MATRICES

1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras

minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe

la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también

representa a toda la matriz: A = (aij)

Por comodidad se escribirá A = =

ORDEN DE UNA MATRIZ

Indica el número de filas y el número de columnas que tiene.

m x n

número de filas

numero de columnas

Amxn A Є Mmxn

Ejemplos:

D =

……….. ……….. ………..

: : : : ………..

4 3 1

0 2 5

Fila

Columna

ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: aij

A= (aij)mxn a i j

posición columna

posición fila

Ejemplo:

A=

DIAGONAL DE UNA MATRIZ

En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados

desde a1x1 hasta anxn.

Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina

inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn.

Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3

-2 3 1 0 2 1 0 4 -3

……….. ……….. ………..

: : : : ………..

……….. ……….. ………..

: : : : ………..

a11= -2

a23=1

=

j

j

=

Ejercicios:

Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:

CLASES DE MATRICES

Tipo de matriz Definición Ejemplo

FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

COLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT

A=

A=

OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por

Diagonal principal

Diagonal secundaria

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

A = At , a ij = a ji

ANTI SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:

Sea la Matriz A= (aij)mxn

ssi:

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Es decir:

Sea la Matriz I= (aij)mxn

I es matriz identidad ssi:

TRIANGULAR

Matriz triangular Superior

Sea la Matriz A= (aij)mxn

ssi:

Matriz triangular Inferior

Sea la Matriz A= (aij)mxn

ssi:

T. superior

T. inferior

IDEMPOTENTE

Una matriz A es idempotente si:

Nota: La identidad no es la única idempotente

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVOLUTIVA

Es una matriz cuadrada ( tiene igual

número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:

A es involutiva si A x A = I

A2 = I

NILPOTENTE

Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que , ( r es el menor entero positivo )

A es nilpotente de orden 3,