Curvas y superficies en el espacio

2º Bachillerato CC de la naturaleza y salud, tecnología

José C. Remiro

Un caso particular: la esfera

La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de otro denominado centro.

Podemos deducir la ecuación de una esfera de centro el origen de coordenadas resolviendo el siguiente problema métrico:

RzyxOPOPd =++== 222)(

Ecuación general de la esfera

Cuando se desea caracterizar una esfera con centro en un punto genérico C (c1,c2,c3) y radio R se obtiene:

( ) ( ) ( ) RczcycxCPPCd =−+−+−== 23

22

21),(

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad y agrupando términos:

0222 =++++++ dczbyaxzyx

Cálculo del centro y del radio

Los coeficientes de grado 2 de x, z e y son todos iguales en la ecuación general de la esfera.

No aparecen los términos en xy, xz e yz.

0222 =++++++ dczbyaxzyx

Dada la anterior ecuación, agrupando cada variable en cuadrado de una diferencia, se obtiene que:

−−−=

2,

2,

2

cbaCentro dcbaRadio −++= 222

Posición relativa de una recta y una esfera

La recta r1 es exterior (sin puntos en común), r2 es secante (dos puntos en común) y r3 es tangente (un punto en común)