Deducción de la ecuación de momento resistente para una viga de concreto armado.M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello

P

L

A B

Tensión

Compresión

Compresión

Tensión

Estados Limites de Falla• Determinacion de resistencias de secciones de cualquier forma sujetas a

flexion, carga axial o una combinación de ambas, se efectua a partir de las condiciones de equilibrio y las siguientes hipótesis:

1.- La distribución de Deformación unitaria longitudinales en la sección transversal de un elemento es plana.

2.- Existe adherencia entre el concreto y el cero de tal manera que la deformación unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente.

3.- El concreto no resiste esfuerzos de tensión.

4.- Deformación unitaria máxima del concreto (εcu)

5.- La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto, cuando se alcanza la resistencia de la sección, es uniforme con una valor F´´c igual a 0.85F*c, hasta una profundidad de la zona de compresión igual a β1c

b

h

h/2

h/2

d

Deformación unitaria máxima del concretoεcu

De la NTC-DCEC2. Estados Limites de Falla2.1. Hipótesis para obtención de resistenciasd) εcu = 0.003

εcu = 0.003

εy = 𝑓𝑦𝐸 =4200𝐾𝑔/𝑐𝑚2

2,100,000𝐾𝑔 /𝑐𝑚2=0.002Deformación unitaria máxima del Acero (εy)

εy = 0.002T (Tensión)

C (Compresión)c a = 0.8c

f´´c = 0.85f*c

0.4c

d - 0.4c

Por Equilibrio Compresión = Tensión

Compresión = (a)(f´´c)(b)

Tensión = (As)(fy)

Por Tanto:

abf´´c = Asfy

0.8c b f´´c = As fy

𝐴𝑠𝑏 =

0.8𝑐𝑓 ´ ´𝑐𝑓𝑦

𝜌=𝐴𝑠𝑏𝑑

SI

𝐴𝑠𝑏𝑑=

0.8𝑐𝑓 ´ ´𝑐𝑑𝑓𝑦

𝜌=0.8𝑐𝑓 ´ ´ 𝑐

𝑑𝑓𝑦

𝜌𝑏=0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐

𝑓𝑦 ∗ 𝑐𝑑

Cuantía Balanceada

𝑐=𝜌 𝑓𝑦𝑑0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐

Aceptando las condiciones de viga balanceada

εcu = 0.003 𝜖 𝑦=𝑓𝑦𝐸

𝑐𝑑=

𝜀𝐶𝜀𝐶+𝜀𝑦

= 0.003

0.003+ 𝑓𝑦2,100,000

= 60006000+ 𝑓𝑦

Cuantía Balanceada

𝜌𝑏=0.8 𝑓 ´ ´𝑐

𝑓𝑦 ∗ 𝑐𝑑

𝑐𝑑=

60006000+ 𝑓𝑦

Pero:

Entonces:

𝜌𝑏=0.8 𝑓 ´ ´𝑐

𝑓𝑦 ∗ 60006000+ 𝑓𝑦

𝝆𝒃=𝒇 ´ ´𝒄𝒇𝒚 ∗ 𝟒𝟖𝟎𝟎

𝟔𝟎𝟎𝟎+ 𝒇𝒚

Realizando una sumatoria de momentos, con respecto a la resultante de compresión.

Mu = T(d-0.4c) = Asfy(d-0.4c)

De manera análoga, pero ahora para la compresión.

Mu = C(d-0.4c) = 0.8cbf´´c(d-0.4c)

Sabemos que:

𝑐=𝜌 𝑓𝑦𝑑0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐

𝑀𝑢=0.8[ 𝜌 𝑓𝑦𝑑0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐 ]𝑏𝑓 ´ ´ 𝑐 (𝑑−0.4 [ 𝜌 𝑓𝑦𝑑

0.8 𝑓 ´ ´ 𝑐 ])𝑀𝑢=

𝜌 𝑓𝑦𝑑𝑓 ´ ´ 𝑐 𝑏𝑓 ´ ´ 𝑐(𝑑− 𝜌 𝑓𝑦𝑑

2 𝑓 ´ ´ 𝑐 )

Definamos:

𝑞=𝜌 𝑓𝑦𝑓 ´ ´𝑐

𝑀𝑢=𝜌 𝑓𝑦𝑑𝑓 ´ ´ 𝑐 𝑏𝑓 ´ ´ 𝑐(𝑑− 𝜌 𝑓𝑦𝑑

2 𝑓 ´ ´ 𝑐 )

𝑀𝑢=𝑞𝑑𝑏𝑓 ´ ´𝑐 (𝑑−𝑞𝑑2 )

𝑀𝑢=𝑞𝑑2𝑏𝑓 ´ ´𝑐 (1−0.5𝑞)

Por Tanto, la ecuación que proporciona la resistencia ideal a flexión,Debe estar afectada por un factor de resistencia, (el Cual según las NTCDCEC, en la sección 1.7 Factores de resistencia señala F.R. = 0.9)

𝑴𝑹=𝑭 .𝑹 .𝒅𝟐𝒃𝒇 ´ ´𝒄𝒒(𝟏−𝟎 .𝟓𝒒 )

Deducciones varias𝑴𝑹=𝑭 .𝑹 .𝒅𝟐𝒃𝒇 ´ ´𝒄𝒒(𝟏−𝟎 .𝟓𝒒 )

𝑑=√ 𝑀𝑢𝐾𝑢∗𝑏

𝐾𝑢=𝐹 .𝑅 .∗ 𝑓 ´ ´ 𝑐∗𝑞(1−0.5𝑞)

𝑞=𝜌 𝑓𝑦𝑓 ´ ´ 𝑐

𝜌=𝐴𝑠𝑏𝑑 As =

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