deformacion en vigas (1)

8/13/2019 Deformacion en Vigas (1)

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DEFORMACIONES EN VIGAS

Estructura II

EST 2-01

Julio/2000

Arqto. Vernica Veas B.Arqto. Jing Chang Lou.


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MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 3

MORFOLOGA ESTRUCTURAL

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I.- INTRODUCCION

El anlisis estructural de las vigas suele dividirse en vigasisostticas e hiperestticas. Recordemos que esta divisincorresponde a las condiciones de apoyo que presente elelemento a analizar Si la viga tiene un nmero igual oinferior a tres incgnitas en sus reacciones, bastar conaplicar las condiciones de equilibrio esttico pararesolverla.

Fx = 0 Fy = 0 M = 0

Si en cambio, la viga presenta un mayor nmero deincgnitas, no bastar con las ecuaciones antes indicadas,sino que ser necesario incorporar nuevas expresiones.

Para abordar el anlisis de las vigas hiperestticas oestticamente indeterminadas resulta necesario analizarlas deformaciones que experimentar la viga, luego de sercargada. Las distintas cargas sobre la viga generantensiones de corte y flexin en la barra, y a su vez la hacendeformarse. El anlisis de las deformaciones tienebsicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtenernuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nospermitan resolver las incgnitas en vigas hiperestticas. Ypor otra parte, las deformaciones en s, deben serlimitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo,pueden quedar correctamente diseados por resistencia,

vale decir, no se rompern bajo la carga, pero podrndeformarse ms all de lo deseable, lo que llevara consigoel colapso de elementos de terminacin como cielos falsoso ventanales. No resulta extrao entonces que muchosdimensionamientos queden determinados por la deformaciny no por la resistencia.


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II.- DEFORMACION EN VIGAS

1.- LINEA ELASTICA o ELASTICA

Denominaremos lnea elstica a la curva que forma la fibraneutra una vez cargada la viga, considerando que sta seencontraba inicialmente recta.

2.- SUPUESTOS BASE.

Para establecer una serie de relaciones al interior de laseccin, indicamos que se trata de una viga, cuyo materialse encuentra solicitado dentro del rango deproporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y endonde se admite la conservacin de las caras planas. Dichoen otra forma, donde se cumplen la ley de Hooke y lahiptesis de Bernouilli-Navier.

a.- LEY DE HOOKE.

Establece que la relacin entre la tensin y la deformacinunitaria es una constante y se denomina mdulo deelasticidad.

1. =E

E = Elasticidad (kg/cm2). = Tensin (kg/cm2)e = Deformacin Unitaria

o expresado de otra forma:

= E e

b.- DEDUCCION DE LA FORMULA DE FLEXION

De la deduccin realizada para dimensionar elementossometidos a la flexin simple sabemos que:

2. ? IMV

= = Tensin (kg/cm2)M = Momento flector (kg.cm).V = Distancia desde la fibra neutra a la fibra ms

traccionada o ms comprimida. (cm).I = Inercia (cm4).

Si igualamos las expresiones1. y 2. tenemos que:


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IMVE = o

3. EIMV

= c.- ANALISIS DE LA SECCION

La seccin cctt, inicialmente recta, se curva con un radioR como indica el grfico.

La fibra cc se acorta a cc.La fibra tt se alarga a tt, yLa fibra nn permanece del mismo largo.

Por tringulos semejantes non y tnt obtenemos

4. == RVdsds ??(Deformacin unitaria)

El arco es igual al producto del ngulo por el radio.

ds = d R o

5. dsd

RI =

Igualando las ecuaciones 3. con 4., obtenemos:

EIMV

RV

= /:V

o EIM

R1 =

Reemplazamos en la ecuacin 5.

dsd

EIM

RI ==

EIds.Md =

Como nos estamos refiriendo a una seccin infinitamentepequea, la diferencia entre un arco y su proyeccinhorizontal es mnima: ds dx

La expresin final indica que la curvatura de la lneaelstica es una variable proporcional al momento flector .

EIdx.Md =


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3.- METODOS DE CALCULO

Existen diferentes mtodos para abordar el anlisis de lasdeformaciones en las vigas:

Mtodo de rea de Momentos.Mtodo de Doble Integracin.Mtodo de la Viga Conjugada.

Si bien, todos presentan su mecnica propia, a la veztienen una partida comn, que es justamente el anlisis dela elstica expuesto anteriormente.

A travs de ellos buscaremos determinar el ngulo decurvatura de la lnea elstica y sus deflexiones o flechas.Cada mtodo tiene ventajas o desventajas dependiendo dela viga a analizar.

3.a.-METODO DE AREA DE MOMENTOS

La deduccin del captulo anterior establece que lacurvatura de la lnea elstica est en funcin del momentoflector de la viga. Si analizamos la relacin de los ngulosen el siguiente grfico tenemos que:

Los tringulos rectngulos OAE y OBC formanrespectivamente en E y C un ngulo de 90-d, por lo tantolos tringulos rectngulo ACD y BED necesariamente debeformar en D el ngulo d. De esta forma, tambin podemosreferirnos a d, como el ngulo que forman las tangentes a

dos puntos de la lnea elstica y establecer nuevasrelaciones.


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PRIMER TEOREMA DE MOHR

El ngulo entre las tangentes trazadas a la elstica en dospuntos cualquiera A y B, es igual al rea de momento

flector entre esos dos puntos, dividido por EI.

EI1

AB = Area entre A y B

o ==B

A

B

AAB MdxEI

1dEI1

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

La distancia desde un punto B de la elstica de una viga,medida perpendicularmente a la posicin original hasta latangente trazada por otro punto A de la elstica, es igual almomento del rea de momento flector entre los dospuntos, respecto a la ordenada que pasa por B, dividido porEI. Esta distancia la denominaremos desviacin tangencial.

dt = x d (grfico superior)

==A

B

A

BBA d.xEI

1dtEI1t

=

A

BBA dx.M.x

EI

1t

x..AreaEI1t ABBA =


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EJEMPLO:

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDA

Establecemos el equilibrio externo de la viga.

2qLRbRa ==

Determinamos la ecuacin general de momento flector dela viga.

2qx

2qLxMx

2=

Aplicando el Primer Teorema de Mohr, podemos determinarel ngulo en el apoyo calculando el ngulo entre latangente trazada en el extremo izquierdo de la elstica y latangente trazada en el punto medio, siendo sta latangente de pendiente nula.

= MdxEI12/L

0AB

= dx

2qx

2qLx

EI1 2

2/L

0AB

=6

qx4

qLxEI1 32

2/L

0AB

EI48qL

EI16qL 33

AB =

AAB = Siendo la viga simtrica se deduce que este valor de nguloes tambin vlido para el extremo derecho de sta.


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10

Otra forma de enfrentar el ejercicio, si conocemos el reaes:

EI

1AAB == Area entre A y B

2L

32

8qL

EI1 2

A =

Para obtener la flecha mxima aplicamos el segundoteorema de Mohr. Calculamos la desviacin tangencial en elextremo izquierdo de la elstica con respecto a la tangentetrazada en el punto de flecha mxima, que en este casocorresponde a L/2.

= dx.x.MEI1tB

AAB

dx.x.2

qx2

qLxEI1Y

22/L

0mx

=

dx.2

qx2

qLxEI1Y

322/L

0mx

=

= 8qx

6qLx

EI1

Y432/L

0mx

EI128qL

EI48qLY

44

mx =

Si conocemos el rea y su centroide podemos realizar laoperacin de la siguiente forma:

EI1t AB = AreaAB. xA

2L

85

2L

32

8qL

EI1t

2AB = ?

EI384qL5Y

4

mx =

EI24qL3

A =

EI384qL5Y

4

mx =


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3.b.- METODO DE DOBLE INTEGRACION

De la deduccin del Primer Teorema Mohr se obtuvo la

expresin:dx.MEI

1d = /:dx

EIM

dxd =

La derivada en cualquier punto de la una curva es igual a lapendiente de la tangente a la curva en ese punto.

=Tgdxdy

Como ? es d Tg

dxdy=

Reemplazando en la ecuacin inicial obtenemos la Ecuacin Diferencial de la Elstica de una viga

EIM

dxdy

dxd =

Integrando obtenemos la Ecuacin General de Pendiente .

Integrando nuevamente obtenemos la Ecuacin General deFlecha.

Este mtodo nos permite calcular las pendientes ydeflexiones de la viga en cualquier punto. La dificultadradica en despejar las constantes de integracin. Esto selogra analizando las condiciones de apoyo y la deformacinde la viga

EIM

dxyd2

2 =

+= 1CMdxEI1dxdy

21 CCMdxEI1y ++=


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EJEMPLO:

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDA

La ecuacin diferencial de la elstica de una viga est dadapor la expresin:

EIM

dxyd2

2= o M

dxydEI 2

2=

El valor de momento vara en funcin de X de acuerdo a laecuacin general antes establecida:

2qx

2qLxMx

2=

Entonces la ecuacin diferencial de la elstica para estaviga es:

2qx

2qLx

dxydEI

2

2

2=

Integrando obtenemos la ecuacin de pendiente paracualquier punto de la elstica.

= 2qx2qLxdxdyEI2

1

32C

6qx

4qLx

dxdyEI +=

Por simetra, la flecha mxima est en el punto medio de laviga, por lo que la tangente trazada en este punto de laelstica es de pendiente nula, es decir,

si: X = L/2 0dxdy =


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Por lo tanto:

132

C8L

6q

4L

4qL0 +=

24qLC

3

1 =

Entonces la ecuacin general de la pendiente es:

La ecuacin de flecha la obtenemos integrando la ecuacinde anterior:

2

343C

24xqL

24qx

12qLxy.EI +=

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X= 0 o X = L

Si X=0 0 = C2

Si X=L 2343

C24

xqL24

qx12

qLx0 +=

Por lo tanto C2 = 0Entonces la ecuacin general de flecha es:

Los ngulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 yX=L en la ecuacin correspondiente

y la flecha mxima reemplazando en X = L/2.

EI384qL5Y

4

mx =

EI24qLA

3=

EI24xqL

EI24qx

EI12qLxy

343=

EI24qL

EI6qx

EI4qLx

dxdy 332 ==

EI24qLB

3=


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3.c.- METODO DE VIGA CONJUGADA

Este mtodo se basa en los mismos principios del mtodode rea de momento, pero difiere en su aplicacin.

Consiste en generar, una nueva viga ficticia de la mismalongitud, y con las mismas condiciones de apoyo que la vigaoriginal, pero cargada con el diagrama del momento flectorde la viga original dividido por EI. De esta manera, elngulo de la tangente trazada en cualquier punto de laelstica de la viga real est dada por el cortante (Q ) de lanueva viga, y la flecha se determina calculando elmomento flector (M) de esa viga ficticia

Segn lo anterior, podemos establecer las siguientesequivalencias:

VIGA REAL VIGA FICTICIA.momento M carga M/EIngulo cortante Q

flecha Y momento M

Podemos afirmar que existe una analoga entre lasrelaciones carga - cortante - momento - y momento -pendiente - flecha.

EJEMPLO

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTE

REPARTIDA

Para la aplicacin del mtodo es necesario determinar elgrfico de momento flector y sus valores caractersticos.

8qLM

2

max =

Para obtener los valores de ngulo y flecha generamos unaviga ficticia o conjugada.

VIGA FICTICIA

Generamos una viga y le aplicamos como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EI

EI8qL

EIMmx'q

2==


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El cortante de la viga ficticia corresponde a la pendienteque adquiere la tangente trazada a la curva elstica de laviga real, por lo que el grfico de cortante de la vigaficticia representa los cambios en la pendiente. El ngulo

en el punto de apoyo de la viga original equivale a lareaccin de la viga conjugada.

2L

32

EI8qL'RaA

2==

El momento flector de la viga ficticia corresponde aldescenso de la viga real al deformarse. En este caso, elgrfico de momento de la viga ficticia representar losvalores de deformacin de la viga real. Como el descensomximo de la viga es en L/2, determinamos el momentomximo de la viga ficticia en ese punto.

2L

83

2L

32

EI8qL

2L

EI24qL'MY

23

MAXMAX ==

EI384qL5Y

4

MAX =

EI24qLA

3=


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16


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III. APLICACIN.

1.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUALAPLICADA EN L/2.

1.a.- POR MTODO DE AREA DE MOMENTOS

Establecemos el equilibrio externo.

2PRR BA ==

Determinamos la ecuacin general de momento flector.

2PxMx =

Por simetra de la viga, deducimos que la pendiente de latangente trazada en el punto medio de la curva elstica esnula. Para la aplicacin de los Teoremas de Mohr, debemosconsiderar la tangente trazada en el extremo izquierdo dela elstica y la tangente trazada en el punto medio de sta.

Para determinar los valores de ngulo en los apoyoscalculamos el ngulo entre las dos tangentes

= dx.MEI1B

A AB

A AB =

= dx.2PxEI1 2/L

0 A

=4

Px

EI

1 22/L

0

A

EI16PL2

A =


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18

y la flecha mxima la obtenemos calculando la desviacintangencial en el extremo izquierdo con respecto a latangente trazada por el punto medio de la curva elstica.

= dx.x.MEI1

YmxB

A

= dx.x.2Px

EI1Ymx

2/L

0

=6

PxEI1Ymx

32/L

0

1.b.- POR MTODO DOBLE INTEGRACIN.

Como la viga es simtrica analizamos slo el primer tramo.Con la ecuacin general de momento, establecemos laecuacin diferencial de la elstica.

2Px

dxyd.EI 2

2=

Integrando dos veces la ecuacin obtenemos:

12

C4

PxdxdyEI +=

213

CxC12

Pxy.EI ++=

Segn la deformacin de la viga, la pendiente de latangente trazada en el centro de la viga es nula, es decir:

Si X = L/2 0dxdy =

1

2

C4L

4P

0 +=

16PLC

2

1 =

Entonces la ecuacin general de ngulo es:

16PL

4Px

dxdyEI

22=

EI48PLYmx

3=


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Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula en elapoyo de la viga, es decir cuando X = 0

Por lo tanto C2 = 0

Entonces la ecuacin general de flecha es

16xPL

12Pxy.EI

23=

El ngulo en el apoyo se obtiene reemplazando X=0 en laecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X = L/2.

1.c.- POR MTODO DE VIGA CONJUGADA.

VIGA REAL

Determinamos el grfico de momento flector y sus valo rescaractersticos

4PLMmx =

Generamos una viga ficticia y le aplicamos como carga elmomento flector de la viga dada dividido por EI. Y ledeterminamos las reacciones y el momento mximo,valores correspondientes a los ngulos en los apoyos y aldescenso mximo de la viga dada.

VIGA FICTICIA

EI4PL'qMmx ==

EI16PL

L1

2L

EI4PL'RaA

2===

EI16PLA

2=

EI16PLA

2=

EI.48PlYmx

3=


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20

Este valor de ngulo es vlido tambin para el otroextremo, porque la viga es simtrica. Y por la mismacondicin, el momento mximo se produce cuando X=L/2

2L

31

2L

21

EI4PL

2L

EI16PLMmxYmx 2 ==

EI48PLYmx

3=


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2.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA TRIANGULAR

2.a.- POR MTODO DE AREA DE MOMENTO


4qLRR BA ==


2/Lq

x*q =

Lqx2*q =

2x

3x

Lqx2

4qLxMx =

L3

qx

4

qLxMx3

=

Como la viga es simtrica, la tangente trazada por el puntomedio de la elstica es de pendiente nula. Para determinarel ngulo en el apoyo calculamos el ngulo entre latangente trazada en el extremo y la tangente trazada enL/2.

dx.L3

qx4

qLxEI1 3

2/L

0AAB

==

=L12

qx8

qLxEI1 42

2/L

0

A

EI192qL

EI32qL 33

A =

EI192qL5 3

A =


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22

Para determinar la flecha mxima se calcula la desviacintangencial en el extremo de la viga con respecto a latangente trazada en L/2.

dx.x.L3

qx4

qLxEI1t

32/L

0AB

=

dx.L3

qx4

qLxEI1t

422/L

0AB

=

= L15qx

12qLx

EI1t

532/L

0AB

EI480qL

EI96qL

t

44

AB =

2.b.- POR METODO DE DOBLE INTEGRACION

La viga es simtrica por lo tanto se puede analizar un slotramo. Con la ecuacin general de momento flectorestablecemos la ecuacin diferencial de la elstica para elprimer tramo.

L3qx

4qLxMx

3=

L3qx

4qLx

dxyd.EI

3

2

2=

Integrando la ecuacin dos veces obtenemos:

142

C

L12

qx

8

qLx

dx

dy.EI +=

21

53CxCL60

qx24

qLxy.EI ++=

Segn la deformacin de la viga, la pendiente es nulacuando X = L/2

EI120qLY

4

MAX =


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142

C16L

L.12q

4L

8qL0 +=

192qL5

C3

1 =

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX = 0

Por lo tanto C2 = 0

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anterioresobtenemos:

Ecuacin general de ngulo:

192qL5

L12qx

8qLx

dxdy.EI 342 =

Ecuacin general de flecha:

192xqL5

L60qx

24qLxy.EI

353+=

Determinamos el ngulo en los apoyos reemplazando X=0en la ecuacin correspondiente

Siendo simtrica la viga, este valor tambin es vlido parael otro extremo de la viga.

Y la flecha mxima reemplazando en X = L/2.

EI192

qL5 3A =

EI120qLY

4

MAX =


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24

3.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUALAPLICADA EN 3L/4

3.a.- POR MTODO DE REA DE MOMENTOS.

Establecemos el equilibrio externo determinando las reacciones en los apoyos.

4PRa =

4P3Rb =

Determinamos las ecuaciones de momento flector para losdos tramos:de 0 a 3L/4 y de 3L/4 a L

4PxM x1T =

4Px3

4PL3Mx 2T =

16PL3MMAX =

En una viga asimtrica la curva elstica no es simtrica conrespecto a su centro, lo que produce una mayor dificultadpara determinar el punto cuya tangente sea de pendientenula. Para determinar los ngulos en los apoyos y la flechamxima, debemos recordar algunos supuestos iniciales:

El arco es el producto entre un ngulo y un radio. Ladeformacin que se produce en una viga es muy pequeaen comparacin con la longitud de ella; por lo tanto elngulo que se genera es tambin reducido. De forma que,no existe gran diferencia entre un arco y su proyeccinvertical (desviacin tangencial).

Arco = ngulo x radio t = ngulo x largo


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Entonces para calcular los ngulos en los apoyos debemoscalcular primero la desviacin tangencial en un extremo dela viga con respecto a la tangente trazada en el otro

extremo

( ) +

+= 4

L32

21

4L

16PL3

4L

4L3

31

21

4L3

16PL3

EI1t 0L

( ) EI128PL5t

3

0L =

Como t = ngulo x largo se deduce que ngulo ()= t/largo

L.t O)0L( =

L1

EI128PL5

t

3

O)0L( ==

Para determinar el valor de la flecha mxima, necesitamossaber su ubicacin. El ngulo corresponde a un rea demomento dividido por EI. Ahora que conocemos el valor deesa rea de momento (O) podemos obtener su extensin.

2xEI4PxEI128PL52

O ==

128L40x

22 =

Para determinar la flecha mxima calculamos la desviacintangencial en 0, con respecto a la tangente trazada a laelstica en X=5L/4

( ) EI12Px

x3

2

2

x

4

Px

EI

1t

3

4/L.50 =

=

( ) EI768PL.55

t3

4/L.50 =

4L.5x =

EI128PL5 2

O =


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26

3.b.- POR MTODO DE DOBLE INTEGRACIN.

Con las ecuaciones generales de momento establecemos lasecuaciones diferenciales para ambos tramos, integrndola

dos veces obtenemos:TRAMO 1 (0-3L/4)

4Px

dxydEI 2

2=

12

C8

PxdxdyEI +=

213

CxC24

Pxy.EI ++=

TRAMO 2 (3L/4-L)

4Px3

4PL3

dxydEI 2

2=

3

2C

8Px3

4PLx3

dxdyEI +=

43

32CxC

24Px3

8PLx3y.EI ++=

Segn las condiciones de apoyoLa flecha es nula cuando X = 0 para el primer tramo

C2 = 0

La flecha es nula cuando X = L para el segundo tramo

43

33CL.C

24PL3

8PL30.EI ++=

L.C4

PLC 33

4 =

Segn la deformacin de la viga la pendiente es nica paraambos tramos cuando X=3L/4. Entonces igualamos lasecuaciones de pendiente de ambos tramos en 3L/4

3

2

1

2C

8Px3

4PLx3C

8Px +=+


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3

22

1

2C

128PL27

16PL9C

128PL3 +=+

3

2

1 C128PL36C +=

Del mismo modo igualamos las ecuaciones de flecha deambos tramos en 3L/4

LC4

PLC4L3C

1536PL81

128PL27

4L3C

512PL108

1536PL27

3

4

33

33

3

33+=++

128PL41C

2

3 =

Reemplazamos C3 en las ecuaciones anteriormente obtenidas.

128PL5

128PL41

128PL36C

2221 ==

128PL9

128PL41

4PLC

333

4 =+=

Entonces las ecuaciones generales de ngulo y flecha son:

TRAMO 1

Ecuacin de pendiente vlida para 0 X3L/4

128PL5

8Px

dxdyEI

22=

Ecuacin de flecha vlida para 0 X3L/4

128xPL5

24Pxy.EI

23=

TRAMO 2

Ecuacin de pendiente vlida para 3L/4 XL

128PL41

8Px3

4PLx3

dxdyEI

22=

Ecuacin de flecha vlida para 3L/4 XL

128PL9

128xPL41

24Px3

8PLx3y.EI

3232+=


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28

EI128PL7 2

B =

Para determinar la ubicacin de la flecha mxima en laviga es necesario considerar que la flecha es mximacuando el ngulo es nulo, para lo cual igualamos la

ecuacin de ngulo del primer tramo a cero.

128PL5

8Px0

22=

128L40x

22 = 4

L.5x =

Los ngulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 oX=L en la ecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X =5L/4

3.c.- POR MTODO DE VIGA CONJUGADA

Con el grfico del momento flector y sus valorescaractersticos generamos la viga ficticia.

4PxMx1T =

4Px3

4PL3Mx 2T =

16PL3MMAX =

A la viga ficticia le aplicamos como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EI. Se determinan losngulos en los apoyos y el descenso mximo de la vigadada, calculando las reacciones en los apoyos y el momentomximo de la viga ficticia.

EI.768PL.55Ymx

3=

EI128

PL5 2A =


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Folio EST 02-01

VIGA FICTICIA

EI16PL3maxM'q ==

?A= Ra ?B= Rb

Ma=0

EI1536PL84

4L3

4L

31

21

4L

EI16PL3

32

4L3

21

4L3

EI16PL3L'.Rb

3=

++=

Fy=0

21

4L

EI16PL3

4L3

21

EI16PL3

EI128PL7'Ra

2=

Donde Qx=0 el momento es mximo

2x

L3x4

EI16PL3

EI128PL50 2 =

1536L480x

2=

4L.5x = = 0,559L

Ymax= Mmax

EI1536

PL.510

4

L.5

3

1

4

L.5

2

1

4

L.5

L3

4

EI16

PL3

4

L.5

EI128

PL5Y32

mx ==

EI768PL.55Y

3

mx =

EI128PL7B'R

2B ==

EI128PL5AR

2

A ==


30/43

30

4.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON UN MOMENTOAPLICADO EN EL EXTREMO

4.a- POR MTODO DE REA DE MOMENTO.Establecemos el equilibrio externo y determinamos laecuacin general de momento flector.

LMRa = L

MRb =

LMxMx =

Para calcular los ngulos en los apoyos en esta vigaasimtrica, debemos calcular primero la desviacintangencial en un extremo de la viga con respecto a latangente trazada en el otro extremo.

Analizando la desviacin tangencial en el punto Ldeterminamos el ngulo en 0

( ) = 3L

2ML

EI1t 0L

( ) EI6MLt

2

0L = Luego si t = ngulo x largo se deduce que

ngulo = t / largo

L1

EI6ML2

0 =

EI6ML

0 =


31/43



Folio EST 02-01

Analizando la desviacin tangencial en el punto 0determinamos el ngulo en L

( )

=

3

L2

2

ML.EI

1t 0L

( ) EI3MLt

2

0L =

L1

EI3ML2

L =

Para determinar la ubicacin del punto en donde la flechaes mxima aplicamos el Primer Teorema de Mohr.

2x

EI.LMx

EI6ML

A ==

LEI2Mx

EI6ML 2=

3Lx

22 = 3

Lx =

Para determinar la flecha mxima calculamos la desviacin

tangencial desde el punto 0 con respecto a la tangentetrazada por L/3

( ) = dx.xLMxEI1t3/L

03/Lo

( ) = LMxEI1t23/L

03/Lo

( ) = L3Mx

EI1t

33/L

03/Lo

( ) EI.39ML

3L

L3M

EI1t

23

3/Lo =

=

EI3ML

L =

EI.39MLY

2

mx =


32/43

32

4-b- POR MTODO DE DOBLE INTEGRACION.

Con la ecuacin general de momento flector establecemosla ecuacin diferencial de la elstica.

LMx

dxydEI 2

2=

Integrando la ecuacin diferencial dos veces obtenemos:

1

2C

L2Mx

dxdyEI +=

213

CxCL6

Mxy.EI ++=

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX = 0 y X = L

Si X=0 0 = C2

Si X=L 212

CLC6ML0 ++=

6MLC1 =

Reemplazando los valores de C1 y C2 en las ecuacionescorrespondientes podemos determinar la ecuacin generalde pendiente.

6ML

L2Mx

dxdyEI

2+=

y la ecuacin general de flecha.

6MLx

L6Mxy.EI

3+=

Los ngulos en los apoyos los obtenemos reemplazando X=0y X=L en la ecuacin de pendiente

Para determinar la ubicacin del punto en donde la flechaes mximaigualamos la ecuacin general de ngulo a cero.

6M L

L2M x0

2+=

EI6ML

A =

EI3MLB =


33/43



Folio EST 02-01

3Lx

22 = 3

Lx =

Determinamos la flecha mxima reemplazando la ecuacin

general de flecha en X = L/3

4.c.- POR MTODO DE VIGA CONJUGADA

Con el grfico del momento flector y sus valores

caractersticos generamos la viga ficticia.

LMxMx =

A la viga ficticia le aplicamos como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EI y calculando lasreacciones en los apoyos y el momento mximo de la vigaficticia determinamos los ngulos en los apoyos y eldescenso mximo de la viga dada

EIM

EIM'q max ==

EI6MLL/3L2LEIM'RaA = ==

EI3MLL/

3L2

2L

EIM'RbB =

==

EI.39PL

33L

32L

LEI6M

3L

EI6ML'MY

23

maxmax ===

EI3ML

B =

EI.39MLY

2

max =

EI.39MLY

2

MAX =

EI6ML

A =


34/43

34

5.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDA

5.a.- POR MTODO DE REA DE MOMENTO


qLRa =

Determinamos la ecuacin general de momento flector

2qxMx

2=

El ngulo entre las tangente trazadas en ambos extremosde la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema deMohr.

dx2qx

EI1 2L

0OL =

= 6qx

EI1 3

L

0OL

EI6qL3

OL =

Calculando la desviacin tangencial en 0 (extremo libre dela viga) con respecto a la tangente trazada en el otroextremo, determinamos la flecha mxima.

EI6qL3

OLA ==


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Folio EST 02-01

( ) dx.x.2qx

EI1t

2L

0LO =

( ) dx2qxEI1t3L

0LO =

( ) = 8qx

EI1t

4L

0LO

( ) EI8qLt

4

LO =

5.b- POR MTODO DE DOBLE INTEGRACION


2qx

dxydEI

2

2

2=

Integrando la ecuacin diferencial dos veces se obtiene:

1

3C

6

qx

dx

dyEI +=

21

4CxC

24qxy.EI ++=

Segn la deformacin de la viga, la pendiente es nulacuando X = L

6qLC

3

1 =

Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX = L

8qLC4

2 =

Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores seobtiene:

Ecuacin general de pendiente.

6qL

6qx

dxdyEI

33+=

( ) EI8qLtY

4LOmax ==


36/43

36

Ecuacin general de flecha.

8qL

6xqL

24qxy.EI

434+=

El valor mximo de ngulo se obtiene reemplazando X=0 enla ecuacin correspondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X = 0.

5.c.- POR MTODO DE VIGA CONJUGADA.

Con el grfico de momento flector y los valorescaractersticos generamos la viga ficticia.

2qxMx

2=

A la viga ficticia se le aplica como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EILa relacin establecida entre la viga ficticia y la viga real esque los valores de cortante y momento de la viga ficticia

equivalen a la pendiente y a la flecha de la viga real.Pero en el caso particular de las vigas en voladizo, lapendiente en el apoyo es nula, as como su descenso. Eneste punto no deberan existir R ni M por lo tanto para laaplicacin de este mtodo, es necesario invertir el apoyode la viga ficticia al otro extremo de la viga, de manera deencontrar R y Mmax en el punto correspondiente

EI2qL

EIM'q

2max ==

3L

EI2qL'Ra

2A ==

4L3

3L

EI2qL'MY

2

maxmax ==

EI6qL3

A =

EI8qLY

4max =

EI6qL3

A =

EI8qLY

4max =


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Folio EST 02-01

6.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA PUNTUAL APLICADAEN EL EXTREMO LIBRE

6.a.- POR MTODO DE AREA DE MOMENTO.


Ra= P


Mx= Px

El ngulo entre las tangentes trazadas en ambos extremosde la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema deMohr.

EI1

2LL.P0L =

EL2PL2

0L =

Calculando la desviacin tangencial en 0 (extremo libre dela viga) con respecto a la tangente trazada en el otroextremo determinamos la flecha mxima

( ) 3L2

EI2PL

t2

0L =

( ) EI3PLt

3

0L =

EI2PL2

0LB ==

( ) EI3PLtY

3

max 0L ==


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38

6.b.- POR MTODO DE DOBLE INTEGRACION


PLPxdx

ydEI 22

=

Integrando dos veces la ecuacin diferencial obtenemos:

12

CPLx2

PxdxdyEI +=

2123

CxC2

PLx6

Pxy.EI ++=

Segn la deformacin de la viga, la pendiente es nulacuando X = 0

C1 = 0Segn las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX = 0

C2 = 0Entonces las ecuaciones generales de ngulo y flecha son:

Ecuacin general de ngulo

PLx2

PxdxdyEI

2=

Ecuacin general de flecha

2PLx

6Pxy.EI

23=

El valor mximo de ngulo se encuentra en el lado derechoy se obtiene reemplazando X=L en la ecuacincorrespondiente

Y la flecha mxima reemplazando en X = L.

EI2PL2

B =

EI3PLY

3max =


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Folio EST 02-01

6.c- POR MTODO DE VIGA CONJUGADA.

Con el grfico de momento flector y los valores caractersticosgeneramos la viga ficticia.

M = PL

A la viga ficticia se le aplica como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EI

Como se ha explicado en el ejemplo anterior, en el caso delas vigas en voladizo, es necesario invertir su apoyo en elotro extremo de la viga para la aplicacin del mtodo.

EIPL

EIM'q max ==

2L

EIPLRBB ==

3L2

2L

EIPL'MY maxmax ==

EI2PL2

B =

EI3PL

Y

3

max =


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Folio EST 02-01

IV.- BIBLIOGRAFIA

Resistencia de Materiales.

William A. Nash.Editorial McGraw-Hill Mxico.Ao 1970.

Resistencia de MaterialesS. P. Timoshenko.Editorial Epasa-Calpe Madrid.Ao 1980.

Resistencia de MaterialesFerdinand L. Singer / Andrew Pytel.

Editorial Harle Mxico.Ao 1982.


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43/43


Folio EST 02-01

V.- INDICEI.- INTRODUCCI N..........................................................................

3

II.- DEFORMACION EN VIGAS.............................................................. 5

1. Lnea Elstica..................................................................... 52. Supuestos Base................................................................... 5

Ley de Hooke..................................................................... 5Deduccin de la Frmula de Flexin.......................................... 5Anlisis de la seccin........................................................... 6

3. Mtodos de Clculo.............................................................. 7Mtodo de Area de Momentos................................................. 7

Ejemplo....................................................................... 9Mtodo de Doble Integracin.................................................. 11

Ejemplo....................................................................... 12Mtodo de Viga Conjugada..................................................... 14

Ejemplo....................................................................... 14III.- APLICACIN.............................................................................. 17

1. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/2.............. 17Por Mtodo de Area de Momento............................................. 17Por Mtodo de Doble Integracin............................................. 18Por Mtodo de Viga Conjugada................................................ 19

2. Viga simplemente apoyada con carga triangular................................ 21Por Mtodo de Area de Momento............................................. 21Por Mtodo de Doble Integracin............................................. 23

3. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en 3L/4........... 24Por Mtodo de Area de Momento............................................. 24Por Mtodo de Doble Integracin............................................. 26Por Mtodo de Viga Conjugada................................................ 28

4. Viga simplemente apoyada con un momento aplicada en el extremo....... 30Por Mtodo de Area de Momento............................................. 30Por Mtodo de Doble Integracin............................................. 32Por Mtodo de Viga Conjugada................................................ 33

5. Viga en voladizo con carga repartida uniformemente......................... 34Por Mtodo de Area de Momento............................................. 34Por Mtodo de Doble Integracin............................................. 35Por Mtodo de Viga Conjugada................................................ 36

6. Viga en voladizo con carga puntual aplicada en el extremo libre............ 37Por Mtodo de Area de Momento............................................. 37Por Mtodo de Doble Integracin............................................. 38Por Mtodo de Viga Conjugada................................................ 39

IV.- BIBLIOGRAFIA........................................................................... 41

deformacion en vigas (1)

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