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CENS 453 – CONSCRIPTO BERNARDI

MATEMATICA I

BACHILLERATO ORIENTADO EN CIENCICAS SOCIALES ESPECIALIZADO EN CARTOGRAFIA

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INTRODUCCIÓN

Estimado alumno: Con este módulo, nos comenzamos a encontrar para iniciar el estudio de la Matemática. ¿Por qué estudiar esta asignatura? Porque los conocimientos matemá-ticos, además de constituir una herramienta eficaz de la cual se sirven otras disciplinas científicas para desarrollarse, pueden ser transferidas a hechos concretos de la vida diaria. El otro gran motivo es fundamen-talmente “formativo”, ya que brinda métodos y formas de pensar que le permiten encarar nuevos problemas. ¿Cómo será nuestra comunicación a través de los módulos? Durante este año Ud. recibirá dos módulos de Matemática, uno por cada cuatrimestre. Estos apuntes incluyen información y ejercicios extraídos de distintos textos especializados en la ma-teria. Al final de cada unidad temática encontrará las actividades de autoevaluación y sus respectivas cla-ves de corrección. Además, cada módulo incluye, a su término, una evaluación global del mismo. A continuación le presentaremos el plan general de la materia, con los contenidos de cada unidad te-mática y la bibliografía que puede consultar. ¡Suerte!

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PLAN GENERAL DE LA MATERIA

Módulo primer cuatrimestre

Unidad Contenido Bibliografía

CORTES, G. Matemática I Ed. Stella. Bs. As. 1990

1 NÚMEROS ENTEROS Revisión de operaciones con el conjunto de los números naturales. Necesi-dad de la creación de los números negativos. Conjunto de enteros. Opera-ciones: suma, resta, producto, cociente, potencia y radicación. Resolución de ecuaciones simples.

ENGLEBERT-PEDEMONTI-SEMINO Matemática I. Ed. AZ. Bs.As. 1994

2 NÚMEROS RACIONALES Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Necesidad de la crea-ción de los números fraccionarios. Conjunto de números racionales. Opera-ciones. Propiedades. Operaciones combinadas. Ecuaciones simples.

TAJANI-VALLEJO Matemática. Ed. Cesarini. 1981. AMENEDO-

3 ECUACIONES E INECUACIONES Pasaje de un número de un miembro a otro de una igualdad. Resolución de ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita. Representa-ción gráfica. Resolución de problemas.

CARRANZA- DIÑEIRO-GRAU- LATORRE. Matemática I. Ed. Santillana Bs.As. 1994 REPETTO- LINSKENS- FESQUET Aritmética. Ed. Kapelusz. S.A. Bs. As. 1967.

Módulo segundo cuatrimestre

Unidad Contenido Bibliografía

4 FIGURAS GEOMÉTRICAS Entes geométricos fundamentales. Punto, recta, plano. Rectas paralelas y perpendiculares. Segmentos congruentes y consecutivos. Ángulos con-gruentes, consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice.

CORTES, G. Matemática I. Ed. Stella. Bs.As. 1990 ENGLEBERT-

5 MEDIDAS Simela. Operaciones. Sistema sexagesimal.

PEDEMONTI- SEMINO. Matemática I. Ed.

6 TRIÁNGULOS Definición y elementos. Clasificación y propiedades. Construcciones.

AZ Bs. As. 1994 DE SIMONE-

TURNER. Matemática 4. Ed. AZ.Bs.As. 1992 BOGANI Matemá-tica 3 Ed Plus Ultra Bs.As. 1994

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UNIDAD N° 1: Números enteros Los distintos conjuntos numéricos (naturales, enteros, decimales, reales) han sido creados a lo largo de la historia frente a la necesidad de resolver determinadas situaciones. Nosotros intentaremos presentar (sintéticamente) estos conjuntos de números, del mismo modo que fueron surgiendo históricamente. Los primeros en aparecer fueron los... NÚMEROS NATURALES Usted ya conoce el Conjunto de los Números Naturales. Dicho conjunto es infinito y sus pri-meros elementos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... Simbolizamos a este conjunto con la letra N. Cuando se consideran los naturales con el origen (el cero), dicho conjunto se denota N0. Lo podemos representar sobre una semirrecta semi graduada: 1 2 3 4 Ahora veremos las diferentes operaciones en N, y sus propiedades. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Recordará Ud. los muy conocidos problemas de los primeros grados de la escuela pri-maria: “Si tenía 3 lápices y compro otros 4, ¿cuántos tengo ahora? En el momento escolar en el que se planteaban estos problemas, usted disponía, segura-mente de dos formas de contar la cantidad total de lápices: Reunir los lápices “viejos” con los “nuevos” en un solo grupo, y contar, comenzando desde 1, cuántos lápices había en el grupo total. Partir de los 3 que tenía y contar los que se agregan. ¿Cuál es el sentido de proceder de esta segunda manera? Sin duda, tratar de economizar esfuerzo, pues nos evita contar desde 1 hasta 3. En este caso decimos que a 3 le sumamos 4 , o que aplicamos la operación adición al par de núme-ros 3, 4. ¿Hacemos lo mismo cuando sumamos números de más de una cifra? Sume, por ejemplo, 647 + 322 y verá que estará repitiendo esta “forma abreviada” de contar, en cada posición decimal. Será conveniente ponernos de acuerdo sobre los nombres de los números que intervienen en una ADICIÓN. En el ejemplo de los lápices, 3 y 4 son los términos o sumandos y el resul-tado obtenido (7) se llama suma. Operación: ADICIÓN .a + b = c suma términos o sumandos

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Propiedades de la Adición en el conjunto de los números naturales. ¿La adición cumple la ley de cierre?

Si usted suma dos números naturales cualesquiera, ¿puede asegurar que el resultado es un número natural? Evidentemente, la respuesta es sí. Podemos verificarlo con cualquier ejemplo que se nos ocurra. Esta propiedad se llama Ley de cierre o clausura. Simbólicamente lo expresamos así: Ley de cierre o clausura en la adición. Si a es natural y b es natural a + b = c es natural ¿La adición es conmutativa? Resuelva mentalmente: 7 + 1. 532 Seguramente, para hallar la suma usted le sumó al número 1.532, 7 unidades. Es decir us-ted resolvió 1532 + 7. Lo que hizo fue aplicar intuitivamente la propiedad conmutativa de la adición. Propiedad conmutativa de la adición. En la adición de números naturales, la suma no cam-bia si se cambia el orden de los términos o sumandos. En símbolos: a, b N a + b = b + a Antes de continuar con las propiedades de la adición, recordaremos algo acerca del ... Uso de paréntesis ¿Cómo expresaríamos simbólicamente la frase “a 4 le asumo el resultado de 7 + 6”? Si escribimos 4 + 7 + 6 en realidad estamos expresando simbólicamente “sumo 6 al re-sultado de 4 + 7”. Debemos entonces disponer de algún otro símbolo, además de los números y del signo +. Los símbolos que agregaremos son el paréntesis y el corchete. Así, para expresar “ a 4 le sumo el resultado de 7 + 6” escribimos: 4 + (7 + 6) o bien 4 + [7 + 6] Proponemos entonces el siguiente acuerdo: Cada vez que una operación se escribe entre paréntesis o corchetes, estaremos indicando un solo número, resultado de dicha operación.

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De acuerdo con esta convención: 4 + 7 + 6 o (4 + 7) + 6 significa 11 + 6 y 4 + ( 7 + 6) significa 4 + 13 En general la expresión a + (b + c) deberá entenderse como una forma abreviada de indicar que hay que:

Obtener el número b + c = r Sumar a al número r Es decir: 1) b+ c = r a + (b + c) 2) a + r ¿La adición es asociativa? Resuelva mentalmente la adición 5 + 5 + 6 + 4 + 9 + 1 De acuerdo con la forma que esta expresado, el cálculo debería efectuarse en el orden que aparecen los términos. Sin embargo puede resultar más rápido efectuar mentalmente el cálculo así: (5 + 5) + (6 + 4) + (9 + 1) = 10 + 10 + 10 = 30 Si se resuelve de esta manera es porque se aplica la propiedad asociativa,, que enun-ciamos: Propiedad asociativa de la adición: La suma de números naturales no varía al asociarse los sumandos de distintos modos. En símbolos: a, b, c N (a + b) + c = a + (c + b) ¿Existe un elemento neutro de la adición? La siguiente suma representa importes de gastos realizados. Calcule el total: 84 90 + 50 30 20 45 . Seguramente, en la columna de las unidades, habrá sumado diciendo “cuatro más cinco”, sin siquiera nombrar los ceros que hay entre cuatro y cinco. Esto se debe a que en el conjun-to de los números naturales, el 0, que sumado a cualquier otro número natural no lo modifi-ca. El número 0 recibe, por ello, el nombre de elemento neutro de la adición.

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Propiedad del elemento neutro de la adición En la adición de números naturales hay un elemento que sumado a cualquier otro, no lo modifica. En símbolos: Si a N : a + 0 = a ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Resuelva la siguiente adición: 3 +3 + 3+ 3+ 3+ 3+ 3= .................. Probablemente, usted halló la suma anterior haciendo 7 x 3, ya que aparecen 7 términos iguales a 3. Lo que usted resolvió es una multiplicación de números naturales. Vemos que la multiplicación 7 x 3 indica una adición abreviada: 3 +3 + 3+ 3+ 3+ 3+ 3= 7 x 3 Veamos la denominación de los elementos que intervienen en una multiplicación: Operación: MULTIPLICACIÓN Para n, m N: n x m = p producto Para indicar la operación multiplicación pueden usarse diferentes símbolos. Así es lo mismo escribir: m x n o n . m o nm Cruz punto nada Propiedades de la Multiplicación de Números naturales. ¿La multiplicación cumple la ley de cierre? Halle el producto entre dos números naturales cualesquiera. Ahora, piense...¿Siempre que multiplicamos dos números naturales obtenemos como resulta-do un número natural? La respuesta es Sí. Enunciamos entonces: Ley de cierre o clausura en la multiplicación: El producto de números naturales es un número natural. En símbolos: a, b N; a. b = c y c N. ¿La multiplicación es conmutativa?

Factores

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¿Se anima a hallar los valores “x” según corresponde en cada caso? x . 3 = 21 3 x = 21 2 x . 3 . 5 = 60 2 . 3 . 5. X = 60 Seguramente encontró x = 7 para 1, y 2 y x = 2 para 3 y 4. Esta actividad le permite deducir la propiedad conmutativa de la multiplicación de números naturales. Propiedad conmutativa de la multiplicación. El producto números naturales no varía al cambiar el orden de los factores. Simbólicamente: a, b N se cumple a. b = b. a ¿La multiplicación es asociativa? Una estantería de bebidas tiene 5 estantes y está completa. En cada estante entran 6 botellas en el ancho y 4 en la profundidad. ¿Cuántas botellas hay por estante? 6 . 4 = 24 ¿Cuántas en los 5 estantes? 5 . 24 = 120 Hay en total 120 botellas. Ahora podemos pensarlo de otro modo: ¿Cuántas botellas hay en el frente de la estantería? 5 . 6 = 30 ¿Cuál es el total de botellas si en el frente hay 30? 30 . 4 = 120 Hemos verificado que hay en total 120 botellas. Comprobamos entonces que 5 . (6 . 4 ) = (5 . 6) . 4 Enunciamos la propiedad asociativa. Propiedad asociativa de la multiplicación El producto de números naturales no varía al asociarse de distintas formas sus factores. En símbolos: a, b, c N se cumple a (b .c ) = (a . b) .c ¿Existe un elemento neutro de la multiplicación? Observe los siguientes ejemplos: 1 . 20 = 20 7. 1 = 7 1 . 8 = 8 n . 1 = n En la operación multiplicación, hay un elemento que al multiplicar por cualquier otro, no lo

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modifica. Dicho elemento es “EL UNO”. Enunciamos entonces: Propiedad del elemento neutro de la multiplicación Al multiplicar cualquier número natural por 1, se obtiene como resultado el mismo número. En símbolos: a N se cumple a. 1 = a JERARQUÍA OPERATORIA Si tenemos que resolver la siguiente adición: 7 + 5 + 5 + 5 + 5 esto evidentemente, es lo mismo que hacer: 7 + 4 . 5 donde a 7 le sumamos el producto de 4 por 5. Esto es: 7 + 20 = 27 Teniendo en cuenta que una multiplicación no es más que una “suma abreviada”, podemos concluir que: En un cálculo donde intervienen adiciones y multiplicaciones, deben hallarse: 1) los productos 2) las sumas Puede haber ocasiones en que necesitamos indicar que, en un cálculo, primero debe efectuarse la suma. Veamos la siguiente situación: Durante los días de la semana (de lunes a viernes), un hombre que trabaja en horario corrido, está 6 horas en la oficina, 1 hora sale a almorzar, y 2 horas las ocupa en ir y vol-ver del trabajo. Además, durante el fin de semana trabaja 3 horas por día. ¿Cuántas horas semanales está ocupado en su trabajo? La respuesta es: (6 + 1 + 2). 5 + 3 . 2= 9 . 5 + 3 . 2 = 45 + 6 = 51 Ampliamos nuestra convención diciendo: En un cálculo donde intervienen adiciones y multiplicaciones, y también paréntesis, deben hallarse: 1) las operaciones entre paréntesis 2) los productos 3) las sumas Observe atentamente, su aplicación al cálculo siguiente: (4 + 3)9 + 2. [ 5 + (4 + 2 ). 7]= 7 . 9 + 2 . [ 5 + 6 . 7 ]= 7 . 9 + 2 . [ 5 + 42]= + 2 . 47= ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

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En un laboratorio se estudia el modo de reproducción en una cierta bacteria. A través del microscopio se observa que las bacterias se reproducen dividiéndose en dos, cada minuto. Si se tuviera una sola bacteria a las 12 hs en punto ¿cuántas bacterias se tendrían a los 5 minutos, es decir a las 12. 05 hs? Complete el siguiente cuadro: 12 hs * 12.01 hs* * 12.02 hs* ** * 12.03 hs------------------------------------------------------------ 12.04 hs --------------------------------------------------------------------- ¿Ya lo hizo? Entonces, podemos concluir que: A las 12.01 hs hay dos bacterias .............2 A las 12.02 hs hay 4 bacterias..................2 .2 A las 12.03 hs hay 8 bacterias.................2 . 2. 2. A las 12.04 hs hay 16 bacterias...............2. 2 .2. 2 A las 12.05 hs hay 32 bacterias...............2 .2 .2 .2 .2. por lo tanto a las 12. 05 hs hay 32 bacterias. Este producto tiene todos sus factores iguales. El producto que tiene todos sus valores iguales se llama potencia. El producto 2. 2. 2. 2. 2. Se escribe 25 y es una potencia en base 2 y exponente 5. Así, podemos escribir los productos anteriores del siguiente modo: 2 = 21 2 . 2 = 22 2. 2 . 2 = 23 2. 2. 2. 2 = 24 2. 2. 2. 2. 2 = 25 Recordemos las denominaciones: Operación: POTENCIACIÓN exponente an = b potencia base ¡Atención! Las calculadoras tienen la tecla xy que permite calcular potencias, debiéndose ingresar primero la base y luego el exponente. Estudie el manual de su calculadora para conocer su uso. También se tiene la tecla x2 que sirve para calcular potencias cuadradas (de exponente 2). Propiedades de la Potenciación de Números Naturales.

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El cero en la potenciación. a) El cero como base. Usando la definición de potenciación vemos que: 01 = 0 02 = 0 . 0 = 0 03 = 0 . 0 . 0 = 0 0n = 0 . 0......0 = 0 n veces Concluimos enunciando: Toda potencia de base cero y natural distinto de cero, es igual a cero. Simbólicamente: 0n = 0 siendo n 0 b) El cero como exponente: Definición: Toda potencia de exponente cero y base natural distinta de cero, es igual a 1. Simbólicamente: a0 = 1 siendo a 0 Ejemplos: 50° = 1 1300° = 1 120° = 1 55320°= 1 10°= 1 c) El cero como base y exponente: Basándose en lo dicho hasta ahora: Esta operación es Considerando la base 0 00 = 0 indeterminada Considerando el exponente 0 00 = 1

En consecuencia: La potenciación 00 es indeterminada, significa que no tiene solución. El uno en la potenciación a) El uno como base:

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Teniendo en cuenta la definición de potenciación: 1 = 1 = 1 . 1 = 1 = 1 .1. 1 .1. 1 = 1 = 1 = 1 ................1 n veces b) El uno como exponente: Usando la definición: 01 = 0 51 = 5 y en general..... Toda potencia de exponente 1 es igual a la base. Simbólicamente a1 = a ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Piense...si consideramos al conjunto N (recordemos que NO incluye el cero), la potencia-ción....¿cumple la ley de cierre? Toda potenciación de exponente y base pertenecientes al conjunto N tiene solución en el conjunto N. Por lo tanto: * La potenciación cumple la ley de Cierre en N. * Si en cambio, pensamos en el conjunto N0 (recordemos que incluye el cero), la potenciación no cumple la ley de cierre en N0 puesto que, como vimos 00 no tiene solución en N0. ¿La potenciación es conmutativa? Veamos: = 9 = 8 Entonces: El ejemplo anterior es un contraejemplo (ejemplo en contra), que nos permite demostrar que la potenciación no es conmutativa. ¿La potenciación es asociativa? Veamos: ( 23)2 = ( 8 )2 = 64 ( 23)2 = 29 = 512 Entonces: 2 ( 23)2 2 (3 )

Acabamos de probar mediante un contraejemplo que: La potenciación no es asociativa.

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JERARQUÍA OPERATORIA Incluimos en nuestra convención referida a la jerarquía de las operaciones, a la opera-ción potenciación, diciendo: En un cálculo donde intervienen adiciones, multiplicaciones y potenciaciones y hubiere paréntesis, debe hallarse: 1) las operaciones entre paréntesis. 2) Las potencias 3) Los productos 4 )Las sumas. Ejemplo 1: 4 + 5 . 40 + 32 . 2 + 12 = 4 + 5 . 1 + 9 . 2 + 1 = 4 + 5 + 18 + 1 = 28 Ejemplo 2: 3 . (42 + 20) . 4 + 7 . 33 = 3 . (16 + 1 ) . 4 + 7 . 27 = 3 . 17 . 4 + 189 = 204 + 189 = 393 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES Indique para qué valor de x es cierta la siguiente igualdad: 1235 + x = 3506 En el ejercicio anterior, para hallar el número que sumado a 1235 da 4506, usted habrá tenido que resolver. x = 3506 – 1235 x = 2271 2271 es la diferencia entre 3506 (minuendo) y 1235 (sustraendo). Esto es: 2271 = 3506 – 1235. Al minuendo y al sustraendo también se los llama términos de la resta.. Al procedimiento que permite obtener la diferencia entre los números lo llamamos opera-ción sustracción. Operación: SUSTRACCIÓN p – q = x minuendo sustraendo resta o diferencia Propiedades de la Sustracción de Números Naturales ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

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Piense...¿toda sustracción de números naturales da por resultado un número natural? La sustracción 7 – 10 ¿da por resultado un número natural? Evidentemente esta sustracción no tiene solución en el conjunto de los números natura-les. Hemos encontrado un contraejemplo que nos permite asegurar que la sustracción no cum-ple la ley de Cierre o clausura. ¿La sustracción es conmutativa? La sustracción de números naturales ¿cumple la ley conmutativa? ¿Será 8 – 2 = 2 – 8 2 – 8 N Por lo tanto no puede existir una igualdad. La sustracción de números naturales no es con-mutativa. ¿La sustracción es asociativa? Veamos: (10 – 6) – 1 = 4 – 1 = 3 10 – ( 6 – 1) = 10 – 5 = 5 Entonces: (10 – 6) – 1 ( 10 – ( 6 – 1) La sustracción de números naturales no es asociativa. ¿Existe un elemento neutro para la sustracción? ¿Existe un número natural n que verifique que 5 – n = n – 5 = 5 ? Evidentemente, la respuesta es no. No existe elemento neutro para la sustracción de números naturales, pues no existe un número n que verifique que: a – n = n – a para cualquier número natural a. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Como quedó ejemplificado, los paréntesis indican que debemos resolver primero, y una expresión puede variar totalmente si no los utilizamos en forma correcta. Recuerden que la adición en N es asociativa, pero no ocurre lo mismo con la sustracción: 2 + ( 3+ 4) = (2 + 3) + 4 5 – ( 3 – 1) ( ( 5 – 3) – 1) 2 + 7 = 5 + 4 5 – 2 (2 – 1) 9 = 9 3 (1) Cuando una operación es asociativa como la adición, el resultado no se altera si se saca o se coloca el paréntesis: 2 + (3 + 4) = 2 + 3 + 4 Como la sustracción no es asociativa, no ocurre lo mismo, pero es posible no alterar el resultado si se suprime un paréntesis de la siguiente forma. – ( 3 – 1 ) = 5 –3 + 1 3 = 3 Teniendo en cuenta esto, podemos estudiar las siguientes reglas:

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- Todo paréntesis precedido por el signo más (+) se puede suprimir sin cambiar los signos de los términos que están encerrados en él. - Todo paréntesis precedido por el signo menos ( -) se puede suprimir cambiando los signos de los términos que están encerrados en él. Ejemplo: Efectuemos el siguiente cálculo siguiendo la siguiente convención: primero resolvemos las operaciones encerradas entre paréntesis, luego las que están entre corchetes y en último término las que están entre llaves. 3 + { 10 – [ 4 – ( 3 – 1 ) ] } = = 3 + { 10 – [ 4 – 2]} = = 3 + { 10 – 2 }= = 3 + 8 = 11 También es posible realizar el cálculo suprimiendo los paréntesis y luego suprimiendo los corchetes y llaves de la misma forma que hacemos con los paréntesis: = 3 + { 10 – [ 4 – ( 3 – 1 )]} = suprimimos los paréntesis = 3 + { 10 – [ 4 – 3 + 1 ]} = suprimimos los corchetes = 3 + { 10 – 4 + 3 – 1 } = suprimimos las llaves = 3 + 10 – 4 + 3 – 1 = = 11 JERARQUÍA OPERATORIA Dentro de las operaciones, la sustracción tiene la misma jerarquía que la adición. Completamos la convención referida a la jerarquía de las operaciones: En un cálculo donde intervienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y potenciaciones, y hubiere paréntesis, deben hallarse: 1) las operaciones entre paréntesis 2) las potencias 3) los productos 4) las sumas y restas Ejemplo 1: 100 – 2 2 . 3 + 1 . 64 – 2 = 100 – 4 . 3 + 64 – 2 = 100 – 12 + 64 – 2 = 150 Ejemplo 2: 4 + [( 32 + 8 ) . 2 + 1 ] – 70 + 91 = 4 + [( 9 + 8 ) . 2 + 1 ] – 1 + 9 = 4 + [ 17 . 2 + 1 ] – 1 + 9 = 4 + 35 – 1 + 9 = 47 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES Un tren viaja a una velocidad constante de 25 km por hora. Si ha recorrido 26 km, ¿durante cuánto tiempo ha viajado? Si llamamos t al tiempo empleado, debe cumplirse la condición:

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t . 65 = 260 entonces t = 260 65 t = 4 Ha viajado durante 4 horas. Para resolver este problema hemos usado la operación división. La división es la operación inversa de la multiplicación. En el ejemplo: 260 es el dividendo, 65 es el divisor y 4 es el cociente. Decimos que 260 : 65 = 4 260 = 4 . 65 Operación: DIVISIÓN a b = c cociente dividendo divisor El cero en la división. 1) El cero como divisor. Piense...¿es posible dividir cualquier número por cero? Ejemplo: si quisiéramos calcular 8 0, el resultado debería ser un número c que multiplicado por 0 de por resultado 8. Es decir: 8 0 = c entonces c . 0 = 8, pero esto es imposible, pues cada vez que multiplicamos un número por 0 nos da 0. Por lo tanto: no es posible la división por cero. 2) El cero como dividendo: Si nos ponemos a calcular, vemos que: 0 2 = 0 ya que 0 = 2 . 0 0 5 = 0 ya que 0 = 5 . 0 0 150 = 0 ya que 0 = 150 . 0 En general, a N, 0 a = 0 Para indicar la operación entre dos números a y b, podemos escribir: a b ó a : b ó a b ¿Qué ocurre si usted divide cualquier número natural por 1? Pruebe... ¿ No obtiene el mismo número que está dividiendo?. ¡Seguro que sí, por ejemplo 183 1 = 183 ya que 183 = 1 . 183 ¿Y si divide cualquier número natural por sí mismo?

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Pruebe nuevamente...con toda seguridad, obtendrá el 1, por ejemplo 15 : 15 = 1 ya que 15 = 1 . 15 Considerando los resultados obtenidos podemos concluir: La división de un número (distinto de cero) por sí mismo es igual a 1. En símbolos: , n N0 se cumple n n = 1 La división de un número por 1, es igual al mismo número. En símbolos: n N0 se cumple n 1 = n Propiedades de la División de Números Naturales ¿La división cumple la Ley de cierre? ¿Siempre que dividimos dos números naturales obtenemos como resultado un número na-tural? Busque ejemplos... En alguna división, el resultado deber haber sido un número “con coma”. Luego: La división no cumple la ley de Cierre (o clausura) en el conjunto de números naturales. ¿La división es conmutativa? Observe los siguientes cálculos: 6 3 = 2 3 6 = 0,5 Vemos que 6 3 3 6 La división no es conmutativa. ¿La división es asociativa? Veamos: 16 ( 4 2) = 16 2 = 8 (16 4 ) 2 = 4 2 = 2 Entonces: 16 ( 4 2) (16 4 ) 2 El ejercicio anterior sirve de contraejemplo para asegurar que la división no es asociativa. DIVISIÓN ENTERA Y DIVISIÓN EXACTA Un granjero decide repartir 25 vacas y 10 ha (hectáreas) de tierra entre sus cuatro hijos. 1) ¿cuántas vacas le corresponde a cada hijo? Si dividimos el conjunto de las 25 vacas entre 4, le corresponde 6 vacas a cada hijo,

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sobra una. En esta situación la división efectuada es una división entera, pues no tiene sentido pensar en partir una vaca (la que sobra) en 4 partes. 25 4 . 1 6 2) ¿Cuántas ha de tierra recibirá cada hijo? En este caso si tiene sentido dividir las 10 ha exactamente en 4 partes iguales: 10 4 . 20 2,5 0 Le corresponde 2,5 ha ( 2 ha y media) a cada uno de los hijos. Observamos que el resul-tado no es un número natural. Para resolver este problema hemos efectuado una división exacta. RECUERDE: Todo dividendo se puede escribir como el producto entre el divisor y co-ciente, más el resto. Ejemplo: dividendo 25 4 . Resto 1 6 cociente Entonces: 25 = 6 . 4 + 1 ¡Atención! Recuerde que el resto de la división debe ser siempre menor que el divisor. Re-solver así: 31 4 . 7 6 ¡Es incorrecto! Pues 7 es mayor a 4 ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Dentro de las operaciones la división tiene la misma jerarquía que la multiplicación. Completamos la convención referida a la jerarquía de las operaciones: En un cálculo donde intervienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones y potenciaciones, deben hallarse: 1) las operaciones entre paréntesis 2) las potencias 3) los productos y cocientes 4) las sumas y restas Caso especial:

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Ejemplo 1): El cálculo 2 : 2 . 5 debe resolverse siguiendo el orden en que aparecen las ope-raciones. Primero resolvemos 2 : 2 y al resultado lo multiplicamos por 5. Es decir: 2 : 2 . 5 = 1 . 5 = 5 Ejemplo 2) 7 .4 : 2 = 14 Observemos la aplicación de la jerarquía operatoria en el ejemplo siguiente: 60 : 3 . 5 – [(4 + 8 ) : 2 – 5 . 4 : 10 + 7 . 3 ] 2 – 1 = 100 – [ 6 – 2 + 21 ] . 2 – 1 = 100 – 25 . 2 – 1 = 100 – 50 – 1 = 49 ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Un terreno de forma cuadrada tiene 324 m2 de superficie. Se desea colocar un cerco de madera en el frente del mismo. Para saber cuántos metros de madera se necesitan, hay que calcular la longitud del lado del terreno. Calcularemos entonces la longitud del lado de un cuadrado cuya superficie es de 324 m2. Sabemos que superficie del cuadrado = lado. lado = lado2 En nuestro caso: ( lado )2 = 324 m 2 Debemos encontrar el número cuyo cuadrado es 324. Este número es 18, ya que 182 = 324 Si 324 es el cuadrado de 18, decimos que 18 es la raíz cuadrada de 324. Se escribe 324 = 18 y se lee “raíz cuadrada de 324 es 18”. Es el signo de la raíz cuadrada. El número que se ubica debajo del signo se llama radicando. Según lo obtenido podemos afirmar que se necesitan 18 m de madera. Las raíces cuadradas pueden encontrarse en su computadora mediante la tecla. . Veamos algunos ejemplos: 25 = 5 porque 52 = 25 9 = 3 porque 32 = 9 81 = 9 porque 92 = 81 169 = 13 porque 132 = 169 Ahora analicemos la siguiente situación:

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Se desea construir un cubo que tenga 216 cm3 de volumen. ¿Cuál es la medida de su aris-ta? Si llamamos x a la medida de la arista, sabemos que el volumen de dicho cubo está dado por x. x . x = 216, o lo que es lo mismo x3 = 216 Estamos buscando un número que elevado al cubo (o a la tercera) sea igual a 216. 3 Escribir x3 = 216 es equivalente a escribir x = 216 y se lee “raíz cúbica de 216”. Entonces, razonamos en forma análoga que para calcular una raíz cuadrada: 3 216 = 6 porque 63 = 216 Por lo tanto la arista del cubo mide 6 cm. Conociendo los conceptos de raíz cuadrada y raíz cúbica de un número, podemos ahora extenderlos. Ejemplos: Calculemos La raíz quinta de 243 5 243 = 3 porque 35 = 243 La raíz cuarta de 16 4 16 = 2 porque 24 = 16 A los números 5 y 4 se los llama índices. La operación consiste en extraer raíces se llama operación radicación. Operación: RADICACIÓN Índice n p = q raíz radicando ¡Atención! Las calculadoras tienen la tecla x1/y que permite resolver radicaciones, debién-dose ingresar primero el radicando y luego presionar la tecla x1/y . Luego se debe ingre-sar el índice. Le aconsejamos que revise el manual de su calculadora para conocer su fun-cionamiento. También se tiene la tecla ( que sirve para calcular raíces cuadradas. Propiedades de la Radicación de Números Naturales ¿la radicación cumple la Ley de Cierre? ¿Siempre que hallamos la raíz de un número natural hallamos como resultado un número natural?. Para descubrirla, calculemos (puede usar su calculadora).

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4 29 = 2, 320 25 = 5 5 15 = 1,718 7 1 = 1 8 250 = 1,994 Luego, no siempre la raíz de un número natural es natural. Por lo tanto la radicación no cumple la ley de Cierre en N0. ¿la radicación es conmutativa? Veamos : 3 8 = 2 8 3 = 1,147... entonces 3 8 3 3 Hemos encontrado un contra ejemplo que nos permite probar que la radicación no es conmu-tativa. JERARQUÍA OPERATORIA Dentro de las operaciones, la radicación tiene la misma jerarquía que la potenciación. Ampliamos nuestra convención diciendo En un cálculo donde intervienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, po-tenciaciones y radicaciones, y hubiere paréntesis, deben hallarse: 1) las operaciones entre paréntesis. 2) Las potencias y raíces. 3) Los productos y cocientes 4) Las sumas y restas. Ejemplo: 3 25 . 22 – ( 32 – 8 – 1 ) . 2 + 5 . 8 : 4 + 3 . 22 . 6 = 5 . 4 -( 9 - 8 – 1 ) . 2 + 5 . 2 : 2 + 3 .4 :6 = 20 – 0 . 2 + 5 + 2 = 20 – 0 + 5 + 2 = 27 ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Piense cuál es el números que sumado a 3 nos da el mismo resultado que se obtiene res-tándole 5 a 15. Vamos a expresar simbólicamente dicha situación: x + 3 = 15 – 5

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Al número que vamos a hallar lo llamamos incógnita y lo simbolizamos con la letra x. A estas igualdades que se verifican para determinado valor de la incógnita las llamamos ECUACIONES. Resolver una ecuación significa hallar el valor de la incógnita que verifica el valor de la igualdad dada. Observe que como las ecuaciones son igualdades, distinguimos en ellas un primer miem-bro y un segundo miembro. En este caso. x + 3 = 15 – 5 1er. Miembro 2do.miembro Vamos a aplicar las propiedades de la adición y de la sustracción de números naturales para resolverla: x + 3 = 15 – 5 x + 3 = 10 x +3 – 3 = 10 –3 x = 10 – 3 x = 7 Para resolver una ecuación, debe efectuarse una trasposición de términos, factores, divi-siones, índices y/o exponentes, usando las siguientes reglas. Todo término que figura restando en uno de los miembros de la igualdad puede pasar al otro miembro sumando, y todo término que figura sumando en uno de los miembros de una igualdad puede pasar al otro miembro restando. Todo miembro que figura como factor en uno de los miembros pasa al otro miembro co-mo divisor y todo número que figura como divisor en uno de los miembros lo podemos pasar al otro miembro como factor. Todo número que es el exponente de uno de los miembros de una igualdad puede pasar al otro miembro como índice y todo número que es el índice de uno de los miembros puede pasar al otro miembro como exponente. Ejemplos:

x + 2 = 9 x = 9 – 2 x = 7

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Verificamos que el resultado obtenido es correcto. x + 2 = 9 7 + 2 = 9 9 = 9 2) 6 . x : 5 = 12 6 x = 12 . 5 6x = 60 x = 60 : 6 x = 10 3) 5 . x3 = 320 x3 = 320 : 5 x3 = 64 x = 3 64 x = 4 Recuerde que siempre puede comprobar que la respuesta es correcta reemplazando la solución en la ecuación original. Efectuando los cálculos, debe obtener una igualdad, tal como se mostró en el primer ejemplo. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Como ya dijimos, los diferentes conjuntos numéricos fueron surgiendo frente a la necesi-dad de resolver nuevas situaciones. Hasta ahora, hemos presentado el conjunto de números naturales y hemos analizado las operaciones dentro de este conjunto. Cuando estudiamos la operación sustracción y sus propiedades, vimos que no cumple la

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ley de Cierre en N0. Partimos de plantear la siguiente ecuación: – 10 no tiene solución en N0 En una sustracción de números naturales siempre que el minuendo sea menor que el sus-traendo el resultado no se puede hallar en el conjunto de números naturales. Pero sí tiene solución en otro conjunto de números: los números enteros, que seguramente usted ya cono-ce. Dicho conjunto se designa con la letra Z. Antes de comenzar a analizar las operaciones en el conjunto Z veremos algunos ejemplos de situaciones en las que se usan números enteros. En el siguiente cuadro se tienen los ingresos y gastos registrados durante la semana por un vendedor ambulante. Si en un día la cantidad de ingresos en mayor que la de gastos se obtiene una determinada ganancia. Si en cambio ingresa menos dinero que el que se gasta lo que se obtiene es una pérdida. Importes en $ Ingresos Gastos Ganancia Pérdida Lunes 200 130 70 -- Martes 100 180 -- 80 Miercoles 300 300 0 0 Jueves 300 100 200 -- Viernes 200 270 -- 70 Sábado 110 0 110 -- Domingo 0 60 -- 60 Observamos que el lunes se obtuvo $ 70 de ganancia, mientras que el viernes se obtuvo $ 70 de pérdida. De alguna manera debemos distinguir la “pérdida” del viernes con la “ganancia” del lunes. Una forma práctica de expresar estas situaciones es utilizando números enteros. Así, la ganancia de $ 70 se puede representar por el número positivo + 70; y la pérdida de 70 se puede representar por el número negativo –70. ¿Vio que además del viernes, se produjo una situación que se puede expresar mediante el número negativo en los días martes y domingo? En cambio la situación que se produjo el día miércoles es distinta. ¿Con qué número la representaría? Si pensó en el número cero, su respuesta es correcta, porque el vendedor no obtuvo ga-nancias ni pérdidas. Veamos otro ejemplo: En un cierto día la temperatura registrada a las 7 hs fue de un grado bajo cero, mientras que a las 8 hs fue de un grado sobre cero. ¿Podemos decir que “un grado bajo cero” puede ser representado por un número natural? ¡No! ¿Por qué? Porque utilizaríamos el mismo que para representar el grado sobre cero. Para representar situaciones como las anteriores, usamos números del conjunto: ....-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

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Estos son elementos del conjunto de números enteros, que como dijimos se lo representa con la letra Z. Z = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...es el conjunto de los números enteros. Z+= 1, 2, 3, 4, 5, ... es el conjunto de los números enteros positivos. Observe que Z+ = N Z- = -5, -4, -3, -2, -1... es el conjunto de los números enteros negativos. En base a lo anterior podemos afirmar que: El conjunto Z también puede representarse gráficamente sobre una Recta Numérica. Fi-jamos sobre una recta un punto que llamamos origen. Elegimos un segmento arbitrario como unidad y lo elevamos sucesivamente, a partir del punto de origen, en ambas semirectas. Asignamos al punto de origen el número 0. negativos positivos -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Z - Z+ Las altitudes de la superficie terrestre se miden por sus distancias a la superficie del nivel del mar. Altitudes Nivel del mar Depresiones A la superficie del nivel del mar, que sirve de origen para medir las altitudes y depre-siones, se les hace corresponder la altitud 0 m. Las altitudes de los puntos que se encuentran por encima de este nivel estarán representadas por números positivos...en cambio, a las depresiones se les hacen corresponder números negativos De acuerdo con lo anterior, podemos representar por medio de un número entero las altitu-des de los siguientes lugares geográficos:

LUGAR GEOGRÁFICO ALTITUD Monte Everest 8.848 sobre el nivel del mar 8.848 Mar Caspio: 28 m bajo el nivel del mar -28 Monte Fuji: 3.776 m sobre el nivel del mar 3.776

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Lago de Aral: 53 m bajo el nivel del mar -53 En Historia para ubicar los acontecimientos históricos en el tiempo, se suele utilizar las llamadas “líneas de tiempo”. Para ello, se tomó como punto de partida (punto de origen) el nacimiento de Cristo. Ejemplo: 580 años antes de Cristo ( a. C): -580, 1.431 después de Cristo (d C): 1431 Como ya mencionamos una forma de interpretar los números enteros es utilizando la rec-ta numérica: -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 + 2 +3 +4 + 5 +6 Los números a la derecha del cero, son los números positivos, que pueden escribirse con el signo + adelante. Así, por ejemplo, 3 es lo mismo que +3. Los números a la izquierda del cero son los números negativos, que se escriben con el signo – adelante. Los números que están marcados en la recta son: -6, -2, 0 y 4. Algo más sobre los números enteros... Como usted ya sabe, a todos los números enteros, excepto el cero, los escribimos con un número natural precedido por un signo (en el caso de los números positivos, el signo + se puede omitir). Al número natural lo llamamos VALOR ABSOLUTO del número entero. Lo simbolizamos (a(. (a( valor absoluto de a. Ejemplos: 7 = 7 10 = 10 - 10= 10 La distancia de –3 a 0 es igual a 3 y la escribimos (-3)= 3. Se lee valor absoluto de –3 es igual a 3. La distancia de +3 a 0 también es 3, por lo tanto el valor absoluto o módulo es 3. El valor absoluto o módulo de un número es la distancia que media entre ese número y el cero. Los números que tienen el mismo módulo y distinto signo se llaman opuestos. - 3 es el opuesto de +3 y + 3 es el opuesto de –3. -3 -2 -1 0 1 2 3

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¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Adición de números enteros. Para sumar números enteros resulta útil tener como referencia a la recta numérica. Ejemplos: 1) (+3) + (+5) o también se puede escribir 3 + 5 . Partimos desde el primer número +3 y recorremos 5 unidades a la derecha, pues el segundo número +5, es positivo. + 3 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 + 5 Luego, (+3) + (+5) = +8 2) (-3) + (-5) ó –3 + -5 Partimos desde el primer número, -3, y recorreremos 5 unidades a la izquierda pues el segundo número es negativo y esto nos indica que debemos movernos hacia la iz-quierda. -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -5 Por lo tanto, (-3) + (-5) = -8 En los dos casos anteriores hemos sumado números del mismo signo. Como vemos, la suma es un número de igual signo que los sumandos. Veamos los casos en que los signos de los sumandos son distintos. Ejemplos: 1) (+3) + (-5) ó +3 + (-5) Partimos al igual que antes, desde el punto de la recta que corresponde al primer número, +3, y recorreremos 5 unidades hacia la izquierda, pues el signo menos del segundo número nos indica que debemos movernos hacia la izquierda, desde el punto de partida +3. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 Entonces (+3) + (-5) = -2 2) (-3) + (+5) ó –3 + 5 Partimos desde el primer número, -3, y recorreremos 5 unidades hacia la derecha, pues esta vez el segundo número, +5, es positivo.

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +5 Por lo tanto, (-3) + (+5) = +2 Enunciamos la siguiente regla: Para sumar dos números enteros de distinto signo, restamos sus valores absolutos (al mayor valor absoluto se le resta al valor absoluto del otro), y colocamos al resultado el signo del número que tiene mayor valor absoluto. Si los números son opuestos, el resultado es cero. ¿Cómo podemos comprender mejor? Para sumar números enteros también puede usarse una manera práctica que consiste en asociar los números positivos con el “tener” y los números negativos con el “deber”. Así por ejemplo, si tenemos que resolver: 1) (-6) + 8 pensamos “debo” 6 y “tengo “ 8 “tengo” 2 por lo tanto (-6) + 8 = 2 2) 4 + (-7) pensamos “debo” 7 y “tengo” 4 “debo “ 3 entonces 4 + (-7) = -3 3) (-3) + (-7) pensamos “debo” 3 y “debo” 7 “debo” 10 luego (–3) + (-7) = -10 Propiedades de la Adición de Números enteros Como ya dijimos en detalle las propiedades de todas las operaciones vistas, en el con-junto de números naturales, estamos seguros de que usted están en condiciones de descubrir las propiedades de las distintas operaciones en el conjunto de números enteros. Nosotros lo ayudamos asegurándole que: La adición de números enteros: - Cumple la ley de Cierre (o clausura) en el conjunto Z. - Cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Z. - Cumple la propiedad asociativa en el conjunto Z. ¿existe un número entero que sea el elemento neutro de la adición en el conjunto Z? En caso de que exista, ¿cuál es dicho número? La respuesta es sí: el elemento neutro de la adición en el conjunto Z es el cero, ya que

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a Z, a + 0 = 0 + a = a Sustracción de números enteros Como la sustracción es la operación opuesta de la adición, si a un número le restamos otro, es lo mismo que hacer entre el primero y el opuesto del segundo. El signo – reemplaza la palabra “opuesto”. Así, por ejemplo: -(-4) es el “opuesto de – 4”, entonces – (-4) = 4 Reiteramos el método para restar números enteros: Para hallar la diferencia entre dos números enteros, al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo. Simbólicamente: a, b Z a – b = a + (-b) minuendo sustraendo Ejemplos: 10 –20 = 10 + (-20) = -10 30 – (-2) = 30 + 2 = 32 30 – (-4) = -30 + 4 = -26 40 – 10 = 40 + (-10) = 30 ¡Atención! Las calculadoras tienen la tecla +/- que permite trabajar con números negativos. Así por ejemplo, para escribir –27, se escribe 27 y luego se presiona +/-. Propiedades de la Sustracción de Números Enteros La sustracción de números enteros: - Cumple la ley de Cierre (o clausura) en el conjunto Z. - No cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Z. - No cumple la propiedad asociativa en el conjunto Z. Multiplicación de Números enteros. Existe una regla para multiplicar números enteros. Comenzamos pensando en multiplica-ciones de dos números enteros.. Cómo multiplicar: 1. Si los dos números tienen el mismo signo (si ambos son positivos, o si ambos son negativos) el producto es siempre positivo. 2. Si ambos números tienen distintos signos, su producto es siempre negativo.

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Ejemplos: 5 . 3 = 15 Productos positivos Ambos factores son positivos (-5) . (-7) = -35 ambos factores son negativos 6 . (-5) = -30 un factor es positivo Productos negativos y el otro es negativo (-8) . 5 = -40 Regla: Producto de signos iguales da POSITIVO. Producto de signos distintos da NEGATIVO. Para hallar el producto entre más de dos números debemos multiplicar sólo de a dos números por vez. Comenzamos hallando el producto entre dos números y continuamos así hasta que hallamos usado todos los factores. Ejemplo. 2 . (-5) . 3 . (-3) ó 2. (-5) . 3 . (-3) = -10 . 3 . –3 = -10 - 9 = -30 . –3 = 90 = 90 Un modo fácil de saber qué signo tendrá el producto es contando la cantidad de facto-res negativos que se tienen. Si dicha cantidad es... - Par el producto es positivo. - Impar el producto es negativo. Ejemplos: 1) (-2). (-3) . 4 . 5 = 120 dos factores negativos el producto es positivo. 2) (-2) . (-3) . (-4) . 5 = - 120

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tres factores negativos el producto es negativo Cuando analizamos las operaciones con números naturales fuimos viendo la jerarquía de cada una de ellas. Esta jerarquía vale para operaciones en cualquier conjunto de números. Así es que, recuerde: En un cálculo donde intervienen adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y radicaciones, y si hubiere paréntesis, deben hallarse: 1) las operaciones entre paréntesis. 2) Las potencias y raíces. 3) Los productos y cocientes 4) Las sumas y restas. Ejemplo: (-2) . [ 25 + 3 (-10)] – 2 (-4) - 3 8 = (-2) [ 25 – 30 ] + 8 – 2 = (-2) .(-5) + 8 – 2 = 10 + 8 – 2 = = 16 Propiedades de la Multiplicación de Números Enteros. La multiplicación de números enteros. 1) Cumple la Ley de cierre (o clausura) en el conjunto Z. 2) Cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Z. 3) Cumple la propiedad asociativa en el conjunto Z. ¿Existe un número entero que sea elemento neutro de la multiplicación en el conjunto Z?. En caso de que exista, ¿cuál es dicho número? La respuesta es sí, el elemento neutro de la multiplicación en el conjunto Z, es el uno, ya que a Z, a . 1 = 1 . a = a ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Recuerde que: Los cálculos que son una sucesión de adiciones y/o sustracciones, se lla-man sumas algebraicas. Ejemplos: 500 – 10 + 35 + 42 – 18 términos

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son sumas algebraicas 100 – 4 + 3 – 1 15 + 2 + 30 80 – 2 Observe los siguientes cálculos: 1) (7 – 4 – 1 + 3) . 2 = = 5 . 2 = 10 2) 7 . 2 – 4 . 2 – 1 . 2 + 3 . 2 = = 14 – 8 – 2 + 6 = 10 3) (-3). (8 + 4 – 1) = = (-3) . 11 = - 33 4) (-3) . 8 + (-3) . 4 – (-3) . 1 = = -24 – 12 + 3 = - 33 Mediante la observación de los resultados obtenidos en la actividad anterior, intentamos recordar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma algebraica. Vemos que: (7 – 4 – 1 + 3) . 2 = 7 .2 – 4 . 2 – 1. 2 + 3 . 2 = (-3) . (8 + 4 – 1) = (-3) . 8 + (-3) . 4 – (-3) . 1 La propiedad que acabamos de mostrar en estos ejemplos, se verifica cualesquiera sean los números considerados. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma algebraica. El producto de una suma algebraica por un número es igual a: La suma algebraica de los productos de cada término por dicho número. Una forma simbó-lica de expresar esta propiedad es: a. ( b + c – d) = ab + ac – ad aquí la operación principal aquí la operación principal es la multiplicación es la suma algebraica

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División de números enteros. La regla para dividir números enteros es similar a la que se usa para multiplicar. Cómo dividir: 1. Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo (si ambos son positivos, o si ambos son negativos) el cociente es positivo. 2. Si el dividendo y el divisor tienen distintos signos el cociente es negativos. Ejemplos: 10 : 2 = 5 10 : (-2) = -5 (-10) : (-2) = 5 (-10) : 2 = -5 Propiedades de la División de Números Enteros. La división de números enteros: 1) No cumple la Ley de Cierre (o clausura) en el conjunto Z. 2) No cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Z. 3) No cumple la propiedad asociativa en el conjunto Z. Propiedad distributiva de la división respecto de la suma algebraica. Observe los siguientes cálculos: 1) 60 : 4 + (-12) : 4 = 15 – 3 = 12 1´) [60 + (-12)] : 4 = 48 : 4 = 12 2) (70 + 35) : (-5) = 105 : (-5) = -21 2´) 70 : (-5) + 35 : (-5) = - 14 - 7 = -21 De los resultados observados en la actividad anterior se deduce la.... Propiedad distributiva de la división respecto de la suma algebraica. El cociente de una suma algebraica por un número distinto de cero, es igual a: la suma al-gebraica de los cocientes de cada término por dicho número. Una forma simbólica de ex-presar esta propiedad es: a, b, c, d, Z y d 0 ( a + b – c): d = a : d + b: d – c: d

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aquí la operación principal aquí la operación principal es la división es la suma algebraica Potenciación de números enteros Como ya vimos la potenciación es una multiplicación de factores iguales. En el conjunto de números enteros, trabajaremos con potenciaciones de base entera y exponente natural. an siendo a Z y n N Cuando analizamos la multiplicación de números enteros, vimos que la forma de saber qué signo tendrá el resultado es contando la cantidad de factores negativos que se tengan. Como la potenciación no es otra cosa que una multiplicación, para saber qué signo tendrá la potencia se procede de igual modo. Ejemplos: 1) (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) 3 factores negativos la cantidad de signos menos es un número impar (son 3) y esto nos está indicando que el resultado es negativo ( -8). 2) (-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) 4 factores negativos como 4 es número par, el resultado es positivo (es 16). En general: - Si la base es positiva la potencia es siempre positiva. par el resultado es postitivo - Si la base es negativa y el exponente es un número Impar el resultado es negativo Ya vimos que toda potencia de base natural distinta de cero y exponente cero es igual a uno. Ampliamos la definición diciendo que: Toda potencia de exponente 0 y base distinta de cero es igual a 1. Simbólicamente, a0 = 1 para cualquier número a distinto de cero. Ejemplos: (-7)0 = 1 50 = 1 (-1)0 = 1 Propiedades de la potenciación de números enteros La potenciación de números enteros: - No cumple la Ley de Cierre (o clausura) en el conjunto Z. - No cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Z. - No cumple la propiedad asociativa en el conjunto Z. ¿La potenciación es distributiva respecto de la suma algebraica? Veamos: (-7 + 4)2 = (-3)2 = 9

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(-7)2 + 42 = 49 + 16 = 65 entonces (-7 + 4)2 (-7)2 + 42 La actividad anterior nos demuestra que la potenciación no es distributiva respecto de la suma algebraica. ¿La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y división? Aplicando la definición: (a . b)n = ab. ab. .....ab = a . a. ................a . b .b...........b = an . bn n veces n veces n veces Concluimos: Propiedad distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación. El producto de potencias de exponente n es igual al producto de sus bases elevado al ex-ponente n. Simbólicamente: an . bn = (a . b)n

Ejemplo: [(-2) . 4 . (-3)]3 = (-2)3 . 43 . (-3) 3 = (-8) . 64 . (-27) = 13.824 ¡Atención! Cuando queremos efectuar una división entre dos potencias ya sabemos que hay que resolver primero las potencias. Así, por ejemplo, si queremos calcular: 42 : 23 hay que resolver 4 . 4. (2 .2. 2) = 16 : 8 = 2 Observe los siguientes ejemplos: 1) (6 : 3) 2 = 22 = 4 62 : 32 = 36 : 9 = 4 2) [8 : (-2)] 3 = (-4) 3 = -64 83 : (-2) 3 = 512 : (-8) = -64 Vemos que: (6:3) 2 = 62 : 32 [8 : (-2)] 3 = 83 : (-2) 3 Concluimos: Propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división: El cociente de dos potencias de exponente n es igual al cociente de sus bases elevado al exponente n. Simbólicamente: : an : bn = (a : b)n

Producto y cociente de potencias de igual base. Veamos: 35 = 3 . 3 .3 .3. 3

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Podemos asociar los factores de distintas formas, con lo cual resulta: 3 . (3 . 3. 3. 3) = (3 . 3) . (3 .3. 3) = = (3 .3 .3) . (3 . 3) Es decir: 3 . 34 = 32 . 33 = 33 . 32 Observemos que en cada caso escribimos 35 como el producto de potencias de base 3 cuyo exponentes suman 5. Estas descomposiciones de una potencia en producto de potencias de la misma base, pueden realizarse siempre, y nos permiten enunciar la siguiente propiedad: Una potencia de base a y exponente p, puede expresarse como el producto de potencias de base a cuyos exponentes suman p. Simbólicamente: ap = am+n = am . an ¿Pasará lo mismo con el cociente de potencia de igual base? Veámoslo en la siguiente actividad: Observe: 1) (-2) 7 : (-2) 2 = (-128) : 4 = -32 1’) (-2) 5 = -32 2) 36 : 32 = 729 : 9 = 81 2’) (3) 4 = 81 3) (-4) 3 : (-4) 2 = (-64) : 16 = -4 3’) (-4) 1 = -4 4) (-5) 4 : (-5) 2 = (625) : (25) = 25 4’) (-5) 2 = 25 5) 52 : 52 = 25 : 25 = 1 5’) (5) 0 = 1 Mirando atentamente los resultados de ambas columnas, concluimos diciendo: El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Simbólicamente: Zm : Zn = Z m-n ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. ¿Cómo calcularía (24) 3 ; [(-2) 2 ] 3 ; (74) 2 ......? Vea que ocurre si usa la definición de potenciación: (24 ) 3 = 24 . 24 . 24 = 2.2.2.2 . 2.2.2.2 . 2.2.2.2 . = 212 12 factores iguales a 2 [(-2) 2 ] 3 = (-2) 2 . (-2) 2 . (-2) 2 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2). (-2) . (-2) = (-2) 6

(74 ) 2 = 74 . 74 = 7 . 7. 7. 7. 7. 7. 7.7 = 78

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Observando los datos obtenidos, podemos concluir diciendo: Para calcular la potencia de exponente q de ap efectuamos la potencia de base a y exponen-te p.q Simbólicamente (a p) q = a p. q Radicación de números enteros Trabajaremos con radicaciones de índice natural y radicando entero Nosotros ya estudiamos los casos referidos a números naturales (enteros positivos). Preste atención a los nuevos casos, correspondientes a radicandos negativos. Recuerde: Índice n b = a raíz Radicando Vamos a estudiar 4 casos posibles: Raíces de índice impar 1. raíces de radicando positivo e índice impar. 3 +64 = +4 pues (+4) 3 = +64 si b es positivo y n impar n b = a, ya que an = b 2. Raíces de radicando negativo e índice impar. 3 -64 = -4 pues (-4) 3 = -64 si b es negativo y n impar n –b = a ya que, (-a) n = -b las raíces de índice impar tienen el mismo signo que el radicando. Ejemplos: 3 8 = 2 3 –27 = -3 5 -32 = -2 3 64 = 4 Raíces de índice par. 3. Raíces de radicando positivo e índice par. 2 +10 pues (+10) 2 = +100 Si b es positivo y n par +100 = n b = ( a, ya que (+ a)n = b -10 pues (-10) 2 = +100 4) Raíces de radicando negativo e índice par si b es negativo y n par

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n -b = no hay solución, ya que (+a)n - b (-a)n - b ? (-9) . No pues (-9)2 = +81 -81 2 -81= ? (+9) . No pues (+9)2 = +81 -81 para n par La radicación de índice par y radicando positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negati-va, pero si el radicando es negativo no tiene raíces en Z. Ejemplos: 6 64 = + 2 4 -16 = no hay solución en Z 121 = + 11 -25 = no hay solución en Z ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. La radicación de números enteros. - Cumple la ley de Cierre (o clausura) en el conjunto Z. - Cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Z. ¿La radicación es distributiva respecto de la suma algebraica? Investiguemos si la radicación es distributiva respecto de la suma algebraica. Para ello vea el siguiente ejemplo. 9 + 16 – 25 = 0 = 0 9 + 16 - 25 = 3 + 4 - 5 = 2 9 + 16 – 25 9 + 16 - 25 Observamos distintos resultados Entonces: la radicación no es distributiva respecto de la suma algebraica Propiedad distributiva de la radicación respecto de la multiplicación y divi-sión. 3 = 216= 6 =6 100 : 4 = 25 = 5

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100 : 4 = 100 : 4 100 : 4 = 10 : 2 = 5 Las definiciones nos ayudan a descubrir: Propiedad distributiva de la radicación respecto de la multiplicación: El producto de raíces de índice n es igual a la raíz de índice n del producto de sus radican-dos. n n n Simbólicamente: a . b = a .b Propiedad distributiva de la radicación respecto de la división El cociente entre dos raíces de índice n es igual a la raíz de índice n del cociente entre los dos radicandos. . n n n

Simbólicamente: a : b = a : b Ya hemos analizado la jerarquía de las operaciones. Veamos como se manifiesta en el si-guiente ejercicio combinado. 82 + 62 - 4 . 32 – (-1) = 64 + 36 - 4 . 9 + 1 = 100 - 36 + 1 = 10 – 36 + 1 = -25

UNIDAD 2: NÚMEROS RACIONALES Antes de introducirnos en el estudio de los números racionales, haremos un pequeño análi-sis sobre los divisores y múltiplos de un número. Números primos y Números compuestos Previo a que lo progresos de la física atómica revelaran que el átomo no es un “indivi-duo” sino una sociedad de partículas subatómicas a veces muy equilibradas, se solía com-parar los números primos con los átomos porque los dos eran divisibles. Estos números se distinguen de los compuestos, los cuales tienen otros divisores naturales, además de 1 y del número en cuestión. Un número es primo, si y solo si, en el conjunto de números naturales, tiene únicamente dos divisores, el número y el 1. Un número es compuesto, sí y solo sí, en el conjunto de números naturales, tiene otros divi-sores distintos del mismo número y el 1.

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Podemos investigar, con los siguientes números, cuáles son primos y cuáles son compues-tos. 89 es primo y se puede escribir como producto sólo así: 89 = 1 . 89 69 es compuesto y se puede escribir 69 = 3 . 23 = 1 . 69 Los números 0 y 1 ¿son primos o compuestos? 0 no es ni primo ni compuesto, porque no tiene un número finito de divisores. 1 no es ni primo ni compuesto, porque tiene dos divisores distintos. Descomposición de un número en sus factores primos Hay varias formas de escribir 120 como producto de dos números naturales: = 1 . 120 = 2 . 60 120 = 3 . 40 Pero, ¿podemos expresar este número como producto de números primos? La respuesta es, sí. Pensando un poquito pondremos 120 = 2 .2. 2. 3 .5 Recordamos la definición de potenciación y escribimos 2 . 2 .2 = 23 Y resulta, 120 = 23 . 3 . 5 Otro camino que podemos seguir para escribir el número 120 como producto de factores primos, es hacer divisiones exactas por la sucesión de números primos: 2 , 3, 5 , 7, 11,13, 17,... La disposición práctica, que seguramente ya conocerán es: 120 2 60 2 30 2 Luego 120 = 23 . 3 . 5 15 3 5 5 1 ¿Podemos descomponer cualquier número natural como producto de números primos? Sí, Así lo afirma el teorema fundamental de la aritmética, que dice: “Todo número natural admite una única descomposición como producto de números primos”. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

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Veamos el siguiente problema. El padre de Solana es pastelero y debe despachar 150 tortas y 315 budines emplean-do el menor número posible de bandejas que contengan varias tortas o budines cada una. En cada bandeja debe haber sólo tortas o sólo budines y todas deben contener el mismo número de unidades. ¿cuántas unidades debe contener cada bandeja? Solana quiere ayudar a su padre a resolver el problema: - Para saber cuántas tortas o budines puede contener una bandeja, necesita conocer cuáles son los divisores de 150 y 315. Además, calcular cuál es el mayor divisor para averiguar el mayor número de unidades que puede poner en cada bandeja, y , así, utilizar la menor cantidad posible de bandejas. - Descompone cada número como producto de factores primos: 150 2 315 3 75 3 105 3 25 5 35 5 5 5 7 7 1 1 Por lo tanto : 150 = 2 . 3. 52 315 = 32 . 5 .7 - Luego analiza si hay factores comunes a los dos números: 150 = 2 . 3 . 5 . 5 315 = 3 . 3 . 5 . 7 - Multiplica los factores comunes elevados al menor exponente, este resultado es el máxi-mo común divisor de 150 y 315: m .c. d (150, 315) = 3 . 5 Cada bandeja debe contener 15 tortas o bien 15 budines. El máximo común divisor (m.c.d) de dos números naturales distintos de cero es el mayor de los divisores comunes de los números dados. Para hallar el máximo común divisor dedos números, se descomponen éstos como produc-to de factores primos, y el máximo común divisor es el producto de los factores comunes a ambas descomposiciones elevados al menor exponente. Ejemplo: Hallar el m.c.d. (30, 45) 30 2 45 3 15 3 15 3 5 5 5 5 1 1

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30 = 2 . 3 . 5 45 = 3 . 3 . 5 m.c.d = 3 . 5 = 15 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Supongamos que se nos plantea esta situación: Daniel y Marcos, profesores de educación física y futbolistas en un club de 1era. B, deci-dieron abrir una escuela de fútbol. Para la propaganda de inauguración, entre otras cosas, imprimieron 5000 folletos y repartieron parte de ellos, y aún les quedaba menos de la mitad de 1500. Los folletos que aún faltaba repartir podían distribuirse en grupos de 30, 35 y 40, sin que sobrara ninguno. ¿Cuál es el número de folletos que tenían? Para resolver este problema debemos tener en cuenta que el número total de folletos que entonces tenían Daniel y Marcos es múltiplo simultáneamente de 30, 35 y 40 porque, al distribuirlos en grupos con ese números de unidades, no sobraba ningún folleto. Por lo tanto, buscamos el mínimo común múltiplo. - Descomponemos cada número como producto de factores primos, por ejemplo, efectuando las divisiones exactas por los sucesivos números primos. 30 2 35 5 40 2 15 3 7 7 20 2 5 5 1 10 2 1 5 5 1 Entonces: 30 = 2 .3 .5 35= 5 . 7 40= 23 . 5 - Necesitamos hallar un múltiplo de los tres números y que, además, sea el menor posible, para ello multiplique los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. m.c.m = (30, 35, 40) = 23 . 3 .5 . 7 = 840 Para que sea múltiplo simultáneamente de 30, 35 y 40, debe serlo de 840. Además debemos considerar que, según el enunciado, el número de folletos es menor que 2500 y mayor que 1500, debe buscar un número múltiplo de 840 que esté compren-dido entre 1500 y 2500. El número que reúne estas condiciones es el 1680. Daniel y Marcos tenían 1680 folletos.

Vamos, ahora, a definir el concepto que utilizamos en la resolución de este problema. El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos números es el menor de los múltiplos distintos de cero y comunes de los números dados..

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Regla práctica: Para hallar el mínimo común múltiplo, se debe formar el producto de los factores primos, comunes y no comunes, que aparecen en las descomposicio-nes de los números elevados a su mayor exponente. Ejemplo: Hallar el m.c.m (30,45) como ya hemos visto 30 = 2. 3 .5 45= 32 . 5 Luego el m.c.m (30,45) = 2 . 32 . 5 = 90

Cuando vimos la operación división y analizamos sus propiedades vimos que la división de números enteros no cumple la ley de cierre. Efectivamen-te, cuando dividimos dos números enteros, no siempre el cociente es un nú-mero entero. Podemos demostrarlo con el siguiente contraejemplo: (-3) : (-5) el resultado de esta operación es un número que seguramente usted ya conoce. Puede expresarse como un número decimal efectuando dicha división (0,6) o puede dejarse indicado en forma de fracción (3/5) Nos enfrentamos ante un nuevo conjunto de números: los Números Raciona-les, que se denotan con la letra Q. Definición: todo número que puede expresarse como cociente de dos números enteros es un número racional. 4 Q -7 Q ¾ Q 1,5 Q 2,6 Q Analicemos los ejemplos que acabamos de mencionar: 4 y –7 son racionales pues admiten ser escritos como cociente de dos enteros. Así 4 = 4 : 1 o 8 : 2, etc Y –7 = -7 : 1 o 14 : (-2), etc Todos los enteros son racionales, pues siempre pueden ser escritos como cociente entre enteros. ¾ es un número racional, pues es una fracción que está indicando el cociente entre el numerador 3 y el denominador 4. Así ¾ = 3 : 4 o –6 : 8, etc 1,5 es un número decimal y es racional, pues puede ser escrito como cociente entre dos

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enteros. Así, 1,5 = 15/10 o simplificando 3/2 que como son fracciones, ya sabemos que son números racionales. Para escribir un número decimal no periódico (de finitas cifras decimales) en forma de fracción, se procede así: - El numerador está formado por todos los dígitos que tenga el número, - El denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el nú-mero. Ejemplos: 0,38 = 38/100 -31,02 = -3102/100 - 0,002 = -2/1000 1500,5 = 15005/ 10 2 ,6 es un número racional. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.Este arco indica que el número tiene infinitas cifras iguales a 6. Es decir 2, 66666666.... Para explicar este caso, observemos que al dividir el numerador por el denominador de distintas fracciones, se pueden presentar distintas situaciones: 1) 90/25 = 3,6 la cantidad de cifras decimales es finita. Esta expresión decimal es exacta. 2) 5/3 = 1,6666... la cifra decimal 6 se repite de manera ilimitada. Basta observar la cuenta de dividir. Es una expresión periódica pura, y se escribe 1,6. 3) 10/33 = 0,303030... con las cifras 3 y 0 sucede lo mismo que en la situación 2). Es una expresión periódica pura, y se escribe 0,30 4) 29/22 = 1,31818.... con las cifras 1 y 8 sucede lo mismo que en la situación 3), pero con la diferencia de estar precedidas por la cifra 3, que no se repite. Ésta es una expresión periódica mixta porque hay cifras decimales que no se reiteran y otras que se repiten en forma ilimitada, y se escribe 1,318. Aquí 1 es la parte entera, 3 es la parte no periódica y 18 la parte periódica o período. Nos podemos preguntar, entonces, cómo hacemos para encontrar la fracción que genera una expresión decimal periódica pura. Si trabajamos con calculadora, obtenemos por ejem-plo: 1 = 0 ,1 0 ,1 = 1 23 = 0,23 = 23 14 = 0, 014 0,014 = 14 9 9 99 99 999 999 Ahora la parte entera no es cero: 1,12 = 1 + 12 = 99 + 12 = 111 = 112 – 1. 99 99 99 99 99 Regla práctica: La fracción generatriz equivalente a un decimal periódico puro se obtiene escribiendo como numerador el número dado sin coma menos la parte entera, y como denominador,

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tantos nueves como cifras decimales tenga la parte periódica. Ejemplos: 1,12 = 112 – 1 = 111 31,4 = 314 – 31 = 283 99 99 9 9 También nos preguntamos cómo es posible encontrar la fracción que genera un decimal periódico mixto. Por ejemplo, consideramos un decimal periódico mixto: x = 1,318 Multiplicamos por 10 y obtenemos un decimal periódico puro: 10 . x = 13,18 Aplicamos la regla anterior: 10 . x = 1318 – 13 despejamos x : x = 1305 99 999 Regla práctica: La fracción generatriz equivalente a un decimal periódico mixto se obtiene escribiendo, como numerador, el número dado sin la coma menos la parte entera seguida de la parte no periódica y, como denominador, tantos nueves como cifras decimales tenga el periodo, se-guido por tantos ceros como tenga la parte no periódica. Ejemplos: 3,12 = 312 – 31 = 281 0,123 = 123 – 1 = 122 90 90 990 990 Resumiendo: Son RACIONALES los naturales, los enteros, las expresiones decimales exactas y perió-dicas puras y mixtas, los fraccionarios. Aclaración: Observemos que –5 = _ 5 = 5 4 4 -4 la fracción _ 5 puede provenir de 5: (-4) o (-5) : 4 4 ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Si la recta en la que se han representado los números enteros se divide en dos partes iguales cada uno de los segmentos que tienen por extremos números enteros consecutivos, quedan representadas las funciones de denominador 2.

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-2 -1 0 1 2 -4 /2 -3/2 -2/2 -1/2 0/2 ½ 2/2 3/2 4/2 Si en lugar de dividir cada segmento en dos partes iguales se lo divide en cuatro partes iguales, quedan representadas las fracciones de denominador 4. -2 -1 0 1 2 -8/4 -7/4 -6/4 –5/4 –4/4 -¾ 2/4 -¼ ¼ 2/4 ¾ 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 -4/2 -3/2 -2/2 -1/2 0/2 ½ 2/2 3/2 4/2 De forma análoga, se podrían representar fracciones de denominadores 3, 5, 6, etc. Como toda fracción de denominador negativo tiene otra equivalente de denominador posi-tivo, resulta que todas las fracciones se pueden representar por el método indicado. En esta representación se observa que: - Las fracciones de numerador cero: 0/2, 0/4, 0/5,...,representan al cero. - Las fracciones que al simplificarlas dan una fracción irreducible de denominador 1, re-presentan números enteros. - 8/4 = -4/2 = -2/1 =-2 -4/4 = -2/2 = -1/1 = -1 8/4 = 4/2= 2/1= 2 - Las fracciones equivalentes se representan con el mismo punto. 3/2 = 6/4 ½= 2/4 -1/2= -2/4 -3/2=-6/4 - Las fracciones de numerador y denominador positivos son positivas, y se representan a la derecha del cero. - Las fracciones de numerador negativo y denominador positivo son negativas, y se repre-sentan a la izquierda del cero. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Usted ha visto en la escuela primaria cómo se opera con números decimales positivos y con fracciones. Para operar con números negativos se procede igual que con números posi-tivos, utilizando las reglas vistas para números enteros. ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Adición de Fracciones Le mostramos una de las formas (la más simple) de sumar fracciones. Decimos que el número racional representado por 7 es la suma de 1 y 1. 12 3 4 Observe cómo hemos obtenido la suma: 1 + 1 = 4 + 3 = 4 + 3 = 7

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3 4 12 12 12 12 Dados dos números racionales representados por a/b y c/d la suma es el número ra-cional representado por ( a . d) + (c . b) / b.d Sumamos así: = a + c = a . d + c . b = a . d + c . b b d b . d d . b b . d = Observe como sumamos 3 y 3 5 2 = 3 + 3 = 3 . 2 + 3 . 5 = 6 + 15 = 6 + 15 = 21 5 2 5 . 2 2 . 5 10 10 10 10 = Observe cómo sumamos 2 y _ 5 3 6 = 2 + _ 5 = 2 . 6 + - 5 . 3 = 12 + -15 = 12 -15 = _ 3 3 6 3 . 6 6 . 3 18 18 18 18 = ¿Y si tenemos 1/7 + 3/28? Podríamos proceder según lo anterior, con lo cual: 1 + 3 = 28 + 21 = 49 = 49 = 1 7 28 196 196 196 4 Pero es más cómodo hacerlo de esta otra manera: 1 + 3 = 4 + 3 = 7 = 1 7 28 28 28 28 4 ¿Entonces qué es lo que más conviene hacer? Encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre los denominadores. Usamos la siguiente regla práctica: Para sumar números fraccionarios, se halla el m.c.m entre los denominadores, luego se

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suman los términos que resultan de dividir el m.c.m por cada denominador y multiplicar por el numerador correspondiente. Ejemplo: 5 + 3 8 20 8 = 23 20 = 23 . 5 m.c.m = 23 . 5 = 40 Procedemos así: 5 + 3 = 25 + 6 = 31 8 20 40 40 Estos son los cálculos auxiliares que hemos hecho: 40 : 8 = 5 5 . 5 = 25 40 : 20 = 2 2 . 3 = 6 Propiedad de la adición de Números Racionales La adición de números racionales. - Cumple la Ley de Cierre (o de clausura) en Q. - Cumple la propiedad conmutativa en Q. - Cumple la propiedad asociativa en Q. ¿Existe elemento neutro de la adición de números racionales ?¿Cuál es dicho número? La respuesta es sí, es elemento neutro de la adición es el cero, ya que a Q, a + 0 = 0 + a = a SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Sustracción de fracciones Uno de los métodos más simples, es similar al que se usa para la suma. Ejemplo: 1 - 1 2 3 Observe cómo obtenemos la diferencia: = 1 – 1 = 1 . 3 – 1 . 2 = 3 + 2 = 3 – 2 = 1 2 3 2. 3 3 .2 6 6 6 6 = Dados los números racionales representados por a/b y c/d hallamos la diferencia de la

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siguiente forma: a – b = a . d – c . b = a . d – c . b b d b . d d . b b .d Sustracción de números decimales Se procede del mismo modo que para restar números enteros, atendiendo a la ubicación de la coma decimal. Ejemplo: 5.327 – 0.0314 5,3270 Se agrega un cero para poder efectuar la sustracción. Esto se puede hacer pues, 5,327 = 5,3270=.........= 5,32700000 0,0314 5,2956 ¿Qué ocurre cuando el minuendo es menor que el sustraendo? Obtenemos como resultado un número negativo. Ejemplo: Si queremos efectuar: 0,924 – 3,21 como 0,924 es menor que 3,21 debemos resolver: 1) 3,21 – 0,924 3,210 - 0,924 2,286 2) Entonces 0,924 – 3,21 = -2,286 obtenemos un número negativo. Propiedades de la Sustracción de Números Racionales La Sustracción de Números Racionales: - Cumple la Ley de Cierre en el conjunto Q. - No cumple la propiedad conmutativa en Q. - No cumple la propiedad asociativa en Q. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

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Multiplicación de fracciones Dados los números racionales representados por a y c el producto de dichos números b d racionales es el número racional representado por a . c b . d Entonces : a . c = a . c b d b .d Observe cómo multiplicamos: 3 . 2 = 3 . 2 = 6 - 1 . 3 = -1 . 3 = -3 = _ 3 5 4 5 . 4 20 2 4 2 . 4 8 8 SUPRESION DE PARENTESIS, CORCHETES Y LLAVES Recuerda que: Todo paréntesis precedido por el signo (+) se puede suprimir sin cambiar los signos de

los términos que están encerrados en el. Todo paréntesis precedido por el signo (-) se puede suprimir cambiando los signos de

los términos que están encerrados en el. Veamos un ejemplo: - 1 + - 3 - - 1 + 3 + 1 = 5 2 2 5 3 - 1 + - 3 + 1 - 3 + 1 = 5 2 2 5 3 - 1 - 3 + 1 - 3 + 1 = 5 2 2 5 3 - 1 + 3 - 1 + 3 - 1 = 5 2 2 5 3 - 6 + 45 - 15 + 18 - 10 = 3216 = 16 30 3015 15

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Multiplicación de números decimales Se multiplica como si fueran números enteros, y luego se coloca la coma decimal al resul-tado, que tendrá tantas cifras decimales como nos indique la suma de las cantidades de cifras decimales de los factores. Ejemplo: 2,43 . 3, 4 Así se organiza el cálculo 2,43 2 cifras decimales x 3,4 . 1 cifra decimal 2 + 1=3 972 729 . 8,262 3 cifras decimales Otro ejemplo: 1,23 . 0, 023 1,23 2 cifras decimales x 0,023 3 cifras decimales 2 + 3= 5 369 . 246 . 0,02829 5 cifras decimales. Es necesario completar con ceros para obtener las 5 cifras decimales correspon dientes. Nota: El signo del resultado se obtiene usando la misma regla vista para multiplicar núme-ros enteros. Propiedades de la Multiplicación de Números Racionales La multiplicación de números racionales: - Cumple la ley de Cierre en el conjunto Q. - Cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Q. - Cumple la propiedad asociativa en Q.

¿Existe elemento neutro de la multiplicación en Q ?¿Cuál es? La respuesta es sí. El elemento neutro de la multiplicación es el uno , ya que ( a ( Q, a . 1 = 1 . a = a DIVISIÓN DE NUMEROS RACIONALES División de fracciones. Dados los números racionales representados por a y c siendo b, d 0, es: b d

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a : c = a . d b d b . c Observe cómo dividimos: _ 3 : 5 = -3 . 3 = -9 4 3 4 5 20 Fíjese que –9/20 es lo mismo que multiplicar “en cruz” de la manera siguiente: _ 3 : 5 = -3 . 3 = -9 4 3 4 5 20 3 La división –3 : 5 también se puede presentar así: 5 5 3 5 3 En este caso, el producto de “los extremos” del cociente se coloca en el numerador y el producto de “los medios” del cociente se coloca en el denominador: -3 5 = -3 . 3 = -9 5 5 . 5 25 3 División de Números decimales Para dividir números decimales se deben igualar las cifras decimales del dividendo y del divisor. Luego se suprimen las comas decimales y se divide normalmente. Ejemplo: 4,16 : 0,23 4 , 16 0 , 23 queda 0,23 que es igual a 23. Se divide: 416 23 . Si se quiere decimales en el resultado se agrega 186 18 un cero al resto y se continúa la división. 02 Ejemplo: 17,21 : 9,2 17 , 21 9 , 20 Se igualan completando con ceros, las cifras decimales, donde sea necesario y luego se suprimen las comas. 1721 920 8010 1,86 este es el resultado con dos cifras

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6500 decimales. 980 Ejemplo: 224,86 : 7 224 , 86 7 , 00 se agrega coma y dos ceros, luego se suprimen las comas. Se divide: 22486 7 . 1486 32,12 0860 1600 200 Nota: El signo del cociente se obtiene siguiendo la regla ya lisa para multiplicar y dividir números enteros. Propiedades de la División de Números Racionales - La división de Números Racionales: - Cumple la ley de cierre en el conjunto Q. - No cumple la propiedad conmutativa en Q. Las propiedades distributivas de la multiplicación con respecto de la suma algebraica y de la división con respecto a la suma algebraica vista en Z, también se cumplen. Potenciación de Fracciones Ejemplo: 2 4 = 2 . 2 . 2 . 2 = 2 .2 .2 .2 = 24 3 3 3 3 3 3. 3. 3. 3 34 Es decir: 2 4 = 16 3 81 Simbólicamente a m = am b bm Para elevar un número racional no nulo a un exponente entero negativo, se invierte la base y se la eleva al opuesto del exponente. Ejemplos: 1) 2 -2 = 5 2 = 25 2) _ 1 -3 = (-8)3 = -512 5 2 4 8 Potenciación de Números Decimales

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Simplemente se aplica la definición de potenciación. Ejemplo: (-0,532)2 = (-0,532) . (-0,532) = 0,28324 Potenciación de la potenciación de Números Racionales La potenciación de números racionales: - Cumple la ley de cierre en Q. - No cumple la propiedad conmutativa en el conjunto Q. - Cumple la propiedad asociativa en Q. - Cumple la propiedad distributiva con respecto a la multiplicación y a la división. - No cumple la propiedad distributiva con respecto a la suma algebraica. RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Radicación de fracciones Se calcula la raíz del numerador y del denominador: Ejemplo: 16 = 16 = 4 9 9 3 Simbólicamente: n a = n a b n b Radicación de Números Decimales Ya hemos visto que la radicación de números enteros no cumple la ley de cierre en Z, es decir, que el resultado de la radicación de un número entero puede ser un número entero o no. En general, para hallar raíces de números decimales usaremos la calculadora. Ejemplo: 2 0,0144 = + 0,12 Propiedades de la Radicación en Q. La radicación de números racionales cumple las mismas propiedades que la radicación de números enteros. La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división siempre que existan las raíces de los factores que intervienen. Le hago notar que la jerarquía operatoria coincide en todos los conjuntos numéricos. Veamos su aplicación en el siguiente ejercicio combinado:

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3 4 . _ 2 -1 – 0,6 = 5 25 -1 = 3 _ 8 - 6 = 125 9 -1 = _ 2 - 6 = 5 9 = _ 5 – 6 = 2 9 = -10 – 12 = -22 = - 11 18 18 9 Ya hemos recordado cómo se trabaja con las expresiones fraccionarias. Las fracciones son una de las formas en que se hallan expresados los elementos de un nuevo conjunto numérico: el de números racionales, que designamos con la letra Q. En el cuadro siguiente figuran los ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.con los que trabajamos hasta ahora. Números naturales (N) Números enteros(Z) Cero Números Negativos Racionales (Q) Fracciones que no representan Números enteros Podemos también representados mediante un diagrama de Venn. Q Z N

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Durante un tiempo este diagrama estará incompleto. Nos falta conocer aún otros conjuntos numéricos, labor que haremos en cursos posteriores. A título informativo, le adelanto que existen números, como 2, que tienen infinitas cifras decimales no periódicas (y por lo tanto no pueden escribirse como fracción), llamados irracionales. Con los números irracionales se completa la recta numérica. El conjunto de números formado por los racionales y los irracionales es el conjunto de los números reales ( R ).

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Recuerda lo que estudiaste en el capitulo de números enteros: Si multiplicamos dos o mas potencias de igual base, el resultado se obtiene colocando la misma base y sumando los exponentes dados. Ejemplo: 1 2 . 1 3 = 1 2 + 3 = 1 5 = 1 3 3 3 3 243 si dividimos dos potencias de igual base, el resultado se obtiene colocando la misma base y debes restar el exponente del dividendo, el exponente del divisor. Ejemplo: 2 5 : 2 3 = 2 5-3 = 2 2 = 4

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5 5 5 5 25 ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Recuerda que lo viste en el capitulo de enteros. Lo recordamos: debes separar muy bien en términos. Fijate en el ejemplo. 3 - 1 . – 1 + 1 : - 2 + 5 - 1 = 8 2 3 3 32 Los arcos te indican como hemos separado!!!!! - 1 . – 1 - 3 + - 1 = 2 2 6 2 - 1 – 3 - 1 = 4 6 2 3 - 6 - 6 = - 93 = - 3 12 124 4 ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Puedes aplicar lo mismo que estudiaste de ecuaciones en N (números naturales). Te lo recuerdo con un ejemplo: 3 x + 1 = - 1 4 2 3 3 x = - 1 – 1 4 3 2 3 x = - 5 4 6 x = - 5 : 3 6 4 x = - 20 10

18 9

x = - 10

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9 Recuerda lo que estudiaste: Todo término que figura restando en uno de los miembros de la igualdad pasa al otro

miembro sumando, y todo término que figura sumando pasa al otro miembro restando. Todo número que figura como factor pasa al otro miembro como divisor y todo divisor

pasa como factor. Conservando su signo!!!!!!!!!!

UNIDAD 3 ECUACIONES E INECUACIONES ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. El Estudio del álgebra es imprescindible para proseguir cualquier otro estudio matemáti-co, y para resolver cuestiones planteadas por diversas ciencias. Para poder resolver dichas cuestiones, es necesario traducirlas al lenguaje simbólico mediante el planteo de una ecuación. Veamos el siguiente problema: Un comerciante ha comprado en una fábrica bicicletas a $95 cada una, y las vende en su comercio a $115. –El traslado de las bicicletas de la fábrica al comercio le cuesta $100. El comerciante quiere conocer la ganancia que obtendrá con la venta de las bicicletas según la cantidad que venda al público. El comerciante piensa así: - En el traslado ha tenido una pérdida de $ 100. - Por cada bicicleta que vende obtiene una ganancia de $ 115 - $ 95 = $ 20 Hace la siguiente tabla:

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N° de bicicletas

Vendidas 0 1 2 3 4

Ganacias en $ -100 20 – 100 20.2 – 100 20.3 – 100 20.4 - 100 En general,

N° de bicicletas vendidas

Ganancias en pesos

x 20 . x - 100 Designando g a la ganancia y x al número de bicicletas vendidas, la situación puede expresarse mediante el siguiente polinomio: g(x) = 20 . x – 100 y le da la ganancia en pesos en función del número de bicicletas vendidas. Si por ejemplo quiere conocer la ganancia obtenida vendiendo 15 bicicletas lo obtendrá calculando g(15) = 20 . 15 – 100 = 200. Por lo tanto si vende 15 bicicletas ganará $ 200. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Continuando con el ejemplo anterior, supongamos que el comerciante se hace la siguiente pregunta ¿Cuántas bicicletas tengo que vender para obtener una ganancia de $ 320? Recordemos que la expresión polinómica que le da la ganancia en función del número de bicicletas vendidas es: g(x) = 20 . x – 100 Entonces tendrá que encontrar el número x que verifique: g(x) = 320 es decir 20 . x = 320 Observemos que en la expresión 20. x – 100 = 320 el término de mayor grado es de uno, por este motivo a esta expresión se la llama ecuación de primer grado con una incógni-ta. ( la x). Resolver: esta ecuación es encontrar el número x que verifica la igualdad, es decir que mul-tiplicándolo por 20 y a este resultado restándole 100 nos dé 320. El número que verifica esta igualdad se llama solución o raíz de dicha ecuación. Podemos comprobar que x = 21 es la solución de la ecuación porque 20 . 21 – 100 =

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320 Por lo tanto el comerciante tendría que vender 21 bicicletas para obtener $ 320 de ganancia. Más adelante daremos el procedimiento para encontrar la solución de este tipo de ecua-ciones. Veamos otro ejemplo: Sea 2x + 4 = x + 1 Vamos a comprobar que esta igualdad no se verifica para cualquier valor de x. Para ello, consideramos los polinomios. F(x)= 2x + 4 y g(x)= x + 1 Formamos las siguientes tablas: x f(x) = 2x + 4 x g(x) = x + 1 -5 2 . (-5) + 4 = -6 -5 -5 + 1 = -4 -4 2 . (-4) + 4 = -4 -4 -4 + 1 = -3 -3 2 . (-3) + 4 = -2 -3 -3 + 1 = -2 -2 2 . (-2) + 4 = 0 -2 -2 + 1 = -1 -1 2 . (-1) + 4 = 2 -1 -1 + 1 = 0 0 2 . 0 + 4 = 4 0 0 + 1 = 1 Observemos que la igualdad f(x) = g(x) es decir, 2x + 4 = x + 1 solamente se verifica para x = -3. Efectivamente. 2. (-3) + 4 = (-3) + 1 La expresión 2x + 4 = x + 1 es una ecuación de primer grado con una incógnita. El número x = -3 que verifica la igualdad es la solución o raíz de la ecuación. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Volvamos a la situación del vendedor de bicicletas. Recordemos que el comerciante tenía el problema de resolver la ecuación: 20 . x – 100 = 320 miembros de la igualdad Veamos como se resuelve... Teniendo en cuenta las propiedades de las igualdades de números, que son: 1- Si a los dos miembros de una igualdad se les suma un mismo número, nos queda otra igualdad. 2- Si a los dos miembros de una igualdad se los multiplica por un mismo número, obtendre-mos otra igualdad.

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3- Si los dos miembros de una igualdad se dividen por un mismo número distinto de cero, nos queda otra igualdad. Para resolver la ecuación debemos “despejar” x, es decir, buscamos obtener una expre-sión así x = ....., para poder hallar la solución. Entonces debemos proceder así: [1] 20. x – 100 = 320 Sumamos 100 a los dos miembros de la igualdad [ 1 ] y nos queda otra igualdad: 20 . x – 100 + 100 = 320 + 100 y resulta [2] 20 x = 420 Dividimos por 20 a los dos miembros de la igualdad [2] y nos queda otra igualdad: 20 x = 420 20 20 Efectuando las divisiones: x = 420 : 20 = 21 Obtenemos la solución x = 21 que es la solución que ya habíamos comprobado. Veamos otro ejemplo... Resolvamos la ecuación [1] 7 x – 10 = 5 x – 2 1) Vamos a pasar el término 5x al primer miembro de la igualdad. Para ello sumamos –5 x a cada miembro de la igualdad [1]. 7 x - 10 – 5x = 5 x – 2 – 5x operamos 7 x – 5 x – 10 = 5x – 5x –2 [2] 2 x – 10 = -2 2) Ahora vamos a pasar – 10 al segundo miembro de la igualdad [2] para ello sumamos 10 a cada miembro de la igualdad: 2 x – 10 + 10 = -2 + 10 y queda [3] 2 x = 8 3) Dividimos por 2 a cada uno de los miembros de la igualdad [3] 2x = 8 2 2 y queda x = 4 4) Ahora comprobamos que x = 4 es la solución de la ecuación 7x – 10 = 5 x – 2, sustitu-yendo en la igualdad x por 4.

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7 . 4 – 10 = 5 .4 –2 = 18 = Luego x = 4 es la solución o raíz de la ecuación [1]. ¿Todas las ecuaciones permiten llegar a un solución? Veamos el siguiente caso... Resolvemos la ecuación 4 x – 2 = 4x + 5 1) Sumando a los dos miembros – 4x 4 x – 2 – 4x = 4x + 5 – 4x 4x – 4x – 2 = 4x – 4x +5 0 – 2 = 0 + 5 Como vemos, esta ecuación no tiene solución. Observación Compruebe que los polinomios g(x) = 2x – 1 y f(x) = 6x – 3 tienen la misma raíz (x= ½ ). Decimos entonces que las ecuaciones 2x – 1 = 0 y 6x –3 son ecuaciones equivalentes. ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Ejemplo: los ahorros de Augusto son $ 100 y los de Héctor son $ 10. Casa semana ahorran $ 20 más cada uno. ¿Al cabo de cuántas semanas los ahorros de Augusto serán el doble que los de Héctor? Es importante releer el enunciado del problema para comprender bien la situación que se nos presenta. Pasos a seguir: 1) Fijamos la incógnita, es decir, el dato desconocido y que queremos hallar. Llamamos,

por ejemplo, x al número que tienen que pasar para que se de la situación que se nos presenta.

2) Ahorros de Augusto al cabo de x semanas: serán los 100 iniciales más $ 20 cada sema-na, es decir:

100 + 20x 3) Ahorros de Héctor al cabo de x semanas serán los $ 10 iniciales más $ 20 cada sema-

na, es decir: 10+ 20 x

4) Imponemos la condición del problema: Ahorros de Augusto igual al doble de los de Héc-

tor. 100 + 20 x = 2 . (10 + 20 x)

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y obtenemos una ecuación con la incógnita x, que resolviéndola queda: 100 + 20 x = 20 + 40 x 100 – 20 = 40x – 20x 80 = 20 x 80 = x x = 4 20 Tendrán que transcurrir 4 semanas.

¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. Paula tiene un año menos que Laura, y la suma de sus edades es mayor que la edad que tendrá Laura dentro de diez años. ¿es posible determinar con exactitud sus edades? ¡Qué complicado!. Traduzcamos primero la información dada al lenguaje simbólico, para poder analizarla más claramente. La edad de Laura es x Paula tiene un año menos que Laura x – 1 La suma de sus edades es x + x – 1 [1] La edad de Laura dentro de diez años es x + 10 [2] Como [1] es mayor que [2] x + x –1 > x + 10 Ha quedado planteada una inecuación, ya que la relación entre los datos del problema es una desigualdad. Apliquemos ahora las propiedades conocidas para hallar la solución. x + x – 1 > x + 10 x + x – 1 > x + 10 Cancelamos x –1 + 1 > 10 +1 Sumamos 1, en ambos miembros, para deshacer la diferencia del primer miembro. x > 11 S = x N / x > 11 Graficamos la recta: (

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Observemos que hay infinitos números naturales que cumplen con las condiciones dadas. No es posible determinar con exactitud las edades de Laura y Paula, sólo podemos afirmar que Laura tiene más de 11 años y Paula más de 10. Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más elementos desconoci-dos , llamados incógnitas. Resolver la inecuación significa hallar el (los) valor (es) de la (las ) incógnita (s) que verifica (n) la desigualdad. ¡Atención con el orden y los números negativos ! Represente en la recta numérica dos números, a y b, tales que a < b . Multiplique a y b por un número negativo y represente estos productos en la misma recta. ¿cómo están ordenados en la recta dichos productos? Supongamos que los números representados son –3 y 1. -3 0 1 -3 < 1 Multipliquemos estos números por –2 y representemos los productos: -3. (-2) > 1 . (-2)

6 > -2 -2 0 1 2 3 4 5 6 Considere otro par de números a y b, que sean múltiplos de un mismo número negativo n. Divida a y b por n. ¿cómo resultan ordenados esos cocientes? Repita las dos experiencias, pero multiplicando y dividiendo por un mismo número positi-vo. ¿Cómo resultan ordenados los productos o cocientes? ¡De este trabajo podemos extraer una conclusión muy importante! Si dos números enteros son distintos, al multiplicarlos o dividirlos por: Un mismo número negativo, se invierte el orden: a < b y n < 0 a. n > b . n Un mismo número positivo, se conserva el orden: a < b y n > 0 a . n < b . n Ejemplo: la diferencia entre 6 y el doble de un número entero es mayor que –2. ¿Qué nú-meros enteros cumplen con esa condición? 6 – 2 x > - 2 Deshacemos la suma del primer miembro restando 6

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en ambos miembros. 6 – 2x – 6 > -2 – 6 Deshacemos la multiplicación del primer miembro dividiendo ambos -2x > -8 miembros por –2 y, como es negativo, invertimos el sentido de la desigualdad. -2x : (-2) > -8 : (-2) x < 4 Luego, el conjunto solución es el conjunto de todos los números enteros menores que 4. S = x / x Z y < 4 ) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Más ejemplos… 1) x + 4 > 6 x > 6 – 4 x > 2 es decir, cualquier número mayor que 2, por ejemplo 3, 11/5, 5, etc., verifican la desigual-dad: ( -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Para x = 3 3 + 4 > 6 En efecto: 7 > 6

Para x = 11/5 11/5 + 4 > 6 En efecto: 31/2 > 6 2) x + 1/3 5/9 + 1/3 x x - 1/3 5/9 - 1/3x 2/3 x 2/9 x 2/9 + 2/3 x 1/3 es decir cualquier número menor o igual que 1/3. Para simbolizar x a o (x a) en la recta numérica, usamos ] ( [ ) ] 1/3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Por ejemplo: 0, -1, -2, etc. Verifican la desigualdad.

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En efecto para x = -1 -1 + 1/3 < 5/9 + 1/3 . (-1) - 2/3 < 5/9 - 1/3 -2/3 < 2/3 3) x/4 > -2/5 Se pasa por el divisor 4 al segundo miembro como factor. x > -2/5 . 4

Se conserva el sentido de la desigualdad porque 4 es positivo O sea x > -8/5 es decir cualquier número mayor que – 8/5. ( -8/5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 por ejemplo: -1 , 0 , 4/3, 6, etc., satisfacen la desigualdad. Para x = -1: -1 > -2 _ 1 > _ 2 4 5 4 5 En efecto, los dos son negativos y el valor absoluto de –1/4 es igual a 0,25 menor que el valor absoluto de –2/5 que es 0,4.

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