Deber 3Algebra Lineal

Prof. Dr. Joseph Paez Chavez

II Termino 2009–2010

Problema 1. Sea V = M2×2. Sean H =

{(a11 a11 − a12

a11 + a12 a22

): aij ∈ R

}, W ={(

a11 a11 + a12

a11 − a12 a22

): aij ∈ R

}.

(i) Encuentre H ∩W .

(ii) Encuentre H + W .

Problema 2. Sea V = P3.

(i) Encuentre explıcitamente H = gen(x3, x3 − x2, x + 1, 2) y W = gen(x3, x2 + x).

(ii) Encuentre H + W .

(iii) Encuentre H ∩W .

Problema 3. Sea V = M2×2. Determine si el conjunto C =

{(1 −10 0

),

(0 1

−1 0

),(

0 01 −1

),

(1 1

−1 −1

)}genera V . Si C no genera V , reemplace uno de los vectores de

C para que genere V .

Problema 4. Sea V = R4. Construya un sistema de ecuaciones lineales homogeneo cuyo

conjunto solucion sea generado por los vectores

1101

,

−1

011

.

Problema 5. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1

(i) Sean W1, W2 subconjuntos no vacıos de un espacio vectorial V . Si W1∪W2 es subespaciode V , entonces W1 ⊂ W2 o W2 ⊂ W1.

(ii) Sean W1, W2 subespacios de un espacio vectorial V , tal que W1 * W2. Si W1 ∪W2 essubespacio de V , entonces W1 ∩W2 = W2.

(iii) Sea V un espacio vectorial. Dos vectores v1, v2 son linealmente dependientes, si y solosi uno es multiplo escalar del otro.

(iv) Sean v1, v2, v3 vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V . Entonces,v1 + 2v2, v2 − v3, 5v3 son linealmente independientes.

(v) Sean v1, v2, . . . , vn vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Entonces, el conjunto{v1, v2, . . . , vn, 0V } es siempre linealmente dependiente.

(vi) Tres vectores en R2 son siempre linealmente dependientes.

(vii) Sean v1, v2, v3 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Si v1, v2, v3 generan V ,entonces vi 6= 0V , i = 1, 2, 3.

(viii) Sean v1, v2, v3, v4 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Si v1, v2, v3, v4 sonlinealmente independientes, entonces v1, v2, v3 no generan V .

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