Marzo 2008 48De la existencia de los matemticosVladislav V. Kravchenko** Doctor en Ciencias con especialidad en Matemticas. Acadmico e investigador del Departamento deMatemticas del Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados (Cinvestav), Unidad Quertaro, delInstituto Politcnico Nacional. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) Nivel III.A mathematician is a device for turning coffee into theorems. 1- Paul Erds68-26/2/081:18 PMPage 48IPN Donde la ciencia se convierte en cultura 49Sherlock Holmes y doctor Watson viajaron en globo, perdieron la nocin de suorientacin y no saban sobre qu lugar estaban. As que cuando de repente elglobo baj y ellos vieron a unseor bastante pensativo, de inmediato le pre-guntarondndeseencontraban.Elhombrelosobservdetenidamenteycontest: en un globo. En ese momento el viento sopl y el globo subi mucho msalto,asqueelhombredesaparecidelavista.SherlockHolmesledijoentoncesaldoctor Watson: Sabe, mi querido Watson, cul es la profesin del seor con el cualnos encontramos hace rato? Por supuesto que no, mi estimado Holmes, y me sorprendera mucho si usted ancontodoelpoderdesumtododeductivofueracapazdedecirmeculeslaocu-pacin de esta persona. El caballero con quien nos encontramos es un matemtico. Pero Holmes, increble cmo lleg a tal conclusin? Es tan sencillo, Watson, quin ms sera capaz de darnos una respuesta absoluta-mente exacta y absolutamente intil.Esta ancdota junto con el epgrafe del presente artculo representa tan solo una muestradel humor de los matemticos, quienes generalmente se pintan como personas secas, sinunsentidodehumor,interesadossolamenteensusfrmulasyecuacionesnadamslejosdelarealidad.Unabuenaancdotaounchistememorablesonlosquenecesaria-mentecontienenalgunaideaquesorprende,algngirorepentinodelafbula,algosingular.Estossonlosatributosdeunbuentrabajoenmatemticas,poresoentrelosmatemticosnoesfcilencontraraunosinunexcelentesentidodehumor,aunqueestaafirmacin claramente contradice a uno de los estereotipos que rodean a los matemticos.LA PROCESIN SE EXPANDELos artculos que tratan temas de las matemticas modernas no son huspedes frecuentesenrevistasdedivulgacincientfica.A diferenciadeotrascienciascomolaFsicaolaBiologa, la explicacin de un concepto puede requerir mucho ms que el nivel de prepara-toria o incluso licenciatura. Usualmente es mucho ms difcil limitarse a los paisajes que seabren a travs de las ventanas del sentido comn y de la experiencia cotidiana. Los singu-laresanimalesquehabitanlasvastasplaniciesdelasteorasmatemticas,noseparecenmucho a las formas de vida en base a las leyes de la Fsica y a la Tabla Peridica de losElementos. Lo que sirve como una perfecta demostracin de la validez de una teora fsi-ca o qumica, como puede serlo un experimento, usualmente es de muy poco valor en eledn matemtico. Un hecho en matemticas se considera como tal, s y slo s la cadenalgica que lleva desde los principios bsicos hasta la formulacin precisa del hecho es per-fecta. Cada eslabn de la cadena se deduce de los anteriores.Las experiencias traumticas y aversin de la mayora de las personas que estudiaronmatemticasenalgnniveldelaeducacin,garantizanquealgomscomplejoqueunejercicio en un peridico de cmo mover dos fsforos para convertir "el nmero cinco enun diez", llama muy poco la atencin. Los traumas mentales sufridos sistemticamente enlasclasesdematemticaselementalesanivelprimariaysecundaria,sonproductotantodel sistema que incluye libros de texto metodolgicamente ingenuos, maestros matemti-camentetraumados,aburridsimosejerciciosengrandescantidadesymuypocasideasbellas que de hecho son la esencia de las matemticas de verdad. Desafortunadamente elconceptodelaluzalfinaldelcaminoencuestionesdelaeducacinysobretododelaeducacin matemtica, es poco aplicable. La luz debe acompaar al caminante por las tie-rras de la lgica y de la armona desde el inicio. De lo contrario es poco probable que al-gn da sentir lo bello que es una teora matemtica.68-26/2/081:18 PMPage 49Marzo 2008 50El famoso matemtico Hugo Steinhaus escribi hace exactamente 50 aos: Entre nuestroscontemporneoshaypersonascuyosconocimientosenmatemticascorrespondenaunapocamsantiguaquelaspirmidesegipcias,ysonlaabrumadoramayora.Losconocimientos matemticos de una parte despreciable de la humanidad alcanzan la pocade siglos medievales, mientras el nivel de las matemticas del siglo XVIII no lo alcanza niuna persona en un millar. Resulta que deseando convertir a un hombre primitivo en unmatemtico, no podemos contar con la evolucin. El cerebro humano no se puede recons-truirporartedemagia.ParaconvertirauncaverncolaenunPascaltenemosqueguiargeneracintrasgeneracinporunespinosocaminoquenoesposibleacortar.Enlasmatemticas no existe un camino de reyes,decan los antiguos. Pero la distancia en-trelosquecaminanenlavanguardiaylasinmensasmasasaumenta,laprocesinseexpande y los que caminan adelante se alejan cada vez ms y ms. Ellos desaparecen en elhorizonte,losconocenmuypocos,deellossecuentanlasmsasombrosashistorias.Incluso hay quienes simplemente no creen en su existencia.Todo esto hace que las matemticas visiten los medios de divulgacin cientfica, en for-ma de rompecabezas y otros pasatiempos2, los cuales desde luego no tienen nada que vercon la actualidad en las matemticas. Este hecho refleja el grave problema en la difusinde los acontecimientos recientes en las matemticas y poca preparacin de los lectores engeneral. CONTADURA O DEPORTEPienso que la mayora de las personas cree tener una idea bastante realista de cmo es eltrabajo de un bilogo o un qumico. La situacin es similar al caso de la fsica experimen-tal. Respecto al trabajo cotidiano de un fsico terico, no cabe duda que el porcentaje de laspersonas que efectivamente pueden presumir tener una idea cercana a la realidad es con-siderablemente menor y sin embargo, la imagen de los cientficos que tratan de descifrarlosresultadosobtenidosporlosexperimentadoresyproponernuevasleyesdelanatu-ralezaestbastantedifundida.Peroyquesloquehaceunmatemtico?Existendosrespuestascomunes.Laprimera,losmatemticossonpersonasquesabencontarmuybienyentoncessutrabajoesalgocomolacontaduraavanzada.Lasegundarespuesta,-la cual por cierto me gusta un poco ms porque revela el hecho de que los concursos yolimpiadasdeestudiantesalcanzanunaciertafama-representaeltrabajodelosmatemticos como una especie de deporte. Los matemticos se juntan en sus congresos ytalleres para competir en la solucin de problemas propuestos y evaluados por un jurado,reciben medallas y diplomas y al regresar a sus universidades ensean a los alumnos losdistintos mtodos para resolver esos problemas olmpicos, es decir ensean las matemti-cassuperiores.Desdeluegoningunadeestasrespuestastienesentido,perocabemencionar que, incluso la gente que admite la existencia de los matemticos, usualmentequedasorprendidaalenterarsedelaexistenciadelainvestigacinenmatemticas.Enefecto,noesfcilimaginarquelasuperioridaddelascomputadorasantelossereshu-manos (incluyendo a los matemticos) en tareas de clculo no llev a la extincin total delos matemticos. Adems, como ya se toman prcticamente todas las derivadas y hasta lasintegrales se evalan con el uso de las tcnicas que se ensean en cualquier curso de cl-culo,lajustaimpresinquesetieneesqueenmatemticasyatodoesthechoydesgraciadamente, incluso en los cursos de matemticas de las carreras tcnicas, esta im-presinsolosefortalece,losmaestrosnotienentiemponipreparacinparadiscutirproblemas abiertos, o simplemente algo ms reciente que los resultados matemticos delsiglo XVIII. Por desgracia lo del siglo XVIII no es ninguna exageracin. Qu es lo que estu-dian los alumnos de ingeniera en sus ltimos semestres de matemticas (usualmente enelsegundooterceraodelacarrera)?ElautordelasseriesydelatransformadadeFourier, el matemtico francs Jean Baptiste Joseph Fourier, vivi a finales del siglo XVIII,principios del siglo XIX; Pierre-Simon, marqus de Laplace cuya transformada y ecuacinse aprenden en el tercer o cuarto semestre por los alumnos de carreras tcnicas, naci en 1749y muri en 1827. Las funciones de una variable compleja al nivel que se estudia en las carrerasdeingenieraeinclusomuchomsprofundo,yalasmanejabaelgranLeonhardEuler(1707 -1783). Hay solo algunos tpicos que corresponden a las matemticas del siglo XIX,68-26/2/081:18 PMPage 50IPN Donde la ciencia se convierte en cultura 51como la convergencia de las series de potencias, pero cuantos estudiantes realmente en-tienden el porqu de la convergencia uniforme? Los mencionados no son temas obsoletos,al contrario, son de enorme importancia, pero apenas representan la mera orilla del ocanode las matemticas modernas. La mayor parte de las matemticas fue creada en el siglo XXy en nuestro siglo la velocidad de esta creacin va en aumento. Surgen nuevas disciplinasmatemticascomoindiciodenuestracomprensinmsprofundadelosfenmenosmatemticosdescubiertosycomorespuestaalasnecesidadesmsvariadasdelaFsica,Ingeniera, Biologa y otras tantas ciencias.MATH INSIDEParaquelagenteengeneraltengamayorconocimientoyconcienciadelpapeldelasmatemticas en la civilizacin actual, el famoso divulgador de las matemticas y excelentematemtico Ian Stewart, propuso utilizar una idea similar a la de la empresa Intel. ComoseguramentelohannotadoloslectoresdeConversus,enlascom-putadorasconelprocesadordeestamarcahayunaetiquetapegada que dice: Intel inside. I. Stewart propone las etiquetas Mathinside en los productos cuya creacin sera imposible sin una bue-nadosisdematemticas.Elnicoproblemaesquehabrapocascosas sin las etiquetas. Yo incluso preferira una clasificacin msfina.Porejemplo,Complexanalysisinside oNumbertheoryinside.Pero el problema mas difcil de resolver sera que en muchos pro-ductosdeberanpegarsedemasiadasetiquetas.Porejemplo,unequipo de telecomunicaciones, como un telfono mvil o un tele-visordigital,deberadeestarcubiertoconetiquetas:Harmonicanalysisinside,Probabilitytheoryinside,Partialdifferentialequationsinside y muchas otras ms. Adems en esas etiquetas valdra la pe-na agregar: Hecho en Princeton o Hecho en la Universidad deMosc,pero,entendemosquecubriruntelfonocelularcontantas etiquetas no lo hara ms funcional y desde luego los fsicos,qumicos, ingenieros y otros especialistas tendran que agregar suspropiasetiquetas.Porlotanto,unasolucinviableparabuscarunamejorcomprensinporpartedelagentedeloqueeseltra-bajo de los matemticos y su importancia, no es por medio de lasetiquetas,sinoatravsdecambiosprofundosenlaeducacinmatemtica,eneldesarrollodelainvestigacinyenladivul-gacin de los ltimos avances.LA GENEALOGA Y ESCUELAS CIENTFICASUnaeducacindecalidadesimposiblesinlainvestigacinynosetratasolodelaeducacinsuperior,sinodetodoslosniveleseduca-tivos.Ascomoesdifcilimaginarlapreparacindejugadoresdeftbol de clase mundial en un pas sin una liga importante y compe-titiva, ni sin una seleccin que se respete, es todava mucho ms dif-cillograrcrearunsistemadeeducacincompetitivoenunpassintradiciones en la investigacin. En matemticas es ms importante, talvez ms an que en otras ciencias, el concepto de la escuela cientfica.Darunadefinicinprecisadeesteconceptonoesnadafcilporqueexistenejemplosmuydistintos.Sinembargo,lomsusualesquealrededordeunoovariosinvestigadoresfuertessejuntensusdis-cpulos cientficos, se organicen uno o varios seminarios regulares enloscualeslosinvestigadoresdelmismogrupo o de universidades,o inclusopa-ses diferentes presenten sus resultados re-cientes,discutenlasposiblesdireccionesdel desarrollo de su rea de investigacin,empiecennuevosproyectos,organicenGENEALOGIA DE LOS MATEMATICOSEuler engendr a LagrangeLagrange engendr a FourierFourier engendr a DirichletDirichlet engendr a LipschitzLipschitz engendr aKlein...68-26/2/081:18 PMPage 51Marzo 2008 52congresos y otros eventos acadmicos. Alumnos interesados se involucran muy tempranoen el trabajo de investigacin. Los seminarios sirven como un elemento de orientacin, deerudicin, como un temple imprescindible.Tal esquema es casi universal y existe con distintas variaciones, la esencia de una es-cuela cientfica persiste en todos los pases lderes en las matemticas al menos desde laAntigua Grecia. No es casual que son matemticos los primeros y hasta ahora los nicosencrearelasllamado genealogyproject(visitehttp://www.genealogy.math.-ndsu.nodak.edu/),unenormerbolgenealgicomundialdelosmatemticosdondesepuedeencontrarlainformacinsobrequinfueelalumnodequin.Losmatemticosusualmente preguntan: Quin fue tu asesor?- ya que es una informacin ms impor-tante que saber, por ejemplo, cul fue la Universidad donde se defendi la tesis doctoral.Esta tradicin de las escuelas cientficas a pesar de las dificultades conocidas, visiblementese est creando en Mxico y representa una slida base para que se desarrollen tanto la in-vestigacin en matemticas como la educacin en todos los niveles educativos.Otraherramientainteresantequesepusoenprcticarecientementeporla AmericanMathematical Society, demuestra que a pesar de que las matemticas son tradicionalmenteuna actividad creativa mayormente individual, los matemticos estiman mucho la colabo-racinconloscolegas.Setratadelmedidordeladistanciaentrecolaboradores.Sielmatemtico A publicuntrabajoenconjuntoconelmatemticoB,entoncesladistanciaentre ellos es 1. Si el mismo B public un trabajo con el matemtico C y el A no tiene tra-bajos conjuntos con el C entonces la distancia entre el A y C es 2 y as sucesivamente. Deesta manera se puede medir la distancia incluso entre los matemticos de distintas pocas.QUIN QUIERE SER MATEMTICO?Un hecho sorprendente es que a pesar de todos los fallos del sistema educativo, siempreexistenpersonasenamoradasdelasmatemticas.Usualmentetalespersonaspuedenrecordar al menos un maestro quin logr despertar su inters por las matemticas. Muya menudo el problema es que este inters no se traduce en la eleccin de una carrera co-rrespondiente. Muchos ni se enteran que existe tal profesin como un matemtico o msbien, la asocian con una persona que ensea matemticas en algn nivel educativo y no seimaginanqueunmatemticoesantesquenadaunapersonaquehaceinvestigacinenmatemticas y que no todo est hecho en el campo de las matemticas, sino al contrario,hay muchos mundos por descubrir. La reina de las ciencias, como muy a menudo se refierea las matemticas3,difiere de la mayora de las actividades humanas. Por ejemplo, la can-tidad de trabajo no tiene relacin directa con la cantidad de resultados, como tampoco latiene el seguimiento de un plan de trabajo, algo difcil de explicar a las autoridades quienestratan de aplicar las leyes de la mecnica (la cantidad de trabajo entre el tiempo es la po-tencia)alapoesadelacreacinmatemtica.Elnmerodepublicacionesenrevistasimportantes, el parmetro ms significativo para evaluar el trabajo de los investigadores,tampoco es un indicador realmente valioso en las matemticas. Por ejemplo, el antes men-cionado Grigori Perelman podra tener serios problemas para entrar al Sistema Nacionalde Investigadores, ya que el par de artculos que representaron un avance decisivo en unaamplia rea de las matemticas, dieron la solucin a la famosa hiptesis de Poincar y porloscualeslefueotorgadaaG.PerelmanlamedallaFields4,nohansidopublicadosenninguna revista, sino simplemente subidos a Internet en el sitio www.arxiv.org.La ventaja que tiene un matemtico en comparacin con otros cientficos, es que no necesita unlaboratorio lleno de costoso equipo, ni animales para experimentos, ni tampoco expediciones a lu-gares remotos. Con el acceso a una buena biblioteca, con una computadora y sobre todo con un buenambiente de trabajo, lo cual bsicamente significa la riqueza de la vida acadmica, es ms que sufi-ciente para el desarrollo de la investigacin en matemticas.LO BELLO ES TILHay quienes piensan que en realidad las matemticas no deben ser consideradas como unaciencia, sino ms bien como una especie de arte. La razn es que el primer criterio de eva-luacin de un trabajo matemtico es su belleza intrnseca, la cual bastante a menudo puedeserapreciadapormuypocoscolegasenelmundo.Lacomponenteartsticaenlas68-26/2/081:18 PMPage 52IPN Donde la ciencia se convierte en cultura 53matemticasdesdeluegoesdegranimportancia.Lasimplicidadylabellezasonguasmsfidedignosenelmundodelasmatemticas.Sinembargo,elmayormilagrodelasmatemticas es su utilidad, es decir su lado cientfico. Lo bello de las matemticas es quesin una razn aparente o por lo menos comprendida, resultan ser de enorme importanciaen el mundo real. Lo que inventan los matemticos siguiendo su propia lgica y guindosesolamenteporsucriteriodearmonaysentidocomn,resultaseridealmenteadecuadopara describir y estudiar el mundo fsico que nos rodea. Incluso las teoras matemticas delas cuales se piensa que nunca tendran aplicacin alguna, de repente resultan ser crucialespara el desarrollo de alguna rea de la ciencia aplicada o de la tecnologa. Una ancdotaquemegustamuchoreferir,representanlaspalabrasdelfamosomatemticoinglsGodfrey Harold Hardy, quin en su librito Apologa de un matemtico de 1940, dio un ejem-plo de una disciplina matemtica que jams tendra una aplicacin. Segn l la teora denmeros,siendolareinadelasmatemticas,nuncaseusaraparaalgoaplicable;pocosaos despus, en la poca que sigui a la Segunda Guerra Mundial, el desarrollo de la crip-tografasehizoabsolutamenteinimaginablesinelusodeestateora.Actualmentelaseguridaddenuestrascomunicacionesatravsdelosmedioselectrnicosdependeengran medida del desarrollo de la teora de nmeros.CIENCIA PER CPITAEn conclusin, algunas ideas sobre la relacin entre la ciencia y la sociedad. Por default sereconoce que la ciencia, antes que nada, debe ser til para la sociedad y an ms, debe ser econmi-camente viable. Nos presentan datos que correlacionan la cantidad de cientficos y la solidez de laeconoma, la cantidad de patentes registradas y el nivel de vida de los habitantes. Son datosimportantes que sin lugar a duda deben servir al desarrollo de la ciencia. Sin embargo, in-dependientemente de esta lgica de la economa preguntmonos qu es en lo que esencialmentediferimos de otras especies del reino animal? Como nosotros, los animales consiguen comida, se re-producen, viven y mueren, sin embargo, a diferencia de ellos, con lo que contamos los seres humanoses con la ciencia y las artes y, probablemente, son las nicas creaciones de la humanidad quetal vez puedan justificar el dao que le estamos haciendo al planeta con nuestra existencia; no laeconoma, ni el consumo, ni el comercio, ni la industria por muy avanzada que estas sean. Lo nicoque de verdad nos relaciona con el universo es la creacin de la mente y del alma humana, la cienciay las artes. En resumen, no es que la ciencia sea para la economa, sino la economa es para la ciencia.REFERENCIAS1. G H Hardy Apologa de un matemtico. Editorial Nivola. 2000.2. I James Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge University Press. 2003.3. I Stewart Letters to a Young Mathematician. Perseus Books Group. 2006.4. M B W Tent Prince of Mathematics: Carl Friedrich Gauss. AK Peters Ltd. 2006.5. V S Varadarajan Euler Through Time: ANew Look at Old Themes. American Mathematical Society. 2006.1Un matemtico es un dispositivo para convertir caf en teoremas.2Las excepciones son escasas y a menudo estn relacionadas con alguna situacin escandalosa, comopor ejemplo, cuando el matemtico ruso Grigori Perelman (quin realiz histricas contribuciones ala geometra riemanniana y a la topologa geomtrica) declin la Medalla Fields que es ampliamenteconsideradacomoelmayorhonorquepuederecibirunmatemtico,mismaquelehabasidootorgada por "sus contribuciones a la geometra y sus ideas revolucionarias en la estructura analticay geomtrica del flujo de Ricci".3Al parecer fue el gran Carl Friedrich Gauss quien acu este nombre. 4Relativamente pocos saben de la existencia de este reconocimiento en el mundo de los matemticos,quienes no tienen su Premio Nbel. Un dato curioso que refleja esta ignorancia puede representarlolaedicinespaoladellibrodeDavidWellsElcuriosomundodelasmatemticas publicadoenBarcelona por la editorial Gedisa en 2000. En la pgina 229 se citan las palabras de: William Thurston,medallistadecampos en1990,locualrepresentaunlastimosoerrordeltraductor,yaquelaexpresin original Fields medalist implica Fields como un apellido! Imagnense que el futbolista JorgeCampos se presentara al pblico de habla inglesa como George Fields o el escritor mexicano CarlosFuentes como Charles Sources.68-26/2/081:18 PMPage 53