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Documentación Académica revisada 1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA PRIVADA

DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES.

GUÍA

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

ENERO - 2015


GUIA DE ESTUDIO - MAAP

I. IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA

Sigla : MIN-320

Nombre de la Asignatura : Estadística Inferencial.

Horas Académicas : 80 Horas

Prerrequisitos : Estadística Descriptiva

Carreras : Ingeniería Comercial, Ingeniería en Marketing y Publicidad,

Administración General, Administración de Turismo, Auditoría,

Auditoría Financiera, Administración Financiera.

II. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

El estudiante calcula, interpreta y toma decisiones utilizando probabilidades en

problemas pertinentes a su carrera.

El estudiante generaliza las características de la muestra la población utilizando la

teoría de los intervalos de confianza.

El estudiante determina el tamaño de la muestra siguiendo los procedimientos de

muestro probabilísticos.

III. PLAN TEMÁTICO

Para lograr los objetivos de la materia, el contenido está estructurado en temas, que son

los siguientes:

TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas

Teóricas

Horas

Prácticas

# de

Clases

Introducción a la

Estadística

Inferencial

Definición de Estadística Inferencial

Importancia

Aplicaciones

Introducción a las

Probabilidades.

Concepto de Probabilidad.

Modelos de Probabilidad.

Reglas de Probabilidad.

Aplicaciones de Probabilidad.

Teoría del Teorema

de Bayes.

Concepto del Teorema de Bayes.

Aplicaciones del Teorema de Bayes.

Distribuciones de

Probabilidad.

Distribución Binomial de Probabilidades.

Distribución de Poisson.

Distribución Normal de Probabilidades.

Intervalos de

Confianza.

Concepto de Intervalo de Confianza.


Intervalo de Confianza para calcular un

promedio poblacional.

Intervalo de Confianza para calcular un

promedio poblacional.

Intervalo de Confianza para calcular una

proporción poblacional.

Teoría del

Muestreo.

Tipos de Muestreo.

Muestreo Aleatorio Simple.

Muestreo Sistemático.

Muestreo Estratificado.

Muestreo por Conglomerados.

IV. ORIENTACIONES PARA LA ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO DE

APRENDIZAJE DURANTE EL DESARROLLO DE LA MATERIA

La Estadística es una herramienta indispensable para todo profesional de ciencias empresariales

que quiera tomar decisiones estratégicas en una organización, la teoría de probabilidades asume

es tipo de riesgo que tienen las mismas, el estudio de esta materia no es de carácter horizontal

dentro de la formación de un profesional, es vertical, las estadísticas el manejo de la información

son la médula espinal de toda empresa que pueda llamarse exitosa.

a) El proceso de aprendizaje durante toda la materia es “integral”.-

La misión de la UTEPSA es “lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia académica

de calidad, excelencia, con valores, responsabilidad social, innovación, competitividad, y

habilidades emprendedoras”. Por esto no te sorprendas si además de ser evaluado en

contenidos propios de la materia, el docente evalúa también aspectos como puntualidad, pro

actividad, ortografía, etc. Nunca pierdas de vista que lo se te exige es por tu propio beneficio.

b) Asistencia y puntualidad.-

Asistir a clases y hacerlo de manera puntual, es una manera de demostrar que somos

responsables:

Tu asistencia es importante en TODAS las clases. Por si surgiera un caso de fuerza mayor,

en el reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por módulo (Art. 13 Inc. B y C

del Reglamento Estudiantil UPTESA). Si sobrepasas esta cantidad de faltas PERDERAS EL

DERECHO A TOMAR LA EVALUACIÓN FINAL de la materia. Se considera “asistencia” estar

al inicio, durante y al final de la clase.

Esfuérzate por estar en la clase a la hora de inicio. Se dará un margen de 10 minutos de

tolerancia. después de estos, podrás entrar tan pronto como el docente considere que tu

ingreso no será una distracción para la clase o después de la hora de descanso, de esta

manera no perjudicaremos el avance de la clase distrayendo a los compañeros.


Si te retiras de la clase antes de que esta termine, tampoco registraras asistencia completa.

Ten especial cuidado con la asistencia y la puntualidad los días de evaluación. Normalmente

la fecha de pruebas, es comunicada con varios días de antelación, esto te permite

programarlos como ocasiones a las que tienes que darles una espacial atención.

Si confirmas la materia el 2do o 3er día de clases, ya tienes acumuladas automáticamente

las faltas de los días que no has asistido. Favor tómalo en cuenta.

c) Comportamiento en clases.-

Los estudiantes y los docentes, evitamos beber y comer en el aula. De ninguna

manera podemos fumar dentro de esta.

A fin de evitar interrupciones, los celulares se apagarán al entrar al aula o se pondrán en

modo silencioso para atender llamadas o mensajes SOLO en caso de emergencia.

Cualquier falta de respeto a los compañeros, al docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será severamente sancionada de acuerdo al reglamento de la Universidad.

En todo caso confiamos en que todos respetaremos las normas de conducta adecuadas.

V. OBJETIVOS Y ACTIVIDADES DE CADA TEMA

UNIDAD 1:

A.Objetivos

Realizar un diagnostico del conocimiento previo de los conceptos básicos de

Estadística Inferencial.

B. Actividades de Aprendizaje

Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (Teórica)

Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (practica)

B.1 Para resolver en clases

Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (Teórica)

Ejercicio 1.

Calcular el promedio, mediana, moda, Desviación Media, Desviación Estándar

y coeficiente de variación.

En una clase de Marketing se toman los pesos en kilogramos de 8 estudiantes:

78, 67, 81, 70, 69, 60, 85, 73


B.2 PORTAFOLIO UNIDAD 1

Investigar:

a) Tres definiciones de Estadística Inferencial

b) Orígenes de la Estadística Inferencial

c) Aplicaciones de la estadística Inferencial

d) En un ejemplo real explique la aplicación de la Estadística Inferencial

e) ¿A que se denomina inferencia estadística?

f) ¿A que se denomina inducción estadística?

g) Muestre y explique a través de un ejemplo real la aplicación de la Estadística

Descriptiva

h) Definición de población en termino de estadística

i) Definición de muestra en termino de estadística

UNIDAD 2:

A. Objetivos.

El estudiante analiza información estadística utilizando la teoría de probabilidades.

B. Actividades de aprendizaje

Cuestionarios, casos, orientaciones para investigación, ejercicios propuestos y

resueltos, etc.

B.1 Para resolver en clases

Casos, Probabilidades


Caso de Estudio # 1

Objetivo: Realizar un diagnóstico del cálculo de porcentajes en los

estudiantes que recién ingresan a la materia.

Nombre del Caso: WWW.FACEBOOK.COM.1

Desde sus inicios el facebook ha sido una herramienta de usos

incalculables, no solo ha unido a personas que no tenían vínculos desde

hace mucho tiempo sino que ha cambiado por completo el sistema de

comunicación mundial, todos tenemos una cuenta en facebook, las

empresas hacen su publicidad mediantes esta vía y cada vez el encontrar

algo ó alguien se hace más fácil en este mundo tan interconectado.

El mes pasado en la Universidad UTEPSA se aplicó una encuesta para

conocer a profundidad. ¿Cuántas personas utilizaban facebook y con qué

objetivo lo hacían?, los resultados fueron escalofriantes. De los 380

encuestados, 370 tenían una cuenta, 300 admitieron que lo usan todos los

días, y 230 admiten estar conectados más de 2 horas diarias, 103 alumnos

ingresan por el mero hecho de solo estar informado de la vida de otros y 68

comentan que lo utilizan con fines académicos. De todos los que ingresan

solo para socializar el 40% es de sexo masculino y de los que están más de 2

horas diarias el 74% son mujeres.

También se realizó una encuesta en la UDABOL. En dicha institución se

entrevistaron a 360 estudiantes y 302 de ellos admitió tener una cuenta en el

facebook, lo curioso es que el 90% de los que tienen cuenta admiten entrar

todos los días y de estos el 80% más de 2 horas.

Teniendo en cuenta esta información conteste las siguientes preguntas.

1. Del total de los encuestados. ¿Qué porcentaje utiliza facebook.com?

2. Del total de usuarios del facebook. ¿Qué porcentaje lo utiliza todos los

días?

3. Del total de usuarios diarios de UTEPSA. ¿Qué porcentaje permanece

conectado más de 2 horas?

4. Del total de usuarios del facebook de UTEPSA. ¿Qué porcentaje

ingresan con fines académicos?

5. ¿Qué cantidad de hombres representan el 40% de los usuarios que

ingresan al facebook solo para socializar en la UTEPSA?

1 Caso del Libro “Aprendiendo Estadística” del Lic. Evelio Hernández.

http://www.facebook.com/


6. ¿Qué cantidad de mujeres representa el 74% de las personas que se

conectan más de 2 horas por día en UTEPSA?

7. ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que utilizan el

facebook?

8. ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que ingresan

al facebook todos los días?

9. De todos los encuestados en ambas universidades. ¿Qué cantidad de

estudiantes representa el porcentaje de estudiantes que están

conectados más de 2 horas por día?

Caso de Estudio # 2

Objetivo: Comprobar la adquisición de habilidades en el cálculo de

probabilidades, porcentajes y cantidades.

Nombre del Caso: Pollos Chuy2

Pollos Chuy es una de las empresas más exitosas del mercado cruceño de

venta de pollos. Sus ventas exceden la tonelada diaria. En la empresa existe

un total de 1400 empleados y a 350 de ellos se les tomó una encuesta con

la intención de conocer el grado de satisfacción que tienen los empleados

con la empresa. De todos los encuestados 108 son hombres. Del total de

mujeres encuestadas 79 están disconformes con el trato que reciben de sus

superiores, mientras que solo están disconformes 60 de los hombres. Dentro

del grupo de disconformes de la empresa el 20% vive fuera del 4to anillo de

circunvalación. De todos los encuestados 240 trabajan en el turno de la

tarde y el restante en el turno de la noche, de todos los trabajadores

nocturnos el 40% son hombres. Otro dato que se obtuvo de la empresa es

que el 38% de los encuestados están disconformes con su pago y solo el 24%

está feliz con la empresa.



Preguntas.

1. ¿Qué porcentaje del total de la población representa la muestra

seleccionada?

2. ¿Cuál es la probabilidad que tome una encuesta y haya sido

contestada por una dama?

3. Si ya sé que la encuesta que tengo es de una dama. ¿Cuál es la

probabilidad que está disconforme con el trato de los superiores?

4. Obtengo otra encuesta y resulto ser una persona disconforme con el

trato. ¿Cuál es la probabilidad que esta persona viva dentro del

cuarto anillo?

5. ¿Cuántas personas representan el 40% de los trabajadores nocturnos

que son hombres?

6. ¿Qué cantidad de los encuestados estuvo disconforme con su pago?

Ejercicio 1. PROBABILIDADES

Si se saca una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuáles de las siguientes

parejas de eventos son mutuamente excluyentes o no?

A=Que sea una carta roja

B=Que sea una carta de corazón

C=Que sea un numero par

D=Que sea un 3 de espadas

AyB…………….. ByC……………….

AyC……………. ByD………………..

AyD…………….. CyD……………….

Ejercicio 2.

Si se lanzan dos dados a la vez y se quiere analizar la suma de los dos

resultados. Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.

A=La suma de los dos resultados sea un numero par

B=La suma es un numero cinco

C=Un cinco en uno de los dados

D=La suma sea mayor a 7


AyB…………………………. ByC…………….

AyC………………………… ByD…………….

AyD…………………………. CyD……………..

Ejercicio 3.p

Si se lanza una moneda tres veces y se quiere analizar el numero de caras

que se pueden obtener. Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.

A=Que salgan 3 caras

B=Que no salga ninguna cara

C=Que salgan tres sellos

D=Que salgan dos o más caras

AyB………….. ByC………….

AyC…………. ByD…………..

AyD…………. CyD………….

Ejercicio 4.

La Universidad Tecnológica Privada de Santa Cruz (UTEPSA) cuenta con una

población de 10.000 estudiantes, cada uno con sueños y metas diferentes

pero con una misma misión, aprender a formar un negocio propio. Usted

como analista de información de la Universidad necesita conocer las

proporciones por sexo de las Facultades y el departamento de Sistemas le

muestra el siguiente cuadro. Teniendo en cuenta la información que en este

se encuentra y que usted se encontró un estudiante en la calle. Responda

las siguientes preguntas.

Facultades. Hombres Mujeres Total

Facultad. Ciencias

Empresariales. 1500 2500 4000

Facultad. Ciencias

Tecnológicas. 2500 1000 3500

Facultad. Ciencias Jurídicas. 500 1000 1500

Facultad. Relaciones

Internacionales. 500 500 1000

Total. 5000 5000 10000

Preguntas:


A. ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea mujer?

B. ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea de la Facultad de

Ciencias Tecnológicas?

C. ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre y de la Facultad de

Relaciones Internacionales?

D. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer y estudie en la Facultad de

Tecnología?

E. Bajo el supuesto que el estudiante fue hombre. ¿Cuál es la

probabilidad que estudie en la facultad de Ciencias Empresariales?

F. Bajo el supuesto que el estudiante pertenece a la Facultad de

Tecnología. ¿Cuál es la probabilidad que sea Mujer?

G. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer ó de la Facultad de

Relaciones Internacionales?

H. ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó de la Facultad de

Tecnología?

I. ¿Cuál es la probabilidad que sea de la Facultad de Ciencias

Empresariales ó Tecnológicas?

J. ¿Cuál es la probabilidad que sea de cualquier Facultad menos la de

Ciencias Jurídicas?

Ejercicio 5.

Usted es el gerente comercial de la empresa distribuidora de Bebidas

“Bodegas Hernández”, uno de los tantos productos con que cuenta la

empresa es la Soda Conti que se importa de Brasil. Para penetrar el mercado

usted debe hacer degustación en diversos puntos de la Ciudad y recoger

opiniones. Los siguientes datos muestran las opiniones del sabor de los

encuestados.

Opinión Regular Buena Excelente total

Zona

Norte 20 30 10 60

Zona Sur 15 45 30 90

Zona

Este 20 25 50 95

Zona

Oeste 10 15 30 55

65 115 120 300


a) Si usted debe comenzar por la zona que más aceptación tuvo el

producto. ¿Por qué zona comenzaría la distribución?

b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Sur y la soda le

parece Buena?

c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Este ó la soda le

pareció Excelente?

d) ¿Qué porcentaje de los encuestados el producto le pareció por le

menos buena?

e) ¿Cuál es la probabilidad que un encuestado sea de la zona oeste

dado que tiene una opinión Regular?

Ejercicio 6.

La materia de Investigación de Mercados la dictan 4 profesores, Ana, Evelio,

Carlos y Juan, de los 15 grupos que se van a abrir Ana tiene asignado 2,

Evelio 3, Carlos 4 y Juan 6 , los comentarios la han llegado que con Ana el

80% aprueba, con Evelio un 75%, con Carlos un 60% y con Juan un 90%.

Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante haya cursado con Evelio

sabiendo que reprobó?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan

si se sabe que reprobó?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan

si se sabe que aprobó?

Ejercicio 7.

Usted es propietario de la imprenta “Sirena”, por carnavales la producción

de volantes ha aumentado muchísimo, las dos máquinas que tiene son muy

buenas pero cada 1000 impresiones la primera saca 40 con fallas y la

segunda de cada 2000 impresiones la pasa lo mismo. Un cliente vino ayer a

quejarse que sus volantes estaban mal hechos, ¿Cuál es la probabilidad que

lo haya impreso la segunda máquina?

Ejercicio 8.

La empresa de telecomunicaciones TIGO tiene en sus listas de empleados

150 economistas, 150 ingenieros y 300 técnicos, 40 de los economistas son

directivos, 45 ingenieros y 20 técnicos. Se toma un empleado al azar. ¿Cuál

es la probabilidad de que sea técnico si se sabe que no es directivo?


Ejercicio 9.

La farmacia Telchi, la Santa María y la Gutiérrez respectivamente han

creado una vacuna contra el resfrío. La primera tiene un 25% de efectividad,

la segunda un 35% y la tercera un 40%, usted estaba resfriado y ayer estaba

en el centro de la ciudad, suponiendo que tuvo la misma probabilidad de ir

a cada farmacia y sabiendo que se curó.

a) ¿Cuál es la probabilidad que haya comprado en la farmacia Telchi?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya ido a la farmacia Gutiérrez?

B2. PORTAFOLIO UNIDAD 2

Caso de Estudio # 3

Objetivo: Comprobar la adquisición de habilidades en el cálculo de

probabilidades, mediante el Teorema de Bayes.

Nombre del Caso: Che Gaucho.3

En Che Guacho hay 4 Chefs, el primero es Facundo, es un experto haciendo

Churrasco, tanto que de cada 20 que prepara solo le devuelven 1 para

cocerlo mejor ó alguna queja, Facundo también hace Pollo Deshuesado, es

un genio en esto, de cada 25 pollos recién le devuelven 1, el último plato

que cocina es Surubí al Ajillo, este plato recién lo está aprendiendo y de

cada 10 le devuelven 1. Facundo prepara 10 churrascos por día, 8 pollos y

3 surubíes. El segundo Chef es Bernardino, el es un experto en la cocina, de

cada 40 churrascos que hace le viran 2, de cada 100 Surubíes le viran 1, el

tema es que Bernardino es alérgico al pollo y no cocina pollo, no obstante

es un experto en pastas y de cada 50 platos que saca le devuelven solo 1.

Al día Bernardino cocina 10 churrascos, 30 Surubíes y 20 platos de pastas. El

tercer Chef es Aurelio, desde que llegó de Perú se ha hecho famoso por su



excelente calidad en el arte culinario. Este chef cocina las mejores pastas

del restaurant, de cada 100 platos recién le viran 1, en cuanto a los surubíes

de cada 50 le viran uno y en los pollos (como buen peruano) es un genio,

no le viran ninguno. Al día cocina 20 Surubíes, 30 pastas y 25 pollos. El último

Chef es el Maestro Juan, genio entre los genios, de cada 80 churrascos que

cocina le viran 2, de cada 40 pastas 1, de cada 50 pollos 1 y de cada 40

Surubíes 2. Juan cocina un promedio de 20 churrascos, 20 surubíes, 40 pollos

y 30 pastas por día. El mes de marzo fue un éxito en Ché Guacho, se vendió

muchísimo. Facundo vino 25 días, Juan los 30, Bernardino 22 y Aurelio 28.

Preguntas:

A. Un cliente vino a felicitar al Chef que le cocinó el Surubí que comió el

mes pasado pero no se acuerda que día vino. ¿Cuál es la

probabilidad que se lo haya cocinado Juan?

B. Otro cliente vino a felicitar por el excelente servicio que le dio el

restaurante y por el excelente plato de pasta que se comió. ¿Cuál es

la probabilidad que el plato lo haya cocinado Bernardino?

C. El mismísimo Rubén Costas vino al restaurante y se quedó contentísimo

con el churrasco que pidió. ¿Cuál es la probabilidad que lo haya

cocinado Facundo?

D. Pero Raquel (señora especial) se molestó mucho con el pollo que le

sirvieron el mes pasado por que estaba crudo. ¿Cuál es la

probabilidad que lo haya cocinado Aurelio?

Ejercicio 1.

Usted es el Gerente Comercial del Café 24, local de distracción del centro

de la Ciudad, el mismo es frecuentado por cruceños, pero está enfocado

en ser el lugar de pasada por excelencia de los extranjeros y visitantes de

otros departamentos. Usted está preocupado por la atención que reciben

los clientes y decide hacer una encuesta a las diversas personas que asisten

al boliche preguntándole. ¿Qué le ha parecido la atención? Los resultados

se muestran a continuación.

Cruceños Turistas

Nacionales

Turistas

Extranjeros.

Pésima 20 3 23


Regular 12 13 0

Buena 8 24 14

Muy

buena 15 12 12

Excelente 15 13 16

A. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Cruceños?

B. ¿Qué porcentaje del total de encuestados son Extranjeros y la

atención les pareció Buena?

C. ¿Qué porcentaje de los Cruceños la atención le pareció excelente?

D. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas (Tanto nacionales

como extranjeros)

E. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales ó la

atención le pareció Muy Buena?

F. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales dado

que la atención les pareció Regular?

G. ¿A qué porcentaje de los encuestados el trato le pareció por lo menos

Bueno?

Ejercicio 2.

Usted es el nuevo gerente Comercial del taller mecánico “Páez”, al mismo

asisten muchos clientes con autos de tres clases. Nissan, Toyota y Ford. A

cada uno de los clientes que vino el mes pasado se le hizo una encuesta

preguntándole por la calidad del servicio del taller. Los resultados se

muestran a continuación en una tabla de contingencia.

Toyota Nissan Ford

Pésima 15 35 20

Regular 30 10 20

Buena 35 25 20

Excelente 20 10 60

A. ¿Qué porcentaje de los clientes vino con un auto Ford?

B. ¿Qué porcentaje de los clientes opina que la atención es Regular y

vino en Nissan.

C. ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Nissan ó Toyota?

D. ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Ford ó el servicio le pareció

excelente?


E. ¿A qué porcentaje de los clientes que vinieron en Toyota la atención

les pareció excelente?

F. ¿A qué porcentaje de los clientes la atención le pareció por lo menos

Regular?

G. Teniendo el criterio de Excelente. ¿Cuál es la marca de auto que más

satisfecha salió del taller?

H. ¿Qué porcentaje de los clientes vinieron con Ford dado que la

atención les pareció pésima?

I. Si por cada reparación se ganó Bs. 100 y el costo fijo del taller es de

10.000 Bs. ¿Cuál fue la utilidad del taller?

Ejercicio 3.

La fábrica de vasos del oriente boliviano tiene 5 máquinas, la primera

produce 100 unidades por día y una décima parte son defectuosos, la

segunda produce el doble que la primera y 10 de ellos tienen algún tipo de

desperfecto, la tercera máquina produce 400 unidades por día y el 15% de

los mismos salen rotos, la cuarta produce la mitad que la tercera y ninguno

tiene desperfectos, la quinta produce apenas el 25% que la tercera y la

misma proporción de desperfectos que la segunda. Se toma un vaso al azar

y está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido

por la segunda máquina?

Ejercicio 4.

La probabilidad de que llueva en Santa Cruz de la Sierra mañana es de 45%,

si llueve existe un 52% de probabilidad que se alquile un toldo, mientras si no

llueva la probabilidad de alquiler baja a 30%. Usted es el dueño de la fábrica

de toldos y estaba de viaje, cuando llegó se enteró que se alquiló un toldo.

¿Cuál es la probabilidad que no haya llovido?

Ejercicio 5.

A una tienda del centro ingresaron el mes pasado 200 personas de las cuales

50 fueron mujeres, solo 10 de estas compraron algún producto y el 10% de

los hombres. Un cliente viene a reclamar por un producto en mal estado que

le vendieron el mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

Ejercicio 6.


En una taller de fabricación de calzado manual hay 8 obreros, el primero

(Juan) produce 10 pares diarios y una cuarta parte tiene que deshilacharse

por su falta de calidad, el segundo (Pedro) produce un promedio de 15

pares y el 10% están siempre en mal estado, el tercero (Raúl) produce 25

pares pero como es un maestro zapatero solo un par le queda en mal

estado, el cuarto (Emilio) produce el doble que el primero y la misma

proporción de defectuosos que le segundo mientras que el quinto (Don

Miguel) es el dueño del taller y de los 22 que produce ninguno sale mal. El

primero trabajo 5 de los 7 días de la semana, el segundo solo vino 4 días, el

tercero vino la mitad de los días que el cuarto que casualmente vino la

misma cantidad de días que el segundo y obviamente el 5to vino los 7 días.

Si se toma uno de los pares de zapato que se produjeron toda la semana y

está en buen estado, ¿Cuál es la probabilidad que haya sido fabricado por

Don Raúl?

Ejercicio 7.

La fábrica de RELAX está en la Carretera a Cotoca, el producto lo fabrica 4

máquinas, la primera fabrica 100 botellitas por hora pero dos de los mismos

le salen en mal estado, la segundo fabrica 250 por hora y el 1% de los mismos

salen en mal estado, la tercera fabrica 200 por hora pero ninguno le sale en

mal estado, mientras que la cuarta produce 150 por hora y el 2% sale en mal

estado. La producción total de Relax se hizo toda la semana pasada. La

máquina uno trabajó de lunes a viernes 15 horas por día, la máquina dos

trabajó de lunes a sábado 14 horas por día, la máquina 3 trabajó de lunes a

jueves 20 horas diarias mientras que la 4 trabajó de lunes a domingo pero

solo 16 horas por día. Se llevó a la distribuidora la producción total de la

semana y parte de la misma se vendió, un cliente vino a felicitar a la

empresa por la calidad de su trabajo.

a) ¿Cuál es la probabilidad que el producto que probó el señor haya

sido producido por la tercera máquina?

b) Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la tercera ó la

cuarta máquina?

c) Otra persona vino pero esta vez a quejarse de un producto que

estaba en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido

producido por la máquina 3?

Ejercicio 8.


Usted es el gerente del Taller “Páez”, bajo su mando tiene 3 mecánicos, el

primero (Juan) arregla 15 autos Toyota por mes, 10 Nissan y 10 Ford, todos

los Toyota le quedan excelente, 2 de los Nissan tienen algún desperfectos

después del arreglo y 1 de los Ford. El segundo mecánico (Pedro) arregla 40

al mes la mitad son Toyota, un cuarto Ford y el restante NISSAN, de los Toyota

el 5% sale en mal estado, el 2% de los Ford y el 1% de los Nissan. El tercero

(Alfredo), arregla a la quincena 10 Toyota, 15 Nissan; pero no le hace a los

Ford, el 8% de los Toyota que arregla sale en mal estado y el 3% de los Nissan.

El cuarto es Edith, este es el dueño del taller y por ende el que más trabaja,

Edith arregla 20 Toyota al mes, 25 Nissan y 18 Ford, el 2% de los Toyota salen

con defectos, el 3% de los Nissan y solo el 85% de los Ford salen en buen

estado. Juan trabajó 10 meses en el año, Pedro tan solo 7, Alfredo 11 y Edith

por ser el dueño los 12.

a) Un cliente vino a protestar por un arreglo que le hicieron hace unos

meses, sabiendo que su auto era Nissan. ¿Cuál es la Probabilidad que

haya sido arreglado por los dos primeros mecánicos?

b) Otro cliente vino a protestar por cómo le habían arreglado el auto

(Toyota). ¿Cuál es la probabilidad que lo haya reparado Arturo?

c) Un último cliente vino a felicitar a Edith porque su auto y el de la

esposa habían quedado geniales. ¿Cuál es la probabilidad que los

haya arreglado el mismo Edith sabiendo que el auto del señor es

Nissan y el de la esposa Ford?

Ejercicio 9. Usted es analista de Información de la empresa investigadora de

mercados (Mercader ADS), en estos momentos debe responder varias preguntas

que su cliente necesita con rapidez, el estudio que este le pidió fue acerca del uso

del facebook en la universidades, su equipo de investigadores le entregó varia de

la documentación que requiere el cliente y entre ella un cuadro donde aparecen

la cantidad de personas por sexo que utilizan el facebook en cada uno de las

universidades.

Sexo UAGRM UTEPSA UDABOL UPSA Domingo Total

Hombre Utiliza 44.000 3.800 2.500 1.700 2.300 54.300

No Utiliza 1.000 200 500 300 200 2200

Mujer Utiliza 27.000 4.800 4.000 2.800 2400 41.000

No Utiliza 2.000 200 0 200 100 2500

Total 74.000 9.000 7.000 5.000 5.000 100.000

Preguntas


A. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar un estudiante al azar y sea

mujer?

B. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar un estudiante y sea de una

Universidad Privada?

C. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar a un estudiante que utilice el

facebook y sea de la UAGRM?

D. Si se sabe que el encuestado es hombre. ¿Cuál es la probabilidad que

no utilice le facebook?

E. ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó Utilice el facebook?

UNIDAD 3:

A. Objetivos.

El estudiante analiza las distribuciones de probabilidad y utiliza sus propiedades

para el proceso de la toma eficiente de decisiones.



resueltos, etc.

B1. Para resolver en clases

Ejercicios de aplicación de la Probabilidad de Poisson.

Ejercicio 1.

A la tienda de don Pedro entran 15 personas por hora. ¿Cuál es la

probabilidad que en la próxima hora entren a la tienda 5 personas?

Ejercicio 2.

Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que

exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora ( ó en cualquier

hora del dia) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha

demostrado que 800 clientes han entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10

por hora.

Ejercicio 3

Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato con la alcaldía

para hacer mantenimiento a las vías de un centro urbano. Las vías

recientemente pavimentadas por esta empresa demostraron un defecto de


2 defectos por milla, después de haber pavimentado durante un año. Si la

alcaldía contrata a esta compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que se

presenten 3 defectos en cualquier milla de vía después de haber tenido

tráfico durante un año?

Ejercicio 4.

Se sabe que por hora ingresan al Banco del Centro de la Ciudad un

promedio de 26 personas, ¿Cuál es la probabilidad que en la próxima media

hora de ingresen exactamente 15 personas?

Ejercicio 5.

La empresa distribuidora de leche PIL ha descubierto que vende 4000 litros

promedio por día, ¿Cuál es la probabilidad que mañana venda 3800 litros?

Ejercicio 6.

Un promedio de 6 personas por hora hacen uso de una caja bancaria

automatica durante el horario pico de compras en una tienda

departamental. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Exactamente 6 personas usen la caja duranta una hora

aleatoriamente seleccionada

b) Menos de 5 personas usen la caja en una hora aleatoriamente

seleccionada

c) Ninguna persona la use durante un intervalo de 10 minutos?

d) Ninguna persona la use durante un intervalo de 5 minutos?

e) Mas de 3 personas la usen en un intervalo de 15 minutos?

Ejercicio 7.

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico

continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto.

Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3

minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una

imperfección en 15 minutos.

Ejercicios de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

Ejercicio 1.

Usted es el Gerente Comercial en Santa Cruz de la Sierra de Laboratorios Inti,

la empresa cuenta con una tradición de excelencia en cuanto a la

distribución y comercialización de fármacos, sin duda alguna el producto

estrella es el MENTISAN, utilizado para casi todo lo que pueda sucederle a

una persona. Un estudio previo a su gestión mostró que el consumo


promedio de los habitantes del departamento era de Bs. 120 anual con una

varianza de 121 Bs. Teniendo en cuenta estos datos, responda las siguientes

preguntas.

a) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran de 80

a 120 Bs?

b) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran Más

de 100 Bs?

c) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran

menos de 95 Bs?

d) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran entre

95 y 138 Bs?

e) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran entre

84 y 91 puntos?

Ejercicio 2.

Los siguientes datos muestran las edades de los pacientes del oncológico en

los últimos 4 meses. Los datos están distribuidos normalmente con un

promedio de 56.16 años y una desviación estándar de 16.6 años.

a) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 60 años?

b) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga de 56.16 a 63 años?

c) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 50 y 61 años?

d) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 59 y 70 años?

e) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 44 y 48 años?

f) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 38 y 63 años?

g) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga menos de 50 años?

h) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 52 años?

i) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 45 años?

j) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga menos de 64 años?

k) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 61 y 63 años?


Ejercicio 1.

7.- Se sabe que en promedio el ganado de la finca “Armando” pesa en

promedio 850 Kg con una varianza de 62.500 Kg. En este momento hay

15.000 ganados en la finca y hay que trasladar a parte de ellos a la FEXPO,

en el primer grupo de camiones hay que poner a los animales que pesan


menos de 450 Kg, en el segundo grupo de camiones a las que pesan entre

750 y 930 Kg, mientras que en el tercer grupo va lo mejor de la quinta que

son los animales que pesan más de 1.000 Kg.

A. Cuantos animales debe montar Don Armando en cada grupo de

camiones.

Ejercicio 2.

Cotas presta servicios de comunicación a los negocios del área

metropolitana de Santa Cruz. Los funcionarios de la compañía, han

aprendido que la transmisión satélite promedio es de 150 segundos, con una

desviación estándar de 55 segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos

normalmente. Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente

por sus servicios y establecer una estructura de tarifas que maximice las

utilidades corporativas. Cotas debe determinar que tan probable es que

algunas llamadas se presenten, El director de servicios desea que usted

proporcione estimados de la probabilidad de que una llamada dure:

a) Entre 125 y 150 segundos.

b) Menos de 125 segundos.

c) Entre 145 y 155 segundos.

d) Entre 160 y 165 segundos.

Ejercicio 3.

La granja Avícola Sofía tiene una producción promedio de 46000 pollos

por mes, teniendo en cuenta que la compañía tiene una distribución

estándar de 19.000 pollos por mes.

a) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan entre 44000 y 55000

pollos por mes?

b) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan más de 60.000 pollos por

mes?

c) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan entre 35000 y 45.000

pollos por mes?

d) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan menos de 40.000 pollos?

e) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan más de 70.000 pollos?

Ejercicio 4. Poisson


Supongamos que un manuscrito de un libro de texto tiene un total de 50

errores en las 500 paginas del materialy que estos se distribuyen

aleatoriamente a lo largodel texto. ¿Cuál es la probabilidad de:

a) Un capitulo de 30 paginas tenga 2 o mas errores?

b) Un capitulo de 50 paginas tenga 3 o mas errores?

c) Una pagina aleatoriamente seleccionada no tenga ningun error?

Ejercicio 5. Poisson

Tras un ensamble una planta manufacturera se encuentra que solo una

computadora por millar es defectuosa y que las PC defectuosas se

distribuyen aleatoriamente en la corrida de produccion.

a)?Cual es la probabilidad de que un embarque de 500 pc NO INCLUYA

ninguna computadora defectuosa?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un embarque de 100 pc incluya al menos

una computadora defectuosa?

UNIDAD 4:

A. Objetivos.

El estudiante infiere características de una muestra (estadígrafos) a la población

(parámetros poblacionales)



resueltos, etc.

B1. Para resolver en clases

Práctico de Intervalos de Confianza.

Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es conocida.

Ejercicio 1.

Cien latas de de 16 onzas de la salsa de tomates Jakes Mom tienen un

promedio de 15.2 onzas. La desviación estándar poblacional en peso es de


0.96 onzas. ¿A un nivel de confianza del 95% las latas están llenas con un

promedio de 16 onzas?

Ejercicio 2.

Una muestra de 500 personas muestran un promedio de consumo de 80 Bs

en refrescos (Soda) mensual. Teniendo en cuenta que se conoce por datos

anteriores que la desviación estándar poblacional es de 135 bolivianos.

Determine el intervalo de confianza para el 95% y el 90% que muestre donde

estaría la media poblacional.

Ejercicio 3.

Un investigador que se dedica a la creación de un nuevo producto

alimenticio tiene preocupación acerca de la continuidad de sus

actividades debido a que las reglas para financiamiento de su investigación

predican que si tiene una tasa de 78 errores en promedio por mes dejarían

de enviarle fondos. Una muestra de 235 de sus productos muestra un error

promedio de 70. Se sabe que la desviación Varianza poblacional es de 196

errores. Según un intervalo de confianza que consejo profesional usted le

puede dar al investigador.

Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es desconocida.

(Cuando σ es desconocida se utiliza la desviación estándar de la muestra

que se debe tomar de una prueba piloto ó dividiendo el Rango entre seis)

Ejercicio 4.

Un teatro del cine local desea desarrollar un intervalo para estimar las cajas

promedio de pipocas que se venden por sala de cine. Si los registros llevados

por 70 salas revelan un promedio de 54.98 cajas y una desviación estándar

de 12.7. Calcule e interprete el intervalo de confianza para del 92% de la

media poblacional.

Intervalos de Confianza para hallar “u” (Con muestras pequeñas)

En este caso estudiamos la “t” de student.

Ejercicio 6.

Otro de los mercados del consumo de Coca Cola que a usted como

gerente le interesa penetrar es el infantil, para estudiar el mismo hizo un

grupo focal con 23 chicos que consumían el producto y una de sus

preguntas fue cuántas botellitas de AQUARIUS se toman al mes y el

promedio fue 20 con una varianza de 16. Infiera a toda la población infantil

con un 95% de confianza


Ejercicio 7

Usted es analista de mercado de la empresa TIGO, un grupo focal de 12

personas de Concepción mostró un gasto promedio de Bs. 150 con una

varianza de 350 Bs. Infiera a toda la población de Concepción con un 90%

de confianza.

Intervalos de Confianza para la proporción poblacional.

(¶) Es la proporción Poblacional.

Cuando se va a estimar proporciones poblacionales siempre se trabaja con

(Z).

Ejercicio 8.

Cierto candidato a las próximas elecciones municipales quiere elaborar un

plan de gobierno que beneficie a los integrantes de la tercera edad. Es

obvio que le interesa obtener mucha aprobación de esta parte de la

población. Sus asesores de campaña le aconsejan que si más de menos del

30% de los votantes de esta edad no simpatizan de él no vale la pena

enfocarse en este segmento de la población. Se realizó una encuesta de

opinión a 300 personas que mostró que el 28.75% de los votantes entre 65 y

75 años simpatizan con el candidato. Con un 95% de confianza que le

pudiera decir usted a este equipo de campaña.


Ejercicio 1 El Banco Ganadero otorgará un crédito de 105.000 dólares a la

universidad que presente estudiantes con una nota promedio superior a 83.5

puntos paras mejorar la infraestructura. Por cuestiones ajenas a nuestra

voluntad el señor que traía los datos fue atracado y solo se pudieron tener

algunas calificaciones de cada universidad que se presentan a

continuación.

UPSA UTEPSA UDABOL Franz

Tamayo

Domingo

Sabio

Promedio

(muestral)

82.5 87 85 78 82

Desviación

Estándar (S)

12.36 15.12 16.35 20.23 26.25


Tamaño de

la Muestra

105 100 125 85 67

Estime con un 95% de confianza ¿Cuales son las universidades que recibirán

el crédito de Banco Ganadero?

Ejercicios del Libro de Allen Webster.

UNIDAD 5:

A. Objetivos.

El estudiante aplica los elementos del Muestreo a casos de la Vida Laboral..



resueltos, etc.

B1. Ejercicios para resolver en clases

Ejercicio 1.

El Departamento de Investigación de Mercado de la Universidad requiere

conocer el gasto promedio por mes en bebidas alcohólicas de los

estudiantes. Una muestra piloto mostró una desviación estándar de 10 Bs. El

último registro de inscripciones muestra una población de 8.000 alumnos.


¿Con un error de 2 Bs, cuál sería el tamaño de la muestra necesario para

realizar el muestreo aleatorio simple en esta investigación?

Ejercicio 2

El Banco Santa Cruz tiene 1.000.000 de cuentas abiertas, usted ha sido

contratado como auditor para determinar qué proporción de las cuentas

tienen mora, para esta tarea solo tiene un día por lo que tiene que tomar

una muestra que necesariamente implicaría un muestreo sistemático. Los

datos anteriormente tomados muestran que el 25% de las cuentas están en

mora. Determine el tamaño de la muestra con un error del 5%.

Ejercicio 3.

La empresa de telecomunicaciones VIVA va a tomar la decisión de lanzar

una campaña agresiva de marketing que requiere que el consumo de todos

sus consumidores sea superior a los 60 Bs. El estudio tiene como objetivo tres

nichos grandes de mercado. El Plan 3000, El Barrio Urbari y el centro de la

Ciudad. Los siguientes datos muestran la cantidad de clientes por Barrio, sus

gastos en consumo de llamadas y sus desviaciones estándares.

Barrio Cantidad Gasto Desviación

Estándar

Plan

3.000

1500 60 15

Urbarí 800 75 15

Centro 1000 65 13

a) Utilizando el muestreo estratificado determine el tamaño de la

muestra general que debe tener la investigación para estimar el

parámetro y cuantas personas se deben encuestar en cada barrio.

B2 PORTAFOLIO UNIDAD 5

Ejercicio 1

Un colegio tiene 120 estudiantes de Bachillerato. Se quiere extraer una

muestra de 30 alumnos. Explica cómo se obtiene una muestra mediante

a) Muestreo aleatorio simple


b) Muestreo sistemático

Ejercicio 2

Una ganadería tiene 3 000 vacas. Se quiere extraer una muestra de 120.

Explica

cómo se obtiene la muestra:

a) Mediante muestreo aleatorio simple.

b) Mediante muestreo aleatorio sistemático

Ejercicio 3

Supongamos que realizamos un estudio sobre la población de estudiantes

de una Universidad, en el que a través de una muestra de 10 de ellos

queremos obtener información sobre el uso de barras de labios.

En primera aproximación lo que procede es hacer un muestreo aleatorio

simple, pero en su lugar podemos reflexionar sobre el hecho de que el

comportamiento de la población con respecto a este carácter no es

homogéneo, y atendiendo a él, podemos dividir a la población en dos

estratos:

- Estudiantes masculinos (60% del total);

- Estudiantes femeninos (40% restante).

Ejercicio 4

En un Ingenio, desea hacer una estimación del promedio de grados Brix

con que llega la caña a la fabrica.

Para el efecto desea realizar un muestreo aleatorio estratificado, puesto

que la caña puede provenir de tres tipos de proveedores.

proveedor tipo A (estrato 1) la caña proviene de lotes de la misma finca.

proveedor tipo B (estrato 2) la caña proviene de fincas de particulares en

donde el ingenio ha prestado servicios.

proveedor tipo C (estrato 3) la caña proviene de fincas de particulares en

donde el ingenio no ha tenido ningún servicio.


De estudios anteriores, se conoce el tamaño y desviación estándar de

cada estrato y además se desea tener una precisión de un grado brix en el

estudio. De que tamaño debe de ser la muestra total y de cada estrato?.

DATOS:

ESTRATO Ni Si

1 558 3.5

2 190 5.4

3 250 6.2

VI. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA

El sistema de evaluación se describe a continuación:

NUM. TIPO DE

EVALUACIÓN

OBJETIVOS A EVALUAR PUNTOS CLASE

1 Examen Parcial Unidad 1 y 2 25 8

2 Examen Parcial. Unidades 3, y 4 25 14

3 Examen Final. Todas las Unidades. 50 20

VII. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

BÁSICA

Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía”.

Rufino Moya Calderón “Probabilidad e Inferencia Estadística”

Murray R. Spiegel. “Estadística”

Luis Alberto Pérez Legoas. “Estadística Básica”

Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía”

Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y Estadística”

Ciro Martínez Bencardino. “Estadística y Muestreo”

“Estadística Aplicada a los negocios y la economía” Decimotercera Edición, Lind,

Marchal, Wathen

VIII. MATERIAL /VIRTUAL WEB

El material de apoyo debe estar ordenado por unidad y puede contener:


Ejercicios propuestos, conceptos y contenidos relacionados con una unidad, casos, material

de lectura, artículos, guías de laboratorio, etc. Cuidado que no sea muy ampuloso y que

esté en condiciones legibles en caso de ser artículos escaneados o tablas de consulta.

Unidad 2.

Video de Explicación del teorema de Bayes.

Video de Aplicación del teorema de Bayes.

Unidad 3.

Video de Explicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

Unidad 4.

Video de Explicación del cálculo de intervalos que confianza para encontrar una media

poblacional con muestras grandes.

Video de Explicación del cálculo de intervalos que confianza para encontrar una media

poblacional con muestras pequeñas.

Video de Explicación del cálculo de intervalos de confianza para encontrar una proporción

poblacional.

MATERIAL COMPLEMENTARIO O DE APOYO

- El siguiente material de apoyo es el resultado de una compilación de textos de los principales autores sobre el tema publicados en libros o en fuentes confiables de internet. En muchos casos, algunas porciones del texto, han sido adaptadas al contexto local con el único fin de que resulten más beneficiosas para el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

El único objetivo de este compilado, es entregar a los estudiantes un documento con

información seleccionada.


UNIDAD 1

Introducción a la Estadística Inferencial

Objetivos

El estudiante conoce los principales conceptos básicos de la Estadística Inferencial

Evaluar a los estudiantes a través de una prueba diagnóstica con referencia a los

conocimientos de Estadística Descriptiva

ESTADISTIC

A

DIVISION

ESTADISTICA

DESCRIPTIVA

Es un método para

organizar, resumir y presentar datos de manera informativa

Trabaja con hechos del

pasado

Llega a conclusiones y presenta datos a través de cuadros estadísticos, gráficos.

Es parte de la ciencia estadística que ocupa la mayor parte de ella.

Guía su método a través de variables cualitativas y cuantitativas

ESTADISTICA

INFERENCIAL

La estadística

inferencial o inductiva plantea y resuelve el problema de establecer provisiones y conclusiones generales sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra.

Trabaja con las conclusiones obtenidas de un estudio de estadística descriptiva y se apoya fuertemente en el cálculo de las probabilidades.

Es el arte de obtener con confianza conclusiones y dar validez a un estudio descriptivo.


ESTADISTIC

A

INFERENCIA

APLICACIONES

Proyecciones

futuras

Generalizacion de datos

Toma de decisiones

ASPECTOS

IMPORTANTES

Toma de

muestra

Probabilidades

Estimacion de parametros

Diseno experimental

Inferencia bayesiana

Contraste de Hipotesis

Validacion estudio descriptivo


UNIDAD 2

Introducción a las probabilidades Competencia General del Capítulo

“El estudiante conoce los conceptos más importantes de Probabilidades, realiza

clasificaciones, reconoce reglas y realiza cálculos para solucionar problemas de aplicación

estadística pertinentes a su carrera”

Competencias a desarrollar en el Capítulo.

“El Estudiante conoce la importancia de las probabilidades de manera general y

específicamente en el desarrollo de su profesión”

“El estudiante comprende conceptos de probabilidad dentro de su formación”

“El estudiante soluciona problemas que requieren el uso de probabilidades

pertinentes al ámbito empresarial”

El estudiante resuelve ejercicios complejos utilizando el Teorema de Bayes en

situaciones que así lo requieran”

Contenido.

Importancia de las probabilidades en las Ciencias Empresariales.

Conceptos básicos de Probabilidad


Cálculo de probabilidades.

Teorema de Bayes.

Bibliografía del tema:

Evelio Hernández “Aprendiendo Estadísticas” Capítulo 9.

Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía”. Capítulo 4.

Rufino Moya Calderón “Probabilidad e Inferencia Estadística” Capítulo 1.

Murray R. Spiegel. “Estadística”, capítulo 6

Luis Alberto Pérez Legoas. “Estadística Básica”. Unidad 5

Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía”, capítulo 5

Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y

Estadística”, capítulo 1

Ciro Martínez Bencardino. “Estadística y Muestreo”, capítulo 5


2.1 Introducción a la Teoría de Probabilidades.

Una probabilidad es una posibilidad numérica que se desplaza del cero al

cien por ciento, esto quiere decir que a diferencia de los porcentajes que

trabajamos en estadística descriptiva las probabilidades no pueden ser

negativas ó mayores a 100%. Conocer el grado de probabilidad que ocurra

algún fenómeno empresarial es muy importante para poder tomar

decisiones correctas. El grado de probabilidad de poder vender cierta

cantidad de productos, la probabilidad de aumentar la producción en una

fábrica, la probabilidad de invertir en un negocio y fructificar el capital ó

que las acciones de una determinada empresa suban son apenas algunas

aplicaciones de este tema de en si solo es una materia por el altísimo grado

de importancia que tiene.

El uso de probabilidades en las redes sociales es importantísimo, las fans

page y los canales de www.youtube.com tienen incorporadas módulos de

estadísticas y específicamente aplicaciones de probabilidad para la mejor

búsqueda comercial de contacto de los socios.

El siguiente enlace es un video de cómo aplicar la estadística en las fans

page y www.youtube.com.

Enlace:

Existen tres formas de trabajar cuando de probabilidad se trata. (Fracciones,

proporciones y porcentajes) cada una se utiliza para una parte diferente del

análisis, entendamos que una probabilidad siempre se va a calcular

dividiendo una parte sobre un total y por eso el principio de las

probabilidades es la fracción, cuando calculamos esta fracción se convierte

en proporción y una vez queremos responder a una interrogante

multiplicamos por 100% y se vuelve porcentaje.

Veremos un ejemplo.

http://www.youtube.com/



Si tenemos 4 personas: María, Juan, Pablo y Pedro. ¿Cuál es la probabilidad

de seleccionar una persona al azar y que sea hombre?

Respuesta: Como vemos solo hay un hombre, por lo tanto la probabilidad

de seleccionar un hombre es uno sobre cuatro, que a su vez es 0,25

(proporción) y multiplicado por el 100% es 25%. Por lo tanto la probabilidad

de seleccionar un hombre es 25%. Veámoslo mejor en una figura que se

muestra a continuación.

En el mundo laboral de Ciencias empresariales el cálculo de probabilidades

casi siempre se hace mediante tablas, EXCEL brinda sistemas de

agrupamiento de datos excelentes mediante los filtros. El cálculo de

probabilidades cuando tenemos tablas ó cuadros se hace mucho más

sencillo, para entenderlo mejor veamos un ejemplo.

Practiquemos juntos:

Ejemplo 1: En una empresa hay 10 empleados hombres y 20 mujeres. ¿Cuál

es la probabilidad de seleccionar un empleado al azar y sea mujer?

Cómo vemos en total la empresa cuanta con 30 empleados de los cuales

20 son mujeres.

Por lo tanto:

P (Mujer) Esto quiere decir (Probabilidad se seleccionar una mujer)

𝑃 (𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟) =2

3= 0,6666 = 66,66%

Respuesta: Tenemos un 66,66% de probabilidades que el empleado

seleccionado sea mujer.

Ejemplo 2: En un almacén hay 200 sacos, 50 de arroz, 100 de sal y 50 de

azúcar. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un saco al azar y que sea

de sal?

Respuesta: Como podemos ver de los 200 sacos 100 son de sal.

Por lo tanto.


𝑃 (𝑆𝑎𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑟𝑟𝑜𝑧) =100

200= 0,50 = 50%

Respuesta: Tenemos un 50% de probabilidades que el saco seleccionado

sea de sal.

Ejemplo 3. En un aula de la Universidad hay 13 estudiantes de

Administración, 18 de Ingeniería Comercial y 10 de Marketing. ¿Cuál es la

probabilidad de seleccionar un estudiante al azar y sea de la carrera de

Marketing?

Como vemos el aula cuenta con 41 estudiantes.

𝑃 (𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔) =10

41= 0,2439 = 24,39%

Respuesta: Tenemos un 24,39% de probabilidades que el estudiante

seleccionado sea de la Carrera de Marketing.

Después de tres ejemplos creemos que ya lo tiene claro.

2.2Conceptos de Probabilidad.

Cuando se habla de probabilidades existen un conjunto de conceptos que

no se pueden obviar.

Evento (Ei): Un evento es un resultado, en los ejemplos anteriores los eventos

fueron:

En el ejercicio 1: (hombre; mujer)

En el ejercicio 2. (Saco de azúcar, Saco de Sal, Saco de Arroz)

En el ejemplo 3 (Administración, Comercial, Marketing)

Cuando un evento tiene 100% de probabilidades de suceder se llamará

evento cierto y cuando no tiene ningún tipo de probabilidad evento

imposible.

Experimento: Llámese experimento al proceso que da como resultado un

evento. Ejemplos de Experimentos

Lanzar un dado.

Seleccionar una baraja.

Invertir en la Bosa de valores.

Jugar un partido de futbol.

Pescar.

Seleccionar de un grupo de 5 personas un delegado.

Espacio Muestral (S). Es el conjunto de todos los posibles resultados (eventos)

de un experimento.

Veamos cada ejemplo:

Lanzar un dado. S ={1; 2; 3; 4; 5; 6}

Invertir en la Bosa de valores. S = {ganar, perder, recuperar}


Jugar un partido de futbol. S ={ganar, perder, empatar}

Pescar. S= {pescar, no pescar}

Seleccionar de un grupo de 5 personas un delegado. S = {Juan, Pedro,

Martí, José, Claudio}

Nota Importante:

Los espacios muéstrales siempre se encierran en llaves. {Espacio Muestral}

2.3 Leyes de Probabilidad.

Las probabilidades siguen un conjunto de leyes que como toda ley debe

cumplirse para comprobar si un ejercicio está correcto.

Primera ley de Probabilidades.

𝚺𝑬𝒊 = 𝟏𝟎𝟎%

“La sumatoria de las probabilidades de cada evento en un experimento

siempre va a ser 100%”

Nota: Esta igualdad debe cumplirse SIMPRE.

Veamos un ejemplo que demuestra esta ley.

Si en un aula tenemos 3 estudiantes hombres y 7 mujeres, la probabilidad de

seleccionar un hombre sería 3

10= 0,3 o sea 30%, y de seleccionar una mujer

sería 7

10= 0,7 que sería 70%. Si sumamos 30% más 70% encontramos el 100% y

queda demostrada la ley.

Segunda Ley de Probabilidades.

𝑷(𝑨) + 𝑷(Ā) = 𝟏𝟎𝟎%

“La sumatoria de la probabilidad de un evento cualquiera más su anti

probabilidad es siempre 100%”

Veamos un ejemplo que demuestra esta ley.

En una fábrica de refrescos la producción del día de ayer fue: 20 cajas de

frutilla, 35 cajas de naranja y 45 de limón.

𝑃(𝐹𝑟𝑢𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎) =20

100= 0,2 = 20%

𝑃(𝑁𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎) =35

100= 0,35 = 35%

𝑃 (𝐿𝑖𝑚ó𝑛) =45

100= 0,45 = 45%

La probabilidad que una caja seleccionada al azar sea de limón es 35% y

que no sea de limón (Frutilla ó Naranja) es 20% + 35% = 55% y 45%+55% es


igual al 100% y de esta manera queda demostrada la segunda ley de

probabilidades.

2.4 Modelos de Probabilidad.

Existen tres modelos de probabilidad, llamemos modelos probabilidad a la

forma de cómo se va a calcular la probabilidad.

Modelo de Frecuencia Relativa: Este modelo es utilizado cuando utilizamos

los datos pasados para predecir ó pronosticar eventos presentes ó futuros.

Existe un criterio universal que dice que las cosas tienden a volver a suceder,

por lo tanto el comportamiento histórico de un evento puede darnos pautas

de lo que va a pasar y es por esto que en las empresas se pide aparte del

currículum cartas de recomendación.

Ejercicios Resueltos de aplicación del Modelo de Probabilidad de

Frecuencia Relativa.

Ejercicio 1.El grupo de Estadística Inferencial del mes pasado tuvo 35

estudiantes de los cuales 5 reprobaron, según el modelo de frecuencia

relativa. ¿Cuál es la probabilidad de que este mes usted apruebe?

Como vemos los aprobados serían 30, ya que 5 reprobaron, por lo tanto:

𝑃(𝐴𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟) =30

35= 0,8571 = 85,71%

Teniendo en cuenta los datos anteriores usted tiene un 85,71% de

probabilidades de aprobar la materia.

Ejercicio 2. En las anteriores presentaciones de venta usted vendió 3 veces

de cada 30 visitas. ¿Cuál es la probabilidad de que venda si hace una visita

mañana?

Como se explica en el ejercicio usted vendió una de cada diez veces por lo

tanto:

𝑃(𝑉𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟) =1

10= 0,1 = 10%

Teniendo en cuenta sus presentaciones anteriores usted tiene un 10% de

probabilidades de vender en su próxima presentación de ventas.

Modelo Subjetivo: Este modelo de probabilidad se utiliza cuando un evento

no ha sucedido pero puede ocurrir. Es el modelo de probabilidad más usado

en las investigaciones de Mercado para determinar si un producto va a


ingresar o no a un mercado, debido a que este producto nunca a estado

pero tiene cierta probabilidad de poder ingresar.

Para calcular un caso del modelo subjetivo requerimos elementos de

probabilidad mucho más avanzado que usted aprenderá en el desarrollo

de la materia y en su carrera en general.

Modelo Clásico: Es el modelo que antes de efectuar el experimento

sabemos la probabilidad exacta de que suceda algún evento, es el modelo

que se utiliza para los juegos de azar, desde antes de lanzar un dado ya

sabemos que tenemos un 16,66% de probabilidades de sacar el número 3.

𝑃(1) =1

6= 0,1666 = 16,66%

𝑃(2) =1

6= 0,1666 = 16,66%

𝑃(3) =1

6= 0,1666 = 16,66%

𝑃(4) =1

6= 0,1666 = 16,66%

𝑃(5) =1

6= 0,1666 = 16,66%

𝑃(6) =1

6= 0,1666 = 16,66%

Como podemos notar cada evento tiene un 16,66% de probabilidad de

suceder y antes de lanzar el dado ya sabemos la probabilidad.

Ejercicios Resueltos de aplicación del Modelo de Probabilidad Clásica.

Ejercicio 1. Según el enfoque de la probabilidad clásica calcular la

probabilidad de obtener una cara cuando se lanza una moneda.

𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑎) =1

2= 0,5 = 50% usted tiene un 50% de probabilidades de sacar cara

cuando lance la moneda.

Ejercicio 2. Según el enfoque de probabilidad clásica cuál es la

probabilidad de que usted gane un sorteo que tiene 100 números y compró

3 cupones.


𝑃(𝑔𝑎𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑜) =3

100= 0,03 = 3% Usted tiene un 3%de probabilidades de

ganar el sorteo.

2.5 Operaciones entre conjuntos.

En la materia de Matemática Básica usted aprendió los principios básicos de

la teoría de Conjuntos y específicamente las operaciones entre los mismos,

en el caso de probabilidades utilizamos generalmente dos (la unión y la

intersección)

Ejemplo.

El círculo oscuro representa los estudiantes que estudian la materia de

Estadística Inferencial y el Claro los de cont

Los estudiantes que pertenecen a los dos grupos se muestran a

continuación.

1.5 Reglas de Probabilidad.

Existen dos Reglas Básicas de Probabilidad (La Regla de la Multiplicación y

la Regla de la Adición)

(Estudiantes de Estadística Inferencial)

(Estudiantes de Contabilidad Intermedia)


(A U B) = {Carlos, Alberto, Rosa, Raquel, Marcelo, Pedro, Evelio, Juan,

Daniela, Reinier, Elián, Anabel} Ya que son todos los eventos que están en A

y todos los que están en B.

(A ∩ B) = {Pedro; Evelio} Ya que son todos los eventos que están en A y en B.

2.6 Relación entre eventos.

Cuando hablamos de Estadísticas y específicamente de probabilidades

existen un conjunto de relaciones entre eventos que usted debe dominar

para entender la materia. Las mismas se muestran a continuación.

• Eventos Mutuamente Excluyentes.

“Cuando la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia de otro”

• Eventos Colectivamente Exhaustivos.

“Posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio Muestral”

• Eventos Independientes.

“La ocurrencia de un no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro”

• Eventos Complementarios.

“Son los eventos en los que si un evento no ocurre el otro debe ocurrir”

2.7 Probabilidad Condicional


Esta es una de las probabilidades más utilizada, la probabilidad condicional

se refiere a la probabilidad de un evento sabiendo que otro ya ocurrió antes.

Se la denomina P (A/B) que quiere decir Probabilidad de A dado que ya

conocemos B.

P (A/B) =𝑷 (𝑨∩𝑩)

𝑷 (𝑩)

Para entenderlo mejor veamos un ejemplo:

Ejemplo del Cálculo de una probabilidad Condicional.

Se tiene un grupo de 10 estudiantes, 4 son hombres y 6 damas, de los 4

hombres 1 estudia economía y de las mujeres 3. Si se toma una persona al

azar y es economista.

a) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?

P (A/B) =𝑷 (𝑨∩𝑩)

𝑷 (𝑩) En nuestro caso sería

P (mujer/economista) =𝑷 (𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓∩𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒔𝒕𝒂)

𝑷 (𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒔𝒕𝒂) =

𝟑

𝟒 = 0,75 ---- 75%

2.8 Reglas de Probabilidad.

Existen dos reglas básicas de probabilidad, la regla de la multiplicación y la

regla de la adición. En este apartado vamos a explicar cada una y cuáles

son las aplicaciones de las mismas.

Regla de la Multiplicación

El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad

del evento conjunto P (A∩B). Es decir, que para encontrar la probabilidad

de “A y B”, simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades.

Para EVENTOS INDEPENDIENTES la probabilidad de los dos eventos se vuelve.


Veamos un Ejemplo de aplicación.

Ejemplo 1: La cafetería de la Universidad tiene un 20% de probabilidad de

vender pizza y un 30% de probabilidad de vender refresco de piña. ¿Cuál es

la probabilidad que un cliente venga y pida un pollo y un refresco de piña?

Como notamos no tienen relación el pollo y la piña, bien la persona puede

pedir una hamburguesa y una soda. Este ejercicio se resuelve muy fácil.

(A ∩ B) = (0,2 x 0,3) = 0,06 ------ 6%

Se tiene un 6% de probabilidad que la persona compre una pizza y un

refresco de piña.

El Evento A es la compra de la Pizza.

El Evento B es la compra del Refresco de Piña.

Como uno no tiene nada que ver con el otro pero pueden suceder juntos

simplemente multiplicamos las probabilidades y misión cumplida.

Para EVENTOS DEPENDIENTES la probabilidad de los dos eventos se vuelve.

Veamos un ejemplo de Aplicación.

El gerente de crédito de Dollar – Wise recolecta datos de 100 de sus clientes.

De los 60 hombres, 40 tienen tarjetas. De las 40 mujeres, 30 tienen tarjetas.

Diez de los hombres tiene saldos vencidos, mi entras que 15 de las mujeres

tienen saldos vencidos. El gerente quiere determinar la probabilidad que un

cliente seleccionado al azar sea4:

a) Una mujer con tarjeta.

4 Ejercicio tomado del libro “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía” del Dr. Allem Webster.

La probabilidad de dos eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A)

* P(B)

Probabilidad de eventos dependientes P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A)


Respuesta: P (A ∩ B) = P(A) x P (B/A) en nuestro caso.

P (Mujer ∩ Tarjeta) = P (Mujer) x P (Tarjeta dado que es

mujer)

P (Tarjeta dado que es mujer) = (𝑇𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡𝑎 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)

𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)=

30

40= 0,75

P (Mujer ∩ Tarjeta) = 0,4 x 0,75 = 0,3------30%

Tenemos un 30% de probabilidades de seleccionar una persona al

azar y sea una mujer con tarjeta.

b) Una mujer con saldo.


P (Mujer ∩ Saldo) = P (Mujer) x P (Saldo dado que es mujer)

P (Saldo dado que es mujer) = (𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)

𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)=

15

40= 0,375

P (Mujer ∩ Saldo) = 0,4 x 0,375 = 0,15------15%

Tenemos un 15% de probabilidades de seleccionar un encuestado al

azar y sea una Mujer con saldo.

c) Un hombre sin saldo.


P (Hombre ∩ Sin Saldo) = P (Hombre) x P (No tenga Saldo dado que es hombre)

P (No tenga Saldo dado que es hombre) = (𝑁𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)

𝑃(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)=

10

60= 0,1666

P (Hombre ∩ Sin Saldo) = 0,6 x 0,1666 = 0,1------10%


azar y sea un hombre sin saldo.

d) Un hombre con saldo.

P (Hombre ∩ Saldo) = P (Hombre) x P (Saldo dado que es hombre)

P (Saldo dado que es hombre) = ( 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)

𝑃(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)=

50

60= 0,8333

P (Hombre ∩ Saldo) = 0,6 x 0,8333 = 0,5------50%


azar y sea un hombre con saldo.

Regla de la Adición.

Se utiliza para determinar la probabilidad de A ó B, P(A U B)

La probabilidad del evento A ó B (Cuando dos eventos no son mutuamente

excluyentes) se calcula de la siguiente manera:

Veamos un ejemplo:

P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A∩B)


Los siguientes datos muestran la cantidad de estudiantes por sexo y Facultad

de la Universidad X.

Facultad Hombre Mujer Total

Facultad de Tecnología 2000 500 2500

Facultad Empresarial 1500 1000 2500

Facultad de

Humanidades 500 2500 3000

Total 4000 4000 8000

a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar sea

hombre ó estudie en la Facultad de Humanidades?

P (A U B) = P(A) + P(B)- P(A ∩ B)

P (Homb U Huma) = P (Homb) + P (Huma) – P (Homb ∩ Huma)

P (Homb U Huma) = 4000

8000+

3000

8000−

500

8000=

6500

8000= 0,8125----81,25%

Tenemos un 81,25% de probabilidades que el estudiante sea hombre ó

estudie en la Facultad de Humanidades.

b) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar sea

mujer ó estudie en la Facultad Empresarial?

P (Mujer U Emp) = P (Mujer) + P (Emp) – P (Mujer ∩ Emp)

P (Mujer U Emp) = 4000

8000+

2500

8000−

1000

8000=

5500

8000= 0,6875----68,75%

Tenemos un 68,75% de Probabilidades que el estudiante sea mujer ó estudie

en la Facultad Empresarial.

Regla de la Adición para Eventos Mutuamente Excluyentes.

La probabilidad del evento A ó B (Cuando dos eventos son mutuamente

excluyentes) se calcula de la siguiente manera:

Siguiendo el ejemplo anterior:

c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante al azar y sea de

la Facultad Empresarial ó Tecnológica?

P (AUB) = P(A) + P(B) = 2500

8000+

2500

8000=

5000

8000= 0,625--------62,5%.

P (AUB) = P(A) + P(B)


Tenemos un 62,5% de probabilidad de seleccionar un estudiante y que

sea de la facultad Empresarial ó de la Tecnológica.

Ejercicios resueltos de Probabilidad.

Como la mejor manera de aprender es haciendo le vamos a regalar una

seria de ejercicios resueltos de probabilidades que le ayudarán a practicar

lo antes estudiado.

Los ejercicios están en cuadros estadísticos que él la manera más común de

manejar el uso de probabilidades en el mercado laboral.

Ejercicio 1. VIVA.

Usted es el gerente Comercial de la empresa de Investigación de Mercados

“Mercadeando”, su último cliente “VIVA” tiene algunas preguntas acerca

del estudio que se hizo de su marca.

Insatisfecho Indiferente Satisfecho

Norte 50 120 200

Sur 150 85 60

este 60 115 70

Oeste 40 30 20

Preguntas)

Insatisfecho

Indiferente

Satisfecho

Total

Norte 50 120 200 370

Sur 150 85 60 295

Este 60 115 70 245

Oeste 40 30 20 90

300 350 350 1000

A. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Sur de la Ciudad?

P(sur)= 295

1000= 0.295 29,5%

El 29.5% de los encuestados son de la zona sur de la ciudad

B. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del este ó el oeste?

P(este ∪ oeste) = P(este) + (oeste) =245

1000+

90

1000=

335

1000= 0.335 33,5%


El 33,5% de los encuestados son de la zona este u oeste.

C. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte y están

insatisfechos?

P(norte ∩) =50

1000= 0.05 5%

El 5% de los encuestados son de la zona norte y están insatisfechos.

D. ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos ó son del

sur?

P( ∪ sur) = P() + P(sur) − P( ∩ sur) =300

1000+

295

1000−

150

1000=

445

1000=

0.445 44,5%

E. ¿Qué porcentaje de los encuestados creen tiene una opinión por lo

menos indiferente?

𝑃( ∪) = P() + P() =350

1000+

350

1000=

700

1000= 0,7 70%

El 70% de los encuestados tiene una opinión por lo menos indiferente

F. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte dado que están

satisfechos?

P (norte

) =

P(norte∩)

P()=

200

50= 0,5714 57,14%

El 57,14% de los clientes satisfechos son del norte

G. ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos y son del

este?

P( ∩ este) =60

1000= 0,06 6%

El 6% de los encuestados son del este y están insatisfechos

Ejercicio 2. Guaraná Conti.

Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en

cuenta que el producto no ha entrado al mercado local usted realizó una

degustación masiva en ciertos sectores estratégicos de la Ciudad

preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva soda? Los resultados

se muestran en la siguiente tabla de contingencia.

Sector Regular Buena Excelente Total

Centro 20 40 100 160

Urubó 30 60 120 210

Urbarí 25 80 80 185

Equipetrol 0 20 50 70

Plan 3000 15 20 40 75

Polanco 15 30 100 145

http://www.google.com.bo/imgres?um=1&hl=es&sa=N&biw=1093&bih=445&tbm=isch&tbnid=tD4AgCJaoFo3vM:&imgrefurl=http://www.itqi.com/en/awarded-products.html?firm=casa-di-conti&docid=3fpnVioaGfCIRM&imgurl=http://www.itqi.org/files/image/photo_galery/big_guarana-conti.jpg&w=346&h=640&ei=S7dOUKiSMOf20gGIn4HICQ&zoom=1&iact=hc&vpx=332&vpy=22&dur=2714&hovh=306&hovw=165&tx=92&ty=231&sig=106824710849958399273&page=1&tbnh=119&tbnw=64&start=0&ndsp=17&ved=1t:429,r:2,s:0,i:76


Banzer 30 45 80 155

Total 135 295 570 1000

Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?

A. ¿Qué opine que el sabor es Excelente?

P(J) =570

1000= 0,57→ 57%

El 57% opinan que el sabor es excelente

B. ¿Qué sea de Equipetrol?

P(D) =70

1000= 0,07→ 7%

El 7% de los degustadores son de equipetrol

C. ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?

𝑃(𝐶 ∩ 𝐼) =80

1000= 0,08→8%

El 8% de los degustadores son de Urbari y creen que el sabor de la soda es

bueno.

D. ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?

𝑃(𝐺 ∩ 𝐻) =30

1000= 0,03→ 3%

El 3% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es

regular.

E. ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?

P(A ∪ E) = P(A) + P(E) =160

1000+

75

1000=

235

1000= 0,235→23,5%

El 23,5% de los degustadores son del centro o del plan 3000.

F. ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?

P(F ∪ B) = P(F) + P(B) =145

1000+

210

1000=

355

1000= 0,355→35,5%

El 35,5% de los degustadores son de polanco o del urubo.

G. ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?

P(G ∪ I) = P(G) + P(F) − P(G ∩ I)

P(G ∪ I) =155

1000+

295

1000−

45

1000=

405

1000= 0,4050→40,5%

El 40,5% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es

bueno.

H. ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?

𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐽) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐽 ∩ 𝐷)

𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) =570

1000+

70

1000−

50

1000=

590

1000= 0,59→ 59%

El 59% de los degustadores tienen una opinión excelente o son de Equipetrol.

I. ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?


𝑃 (𝐴

𝐻) =

𝑃(𝐴∩𝐻)

𝑃(𝐻)=

20

135= 0,1481→14,84%

El 14,81% son del centro dado que dicen que el sabor es regular.

J. ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la

Ciudad?

P (H

A) =

P(H∩A)

P(A)=

20

160= 0,125→12,5%

El 12,5% de los degustadores dicen que el sabor es regular dado que son del

centro de la ciudad.

2.9 Teorema de Bayes.

Uno de los temas de Estadísticas que más utilidad tiene en el campo laboral

es el teorema de Bayes. El mismo ayuda a calcular la probabilidad anti

condicional, para entenderlo mejor veamos una pequeña explicación y

luego ejemplos.

Teorema de Bayes. Es la probabilidad que se utiliza cuando tenemos dos

eventos dependientes, o sea la ocurrencia de uno depende de la

ocurrencia de otro. Y queremos saber la probabilidad de ocurra el primer

evento dado que se sabe el segundo.

Ejemplo:

Se sabe que la probabilidad de que llueva en Santa Cruz un dia de marzo

es 25%. cuando llueve la probabilidad de que la empresa “Toldito” alquile

un Toldo es 80%, mientras si no llueve la probabilidad de alquiler es 25% ¿Cuál

es la probabilidad de que haya llovido si se sabe que se alquiló un toldo?

Este evento se conoce y se quiere

determinar “A”.


Como se nota en el dibujo anterior llamado de hecho árbol de

probabilidades se conoce el evento B pero no el A. En estos casos aplicamos

la fórmula del teorema de Bayes.

Existen muchas maneras de resolver el teorema de bayes pero con nuestra

experiencia creemos que la más sencilla es esta.

Paso #1 Deje en el árbol de probabilidades solo el evento de B que le dicen

que ocurrió.


Como sabemos que se alquiló un toldo sacamos de la figura los toldos que

no se alquilaron ó la probabilidad de no alquiler.

Paso # 2 Pongo en el numerado de la fórmula la multiplicación de el valor

que me dan por el que me piden. Y en el denominador todos los demás

valores.

(0,8) (0,25)(0,8)(0,25) + (0,25)(0,75)

Al aplicar el cálculo obtenemos 51,67% de probabilidad que haya llovido.


Como sabemos que el tema es un poquito difícil de entender a la primera

te ayudamos un link donde se explica el tema en www.youtube.com

Link (Explicación del teorema de Bayes) https://www.youtube.com/watch?v=MrX1pS0wiU0

Ejemplos de Aplicación del Teorema de Bayes.

Ejemplo 1) Guaraná Conti.

Los datos de producción de la Guaraná Conti la empresa se los mandó de

Brasil, en sí son cinco las máquinas que producen dicha soda. La primera

produce 1000 cajas por día y 50 salen en mal estado, la segunda produce

el doble que la primera y la misma proporción de desperfectos que la

cuarta. La tercera produce la mitad que la quinta y el 2% sale en mal estado,

la cuarta produce el triple que la primera y la misma proporción de

desperfectos que la tercera, mientras que la quinta produce el cuádruple

que la primera y ninguna en mal estado. El lote que la fábrica envió a Bolivia

fue la producción total del mes pasado. La máquina uno trabajó los 30 días,

la dos y la tres 25 días, la cuatro 20 días y la cinco 22 días.

Preguntas:

A. De cuantas cajas contó el lote de sodas.

Prod. √ x hrs/dia

Producción

Total Propor.

Maquina

1 1000 0,95 0,05 30 30000 0,1079

Maquina

2 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799

Maquina

3 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799

Maquina

4 3000 0,98 0,02 20 60000 0,2158

Maquina

5 4000 1 0 22 88000 0,3165

Ʃ278000 Ʃ1

Tuvo una producción de todo el mes de 278000 cajas.


https://www.youtube.com/watch?v=MrX1pS0wiU0


B. Si un cliente se quejó porque una caja estaba en mal estado ¿Cuál es

la probabilidad que haya sido producida por la cuarta máquina?

0,95 √

0,1079

maq

1

0,05 x

0,98 √

0,1799

maq

2

0,02 x

0,98 √

0,1799

maq

3

0,02 x

0,98 √

0,2158 maq

4

0,02 x

1 √

0,3165

maq

5

0 x (0,02)(0,2158)

(0,02)(0,2158)+(0,05)(0,1079)+(0,02)(0,1799)+(0,02)(0,1799)=

0,0043

0,0169= 0,2543→24,53%

La caja tuvo un 25,43% de que haya sido producida por la cuarta maquina.

C. Si una caja está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya

sido producida por la tercera máquina?

(0,98)(0,1799)

(0,98)(0,1799)+(0,95)(0,1079)+(0,98)(0,1799)+(0,98)(,02158)+(0,3165)=

0,1763

0,9831= 0,1793→17,93%

Un 17,93% de que haya sido producida por la tercera maquina.


Este video muestra el ejercicio resuelto en www.youtube.com

Link: https://www.youtube.com/watch?v=ds9y3UtPcbA

Ejemplo 2. Cerveza Real.

La planta de cerveza Real está en Warnes, cuenta con 5 máquinas para

producirla, la primera produce 1000 latas por hora y solo 50 salen con

desperfectos, la segunda produce 1500 latas solo el 2% salen en muy mal

estado, la tercera produce el doble que la primera y 200 salen en

condiciones no muy buenas, mientras que la cuarta produce lo mismo que

la segunda y el mismo porcentaje defectuoso que la primera. La quinta es

una maquina nueva y de tecnología de punta, esta produce 1000 latas por

hora y todas salen en buen estado. La primera trabaja 5 horas al día, la

segunda 3, la tercera 10, y la cuarta y la quinta 8. Ayer llego un cliente

protestando porque tomo una lata con desperfectos.

Producció

n √ x

Hrs.*dí

a

Producció

n Total

Proporció

n

Maquina 1 1000 0,95 0,05 5 5000 0,1010

Maquina 2 1500 0,98 0,02 3 4500 0,0909

Maquina 3 2000 0,90 0,10 10 20000 0,4040

Maquina 4 1500 0,95 0,05 8 12000 0,2424

Maquina 5 1000 1 0 8 8000 0,1616

Ʃ49500 Ʃ1

0,1010 maq 1

0,9

5 √

0,0

5 x

0,0909 maq 2

0,9

8 √


https://www.youtube.com/watch?v=ds9y3UtPcbA


0,0

2 x

0,4040 maq 3

0,9

0 √

0,1

0 x

0,2424 maq 4

0,9

5 √

0,0

5 x

0,1616 maq 5 1 √

0 x

a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la segunda

maquina? (0,02)(0,9090)

(0,02)(0,0909)+(0,05)(0,1010)+(0,10)(0,4040)+(0,05)(0,2424) =

0,001818

0,059388 = 0,0306 →3,06%

Existe un 3,06% de probabilidad que la lata defectuosa la haya producido

la maquina 2.

b) Pedro tiene en la mano una lata en buen estado ¿Cuál es la

probabilidad que haya sido producida por la tercera o la quinta

maquina?

(0,90)(0,4040)

(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)=

0,3636

0,940512 → 38,65%

(1)(0,1616)

(1)(0,1616)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)=

0,1616

0,940512

→17,18%

Se tiene un 55,83% de probabilidad que la lata en buen estado haya sido

producida por la tercera o la quinta máquina


UNIDAD 3

“Distribuciones de Probabilidad” Competencia General del Capítulo

“El estudiante reconoce las distribuciones de probabilidad en problemas de

su profesión”

Competencias a desarrollar en el Capítulo.

“El Estudiante explica y diferencia distribuciones de probabilidades

de manera general y específicamente en el desarrollo de su

profesión”

“El estudiante identifica variables aleatoria discretas y continuas”

“El estudiante soluciona problemas de aplicación de distribuciones de

probabilidad”

Contenido.

Importancia de las probabilidades en las Ciencias Empresariales.

Conceptos básicos de Probabilidad


Cálculo de probabilidades.

Teorema de Bayes.

Bibliografía del tema:


Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía”. Capítulo 5.

Murray R. Spiegel. “Estadística”, capítulo 7

Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la

Economía”, capítulo 6

Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y

Estadística”, capítulo 4

Distribuciones de Probabilidad.

3.1 Introducción al Capítulo:

Antes de adentrarnos en el tema de las distribuciones de probabilidad

existen un conjunto de conceptos que debemos tener muy claro.

Variable Aleatoria: Con frecuencia es útil resumir con un número el resultado

de un experimento aleatorio. La variable que asocia un número con el

resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

Otra forma de definir variable aleatoria es decir que:

“Es aquella que toma diferentes valores como resultado de un

experimento aleatorio”

“Matemáticamente, una variable aleatoria es una función que asigna

un número real a cada resultado en el espacio muestral de un

experimento aleatorio”

Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula, tal como X, y

con una letra minúscula, como x, el valor posible de X.

Ejemplos de Variables Aleatorias.


En cada uno de los ejemplos, determine la variable aleatoria y cuáles son

posibles valores que toma.

Se analiza una muestra de 5 celulares, se quiere observar cuántos poseen

una avería interna en las pilas.

Una empresa posee un sistema de comunicación por voz de 30 líneas, se

estudia el número de líneas ocupadas en cualquier momento.

Hay que contar la cantidad de minutos esperados para ser atendido en

un Banco por todos los clientes que ingresaron el mes de mayo.

3.2.- Variables Aleatorias Discretas y Continuas.

Si la variable aleatoria sólo puede tomar un valor de un conjunto limitado

de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo,

sí se puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se

trata de una variable aleatoria continua.

3.3.- Distribución de Probabilidad.

Una distribución de probabilidad, de una variable aleatoria X, es una

descripción del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad

asociada a c/u de estos valores.

Existen dos tipos de estas distribuciones o funciones de probabilidad:

Función de probabilidad, cuando se habla de variables discretas

Función de densidad de probabilidad, cuando se trata de variables

continúas.


El estudio de las Distribuciones de probabilidad por si solo es una materia. En

esta guía vamos a trabajar con las más importantes. Dentro de las discretas

analizaremos la distribución Poisson y en las Continuas la Distribución Normal

y la “t” de Student.

3.4- Distribución de Poisson.

Pueden tomar solo ciertos valores dentro de un rango de datos.

Pueden tomar infinitos valores dentro de un rango de datos.


Dado un intervalo de números reales, suponga que el conteo de

ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo. Si este puede dividirse en

subintervalos suficientemente pequeños tales que:

1. la probabilidad de ocurrencia más de una ocurrencia en dicho

subintervalo es cero.

2. la probabilidad de ocurrencia en un subintervalo es la misma para

todos los subintervalos, y es proporcional a la longitud de éstos.

3. el conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del

de los demás subintervalos.

Ejemplo del Uso de la Distribución de Poisson.

Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que

exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (ó en cualquier

hora del día) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha

demostrado que 800 clientes han entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10

por hora.

El mismo ejercicio se lo puede resolver utilizando la Tabla que está al final de

la Guía.

!x

xλ

λ-e

x)P(X

u= 10

x= 5

e= 2.71828

P(x) = P(5) =

P(5) = 0.0378 --------3.78%

Respuesta: Existe un 3.78% de probabilidad de que

exactamente 5 clientes ingresen en la tienda durante la siguiente hora


Como vemos el resultado es el mismo. 3,78%

Ejercicios Resueltos utilizando la probabilidad de Poisson.

1.- Se sabe que pasan 18 autos por minuto en el segundo anillo de la

Avenida Cristo Redentor. ¿Cuál es la probabilidad que en el próximo minuto

pasen 26 autos?


2.- En Equipetrol hay un promedio de 3 peleas / noche cada fin de

semana. El asistente de seguridad de la nueva discoteca “Tentation”,

desea estimar la probabilidad que el sábado hallan 4 peleas en la zona y

busca a un estadista. ¿Qué usted le respondería?


3.5 Distribución Normal de Probabilidades.

La distribución Normal de Probabilidades es la más importante de todas las

distribuciones de Probabilidad La misma tiene un conjunto de propiedades

que se muestran a continuación.

Propiedad 1. La distribución Normal de Probabilidades es Simétrica

(Coeficiente de Asimetría igual a cero)

Propiedad 2. La distribución Normal de Probabilidades es Mesocúrtica.

(Curtosis igual a cero)

Propiedad 3. La media de la población cae dentro del grafico y coincide

con el centro de la grafica. En la distribución Normal de Probabilidades la

media aritmética es igual a la mediana e igual a la moda.

Propiedad 4. Los dos extremos de la distribución normal se extienden

indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal (desde luego, esto es

imposible de mostrar de manera grafica)

Propiedad 5. Para definir una distribución normal se necesitan solamente

dos parámetros la media y la desviación estándar.


Distribución Normal de Probabilidades.

Fórmula de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.

Para entender mejor este tema veamos un ejercicio de Aplicación.

A. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 20 a 35 minutos?

Z =20−35

14= −1,07→%

B. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 15 a 53 minutos?

Z =15−35

14= −1,42→42,22%

Z =53−35

14= −1,28→39,97%

Z = 82,19%

σ

μ-xz

15 35 53

20 35


C. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 41 minutos?

Z =41−35

14= −0,42→16,28%

Z = 50 – 16,28% = 33,72%

D. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 19 minutos?

Z =19−35

14= −1,14→37,29% + 50% = 87,29%

E. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 21 a 33 minutos?

Z =21−35

14= −1→34,13%

Z =33−35

14= −0,14→5,57%

Z = 34,13% - 5,57% = 28,56 %

35 41

19 35

21 33 35


UNIDAD 4

Estimación Estadística. 4.1 Estimación por Intervalos de Confianza.

Usted se habrá preguntado. ¿Por qué se llama Estadística Inferencial?, ¿Qué

es inferir?, ¿De qué se tratará la Unidad?, bueno, esta es una de las partes

más lindas y apasionantes de la Estadística Inferencial, los intervalos de

confianza como su nombre lo dice son aproximaciones reales que

otorgamos a la población según los valores seleccionados en la muestra. Es

importante dividir este estudio en dos, primero en el caso de las muestras

grandes. (Mayores de 30) y por segundo las muestras pequeñas (menores

que 30) todo esto vamos a explicarlo muy fácilmente en este capítulo de

nuestra guía.

Como tal Inferencial viene de inferir, generalizar, ejemplo, si se realizó una

encuesta a 300 estudiantes de la Universidad con la intención de conocer

la aceptación del nuevo método de inscripciones por internet, en el estudio

se mostró que el 40% estaba satisfecho con el método y un 60% no, por lo

tanto inferimos que toda la universidad piensa lo mismo. Este proceso que

hemos hecho tan fácilmente tiene su grado de complejidad que vamos a

desmenuzar en esta parte de la guía.

Pautas para que un intervalo de confianza funcione.

1.- Para que tenga validez el intervalo de confianza la encuesta debe estar

hecha por muestreo.

2.- Los intervalos como su nombre lo dice son infinitos valores entre un rango

no un valor específico.

4.2 Intervalo de confianza para calcular una media poblacional (u), cuando

conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a 30

datos.

La única forma de hallar “u” media poblacional, es trabajando un censo,

como no podemos trabajar con censos en la mayoría de las ocasiones por

su elevado costo tomamos una muestra, los resultados de la muestra

debemos inferirlos a la población mediante un intervalo de confianza.

Ejemplo:


Se tomo una encuesta de 100 personas en Santa Cruz para estimar la

demanda de pantalones jeans, los datos mostraron un promedio de gasto

anual en estas prendas de 150 dólares. Estudios anteriores mostraron una

varianza poblacional de 81 dólares. Estime con los datos de esta muestra los

valores de la población con un 95% de confiabilidad.

Fórmula:

𝒖 = 𝒙 ± 𝒁𝝈

√𝒏 La Desviación estándar del promedio puede calcularse de

esta forma.

Solución:

Como podemos ver en los datos del problema nos dan la Varianza, que

hallándole la raíz podemos tener la desviación estándar, también tenemos

el tamaño de la muestra, solo nos faltaría el valor del estadígrafo “Z”, que ya

aprendimos a buscarlos en el capítulo de Distribuciones de probabilidad.

Como podemos ver nos piden un 95% de confiabilidad, por lo tanto

buscamos en la tabla el valor de “Z” con un 95% de confiabilidad y tenemos

que es 1.96, luego sustituimos y lo demás es una simple operación

matemática.

𝑢 = 150 ± 1.96√81

√100= 150 ± 1.96

9

10 = 150 ± 1.96 (0.9) = 𝟏. 𝟕𝟔𝟒

Ahora podemos hacer el intervalo de confianza.

[150 − 1.764 ≤ 𝑢 ≤ 150 + 1.764]

[148.23 ≤ 𝑢 ≤ 151.764]

Interpretación: Estamos seguros que en el 95% de todas las posibles muestras

que se pudieron haber obtenido en la población, los valores de la media

oscilan entre 148.23 y 151.76 dólares.

4.3 Intervalo de confianza para calcular una media poblacional (u), cuando

“NO” conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a

30 datos.

En caso de que no conociéramos el valor de la varianza poblacional,

tomamos la de la muestra.


Ejemplo:

Usted es el jefe de personal de la fábrica de caramelos “Dulcete” que tiene

sus instalaciones a las afueras de la Ciudad de Santa Cruz, en este momento

la empresa tiene un buen posicionamiento en el mercado cruceño, datos

de nuestros socios de negocio indican que dos empresas del mismo rubro

de la Argentina van a incursionar en el mercado local, hace falta investigar

el mercado de los caramelos en Santa Cruz completa, teniendo en cuenta

que los niños de 3 a 11 años son el 95% de nuestros clientes se los va a tomar

como población objetivo. Se visitan 100 colegios y se hace una encuesta a

15.000 estudiantes mostrando un promedio de gasto de 40 bolivianos por

mes. Con un valor máximo de compra de 85 bolivianos y un mínimo de 5

bolivianos. Calcular el intervalo de confianza que muestra los datos de toda

la población de niños de Santa Cruz con un 90% de confianza.

Solución:

Como podemos ver tenemos el valor del Rango, que sería (85 – 5), en este

caso 80 bolivianos, la teoría estadística muestra que el Rango dividido entre

4 es la Desviación Estándar. En este caso 80/4= 20.

El valor de “Z” para un 90% de confianza es 1.64

𝑢 = 40 ± 1.6420

√15.000 = 40 ± 0.2694

[40 − 0.2694 ≤ 𝑢 ≤ 40 + 0.2694]

[39.7306 ≤ 𝑢 ≤ 40.2694]

Interpretación: Estamos seguros que en el 90% de todas las posibles muestras

que se pudieron haber obtenido en la población, los valores de la media

oscilan entre 39.7306 y 40.2694 dólares.

4.4 Intervalo de confianza en muestras pequeñas. (Distribución “t”)

Anteriormente trabajamos con muestras grande (≥30); pero hay casos en

que no se puede trabajar con este tipo de muestras, ejemplo. Si usted es el

encargado de probar la seguridad de los autos Toyota y para realizar su

prueba tiene que chocar un auto contra un muro, le garantizo que no va a


chocar 30 autos o más. En estos casos que tenemos muestras pequeñas

trabajamos con la distribución “t” de student.

Fórmula:

Ejemplo:

El promedio de ventas que debe tener la sucursal de “Ford” en Argentina es

de 100.000 al mes para dólares por mes para cubrir sus costos de producción

y mantenimiento de la empresa. Usted ha sido contratado como asesor e

investigador de mercado y tiene que sugerirle al gerente general ¿Qué

hacer con la situación de la empresa?, ya que con menos de 100.000

dólares al mes no puede seguir operando. Los datos de los últimos 7 meses

muestran un ingreso promedio de 90.675 dólares y una desviación estándar

de 5.000 dólares. Con un 99% de confiabilidad ¿Qué consejo profesional le

diría al gerente general?

El valor de “t” para un 99% de confianza es 3.7007, y los grados de libertad

son 7-1=6

𝑢 = 90.675 ± 3.70075.000

√7 = 90.675 ± 6.993,66

[90.675 − 6.993.66 ≥ 𝑢 ≥ 90.675 + 6.993.66]

[83.681.34 ≥ 𝑢 ≥ 97.668,66]

R) En este caso, podemos aconsejarle al gerente que cierre la empresa por

que los resultados muestran que con un 99% de confiabilidad las ventas

están entre 83.681 y 97.668 dólares que no cubren el costo de producción.

4.5 Intervalo de Confianza para hallar una proporción poblacional.

En el caso de las proporciones a diferencia de las medias siempre vamos a

utilizar “Z”, no importa que sean muestras grandes ó pequeñas.

Fórmula:


Que es lo mismo que decir. √𝑝𝑞

𝑛

Ejemplo:

Usted es el jefe de campaña del candidato “Augusto Hernández” para las

elecciones municipales, en la encuesta que usted tomó a 1.000 ciudadanos

con su grupo de trabajo, el candidato tenía el 40% de los votos, teniendo en

cuenta un 95% de confiabilidad y teniendo en cuenta que para ganar la

elección se requiere el 36.85% de los votos, ¿Qué le diría al candidato?

Como vemos p= 0.4, q= 0.6, n= 1000 y “Z” para un 95% de confianza es 1.96.

𝜋 = 𝑝 + Z√𝑝𝑞

𝑛= 0.4 ± 1.96√

0.4∗0.6

1.000= 0.4 ± 1.96 (0.01549)

[0.4 − 0.03 ≤ 𝜋 ≤ 0.4 + 0.03]

[0.37 ≤ 𝜋 ≤ 0.43]

Respuesta) Puede decirle al candidato que está tranquilo que estamos

seguros que en un 95% de todas las posibles muestras que se pudieron haber

tomado, el candidato aparece como ganador. ¡¡Felicidades!!.

UNIDAD 5

Muestreo


Teoría del muestreo.

OBJETIVOS

Reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas.

Reconocer los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas.

Calcular el tamaño de la muestra para población finita e infinita.

Resolver problemas de aplicación a la economía.

5.1 Muestreo.

Uno de los temas más importantes de la Estadística Inferencial es sin duda

alguna el Muestreo. Es la parte de la ciencia que divide a la investigación

científica de la búsqueda empírica de resultados, la correcta selección del

tamaño de la muestra es sumamente importante en el mundo empresarial,

ya que frecuentemente requerimos realizar encuestas e investigaciones de

mercado para tomar decisiones que es la base de un profesional exitoso.

Si bien hay muchísima bibliografía acerca del tema en esta guía hemos

intentado sintetizar solo los argumentos más importantes y que les resultarán

más útiles a los profesionales de las Ciencias Económicas, Administrativas y

Financieras.

Existen como tal dos tipos de muestreo, el probabilístico y el No

probabilístico, el muestreo probabilístico es cuando todos los elementos de

la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la

Muestra y obviamente el no probabilístico es el que muestra lo contrario. En

este Manual solo trabajaremos con el muestreo probabilístico y

necesariamente con poblaciones finitas (que se conocen todos los

elementos de la población) ya que estos son los más utilizados en las

investigaciones de mercado de nuestro rubro de trabajo.

Aparte de las fórmulas de muestreo existen criterios que necesariamente

deben cumplirse a la hora de realizar una investigación.

Criterios de Muestreo.

1. Se debe tomar información en todas las áreas y horarios. (Si queremos

realizar una encuesta en la Universidad UTEPSA, es importante que

tomemos la opinión de estudiantes de todos los horarios, ya que la

opinión de los estudiantes de la mañana puede diferir mucho a los de

la noche)


2. Si usted no va a realizar la encuesta debe adiestrar muy bien a los

encuestadores y si es posible realizar una auditoría de trabajo de

campo5.

3. Tomar la información en diversos días no el mismo. ¿Por qué?, En

muchas ocasiones hay lugares que las personas visitan solo rara vez y

otros todos los días.

Para seleccionar los datos tenemos que tomar en cuenta que existen varios

métodos de selección.

1. La Entrevista Personal.

2. Entrevistas por teléfono.

3. Cuestionarios Auto aplicados (Encuestas)

4. Observación Directa.

Nota: Intente que la mayor cantidad de sus preguntas sean cerradas. Las

preguntas más importantes no pueden tener la opción No se no respondo.

Planeación de una encuesta por muestreo.

1. Establecimiento de objetivos: Usted debe saber de ante mano lo que

quiere investigar, los objetivos deben ser muy claros y concisos.

2. Población Objetivo: Usted debe delimitar su población. No siempre

nos interesa trabajar con la población en su conjunto sino una parte

de ella. Ejemplo. Si usted es vendedor de acciones de bolsa con un

valor superior a los 1.5 millones de dólares no creo que le interese

mucho encuestar a estudiantes ó personas de recursos medios.

3. El Marco Muestral: El Marco muestral es una lista donde están todos los

elementos de la población, ejemplo si usted va a estudiar el nivel de

satisfacción de los obreros del ingenio Guabirá, el marco muestral

sería la nomina de todos los trabajadores.

4. Diseño de Muestreo: Seleccione que tipo de muestreo va a utilizar,

aleatorio simple, sistemático, por conglomerados ó polietápico6

(Varios muestreos a la vez)

5. Método de Medición: Entrevistas, encuestas, observaciones,

entrevistas por teléfono, etc.

6. Instrumento de Medición. Como tal este paso se refiere a elaborar el

cuestionario en sí.

5 Este tema se trabajará en profundidad en la materia de investigación de mercado. 6 El muestreo polietápico está diseñado para investigaciones de mercado muy grandes con poblaciones superiores a 500.000 personas, elementos u observaciones.


7. Selección y adiestramiento de investigadores de Campo: Este es una

de las partes más importantes, tome el tiempo que sea necesario para

esto y dele la importancia que se merece, de instrucciones claras.

8. Prueba Piloto. Se realiza con dos objetivos, uno es calcular la varianza

poblacional y otro es saber más ó menos como está elaborado el

cuestionario.

9. Organización y Trabajo de Campo: Como tal es el trabajo de campo

en sí. Ir y tomar la información a la calle, a la empresa ó por correo.

10. Organización del Manejo de Datos. Ya está toda la información

seleccionada y requerimos organizar el trabajo, ¿Quién va a tabular?,

¿Quién va a dictar?, etc.

11. Análisis de los datos: Es el tratamiento ó procesamiento de la

información y las propuestas de solución a problemas, hipótesis ó

toma de decisiones.

5.2 Muestreo Aleatorio Simple:

Este es sin duda alguna el más utilizado de todos los muestreos, sus usos son

infinitos, y es tan sencillo de entender como tener una bolsa con 40 bolillas y

seleccionar 10 a azar, evidentemente todos los elementos de la población

tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la muestra.

Para seleccionar el tamaño de la muestra utilizando el muestreo

aleatorio simple debemos tener en cuenta ¿Que nos interesa de la

población?

La media poblacional. Ejemplo (Cuál es el gasto promedio en CD´s de

los estudiantes Universitarios de Santa Cruz de la Sierra, Bolivia)

Una proporción poblacional. Ejemplo (Cuál es la proporción de

estudiantes de Santa Cruz que compran CD´s.

Un total poblacional. Ejemplo (Cuál es el total de dinero que gastan

estudiantes de Santa Cruz comprando CD´s.

En esta guía no vamos a trabajar con los totales, pero si es importante que

conozcas que existe este tipo de estadígrafo llamado (tao) ó total7.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar la Media Poblacional.

Recordemos que la media poblacional es (miu) ó (mu) y se denota con la

letra (u)

7 Para más información acerca de este tema. Scheaffer Richar Editorial Iberoamérica, “Elementos de Muestreo”


Fórmula:

𝒏 = 𝑵𝝈𝟐

(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝝈𝟐 𝑫 =

𝐁𝟐

𝟒

Donde:

n: Es el tamaño de la Muestra.

N: Es la Población.

E: Límite para el error de estimación.

𝜎2 : Varianza Poblacional

Nota: Una vez seleccionado el tamaño de la Muestra se seleccionan de la

población utilizando la tabla de Números Aleatorios.

Ejemplo 1:

5000 son las cuentas en moras de la Cooperativa “LUNA”, se sabe por

estudios anteriores que la desviación estándar de las mismas es de 35

dólares, Hay que llamar a los clientes para saber ¿Cuál ha sido el motivo del

retraso en sus obligaciones? Evidentemente no se puede llamar a los 5.000

porque incurriría un elevado costo para la cooperativa, por lo que hay que

seleccionar una muestra. Es evidente que se puede utilizar el muestreo

aleatorio simple debido a que cumple con los requisitos del mismo.

A) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite

para el error de estimación de 5 dólares.

B) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite

para el error de estimación de 10 dólares.

Respuesta inciso “a”

No nos dan la Varianza poblacional pero si la desviación Estándar, y

la varianza es la desviación estándar al cuadrado.

𝜎2 = 352= 1225

𝜎2 = 1.225 N= 5.000 B= 5

𝐷 =B2

4 =

52

4=

25

4= 6.25

𝑛 = 𝑁𝜎2

(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =

(5.000)(1.225)

(5.000−1)6.25+ 1.225 =

6.125.000

(4999)6.25+ 1.225 = 188.64 ≈ 189

Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que

seleccionar 189 si es que queremos un límite para el error de estimación de

5 dólares.

Respuesta inciso “b”

𝜎2 = 352= 1225

𝜎2 = 1.225 N= 5.000 B= 5

𝐷 =B2

4 =

102

4=

100

4= 25


𝑛 = 𝑁𝜎2

(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =

(5.000)(1.225)

(5.000−1)25+ 1.225 =

6.125.000

(4999)25+ 1.225 = 48.53 ≈ 49

Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que

seleccionar 49 si es que queremos un límite para el error de estimación de 10

dólares.

Nota: Notemos que mientras más grande es el error que aceptamos más

pequeña es la muestra.

Ejemplo 2.

Usted es el gerente de Marketing de la empresa comercializadora de

calzados “Zapatitos de Cristal”, en los últimos meses se ha detectado un

descenso de las ventas netas, su asesor sugiere que se realice una

investigación de mercado para detectar si ha sido debida a un ciclo

comercial ó a la llegada de nuevos competidores. Se tomó una prueba

piloto donde se pudo detectar en los encuestados un valor máximo de

compras de 80 dólares y un mínimo de 20. Con un error de estimación de 4

dólares cuantas encuestas se deben tomar para saber por qué ha sido el

descenso en las ventas teniendo en cuenta que los clientes con dirección y

número de celular están en la base de datos de la empresa y suman 3.000.

𝜎2 = Tenemos que tomar en cuenta que no nos dan la desviación estantar, ni la

varianza de la población, pero nos dan el rango, que en este caso sería 80-

20= 60. Por regla estadística el rango dividido entre 4 es la desviación

estándar.

Por lo tanto 60/4= 15, y la varianza es la desviación estándar al cuadrado.

152= 225

𝜎2 = 225 N= 3.000 B= 5

𝐷 =B2

4 =

42

4=

16

4= 4

𝑛 = 𝑁𝜎2

(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =

(3.000)(225)

(3.000−1)25+ 225 =

675.000

(2999)4+ 225 = 55.23 ≈ 56

Respuesta: Se debe tomar una encuesta a 56 de los clientes.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción

poblacional. (𝝅)

Recordemos que la proporción poblacional es (𝝅)

Fórmula:

𝒏 = 𝑵𝐩𝐪

(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝐩𝐪 𝑫 =

𝐁𝟐

𝟒

Donde:

n: Es el tamaño de la Muestra.

N: Es la Población.

B: Límite para el error de estimación.


p: proporción poblacional de éxitos en casos anteriores ó la prueba piloto.

q: proporción poblacional de fracasos en casos anteriores ó la prueba

piloto.

Ejemplo:

El señor Juan propietario de la Finca Ganadera “Juanito” ha

detectado que están muriendo animales. Juan es propietario de 10.000

cabezas de ganado y el costo del estudio (análisis de sangre) por animal es

de 5 Bs. Juan solo puede tener un error de estimación del 5% y no tiene el

dinero suficiente para realizarle el estudio a todos los animales. Cuál es la

Muestra probabilística que debe seleccionar Juan para realizar el estudio

que verifique la proporción de animales que están enfermos y cuál es el

presupuesto que necesita para llevar adelante análisis de sangre.

Nota: En el anterior estudio se calculo que el 20% de los animales estaban

contaminados con un virus.

N= 10.000 p= 0.2 q= 0.8 B= 0.05

𝐷 =B2

4 =

0.052

4=

0.0025

4= 0.000625

𝑛 = 𝑁pq

(𝑁−1)𝐷+ pq =

(10.000)(0.2)(0.8)

(9.999)(0.000625)+(0.2)(0.8) = 250

Respuesta: Con un límite para el error de estimación de 5% el tamaño de la

muestra debe ser de 250 animales para el estudio y el presupuesto sería de

250*5= 1.250 bolivianos.

Ejemplo 2.

El gerente de Recursos Humanos de la fábrica de Juguetes

“Juguetón” leyó la semana pasada el buzón de quejas y sugerencias

internas y detectó que un 30% de las quejas eran acerca del mal trato del

Supervisor “Fernández”, preocupado por esta situación decide realizar una

encuesta para determinar si realmente existe tal molestia entre los

trabajadores ó es solo problema de una camarilla, El problema es que hay

50.000 obreros y encuestarlos a todos sería en un período muy largo de

tiempo. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra que necesita

tomar el gerente para realizar dicha encuesta teniendo en cuenta un límite

para el error de estimación de 0.04?

N= 50.000 p= 0.3 q= 0.7 E= 0.04

𝐷 =B2

4 =

0.042

4=

0.0016

4= 0.0004

𝑛 = 𝑁pq

(𝑁−1)𝐷+ pq =

(50.000)(0.3)(0.7)

(49.999)(0.0004)+(0.3)(0.7) =

10.500

20.209 = 519.55 ≈ 520

R) El gerente requiere tomar una muestra de 520 empleados para

determinar la situación del señor Fernández.


4.3 Muestreo Sistemático:

El muestreo sistemático es muy parecido aleatorio simple, de hecho

mantiene hasta las mismas fórmulas, la única diferencia es que en este se

divide la población entre la muestra y hallamos un valor que vamos a llamar

“K”, tomamos un primer valor y sistemáticamente sumamos “K” y

seleccionamos la observación.

Ventajas del Muestreo Sistemático:

1.- Es el más fácil de llevar a cabo en el campo.

2.- Está menos expuestos a errores de selección que cometen los

investigadores de campo.

3.- El muestreo Sistemático puede proporcionar mayor información que la

que puede proporcionar el muestreo aleatorio por unidad de costo.

Selección del tamaño de la muestra para hallar el promedio poblacional.

Fórmula.

𝒏 = 𝑵𝝈𝟐

(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝝈𝟐 𝑫 =

𝐁𝟐

𝟒

Como podemos ver es la misma muestra que el muestreo aleatorio simple.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra los valores de las edades de los integrantes del

Club Social. (Guajurú). Con un error de estimación de 4 años. ¿Cuál debe

ser la muestra que se debe seleccionar? y realice mediante el muestreo

sistemático, seleccione los valores y halle el promedio de la muestra e infiera

a la población.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75

45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28

Evidentemente que una población de este tamaño (80) se puede estudiar

en su totalidad pero con fines pedagógicos hemos tomado la decisión de

seleccionar una muestra y luego sistematizar.

Edad Máxima: 90 años, Edad Mínima: 20 años, Rango = 70 años.

No nos olvidemos que el Rango dividido entre 4 es la desviación estándar.

70/4= 17.5. La varianza es la desviación estándar al cuadrado. 17.52= 306.25


𝜎2 = 306.25 N= 80 B= 4

𝐷 =B2

4 =

112

4=

121

4= 30.25

𝑛 = 𝑁𝜎2

(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =

(80)(306.25)

(80−1)30.25+ 306.25 =

24.500

(79)30.25+ 306.25 = 9.08 ≈ 10

K= 80/10= 8

Evidentemente tenemos que seleccionar 10 de los 80 socios. El primer valor

lo tomamos aleatoriamente entre los primeros 10 valores, en nuestro caso

fue el tercero, entonces seleccionamos el tercer valor y sistematizamos

sumando “K” que en este caso es 8.

56 36 80 54 21 45 48 49 52 59

64 48 75 20 25 29 32 36 37 33

33 39 45 42 48 65 32 6 90 75

21 20 54 58 68 69 70 65 60 70

50 52 45 25 35 65 95 85 75 75

45 75 45 25 52 45 53 56 59 58

57 65 68 67 64 21 70 80 90 54

24 25 65 35 36 38 69 71 80 28

Ahora realizamos el estudio entre los 10 valores seleccionados en la muestra.

𝑥 =∑xi

𝑛=

80 + 64 + 37 + 32 + 68 + 45 + 45 + 59 + 70 + 36

10=

536

10= 53.6 ≈ 54

El promedio de las edades de la muestra es 54 años. Ahora realizamos el

intervalo de confianza para inferir a la población. Como es una muestra

pequeña (10) tenemos que utilizar la “t” de student.

S= 17.5, √𝑛 = √10 = 3.16. Grados de libertad sería n-1, 10-1= 9, y el nivel de

significación al no dárnoslo es el 95%. Siguiendo los pasos que están en la

tabla es 2.262 el valor de “t”


𝑢 = 𝑥 ± 2.262 (17.5)

√10= 2.262

(17.5)

3.16= 12.52

[54 − 12.52 ≥ 𝑢 ≥ 54 + 12.52]

[41.47 ≥ 𝑢 ≥ 66.52]

Respuesta: Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se

pudieran haber seleccionado la media estará entre 41.47 y 66.52 años.

Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción

poblacional. (𝝅)

Fórmula:

𝒏 = 𝑵𝐩𝐪

(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝐩𝐪 𝑫 =

𝐁𝟐

𝟒

Ejemplo:

Los siguientes datos muestran la opinión que tuvieron las 130 personas

que asistieron al cine “Peliculón” el día de su reapertura. Encuestas

anteriores muestran que el 65% de los visitantes ven las mejoras como

positivas. Debido a que tabular 130 encuestas es mucho según el gerente,

se decide tomar una muestra con un error de 0.15 y un 95% de confiabilidad,

aparte realice un estudio estadístico completo. Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo

Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo

Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo




Solución.

N= 130 p= 0.65 q= 0.35 E= 0.15

𝐷 =B2

4 =

0.152

4=

0.0225

4= 0.005625


𝑛 = 𝑁pq

(𝑁−1)𝐷+ pq =

(130)(0.65)(0.35)

(129)(0.005625)+(0.65)(0.35) =

29.57

0.9531 = 31.02 ≈ 32

𝐾 =130

32= 4.06 ≈ 4 Si bien en estadística siempre redondeamos al mayor

valor, en el caso del cálculo de la “K” se utiliza el enfoque matemático.

Ahora tomamos un número aleatorio entre los primeros 4 número en nuestro

caso fue el 2. O sea, la segundo observación que nos va a servir como punto

de partida y primer valor. Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo

Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo

Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo




Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual

Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo

Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual

Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo




Hacemos el estudio de las variables cualitativas de los treinta datos y

tenemos que la proporción de clientes que estuvo satisfecha (positivo) fue

el 0.4687, o sea 15 de 32 encuestados.

Ahora vamos a hallar el intervalo de confianza.

Como estamos trabajando con muestras grande trabajamos con “Z” no con

“t”


¶ = 𝑝 ± 1.96 √0.65∗0.35

32= 0.4687 ± 1.96(0.0843) = 0.4687 ± 0.1652

[0.3035 ≥ ¶ ≥ 0.6339] Estamos seguros que en un 95% de las posibles

muestras que se pudieron haber seleccionado la proporción de clientes que

creen que el cambio fue positivo está entre 0.3035 y 0.6339.

Muestreo Estratificado.

Es sin duda alguna uno de los tipos de muestreo más importante, se

utiliza mucho en las investigaciones de mercado en la parte de


segmentación. Este tipo de muestreo se utiliza cuando nos interesa el peso

de una determinada parte del mercado. En palabras más sencillas cuando

tenemos que segmentar la muestra en varias submuestras.

Muestreo Estratificado cuando nos interesa calcular la media poblacional.

Fórmulas:

𝑛 = (∑𝑁𝑖 𝜎𝑖)2

𝑁2𝐷+ ∑𝑁𝑖𝜎𝑖2 𝑛𝑖 = 𝑛 (𝑁𝑖 𝜎𝑖

∑𝑁𝑖𝜎𝑖)

Evidentemente lo vas a comprender mejor con un ejemplo. Disfrútalo.

Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar la media

poblacional.

5.1 La cadena de tiendas de ropas deportivas GLENN, necesita saber

el promedio de gasto que tienen los hombres y las mujeres de la UTEPSA para

decidir qué tipo de publicidad se va a lanzar. Es sabido que la Universidad

tiene 8.000 estudiantes y de estos 6000 son mujeres. Se hizo una prueba

piloto que demostró que el gasto en ropa deportiva máximo en el caso de

los hombres es de 50 $us en promedio por mes y el mínimo de cero, que son

las personas que no gastan nada en ropa deportiva. En el caso de las

mujeres la que más gasta en ropa deportiva es 150 dólares y evidentemente

hay chicas que no usan ropa deportiva.

¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para estimar el promedio

de gasto en ropa deportiva por mes conociendo que el límite para el error

de estimación es de 10 dólares?

Respuesta:

Es evidente que en este caso debe de utilizarse el muestreo

estratificado debido a que los hombres y las mujeres forman dos grupos de

consumidores completamente diferentes.

En este caso no nos dan la desviación estándar ni la varianza de la

población pero nos dan el Rango, por propiedad estadística podemos decir

que la desviación estándar es el rango Dividido entre 4.

Rango de Gasto de hombres (50 dólares)

Rango de Gasto de Mujeres (150 dólares)

σ (hombres) = 50/4 = 12.5 dólares

σ (mujeres) = 150/4 = 37.5 dólares.

∑𝑁𝑖 𝜎𝑖 = (2.000)(12.5) + (6.000)(37.5) = 25.000 + 225.000 = 250.000


𝑛𝑖 = 𝑛 (𝑁𝑖 𝜎𝑖

∑𝑁𝑖𝜎𝑖) 𝑛(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠) =

25.000

250.000 = 0.10

𝑛𝑖 = 𝑛 (𝑁𝑖 𝜎𝑖

∑𝑁𝑖𝜎𝑖) 𝑛(𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠) =

225.000

250.000 = 0.90

Por lo tanto w1 = 0.1 y w2= 0.9

Ahora para encontrar n debemos calcular las siguientes cantidades.

∑𝑁𝑖𝜎𝑖2 = 2.000 (12.5)2 + 6.000 (37.5)2 = 312.500 + 8.437.500 = 8.750.000

𝐷 =102

4= 25

𝑛 = (∑𝑁𝑖 𝜎𝑖)2

𝑁2𝐷+ ∑𝑁𝑖𝜎𝑖2

𝑛= (250.000)2

8.0002(25)+ 8.750.000

38.85 ≈ 39 Este es el tamaño de la muestra total que debemos tomar de la

población.

n (hombres) = nw1 = 39*0.1 = 3.9 ≈ 4

n (mujeres) = n w2 = 39 *0.9 = 35.1≈ 35

La empresa debe encuestar a 4 hombres y 35 mujeres.

Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar una proporción

poblacional.

En una encuesta de televisión una empresa publicitaria planea utilizar

entrevistas por teléfono. Los tamaños de los estratos son N1= 155, N2= 62 y N3

= 93. Que representan la cantidad de viviendas que hay en cada una de los

tres barrios de la Ciudad. Los resultados de encuestas anteriores muestran

que en el barrio uno ven el programa el 35% de los habitantes, en el 2 un

40% y en el tres un 60%, con un límite para el error de estimación de 0.10

.Calcular el tamaño de la muestra.

P1= 0.35, P2= 0.40, P3= 0.60, por lo tanto.


q1= 0.65, q2= 0.60, q3= 0.40

∑Ni= 310

𝑛1 = 𝑛 (𝑁1

∑𝑁𝑖) 𝑛 =

𝑁1

𝑁 =

155

310 = n(0.5)

𝑛2 = 𝑛 (𝑁2

∑𝑁𝑖) 𝑛 =

𝑁2

𝑁 =

62

310 = n(0.2)

𝑛3 = 𝑛 (𝑁3

∑𝑁𝑖) 𝑛 =

𝑁3

𝑁 =

93

310 = n(0.3)

∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖 = (155)(0.35)(0.65) + (62)(0.4)(0.6) + (93)(0.6)(0.4)

∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖 = 72, 46

B= 0.10 D= B2/4 𝐷 =0.102

4 𝐷 = 0.0025 𝑁𝐷 = (310)(0.0025) = 0.775

𝑛 =∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖

𝑁𝐷+1

𝑁∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖

= 𝑛 =72.46

(0.775)+ 1

310 (72.46)

= 71, 83 ≈ 72

n1= 72(0.5) = 36

n1= 72(0.2) = 14.4≈ 14

n1= 72(0.3) = 21.6≈ 22

Respuesta: En total hay que seleccionar 72 familias, 36 del barrio 1, 14 del 2

y 22 del 3


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