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1

UN MODELO DE RELACIÓN ENTRE LA TASA DE CAMBIO COP � USD Y

OPCIONES CALL EUROPEAS BAJO UN ENFOQUE DE OPTIMIZACION

SEMIDEFINIDA

DANIEL GUTIERREZ VELASQUEZ

Tesis de Grado para optar al título de Ingeniero Industrial

Director Juan Felipe Torres

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

BOGOTÁ

2002

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2

UN MODELO DE RELACIÓN ENTRE LA TASA DE CAMBIO COP � USD Y

OPCIONES CALL EUROPEAS BAJO UN ENFOQUE DE OPTIMIZACION

SEMIDEFINIDA

DANIEL GUTIERREZ VELASQUEZ

Tesis de Grado para optar al título de Ingeniero Industrial

Director Juan Felipe Torres

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

BOGOTÁ

2002

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AGRADECIMIENTOS

Quiero expresar mis más sinceros agradecimientos a todas las personas que de una u otra forma intervinieron para el buen término de este trabajo de grado. A Juan Felipe Torres, Asesor de la tesis, por su valioso aporte y apoyo dentro de la elaboración de este trabajo. A Luis Fernando Zuluaga por su colaboración desinteresada y siempre oportuna. A María de los Ángeles Rengifo por su colaboración y comprensión.

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4

“The essence of the mathematics is to take a given set of facts

and deduce their consequences”

H.J. Godwin

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5

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................6

2. OBJETIVOS...................................................................................................................7

2.1.Objetivo General ............................................................................................................7

2.2.Objetivos Específicos .....................................................................................................7

3. PROPIEDADES DE LAS OPCIONES Y EL MODELO DE B-S.............................8

3.1. Propiedades de las Opciones.........................................................................................8

3.2.Métodos de Valoración de Opciones...........................................................................11

4. EL MERCADO DE DIVISAS COLOMBIANO........................................................18

5. LA RELACION ENTRE LAS OPCIONES Y LOS PRECIOS DEL ACTIVO

SUBYACENTE BAJO UN ENFOQUE DE OPTIMIZACION

SEMIDEFINIDA...........................................................................................................23

6. IMPLEMENTACION..................................................................................................33

6.1.Algoritmo de Punto Interior Infactible.......................................................................35

6.2.La Dirección de Búsqueda............................................................................................35

6.3.Calculo de Direcciones Específicas..............................................................................37

6.4.El Algoritmo Primal � Dual de Seguimiento de Caminos.........................................39

6.5.Algoritmo predictor-corrector Mehrotra-type..........................................................42

6.6.Iteración Inicial.............................................................................................................44

6.7.Código.............................................................................................................................45

6.8.Implementación Específica...........................................................................................49

7. RESULTADOS..............................................................................................................53

8. CONCLUSIONES.........................................................................................................79

BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................82

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6

1. INTRODUCCION

La idea de investigar la relación entre las opciones y los precios de su o sus activos

subyacentes ha sido de gran interés en las últimas décadas.

En especial cuando esta relación solo se basa en la suposición de no arbitraje sin asumir

ningún modelo para la dinámica del precio del activo subyacente.

En la actualidad el método de valoración de mercado más común es el método de Black and

Scholes, y aunque en la practica es efectivo, este modelo presenta unas fuertes suposiciones

las cuales en la realidad no se cumplen, en especial que el precio del activo subyacente

sigue una proceso Browniano Geométrico estándar.

En este trabajo se pretende implementar un modelo alterno basado en métodos de

optimización semidefinida para acercarse más a encontrar una mejor relación entre las

opciones y el activo subyacente únicamente basándose en la suposición de no arbitraje.

Este estudio se enfocará en el mercado más activo de opciones en Colombia, el mercado

cambiario y en especial en el activo subyacente de la tasa de cambio del Peso Colombiano

(COP) y el Dólar Americano (USD).

Básicamente se quiere implementar un enfoque alterno al tradicionalmente usado por los

mercados para determinar nuevas relaciones entre un derivado y su activo subyacente, que

este modelo tradicional no pueda determinar. La idea de este estudio está inspirada y

basada en el trabajo desarrollado por Ioana Popescu y Dimitris Bertsimas en este campo.

II-02(2)51

7

2. OBJETIVOS

2.1 Objetivo General.

• Explorar una metodología alterna a las tradicionalmente usadas por los

mercados para determinar la relación entre un activo subyacente y sus activos

derivados, sin hacer ninguna suposición respecto a la dinámica del precio del

activo subyacente.

2.2 Objetivos específicos.

• Explorar una metodología que permita establecer alguna relación entre un

activo subyacente y opciones Call Europeas emitidas sobre este activo, sin

asumir ningún modelo para la dinámica del precio del activo subyacente.

• Determinar relaciones específicas, tales como límites, relaciones con otros

activos derivados o incluso determinar el precio de la opción.

• Desarrollar una herramienta computacional para la implementación del

modelo con características de fácil utilización, entendimiento e interpretación

de resultados.

• Seleccionar un activo subyacente que permita comparar el modelo

desarrollado con el modelo estándar del mercado y determinar si este último

es adecuado o no a pesar de sus suposiciones sobre la dinámica del precio del

activo.

II-02(2)51

8

3. PROPIEDADES DE LAS OPCIONES Y EL MODELO DE

BLACK-SCHOLES

3.1 Propiedades de las Opciones

Una opción es un instrumento financiero que le concede al propietario el derecho de

comprar o vender un activo financiero, denominado activo subyacente, en el futuro por un

precio dado. Una opción Call le da derecho al propietario de comprar mientras que una

opción Put le da el derecho a vender. Para opciones Call y Put estándares (Plain Vanilla), el

precio en el cual se va a realizar la transacción en el futuro, conocido como el Strike o

precio de ejercicio, generalmente es determinado en el momento de la compra de la opción.

Un activo subyacente pude ser cualquier activo financiero, los activos subyacentes más

comunes son Acciones, Monedas extranjeras, Índices accionarios y diferentes contratos de

futuros.

Las opciones estándares se denominan Europeas cuando solo se pueden ejercer en un punto

específico en el tiempo, conocido como el vencimiento de la opción, mientras que las

opciones tipo Americanas son aquellas que se pueden ejercer en un rango de tiempo

específico.

Existen seis factores que afectan el precio de una opción:

1. El precio actual del activo subyacente.

2. El Strike o precio de ejercicio.

3. El tiempo de expiración de la opción.

4. La volatilidad del activo Subyacente.

5. La tasa libre de riesgo del mercado.

6. Los dividendos esperados durante el tiempo de vida de la opción.

II-02(2)51

9

A continuación se presenta un resumen de los efectos en el precio de una opción al

aumentar una de las seis variables mientras que el resto permanecen constantes:

Variable Call Europea Pur Europea Call Americana Put AmericanaPrecio del Activo Subyacente + - + -Strike - + - +Tiempo de expiración ? ? + +Volatilidad + + + +Tasa Libre de Riesgo + - + -Dividendos - + - +

[1]

La notación que se va a utilizar en este documento es la siguiente:

X0: El precio actual del activo subyacente.

Xt: El precio del activo subyacente en el tiempo t.

K: el strike de la opción.

T: El tiempo de expiración de la opción.

r: La tasa libre de riesgo.

C: El precio de una opción call Americana.

P: El precio de una opción put Americana

c: El precio de una opción call Europea.

p: el precio de una opción put Europea.

La característica más importante de las opciones que las hace difícil de valorar es que en

ningún momento el propietario de estas está obligado a ejercerlas. Para que sea atractivo

ejercer una opción call europea el payoff de esta debe ser de Xt � K. Ahora debido a que el

propietario en ningún momento está obligado a ejercer la opción, sin importar el hecho de

que ejercerla sea o no ventajoso, el payoff total de la opción debe ser Max {Xt � K, 0}. De

manera similar el payoff de ejercer una opción put Europea debe ser K � Xt y por lo tanto el

payoff total de esta opción es Max {K-Xt, 0}.

II-02(2)51

10

Las propiedades básicas de las opciones call son:

C (X, T, K) ≥ c (X, T, K) (1)

C (X, T, K1) ≤ C (X, T, K2) si X1 ≥ X2 (2)

C (X, T1, K) ≥ C (X, T2, K) si T1 ≥ T2 (3)

C ≤ X (4)

(1) Proviene del hecho que las estrategias de ejercicio de una opción Europea están

contenidas en las de una opción Americana, por lo tanto esta última domina la primera.

(2) Esto se debe a que el payoff de una opción call con strike menor es siempre mayor que

aquella con mayor strike.

(3) Esto proviene que las estrategias de ejercicio de una opción call americana con mayor

tiempo de ejercicio contienen las estrategias de ejercicio de la opción americana con

menor tiempo.

(4) C(X, ∞ , 0) = X por lo tanto C(X, T, K) ≤ C(X, T, 0) ≤ C(X, ∞ , 0) = X [2]

Ahora también tenemos que:

C (X, T, K) ≥ Max (X � K*B(t), 0) (5)

Donde B(t) es el precio actual de un bono de descuento pagando $1 en t periodos. Esta

figura también pude ser vista como el valor presente neto de strike es decir rTKe− .

La prueba de esta desigualdad se basa en considerar la posibilidad entre un portafolio con

una opción call Europea c (X, T, K) y K bonos con madurez t a un precio B(t) o tener una

unidad del activo con precio S. El primer portafolio domina al segundo y por lo tanto

aplicando (1) tenemos a (5). [2]

Teniendo en cuenta que el payoff de una opción call americana es Xt � K y que claramente

Xt � K ≤ Xt � K*B(t) y dado (5) que se tiene que C (X, T, K) ≥ Max (X � K*B(t), 0)

entonces se tiene que el precio de la opción americana es mayor al payoff de ejercicio y por

lo tanto es mejor venderla que ejercerla, por lo tanto:

Nunca es óptimo ejercer una opción call americana antes del vencimiento. (6)

Ahora para el caso de una opción put americana (6) no se cumple debido a que

II-02(2)51

11

X < K � K*B(t) (7)

Por lo tanto el precio de ejercicio K � X excede máximo valor presente descontado a la tasa

libre de riesgo, procedente del ejercicio en el vencimiento B(t )K. Por lo tanto esperar al

vencimiento de la opción no pude ser óptimo. [2]

Ahora una de las propiedades más importantes de las opciones es la paridad Put � Call la

cual es:

c(X, T, K) + K*B(t) = p(X, T, K) + S0 (8)

La demostración de esta propiedad consta que el payoff del lado izquierdo de esta ecuación

c(X, T, K) + K*B(t) � S0 = p(X, T, K) es Max {X �K, 0} � X + K lo cual es igual a

Max {K � X, 0} que es el payoff de una opción put europea.

De la misma forma se tiene que para las opciones americanas:

P(X, T, K) ≥ C(X, T, K) � X +K*B(t) (9) [2]

3.2 Métodos de Valoración de Opciones

A continuación se presentan los métodos más comunes para valorar opciones con especial

énfasis en el método de Black Scholes el cual es el método usado en la actualidad por los

mercados para valorar opciones.

Para comenzar se hace la distinción entre los principales modelos de valoración en la

actualidad, en especial entre valoración por arbitraje y argumentos de equilibrio. La idea

principal de valoración por arbitraje es que si dos activos tienen el mismo payoff en todos

los estados, estos deben tener el mismo precio inicial. Los argumentos de valoración por

equilibrio hacen suposiciones sobre los grados de aversión al riesgo de los agentes del

mercado y obtienen precios igualando la oferta y la demanda en el mercado para los activos

en cuestión.

Inicialmente el modelo más simple de valoración de opciones es el modelo Binomial. A

pesar de su simpleza el modelo binomial es una gran aproximación ya que si se generaliza

para múltiples periodos, el resultado que produce tiende a converger al resultado del

II-02(2)51

12

tt

tt

t

ttt dS

SaV

faVdV )1( −+=

modelo de Black Scholes. También el desarrollo básico del modelo binomial es

ampliamente usado por programadores numéricos para valorar derivados.

A pesar de ser una gran herramienta en la gran mayoría de casos este método ha sido

relegado más al ámbito pedagógico que al ámbito profesional y esto es debido a su

convergencia con el método de Black Scholes, el cual es el método realmente empleado en

el mercado. De hecho se puede afirmar que es el método estándar del mercado. Debido a lo

anterior se entrará a estudiar en profundidad en qué consiste este método dado su nivel de

popularidad en los mercados. El desarrollo a continuación es un resumen de [2].

Considere un activo cuyo precio, St, sigue el siguiente proceso estocástico:

dSt = µSt + σStdWl

Ahora suponga que existe un derivado de ese activo. Por derivado entiéndase como algún

activo financiero cuyo payoff depende, de alguna u otra manera, del comportamiento

futuro del precio de otro activo. En general el payoff puede depender de otras variables,

pero por el momento supóngase que depende únicamente del comportamiento de St.

Ahora supóngase que el precio de este derivado, ft, depende solamente de St y el tiempo:

),( tsff tt =

Aplicando el lema de Ito a f (St, t), se obtiene la dinámica del precio del derivado como:

ttttt dWSsfdts

sf

tsS

sfdf σ

δδ

δσδ

δδµ

δδ +

++= 2

2

2

2

De un portafolio con valor Vt conformado por at y 1 � at invertidos respectivamente en una

opción call y en el activo subyacente. Nótese que a puede cambiar durante el tiempo. La

dinámica del valor del portafolio en cualquier momento dado de tiempo está dado por:

y aplicando otra vez el lema de Ito se tiene que:

( )[ ]tttt

tttttt

t

tt dWSdtS

SaVdWS

SfdtS

Sf

tfS

Sf

SfVdV σµσ

δδ

δσδ

δδµ

δδ +−+

+

++= 1

22

2

22

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13

Ahora se procede a escoger at tal que no exista riesgo instantáneo en el tiempo t, por

ejemplo tal que:

0)1( =−+ tttt

ttt

t

tt dWSaSVdWS

Sf

faV σσ

δδ

Y resolviendo esta ecuación para at, se obtiene:

ttt

tt

ttt

tt fSfS

sfSayfSfS

fa−

=−−

−=δδ

δδδδ /

/1/

Entonces, el portafolio con valor Vt no tiene volatilidad instantánea, dado que en ese

momento es libre de riesgo y por lo tanto en la ausencia de arbitraje, debe retornar lo

mismo que un activo libre de riesgo, es decir r. Por lo tanto se tiene que:

+−=

−

−+

++=

22

22

22

22

2

)1(2

ttt

tt

ttt

t

ttt

SS

ftff

SfSr

SS

aVSSf

SfS

tf

faVrV

δσδ

δδ

δδ

µδ

σδδδµ

δδ

La suposición importante es que se puede negociar continuamente el portafolio de tal

manera que se puede mantener la razón tal como se acaba de especificar. Haciendo esto se

puede eliminar el riesgo instantáneo.

Reorganizando términos se encuentra la ecuación fundamental de valoración:

++= 2

2

22

2 ttt SSf

tf

SfrSrf

δσδ

δδ

δδ

Esta última ecuación es una condición crucial que sigue directamente de la ausencia de

arbitraje. Nótese que hasta ahora se ha dicho muy poco acerca del payoff del derivado. Por

lo tanto se puede concluir que si St es un movimiento Browniano Geométrico y que el

activo no paga ningún dividendo antes del vencimiento del derivado, la ecuación anterior

debe mantenerse para los precios de una amplia clase de derivados.

Muchos precios de derivados cumplen la anterior ecuación, pero lo que hace que estos sean

diferentes son las condiciones de frontera que se aplican resolviendo la anterior ecuación

diferencial parcial. Por ejemplo consideremos una opción call europea con strike K, y un

II-02(2)51

14

tiempo de vencimiento de T � t. Si en el tiempo t, el precio inicial del activo subyacente es

S, la opción tendrá un precio denotado por c = c(S, T-t, K). A mediada que T � t tiende a

cero se debe satisfacer la condición de frontera:

c(S, 0, K) = max {S � K, 0}

De manera similar la condición de frontera para una opción put europea es:

p(S, 0, K) = max {K � S, 0}

Entonces por ejemplo para el caso de las opciones call se tiene que

tc

ScS

ScrSrc

δδ

δδσ

δδ ++= 2

22

2

2

tal que c(S, 0, K) = max {S � K, 0}

Una posibilidad es la de cambiar las variables de la anterior ecuación para que esta se

parezca a la ecuación de calor de la física. Si se hace esto a la solución que la ecuación

arroja, solo hay que transformar las variables otra vez a su estado original para tener el

resultado de la ecuación original. Esto fue lo que en un principio hicieron Black y Scholes

en la derivación original del precio de la opción.

Una idea alterna es usar la valoración neutral al riesgo la cual es la base del modelo

binomial. Básicamente la valoración neutral al riesgo permite calcular los precios de

aquellos derivados cuyos valores se pueden pronosticar mediante la suposición de un

mundo alterno en el cual todos los agentes del mercado son neutrales al riesgo.

Para explicar mejor la valoración neutra al riesgo se supone que si los actores son neutrales

al riesgo los activos deben crecer a la misma tasa promedio. Por lo tanto si existe un activo

totalmente seguro el cual tiene un rendimiento equivalente a la tasa libre de riesgo, r,

entonces el activo riesgoso debe satisfacer:

dSppuSrS )1( −+=

donde p y 1 � p son las probabilidades asociadas con los movimientos para arriba y para

abajo respectivamente del precio del activo. Por lo tanto dividiendo por S y reorganizando

términos se obtiene que:

dudrp

−−=

durup

−−=−1

II-02(2)51

15

Por lo tanto si los agentes son neutrales al riesgo se pueden valorar los derivados

simplemente calculando el valor esperado de los payoff descontados a la tasa libre de

riesgo:

[ ]

−−+

−−=−+= dudu C

duruC

dudr

rCppC

rC 1)1(1

Es así que si se ajusta el proceso del precio de la acción de tal manera que sea apropiado

para un mundo neutral al riesgo y se calculan los precios como el valor esperado de los

payoff descontados, se obtiene el mismo resultado que si se hiciera la valoración en un

mundo en el cual los agentes son adversos al riesgo. El requerimiento esencial es que el

valor del activo subyacente se pueda predecir, lo cual es el caso en este contexto dado que

se puede formar un portafolio del activo y el derivado que no tiene riesgo instantáneo.

Entonces suponiendo que los agentes son neutrales al riesgo, se sabe que el proceso del

precio del activo subyacente debe tener un término de desviación proporcional a la tasa de

interés libre de riesgo:

tttt dWSdtrSdS σ+=

Otra vez, si la opción call depende del precio del activo subyacente entonces se tiene:

dWSSc

ScS

ScrS

tcdC σ

δδ

δδσ

δδ

δδ +

++= 2

22

2

2

Y de la valoración neutral al riesgo se sabe que el retorno esperado del derivado debe ser

igual al retorno del activo más seguro:

rcS

cSScrS

tc =++ 2

22

2

2 δδσ

δδ

δδ

Donde la condición de frontera c(S, 0, K) = max {S � K, 0} se mantiene.

Nótese que este resultado es igual al obtenido anteriormente, por lo tanto queda demostrado

que las opciones pueden valorarse como si los agentes del mercado fueran neutrales al

riesgo. Por lo tanto se puede legitimar el valor de las opciones como el valor esperado del

payoff descontado:

[ ] { }[ ]okStTrEKtTSc tt ,max)(exp),,( −−−=−

II-02(2)51

16

bajo la suposición que:

SdWrSdtds σ+=

Así que para efectuar los cálculos del valor esperado del payoff descontado primero se

observa que por el lema de Ito se obtiene lo siguiente:

tt SS loglog − ~ ( ) ( )

−−

− tTtTrN 2

2

,2

σσ

Sean f *(.) y f (.) representaciones de las densidades de St y log St � log St respectivamente

y sea φ(.) la función de distribución normal estándar.

Entonces se puede evaluar el precio de una opción call como:

( )[ ] { }{ }0,maxexp kStTrE tt −−−

[ ] Ttx

t dSSfXStTr )(*)()(exp ∫∞

−−−=

[ ] [ ][ ]∫∞

−−−=tSx

tTtTttT SSdSSfkSSStTr/log

)/log())/(log(/log(exp)(exp

[ ] ( )[ ]

−∆−∆−−∆+−∆−−−−−= ∫tSXt tTdtTrtTTStTr

/log(

222222 )(2/)))2/(2))(2())2(2/(1exp)(exp πσσσσ

−

−−−+−−tT

tTtTrSKX t

σσφ

2/12 ))(2/)()/log((

[ ] [ ]

−+−++−∆−∆−−=

tTrtTrtTStTr t σ

σσφ2222 2/))((2/))((2)(exp

[ ] [ ] [ ])()(exp))(2/()(2

1))(2/()(2

1exp 222

2

222 dktTrtTr

tTtTr

tTφσ

σσ

σ−−−

−+

−+−−

−−×

[ ]

Φ−

−

−Φ−−= )()(

2)(22exp)()(exp 2

22

21 dktTrtT

dStTr tσ

σ

[ ] )()(exp)( 21 dktTrdSt Φ−−−Φ=

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17

Donde:

tTtTrkSd

−−++≡

σσ ))(2/()/log( 2

1

tTtTrkSd

−−−+≡

σσ ))(2/()/log( 2

2 [2]

Entonces dado que ya se tiene la formula de valoración de Black Scholes se procede a

observar los supuestos que esta implica:

1. El activo subyacente sigue un Movimiento Browniano Geométrico estándar.

2. No existen costos de transacción ni impuestos.

3. No hay dividendos durante la vida del derivado.

4. No hay oportunidades de arbitraje libres de riesgo.

5. La negociación de los activos es continua.

6. La tasa libre de riesgo, r, es constante e igual para todos los vencimientos. [1]

Algunas de estas suposiciones pueden relajarse, por ejemplo la varianza en lugar de ser

constante puede ser considerada como una función basada en el tiempo o las tasas de

interés pueden ser modeladas de manera estocástica, sin embargo este documento se va a

concentrar en la primera suposición que es inevitable dentro de formula de Black Scholes.

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18

4. EL Mercado de Divisas Colombiano A continuación se presenta una breve descripción de qué es y cómo funciona el mercado

de divisas en Colombia, dado que más adelante se hará especial énfasis en este mercado

para aplicar el modelo que se pretende implementar y en especial la tasa de cambio dólar �

peso será el activo subyacente a trabajar. Todo el documento y gráficos que se presentan a

continuación fueron obtenidos de [3].

El Mercado de Divisas es el conjunto de todas las operaciones de compra y venta de

dólares y en general de cualquier moneda extranjera.

De acuerdo con el marco regulatorio vigente (Estatuto Cambiario o Resolución Externa 08

de 2000 de la Junta Directiva del Banco de la República), el mercado de divisas se divide

en dos submercados:

Mercado Cambiario o mercado regulado (en azul y verde): conformado por todas las

operaciones que se canalizan a través de intermediarios autorizados1 para el efecto,

denominados �Intermediarios del Mercado Cambiario� 2 o a través del mecanismo de

compensación autorizado por el Estatuto Cambiario.

Mercado Libre (en rojo): comprende todas las demás operaciones de cambio entre el peso y

el dólar.

1 IMC son las en t idades defin idas por l a Jun ta Direct iva del Banco de la Repúbl ica , es deci r los Bancos Comercia les , los Bancos Hipo tecar ios las Corporaciones F inancieras , las Compañías de F inanciamien to Comercia l , l a FEN, Bancoldex, l as Cooperat ivas F inancieras , l as Sociedades Comis ion is tas de Bolsa y las Casas de Cambio . 2 Bien sea operaciones que ob l igator iamente t ienen que canal izarse a t ravés de es tos in termediar ios , o d ivisas negociadas que, no obstan te es tar exen tas de es ta ob l igación , se canal izan vo lun tar iamente a t ravés de és tos .

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19

[3] Agentes del mercado de divisas: en el mercado de divisas operan dos tipos de agentes

principales:

1. Los intermediarios que ofrecen al público el servicio de compra y venta de dólares.

Dentro de los intermediarios, se distinguen dos grupos, a saber:

A. Los intermediarios del mercado regulado �Intermediarios del Mercado

Cambiario� (IMC) que comprende tres tipos de entidades:

i) Los Establecimientos de Crédito (EC)3, que comprenden los bancos,

corporaciones financieras, compañías de financiamiento comercial y

cooperativas financieras, todos vigilados por la Superintendencia Bancaria.

ii) Las Casas de Cambio vigiladas por la Superintendencia Bancaria (CC),

las cuales entraron en operación plena como IMC en septiembre de 2001.

iii) Los Comisionistas de Bolsa (CB), vigilados por la Superintendencia de

Valores.

3 Rigurosamente , además de los EC, también son IMC Bancoldex y la FEN.

EC y BR

EC y BR

CC

CC y CB CP

Público

CB

CP

Establecimientos de crédito y BR

Compradores profesionales

Casas de cambio

Comisionistas de Bolsa

Público

Mercado Regulado:IMC + BR =

EC+BR+CC+CB

Mercado Libre: CP y Públ ico

Mercado intra IMC

Mercado entre los IMC, el público y los CP

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20

Todas las operaciones realizadas por los IMC son parte del Mercado Cambiario o Mercado

Regulado.

B. Los compradores y vendedores Profesionales (CP). Estos son intermediarios

especializados registrados en las cámaras de comercio, pero desde el año 2000 no

son vigilados por ninguna Superintendencia. Todas las operaciones celebradas entre

estos compradores y entre éstos y el público en general, son parte del mercado libre.

Las operaciones celebradas con los IMC son parte del mercado regulado. Así las

operaciones entre estos y los CP hacen parte del mercado regulado.

2. El público, que demanda u ofrece dólares en el mercado de divisas (tanto en el libre

como en el regulado) para satisfacer sus respectivas necesidades. El público realiza

transacciones de compra y venta de divisas entre sí, las cuales son parte del mercado libre,

o con intermediarios del mercado (IMC). Cuando realiza operaciones con algún IMC,

dichas transacciones son parte del mercado regulado. Si éstas se realizan con los CP,

forman parte del mercado libre.

Vigilancia de los intermediarios. Como se mencionó, dentro de todos los intermediarios,

sólo los IMC están vigilados por organismos de control. Los EC y las CC son vigilados por

la Superintendencia Bancaria, entidad que debe velar por que éstos tomen las medidas

preventivas apropiadas y suficientes para evitar que a través de ellas se realicen

operaciones ilegítimas4. Los CB están vigilados por la Superintendencia de Valores.

Fuentes de ingreso de divisas:

• Ingresos por exportaciones de bienes y servicios

• Transferencias y remesas del exterior

• Entrada de capitales (inversión extranjera en Colombia, repatriación de capitales de

colombianos, etc.).

Fuentes de egresos de divisas: 4 I legí t imas: Son i legí t imas las operaciones que se u t i l i cen para e l ocul tamien to , manejo , invers ión o aprovechamiento en cualqu ier fo rma de d inero u o t ros b ienes provenien tes de act ividades del ic t ivas , o para dar apar iencia de legal idad a las act ividades del ic t ivas o a las t ransacciones y fondos vinculados con las mismas (Ar t .102 . Esta tu to Orgánico del S i s tema Financiero)

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21

• Egresos para pago de importaciones de bienes y servicios, salida de capitales

(inversión colombiana en el exterior en el sector real y financiero extranjero).

La Tasa de Cambio Representativa del Mercado (TRM): La TRM es el promedio de las operaciones de compra y venta de divisas sin incluir

operaciones de ventanilla y de derivados que realizan los EC (sin incluir las

compañías de financiamiento comercial) únicamente en las cuatro principales

ciudades del país. Esta tasa sirve de referencia en un gran número de contratos y es de uso

obligatorio en muchos procedimientos contables. Estas operaciones cambiarias pueden

celebrarse entre los mismos EC y otros IMC, lo que se denomina el mercado

interbancario, o entre los EC y el público u otros intermediarios cambiarios. Estas últimas

pueden realizarse en efectivo, cheque o por transferencia entre cuentas bancarias.

Como en cualquier país, en Colombia es imposible determinar de manera precisa el tamaño

del mercado total de compra-venta de divisas.

La Superintendencia Bancaria no conoce la totalidad del mercado regulado, ya que no se

tienen estadísticas de las operaciones realizadas por los CB que, como se vio, son un IMC.

Sin embargo El Banco de la República, a través de la contabilización de la Balanza

Cambiaria, hace estimaciones de la oferta y demanda de dólares que se canalizan a través

de este mercado a través de informes reportados a la Superintendencia Bancaria, se conoce

con exactitud el monto de dólares comprados y vendidos por los EC en las cuatro

principales ciudades y todas las realizadas por las CC, entidades vigiladas por esta

Superintendencia.

No se conoce el tamaño del mercado libre, es decir, las transacciones realizadas por los CP

ni las realizadas entre el mismo público, dado que no tiene la obligación de reportar

información.

La tasa de cambio relevante para el comercio exterior formal se determina en el mercado

cambiario regulado. Cada intermediario de este mercado fija una tasa de cambio para cada

transacción que hace con el público y otros intermediarios, la cual sube cuando el mercado

está sobre-demandado y baja cuando está sobre-ofrecido. Como se dijo anteriormente, la

II-02(2)51

22

TRM es el promedio de estas tasas y es el mejor indicador de los niveles y tendencias de los

precios que se negocian en ese mercado.

Por otra parte, en el mercado libre se negocian las divisas a otros precios o tasas de cambio,

que tienden a moverse en la misma dirección que la TRM, pese a que las fuentes de oferta y

demanda de dólares en ese mercado no son las mismas. Cuando se produce una diferencia

importante entre las tasas de los dos mercados, se genera un incentivo para el arbitraje, es

decir, para comprar dólares en el mercado en el que consiguen más baratos y venderlos en

el mercado donde se negocian a mayor precio. Este arbitraje se encarga de reducir el

diferencial entre las dos tasas de cambio.

II-02(2)51

23

5. La Relación entre las opciones y los precios del Activo Subyacente Bajo un

Enfoque de optimización Semidefinida.

Una pregunta central en la economía financiera ha sido encontrar el precio de un activo

derivado dada solo información del activo subyacente.

Bajo la suposición de que el precio del activo subyacente sigue un movimiento Browniano

Geométrico estándar y la suposición de no arbitraje, la fórmula de Black-Scholes provee

una respuesta explícita a esta pregunta.

Basándose en esta pregunta Cox y Ross [4] mostraron que la suposición de no-arbitraje es

equivalente a la existencia de una función de probabilidad π, también llamada medida de

Martingale, tal que el precio de la opción se convierte en Martingale bajo π.

Ahora bajo esta demostración Rubinstein [5] introduce la idea de usar optimización para

inferir una medida de Martingale, basándose en los precios de las opciones y plantea cómo

deducir medidas de Martingale de precios Opciones Call Europeas resolviendo un

problema de optimización cuadrático que mide la cercanía de la medida de Martingale a la

distribución lognormal.

Así que basándose en esta relación de las opciones y los activos subyacentes dada por la vía

de la optimización, Bertsimas y Popescu [6] formulan el problema de derivar el límite

superior óptimo en el precio de una opción Call europea, dadas la media y la varianza del

precio del activo subyacente.

Entonces Siguiendo el desarrollo de Cox y Ross [4], la suposición de no arbitraje es

equivalente a la existencia de una distribución de probabilidad π del precio del activo X, tal

que el precio de una opción Call Europea con Strike K está dado por:

q(k) = Eππππ[max(0;X - k)]

donde el valor esperado se toma sobre una distribución desconocida π.

II-02(2)51

24

Vale la pena aclarar que Bertsimas y Popescu [6] asumieron que la tasa libre de riesgo es

cero sin perder ninguna generalidad del problema.

Entonces si la media y la varianza de activo son observables:

µπ =][XE y 2][ σπ =XVar

el problema de encontrar el mejor límite superior para el precio de una opción se puede

formular de la siguiente manera:

1][)],0([max

=−

XEaSujetokXEMaximizar

π

0)(

1)(0

≥

=

=

∫∞

x

dxx

Var

π

π

σπ

La forma cerrada de este problema se le debe a Scarf [7], en el contexto de un problema de

control de inventario. Y fue Lo [8] quien vio la aplicación de este problema en la

valoración de opciones. el cual planteo el siguiente teorema:

�El límite superior óptimo del pecio de una opción con strike k, de cuyo activo subyacente

conocemos la media y la varianza en el momento de vencimiento está determinado por:�

[ ]

µσµ

µσµ

σµσµ

µσµ

σµ

2

2)()(

21

)],0([22

22

22

2

22

),( 2 +<

+≥

++−

−++−=−

+

ksi

ksi

kk

kkkXMaxEMax

X

para la deducción formal de esta formula por favor referirse a [6].

Pero este problema es un caso especial del siguiente problema general de optimización:

max/min Eππππ[φφφφ(X)]

sujeto a Eππππ[fi(X)] = qi ; i = 0,1,�.., n:

ππππ(x) ≥ 0, x ∈∈∈∈ Rm+,

II-02(2)51

25

Donde X = (X1,��.Xn) es una variable aleatoria multivariada, φ: Rm+ → R es una

función objetivo de valor real, Fi son las funciones de momento y qi son los valores

esperados de la función generadora de momentos llamados momentos que son finitos y

conocidos.

También se asume que F0 (x) = 1 y q0 = Eπ[f0(X)] = 1, para que π cumpla su condición de

función de densidad de probabilidad.

Entonces basándose en el anterior problema general y dados los n primeros momentos

(q1.q2��qn) donde q0=1 del precio de una activo subyacente y con el interés de hallar los

mejores límites para el precio de una opción con payoff φ(x) se inicia la deducción del

modelo planteado por Bertsimas y Popescu.

Entonces para el caso del límite superior de una opción Call europea el payoff de esta es

φ= max(0;X - k) y el problema general queda planteado como:

max Eππππ [max(0;X - k)] = ∫∞

0dx (x) k) - Xmax(0; π

s.t Eππππ[Xi] = ∫∞

0

i dx (x) x π = qi i = 0,1��, n;

ππππ(x) ≥ 0,

Basándose en la teoría de la programación lineal, se plantea el problema dual para este

caso, asociando una vector de variables duales Y = (y0, y1, �.., yn) a cada una de las

restricciones del problema anterior. Dado esto se obtiene el siguiente problema:

∑

∑

=+

=

∈∀−≥n

r

rr

n

rii

RxkxMaxxyTS

qyMin

0

0

),,0(.

Isii [9] demuestra que la dualidad fuerte se mantiene y por lo tanto la solución del primer

problema es igual a la solución de su dual así que solucionando este último se obtiene el

límite deseado.

II-02(2)51

26

Ahora se va a mostrar el procedimiento desarrollado por Bertsimas y Popescu en [6] para

poder plantear este problema dual como un problema de optimización semidefinida, el cual

se pretende implementar con algoritmos eficientes más adelante.

Para conocer a fondo el procedimiento empleado por Bertsimas y Popescu es necesario

plantear y demostrar las siguientes proposiciones:

Proposición 1

El polinomio rk

rr xyxg ∑

=

=2

0)( satisface g(x) ≥ 0 si y solo si existe una matriz semidefinida

positiva [ ]ijxX = con i,j=0,....,k tal que:

∑=+

=rjijiijr xy

:,

r=0,.....,2k Xp0

Demostración

Suponga que ∑=+

=rjijiijr xy

:,

es verdadera y suponga que ex=(1,x,x2,.......xk), entonces:

∑∑=+=

=rji

rji

k

rxxxg ,

2

0)(

0'

0,

0

≥=

= ∑∑==

xx

k

j

jiji

k

i

Xee

xxx

dado que 0−fX .

Por otro lado suponga que el polinomio g(x) de grado 2k es no negativo para todo x.

Entonces las raíces reales de g(x) deben tener multiplicidad par de lo contrario g(x) alteraría

su signo en la vecindad de una raíz. Ahora sean λi, i=1,....r las raíces reales cada una con su

correspondiente multiplicidad 2mi. Sus raíces complejas pueden arreglarse en pares

conjugados, aj+ibj, aj-ibj, j=1,.....,h. Entonces:

II-02(2)51

27

∏ ∏= =

+−−=r

i

h

jjj

mi baxxkyxg i

1 1

222 ))(()(2)( λ

Nótese que el coeficiente inicial y2k debe ser positivo. Entonces expandiendo los términos

en los productos, vemos que g(x) puede escribirse como la suma de cuadrados del

polinomio de la forma:

2

0,

0)(

= ∑∑

==

k

j

jji

k

ixxxg

xx Xee '=

con X semidefinida positiva. Dado que por los dos lados obtuvo el mismo resultado

entonces se tiene que la proposición 1 es verdadera.

Proposición 2

El polinomio rn

rr xyxg ∑

=

=0

)( satisface g(x) ≥ 0 para todo [ ]ax ,0∈ si y solo si existe una

matriz semidefinida positiva [ ]ijxX = con i,j=0,....,k tal que::

∑−=+

=12:,

0ljiji

ijx l = 1,.....,n

∑∑=+=

=

−−

ljijiij

rl

rr xa

rlrk

y2:,0

l = 1,.....,n

Xp0

II-02(2)51

28

Demostración:

Se puede observar que g(x) ≥ 0 para ],0[ ax ∈ sí y solo sí:

01

)1( 2

22 ≥

+

+t

atgt k para todo t

dado que ∑=

−+=

+

+k

r

rkrrr

k ttayt

atgt0

222

22 )1(

1)1(

∑ ∑

∑ ∑

= =

=

−

=

+

−−

=

−=

k

j

j

r

rr

j

k

r

rk

l

rlrr

arjrk

yt

tl

rkay

0 0

2

0 0

)(2

Ahora aplicando la proposición 1 se tiene la proposición 2.

Proposición 3

El polinomio rn

rr xyxg ∑

=

=0

)( satisface g(x) ≥ 0 para todo [ ]∞∈ ,ax si y solo si existe una

matriz semidefinida positiva [ ]ijxX = con i,j=0,....,k tal que:

∑−=+

=12:,

0ljiji

ijx

∑∑=+=

=

ljijiij

rk

lrr xa

lr

y2:,

Xp0

II-02(2)51

29

Demostración

Se puede observar que 0)( ≥xg para todo [ ]∞∈ ,ax sí y solo sí: 0))1(( 2 ≥+ tag para todo t

dado que

∑ ∑

∑ ∑

∑

= =

= =

=

=

=

+=+

k

l

k

lr

rr

l

k

r

r

l

lrr

k

r

rrr

alr

yt

tlr

ay

taytag

0

2

0 0

2

0

22 )1())1((

Ahora aplicando la proposición 1 se obtiene la proposición 3.

Proposición 4

El polinomio rn

rr xyxg ∑

=

=0

)( satisface g(x) ≥ 0 para todo [ ]∞∈ ,ax si y solo si existe una

matriz semidefinida positiva [ ]ijxX = con i,j=0,....,k tal que:

∑−=+

=12:,

0ljiji

ijx

∑∑∑=+

−+

=

−

=

=

−−

ljijiij

lmk

mr

mmrr

l

mxba

mlrk

mr

y2:,0

Xp0

Demostración Se puede observar que g(x) ≥ 0 para ],[ bax ∈ sí y solo sí:

01

)()1( 2

22 ≥

+

+++t

tabagt k

Para todo t

II-02(2)51

30

Dado que:

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

= =

−+

=

−

= =

−

=

−

=

−

−−

=

−

=

++=

+

+++

k

l

l

m

lmk

mr

mmrr

l

k

r

r

m

rk

j

jmmmrr

k

r

rkrr

k

bamlrk

mr

yt

tj

rktba

mr

y

tbtayt

tabagt

0 0

2

0 0 0

22

0

222

22 )1()(

1)()1(

Entonces aplicando la proposición 1 se obtiene la proposición 4.

Una vez definidas estas cuatro proposiciones se procede a definir la región factible para el

problema dual planteado:

00

≥∑=

rn

rr xy Para todo ],0[ kx ∈

0)1()(2

10 ≥+−++ ∑=

rn

rr xyxyky Para todo ],[ ∞∈ kx

y aplicando las proposiciones 2 y 3 se reformula el problema dual planteado en el siguiente

problema de optimización semidefinida para hallar el límite superior de una opción Call

Europea:

II-02(2)51

31

TS

qyMinn

rii

.

0∑

=

∑−=+

=12:,

0ljiji

ijx l = 1,....n

∑∑=+=

=

−−

ljijiij

rl

rr xk

rlrn

y2:,0

l = 0,......,n

∑−=+

=12:,

0ljiji

ijz l = 1,.......,n

002

10 )1()( zkykyky rn

rr =+−++ ∑

=

∑∑=+=

=+−2:,2

1 )1(jiji

ijr

n

rr zrkyky

∑∑=+=

=

ljijiij

rn

lrr zk

lr

y2:,

l = 1,.......,n

ZX ,0 p

[6]

Entonces se obtuvo un modelo que solo involucra el supuesto de no-arbitraje sin hacer

ninguna suposición respecto a la dinámica del activo subyacente. Mas aún si se observa la

función objetivo del problema primal, max Eππππ [max(0;X - k)], se tiene que realmente la

variable del problema es distribución del activo π y por lo tanto lo que se está optimizando

es esta última basados en la información que esta pueda revelar.

Es así que una vez determinada la dinámica del movimiento del precio del activo

subyacente, sin hacer ninguna suposición sobre esta misma, se puede proceder a utilizar

esta información para obtener los límites del activo derivado.

Una vez planteado el programa de una manera que permite solucionarlo algorítmicamente

y dado que se ha determinado un activo subyacente como lo es la tasa de cambio USD-COP

surgen ciertas preguntas que se plantean antes de continuar:

II-02(2)51

32

a) Dado un número razonable de momentos es posible determinar un límite superior y

un límite inferior suficientemente cerca el uno del otro tal que se pueda establecer

un intervalo de confianza suficientemente bueno para poder valorar la opción o solo

se pueden encontrar límites óptimos pero demasiado abiertos para poder establecer

un precio, es decir hacer un Pricing de la opción.

b) Cuál debería ser este número razonable de momentos para obtener una

caracterización de la dinámica del precio del activo subyacente.

c) Aparte del número de momentos para caracterizar la dinámica del precio de la

opción, existe un nivel de momentos razonable tal que los límites superior e inferior

estén los suficientemente cerrados para poder hacer una valoración de la opción.

d) Dado que bajo la teoría convencional una variable importante para determinar el

precio de la opción es el tiempo de vencimiento de esta, es posible definir qué papel

juega esta variable y de qué manera se encuentra vinculada en el modelo.

II-02(2)51

33

6. IMPLEMENTACION

Una vez determinado el problema se procede a implementarlo. A continuación se

caracteriza de una manera general el problema planteado para poder determinar los

algoritmos y el software a utilizar:

Un programa de optimización estándar semidefinida (SDP) está definido como:

XCMinx •

mkbXA kk ,....1, ==•

0fX

Donde Ak ∈ Hn, C ∈ Hn y b∈ IRm son datos dados por cada problema. X∈ Hn es la

variable, que puede en ciertos casos ser compleja. Hn denota el espacio de n x n matrices

Hermecianas, QP • denota el producto interno Tr(P*Q) y 0fX significa que X es

semidefinida positiva. También se asume que {A1,�..,Ak} son linealmente

independientes.

Ahora el dual de este programa está definido como:

ybMax tzy ,

∑ ==+m

k kk CZAy1

0fZ

donde y∈ IRm y Z∈ Hn son las variables.

En la actualidad existe una gran variedad de softwares especializados en diferentes clases

de problemas, en este caso de optimización.

Realmente la gran mayoría de softwares para resolver optimización semidefinida son de

tipo experimental y no existe un paquete asequible (asequible pues en casos mucho más

especializados es posible encontrar este software, pero su costo es muy elevado). Por lo

II-02(2)51

34

tanto basándose en las experiencias de personas que han manejado este tipo de problemas

[10] se ha decidido utilizar Matlab para poder desarrollar la implementación del problema

planteado.

En especial se va a basar la solución del programa en una implementación de ciertos

algoritmos desarrollada por Kim-Chuan Toh, Michael J. Todd, y Reha H. Tutuncu, quienes

crearon una aplicación en Matlab denominada SDPT3 en la cual se basará la

implementación para poder resolver el problema planteado. SDPT3 contiene los siguientes

derechos de autor:

“SDPT3 Version 3.0

Copyright (c) 1997 by

Kim-Chuan Toh, Michael J. Todd, and Reha H. Tutuncu

Copyright (c) 1997. All rights are reserved by the authors;

restrictions in the copyright notice in each release also

apply. SDPT3 is a software provided on an ``as is'' basis -- no

warranties, express or implied. In particular, the authors make no

representation about the merchantability of this software or its

fitness for any specific purpose. For research and noncommercial use:

(i) this software is available free of charge, (ii) permission is

granted to use, copy or distribute this software free of charge

provided the copyright message in each release is preserved in each

copy or distribution, (iii) permission is granted to modify this

software provided every distribution or copy of the modified software

contains a clear record of the modifications, and (iv) any publication

resulting from research that made use of this software should cite

this document.”

Una vez identificada la herramienta computacional en la cual se va a basar el estudio, se

procede a definir el algoritmo que se está implementando para resolver el problema.

II-02(2)51

35

6.1. Algoritmo de punto interior infactible.

A continuación se describe el algoritmo de Seguimiento de Caminos (path-following)

infactibles para la solución de problemas de programación semidefinida. Este algoritmo se

caracteriza por ser eficiente y robusto y por eso se decidió implementarlo. Toda la

discusión que se presenta a continuación es un resumen de [11].

6.2. La dirección de búsqueda.

Para comenzar se debe introducir el operador Α definido como mn IRHA →:

•

•

XA

XAAX

m

1

El adjunto de A con respecto a los productos internos estándares en Hn y IRm es el

operador: nm HIRA →:*

∑ == m

k kk AyyA1

*

Entonces el paso principal en cada iteración del algoritmo es calcular la búsqueda de

dirección (∆X, ∆y, ∆Ζ) de la ecuación simetrizada de Newton (con respecto a una matriz

invertible P que es usualmente seleccionada como una función de la iteración actual X, Z)

la cual se presenta a continuación:

yAZCRZyA d ** −−==∆+∆

AXbrXA p −==∆

)(XZHIRZFX pc −==∆+∆ σµε

II-02(2)51

36

donde µ = X•Z/n y σ es el parámetro centralizador. Aquí Hp es el operador de simetría

definido como:

nnn

p HCH →×:

[ ]***21)( 1 PUPPUPUH p

−− +=

y ε y F son los operadores lineales ** , −− ⊗=⊗= PPXFZPPε

donde R T⊗ denota el operador linear definido por,

nn HHTR →⊗ :

[ ]**21)( TURRUTUTR +=⊗

Asumiendo que m = Ο(n), se calcula la dirección de búsqueda mediante una ecuación

complementaria de Schur de la siguiente forma:

Primero se calcula ∆y de la ecuación complementaria de Schur,

hyM =∆

donde

*1FAAM −= ε

)()( 11cdp RARFArh −− −+= εε

y después se deben calcular ∆X y ∆Z de las ecuaciones :

yARZ d ∆−=∆ *

)(11 ZFRX c ∆−=∆ −− εε

Si m>> n se debe usar una implementación que resuelva la ecuación

hyM =∆

II-02(2)51

37

por un método iterativo como el método de gradiente conjugado o quasi-mínimo residual,

debido a que resolverla por un método directo es muy costoso.

6.3. Calculo de Direcciones de Búsqueda específicas

Existen cuatro opciones de simetrización que resultan en cuatro direcciones de búsqueda

diferentes.

1. Dirección AHO que corresponde a P = I.

2. Dirección HKM que corresponde a P = Z1/2

3. Dirección NT que corresponde a P = N-1 , donde N es una matriz única tal que D:=

N*ZN = N-1XN-* sea una matriz diagonal (por lo tanto W:= NN* es la matriz NT

con WZW = X.

Dirección GT que corresponde a*2/1 −−−

= GDP , donde las matrices D y G se definen de la

siguiente forma. Suponga que X = G*G y Z = H*H son las factorizaciones Cholesky de X

y Z respectivamente. Sea la SVD de GH*,

GH* = UΣV*. Sean ψ y φ matrices diagonales positivas tal que las igualdades U*G = ψĞ

y V*H = φĤ se cumplen con todas las filas de Ğ y Ĥ con unidades normales. Por lo tanto

Ď = Σ(ψφ)-1

[11]

En el problema que se está implementando las únicas dos direcciones posibles que se van a

utilizar son la de HKM y la de NT . Más aun si en ningún momento se especifica en el

programa qué dirección utilizar, la dirección predeterminada es la dirección NT.

Para describir la implementación de este algoritmo hecha en SDPT3 se debe discutir

primero la eficiencia computacional de la matriz complementaria Schur, M. Este es el

paso más costoso en cada iteración del algoritmo donde se gasta entre el 50% y el 80% del

tiempo de ejecución del algoritmo.

II-02(2)51

38

De la ecuación M = Aε-1FA* se puede demostrar que el elemento (i,j) de M está dado por

)(1jiij AFAM −•= ε (1)

De esta forma para un j fijo calculando primero la matriz )(1

jAF−ε y luego tomando el

producto interno de cada Ai, i= 1,...,m se obtiene la j-ésima columna de M.

Sin embargo el cálculo de M para las cuatro direcciones de búsqueda mencionadas

anteriormente puede hacerse de una forma distinta. El operador F1−ε correspondiente a

las cuatro direcciones puede ser descompuesto genéricamente como

[ ])))()((*)(*()( 21

1jj ATRIDDTRAF ⊗⊗⊗=− oε (2)

Donde ° denota el producto de Hadamard y las matrices R, T, D1 y D2 dependen solo de

X y de Z. De esta forma el elemento (i,j) de M puede escribirse como

[ ])))()((())(( 21 jiij ATRIDDATRM ⊗⊗•⊗= o (3)

De esta forma la matriz complementaria Schur, M, se puede formar si primero se calcula y

se guarda )( jATR ⊗ para cada j = 1,�,m, y luego se toman los productos internos como

en la ecuación anterior.

Si se computa M con fórmulas diferentes como (1) y (3) se obtienen complejidades

diferentes. Si la mayoría de las matrices Ak son densas es mejor usar (3), de lo contrario si

la mayoría de las matrices Ak son dispersas es mejor usar (1). En la siguiente tabla se

presentan los límites superiores de complejidad al calcular M usando las direcciones de

búsqueda mencionadas anteriormente cuando se calculan con (1) o con (3).

(Se asume que todos los Ak son densos; si hay bloques diagonales cada término n3 o n2 se

debe remplazar por la suma de los cubos o de los cuadrados de las dimensiones de los

bloques).

II-02(2)51

39

DIRECCIONES LIMITE SUPERIOR DE COMPLEJIDAD USANDO (3)

LIMITE SUPERIOR DE COMPLEJIDAD USANDO (1)

AHO 4mn3 + m2n2 6 1/3mn3 + m2n2 HKM 2mn3 + m2n2 4mn3 + 0.5m2n2 NT mn3 + 0.5m2n2 2mn3 + 0.5m2n2 GT 2mn3 + 0.5m2n2 4 1/3mn3 +0.5 m2n2 La derivación de estos límites se encuentra en [12] .

A continuación sea NZ el número total de elementos diferentes a cero de A1,...,Am. En la

implementación se van a considerar los dos siguientes casos para identificar la posible

dispersión en los datos:

Si NZ excede a cierta fracción de mn2 se decide qué fórmula se va a usar para el cálculo

de M, basándose en el tiempo que toma en la tercera y cuarta iteración el cálculo de M

mediante las ecuaciones (1) y (3) respectivamente.

De lo contrario se usa la ecuación (1).

6.4. El algoritmo primal-dual de Seguimiento de Caminos

La mayoría de las opciones de implementación de estos algoritmos se basan en minimizar

el número de iteraciones o el tiempo del CPU empleado en el álgebra lineal para calcular el

complemento de Schur. [13]

Algoritmo IPF.

Suponga una iteración inicial, (X°, y°, Z°) con X°, Z° definidas positivas. Entonces se debe

decidir sobre el operador de simetrización Hp(.) que se va a usar. De manera alterna se

definen γ° = 0.9 y σ° = 0.5.

Para k = 0, 1, ...

Sea la iteración actual (X, y, Z) y la siguiente iteración sea (X+, y+, Z+) de la misma forma

se denota el parámetro actual de la longitud de cada paso (centrado) por γ y el siguiente por

γ +, así mismo se denotan σ y σ+.

II-02(2)51

40

Sea nZX /•=µ

=

F

Fdp

CMaxR

bMaxR

Max,1(

,),1)

φ (4)

Entonces si la medida de infactibilidad φ y la brecha dual X•Z son lo suficientemente

pequeñas se debe detener la iteración.

Después se calculan las direcciones de búsqueda (∆X, ∆y, ∆Z) de las ecuaciones:

hyM =∆

yARZ d ∆−=∆ *

)(11 ZFRX c ∆−=∆ −− εε

y actualizar (X, y, Z) a (X+, y+, Z+) mediante las siguientes ecuaciones:

ZZZZyyXXX ∆+=∆+=∆+= +++ ββα ,, (5) Donde

∆

−=

∆

−= −− ZZMin

XXMin 1

min1

min (,1,

)(,1

λγβ

λγα (6)

(Aquí λmin (U) denota el mínimo eigenvalor de U; si el mínimo eigenvalor en cualquier

expresión es positiva, se ignora el término correspondiente.)

Después se debe actualizar el parámetro de longitud e cada paso (step-length) con

),min(09.09.0 βαγ +=+ (7)

y el parámetro centrado por σ+ = 1 � 0.9 min(α, β).

De esta manera se obtiene el resultado del problema.

Como ya se mencionó, este es un algoritmo robusto y eficiente para solucionar problemas

de optimización semidefinida.

A continuación se presentarán algunas anotaciones al respecto de este algoritmo.

• Nótese que si α<1 en (6) entonces el paso es γ veces, y esto es lo que hace que X+

sea semidefinida positiva pero no positiva definida y de una manera similar sucede

para β. Por consiguiente el paso es una constante (γ) múltiplo del paso factible más

II-02(2)51

41

largo. La elección adaptable del parámetro γ (step-length) en (7) es usada como la

elección predeterminada en la implementación. La motivación para usar un

parámetro step-length adaptable y un parámetro centralizador es la siguiente:

Si se toman pasos muy grandes para α y para β, se está indicando que se hizo un

progreso en la iteración anterior de forma que se pueden seleccionar valores más

agresivos en la siguiente iteración para los valores del parámetro step-length γ+ y

para el parámetro centralizador σ+, con el fin de conseguir una mayor reducción en

el complementario X•Z (conocido como la brecha de dualidad; la cual debe ser

igual si ambas iteraciones son factibles) de infactibilad. Por otro lado si α ó β son

pequeños, esto indica que (X+, y+, Z+) se encuentra cercano al límite de Hn+: en

este caso se trata de centrar más en la siguiente iteración usando valores menos

agresivos para γ+ y para σ+.

• Si ∆X y ∆Z son ortogonales y se dan iguales pasos en el primal y en el dual, las

reducciones en la infactibilidad serán iguales al factor (1 - α). Esto, en la

complementariedad total equivale a (1 - α(1 -σ)); de este modo se espera que las

infactibilidades decrezcan de forma más rápida que la complementariedad total.

• Se sabe que a medida que el parámetro µ tiende a cero, la norma rp tiende a

crecer debido a la inestabilidad de la aproximación del complemento de Schur, aun

cuando la iteración inicial es factible. En esta implementación se puede corregir la

perdida de factibilidad primal proyectando ∆X en el espacio nulo del operador A.

Esto se hace antes de actualizar X+ reemplazando ∆X por

)(* 1 XADAX ∆−∆ −

donde D = A*A. Hay que notar que este paso no hace que el algoritmo pierda

eficiencia dado que la matriz D de m × m solo necesita formarse al comienzo del

algoritmo.

• La terminación ocurre cuando soluciones aproximadamente óptimas están cerca.

Las iteraciones se detienen si ocurre alguno de los siguientes casos:

Si el step-length seleccionado en el primal o en el dual es muy pequeño.

II-02(2)51

42

Si µ y φ son ambas menores a 10-8, es decir que las iteraciones se terminan si la

reducción en la complementariedad es significativamente peor que en las iteraciones

previas.

• La terminación también ocurre si X o Z no son numéricamente definidas positivas o

cuando se alcance el límite máximo predeterminado de iteraciones.

• También es causa de terminación si la matriz Schur, M se vuelve singular o con

demasiadas condiciones para un progreso satisfactorio

Vale aclara que el algoritmo también se detiene si se obtiene un indicador de infactibilidad

de la siguiente forma: si la iteración actual tiene bty mucho mayor que A*y + Z,

entonces una buena escala es una solución aproximada de 0,0*,1 fZZyAybT =+=

lo cual asegura que el problema dual es infactible. De forma similar si -C•X es mucho

mayor que AX se tiene una señal de infactibilidad dual.

6.5. Algoritmo predictor-corrector Mehrotra-type.

La variante del algoritmo Mehrotra-type predictor-corrector [14] del algoritmo que se

presentó en el aparte anterior es la siguiente:

Algoritmo IPC

Suponga una iteración inicial (X°, y°, Z°) con X° y Z° definidas positivas. Se debe decidir

el tipo de operador de simetrización Hp(.) que se va a usar. Sea γ°= 0.9. Seleccionando un

valor para el parámetro expon usado en el exponente e.

Para k = 0,1,...

Sea la iteración actual y la siguiente, (X, y, Z) y (X+, y+, Z+) respectivamente y similar

para γ y γ+.

Sea µ = X•Z/n y φ como en (4). Se detiene la iteración si la medida de infactibilidad φ y el

gap de dualidad X•Z son lo suficientemente pequeños.

II-02(2)51

43

A continuación procedemos a realizar el paso de predicción.

Primero que todo se resuelve el sistema linear:

hyM =∆

yARZ d ∆−=∆ *

)(11 ZFRX c ∆−=∆ −− εε

con σ = 0, Rc = -HP(XZ). Entonces se denota la solución como (δX, δy, δZ). Ahora sean αp

y βp las longitudes de cada paso definidas como en (6) con ∆X, ∆Z reemplazadas por δX,

δZ respectivamente.

Tomando σ como,

•

+•+=

ZXZZXX

Min pp )()(,1

δβδασ

Donde el exponente e es el siguiente:

si µµµµ > 10-6 y min(ααααp,ββββp) < (1/3)-1/2 si µµµµ > 10-6 y min(ααααp,ββββp) ≥≥≥≥ (1/3)-1/2

si µµµµ ≤≤≤≤ 10-6

Ahora se debe proceder al paso corrector.

Inicialmente se debe calcular las direcciones de búsqueda (∆X, ∆y, ∆Z) del sistema lineal,

hyM =∆

yARZ d ∆−=∆ *

)(11 ZFRX c ∆−=∆ −− εε

pero remplazando Rc por

[ ][ ][ ]

=2

2

)min(,expmin,1max

),min(3,exp1

pp

pp

eon

onMaxe

βα

βα

II-02(2)51

44

)()( ZXHXZHIR ppq δδσµ −−=

Después se debe actualizar (X, y, Z) a (X+, y+, Z+) como en (5) donde α y β se calculan

como en (6) con γ como

γ = 0.9 + 0.09min(αp,βp) Finalmente se actualizan γ a γ+ como en (7).

El algoritmo termina si el step-length del primal o del dual es muy pequeño. Si µ y φ son

menores que 10-8 o si la complementariedad total en el paso predictor es

significativamente peor que el de las iteraciones anteriores.

Ahora la razón por la cual se acaba de explicar este algoritmo es porque en el caso en que

la medida de infactibilidad φ esté por debajo de un valor predeterminado entonces el

problema deja de trabajar con el algoritmo IPF y comienza a trabajar con el algoritmo IPC.

6.6. Iteración Inicial

Los algoritmos anteriormente planteados pueden comenzar desde un punto de inicio

factible o infactible. Sin embargo el desarrollo de estos mismos es bastante sensible a la

opción que inicialmente se escoja. Realmente es deseable por lo menos escoger una

iteración inicial que sea al menos del mismo orden de magnitud que la respuesta optima del

SDP. Entonces suponiendo que las matrices Ak y C son bloques diagonales con la misma

estructura y cada uno consiste en L bloques diagonales de matrices cuadradas de

dimensiones n1, n2,�..,nL, )(i

kA y C(i) denotan el i-esímo bloque de Ak y C,

respectivamente. Si no se conoce un punto inicial factible , entonces se recomienda que la

siguiente iteración inicial sea usada:

)(,0,)( 000niinii IDiagZyIDiagX ηξ ===

Donde i= 1,��,L y Ini es la matriz identidad de orden ni, y:

F

ik

k

mkii Ab

Max )(1 11+

+=

≤≤ηξ

{ }[ ]i

F

i

F

ikk

i n

CA )()( ,maxmax1+=η

II-02(2)51

45

Si se multiplica la matriz identidad Ini por el factor ξi y ηi para cada i, la iteración inicial

tiene mayor probabilidad de tener el mismo orden de magnitud que la solución optima del

SDP. [11]

Esta iteración inicial se encuentra implementada en MATLAB en el archivo infeaspt.m

6.7. Código

El código de estos algoritmos como se mencionó anteriormente fue implementado por Kim-

Chuan Toh, Michael J. Todd, y Reha H. Tutuncu en un paquete de algoritmos en MATLAB

el cual denominaron SDPT3. Estos algoritmos, en especial la rutina principal, fueron

modificados de una manera leve para poder mejorar la eficiencia del código, suprimiendo

aquellas funciones y apartes que no son relevantes para la solución del programa específico

que se está tratando. Se presenta solo el problema dual con X y Z como las variables del

problema, más el vector de variables duales Y.

La rutina principal correspondiente a los algoritmos de Seguimiento de Caminos Infactibles

se encuentra en el archivo sdp.m, la cual a su vez llama a las siguientes funciones:

ops.m blktrace.m blkchol.m blkeig.m

Asum.m prod2.m Prod3.m nonzerolist.m

Steplenght.m validate.m scaling.m preprocess.m

Aasen.m Atriu.m corrprim.m

En el caso de la dirección HKM también se utilizan los archivos:

HKMpred.m HKMcorr.m

En el caso de la dirección NT se utilizan los archivos:

NTpred.m NTcorr.m

Los argumentos de entrada de la rutina principal mencionada son:

blk: Que consiste en un arreglo de celdas el cual describe la estructura en bloque de los

arrglos Ak y C.

II-02(2)51

46

A: Es una arreglo de celdas con m columnas, tal que la k-esíma columna corresponde a la

matriz Ak.

C y b: Son datos dados por cada problema.

X0, y0, Z0: Son la iteración inicial.

OPTIONS: es una estructura de parámetros.

Los argumentos de salida del programa constan de:

obj = ][ ybXC t•

X,y,Z : Una solución óptima aproximada .

infeashist: es un vector fila que graba la medida de infactibilidad φ en cada iteración.

info: Es un vector de 1*5 que contiene información del rendimiento del programa:

info (1) = La terminación del código.

info (2) = el número de iteraciones realizadas.

info (3) = El gap de dualidad final.

info (4) = La medida de infactibilidad final

info (5) = El tiempo tomado por el computador en resolver el programa.

Un aspecto muy importante es la terminación de info(1) el cual puede tomar diez valores

diferentes según la terminación del programa, estos valores son:

Info(1) = 0 significa que el problema concluyo de manera normal.

Info(1) = -1 Por falta de progreso en el paso predictor o corrector.

Info(1) = -2 Si los pasos del primal o del dual son muy cortos.

Info(1) = -3 Si las iteraciones del dual o del primal pierden su definición positiva.

Info(1) = -4 Si la matriz complementaria de Schur se vuelve singular.

Info(1) = -5 Si la matriz de Schur se daña para proseguir.

Info(1) =-6 Se alcanzó el número máximo de iteraciones.

Info(1) = -10 Si los datos de entrada son incorrectos.

Ahora en el archivo parametros.m se encuentra la definición de la estructura de opciones la

cual se denomina OPTIONS. El significado de cada uno de los campos en opciones se

presenta a continuación:

Vers: Determina el tipo de dirección que se quiere usar.

Vers=1 corresponde a la dirección HKM.

II-02(2)51

47

Vers=2 corresponde a la dirección NT.

El valor predeterminado de este parámetro es 2.

Gam: Es el parámetro de longitud de cada paso. Para utilizar el gam predeterminado se

debe poner gam=0, de los contrario simplemente el usuario puede asignarle el valor

deseado.

Predcrorr: es una bandera 0-1 que determina si se quiere usar o no el Mehrotra-type

predictor-corrector. El valor predeterminado es 1.

Expon: es un vector de 1 x 4 que específica el límite inferior para el exponente que

va a ser usado para actualizar el parámetro σ en el algoritmo de predicción-

corrección. Donde la primera posición del vector corresponde a la dirección

AHO, la segunda a la dirección HKM, la tercera a NT y la cuarta a GT. Los

valores predeterminados son expon = [3,1,1,1]. En este caso hay que

recordar que la implementación solo existe la posibilidad de escoger solo dos

tipos de camino.

Steptol: es la medida de la longitud de cada paso en la cual la iteración debe ser

terminada. El valor predeterminado es 1e-6.

Gaptol: La precisión que se desea del gap de dualidad. El valor predeterminado es

1e-8.

Maxit: Representa el número máximo de iteraciones permitidas. El valor

predetermiando es 50.

Sw2PC_tol: Es el umbral de la medida de infactibilidad, si la medida se encuentra por

debajo de este umbral se aplica el algoritmo de paso predictor-corrector. El

valor predeterminado para esta medida es ∞.

Use_corrprim: Es una bandera con valores 0-1 que indica si se deben corregir los pasos en

caso de una infactibilidad primal. El valor predeterminado es 0.

Printyes: Es una bandera con valores 0-1 que indica si queremos que cada iteración

sea mostrada en la pantalla. El valor predeterminado es 1.

Scale_data: Es una bandera que indica si queremos escalar los datos del SDP.

Los valores que hemos determinado apropiados para correr el problema planteado de estas

variables se presentan a continuación. Estos valores fueron obtenidos de las experiencias de

II-02(2)51

48

Kim-Chuan Toh, Michael J. Todd, y Reha H. Tutuncu corriendo bajo estos algoritmos

ciertos problemas clásicos de optimización semidefinida. En el caso de las banderas se optó

por poner todas a correr debido a la singularidad del problema implementado.

Vers = 2 corresponde a la dirección NT.

Gam = 0

Predcrorr = 1

Steptol = 1e-6.

Gaptol = 1e-8.

Maxit = 50

Sw2PC_tol = 1e-5

Use_corrprim = 1

Printyes = 1

Scale_data = 0

Ahora para poder hacer los caculos computacionales de la matriz complemento de Schur,

M, es necesario hacer repetidas operaciones de multiplicación de matrices que involucran

matrices que son triangulares o que se sabe desde un principio que son Hermecianas. Los

productos de estas matrices son calculados por una rutina en C, la cual al interactuar con

Matlab se denomina un archivo C Mex. El archivo que realiza este producto se denomina

mexprod2.c. El archivo mexProd3.c calcula ciertos elementos del producto de tres matrices

con una matriz generada por el archivo mexschur.c, el cual calcula el complemento de

Schur de una manera bastante eficiente. De manera similar el archivo mextrace.c calcula el

producto interno de dos matrices.

La rutina mexAsum.c calcula el resultado de aplicar la matriz adjunta de A a un vector.

La rutina principal en C que involucra las otras funciones anteriormente escritas está

descrito en el archivo mascasen.c.

II-02(2)51

49

6.8. Implementación Específica

Una vez especificado el algoritmo y el software en el cual se va a hacer la implementación

se procede a plantear el programa para cada uno de los casos específicos.

Inicialmente se plantea implementar el programa para dos, tres y cuatro momentos, los

programas respectivos para cada uno son los siguientes:

Para n = 2

Min y0 + y1(q1) + y2(q2)

S.t

X01+ X10 = 0

X30 + X03 + X12 + X21 = 0

Y0 = X00

2Y0 + Y1k = X20 + X02 + X11

Y0 + Y1k + Y2k2 = X40 + X04 + X31 + X13 + X22

Z01+ Z10 = 0

Z30 + Z03 + Z12 + Z21 = 0

(Y0 + k) + (Y1 � 1)k + Y2k2 = Z00

(Y1 � 1)k + 2Y2k2 = Z20 + Z02 + Z11

Y2k2 = Z40 + Z04 + Z31 + Z13 + Z22

0,−fZX

• Donde k representa el strike de la opción.

• q1 es el primer momento de la distribución es decir µ=][XE es decir la media de

la distribución la cual se calcula como m

Dm

ii∑

== 1µ donde Di es la observación i

del precio del activo subyacente y m es el número total de observaciones.

II-02(2)51

50

• q2 es el segundo momento el cual está definido como 222][ σµµ +=−XE donde

σ2 es la varianza y está definida como 1

)(][ 0

2

22

−

−=−=∑=

m

DXE

m

ii µ

µσ .

Para n = 3

Min y0 + y1(q1) + y2(q2) + y3(q3)

S.t

X01+ X10 = 0

X30 + X03 + X12 + X21 = 0

X50 + X05 + X41 + X14+ X23 + X32 = 0

Y0 = X00

3Y0 + Y1k = X20 + X02 + X11

3Y0 + 2Y1k + Y2k2 = X40 + X04 + X31 + X13 + X22

Y0 + Y1k + Y2k2 + Y3k3 = X60 + X06 + X51 + X15 + X42 + X24 + X33

Z01+ Z10 = 0

Z30 + Z03 + Z12 + Z21 = 0

Z50 + Z05 + Z41 + Z14+ Z23 + Z32 = 0

(Y0 + k) + (Y1 � 1)k + Y2k2 + Y3k3 = Z00

(Y1 � 1)k + 2Y2k2 + 3Y3k3 = Z20 + Z02 + Z11

Y2k2 + 3Y3k3 = Z40 + Z04 + Z31 + Z13 + Z22

Y3k3 = Z60 + Z06 + Z51 + Z15 + Z42 + Z24 + Z33

0,−fZX

• Donde k representa el strike de la opción.

• q1 es el primer momento de la distribución es decir µ=][XE es decir la media de

la distribución la cual se calcula como m

Dm

ii∑

== 1µ donde Di es la observación i

del precio del activo subyacente y m es el número total de observaciones.

II-02(2)51

51

• q2 es el segundo momento el cual está definido como 222][ σµµ +=−XE donde

σ2 es la varianza y está definida como 1

)(][ 0

2

22

−

−=−=∑=

m

DXE

m

ii µ

µσ .

• q3 es el tercer momento de la distribución y está definido como

3233 2][3][][ µµµ +−=− XEXEXE donde 1

)(][ 0

3

3

−

−=−∑=

m

DXE

m

ii µ

µ

Para n=4

Min y0+y1(q1)+y2(q2)+y3(q3)+y4(q4)

S.t

X01+ X10 = 0

X30 + X03 + X12 + X21 = 0

X50 + X05 + X41 + X14+ X23 + X32 = 0

X70 + X07 + X61 + X16 + X52 + X25 + X34 + X43 = 0

Y0 = X00

4Y0 + Y1k = X20 + X02 + X11

6Y0 + 3Y1k + Y2k2 = X40 + X04 + X31 + X13 + X22

4Y0 + 3Y1k + 2Y2k2 + Y3k3 = X60 + X06 + X51 + X15 + X42 + X24 + X33

Y0 + Y1k + Y2k2 + Y3k3 + Y4k4 = X80 + X08 + X71 + X17 + X62 + X26 + X35 + X53+ X44

Z01+ Z10 = 0

Z30 + Z03 + Z12 + Z21 = 0

Z50 + Z05 + Z41 + Z14+ Z23 + Z32 = 0

Z70 + Z07 + Z61 + Z16 + Z52 + Z25 + Z34 + Z43 = 0

(Y0 + k) + (Y1 � 1)k + Y2k2 + Y3k3 + Y4k4 = Z00

(Y1 � 1)k + 2Y2k2 + 3Y3k3 + 4Y4k4 = Z20 + Z02 + Z11

Y2k2 + 3Y3k3 + 6Y4k4 = Z40 + Z04 + Z31 + Z13 + Z22

Y3k3 + 4Y4k4 = Z60 + Z06 + Z51 + Z15 + Z42 + Z24 + Z33

Y4k4 = Z80 + Z08 + Z71 + Z17 + Z62 + Z26 + Z35 + Z53+ Z44

0,−fZX

II-02(2)51

52

• Donde k representa el strike de la opción.

• q1 es el primer momento de la distribución es decir µ=][XE es decir la media de

la distribución la cual se calcula como m

Dm

ii∑

== 1µ donde Di es la observación i

del precio del activo subyacente y m es el número total de observaciones.

• q2 es el segundo momento el cual está definido como 222][ σµµ +=−XE donde

σ2 es la varianza y está definida como 1

)(][ 0

2

22

−

−=−=∑=

m

DXE

m

ii µ

µσ .

• q3 es el tercer momento de la distribución y está definido como

3233 2][3][][ µµµ +−=− XEXEXE donde 1

)(][ 0

3

3

−

−=−∑=

m

DXE

m

ii µ

µ

• q4 es el cuarto momento de la distribución y está definido como 422344 3][6][4][][ µµµµ ++−=− XEXEXEXE donde

1

)(][ 0

4

4

−

−=−∑=

m

DXE

m

ii µ

µ

II-02(2)51

53

7. RESULTADOS

Una vez finalizada la implementación del modelo se procede a probarlo frente a datos de la

vida real. Para este caso primero que todo es necesario obtener la serie de datos

correspondiente al activo subyacente, es decir la tasa de cambio COP-USD. Vale la pena

aclarar que el movimiento del dólar en un día es prácticamente una variable continua cuyos

datos son muy difíciles de obtener, además no existe ningún tipo de registro respecto a

estos valores. Por eso se ha determinado la TRM como la variable que puede ser medida y

para la cual existen registros históricos. Además claramente esta variable es un parámetro

que mide de una manera exacta el comportamiento del mercado día a día.

Ahora en cuanto a los registros históricos de esta variable se obtuvieron datos hasta de 10

años de la serie.

Es importante tener en claro que no siempre la disponibilidad de la totalidad de los datos es

relevante pues pueden existir casos en los cuales en algún momento de la serie existe algún

cambio definitivo en el comportamiento total de esta y este cambio hace que los datos

anteriores a este momento sean distorcionantes y produzcan errores en la estimación del

modelo. Respecto a la serie de datos dada se tiene que se presenta un caso como este.

El dólar en un momento específico del tiempo tuvo un cambio radical en su

comportamiento el cual se puede observar en la serie. Este cambio se presentó cuando fue

eliminada la banda cambiaria.

�Desde 1994 en Colombia se definió un régimen de banda cambiaria, que representa un

esquema intermedio entre un régimen de tasa de cambio fija y uno de flotación libre. El 25

de septiembre de 1999 fue eliminado el sistema de banda cambiaria y se pasó a un sistema

de libre flotación del tipo de cambio nominal.�

La banda cambiaria estaba definida por los límites dentro de los cuales podía fluctuar la

tasa de cambio.

II-02(2)51

54

ESTRUCTURA DE LA BANDA CAMBIARIA

• TASA MÁXIMA (TASA TECHO)

Era el nivel máximo de la tasa que el Banco Central estaba dispuesto a permitir en el

mercado interbancario de dólares. Cuando el mercado llevaba la tasa a este nivel, el Banco

vendía cuantos dólares eran necesarios para mantener la tasa de cambio por lo menos en la

tasa máxima. Esta tasa variaba todos los días, dependiendo de la pendiente de la Banda

Cambiaria.

• TASA MÍNIMA (TASA PISO)

Era el nivel mínimo de la tasa que el Banco Central estaba dispuesto a permitir en el

mercado interbancario de dólares. Cuando la tasa llegaba a este nivel, el Banco compraba

dólares para que el tipo de cambio se mantuviera por lo menos en ese valor. Esta tasa

variaba todos los días, dependiendo de la pendiente de la Banda Cambiaria.

• PENDIENTE DE LA BANDA CAMBIARIA

Era el porcentaje anual de devaluación que se aplicaba a la tasa piso y a la tasa techo.

• AMPLITUD DE LA BANDA CAMBIARIA

Era la distancia que existía entre la tasa piso y la tasa techo. Estaba definida como un

porcentaje medido desde un punto medio.� [15]

II-02(2)51

55

[15]

Por lo tanto a partir del 25 de Septiembre de 1999 la dinámica de la serie cambió totalmente

y considerar los datos anteriores sería un error pues los momentos que se obtendrían de

esta serie no caracterizarían de manera correcta la distribución del activo. Por consiguiente

solo se debe considerar la serie de datos desde esta fecha, más precisamente a partir del 1

de Enero del año 2000 ya que al quitar la banda la serie debe tener un periodo de ajuste y

este periodo también puede influir como ruido para determinar la verdadera características

de la distribución del activo.

TRM

25-Sep-99

$-

$500,00

$1.000,00

$1.500,00

$2.000,00

$2.500,00

$3.000,00

$3.500,00

01-1

2-91

01-0

3-92

01-0

6-92

01-0

9-92

01-1

2-92

01-0

3-93

01-0

6-93

01-0

9-93

01-1

2-93

01-0

3-94

01-0

6-94

01-0

9-94

01-1

2-94

01-0

3-95

01-0

6-95

01-0

9-95

01-1

2-95

01-0

3-96

01-0

6-96

01-0

9-96

01-1

2-96

01-0

3-97

01-0

6-97

01-0

9-97

01-1

2-97

01-0

3-98

01-0

6-98

01-0

9-98

01-1

2-98

01-0

3-99

01-0

6-99

01-0

9-99

01-1

2-99

01-0

3-00

01-0

6-00

01-0

9-00

01-1

2-00

01-0

3-01

01-0

6-01

01-0

9-01

01-1

2-01

01-0

3-02

01-0

6-02

01-0

9-02

01-1

2-02

TRM

II-02(2)51

56

Claramente en la gráfica del comportamiento de la TRM, se puede observar el cambio de la

dinámica de la serie de datos a partir de septiembre de 1999.

La fuente de los datos de la serie histórica fue la Superintendencia Bancaria de Colombia y

los datos se encuentran publicados en su página de Internet www.banrep.gov.co. La serie

completa de los datos se encuentra en el problema que se implementa en el archivo TRM.m

el cual despliega todos los datos de la serie al igual que la gráfica de esta misma:

De la misma manera el archivo TRM2.m es aquel que calcula los diferentes momentos de

acuerdo a la implementación.

Entonces se van a realizar dos tipos diferentes de implementaciones, la primera es

utilizando los datos desde el 1 de Enero del 2000, es decir utilizar la totalidad de los datos

de la serie (desde el punto de inicio determinado anteriormente) para poder determinar el

límite superior para el precio de la opción. Después se va a tratar de involucrar la variable

tiempo, tomando el mismo número de días del vencimiento de la opción de la serie

II-02(2)51

57

histórica para tratar de determinar la dinámica del activo para un período específico y ver si

por este método se puede llegar a hacer algún tipo de valoración.

Entonces para la primera parte se van a utilizar los siguientes datos:

Suponga que el día de 27 de Diciembre de 2002 se desea correr el modelo para determinar

ciertas características de una opción, la TRM de ese día es $2,843.57 lo cual da una idea de

los niveles del precio del dólar por esa fecha.

El número de datos en la serie es de 1042 a esta fecha y con ellos se procede a calcular los

diferentes momentos de la distribución:

Primer Momento 2296,0380

Segundo Momento 5321202,4016

Tercer Momento -23859119710,2595

Cuarto Momento -84846908719785,5000

Por lo tanto se procede a probar la implementación. Para esto se van a tomar tres valores en

cada prueba con el fin de determinar ciertas características de los resultados. Dado que la

TRM actual es $2843.57 se van a tomar a partir de esta los valores para el strike de $2800,

$2860 y $2900 y se va a calcular los límites superiores para una opción call Europea.

Es importante recalcar que esta opción es Call pues todos los análisis están basados en que

esta opción da el derecho de comprar.

Para lograr una familiarización con la implementación en esta primera prueba de

implementación se van a mostrar todos los pasos del programa, más adelante solo se

presentan los resultados obtenidos:

Entonces para el caso de dos momentos el archivo que ejecuta el modelo es el denominado

op2m.m. Simplemente hay que digitar el nombre del archivo en la interfaz de MATLAB

para correr el modelo, por lo tanto con k = 2800 se obtiene que:

Inicialmente se ingresa el strike y el programa despliega el primer y el segundo momento:

II-02(2)51

58

Después el programa muestra el vector OPTIONS para que el usuario sepa cuales son los

valores predeterminados que se están usando:

II-02(2)51

59

Después el programa muestra las diferentes iteraciones que se realizan y en seguida

presenta los datos de terminación el programa:

II-02(2)51

60

Aquí se pueden observar los valores del gap de infactibilidad al igual que el tiempo gastado

por el computador para resolver el problema en los diferentes algoritmos ya descritos.

También muestra la terminación del programa, es importante recordar que para el caso de

una terminación normal inf(1) = 0. [11].

A continuación la implementación muestra el estado de las restricciones del problema, es

decir cuáles fueron violadas y cuáles no:

II-02(2)51

61

Después y a modo simplemente informativo, el programa presenta las matrices X, Z ,Y que

son las variables del problema. Es decir muestra las variables para cada estado de la región

factible (X,Z) y las variables duales del programa (y).

II-02(2)51

62

Finalmente se despliega la función objetivo, es decir el límite superior del precio de la

Opción.

II-02(2)51

63

A continuación se presenta una tabla de resumen con los resultados obtenidos para cada

uno de los strikes para el programa implementado con dos momentos:

Recordemos que la TRM es 2,843.50.

Strike = $2800

Strike = $2860

Strike = $2900

144,04 127,83 117,38

Estos resultados son bastante coherentes dado que se espera que el precio de la opción sea

mayor cuando el strike se encuentre por debajo del precio actual. De igual forma se observa

que los límites concuerdan pues la diferencia entre estos en comparación con la diferencia

entre los strikes es proporcional.

II-02(2)51

64

Ahora cuando en este modelo corremos un strike muy alto, por ejemplo 10,000, el resultado

es negativo lo cual es totalmente lógico pues su significado es que para que alguien tome

una opción tan fuera de mercado a favor del emisor lo lógico es que este sea el que le pague

al comprador por esta opción, no significa que esto en la vida real pasé pero

conceptualmente es una interpretación acertada. En la realidad si este precio es negativo lo

que significa es que el valor de la opción es cero y el emisor puede expedir la opción con la

plena certeza de que jamás esta será ejercida.. De igual manera cuando ponemos un strike

muy bajo como 1,000 el límite es muy alto dado que por este medio (precio de la opción) se

tienen que compensar todo los puntos fuera de mercado en que se encuentra la opción.

Ahora para el caso de tres momentos se ejecuta el comando op3m.m, los resultados son los

siguientes:

STRIKE PRECIO OP

Se puede observar que los límites son en cada caso inferiores en comparación con el caso

de dos momentos. Esto lo podemos atribuir a que el tercer momento caracteriza la asimetría

de la distribución y al obtener mayor información respecto a la dinámica de la distribución

los límites son más precisos.

Por otro lado los datos obtenidos conservan el resto de propiedades de la implementación

para dos momentos.

Vale la pena recalcar que el hecho de que los límites encontrados agregando un momento

más sean más bajos que con un momento menos, es algo que se esperaba, pues en un

principio se creyó que al agregar más momentos al programa este arrojaría límites

superiores menores dado que se posee mayor información acerca de la dinámica de la

distribución, lo cual se comprobó que es acertado.

Por los resultados encontrados hasta el momento se tiene que bajo las características de la

distribución de la tasa dólar-peso, al agregar más información acerca de ésta, el límite

$2800 $2860 $2900 139,956 127,1598 118,9083

II-02(2)51

65

disminuye, orientando el modelo al hecho de poder hallar un rango de límites lo

suficientemente cercano para determinar el precio de la opción.

Finalmente para el caso de 4 momentos, el cual está implementado en el archivo op4m.m se

encontró que el problema no se puede solucionar debido a que en la terminación de este

problema el parámetro info(1) es igual a -4, es decir que la Matriz complementaria de Schur

es singular y debido a esto numéricamente no podemos solucionar el problema.

Esto sucede debido a que la ecuación de Schur

hyM =∆

Donde M, la matriz complementaria de Schur está definida como:

*1FAAM −= ε

es decir que está directamente relacionados con los momentos, por lo tanto al aumentar el

número de momentos se aumenta la dimensión de esta matriz y cada vez más la última

columna se parece más a la anterior haciéndolas linealmente dependientes, esto en la teoría

no sucede pero en la práctica sí por lo tanto se presenta un error de tipo numérico y no

teórico.

II-02(2)51

66

Por lo tanto se observa que las características de la distribución de este activo subyacente

producen problemas numéricos en el momento de solucionar este programa para cuatro

momentos. Es decir que el número de momentos a implementar en este programa depende

totalmente de las características del activo subyacente.

Por ejemplo en el caso de otro activo cualquiera que presenta las mimas características que

la TRM, pero su strike es 1000 se puede observar que el problema corre sin ningún error:

II-02(2)51

67

II-02(2)51

68

Claro que en este caso el resultado no tiene ningún sentido, pero es simplemente una prueba

para demostrar que los errores numéricos que se presentan en el momento de solucionar el

programa planteado para 4 momentos son producto de las características específicas de la

distribución del activo subyacente seleccionado (Tasa de Cambio COP-USD).

Por lo tanto se determinó que bajo el enfoque de determinar el límite de una opción dados

sus primeros n momentos haciendo solamente la suposición de no arbitraje y sin considerar

nada sobre la dinámica del activo subyacente, la información hasta el tercer momento de la

distribución (n = 3) es la única información relevante para determinar el límite superior de

una opción call para la tasa de cambio COP � USD.

Ahora se intentará incluir la variable tiempo en la implementación de tres momentos, para

esto se debe utilizar el archivo TRM2.m el cual le pide al usuario de la aplicación introducir

el número de días al vencimiento de la opción, para así poder interactuar con este número y

poder determinar si este es relevante para poder calcular el límite superior de la opción.

La idea principal es, basándose en el número de días al vencimiento de la opción tomar ese

número para atrás en la serie histórica y poder determinar las características de la

II-02(2)51

69

distribución pero para ese número específico de datos. Así por ejemplo si se quiere obtener

el límite para una opción que vence en 30 días lo que se hace es tomar los momentos de los

últimos 30 días de la TRM y usar estos resultados para correr el problema.

Basándose en lo anterior se corre el modelo para periodos de 30,90,180 y 360 días con el

fin de observar qué sucede con el límite superior de la opción para cada uno de estos casos.

Se va a utilizar un strike de 2,860 por ser un valor in the money, es decir atractivo para la

persona que va a comprar la opción .

Los resultados fueron los siguientes:

30 días 90 días 180 días 360 días Límite superior 304.965 299.857 269.01 196.142

Al observar estos datos es claro que a medida que aumenta el tiempo el límite superior de la

opción disminuye.

II-02(2)51

70

Esta observación a la que se llega en la práctica es totalmente errada pues bajo cualquier

modelo es claro que para un mismo precio strike a medida que el horizonte de vida de la

opción aumenta su precio aumenta, esto es debido a que el intervalo de incertidumbre es

mayor, lo cual se castiga vía precio.

Por lo tanto el hecho de obtener resultados contradictorios en los datos obtenidos

claramente demuestra que el desarrollo implementado en este caso (tomar la serie de datos

igual al período de vencimiento de la opción) es errado.

Es así que se concluye que en el caso de determinar los limites superiores de una opción

con un strike k se deben utilizar la totalidad de la información disponible, debido a que al

omitir parte de esta no se obtiene una caracterización real de la distribución y se pueden

llegar (como en el caso presentado) a resultados erróneos.

Para el caso de obtener el límite inferior simplemente se debe aplicar el mismo modelo

desarrollado hasta el momento, con la diferencia de que se quiere determinar el mínimo

valor esperado del payoff de la opción, es decir:

Min max{X � K, 0}

Por lo tanto el modelo desarrollado en este caso queda planteado como :

TS

qyMaxn

rii

.

0∑

=

∑−=+

=12:,

0ljiji

ijx l = 1,....n

∑∑=+=

=

−−

ljijiij

rl

rr xk

rlrn

y2:,0

l = 0,......,n

∑−=+

=12:,

0ljiji

ijz l = 1,.......,n

002

10 )1()( zkykyky rn

rr =+−++ ∑

=

II-02(2)51

71

∑∑=+=

=+−2:,2

1 )1(jiji

ijr

n

rr zrkyky

∑∑=+=

=

ljijiij

rn

lrr zk

lr

y2:,

l = 1,.......,n

ZX ,0 p

Donde el resto de la implementación queda exactamente igual como se mostró

anteriormente. Como ya se determinó que en el caso de obtener el límite superior de la

opción se debía usar hasta el tercer momento para obtener un resultado óptimo entonces el

desarrollo del programa para el límite inferior solo se va a considerar para el tercer

momento.

Inicialmente se va a correr el programa para un strike de 2,800 como en el caso del límite

superior. El archivo que ejecuta esta implementación se encuentra en op3mli.m y se ejecuta

con solo digitar este nombre en la consola de MATLAB.

El resultado de este fuel el siguiente:

II-02(2)51

72

Una vez ingresado el strike el modelo corre mostrando todos los datos que anteriormente se

mencionaron. Las iteraciones fueron las siguientes:

II-02(2)51

73

Como se observa la terminación del programa fue correcta y los resultados de las variables

fueron los siguientes:

II-02(2)51

74

II-02(2)51

75

Donde se observa que el límite inferior de la opción tiende a infinito.

Esto se puede probar básicamente retomando un resultado obtenido para el caso del límite

superior, en donde se determinó que a medida que se agregaba momentos al programa de

optimización semidefinida el límite superior (y con él, el precio de la opción y el límite

inferior) de la opción aumentaban. Por lo tanto la función objetivo del dual tiende a ser

convexa y por ello en el momento de maximizarla no se puede obtener una cota superior.

II-02(2)51

76

Debido a este inconveniente y con el ánimo de poder determinar a los menos los límites

para una opción se opta por la teoría clásica para determinar el límite inferior de una

opción, la cual consiste en:

Suponga que se tienen los siguientes portafolios:

Portafolio A: Una opción Call Europea más una cantidad de efectivo equivalentes a Kert.

Portafolio B: Una unidad del Activo.

Para el caso del portafolio A si el efectivo es invertido a la tasa libre de riesgo en el

momento T se tendría una cantidad de dinero equivalente a K. Si Xt > K la opción es

ejercida en el tiempo T y el portafolio entonces vale Xt. Si Xt < K entonces la opción no

vale nada y el portafolio A entonces vale K. Por lo tanto el precio del portafolio A es

max{Xt , K}.

Ahora para el caso del portafolio B, se tiene que este vale Xt en el tiempo T. Por lo tanto se

tiene que el portafolio A en cualquier caso debe valer por lo menos lo mismo que el

portafolio B si no más en el tiempo T.

Por lo tanto el portafolio A debe valer por lo menos lo mismo que el portafolio B hoy, es

decir:

c + Ke-rt ≥ X0 lo cual es igual a c ≥ X0 - Ke-rt. Como en el peor de los casos la opción

expira con valor cero, entonces se tiene que el límite inferior de la opción es:

II-02(2)51

77

Max{ X0 - Ke-rt , 0} [1]

Bajo el enfoque que se está trabajando este límite no sería óptimo, pero ante la

imposibilidad de calcular el límite inferior bajo el modelo planteado este es una buena

aproximación.

Finalmente es necesario hacer una comparación de los resultados encontrados con el

modelo de Black-Scholes, el cual como ya se mencionó es el modelo estándar del mercado.

Para esto y con el objetivo de tener los datos más verídicos posibles se cotizó con un

intermediario del mercado (Corporación Financiera), el cual valora sus opciones bajo el

método de Balck-Scholes, una opción con strike de 2,860 para los diferentes vencimientos

considerados anteriormente.

Una de las razones por la cual el máximo vencimiento que se consideró anteriormente fue

de 360 días se debe a que en el mercado de divisas en Colombia este es el plazo máximo

para el cual se cotiza una opción a un cliente del sector real, por lo tanto al haber

considerado un vencimiento mayor hubiera sido imposible encontrar una cotización real

para la opción.

La cotización fue la siguiente:

Strike: $ 2860.00

Spot: $ 2843.57

Tiempo 30 días 90 días 180 días 360 días Valor de la Opción $ 25,00 $ 63,00 $ 85,00 $ 144,00

Al comparar los precios obtenidos con los límites establecidos por el modelo:

Tiempo 30 días 90 días 180 días 360 días Límite Superior $ 127,1598 $ 127,1598 $ 127,1598 $ 127,1598 Valor de la Opción $ 25,00 $ 63,00 $ 85,00 $ 144,00 Límite Inferior $ - $ - $ 10,26 $ 36,70

II-02(2)51

78

Como se puede observar en el corto plazo los límites del precio de la opción obtenidos a

través del modelo de Black-Scholes se encuentran dentro de los límites establecidos por el

modelo implementado, mientras que al largo plazo el precio determinado por el modelo de

Black-Scholes es superior al límite calculado por el modelo implementado.

Se realizaron estos cálculos con respecto a los demás strikes considerados en el modelo y se

encontró el mismo resultado anterior, por lo tanto se pudo concluir que en el corto plazo el

modelo de Black Scholes determina un precio para las opciones que se encuentra entre los

límites establecidos si se compara con el desarrollo que se presentó y por lo tanto es

totalmente aceptable, mientras que al largo plazo el modelo de Black Scholes tiende a sobre

valorar el precio de la opción en comparación con el modelo que se está presentando.

El resultado anterior se puede explicar básicamente a partir de que si se observa el

comportamiento de una variable aleatoria que sigue un proceso Browniano Geométrico

Estándar, ésta al largo plazo siempre tiende al alza y lo que este resultado muestra es que

muy posiblemente bajo este proceso el precio de la opción tiende a subir más al largo plazo

que lo que la información de la distribución del activo (Tasa USD � COP) dice, resultando

así en una sobre valoración del activo derivado al largo plazo.

II-02(2)51

79

8. CONCLUSIONES

Una vez determinados los resultados y analizándolos se pueden plantear las siguientes

conclusiones respecto al desarrollo y la implementación realizada.

En primera instancia se demostró mediante una aplicación real, que la optimización

semidefinida provee un desarrollo factible y eficiente para solucionar problemas que

involucran los momentos de la distribución en un activo subyacente. Esta es la misma

conclusión a la que llegaron Bertsimas y Popescu [6] pero de una manera totalmente

teórica, por lo tanto mediante la aplicación real de este modelo, se ha corroborado esta

conclusión de una manera práctica.

Por lo tanto con esta aplicación se puede ver que existe una forma alterna a los modelos

tradicionales para encontrar nuevas relaciones entre las opciones y el precio del los activos

subyacentes, bajo el supuesto de no arbitraje y sin hacer ninguna suposición sobre la

dinámica del precio del activo subyacente. Más aún para el caso de un solo activo se

demostró que bajo este enfoque es posible hallar límites superiores óptimos para el precio

de la opción.

De hecho este modelo específico demostró que los resultados que proporciona son

consistentes con la realidad y sus resultados son eficientes respecto a valores similares que

se encuentran bajo los enfoques tradicionales.

Es así que al ser demostrado que los resultados son óptimos, se debería proseguir a seguir

utilizando este enfoque para crear y modificar nuevos modelos alternos al presentado para

poder llegar el objetivo final de este tipo de estudios, el cual es determinar de manera

exacta la relación entre las opciones y el precio del activo subyacente, basados en

suposiciones reales y poder valorar de una manera eficiente el activo derivado.

En este sentido se deja la pregunta abierta sobre los resultados reales de otros modelos bajo

este enfoque como el modelo de determinar el precio de la opción dado precios observables

de opciones similares, el cual también está desarrollado por Bertsimas y Popescu [6] o

modelos de programación cónica para las desigualdades de Tchevycheff desarrollado por

Luis Fernando Zuluaga y Javier Peña [16].

II-02(2)51

80

Más específicamente sobre el modelo desarrollado, se concluyó que no es posible

determinar el precio final de la opción, debido a la imposibilidad de calcular límites

inferiores óptimos. Lo anterior no implica que este modelo es descartable para hacer

análisis de mercado, pues con esta herramienta es posible determinar qué opciones se

encuentran sobre valoradas y poder hacer algún tipo de negociación o arbitraje al respecto,

en especial cuando la valoración del mercado está basada en otro tipo de modelos como el

de Black Scholes que poseen supuestos que en la realidad no se cumplen.

Por ejemplo si en algún momento de tiempo se adquirió una opción que se encontraba

dentro de los límites y bajo el supuesto de que se adquirió por especulación y no por

cubrimiento de riesgo, dada la actualización constante de la serie de datos en el modelo, se

puede continuamente observar los límites para ver si la opción se está devaluando o

reevaluando y poder tomar una decisión sobre venderla o conservarla.

Una característica negativa es que este modelo es más de tipo de estudio académico que de

implementación en la vida real, pues una desventaja encontrada es que este no puede ser

estándar. Como se determinó, la decisión del número de momentos a utilizar en la

implementación depende totalmente de la distribución del activo subyacente. En el caso de

la tasa de cambio COP-USD se pudo determinar que era óptimo utilizar hasta el tercer

momento, pero este mismo análisis se debe hacer por cada activo subyacente que desee

implementarse y esto resulta en unos costos muy altos de implementación, además no es

seguro que la distribución del activo que se esté implementando no cambie de manera

radical haciendo disminuir o aumentar el número de momentos empleados.

El otro problema encontrado es la imposibilidad de involucrar la variable tiempo en el

modelo, la cual con suma certeza puede ayudar a determinar límites más precisos y poder

establecer el precio de la opción, dado que es claro que a medida que el horizonte del

vencimiento de la opción aumenta, tanto el precio como los límites en general de ésta

también deben aumentar y no quedarse en el caso anteriormente desarrollado el cual solo

puede determinar límites para el periodo más largo de la opción.

II-02(2)51

81

Por lo tanto y en alas de contribuir a futuros desarrollos bajo este enfoque, una conclusión

importante es el hecho de que la variable tiempo no puede ser excluida en ningún momento

si el objetivo del modelo es encontrar una valoración precisa y consistente.

En cuanto al modelo estándar del mercado se logró determinar hasta que puntos los dos

enfoques eran parecidos y en qué momento estos dos empiezan a divergir, explicando las

razones de esta discrepancia. Lo cual lleva directamente a la conclusión de que no todo se

ha dicho en cuanto a los modelos de valoración de este tipo de derivados y es necesario

seguir en la búsqueda de un modelo de valoración que haga suposiciones basadas en la

realidad y así poder llegar a constituir un mercado más competitivo y eficiente.

Finalmente se quiere recalcar que dados los resultados que se obtuvieron bajo la

implementación de este modelo queda demostrado que este tipo de enfoque, es decir la

utilización de optimización y en especial optimización semidefinida es una manera natural

de abordar el problema y de encontrar la relación entre un activo derivado y su o sus

activos subyacentes.

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BIBLIOGRAFIA

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