geotecnia - copia

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA EN MINAS

AYUDANTAS FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA

PREPARADO POR: MAURICIO DOMCKE G.

GEOMECNICA & GEOTECNIA APLICADA A LA MINERA SEGUNDO SEMESTRE 2006 FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA PREPARADO POR: MAURICIO DOMCKE

TABLA DE CONTENIDOS CAPTULO 1: ESFUERZOS 2D 5 1 CONVENCIN DE SIGNOS 5 2 ESFUERZOS EN UN PLANO 5 3 ESFUERZOS PRINCIPALES 6 EJEMPLO DE APLICACIN 1 6 EJEMPLO DE APLICACIN 1 7

CAPTULO 2: ESFUERZOS 3D 14 1 ANLISIS DE ESFUERZOS 14 1.1 MATRIZ DE COSENOS DIRECTORES L 15 1.2 INVARIANTES DE ESFUERZOS 16 2 ESFUERZOS PRINCIPALES 16 2.1 VECTOR DE COSENOS DIRECTORES ORTONORMAL 17 EJEMPLO DE APLICACIN 1 18

CAPTULO 3: DEFORMACIONES 23 1 ANLISIS DE DEFORMACIONES 23 1.1 DEFORMACIN LONGITUDINAL 23 1.2 DEFORMACIN DE CORTE 23 2 DEFORMACIONES EN UN PLANO 24 2.1 DEFORMACIN LONGITUDINAL 24 2.2 DEFORMACIN DE CORTE 26 3 DEFORMACIONES PRINCIPALES 26 3.1 DEFORMACIONES PRINCIPALES LONGITUDINALES 26 3.2 DEFORMACIONES PRINCIPALES DE CORTE 27 4 CIRCULO DE MOHR DE DEFORMACIONES 28 5 DEFORMACIONES TRIDIMENSIONALES, MDULO DE DILATACIN VOLUMTRICA 28 6 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 29 EJEMPLO DE APLICACIN 1 30 EJEMPLO DE APLICACIN 2 34 EJEMPLO DE APLICACIN 3 35

CAPTULO 4: TEORA DE ELASTICIDAD 36 1 GENERALIDADES 36 2 RELACIONES ESFUERZO UNIAXIAL DEFORMACIN 36 2.1 MDULO DE YOUNG 36 2.2 RAZN DE POISSON 37

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3 RELACIONES ESFUERZO TRIAXIAL DEFORMACIN 37 3.1 LEY DE HOOKE 37 3.2 MDULO DE RGIDEZ G 38 3.3 CAMBIO UNITARIO DE VOLUMEN 38 3.4 MDULO DE COMPRESIBILIDAD K 38 3.5 CONSTANTE DE LAMM 38 EJEMPLO DE APLICACIN 1 39 EJEMPLO DE APLICACIN 2 41

CAPTULO 5: SOLUCIONES CLSICAS EN ELASTICIDAD 42 1 SOLUCIN ELSTICA DE KIRSCH 42 2 CILINDRO DE PARED GRUESA 44 EJEMPLO DE APLICACIN 1 45 EJEMPLO DE APLICACIN 2 47 EJEMPLO DE APLICACIN 3 50

CAPTULO 6: CRITERIOS DE FALLA 52

1 APLICABILIDAD CRITERIOS DE FALLA 52 2 ROCA INTACTA 52 2.1 MOHR COULOMB 52 2.2 HOEK & BROWN 55 3 RESISTENCIA AL CORTE DE ESTRUCTURAS 56 3.1 ESTRUCTURAS PLANAS 56 3.2 ESTRUCTURAS RUGOSAS 57 4 MACIZO ROCOSO 58 4.1 HOEK & BROWN (2002) 58 4.2 MOHR - COULOMB 60 EJEMPLO DE APLICACIN 1 62 ROCA INTACTA 62 MACIZO ROCOSO 64 EJEMPLO DE APLICACIN 2 65

CAPTULO 7: APLICACIONES CRITERIOS DE FALLA 67 1 GENERALIDADES 67 2 EFECTOS DE PLANOS DE DEBILIDAD SOBRE DISTRIBUCIONES ELSTICAS DE ESFUERZOS 67 3 DELINACIN DE ZONAS DE FALLA EN ROCA 68 EJEMPLO DE APLICACIN 1 69 EJEMPLO DE APLICACIN 2 71

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CAPTULO 8: CLASIFICACIN DE MACIZOS ROCOSOS 75 1 GENERALIDADES 75 2 ALGUNOS FACTORES DE ESCALA 75 3 RQD 75 4 SISTEMA DE CLASIFICACIN RMR BIENIAWSKI (1989) 76 5 SISTEMA DE CLASIFICACIN RMR BIENIAWSKI (1976) 77 6 GEOLOGICAL STRENGTH INDEX (GSI) 77 7 SISTEMA DE CLASIFICACIN RMR LAUBSCHER (1996) 78 8 INDICE DE CALIDAD TUNELERA Q BARTON (1974) 81 EJEMPLO DE APLICACIN 1 85

REFERENCIAS BILIOGRFICAS 87 CAPTULO 1 87 CAPTULO 2 87 CAPTULO 3 87 CAPTULO 4 87 CAPTULO 5 87 CAPTULO 6 87 CAPTULO 7 88 CAPTULO 8 88

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CAPTULO 1: ESFUERZOS 2D

Ecuacin 1

1 CONVENCIN DE SIGNOS

Esfuerzos normales : Compresin positiva Traccin negativa

Esfuerzos de corte : Antihorario positivos Horario negativos

Para realizar clculo analtico (frmulas), los valores de cambian su signo, es decir, horario positivos y antihorario negativos.

2 ESFUERZOS EN UN PLANO

Conocidos x, y y xy, se puede determinar la magnitud de los esfuerzos normales y de corte que actan sobre un plano que tiene una orientacin, medida desde la horizontal y positiva en sentido antihorario, de (90 + ). Se debe consignar, que la orientacin del plano, es distinta a la orientacin en la que acta el esfuerzo, claramente, el desfase son 90, ya que el esfuerzo acta en forma normal.

)2()2cos(22

xysenyxyx +++=Ecuacin 2

)2(2cos( 2

) senxy= yx

Figura 1

Ecuacin 4

( ) )2()2cos(22

90 xysenyxyx +=+Ecuacin 3

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3 ESFUERZOS PRINCIPALES Los esfuerzos principales representan una condicin particular del estado tensional al cual est sometido un cuerpo, esto es, cuando los esfuerzos de corte son nulos. Despejando de Ecuacin 4 el valor de , las orientaciones 1 y 3 en las que actan los esfuerzos principales mayor y menor respectivamente, son: Por ltimo, las magnitudes de los esfuerzos principales son:

Ecuacin 5

Ecuacin 6

- 6 -


EJEMPLO DE APLICACIN 1 Considerar para este ejemplo un cuerpo con forma similar a un rombo, sometido a un campo de esfuerzos tal como se muestra en Figura 2. Todos los valores de esfuerzos tienen como unidad MPa. Se pide encontrar, mediante Circulo de Mohr (CM): 1. Esfuerzos actuantes sobre los ejes X

e Y. 2. Esfuerzos principales y sus

orientaciones. 3. Esfuerzos para un plano inclinado 40

desde la horizontal. 4. Realizar puntos 1, 2 y 3 mediante un

estudio analtico. En la figura se observan los pares ordenados de esfuerzos: (8,2) y (4,-2).

50

8

42

2

Figura 2

Paso 1 Se grafican los puntos antes mencionados

Figura 3

- 7 -


Paso 2 Se traza dimetro a partir de puntos anteriores.

Paso 3 Se dibuja CM con el dimetro trazado. Los esfuerzos normal y de corte (8,2) actan en plano inclinado en (50 + 90). Se dibuja lnea con esta orientacin desde punto (8,2) hasta la intercepcin con CM. Se puede realizar lo mismo desde punto (4,-2), y trazando una lnea con orientacin ((50+90)+90). La intercepcin se denomina polo u Op.

- 8 -

Figura 4

Figura 5


Paso 4 A partir del polo, se puede determinar la orientacin de los esfuerzos actuantes en cualquier plano. x, acta en un plano vertical y y lo hace en uno horizontal, por lo tanto si se trazan estas lneas desde Op, se pueden obtener estos valores, leyendo directamente.

Figura 6

Respuesta 1 En CM se obtienen los valores:

Tabla 1 x y xy yx

7,62 4,38 -2,31 2,31

- 9 -


Respuesta 2 La magnitud de los esfuerzos principales, se obtiene de la condicin de inexistencia de esfuerzos de corte. Por lo tanto, desde el polo se dibujan las lneas hacia los puntos dentro de CM que cumplen esta condicin, denominados 1 y 3, con 1>3.

Figura 7 Los valores obtenidos son:

Tabla 2 1 8.83 3 3.17 1 27 3 117

Se puede apreciar que la suma de los esfuerzos ortogonales es siempre igual a 12 (1 + 3; x + y; etc.).

- 10 -


Respuesta 3 De la misma forma que se obtuvieron los esfuerzos en los planos horizontal y vertical, se realiza para un plano inclinado 40.

Figura 8

os valores de los esfuerzos normal y de corte, son ledos directamente de las

os resultados son:

Tabla 3

Lproyecciones de la intercepcin de la lnea trazada desde el polo, con el crculo. L

3,44 -1,20

- 11 -


Respuesta 4: Una analoga analtica Respuesta 1: Se requiere encontrar los valores de x, y y xy, a partir del estado tensional para el ngulo . Para realizar este clculo, se ocupan Ecuaciones 2, 3 y 4. Por simplicidad, a la semisuma de los esfuerzos en los ejes x e y, se le denominar S, y a la semidiferencia, D.

= 50 = 8 = S + D*cos(2*50) + xy*sen(2*50) +90 = 140 = 4 = S - D*cos(2*50) - xy*sen(2*50)

50 = -2 = xy*cos(2*50) - D*sen(2*50) Lo que puede ser resuelto para S, D y xy, de la siguiente forma.

8 1 cos (100) sen (100) S 4 = 1 -cos (100) -sen (100) D -2 0 -sen (100) cos (100) xy

Arrojando los siguientes resultados

S 6

D 1,622319151

xy =

2,316911861

Obteniendo as:

Tabla 4 x 7,62231915 y 4,37768085 xy 2,31691186

Nota: Se puede observar que los valores obtenidos para x, y y xy son iguales en

magnitud que los que resultan tras la solucin mediante CM. Por otro lado, para xy el signo es distinto, esto se debe a que CM considera la direccin antihoraria positiva y la solucin analtica, la horaria.

- 12 -


Respuesta 2: Los esfuerzos principales y sus orientaciones son obtenidas mediante Ecuaciones 5 y 6. Los resultados obtenidos concuerdan con la solucin de Mohr, y estos son:

Tabla 5 1 8,82842712 3 3,17157288 55,0 1 27,5 3 117,5

Respuesta 3: Para un plano inclinado 40, los esfuerzos actan en el ngulo que se muestra en Figura 9, es decir 130 -50. La eleccin de cualquiera de los dos resulta indiferente, ya que lo que se est evaluando, son funciones trigonomtricas. De esta forma, se tiene que:

Tabla 6 INPUT OUTPUT

x y xy 7,62 4,38 2 130 3,43 1,20,327,62 4,38 2,32 -50 3,43 1,20

uevamente, los valores son similares en N

magnitud a los obtenidos mediante CM, pero con signo cambiado para el esfuerzo de corte.

Figura 9

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CAPTULO 2: ESFUERZOS 3D

1 ANLISIS DE ESFUERZOS En tres dimensiones, el estado tensional en un punto, est representado por el tensor de esfuerzos xyz.

x xy xz xyz = yx y yz zx zy z

Ecuacin 1 Conocido el tensor de esfuerzos, se puede determinar la magnitud de los esfuerzos en un plano que tiene un eje normal a este, x (Figura 1).

x' x'y' = Lx' * xyz * LT x'z'

Ecuacin 2 Con: Lx : Vector de cosenos directores para el

plano normal a x. xyz : Tensor de esfuerzos LT : Matriz de cosenos directores

transpuesta. Figura 1 En donde:

Lx' = lx', mx', nx' Ecuacin 3

Como se aprecia, se puede conocer el estado tensional para cualquier plano, a partir del tensor de esfuerzos en los ejes coordenados. Sin embargo, existen ocasiones en que el estado tensional est asignado en trminos de la magnitud de los esfuerzos principales, y la orientacin que estos tienen. En estas ocasiones, el tensor de esfuerzos se calcula de la siguiente forma:

Ecuacin 4

Y a partir del tensor de esfuerzos, obtener la magnitud de los esfuerzos en cualquier otra orientacin, mediante la Ecuacin:

Ecuacin 5

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1.1 MATRIZ DE COSENOS DIRECTORES L

lx mx nx L = ly my ny lz mz nz

Ecuacin 6 Con:

Ecuacin 7

Donde: : Proyeccin () del vector en el plano XY (EN, respectivamente), medido en

sentido antihorario desde el este (X). : Inclinacin () que tiene el vector, respecto del plano XY. Positiva si la

inclinacin es sobre la horizontal. Observacin: Dos vectores que tienen cosenos directores opuestos (inverso aditivo) representan exactamente el mismo estado tensional. Por ejemplo: Vector Magnitud (Mpa) () () l m n

1 20 45,000 5,000 0,704416 0,704416 0,087156 2 20 -135,000 -5,000 -0,704416 -0,704416 -0,087156

Los vectores esfuerzo deben ser ortonormales, es decir, unitarios (Ecuacin 8) y ortogonales (Ecuaciones 9, 10 y 11). Vector unitario:

Ecuacin 8

Vectores ortogonales:

l1*l2 + m1*m2 + n1*n2 = 0 Ecuacin 9

l2*l3 + m2*m3 + n2*n3 = 0

Ecuacin 10

l1*l3 + m1*m3 + n1*n3 = 0 Ecuacin 11

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1.2 INVARIANTES DE ESFUERZOS Son valores que no dependen de los ejes a los que se les est relacionando, y por lo tanto, son tiles al comprobar que el cambio de coordenadas se ha realizado correctamente. Son tres, denominados I1, I2 e I3, y sus valores corresponden a:

Ecuacin 12

2 ESFUERZOS PRINCIPALES Si se conoce el estado tensional para la triada x,y,z, es posible demostrar que si el esfuerzo principal de magnitud acta sobre un plano cuyos cosenos directores son l*, m* y n*; debe cumplirse que:

Ecuacin 13

Resolviendo el polinomio cbico para , se obtienen los valores, en magnitud, de los tres esfuerzos principales (1 > 2 > 3). Para obtener las orientaciones de los esfuerzos principales, se deben cumplir las siguientes condiciones:

El vector de cosenos directores debe ser unitario: Los planos sobre los cuales actan los esfuerzos principales deben ser

ortogonales.

- 16 -


2.1 VECTOR DE COSENOS DIRECTORES ORTONORMAL Se definen los siguientes determinantes:

y * yzA = zy z - *Ecuacin 14

yx yzB = zx z - *

Ecuacin 15

yx y *C = zx zyEcuacin 16

Para los cuales se cumple que:

Ecuacin 17

Luego, para cada esfuerzo principal, los valores de l*, m* y n* son obtenidos segn las siguientes relaciones:

Ecuacin 18

Ecuacin 19

Ecuacin 20

Por ltimo, los valores de y para cada uno de los esfuerzos principales, resulta de resolver Ecuacin 7. Recordando la imparidad de las funciones seno y tangente.

Ecuacin 21

Ecuacin 22

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EJEMPLO DE APLICACIN 1 Se dispone de la siguiente medicin de esfuerzos:

Tabla 1 Esfuerzos Magnitud (MPa) Azimut () Inclinacin ()

1 20 140 0 2 10 50 5 3 5 230 85

Se proyecta realizar una excavacin minera con rumbo N40W, con una pendiente del 2%. Se pide determinar:

1. Obtener el tensor de esfuerzos para los ejes coordenados. 2. Calcular invariantes del tensor de esfuerzos y de la matriz de esfuerzos

principales. 3. Obtenido el tensor de esfuerzos, realizar el clculo de forma inversa, de

manera de validar los valores de esfuerzos principales. 4. Obtener orientacin y magnitud de esfuerzos principales en el plano que

contiene la seccin transversal de la excavacin. Desarrollo:

1. Tensor de esfuerzos

El primer paso, consiste en obtener los cosenos direccionales para los vectores 1, 2 y 3. Figura 2 muestra una vista en planta de los vectores que definen a los esfuerzos principales. Tal vista permite identificar claramente el valor de , mostrando para cada vector el azimut, y el ngulo desde donde se mide . Por otro lado, la inclinacin es un dato directo.

Figura 2

- 18 -


De esta forma:

Tabla 2 Esfuerzo () ()

1 -50 0 2 40 5 3 -140 85

Resultando la matriz L de cosenos directores igual a:

0,642788 -0,766044 0,000000 L 0,763129 0,640342 0,087156 -0,066765 -0,056023 0,996195

Se debe cumplir, para cada vector de cosenos directores, la ortonormalidad.

Vectores unitarios l2 + m2 + n2

Lx 1,000000 Ly 1,000000 Lz 1,000000

Vectores ortogonales LL LxLy 0,000000 LyLz 0,000000 LzLx 0,000000

Y la matriz de esfuerzos principales:

20 0 0 123 0 10 0

0 0 5 Finalmente, el tensor de esfuerzos resulta:

14,109471 -4,942741 0,332556 xyz -4,942741 15,852548 0,279047

0,332556 0,279047 5,037981

2. Invariantes

Tabla 3 Esfuerzos principales Tensor de esfuerzos

I1 35,00 35,00 I2 350,00 350,00 I3 1.000,00 1.000,00

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3. Esfuerzos principales

Resolviendo Ecuacin 13, La magnitud de los valores de * es:

Tabla 4 1 (MPa) 202 (MPa) 103 (MPa) 5

Comparando con la medicin de esfuerzos inicial, se comprueba que los datos son correctos: Para obtener la direccin de los esfuerzos principales, se generan los determinantes A, B y C para cada esfuerzo principal, obteniendo:

Tabla 5 1 2 3

A 61,98 -29,12 0,33 B -73,86 -24,43 0,28 C 0,00 -3,33 -4,99

Tambin se deben determinar los cosenos directores l, m y n, para cada esfuerzo principal:

Tabla 6 1 2 3l 0,642788 -0,763129 0,066765

m -0,766044 -0,640342 0,056023 n 0,000000 -0,087156 -0,996195

Comparando estos valores con la matriz de cosenos directores obtenida inicialmente, se aprecia que para s1 y s2, el signo es opuesto. Se debe recordar observacin realizada: Observacin: Dos vectores que tienen cosenos directores opuestos (inverso aditivo) representan exactamente el mismo estado tensional. Verificando la condicin de Ecuacin 17:

1 2 3l/A 0,01037 0,02621 0,19970

m/B 0,01037 0,02621 0,19970 n/C #DIV/0! 0,02621 0,19970

Resultando para cada esfuerzo:

Esfuerzo () ()1 -50 0 2 40 -5 3 40 -85

Se observan diferencias con respecto a los valores inicialmente otorgados (Tabla 2), pero dentro del espacio, estas direcciones representan el mismo estado tensional.

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Esfuerzos principales secundarios en la seccin transversal de la excavacin

Se debe obtener el tensor de esfuerzos para la seccin en la cual se realizar la excavacin. Se hace coincidir el rumbo de sta (N40W) con el eje Y, por lo que el eje X tambin muestra una rotacin respecto del este. Por otro lado, debido a que tiene una inclinacin positiva (2% pendiente = 1,14), el eje Z presenta una proyeccin sobre el plano XY, de forma directamente opuesta al rumbo de la excavacin. La vista en planta de Figura 3, muestra esta situacin. De esta forma, los ngulos que definen la matriz de cosenos directores son:

Figura 3 Tabla 7

X 40 0 Y 130 1,14 Z -50 88,86

La nueva matriz de cosenos directores, en la cual se comprueba la ortonormalidad es:

0,766044 0,642788 0,000000 L -0,642660 0,765893 0,019895 0,012789 -0,015241 0,999802

Con lo cual, el tensor de esfuerzos resulta ser, (se deben comprobar los invariantes):

9,962019 0,008637 0,434035 x'y'z' 0,008637 19,994078 -0,297617

0,434035 -0,297617 5,043903 La seccin transversal de la galera corresponde al plano xz, por lo que el problema se transforma en uno de dos dimensiones, quedando el estado tensional representado por:

9,962019 0,434035 x'z' 0,434035 5,043903 Luego, la magnitud y orientacin de los esfuerzos principales se calcula a partir de las siguientes ecuaciones:

Ecuacin 23

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Ecuacin 24 Tomando en cuenta que el eje x equivale a x, que el y a z, y considerando como valor de xy = xz = 0,393288. De esta forma, los esfuerzos principales y la orientacin en la actan se muestran en Tabla 8

Tabla 8 Parmetro Valor

1 10,0 MPa 3 5,0 MPa 1 5,004 3 95,004

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CAPTULO 3: DEFORMACIONES

1 ANLISIS DE DEFORMACIONES

Tabla 1 TIPO DE DEFORMACIN NOTACIN

Longitudinal De corte

1.1 DEFORMACIN LONGITUDINAL

Ecuacin 1

Ecuacin 2

Ecuacin 3

Convencin de signos: Una deformacin longitudinal positiva corresponde a un

acortamiento en la longitud, y una deformacin longitudinal negativa corresponde a un aumento en longitud.

1.2 DEFORMACIN DE CORTE

Ecuacin 4

Ecuacin 5

Ecuacin 6

Convencin de signos: Una deformacin de corte positiva representa un aumento en

el ngulo recto, y una disminucin de corte negativa representa una disminucin en el ngulo recto. Se debe hacer notar que esta convencin cambia (es decir un valor positivo indica una disminucin en el ngulo recto) para el desarrollo analtico.

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2 DEFORMACIONES EN UN PLANO

El anlisis de deformaciones sucedidas en una orientacin particular , se puede realizar separando la deformacin como resultado de las deformaciones x, y y xy, y posteriormente sumndolas, utilizando el principio de superposicin.

2.1 DEFORMACIN LONGITUDINAL

2.1.1 Deformacin debida a x Considerar el esquema de Figura 1. El elemento no deformado tiene dimensiones x, y y en la direccin , r. Se deforma en la direccin de X una distancia x, pero esta distancia es tan pequea, que se asume no provoca variaciones angulares. Por definicin:

Tomando en cuenta la relacin:

El valor de r resulta ser:

Por otro lado, por definicin:

Y considerando la relacin trigonomtrica para el elemento sin deformar: El valor de la deformacin debida a x es:

Ecuacin 7

Figura 1

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2.1.2 Deformacin debida a y

Figura 2

La metodologa utilizada es anloga a la seccin anterior, pero considerando el esquema de Figura 2. Al igual que en los esquemas anteriores, el elemento dibujado en color azul representa el elemento deformado y el de color rojo, el no deformado. La nica diferencia con respecto a la deformacin debida a X, es que la funcin trigonomtrica que relaciona a los diferenciales r y y es el seno, en vez del coseno. As, la deformacin provocada por y es:

Ecuacin 8

2.1.3 Deformacin debida a xy La metodologa utilizada es anloga a la seccin anterior, pero considerando el esquema de Figura 3. Al igual que en los esquemas anteriores, el elemento dibujado en color azul representa el elemento deformado y el de color rojo, el no deformado. Para pequeos valores de XY, el valor de u es:

La longitud de r es:

El largo de r es:

Figura 3

s, la deformacin provocada por XY es: A

Ecuacin 9

2.1.4 Principio de superposicin

omo se mencion anteriormente, la deformacin longitudinal es la suma de los

Cefectos combinados de X, Y y XY. (Principio de superposicin). As:

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Aplicando identidades trigonomtricas, se obtiene:

Ecuacin 10

2.2 DEFORMACIN DE CORTE La se realiza mediante un proceso similar al

tilizado para la deformacin longitudinal. Esto es, la obtencin de los valores de obtencin de la deformacin de corte

uprovocados por X, Y y XY. De esta forma, y aplicando simplificaciones e identidades trigonomtricas, se llega a la siguiente solucin:

Ecuacin 11

DEFORMACIONES PRINCIPALES

LONGITUDINALES Da 11, se colige que

stas funciones son peridicas en , por lo que deben poseer un mximo y mnimo.

3

3.1 DEFORMACIONES PRINCIPALES

da la presencia de los factores cos2 y sen2 en Ecuaciones 10 yeDerivando Ecuacin 10 con respecto a e igualando a 0, se encuentran los valores de las deformaciones principales. El anlisis es similar a igualar a 0 Ecuacin 11; esto debido a que las deformaciones principales se suceden cuando no existen las de corte.

Y despejando el valor de , se obtiene:

Ecuacin 12

Para determinar la orientacin en la qu n las deformaciones principales, debe

alizarse un anlisis similar al hecho para el a sfuerzos, al respecto de las e sucede

nlisis de eremagnitudes y orientaciones de X, Y y XY.

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Reemplazando este valor de en Ecuacin 10, se obtienen las magnitudes de las deformaciones principales 1 y 3.

Ecuacin 13

Ecuacin 14

3.2 DEFORMACIONES PRINCIPALES DE CORTE Similarmente a las deformaciones longitudinales, se deriva la funcin trigonomtrica desarrollada para la obtencin de la deformacin de corte para un plano en particular y se igual a 0

Obteniendo:

Ecuacin 15

Finalmente, el valor de la mxima deformacin de corte se obtiene de reemplazar este valor en Ecuacin 10, lo que es igual a la realizar la diferencia entre 1 y 3, es decir:

Ecuacin 16

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4 CIRCULO DE MOHR DE DEFORMACIONES La forma de trabajar el Crculo de Mohr de deformaciones, es anloga a la metodologa utilizada para el trabajo de crculo de Mohr de esfuerzos. Los pasos que se deben seguir, para ciertas componentes de deformaciones (,); (+90,+90), son los siguientes:

Ubicar dentro de un sistema de ejes coordenados , /2 (Figura 4) los puntos (,); (+90,+90).

Trazar dimetro a partir de puntos obtenidos y posteriormente dibujar circunferencia con dimetro obtenido, y centro ( + +90)/2.

Figura 4

A partir de punto con coordenadas (,), trazar lnea que intercepte a la

circunferencia, y que tenga una orientacin paralela a la de la componente en la que estn ocurriendo las deformaciones (,). La intercepcin con la circunferencia es denominada polo u Op. Este punto se puede obtener de forma anloga, a partir de las deformaciones (+90,+90).

El punto Op es la base para determinar las deformaciones ocurridas en

cualquier orientacin que se requiera.

5 DEFORMACIONES TRIDIMENSIONALES, MDULO DE DILATACIN VOLUMTRICA

Si se considera un paraleleppedo como el que se muestra en Figura 5, con un volumen inicial (pre deformacin) V = XYZ, resulta simple mostrar que dado el volumen final (post deformacin) V = (X + X)(Y + Y)(Z + Z), el mdulo de dilatacin volumtrica e, el cual mide el cambio de volumen por unidad de volumen, est directamente relacionado con las deformaciones unitarias X, Y y Z, mediante las siguientes expresiones:

Ecuacin 17

Ecuacin 18

Figura 5

Paraleleppedo que muestra el efecto del cambio de volumen

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6 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD En ciertas ocasiones las desplazamientos u, v, w (para las direcciones x, y, z respectivamente), pueden ser definidos como funciones continuas dependientes de las tres direcciones del espacio. De todas formas, las deformaciones son compatibles si ellas generan desplazamientos que no producen separacin entre pequeos elementos del cuerpo. De esta forma, existen relaciones que permiten asegurar que el modelo continuo utilizado para describir los desplazamientos es correcto. Estas ecuaciones son denominadas ecuaciones de compatibilidad y son 6:

Ecuacin 19

Ecuacin 20

Ecuacin 21

Ecuacin 22

Ecuacin 23

Ecuacin 24

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EJEMPLO DE APLICACIN 1 Se tiene una configuracin de roseta de deformacin equiangular (0, 60, 120) que presenta los siguientes valores medidos de deformacin. 0 = 510-4, 60 = 610-4, 120 = 610-4. Se requiere determinar:

1. Las componentes de deformacin en los ejes x e y 2. Magnitud y orientacin de las deformaciones principales longitudinales y de

corte. 3. Deformacin longitudinal en el plano de corte mximo 4. Deformacin en un plano que forma 30 con la horizontal 5. Realice un esquema mostrando los resultados obtenidos en punto 1 6. Realice los pasos 2-5 mediante crculo de Mohr, dados los resultados del punto

1. Solucin

1. La ecuacin base para resolver una roseta de deformaciones es Ecuacin 10, ya que los datos entregados (3) representan deformaciones longitudinales y los valores buscados son X, Y y XY (3). De esta forma y obviando para el clculo la notacin cientfica, se tiene:

Se ocupar la siguiente notacin:

De esta manera, se pueden escribir las siguientes ecuaciones:

5 = i + jcos(0) + ksen(0) 6 = i + jcos(120) + ksen(120) 6 = i + jcos(240) + ksen(240)

i 4,66 j 0,37 k

= 1,73

Y as:

X 5,0010-4 Y 4,3310-4 XY

= 3,4610-4

- 30 -


2. Deformaciones principales y sus orientaciones

Aplicando directamente ecuaciones 12 16 y teniendo en cuenta que X > Y, se obtienen los siguientes resultados.

1 6,4310-43 2,9010-41 39 3 129

max 3,5210-4 2 -5,44

3. En el plano de corte mximo, el valor de la deformacin longitudinal est dada por:

max = 1/2(X + Y) = 4,6710-4

4. Los valores de las componentes de deformacin que ocurren para un plano

inclinado 30 respecto de la horizontal, se obtienen de reemplazar directamente este valor en ecuaciones 10 y 11.

30 = 1/2(X + Y) + 1/2(X - Y)cos(230) + 1/2XYsen(230)

30 = 6,3310-4

30 = XYcos(230) - (X - Y) sen(230) 30 = 1,1510-4

5. Considerando la convencin de signos adoptada (el corte positivo representa

una disminucin del ngulo para el trabajo analtico) y los resultados obtenidos en punto 1, el elemento deformado presenta el siguiente esquema.

- 31 -


6. Circulo de Mohr de deformaciones

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GEOMECNICA & GEOTECNIA APLICADA A LA MINERA SEGUNDO SEMESTRE, 2006 MECNICA DE ROCAS I PREPARADO POR: MAURICIO DOMCKE

1. Se ubican los puntos (X,-XY) y (Y,-YX), a partir de ellos se traza dimetro de circunferencia con centro ( + +90)/2.

2. Desde (X,-XY) o (Y,-YX) se traza lnea con orientacin paralela a la

componente de deformacin (paralela a x o paralela a y respectivamente). El punto en donde se interceptan las lneas (verdes en el diagrama) es denominado polo u Op.

Respuesta 2: Las deformaciones longitudinales principales suceden cuando no existe deformacin de corte. Desde el polo se trazan lneas (color rojo) hasta los puntos dentro del crculo, en los cuales las componentes de deformacin de corte son 0. se encuentran las deformaciones principales longitudinales principales, con valores 6,4310-4 y 2,9010-4. Las orientaciones respectivas son medidas desde la horizontal y en sentido antihorario positivo. De esta forma se tiene que 1 = 39,5 y 3 = 129,5. Por otro lado, la deformacin mxima de corte sucede para los mximos valores de la ordenada del grfico. Esto ocurre para los valores 1,7610-4. de todas formas, este valor corresponde a max/2, dada la ordenada del crculo de Mohr, por lo que max es igual a 3,5210-4. Desde el polo se debe trazar lnea hasta estos puntos. Por razones grficos, solamente se ha dibujado la deformacin de corte positiva. Para este valor, la orientacin es de 84,5.

Respuesta 3: Por el contrario de las deformaciones longitudinales, las deformaciones de corte toman sus valores principales para valores de distintos de 0. De todas formas, y aprovechando las bondades geomtricas del Crculo de Mohr, se colige que para el plano de mximo corte, el valor de la deformacin longitudinal corresponde al centro de la circunferencia, es decir:

Este valor es igual a: 4,6710-4 Respuesta 4: Desde Op se traza lnea con orientacin de 30 hasta interceptar crculo de Mohr, las coordenadas son ledas directamente, obteniendo:

/2 6,33 -0,575

Se obtienen los valores de la deformacin normal idnticos a los resultados analticos. La deformacin de corte, slo representa la mitad de su valor y mostrando el inverso aditivo, dadas las convecciones de signo. Este valor negativo representa una disminucin del ngulo recto para esta orientacin.

- 33 -


EJEMPLO DE APLICACIN 2 Comprobar que el valor de la deformacin volumtrica e = X + Y + Z

Tomando en cuenta el cuerpo deformado de Figura 5, se tiene que

V = (X + X)(Y + Y)(Z + Z) V = XYZ

Considerando las relaciones mostradas en Ecuaciones 1 - 3. El cambio de volumen V V puede escribirse como:

V V = (X + X)(Y + Y)(Z + Z) - XYZ

V V = (X + XX)(Y + YY)(Z + ZZ) - XYZ

V V = X(1 + X) Y(1 + Y) Z(1 + Z) - XYZ

V V = XYZ[(1 + X)(1 + Y)(1 + Z) 1]

Realizando ahora la divisin por el valor inicial de volumen V, de forma de obtener el valor de e, resulta:

e = (1 + X)(1 + Y)(1 + Z) 1

e = 1 + Y + X + XY + Z + YZ + XZ + XYZ 1 Tomando en cuenta que los valores de las deformaciones normales son lo suficientemente pequeas como para despreciar sus productos, finalmente queda:

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EJEMPLO DE APLICACIN 3 Las componentes de desplazamiento, definidas de forma continua y tridimensional, pueden ser representadas mediante las siguientes funciones:

u = 3x + 2y 4z v = 2x 5z

w = 4x 3y + 4z

1. Determine los valores de todas las componentes de deformacin para los ejes coordenados.

2. Es adecuado utilizar este modelo matemtico para describir los desplazamientos ocurridos en el cuerpo?. Apoye su respuesta de forma matemtica y fundamentada.

Solucin

Respuesta 1: Las componentes de deformacin son 6, y son determinadas directamente de la solucin de Ecuaciones 1-6. De esta forma, se tiene:

X 3 Y 0 Z 4 XY -4YZ 8 ZX 0

Respuesta 2: Las componentes de deformacin son vlidas siempre que ellas generan desplazamientos continuos, esto quiere decir, que no provoquen separaciones entre pequeos elementos del cuerpo en anlisis (Definicin de continuo). La forma matemtica de respaldar esta base es mediante las denominadas ecuaciones de compatibilidad, Ecuaciones 19 24. La solucin de estas ecuaciones, para este caso en particular, resulta simplemente en equivalencias de ceros, dadas las funciones que definen los desplazamientos. De esta forma, las ecuaciones de compatibilidad son cumplidas, y las expresiones utilizadas para definir los desplazamientos, y las componentes de deformacin obtenidas, son vlidas.

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CAPTULO 4: TEORA DE ELASTICIDAD

1 GENERALIDADES La teora de elasticidad se basa en cuerpos que pueden considerarse continuos y homogneos, que satisfacen la ley de Hooke, son istropos y por otro lado, muestran una elasticidad perfecta.

2 RELACIONES ESFUERZO UNIAXIAL DEFORMACIN Si sobre un cuerpo tridimensional se aplica un esfuerzo axial compresivo (Figura 1), en la direccin de aplicacin del eje existir una deformacin normal positiva, esto es, un acortamiento, mientras que en las otras dos direcciones ortogonales, existir un alargamiento. Las expresiones que relacionan los efectos descritos, se muestran a continuacin:

Ecuacin 1

Ecuacin 2

Ecuacin 3

En las expresiones descritas recientemente, se aprecian los valores de E y , estos valores son mdulos elsticos denominados mdulo de Young y razn de Poisson respectivamente.

Figura 1

2.1 MDULO DE YOUNG Como se aprecia en Ecuacin 1, el mdulo de Young puede ser definido como la pendiente de la curva Esfuerzo Deformacin. Debido a que esta relacin no es siempre lineal, se definen tres mdulos de Young, basados en el valor de la resistencia a la compresin uniaxial (UCS):

Mdulo medio Em: Pendiente de la recta para valores ubicados entre un 25%UCS 75%UCS.

Mdulo tangente Et: Pendiente de la recta para UCS/2.

Mdulo secante Es: Pendiente de la recta para la linealizacin entre valores de

entre 0 y UCS.

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2.2 RAZN DE POISSON La razn de poisson , es la divisin entre los valores de la deformacin en una direccin ortogonal a la aplicacin de la carga y la deformacin axial (paralela a ). Debido a que en la direccin axial existe un acortamiento y en los planos ortogonales un alargamiento, la ecuacin lleva un signo negativo. De todas formas, este valor es corregido en el tramo elstico de la curva esfuerzo deformacin, es decir 25%UCS 75%UCS.

3 RELACIONES ESFUERZO TRIAXIAL DEFORMACIN

3.1 LEY DE HOOKE Conocido el tensor de esfuerzos XYZ, los valores de las seis componentes de deformacin en los ejes coordenados, pueden ser determinados a partir de la Ley de Hooke en tres dimensiones.

Ecuacin 4

Ecuacin 5

Ecuacin 6

Ecuacin 7

Ecuacin 8

Ecuacin 9

Figura 2

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3.2 MDULO DE RGIDEZ G El valor de G es conocido como el mdulo de rigidez o corte (shear), y puede ser obtenido mediante la relacin:

Ecuacin 10

3.3 CAMBIO UNITARIO DE VOLUMEN Su puede mostrar que el valor del cambio de volumen respecto del valor inicial, debido a la accin triaxial de un campo de esfuerzos es e = X + Y + Z. Otra relacin para obtener el valor de e, es en base al primer invariante de esfuerzos I1 y los mdulos elsticos obtenidos en base a ensayos compresivos uniaxiales.

Ecuacin 11

3.4 MDULO DE COMPRESIBILIDAD K Bajo un campo de presiones hidrosttico, el mdulo de compresibilidad K (Bulk), puede ser obtenido mediante la siguiente expresin:

Ecuacin 12

3.5 CONSTANTE DE LAMM Este valor () es igual a la expresin:

Ecuacin 13

- 38 -


EJEMPLO DE APLICACIN 1 Se ha realizado un ensayo de compresin uniaxial sobre una probeta de roca, de forma que el comportamiento hasta la falla se resume en Tabla 1.

Tabla 1

Hora Def Axial Def Diam Esfuerzo (Mpa)

14:03 0,000000 0,000003 0,00 14:03 0,000122 -0,000019 2,26 14:04 0,000406 -0,000076 9,62 14:04 0,000832 -0,000173 19,81 14:05 0,001371 -0,000310 33,97 14:05 0,001626 -0,000377 40,20 14:06 0,001887 -0,000448 46,42 14:06 0,002116 -0,000515 52,65 14:07 0,002470 -0,000625 61,71 14:07 0,002728 -0,000709 69,64 14:08 0,003188 -0,000871 79,83 14:08 0,003420 -0,000957 85,49 14:09 0,003880 -0,001110 96,81 14:09 0,004200 -0,001067 103,60

A partir de los resultados obtenidos, se pide estimar y calcular: 1. Resistencia a la compresin uniaxial, UCS o ci 2. Mdulo de Young medio, Em 3. Mdulo de Young tangente, Et 4. Mdulo de Young secante, Es 5. Razn de Poisson, 6. Mdulo de rigidez, G Solucin 1. Dado que el resumen del ensayo muestra datos del comportamiento mecnico

que tiene la probeta hasta el momento de la falla, el valor de la resistencia a la compresin uniaxial o UCS corresponde al mximo valor de esfuerzo registrado, es decir 103,60 Mpa

2. El mdulo medio, es calculado para el tramo elstico de la curva -, esto es,

aproximadamente entre un 25% 75% de la resistencia a la compresin uniaxial. De esta forma, se linealiza la curva para este rango, obteniendo:

Tabla 2

Hora Def Axial Def Diam Esfuerzo (Mpa) 14:04 0,000832 -0,000173 19,81 14:05 0,001371 -0,000310 33,97 14:05 0,001626 -0,000377 40,20 14:06 0,001887 -0,000448 46,42 14:06 0,002116 -0,000515 52,65 14:07 0,002470 -0,000625 61,71 14:07 0,002728 -0,000709 69,64

- 39 -


Mdulo medio

y = 25947x - 1,9559R2 = 0,9992

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0,000000 0,000500 0,001000 0,001500 0,002000 0,002500 0,003000

Figura 3

As, el resultado obtenido para Em corresponde a 24.947 Mpa. 3. Para el mdulo tangente se utilizan los rangos medios de los valores de la

curva esfuerzo deformacin. De esta forma: Et = (52,65 46,42) / (0,002116 0,001887) = 27.194 MPa 4. El mdulo secante, resulta de calcular la pendiente de la curva - corregida a

lo largo de todos los valores registrados hasta la falla. De esta forma:

Mdulo secantey = 25069x - 0,4338

R2 = 0,9996

0

20

40

60

80

100

120

0,000000 0,000500 0,001000 0,001500 0,002000 0,002500 0,003000 0,003500 0,004000 0,004500

Figura 4

Es = 25.069 MPa 5. La razn de poisson se evala dentro del tramo elstico, As:

Tabla 3 Def Axial Def Diam -d / a 0,000832 -0,000173 0,207932690,001371 -0,000310 0,226112330,001626 -0,000377 0,231857320,001887 -0,000448 0,237413880,002116 -0,000515 0,243383740,002470 -0,000625 0,253036440,002728 -0,000709 0,25989736

0,23709054

6. El mdulo de rigidez se calcula segn lo expuesto en Ecuacin 10

- 40 -


EJEMPLO DE APLICACIN 2 Sobre el elemento de roca caracterizado mecnicamente en ejemplo de aplicacin 1, se aplicar el siguiente estado tensional

10 0 0 xyz 0 10 0

0 0 10 Se requiere determinar: 1. Las 6 componentes de deformacin que experimentar el cuerpo 2. Cambio volumtrico unitario, e 3. El mdulo de compresibilidad, K 4. La constante de Lamm, . Solucin Como se puede apreciar, el estado tensional aplicado corresponde a un campo de presiones hidrosttico. Por lo que las soluciones para los problemas propuestos se simplifican bastante: 1. X = Y = Z = . Por lo que:

X = Y = Z = (1-2/E) = 0,00020265

X = Y = Z = 0 2. e = X + Y + Z = 0,00060795 3. Evaluar Ecuacin 12, para calcular el mdulo de expansin volumtrica, resulta

idntico a realizar la razn /e. De esta forma, K = 10/0,00020265 = 16.448 MPa.

4. Evaluando Ecuacin 13, resulta un valor de igual a 9.457 MPa

- 41 -


CAPTULO 5: SOLUCIONES CLSICAS EN ELASTICIDAD

1 SOLUCIN ELSTICA DE KIRSCH

Figura 1

Donde: r, y r : Estado tensional inducido. : Medido desde la horizontal y en sentido antihorario positivo. Define la

orientacin del punto sobre el cual se desea conocer el estado tensional inducido.

a : Radio de la excavacin. r : Distancia a la cual se desea conocer el estado tensional inducido. x, y : Estado tensional in situ. Esta solucin permite conocer el estado tensional inducido (r, y r) a una distancia r (medida desde el centro de la circunferencia) por el efecto de realizar una excavacin circular de radio a (considerada de largo semi infinito), conocido el estadio tensional pre minera (x y y). Las ecuaciones para obtener los valores de los esfuerzos inducidos son los siguientes

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Ecuacin 1

Ecuacin 2

Ecuacin 3

Los desplazamientos ur y v provocados por la accin de los esfuerzos inducidos son:

Ecuacin 4

Ecuacin 5

- 43 -


2 CILINDRO DE PARED GRUESA

Figura 2

Donde: po : Presin externa a la que est sometida la excavacin. pi : Presin interna a la que est sujeta el cilindro de pared gruesa b : Radio de la excavacin. a : Radio interno, que define el borde de la pared gruesa b-a : Espesor elstico de la pared gruesa Se asume un campo de esfuerzos hidrosttico (po) alrededor de la excavacin. Al igual que en la solucin de Kirsch, se pueden obtener los esfuerzos inducidos r, y r, a una distancia r del centro del cilindro, mediante las siguientes ecuaciones:

Ecuacin 6

Ecuacin 7

Ecuacin 8

El desplazamiento radial generado en el cilindro de pared gruesa

Ecuacin 9

- 44 -


EJEMPLO DE APLICACIN 1 Se desea realizar una excavacin circular de radio 2 m a una profundidad de 400 m. La excavacin se realizar en una andesita primaria, la cual posee las siguientes propiedades.

Tabla 1 Parmetro Valor

ci 120 MPa GSI 55 - 65 Em 23.000 MPa 2,78 ton/m3 0.,25

Considere, para efectos de clculo, que el macizo rocoso se comporta de manera isotrpica y elstica, y que el largo de la excavacin, es el suficiente como para ser considerado semi infinito, y que el macizo se comporta bajo un campo hidrosttico de presiones. Se requiere determinar el radio de influencia de la excavacin: Solucin La excavacin influir hasta que los valores de los esfuerzos inducidos, sean similares a los valores del estado pre minera: Estado tensional: Campo hidrosttico: y = x = i

y = gh = h Ecuacin 10

y = 2.780 Kg/m3*9,8 m/s2*400 m

y = 10,9 MPa = x =

Luego, se comprueban los valores de los esfuerzos inducidos a distintas distancias r, y se comparan estos valores con los obtenidos para el estado in situ. Se puede notar que para un campo de presiones hidrosttico, los esfuerzos de corte inducidos son 0 para cualquier orientacin. Por otro lado, se aprecia que los esfuerzos radiales y tangenciales inducidos, son independientes de la orientacin. De esta forma, se obtienen los valores para los esfuerzos inducidos a distintas distancias r (Tabla 2). Se observa (Figura 2) que aproximadamente a partir de la razn r/a = 6 la curva de estabilizacin de esfuerzos (esfuerzo inducido / esfuerzo in situ) se vuelve asinttica. De esta forma, se puede establecer que una excavacin circular, provoca efectos en el estado tensional hasta una distancia r aproximadamente:

r < 6a

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Tabla 2

(MPa) a (m) r (m) r (MPa) (MPa) r / / r / a 10,9 2 2 0,00 21,80 0,00 2,00 1,00 10,9 2 3 6,06 15,74 0,56 1,44 1,50 10,9 2 4 8,18 13,63 0,75 1,25 2,00 10,9 2 5 9,16 12,64 0,84 1,16 2,50 10,9 2 6 9,69 12,11 0,89 1,11 3,00 10,9 2 7 10,01 11,79 0,92 1,08 3,50 10,9 2 8 10,22 11,58 0,94 1,06 4,00 10,9 2 9 10,36 11,44 0,95 1,05 4,50 10,9 2 10 10,46 11,34 0,96 1,04 5,00 10,9 2 11 10,54 11,26 0,97 1,03 5,50 10,9 2 12 10,60 11,20 0,97 1,03 6,00 10,9 2 13 10,64 11,16 0,98 1,02 6,50 10,9 2 14 10,68 11,12 0,98 1,02 7,00 10,9 2 15 10,71 11,09 0,98 1,02 7,50 10,9 2 16 10,73 11,07 0,98 1,02 8,00 10,9 2 17 10,75 11,05 0,99 1,01 8,50 10,9 2 18 10,77 11,03 0,99 1,01 9,00 10,9 2 19 10,78 11,02 0,99 1,01 9,50 10,9 2 20 10,79 11,01 0,99 1,01 10,00 10,9 2 21 10,80 11,00 0,99 1,01 10,50 10,9 2 22 10,81 10,99 0,99 1,01 11,00 10,9 2 23 10,82 10,98 0,99 1,01 11,50 10,9 2 24 10,82 10,98 0,99 1,01 12,00

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

/

r /

Figura 3

- 46 -


EJEMPLO DE APLICACIN 2 La figura muestra la ubicacin de dos piques de dimetro cuatro metros cada uno, los cuales se desean excavar en una riolita bastante competente, la que posee una resistencia a la compresin no confinada para la roca intacta de 117 MPa y una densidad de 2,8 ton/m3. El estado tensional pre minera es tal que el esfuerzo principal menor es igual al esfuerzo vertical, el cual est definido por la carga litosttica. El esfuerzo principal intermedio es horizontal, acta en direccin norte, y est definido por una razn de esfuerzos = 1,2. Finalmente, el esfuerzo principal mayor tambin es horizontal, acta en direccin este, y est definido por una razn de esfuerzos = 1,5. Se desea determinar el estado tensional inducido, producido por realizar ambas excavaciones en el punto A. Suponga el anlisis a 200 m de profundidad.

Figura 4

Solucin: Estado tensional: Interesa conocer los esfuerzos E y N, los cuales corresponden a x y y respectivamente. De esta forma:

V = 3 = gh = h = 5,48 MPa

= H / VEcuacin 11

- 47 -


Por lo que:

1 = E = 1,5V = 8,23 MPa2 = N = 1,2V = 6,59 MPa

Esfuerzos inducidos: Excavacin 1:

INPUT OUTPUT X Y r a r r

8,23 6,59 7 2 0 7,37 7,18 0 Se puede apreciar que para esta orientacin, los esfuerzos inducidos r y para el ngulo , corresponden a X y Y respectivamente. Figura 5 Excavacin 2:

NPUT OUTPUT X Y r a r r

8,23 6,59 7,43 2 -114 6,47 8,50 -0,69 En esta ocasin, los valores de esfuerzos obtenidos se encuentran en una orientacin distinta de los ejes coordenados X e Y, por lo que para poder conocer el efecto combinado de las excavaciones, se debe conocer los esfuerzos inducidos por la excavacin 2, pero en trminos de X y Y. Para esto, se utilizan las siguientes ecuaciones:

)2()2cos(

22 xysenyxyx +++=

Figura 6 ( ) )2()2cos(22

90 xysenyxyx +=+

)2(2

)2cos( senyxxy =

- 48 -


Para las cuales: = r = 6,47 ( + 90) = = 8,50 = r = -0,69 = 66 Esta solucin, arroja los siguientes resultados:

X 8,67 Y 6,29 XY -0,29

Principio de superposicin: Para evaluar los efectos en un mismo punto de realizar una serie de excavaciones, se deben obtener los efectos que provoca cada una en la misma orientacin (es conveniente en X e Y) y luego sumar al estado in situ inicial las diferencias entre el estado in situ y el inducido por cada excavacin (Ecuacin 6 )

Ecuacin 12

Para el ejemplo anterior:

X = 8,23 + (8,23 7,37) + (8,23 8,67) = 10,14 MPa Y = 6,59 + (6,59 7,18) + (6,59 6,29) = 6,30 MPa

XY = 0 + (0 - 0) + (0 (-0,29)) = 0,29 Mpa

- 49 -


EJEMPLO DE APLICACIN 3 Considere un tnel de seccin circular de radio igual a 2 m, el cual contiene un anillo de hormign en su contorno (resistencia a la compresin hormign igual a 30 MPa). El cilindro ser construido a una profundidad de 100 m, medidos desde la superficie del terreno. El campo de esfuerzos se puede considerar como hidrosttico y el esfuerzo vertical est definido por la carga litosttica. La roca en la que ser realizada la excavacin tiene las siguientes propiedades: E = 25.000 MPa, = 0,20 y una densidad de 3,0 ton/m3. Se pide determinar el espesor de la pared de hormign, para tener un factor de seguridad de 1,5. Solucin: Lo primero es conocer el estado tensional po que acta inicialmente en el contorno de la excavacin:

V = po = gh = 3,09,8100 = 2,94 MPa

Debido a que no existe presin interna, el valor de pi es igual a 0. Luego, se evalan los esfuerzos inducidos en el borde de la pared gruesa (r = a), arrojando los siguientes resultados:

Entonces el esfuerzo aplicado sobre el hormign es igual a . Se debe conocer la distancia b-a, la cual define el espesor de la pared gruesa, en este caso de hormign. Para esto, se define la idea de factor de seguridad. Un factor de seguridad, es la razn entre la resistencia que presenta un material, y la solicitacin o aplicacin de esfuerzos a la que se ver sometido. Claramente, si los esfuerzos aplicados son menores a los que resiste este elemento, el factor de seguridad ser mayor a 1, por lo que el elemento, en teora, no debe fallar. De todas formas, cuando se trabaja en roca, existe una incertidumbre asociada al tipo de material relacionado con la actividad minera, por lo que se suele definir un factor de seguridad mayor a 1. Generalmente se utilizan valores iguales a 1,3 o 1,5.

Luego, FS = (resistido/aplicado) = 1,5

Luego, el esfuerzo aplicado corresponde a , el esfuerzo resistido corresponde a la resistencia a la compresin del hormign, igual a 30 Mpa, por lo que:

Resolviendo la ecuacin, se tiene:

- 50 -


5,88b2 = 20b2 20a2

0 = 14,12b2 20a2

0 = 14,12(b2/a2) 20

20/14,12 = b2/a2

1,416 = b2/a2

1,19 = b/a

a = 2/1,19

a = 1,68

Luego, dado que el espesor de la capa de hormign es de b a = 2 1,68 = 0,32 m. se concluye que para obtener un factor de seguridad de 1,5, la excavacin cilndrica debe tener una capa de hormign de 32 cm.

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CAPTULO 6: CRITERIOS DE FALLA

1 APLICABILIDAD CRITERIOS DE FALLA

Tabla 1 Roca intacta Discontinuidades Macizo rocoso

Hoek & Brown Si No Si Mohr - Coulomb Si Si Si Barton - Bandis No Si No

2 ROCA INTACTA Los parmetros que definen la resistencia y deformabilidad son obtenidos a travs de ensayos de laboratorio. De esta forma:

Tabla 2 Ensayo Parmetros obtenidos Diagrama

Compresin No-Confinada

Resistencia a la compresin No-Confinada (UCS), mdulos de deformabilidad (E y )

Traccin directa e indirecta

Resistencia a la traccin

Compresin Confinada Envolventes de falla

2.1 MOHR COULOMB La envolvente de falla se genera a partir de una serie de ensayos triaxiales, en los cuales el esfuerzo de confinamiento (3) es constante para cada ensayo. Se aplica un esfuerzo axial (1) hasta que se produce la falla. Los parmetros que caracterizan a este criterio son: cohesin (c) y ngulo de friccin interna (). Un ejemplo se muestra en Tabla 3.

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Tabla 3

3 (MPa) 1 (MPa)0,0 38,3 5,0 72,4 7,5 80,5

15,0 115,6 20,0 134,3

En el plano ,, se puede representar cada uno de estos ensayos mediante Semi-Crculos de Mohr, ya que estos son simtricos (Figura 1). Debido a que cada uno de estos ensayos representa la resistencia a la compresin axial que tiene la roca, bajo distintos esfuerzos de confinamiento, al trazar una recta tangente a estos crculos de Mohr, se obtiene la envolvente de falla deseada (Ecuacin 1). Por otro lado, esta envolvente se puede representar en trminos de los esfuerzos principales 1 y 3 (Ecuacin 2). Se puede observar que ambas envolventes son funcin de la cohesin (c) y el ngulo de friccin ().

Figura 1

Ecuacin 1

Ecuacin 2

La Ecuacin 2, puede resolverse convenientemente, de forma de despejar 1 en funcin de 3, de esta forma:

Ecuacin 3

,

Ecuacin 4

El problema con esta metodologa es que se sobreestima el valor de la resistencia cohesiva c, por lo que al valor obtenido, se le suele reducir en un 25%.

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2.1.1 Efecto del agua Muchas rocas exhiben una baja en la resistencia, debido al incremento en el contenido de humedad, y el consiguiente deterioro qumico . Es por esta razn, que los ensayos de laboratorio, deberan realizarse para especimenes que contengan exactamente el mismo contenido de humedad que en terreno. Un efecto an ms importante, es la reduccin en la resistencia mecnica, debido al efecto de la presin de poros (pw). Terzaghi, formul el concepto de esfuerzo efectivo , igualndolo al esfuerzo aplicado , menos la presin de poros pw.

= pwEcuacin 5

En la expresin anterior; , corresponde al esfuerzo efectivo, el cual controla la resistencia y deformabilidad del material; , es el esfuerzo total aplicado al espcimen; y pw, es la presin de poros ejercida por el agua. En el plano , esto se puede observar grficamente. Figura 2, muestra un material caracterizado por los parmetros c y , el cual se encuentra sometido a un estado tensional inicial descrito por el Circulo de Mohr de color rojo. Como se observa, en ningn punto ocurre la interseccin del crculo con la envolvente de Mohr Coulomb, por lo que el material no falla. Si se toma en cuenta la presin de poros, se aprecia un desplazamiento en el crculo de Mohr, por lo que el nuevo estado tensional (Crculo de Mohr azul), define una zona de falla, la cual se muestra achurada para un estado tensional aplicado a ciertos planos particulares.

Figura 2

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2.2 HOEK & BROWN Esta envolvente resulta de los mismos datos en el plano 1, 3, y tiene la forma que se observa en Ecuacin 6.

Ecuacin 6

Con ci : Resistencia a la compresin uniaxial para roca intacta. a : 0,5 para roca intacta. mi, s : Constantes del material, s = 1 para roca intacta. A partir de la serie de ensayos obtenidos, los datos pueden ser linealizados, obteniendo los valores de ci y mi, tal como se muestra en Ecuaciones 7 y 8.

Ecuacin 7

Ecuacin 8

Por otro lado, el coeficiente de correlacin r2, est determinado por

Ecuacin 9

En donde y = (1 - 3)2 x = 3 n = nmero de ensayos Otra forma de obtener los parmetros ci y mi, es mediante el algoritmo de Marquardt-Levenberg, el cual est dentro del sistema de Roclab (rocscience) y sirve para realizar estimaciones para funciones no lineales. Es por esta razn, que si se ingresa una serie de ensayos triaxiales a Roclab, y se comparan con la anterior metodologa, existe una leve diferencia en los resultados. Esto se mostrar posteriormente con un ejemplo.

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3 RESISTENCIA AL CORTE DE ESTRUCTURAS

3.1 ESTRUCTURAS PLANAS Para el clculo de la resistencia de este tipo de estructuras, se utiliza el criterio de Mohr Coulomb. La resistencia al corte , es funcin del esfuerzo normal n, (Figura 3). De esta manera, se grafican los esfuerzos de corte en funcin de los desplazamientos provocados (Figura 4). Obteniendo las curvas que se aprecian en Figura 5.

Figura 3 Se pueden distinguir dos condiciones. La condicin peak (antes de la falla), y la condicin residual (post falla). Los criterios que definen la falla para ambos casos se muestran en Ecuaciones 10 y 11

Ecuacin 10

Ecuacin 11

Donde:

Figura 4 MAX : Esfuerzo de corte mximo N : Esfuerzo normal : ngulo de friccin c : Cohesin RES : ngulo de friccin residual cRES : Cohesin residual

Figura 5

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3.2 ESTRUCTURAS RUGOSAS Para el clculo de la resistencia de este tipo de estructuras, Patton (1966) realiz una modificacin al criterio de Mohr Coulomb, considerando un ngulo denominado dilatancia (i), por el efecto de la rugosidad de las estructuras (Figura 6). El criterio de falla queda entonces definido para las condiciones peak y residual, segn las ecuaciones que se muestran en Figura 7.

Figura 6

Figura 7

3.2.1 Criterio de falla de Barton Bandis Est definido por la siguiente expresin

Ecuacin 12

Donde: MAX : Esfuerzo de corte mximo. N : Esfuerzo normal. b : ngulo de friccin bsico de la roca de caja de la estructura. JRC : Coeficiente de rugosidad de la estructura. JCS : Resistencia a la compresin uniaxial de la roca que forma la rugosidad de la

estructura.

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4 MACIZO ROCOSO Para obtener las propiedades que definen mecnicamente al macizo rocoso, se extrapolan las propiedades obtenidas a nivel de roca intacta, en base a adecuados factores de escalamiento, los cuales deben tomar en cuenta el patrn estructural existente, y por otro lado, las condiciones bajo las cuales el macizo rocoso ser excavado.

4.1 HOEK & BROWN (2002) Inicialmente (1980), ste criterio de falla consideraba como factor de escalamiento el ndice de calidad geotcnica RMRB, pero en 1995, los autores propusieron un nuevo sistema de clasificacin, denominado GSI.

B

Clasificacin GSI (Geological Strength Index): Tal como su nombre lo indica, este ndice entrega informacin del macizo rocoso que es estrictamente geolgica. Esta guarda directa relacin con el patrn estructural existente, considerando, por una parte, el grado de fracturamiento, asignando mayor puntaje a macizos rocosos menos diaclasados; y por otra, a la condicin de las discontinuidades, dando un mayor rating a macizos que presentan estructuras que son ms rugosas y menos alteradas por efectos de la intemperizacin. Los valores del ndice fluctan en el rango de 0 a 100 puntos, an cuando materiales poco competentes, considerados casi como suelos, tienen puntajes cercanos a 25.

De todas maneras, la aplicacin propuesta por Hoek et al debe ser realizada con precaucin, y analizando si las condiciones in situ son compatibles con aquellas bajo las cuales el criterio de falla se ha construido. Estas condiciones principalmente tienen que ver con: El volumen del macizo rocoso a caracterizar. El criterio fue diseado en macizos rocosos fracturados, por lo que la extensin de las estructuras es algo que se debe considerar, tomando en cuenta el punto sealado anteriormente. Por otro lado, actualmente el criterio de falla de Hoek & Brown (2002 Edition) considera otro ndice de calidad del macizo rocoso, el cual implica un grado de perturbacin en este, debido al efecto de la tronadura. Este ndice es denotado con la letra D y su rango de valores flucta entre 0 y 1, para macizos sin perturbacin, a macizos muy perturbados, respectivamente. Este parmetro toma en cuenta principalmente dos consecuencias de la excavacin en roca:

1. Desconfinamiento: Cuando un macizo rocoso es excavado, adyacente a la pared de la galera o al talud que se modific (an cuando la excavacin sea hecha por otro mtodo que no sea tronadura) se produce un desconfinamiento, por lo que el macizo tender a la dilatacin y a una expansin volumtrica. Esto influye de manera notoria en la resistencia del macizo rocoso, ya que en los cuales existen varios conjuntos estructurales, la resistencia depende directamente del espaciamiento que existe entre ellos (es decir, de los trozos de roca intacta).

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2. Dao por tronadura: El dao por tronadura provoca una baja de la resistencia del macizo rocoso debido a la creacin de nuevas fracturas y la dilatacin y abertura de fracturas preexistentes ocasionada por la penetracin de gases explosivos.

El criterio generalizado de Hoek & Brown, es similar al que se muestra en Ecuacin 6, pero con las constantes a, s y mb, expresadas como funcin de los ndices GSI y D. De la siguiente forma:

Ecuacin 13

Con :

Ecuacin 14

Ecuacin 15

Ecuacin 16

Resistencia a la compresin uniaxial del macizo rocoso Al igual que para roca intacta, este parmetro se puede obtener haciendo 0 3 en Ecuacin 13, resultando

Ecuacin 17

Sin embargo, los autores han considerado que este valor es representativo y til para el modo de propagacin de la falla en una excavacin, y en ciertas ocasiones, resulta ms favorable obtener este valor en trminos del comportamiento general del macizo en anlisis, tal como un pilar por ejemplo. De esta forma, se propone la siguiente ecuacin, la cual es funcin de los valores obtenidos en Ecuaciones 14, 15 y 16.

Ecuacin 18

Resistencia a la traccin del macizo rocoso Est dada por:

Ecuacin 19

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Mdulo de deformabilidad del macizo rocoso Est dado por:

Ecuacin 20

4.2 MOHR - COULOMB Los parmetros obtenidos para esta envolvente, son estimados en base a los de Hoek & Brown, tal cual como se realiza a nivel de roca intacta, pero linealizando dentro del periodo t < 3 < 3max (Figura 8). Este ltimo valor, depende del grado de confinamiento, asociado al tipo de minera. De esta forma, los parmetros de Mohr Coulomb, para macizo rocoso, son:

Ecuacin 21

Con :

Ecuacin 22

Figura 8

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Determinacin de 3max

Como se mencion anteriormente, el valor de 3max depende del grado de confinamiento existente, asociado al tipo de minera. Es por esto, que se realiza una distincin en su clculo, dependiendo si la aplicacin es subterrnea o superficial. De esta forma, este parmetro se determina a partir de Ecuacin 23.

Ecuacin 23

En ambas ecuaciones, el trmino H representa el esfuerzo vertical. Este valor debe ser substituido por el esfuerzo horizontal, en caso de que este ltimo, sea mayor que el debido a la carga litosttica. De todas formas, si la aplicacin es general, el valor de 3max es igual a un cuarto de la resistencia a la compresin uniaxial para la roca intacta.

Ecuacin 24

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EJEMPLO DE APLICACIN 1 En un macizo rocoso de mediana competencia, se pretende realizar una nueva fase de un talud que tiene 150 m de altura con un ngulo de talud global de 50. Considerando la superposicin de todos los eventos geolgicos sucedidos en el yacimiento, se puede clasificar el macizo rocoso bajo solo una unidad geotcnica, denominada andesita cuarzo serictica primaria. Por otro lado, la Superintendencia de Geologa Mina ha desarrollado un mapeo estructural del macizo, resultando tres sistemas estructurales ortogonales entre s, con un FF medio de 14 fracturas por metro, para cada uno, y manteando dos de ellos de forma sub-vertical y el otro sub-horizontal. La condicin general de las discontinuidades es levemente rugosa y ligeramente alterada. Ensayos de laboratorio triaxiales para la unidad geotcnica, han entregado como resultado los siguientes valores de resistencia a la compresin axial para distintos esfuerzos de confinamiento.

Tabla 4

3 (MPa) 1 (MPa)0,0 92,6 2,5 107,8 5,0 123,4 7,5 145,7

10,0 168,2 Por otro lado, la tronadura que se aplica ha sido bastante controlada, con detonadores electrnicos y lneas de precorte para evitar un sobredao, producto de las vibraciones al macizo rocoso. Se requiere determinar:

Tabla 5 ROCA INTACTA MACIZO ROCOSO

Envolvente de Hoek & Brown Envolvente de Hoek & Brown Envolvente de Mohr Coulomb Envolvente de Mohr Coulomb

Modulo de deformabilidad E

ROCA INTACTA

Envolvente de Hoek & Brown Tabla 6

x = 3 1 y = (1 - 3)2 xy x2 y2 0,0 92,6 8.574,8 0,0 0,0 73.526.509,1 2,5 107,8 11.088,1 27.720,2 6,3 122.945.739,8 5,0 123,4 14.018,6 70.092,8 25,0 196.520.024,5 7,5 145,7 19.099,2 143.244,3 56,3 364.780.968,6 10,0 168,2 25.027,2 250.272,4 100,0 626.362.742,0

25,0 637,7 77.807,9 491.329,7 187,5 1.384.135.984,0

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Tabla 7

H & B 1997 (linealizacin) Roclab (H & B Algoritmo Marquardt-Levenberg)

2002 ci

(MPa) 85,8974 89,448

mi 19,0535 16,131 r2 0,966 ----

En lo que sigue, se validarn los resultados obtenidos en la primera columna. La envolvente de Hoek & Brown resulta:

Envolvente de Mohr Coulomb Una tendencia lineal de los ensayos en el plano 1,3, arroja los siguientes resultados.

y = 7,564x + 89,72 Con un r2 = 0,9904. Esta ecuacin es equivalente a Ecuacin 4, por lo que el valor de K en tal ecuacin es igual a 7,564. A partir de este nmero y la equivalencia con Ecuacin 3, se obtiene el valor de de la siguiente forma:

Ecuacin 25

El valor de c, se obtiene substituyendo el valor de en el primer trmino de la derecha de Ecuacin 3, el cual se debe igualar a 85,8974. Este resultado (16,31 MPa), es reducido en un 25%, obteniendo:

Tabla 8 c75% (MPa) 12,23

() 50,04

Figura 9

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MACIZO ROCOSO

Hoek & Brown Con la informacin entregada, se han seleccionado como parmetros GSI y D, los siguientes valores respectivamente: 55 - 65; 0,7. De esta forma, las envolventes de falla para macizo rocoso son:

Mohr Coulomb Para la obtencin de este valor se ha utilizado como datos para 3max los valores extremos 3,2667 - 3,3568 Mpa (dependiendo del ndice GSI), el cual resulta de la aplicacin taludes, una altura de 150 m, y un peso unitario de la roca de 0,027 MN/m3. De esta forma, los parmetros de Mohr Coulomb para macizo rocoso son:

Tabla 9 c (MPa) () GSI = 55 1,209 45,81GSI = 65 1,622 49,90

Mdulo de deformabilidad del macizo rocoso Em Teniendo en cuenta, que el valor de ci es menor a 100, este parmetro resulta:

Tabla 10 Em (MPa) GSI = 55 7.991,40 GSI = 65 14.210,94

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EJEMPLO DE APLICACIN 2 Se ha realizado un ensayo de corte directo sobre una estructura relativamente plana y sin relleno. Los resultados del ensayo se presentan en Tabla 11. El esfuerzo normal promedio durante la ejecucin del ensayo fue de 200 KPa. El ensayo se realiz completamente, hasta alcanzar la condicin de resistencia residual.

Tabla 11: Resultados Ensayo Corte Directo

Se requiere:

1. Graficar la curva esfuerzo deformacin asociada a la estructura 2. Determine los parmetros de resistencia peak y residual de la estructura

ensayada. Solucin

1.

Figura 10: Solucin parte 1

CURVA ESFUERZO DE CORTE DESPLAZAMIENTO

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25DEFORMACIN POR CORTE (mm)

ES

FUE

RZO

DE

CO

RTE

(KP

a)

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2. Dado que la estructura es relativamente plana y sin relleno, la cohesin tanto peak como residual, puede ser considerada como 0. Por otro lado, los parmetros que determinan la resistencia deben ser graficados en el plano . De esta forma, se generan las rectas que se observan en Figura 11:

Figura 11

y = 0,895x

y = 1,205x

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250

ESFUERZO NORMAL (KPa)

ES

FUE

RZO

DE

CO

RTE

(KP

a)

PEAKRESIDUALLineal (RESIDUAL)Lineal (PEAK)

De esta forma, los parmetros que definen la resistencia son:

Tabla 12 PEAK RESIDUAL

c (KPa) 0 0 f () 50,3 41,8

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CAPTULO 7: APLICACIONES CRITERIOS DE FALLA

1 GENERALIDADES Los criterios de falla establecen los parmetros lmites de resistencia para un material en particular. Lo que sigue, es establecer qu solicitaciones mecnicas se realizan sobre tal material y compararlas con las arrojadas por el criterio de falla. De esta forma, se define un factor de seguridad. El factor de seguridad, es la razn entre la resistencia que presenta un material, y la solicitacin o aplicacin de esfuerzos a la que se ver sometido. Claramente, si los esfuerzos aplicados son menores a los que resiste este elemento, el factor de seguridad ser mayor a 1, por lo que el elemento, en teora, no debe fallar. De todas formas, cuando se trabaja en roca, existe una incertidumbre asociada al tipo de material relacionado con la actividad minera, por lo que se suele definir un factor de seguridad mayor a 1. Generalmente se utilizan valores iguales a 1,3 o 1,5. Luego,

FS = (resistido/aplicado)

Ecuacin 1

2 EFECTOS DE PLANOS DE DEBILIDAD SOBRE DISTRIBUCIONES ELSTICAS DE ESFUERZOS

Para diseos de excavaciones subterrneas en donde existe la marcada existencia de un plano de debilidad que debe ser incluido dentro del anlisis (falla, estructuras mayores, diques, etc.), se puede asumir que la resistencia del plano de debilidad est dada por el criterio de falla de Mohr Coulomb (Ecuacin 2) y verificar mediante alguna solucin elstica clsica los esfuerzos normales y de corte inducidos por la excavacin. As, y conociendo los parmetros de resistencia del plano de debilidad (c y ). El factor de seguridad es calculado mediante Ecuacin 3.

Ecuacin 2

Ecuacin 3

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3 DELINACIN DE ZONAS DE FALLA EN ROCA Una buena forma para delimitar las zonas de falla, est basada en los bacos diseados por Hoek (Figura 1), en los cuales se muestra primero, la forma de la excavacin. Luego, a travs de lneas segmentadas y continuas, los valores de 3/Z y 1/Z, respectivamente (equiespaciadas, similares a las curvas de nivel topogrficas). Finalmente, en un recuadro inferior existe una proporcin con el estado tensional actuante en el macizo rocoso. La metodologa consiste en analizar una interseccin de lneas para valores de 3/Z y 1/Z. A partir de esta interseccin, corroborar la falla mediante el criterio de Hoek & Brown, utilizando la misma definicin de factor de seguridad (Ecuacin 4).

Ecuacin 4

De esta forma, se construye una tabla que permita analizar para cada interseccin de lneas si la falla se produce o no, y as, determinar la delineacin de la falla en roca, aceptar o rechazar y cambiar el diseo.

Figura 1

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EJEMPLO DE APLICACIN 1 Figura 2, muestra la seccin transversal de un diseo de excavacin circular de largo que puede ser considerado semiinfinito, el cual desea ser implementado bajo su supervisin. Geologa ha identificado la presencia de una falla, cuya geometra se aprecia en la figura, la cual presenta un relleno arcilloso bastante compacto y con en el contacto de sus paredes rugoso (se puede asumir c = 1 MPa). Por otro lado, el roce entre las paredes puede ser definido mediante un coeficiente de roce igual a 0,577. El estado tensional est definido por un esfuerzo vertical igual a 10 MPa y uno horizontal igual a 5 MPa. Se pide a usted determinar el mximo esfuerzo de corte generado sobre la falla luego del desarrollo de la excavacin y determinar si la distribucin elstica de esfuerzos ser estable, de forma de aceptar o rechazar el diseo.

Figura 2

Solucin Debido a que se requieren evaluar los esfuerzos inducidos de una excavacin circular de largo semiinfinito, se utilizar la solucin elstica de Kirsch para observar tales efectos. Se variar el ngulo y la distancia r hasta interceptar la falla. Los resultados obtenidos se muestran en Tabla 1, y se observan grficamente en Figura 3. Se aprecia que la distancia r es slo calculable para valores de r que se encuentran entre los -45 y los 135. Para el desarrollo se han generado valores espaciados cada 10.

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Tabla 1

INPUT OUTPUT X Y a r r (MPa) (MPa) r (MPa)

5 MPa 10 MPa 4 m 37,60 m 125 6,60 8,44 -2,40 5 MPa 10 MPa 4 m 19,78 m 115 5,84 9,42 -2,06 5 MPa 10 MPa 4 m 13,70 m 105 5,39 10,35 -1,44 5 MPa 10 MPa 4 m 10,73 m 95 5,22 11,15 -0,53 5 MPa 10 MPa 4 m 9,04 m 85 5,21 11,71 0,55 5 MPa 10 MPa 4 m 8,02 m 75 6,14 6,77 1,64 5 MPa 10 MPa 4 m 7,42 m 65 5,50 7,65 2,54 5 MPa 10 MPa 4 m 7,09 m 55 5,16 8,76 3,13 5 MPa 10 MPa 4 m 7,00 m 45 5,05 9,95 3,33 5 MPa 10 MPa 4 m 7,09 m 35 5,09 11,00 3,13 5 MPa 10 MPa 4 m 7,42 m 25 5,17 11,69 2,54 5 MPa 10 MPa 4 m 8,02 m 15 5,22 11,93 1,64 5 MPa 10 MPa 4 m 9,04 m 5 5,21 11,71 0,55 5 MPa 10 MPa 4 m 10,73 m -5 5,22 11,15 -0,53 5 MPa 10 MPa 4 m 13,70 m -15 5,39 10,35 -1,44 5 MPa 10 MPa 4 m 19,78 m -25 5,84 9,42 -2,06 5 MPa 10 MPa 4 m 37,60 m -35 6,60 8,44 -2,40

Variacin de esfuerzos de corte

-3-2-101234125

115105

95

85

75

65

554535

25

15

5

-5

-15

-25-35

Figura 3

Se aprecia que el valor mximo inducido de esfuerzo de corte se produce para un ngulo de 45, esto es, a la distancia ms cercana entre el centro de la excavacin y la falla geolgica, alcanzando un valor de 3,33 MPa. Para evaluar la seguridad del diseo, se toma en consideracin el mximo esfuerzo de corte y el valor del esfuerzo normal provocado sobre la falla geolgica, en este caso, correspondiente al esfuerzo radial inducido. Los parmetros de resistencia del plano de debilidad son c = 1 MPa y = tg-1() = 30

Por lo tanto, bajo un anlisis determinstico y con un criterio de aceptabilidad de FS > 1, la estructura geolgica no sufrir falla.

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EJEMPLO DE APLICACIN 2 Considerar una excavacin circular ubicada a 200 m de profundidad, que se desea excavar en una andesita secundaria de regular calidad geotcnica, la cual presenta una resistencia a la compresin uniaxial para la roca intacta de 100 MPa, un peso unitario de 0,0027 MN/m3 y un ndice geolgico de resistencia igual a 45. Considerar un factor de perturbacin a la roca debido a tronadura y desconfinamiento, igual a 0,3. El estado tensional en el sector de la excavacin es tal que el esfuerzo vertical es igual a 24 MPa, y el esfuerzo horizontal en la seccin transversal de la excavacin es igual a 38 MPa. Se requiere delimitar la zona de falla alrededor de la excavacin, si es que esta existe. Solucin Estado tensional

V = 24 MPa H = 38 MPa

= H / V = 1,58

Envolvente de falla para el macizo rocoso El macizo rocoso se caracterizar mediante H&B, extrapolando los valores de roca intacta. Se utiliza criterio de falla de H&B, edicin 2002.

INPUT ROCA INTACTA FACTORES DE ESCALAMIENTO OUTPUT MACIZO ROCOSOci mi (Andesita) GSI D mb s a

100 MPa 25 45 0,3 2,479 0,0011 0,508 De esta forma, la falla a la compresin axial (1) queda definida para distintos valores de confinamiento (3), mediante la siguiente expresin:

Para analizar la falla, se utiliza el baco que se muestra en pgina siguiente. Se puede apreciar que en el recuadro inferior derecho, el estado tensional no es proporcional al aplicado, pero si se toma el baco de forma horizontal, se cumple aproximadamente la razn de esfuerzos (la cual es en realidad 1,58), y dado que la geometra de la excavacin no cambia al realizar esta rotacin, es vlido utilizar ste baco.

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Se confecciona entonces la siguiente tabla, obteniendo los contornos delimitados que se muestran en Figura 4

Tabla 2 1APL/Z 1APL 3APL/Z 3APL 1RES FS = 1RES/1APL

1,50 36,00 0,30 7,20 49,00 1,36 1,60 38,40 0,30 7,20 49,00 1,28 1,70 40,80 0,30 7,20 49,00 1,20 1,80 43,20 0,30 7,20 49,00 1,13 1,90 45,60 0,30 7,20 49,00 1,07 2,00 48,00 0,30 7,20 49,00 1,02 1,50 36,00 0,25 6,00 44,13 1,23 1,60 38,40 0,25 6,00 44,13 1,15 1,70 40,80 0,25 6,00 44,13 1,08 1,80 43,20 0,25 6,00 44,13 1,02 1,90 45,60 0,25 6,00 44,13 0,97 2,00 48,00 0,25 6,00 44,13 0,92 1,90 45,60 0,20 4,80 38,87 0,85 2,00 48,00 0,20 4,80 38,87 0,81 1,80 43,20 0,20 4,80 38,87 0,90 1,90 45,60 0,15 3,60 33,08 0,73 1,80 43,20 0,15 3,60 33,08 0,77 1,70 40,80 0,15 3,60 33,08 0,81 1,60 38,40 0,15 3,60 33,08 0,86 1,50 36,00 0,15 3,60 33,08 0,92 1,40 33,60 0,15 3,60 33,08 0,98 1,30 31,20 0,15 3,60 33,08 1,06 1,40 33,60 0,10 2,40 26,47 0,79 1,30 31,20 0,10 2,40 26,47 0,85 1,20 28,80 0,10 2,40 26,47 0,92 1,10 26,40 0,10 2,40 26,47 1,00 1,50 36,00 0,10 2,40 26,47 0,74 2,00 48,00 0,10 2,40 26,47 0,55 0,70 16,80 0,05 1,20 18,28 1,09 0,80 19,20 0,05 1,20 18,28 0,95 0,90 21,60 0,05 1,20 18,28 0,85 1,00 24,00 0,05 1,20 18,28 0,76 1,10 26,40 0,05 1,20 18,28 0,69 0,80 19,20 0,00 0,00 3,14 0,16 0,70 16,80 0,00 0,00 3,14 0,19 0,60 14,40 0,00 0,00 3,14 0,22

De esta forma, se delimitan los contornos, se puede apreciar que la seccin de la excavacin es completamente simtrica, por lo que basta establecer la regin de falla para slo uno de los cuatro cuadrantes y mediante operadores de simetra, aplicarlos al resto de los cuadrantes.

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Figura 4: Regin de falla, la mitad inferior es simtrica a la zona delimitada superiormente

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CAPTULO 8: CLASIFICACIN DE MACIZOS ROCOSOS

1 GENERALIDADES La clasificacin del macizo rocoso, es una importante gua para caracterizar mecnicamente a ste volumen mayor de roca; ya que dada la poca viabilidad de realizar ensayos a gran escala que permitan determinar estos parmetros, los distintos sistemas de clasificacin constituyen el factor de escalamiento apropiado para extrapolar las propiedades desde ensayos de laboratorio en roca intacta.

PROP. MACIZO ROCOSO = FACTOR DE ESCALA PROP. DE ROCA INTACTA

La mayora de los sistemas de clasificacin, basan su determinacin en las propiedades de la roca intacta (principalmente la resistencia a la compresin uniaxial) y la cantidad y condicin de las discontinuidades.

2 ALGUNOS FACTORES DE ESCALA

RQD FF RMR (Bieniawski) RMR (Laubscher) Q GSI D

3 RQD

Figura 10

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4 SISTEMA DE CLASIFICACIN RMR BIENIAWSKI (1989)

Tabla 1: Sistema de Clasificacin RMR Bieniawski (1989)

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5 SISTEMA DE CLASIFICACIN RMR BIENIAWSKI (1976)

Tabla 2: Sistema de clasificacin RMR Bieniawski (1976)

6 GEOLOGICAL STRENGTH INDEX (GSI)

Tabla 3: GSI: Hoek, Kaiser & Bawden (1995)

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7 SISTEMA DE CLASIFICACIN RMR LAUBSCHER (1996)

Tabla 4: Sistema de clasificacin RMR Laubscher (1996)

El ndice RMR de Laubscher es bastante til para definir sistemas de fortificacin y por otro lado, condiciones de estabilidad o hundimiento basados en la geometra de una sector a hundir o de un casern en particular. De esta manera, se define un ndice denominado MRMR (RMR Modificado), el cual toma en cuenta 4 factores de ajuste: Debido a intemperizacin, debido a orientacin de las estructuras, debido a tronadura y debido a humedad.

Ecuacin 1

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Tabla 5: Factores de ajuste por intemperizacin

Tabla 6: Factores de ajuste por orientacin de las estructuras

Tabla 7: Factores de ajuste por tipo de tronadura

Tabla 8: Factores de ajuste por aguas

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Luego, las zonas de estabilidad, transicin o hundimiento, pueden ser definidas mediante el siguiente baco, el cual es funcin del radio hidrulico de la excavacin:

Figura 2: baco de Laubscher

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8 INDICE DE CALIDAD TUNELERA Q BARTON (1974) Este ndice se basa en una serie de casos histricos registrados para variadas actividades tanto civiles como mineras. Depende de seis parmetros, RQD, Jn, Jr, Ja, Jw y SRF. Sus valores fluctan entre 0,001 y 1.000 en una escala logartmica.

Ecuacin 2

Donde: RQD : ndice del grado de fracturamiento (Rock Quality Designation). Jn : ndice de diaclasamiento. Jr : ndice de rugosidad de las discontinuidades. Ja : ndice de alteracin de la discontinuidad. Jw : Factor de reduccin por la presencia de agua. SRF : Factor de reduccin de esfuerzos.

Tabla 9: RQD

Tabla 10: Jn

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geotecnia - copia

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