curvas en el espacio

8/16/2019 Curvas en el espacio

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Curvas en el espacio

Sea ( ) f t una función vectorial de una variable escalar t :

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3ˆˆ ˆ f t f t i f t j f t k = + +

Entonces para cada valor de t existe un vector de posición dado por:ˆˆ ˆr xi yj zk = + +r

Cuyo punto inicial está en el origen de coordenadas dado y cuyo punto final especifica

un punto p del espacio. Cuando t varía, se dice que P se mueve en una trayectoria

curva. sí por la definición de igualdad de vectores:

( )1 x f t = ! !( )2 y f t = ( )3 z f t =Estas ecuaciones se llaman ecuaciones param"tricas de la curva C en el espacio

con t como parámetro.

Sea P un punto de una curva C para el cual ( ) f f t = y Q el punto que corresponde a

( ) f t t + ∆ , entonces: ( )0

lim 't

R f t

t ∆ →=

∆

rdonde ( ) ( ) R f t t f t = + ∆ − es decir R

resultante de PQ. sí

es el vector

( )' f t es un vector tangente a la curva espacial C en P .

Q

P

#na regla práctica para $allar la dirección de la resultante,

solamente para el caso de vectores de posición, es que

esta resultante siempre estará dirigida $acia el vector de

posición positivo.


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#n punto t i en una curva en el espacio C se llama punto singular de C si ( )' 0 f t =

de otro modo, se llama punto no singular.

%a dirección de la curva en el espacio C en un punto P , es la del vector tangente a C

en P . #na función vectorial suave es una función vectorial que tiene una derivada

continua y no tiene puntos singulares.

Diferenciación de vectores

%as reglas de diferenciación de funciones vectoriales son similares a las

correspondientes, para funciones escalares, con una excepción, para diferenciar el

producto vectorial &cru'( de funciones vectoriales debe conservarse el orden de los

factores, porque el producto cru' no es una operación conmutativa.

Si ( ) ( ) ( ), y A t B t C t son funciones vectoriales diferenciables, además se tiene que

( ) ( )yt t α ϕ son funciones escalares diferenciables, entonces las reglas de

diferenciación que cumplen estas funciones son:

).* ( ) ( ) ( ) ( )' 'd

A t B t A t B t dt + = +

r rr r

+.* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'd

t A t t A t t A t dt ϕ ϕ ϕ = +

r r r

.* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'd

A t B t A t B t A t B t dt

× = × + × r r rr r r

-.* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'd

A t B t A t B t A t B t dt × = × + ×

r r rr r r


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Regla de la cadena para funciones vectoriales

Si t es una variable de una función ( ) A t pero se tiene tambi"n que t es una función

de una variable s por tanto ( )t g s= , así la regla de la cadena se aplica de la siguiente

manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d A g sdA t dA t dA t dg sdt

ds ds dt ds dt ds

= = =

Derivadas de funciones vectoriales de mas de una variable

#na función vectorial f de dos variables yu v asigna a cada punto ( ),u v

región un vector nico

de alguna

( ), f u v

En un sistema coordenado rectangular que sea dependiente de tres variables , yu v w

la función ( ), , f u v w se representa como:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ˆˆ ˆ, , , , , , , , f u v w f u v w i f u v w j f u v w k = + +/onde las componentes

1 2 3, , f f f son funciones escalares dependientes de las variables

, y .u v w %a derivada parcial u f del vector f se define por:

u

f f

u

∂=

∂

r


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/e modo similar, definimos las derivadas parciales de f yv wcon respecto a , así:

v

f f

v

∂=

∂

rw

f f

w

∂=

∂

r!

%as derivadas parciales de orden superior se pueden definir tambi"n de esta manera.2

2uu

f f

u

∂=

∂

r! !uv

f f

v u

∂ ∂= ÷∂ ∂

rvw

f f

w v

∂ ∂=

÷∂ ∂

r

Longitud de una curva

%a longitud de arco ( ) L t de una curva es una función de la variable escalar t desdealgn punto fi0o $asta t .

( ) ( )'t

a

L t f t dt = ∫ r

Problema.* plique la formula de longitud de arco para $allar la longitud de la curva

2 1 y x= + ! con x definida en el rango 1 3 x− ≤ ≤ . Compruebe su resultado observandoque la curva es un segmento rectilíneo y calculando su longitud con la formula dedistancia.

Solución.- 1ara esta curva el vector ( ) f x es: ( ) ( )ˆ ˆ2 1 f x xi x j= + +

%a derivada de esta función es: ( ) ( )ˆ ˆ' 2 ' 5 f x i j f x= + ⇒ = , por tanto ( ) L x es:

( ) ( ) ( ) ( )

33

11

' 5 5 5 3 1 4 5

x

a L x f x dx dx x −

−= = = = − − = ∫ ∫ r


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1ara comprobar el resultado calculemos la distancia entre dos puntos con los límites

para x dados en el problema. sí para ( )1 2 1 1 1 x y= − ⇒ = − + = − , para 3 7 x y= ⇒ =

%a distancia entre estos dos puntos es ( ) : L x ( ) ( ) ( )2 2

3 1 7 1 4 5 L x = + + + =

2tra forma de $allar esto es: ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ̂

1 3 3 7 f x i j f x i j= − = − − ⇒ = = +( ) ( ) ( ) ( )

2 21 3 3 1 7 1 4 5 PQ f x f x= = − − = = + + + =

r r

Problema.* 3race la gráfica de la curva

y encuentre su longitud exacta.

( ) ( )cos , sin 0 2t t x e t y e t t π = = ≤ ≤

Solución: %a función del vector de posición es: ( ) ( ) ( )ˆ ˆcos sint t f t e t i e t j= +

%a derivada de esta función respecto del parámetro t esta dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ' cos sin sin cost t t t f t e t e t i e t e t j = − + +

%a magnitud es el valor absoluto de esta derivada:( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

' cos sin sin cos 2t t t t t f t e t e t e t e t e = − + + = r

1or tanto la longitud de arco es:

( ) ( ) ( )2

2 2

0

0

' 2 2 2 1

x

t t

a

L t f t dt e dt e e

π π

π = = = = − ∫ ∫ r


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Vector Tangente y Curvatura

1ara efectos de notación $aremos una precisión acerca de la longitud de arco L y la

función de longitud de arco, que llamaremos s(t). sí llamaremos L a la longitud de

arco escalar en el cual el parámetro t est" definido entre los extremos a y b.

( )' ;b

a

L f t dt a t b= ≤ ≤∫ r

1or lo que la función de longitud de arco s(t) tiene la misma definición de L, pero uno

de sus extremos &el superior( no está definido.

( ) ( )'t

a

s t r t dt = ∫ r ( )

( )'ds t

r t dt

= r

con ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f t r t f t r t = ⇒ =

Si C es una curva suave definida por la función vectorialparam"trica del vector de posición , en donde( )r t ( )' 0.r t ≠

Se tiene que el vector es tangente a la curva en

un punto 1 generali'ado. Se define al vector unitario

tangente con la misma dirección de como:

( )'r t

( )'r t

( )

( )

( )

'

'

r t

T t r t =

r

r ( ) 1T t =


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Cada uno de los vectores en la curva mostrada representa

al vector , por lo que puede decirse que indica la

dirección de la curva.

( )T t ( )T t

%a curvatura de C en un punto dado es una medida de que tan rápido la curva cambiasu dirección en un punto. sí, se define la curvatura &k ( como la variación del vector

tangente unitario respecto de la longitud de arco.

( )dT t k

ds

= ( ) ( )dT t T t ds

dt ds dt

= ( )

( )( )

( )

'

'

dT t dT t T t dt

dsds r t dt

= =

r r

r( )

( )

'

'

T t k

r t

= rcon ⇒ ⇒

Los vectores ormal y !inormal

En un punto dado de una curva suave definida en forma param"trica por el vector de

posición , $ay muc$os vectores que son ortogonales al vector unitario tangente,

pero tengamos en cuenta que la magnitud de es constante, es decir

( )r t

( )T t ( ) 1T t =

( ) 2

1T t =r ( ) ( ) 1T t T t × = ( ) ( ) ( ) ( )2 ' 0d T t T t T t T t dt

× = × = r r r r

1uede verse entonces que son ortogonales, así se define un vector

unitario que llamaremos normal, de la siguiente manera:( ) ( )y 'T t T t

( ) ( )

( )

'

'

T t N t

T t =

rr ( ) 1 N t

=


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Con los dos vectores se puede construir una base de tres vectores

ortonormales, en donde el tercer vector se denomina binormal, se define como:( ) ( )yT t N t

( ) ( ) ( ) B t T t N t = ×

( )' 1 B t =

sí, estos tres vectores forman una tríada que se despla'a punto a punto sobre la

curva C, como se muestra en la figura de arriba. En función de estos vectores se

definen planos sobre la curva que se conocen como: a( 1lano 4ormal.* es el plano

formado por los vectores . b( 1lano 2sculante.* es el plano formado por

los vectores . c( 1lano 3angente.* es el plano formado por los vectores

( ) ( )y B t N t

( ) ( )yT t N t ( ) ( )y . B t T t

1roblema.* Encuentre los vectores unitarios Tangente, ormal y !inormal para:

a( ( ) 2 323, ,r t t t t =r

1&),+5,)( b( ( ) , sen , cost t t r t e e t e t =r

1&),6,)(

Solución.- 1ara el inciso a( se tiene:

( ) ( )

( )

$ $ $ $2

2 4

' 2 2 2 2

3' 4 4 1

r t ti t j k i j k T t

r t t t

+ + + += = =

+ +

r $ $rr

( )

( )

( )

'

'

T t N t

T t =

uuruur ( )

$ $$ $

( ) ( )

12

22 2 4

2 4

2 22 2 4 4 1

4 4 1

ti t j k T t ti t j k t t

t t

−+ += = + + + +

+ +

$r$


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( ) $( ) ( ) ( ) ( ) $ $( )31

2 22 4 2 4 3 21' 2 4 4 4 1 4 4 1 8 16 2 22

T t i t j t t t t t t ti t j k − − = + + + + − + + + + + ÷

r$ $

( )2 2 2

6 12 12 1 324 18' 36 144 144

27 27 27 27 27 27T t

= + + = + + = = ÷ ÷ ÷

r

( ) ( )( )

$ $' 6 12 12 27 1 2 2, ,27 18 3 3 3'

T t i j k N t T t

− + − = = = − − ÷ ÷

$uur uur

( )

$( ) $ $( )

$( ) $ $( ) $ $2 4 9 2 4 12 2 212 6 12 12' 2 23 27 27 27

i j i j i j k i j k

T t i j k

+ + − + + − + −= − + + = =

$ $ $ $r$

l ser estos vectores ortonormales su producto punto es cero:

( ) ( )

$ $ $ $2 2 2 2 2 4 2

03 3 9

i j k i j k

T t N t

+ + − + − − + −

× = × = = ÷ ÷ ÷ ÷

$ $ur uur

( ) ( ) ( )

$ $

( ) $( ) $( ) $ $( )1 1

2 2 1 4 2 4 1 4 2 6 3 69 9

1 2 2

i j k

B t T t N t i j k i j k = × = = − − − − + + + = − + + − −

$ur ur uur

$ $

( ) $ $( ) $ $1 2 2 2

6 3 69 3 3 3

B t i j k i j k = − + + = − + +ur

$ $


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1ara el inciso b( se tiene:

( ) ( )

( )

( ) $ ( ) $

( ) ( )2 2

2

sen cos cos sen'

'sen cos cos sen

t t t t t

t t t t t

e i e t e t j e t e t k r t T t

r t e e t e t e t e t

+ + + −= =

+ + + −

r $rr

( ) $ $sen cost t t r t e i e t j e tk = + +r $

( ) ( )

( )

( ) $ ( ) $

( ) ( )2 2

sen cos cos sen'

' 1 sen cos cos sen

t

t

e i t t j t t k r t T t

r t e t t t t

+ + + − = =+ + + −

r $r

r

( ) ( ) $ ( ) $

( ) ( )2 2 2 2

sen cos cos sen

1 sen 2sen cos cos cos 2sen cos sen

i t t j t t k T t

t t t t t t t t

+ + + −=

+ + + + − +

$r

( ) ( ) $ ( ) $sen cos cos sen

3

i t t j t t k T t

+ + + −=

$r

( ) ( ) $ ( ) $cos sen sen cos

'

3

t t j t t k T t

− − +=

r( )

( ) ( )2 2

cos sen sen cos'

3

t t t t T t

− + +=

r

( ) ( ) ( )2 2 2 2cos 2sen cos sen sen 2sen cos cos 2

'3 3

t t t t t t t t T t

− + + + += =

r

( ) ( )

( )

( ) $ ( ) $' cos sen sen cos 3

23'

T t t t j t t k N t

T t

− − += = ÷

uuruur


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Comprobemos el producto punto entre los vectores 3angente y 4ormal

( ) ( ) ( ) $ ( ) $ ( ) $ ( ) $sen cos cos sen cos sen sen cos

3 2

i t t j t t k t t j t t k T t N t

+ + + − − + − −× = ×

$ur uur

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen cos cos sen cos sen sen cos6

t t t t t t t t T t N t + − + − − −× =ur uur

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2sen cos sen cos sen cos sen cos cos sen sen cos

06

t t t t t t t t t t t t T t N t

− + − + − − + +× = =

ur uur

( ) ( ) ( )

$ $

( ) ( )

( ) ( )

1 1 sen cos cos sen6

0 cos sen sen cos

i j k

B t T t N t t t t t

t t t t

= × = + −− − −

$

ur ur uur

( ) ( ) ( ) $ ( ) $ ( ){ }2 21 sen cos cos sen cos sen 0 cos sen 06

B t i t t t t j t t k t t = + − − − − + − + − − ur

$

( ) $( ) ( ) $1

4sen cos cos sen cos sen6

B t t ti j t t t t k = + + + − ur

$


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1roblema.* Encuentre los vectores unitarios Tangente, ormal y !inormal, y la

curvatura k para:

( ) 3 2 31 13 3, ,r t t t t t t = − +r

Solución.- El vector de posición en su forma vectorial es:

( ) ( )

( )

( ) $ ( ) $

( ) ( )

( ) $ ( ) $

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 4 2 2 42 2 2

1 2 1 1 2 1'

' 1 2 4 1 21 4 1

t i t j t k t i t j t k r t T t

r t t t t t t t t t

− + + + − + + += = =

− + + + + +− + + +

r $ $rr

( ) ( ) ( )3 2 31 13 3 ˆˆ ˆr t t t i t j t t k = − + + +r

( ) ( )

( )

( ) $ ( ) $ ( ) $ ( ) $

( )

( ) $ ( ) $

( )

2 2 2 2 2 2

2 4 22 4 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1'

' 2 4 2 2 1 2 2 1

t i t j t k t i t j t k t i t j t k r t T t

r t t t t t t

− + + + − + + + − + + += = = =

+ + + + +

r $ $ $rr

( ) ( )

( )

( ) $ ( ) $

( )

2 2

2

1 2 1'

' 2 1

t i t j t k r t T t

r t t

− + + += =

+

r $rr ( )

( )

( )

'

'

T t N t

T t =

rr

( )$ $( ) ( ) ( ) $ ( ) $

( )

2 2 2

22

2 2 2 2 1 1 2 1 2 2'

2 1

ti j tk t t i t j t k t T t

t

− + + + − − + + + =+

$ $r

( )

$ $( ) ( ) ( ) $ ( ) $

( )

2 2 2

22

1 1 2 1

' 21

ti j tk t t i t j t k t

T t t

− + + + − − + + + = =+

$ $r


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( ) ( )

( )

( ) ( ) $

( )

2

22

2

22 1

1'

2'

1

ti t jt T t

N t T t

t

− + − += =

+

$uur

uuruur

( ) ( ) ( ) ( ) $ ( ) ( ) $

( )

2 2 2 2 2 2

22

1 1 1 2 1 1' 2

1

t t t t i t t j t t t t k T t

t

− + − − + + − + + − + =+

$r

( ) ( ) $

( )

2

22

2 1' 21

ti t jT t t

− + − = +

$

r ( )( )

( ) 22 2

22

2' 4 11

T t t t t

= + − +

r

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

22 2 4 2

2 2 22 2

2 2 2' 4 1 2 1

11 1

T t t t t t

t t t

= + − + = + =

++ +

r

( ) ( )

( )

( ) $

( )

2

2

2 1'

1'

ti t jT t N t

t T t

− + −= =

+

$uuruur

( )

( )

'

'

T t k

r t = r

( )

( ) ( )

2

22 2

2

1 1

1 2 1

t k

t t

+= =

+ +


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( ) ( ) ( )( )

$

( ) ( )

( )

2 2

22

2

ˆ

11 2 1

2 12 1 0

i j k

B t T t N t t t t t

t t

= × = − ++

− −

$

ur ur uur

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) $ ( ) ( ) ( ){ }2 22 2 2 2

22

1 ˆ1 1 2 1 1 22 1

B t T t N t t t i j t t k t t t

= × = − − + − + + − + +

ur ur uur$

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) $ ( ) ( ){ }

22 2 2 2

22

1 ˆ1 1 2 1 1

2 1

B t T t N t t t i j t t k t

t

= × = − − + − + + +

+

ur ur uur$

( ) ( ) ( ) ( ) $ ( )

( )

2 2

2

ˆ1 2 1

2 1

t i t j t k B t T t N t

t

− − + += × =

+

$ur ur uur


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curvas en el espacio

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