definición de curva plana

5/9/2018 Definici n de curva plana - slidepdf.com

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Republica Bolivariana De Venezuela

Ministerio Del poder popular para la Educación Superior

L.U.Z COL

Cabimas- Zulia

Realizado por:

Frank Fuenmayor

C.I: 20.744.455



Esquema

1.- Definición de curva plana

2.- Definición de curva paramétrica

3.- Longitud de un arco de una curva



Desarrollo

Def i i i e rva lana:

Curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta (recta,parábola, hipérbola) o cerrada, (círculo, elipse)..

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I las ecuaciones:

e se denominan Ecuaciones paramétricas y t se llama

parámetro. El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica recibeel nombre de curva plana, que esta denominada por c .

Graficar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

y

y

t x

-2 0 -1

1 3 1/2

0 -4 0

1 -3 1/2

2 0 1

3 5 1.5



coordenada y, u (i). os puntos así formados se llaman curva en forma explícitao = p(a).

Este tipo de curvas tiene varias desventajas, siendo la más obvia que paracada valor de s existe solamente un punto de la curva sobre ese valor.Podemos imaginar una curva de este tipo como un ³levantamiento´ del

segmento [d,f].

Ne ton basa su definición y cálculo de la curvatura de una curva plana encartesianas en las siguientes afirmaciones:

� Un círculo tiene su radio.

� El ³círculo más grande´ que es el de mas radio

Platón define el centro de este círculo como el punto de intersección de lasrectas normales a la curva en puntos de ella arbitrariamente próximos.

Curvas paramétricas

Una curva paramétrica es una función vectorial de variable real.

Def ini i n ( rva aram tr i a). Una curv a par amétric a d iferenci abl e _ : I Rn, es una apl ic ación d e c lase C�, dond e I R es un i nterv alo abiert o, que pued e ser una semirrect a o t odo R.

Esto significa que si _ (t) = (x1(t),. . ., xn (t)), entonces las funciones xi (t)son de clase C�.

a variable t recibe el nombre de parámetr o de la curva. a imagen _ (I) se denomina tr aza de la curva.

Este curso estudiaremos únicamente curvas en el plano y en el espacio.

Al variar el parámetro en su intervalo de definición, la imagen de por lafunción dibuja la curva, y lo hace de una forma particular, según le dicta laparametrización.

En este GIF apreciamos como el punto rojo dibuja un trozo de hélice



Aquí vemos como se recorre la siguiente curva

parametrizada:

Longitud de un arco de una curva:

a determinación de la longitud de un segmento de arco irregular tambiénse llama rectificación de una curva . Históricamente, muchos métodos seutilizaron para curvas específicas. El advenimiento de cálculo infinitesimalllevado a una fórmula general que ofrece soluciones de forma cerrada , enalgunos casos.

Sea C una curva en euclidiana (o, más generalmente, una métrica ) del espacio X = R n, por lo que C es la imagen de una función continua f: [a, b] X delintervalo [a, b] en X .

A partir de una partición a = t 0 <t <1 ... <T n-1 <t n = b del intervalo [a, b] seobtiene un conjunto finito de puntos de f ( t 0), f ( t 1), ..., f ( t n-1), f ( t n) en la curva C . Denotan la distancia de f ( t i ) f ( t i +1) por d ( f ( t i ), f ( t i +1)), que es la longitud delsegmento de línea que conecta los dos puntos.

a longitud L del arco de C se define a

donde el supremo se toma sobre todas las posibles particiones de [a, b] y n esilimitada.

a longitud L del arco es bien finito o infinito . Si L <� entonces decimos que C es rectif icable, y no es subsanable lo contrario. Esta definición de la longituddel arco no es necesario que C se define por un diferenciable función. Dehecho, en general, la noción de diferenciabilidad no está definido en un espaciométrico.



Una curva puede ser parametrizado de muchas maneras. Supongamos que C también tiene la parametrización g: [ c , d] X . Siempre que fyg son inyectivas,hay una continua S función monótona en [a, b] en [ c , d] de modo que g ( S ( t )) =f ( t ) y una función inversa de S -1 [ c , d] en [a, b]. Es claro que cualquier suma

de la forma puede ser igual a la suma de la forma

tomando u i = S ( t i ), y del mismo modo una suma laparticipación g puede ser igual a una suma la participación f. Por lo tanto lalongitud del arco es una propiedad intrínseca de la curva, lo que significa queno depende de la elección de una parametrización.

a definición de la longitud del arco de la curva es análoga a la definición de lavariación total de una función de valor real.

Búsqueda de longitud de arco mediante la integraci n de

Ver también: Geometría diferencial de curvas

Considere la posibilidad de una verdadera función f (x) tal que f (x) y

(Su derivada respecto de x) son continuas en [a, b]. a longitud s de la parte de la gráfica de f entre x = a y x = b se puede encontrar la siguientemanera:

Considere la posibilidad de una parte infinitesimal de la curva s d (o considerar esto como un límite en el que el cambio en los enfoques s d s ). De acuerdo conel teorema de Pitágoras d s 2 = x 2 + d d y 2, de los cuales:

d s 2 = x 2 + d d y 2



Si la curva está definida paramétricamente por x = X ( t ) y y = Y ( t ), entonces sulongitud de arco entre t = a y t = b es

Esto es más claramente una consecuencia de la fórmula de la distancia enlugar de una x y y , tomamos el límite. Una mnemónica útil

Si una función está definida en coordenadas polares por r = f (), entonces lalongitud del arco está dada por

En la mayoría de los casos, incluyendo incluso las curvas de simple, no haysoluciones de forma cerrada de la longitud del arco y la integración numérica esnecesario.

Curvas con solución cerrada para la longitud del arco incluyen la catenaria ,círculo , cicloide , espiral logarítmica , la parábola , la parábola semicúbica y(matemáticamente, una curva) en línea recta . a falta de solución en formacerrada para la longitud del arco de un elíptico arco llevado al desarrollo de las

integrales elípticas .

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