Saber para ser

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DECHIMBORAZO

ESCUELA DE INGENIERIA AUTOMOTRIZ

DEBER N 2

METODOS NUMERICO

DAVID VILLACRES

1535

Saber para ser

1. Determine las raíces reales de �(�) = . � �� � + .� �𝐱 + .� � ∶

a) Gráficamenteb) Empleando la fórmula cuadráticac) Usando el método de bisección con tres iteraciones para

determinar la raíz más grande. Emplee como valores iniciales � = � � � = ��

a)

b)−� ± √�2 −

4��� = 2�−2.5 ± √2. 52 − 4(−0.5)(4.5)� = 2(−0.5)

�1 = −1.40512 𝑜 �2 = 6.40512

c)

I A B APRO

1 5 10 7,5

2 5 7,5 6,25

3 6,25 7,5 6,875

Saber para ser

La raíz es = 6.875

2. La ecuación � � − �� = � tiene por raíz a r = 0.61906129: Comenzando con el intervalo [0; 1], realizar seis iteraciones por el Método de Bisección para encontrar la raíz aproximada. ¿Cuántos decimales significativos tienen dicha aproximación? ¿Cuántas iteraciones son necesarias para que la raízobtenida tenga un error menor que ��−�?

I A B APRO

1 0 1 0,5

2 0,5 1 0,75

3 0,5 0,75 0,625

4 0,5 0,625 0,5625

5 0,5625 0,625 0,59375

6 0,59375 0,625 0,609375

La raíz aproximada es 0.609375, posee 6 decimales significativos

Se necesita 9 iteraciones, para obtener una raiz aproximada con una

tolerancia de 10−4

3. Utilizar el Método de Bisección para encontrar una solución aproximada con un error menor que ��−� en el intervalo [4.4; 5] para la ecuación� =�𝐚��(�).

Rta. Después de ∞iteraciones no se obtuvo raíces en ese intervalo

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4. Sabiendo que existe una raíz de la ecuación x3 + x = 6 entre 1,55 y 1,75,¿cuántas iteraciones son necesarias hasta obtener mediante el método de bisección, un intervalo de amplitud menor o igual que ��−� que contenga a la raíz?. Calcular todas las iteraciones necesarias.

I A B APRO

1 1,55 1,75 1,65

2 1,55 1,65 1,6

3 1 1,65 1,625

4 1,625 1,65 1,6375

5 1,625 1,6375 1,63125

6 1,63125 1,6375 1,634375

Para obtener un error de 10−3 fueron necesarias 6 iteraciones

5. Aplicar el Método de Bisección a 𝐟(��) = � � − �� = �, a fin de determinar la raíz cúbica de 17 con un error menor que 0,125.

I A B APROXIMACIÓN

1 2,5 2,6 2,55

2 2,55 2,6 2,575

La raíz cubica de dicha función es = 2,575

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6. Aplicando el Método de Newton, encontrar una raíz próxima a � � = � para la ecuación 𝐟(𝐱) = �𝐱 + �����(𝐱) − � � = �. Redondear los cálculos a

cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla [�� − ��−�] ≤ �, ���.

I F(X) F'(X) XI+1 TOLERANCIA

0 -1 3 1/3 1/3

1 -0,0684 2,549 0,36022 0.0269

2 0,0006 2,502 0,36042 0.002

3 -5,625E-08 2,502 0,36042 0

7. La función ��(��) = ��−��−� tiene una raíz en 𝐱 = �, ��. Utilizar el método de

Newton con las siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cadacaso, previamente, si se produce un proceso convergente o no a la raíz.

a) � � = ,� �b) � � = ,� �c) � � = �

a) �0 = 1,6

I X(I+1) ERROR

1 1.840000 0.150000

2 1.782400 0.0313043 1.754199 0.015822

4 1.750071 0.0023545 1.750000 0.000040

R ai z = 1 . 7 5 0 1

Saber para ser

Esta respuesta converge a la raiz en 5 iteraciones

b) �0 = 1,5

f =

Inline function:f(x) = (4*x-7)/(x-2)

i X(i+1) Error1 2.000000 0.3333332 NaN NaN

Esta respuesta diverge de la solución, se produce una división para 0 almomento de calcular el X(i+1)c) �0 = 3i X(i+1) Error

1 8.000000 1.6666672 158.000000 18.7500003 97658.000000 617.088608

Basta con tres iteraciones para darse cuenta que el valor diverge de la raíz dada.

8. Compárese la velocidad de convergencia del algoritmo de bisección en el intervalo [0,1] y el de Newton-Raphson con valor inicial 0.9 para la función�(�) = � � − ,� �.

Metodo Newton-RaphsonI X(I+1) ERROR

1 1.013358 0.1259542 0.987324 0.025691

3 0.985077 0.0022774 0.985061 0.000016

Saber para ser

Raíz = 0.9851Metodo de Biseccioni a b aprox error

1 0.0000000000 1.0000000000 0.5000000000 0.89218750002 0.5000000000 1.0000000000 0.7500000000 0.76651611333 0.7500000000 1.0000000000 0.8750000000 0.50730409624 0.8750000000 1.0000000000 0.9375000000 0.26349922795 0.9375000000 1.0000000000 0.9687500000 0.09927754356 0.9687500000 1.0000000000 0.9843750000 0.00437949467 0.9843750000 1.0000000000 0.9921875000 0.04657767888 0.9843750000 0.9921875000 0.9882812500 0.02079699029 0.9843750000 0.9882812500 0.9863281250 0.008133967210 0.9843750000 0.9863281250 0.9853515625 0.001858633611 0.9843750000 0.9853515625 0.9848632813 0.0012650697

12 0.9848632813 0.9853515625 0.9851074219 0.000295620713 0.9848632813 0.9851074219 0.9849853516 0.000485014614 0.9849853516 0.9851074219 0.9850463867 0.0000947695

la raíz es 0.9850463867

Rta. El método de Newton-Raphson converge con la respuesta con mayor celeridad que el de la Bisección

9. Hacer dos iteraciones del algoritmo de la secante para la función �(�) =

���� + ,� � con valores iniciales 0 y 0.1

Programa evaluar x el método de la secante ingrese la función g(x) = tan(x)+0.5ingrese punto inicial xo = 0 ingrese punto final x = 0.1 ingrese la tolerancia tol = 0.001ingrese el número de iteraciones n = 2

La raíz es -0.4573534313

10. Calcular mediante los métodos de bisección y regula falsi la raíz

de la ecuación � = �−� con una precisión de ��−�. Tomar [0; 1] como intervalo de partida.

METODOS DE BISECCIÓN Ingrese la función = (2.718^(-x))-x ingrece el limite inferior a =0Ingrese el limite superior b = 1ingrese la torerancia tol =0.000001

I1

A0.0000000000

B1.0000000000

APRO0.5000000000

ERROR0.1065621044

2 0.5000000000 1.0000000000 0.7500000000 0.27759671313 0.5000000000 0.7500000000 0.6250000000 0.08970388404 0.5000000000 0.6250000000 0.5625000000 0.00731605685 0.5625000000 0.6250000000 0.5937500000 0.04146355076 0.5625000000 0.5937500000 0.5781250000 0.01714221357 0.5625000000 0.5781250000 0.5703125000 0.00493032908 0.5625000000 0.5703125000 0.5664062500 0.00118853449 0.5664062500 0.5703125000 0.5683593750 0.001871977510 0.5664062500 0.5683593750 0.5673828125 0.000341991911 0.5664062500 0.5673828125 0.5668945313 0.000423203612 0.5668945313 0.5673828125 0.5671386719 0.000040589013 0.5671386719 0.5673828125 0.5672607422 0.000150705714 0.5671386719 0.5672607422 0.5671997070 0.000055059415 0.5671386719 0.5671997070 0.5671691895 0.000007235516 0.5671386719 0.5671691895 0.5671539307 0.000016676717 0.5671539307 0.5671691895 0.5671615601 0.000004720618 0.5671615601 0.5671691895 0.5671653748 0.000001257519 0.5671615601 0.5671653748 0.5671634674 0.000001731620 0.5671634674 0.5671653748 0.5671644211 0.0000002371

l a r a í z e s 0 . 5 6 7 1 6 44 2 1 1

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METODOS DE POSICIÓN FALSA Ingrese la función = (2.718^(-x))-x ingrese el límite inferior a =0Ingrese el límite superior b = 1ingrese la tolerancia tol =0.000001

i a b aprox error1 0.0000000000 1.0000000000 0.6127141569 0.07080160182 0.0000000000 0.6127141569 0.5722013824 0.00788603343 0.0000000000 0.5722013824 0.5677242898 0.00087704764 0.0000000000 0.5677242898 0.5672268049 0.00009752385 0.0000000000 0.5672268049 0.5671714921 0.00001084406 0.0000000000 0.5671714921 0.5671653418 0.00000120587 0.0000000000 0.5671653418 0.5671646579 0.0000001341

l a r ai z e s 0 . 5 6 7 1 6 4 6 5 79

11. Comparar las primeras 5 iteraciones del método de la régula falsi y de la secante para la ecuación del ejercicio anterior.

En este caso el metodo de la regula falsi converge mucho mas rapido y x el metodo de la secante no nos lleva a la raiz que estamos buscando.Programa evaluar x el método de la secante ingrese la función g(x) = 2.718^(-x)ingrese punto inicial xo = 0 ingrese punto final x = 1ingrese la tolerancia tol = 0.000001 ingrese el número de iteraciones n = 5

La raíz es 4.3860594166>>

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12. Resolver la ecuación ��(� − ��) = ��, utilizando el método de Newton- Rapson, partiendo de x0 = 0 y calculando la raíz con una precisión de0.0001

.

13. Resolver mediante el método de Newton la ecuación �+����−���

− � = � partiendo

de � � = � e iterando hasta que el error sea menor de ��−�. Comparar con lasolución exacta

i X(i+1) Error1 1.500000 0.5000002 1.403509 0.0643273 1.395657 0.0055944 1.395612 0.000032

Raiz = 1.3957Solución Exacta

� + ��(�) = � − ���(�)

���(�) = �

��(�) = �/�

� = ��/� = �. �����

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Se puede apreciar que la solución exacta de la aproximada difiere en0.0001, por lo que se le consideraría un error muy pequeño.

14. Probar que la ecuación � � − ��−� = � tiene una única solución real.

Obtenerla mediante el método de Newton-Raphson (3 iteraciones). Utilizar5 cifras decimales en los cálculos.

Xo=0

i X(i+1) Error1 0.333333 Inf2 0.346573 0.0397183 0.346574 0.000002

Raíz = 0.3466

15. Aproximar mediante el método de la regula falsi la raíz de la ecuación� � − �� � − � = � en el intervalo [1, 4], realizando 5 iteraciones y utilizando cinco cifras decimales.

i a b aprox error1 1.00000 4.00000 1.54545 6.085652 1.54545 4.00000 1.99693 5.012223 1.99693 4.00000 2.31056 3.342034 2.31056 4.00000 2.49664 1.904325 2.49664 4.00000 2.59569 0.98649

la raiz es 2.59569

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�16. Encontrar un valor aproximado de √� mediante el método de bisección y el método de la secante.

17. Determinar una solución aproximada de la ecuación ��� − � + � = � en el intervalo [3,4], utilizando 3 iteraciones con el método de Newton-Raphson

Xo=3

i X(i+1) Error1 3.147918 0.0493062 3.146193 0.0005483 3.146193 0.000000

Raiz = 3.1462

18. La concentración � de una bacteria contaminante en un lago decrece según la expresión:�(�) = ���−�� + ���−�,�� Siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempoque se necesita para que el número de bacterias se reduzca a 7. (Utilizar elMétodo de Newton).

El tiempo necesario es de 4.13938 horas

19. Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura)para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. Elvolumen de líquido que puede contener se calcula con 𝒗 = ���� ( ��

−� ) �Donde V = volumen [ ��], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R =radio del tanque [m]. Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 �� ? Haga tres iteraciones con el método de la falsa posición a fin de obtener la respuesta. Determine el error relativo aproximado después de cada iteración.

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���

�

MÉTODOS DE la posición falsaIngrese la función = ((pi*x^2)*((9-x)/3))-30 ingrese el límite inferior a =0Ingrese el límite superior b = 3ingrese la tolerancia tol =0.001

a b aprox error1 0.0000000000 3.0000000000 1.5915494309 10.34847452132 1.5915494309 3.0000000000 1.9865750054 1.01530673693 1.9865750054 3.0000000000 2.0239040642 0.0759130909

la raíz es 2.0239040642

20. Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20 �� �−� .

La profundidad crítica para dicho canal satisface la ecuación � = � − �

��

Donde g = 9;81m�−�, Ac = área de la sección transversal (�� ), y B = anchodel canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad por medio de

� = 3 + �

Y�2

�𝑐 = 3� + 2

Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos:a) Gráficob) Bisecciónc) Falsa posiciónd) En los incisos b) y c), haga elecciones iniciales de a = 0,5 y b = 2,5, y

ejecute iteraciones hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el número de interacciones supere a 10. Analice sus resultados.

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