DEBER CONJUNTO III (PARTE 1)

ALGEBRA LINEAL febrero de 2015

ING. ELIZABETH ASIMBAYA N.

I. OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES y PRODUCTO INTERNO

1. Sea el siguiente Sistema S1:

(7-ß)X1 - 2X2 - 4X3 = 0

3X1 - ßX2 - 2X3 = 0

6X1 - 2X2 - (3+ ß)X3 = 0

a) Hallar los valores de ß para que el sistema S1 tenga Infinitas soluciones. CS=? b) Si ß = 2, hallar la Base y dimensión del conjunto solución de S1. c) La base encontrada en el literal b) completarla para obtener una base B*, para todo el ev.

Demuestre que el conjunto propuesto es base. d) Sea S2 = {(1,2/3,0); (0,1,3);(0,2,3)} hallar la ‹ S2 ›, su Base y dimensión. e) Con ß =2, hallar ‹ S1 › Π ‹ S2 › , ‹ S1 › + ‹ S2 › , sus bases y dimensiones.

2. Sean W1= { (𝒂 𝒃𝒄 𝒅

) | 𝒃 = 𝒄 ; b+c = d } y W2= { (−𝟏 𝟏/𝟑𝟏/𝟐 𝟏

) , (−𝟏 𝟏/𝟑𝟏 𝟎

) }

a. Hallar w1 Π w2, Base y dimensión b. Hallar w1 + w2, Base y dimensión c. En la Base de W1+W2, hallar:

- Angulo entre los vectores A1 y A2 - Proyección de A2 sobre A3 - W sev ortogonal al vector A1

3. Sean W2= { (x1,x2,x3,x4) | 𝒙𝟏 − 𝟏/𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 = 𝟎 } y W1= < { (2,-1,0,1) ; (1,-1/3,-

1,0) }> a. Hallar w1 Π w2, Base y dimensión b. Hallar w1 + w2, Base y dimensión c. En la Base de W1+W2, hallar:

- Normas de los vectores - Unitarios de los vectores - Angulo entre los vectores u1 y u2 - Proyección de u2 sobre u3 - W sev ortogonal al vector u4

4. SEAN: 𝑢 = (𝑥1; 𝑥2) 𝑌 𝑣 = (𝑦1; 𝑦2) 𝜖 ℜ2. ¿PARA QUÉ VALORES DE k LA FUNCIÓN f(𝑥, 𝑦) =

𝑥1𝑦1 − 3𝑥2𝑦1 − 3𝑥1𝑦2 + 𝑘𝑥2𝑦2 ES UN PRODUCTO INTERNO SOBRE ℜ2?

5. SEAN: 𝑢 = (𝑥1; 𝑥2) 𝑌 𝑣 = (𝑦1; 𝑦2) 𝜖 ℜ2

a. VERIFICAR SI ES UN PRODUCTO INTERNO SOBRE ℜ2. < 𝑢, 𝑣 >= 𝑥1𝑦1 − 2𝑥2𝑦1 − 2𝑥1𝑦2 +

5𝑥2𝑦2

b. Si u1 = ( 1,1/3) y u2 = ( -2,-1/2), hallar:

- Normas de los vectores - Unitarios de los vectores - Angulo entre los vectores u1 y u2 - Proyección de u2 sobre u1 - W sev ortogonal al vector u2, base y dimensión de W.

6. SEA: 𝑺 = {(𝟏, −𝟏, 𝟎, 𝟐), (𝟐, 𝟎, 𝟑, −𝟏), (𝟒, 𝟎, −𝟐, 𝟏)}

a. Hallar el conjunto generado por S, Hallar la Base y dimensión de <S>

b. Si vi = (x1, x2, x3, x4) y vj = (y1, y2, y3, y4) Є R3 , se relacionan por medio de la operación:

(vi/vj) = x1* y1 +2 x2 * y2 + 3x3* y3+ 4x4 *y4 Demuestre que esta operación es producto interno.

c. Hallar de los vectores de S: - Normas de los vectores - Unitarios de los vectores - Angulo entre los vectores u1 y u2, u2 y u3, u1 y u3 - Proyección de u1 sobre u2, u1 sobre u3, u3 sobre u2 - W sev ortogonal al vector u2, base y dimensión de W. d. A partir de la Base de <S> completar una base B* para todo el espacio vectorial y Ortogonalice

con el Proceso de Gramm-Schmidt

7. Demuestre que la función es un producto interno:

< 𝐴, 𝐵 >= 2𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏12 + 𝑎21𝑏21+2𝑎22𝑏22

𝑎) 𝐴 = [−1 32 −2/3

] , 𝐵 = [0 −2/3

1/2 1]

𝑏) 𝐴 = [1 −12 1

] , 𝐵 = [0 1

−2/3 0]

a. Calcule el producto interno de A y B, la distancia entre A y B, la desigualdad de Cauchy –

Schwartz.

b. Demuestre la Desigualdad Triangular para normas y para Distancias entre estas dos matrices.

c. Hallar el conjunto cápsula de 𝑺 = {(−𝟏 𝟐𝟏/𝟐 𝟏

) , (𝟎 𝟏/𝟐𝟏 𝟎

)} su base y dimensión.

d. A partir de este conjunto Base de S del literal c. complete una Base B1 para todo el espacio vectorial, y ortonormalice con el Proceso de Gramm-Schmidt obteniendo B1 ortonormal.

8. Sean:

Las funciones dadas f(x)=x y g(x)=sen2x, continuas en el intervalo [−𝜋, 𝜋] y el producto interno

definido a continuación:

dxxgxfgf )()(, :

a. Calcule el producto interno de f y g

b. La proyección ortogonal de f sobre g. c. Angulo entre las dos funciones d. Vectores unitarios de las dos funciones

9. Determine una base ortonormal para el conjunto solución del sistema homogéneo:

S1: {𝑎𝑜 + 𝑎1 − 3𝑎2 − 2𝑎3 = 0

2𝑎0 − 𝑎1 − 𝑎3 = 03𝑎𝑜 + 𝑎1 − 5𝑎2 − 4𝑎3 = 0

10. Utilice el producto interior < 𝑝, 𝑞 >= ∫ 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)𝑑𝑥1

−1 y el proceso de Gramm-Schmidt para

transformar la base proporcionada en una base ortonormal.

𝐵 = {𝑥2 − 𝑥 + 2, 𝑥2 + 1,1 − 2𝑥2}

11. Dadas las funciones, Calcule su producto interno, determine si los vectores son ortogonales,

el ángulo entre f y g, la distancia entre f y g, la norma de f y g, la proyección de f sobre g, la

proyección de g sobre f, la desigualdad de Cauchy - Schwartz

𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑔(𝑥) = ℯ−𝑥 El producto interno: < 𝑓, 𝑔 >= ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥1

−1

𝑏) 𝑓(𝑥) = −𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 El producto interno: < 𝑓, 𝑔 >= ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥1

0

𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑔(𝑥) =1

𝑥2+1 El producto interno: < 𝑓, 𝑔 >= ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

1

−1

II TRANSFORMACIONES LINEALES 1. Considérese C como un espacio vectorial sobre C. Defínase una función f de C en C como

f(z )= ž. Demuestre que es una Transformación Lineal.

2. Sea la Matriz A4 la matriz asociada a la Transformación Lineal f: R4 ---> M2.

𝐴 = [

1 𝑥 𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥 𝑥 1

]

a. Hallar los valores de x para que sea una Transformación Lineal Inyectaba, Sobreyectiva por tanto Biyectiva.

b. Para estos valores hallar f-1 y su matriz asociada c. Si B1={ (1,0,0,0) ; (-½ , ½,0,1); (1,1,0,0); (1,1,-1/2,-1/2) } y

B2= {(2 10 0

) , (0 02 1

) , (3 −10 0

) , (0 03 1

)} Hallar la matriz [f]B2 B1 ; [f]BcM

B1 ; [f]B2 BcR4 ;

[Id]B1 BcR4 ; [Id]B2

BcM

3. Determine si la función dada es una transformación lineal, hallar el núcleo, la imagen de T,

bases y dimensión.

𝑎. 𝑇: 𝑃3 → 𝑃2,

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3) = (𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎0) + 2(𝑎2 − 𝑎3)𝑥 + 3𝑎3𝑥2

𝑏. 𝑇: 𝑀𝑛𝑛 → 𝑀𝑛𝑛; 𝑇(𝐴) = 𝐴𝑡𝐴

4. Si 𝑇: ℜ3 → ℜ3, 𝑇(1,2,3) = (0, −1,2), 𝑇(2,3,4) = (1/2,1,1/2), 𝑇(1, −1/3,1) = (1,1,1).

a. Hallar 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧).

b. Demuestre que es transformación lineal.

c. Hallar la matriz asociada a T.

d. Hallar Núcleo, Imagen , Bases y dimensión

e. T es biyectiva?

f. Si lo es, hallar T-1

g. Hallar [T]B2 B1 , [T]B2

BcR3 , si se sabe que B1={(1,2,3) ; (4,5,6); (1,0,0)} y

B2={(1,0, −1) ; (1,1,1); (1,0,0)}

h. Hallar [T-1]B1 B2 , si se sabe que B1={(1,2,3) ; (4,5,6); (1,0,0)} y

B2={(1,0, −1) ; (1,1,1); (1,0,0)}

5. Sea T una Transformación Lineal entre M2x2 y R4 , verifique si T es biyectiva y hallar T-1

[

−1 1 −2 03 1 0 24 −2 3 −1

−3 −2 1/2 −1/2

]

6. Sea :

𝑇1: ℜ3 → ℜ4, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦, 𝑦 − 2𝑧, 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑥 + 3𝑧) una T.L,

a. Hallar Núcleo e Imagen, Base y dimensión.

b. Sean 𝐵 = {(1,0,2), (0,1,3), (1,2,3)} base de ℜ3

𝐵′ = {(1,1,1,1), (1, −1,1,1), (1, −1, −1,1), (1, −1, −1, −1)} Base de ℜ4

Hallar la matriz asociada a T1 respecto a las bases dadas.

c. T1 es biyectiva? Demuéstrelo.

d. Sea ui= (1/2,-2,1/3) hallar T1(ui)

e. Sea T2(a,b,c) = (3a+2b-c, -a+b-2c, -a+b-3c, a+b) hallar (T 1- T2)=T3, Núcleo , Imagen, Bases y

dimensión.

f. Sea T4 (a,b,c,d) = ((𝑎 − 2𝑏 − 𝑐) (𝑏 + 2𝑐)

(2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 + 𝑑) (𝑎 − 2𝑐)) Hallar T4 o T1

g. Si T4 es biyectiva, Hallar T4 -1

7. Sea 𝑇: 𝑃3 (𝑡) → 𝑃3 (𝑡) definida por la Matriz asociada a T: (

𝑥 1 1 11 𝑥 1 11 1 𝑥 11 1 1 𝑥

).

a. Hallar el valor de x para que T sea Biyectiva b. Para estos valores hallar T-1 c. Para un valor de x en que T no es biyectiva, hallar los subespacios vectoriales N(T) e

Img(T)

8. Determine: la ecuación característica, los valores y vectores propios de la matriz:

𝑐) 𝐴 = [1 −1 43 2 −12 1 −1

]

9. Sea 𝑇: ℜ3 → ℜ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 + 1/2𝑧, 𝑥 + 3/2𝑦 + 𝑧, −𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧), encontrar la matriz de transformación lineal, la ecuación característica, los valores y vectores propios.