CAPITULO III DEFORMACION EN VIGAS III.1 Relación entre curvatura, deformación y momento flexionante De la ecuación II.10 se tiene:

max

C ó

Cmax1

De la ecuación I.6 para el rango elástico

Emax

max

I.6

Además I

Mcmax I.17

Sustituyendo I.17 en I.6

IEMc

max III.1

EIcMc

1

EIM

1

III.2

Del cálculo diferencial se tiene:

23

2

2

2

1

1

dxdy

dxdy

III.3

Despejando el término del denominador y considerando

02

2

dxdy

P

Y

M M

2

21dxdy

III.4

Relación entre curvatura y deformación Sustituyendo III.4 en III.2

EIM

dxdy

2

2

III.5

Ecuación diferencial de la curva elástica que relaciona la deformación con el momento flexionante

EI=R ig idez a flexion

Ø (x)

x

Y

X

Y

X

P 1 P2

A B C D

III.2 Ecuación de la posición deformada La ecuación III.5 se transforma en:

xMdx

ydEI 2

2

III.6

12

2

CdxxMdx

ydEI

1CdxxMdxdyEI III.7

Si xdxdy

La pendiente de la posición deformada resulta:

1CdxxMxEI III.7

Integrando la ecuación III.7

21 CdxCdxxMdxdyEI

21 CdxCdxxMEIy III.8 Ecuación de la posición deformada En la ecuación III.8 y es la posición deformada del eje neutro, EI=Rigidez a flexión y Ci son las constantes de integración III.3 Condiciones de frontera Las constantes C1 y C2 dependen de las condiciones de frontera del elemento. Así, las vigas mostradas tienen las siguientes condiciones de frontera:

L

AX=0Y=0=0

BX=LM=0V=0

X=0Y=0

X=LY=0Ø

III.4 Cálculo de deflexión por doble integración Considerando las expresiones presentadas en el capitulo anterior

VdxdM

II.43

wdxdV

II.40

Derivando la ecuación II.43

Vdxd

dxdM

dxd

III.9

Sustituyendo III.9 en II.40

wdx

dMdxd

III.10

Derivando dos veces la ecuación III.6

xMdxd

dxydEI 3

3

xMdxd

dxydEI 2

2

4

4

III.11

Sustituyendo III.10 en III.11

)(4

4

xwdx

ydEI III.12

Si se integra la ecuación III.12 cuatro veces

43

22

31

32

21

212

2

13

3

26)()(

2)(

)(

)(

CxCxCxCdxxwdxdxdxxEIy

CxCxCdxdxxwdxdxdyEI

CxCdxdxxwdx

ydEI

Cdxxwdx

ydEI

Se requieren 4 condiciones de frontera para evaluar las constantes C1, C2, C3 y C4 en una viga con una carga repartida w Relación entre una función y su derivada

y=f(x)

y

x

dy/dx=0

dy/dx=0

Para los puntos de inflexión dy/dx = 0 se tienen los valores máximos o mínimos de la función. III.5 Deflexión por el método de la viga conjugada A Teoremas de Mohr Sea la viga cargada como se muestra de la cual se agranda el tramo 1-2, entonces se tiene:

W ( X )

M/EI

21 X dx

De la ecuación III.5

EIM

dxdy

dxd

EIM

dxyd

2

2

dxEIMd III.13

Integrando entre 1 y 2

dxEIMd

2

1

2

1

2

112 dxEIM

2

112 dxEIM III.14

La ecuación III.14 expresa el primer teorema de Mohr. “El ángulo que forman las tangentes entre dos puntos de la elástica es igual al área del diagrama M/EI entre los dos puntos”

d

dy

De la figura anterior se tiene:

dxdy III.15 Sustituyendo III.13 en III.15

dxEIMxdy

Integrando entre 1 y 2

xdxEIMy

x

x1

2 III.16

El segundo teorema de Mohr, ecuación III.16, expresa: “La diferencia de un punto 2 de la elástica a la tangente en otro punto 1 de la elástica, es igual al momento elástico del área del diagrama M/EI entre estos dos puntos con respecto al punto 2. La distancia se mide sobre la perpendicular a la posición de la viga original”. De las ecuaciones II.40 y II.43 se obtienen las dos siguientes ecuaciones:

wdxV III.17

wdxdxM III.18 De manera similar pensemos en una viga ficticia denominada “conjugada” con la misma longitud que la viga real pero cargada con una carga elástica M/EI obtenida a partir de la carga real. Para esta viga conjugada el cortante y momento se obtiene con las expresiones siguientes:

dxEIMV III.19

dxxEIMM III.20

Los segundos términos de las ecuaciones III.19 y III.20 son idénticos a las ecuaciones III.14 y III.16, respectivamente. Por lo tanto, la pendiente y l a deflexión de la viga real son iguales al cortante y momento de la viga conjugada, respectivamente.

dxEIM III.21

dxxEIMy III.22

Para garantizar lo anterior se requiere que las condiciones de apoyo de la viga conjugada correspondan con la pendiente y la deflexión de la viga real. Ver tabla siguiente:

III. 6 Problemas resueltos

PROBLEMA 1 Obtener la ecuación de la curva elástica para la viga mostrada.

C BA

P

La b

Solución: 1.- Reacciones en los apoyos

baL

P

B y

C

A y

A x

0AM + -Pa + ByL = 0; By = Pa/L

0Fy

0LaPPAy

LPbAy

LaP

LaPPAy

1

2.- Ecuación de momento Tramo A-C ax 0

X

M

VPb/L

0M +

0 MxLbP ; x

LPbM 1

Tramo C-B Lxb

X

a x-a

P

Ay V

M

0M +

0)( MaxPxLbP

)( axPxLbPM 2

Integrando la ecuación 1

LbxP

dxydEI 2

2

12

2Cx

LPb

dxdyEI 3

213

6CxCx

LPbEIy 4

Ahora se integra la ecuación 2

)(2

2

axPLbxP

dxydEI

3

22

2)(2

2CaxPx

LbP

dxdyEI

5

43

33

6)(

6CxCaxPx

LPbEIy

6

3.- Constantes de integración

X=a

Y=0X=0 Y=0

X

Y

Por la continuidad de deformación las pendientes son iguales cuando X= a, por lo tanto se puede igualar las ecuaciones 3 y 5.

3

2

1

2

022

CL

PbaCL

Pba de donde:

ଵܥ = ଷ 7ܥPor continuidad de deformación para X = a se iguala las ecuaciones 4 y 6

4321

43

3

21

3

066

CaCCaC

CaCL

PbaCaCL

Pba

4231 CCaCaC

42 CC 8 Sustituyendo en la ecuación 4 las condiciones de frontera X=0, y=0 C2= 0 y C4 = 0 Sustituyendo en la ecuación 6 las condiciones de frontera X = L, Y = 0

LCPbL

PbL

LCaLPL

PbL

3

33

3

33

660

6)(

60

66

3

3PbL

LPbC

Sustituyendo valores de las constantes en 4 y 6

axparaLxbEI

Pbxy

LbxL

Pbx

PbLxL

xPbL

PbxxPbLL

PbL

PbxEIy

06

6

666666

222

222

3333

En la ecuación 6

3222

3222

333

661

66

6666

axPLxbL

PbxEI

EIy

axPLxbL

PbxEIy

xPbLL

PbaxPxL

PbEIy

Problema # 2.- Obtener la ecuación de la elástica y el valor máximo de la deflexión.

B

A

1M

L

Herramientas: Ecuación diferencial de la curva elástica, ecuaciones de equilibrio, D.C.L. Solución: 1.- Posición deformada y reacciones

X y=0x=L

y=0x=0

Ymax ByAy

M 1

0AM +

ByL - M1 = 0, By = M1/L

0Fy Ay + M1/L = 0, Ay = -M1/L 2.- Ecuación de momento

x

M 1 /L

M 1 M

0M +

M - M1 + (M1/L)x = 0 M = - (M1/L)x + M1 M = M1(1- x/L) 3.- Integración de ecuación III.5

)1(12

2

LxM

dxydEI 1

1

2

1

1

2

1

CL

xxMdxdyEI

dxLxM

dxdyEI

2

21

32

1 62CxC

LxxMEIy 3

Para X = 0, Y = 0

2000 C

C2 = 0 Para x = L, Y = 0

3

620

620

1

1

22

1

22

1

LC

LCLL

LCLLM

Sustituyendo en la ecuación 3

xL

LxxMEIy

362

32

1

362

32

1Lx

LxxMEIy 4

4.- El valor máximo de y

Para 0max dxdyy

La ecuación 2 resulta

320

322

1

2

1

LL

xxM

LL

xxMdxdyEI

032

2

Lx

Lx

,

Se tiene una ecuación de 2do grado

Ax2 + Bx + C = 0

LxL

LL

LL

x

4226.0311

132112

12

321411

1

12

Sustituyendo el valor de X1 en 4

EILMy

LMEIyLMEIy

21

max

21

21

0643.0

0643.0

1408.0125.0893.

Problema #3.- Obtener la ecuación de la curva elástica y la máxima deflexión para la viga mostrada.

L

W

A B

Herramientas.

Ecuación de la curva elástica, ecuaciones de equilibrio y D.C.L. Solución: Ay=wL/2

yW L /2W L /2

BA

W

2.- Ecuación de momento.

X

M

BA

W

0M +

022

MxwxxwL

22

2 wLxwxM

3.- Integración de ecuación.

22

2

2

2 wLxwxdx

ydEI 1

1

23

46CwLxwx

dxdyEI 2

21

34

1224CxCwLxwxEIy 3

Condiciones de frontera: Para x = 0 ; y = 0 , C2 = 0 Para X = L; y = 0

LCwLwL1

44

12240

LCwL1

4

240

243

1wLC

Sustituyendo en la ecuación 2 y 3

24461 323 wLwLxwxEIdx

dy 5

xwLwLxwx

EIy

2412241 334

xLLxxEI

w 334 224

6 El valor máximo de y se tiene si dy/dx =0

323

323

323

323

64024640

24460

244610

LLxx

LLxx

LLxx

wLwLxwxEI

Las raíces son:

LxLx

Lx

36.136.0

5.0

3

2

1

Para la primera raíz se tiene:

168

164

1624

241624

282

1624

344

max

344

max

334

max

LLLEI

wy

LLLEI

wy

LLLLLEI

wy

EIwLy

EIwLy

3845

165

244

max

4

max

Problema # 4 Una viga en voladizo, prismática, AB, soporta una carga concentrada P en su extremo libre A como representa la figura. Hallar la ecuación de la elástica, la pendiente y deflexión en A.

LA

B

P

Herramientas: Diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, calculo integral. Solución: 1.-Ecuación de momento.

P

M

P

x

Para

0M + +Px + M = 0; M = -Px 1 De la ecuación III.5

Pxdx

ydEI 2

2

3

Integrando dos veces la ecuación 3

1

2

2CPx

dxdyEI 4

21

3

6CxCPxEIy 5

2.- Constante de integración. La posición deformada resulta

= OO = d xd yY = 0X = L

Y

X

0dxdy

Para x= L

Sustituyendo las condiciones de frontera en 4 y 5 resulta.

3

26)0(

2

2)0(

3

2

2

33

2

1

1

2

PLC

CPLPLEI

PLC

CPLEI

Sustituyendo los valores de C1 y C2, resulta en 4 y 5

22

22 PLPxdx

dyEI

Lx 0

22

2xL

EIP

dxdy

6

326

323 PLxPLPxEIy

323 326

xxLLEIPy

7

3.-Deflexión y pendiente en A Sustituyendo x=0 en ecuaciones 6 y 7

EI

PLLEIPy

32

6

33

EIPL

B 2

2

Problema #5 Obtener la ecuación de la elástica para la viga mostrada.

W

L

Herramientas: Diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio, calculo integral. 1.-Ecuación de momento.

X

W

Para Lx 0

0M + +wxx/2+M=0, M=-wx2/2 1 Así

2

2

2

2 xwdx

ydEI 2

Integrando dos veces

1

3

6Cwx

dxdyEI 3

21

4

24CxCwxEIy 4

2.- Constantes de integración. La posición deformada resulta:

X

Y

X = LY = 0d y

d x = O

0dxdy

Para x=L

Sustituyendo las condiciones de frontera en 3 y 4

6

6)0(

3

1

1

3

wLC

CwLEI

8

80

624)0(

4

2

2

4

2

34

wLC

CwL

CLwLwLEI

Sustituyendo los valores de C1 y C2 en 3 y 4 resulta.

66

33 wLwxdxdyEI

443

434

33

3424

862416

LxxLEI

wy

wLxwLwxEI

y

xLEIw

dxdy

III.7.- Método de la viga conjugada Para una viga real con una carga actuante, se construye otra con la misma longitud que tiene como carga el diagrama M/EI y con los apoyos modificados. Por ejemplo:

w

L

1 2

M / EI

L

VIGA CONJUGADA

M

V = 0 M = 0

VIGA REAL

El cortante en la viga conjugada son los giros de la viga real. Los momentos de la viga conjugada son los desplazamientos de la viga real.

Problema 1. Encontrar los giros y los desplazamientos de los puntos 1, 2, 3, indicados en la viga en voladizo, suponiendo EI constante. Herramientas: Diagrama de cortante, diagramas de momento 1 Diagramas de cortante y momento

1 .5 P h

4 .5 P h

A 2 = 3 P h

A 1 = 1 .5 P h

1 .5 hh

2 P P

1 2 3

2 Viga conjugada. Se construye utilizando el diagrama de momento, que se divide entre EI. De acuerdo a la tabla mostrada, en el punto 3 debe colocarse un empotre y en el punto 1 se tiene un apoyo libre.

4.5Ph EI EI

1.5Ph

Para el giro debe evaluarse el cortante en las secciones

EIPh

EIPh

2

2

2

1

32

5.15.4

0

EIPh

hEI

PhEIPh

2

3

2

3

125.4

)5.1(5.1213

Para el desplazamiento debe evaluarse el momento En la sección 1 el momento vale cero

01

El momento en la sección 2 se obtiene multiplicando el área del trapecio por su brazo de palanca.

EIPhhh

EIPhhh

EIPh 3

2 75.132

23

25.1

El momento en la sección 3 se obtiene multiplicando el área del trapecio por su brazo de palanca mas el área del triangulo por su brazo de palanca.

EIPh

EIPh

hhEI

PhhhEIPhhh

EIPh

33

3

3

375.7125.125.33

5.132

25.15.15.1

32

23)2(5.1

Problema 2. Determinar los giros y los desplazamientos en los puntos 1, 2 y 3 de la viga simplemente apoyada, si EI es constante.

h h h

21 43M 1

Herramientas: Diagramas de cortante y momento 1 Diagramas de cortante y momento Se aplica la suma de momentos y suma de fuerzas verticales para obtener las reacciones.

02M

hMR

hMR

MhR

3

3

03

12

11

11

21 43- M 1 /3h

- M 1 /3h

2. La viga conjugada se muestra en la figura siguiente

R 1 = M 13 h

M 1E I

La reacción R1 se calcula con la condición.

02M

EIhMR

hEIML

EIMR

LLEIMLR

111

111

11

3

032

21

Para el punto 2 debe evaluarse la reacción que es el cortante de la viga

conjugada.

EIhM

EIMh

EIhM 111

2 5.02

3

En el punto 3 se evalúa el cortante expresado como la suma algebraica de la reacción en 1 y la carga actuante entre 1 y 3

EIhM

EIM

EIMh

EIhM 1111

3 17.067.02

EIhMh

EIhMh

EIhMh

EIhM 2

11113

21

56.032

233.0

267.0

0

M 1E I

3 hM 1R 1 =

h

0 . 6 7 M / E I

Problema 3. Valuar los desplazamientos y los giros en los puntos 1, 2 y 3 suponiendo EI constante.

P P

h h h PP

3 21

1 Reacción en apoyo izquierdo Usando la condición:

hEI

PhhEIPhh

EIPhhR

resultaM

32

2)5.1(

312

213

:

0

222

1

2

1

2

1

3

33.05.117.1

EIPhR

EIPh

EIPh

EIPh

2

2

3

33.05.117.1

2 Viga conjugada

2R=Ph/EI

Ph/EIPh/EI

Para el desplazamiento se tiene

EIPhh

EIPhh

EIPh 322

3

2

1

83.031

21

00

Por la simetría de geometría y de cargas de la estructura, solo es necesario considerar la mitad de la estructura, simplificándose el cálculo de giros y desplazamientos. Problema 4.Calcular el desplazamiento de la viga indicada suponiendo EI constante. El desplazamiento máximo ocurre en el punto 2 por lo que se calcula el momento en este punto en la viga conjugada.

21 W

Viga conjugada

212WLEI

L

34L

EIwL

LLEI

wL

8

43

231

4

max

2

2max