de esta forma se han definido dos funciones de reales en...

De esta forma se han definido dos funciones de reales en

reales que asocian a cada número real x (medida del ángulo en

radianes), una, el número Cosx y otra el número Senx; por

tanto estas funciones g(x)=Senx y f(x)=Cosx tendrán como

dominio todo R y como recorrido el intervalo [-1,1].

Asi por ejemplo de la figura 3.58 se puede concluir: Y

Grados Radianes Senx Cosx

0o 0 0 1 90° TI/2 1 0

180° it 0 - 1 270° 3k/2 -1 0 360° 2k 0 1

Existe otra forma de definir el seno y el coseno de un ángulo

x, que consiste en considerar cualquier triángulo rectángulo

con uno de sus ángulos agudos x y llamar Senx- Cat0to opuesto a x cozx- cateto adyacente a x

hipotenusa y hipotenusa ' definición que coincide con la que se dió inicialmente, pues

323

de la figura 3.59, considerando las circunferencias

concéntricas en el origen y radios 1 y r (reí, dado) y el

triángulo con ángulo agudo x; por semejanza de triángulos se

tiene: v

• X

Fig 3.59 Siendo :

CA^Cateto adyacente a x en el triángulo OAB

CO=Cateto opuesto.

I r CP Qopx" CO " Catet-° opuesto l " Cfca* r hipotenusa

j T x r CA „ CA cateto adyacente — m — • S«B*= = —; —

1 Senx , v r hipotenusa

Ejemplo

Las funciones trigonométricas de 45°, 30°, 60° se pueden

calcular por medio de los triángulos representado en las

figuras 3.60

324

1

Sen4? sen60°-& Sen30°-±

Cos45° COB60COB3(f--& fó 2 2 2 Con el fin de representar gráficamente estas funciones Senx,

Cosx se considerarán primero algunas propiedades que

caracterizarán sus gráficas.

Inicialmente, de la figura 3.61 se puede concluir que:

Y

325

Sen(-x)=-b=-Sen(x) .

Este tipo de simetrias no solamente se cumplen para las

funciones Senx y Cosx, sino para muchas otras funciones y

reciben el nombre de:

Función par. Si f(-x)=f(x) Vx€Df.

Función Impar. Si f(-x)=-f(x) VxeDr.

La característica principal de las funciones pares es que si

el punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función, entonces

el punto (-x,y) también debe pertenecer; es decir; la curva

es simétrica respecto al eje y. En caso de las funciones

impares, si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la

función, el punto (-x,-y) también pertenece, lo que se puede

expresar diciendo que la gráfica de la función es simétrica

respecto al origen.

Ejemplo 1

f(x)=x2; g(x)=|x|; h(x)=x son funciones pares, ya que:

f(-x)=(-x)2=x2=f(x)

g(-x)=|-x|=|x|=g(x)

h(-x)=c=h(x)

observe en la figura 3.62 su simetría respecto al eje y.

326

g(x) - |x i

h(x) -c

L

c

Fig 3.62 i

Ejemplo 2

f(x)=x; g(x)=x3 son funciones impares

pues f(-x)=-x=-f(x) y

g(-x)=(-x)3=-x3=-g(x).

Observe en la figura 3.63 su simetría respecto al origen.

y=x

X

F i g 3 . 6 3

Por otra parte, observando las figuras 3.64 Y Y

•X 4

ANGULO X ANGULO X+2H 3 2 7

ANGULO X H R

Se puede apreciar que las coordenadas del punto de corte de

la circunferencia unitaria con el lado final de los ángulos

x, X+2TC, X+4TI y en general x+2nnJ neN son las mismas, lo cual

implica que:

Senx=Sen(x+2iO = Sen(x+4Ti)= . . . =Sen(x+2mt) y

C O S X = C O S ( X+2T O = C O S ( X+4T C)= . . . =Cos(x+2nn;) con n€Z .

Todas las funciones que tienen una característica similar a

esta se conocen con el nombre de funciones periódicas, más

concretamente:

Una función f(x) se dice que es Periódica, si existe un

número real T>0, tal que f(x+T)=f(x) VxeDr. Además cualquier *

número T que satisfaga esta condición se le llama Período de

f y al menor de estos valores de T>0, se le llama periodo

fundamental de f(x).

La gráfica de una función periódica con periodo T>0 se

caracteriza porque la parte de ella que aparece en cualquier

intervalo de longitud T, por ejemplo (a,a+T) se repite en el

siguiente intervalo de longitud T, es decir, en (a+T,a+2T) y

en el siguiente (a+2T, a+3T) y así sucesivamente.

328

Ejemplo 1

La función y = Senx tiene como periodo 2n, 4it, 6ir, . . . , 2nrc, neN

y como periodo fundamental 2n. Por tanto la parte de la

gráfica correspondiente al intevalo [0,2tt:] se repite en los

intervalos [2n,4n;], [4rt,6n:], etc y en los intervalos [~2it,0],

[-4it, -2 t t] , etc .

Con esta característica, y teniendo en cuenta además que es

una función impar, que su dominio es 1 y su recorrido [-1,1]

y hallando valores en forma similar como se hizo en ejemplos

anteriores, se puede trazar su gráfica (Fig 3.65)

Y

Ejemplo 2

En forma análoga, la función y=Cosx resulta ser periódica con

periodo 2rc, 4it,...,2nn con n€N y con periodo fundamental 2n y

su gráfico se puede apreciar en la figura 3.66. (Observe por

su simetría, que esta función es par).

329

F i g 3 . 6 6

Ejemplo 3

f(x)= < 1 si x€[2n,2n+1]

-1 si x€[2n-1,2nJ n€Z

Es una función periódica con periodo T=2. (Fig 3.67) t Y

- 2 -»X

Fig 3 . 6 7

A partir de las funciones Senx y Cosx se definirán otras

cuatro funciones trigonométricas de gran interés, las cuáles

se presentarán junto con algunas características

fundamentales que se deducen de las propiedades dadas para

las funciones seno y coseno y con sus gráficas, se espera que

el lector demuestre estas características y justifique sus

gráf icas.

330

Función Tangente

f(x] - Tanx- JíÉE* Cosx

^ - « - f r f 1 ) * - m z )

Rf-R

Función impar.

Función periódica de periodo fundamental n.

Complete la siguiente tabla y con ello justifique su ¿ráfica

(Fig 3.68)

x 0 ±n/4 ± n/6 ±n/3 ±t t/2 ±3u/4 ±3n/2 ± ±2tc

Tanx

| 1 i >-

i i

- V ! - i i /* V' A* y

Fig

y m tan x Función Cotangente

£ (x) -Cotx--£2«* Senx

Df-R-{mi | neZ)

RfmR

Función impar.

331

Función periódica de periodo fundamental T=u.

Complete la siguiente tabla y con ella justifique su gráfica

(Fig 3.70)

x 0 ± n/6 ± t t/4 ±n/3 ±tt/2 ±3tx/4 ±3u/2 + ±2tc

Cotx

y = cota: Í V 1 i

II l\ 1 \ 1 \ 1 \

1 1

k %

\ 0 X 2 \ i IT 3ir\ 1 2 \ 1 \ \ 1 \ 1 \l \l \l

b CM

Fig 3.70

Función Secante

f (x) *Secx~-Cosx

nez}

Rf-{-<», -i] crii,*«)

Función par

Función periódica de periódo fundamental T=2n.

Complete la tabla siguiente y con ella justifique la figura

3.71

332

X 0 ± V 6 ±u/4 ±n/2 ±3n/4 ±n .... ±2it

Secx

y — sec x

Función cosecante

1 f (x) "Cscx--Senx

Df=R-{nn | neZ)

Función impar.

función periódica de periodo fundamental T=2TC .

Complete la siguiente tabla y con ello justifique su gráfica

(Fig 3.72)

X 0 ±N/6 ±TT/4 ±n/3 ±n/2 ±2n

Cscx

333

V = csc X

F i g 3 . 7 2

334

EJERCICIOS

1. Hallar el valor de todas las funciones trigonométricas en

los siguientes ángulos:

±150°, ±600°, ±300V, ±540°, ±450°, ±900°, ±810°

/ ± 10 t t/3 ; ±7it; ±20n/3; ±10 t t; ±45rt; #16*: (radianes).

2. Usando calculadora, encontrar el valor de:

Sen200; Sen200°; Senl; Senl°, Cos3; Cos3°; Cos(-3450);

Sen(8750); Sec(2120°); Sec(2120); Tan(350); Cot(±2520).

3. A partir de sus definiciones determine el signo de todas

las funciones trigonométricas en los diferentes

cuadrantes.

4. Recuerde que de las definiciones de las funciones seno y

coseno se dedujo que para la figura 3.71.

Fig 3.71

335

COBX- y Senx- — r r

Demuestre resultados análogos para las demás funciónes

trigonométricas.

Demostrar:

a) La suma y producto de funciones pares es par

b) La suma de funciones impares es impar

c) El producto de funciones impares es par

d) Si f(x) es una función impar entonces |f(x)| es par

e) Si g(x) es una función cualquiera, definida para todo

xel, entonces h(x) ~ e s par y

f(x) " g ( x ) ~f{~x) es impar.

f) Encontrar todas las funciones que son pares e. impares a

la vez.

g) Escribir las funciones siguientes como la suma de una

función par y una impar.

i) x+1

ü ) 2 3 + x

iii) e~x

5. Demostrar que las funciones f(x)=CosMx y g(x)=SenMx, 2 % tienen periodo T * — — . ti

336

6. Trazar el gráfico de las funciones:

a ) f (x) *Sen2x

b) g(x) -sen(-Z)

c) hlx)-COB(lx)

d) q(x)-Cos(^í)

e) g(x)-Tan(-Z)

f) g(x)~sec(^-)

8. Cuál es el periodo fundamental para las funciones:

a) f(x)=Tan(áx)?

b) g(x)=Cot(bx)?

c) q(x)=Sec(bx)?

337

3.3.12.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

De la definición de las funciones Senx y Cosx, puesto que

el punto (Cosx,Senx) está sobre la circunferencia unitaria

x 2+y 2=1, debe satisfacer esta ecuación; resultado que

representa la identidad fundamental:

X . Sen2x+Cos2x=1.

Entendiendo por identidad trigonométrica una igualdad entre

expresiones trigonométricas que se cumple para todo ángulo

(en grados o en radianes).

A partir de esta identidad, dividiendo entre Sen2x y Cos2x,

se obtienen las siguientes dos identidades:

Cot 2x+l=Csc 2x

Y. l+Tan2x=Sec2x

En las figuras 3.72 se puede apreciar que:

y Y

338

El triángulo OAB es semejante al triángulo OPQ, pues es

simplemente una rotación de éste, por tanto:

d(P,Q)=d(A,B) -

[d(P,Q)]2=[d(A,B)]2 -

(Cosx-Cosy)2+(Senx-Seny)2=[Cos(x-y)-l]2+[Sen(x-y)-0]2

Cos2x-2CosxCosy+Cos2y+Sen2x-2SenxSeny+Sen2y=

Cos2(x-y)-2Cos(x-y) + l+Sen2(x-y) «*

2-2CosxCosy-2SenxSeny=2-2Cos(x-y) -

Cos(x-y)=CosxCosy+SenxSeny y asi:

Cos(x-y)=CosxCosy+SenxSeny.

A partir de esta identidad se pueden demostrar las siguientes

identidades de uso frecuente:

5. Cos(x-Tt/2 )=Senx.

Demostración (Ejercicio)

6. Sen(x-Ti/2) = -Cosx .

En efecto:

Sen{ x — " C o s i x——- ) (Propiedad 5 tomando x - - en 2 2 2 2

lugar de x) = Cos(x-n) = CosxCosn+SenxSenn - -Cosx

X- Sen(x.-y ) = SenxCosy-CosxSeny.

339

De la propiedad 5 se sabe:

Seni x - y ) = C o s ( x - y ~ — ) Luego 2

Seni x - y ) = C o s ( ( x - y ) — - ) = C o s ( ( x - ~ )- y ) 2 2

= Cos(x—-)Cosy+Sen( x - - )Seny 2 2

= SenxCosy-CosxCosy

Cos(x+y)=CosxCosy-SenxSeny.

En efecto:

Cos(x+y)=Cos(x-(-y))=CosxCos(-y)+SenxSen(-y) =

CosxCosy-SenxSeny.

Cos2x=Cos2x-Sen2x.


10. Sen2x=2SenxCosx.


En efecto: 1 +COB2X_ 1+ (CoaPx-Serfx) _ (1 -Sen*x) +Cos*x _ CO82X+COB>X

2 2 * 2 " 2

340


13. Coa* (±) - 1+Cosx 2 2


14. S e r f i ^ ) * 1 - ^ 8 * « Cá Demostración (Ejercicio)

15. CosxCoay--^(Coa (x+y) +cos (x-y)>.

En efecto:

\ Coa (x+y) + Coa (x-y) =

(CosxCoay-SenxSeny) (CosxCosy+SenxSejjy) = « A

(CosxSeny-SenxSeny+ CosxCosy* SenxSeny) -CoaxCoay

1>6 SenxCosy= — (Sen (x+y) +Sen (x-y)) 4M Demostración (Ejercicio).

í?. SenxSeny= <Cos (x-y) -Cos (x+y))

Demostración (Ejercicio).

18. Senx+Seny-2Sen (^ÍZ) Coa ( - ) 2 2 En efecto:

341

Sen(A+B) +Sen(A-B) -2SenACOBB .Prop 16. Sea x=A+B, y=A-B,

entonces "A y -B , y así.

Senx+Seny=2Sen ( ) Coa ( ) 2 2

19. Senx-Seny-2 Coa ( ) Sen ( )


20. C0SX+C0Sy-2 COS ( ) COS ( )


21. COBX- Cosy-2Sen ( ) Sen ( ) . « «


22. TanU+y) - . l - TanxTany

En ef eot8toU+y) - „ SenxCoBy*CoaxSeny, Cos (x>y) CosxCoBy-SenxSeny

SenxCoay+ CosxSeny CosxCosy Tanx+Tany

1_ SenxSeny ~ 1 - TanxTany COBxCoay

23 Tan(x-y) -1+TanxTany


24. C o t i x + y ) - 0 ^ 0 ? ; 1 Coty+Cotx


342

25. Tan2x^ 2TaDX

l-Tatfx Denostración (Ejercicio)

26. Cot2x- Cot2-?f"1 . 2Cotx

Denostración (Ejercicio)

Usando las identidades anteriores es posible demostrar otras

menos conocidas.

27. Tanx+Tany-COBXCOBy

En efecto: rarac-i-rany- SeDX + Seny _ SenxCoay+ CoaxSeny _ Sen(x+y)

Cosx Cosy CosxCoBy CoaxCoay

28. Tanx- Tany- SeD

CoaxCoay


29. Cotx±Coty- SJ*n SenxSeny


30. Sen3x=3Senx-4Seriix .

En efecto:

Sen3x=Sen(x+2x)

=SenxCos2x+CosxSen2x

=Senx(Cos2x-Sen2x)+2CosxCosxSenx

=Senx(l-2Sen2x)+2Senx(1-Sen2x)

=Senx-2Sen3x+2Senx-2Sen3x

343

=3Senx-4Sen3x.

31. Si x+y+z = n:, demostrar:

Senx+ Seny+Senz - 4 COB ( ) Coa () Coa (—) 2 2 2

En efecto:

Senx+Seny+Senz

=Senx+Seny+Sen(n-(x+y))

=Senx+Seny+Sen(x+y)

=Senx+Seny+SenxCosy+CosxSeny

=Senx(1+Cosy)+Seny(1+Cosx)

y x = Senx(2Cos2 -)+Seny(2Cos2 -) =

2 2

y x = 2SenxCos2 — + 2SenyCos2 —)

2 2

X X y y y X = 4Sen — Cos — Cos 2 - +4Sen - Cos — Cos 2 -

2 2 2 2 2 2

X y X y y X = 4Cos — Cos — ( Sen — Cos — + Sen — Cos -)

2 2 2 2 2 2

X y X y = 4Cos — Cos — Sen( — f — )

2 2 2 2

X y TI x+y = 4Cos — Cos — Cos( — - (

2 2 2 2

X y z = 4Cos — Cos — Cos -.

2 2 2

344

32. Cos 4x-Sen 4x=2Cos 2x-1.

En efecto:

Cos 4x-Sen 4x=(Cos 2x-Sen 2x)(Cos 2x+Sen 2x)

=Cos 2x-Sen 2x=Cos 2x-(l-Cos 2x)

=2Cos2x-1

345

EJERCICIOS

1. Deducir identidades para las funciones trigonométricas en

forma analítica y geométrica de los ángulos: 90°±x;

180°±x, 270 °±x, 360°±x.

2. Verificar las siguientes igualdades:

a) Si Tanx--|- , Tajny--j , x,y ángulos agudos, entonces

Tan(x+y)-l. .

b) Tanl5°=2-f5

c) Si Serve*-, 0<x<-£ entonces Sen2x--^J5

d) Si , entonces 0<x<90°; C0S2x—-8

2 Tan (JL e) Tac ( 4 ) = 8 l-Tan2— 16

f) Si Tan-^-2 entonces

h) Sen4 (f + Sen5 (f

i) Sen7$° -Senl 5o - jg

j ) Tan75? -Tanl?

346

k) Senl5 - (¿3+1) 4

l) senú(f COS3G0(Sen7(f +Senl0a) M

3. Demuestre las siguientes identidades:

a) Sen'X+jen2*-Tan3x COB4x+COS2X

Tani b Senx-Seny 2

Senx+Seny = ran^ 2

C) !+COB2X+COB4X+C086X"4COBXCOB2XCOB3X

D) 2CBCX--*¥X-+.1 + CO0X

e)

1+Cosx Sertx

Secx-Cacx Tanx-1 Secx+Cacx Tanx+1

f ) C o s 2 x S e n ( 2 - COB2X-2 COB4X+COB6X) 32

CoBX+Senx _ Tan2x+Sec2x Cosx-Senx

h) Sen2x+Sen2y+Sen2z-4 SenxSenySenz

•i i i i ) Cos 4X- 4-+-=• Cos2x+ -=- cos *x 8 2 8 j ) sen (x+y) Co BY-COB (x+y) SenySenx

k ) Cos 2xSen 2x- — (1-COB4X) 8

1 +Senx + Coax m2Secx Coax 1+Senx

347

) Sen2x+2Senx+l _ 1+Senx COB2X 1-Senx

n) TanxSenx+Coax-Secx

o) m2+Tan2x Tan2x

4. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son identidades?

A) VI~COB 2XM-Senx

b) Vi -Sen2X«*COBX

o) . S9nxi -Tan* yJl-Sen2x

d) JI-COB2X- | Senx \

348

3.3.12.4 FUNCIONES INVERSAS

Para el estudio que se hará de funciones trigonométricas

inversas y en general de funciones inversas, es necesario

inicialmente distinguir un tipo particular de funciones: Las

llamadas funciones inyectivas. Entre las funciones, hay

algunas en las cuales, para dos o más valores d® x en su

dominio, se le asocia un mismo valor de su recorrido, por

ejemplo para f(x)=x2, a los números 3, -3 se les asocia por

medio de f el mismo número (9), y existen otras para las

cuales valores diferentes de x en el dominio de f, siempre

tienen imágenes diferentes, estas últimas funciones se llaman

funciones inyectivas o 1 a 1, y su gráfica para el caso de

reales en reales se caracteriza porque cualquier recta

horizontal que la corte, lo hace en un solo punto.

Resumiendo:

Def inición

Una función f se dice inyectiva si para todo xi,x2€Df, xi*x2

se tiene que f(xi)*f ( x 2 ) .

Ejemplo

Las funciones f(x)=|x|; g(x)=x2; h(x)=Senx no son inyectivas;

justificar esta afirmación, por medio de sus gráficas.

349

Las funciones f(x) = 2x+l; g(x)=4; h(x)=Tanx con V

l(x) = X 2 s i x>0

x s i x<0

Son funciones inyectivas (trace sus gráficas y justifique

este resultado).

Suponga que se tiene la ecuación f(x)=b y que se pretende

despejar x. Observe que si existe una función g, tal que

g(f(x))=x VxeDr y tal que b esté en el dominio de g, entonces

al aplicar esta función a la ecuación, se obtiene:

g(f(x))=g(b), es decir, x=g(b), logrando así, despejar x.

Dos interrogantes surgen al analizar este problema. ¿Qué se

d e b e exigir a f para que exista esta función g?. Dada f, cómo

se construye esta función g?.

Para resolver el primer interrogante, observe que si la

función f no fuese inyectiva, entonces existirián por lo

menos dos valores xi, X2€Dr con su misma imagen, llamémola c,

entonces f(xi)=c y f ( x 2)=c. Si existiera la función g con la

propiedad descrita atrás, es decir, g(f(x))=x para todo xeDf,

entonces xi=g(f(xi ) )=g(c) y x 2=g(f ( x 2))=g(c), lo que

significaría que c por medio de g tendría dos imágenes

350

diferentes xi y X2, por tanto g no sería una función. Esto

implica que necesariamente para que exista la función g, se

debe exigir que f sea una función inyectiva.

Para responder el segundo interrogante, observe primero que

puesto que g se va a calcular a los dos lados de la ecuación

f(x)=b, entonces g debe estar definida en el recorrido de f,

pues beRr, por tanto D*=Rr. Ahora; ¿Qué es g(b>?. Puesto que

b€Rr y f es inyectiva, existe un único a para el cual f(a)=b,

y ese "a" precisamente define a g(b): g(b)=a. En la figura

^•73 Sé ilustra este resultado mediante un diagrama:

f g '

d • r > d

Dr Re=D*

Fig 3.73

f(a)=q; g(q)=a; f(g(q) ) = f(a)=q; g(f(a))=g(q)=a

f(b)=h; g(h)=b; f(g(h))=f(b)=h; g(f(b))=g(h)=b

f(c)=p; g(p)=c; f(g(p))=f(c)=p; g(f(c))=g(p)=c

f(d)=r; g(r)=d; f(g(r))=f(d)=r; g(f(d))=g(r)=d

A la función g construida de esta forma se le llama la

Función inversa de f y se nota por f _ 1. Más exactamente:

351

Def inición

Dada una función inyectiva f, se llama La inversa de f, a una función notada f - 1 con De-i"Rf y Rf-i"Df , tal que

Ejemplo 1

Sea f(x)=3x; como f es inyectiva (Ejercicio), entonces existe

f - 1(x) y ésta satisface que:

x=f(f-i(x))=3f"i(x), y de aqui se tiene que, f"i(x)=x/3 (Fig

3.74).

Observe que si se hubiése dado la ecuación f(x)=6, es decir,

3x=6 y se aplicara a ambos lados de ésta la función f - 1, se

tendría í"1 (3x) »í"1 (6) ; entonces f"1 (3x)--^-í"1 ( 6 ) y

así 3x=2, lo que ilustra, como se dijo anteriormente, que la

función f _ 1(x) sirve para despejar x en una ecuación de la

f - 1 ( f ( x ) ) - x Vx«£)f y / ( f -1 ( x ) ) - x VxsD¿-i .

forma v ̂ rh

X 3

352

De la figura 3.74 se puede observar que las gráficas de las

funciones f(x)=3x y de su inversa (-X) • — son simétricas

respecto a la recta y-x, relación que siempre se da entre las

gráficas de una función y de su inversa

Ejemplo 2

Sea f(x)-x2 con x>0, como f es inyectiva (Ejercicio), existe

f H x ) , por tanto:

x-f(f"l(x))-LF M x ) ] 2 entonces f_1(x)=+v/x (puesto que

Rc-imDf" [0, +«•) , se descarta el signo - ). Sus gráficas se pueden apreciar en la figura 3.75

Ejemplo 3

Sea f(x)~-x2 1 con x?: 1. Asi. Df- {-<», -1] -Rti . Como f es inyectiva (Ejercicio), existe f- x(x) tal que x-f(f"1(x)) = [f-1(x)]2-l entonces [f (*) ] 2«x+l y asi

f~1(x)=-y/x+í ; donde el signo - aparece debido a que

353

R£-i-Dt- (-••, -1] , o sea que f _ 1(x) siempre es negativa. Además, aunque dentro de los números reales f - 1 tiene sentido

para x+l>0, es decir para x>-l, no se toma [-1,+°°) como su dominio, puesto que D£-t debe ser igual a Rr y éste es igual a [0,+w) ya que la x esta restringida a (-«,-!]. Asi: Df-i-R£~ [0, +") (Fig 3.76)

V 4.'1

f(x) =x2-l 3.

2.

1.

-6. - 4 - 2

-4.

F i g 3.76

354

EJERCICIOS

1. Para las funciones siguientes:

i) f(x)-V*

ii) f(x)-x3

i i i ) / ( x ) -2x+5

iv) f{x)~yfx^A , si x< -2

V) f(x) «x2-4 , si x<0

a) Determinar si son o no inyectivas

b) Halle la inversa cuando exista y verifique que

( f . f - i ) ( x ) = ( f - i . f ) ( x ) = x . c) Encuentre sus dominios y recorridos

d) Trace sus gráficas

2. Las relaciones siguientes no son inyectivas. Restringiendo

sus dominios encuentre funciones inyectivas. Halle sus

inversas en estos dominios y trace sus gráficas:

a) y2=x2

b) x2-y2~ 4

c) X» | y |

355

e) y2=x-l

f) \y \ «x 2-l

3. Justificar el cuadro siguiente y llenar los espacios en

blanco.

Función Restricción Recorrido Don Recorrido Inversa

Don de f de f de £ - 1 de £ - 1

f <x) «X a [!,••) [«,••) [!,+•> [0,+») f -1 <X) mjx

f (x) -X 2 (-•,«] [>,••) (-•,0] f'1 ( x ) — V x

f(x) - V i - X a [0,1] [0,1] Jf-1 ( x ) - V l - x 2

f{x) «+/1-X2 [-1,0] [0,1] f " l ( x ) - V i - X a

J f ( x ) — A -1 + x

[0,+-) [0,1] f - M x ) - . A - 1 >| X

f (x) - 2 x + l 2

f ( x ) - ( x + l )2 t-l,*»> f

_ 1- V x - l

f (x) -X 9

f (x) »X6

Jf (x) -3X-2 1ÍXÍ10

356

3.3.12.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Inversa de Senx

Como es conocido, la función y=Senx no es inyectiva, por

tanto no tiene sentido hablar de su función inversa, sin

embargo, puesto que en la práctica es frecuente tener que

despejar x en ecuaciones de la forma Senx=b, se hace

necesario definir una inversa para el Senx, no definida para

todo x€R, sino solamente para una porción en la cual esta

función sea inyectiva. De todas las porciones en donde esto

se tiene, se acostumbra a tomar Xfti——,^^ (Fig 3.77).

y

F i g 3 . 7 7

De la definición de inversa se tiene que la función Senx pon

tiene inversa g(x), con

357

y y tal que g(Senx)=x y

Sen(g(x))=x. A esta función g(x) se llama Arco Seno de x y

se nota por:

g(x)=ArcSenx ó g(x)=Sen-1x; es decir, y=ArcSenx * x=Seny, por

tanto Sen(ArcSenx)=x para x€[-l,l] y ArcSen(Senx)=x para

Teniendo en cuenta la simetría respecto a la recta y=x de una

í ene que función y su inversa, de la figura 3.77 se o 78)

y^ArcSenx está representada gráficamente por (Fié

Ejemplos

} f'Hx) =ArcSen (x)

Fig 3 . 7 8

1. A r 5 e n - ^ - ~ , porque 2 4 4 2

2. ArcSen(-l) — ~ , porque Sen(-j-) --1

3. ArcSen (Sen) -4 4

358

4. ArcSen(Sen2%) -ArcSen(Seno) -O , es decir, AxcSen(Sen2%)

r ~X II i

es el número en el intervalo para el cual el

seno toma el mismo valor que el Sen2n , osea "0".

5. ArcSen(Sen) -AicSen(Sen(-5-)) «-5.

6. Sen (ArcSen-^-) -sen (-?•)-2 4 2

7. 5en(Arc5en(-|)) — \ áL A

8. Sen(ArcSen4) no existe, 4<[-l,l].

En forma análoga, puesto que las funciones Cosx, Tanx, Cotx,

Secx y Cscx no son inyectivas, tampoco se puede pensar en una

inversa de cada una de ellas, pero en una forma similar a

como se hizo con la función y=Senx se puede tomar una porción

de ellas (Restricción del dominio) de tal forma que estas

funciones asi restringidas sean inyectivas y por tanto tengan

sus respectivas inversas en estos nuevos dominios.

A continuación se mostrarán las gráficas de las funciones

trigonométricas restringidas y sus inversas correspondientes.

359

Inversa de Cosx

Sea f(x)=Cosx con x€[0,it]. Puesto que Rr=[-l,l] entonces se

define f-1(x)=ArcCosx=Cos_1x como la función, con Df-i-[-l,l] y J?jf-t-[0,n] , que satisface: y=ArcCosx *x=Cosy (Fig 3.79) / i

V V

X, _1(x) =ArcCos(x)

i -1 0 ,

/ /

i

-r/2, /

/ s

/ /

/ /

/

( - Fig 3.79

De la definición se puede concluir que Cos(ArcCosx)=x con

x€[-l,l] y que ArcCos(Cosx)=x con X€[0,tc].

i:

Inversa de Tanx

Si f(x)"Tanx con , entonces ( » ) > U A « « Rr=E, por tanto se define f _ 1(x)=ArcTanx=Tan - 1x como la función, con Df-t-R y

' > t a l q u e :

y=ArcTanx ~ x=Tany (Fig 3.80)

360

f'Hx) "ArcTan(x)

-r/2

Fig 3.80

De la definición se concluye que Tan(ArcTanx)=x si x€l y

ArcTan(Tanx)=x si ** l-jf" •§" J •

Inversa de Cotx

Sea F(x)=Cotx con X€(0,TC), entonces Dr=(0,u) y Rr=I, por

tanto se define f- 1(x)=ArcCotx=Cot- 1x cono la función, con D¿-i-R y (0, *) , tal que:

y=ArcCotx x=Coty (Fig 3.81).

De ésta definición se concluye que Cot(ArcCotx)=x x€l y

ArcCot(Cotx)=x con X€(0,TI)

Fig 3.81

361

Inversa Secx

Sea f(x)=Secx con x«[0f — ) CJÍ-^-,«] , entonces

Df-[0,— y , por tanto se

def ine.

f - 1(x)=ArcSecx=Sec- 1x, como la función, con

Df-tm(-*>, -1] C7[l# +«) y Re-t-lo.-j)U(, que satisface

y=ArcSecx •• x=Secy (Fig 3.82) De esta definición se deduce

que ArcSec(Secx)=x si X9 [ 0 , - £ - ) , k ] y que Sec( ArcSecx)=x

S i XG(-oo,-l]U[l,+oo)

\ > -r-/

f i g 3.82 Inversa de Cscx

Sea f(x)=Cscx con xe [ — , 0) C7(0, -5-] , entonces

I>f-[^-,0)C7(0,-|] y *,-(-«•,-1](T[1,+«) , por tanto se

define f- 1(x)=ArcCscx=Csc - 1x, como

362

y=ArcCscx x=Cscy con

R £_ i m[^2. l0) U(0,A) (Fig 3.83)

De la definición anterior se concluye que ArcCsc(Cscx)=x con

x»[~—, 0) 17(0, — ] y que con Csc(ArcCscx)=x con

xe(-»# -i] U[1,

••v

w/2

»/2

f~Hx) =ArcCsc(x)

o i

Fig 3.83 Ejemplos

1. ArcCoa(-l)-n Porque Cosn--l

2. ArcTan(-l) Porque Tan(-^-) =-1 4 4

3. Coa (AzcCoa^kr) - 4 -3 3

4. Tan (AxcTan—) -— 3 3

5. Cot (ArcCot—) • — 3 3

6. Sec(ArcSec-) no tiene sentido, pues * ( - « , - 1 ]

363

7. ArcCoa (Coa-—-) - ^ 4 4

8. ArcTan(Tan^-) -ArcTan(Tan(~)) 4 4 4

9. ArcCac (--^JL 4 10. Calcular el valor de:

a) Coa (ArcSen) 5

3 3 Sea x=ArcSen(—) entonces Senx=-1 , con x en el

primer cuadrante (Fig 3.84)

4

Fig 3.84

Luego de la figura se tiene que:

3 4 Coax=Coa (ArcSen-^-) = ~

b) Sen (ArcCoa ( ) )

Sea x-ArcCoa (——) entonces Coax*-^- con x en el

segundo cuadrante (Fig 3.85)

364

Fig 3.85

y de la figura se tiene que:

Senx-Sen (ArcCoa (~)) • 3 3

c) Tan (Arasen (-—•)) 4

Sea x - A r c S e n ( ) , entonces 5«nx»-~-4 4 cuarto cuadrante (Fig 3.86).

V

con x en el

De la figura se tiene que Tanx-Tan (AraSen ) — ~ 4

11. Hallar el valor de Coa(ArcTan— -ArcSen-^j-) . 8 26

365

1 5 1 5 Sea x»ArcTan{ ) Entonces Tanx-— y sea 8 8

7 7 yArcSen-—, Entonces Seny~~ (Fig 3.87) 25

Por tanto: F i g 3 . 0 6

7

24

Coa(ArcTan— -ArcSen-—) -Cos(x-y) -cosxcosy+SenxSeny 8 25

8 t 24 + 15 t 7 _ 257 17 25 17 2 5 425

366

EJERCICIOS

1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos?

ArcTan(,/5) 3

ArcSec(-SS) 4

ArcCsc(-2) = 6

Aresen (Tan ( ) ) - JJL 4 2

Arceos (Tan ( ) ) =n 4

ArcCOt - — 6

Aresen ( ) -AicSen (A) 2 2 12

ArcCoa(0)+ Ar eran(-1)=ArcTan(l)

2ArcTan () =Ar cTajj (—) 2 3

ArcTan (-i.) +ArcTan (A) +ArcTan (A) - JE. 2 5 8 4

ArcTan(Cot<230°)-40°

Sea (2Aresen (—)) -3 9

ArcSen(Coa(-105°)) =-15°

Coa (ArcTan < ) + ArcSen (—)) = 3 13 65

367

p) Tan{2ArcSen(-i) + Arceos(^)) — 5 13 204

q) /LrcSen(Sen(^-))~^*-2 2 r ) Sen (ArcSen (4)) »4

2. Demuestre las siguinetes identidades, las cuales son

necesarias para el cálculo de ArcCotx, ArcSecx y ArcCosx

por medio de calculadoras manuales:

a) ArcCotx-ArcTag—^

b) ArcCo tx- — -ArcTanx 2

c) ArcSecx-ArcCos— x

d) ArcCscx=ArcSen—

368

3.3.12.6 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una expresión como Sen2x+Cos2x=1, puesto que es una identidad

se satisface para todo valor de x. Pero en general para

expresiones como por ejemplo Senx=l ó Sen2x+Cosx='í, habra

valores de x que la satisfacen y otros que no. Hallar en

estas expresiones los valores de x que la satisfacen, es lo

que se conoce como resolver la ecuación trigonométrica o

hallar su conjunto solución.

Ejenplo 1

Hallar la solución de la ecuación Senx=b.

Inicialmente se considera que, aplicando a los dos lados de

esta ecuación la función ArcSenx, se tiene:

ArcSen(Senx)=ArcSenb entonces x=ArcSenb.

Pero recordando qu e y^ArcSenx es la inversa de Senx, pero

solamente cuando , entonces este valor de x M

hallado, x=ArcSenb, pertenece a este intervalo. Pero es claro

que considerando toda la función Senx y debido a su

periocidad, este no es el único valor de x que satisface la

ecuación Senx=b, sino que existen infinitos (Fig 3.89) los

cuales están dados por:

369

2nn + ArcSenb

2rm+(n:-ArcSenb )

2niï+ArcSenb

(2n+l )rc-ArcSenb si neZ

Como se visualiza en las gráficas de las figuras 3.89

y it-Sen'1 (Jb)

Fig 3.89

Con analisis similares al anterior se pueden hallar las

soluciones de las ecuaciones Cosx=a; Tanx=a, Secx=a, Cotx=a y

Cscx=a así:

Ejemplo 2

Solucionar Cosx=a.

370

Si x€[0,Tt]; ArcCos(Cosx)=ArcCos(a), entonces x=ArcCos(a), y

la solución de Cosx=a (Fig 3.90), si x€R está dada por:

x = 2nTi+Cos-i(a)

con neZ 2nn-Cos-!(a)

Como se visualiza en los gráficos de la figura 3.90

Fig 3.90

Ejemplo 3

Solucionar Tanx=a.

371

Si ; ArcTan(Tanx)=ArcTan(a); entonces

x=ArcTan(a), y la solución de Tanx=a, para x en todo su

dominio está dada por: x=nrc+ArcTan(a) n€Z (Fig 3.91)

En forma análoga se pueden solucionar ecuaciones similares

con las otras funciones trigonométricas (Ejercicio).

Ejemplo 4

Hallar la solución de la ecuación 4CosxSenx+2Senx-2Cosx-1=0

en [0, 2rc] .

4CosxSenx+2Senx-2Cosx-l=2Senx(2Cosx+l)-(2Cosx+l)=

(2Cosx+l)(2Senx-l)=0 si y sólo si 2Cosx+l=0 ó 2Senx-l=0.

Si 2Cosx+ 1=0 C o s x = - ̂ , y puesto que ArcCos( ) = 120° , 9 ir entonces x=120° ó x=360°-120°=240°, es decir, 6

372

Si 2Senx-1=0 - S e n x ^ - x = 30° ó x=120°, es decir, ó

y así la solución de la ecuación en [0,2 tc] es: i n 5n 2n 4K

{±+2nn 6

^ +2nn, +2nn) Con mZ .

Ejenplo 5

Hallar el conjunto solución de la ecuación Coa*x-SenAx=1 .

Co3*x-Sen*x= (Coa2x+Sen2x) (Coa2x-Sen2x) = 1 Coa2x-Sen2x=1

Ejenplo 6

Solucionar Senx=,/3Cosx-l •

Si elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación se tiene

que :

Sen2x- 3 Coa2 x- 2 y/3Coax+l •* l-Cos2x=3Co32x-2}/5Co8x+l

4C032X-2^C08X"0 - 2C09x(2C0ax-t/3) «0 COBX"0 ó

Co82x" i -» 2x=2mt yi°>nit Con nez .

2Coax-^3=0

i) Si COBX-0 - X= n 3n 5 n ¿i) Si 2CO9X-V5-0 2 ' 2 ' 2

373

Cosx-^- _» nn ó x=^-+2mt . 2 6 6

Puesto que los dos miembros de la ecuación original fueron

elevados al cuadrado, en este conjunto solución pueden

aparecer soluciones "extrañas", por tanto es necesario

verificar en la ecuación original cuáles de los elementos de

este conjunto son efectivamente soluciones de la ecuación

inicial. Reemplazando allí, se puede observar que para 11 5ti 9n 13ff ~2 ' ~2~' ~2~'—2— ' ' ' " y Para , con n€Z, no

satisfacen la ecuación, por lo tanto la solución de la ecuación está dada por +2rm, +2n% . Con 1*2} .

6 2

Ejemplo 7

Solucionar la ecuación Tan4x-Cot6x .

Cot6x=Tan(—-6x) (Ejercicio) Entonces

Tan (4jc) =Tan -6x) y así: 4x=-5--6 x+nn ,neZ entonces

l O x — l ^ í l l J L

luego x= ( ) n, neZ u \J

Ejemplo 8

Solucionar la ecuación J2sen2x+Cosx-0

374

S i i/2(1-COS2X) + C O S X - 0 ^2CO32X-COBX-j2-0 "*

Cosx- . = ó = 2̂ /2 2 fl & ^ '

2 Ahora si Cosx=——=i/2 t como entonces en este caso no v2

hay solución, y si Cosx=^p - x=±^-+2mt. Con MZ . y 2 *

375

EJERCICIOS

I. Hallar el conjunto solución de las ecuaciones:

1. Sen3x=-^~ 2

2. Sen3x=0

3. Tan2x—fS

4. Cot (2x-l) =-—

y/3

5. 2Sen22x-l=0

6. 3Senx=2Cos2x 7. Sen2x=Cos2x

8 . Sen2xC03x+ Co32xSenx*> 0

9. Sen5x-Sen3x-Senx=Q

10 • Coax-f5Senx=l

11. 2 Co8x=l-Senx

12. SenxCoax'Q

13. Secx-l*Tanx

14. 2 Tanx-Sonx-Tanx•o

15. Sen4x-2Sen3x-l=2Senx-Cos2x

16. 6 Tanx+12 Co tx=5v^3 Secx

17. (1-Sen4x) (1 + Tan2x) =

376

Tanx-1 1 8' raux+1 1

19. Senix+Cosix= — 8

20. Cosx=4

Analizar los cuadros siguientes paso a paso, e

ilustrarlos con ejemplos (En todos los casos n€Z) a)

senx = b

b< -1 b = - 1 - 1 < b < 1 b = 1 b > 1

senx = b to hay soluciones

x = ~ + 2n1T Are senb + 2nTT

y 7T -Are senb., nTT

j + 2ntí No hay soluciones

b)

cosx=b

b < - 1 b = -1 - 1 < b < 1 b = 1 b > 1

cosx=b No hay solución (2n+1 ) TT ArcCosb + 2n1T y

2nTT - Are Cosb 2n?T No hay solución

c)

_ 00 < b < + OO

Tan x = b x = ArcTanb + nlT

377

de esta forma se han definido dos funciones de reales en...

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