TRABAJO DE DINAMICA

DAVID FIALLOS

May 26, 2013

EJERCICIO 1

David Fiallos.1.- Un proyectil es disparado verticalmentehacia abajo a traves de un �uido

con una velocidad de 60m/s debido a la resistencia del �uido el proyectilexperimenta una desaceleracion igual a a = (−0.4v3)m/s2, donde V esta

en m/s determine la velocidad y la posicion del proyectil 4(s) despues de serdisparado

� VELOCIDAD.-

a =dv

dt; sabemosquelaV o = 60m/s

a =dv

dt= 0, 4v3

v�

60

dv

−0, 4v3=

t�

0

dt

1

−0, 4

v�

60

dv

v3=

t�

0

dt

1

−0, 4

v�

60

v−3 = [t]t0

(1

−0, 4

)[v−2

−2

]v60

= t

(1

0.8

)[1

v2

]v60

= t

(1

0.8

)[1

v2− 1

(60)2

]= t

1

[1

v2− 1

(60)2

]= 0, 8t

1

v2=

1

(60)2+ 0, 8t

v =

[1

602+ 0.8t

]−1/2

; cuandot = 4s

v = 0, 559m/s

� POSICION.-

V =dx

dt=

[1

602+ 0, 8t

]−1/2

⇒� x

0

dx =

� t

0

[1

602+ 0, 8t

]−1/2

dt

S =2

0, 8

[(

1

602+ 0, 8t)1/2

]40

⇒ S =2

0, 8

[1

602+ 0.8(4)

]1/2− 1

60

S = 4, 43m

EJERCICIO 2

1 El automovil viaja hacia el este con unarapidez constantede 36km/h. Cuando el au-tomovil A cruza la interseccion que se mues-tra,el automovil B parte del reposo desdeuna distancia 35 m al nortede la intersec-cion y se mueve hacia el sur con una acel-eracion constante de 1.2 m/s2. Determine laposicion, velcidad y aceleracion de B rela-tiva a A 5s despues de que A cruza la inter-secion.

� Movimiento Automovil A:

va =(36kmh

) (1000m1km

) (1h

3600s

)= 10m/s

aA = 0

vA = +10m/s

xA = (xA)o + vA = 10t

2

para t =5s se tiene:aA = 0

vA = 10i m/s

xA = 50i m

� Movimiento Automovil B:

aB = 1.2 m/s2

vA = (vB)o + at = 0− 1.2t

yB = (yB)o + (vB)ot+ 12aBt

2 = 35− 12 (1.2)t2

para t =5s se tiene:

aB = −1.2j m/s2

vB = −6j m/s

yB = 20j m

� Movimiento de B relativo A:

� rB/A = rB − rA = 53.9mx21.8o

� vB/A = vB − vA = 11.66m/sx31.0o

� aB/A = aB − aA = −1.2j m/s2

EJERCICIO 3

-Una particula p se mueve a lo largo de la �gura en un determinado instantede tiempo la V = 30i + 40j + 50k y su a = 8i − 10j − 20k. determinar en eseinstante:

la velocidad y su aceleracion e indicar si el mov. es acelerado o desacelerado.

~V = V. ~UT (1)

V =√

302 + 402 + 502 (2)

V = 70.71[ms

](3)

~Ut =~V

V=

30i+ 40j + 50k

70.71= 0.42i+ 0.57j + 0.707k (4)

aT = 3.39− 5.76− 14.14 = −16.508[ms2

](5)

aN =√a2 − a2T = 17.47

[ms2

](6)

aT = −16.508 y V = 70.71 (7)

3

mov.desacelerado (8)

EJERCICIO 4

- Una helice esta descrita por la funcion posicion r(t) = (acos(wt), asin(wt), b(wt))encontrar la velocidad y aceleracion.

x = acos(wt)y = asin(wt)z = b(wt)r(t) = (acos(wt), asin(wt), b(wt))

dr

dt= (acos(wt), asin(wt), b(wt))

[v] = (−awsin(wt), awcos(wt), bw))

[v] =√

(−asin(wt))2 + ((acos(wt))2

[v] = (abw)

dv

dt= (−awsin(wt), awcos(wt), bw))

[a] = (−aw2cos(wt),−aw2sin(wt), 0)

[a] =√

(−aw2cos(wt))2 + (−aw2sin(wt))2

[a] = aw2

EJERCICIO 5

Un disco que gira libremente en el sentido de las agujas del reloj con velocidadangular ω1se ve sometido subitamente

a un momento quqe le ocasiona una aceleracion constante en sentido opuestode 300 rpm cada segundo. El momento

se aplica durante 10 seg y cambia la velocidad del disco a 2000 rpm en sentidoopuesto al de las agujas del reloj.

Determinar:ω1 y calcular el numero total N de revoluciones (en ambos sentidos de

giro)que ha realizado el disco durante el intervalo de los 10 seg.α = 300rpm/segα = 5rev/seg2

ω2 = 2000rpmω2 = 33.33rev/seganalizando en una segunda fase del movimiento tenemos:θ2 = ωf2−ωo2

2α

4

θ2 = (33.33)2−(0)2

10 = 111.11rev

el tiempo transcurrido será:ωf = αt2 + ωot2 = ωf

α = 6.66seganalizando la primera fase:t1 = 10− t2t1 = 3.34segωf = αt2 + ωoωo=αtωo = 16.7rev/seg

θ1 = ωf2−ωo22α

θ1 = 27.88revN = θ1 + θ2N = 138.9revEJERCICIO 6

El carro viaja por una trayectoria curva de tal manera que su rapidez au-menta en, V = 0, 5 ∗ etDetermine las magnitudes de su velocidad aceleraciondespues que ha recorrido 18m partiendo del reposo�

dv =�

0, 5 ∗ etdtV = 0, 5 ∗ etdede de 0 a tV = 0, 5 [et − 1]�ds = 0, 5

�(et − 1)

s = 0, 5�

(et − t− 1)18 = 0, 5

�(et − t− 1)

t = 3, 7064segundosV = 0, 5

�(e3,7064 − 1)

V = 19, 9m/s)at = ˙V =0, 5(et)evaluado en t=3,7064at = 20, 35m/s2

an = v2

ϕ = 19,852

30

an = 13, 14m/s2a =√at2 + an2

a = 244, 2m/s2.EJERCICIO 7

La polea de un mecanismo electrónico gira a 160 rpm. Si una vez pulsado elinterruptor tarda 6 segundos en detenerse. Calcular la aceleración angular de lapolea, la aceleración tangencial de la periferia de la polea, el número de vueltasefectuadas hasta detenerse, la aceleración centrípeta y total a los 3 segundos.Se conoce que el diámetro de la polea es de 40 cm.

Siendo:f = 160

60 = 2, 67[rps]Entonces:ω = 2πfω = 2π (2, 67) = 16, 78[ rads ]

5

Durante los 6 segundos, la aceleración angular sera:α = ω

t

α = 16,786 = 2, 8

[rads2

]Para la aceleración tangencial, dado que D = 40 cm:R = D

2

R = 0,42 = 0, 2 [m]

De manera que:aT = αRaT = (2, 8) (0, 2) = 0, 56

[ms2

]Número de vueltas efectuadas durante los 6 segundos que dura el movimiento

:f = n

tn = ftn = (2, 67) (6) = 16, 02 [vueltas]Para la aceleracion centripeta a los 3 segundos de movimiento:ω1 = αt1ω1 = (2, 8) (3) = 8, 4

[rads

]Entonces:aC = ω2

1R

aC = (8, 4)2

(0, 2) = 14, 11[ms2

]Obtenidas la aC y aT , podemos obtener −→a a los 3 segundos de movimiento:−→a =

√(aC)2 + (aT )2

−→a =√

(14, 11)2 + (0, 56)2 = 14, 12[ms2

]EJERCICIO 8

REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS1.-Un proyectil es disparado verticalmente hacia abajo a travez con un �ujo

con velocidad inicial de 60 m/s debido a la resistencia de �uidos el proyectilexperimenta una desaceleracion a=-0,4v^3 m/s^2

donde v esta em m/s determine la velocidad y la posicion del proyectil 4 segdespues de cer disparado.

UN AUTOMOVIL DE PRUEBAS PARTE DE REPOSO Y VIAJA A LOLARGODE UNA PISTA RECTAACELERANDOCONRAZON CONSTANTE

DURANTE 10 SEG Y LUEGO DESACELERANDO A RAZON CON-STANTE TRACE LAS FRAFICAS V-T Y S-T DETERMINE EL TIEMPOT' REQUERIDO

PARA DETENER EL AUTOMOVIL.calculo de la velocidada=dv

dt dv=a*dt a=10m/s2

0<t<=10........................................................... .10seg<t<=t'�dv =

�10*dt.................................................. dv=a*dt a=-2

v-v(0)=10t..........................................................�dv =

�−2 ∗ dt

v=10t t=10seg.....................................................v=-2t+120 v=0v=100 m/s2........................................................t'= 120

2 =60'segcalculo de la posicion

6

v=drdt =dr=v*dt

0<t<=10seg.................................................................0<t<=60'seg�dr =

�10t ∗ dt..................................................

�dr =

�(−2t+ 120) ∗ dt

r-r(0)=10*t2-10t(0)............................................r-500=-t+120t-1100r=-5t2 ................................................................r=-t2+120t-600t=10seg................................................................t=60'segr=5^*(10)2.........................................................r=-602+120(60)-60r=500 metros........................................................r=3000 metrosEJERCICIO 9

Un ventilador gira con una velocidad correspondiente a una frecuencia de900 rpm. Al desconectarlo, su movimientopasa hacer uniforme retrazado,

hasta que se detiene por completo despues de dar 75 vueltasDETERMINAR:¾Cuanto tiempo trascure desde el momento en que se detiene el ventilador

hasta que se detiene por completo?FrecuenciaF = 900rpm

60seg = 155−1

Wo = (2π) (F ∗ rad)Wo = (2π)

(155−1rad

)= 30πrad

Numero de vueltas = N°:N ° = θ

2πradDespejando θ:θ = N ° ∗ 2πradθ = 75 ∗ 2πradθ = 150πradWf=Es 0 ya que es un movimiento retrazado y se detenga

θ =(Wf+Wo

2

)t

Reemplazando valores calculados y conocidos:Calculamos el tiempo:150πrad =

(0+30πrad

2

)t

150πrad = (15πrad) tt = 150πrad

15πradt = 10segEJERCICIO 10

Un movil se deplaza siguiendo una trayectoria recta al partir del reposo du-rante 10segundos. Se mueve con una aceleracion de 2.64m/s^(2) luego se mueve3minutos con velocidad constante y posteriormente frena 4.18m/s^(2) hasta de-tenerce. Determinar: a)La distancia total recorrida. b)El desplasamiento total,la direccion del movil y las componentes del desplazamiento.

t=10segv=ctea1=2.64ms2t=180sega2=4.18ms2

7

t1x1=180.25ma=3,6ms2vo = 0t=10segt2x2=xt ; ; t=180s ; v=cte ; a=4.9ms2 ; vf=36msx2=3.6ms2 180sx2=6480mt3 ; v=cte ; a=-4.97ms2 ; t= vo

a ; t=7.24svf=vo + at ; t= vo

a ; 364,47 ; t=7.47s

x3=vot 12 (−4.97ms2 )(7.24)2 ; x3=130.38m

xT=x1+x2+x3 ; xT=(180,25+6480+130.38)m ; xT=6790.63mEJERCICIO 11

La rotación del brazo OA de 0.9m alrededor de O se de�ne mediante la relacionθ = 0.15t2, donde θse expresa en radianes y t en segundos. El collarín B deslizaa lo largo del brazo de modo tal que su distancia desde O es r = 0.9 - 0.12t2,donde r se expresa en metros y t en segundos. Después de que el brazo OA hagirado 30° , determine.

a) la velocidad total del collarín. b) la aceleración total del collarín.c) la aceleración relativa del collarín con respecto al brazo.

SOLUCIÓN Tiempo al cual θ = 30°θ = 30°=0.524 radθ = 0.15t2

0.524=0.15t2

t=1.869s

Ecuaciones de movimiento donde t=1.869s

r = 0.9−0.12t2 = 0.481m θ = 0.15t2 = 0.524rad r = −0.24t = −0.449m/sθ = 0.30t

r = −0.24 = −0.240m/s θ = 0.30 = 0.300rad/s2

a) Velocidad de B. vr = r = −0.449m/s

vθ = r ˙θ = 0.481(0.561) = 0.270m/sv = 0.524m/s β = 31.0°b) Aceleracion en B.ar = r − rθ2= −0.240− 0.481(0.561)2 = −0.391M/S2

aθ = rθ + 2rθ= 0.481(0.300) + 2(−0.449)(0.561) = −0.359m/s2

8

a = 0.531m/s2 γ = 42.6°c) Aceleracion de B con respecto al brazo OA.aB/OA = r = −0.240m/s2hacia O.EJERCICIO 12

El moviemiento tridimensional de una particula se de�ne mediante el vectorposición r = (Atcost) i+

(A√t2 + 1

)j + (Btsent) k donde r y t expresa en pies

y segundos, respectivamente. Demuestre que la curva descrita por la particulase encuentra sobre la hiperboloide (Y/A)

2 − (X/A)2 − (Z/B)

2= 1 . Para A=3

y B=1.

� Calcular las magnitudes de velocidad y aceleracion en t=0.

demostración:

r = (Atcost) i+(A√t2 + 1

)j + (Btsent) k

Parametrizacion de la ecuacionx = (Atcost)cost = (x/At)ecuación 1y =

(A√t2 + 1

)t2 = (y/A)

2+ 1 ecuación 2

z = (Btsent)sent = (z/Bt)ecuación 3identidad

(cos2t

)+(sen2t

)= 1

igualamos ecuacion 1 y 3(x/At)

2+ (z/Bt)

2= 1

Despejamos t(x/A)

2+ (z/B)

2= t2ecuacion 4

igualamos ecuacion 2 y 4(Y/A)

2 − (X/A)2 − (z/B)

2= 1 DEMOSTRADO

velocidad: A=3 Y B=1.

v = dr/dt

r = (3tcost) i+(3√t2 + 1

)j + (tsent) k

v = 3 (cost− tsent) i+ 3(t/√t2 + 1

)j + (sent+ tcost) k

t=0

v = 3 (cos0− 0sen0) i+ 3(0/√

02 + 1)j + (sen0 + 0cos0) k

v=3 pies/seg

aceleracion:

a = dv/dt

v = 3 (cost− tsent) i+ 3(t/√t2 + 1

)j + (sent+ tcost) k

9

a = 3 (−sent− sent− tcost) i+ 3

(1/

√(t2 + 1)

3

)j + (2cost− tsent) k

t=0

a = 3 (−sen0− sen0− 0cos0) i+ 3

(1/

√(02 + 1)

3

)j + (2cos0− 0sen0) k

a=3.6 pies/seg*seg

EJERCICIO 13

Un motociclista esta en A, incrementa su rapidez a alo largo de la trayectoriavertical circular a razon v = (0.3t)piess ,

donde t esta en segundos. Si el motociclista parte del reposo en A, determinelas magnitudes de su velocidad y su aceleracion

cuando llega a B. d0A = d0B = 300at = dv

dt� t0

0.3t dt=� v0dv

v = 0.15t2

necesitamos el tiempo!!d = φrad(300)d = 314.16vt = ds

dt� t0vt dt=

� 314.146

0ds

0.05t3 = 314.16t3 = 314.16

0.05t = 18.45sv = 0.15(18.45)2

v = 51.06piessat = 0.3(18.45) = 5.54piess2

an = v2

d = (51.06)2

300 = 8.69piess2a =√at2 + an2

a =√

106.21a = 10.31piess2EJERCICIO 14

El automovil A viaja hacia el este con una velocidad constante de 36km/h.Cuando el automovil A cursa la interseccion que se muestra, El automovil Bparte del reposo desde una distancia de 35m al norte de

la interseccion y se mueve hacia el sur con una aceleracion constante de1.2m/s2. Determine la posisicion, velociadad, aceleracion de B relativa a 5Adespues de que A crusa la interseccion.

Abstract

36kmh

* 1000mkm

* 1h3600s

=10m/saA=0vA=10m/sxA= xA0+vAt= 10t

10

t=5saA=0xA=(10m/s)(5s)= 50maB=-12m/s2

vB=VB0+at=-12tyB=(yB0)+(vB0)t+

12aBt

2=35- 12(1,2)t2

t=5saB=-12m/s2

vB=-12m/s2(5s)=-6m/syB=35.

12(1,2m/s2)(5s)2=20m

rB+rA=rAB

rAB=53,9m α=21,8°

≮=21,8°β=568.20°vB=vA+vA

B

vAB

=11.66m/s

β=31.0°aB=aB+aA

B

aAB=12m/s2

EJERCICIO 15

Dos ruedas, en un cierto instante, giran a razón de 120 r.p.m. y 240 r.p.m.,siendo sus radios de 20 cm y 40 cm respectivamente. A cada una se le aplica unfreno y se detiene la menor en 16 s y la mayor en 8 s, ambas con movimientouniformemente acelerado.

� ¾En qué instante tienen ambas ruedas la misma velocidad angular?� ¾En qué instante, un punto de la periferia, tiene la misma velocidad lineal?.

� Calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal en dichos in-stantes.

� ¾Cuál es el ángulo girado por cada una de las ruedas?DATOS:T1 = 120rpm⇒ 4π radsegT2 = 240rpm⇒ 8π radsegt1 = 16segt2 = 8segr1 = 20cm⇒ 0.2mr2 = 40cm⇒ 0.4mCalculo en el momento se paran:ω1 = T1 + α1 ∗ t10 = 4π radseg + α1 ∗ 16seg

α1 =-π4radseg2

.....ω2 = T2 + α2 ∗ t20 = 8π radseg + α2 ∗ 8seg

α2 =-π radseg2

11

negativos por se frenanPara que tengan la misma velocidad angular:ω1 = ω2

4π radseg +(−π4

radseg2

)∗ t = 8π radseg +

(−π rad

seg2

)∗ t

t = 163 seg

Para que tengan la misma velocidad lineal:v1 = v2......v1 = ω1 ∗ r1v2 = ω2 ∗ r2......ω1 ∗ r1 = ω2 ∗ r20.2m ∗ 4π radseg +

(−π4

radseg2

)∗ t = 0.4m ∗ 8π radseg +

(−π rad

seg2

)∗ t

t = 487 seg

Aceleraciones tangenciales:at1 = r1 ∗ α1

at1 = 0.2 ∗(−π4

radseg2

)at1 = −0.157 m

seg2

.......at2 = r2 ∗ α2

at2 = 0.4 ∗(−π rad

seg2

)at2 = −1.257 m

seg2

Aceleraciones normales:an1 = r1 ∗ (ω1)

2

an1 = 0.2 ∗(

4π radseg +(−π4

radseg2

)∗ 16

3 seg)2

an1 = 10.31 mseg2

.........an2 = r2 ∗ (ω2)

2

an2 = 0.4 ∗(

8π radseg +(−π rad

seg2

)∗ 16

3 seg)2

an2 = 5.15 mseg2

Ángulos de giro:θ1(t) = σ + ω1 ∗ t+ 1

2 ∗ α1 ∗ (t)2

θ1(t) = 0 + 4π radseg +(−π4

radseg2

)∗ 16

3 seg ∗ t+ 12 ∗ −

π4radseg2 ∗ (t)2

θ1(t) = 4πt+ 12(−π4)t2.........θ2(t) = σ + ω2 ∗ t+ 1

2 ∗ α2 ∗ (t)2

θ2(t) = 0 + 8π radseg +(−π rad

seg2

)∗ 16

3 seg ∗ t+ 12 ∗ −π

radseg2 ∗ (t)2

θ2(t) = 8πt+ 12 (−π) t2EJERCICIO 16

Una particula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio 300mmsi su velocidad angular es ò=3t^2 [rad/s]donde t esta en segundos.

12

Determine las magnitudes de la velocidad de la particula y la aceleracioncuando ò=45º.

La particula parte del reposo cuando ò=0º

DATOS:r=300mmò=3t2(rad/s)ò=45º.ò=0º

DESARROLLO:dò=3t^2 dt�dò=

�3t2 dt

ò=3 t3

3ò=t3radcuandoò=45º=p

4rad

reemplazamos:p

4=t3

t= 3√

p

4[t = 0.9226s]r´ = r´´ =0ò´=3t2

ò´=3*(0.9226)2

[ò´ = 2.544rad/s]ò´´=6tò´´=6*(0.9226)[ò´´ = 5.536rad/s]Velocidad:VR= r,

VR=0Vò=r*ò´

Vò=0.3*(2.554)Vò=0.7661 m/sla magnitud de la velocidad es:V=√

(VR)2 + (Vò)2

V=√

(0)2 + (0.7661)2

V=0.766 m/sAceleracion:aT=r´´-r(ò)2

aT=0-0.3*(2.554)2

aT=-1.957 m/s2

aò=r*ò´´ + 2r´ò´

aò=(0.3)*(5.536) + 0aò=1.661 m/sla magnitud de la aceleracion es:a=√

(aT )2 + (aò)2

13

a=√

(−1.957)2 + (1.661)2

a=2.57 m/s2

EJERCICIO 17

en un movimento circular de radio r= 6.5 m la velocidad angularviene dada por ω = 2 + 3t .

a) ¾se trata de un movimiento circular uniformemente acelerado?¾porque?b)calcular la aceleracion tangencial y la acaleracion normal del punto movil

en el instante t=3sc) determina la longitud del arco recorrido en los dos primeros segundos del

movimiento.

a)sì,porque la velocidad angular crece linealmente con el tiempoα = dω

dt = 3rads.

b)la velocidad de una particula commcu cuy aposicion viene de�nidapor r = Rcosωt+Rsenωt su velocidad V = dr

dt = −ωRsenωt+ ωRcosωt

su modulo sera : [V ] = 2√ω2R2sen2ωt+ ω2R2cos2ωt

=√ω2R2

=ωR

la acelaracion tangencial es: at = αR = 3 ∗ 6.5 = 19.5ms

la aceleracion normal es : an = V 2

R

an = ω2R2

Ran = ω2Rsustituyendo para t=3san = (2 + 3 ∗ 3)2 ∗ 6.5an == 786.5ms

c)El arco recorrido es igual al producto del angulo barrido por lalongitud del radio: I = fR f = f0+ω0t

12αt

2

f = 0 + 2 ∗ 2 + 123 ∗ 22

f = 10radsustituyendo : I = 10 ∗ 6.5I = 65mEJERCICIO 18

las cajas de la �gura se desplazanalo largo de la transportadora industrial.Si la caja comienza a moverse del reposo en A e incrementa su rapidez de modoque

at =(0.2t)m/s2 donde t esta en segundos.� ¾ Determine la magnitud de su aceleracion cuando llege al punto B?

14

SOLUCIONSistema de coordenadas:la posición de la caja en cualquier instante se de�ne con respecto al punto

�jo A mediante la coordenada de la trayectoria o posición S.Se tiene que determinar la aceleración en B con el origen de los n, t en este

punto.Aceleración:Para determinar los componentes de la aceleración at = v.y an = v2

p , primeroes necesario formular v y v. de modo que puedan evaluarce en el punto B.

comovA = 0 cuando t = 0. entoncesat = v. = 0.2t� v0dv =

� t0

0.2tdtv = 0.1t2

El tiempo requerido para que la caja llege al punto B se determina teniendoen cuenta que la posición de B es Sb = 3 + 2Π(2)/4 = 6.142m y como

SA = 0 cuando t = 0.(aB)t = v. = 0.2(5.690) = 1.138ms2vB = 0.1(5.69)2 = 3.238msEn B, pB = 2m de modo que

(aB)n =v2BpB

=(3.238m

s )2

2m = 5.242ms2

la magnitud de aB =√

(1.138ms2 )2 + (5.242ms2 )2 = 5.36ms2EJERCICIO 19

Una partícula gira con M.C.U.V. partiendo del reposo y alcanza unarapidez de

40 cm/s en 8s. Si el radio de la trayectoria circular es 10cm. halle aceleración de la

partícula (en cm/s²) en el instante en que su velocidad es 10cm/s.

DATOS

V o = 0

V f = 40cm

st = 8s

V t = 10cm

s

R = 10cm

solución

V f = V o+ at ∗ t

40cm = at ∗ 8s

at = 5cm

s2

15

ac =V t2

R

ac =102

10

ac = 10cm

s2

a =√a2t + a2c

a =√

52 + 102

a = 11,18cm

s2

EJERCICIO 20

El movimiento de una particula es de�nido por las relaciones r = 2/2−cos(θ)y θ = πt, donde t y j se espresan en segundos y radianes respectivamente.

Determine:a) la aceleracion y la velocidad de la particula cuando t = 0 sb) el valor de j para la cual la velocidad es maxima..r = (2/2− cos(πt))r´=(-2π ∗ sen(πt))/(2− cos(πt))2

r´´=(2π)^2 * 2cos(πt)−1−sen2(πt)(2−cos(πt))3

a) t=0;r=2m; θ = 0r´=0; θ´=π radsr´´=-2π2m

s2 ; θ´´=0.v = r´er+rθ´eθ= (2)(π)eθv = (2πms )eθ.a = (r´´-rθ2)er+ (rθ´´-2r´θ´)eθa = −(4π2m

s2 )b)θ = 0;t=0.5 sr=1 mr´=-π2

ms

θ = π2 rad/s

θ´=πrad/s

16

θ´´=0v = −(π2

ms )er + (πms )eθ

a = −(π2

2mss )er − (π2m

s2 )eθEJERCICIO 21

UNA JUGADORA DE BALONCESTO LANZXA UN TIRO CUANDO SEENCUENTRA A 5M DEL TABLERO . SI LA PELOTA TIENE VELOCIDADINCIAL A UN ANGULO DE 30 GRADOS CON LA HORIZONTAL , DETER-MINE EL VALOR Vo CUANDO d ES IGUAL A) 228 mm B) 430 mm , CONg= 9.81 y Yo = 2 y Y= 3.048

X= (V o) cosα) t o t= XV o∗cosα

Y=Yo+Vo*senα− 12 ∗ gt

2

t2= 2(Y o+X∗tanα−Y )g

A) sea d=228 mm 1m1000mm

d=0.288 msea x=5-0.288=4.772 mt2=

2(2+4.772∗tan300−3048)9.81

t=0.590 sVo= 4.772

0.590∗cos300Vo=9.34 m

sB) sea d=430 mm 1m

1000mmd=0.430 msea x=5-0.430=4.57 mt2=

2(2+4.57∗tan300−3048)9.81

t=0.569 sVo= 4.772

0.569∗cos300Vo=9.27 m

sEJERCICIO 22

Un bote esta viajando por una curva circular que tiene un radio de 100 pies.Si su rapidez en t = 0 es de 15piess y esta aunmentado a v = (0.8t)piess2 .DETERMINEA) La magnitud de su aceleracion en el instante t = 5s yB) Halla el tiempo para el cual el bote alcanza una aceleración de 31.29piess2DESARROLLOa)

v = dt = dvdt

� t0

0.8tdt =� v15dv

0.8t2

2 = v − 15

v = 0.4t2 + 15 Evaluamos cuando t = 5s y v = 25piess

dn = v2

r= 252

100 = 625100 = 6.25piess2

17

a =√at2 + an2 =

√16 + 39.06

a =√

55.06 = 7.42piess2

b)

a2 = at2 + an2

31.292 = (0.8t)2 +[v2

r

]231.292 = (0.8t)2 +

[0.16t4+12t2+225

100

]2Ingresamos la Ecuacion a la Calculadora

y el resultado es

t = 10s

EJERCICIO 23

LA VELOCIDAD DE UNA PARTICULA ES V=Vo(1-Sen (pt/T)) SABI-ENDO QUE LA PARTICULA PATE DEL ORIGEN CON UNA VELOCIDADINICIAL Vo.

a) POSICION POR SU ACELERACION EN t=3Tb)VELOCIDAD PROMEDIO T = 0 A t = T.a)dxdt = v = Vo (1- senptT )x=Xo=0t=0.� x0dx =

� t0vdt

x=[V ot+ V oTpcosptT ]

t0

x=Vot+V oTp

cosptT -V oTp

.SEA:t = 3TX=3VoT+V oT

pcos(3p)-V oT

p

x=(3- 2p)VoT

x=2.36VoT //.a = dv

dt = −pV oT cosptT

a=−pV oT cos3p

a=pV oT

.b)t = T

18

X1 = VoT+V oTp

cosp-V oTp

X1= VoT(1- 2p)

.v=Ax

At = X1−X2T

v=(1- 2p)Vo

v=0.363Vo//EJERCICIO 24

SE CONTRUYE AL LADODE LAS CARRETERAS DEMONTAÑA PARAPERMITIR QUE LOS VEHIVULOS CON FRENOS DEFECTUOSOS PARADETENERCE , UN CAMION ENTRA A UNA RAMPA DE 250m A UNA VE-LOCIDAD Vo ALTA Y VIAJA A 180m EN 6s EN DESACELERACION CON-STANTE ANTES DE SU VELOCIDAD SE REDUCE A VO/2 SUPONIENDOLA MISMA DESACELERACION CONSTANTE, DETERMINAR :

A) EL TIEMPO ADICIONAL PARA QUE EL CAMION SE DETENGAB) LA DISTANCIA ADICIONAL RECORRIDA POR EL CAMIONU [= V o+ aT ]a = V−V o

TX = Xo+ V oT + 1

2aT2

ENTONCESX=Xo+VoT+ 1

2aT2

X=Xo+ 12 (V o+ V )T

X= 12 (V o+ V )T

V= 12V o y X6 = 180m

aT T=6s180= 1

2

(V o+ 1

2V o)

(6)=4.5Vo y V o= 1804.5 = 40ms

V= 12V o = 20ms

ENTONCESa= 20−40

6 = −103 = −3.33

V=40-3.33X=40+40T- 12 (3.33)T 2

40-3.33Ts=0 Ts=12sX=0+(40) (12)− 1

2 (3.33) (12)2

= 240mtiempo adicional para detenerce 12s-6s=6stiempo adicional para parar 240m-180m=60mEJERCICIO 25

Un automovil de carreras C viaja alrededor de la pista circular horizontalque tiene un radio de 300 [m].Si el automovle aumenta su rapidez a la razónconstante de

a = 7[m/s2

], partiendo del reposo determine el tiempo necesario para que

alcance una aceleracion de 8[m/s2

]¾Cuál es su rapidez en este instante?

TiempoLa velocidad como función del tiempo:v = v0 + (at)c ∗ tv = 0 + 7tEntonces tenemos que:

19

an = v2

r = (7t)2

300 = 0.163t2[m/s2

]El módulo de la aceleracion es:a =

√a2t + a2n

8 =

√(7)2 + (0.163t2)

2

El tiempo necesario para que la aceleración alcance 8[m/s2

]será:

0.163t2 =

√(8)

2 − (7)2

t = 4.87sLa RapidezLa rapidez en el tiempo t = 4.87s es:v = 7t = 7 ∗ 4.87 = 34.1 [m/s]EJERCICIO 26

Un motociclista esta en A, incrementa su rapidez a alo largo de la trayectoriavertical circular a razon v = (0.3t)piess ,

donde t esta en segundos. Si el motociclista parte del reposo en A, determinelas magnitudes de su velocidad y su aceleracion

cuando llega a B. d0A = d0B = 300at = dv

dt� t0

0.3t dt=� v0dv

v = 0.15t2

necesitamos el tiempo!!d = φrad(300)d = 314.16vt = ds

dt� t0vt dt=

� 314.146

0ds

0.05t3 = 314.16t3 = 314.16

0.05t = 18.45sv = 0.15(18.45)2

v = 51.06piessat = 0.3(18.45) = 5.54piess2

an = v2

d = (51.06)2

300 = 8.69piess2a =√at2 + an2

a =√

106.21a = 10.31piess2

20