gamma = 18 kN/m3 85.586

Cpua) Geometría del pilote b) Variación de la presión vertical efectiva

con la profundidad

CAPACIDAD DE CARGA DE UN PILOTEFIGURA E-3

32

300

50

50

40Croquis sin escalaDistancias en centímetros

300

3478 kN

50250

NAF 250

Arcilla 300blanda

FN 550Gamma = 14 kN/m3

360

910

Cs 280Arenacompacta 1190N = 50 golpes

CpGamma = 18 kN/m3

CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE PUNTAFIGURA E-4

33

62.654 kPa9.1 m

A1 = 62.654(2.8) = 175.431 kN/m

A1

A2 = (85.586-62.654)(2.8)/2 = 32.105 kN/m

A2

11.9 m 85.586 kPa

PRESIÓN VERTICAL EFECTIVA A UN COSTADO DEL PILOTEFIGURA E-5

34

300

50

50

30Croquis sin escalaDistancias en centímetros

A300

980 kN

50250

qNAF 250

300

550

360

910

280

1190

340

1530Roca

CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE FRICCIÓNFIGURA E-6

35

sz pv sz + pv'kPa kPa kPa

20 7 0.5 27Gamma = 14 kN/m3 2.5

35 NAF

3+ =

A1A2

3.6

1 60.56 62.654

A1 = 232.2 kN/m

A2 = 153.312 kN/m

PRESIÓN VERTICAL EFECTIVA EN EL TERRENOFIGURA E-7

EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA ZAPATA AISLADA DE CONCRETO REFORZADO, APOYADA SOBRE SUELOS FRICCIONANTES

Agustín Deméneghi Colina Margarita Puebla Cadena Profesores del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería, UNAM

Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata aislada de concreto reforzado de la figura A, de acuerdo con las Normas de Cimentaciones del RCDF-2004. En la estructura: Concreto: fc’ = 25 MPa Acero: fy = 420 MPa Zona I del RCDF-2004 Asentamiento permisible = 5 cm Giro permisible = 0.5% Suponer L = 1.4 B SOLUCIÓN Estados límite de falla Se debe verificar qult qR qR = pv’ (Nq fq - 1) + (1/2) B N f FR + pv (28) Nq = e tan tan2 (45 + /2) (2) N = 2 (Nq +1) tan (3) fq = 1 + (B/L) tan (8) f = 1 - 0.4 (B/L) (9) = ang tan ( tan *) (22) Para suelos arenosos con compacidad relativa Dr menor que 67 por ciento, el coeficiente α será igual a 0.67+Dr–0.75Dr². Para suelos con compacidad Dr mayor que el límite indicado, α será igual a 1 (Normas de Cimentaciones, 2004). [ Una forma alterna de obtener consiste en usar las siguientes expresiones = 0.67 para Dr Dri

ri

rir

D

DD

7.033.067.0 (A)

para Dri < Dr < 0.7 = 1.0 para Dr 0.7

2

Siendo Dri la compacidad relativa inferior que se establezca. En el anexo 1 se presenta el cálculo de qR usando este criterio. ]

y

B

2530 kN.m

L30

x

15 kN.m

200 kNDistancias en centímetrosCroquis sin escala

70

Arena limpia N = 25 golpes γ = 16 kN/m3 30Dr = 65%

Arena limosa N = 32 golpes γ = 18 kN/m3 40Dr = 68%

Limo arenoso N = 28 golpes γ = 17 kN/m3 50Dr = 58%

Roca

ZAPATA AISLADA(Cc zapata aislada 0310) FIGURA A

3

El factor de reducción de resistencia FR varía 0.35 ≤ FR ≤ 0.70 Para condiciones normales se recomienda 0.45 ≤ FR ≤ 0.55 En la zona I el RCDF-2004 establece un FR = 0.35 qult = Q Fc / A Suponemos un ancho de la zapata B = 1.1 m, L = 1.4(1.1) = 1.54 m; usamos L = 1.6 Tomamos un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm Q=200+1.1(1.6)(0.25)(24) +0.25(0.3)(0.7-0.25)(24) +[1.1(1.6)0.25(0.3)](0.7-0.25)(16) =200+10.56+0.81+12.132=211.37+12.132 =223.502 kN q = Q/A = 223.502/1.1(1.6) = 126.99 kPa QFc = 211.37(1.4)+12.132(1.1) = 309.26 kN Utilizando la figura 37

Estrato N φ* grados 1 25 34 2 32 34 3 28 33

4

Obtenemos promedios ponderados de φ*, Dr y γ

58.33

5.04.03.0

)33(5.0)34)(4.0()34(3.0*

En forma similar Dr = 63.08% = 0.6308, γ = 17.08 kN/m3

5

= 0.67+0.6308-0.75(0.6308)2 = 1 Reemplazando en la ecuación 22: = * = 33.58° B’ = B – 2ex

L’ = L – 2ey

Q

Me y

x

Q

Me x

y

mex 0671.0502.223

15

mey 1342.0502.223

30

B’ = 1.1-2(0.0671) = 0.9658 m L’ = 1.6-2(0.1342) = 1.3315 m Los cálculos se llevan a cabo con las dimensiones reducidas B’ y L’. qult = QFc/A = 309.26/(0.9658)(1.3315) qult = 240.49 kPa Para el cómputo de qR reemplazamos en las ecuaciones 2,3, 8, 9 y 28 Nq = e tan 33.58° tan2 (45+33.58°/2) = 27.976 N = 2(27.976+1) tan 33.58° = 38.474 fq = 1 + (0.9658/1.3315) tan 33.58° = 1.482 f = 1 - 0.4 (0.9658/1.3315) = 0.710 pv’ = pv = 16(0.7) = 11.2 kPa qR = 11.2(27.976(1.482)-1) +(1/2)(17.08)(0.9658)(38.474)(0.710)(0.35) +11.2 qR = 248.66 kPa Observamos que qult = 240.49 kPa < qR = 248.66 kPa Por lo tanto: Cumple (Cc zapata aislada 0310.xls; Cap carga)

6

Estados límite de servicio a) Método no lineal (Deméneghi, 2008) Trabajamos bajo el centro de la zapata, y a la mitad de cada estrato. f [(pbeo + cz)

1-s – (pbeo)1-s]

δz ={1-exp{- } }zo (57) (1-s) c A pa

1-s

La ecuación 57 permite calcular la deformación vertical de un elemento de suelo friccionante de espesor zo, sujeto a incrementos de esfuerzo z, x y y. En suelos friccionantes el exponente s es del orden de 0.5, s ≈ 0.5. El coeficiente Ko se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy, 1982) Ko = (1 – sen φ*)(OCR)sen φ* (58) donde φ* es el ángulo de fricción interna y OCR es la relación de preconsolidación del suelo en el campo. La relación de Poisson se obtiene = Ko / (1 + Ko) (59) El módulo de rigidez promedio Am del suelo se determina a partir del número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT), con la siguiente expresión aproximada Am = 26.25 N1.125 (60) El módulo desfavorable se calcula en función del nivel de confianza α con A = Am C (61) donde C = exp[ -0.784 tα √ 1.00758 + 0.0152(ln N – 2.976)2] (62) tα es una variable aleatoria t de Student, cuyos valores se exhiben en la tabla 1. TABLA 1 VARIABLE ALEATORIA t DE STUDENT

Nivel de Confianza

t

% 2.5 1.978 5 1.657

10 1.288 15 1.041 20 0.844 25 0.676 30 0.526 40 0.254 50 0

7

Estrato 1 pbeo = pcie + pco (94) pco = [(1 + 2Ko)/3] pvo pvo = 0.7(16)+(0.3/2)(16) = 13.6 kPa Ko = (1 – sen φ*)(OCR)sen φ* (58) Ko = (1 – sen 34°)(1)sen 34° = 0.4408 pco = [(1 + 2(0.4408))/3](13.6) = 8.530 kPa = 0.4408/(1+0.4408) = 0.3059 Am = 26.25(25)1.125 = 981.32 A = Am C (61) Usamos α = 20%, tα = 0.844 (tabla 1) C=exp[-0.784(0.844)√ 1.00758+0.0152(ln25-2.976)2] (62) C = 0.5145 A = 981.32(0.5145) = 504.92 pbeo = 8.53 kPa q = 126.99 kPa, z = 0.3/2 = 0.15 m z = 125.78 kPa x = 69.14 kPa y = 68.54 kPa

f = 1 - z

yx

f = 1 – 0.3059 78.125

54.6814.69 = 0.6652

c = b1 + b2 (a1 + a2) (33)

z

yxbbc

21

6982.078.125

54.6814.69

3

1

3

1

c


8

δz={1 0.665[(8.53+0.698(125.78))1-0.5–(8.53)1-0.5] -exp{- } }(0.3) (1-0.5)(0.698(504.92)(101.3)1-0.5

δz = 0.0007746 m En la tabla A se exhibe el cálculo de las deformaciones de los demás estratos. Se halla un asentamiento total de 0.274 cm, menor que el hundimiento permisible de 5 cm. Por lo tanto, Cumple (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos) TABLA ACÁLCULO DEL ASENTAMIENTO. MÉTODO NO LINEAL

Estrato A pvo pbeo ν σz σx σy f c δzkPa kPa kPa kPa kPa m

1 504.9234 13.6000 8.5300 0.3059 125.7762 69.1353 68.5364 0.6651 0.6982 0.0007742 665.9531 19.6000 12.2932 0.3059 102.6153 24.5827 16.0286 0.8789 0.4653 0.0009553 573.3874 27.4500 17.4831 0.3129 63.3418 5.1578 1.2589 0.9683 0.3671 0.001005

Suma 0.002735 b) Ley de Hooke:

)()(

os

yxzz z

E

Para encontrar Es empleamos la fórmula de Denver

NCEs

C = 7 MPa N = número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT) Estrato 1

kPaMPaEs 3500035257

)3.0(35000

)54.6814.69(3059.078.125 z

δz = 0.0007171 m En la tabla B se muestran los resultados de las deformaciones de los demás estratos. Se encuentra un asentamiento total de 0.246 cm. (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos)

9

TABLA BCÁLCULO DEL ASENTAMIENTO. LEY DE HOOKE

Estrato N Es δzkPa m

1 25 35000.00 0.0007172 32 39597.98 0.0009113 28 37040.52 0.000828

Suma 0.002456 (Cc zapata aislada tablas.xls) c) Fórmula de Steinbrenner Para un medio elástico de espesor h, el asentamiento bajo la esquina de un rectángulo sometido a carga uniforme q, está dado por la fórmula de Steinbrenner (Terzaghi, 1943) q (1 - 2) (x+ x2+y2) y2+h2 z = { y ln [ ] Es y (x+A)

(y+ x2+y2) x2+h2 + x ln [ ] }

x (y+A) q yx + (1--22) h tan-1 ( ) (66) 2Es hA A = (x2 + y2 + h2)1/2 (67) Obtenemos un promedio ponderado de E = Es. En la tabla B se presentan las magnitudes de Es, determinadas con la fórmula de Denver (1985)

5.04.03.0

)5.0(37040)4.0(39598)3.0(35000

sE

Es = 37383 kPa Procediendo en forma análoga: ν = 0.3088 x = 1.1/2 = 0.55 m; y = 1.6/2 = 0.8 m h = 1.2 m Reemplazando en las ecuaciones 67 y 66 A = (0.552 + 1.62 + 1.22)1/2 = 2.07425 m 126.99(1–0.3092) (0.55+ 0.552+0.82) 0.82+1.22 z = {0.8 ln [ ] (37383) 0.8(0.55+2.074)

(0.8+ 0.552+0.82) 0.552+1.22 + 0.55 ln [ ] }

0.55(0.8+2.074) 126.99 0.8(0.55) + (1-0.309-2(0.309) 2) 1.2 tan-1 ( ) 2(37383) 1.2(2.074)

10

δz’ = 5.881x10-4 m δz = (5.881x10-4)(4) = 0.00235 m = 2.35 mm (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos) d) Fórmula Burland y Burbidge (1985) Para una arena normalmente cargada, el asentamiento está dado por z = q B0.7 Ic (72) z = hundimiento, en milímetros Ic = 1.17/N1.4 (73) q = presión de contacto, en kPa B = ancho de la cimentación, en metros

58.285.04.03.0

)5.0(28)4.0(32)3.0(25

N

Sustituyendo em las ecuaciones 73 y 72 Ic = 1.17/28.581.4 = 0.010706 z = 126.99(1.1)0.7(0.010706) = 1.453 mm e) Fórmula estadística (Deméneghi, 2003) z = D C’ (74) D = 1.34 q B0.7 N-1.37 (75) C’=exp[0.784t 1.00758+0.0152(ln N - 2.976)2] (76) z = hundimiento, en milímetros q = presión de contacto, en kPa B = ancho del cimiento, en metros N = número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT) t = variable aleatoria con distribución t de Student, cuyos valores se muestran en la tabla 1, en función del nivel de confianza Cabe aclarar que existe una probabilidad α de que el asentamiento del cimiento sea mayor que el valor dado por la ecuación 74. Para = 20%, tα = 0.844 (tabla 1) Reemplazando en las ecuaciones 76, 75 y 74 C’=exp[0.784(0.844)1.00758+0.0152(ln28.58-2.976)2] C’ = 1.944 D = 1.34(126.99)(1.1)0.7(28.58)-1.37 = 1.841 mm z = 1.841(1.944) = 3.579 mm (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos)

11

En la tabla C se exhibe un análisis comparativo de los resultados hallados con los diferentes procedimientos. TABLA CASENTAMIENTO DE LA ZAPATAANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS

δz Qz Kzcm kN kN/m

a) No linealα = 20% 0.273 223.502 81722α = 50% 0.141 223.502 158850

b) Ley de Hooke 0.246 223.502 91001

c) Fórmula de Steinbrenner 0.243 223.502 92045

d) Fórmula de Burland yBurbidge 0.145 223.502 153784

e) Fórmula estadísticaα = 20% 0.358 223.502 62451α = 50% 0.184 223.502 121425

Giro de la zapata El giro elástico de un círculo de radio R sometido a un momento M está dado por (Richart et al, 1970)

38

13

GR

M (49b)

donde

12

EG (49c)

En forma aproximada, se puede usar el siguiente artificio para el cálculo del giro de un rectángulo: se obtiene el momento de inercia I del rectángulo en el sentido que se está analizando, y se determina el radio equivalente de un círculo que posea el mismo momento de inercia I:

4/14

I

R (49d)

Con el radio equivalente R se emplea la ecuación para encontrar el giro del rectángulo. Calcularemos el giro alrededor del eje y

12

43

17747.012

1.16.1mI

mR 6895.0

17747.044/1

kPaG 142813088.012

37383

0008305.06895.0142818

153088.0133

θ = 0.00083 < θpermisible = 0.5% = 0.005 Por lo tanto Cumple (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos) Diseño estructural Losa de la zapata a) Penetración De acuerdo con las Normas de Concreto, la sección crítica forma una figura semejante a la definida por la periferia del área cargada, a una distancia de ésta igual a d/2, siendo d el peralte efectivo de la losa (figura 8).

13

Cuando haya transferencia de momento se supondrá que una fracción de momento dada por 1 = 1 - (17) 1 + 0.67 (c1 + d)/(c2 + d) se transmite por excentricidad de la fuerza cortante total, con respecto al centroide de la sección crítica definida antes. El esfuerzo cortante máximo de diseño vu se obtendrá tomando

14

en cuenta el efecto de la carga axial y del momento, suponiendo que los esfuerzos cortantes varían linealmente (figura 8), es decir vAB = V/Ac +McAB/Jc (18) Ac = 2d(c1+c2+2d) (19) Jc = d(c1+d)3/6 + (c1+d)d3/6 + d(c2+d)(c1+d)2/2 (20) En columnas rectangulares c1 es la dimensión paralela al momento transmitido y c2 es la dimensión perpendicular a c1. En las expresiones anteriores, V es la fuerza cortante que actúa en toda el área de la sección crítica, la cual la obtenemos a partir de la reacción neta qv, restando a la reacción del terreno las presiones debidas a peso propio de zapata y relleno. El esfuerzo cortante de diseño vABu (esfuerzo cortante último) obtenido con los criterios anteriores no debe exceder ninguno de los dos siguientes valores vcR1 = FR (0.5+) fc* (21) vcR2 = FR fc* (22) fc* = 0.8 fc’ (23) a menos que se suministre refuerzo. es la relación del lado corto al lado largo del área donde actúa la carga o reacción. Haremos la revisión en la dirección del eje y c1 = 30 cm, c2 = 25 cm M = My = 30 kN.m Proponemos un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm; d = 25 – 3 – 0.6 = 21.4 cm qneta = 126.99–0.25(24)–0.45(16) = 113.79 kPa c1+d = 0.3+0.214 = 0.514 m c2+d = 0.25+0.214 = 0.464 m cAB = 0.514/2 = 0.257 m V = [1.1(1.6)-0.464(0.514)](113.79) = 173.13 kN Ac = 2(0.214)(0.3+0.25+2(0.214)) = 0.4186 m2

Jc = 0.214(0.514)3/6 + (0.514)(0.214)3/6 +0.214(0.464)(0.514)2/2 = 0.01880 m4 1 = 1 - = 0.4136 1 + 0.67 0.514/0.464 vAB= 173.13/0.4186 +0.4136(30)(0.257)/0.01880 = 583.19 kPa vABu = vAB Fc = 583.19(1.4) = 816.47 kPa γ = 1.1/1.6 = 0.6875 fc* = 0.8(250) = 200 kg/cm2

15

vcR1 = 0.8 (0.5+0.6875) 200 = 13.435 kg/cm2

vcR2 = 0.8 200 = 11.314 kg/cm2 vABu= 816.47 kPa ≈ 8.16 kg/cm2 < vcR2= 11.314 kg/cm2 Por lo tanto Cumple (Cc zapata aislada 0310.xls; Cap carga) b) Tensión diagonal La sección crítica por tensión diagonal se presenta a una distancia d del paño de la columna (figura B; figura 5). Como trabajamos por metro de ancho de zapata b = 1 m = 100 cm. Dado que se cuela una plantilla de concreto pobre sobre el terreno, el recubrimiento del acero puede ser de 3 cm, y puesto que el diámetro de la varilla del Nº es de 1.27 cm, el peralte efectivo del acero de la zapata es d = 25 – 3 – 0.6 = 21.4 cm.

Tensióndiagonal Flexión

qn = 160.60 kPa

0.80 m

0.65 m

0.436 m

SECCIONES CRÍTICAS POR TENSIÓN DIAGONALY POR FLEXIÓN

FIGURA B

16

La reacción del terreno, tomando en cuenta el efecto de los momentos Mx y My, vale

'''

LB

Qq

kPaq 80.173 (1.3315) 0.9658

502.223'

17

La reacción neta es qn = 173.80-0.25(24)–0.45(16) = 160.60 kPa Hallemos el cortante y el momento en la sección crítica por tensión diagonal (en un ancho unitario de zapata, b = 1 m; figura B) V = 160.60(0.436) = 70.02 kN M = 160.60(0.436)2/2 = 15.26 kN.m Vu = 1.4(70.02) = 98.03 kN ≈ 9803 kg En elementos anchos, como son las zapatas, en los que el ancho B no sea menor que cuatro veces el peralte efectivo d (B 4d), con espesor hasta de 60 cm y donde la relación M/Vd no exceda de 2.0, la fuerza resistente VcR puede tomarse igual a 0.5FRbdfc*, independientemente de la cuantía de refuerzo (Normas de Concreto, 2004). En este caso se cumple que el ancho es mayor que cuatro veces el peralte efectivo B > 4d, B = 160 cm > 4d = 85.6 cm M/Vd = 1.02 < 2 cumple como elemento ancho VcR = 0.5FRbd fc* =0.5(0.8)(100)(21.4)200 VcR = 12106 kg > Vu = 9803 kg Cumple c) Flexión El momento flexionante en la sección crítica vale (figura B; figura 6) M = 160.60(0.65)2/2 = 33.93 kN.m Mu = 1.4(33.93) = 47.50 kN.m ≈ 475000 kN.m

18

El acero mínimo por flexión es pmin = 0.7fc’/fy (ec 10) pmin = 0.7250/4200 = 0.00264 pmax = 0.75 pb

pb = (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] (11) β1 = 0.85 si fc* ≤ 280 kg/cm2 fc* = 0.8(250) = 200 kg/cm2 fc” = 0.85(200) = 170 kg/cm2

pmax = 0.0152

19

La fracción de acero necesario para soportar un momento Mu está dada por la siguiente expresión 2 Mu q = 1 - 1 - (ec 13) FRbd2fc” 2(475000) q = 1 - 1 - = 0.07026 0.9(100)(21.4)2(170) p = q fc”/fy (ec 14) p = 0.002844 As = pbd (ec 15) As = 0.002844(100)(21.4) = 6.086 cm2 La separación de varillas es s = asb/As = 1.27(100)/6.086 = 20.87 cm (ec 16) Por lo tanto, varillas N° 4 @ 20 cm d) Temperatura El acero en dirección longitudinal de la zapata, y el del lecho superior se proporciona por temperatura, para lo que se emplea la siguiente expresión (Normas de Concreto, 2004) 66000(1.5) x As = (ec 25) fy (x + 100) en que As = área de acero necesaria por temperatura, en cm2/m, para el espesor x x = espesor de la losa que se refuerza por temperatura = 25/2 = 12.5 cm Sustituyendo valores, con x = 12.5 cm y fy = 4200 kg/cm2: As = 2.619 cm2/m Aplicando la ec 16, con varillas del Nº 3 (as = 0.712 cm2), s = 27.2 cm. Por lo tanto, usaremos varillas del Nº 3 a cada 27 cm, por temperatura. En la figura C se muestra un croquis con las características estructurales de la zapata. (Cc zapata aislada 0310.xls; Cap carga; CCZAISL9.BAS)

Columna

N° 3 @ 27 cm r = 3 cm

80

25 N° 3 @ 27 cm r = 3 cm

r = 3 cm N° 4 @ 20 cm

2 N° 8 y 1 N° 6

4

30 r = 3 cm

N° 4 @ 20 cm Plantilla de concreto pobre

160

Distancias en centímetros

Croquis sin escala

ARMADO DE ZAPATA AISLADA(Cc zapata aislada 0310) FIGURA C

20

(En el anexo 2 se presentan los resultados de un programa de computadora para el diseño estructural de la losa de la zapata; CCZAISL9.BAS) Módulos de reacción Para el análisis y diseño de la superestructura se requieren los módulos de reacción, o “constantes del resorte” del terreno de cimentación. Éstos se pueden encontrar de la siguiente forma: por definición

z

zz

QK

x

xx

QK

M

Kr

Módulo de reacción vertical Qz = Q = 223.502 kN Las magnitudes de Kz se exhiben en la tabla C. En función del factor de seguridad que elija el diseñador, se podrá usar el Kz correspondiente. Módulo de reacción horizontal El desplazamiento lateral de la esquina de un rectángulo de ancho x y longitud y, sometido a un esfuerzo cortante q en su superficie, apoyado en un medio semiinfinito (figura D), está dado por la fórmula de Giroud (1969; citado por Poulos y Davis, 1974; ecuación 3.33a)

x

yxy

y

x

y

yxxqy

Ex

2222

lnln11 (49a)

y

q y

x

δxx

z

FIGURA D

21

Suponemos una carga lateral Qx = 100 kN, qx = 100/(1.1)(1.6) = 56.82 kPa. Sustituyendo valores, con x = 1.1/2 = 0.55 m, y = 1.6/2 = 0.8 m, q = 126.99 kPa, E = Es = 37383 kPa, ν = 0.3088.

8.082.56

)37383(

3088.01'

x

m00063212.055.0

8.055.08.0ln

8.0

55.0

8.0

8.055.055.0ln3088.01

2222

δx = 4(0.00063212) = 0.0025285 m

mkNK x /395500025285.0

100

(Cc zapata aislada 0310.xls; Desplazamiento lateral) Módulos de reacción para un círculo cargado La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los módulos de reacción, para un cimiento somero de planta circular Kv = 2ER/(1-2) (12) Kh = 32(1-)GR/(7-8) (13) Kr = 8GR3/3(1-) (14) Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L < 2.5B, mediante el siguiente artificio: Sea A = BL el área del cimiento rectangular,

A

R (15)

Para calcular Kv y Kh usamos las ecuaciones 12 y 13 con R obtenida de la ec 15. Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje que se desea calcular Kr

44

I

R (16)

Kr se computa con la ec 14, con R obtenida de la ec 16. Sustituyendo valores

12

EG (49c)

22

kPaG 142813088.012

37383

R = 1.1(1.6)/ = 0.7485 m Módulos Kv y Kh

Kv = Kz =2(37383)(0.7485)/(1-0.30882) = 61860kN/m Kh = Kx =32(1-0.3088)(14281)(0.7485)/(7-8(0.3088)) = 52197 kN/m Módulo Kr Calcularemos el módulo Kr alrededor del eje y

43

17747.012

1.16.1mI y

mRy 6895.0

17747.044/1

Kry = 8(14281)(0.6895)3/3(1-0.3088) = 18060 kN.m/rad (Cc zapata aislada 0310.xls; Asentamientos) Ciudad Universitaria, D F, septiembre de 2012 Referencias Burland, J B y Burbidge, M C, "Settlement of foundations on sand and gravel", Proc Inst Civ Engrs, part I: 1325-1381, 1985 Deméneghi, A, “Cálculo de asentamientos en arenas”, Revista de la Soc Mex Mec Suelos, 2003 Deméneghi, A, “Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena”, XXIV Reunión Nal Mec Suelos, Vol 2: 301-305, Aguascalientes, Ags, Soc Mex Mec Suelos, 2008 Denver, H, “Settlement calculation for footings on sand”, XI Int Conf Soil Mech Found Eng, vol 4: 2183-2190, San Francisco, 1985 Giroud, J P, “Déplacement horizontal de la surface d’un massif élastique semi-infini supportant une chargé tangentielle linéairement répartie sur une air rectangulaire”, C R Acad Sc, t 268 : 191-193, Série A, 1969

23

Mayne, P W y Kulhawy, F H, Ko-OCR relationships in soil, Jour Geot Eng Div, ASCE, Vol 108, N° GT6: 851-872, junio 1982 Poulos, H G y Davis, E H, Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, Wiley, New York, 1974 Richart, F E, Hall, J R y Woods, R D, Vibration of Soils and Foundations, Prentice-Hall, New Jersey, 1970 Terzaghi, K, Theoretical Soil Mechanics, Wiley, 1943 (Cc ejemplo zapata aislada 120901)

ANEXO 1 DETERMINACIÓN DE LA CAPACIDAD DE CARGA

USANDO LA ECUACIÓN “A”

Tomemos Dri = 35% = 0.35

ri

rir

D

DD

7.033.067.0

Sustituyendo valores

93475.035.07.0

35.06308.033.067.0

Reemplazando en la ecuación 22 = ang tan (0.93475 tan 33.58°) = 31.82° Para el cómputo de qR reemplazamos en las ecuaciones 2,3, 8, 9 y 28 Nq = e tan 31.82° tan2 (45+31.82°/2) = 22.693 N = 2(22.693 +1) tan 31.82° = 29.403 fq = 1 + (0.9658/1.3315) tan 31.82° = 1.450 f = 1 - 0.4 (0.9658/1.3315) = 0.710 pv’ = pv = 16(0.7) = 11.2 kPa Usamos un FR = 0.45 qR = 11.2(22.693(1.45)-1) +(1/2)(17.08)(0.9658)(29.403)(0.710)(0.45) +11.2 qR = 249.48 kPa

24

ANEXO 2 ZAPATA AISLADA

DISEÑO ESTRUCTURAL DATOS F'C= 250 FY= 4200 B= 100 H= 25 R= 3.6 QE= 16.06 LE= .65 FC= 1.4 FRM= .9 FRV= .8 VARILLA NUMERO 4 AREA VARILLA = 1.27 RESULTADOS D= 21.4 MU= 474974.4 VU= 9803.024 COC= 1.018692 PARA QUE SEA ELEMENTO ANCHO, COC DEBER SER MENOR O IGUAL QUE 2 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 2.843683E-03 AS= 6.085481 ASMIN= 5.639395 VCR= 6907.749 VCRPMIN= 6756.342 VCR.5= 12105.67 CUANDO CUMPLE COMO ELEMENTO ANCHO, VCR = VCR.5 SI P >= 0.01 ENTONCES VCR = VCR.5 ASTEMP = 2.619048 cm2 / m, PARA UN ESPESOR H/2 VARILLA NUMERO 4 SEPARACION = 20.86935 SEPARACION PARA PORCENTAJE MINIMO DE ACERO = 22.52015 TEMPERATURA: VARILLA NUMERO 3 SEPARACION POR TEMPERATURA = 27.10909 NOTA: FALTA LA REVISION POR PENETRACION PERALTE ZAPATA = 25 cm ARMADO: VARILLAS N° 4 A CADA 20.86935 cm ARCHIVO: CCZAISL9

EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA ZAPATA CORRIDA DE CONCRETO REFORZADO, APOYADA SOBRE ARCILLAS PRECONSOLIDADAS, TOTALMENTE SATURADAS

Agustín Deméneghi Colina Profesor del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería, UNAM

Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata corrida de concreto reforzado de la figura A, de acuerdo con las Normas de Cimentaciones del RCDF-2004. Terreno de cimentación: zona II, FR ≤ 0.7 En la estructura: Concreto: fc’ = 25 MPa Acero: fy = 420 MPa Considerar una vida útil de 50 años Asentamiento permisible = 10 cm

4 m 4 m

0.3 mB

PLANTA

320 kN 640 kN 320 kN

10 kN/m

NAF 0.8 m

Arcilla preconsolidada Eu = 2316 kPa, As' = 78, Aske = 0.3 γsat = 16 kN/m3Estrato 1 cu = 52 kPa cv = 0.00082 cm2/s, Φ' = 28°, OCR = 2 0.6 m

Arcilla preconsolidada Eu = 3724 kPa, As' = 86, Aske = 0.3 γsat = 18 kN/m3Estrato 2 cu = 64 kPa cv = 0.00076 cm2/s, Φ' = 30°, OCR = 2 1.4 m

RocaELEVACIÓN

ZAPATA CORRIDA FIGURA A

SOLUCIÓN Estados límite de falla Se debe verificar qult qR qR = 5.14 cu fc FR + pv (33)

2

fc = 1 + 0.25 B/L + 0.25 D/B (34) para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1, respectivamente. 0.35 ≤ FR ≤ 0.70 Para condiciones normales se recomienda 0.45 ≤ FR ≤ 0.55 qult = Q Fc / A Suponemos ancho de la zapata B = 1.4 m, y un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm Q=320(2)+640+10(8)+0.25(1.4)(8)(24)+0.55(0.3)(8)(24)+(1.4-0.3)(0.55)(8)(16) Q=640+640+80+67.2+31.68+77.44 Q=1458.88+77.44=1536.32 kN q = Q/A = 1536.32/1.4(8) = 137.17 kPa QFc = 1458.88(1.4)+77.44(1.1) = 2127.62 kN qult = QFc / A = 2127.62/(1.4)(8) = 189.97 kPa Consideramos que el área de influencia de la zapata es de 0.7B = 0.7(1.4) = 0.98 m

kPacum 04.5498.0

)62)(6.098.0()49(6.0

Reemplazando en las ecuaciones 34 y 33 fc = 1 + 0.25 (1.4/8) + 0.25 (0.8/1.4) = 1.189 Usaremos FR = 0.55 qR = 5.14 (54.04)(1.189)(0.55) + 0.8(16) = 194.08 kPa qult = 189.97 kPa < qR = 194.08 kPa Cumple (Cc zapcorr 31.xls) Estados límite de servicio Asentamiento inmediato Trabajamos bajo el centro de la zapata, y a la mitad de cada estrato. Usando la ley de Hooke:

)()(

ou

yxzu z

E

Estrato 1 = 0.5, q = 137.17 kPa, z = 0.3 m z = 133.43 kPa x = 100.13 kPa y = 70.19 kPa

3

Eu = 2316 kPa

)6.0(2316

)19.7013.100(5.043.133 u

δu = 0.0125 m Procediendo en forma análoga para el estrato 2, con Eu = 3724 kPa, obtenemos δu = 0.0217 m δuT = 0.0125 + 0.0217 = 0.0342 m (Cc zapcorr 31.xls) Asentamiento a largo plazo

o

A

veo

zveoPcon z

p

p s

'

1

1

pveo = pcie + pvo’ pvo’ = 0.8(16)+(16-9.81)(0.3) = 14.657 kPa pveo = pvo’ = 14.657 kPa

mPcon 01753.06.0657.14

43.133657.141

78

1

PconPcpo (18)

1dim

ensionaluni

campo

u

u

12

1

z

yxSkezSke

AA

(17)

Aske = coeficiente de presión de poro de Skempton, en condiciones de trabajo (tabla 3) Δuunidimensional = σz Reemplazando en la ecuación 17

747.0

43.1332

19.7013.1003.0143.1333.0

mPcpo 0131.001753.0747.0

4

La deformación del estrato para un tiempo, t, se determina

UPcpotPcpo , (20)

donde U es el grado de consolidación primaria, que es función del factor tiempo T

2e

v

z

tcT

(21)

Considerando una vida útil t = 50 años = 50 (365.25)(86400) = 1577880000 s

0.00082(1577880000) T = ─────────────── = 359 > 2

(60)2

Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria, y

mañosPcpo 0131.010131.050,

Procediendo en forma similar para el estrato 2: 50 años = 0.0120 m δ50 años = 1.31 + 1.20 = 2.51 cm (Zapata corrida con Skempton.xls) Asentamiento total El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido, es decir δT = 3.43 + 2.51 = 5.94 cm < 10 cm Cumple [ Usando ley de Hooke

ozs

Pcon zE

'

1

2''' z

voss pAE

1dim

ensionaluni

campo

u

u (A)

Estrato 1

747.0

pveo = pcie + pvo’ pveo = pvo’ = 14.657 kPa

5

2

43.133657.1478'sE

Es’ = 6347.02 kPa

mPcon 0126.06.043.13302.6347

1

mPconPcpo 0094.00126.0747.0

Considerando una vida útil t = 50 años = 50 (365.25)(86400) = 1577880000 s

0.00082(1577880000) T = ─────────────── = 359 > 2

(60)2

Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria, y

mañosPcpo 0094.010094.050,

Procediendo en forma similar para el estrato 2: Δ50 años = 0.0102 m δ50 años = 0.94 + 1.02 = 1.96 cm Asentamiento total El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido, es decir δT = 3.42 + 1.96 = 5.38 cm < 10 cm Cumple ] (Zapata corrida con Skempton.xls) Diseño estructural Interacción suelo-estructura Método directo (Deméneghi, 1996) El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces. El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula

ne nr

i = oi + (Δzj/Esij) Iijk rkdk/ak (49) j=1 k=1

donde Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk) (48) Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al incremento de esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert, 1973). Las demás cantidades Ixijk e Iyijk se obtienen en forma similar, usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal.

6

El procedimiento consiste en establecer la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, lo que permite determinar los diagramas de reacciones y de asentamientos del terreno (Deméneghi, 1996). Con estas cantidades se obtienen los elementos mecánicos en la subestructura. Dividamos la planta de la cimentación en 8 porciones, como se indica en la figura B.

8 m

1 2 3 4 5 7 7 8 91.4 m

PLANTA1

2 3 4 5 6 7 8 9

Distancias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 m

Estrato 1 (1,1) (2,1) (5,1) (9,1)

Estrato 2 (1,2) (2,2) (5,2) (9,2) ELEVACIÓN

DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADESFIGURA B

Corto plazo Usamos ν = 0.5 Obtengamos como ejemplo los valores de influencia Iz111, Ix111 e Iy111. Se coloca una presión unitaria q = 1 kPa en el área a1 (figura B) y se computan los esfuerzos normales z, x y y debidos a esta carga, a la mitad del estrato 1. Obtenemos z = Iz111 = 0.460117 kPa

x = Ix111 = 0.181067 kPa

y = Iy111 = 0.225715 kPa

I111 = 0.256726 kPa Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. En el anexo 1 (Cciseblx0210.for; Isebldatx02) se exhiben las magnitudes de algunos valores de influencia. Sustituimos valores en la ecuación 49 1 = (Δz1/Es11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + … + I119r9d9/a9) + (Δz2/Es12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + … + I129r9d9/a9) 1 = (0.6/2316)[(0.256726/1.4)r1 -(0.0643750/1.4)r2 + … - 0.000106797/1.4)r9] +(1.4)/(3724)[(0.135764/1.4)r1+(0.0848677/1.4)r2 -(0.000410067/1.4)r9] 1 = 0.0000839631r1 + 0.0000108769r2 + … – 0.000000129877r9

7

Los demás asentamientos se obtienen en forma similar. En el anexo 1 se muestra la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (Cciseblx0210.for; Isebldatx02) Como señalamos antes, el análisis de interacción se lleva a cabo estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, usando el programa de computadora Cciseblx0210.for. Los datos se proporcionan en el archivo Isebldatx02. Los resultados salen en el archivo RESULISEBL. En el anexo 1 se exhiben los resultados de la interacción suelo-estructura. El programa arroja los elementos mecánicos en los nudos de las barras. Para encontrar estas cantidades a lo largo de una barra usamos las siguientes expresiones (figura C)

Tramo I Tramo II

L/2 L/2

wMp Mq

x

Vr Vsrs

rr

CARGAS SOBRE LA BARRA(NUDO SOBRE BARRA)

(Cc ejemplo zapata corrida figuras) FIGURA C Tramo I (0 < x < L/2) V = - Vr + (rr – w) x (C) M = - Mp – Vr x + (rr – w) x2 / 2 (D)

wr

Vx

r

rM

max (E)

Tramo II (L/2 < x < L)

22

Lxwr

LwrVV srr (F)

42

Lx

LwrxVMM rrp

2

22

Lx

wrs (G)

wr

LwrVL

xs

rr

M

2

2max (H)

8

Usando las ecuaciones C a H se obtienen los elementos mecánicos a lo largo de las barras 1 a 4 (Cc zapata corrida E M 0210,xls). Al aplicar las ecuaciones C a H, los valores de Vr y de Mp son los obtenidos con el análisis estructural (anexo1; elementos mecánicos de barra sobre nudo). Los valores V y M, en las ecuaciones C a H, son los elementos mecánicos a lo largo de la barra, para los que rige la convención de signos del diseño estructural, la cual se muestra en la figura D.

VM M

(+) (+) (+) (+)

V

CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA FINES DE DISEÑO ESTRUCTURALFIGURA D

La figura E exhibe los diagramas de asentamientos, de reacciones, de momento flexionante y de fuerza cortante, a lo largo de la zapata corrida, para el análisis a corto plazo (magnitudes tomadas del anexo 1).

9

400 cm 400 cm

3.02 3.023.06 3.01 3.01 3.01 3.06

3.13 3.13

a) Asentamientos, cm

159 168.8 168.8 159170.1 170.9 170.1

369.8 369.8

b) Reacciones, kN/m

162.91

(+)

(-) (-)

-177.5 -200.5 -200.5 -177.5

-207.6 -207.6

c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m

320 320

181.5(+) (+)

87.744.1

(-) -87.7 (-) -44.1

-181.5-320

-320

d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN

DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DEELEMENTOS MECÁNICOS

CORTO PLAZOFIGURA E

10

Largo plazo Los módulos de deformación a largo plazo del suelo Es se obtienen de la siguiente forma: Estrato 1. La suma de las deformaciones a corto y largo plazo es: 1.25+1.31 = 2.56 cm; considerando sólo deformación vertical: Es = σz/εz = σz(Δzo)/δz = 133.43(0.6)/0.0256 = 3127 kPa. Para el cálculo de esfuerzos y deformaciones se toma una relación de Poisson ν = 0. Para el estrato 2 se procede en forma similar y se encuentra Es = 3290 kPa (Zapata corrida con Skempton.xls). Para tomar en cuenta el efecto del tiempo, en la estructura se emplea un módulo de elasticidad del concreto E’ = 0.5 E; E’ = 0.5(22135944) = 11067972 kPa Utilizando un procedimiento análogo al de la condición a corto plazo, para el largo plazo se determinan las cantidades señaladas en el anexo 1. Los diagramas de asentamientos, reacciones y de elementos mecánicos se exhiben en la figura F (Cciseblx0210.for, Iseblxdat021; Cc zapata corrida E M 0210.xls).

11

400 cm 400 cm

4.97 4.975.02 4.98 5 4.98 5.02

5.13 5.12

a) Asentamientos, cm

146.1 164.3 164.3 146.1163.9 165.1 163.9

422.4 422.4

b) Reacciones, kN/m

207.4

(+)

(-) (-)

-167.8-159.4 -167.8 -159.4

-179.4 -179.4

c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m

320 320

187.5(+) (+)

67.855.43

(-) -67.8 (-) -55.43

-187.5-320

-320

d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN

DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DEELEMENTOS MECÁNICOS

LARGO PLAZOFIGURA F

12

Diseño estructural El diseño estructural se lleva a cabo tomando las envolventes de los elementos mecánicos de los análisis a corto y largo plazos, lo que equivale a considerar los valores más desfavorables de ellos. Se obtuvieron los siguientes valores máximos: CORTO PLAZO LARGO PLAZO Momento negativo, kN.m 207.59 179.40 Momento positivo, kN.m 162.91 207.36 Cortante centro, kN 209.13 213.90 Cortante extremos, kN 113.04 90.61 Con las magnitudes más desfavorables de esta tabla se hace el diseño estructural de la contratrabe de la zapata corrida. En el anexo 2 se exhiben los resultados de este diseño. Presentamos, como ejemplo, el diseño de la contratrabe para el máximo momento positivo: Mpos = 207.36 kN.m, V = 213.90 kN. Flexión: MR = FR b d2 fc” q (1-0.5q) (9) q = p fy / fc” fc* = 0.8 fc’ pmin = 0.7 fc’ / fy (10) pmax = 0.75 pb

pb = (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] (11) β1 = 0.85 si fc* ≤ 280 kg/cm2 donde fc” = 0.85 fc* La cuantía de acero necesario para resistir un momento último Mu se obtiene haciendo Mu = MR en la ec 9, y despejando q q = 1 - 1 – 2 Mu / FR b d2 fc” (13) Pero p = q fc” / fy (14) As = p b d (15) Tomemos fc’ = 250 kg/cm2 Sustituyendo pmin = 0.7 250 / 4200 = 0.00264 (10) pmax = 0.75 pb

pmax = 0.75 (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] = 0.0152

13

Mu = 1.4(207.36) = 290.304 kN.m = 290.304(1/9.81)(1000)(100) kg.cm = 2959266 kg.cm = 295.927x104 kg.cm fc* = 0.8(250) = 200 kg/cm2 fc” = 0.85(200) = 170 kg/cm2

q = 1- 1–2(295.93x104)/ 0.9(30)(75)2(170) = 0.12207 p = 0.12207(170)/4200 = 0.0049408 As = 0.0049408(30)(75) = 11.117 cm2 Varillas N° 6: as = 2.85 cm2 Varillas N° 8: as = 5.07 cm2 2 N° 8 y 1 N° 6, As = 12.99 cm2 Refuerzo transversal

sR

yvR

V

sendfAFs

)cos( (2.23)

VsR = Vu - VcR θ = 90° FR = 0.8 Si p < 0.015 VcR = FRbd(0.2+20p) fc* (2.19) Si p 0.015 VcR = 0.5FRbd fc* (2.20) VcR = 0.8(30)(75)(0.2+20(0.0048866) 200 = 7579 kg Vu = 1.4(213.90) = 299.46 kN = (1/9.81)(1000) kg = 30525.99 kg VsR = 36596.94 – 7579 = 22947 kg Varillas N° 3: as = 0.71 cm2 Av = 2(0.71) = 1.42 cm2

cms 59.1522947

)1)(75)(4200)(42.1(8.0

(ec 2.23) Por lo tanto, estribos N° 3 @ 15 cm El cómputo del acero negativo se lleva a cabo en forma similar. En la figura G se muestra un croquis con el armado de la contratrabe de la zapata.

14


Croquis sin escala

1 N° 6 1 N° 6

2 N° 8 2 N° 8

r = 3 cm

2 N° 8 1 N° 6 1 N° 6 2 N° 8 80

80 r = 3 cm 120 120 r = 3 cm 80

E N° 3 @ 15 E N° 3 @ 20 E N° 3 @ 15 E N° 3 @ 15 E N° 3 @ 20 E N° 3 @ 15

400 400

r = recubrimiento libre

ARMADO DE LA CONTRATRABE DE LA ZAPATA CORRIDA(Cc zapacorr 31) FIGURA G

Losa de la zapata En las figuras E y F (obtenidas del anexo 1) se muestran los diagramas de reacción del terreno, para las condiciones a corto y largo plazo. Cabe destacar que las reacciones tienden a aumentar bajo las columnas de la estructura, sobre todo en los extremos de la zapata, por lo que no conviene tomar, para fines de diseño de la losa de la zapata, las reacciones en los extremos. Usaremos, en forma conservadora, la máxima reacción de 170.89 kN/m (excluyendo las reacciones de los extremos de la zapata). La presión vertical vale 170.89(0.5)/0.5(1.4) = 122.06 kPa La reacción neta es qn = 122.06 – 0.25(24) – 0.55(16) = 107.26 kPa a) Tensión diagonal Haciendo la revisión de la losa se encuentra que con un peralte de 20 cm se cumple con la seguridad estructural. A continuación presentamos la revisión para este peralte. La sección crítica por tensión diagonal se presenta a una distancia d del paño de la columna (figura H). Como trabajamos por metro de ancho de zapata b = 1 m = 100 cm. Dado que se cuela una plantilla de concreto pobre sobre el terreno, el recubrimiento del acero puede ser de 3 cm, y puesto que el diámetro de la varilla del Nº 3 es de 0.712 cm, el peralte efectivo del acero de la zapata es d = 20 - 3.4 cm = 16.6 cm. Hallemos el cortante y el momento en la sección crítica por tensión diagonal (en un ancho unitario de zapata, b = 1 m; figura H) V = 107.26(0.384) = 41.19 kN M = 107.26(0.336)2/2 = 7.91 kN.m Vu = 1.4(41.19) = 57.67 kN = 5878.7 kg En elementos anchos, como son las zapatas, en los que el ancho B no sea menor que cuatro veces el peralte efectivo d (B 4d), con espesor hasta de 60 cm y donde la relación M/Vd no exceda de 2.0, la fuerza resistente VcR puede tomarse igual a 0.5FRbdfc*, independientemente de la cuantía de refuerzo (Normas de Concreto). En este caso se cumple que el ancho es mayor que cuatro veces el peralte efectivo B > 4d, B = 320 cm > 4d = 120 cm M/Vd = 0.669 < 2 cumple como elemento ancho VcR = 0.5FRbd fc* =0.5(0.8)(100)(16.6)200 VcR = 9390.4 kg > Vu = 5878.7 kg Cumple

15

Tensión

diagonal Flexión

qn = 107.26 kPa

0.70 m

0.55 m

0.384 m

SECCIONES CRÍTICAS POR TENSIÓN DIAGONALY POR FLEXIÓN

FIGURA H b) Flexión El momento flexionante en la sección crítica vale (figura H) M = 107.26(0.55)2/2 = 16.22 kN.m Mu = 1.4(16.22) = 22.71 kN.m = 231531 kN.m El acero mínimo por flexión es pmin = 0.7fc’/fy (ec 10) pmin = 0.7250/4200 = 0.00264 pmax = 0.75 pb

pb = (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] (11) β1 = 0.85 si fc* ≤ 280 kg/cm2 fc* = 0.8(250) = 200 kg/cm2 fc” = 0.85(200) = 170 kg/cm2

pmax = 0.0152 La fracción de acero necesario para soportar un momento Mu está dada por la siguiente expresión 2 Mu q = 1 - 1 - (ec 13) FRbd2fc” 2(231531) q = 1 - 1 - = 0.05651 0.9(100)(16.6)2(170) p = q fc”/fy (ec 14) p = 0.002287 < pmin = 0.00264 Por lo tanto rige pmin As = pbd (ec 15) As = 0.00264(100)(16.6) = 4.382 cm2 La separación de varillas es s = asb/As = 0.712(100)/4.382 = 16.25 cm (ec 16) Por lo tanto, varillas N° 3 @ 16 cm

16

d) Temperatura El acero en dirección longitudinal de la zapata, y el del lecho superior se proporciona por temperatura, para lo que se emplea la siguiente expresión (Normas de Concreto) 66000(1.5) x As = (ec 25) fy (x + 100) en que As = área de acero necesaria por temperatura, en cm2/m, para el espesor x x = espesor de la losa que se refuerza por temperatura = 20/2 = 10 cm Sustituyendo valores, con x = 10 cm y fy = 4200 kg/cm2: As = 2.143 cm2/m Aplicando la ec 16, con varillas del Nº 3 (as = 0.712 cm2), s = 33 cm. Por lo tanto, usaremos varillas del Nº 3 a cada 30 cm, por temperatura. En la figura I se muestra un croquis con las características estructurales de la zapata. (En el anexo 2 se presentan los resultados de un programa de computadora para el diseño estructural de la contratrabe y de la losa de la zapata).

2 N° 8 y 1 N° 6

E N°3 @ 15 cm Contratrabe

N° 3 @ 30 cm 2 N° 4 r = 3 cm

80

20 N° 3 @ 30 cm r = 3 cm

r = 3 cm N° 3 @ 30 cm

2 N° 8 y 1 N° 6

4

30 r = 3 cm

N° 3 @ 16 cm Plantilla de concreto pobre

140


Croquis sin escala

ARMADO DE ZAPATA CORRIDA(REACCIÓN DE 170.89 kN/m)

(Cc zapcorr 31) FIGURA I (Cc ejemplo zapata corrida 0110) (Cc zapcorr 31.xls) (CCMF092.BAS) (MFLEX07.FOR,Cczapcdatos) (Ejemplo A E zapata corrida 09209.SDB; SAP 2000) (Matriz de flexibilidades 1009) (Zapata corrida. Diseño estructural) Método iterativo El análisis de interacción se puede llevar a cabo en forma iterativa (Ccmaflx02.for; Mafdatx0210). Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme, la cual vale r = ΣQ/longitud de la zapata r = 1536.32/8 = 192.04 kN/m

17

Usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49), la cual se exhibe en el anexo 1, se calculan las deformaciones del suelo. En el anexo 3 se exhiben los resultados de este primer cálculo del análisis a corto plazo (primera iteración). El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (I) Sustituyendo valores se obtienen los valores de Kv mostrados en el anexo 3. Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Ejemplo A E zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000). Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas rEi sobre el terreno

i

EiviEi d

Kr

(J)

A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la estructura. En el anexo 3 se presentan los resultados de la última iteración. Con los valores de Kv de esta última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos mecánicos sobre la zapata corrida (Ejemplo A E zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000). Se encuentran los siguientes valores máximos CORTO

PLAZO Momento negativo, kN.m

179.04

Momento positivo, kN.m

181.23

Cortante centro, kN

265.72

Cortante extremos, kN

168.91

Estas magnitudes son similares a las halladas con el método directo. Las diferencias se deben básicamente a que en el procedimiento directo se aplican reacciones repartidas sobre la estructura, mientras que con el método iterativo las reacciones sobre la estructuras son cargas puntuales (a través de los resortes). Análisis aproximado de interacción En ocasiones se requiere, para fines preliminares de análisis de una estructura de cimentación, estimar los módulos de reacción del terreno de cimentación. Estos módulos de reacción no se conocen “a priori”, pues dependen de la compatibilidad de desplazamientos entre la estructura y el terreno; la forma de establecer esta compatibilidad consiste en calcular las deformaciones de la estructura y las del terreno, y hacer iteraciones variando los módulos de reacción, hasta que las deformaciones de estructura y suelo coincidan. Una forma aproximada de encontrar los módulos de reacción consiste en hacer uso de la matriz de flexibilidades del suelo, y suponer que las deformaciones del mismo son iguales en todos los puntos, lo que equivale a suponer que la estructura de cimentación es infinitamente rígida. Con frecuencia la estructura de cimentación tiene una rigidez muy grande comparada con la rigidez del terreno de cimentación. Para valuar esta relación, se emplea el coeficiente de rigidez relativa estructura-suelo, Krg, definido como

18

3)1(

)1(

LE

IEK

sst

ststsrg

(K)

Cuando Krg es mayor que 0.04 se puede considerar que los hundimientos de la cimentación son similares entre sí. Los asentamientos del terreno están dados por la siguiente expresión

ne nr


El propósito es lograr que las deformaciones δi sean iguales. El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa. Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (L) Suponemos que la deformación de la estructura δE es igual al promedio ponderado de las deformaciones del suelo δi, es decir

i

iiE d

d

(M)

Con δE calculamos los nuevos valores de las reacciones rEi

i

EviEi d

Kr

(N)

Hacemos ri = rEi, y con estas ri se vuelven a computar las deformaciones del suelo con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que ya no cambian las magnitudes de Kvi de la ecuación L. Consideremos el ejemplo de la figura A, con B = 1.4 m. Analizamos la condición a corto plazo.

mmIst /0091429.0)4.1(12

)8.0(3.0 43

Reemplazando en la ecuación K

3)8)(6.3301)(2.01(

0091429.022136000)5.01(

rgK

= 0.075 > 0.004 Por lo tanto, podemos considerar la estructura de cimentación como rígida, en comparación con el terreno de cimentación. Para obtener la matriz de flexibilidades del suelo, usamos la retícula de la figura B. Iniciamos los cálculos con la reacción uniforme, que vale r = ΣQ/longitud de la zapata

19

r = 1536.32/8 = 192.04 kN/m En el anexo 4 (Cciszcaprox 02.doc) se exhiben los valores de las deformaciones del suelo y de las “constantes del resorte” para la primera iteración, usando las ecuaciones 49 y L (Ccmafxap.for; Mafxapdat). El asentamiento promedio δE se encuentra con la ecuación M. Aplicando la ecuación N se hallan las reacciones rEi para la primera iteración. A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que no cambian las magnitudes de Kvi (Ccmafxap.for). En el anexo 4 se muestran los resultados de la última iteración. El análisis estructural aproximado se puede hacer tomando los valores de Kvi de la última iteración del anexo 4. Observamos que las “constantes del resorte” con este método aproximado son muy similares a las obtenidas con el procedimiento directo. Esto se debe a que la zapata corrida (con su contratrabe) es rígida en comparación con el terreno de cimentación. Magnitudes aproximadas del módulo de reacción Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical

v

vv

QK

v

v

v

vvv

q

a

Q

a

Kk

Corto plazo Bajo el centro de la zapata corrida

3/82.40100342.0

17.137mkN

qk

v

vvc

mkNakK vcvc /1.5615)4.1)(1(82.4010

En las orillas de la zapata se puede usar

vcvo kk 1.2

3/7.8422)82.4010(1.2 mkNkvo

mkNakK vovo /9.5895)4.1)(5.0(7.8422

Largo plazo Se toma el asentamiento total de la zapata δ = δu + δ’ = 3.43 + 2.37 = 5.80 cm

20

3/23650580.0

17.137mkN

qk

v

vvc

mkNakK vcvc /3311)4.1)(1(2365

3/5.4966)2365(1.2 mkNkvo

mkNakK vovo /55.3476)4.1)(5.0(5.4966

Referencias Deméneghi, A, “Interacción estática suelo-estructura, considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”, XVIII Reunión Nal Mec Suelos, Vol 1: 303-310, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1996 Ciudad Universitaria, D F, abril de 2014 (Cc ejemplo zapata corrida 0312) (Cc zapcorr 31.xls) (CCMF092.BAS) (MFLEX07.FOR,Cczapcdatos) (Ejemplo A E zapata corrida 09209.SDB; SAP 2000) (Matriz de flexibilidades 1009) (Zapata corrida. Diseño estructural) (Cc ejemplo zapata corrida 140401)

21

ANEXO 1 MÉTODO DIRECTO

CORTO PLAZO VALORES DE INFLUENCIA I J K IIJK

1 1 1 0.2567258 1 1 2 -6.4374991E-02 1 1 3 -1.1851594E-02 1 1 4 -3.6387295E-03 1 1 5 -1.5502423E-03 1 1 6 -7.9695880E-04 1 1 7 -4.6211481E-04 1 1 8 -2.9142201E-04 1 1 9 -1.0676682E-04 1 2 1 0.1357638 1 2 2 8.4867723E-02 1 2 3 -1.9010911E-03 1 2 4 -6.3766120E-03 1 2 5 -4.1630799E-03 1 2 6 -2.5608931E-03 1 2 7 -1.6312022E-03 1 2 8 -1.0871524E-03 1 2 9 -4.1008741E-04 2 1 1 -4.6013139E-02 2 1 2 0.5134517 2 1 3 -6.4374991E-02 2 1 4 -1.1851594E-02 2 1 5 -3.6387295E-03 2 1 6 -1.5502423E-03 2 1 7 -7.9695880E-04 2 1 8 -4.6211481E-04 2 1 9 -1.6115606E-04 2 2 1 6.6578142E-02 2 2 2 0.2715276 2 2 3 8.4867723E-02 2 2 4 -1.9010911E-03 2 2 5 -6.3766120E-03 2 2 6 -4.1630799E-03 2 2 7 -2.5608931E-03 2 2 8 -1.6312022E-03 2 2 9 -5.9548020E-04 3 1 1 -7.8833699E-03 3 1 2 -6.4374991E-02 3 1 3 0.5134517 3 1 4 -6.4374991E-02 3 1 5 -1.1851594E-02 3 1 6 -3.6387295E-03 3 1 7 -1.5502423E-03 3 1 8 -7.9695880E-04 3 1 9 -2.5954843E-04 3 2 1 1.1479063E-03 3 2 2 8.4867723E-02 3 2 3 0.2715276 3 2 4 8.4867723E-02 3 2 5 -1.9010911E-03 3 2 6 -6.3766120E-03 3 2 7 -4.1630799E-03 3 2 8 -2.5608931E-03 3 2 9 -9.0234820E-04 MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I J FLE (I,J) 1 1 8.3963081E-05 1 2 1.0876928E-05 1 3 -2.7036124E-06 1 4 -2.3856419E-06 1 5 -1.4047749E-06 1 6 -8.3514840E-07

22

1 7 -5.2353766E-07 1 8 -3.4585847E-07 1 9 -1.2987714E-07 2 1 9.3634817E-06 2 2 1.6792616E-04 2 3 1.0876928E-05 2 4 -2.7036124E-06 2 5 -2.3856419E-06 2 6 -1.4047749E-06 2 7 -8.3514840E-07 2 8 -5.2353766E-07 2 9 -1.8972501E-07 3 1 -1.1505573E-06 3 2 1.0876928E-05 3 3 1.6792616E-04 3 4 1.0876928E-05 3 5 -2.7036124E-06 3 6 -2.3856419E-06 3 7 -1.4047749E-06 3 8 -8.3514840E-07 3 9 -2.9033512E-07 4 1 -1.3399995E-06 4 2 -2.7036124E-06 4 3 1.0876928E-05 4 4 1.6792616E-04 4 5 1.0876928E-05 4 6 -2.7036124E-06 4 7 -2.3856419E-06 4 8 -1.4047749E-06 4 9 -4.6879202E-07 5 1 -7.9678608E-07 5 2 -2.3856419E-06 5 3 -2.7036124E-06 5 4 1.0876928E-05 5 5 1.6792616E-04 5 6 1.0876928E-05 5 7 -2.7036124E-06 5 8 -2.3856419E-06 5 9 -7.9678608E-07 6 1 -4.6879202E-07 6 2 -1.4047749E-06 6 3 -2.3856419E-06 6 4 -2.7036124E-06 6 5 1.0876928E-05 6 6 1.6792616E-04 6 7 1.0876928E-05 6 8 -2.7036124E-06 6 9 -1.3399995E-06 7 1 -2.9033512E-07 7 2 -8.3514840E-07 7 3 -1.4047749E-06 7 4 -2.3856419E-06 7 5 -2.7036124E-06 7 6 1.0876928E-05 7 7 1.6792616E-04 7 8 1.0876928E-05 7 9 -1.1505573E-06 8 1 -1.8972501E-07 8 2 -5.2353766E-07 8 3 -8.3514840E-07 8 4 -1.4047749E-06 8 5 -2.3856419E-06 8 6 -2.7036124E-06 8 7 1.0876928E-05 8 8 1.6792616E-04 8 9 9.3634817E-06 9 1 -1.2987714E-07 9 2 -3.4585847E-07 9 3 -5.2353766E-07 9 4 -8.3514840E-07 9 5 -1.4047749E-06 9 6 -2.3856419E-06 9 7 -2.7036124E-06 9 8 1.0876928E-05 9 9 8.3963081E-05

23

GRADO DE LIBERTAD, REACCION HASTA N = 9, GIROS LOS SIGUIENTES 1 369.8073 2 158.9593 3 168.7970 4 170.0947 5 170.8940 6 170.0905 7 168.7889 8 158.9483 9 369.7728 10 8.2676351E-04 11 6.2260818E-04 12 2.4497701E-04 13 -4.8799062E-05 14 3.9106268E-07 15 4.9568829E-05 16 -2.4423562E-04 17 -6.2188436E-04 18 -8.2604040E-04 NUDO, HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 3.1343196E-02 2 3.0591615E-02 3 3.0154150E-02 4 3.0073794E-02 5 3.0137442E-02 6 3.0073011E-02 7 3.0152615E-02 8 3.0589338E-02 9 3.1340200E-02 I, KV(I) 1 5899.323 2 5196.173 3 5597.805 4 5655.912 5 5670.487 6 5655.919 7 5597.819 8 5196.200 9 5899.337 NBC = 8 BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 10 -2.7761911E-03 11 -177.4760 1 320.0061 2 -87.66279 19 0.0000000E+00 20 0.0000000E+00 2 11 177.4540 12 -200.4781 2 87.71329 3 44.12489 20 0.0000000E+00 21 0.0000000E+00 3 12 200.4574 13 -87.74567 3 -44.17102 4 181.5769 21 0.0000000E+00 22 0.0000000E+00 4 13 87.74194 14 162.9092 4 -181.5238 5 319.9782 22 0.0000000E+00 23 0.0000000E+00 5 14 -162.9228 15 -87.76894 5 320.0182 6 -181.5660 23 0.0000000E+00 24 0.0000000E+00 6 15 87.77090 16 -200.4632 6 181.5549 7 -44.15522 24 0.0000000E+00 25 0.0000000E+00 7 16 200.4605 17 -177.4919 7 44.17601 8 87.65258 25 0.0000000E+00 26 0.0000000E+00 8 17 177.4922 18 1.4384779E-02 8 -87.69897 9 320.0195 26 0.0000000E+00 27 0.0000000E+00

24

EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 1536.320 REACCION TOTAL = 1536.363 LARGO PLAZO GRADO DE LIBERTAD, REACCION HASTA N = 9, GIROS LOS SIGUIENTES 1 422.3590 2 146.1361 3 164.3244 4 163.9057 5 165.0838 6 163.9070 7 164.3274 8 146.1400 9 422.3759 10 1.2201262E-03 11 8.3976507E-04 12 1.8310320E-04 13 -2.6275381E-04 14 -1.9832142E-07 15 2.6231387E-04 16 -1.8360223E-04 17 -8.4029103E-04 18 -1.2206432E-03 NUDO, HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 5.1284160E-02 2 5.0206777E-02 3 4.9692508E-02 4 4.9770597E-02 5 4.9981888E-02 6 4.9771011E-02 7 4.9693398E-02 8 5.0208185E-02 9 5.1286101E-02 I, KV(I) 1 4117.831 2 2910.686 3 3306.825 4 3293.223 5 3302.872 6 3293.222 7 3306.825 8 2910.681 9 4117.839 NBC = 8 BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 10 1.1310316E-02 11 -159.3522 1 319.9722 2 -67.76466 19 0.0000000E+00 20 0.0000000E+00 2 11 159.3639 12 -167.8015 2 67.75906 3 55.43122 20 0.0000000E+00 21 0.0000000E+00 3 12 167.8078 13 -46.25730 3 -55.46063 4 187.5357 21 0.0000000E+00 22 0.0000000E+00 4 13 46.25414 14 207.3509 4 -187.5249 5 319.9796 22 0.0000000E+00 23 0.0000000E+00 5 14 -207.3470 15 -46.27312 5 319.9949 6 -187.5396 23 0.0000000E+00 24 0.0000000E+00 6 15 46.28447 16 -167.8116 6 187.5131 7 -55.43594 24 0.0000000E+00 25 0.0000000E+00 7 16 167.8168 17 -159.3623 7

25

55.41589 8 67.77781 25 0.0000000E+00 26 0.0000000E+00 8 17 159.3670 18 9.9744294E-03 8 -67.79720 9 320.0151 26 0.0000000E+00 27 0.0000000E+00 EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 1536.320 REACCION TOTAL = 1536.192

ANEXO 2 ZAPATA CORRIDA

DISEÑO ESTRUCTURAL CONTRATRABE ACERO POSITIVO ESTRIBOS AL CENTRO DE LA ZAPATA DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA CORRIDA. FECHA: 16/08/01. PROGRAMA `DVCR8' DATOS. F'C= 250 FY= 4200 B= 30 H= 80 R= 5 M= 2073600 V= 21390 FYE= 4200 FC= 1.4 FRM= .9 FRV= .8 AS1= 1 RESULTADOS. D= 75 MU= 2903040 VU= 29946 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 4.840552E-03 AS= 10.89124 ASMIN= 5.92927 P1= 4.444445E-04 VCR= 8787.779 VCRPMIN= 7103.63 SA= 16.91257 SB= 45.44 S1= 14.59653 SPMIN= 15.66562 S.5= 20.78281 VCR1= 5430.58 VCR.5= 12727.92 VCR1.5= 38183.77 VCR2= 50911.69 SI VCR < VU < VCR1.5 ENTONCES SMAX = 0.5D ; SI VU > VCR1.5 ENTONCES SMAX =0.25D ; EN NINGUN CASO VU > VCR2 ASTEMP = 4.489796E-02 cm2 / cm, PARA UN ESPESOR H/2 TRABE DE 30 POR 80 cm ACERO LONGITUDINAL. VARILLA No 3, N° VARILLAS = 15.28381 No 4 = 8.597442 No 6 = 3.821488 No 8 = 2.149403 ESTRIBOS No 2, SA= 4.544339 SB= 12.20954 ESTRIBOS No 3, SA= 16.97451 SB= 45.6064 TRABE DE 30 DE ANCHO POR 80 DE PERALTE ARCHIVO 'CCT' (535) CONTRATRABE ACERO NEGATIVO ESTRIBOS EN LOS EXTREMOS DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA CORRIDA. FECHA: 16/08/01. PROGRAMA `DVCR8' DATOS. F'C= 250 FY= 4200 B= 30 H= 80 R= 5 M= 2075900 V= 11304 FYE= 4200 FC= 1.4 FRM= .9 FRV= .8 AS1= 1 RESULTADOS. D= 75 MU= 2906260 VU= 15825.6 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 4.846287E-03 AS= 10.90414 ASMIN= 5.92927 P1= 4.444445E-04 VCR= 8792.158 VCRPMIN= 7103.63 SA= 50.87694 SB= 45.44 S1= 34.42418 SPMIN= 41.02743 S.5= 115.5188 VCR1= 5430.58 VCR.5= 12727.92 VCR1.5= 38183.77 VCR2= 50911.69 SI VCR < VU < VCR1.5 ENTONCES SMAX = 0.5D ; SI VU > VCR1.5 ENTONCES SMAX =0.25D

26

; EN NINGUN CASO VU > VCR2 ASTEMP = 4.489796E-02 cm2 / cm, PARA UN ESPESOR H/2 TRABE DE 30 POR 80 cm ACERO LONGITUDINAL. VARILLA No 3, N° VARILLAS = 15.30191 No 4 = 8.607629 No 6 = 3.826016 No 8 = 2.15195 ESTRIBOS No 2, SA= 13.67042 SB= 12.20954 ESTRIBOS No 3, SA= 51.06325 SB= 45.6064 TRABE DE 30 DE ANCHO POR 80 DE PERALTE ARCHIVO 'CCT10' (535) LOSA DE LA ZAPATA R = 170.8936 kN/m (Anexo 1) q = 170.89(1)/(1)(1.4) = 122.06 kPa qn = 122.06 – 0.25(24) – 0.55(16) = 286.886 kPa PROGRAMA `ZAPATA8' DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA OBRA: . FECHA: . ARCHIVO `' DATOS F'C= 250 FY= 4200 B= 100 H= 20 R= 3.4 QE= 10.726 LE= .55 FC= 1.4 FRM= .9 FRV= .8 VARILLA NUMERO 3 AREA VARILLA = .71 RESULTADOS D= 16.6 MU= 227123.1 VU= 5766.298 COC= 1.156627 PARA QUE SEA ELEMENTO ANCHO, COC DEBER SER MENOR O IGUAL QUE 2 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1.428572E-02 P= 2.242613E-03 AS= 3.722738 ASMIN= 4.374484 VCR= 5019.691 VCRPMIN= 5240.901 VCR.5= 9390.378 CUANDO CUMPLE COMO ELEMENTO ANCHO, VCR = VCR.5 SI P >= 0.01 ENTONCES VCR = VCR.5 ASTEMP = 2.142857 cm2 / m, PARA UN ESPESOR H/2 VARILLA NUMERO 3 SEPARACION = 19.07199 SEPARACION PARA PORCENTAJE MINIMO DE ACERO = 16.23049 TEMPERATURA: VARILLA NUMERO 3 SEPARACION POR TEMPERATURA = 33.13334 NOTA: FALTA LA REVISION POR PENETRACION PERALTE ZAPATA = 20 cm ARMADO: VARILLAS N° 3 A CADA 19.07199 cm ARCHIVO 'CCZCL' (505) (Cc zapata corrida. Diseño estructural) (CCMF092.BAS; matriz de flexibilidades) (CCMFL92A.BAS; matriz de flexibilidades, largo plazo) (Ejemplo A E zapata corrida 09209; SAP 2000)

ANEXO 3 MÉTODO ITERATIVO

PRIMERA ITERACIÓN I DELTA, m R, kN/m 1 1.6613683E-02 192.0400 2 3.4591034E-02 192.0400 3 3.4741942E-02 192.0400 4 3.4312472E-02 192.0400 5 3.4165435E-02 192.0400 6 3.4312475E-02 192.0400 7 3.4741942E-02 192.0400 8 3.4591038E-02 192.0400 9 1.6613679E-02 192.0400

27

I KV, kN/m 5779.573 5551.728 5527.612 5596.798 5620.885 5596.798 5527.612 5551.727 5779.575 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA, m R, kN/m 1 2.7580010E-02 325.1975 2 2.7275965E-02 142.1134 3 2.6492080E-02 148.0954 4 2.6729854E-02 151.2394 5 2.6863335E-02 152.2715 6 2.6729839E-02 151.2393 7 2.6492080E-02 148.0954 8 2.7275966E-02 142.1134 9 2.7580019E-02 325.1976 I KV, kN/m 5895.529 5210.207 5590.176 5658.070 5668.376 5658.070 5590.176 5210.206 5895.529

ANEXO 4 INTERACIÓN SUELO-ESTRUCTURA, APROXIMADO

PRIMERA ITERACION I DELTA, m R, kN/m 1 1.6613683E-02 192.0400 2 3.4591034E-02 192.0400 3 3.4741942E-02 192.0400 4 3.4312472E-02 192.0400 5 3.4165435E-02 192.0400 6 3.4312475E-02 192.0400 7 3.4741942E-02 192.0400 8 3.4591038E-02 192.0400 9 1.6613679E-02 192.0400 I KV, kN/m 1 5779.573 2 5551.728 3 5527.612 4 5596.798 5 5620.885 6 5596.798 7 5527.612 8 5551.727 9 5779.575

28

LT= 8 m DELTAE = 3.2258749E-02 m REACCIONES DE LA ESTRUCTURA 'RE', kN/m 372.8836 179.0918 178.3139 180.5457 181.3227 180.5457 178.3139 179.0918 372.8837 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA, m R, kN/m 1 3.2466237E-02 383.0945 2 3.2537859E-02 169.6074 3 3.2458805E-02 181.6335 4 3.2490533E-02 183.6138 5 3.2482944E-02 183.9529 6 3.2490533E-02 183.6138 7 3.2458805E-02 181.6335 8 3.2537878E-02 169.6075 9 3.2466237E-02 383.0945 I KV, kN/m 1 5899.891 2 5212.617 3 5595.816 4 5651.302 5 5663.061 6 5651.302 7 5595.816 8 5212.617 9 5899.891 LT= 8 m DELTAE = 3.2490447E-02 m REACCIONES DE LA ESTRUCTURA 'RE', kN/m 383.3802 169.3603 181.8106 183.6133 183.9954 183.6133 181.8106 169.3603 383.3802

ANÁLISIS Y DISEÑO DE UNA CIMENTACIÓN COMPENSADA

Agustín Deméneghi Colina* Realizar el diseño geotécnico del cajón de cimentación de un edificio de dimensiones 20 por 30.6 m en planta. El inmueble (de seis pisos) tiene un peso unitario máximo de 83 kPa y un peso unitario medio de 70 kPa (ya considerando el peso del cajón de cimentación). La estratigrafía del subsuelo se indica en la figura A. Calcular los siguientes movimientos: (a) La expansión inmediata del fondo del corte, debida a la excavación; (b) El asentamiento inmediato por recompresión (recuperación de la expansión por excavación); (c) El asentamiento por compresión (debido al incremento neto de carga por el peso máximo del edificio); y (d) El asentamiento diferido por compresión (debido al incremento neto de carga por el peso medio del inmueble). Considerar que la presión crítica pvb' = 1.5 pvo'. Vida útil del inmueble = 50 años Zona II del Distrito Federal. No existen construcciones colindantes.

Ee Eu Ep Ecs cv GdinNAF kPa kPa kPa kPa cm2/s ξ kPa

2 m Limo arcilloso sensitivoGamma = 17 kN/m3 4 m 4955 3980 6200 11295 2x10-3 5 3400

Arcilla limosa sensitivaGamma = 14 kN/m3 4 m 4905 4000 6795 12400 1.2x10-3 5 3300

Arcilla limosa sensitiva Lentes permeablesGamma = 12 kN/m3 5 m 5005 3890 7200 12805 1x10-3 5 3200

Arena muy compacta

ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES(Cc cimentación compensada ejemplo 130901) FIGURA A SOLUCIÓN Determinación de la profundidad de desplante A la profundidad de desplante del cajón se debe cumplir Incremento neto de presión=PUM–pvod ≤ pvb’-pvo’ (A) donde PUM = peso unitario medio = 70 kPa pvod = presión total previamente existente en el suelo, a la profundidad de desplante Si utilizamos la igualdad en la expresión 1, suponiendo que Df > 2 m, y dado que pvb’ = 1.5 pvo’ 70–17Df = 0.5pvo’ = 0.5[17(2) + (Df – 2)(17-9.81)] Df = 2.92 m Usaremos Df = 3 m


2

Estados límite de servicio Expansión inmediata La descarga por excavación es qexc = 17(3) = 51 kPa Las deformaciones inmediatas se calculan usando la ley de Hooke

yxzs

z E

z

(B)

Estrato 1

Ee = 4955 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1 = 0.5, z = 1/2 = 0.5 m z = 50.997 kPa x = 48.483 kPa y = 47.707 kPa Reemplazando en la ecuación B

71.4748.485.0997.504955

1e

δe = 0.0005858 m Procediendo en forma análoga con los demás estratos, arribamos a los siguientes resultados

Estrato Deltaem

1 0.000592 0.013083 0.02782

Suma 0.04149 Es decir, debido a la excavación, ocurre una expansión inmediata del fondo del corte de 4.15 cm Asentamiento inmediato Estrato 1 Eu = 3980 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1 = 0.5, z = 1/2 = 0.5 m El incremento neto de presión vale INP = 83 – 51 = 32 kPa

3

z = 31.998 kPa x = 30.420 kPa y = 29.934 kPa Reemplazando en la ecuación B

93.2942.305.0998.313980

1u

δu = 0.0004574 m Procediendo en forma análoga con los demás estratos, arribamos a los siguientes resultados (Cc cimentación compensada tablas.xls)

Estrato Deltaum

1 0.000462 0.010063 0.02246

Suma 0.03297 Es decir, debido a un incremento neto de presión de 32 kPa, la cimentación sufre un asentamiento inmediato de 3.30 cm. Asentamiento diferido Empleamos la siguiente expresión t = P U + Ct log (1 + ξ T) (149) Pt = P U (149a) St = Ct log (1 + ξ T) (149b) t = Pt + Pt (149c) donde P = (zo/Ep) z (C)

Ct = (zo/Ecs) z (D) El incremento neto de presión, para condiciones a largo plazo es INP = 70 – 51 = 19 kPa Estrato 1 Ep = 6200 kPa Ecs = 11295 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1 = 0, z = 1/2 = 0.5 m z = 18.999 kPa

4

Reemplazando en las ecuaciones C y D P = (1/6200)(18.999) = 0.003064 m Ct = (1/11295)(18.999) = 0.001682 m

Calculamos el asentamiento para t = 50 años:

2e

v

z

tCT

t = 50(365.25)(86400) = 1.57788x109 s

258.315100

1057788.1002.02

9

x

T

Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria y U = 100% = 1 Sustituimos en las ecuaciones 149a, 149b y 149c Pt = 0.003064(1) = 0.003064 m St = 0.001682 log (1+5(315.58)) = 0.005380 m t = 0.003064 + 0.005380 = 0.008444 m Procediendo en forma similar para los demás estratos

Estrato σz δP CtkPa m m

1 18.99893 0.00306 0.001682 18.79065 0.01104 0.006063 16.85042 0.01168 0.00658

Estrato δPt log(1+ξT) δSt δt

m m m1 0.00306 3.19835 0.00538 0.008442 0.01104 2.37600 0.01439 0.025433 0.01168 2.10459 0.01384 0.02552

Suma 0.05939 Es decir, para una vida útil de 50 años, el asentamiento diferido de la cimentación en este período resulta de 5.94 cm. El asentamiento total es = u + t = 3.30 + 5.94 = 9.24 cm Para fines de diseño de accesos y de instalaciones al edificio, se debe tomar en cuenta además el asentamiento por recompresión, es decir = 4.15 + 3.30 + 5.94 = 13.39 cm

5

Giro permanente de un cimiento El giro permanente de un cimiento está dado por (Zeevaert, 1973)

eepd

El giro elastoplástico de un cimiento de planta circular es

38

13

RG

M

epep

y el giro elástico

38

13

RG

M

ee

Es decir

1

8

133

ep

e

ed G

G

RG

M

Sea

ep

eep G

G

Por lo tanto

1 eped

O bien

18

133

epe

d RG

M (E)

Como

12

EG

entonces

ep

eep E

E

El valor de κep se puede obtener mediante pruebas dinámicas de compresión, obteniendo las deformaciones elásticas y plásticas producidas por ciclos de esfuerzos sobre probetas de suelo (Zeevaert, 1973). Por ejemplo, en la arcilla de la ciudad de México, los módulos dinámicos valen Ge ≈ 3300 kPa y Gep ≈ 2700 kPa y κep ≈ 1.22

6

El peso total del edificio es ΣQ = 83(20)(30.6) = 50796 kN La fuerza sísmica vale S = (0.32)(50796) = 16254.7 kN Consideremos que la altura del centro de gravedad del inmueble es hCG = 7(3)/2 = 10.5 m El momento sísmico es M = 16254.7(10.5) = 170674.6 kN.m Sustituyendo en la ecuación E

%104.000104.0122.1

7.1233008

6.1706745.0133

d

El giro permisible es

c

permisible h3100

100%

hc = altura de la construcción = 21 m

%613.0213100

100

permisible

%613.0%104.0 permisibled Cumple

(Memoria de cálculo 121001, Deformaciones) Estados límite de falla Se debe verificar qult qR qR = 5.14 cu fc FR + pv (33) fc = 1 + 0.25 B/L + 0.25 D/B (34) para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1, respectivamente. 0.35 ≤ FR ≤ 0.70 Para condiciones normales se recomienda 0.45 ≤ FR ≤ 0.55 En la zona II del Distrito Federal FR = 0.7

7

Primera combinación de acciones (carga permanente más carga accidental) qult = Q Fc / A = ( Q / A) Fc qult = 83(1.4) = 116.2 kPa Encontramos un promedio ponderado de la cohesión

kPacum 4.21

10

205)23)(4()22(1

Reemplazando en las ecuaciones 34 y 33 fc = 1 + 0.25 (20/30.6) + 0.25 (3/20) = 1.201 Usaremos FR = 0.7 (Cc cimentación compensada ejemplo.xls) qR = 5.14(21.4)(1.201)(0.7)+3(17) = 143.47 kPa qult = 116.2 kPa < qR = 143.47 kPa Cumple Segunda combinación de acciones (carga permanente más carga variable más carga accidental) El peso total del edificio es ΣQ = 83(20)(30.6) = 50796 kN La fuerza sísmica vale S = (0.32/2)(50796) = 8127.36 kN Consideremos que la altura del centro de gravedad del inmueble es hCG = 7(3)/2 = 10.5 m El momento sísmico es My = 8127.36(10.5) = 85337.28 kN.m Mx = 0.3(85337.28) = 25601.18 kN.m

mQ

Me y

x 68.150796

28.85337

mQ

Me x

y 504.066400

6.33465

B’ = B -2ex = 20 – 2(1.68) = 16.64 m L’ = L – 2ey = 30.6 – 2(0.504) = 29.592 m Reemplazamos en las ecuaciones 34 y 33

8

fc = 1 + 0.25(16.64/29.592) + 0.25(3/16.64) = 1.1857 Usaremos FR = 0.7 qR = 5.14(21.4)(1.1857)(0.7)+3(17) = 142.30 kPa qult = [50796/((16.64)(29.592))](1.1) = 113.47 kPa < qR = 142.30 kPa Cumple Diseño estructural Interacción suelo-estructura Método directo (Deméneghi, 1996) El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces. El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula

ne nr


donde Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk) (48) Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al incremento de esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert, 1973). Las demás cantidades Ixijk e Iyijk se obtienen en forma similar, usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal. El procedimiento consiste en establecer la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, lo que permite determinar los diagramas de reacciones y de asentamientos del terreno. (Deméneghi, 1996). Con estas cantidades se obtienen los elementos mecánicos en la subestructura. Dividamos la planta de la cimentación en los nudos indicados en la figura B.

9

109 110 111 112 113 114 115 116 117

100 101 102 103 104 105 106 107 108

91 92 93 94 95 96 97 98 99

82 83 84 85 86 87 88 89 90

73 74 75 76 77 78 79 80 81

64 65 66 67 68 69 70 71 72

30.6 m 55 56 57 58 59 60 61 62 63

46 47 48 49 50 51 52 53 54

37 38 39 40 41 42 43 44 45

28 29 30 31 32 33 34 35 36

19 20 21 22 23 24 25 26 27

10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9

20 m

NUMERACIÓN DE NUDOS DE LA CIMENTACIÓN(Cc cimentación compensada ejemplo 0210) FIGURA B

Corto plazo Usamos ν = 0.5 Obtengamos como ejemplo los valores de influencia Iz111, Ix111 e Iy111. Se coloca una presión unitaria q = 1 kPa en el área a1 (figura B) y se computan los esfuerzos normales z, x y y debidos a esta carga, a la mitad del estrato 1. Obtenemos z = Iz111 = 0.240351 kPa

x = Ix111 = 0.128409 kPa

y = Iy111 = 0.129680 kPa

I111 = 0.111306 kPa

10

Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. En el anexo 1 (Ccisebl02210.for; Isebldat02210) se exhi-ben las magnitudes de algunos valores de influencia. Los módulos de deformación del suelo Es se encuentran de la siguiente forma: De acuerdo con la ley de Hooke (ecuación B)

yxzz

s

zE

(E)

Estrato 1 El asentamiento inmediato debido a la recuperación de la expansión más el hundimiento debido al incremento neto de carga vale δz = 0.0005856 + 0.0004573 = 0.0010429 m Los incrementos de esfuerzo ocasionados por el peso unitario máximo de 83 kPa son z = 82.995 kPa x = 78.903 kPa y = 77.641 kPa Reemplazamos valores en la ecuación E, con ν = 0.5 Es1 = 4528.7 kPa Procediendo en forma similar hallamos para los estratos 2 y 3 Es2 = 4517.6 kPa Es3 = 4517.9 kPa Sustituimos valores en la ecuación 49 1 = (Δz1/Es11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + … ) + (Δz2/Es12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + … ) + (Δz3/Es13) (I131r1d1/a1 + I132r2d2/a2 + … ) 1 = (1)/4528.7) {[0.111306 (2.5/2+2.55/2) / (2.5/2)(2.55/2)] r1 -[0.0251006(2.5+2.55/2)/(2.5)(2.55/2)]r2 + … } +(4)/(4517.6){[0.0617235(2.5/2+2.55/2)/ (2.5/2)(2.55/2) ] r1 +[0.0330184(2.5+2.55/2)/(2.5)(2.55/2)]r2 + … } +(5)/(4517.9){[0.0127971(2.5/2+2.55/2)/(2.5/2)(2.55/2) ] r1 +[0.0189969(2.5+2.55/2)/(2.5)(2.55/2)]r2 + … } Los demás asentamientos se obtienen en forma similar. En el anexo 1 se muestra algunas cantidades de la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (Ccisebl02210.for; Isebldat02210) Como señalamos antes, el análisis de interacción se lleva a cabo estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación, usando el programa de computadora Ccisebl02210.for. Los datos se proporcionan en el archivo Isebldat02210. Los resultados salen en el archivo RESULISEBL. En las figuras B y C se exhiben la numeración de nudos de la cimentación y la numeración de las barras, respectivamente. En el anexo 1 se exhiben algunos resultados de la interacción suelo-estructura.

11

97 98 99 100 101 102 103 104

204 205 206 207 208 209 210 211 212

89 90 91 92 93 94 95 96

195 196 197 198 199 200 201 202 203

81 82 83 84 85 86 87 88

186 187 188 189 190 191 192 193 194

73 74 75 76 77 78 79 80

177 178 179 180 181 182 183 184 185

65 66 67 68 69 70 71 72

168 169 170 171 172 173 174 175 176

57 58 59 60 61 62 63 64

159 160 161 162 163 164 165 166 167

30.6 m 49 50 51 52 53 54 55 56

150 151 152 153 154 155 156 157 158

41 42 43 44 45 46 47 48

141 142 143 144 145 146 147 148 149

33 34 35 36 37 38 39 40

132 133 134 135 136 137 138 139 140

25 26 27 28 29 30 31 32

123 124 125 126 127 128 129 130 131

17 18 19 20 21 22 23 24

114 115 116 117 118 119 120 121 122

9 10 11 12 13 14 15 16

105 106 107 108 109 110 111 112 113

1 2 3 4 5 6 7 8

20 m

NUMERACIÓN DE BARRASFIGURA C

En la estructura de cimentación se consideraron las siguientes propiedades: fc’ = 250 kg/cm2

'14000 cc fE

25014000cE

Ec = 221359.44 kg/cm2 = 22135944 kPa

12

cc

EG

kPaGc 9223310)2.01(2

22135944

Momento de inercia centroidal alrededor del eje x

12

3bhI x

12

Momento polar de inercia centroidal

22

12hb

bhJc

Para el cálculo del momento polar de inercia se supuso una dimensión longitudinal máxima de 5 veces la dimensión transversal (Momentos de inercia.xls) Se consideraron contratrabes de 0.4 m de ancho por 1 m de peralte, muros perimetrales de 0.2 por 3 m, y losa de cimentación de 0.25 m de peralte. En el anexo 1 se muestran los resultados del análisis a corto plazo. El programa arroja los elementos mecánicos en los nudos de las barras. Para encontrar estas cantidades a lo largo de una barra usamos las siguientes expresiones (figura D)

Tramo I Tramo II

L/2 L/2

wMp Mq

x

Vr Vsrs

rr

CARGAS SOBRE LA BARRA(NUDO SOBRE BARRA)

(Cc ejemplo zapata corrida figuras) FIGURA D Tramo I (0 < x < L/2) V = - Vr + (rr – w) x (C) M = - Mp – Vr x + (rr – w) x2 / 2 (D)

wr

Vx

r

rM

max (E)

Tramo II (L/2 < x < L)

22

Lxwr

LwrVV srr (F)

42

Lx

LwrxVMM rrp

2

22

Lx

wrs (G)

13

wr

LwrVL

xs

rr

M

2

2max (H)

Usando las ecuaciones C a H se obtienen los elementos mecánicos a lo largo de las barras de la estructura de cimentación (Cc cimentación compensada E M,xls). Al aplicar las ecuaciones C a H, los valores de Vr y de Mp son los obtenidos con el análisis estructural (anexo1; elementos mecánicos de barra sobre nudo). Los valores V y M, en las ecuaciones C a H, son los elementos mecánicos a lo largo de la barra, para los que rige la convención de signos del diseño estructural, la cual se muestra en la figura E.

VM M

(+) (+) (+) (+)

V

MOMENTO FLEXIONANTE FUERZA CORTANTE

CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA FINES DE DISEÑO ESTRUCTURALFIGURA E

(Cc ejemplo zapata corrida figuras) Largo plazo Los módulos de deformación a largo plazo del suelo Es se obtienen de la siguiente forma: Estrato 1. La suma de las deformaciones a corto y largo plazo es: 0.059+0.046+0.844 = 0.949 cm; considerando sólo deformación vertical: Es = σz/εz = σz(Δzo)/δz = 82.995(1)/0.00949 = 8748.5 kPa (en forma conservadora tomamos el peso unitario máximo del inmueble, 83 kPa). Para el cálculo de esfuerzos y deformaciones se toma una relación de Poisson ν = 0. Para los estratos 2 y 3 se procede en forma similar y se encuentran Es2 = 6760.7 kPa Es3 = 4817.2 kPa Para tomar en cuenta el efecto del tiempo, en la estructura se emplea un módulo de elasticidad del concreto E’ = 0.5 E; E’ = 0.5(22135944) = 11067972 kPa En el anexo 1 (Ccisebl0310.for; Isebldat0310) se exhiben los resultados del análisis a largo plazo. El diseño estructural se lleva a cabo tomando las envolventes de los elementos mecánicos de los análisis a corto y largo plazos, lo que equivale a considerar los valores más desfavorables de ellos. Método iterativo El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa (Ccmafl01.for; Mafledat02). Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme, la cual vale r = ΣQ/longitud de la zapata

14

ΣQ = 83(20)(30.6) = 50796 kN ΣL = 20(13)+30.6(9) = 535.4 m r = 50796/535.4 = 94.875 kN/m Con esta magnitud de r, y usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49), la cual se exhibe en el anexo 2, se calculan las deformaciones del suelo. En el anexo 2 se exhiben los resultados de este análisis a corto plazo (primera iteración). El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (I) Sustituyendo valores se obtienen los valores de Kv mostrados en el anexo 2. Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Losa cimentación 02110.SDB; SAP 2000). Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas rEi sobre el terreno

i

EiviEi d

Kr

(J)

A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la estructura. En el anexo 2 se presentan los resultados de la última iteración. [Comparando las magnitudes de Kv encontradas con los dos métodos (directo e iterativo) de los anexos 1 y 2, apreciamos que dichas cantidades son parecidas, por lo que podemos concluir que usando cualquiera de estos procedimientos se llega a resultados que similares entre sí.] Con los valores de Kv de la última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos mecánicos sobre las contratrabes, los muros perimetrales y la losa de cimentación (Losa cimentación 02110.SDB; SAP 2000). Análisis aproximado de interacción En ocasiones se requiere, para fines preliminares de análisis de una estructura de cimentación, estimar los módulos de reacción del terreno de cimentación. Estos módulos de reacción no se conocen “a priori”, pues dependen de la compatibilidad de desplazamientos entre la estructura y el terreno; la forma de establecer esta compatibilidad consiste en calcular las deformaciones de la estructura y las del terreno, y hacer iteraciones variando los módulos de reacción, hasta que las deformaciones de estructura y suelo coincidan. Una forma aproximada de encontrar los módulos de reacción consiste en hacer uso de la matriz de flexibilidades del suelo, y suponer que las deformaciones del mismo son iguales en todos los puntos, lo que equivale a suponer que la estructura de cimentación es infinitamente rígida. Con frecuencia la estructura de cimentación tiene una rigidez muy grande comparada con la rigidez del terreno de cimentación. Para valuar esta relación, se emplea el coeficiente de rigidez relativa estructura-suelo, Krg, definido como

3)1(

)1(

LE

IEK

sst

ststsrg

(K)

15

Est = módulo de elasticidad de la estructura Ist = momento de inercia de la estructura, por unidad de ancho de la misma L = longitud de la estructura Cuando Krg es mayor que 0.005 se puede considerar que los hundimientos de la cimentación son similares entre sí. Los asentamientos del terreno están dados por la siguiente expresión

ne nr


El propósito es lograr que las deformaciones δi sean iguales. El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa. Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (L) Suponemos que la deformación de la estructura δE es igual al promedio ponderado de las deformaciones del suelo δi, es decir

i

iiE d

d

(M)

Con δE calculamos los nuevos valores de las reacciones rEi

i

EviEi d

Kr

(N)

Con estas cargas ri se vuelven a computar las deformaciones del suelo con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que ya no cambian las magnitudes de Kvi de la ecuación L. Consideremos el ejemplo de la figura A, Analizamos la condición a corto plazo.

20

17

12

14.02

12

32.0 33

stI

Ist = 0.056667 m4/m Reemplazando en la ecuación K

3)6.30)(9.4518)(2.01(

056667.022135944)5.01(

rgK

Krg = 0.006055 > 0.005 Por lo tanto, podemos considerar la estructura de cimentación como rígida, en comparación con el terreno de cimentación. Para obtener la matriz de flexibilidades del suelo, usamos la retícula de la figura B. Iniciamos los cálculos con la reacción uniforme, que vale

16

r = ΣQ/longitud de la zapata r = 50796/535.4 = 94.875 kN/m En el anexo 3 (Iseaprox0110.for; Mafledat013, RESMAFLAPR) se exhiben los valores de las deformaciones del suelo y de las “constantes del resorte” para la primera iteración, usando las ecuaciones 49 y L. El asentamiento promedio δE se encuentra con la ecuación M. Aplicando la ecuación N se hallan las reacciones rEi para la primera iteración. A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que no cambian las magnitudes de Kvi. En el anexo 3 se muestran los resultados de la última iteración. El análisis estructural aproximado se puede hacer tomando los valores de Kvi de la última iteración del anexo 3. Observamos que las “constantes del resorte” con este método aproximado son similares a las obtenidas con el procedimiento directo. Esto se debe a que el cajón de compensación es rígido en comparación con el terreno de cimentación. Magnitudes aproximadas de los módulos de reacción Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical

v

vv

QK

v

v

v

vvv

q

a

Q

a

Kk

Corto plazo Bajo el centro de la losa de cimentación

3/11140330.00415.0

83mkN

qk

uevc

mkNakK vcvc /7102)55.2)(5.2(1114

En las orillas de la losa se puede usar

vcvo kk 8.23.2

3/2.3119)1114(8.2 mkNkvo

mkNakK vovo /4.9942)55.2)(25.1(2.3119

En las esquinas

vcve kk 76

17

3/7798)1114(7 mkNkve

mkNakK veve /1.12428)275.1)(25.1(7798

Largo plazo Se toma el asentamiento total de la zapata = 0.0415 + 0.0330 + 0.0594 = 0.1339 m

3/8.5221339.0

70mkN

qkvc

mkNakK vcvc /8.3332)55.2)(5.2(8.522

vcvo kk 8.23.2

3/8.1463)8.522(8.2 mkNkvo

mkNakK vovo /4666)55.2)(25.1(8.1463

vcve kk 76

3/6.3659)8.522(7 mkNkve

mkNakK veve /5.5832)275.1)(25.1(6.3659

Interacción dinámica suelo-estructura Período de vibración del suelo (Período de vibración del suelo 130901.xls) Se emplean las fórmulas (Normas de Sismo, 2004)

18

En la siguiente tabla se muestra el cálculo del período Ts del suelo (Período vibración del suelo 130901.xls)

Estrato d G γ g d/G Σ(d/G) x (…) γd (…) Tsm kPa kN/m3 m/s2 (en la base) s

11 4 3400 17 9.81 0.0011765 0.003951 0.7022 2.1954 149.28622 4 3300 14 9.81 0.0012121 0.002775 0.3955 0.9272 51.92553 5 3200 12 9.81 0.0015625 0.001563 0 0.1564 9.3833

Sumas 13 Σ (d/G) = 0.0039511 Σ γd (…) = 210.595 1.1650

Determinación del período y del amortiguamiento efectivos considerando interacción dinámica suelo-estructura (Período de vibración del suelo 130901.xls) Vibración horizontal Te = 0.6 s Como una aproximación inicial la frecuencia se calcula ω = 10.47 rad/s A = BL = 20(30.6) = 612 m2

Rx = 13.957 m Hs = 13 m Ts = 1.165 s

Vs = 44.635 m/s

s

xx v

R

275.3x

eT 2

19

s

xs H

R

2

686.1s

s

xxs

942.1xs

cx = 0.576

mkNK ox /538137

kx = 1

xxxoxx ckKK 2

xxxox

x

kcKC

2

ζ = 0.05

mkNKx /436669

smkNCx ./102072

20

Cabeceo

smkN

bhI ./102072

12

206.30

12

33

Rr = 12.695 m

s

rr v

R

978.2r

088.5p

585.0p

rrp

cr = 0.0212

radmkNK or /.65238182

kr = 0.404

rrrorr ckKK 2

21

rrror

r

kcKC

2

ζ = 0.05

radmkNKr /.25965577

sradmkNCr ./.644580

Período acoplado

Wo = 20(30.6)(83) = 50796 kN We = 0.7Wo = 35557.2 kN He = 16.8 m Tx = 0.572 s Tr = 1.470 s Te = 0.6 s

sTe 688.1~

22

ζx = 0.4351 ζr = 0.0462 ζe = 0.05

0735.0~ e

Se repite el procedimiento con sTe 688.1~ y 0735.0~ e

ω = 3.72 rad/s Vibración horizontal

s

xx v

R

164.1x

Etcétera Iterando con diferentes valores del período y del amortiguamiento, se obtiene finalmente el

siguiente resultado sTe 343.1~ y 0577.0~ e

Espectro de diseño

eTT ~22

23

Ts = 1.165 s ao = 0.1998 c = 0.8918 Ta = 0.632 s Tb = 1.398 s k = 0.835 Coeficiente sísmico, a’

p = 1.014

Se toma inicialmente β = 1

24

a = 0.856 Q = 2

Q’ =2.039

R = 2.01

RQ

aa

''

a' = 0.209 Factor de reducción por amortiguamiento suplementario β

β = 0.931 Coeficiente sísmico, '~a

p = 1.014

25

a = 0.830 Q = 2

2.11343.1

6.012 2

2

Q

Q’ =1.21 Reducción por sobrerresistencia

R = 2

343.0'~ a

26

Fuerza cortante basal

Wo = 20(30.6)(83) = 50796 kN We = 0.7Wo = 35557.2 kN

oo WaV '

kNVo 4.1061650796209.0

kNVo 03.153812.35557343.0209.050796209.0~

25.145.1~

o

o

V

V

Por lo tanto, usamos

25.1~

o

o

V

V

27

El coeficiente sísmico queda

261.0209.025.1'25.1" aa

Ciudad Universitaria, D F, septiembre de 2013 Referencias Deméneghi, A, “Interacción estática suelo-estructura, considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”, XVIII Reunión Nal Mec Suelos, Vol 1: 303-310, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1996 Normas de Sismo: Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo, Gobierno del Distrito Federal, octubre de 2004 Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, 1973 (Cc cimentación compensada ejemplo 130902)

28

ANEXO 1 RESULTADOS DEL ANÁLISIS DE INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA

(Programa: Ccisebl02210.for; Isebldat02210) CORTO PLAZO VALORES DE INFLUENCIA PUNTO, ESTRATO, CARGA, VALOR DE INFLUENCIA 1 1 1 0.1113062 SUMZ = 0.2403507 SUMX = 0.1284095 SUMY = 0.1296796 1 1 2 -2.5100566E-02 SUMZ = 4.1749328E-03SUMX = 5.1987097E-02SUMY = 6.5639019E-03 1 1 3 -3.1633452E-03 SUMZ = 7.5936317E-05SUMX = 6.3225776E-03SUMY = 1.5598536E-04 1 1 4 -9.1953576E-04 SUMZ = 8.8661909E-06SUMX = 1.8379688E-03SUMY = 1.8835068E-05 1 1 5 -3.8481504E-04 SUMZ = 2.0116568E-06SUMX = 7.6934695E-04SUMY = 4.3064356E-06 1 1 6 -1.9624829E-04 SUMZ = 6.4074993E-07SUMX = 3.9239228E-04SUMY = 1.3858080E-06 1 1 7 -1.1330843E-04 SUMZ = 2.6822090E-07SUMX = 2.2658706E-04SUMY = 5.6624413E-07 1 1 8 -7.1257353E-05 MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I, K1, FLE(I,K1) 1 1 1.4796254E-04 1 2 5.2958825E-05 1 3 8.4645726E-06 1 4 3.9689812E-07 1 5 -1.3258181E-06 1 6 -1.4768517E-06 1 7 -1.2526497E-06 1 8 -9.8929365E-07 1 9 -5.4606716E-07 1 10 5.1921688E-05 1 11 3.3488439E-05 1 12 7.0196643E-06 1 13 -1.5261089E-07 1 14 -1.8626445E-06 1 15 -1.9552465E-06 1 16 -1.6447227E-06 1 17 -1.2991742E-06 1 18 -8.0790244E-07 1 19 7.9450028E-06 1 20 6.6645098E-06 GRADO DE LIBERTAD, REACCION HASTA N = 117, GIROS LOS SIGUIENTES 1 388.1847 2 137.3423 3 167.8269 4 157.9468 5 156.2643 6 157.9485 7 167.8303 8 137.3457 9 388.1964 10 160.2856 11 26.23334 12 55.70596 13 38.86737 14 39.63935 15 38.86758 16 55.70658 17 26.23341 18 160.2890

29

19 201.8175 20 57.83720 NUDO, HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 6.9536857E-02 2 6.3340262E-02 3 5.8024418E-02 4 5.4044981E-02 5 5.2533466E-02 6 5.4045647E-02 7 5.8025632E-02 8 6.3342035E-02 9 6.9539070E-02 10 6.9343887E-02 11 6.0203280E-02 12 5.3543046E-02 13 4.6061747E-02 14 4.3808039E-02 15 4.6062205E-02 16 5.3543959E-02 17 6.0204614E-02 18 6.9345675E-02 19 6.9425762E-02 20 5.9566732E-02 I, KV(I) 1 14095.64 2 8185.430 3 10918.62 4 11032.46 5 11228.99 6 11032.45 7 10918.61 8 8185.404 9 14095.62 10 8783.545 11 2200.517 12 5253.999 13 4261.242 14 4569.452 15 4261.222 16 5253.968 17 2200.474 18 8783.507 19 11046.43 20 4903.373 NBC = 212 BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 118 85.26555 119 -1490.128 1 950.7823 2 -329.8735 235 88.87207 236 -88.87207 2 119 1582.543 120 -1615.274 2 176.2921 3 169.1695 236 37.39841 237 -37.39841 3 120 1749.498 121 -4015.743 3 1095.191 4 -723.9736 237 89.04285 238 -89.04285 4 121 4165.131 122 -5034.640 4 526.7097 5 -169.9459 238 15.92228 239 -15.92228 5 122 5035.038 123 -4164.660 5 -170.2932 6 527.0592 239 -15.91748 240 15.91748 6 123 4015.267 124 -1749.850 6 -723.6396 7 1094.863 240 -89.03898 241 89.03898 7 124 1615.396 125 -1582.167 7 168.9744 8 176.4956 241 -37.39585

30

242 37.39585 8 125 1489.698 126 -85.59921 8 -329.5609 9 950.4886 242 -88.87193 243 88.87193 9 127 -64.37035 128 -40.29221 10 182.3307 11 14.81796 244 91.61680 245 -91.61680 10 128 33.96416 129 57.89585 11 -12.74213 12 79.16625 245 105.6953 246 -105.6953 EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 50549.78 REACCION TOTAL = 50550.19 LARGO PLAZO (Ccisebl0310.for; Isebldat0310) BARRA, GRADO DE LIBERTAD, MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 118 16.28023 119 -931.1581 1 839.8992 2 -106.0334 235 17.82738 236 -17.82738 2 119 882.1579 120 -420.6313 2 -21.86701 3 367.0596 236 -13.20636 237 13.20636 3 120 469.5818 121 -2460.344 3 983.8631 4 -618.2131 237 57.31897 238 -57.31897 4 121 2565.077 122 -3271.288 4 454.7369 5 -112.4318 238 5.754329 239 -5.754329 5 122 3271.451 123 -2564.901 5 -112.5677 6 454.8718 239 -5.755700 240 5.755700 6 123 2460.299 124 -469.6479 6 -618.1701 7 983.8171 240 -57.31990 241 57.31990 7 124 420.6525 125 -882.2460 7 367.0842 8 -21.89581 241 13.20630 242 -13.20630 8 125 931.1505 126 -16.28478 8 -106.0322 9 839.8875 242 -17.82650 243 17.82650 9 127 -44.59775 128 -2.534251 10 165.4095 11 25.98716 244 -45.55317 245 45.55317 10 128 14.75086 129 52.43262 11 -20.50805 12 58.00620 245 -18.14927 246 18.14927

31

ANEXO 2 MÉTODO ITERATIVO

(Programa: Ccmafl01.for; Mafledat02) CORTO PLAZO CALCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA PUNTO, ESTRATO, CARGA, VALOR DE INFLUENCIA 1 1 1 0.1113062 1 1 2 -2.5100566E-02 1 1 3 -3.1633452E-03 1 1 4 -9.1953576E-04 1 1 5 -3.8481504E-04 1 1 6 -1.9624829E-04 1 1 7 -1.1330843E-04 1 1 8 -7.1257353E-05 1 1 9 -2.6084483E-05 1 1 10 -2.4196722E-02 1 1 11 -1.8386558E-02 1 1 12 -4.4666901E-03 1 1 13 -1.5591681E-03 1 1 14 -6.9992244E-04 1 1 15 -3.6913902E-04 1 1 16 -2.1712482E-04 1 1 17 -1.3811886E-04 1 1 18 -5.0820410E-05 1 1 19 -2.9949620E-03 1 1 20 -4.3184385E-03 MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I K1 FLE 1 1 1.4796254E-04 1 2 5.2958825E-05 1 3 8.4645726E-06 1 4 3.9689812E-07 1 5 -1.3258181E-06 1 6 -1.4768517E-06 1 7 -1.2526497E-06 1 8 -9.8929365E-07 1 9 -5.4606716E-07 1 10 5.1921685E-05 1 11 3.3488439E-05 1 12 7.0196643E-06 1 13 -1.5261089E-07 1 14 -1.8626445E-06 1 15 -1.9552465E-06 1 16 -1.6447227E-06 1 17 -1.2991742E-06 1 18 -8.0790244E-07 1 19 7.9450019E-06 1 20 6.6645098E-06 PRIMERA ITERACIÓN I DELTA, m R, kN/m 1 2.0932026E-02 94.87500 2 3.8144249E-02 94.87500 3 4.0057547E-02 94.87500 4 4.0174492E-02 94.87500 5 4.0091716E-02 94.87500 6 4.0174495E-02 94.87500 7 4.0057551E-02 94.87500 8 3.8144249E-02 94.87500 9 2.0932022E-02 94.87500 10 3.8042549E-02 94.87500 11 6.2981077E-02 94.87500 12 6.5612562E-02 94.87500 13 6.5896742E-02 94.87500 14 6.5830663E-02 94.87500

32

15 6.5896749E-02 94.87500 16 6.5612555E-02 94.87500 17 6.2981069E-02 94.87500 18 3.8042545E-02 94.87500 19 3.9442636E-02 94.87500 20 6.5027244E-02 94.87500 Kv, kN/m 11444.63 9389.439 8940.965 8914.938 8933.345 8914.938 8940.964 9389.439 11444.64 9476.889 7607.345 7302.241 7270.750 7278.049 7270.750 7302.242 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA, m R, kN/m 1 6.4502150E-02 356.5253 2 5.9660114E-02 127.8954 3 5.3870857E-02 152.8800 4 5.0327435E-02 146.1834 5 4.8775654E-02 143.4773 6 5.0327435E-02 146.1834 7 5.3870834E-02 152.8799 8 5.9660129E-02 127.8954 9 6.4502135E-02 356.5252 10 6.5215543E-02 148.3225 11 6.0427275E-02 40.04702 12 5.0755698E-02 52.55468 13 4.3892093E-02 40.87017 14 4.1506547E-02 40.02453 15 4.3892086E-02 40.87016 16 5.0755695E-02 52.55469 17 6.0427304E-02 40.04702 18 6.5215543E-02 148.3226 19 6.4863265E-02 185.0674 20 5.7165090E-02 56.92780 21 4.6330620E-02 69.22344 22 3.7457149E-02 55.62939 23 3.3283088E-02 48.26594 Kv, kN/m 13956.53 8092.595 10713.07 10965.04 11104.45 10965.04 10713.06 8092.593 13956.53 8642.502 3346.791 5228.992 4702.313 4869.687 4702.313 5228.994

33

3346.789 8642.509 10842.13 5029.038 7545.299 7499.995 7323.329 I kv, kN/m3 1 8757.040 2 2538.854 3 3360.962 4 3440.012 5 3483.749 6 3440.012 7 3360.961 8 2538.853 9 8757.040 10 2711.373 11 524.9869 12 820.2341 13 737.6178 14 763.8724 15 737.6177 16 820.2344 17 524.9866 18 2711.375 19 3401.453 20 788.8686 21 1183.576 22 1176.470 23 1148.757

ANEXO 3 MÉTODO APROXIMADO

(Programa: Iseaprox0110.for; Mafledat013, RESMAFLAPR) PRIMERA ITERACIÓN I DELTA, m R, kN/m 1 2.0932026E-02 94.87500 2 3.8144249E-02 94.87500 3 4.0057547E-02 94.87500 4 4.0174492E-02 94.87500 5 4.0091716E-02 94.87500 6 4.0174495E-02 94.87500 7 4.0057551E-02 94.87500 8 3.8144249E-02 94.87500 9 2.0932022E-02 94.87500 10 3.8042549E-02 94.87500 11 6.2981077E-02 94.87500 12 6.5612562E-02 94.87500 13 6.5896742E-02 94.87500 14 6.5830663E-02 94.87500 15 6.5896749E-02 94.87500 16 6.5612555E-02 94.87500 17 6.2981069E-02 94.87500 18 3.8042545E-02 94.87500 19 3.9442636E-02 94.87500 20 6.5027244E-02 94.87500 21 6.7921430E-02 94.87500 22 6.8251289E-02 94.87500 23 6.8179265E-02 94.87500

34

Kv, kN/m 11444.63 9389.439 8940.965 8914.938 8933.345 8914.938 8940.964 9389.439 11444.64 9476.889 7607.345 7302.241 7270.750 7278.049 7270.750 DELTAE = 5.8193121E-02 RE, kN/m 263.7620 144.7419 137.8285 137.4273 137.7110 137.4273 137.8285 144.7419 263.7620 145.1289 87.66240 84.14658 83.78369 83.86780 83.78368 84.14658 87.66241 145.1289 139.9773 84.90398 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA, m R, kN/m 1 6.1998695E-02 350.3360 2 6.2114622E-02 139.1085 3 6.1816320E-02 175.6182 4 6.2012658E-02 174.6652 5 6.1950084E-02 175.2033 6 6.2012635E-02 174.6651 7 6.1816312E-02 175.6182 8 6.2114637E-02 139.1085 9 6.1998703E-02 350.3361 10 6.2071085E-02 140.6465 11 6.4282142E-02 47.48302 12 6.2434003E-02 66.76829 13 6.2842853E-02 66.60823 14 6.2771484E-02 66.78659 15 6.2842861E-02 66.60825 16 6.2434021E-02 66.76830 17 6.4282142E-02 47.48304 18 6.2071104E-02 140.6465 19 6.1828639E-02 177.8804 20 6.2485550E-02 67.01763 21 6.1491836E-02 90.56116 22 6.1891306E-02 90.63956 23 6.1829828E-02 90.94156

35

Kv, kN/m 14268.02 8454.283 10724.66 10632.69 10676.22 10632.68 10724.66 8454.281 14268.02 8610.397 3730.262 5400.581 5352.583 5373.018 5352.584 5400.580 3730.264 8610.395 10932.56 5416.277 7437.310 DELTAE = 6.2299453E-02 m RE, kN/m 352.0355 139.5224 176.9908 175.4730 176.1914 175.4730 176.9908 139.5224 352.0355 141.1640 46.01847 66.62440 66.03227 66.28436 66.03229 66.62439 46.01849 141.1639 179.2349 66.81804 91.75056

EJEMPLO DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE UN PILOTE DE CONCRETO REFORZADO

Agustín Deméneghi Colina* Realizar el diseño geotécnico y el diseño estructural del pilote de sección cuadrada de concreto reforzado de la figura A. Usar FSs = 1.5, FSp = 2.5 Eu = 500 cu E’ = 0.3 Eu fc' = 25 MPa fy = 420 MPa SOLUCIÓN Diseño geotécnico Capacidad de carga Usamos la siguiente expresión Qu Σ ca Δz + fc Ab cu Nc (25) Nc = 5.14 (1+ 0.23 D/B) (22) para D/B < 2. Para D/B ≥ 2 se empleará Nc = 7.5. = 4(0.5) = 2 m Ab = 0.52 = 0.25 m2 Las magnitudes de la adherencia entre suelo y pilote las encontramos a partir de la tabla 1 Estrato cu ca

kPa kPa A 23 20.12 B 25 21.88 C 28 24.50 D 30 26.25

Csu = Σ ca Δz =2[(20.12)(2)+(21.88)(3)+(24.50)(2)+(26.25)(2)] = 414.76 kN Cpu = fc Ab cu Nc


D/B = 9/0.5 = 18 >> 2 Nc = 7.5 fc = 1.2 Cpu = 1.2(0.25)(30)(7.5) = 67.5 kN Cu = Csu + Cpu = 414.76 + 67.5 = 482.26 kN Csa = Csu/FSs = 414.76/1.5 = 276.51 kN Cpa = Cpu/FSp = 67.5/2.5 = 27 kN Ca = Csa + Cpa = 276.51 + 27 = 303.51 kN Ca = 303.51 kN > Q = 300 kN Por lo tanto Cumple Asentamientos Debido a la carga vertical de 300 kN el pilote sufre un asentamiento inmediato ocasionado por los esfuerzos cortantes verticales τ = Csa/As = 276.51/0.5(9) = 61.45 kPa. El desplazamiento lateral de la esquina de un rectángulo de ancho x y longitud y, sometido a un esfuerzo cortante q en su superficie, apoyado en un medio semiinfinito, está dado por (Poulos y Davis, 1974; ecuación 3.33a)

x

yxy

y

x

y

yxxqy

Ex

2222

lnln11

Sustituyendo valores con q = 61.45 kPa, E = Eum = 13167 kPa, ν = 0.5, x = 0.5/2 = 0.25 m, y = 9/2 = 4.5 m, encontramos δx* = 0.0005687 m. Multiplicamos por 4 para hallar el desplazamiento del centro: δux = 0.0005687(4) = 0.002275 m. El asentamiento a largo plazo se obtiene usando E’m = 0.3Eum = 3950 kPa, ν = 0. Procediendo en forma análoga obtenemos δx’ = 0.001418(4) = 0.005674 m. El hundimiento total del pilote es la suma de los hundimiento a corto y largo plazo: δx = 0.002275 + 0.005674 = 0.007949 m.

2

Diseño estructural Interacción suelo-estructura Dividimos el pilote en seis tramos, como se muestra en la figura B. El análisis para la carga horizontal de 100 kN lo llevamos a cabo considerando al pilote como una viga apoyada sobre los “estratos verticales” de 0.3 m de espesor, indicados en la figura C. Las propiedades de deformación se hallaron con Eu = 500 cu, y fueron Grado de libertad

Eu

kPa 1 11500 2 12000 3 12500 4 13250 5 14000 6 14500 7 15000

La interacción suelo-estructura se realiza por iteraciones, usando la matriz de flexibilidades del terreno (Ccmaflx.for; Mafdatx01) y el análisis estructural del pilote como viga (Pilote01, SAP). Los cálculos se inician con la reacción uniforme sobre el terreno: r = 100/9 = 11.111 kN/m; en el anexo 1 (Pilote.doc) se exhiben los resultados de la última iteración, en la cual los desplazamientos del suelo prácticamente coinciden con los desplazamientos del pilote. Se empleó un módulo de elasticidad del concreto reforzado Ec = 10000 √ fc’ = 10000 √ 250 = 158 114 kg/cm2 ≈ 15 811 400 kPa.

El diseño estructural se efectúa con los elementos mecánicos obtenidos en la última iteración. Los valores máximos del momento flexionante y de la fuerza cortante son M = 73.86 kN.m y V = 49.91 kN, respectivamente. Consideremos que obra sobre el pilote otra fuerza lateral de 30 kN en la dirección perpendicular a la fuerza lateral del 100 kN; el momento flexionante en estas condiciones es del orden de 0.3(73.86) = 22.16 kN.m. Por lo tanto, diseñamos el pilote como una columna corta sometida a una fuerza axial de 300 kN, y dos momentos: 73.86 kN.m y 22.16 kN.m (DisEstPilote.xls). El diseño estructural del pilote se presenta en Ejemplo de Diseño Estructural de un Pilote de Concreto Reforzado (archivo: Pilote diseño estructural.doc). Ciudad Universitaria, D F, marzo de 2010 Referencia Poulos, H G y Davis, E H, Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, Wiley, 1974 (Diseño pilote)

3

300 kN

100 kN

cu = 23 kPa Estrato A2 m

cu = 25 kPa Estrato B 3 m

cu = 28 kPa Estrato C2 m

2 mcu = 30 kPa Estrato D

0.5 m

ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES DEL SUBSUELOFIGURA A

(Interacción suelo-pilote)

4

δ1

1.75 m 1 Estrato A

δ2

1.75 m 2

δ3 Estrato B

1.25 m 3

δ41.25 m 4

Estrato Cδ5

1.50 m5

δ6

1.50 m 6 Estrato D

δ70.5 m

NUMERACIÓN DE BARRAS YGRADOS DE LIBERTAD

FIGURA B

5

"Estrato 3" "Estrato 1""Estrato 2"

100 kN

1Estrato A

2

Estrato B3

4Estrato C

5

Estrato D6

0.3 0.3 0.3 0.5 m

"ESTRATOS" DEL SUBSUELOFIGURA C

6

ANEXO 1

INTERACCIÓN SUELO-PILOTE ÚLTIMA ITERACIÓN

(Archivos: Pilote.doc; Ccmaflx.for; Mafdatx01) SEIS BARRAS I DELTA, m R, kN/m 1 2.1099681E-03 69.02183 2 1.4899402E-03 26.58694 3 7.1914587E-04 13.67349 4 3.8922729E-04 7.958261 5 2.3201581E-04 5.048215 6 1.5675568E-04 3.501012 7 1.0147872E-04 4.583399 I KV, kN/m 1 28623.23 2 31227.53 3 28520.27 4 25557.88 5 29917.34 6 33501.30 7 33874.58

deméneghi. temas especiales de geotecnia. vol 1. 150701

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