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DAIANE DOS SANTOS DA SILVA

A UTLIZAÇÃO DE JOGOS ADAPTADOS EM BUSCA DA

ESTRATÉGIA VENCEDORA DO JOGO NIM

CANOAS, 2008.

1




Trabalho de conclusão de curso apresentado à banca examinadora do curso de Licenciatura em Matemática no Centro Universitário La Salle, como exigência parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática, sob orientação da Profª. Ms. Patrícia da Conceição Fantinel.

.

CANOAS, 2008.

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TERMO DE APROVAÇÃO




Trabalho de conclusão aprovado como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado do Curso de Matemática do Centro Universitário La Salle – Unilasalle,

pela avaliadora:

__________________________________________ Profª. Mestre Patrícia da Conceição Fantinel

Unilasalle

Canoas, 28 de novembro de 2008.

3

Dedico este trabalho, aos meus queridos pais, Nelza e Ezequias, que sempre estiveram ao meu lado no decorrer desta jornada,

me incentivando e apoiando em minhas decisões, não medindo esforços para que eu alcançasse esta conquista.

4

Agradeço a Deus, por estar sempre presente em minha vida, e,

pelo fato de ter dado-me a oportunidade de trabalhar com a educação, mais precisamente com pessoas, as quais sempre tem algo de bom a nos passar.

Aos meus amigos,

que sempre acreditaram em minhas realizações. Agradeço, em especial, aqueles

que, em nenhum momento deixaram que eu desistisse de meus idéias.

À minha professora Patrícia Fantinel, por toda dedicação prestada para realização deste trabalho,

bem como as oportunidades que propiciou para meu crescimento como futura educadora.

A todos que mesmo sem saber tiveram grande contribuição

em minha formação. Fica aqui o meu muito obrigada!

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RESUMO O presente trabalho objetiva-se a verificar se um conjunto de jogos adaptados auxilia no reconhecimento da estratégia vencedora do jogo NIM. Para a realização desta pesquisa foi utilizado o método do Estudo de Caso, a fim de realizar uma investigação aprofundada nos processos de raciocínio de um sujeito. Após um estudo teórico envolvendo jogos estratégicos, foi realizada a parte prática desta pesquisa, na qual foram aplicados no sujeito, inicialmente, o jogo dos 7 Círculos e o da Corrente, que são adaptações do NIM. E, por último, foram aplicadas, também, duas versões do NIM. No decorrer dos jogos, através de questionamentos/ intervenções didáticas, o sujeito descobriu a estratégia vencedora de cada jogo, as quais são relacionadas com a divisão. No final da pesquisa, concluiu-se que tais adaptações podem auxiliar na descoberta da estratégia vencedora do NIM, tanto para a versão contendo o conceito de divisão, quanto voltada ao Teorema de Bouton. Palavras Chaves: jogos estratégicos. NIM. Teorema de Bouton. Ensino e aprendizagem da matemática.

ABSTRACT

The following monograph paper has the objective to verify if an adapted group of games helps in the recognition of the winner strategy from the NIM game. The “case study” was used to intensify this research and to discover the rational thinking from a subject. After a theoretical study involving strategic games, there was the practical in which were applied to the subject, initially, “the seven circles game’ and the “Corrente”, which are adaptations from the NIM game. Finally, we applied the two NIM versions. In these games, the subject discovered the best winner strategy of each game, and which are related to division. At the end of this research, we concluded that these adaptations can help in the winner strategy from NIM as the version, which contains the division concept, as the one related to “Bouton theory”. Keywords: Strategic games. NIM. Bouton theory. Math teaching and learning.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: O tabuleiro de xadrez ........................................................................... 21

Figura 2: As peças do jogo de xadrez ................................................................. 21

Figura 3: Posição inicial das peças no tabuleiro.................................................. 22

Figura 4: O movimento da torre........................................................................... 22

Figura 5: O movimento do bispo.......................................................................... 23

Figura 6: O movimento da dama ......................................................................... 23

Figura 7: O movimento do rei .............................................................................. 24

Figura 8: O movimento do cavalo........................................................................ 24

Figura 9: O movimento do peão .......................................................................... 25

Figura 10: O tabuleiro egípcio da mancala .......................................................... 28

Figura 11: Disposição das peças na 1ª versão do NIM ....................................... 33

Figura 12: Disposição das peças na 2º versão do NIM ....................................... 33

Figura 13: O tabuleiro do jogo dos 7 Círculos ..................................................... 39

Figura 14: A marca um e B marca dois círculos .................................................. 40

Figura 15: A marca dois e B marca um círculo.................................................... 41

Figura 16: O tabuleiro do jogo da Corrente ......................................................... 41

Figura 17: 1ª parida do jogo dos 7 Círculos......................................................... 48

Figura 18: 2ª partida do jogo dos 7 Círculos........................................................ 48



Figura 21: 1ª partida do jogo da Corrente............................................................ 53




Figura 25: 1ª partida da 1ª versão do NIM........................................................... 59




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Figura 31: 4ª partida da 2ª versão do NIM .......................................................... 66

Quadro 1: Possíveis jogadas de A e B ................................................................ 34

Quadro 2: Conversão para números binários...................................................... 36

Quadro 3: Possibilidades de soma NIM Zero ...................................................... 36

Quadro 4: Conversão para números binários...................................................... 37

Quadro 5: Possibilidades de soma NIM Zero ..................................................... 38

Quadro 6: Possíveis jogadas de A e B ............................................................... 39

Quadro 7: Possíveis jogadas de A e B ............................................................... 42

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 10

2 METODOLOGIA DE PESQUISA ...................................................................... 12

2.1 Objetivos ....................................................................................................... 13

2.2 Hipótese ........................................................................................................ 13

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................ 15

3.1 Jogos Estratégicos....................................................................................... 15

3.2 O Ensino da matemática e o uso de jogos estratégicos ........................... 16

3.3 Três jogos estratégicos para duplas .......................................................... 18

3.3.1 Xadrez ......................................................................................................... 19

3.3.1.1 Histórico.................................................................................................... 19

3.3.1.2 Regras ...................................................................................................... 20

3.3.1.3 Uso em sala de aula ................................................................................. 25

3.3.2 Mancala ....................................................................................................... 27

3.3.2.1 Histórico.................................................................................................... 27

3.3.2.2 Regras ...................................................................................................... 28

3.3.2.3 Uso em sala de aula ................................................................................. 30

3.3.3 NIM .............................................................................................................. 31

3.3.3.1 Histórico.................................................................................................... 32

3.3.3.2 Regras ...................................................................................................... 32

3.3.3.3 Estratégia vencedora................................................................................ 34

3.3.3.3.1 Pelo Algoritmo de Euclides .................................................................... 34

3.3.3.3.2 Pelo Teorema de Bouton....................................................................... 35

3.3.3.4 Adaptações do NIM .................................................................................. 38

3.3.3.4.1 Jogo dos 7 Círculos ............................................................................... 39

3.3.3.4.2 Jogo da Corrente ................................................................................... 41

4 ENTREVISTAS ................................................................................................. 44

4.1 Roteiro de entrevista .................................................................................... 44

4.2 Analise da entrevista.................................................................................... 46

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5 APLICAÇÃO DOS JOGOS E INTERVENÇÕES DIDÁTICAS E ANÁLISES ... 47

5.1 Jogo dos 7 Círculos ..................................................................................... 47

5.1.1 Análise......................................................................................................... 52

5.2 Jogo da Corrente .......................................................................................... 53

5.2.1 Análise......................................................................................................... 57

5.3 Jogo NIM ....................................................................................................... 58

5.3.1 Análise......................................................................................................... 67

6 CONCLUSÕES ................................................................................................. 70

REFERÊNCIAS ................................................................................................... 72

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1 INTRODUÇÃO

A inclusão de jogos, assim como outras atividades diferenciadas, vem

crescendo nas escolas. Os professores os utilizam como uma ferramenta

diferenciada de ensino a fim de aumentar a atenção e interesse do aluno,

principalmente nas aulas de matemática, a qual os alunos possuem, em geral, certa

dificuldade e rejeição pela matéria.

Neste trabalho defendemos o uso de jogos estratégicos, que são aqueles em

que o jogador deve buscar uma estratégia vencedora, desenvolvendo, assim, seu

raciocínio lógico, criatividade e pensamento independente. O objetivo principal é

verificar se um conjunto de jogos adaptados pode auxiliar na descoberta da

estratégia vencedora do jogo NIM, o qual é muito popular no Oriente e uma de suas

versões está relacionada com a Teoria dos Jogos.

Para a realização desta pesquisa foi utilizada a metodologia do Estudo de Caso

apresentada no Capitulo 1 deste trabalho. Esta metodologia de pesquisa envolve

uma investigação por parte do pesquisador, onde o mesmo verificará se sua

hipótese é verdadeira ou não dentro de um contexto real. Aplicamos em um sujeito o

jogo dos 7 Círculos e o da Corrente, inicialmente. E, por último o NIM a fim de

verificarmos se os jogos iniciais contribuíram, ou não, para que o sujeito encontrasse

a estratégia vencedora do NIM.

No Capítulo 2, foi apresentado nosso estudo bibliográfico, onde relatamos o

que são jogos estratégicos e a relação que os mesmos possuem com a matemática.

Apresentamos, também, três jogos estratégicos para duplas, sendo eles o xadrez,

as mancalas e o NIM. Procuramos discriminar seus respectivos históricos, regras e

objetivos. Em relação ao xadrez e as mancalas relatamos, também, o uso em sala

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de aula. Finalizando a nossa fundamentação teórica, relatamos duas versões do

jogo NIM além das duas adaptações já citadas, o jogo dos 7 Círculos e da Corrente.

No Capítulo 3, apresentamos a entrevista realizada com o sujeito participante

desta pesquisa, bem como uma posterior analise da mesma por parte da

investigadora.

Já no Capítulo 4, apresentamos a aplicação dos jogos envolvidos na pesquisa,

além das intervenções didáticas realizadas pela pesquisadora e uma breve analise

das partidas. O primeiro a ser aplicado foi o jogo dos 7 Círculos, o segundo o da

Corrente, e, finalizando a pesquisa, foram aplicadas as duas versões do NIM.

Esperamos que este trabalho esclareça as característica do jogo NIM e

contribua de forma significativa para futuros estudos envolvendo jogos estratégicos,

bem como para sua utilização em aulas de matemática.

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2 METODOLOGIA DE PESQUISA

A presente pesquisa busca responder se um conjunto de jogos adaptados

auxilia no reconhecimento da estratégia vencedora para o jogo NIM?

A metodologia de pesquisa que utilizamos para a realização deste trabalho de

conclusão foi o Estudo de Caso, que é uma metodologia que envolve uma

investigação por parte do pesquisador, onde o mesmo verificará se sua hipótese é,

ou não, válida dentro de um determinado contexto da vida real. Assim, Yin (2001, p.

32) define o Estudo de Casos como “uma investigação empírica que investiga um

fenômeno contemporâneo dentro de seu contexto da vida real, especialmente

quando os limites entre o fenômeno e o contexto não estão claramente definidos".

Essa metodologia de pesquisa é, normalmente, utilizada em pesquisas que

possuem o como e/ou porquê em suas perguntas centrais. Ela é utilizada em

muitos campos, tais como: ciência política, sociologia e psicologia comunitária,

estudos organizacionais e gerenciais, estudos voltados para a educação, etc. O

Estudo de Casos pode ser utilizado, também, na realização de uma pesquisa em

uma cidade, em um bairro, em uma escola ou até mesmo com um aluno.

De uma maneira geral, podemos dizer que o estudo de casos pode sempre ser

aplicado quando o pesquisador deseja investigar algo dentro de um contexto real.

Em relação à investigação do Estudo de Casos, Yin (2001, p. 32) afirma que

“[...] a investigação enfrenta uma situação tecnicamente única em que haverá muito

mais variáveis de interesse do que pontos dados [...]” .

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Para a realização do estudo de Casos em questão, que visa investigar se um

conjunto de jogos adaptados pode auxiliar ou não no reconhecimento da estratégia

vencedora do jogo NIM serão realizados os seguintes passos metodológicos:

- Estudo bibliográfico envolvendo jogos estratégicos, destacando o xadrez, as

mancalas e o NIM (adaptações do NIM);

- Entrevista com o sujeito participante da pesquisa;

- Analise da entrevista;

- Aplicação dos jogos: 7 Círculos, Corrente e NIM, no sujeito participante da

pesquisa;

- Questionamentos ao sujeito referentes aos jogos aplicados;

- Analise das respostas obtidas nos questionamentos.

- Resultados obtidos.

Em seguida apresentamos nossos objetivos e hipótese para a realização desta

pesquisa.

2.1 Objetivos

Neste trabalho de conclusão temos como objetivo geral:

- Verificar se um conjunto de jogos adaptados auxilia no reconhecimento da

estratégia vencedora do jogo NIM.

E como objetivos específicos desejamos:

- Verificar o grau de dificuldade do sujeito em elaborar estratégias necessárias

para vencer cada um dos três jogos (7 círculos, corrente e NIM);

- Analisar se os jogos aplicados contribuíram de alguma forma para o

desenvolvimento das habilidades do pensamento de cada aluno.

2.2 Hipótese

Com a finalidade de responder a pergunta central desta pesquisa a seguinte

hipótese foi elaborada: um conjunto de jogos adaptados, neste caso o jogo dos 7

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Círculos e o da Corrente, podem auxiliar na descoberta da estratégia vencedora do

jogo NIM.

Justificamos a utilização do método do Estudo de Casos, neste trabalho de

conclusão, devido ao fato de que, nesta pesquisa, o objetivo é o pesquisador realizar

uma investigação aprofundada dos processos de raciocínio do sujeito, envolvendo o

jogo NIM, o que seria inviável numa turma regular.

No capitulo seguinte, daremos inicio aos passos metodológicos apresentados,

onde relataremos nosso estudo bibliográfico.

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3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capitulo apresentamos o estudo bibliográfico realizado para o

desenvolvimento desta pesquisa.

3.1 Jogos estratégicos

Os jogos estratégicos são aqueles que exigem dos jogadores, acima de tudo,

concentração e atenção, enfatizando o raciocínio como peça fundamental para se

chegar à vitória. Como exemplo, podemos citar o xadrez, damas, gamão, mancalas,

etc.

Conforme declara Cebola e Henriques (2006), os jogos de estratégia são

considerados jogos competitivos entre dois ou mais jogadores, que possuem uma ou

mais estratégias e, no final, existe um vencedor.

Cada jogo possui suas próprias regras, as quais podem ser, ou não,

modificadas pelos jogadores antes do inicio da partida. É importante salientar que

tais regras devem estar bem claras aos jogadores e que os mesmos devem segui-

las corretamente no decorrer de cada partida.

Em relação aos jogos de regras, concordamos com Groenwald e Timm (2000),

quando afirmam que os mesmos são importantes para o desenvolvimento do

pensamento lógico, visto que a aplicação sistemática de tais regras encaminha o

jogador a deduções. Para Borin (1998, p. 16) é na busca da estratégia que “fica

salientada a necessidade da formulação de hipóteses, da argumentação e da

experimentação

16

para tornar válidas essas hipóteses, até a descoberta de um caminho sempre

vitorioso”. Ou seja, estes jogos exigem dos jogadores um breve estudo das

possíveis jogadas, onde os jogadores irão analisar e optar por aquela que, cada um,

acredita ser a mais adequada, objetivando sempre a vitória.

Assim, Borin (1998, p. 15), afirma que os jogos estratégicos “caracterizam-se

por possuírem uma estratégia vencedora a ser descoberta pelos jogadores e o fator

sorte, em nenhum momento, deve interferir na escolha das jogadas”.

Concordamos com Grando (1995), que no jogo de estratégias cada jogada

dependerá da ação realizada pelo adversário durante a situação jogo. Em cada nova

situação proposta, o jogador imagina as possíveis jogadas de seu adversário, e, com

isso, o mesmo irá elaborar ou até mesmo reelaborar estratégias a todo o momento.

Diante das características deste estilo de jogo, acreditamos que, subjacente ao

jogo, está uma estrutura determinando que o que faz o vencedor e o perdedor é a

própria ação do jogador, não dependendo da sorte.

Na busca de uma estratégia para vencer determinado jogo, o jogador defronta-

se com a resolução de pequenos problemas, trabalhando, assim, o seu pensamento.

Borin (1998, p. 15) ressalta que “a meta principal deste tipo de jogo é propiciar

oportunidades para o desenvolvimento do raciocínio lógico”. Diante disso,

concordamos com a autora quando ela comenta que os jogos estratégicos são os

que mais se aproximam do que significa pesquisar em matemática.

3.2 O uso de jogos estratégicos no ensino da matemática

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN’s), “os

jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que

estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na

elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções”. (1998, p.46)

Atualmente, a inclusão de jogos vem crescendo nas escolas. Destaca-se essa

inclusão, principalmente, nas aulas de matemática onde o jogo é utilizado como uma

ferramenta diferenciada com o objetivo de aumentar a atenção e interesse dos

alunos.

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Neste trabalho defendemos a idéia de que para o desenvolvimento do

raciocínio lógico, da criatividade e do pensamento independente os jogos

estratégicos são de fundamental importância, visto que, conforme mencionado, tais

jogos são os que mais se aproximam do que significa pesquisar em matemática.

Assim, concordamos, também, com os PCN’s quando relatam que os jogos

estratégicos, podem contribuir de forma bastante significativa na formação das

atitudes dos alunos, pois possuem características que são necessárias para a

aprendizagem matemática, como, por exemplo, a criação de estratégias e

possibilidade de alterá-las quando não atingem um resultado satisfatório.

Além desta contribuição matemática, estes jogos podem, também, contribuir na

formação de um cidadão. Por exemplo, no jogo de xadrez, os jogadores possuem

diversas opções de jogadas, contudo precisam escolher aquela que acreditam ser a

mais apropriada para levá-los a vitória. Em relação a esse ponto, Christofolleti

comenta que:

No jogo de xadrez, apesar deste ser praticado em dupla, cada enxadrista terá que tomar a decisão sobre a jogada individualmente, o que favorece a autoconfiança nas decisões. Mesmo nas competições por equipe, cada jogador tem o seu tabuleiro, não havendo possibilidade de ser orientado durante a partida, cabe a ele tomar as decisões e arcar com os resultados obtidos. (CHRISTOFOLLETI, 2005, p. 3).

Assim como a autora, acreditamos que a autoconfiança é de extrema

importância para a vida de um aluno. Importância esta que se destaca nas aulas de

matemática, pois, quando um aluno tem confiança em si, ele fala o que pensa, ao

contrário daquele aluno que está sempre quieto, o qual o professor, muitas vezes,

possui dificuldades em saber se o mesmo está entendendo ou não o conteúdo

proposto na aula.

Já no jogo das mancalas, dentre outros fatores, podemos citar a capacidade de

antecipação do jogador bem como o uso da proporção. Quando o jogador divide

suas sementes entre as casas do tabuleiro ele está usando da proporcionalidade

para que distribua tais sementes em todas as casas. Em relação a este jogo,

podemos afirmar que a prática do mesmo contribui para a memorização bem como o

desenvolvimento social e pessoal do aluno que o pratica.

Em relação a estes jogos em sala de aula, tanto o xadrez quanto a mancala

têm muito a contribuir para o aprendizado matemático, visto que requerem, dentre

outras variantes: concentração, esforço intelectual e cálculo mental. Desenvolvem

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diversas habilidades, tais como: noções de quantidade e seqüência, as operações

básicas mentais, o raciocínio lógico, etc.

Um fator importante nos jogos estratégicos de duplas é o fato de o jogador ter

que aprender a controlar suas emoções. Em relação a este fator Christofolleti diz

que:

O jogador deve ser capaz de disciplinar ou aprender a controlar suas emoções, pois se estiver abalado ou sem autocontrole está sujeito a interferir no jogo de maneira que seu potencial fique muito abaixo de sua força real. O aluno, durante a partida, pode poder resistir à tensão da pressão do tempo, que provoca inúmeras inquietações e, quando o resultado é um erro que o leva à derrota numa partida que estava quase ganha, este deve aceitar a situação. (CHRISTOFOLLETI, 2005, p. 4).

Assim acontece com a aprendizagem matemática, onde predomina a

resolução de problemas. É necessário que o aluno tenha um autocontrole sobre si

das situações que o rodeiam para que seja capaz de raciocinar logicamente perante

as situações que lhe aparecem.

Além do mais, na Escola não devem ser ensinados aos alunos somente

conteúdos disciplinares, pois é nela que se inicia o processo de formação de um

cidadão, na qual devem ser ensinados conceitos como responsabilidade e

capacidade de assumir seus próprios atos.

Diante dos fatos apresentados, fica claro que, neste trabalho, defendemos por

completo o uso de jogos estratégicos no ensino matemático, desde que sejam bem

trabalhados com os alunos.

Poderíamos apresentar inúmeras vantagens da utilização destes jogos no

ambiente escolar, contudo este não é foco deste trabalho de conclusão. Em seguida,

falaremos mais detalhadamente de três jogos estratégicos previamente escolhidos

para o desenvolvimento do estudo teórico desta pesquisa.

3.3 Três jogos estratégicos para duplas

Dos inúmeros jogos estratégicos, escolhemos o estudo do xadrez, das

mancalas e do NIM. Ressaltamos que todos eles são jogos para duplas. Na

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apresentação de tais jogos serão relatados o histórico, as regras e a relação com a

matemática que os mesmos possuem.

3.3.1 Xadrez

O jogo de xadrez é um jogo de tabuleiro disputado por dois participantes. O

objetivo deste jogo é, para cada jogador, movimentar as suas peças visando atacar

o rei de seu adversário e proteger o seu. Ele exige muita atenção e concentração

dos jogadores, como veremos mais detalhadamente.

3.3.1.1 Histórico

Em relação às origens do jogo de xadrez não se sabe ao certo onde o mesmo

iniciou. Contudo, conforme afirma Manzano e Vila (2002), a maioria dos

historiadores acredita que o Xadrez teve sua origem na índia, no século VI. Diz a

história que este jogo chamava-se Chaturanga, originado das quatro unidades do

exercito hindu: “os elefantes”, a “cavalaria”, “os carros” e a “infantaria”. Atualmente

estas unidades referem-se, respectivamente, aos bispos, aos cavalos, às torres e

aos peões do jogo.

A história da origem do jogo de xadrez faz referência a uma lenda do suposto

inventor deste jogo.

Diz a lenda, que o inventor do jogo de xadrez foi um sábio brâmane, que o criou

com o intuito de dar uma lição de humildade a um rei que tiranizava o seu povo.

O rei, muito satisfeito com a engenhosidade do sábio, prometeu que lhe daria o

que pedisse. O sábio lhe pediu a quantidade de trigo que resultasse em um grão na

primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira e assim

sucessivamente, em cada nova casa do tabuleiro seria colocado o dobro da casa

anterior, de maneira a completar todas as casas do tabuleiro.

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O soberano aceitou, acreditando que tal pedido implicaria em alguns quilos de

trigo. Contudo ele teve uma surpresa, pois seria necessária a quantidade de

18.446.744.073.709.551.615 grãos de trigo. E, para produzir esta quantidade seria

necessário semear todo o continente 77 vezes.

Esta é a lenda da origem deste jogo estratégico tão conhecido e praticado

atualmente.

O xadrez passou uma grande evolução até chegar aos dias de hoje.

Da Índia, ele passou para o mundo árabe, que o enriqueceu com novas regras.

Os árabes, por sua vez o levaram para a Europa através da Espanha, onde foi

recopilado o primeiro livro europeu de xadrez, por ordem de Afonso X.

Em 1620, na Itália, foram unificadas as regras gerais deste jogo.

Já no século XVIII, eram os franceses que se destacavam no xadrez.

3.3.1.2 Regras

O jogo de xadrez é disputado por dois adversários, que movimentam peças

num tabuleiro quadrado, chamado de “tabuleiro de xadrez”. Cada jogador possui 16

peças. Um jogador possui peças brancas, e o outro, peças pretas. O jogador com as

peças brancas inicia o jogo.

O objetivo do xadrez e fazer com que cada jogador movimente as suas peças

de tal forma que proteja sua peça chamada rei e faça com que o adversário não

tenha como movimentar o seu rei. No decorrer do trabalho, falaremos de cada peça

em particular.

O tabuleiro do xadrez, conforme podemos ver na Figura 1, é um quadrado

subdivido em 64 quadrados, os quais são chamados de casas. Metade dessas

casas são chamadas brancas, e, a outra metade, pretas.

Podemos observar, também, que este tabuleiro é composto por filas, colunas

e diagonais.

Chamam-se filas as oito linhas horizontais do tabuleiro que vão de um lado a

outro. Já as colunas são as linhas verticais que vão de um lado a outro. E, as

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diagonais são linhas de casas de mesma cor que se encontram unidas por um de

seus vértices. Logo, existem diagonais brancas e diagonais pretas.

Figura 1: O tabuleiro de xadrez. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 17.

Em relação às peças que compõem o xadrez, observa-se na Figura 2, que

elas são iguais para ambos os jogadores, o que as diferencia é a cor. Como dito

anteriormente, um jogador possui peças brancas enquanto o outro possui pretas.

Cada jogador possui 8 peões, 2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, 1 rei e 1 dama, a qual é

também conhecida como rainha, totalizando, assim, 16 peças para cada um.

Figura 2: As peças do jogo de xadrez. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 21.

Diante do exposto, o tabuleiro e as peças de cada jogador, na Figura 3, temos

a posição inicial das peças no tabuleiro. Relembrando que as peças brancas

representam um jogador, e, as pretas representam o outro.

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Figura 3: Posição inicial das peças no tabuleiro. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 17.

Algumas regras devem ser obedecidas no jogo de xadrez. Cada peça possui

regras diferentes de movimentação no tabuleiro. Relataremos, a seguir, os

movimentos permitidos para as peças de um jogador.

A Figura 4 nos traz o movimento da torre. Esta, por sua vez, desloca-se

somente em linha reta pelas filas ou colunas, seja para frente, para trás, para a

direita ou para a esquerda. A torre pode mover-se a qualquer distância, porém não

pode saltar por cima de nenhuma outra peça.

Se, no caminho, a torre encontra uma peça adversária, pode capturá-la, se o

desejar, ocupando seu lugar e a removendo do tabuleiro.

Figura 4: O Movimento da torre. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 25.

O bispo somente pode movimentar-se pelas diagonais, como podemos

observar na Figura 5. Ele pode andar para frente e para trás. Um detalhe

significativo é que um dos bispos andará sempre pelas diagonais brancas enquanto

o outro andará pelas pretas. O bispo também pode percorrer qualquer distância e,

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assim como a torre, não pode saltar por cima de nenhuma peça. O bispo também

pode capturar uma peça adversária, ocupando seu lugar no tabuleiro e a removendo

do jogo.

Figura 5: O Movimento do bispo. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 26.

A peça considerada mais poderosa no xadrez é a dama. Pois, ela pode

mover-se como um bispo ou como uma torre. A Figura 6 mostra todos os possíveis

caminhos para a dama percorrer.

Figura 6: O Movimento da dama. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 26.

O rei é a peça mais importante do jogo, sendo que sua captura significa o fim

da partida e a derrota do jogador capturado. Contudo o rei não é a peça mais

poderosa, devido sua mobilidade ser bastante limitada.

Conforme ilustra a Figura 7, o rei move-se, no tabuleiro, da mesma maneira

que a dama, com a diferença que ele só pode deslocar-se uma casa por jogada. O

rei também pode capturar uma peça adversária se, assim, desejar.

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Um fato que deve ser levado em conta é de que o rei nunca pode deslocar-se

para uma casa dominada pelo adversário, pois as regras não permitem este fato.

Figura 7: O Movimento do rei. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 27.

A peça do xadrez que possui uma característica bastante peculiar é o cavalo.

Diz-se que o cavalo salta, ou seja, seus movimentos não são impedidos por peças

que estejam ao seu lado.

Há uma regra que identifica o movimento do cavalo que diz que ele

movimenta-se em forma de L, conforme nos mostra a Figura 8.

É interessante destacar o fato de que a casa para que o cavalo se desloca é

sempre de cor diferente da que partiu.

Outro fato importante é que a casa a ser ocupada deve estar sempre livre,

não sendo ocupada por uma peça da mesma cor do cavalo. Se a casa estiver

ocupada por uma peça do jogado adversário, há a opção de capturá-la ou não,

conforme o jogador achar conveniente.

Figura 8: O Movimento do cavalo. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 27.

25

A última peça do jogo a ser apresentada é o peão. Este é considerado a peça

menos poderosa do jogo, visto que, com exceção da primeira jogada em que possui

a opção de avançar um ou dois passos, ele só pode avançar uma casa por vez.

A Figura 9 mostra as duas casas para onde o peão pode deslocar-se em seu

primeiro lance, a partir daí ele só pode avançar uma casa por vez até o término da

partida.

O peão somente pode capturar uma peça adversária em diagonal e efetuando

somente um passo.

Figura 9: O Movimento do peão. Fonte: Manzano; Vila, 2002, p. 28.

Estas são as regras para cada peça que compõe o tabuleiro do jogo de xadrez,

enfatizamos, mais uma vez, que o objetivo do jogo de xadrez é que o jogador

sempre proteja seu rei, e use de sua estratégia para deixar o rei adversário sem

opção de movimentação no tabuleiro.

3.3.1.3 Uso em sala de aula

O xadrez é considerado o mais popular dos jogos estratégicos, visto que em

muitas escolas de ensino fundamental já faz parte do currículo escolar, como na

França e Holanda.

Conforme afirma Christofoletti (2005, p.3), “quando bons hábitos são

desenvolvidos desde a infância, é provável que estes sejam assimilados mais

facilmente e mantidos para o resto da vida do individuo”.

26

Assim como em qualquer outro jogo estratégico, o xadrez exige muita atenção

e concentração no decorrer da partida, bem como uma analise de cada possível

jogada.

Este jogo possui uma relação muito próxima com a matemática. Pois, conforme

afirma Christofoletti (2005, p. 2), ele “... ensina o mais importante na solução de um

problema, que é saber olhar e entender a realidade que se apresenta”.

Considerando que o estudo da matemática oferece problemas e situações

desafiadoras aos alunos, exigindo o pensamento dos mesmos, concordamos com a

autora, pois certamente, para se resolver qualquer problema matemático é

necessário antes a interpretação e a compreensão dentro do contexto deste

problema.

Leitão apud (GOULART; FREI, 2005, p. 725) relaciona o xadrez com a

matemática da seguinte forma:

Um bom enxadrista deve ser capaz de visualizar várias jogadas à frente, sem mover as peças, até confiar em uma determinada linha de jogo. Da mesma forma, um bom matemático precisa abstrair o problema em sua mente, tratando de descobrir sua essência, apenas representando-o no papel quando encontrar a melhor forma de resolvê-lo. O cálculo é uma ferramenta indispensável no xadrez e na matemática, ainda que sozinho não leve a uma solução.

No decorrer de uma partida de xadrez, o jogador defronta-se com diversas

situações que lhe são propostas, onde o mesmo deve buscar a melhor solução.

Dessa forma, este jogador estará desenvolvendo o seu raciocínio lógico, que é a

base do estudo da matemática.

Diante do exposto, concordamos com Christofoletti (2005) quando diz que:

Quando a criança está jogando uma partida de xadrez, é necessário que utilize muito raciocínio, para que possa colocar em prática o seu plano estratégico, o qual deve ser escolhido após uma longa análise da posição e verificação da eficácia, por isso, há necessidade de muita concentração e atenção. Isso contribui para que a criança adquira facilidade em raciocínio lógico, o que é contemplado com freqüência em questões matemáticas. (p. 3)

Outro aspecto bastante relevante encontrado no jogo de xadrez é a

concentração que ele exige nas partidas, pois o jogador deve refletir suas jogadas,

visto que um pequeno erro pode levá-lo a derrota.

Este fato, conforme afirma a autora, pode ser relacionado ao sucesso ou

insucesso em resoluções de problemas matemáticos. Pois, os alunos, em algum

27

momento, podem afrontar-se com problemas que exijam uma rápida solução, onde a

atenção é fundamental.

O jogo de xadrez pode ser relacionado diretamente com determinados

conteúdos matemáticos estudados no decorrer da educação básica, como o plano

cartesiano. Uma vez que o tabuleiro é um quadrado subdividido em sessenta e

quatro quadrados os quais são chamados de casas e, é formado por oito linhas e

oito colunas.

Christofoletti (2005, p. 4) faz referencia ao jogo de xadrez com a analise

combinatória e a probabilidade, quando diz “[...] o jogador deve ser capaz de calcular

com exatidão a manobra que realizará com suas peças, para que depois possa

escolher o caminho mais rápido e eficaz a ser seguido, para obter maior sucesso”.

Diante do exposto, acreditamos que o jogo de xadrez tem muito a contribuir

com o processo ensino-aprendizagem da matemática. Pois, como sabemos a

matemática não envolve somente o fazer contas e sim todo um raciocínio, no qual

atenção e concentração são peças fundamentais para se obter sucesso.

3.3.2 Mancalas

A palavra mancala tem origem do árabe naqaala, que significa mover,

deslocar, transportar de um lado para o outro. O jogo das mancalas simula um

plantio de sementes, onde, inicialmente, o jogador as semeia pelas casas e depois

as colhe. Tal jogo exige dos jogadores atenção no decorrer desta distribuição, na

qual deve haver certa proporcionalidade. Veremos, a seguir, mais detalhadamente

as características deste jogo tão praticado pelos africanos.

3.3.2.1 Histórico

O mancala é um jogo bastante popular no continente africano, assim como a

sinuca e o dominó é popular no Brasil.

28

Em relação a origem do mancala, é bastante provável, conforme afirma Monte

Neto (1992), que este seja descendente de algum antepassado egípcio, há quase

2.000 anos antes de Cristo.

Alguns estudiosos da história deste jogo distinguem três fases possíveis para a

divulgação do mancala: na primeira, a partir do vale do Rio Nilo, este jogo teria sido

levado para o resto do continente africano e para o Oriente; na segunda, teria se

expandido com o islamismo; e na terceira, através dos escravos africanos, este jogo

teria atingido as Américas.

É dito que, no Egito Antigo, a mancala simbolizava as épocas da plantação e

da colheita. Onde os movimentos realizados pelas peças reproduzem tal simbologia.

O jogo mancala não possui nenhum caráter religioso. Contudo, conforme

afirma Monte Neto (1992, p. 1), “[...] muitas tribos não ousam praticá-lo após o pôr-

do-sol, pois acreditam que espíritos ancestrais seriam atraídos pela vontade de jogar

e, antes do amanhecer, partiriam levando as almas dos jogadores”.

3.3.2.2 Regras

Há diversas formas de jogar o mancala, além de diversos tabuleiros.

Apresentaremos apenas o tabuleiro egípcio, o qual é composto por uma série de

cavidades feitas num pedaço de madeira, conforme ilustra a Figura 10. Em alguns

países este tabuleiro é feito no chão, onde são escavados pequenos buracos.

Figura 10: tabuleiro egípcio do jogo mancala. Fonte: NETESCOLA, 2008.

Cada cavidade deste tabuleiro é chamada de casa (calas). As duas casas

maiores são chamadas de casas de acumulação (kalaha). Cada jogador possui um

território, sendo ele as seis casas de seu lado no tabuleiro mais a casa de

acumulação que fica a sua direita.

29

As peças deste jogo podem ser a mais variadas possíveis como: pequenas

conxas, botões, feijões. Contudo as sementes são as mais tradicionais para a

realização deste jogo, conhecidas, neste caso, como mancalas.

Para a realização desta versão do jogo estratégico são necessários

exatamente dois participantes.

Antes de iniciar uma partida de mancala, cada jogador deve colocar quatro

sementes em cada casa do tabuleiro, exceto nas casas de acumulação (ver Figura

10).

Cada participante joga uma vez. As jogadas consistem em pegar todas as

sementes de qualquer uma de suas casas, exceto as de sua casa de acumulação, e

distribuí-las uma a uma em cada casa, no sentido anti-horário, incluindo a sua casa

de acumulação. Uma característica importante é que nunca se distribui sementes na

casa de acumulação do adversário.

Sempre que a ultima semente do jogador cair em sua casa de acumulação,

este terá o direito de fazer uma nova jogada. Quando a última semente cair em uma

casa vazia de seu território, o jogador irá capturar todas as sementes de seu

adversário que estiverem na casa oposta em que sua semente foi semeada.

Capturada as sementes de seu adversário, o jogador as coloca em sua casa de

acumulação juntamente com a semente que possibilitou a captura.

Uma partida de mancala finaliza somente perante três situações: ou a última

peça semeada cai em qualquer casa ocupada, com exceção da casa de

acumulação, ou a semente cai numa casa vazia do território de seu adversário ou,

ainda, quando houver captura.

A partida da mancala prossegue até que todas as sementes sejam capturadas

ou até que um dos jogadores fique sem sementes para semear.

Vence o jogo o participante que possuir maior número de sementes em sua

casa de acumulação.

30

3.3.2.3 Uso em sala de aula

O jogo das mancalas, assim como os demais jogos estratégicos, é

considerado ótimo para o desenvolvimento da capacidade matemática.

A mancala está incluída em pesquisas e projetos de aprendizagem nas

escolas desde anos iniciais ao ensino de jovens e adultos. Abaixo citamos três

exemplos de estudos/projetos realizados no Brasil.

O primeiro a ser apresentado é uma pesquisa, realizada em Vitória, intitulada

como Desempenho de crianças com e sem dificuldades de atenção no jogo

Mancala. Esta pesquisa objetivava-se a analisar, através do jogo mancala, a

concentração de crianças consideradas hiperativas e de crianças não hiperativas. As

crianças, que compreendiam de 9 à 11 anos, foram separadas em grupo, sendo um

deles composto daquelas que eram consideradas hiperativas, e, o outro, composto

por crianças consideradas não hiperativas. Após a apresentação do jogo, as

crianças, em seus respectivos grupos, participaram de dez oficinas, que consistiam

apenas em jogar mancala. Finalizando as oficinas, foram apresentadas quatro

situações problemas a fim de verificar a atenção desses alunos de séries iniciais.

O segundo é o projeto intitulado como África e Brasil: conhecendo ontem,

trabalhando hoje e construindo o amanhã. Tal projeto, realizado em São Paulo, na

Escola Estadual Dr. Genésio de Almeida Moura, é interdisciplinar. Na língua

portuguesa pesquisa palavras africanas que fazem parte de nosso vocabulário a fim

de trabalhar a leitura e a escrita; na história busca informações que esclareçam aos

alunos o continente africano; na geografia busca explicar que a áfrica não é um país,

mas sim um continente; nas ciências naturais explica que somos todos africanos; na

matemática trabalha a simetria, a geometria e o cálculo através das pirâmides

apresentadas na cultura egípcia; na língua estrangeira é utilizada letras de músicas

de cantores negros, como Bob Marley; na disciplina de artes é trabalhada a dança,

ma

O terceiro exemplo apresentado é o projeto: mancala, um jogo milenar

contribuindo na alfabetização matemática de jovens e adultos. Neste projeto

enquanto os alunos jogavam mancalas, os pesquisadores realizavam intervenções a

fim de obter as estratégias utilizadas pelos alunos. No trabalho realizado, a mancala

31

auxiliou na exploração do número, desde a sua contagem até a sua sistematização,

contribuindo, assim, para a alfabetização matemática.

Vê-se que o jogo contribuiu para a exploração de conceitos matemáticos

como: contagem, cálculo mental, operações básicas, etc.

Além disso, com a movimentação das peças simula um plantio de sementes

e, após, sua colheita. O aluno compreende parte do processo de uma plantação

real.

Através desta simulação de plantio, a mancala nos direciona para um conteúdo

importante do ramo da matemática que é a proporção. Na medida em que decorre a

partida do jogo, o jogador pode desenvolver a destreza manual ao distribuir as

sementes, o conceito de lateralidade, além do raciocínio lógico que consideramos o

mais abrangente destas habilidades.

A distribuição de tais sementes exige, também, atenção e concentração para

que no final o jogador tenha mais peças em sua casa de acumulação, e, assim

vencer a partida. Outro aspecto que pode ser trabalhado neste jogo é o sentido

horário e o anti-horário, onde o aluno pode desenvolver o conceito espacial.

Diante dos argumentos apresentados, defendemos a idéia de que este jogo

deveria ser inserido nas aulas de matemática. Certamente, o mesmo contribuiria de

maneira significativa para o aprendizado tanto de matemática como em outros

ramos.

3.3.3 NIM

O NIM é um jogo pouco conhecido no Brasil. Contudo é um jogo estratégico

muito interessante, o qual pode desenvolver o raciocínio dos jogadores. Seu nome

vem do alemão nimm, que significa ter. Este jogo pode ser realizado simplesmente

com a utilização de palitos de fósforos, como veremos a seguir.

32

3.3.3.1 Histórico

O NIM é um jogo bastante popular no Oriente. Acredita-se que tal jogo tenha se

originado na China, sendo o jogo mais antigo que se tem conhecimento.

O interesse dos matemáticos por este jogo está associado ao fato de o NIM ser

o primeiro jogo estratégico relacionado à teoria dos jogos. Conforme diz Sartini

(2004, p. 3), “a teoria dos jogos é uma teoria matemática criada para se modelar

fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisão

interagem entre si”. Além disso, é utilizada para estudar fenômenos como eleições,

leilões, balança de poder, etc. Ou seja, situações que envolvam competição,

confronto entre adversários, bem como os jogos estratégicos, mais especificamente

o jogo NIM que é o foco deste trabalho de conclusão. Foi Charles Bouton, em um

artigo de 1902, que determinou a estratégia vencedora para o jogo NIM, em que não

é estipulada uma quantidade máxima de retiradas.

Com a popularização do mundo informatizado, o NIM passou a integrar o

repertório de brincadeiras que podem ser feitas no computador, desafiando, assim, o

sujeito a encontrar uma estratégia vencedora.

3.3.3.2 Regras

Este jogo pode ser realizado com diversos objetos, tas como: moedas, palitos

de fósforo, botões, etc. Contudo, neste trabalho, utilizaremos como material os

palitos de fósforos para as situações propostas.

A quantidade de palitos utilizada deve ser sempre um número ímpar.

O objetivo de jogo é retirar peças de maneira que, no final da partida, fique

somente uma peça para seu adversário retirar, visto que perde o jogo o participante

que retirar o último palito de fósforo. Há muitas variações das regras do NIM, por

exemplo, pode-se jogar o mesmo somente com uma fileira de palitos, onde o jogo

passa a ser trivial, pois o primeiro jogador pode retirar os palitos deixando somente

um, e, assim, vencer o jogo. Nesta pesquisa, utilizaremos duas versões deste jogo,

33

as quais serão descritas abaixo. Informamos que ambas as versões do NIM são

destinadas a dois participantes, que jogam alternadamente.

Na primeira versão que apresentamos, o jogador possui uma quantidade

mínima e uma máxima de palitos que ele pode retirar. Os palitos são dispostos um

ao lado do outro, conforme mostra a Figura 11, com treze palitos.

Figura 11: Disposição das peças na 1ª versão do NIM. Fonte: Acervo próprio da autora.

Para exemplificar a situação proposta acima, vamos considerar que a

quantidade mínima de palitos a ser retirada seja um, e, a máxima, seja quatro. Cada

jogador, na sua vez, retira no mínimo um e no máximo quatro palitos da fila

escolhida, conforme achar mais vantajoso. Vence quem não retirar o último palito.

Já na segunda versão, colocam-se três filas de palitos de fósforo, em um plano,

onde nenhuma delas pode conter o mesmo número de palitos da outra. Na Figura

12, temos um exemplo de disposição de treze palitos para a realização do jogo.

Figura 12: Disposição das peças na 2ª versão do NIM. Fonte: Revista do Professor de matemática, 1985, p. 48.

Cada jogador, na sua vez, escolhe uma pilha de palitos e retira dela no

mínimo um e no máximo todos os palitos da pilha escolhida, conforme achar mais

vantajoso. Vence o jogo quem não retirar o último palito.

34

3.3.3.3 Estratégia vencedora

Para cada versão apresentada anteriormente há uma estratégia vencedora

diferenciada, para a primeira utilizando o Algoritmo de Euclides e para a segunda o

Teorema de Bouton.

3.3.3.3.1 Algoritmo de Euclides

Para a versão dos palitos alinhados, tendo-se um mínimo e um máximo de

palitos a serem retirados, o conceito matemático utilizado é a divisão, que é uma das

operações básicas da matemática. Neste jogo o resto da divisão é o que pode levar

o jogador a vitória, o que nos traz a idéia do algoritmo de Euclides. Para uma melhor

explicação desta estratégia, vamos utilizar os palitos dispostos na Figura 11 e os

jogadores A e B, sendo A quem inicia o jogo. Prevalecem as regras já apresentadas

anteriormente. Das possíveis jogadas temos que se A retirar um palito, B pode

retirar um, dois, três ou quatro palitos. Se A retirar dois palitos, B possui as mesmas

possibilidades. O Quadro 1 esquematiza todas as possíveis jogadas de ambos os

jogadores.

Quadro 1 - Possíveis jogadas de A e de B

Jogador A

retirar:

Jogador B

pode retirar:

Total de palitos

retirados:

1 palito

1 palito

2 palitos

3 palitos

4 palitos

2 palitos

3 palitos

4 palitos

5 palitos

2 palitos

1 palito

2 palitos

3 palitos

4 palitos

3 palitos

4 palitos

5 palitos

6 palitos

35

3 palitos

1 palito

2 palitos

3 palitos

4 palitos

4 palitos

5 palitos

6 palitos

7 palitos

4 palitos

1 palito

2 palitos

3 palitos

4 palitos

5 palitos

6 palitos

7 palitos

8 palitos

Fonte: Acervo próprio da autora.

Observa-se que na coluna referente ao total de palitos retirados o número cinco

sempre é um total possível de retiradas. Então, com A iniciando o jogo com treze

palitos dispostos, pode-se formar no decorrer do jogo dois grupos com cinco palitos

retirados, os quais incluem a retirada dos dois jogadores. Nota-se que, ainda restam

três palitos a serem retirados. Assim, A precisa iniciar retirando dois dos três palitos

restantes, pois o último deve ser deixado para B. Quando B jogar A deverá

completar o grupo de cinco. Por exemplo, se B retirar um palito, A deve retirar quatro

palitos assim sucessivamente. Representamos, abaixo, a situação descrita em uma

linguagem matemática.

Podemos dizer que 35213 +⋅= . Note que o resto deve ser divido em duas

jogadas. Uma jogada para A, retirando dois palitos, e, outra para B, retirando o

último. Concluímos, então, que a estratégia vencedora para A vencer é o mesmo

iniciar a partida retirando dois palitos e seguir completando os grupos de cinco.

Logo, o último palito será deverá ser retirado por B.

3.3.3.3.2 Teorema de Bouton

Para a segunda versão a estratégia vencedora do jogo NIM está relacionada ao

Teorema de Bouton, que diz que em n pilhas, as posições vencedoras são aquelas

que verificam a equação 0....321 =⊕⊕⊕⊕nxxxx , onde

ix é o número de palitos da

fileira i e ⊕ é a soma NIM. A soma proposta na equação deve ser operada sobre a

36

representação dos ix em números binários, obedecendo a seguinte definição de

soma NIM:

011

110

101

000

=⊕

=⊕

=⊕

=⊕

O teorema assegura que a estratégia vencedora é aquela em que a soma

NIM oferece somente zeros em seu resultado.

Por exemplo, considerando a disposição dos palitos apresentada na Figura 12,

temos respectivamente, filas com sete, quatro e dois palitos. Convertendo estes

números inteiros para números binários, teremos a seguinte equivalência apontada

no Quadro 2:

Quadro 2 – Conversão para números binários

Número inteiro Número binário

7 111

4 100

2 10

Fonte: Acervo próprio da autora

Somando o número de palitos de cada fileira conforme a soma NIM, temos:

001

10

100

111

⊕

O objetivo do jogador será transformar esta soma a fim de encontrar como

resultado 000. Há três hipóteses possíveis que o jogador pode pensar, conforme

verificamos no Quadro 3.

Quadro 3: Possibilidades de soma NIM Zero 1ª hipótese: para zerar o elemento 1 ( )2001 pode-se

transformar o ( )2111 da 1ª fileira em ( )2110 . Logo, o

primeiro jogador deve retirar apenas um palito dessa

fileira. 000

10

100

110

⊕

37

2ª hipótese: para zerar o elemento 1 ( )2001 pode-

se transformar o ( )2100 da 2ª fileira em ( )2101 . Logo,

esta fileira deveria passar a ter cinco palitos ao

invés de quatro. 000

10

101

111

⊕

3ª hipótese: para zerar o elemento 1 ( )2001 pode-se

transformar o ( )210 da 3ª fileira em ( )211 . Logo, esta

fileira deveria passar a ter três palitos ao invés de dois. 000

11

100

111

⊕


Analisando as hipóteses acima, verificamos que somente a primeira delas pode

ser utilizada na busca da vitória da partida do jogo. Pois, para a realização da

segunda e da terceira hipóteses seria necessário acrescentar palitos, o que não é

possível, visto que as regras do NIM determinam que palitos devam ser retirados e

não acrescentados. Logo, passaríamos a ter fileiras com seis, quatro e dois palitos

respectivamente. O jogador que iniciou a partida deverá esperar a jogada de B para

elaborar uma nova jogada. Como exemplo, vamos supor que B retire da segunda

fileira dois palitos. Convertendo estes novos números inteiros para números binários,

teremos a seguinte equivalência apontada no Quadro 4:

Quadro 4: Conversão para números binários

Número inteiro Número binário

6 110

2 10

2 10


Somando o número de palitos de cada fileira conforme a soma NIM, temos:

100

10

10

110

⊕

38

O objetivo do jogador A será, novamente, transformar esta soma a fim de

encontrar como resultado 000. Através da soma NIM, há possibilidade existente é o

jogador retirar todos os palitos da primeira fileira, conforme ilustra o Quadro 5.

Quadro 5: Possibilidades de soma NIM Zero

1ª hipótese: para zerar o elemento 1

( )2100 pode-se transformar o ( )2110 da

1ª fileira em ( )200 . Logo, esta fileira

passaria a não ter mais palitos.

Situação atual:

100

10

10

110

⊕

Hipótese:

00

10

10

00

⊕


Assim, se B retirar um palito de uma fileira, o jogador A retira dois palitos da

outra, e, se B retirar dois palitos de uma fileira, A retira somente um da outra. Em

ambas as possibilidades ficará o último palito para B retirar e A será o vencedor.

Então, concluindo, para vencer a partida proposta acima com treze palitos

dispostos conforme a Figura 12, o primeiro jogador deverá retirar inicialmente um

palito da primeira fila, e, após, esperar a jogada de seu adversário para que, em

seguida, ele volte a pensar em uma estratégia utilizando a soma NIM, para chegar-

se ao resultado 000. Ressaltamos que para cada quantidade de palitos propostas no

jogo as hipóteses serão as mesmas, contudo as suas conclusões podem variar, uma

vez que a estratégia é chegar à soma NIM.

3.3.3.4. Adaptações do NIM

A seguir, apresentaremos adaptações do NIM, sendo elas o jogo dos 7 Círculos

e o da Corrente, os quais serão aplicados no sujeito A no decorrer desta pesquisa.

39

3.3.3.4.1Jogo dos 7 círculos

O jogo dos 7 círculos, uma adaptação mais simplificada do NIM, que possui

como objetivos: desenvolver habilidades de raciocínio indutivo e dedutivo; trabalhar

técnicas de resolução de problemas e desenvolver habilidades de percepção

espacial (BORIN, 1998). Este jogo é destinado a duplas e é disputado em um

tabuleiro formado por sete círculos, conforme ilustra a Figura 13.

Figura 13: O tabuleiro do jogo dos 7 círculos. Fonte: Imenes; Jakubo; Lellis, [2000?], p. 10.

Os jogadores jogam alternadamente. Cada um, na sua vez, coloca a sua marca

em um circulo qualquer ou em dois círculos desde que estejam lado a lado. Vence o

jogador que colocar a sua marca no último circulo do tabuleiro.

Há duas possibilidades de estratégia vencedora deste jogo: uma é utilizando a

divisão e a outra utilizando a simetria. Em ambas as estratégias a serem

apresentadas, utilizaremos os jogadores A e B, onde A é quem inicia as partidas.

Pelo uso da divisão, o jogador pode pensar as seguintes possibilidades de

jogadas, apresentadas no Quadro 6.


Jogador A

marcar:

Jogador B

pode marcar:

Total de círculos

marcados:

1 círculo 1 círculo

2 círculos

2 círculos

3 círculos

2 círculos 1 círculo

2 círculos

3 círculo

4 círculos


40

Observa-se que na coluna referente ao total de círculos marcados o número

três sempre é um total possível de marcas. Então, com A iniciando o jogo, pode-se

formar no decorrer do jogo dois grupos com três círculos marcados, os quais incluem

a marcas dos dois jogadores. Nota-se que, ainda resta um circulo a ser marcado.

Assim, A precisa iniciar marcado este círculo que resta e seguir completando grupo

de três. Por exemplo, se B colocar a sua marca em um círculo, A deve marcar dois

círculos assim sucessivamente. Representamos, abaixo, a situação descrita em uma

linguagem matemática.

Podemos dizer que 1327 +⋅= . Note que o resto não pode ser deixado para o

adversário B marcar.

Concluímos, então, que a estratégia vencedora para A vencer é o mesmo

iniciar a partida marcando um circulo e seguir completando os grupos de três.

Utilizando-se da simetria, ao iniciar uma partida o jogador A tem duas

possibilidades: ou ele coloca a sua marca em apenas um círculo ou coloca em dois,

desde que estes estejam lado a lado.

Na primeira possibilidade, se o jogador A marcar apenas um circulo, o segundo

jogador, o jogador B, deve colocar a sua marca em dois círculos opostos ao circulo

marcado pelo jogador A, teremos a seguinte situação, como nos mostra a Figura 14.

Figura 14: A marca um e B maca dois círculos. Fonte: Borin, 1998, p. 45.

Se em sua segunda jogada o jogador A colocar a sua marca em dois círculos, o

jogador B marca os dois círculos restantes e vence a partida. Ou, caso o jogador A

decida colocar a sua marca em somente um círculo, o jogador B marcando somente

um circulo, oposto ao marco pelo jogador A, também será o vitorioso, visto que será

ele o marcador do último círculo.

Já na segunda possibilidade, se o jogador A marcar dois círculos, o B deve

colocar a sua marca em somente um circulo, o qual deve ser oposto aos círculos

marcados por A, conforme nos mostra a Figura 15.

41

Figura 15: A marca dois e B marca um circulo. Fonte: Borin, 1998, p. 45.

Se em sua jogada o jogador A colocar a sua marca em dois círculos, o jogador

B deve marcar os dois círculos restantes e, assim, tornar-se o campeão. Ou, se

jogador A resolve marcar apenas um circulo, cabe ao jogador B marcar somente um

círculo também, desde que o mesmo seja oposto ao último círculo marcado por A.

desta forma, o jogador B será, também, o vitorioso da partida.

Logo, com a simetria, a estratégia vencedora para o jogo dos 7 círculos é ser

sempre o segundo a jogar.

3.3.3.4.2 Jogo da Corrente1

Este jogo estratégico, destinado para duplas, é também uma adaptação do

NIM. Além de objetivar-se a desenvolver habilidades de raciocínio indutivo e

dedutivo e trabalhar técnicas de resolução de problemas, ele visa, também, que o

jogador relacione a estratégia vencedora a uma operação aritmética (BORIN, 1998).

O jogo da Corrente é praticado em um tabuleiro conforme a Figura 16.

Figura 16: O tabuleiro do jogo da corrente Fonte: Borin, 1998, p. 85.

1 Adaptação de Borin, 1998.

42

Neste jogo, assim como no jogo dos 7 círculos e no NIM, os jogadores jogam

alternadamente. Cada um, na sua vez, deve colocar sua marca no mínimo um elo e

no máximo em quatro elos da corrente. Contudo deve-se obedece a certa ordem. Os

elos da corrente devem ser preenchidos um após o outro, do inicio em direção ao

último. Vence o jogador que não colocar a sua marca no último elo.

A estratégia vencedora do jogo da corrente está relacionada à divisão, mais

especificamente, assim como o NIM, com o Algoritmo de Euclides, como

mostraremos a seguir. Sejam dois jogadores A e B, onde A inicia a partida.

Analisando as possibilidades de jogo, temos que se A marcar um elo, B pode marcar

um, dois, três ou quatro; se A marcar dois elos, B pode marcar um, dois, três ou

quatro elos. E, assim, sucessivamente, como nos o Quadro 7.


Jogador A

marca:

Jogador B

pode marcar:

Total de elos

marcados

1 elo

1 elo

2 elos

3 elos

4 elos

2 elos

3 elos

4 elos

5 elos

2 elos

1 elo

2 elos

3 elos

4 elos

3 elos

4 elos

5 elos

6 elos

3 elos

1 elo

2 elos

3 elos

4 elos

4 elos

5 elos

6 elos

7 elos

4 elos

1 elo

2 elos

3 elos

4 elos

5 elos

6 elos

7 elos

8 elos


43

Observa-se que na coluna referente ao total de elos marcados o número cinco

sempre um total possível. Então, podem-se formar no decorrer do jogo três grupos

com cinco marcas, as quais incluem os dois jogadores. Como o tabuleiro possui

dezenove elos, ainda restam quatro elos a serem marcados. Considerando que o

ultimo elo deve ser marcado pelo adversário B então cabe ao jogador A marcar os

três primeiros elos da corrente e seguir fechando grupos de cinco a partir das

jogadas de B. Representamos, abaixo, a situação descrita em uma linguagem

matemática.

Podemos dizer que 45319 +⋅= . Note que o resto quatro deve ser repartido em

dois grupos, no qual uma marca será deixada para o final e as demais para o inicio.

Concluímos, então, que para o jogador A ser o vitorioso o mesmo é quem deve

iniciar a partida marcando os três primeiros elos e seguir completando os grupos de

cinco. Por exemplo, se após A iniciar o jogo marcando os três primeiros elos, B

marcar dois elos, A deverá marcar somente três elos para formar o primeiro grupo

de cinco.

44

4 ENTRESVISTA

Apresentamos a entrevista realizada com o sujeito participante desta

pesquisa, a qual é sucedida de uma analise por parte do investigador. Para uma

melhor identificação dos relatos que aparecerão neste texto, denominamos o sujeito

e o pesquisador como S e P respectivamente:

4.1 Roteiro de entrevista

Com o objetivo de conhecer o sujeito participante de nosso Estudo de Caso,

foram realizadas as seguintes perguntas:

P: Quantos anos você tem?

S: Tenho 12 anos.

P: Em que série você está?

S: Estou na 6ª série.

P: Com quantos anos você entrou para a escola?

S: Sete anos.

P: Você possui dificuldades em entender a matemática apresentada na escola?

S: Sim!

P: E quando você percebeu que possuía estas dificuldades?

S: No ano passado, quando eu estava na 5ª.

P: Em qual matéria manifestou-se esta dificuldade?

S: Eu não conseguia entender frações, achava muito difícil.

P: E ainda acha difícil?

45

S: Um pouco.

P: E este ano, em que matéria você teve mais dificuldades?

S: Este ano eu tive dificuldades em lembrar os sinais na divisão e na multiplicação.

P: Em relação a equações com uma variável você sentia dificuldades também?

S: Só quando envolvia frações.

P: E este ano você ainda sentiu dificuldades com frações?

S: Sim!

P: Sua escola oferece aulas de reforço?

S: Oferecia, mas não oferece mais porque a escola está em obras e não tem

professor para o reforço.

P: Era no turno inverso?

S: Sim!

P: Era o professor de matemática da turma que ministrava estas aulas?

S: Não! Tinha um professor só para isso.

P: Seu (sua) professor (a) deste ano utiliza (ou) jogos no decorrer das aulas de

matemática?

S: Uma vez só.

P: Que jogo era?

S: Foi um jogo de memória envolvendo frações.

P: Algum professor de séries anteriores utilizava jogos?

S: Não que eu me lembre.

P: O que você acha disso, ou seja, você gosta da idéia de utilizar jogos nas aulas de

matemática?

S: Eu gosto da idéia, porque acho que ia ser melhor a aprendizagem. O aluno ia

entender mais e seria melhor de entender também.

P: Como são dispostas as classes em sua sala de aula este ano?

S: Sentamos em duplas.

P: Vocês possuem espelho de classe?

S: Sim, mas a turma não respeita muito.

P: Como é o comportamento da turma, em geral?

S: Conversa muito.

P: E o que você acha disso?

S: Atrapalha de a gente escutar e entender melhor as explicações.

P: Você senta em que local da sala de aula?

46

S: Meu lugar é na fila do meio, na terceira classe.

P: Seu (sua) professor (a) de matemática explica bem os conteúdos?Você consegue

compreender bem?

S: Até que ela explica, mas eu na entendo muito bem.

P: Como são as aulas de seu (sua) professor (a) de matemática? Que materiais são

utilizados?

S: Ela dá exemplos no quadro e depois manda a gente fazer exercícios do livro.

4.2 Análise da entrevista

O sujeito participante dessa pesquisa é um aluno de doze anos que está

cursando a sexta série do ensino fundamental. Informamos que o mesmo, até o

momento, não repetiu nenhuma série do ensino. O aluno apresenta certa dificuldade

em matemática, a qual se manifestou na quinta série com as frações. Observamos

que, na sexta série, a dificuldade de nosso sujeito com frações permanece, porém

acrescentada da regra dos sinais envolvendo a divisão e a multiplicação. Através da

entrevista, podemos observar que a professora de matemática do aluno ministra

aulas tradicionais utilizando o livro didático como recurso pedagógico. O aluno

freqüent uma turma bastante barulhenta e o mesmo acredita que isso dificulta sua

aprendizagem, mesmo não ocupando um lugar muito ao fundo da sala de aula.

Em relação ao uso de jogos nas aulas de matemática, o aluno informa que,

somente uma vez, este ano, foi utilizado em sala de aula. O jogo aplicado foi

memória e envolvia frações. O aluno defende a idéia da utilização de jogos no

decorrer das aulas, pois ele acredita que, com este recurso, a matemática seria

melhor compreendida.

47

5 APLICAÇÕES DOS JOGOS, INTERVENÇÕES DIDÁTICAS E ANÁLISES

Apresentamos, a seguir, a aplicação dos jogos envolvidos nesta pesquisa

bem como as intervenções didáticas realizadas por parte do pesquisador.

5.1 Jogo dos 7 Círculos

Inicialmente o pesquisador apresentou o jogo ao sujeito expondo as suas

regras. Após propôs que ambos jogassem a fim de conhecer melhor o jogo dos 7

Círculos. O sujeito sugeriu que o pesquisador iniciasse a jogada. Inicie a partida

marcando apenas um círculo, e, em seguida o sujeito também marcou um círculo.

Em minha segunda jogada assinalei dois círculos, deixando três para o sujeito.

Destes, ele assinalou dois e eu o terceiro, vencendo assim esta primeira partida. A

Figura 17 mostra o tabuleiro ao final da partida. Informamos que as jogadas

marcadas com as letras D e I representam o pesquisador e o sujeito

respectivamente.

48

Figura 17: 1ª partida do jogo dos 7 Círculos. Fonte: acervo próprio da autora.

Dando seqüência ao trabalho, perguntei ao sujeito:

P: Você acha que se tivesse analisado melhor cada jogada teria vencido esta

partida?

S: Pode ser que sim!

P: O que você teria feito de diferente?

S: Na minha primeira jogada eu teria marcado dois círculos.

P: Você acha que se fosse um número par de círculos você teria vencido o jogo?

S: Só se fossem seis círculos, que daí eu teria marcado os dois últimos e não

sobrariam círculos para você. Mas, se fossem oito, daí ao invés de marcar apenas

um você teria marcado dois e teria vencido do mesmo jeito.

Diante das respostas do sujeito, propus a segunda partida. Ele iniciou

marcando dois círculos, e, em seguida, marquei um. Em sua segunda jogada o

sujeito assinalou um círculo, deixando três círculos disponíveis, dos quais coloquei a

minha marque em dois. Logo, o sujeito venceu, e, finalizando a partida,

representada na Figura 18, questionei-o.


49

P: Você acha que venceu por ter uma estratégia de jogo ou por pura sorte?

S: Acho que venci porque pensei um pouco.

P: No que você pensou?

S: Pensei que eu tinha que marcar mais círculos que você e que no final tinha que

fiar três círculos para você escolher qual marcar.

P: Se ao invés de 7 círculos fossem 6, você utilizaria as mesmas estratégias de

jogadas?

S: Não. Porque daí você iria marcar os dois últimos e venceria.

P: E se fossem 5 círculos?

S: Deixa-me ver!

Neste momento o aluno desenhou ao lado um tabuleiro ao lado e daí a seguinte

resposta.

S: Sim, dava certo também! Se eu começasse marcando dois círculos destes então

já restariam três e daí na minha segunda jogada eu já ia conseguir marcar o ultimo.

P: Você acha que quem inicia o jogo leva alguma vantagem?

S: Sim!

P: Por quê?

S: Porque quando você iniciou você ganhou, e quando eu comecei também ganhei.

Observamos que o sujeito faz importantes afirmações em relação às jogadas,

contudo nota-se que ele analisa somente o final das jogadas, as quais devem restar

três círculos para seu adversário marcar. Em relação ao fato de vencer a partida

quem a inicia, nota-se, também, que ele associou tal fato as duas jogadas

disputadas, onde quem iniciou venceu. Propus, então, para que partíssemos para a

terceira partida, a fim de que ele analisasse se suas respostas seriam válidas em

todos os momentos de qualquer jogo. Nesta nova partida, novamente, o sujeito foi

quem iniciou marcando dois círculos, e, seqüencialmente eu marquei dois também.

Logo, restaram três círculos para ele escolher quais marcar. Como ele assinalou

dois, ficou o último para que eu marcasse e, assim, venci esta partida. Finalizando a

partida, representada pela Figura 19, o sujeito disse:

“Acho que eu estava errado em duas coisas: nem sempre quem inicia jogando

vence, e nem quem tem mais círculos marcados vence também. O segredo é jogar

de uma maneira que fique três círculos para o adversário escolher quantos ele vai

50

marcar. Se ele marca um eu marco os dois último, e, se ele marca dois eu marco só

o último.”


P: Você já chegou a conclusão que não é necessariamente quem inicia que vence o

jogo, mas sim aquele jogador que consegue deixar três círculos para seu adversário

assinalar. Analisando os tabuleiros das partidas disputadas até o momento, você

consegue ver uma estratégia para conseguir deixar estes três últimos círculos para o

adversário?

Neste momento, o sujeito começou a levantar algumas hipóteses, tais como:

“Se eu começar marcando dois círculos, ela pode marcar dois também e acontecer

de sobrar os três círculos para mim. Então não dá!

Agora, se eu iniciar marcado um, você pode marcar um ou dois. Se você marca um,

eu posso marcar dois e daí resta três círculos para você. E, se você marca dois daí

eu marco um e ficam três para você também.”

P: O que você conclui?

S: Que para vencer é necessário iniciar o jogo marcando só um circulo e ai analisar

a suas jogadas para ver quantos eu devo marcar.

P: Você consegue ver alguma matemática nesta sua estratégia?

S: Olha, eu pensei bastante! Minha professora de matemática diz que matemática é

também o raciocínio e não só contas.

Diante da ultima resposta do sujeito, observamos que a matemática escolar

oferecida atualmente faz referencia ao raciocínio lógico do aluno. Em seguida, sugeri

51

que realizássemos a quarta partida para ele verificar se utilizando a sua estratégia

venceria. A partida foi realizada da seguinte forma: o sujeito iniciou marcando

apenas um círculo, e, em seguida marquei um também. Logo, ele marcou dois,

deixando três círculos para que eu escolhesse qual assinalar. Escolhidos os meus

dois, ele marcou o ultimo, vencendo o jogo. O tabuleiro representado na Figura 20,

nos mostra como a partida finalizou.


Finalizando a aplicação do jogo dos 7 Círculos, as seguintes perguntas foram

realizadas ao nosso sujeito:

P: Sua estratégia deu certo?

S: Sim, quem iniciar jogado deve sempre marcar um circulo e, depois, esperar as

reações do adversário, marcando sempre o contrário das jogadas dele.

P: Você consegue visualizar, agora, alguma operação matemática?

S: Olhando os tabuleiros todos, eu acho que a de dividir pode ajudar.

P: Por quê?

S: A gente tem sete círculos e dois jogadores. Se dividir os círculos entre eles, cada

um terá a sua marca em três e o que sobra é o vencedor que marca. Mas para isso

ele tem que começar jogando.

Após a descoberta da estratégia vencedora, o jogo perde seu sentido.

Partimos então, para a realização do jogo da corrente descrita abaixo.

52

5.1.1 Análise

Em relação à primeira partida disputada observamos que o sujeito,

simplesmente, joga por jogar, pois ele ainda não percebe que há uma estratégia

para vencer este jogo visto que fator sorte não é descartado, por ele, para a vitória

da partida. Contudo, ele acredita que sua derrota está relacionada ao fato de ter

iniciado marcando somente um círculo ao invés de dois. Em relação ao número de

círculos, quando o sujeito diz, em relação à uma possível vitória, que: “Só se fossem

seis círculos, que daí eu teria marcado os dois últimos e não sobrariam círculos para

você. Mas, se fossem oito, daí ao invés de marcar apenas um você teria marcado

dois e teria vencido do mesmo jeito”, observamos que o mesmo está atento ao jogo

e compreende que dependeria da quantidade de círculos para que ele pudesse ter

vencido.

Já no decorrer da segunda partida, o sujeito percebe que teve que pensar nas

jogadas para vencer. Quando nosso sujeito relata que “Pensei que eu tinha que

marcar mais círculos que você e que no final tinha que fiar três círculos para você

escolher qual marcar”, percebemos que o mesmo ainda não deduziu a jogada inicial

da estratégia vencedora deste jogo. Contudo, sua hipótese de deixar três círculos no

final é de grande valia para a descoberta de tal estratégia. A partir disso, o sujeito

consegue concluir que, para cinco círculos, o pensamento para se chegar a vitória é

o mesmo. Observamos que o sujeito faz importantes afirmações e deduções,

mesmo analisando somente o final das partidas.

A idéia de que vence quem inicia e coloca mais marcas no tabuleiro é

modificada no sujeito a partir da terceira partida, quando foi o mesmo inicia a partida

e ao final do jogo coloca mais marcas que o pesquisador, e, mesmo assim é

derrotado. Neste momento fica claro ao sujeito que é necessário analisar as muito

bem as jogadas, pois é de extrema importância que restem somente três círculos no

final para o adversário escolher. A terceira partida foi um momento muito importante

da aplicação do jogo dos 7 círculos, pois foi através dela que o sujeito começou a

levantar hipóteses e analisá-las. Durante esse processo, observamos que a

matemática escolar oferecida ao nosso sujeito faz referencia ao raciocínio lógico

também.

53

Foram necessárias quatro partidas para que nosso sujeito descobrisse a

estratégia vencedora do jogo dos 7 círculos. Após testar as suas hipóteses o mesmo

conseguiu visualizar a divisão dentro da estratégia vencedora do jogo.

5.2 Jogo da Corrente

Após a aplicação dos 7 Círculos, foi o momento de apresentar ao sujeito o

Jogo da Corrente. Em um primeiro momento, joguei com ele a fim de apresentá-lo a

tal jogo. Em relação às jogadas o x representa as do sujeito e o circulo as do

pesquisador. Como fui vencedora da partida, conforme mostra a Figura 21, realizei

as perguntas abaixo ao sujeito a fim de verificar a primeira impressão que o mesmo

teve de tal jogo.

Figura 21: 1ª partida do jogo da Corrente. Fonte: acervo próprio da autora.

P: Você acha que se tivesse analisado melhor cada jogada teria vencido?

S: Eu acho que sim!

P: O que você teria feito de diferente?

S: Eu teria marcado só até aqui (referindo-se ao 13º elo). Porque, daí, mesmo que

você colocasse todas as possíveis marcas, eu teria chance de jogar sem precisar

marcar o último elo.

54

P: Você acha que se fosse um número par de elos compondo a corrente teria

vencido?

S: Acho que não teria feito diferença porque você podia ter marcado só até o

antepenúltimo elo, e, do mesmo jeito ficaria o último elo para mim.

Dando continuidade na atividade, e, visto que o sujeito já estava mais

familiarizado com a corrente, jogamos novamente. Nesta segunda partida foi ele

quem venceu, conforme podemos verificar na Figura 22. Finalizando a partida,

realizei os questionamentos abaixo:


P: Você acha que venceu por ter uma boa estratégia de jogo ou por pura sorte?

S: Acho que os dois. Tive sorte no começo, quando você marcou três, pois pensei

que se eu marcasse três elos também, você marcaria o 8º elo.

P: Como você pensou para vencer este jogo?

S: Que eu tinha que marcar o 8º ou o 9º elo.

P: Por quê?

S: Eu acho que tem a ver, pois você marcou antes e venceu.

P: E se eu tivesse marcado o 8º e o 9º elo, como você teria feito?

S: Bem, daí eu teria que ver as tuas jogadas para pensar em alguma coisa.

P: Você acha que quem inicia o jogo tem alguma vantagem?

S: Acho que não, depende das jogadas que o outro vai fazer.

Neste momento o sujeito começou a levantar algumas hipóteses para vencer.

Propus a ele que analisasse o tabuleiro e jogássemos a terceira partida a fim de

55

verificar se ele descobriria a estratégia por completa. Nesta terceira partida ele

tornou a vencer, conforme ilustra a Figura 23, e, voltei a questioná-lo.


P: Como você pensou para vencer este jogo?

S: Para eu vencer você tinha que marcar o último elo desta corrente. Então, eu vi

que se tivesse como eu marcar o elo 13, eu poderia vencer. Porque, daí, se você

marcasse um, eu marcaria quatro e você o último; se você marcasse dois, eu

marcaria três e você o último; se você marcasse três, eu marcaria dois e você o

último; e se você marcasse quatro, eu marcaria um e você o último. Foi isso que eu

pensei!

P: E como você fez para conseguir marcar o 13º elo? Que estratégia você usou?

S: Aí eu não usei estratégia nenhuma. Acho que a sorte me ajudou para que eu

conseguisse marcar ele.

O aluno havia chegado a uma importante conclusão, contudo ele ainda estava

relacionando a sorte com as jogadas iniciais. Sugeri a ele que jogássemos a quarta

partida, pois então ele poderia continuar analisando o que estava pensando na

partida anterior.

E, desta vez, o aluno levantou algumas hipóteses, tais como:

“Bem, se eu conseguisse marcar o elo 8 e continuasse fazendo que nem antes,

eu ia conseguir marcar o elo 13 e depois o elo 18. Eu venceria de novo!”

56

Perguntei a ele como faria para ter a certeza de que ia conseguir marcar o 8º

elo. Ele disse que se marcasse o elo 3 e usasse a estratégia que vinha pensando

até o momento seria o vencedor de novo.

Partimos então para a quarta partida, a qual o sujeito iniciou sua jogada

marcando três elos. Após a vitória do sujeito, finalizada com o tabuleiro apresentado

na Figura 24, o seguinte diálogo ocorreu:


S: Eu estava certo!

P: Depois de todas estas partidas, você ainda acha que quem inicia o jogo não leva

nenhuma vantagem? Por quê?

S: Claro que leva vantagem. Porque se você tivesse começado poderia ter marcado

o elo 3 e utilizado a minha estratégia.

P: Você ainda acha que o fator sorte está relacionado com a vitória deste jogo?

S: Agora eu não acho mais. É que eu não tinha analisado bem o jogo antes.

P: Como você descreve a estratégia que você utilizou?

S: Eu começo marcando três elos e depois é completar, com as minhas jogadas,

grupinhos de cinco marcas. Daí, o ultimo elo sempre fica para o outro jogador.

P: Se fosse um número par de elos compondo a corrente, você utilizaria a mesma

estratégia que usou com um número ímpar?

S: Acho que não, porque teria que ver se começando com três elos marcados eu

venceria, mas acredito que não.

P: Você acha que tem alguma matemática por trás dessa sua estratégia?Por quê?

57

S: Acho que sim! Ah porque os pedacinhos de cinco cabem três vezes dentro da

corrente e daí resta só quatro elos. E destes quatro elos eu marco o que der e deixo

o último para você marcar.

P: Que operação matemática você associou?

S: Bem, pensando quantas vezes cabe acho que aquela de dividir de novo, e,

depois, em relação ao quatro a de diminuir.

Finalizando a conclusão do aluno fiz a última pergunta, conforme segue:

P: Você percebe alguma semelhança do Jogo da Corrente com o dos 7 Círculos?

Qual? No que diferem?

S: Eles são parecidos sim. Nos dois a gente conclui que tem que pensar para

ganhar. Os dois trazem a idéia de colocar marcas. Só que no Jogo da Corrente a

gente pensa mais. Acho que isso porque ele é maior. Ah, outra coisa acho que é o

fato de dividir.

Diante das respostas obtidas do sujeito, observamos que o mesmo conseguiu

descobrir a estratégia vencedora do Jogo da Corrente sem encontrar muitas

dificuldades.

5.2.1 Análise

Já na primeira partida, o sujeito faz uma importante afirmação quando diz que

marcar somente até o 13º elo é importante para vencer. Contudo, o mesmo não

consegue, ainda, visualizar uma estratégia de jogo. Pois, o mesmo acredita que se

fosse um número par de elos compondo a corrente não mudaria em nada as

situações propostas.

No decorrer da segunda partida, observamos que o sujeito faz associações

com partidas anteriores quando refere-se a marcação do 8º ou do 9º elo.

Novamente, no jogo da Corrente, o sujeito analisa somente o final das jogadas. Com

isso, ele acredita que a sorte está relacionada com as jogadas iniciais.

Na terceira partida disputada, o sujeito continua analisando somente o final do

tabuleiro, contando com a sorte nas jogadas iniciais. Contudo, chega à importante

conclusão de que para vencer é necessário marcar o 13º elo. Após marcar este elo,

58

o sujeito analisa todas as possíveis jogadas de seu adversário e conclui que se o

adversário marcar da mínima a máxima possibilidade de jogada, ele deverá

completar estas jogadas de maneira a fechar a um grupo de cinco elos, deixando,

assim, o último para seu adversário.

Quando o sujeito diz: “Bem, se eu conseguisse marcar o elo 8 e continuasse

fazendo que nem antes, eu ia conseguir marcar o elo 13 e depois o elo 18. Eu

venceria de novo!”, observamos que o sujeito começa a visualizar a estratégia do

jogo da Corrente. Ao levantar esta hipótese ele foi em busca de como deveriam ser

as jogadas iniciais, analisando todas as possibilidades de jogadas de seu

adversário.

O nosso sujeito levantou hipóteses, que foram testadas na quarta partida, e,

assim, descobriu a estratégia vencedora do jogo.

O sujeito percebeu que era necessário formar três grupos de cinco elos. E, dos

quatro elos restantes ele concluiu que devia deixar um para o adversário e marcar

os outros três. O sujeito conseguiu visualizar, também, que esta estratégia é válida

para a corrente composta por dezenove elos somente. Caso contrário, o sujeito

acredita que teria que rever o início do jogo novamente.

Finalizando esta quarta partida, em que o sujeito descobriu a estratégia

vencedora observamos que a idéia de divisão foi trabalhada na construção dessa

estratégia, quando o sujeito utiliza o pensamento de quantas vezes cabe grupos de

cinco elos dentro da corrente.

A aplicação do jogo da Corrente é finalizada quando o sujeito relaciona-o com

o jogo dos 7 Círculos. O mesmo afirma que em ambos é necessário pensar em uma

estratégia para vencer, e, que em ambas as estratégias a divisão está relacionada.

5.3 NIM

A primeira versão a ser aplicada foi aquela em que os treze palitos estão

dispostos em uma única fileira. Onde o número mínimo a ser retirado é um, e, o

máximo quatro palitos.

59

Após a apresentação do NIM ao sujeito, iniciamos a primeira partida, a qual foi

iniciada pelo aluno, sujeito desta pesquisa. O aluno retirou quatro palitos, em

seguida retirei dois, após o sujeito retirou mais três e eu também, restando, assim,

apenas o último palito para o sujeito retirar, conforme ilustra a Figura 25. Após a

minha vitória no jogo, questionei-o:

Figura 25: 1ª partida da primeira versão no NIM Fonte: Acervo próprio da autora

P: Você acha que se tivesse analisado melhor cada uma de suas jogadas poderia

ter vencido a partida?

S: Acho que sim. Este jogo também deve ter um segredo né?

P: O que você teria feito diferente?

S: Ainda não sei.

P: Você acha que venci por sorte?

S: Acho que não. Deve haver alguma estratégia vencedora que eu vou descobrir.

Após estas respostas por parte do aluno, sugeri que o mesmo analisasse o

jogo e as suas possíveis jogadas, para ver se o mesmo conseguiria encontrar uma

estratégia vencedora. O sujeito pensou por um tempo e sugeriu que jogássemos

novamente. Partimos então para a segunda partida desta versão do NIM, a qual, a

pedido do sujeito foi para eu iniciá-la. Iniciei retirando dois palitos, em seguida o

Disposição inicial dos palitos

1ª jogada do sujeito 1ª jogada do pesquisador


60

sujeito retirou três. Em minha próxima jogada retirei apenas um palito e o sujeito

retirou quatro. Em minha jogada seguinte, retirei dois dos três palitos restantes

deixando o último para o sujeito, conforme podemos observar na Figura 26. Após

vencer esta partida, perguntei-lhe:


P: O que você pensou na tentativa de vencer este jogo?

S: Achei-o parecido com o jogo da Corrente, só que ao invés de marcar a gente tem

que retirar. Pensei que como se tem treze palitos e somos dois jogadores, cada um

pode retirar cinco palitos certamente. Mas não tô sabendo como trabalhar com estes

três palitos aqui que sobram.

Sugeri, então que partíssemos para a terceira partida, para que o aluno, no

decorrer do jogo, pudesse analisar as possibilidades existentes de encontrar a

estratégia vencedora. Antes de iniciar o jogo, algumas hipóteses foram levantadas

por parte do sujeito, conforme segue:

“O que fazer com estes três palitos restantes? Acho que se eu deixar um deles para

você marcar e eu marcar os outros dois são uma boa saída. Vamos ver!”


1ª jogada do pesquisador

1ª jogada do sujeito



61

Sucedendo este momento o jogo iniciou e transcorreu da seguinte forma: o

sujeito retirou dois palitos, e, após, o pesquisador retirou quatro palitos. Em seguida,

o sujeito retirou apenas um e o pesquisador três palitos, restando assim somente

três palitos a serem retirados. Finalizando o jogo, o sujeito retirou dois destes três

palitos deixando o último para o pesquisador. Logo, o sujeito foi o vitorioso. A Figura

27 ilustra cada jogada da partida em questão. Após essa vitória, realizei os

seguintes questionamentos:


P: Você venceu graças a sua estratégia de jogo?

S: Sim!

P: E qual foi ela?

S: Associei ela ao jogo da corrente, imaginei os palitos ao invés dos elos. Como as

jogadas mínimas e máximas eram iguais as do jogo da Corrente dava para se

formar dois grupos de cinco. E retirando estes dez palitos restavam três, dos quais

eu separei dois para a minha primeira jogada e um para você retirar e, assim, perder

o jogo.


S: Sim. Porque se você iniciasse retirando três palitos já ia terminar com minha

estratégia.





62

P: E se fosse um número par de palitos, você utilizaria a mesma estratégia?

S: Não. Porque, tipo, se fosse quatorze palitos, daí eu teria que começar tirando três

palitos ao invés de dois.

P: Você percebe alguma semelhança do NIM com os jogos anteriores?

S: Sim. Eles são bastante parecidos.

P: O que eles têm em comum?

S: Eles trazem a mesma idéia. Só que o dos 7 Círculos e o da Corrente é de marcar

e o NIM é de retirar. Mas em todos eles a gente tem como vencer sempre se souber

a estratégia necessária. E, também, em todos eles o ato de dividir está relacionado.

P: E no que eles diferem?

S: Eu acho que a diferença está no jogo da Corrente que é mais longo.

Diante do fato de o aluno ter descoberto a estratégia vencedora, partimos

então para a segunda versão do NIM, onde os treze palitos estão dispostos em três

fileiras, as quais compreendem sete, quatro e dois palitos cada uma delas. Ao jogar,

o jogador escolhe uma fileira e pode retirar de um a todos os palitos da mesma.

Após a apresentação desta versão ao aluno, propus a primeira partida, que foi

iniciada pelo pesquisador. A partida transcorreu da seguinte maneira: o pesquisador

iniciou retirando dois palitos da primeira fileira, a qual continha sete palitos. Em

seguida, o sujeito escolheu a fileira que tinha dois palitos e os retirou. Em sua

segunda jogada, o pesquisador retirou mais três palitos da mesma fileira que havia

escolhido anteriormente, restando, assim, somente dois palitos em tal fileira. Dando

seqüência ao jogo, o sujeito retirou os quatro palitos existentes na fileira do meio. E

finalizando o jogo, o pesquisador retirou um único palito da mesma fileira que em

que vinha jogando, deixando, assim, o último palito para que o sujeito retirasse. As

jogadas desta partida estão representadas na Figura 28 para uma melhor

visualização. Após a vitória do pesquisador, e, dando seqüência a aplicação desta

versão do NIM, os seguintes questionamentos, por parte do pesquisador foram

realizados.

63

Figura 28: 1ª partida da segunda versão no NIM Fonte: Acervo próprio da autora

P: Você acha que se tivesse analisado melhor suas jogadas teria vencido?

S: É bem provável, dei umas “viajadas” que fizeram você vencer.

P: O que você teria feito diferente?

S: Eu não teria retirado todos os palitos da fila na minha segunda jogada.

P: Por que você diz isso?

S: Porque, por exemplo, se eu tivesse retirado só dois, ficaria dois palitos em cada

fileira. E, daí, eu ia ter chance de ganhar.


S: Ainda não sei dizer!

Diante das respostas apresentadas pelo sujeito, propus a segunda partida,

ilustrada na Figura 29, a fim de que o mesmo analisasse melhor o jogo. Esta partida

foi iniciada pelo sujeito e ocorreu da seguinte forma: o sujeito retirou dois palitos a

fileira que continha quatro. Após, o pesquisador retirou todos os palitos existentes da

fileira que continha sete. Sucedendo este momento, o sujeito retirou um palito da

fileira que continha dois. Em seguida, o pesquisador retirou os dois palitos que






64

haviam sobrado da fileira em que o sujeito realizou a sua primeira joga, vencendo,

assim, esta partida, visto que restou apenas um único palito na fileira que

inicialmente continha dois.


Antes de realizar a sua segunda jogada, quando havia duas fileiras contendo

dois palitos cada uma, o sujeito disse:

“Bah! Acho que perdi de novo, mas agora entendi. Para vencer tem que ficar só

duas fileiras e analisar bem as jogadas do meu adversário.”

Devido a esta exclamação do sujeito, partimos para a terceira partida, a qual

ocorreu da seguinte maneira: o sujeito iniciou retirando os dois palitos existentes de

uma das fileiras. Em seguida, o pesquisador retirou três dos sete palitos contidos em

uma das outras fileiras, conforme ilustra a figura 30.




65


Não finalizando a partida, o sujeito disse: “Não acredito! Você venceu de novo.

Mas vamos jogar de novo? Desta vez eu vou vencer”

Conforme solicitado pelo sujeito, jogamos a quarta partida a qual foi precedida

de um breve estudo das jogadas por parte do sujeito, o qual levantou as seguintes

hipóteses:

“Bem! Se eu retirar três palitos desta fileira (a qual continha sete palitos), você pode

retirar estes dois palitos aqui (referindo-se a fileira que continha dois palitos) e daí

ficará duas filas iguais. Isso vai ajudar você a vencer! Mas acho que se eu começar

tirando um daqui (referindo-se a fieira de sete palitos) daí eu posso ganhar você.”

A fim de verificar as hipóteses do sujeito, iniciou-se a partida, que ocorreu

assim: inicialmente o sujeito retirou um palito da fileira de sete. Logo o pesquisador

retirou os dois únicos palitos existentes em uma das fileiras. Em seguida, o sujeito

retirou mais dois palitos da mesma fileira que havia jogado antes. O pesquisador,

por sua vez, retirou dois dos quatro palitos da fileira em que não havia sido retirado

palito ainda. O sujeito repetiu a sua jogada anterior, retirando mais dois palitos da

mesma fileira em que vinha jogando. Sucedendo o sujeito, o pesquisador retirou os

dois palitos restantes da mesma fileira em que havia jogado anteriormente.

Finalizando e vencendo o jogo, o sujeito retirou apenas um palito da fileira que

inicialmente continha sete, deixando o último palito para que o pesquisador retirasse,

conforme podemos verificar na Figura 31, o qual ilustra cada jogada.



66


Diante da vitória do sujeito e das hipóteses por ele formuladas, o seguinte

diálogo ocorreu:

S: Achei a estratégia deste jogo!

P: E que estratégia é esta?

S: Assim ó: para vencer é preciso iniciar o jogo e jogar sempre deixando números de

palitos iguais.

P: Como assim deixando números de palitos iguais?







67

S: Eu quis dizer que, por exemplo, se tem quatro palitos em uma fileira e seis na

outra e sendo a minha vez de jogar, eu tenho que retirar dois para ficar quatro nas

duas. Agora, se tivesse, por exemplo, duas filas com um palito cada uma e a outra

fila com quatro palitos, daí eu tinha que retirar três desta fila com quatro, porque, daí,

ia ficar um palito em cada uma. Você ia retirar de uma, eu de outra e o último ia ficar

para você de novo.

P: Das duas versões do NIM que jogamos qual a diferença entre elas?

S: Na primeira a gente usa mais a matemática no sentido de calcular e analisar as

jogadas de quem joga com você. E nesta versão é só usar a lógica e também estar

atento nas jogadas da pessoa que joga junto.

5.3.1 Análise

Em relação à primeira versão do NIM, já na primeira partida o sujeito já deduz

que há uma estratégia vencedora, porém ainda não sabe qual é.

No decorrer da segunda partida, quando o sujeito diz: “Achei-o parecido com o

jogo da Corrente, só que ao invés de marcar a gente tem que retirar. Pensei que

como se tem treze palitos e somos dois jogadores, cada um pode retirar cinco

palitos certamente. Mas não tô sabendo como trabalhar com estes três palitos aqui

que sobram”, percebemos, neste momento, que o sujeito produz um raciocínio

rápido e utiliza-se de associações para buscar uma estratégia que o leve a vitória.

Antes de iniciar a terceira partida, o sujeito começa a levantar hipóteses em

relação aos palitos que sobram da divisão. E, finalizando a partida, ele já encontra a

solução do problema. O sujeito, assim como no jogo da Corrente, pensou que podia

fechar dois grupos de cinco palitos retirados, incluindo tanto retiradas do adversário

quanto suas, e do resto apresentado ele separou um palito para o adversário e

iniciou retirando dois.

Finalizando a aplicação desta primeira versão do NIM, observamos que sujeito

consegue claramente associá-lo com os jogos anteriores. Em relação à idéia que os

jogos trazem, ele afirma que o NIM é o único que devemos retirar palitos enquanto

nos outros colocamos marcas. Mas, o fator de mais relevância é que o sujeito

68

conseguiu perceber a divisão envolvida na busca da estratégia de cada jogo.

Observamos, também, que o aluno possui um cálculo mental bem aguçado, embora

possua dificuldades com a matemática oferecida na escola.

Já em relação à segunda versão apresentada do NIM, observamos que da

primeira partida realizada o sujeito somente conheceu melhor o jogo.

No decorrer da segunda partida o sujeito acredita ter encontrado a estratégia

vencedora desta versão do NIM. Nesta partida notamos que o sujeito é bastante

observador.

Na terceira partida o sujeito está convicto de que vai vencer, contudo é

derrotado novamente. Fato este que o estimulou a jogar uma nova partida.

Foi neste momento, antes de iniciar a quarta partida, que o sujeito analisou os

palitos dispostos e começou a levantar algumas hipóteses, baseando-se que uma

das possibilidades para vencer será deixar duas filas de palitos iguais para uma

nova jogada do adversário.

Finalizando a partida que o sujeito venceu, o mesmo deduziu que era

necessário deixar fileiras com números iguais de palitos. Observamos que mesmo

sem perceber, o sujeito trabalha com o Teorema de Bouton, quando a soma NIM

destas fileiras será igual a zero. Pois, em sua primeira jogada, ele deixa seis, quatro

e dois palitos respectivamente em cada fileira. Convertendo estes números para o

sistema binário, temos 110, 100 e 10 respectivamente. Realizando a soma de tais

números e obedecendo a soma NIM, temos;

000

10

100

110

⊕

Já em sua segunda jogada, o sujeito deixa, em cada uma das duas fileiras,

quatro palitos, formando, assim, uma jogada segura conforme o Teorema de Bouton,

pois, convertendo estes números para o sistema binário e realizando a soma NIM,

temos:

000

100

100

⊕

E, em sua terceira e última jogada, o sujeito deixa apenas dois palitos nas duas

fileiras agora existentes. E, novamente é uma combinação segura, pois segundo o

69

raciocínio do Teorema de Bouton, temos que o número 2 em binário é representado

por 10 e a soma NIM resultará em zero, conforme observamos abaixo:

00

10

10

⊕

Contudo o sujeito não conseguiu visualizar que também é possível vencer sem

que haja números iguais de palitos nas fileiras.

Em relação às duas versões apresentadas do NIM, o sujeito conseguiu

perceber a diferença entre elas quando relata que na primeira utilizamos a divisão

na busca da estratégia vencedora, e, na segunda além de observar atentamente as

jogadas do adversário é necessário, antes de qualquer coisa, o raciocínio lógico.

70

6 CONCLUSÃO

Conforme apresentado no Capitulo Teórico, os jogos estratégicos são

importantes para a formação do raciocínio matemático, pois exigem dos jogadores

atenção e concentração acima de tudo. Na busca da estratégia vencedora, o jogador

defronta-se com a resolução de pequenos problemas, trabalhando assim seu

pensamento. Assim, Borin (1998, p. 15) afirma que “a meta principal deste tipo de

jogo é propiciar oportunidades para o desenvolvimento do raciocínio lógico”.

Em relação a elaboração da estratégia vencedora de cada jogo, vimos que o

sujeito foi construindo-a aos poucos. A cada nova partida hipóteses eram levantadas

e testadas. Mas, em um contexto geral, nosso sujeito que apresenta dificuldades em

matemática, teve um bom desempenho na busca de tais estratégias. Lembramos

que após a aplicação do jogo dos 7 Círculos e o da Corrente, o sujeito não

encontrou dificuldades em encontrar a estratégia vencedora da primeira versão do

NIM, relacionada a divisão. Observamos que o sujeito possuía facilidade em

trabalhar com o cálculo mental, embora, determinadas vezes, sentiu dificuldades em

explicar o que estava pensando em determinada jogada.

Em relação as duas versões apresentadas do NIM, nosso sujeito acreditava

que, na primeira, a estratégia vencedora estava relacionada com a divisão e, na

segunda, com o raciocínio lógico apenas, onde seria necessário aguardar a jogada

do adversário para pensar em uma nova jogada que fosse segura.

Conforme o aluno jogava, ele realizava associações com partidas anteriores.

Quando jogou a primeira versão do NIM, rapidamente associou-a com o jogo da

corrente.

Finalizando os jogos, nosso sujeito conseguiu perceber a semelhança entre

eles desde a estratégia vencedora de cada um até a idéia central de cada jogo.

71

Diante dos fatos apresentados acima, acreditamos que nossa hipótese foi

validada, ou seja, os jogos adaptados podem sim contribuir diretamente na

descoberta da estratégia vencedora do NIM da primeira versão, além de fazer

perceber a diferença com a estratégia do NIM da segunda versão.

O fato que mais nos chamou a atenção foi o cálculo mental do sujeito, o qual

deveria ser mais bem aproveitado e trabalhado nas escolas, no decorrer das aulas

de matemática. Como os demais jogos estratégicos, o NIM trabalhou com o

raciocínio, a criatividade e o pensamento independente do nosso sujeito, bem como

com a atenção e concentração do mesmo.

Ainda ficam as seguintes indagações voltadas à educação matemática

envolvendo jogos estratégicos: Será que um trabalho realizado em sala de aula, em

pequenos grupos ou em duplas, utilizando jogos estratégicos poderia contribuir na

aprendizagem matemática? O NIM aplicado por um determinado período em alunos

do ensino regular poderia auxiliá-los no desenvolvimento de seu pensamento,

aguçando, assim, o raciocínio lógico de cada um?

Neste trabalho um aluno com dificuldades em matemática estudou e avaliou

hipóteses em busca de uma estratégia. Com isso, esperamos que esta pesquisa

tenha contribuído, de alguma forma, para estudos envolvendo a construção do

conhecimento. Pois, conforme afirma Freire, “a alegria não chega apenas no

encontro do achado, mas faz parte do processo da busca. E ensinar e aprender não

pode dar-se fora da procura, fora da boniteza e da alegria”.

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REFERÊNCIAS

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73

Estadual de Campinas, 1995. Disponível em: <http://biblioteca.universia.net/ficha.do?id=12094523>. Acesso em: 05 ago. 2008. GROENWLAD, Claudia Lisete Oliveira; TIMM, Ursula Tatiana. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula. Coimbra: Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade de Coimbra, 2006. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos.php?pag=4 > . Acesso em: 31 jul. 2008. MANZANO, Antonio López; VILA, Joan Segura. Iniciação ao Xadrez. 6 ed. Porto Alegre: Artmed, 2002. MELO, Carlos Alberto V. Jogo do NIM – um problema de divisão. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 6, p. 47, 1985. MONTE NETO, Luiz Dal. Semeadura Lúdica. História, características e regras dos jogos “Mancala”. Revista Superinteressante. Abril, 1992. Disponível em: <http://super.abril.com.br/superarquivo/1992/conteudo_113183.shtml>. Acesso em: 08 set. 2008. MISSAWA, Daniela Dadalto Ambrozine; ROSSETI, Claudia Broetto. Desempenho de crianças com e sem dificuldades de atenção no jogo mancala. Espírito Santo, Universidade Federal do Espírito Santo, 2008. RAGUENET, Inez Freire; BARRÊDO, Márcia Kossatz. A teoria matemática do jogo NIM. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 6, p. 48 – 51, 1985. SARTINI, Brígida Alexandre, et al. Uma introdução a teoria dos jogos. II Bienal da SBM. Bahia: Universidade Federal da Bahia, 2004. SIMA, Gabriel K. Projeto: África e Brasil: conhecendo ontem, trabalhando hoje e construindo o amanhã. São Paulo. E E Dr. Genésio de Almeida Moura. Disponível em: <denorte1.edunet.sp.gov.br/cht/projetos/Prof.Gabriel_Sima.doc>. Acesso em: 24 nov. 2008. YIN, Robert K. Estudo de Caso: Planejamento e Métodos. 2 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.

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