JACOBIANO DE UNA FUNCION

Dada una integral doble de una funcin F(x, y) definida en un dominio Dxy, es posible realizar un cambio de variables para otro dominio Duv de la siguiente manera: Sustituimos x por una funcin H(u, v), e y por otra funcin G(u, v). Entonces la integral doble resultar

J se denomina Jacobiano, y resulta de resolver un determinante formado por las derivadas parciales de las funciones H y G.

Coordenadas Polares En ciertas ocasiones, la descripcin de los dominios de integracin en coordenadas rectangulares resulta ms bien complicada, y se simplifica si los definimos en coordenadas polares. Supongamos un punto genrico (x, y) dentro de un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Si trazamos un segmento r desde el origen de coordenadas hasta el punto (x, y), podemos determinar un vector que forma un ngulo t con el eje de las x.

Entonces tenemos a x e y como coordenadas rectangulares, y a r y t como coordenadas polares, las cuales las podemos relacionar de la siguiente manera: x = r cos ty = r sen t. Entonces vamos a formar el Jacobiano con las derivadas parciales de las funciones x(r, t) e y(r, t)

Como r es un radio, es siempre positivo, as que no hace falta tomarlo como valor absoluto. Por lo tanto, la evaluacin de una integral doble en coordenadas polares resultar

Coordenadas cilndricas Vimos que en la geometra plana presentamos el sistema de coordenadas polares con el objeto de dar una descripcin ms conveniente a ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas de coordenadas que son semejantes a las coordenadas polares y proporcionan descripciones ms apropiadas de algunas superficies y slidos que suelen presentarse. Uno es el sistema de coordenadas esfricas (que lo veremos ms adelante), y el otro es el sistema de coordenadas cilndricas, en donde un punto P del espacio tridimensional se representa mediante una trada ordenada (r, t, z) donde r y t son las coordenadas polares de la proyeccin de P sobre el plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x y a P como se muestra en la figura.

Entonces podemos afirmar que x = r cos t, y = r sen t, y z = z. Supongamos ahora una integral triple de una funcin F(x, y, z) definida en un dominio Dx y z, podemos sustituir las variables x, y, z por funciones H (u, v, w), M (u, v, w), y N (u, v, w) respectivamante, entonces la integral triple nos queda igual a

siendo J el Jacobiano que resulta

Si calculamos el Jacobiano con las ecuaciones anteriores obtenemos

Entonces el cambio de variables en coordenadas cilndricas ser

Coordenadas esfricas Las coordenadas esfricas (, , t) se muestran en la figura, donde es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto P, es el ngulo entre el eje positivo z y el segmento de recta OP, y t es el mismo ngulo que en las coordenadas cilndricas.

La relacin entre las coordenadas esfricas y las rectangulares pueden observarse en la misma figura. De los tringulos OPZ y OPP obtenemos

De acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el Jacobiano para realizar el cambio de variables.

Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a esfricas en integrales triples resultar

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