curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA

INGENIERÍA MECÁNICA

TEMA: Curvas y Superficies de Nivel: Trazado de funciones de dos variables

ASIGNATURA: Análisis Matemático II

INTEGRANTES: Daniel Orozco 6999Santiago Toledo 7037Fausto Orozco 7049José Luis Ramírez 7073Stalin Totoy

SEMESTRE: Tercero “B”

FECHA Y LUGAR: Riobamba, 29 de Abril del 2016

1

ContenidoINTRODUCCIÓN...............................................................................................................2

OBJETIVOS....................................................................................................................... 3

MARCO TEÓRICO.............................................................................................................3

CURVAS DE NIVEL.................................................................................................3

SUPERFICIES DE NIVEL.................................................................................................8

FUNCIÓN DE DOS VARIABLES....................................................................................12

TRAZADO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES..............................14

APLICACIONES DE LAS CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL...........................................19

BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................22

1

INTRODUCCIÓNUna función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja

de números reales (x , y ) un y sólo un número real z.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas

(x , y , z) en donde (x , y )está en el dominio de f y z=f (x , y ). Este conjunto de puntos

forma una superficie en el espacio tridimensional.

Las curvas de nivel para una función de dos variables son las curvas con ecuaciones

f (x , y )=k donde k es una constante (en el recorrido de f).

Esta representa el conjunto de todos los puntos en que f toma un valor dado k, en

otras palabras muestra donde la función tiene una altura k. Las curvas del tipo

f (x , y )=k son los trozos de la grafica de f en el plano z=k proyectado sobre el plano

xy.

2

OBJETIVOS Conocer la definición y las aplicaciones de las curvas y superficies de nivel.

Describir el procedimiento del trazado de funciones de dos variables.

MARCO TEÓRICO

CURVAS DE NIVEL

Sea una función f :R2→R

( x , y )→ z=f (x , y )

Suponga que la superficie z=f (x , y ) se interseca con el plano z=k, Al proyectar dicha

intersección en el plano (x , y ), obtenemos una curva lo que se denomina curva de

nivel.

Esta curva proyectada tiene a f ( x , y )=k (k = 0, ±1, ±2,….,±n) como una ecuación, y la

curva se denomina curva de nivel de la función f en k. Al ubicar dichos puntos en el

espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.

Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la superficie que se

encuentra a k unidades sobre ella si k es positivo, o a k unidades debajo de ella si k es

negativo. Al considerar diferentes valores para la constante k se obtiene un conjunto

de curvas de nivel llamado mapeo de contorno.

3

El conjunto de todos los valores posibles de k es el cotradominio o recorrido de la

función f, y cada curva de nivel, f ( x , y )=k , del mapa de contornos consiste de los

puntos (x , y ) del dominio de f que tienen un valor de función igual a k.

EJERCICIOS:

1. Construir las curvas de nivel de la función f (x , y )= x2+ y2

2 x

Solución:

f (x , y )=k , es una curva de nivel para cada k∈Z. Luego k= x2+ y2

2 x , entonces

2 xk=x2+ y2→ (x2−2 xk+k2 )+ y2=k2, luego

(x−k)2+ y2=k2 representan una familia de circunferencias que son las

curvas de nivel con centro en (0 , k ).

Para k=1 entonces tenemos la ecuación (x−1)2+ y2=1




4

2. Construir las curvas de nivel de la función f ( x , y )=( y−1 )2−(x−1)2

Solución:

f (x , y )=k , es una curva de nivel para cada k∈Z. Luego k=( y−1 )2−(x−1)2 ,

representan una familia de Hipérbolas que son las curvas de nivel con centro en

(1,1) con su eje mayor en el eje Y.

Para k=1 entonces tenemos la ecuación 1= ( y−1 )2−( x−1)2

Para k=5 entonces tenemos la ecuación 5=( y−1 )2−(x−1)2



3. Construir las curvas de nivel de la función f ( x , y )= ( x−1 )2

9+

( y−2 )2

4

Solución:

5

f (x , y )=k , es una curva de nivel para cada k∈Z. Luego k= (x−1 )2

9+

( y−2 )2

4

después 1= ( x−1 )2

k .9+ ( y−2 )2

k .4 que representan una familia de Elipses que son las

curvas de nivel con centro en (1 ,2) con su eje mayor en el eje X.

Para k=1 entonces tenemos la ecuación 1= ( x−1 )2

9+

( y−2 )2

4

Para k=2 entonces tenemos la ecuación 1=( x−1 )2

(2)9+

( y−2 )2

(2)4


(3)9+

( y−2 )2

(3)4


(4 )9+

( y−2 )2

(4)4

4. Sea R2→R tal que z=f (x , y )=x2+ y2

Solución: La grafica de f es la superficie que tiene la ecuación z=x2+ y2. La

traza en el plano xy con z = 0 resulta x2+ y2=0 , la cual representa el origen. Las

trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones y=0 y x=0.

6

Estas trazas son parábolas z=x2 y z= y2. Tomando k>0, la curva de nivel

correspondiente a z=k es la circunferencia k=x2+ y2y tomando k=1 la curva

de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x , y ) tales que 1=x2+ y2

que paralelo al plano xy, es una circunferencia con su centro en el eje z y de

radio √k . Con esta información se obtiene la gráfica requerida, la cual se

muestra en la figura que es un paraboloide circular y al mirar la superficie hacia

abajo desde un punto del eje z observamos las curvas de nivel de valores de

k=1,2,3,4,5 y6.

5. Se f la función definida por f ( x , y )=8−x2−2 y .

Dibuje la gráfica de f y un mapa de contornos de f que muestre las curvas de

nivel.

Solución: La grafica de f mostrada en la figura, es la superficie

z=8−x2−2 y.

Al considerar z=0 se obtiene la traza en el plano xy, la cual es una parábola

x2=−2( y−4) . Si se considera y=0 y x=0, se obtienen las trazas en los planos

xy y yz, las cuales son, respectivamente, la parábola x2=−( z−8 )y la recta

2 y+ z=8. La sección transversal de la superficie obtenida en el plano z=k es

7

una parábola que tiene su vértice en la recta 2 y+ z=8 del plano yz y abre a la

izquierda. Las secciones transversales para z=8 ,6 ,4 ,2,0 ,−2,−4 ,−6 y−8 se

muestran en la figura.

Las curvas de nivel de f son las parábolas x2=−2( y−4+12k ). El mapa de

contornos de f junto con las curvas de nivel requeridas se presenta en la figura.

SUPERFICIES DE NIVEL

En forma similar para el caso f :R3→R , se obtienen f (x , y , z)=k llamadas superficies

de nivel.

Las funciones de tres variables tienen superficies de nivel, concepto análogo al de

curvas de nivel para funciones de dos variables. Si f es una función cuyo dominio es un

conjunto de puntos de R3, entonces k es un número del contradominio de f , la gráfica

de la ecuación

f ( x , y , z )=k

8

Es una superficie de nivel de f en k . Cada superficie en el espacio tridimensional

puede considerarse como una superficie de nivel de alguna función de tres variables.

EJERCICIOS

1. La función f está definida por: f ( x , y , z )=x+2 y+4 z

Dibuje las superficies de nivel fpara los siguientes valores de k :16 ,12 ,8 , 4 y2

Solución: Una ecuación de la superficie de nivel de f en k es

x+2 y+4 z=k

Cuya gráfica es un plano. Para los valores dados de k se tienen los planos

paralelos siguientes:

Para k=1 6 entonces tenemos la ecuación x+2 y+4 z=16

Para k=12 entonces tenemos la ecuación x+2 y+4 z=12




2. Si la función g está definida por g ( x , y , z )=x2+ y2−z

9

Encuentre las superficies de nivel para k=−4 ,−2,0,2 y 4.

Solución: La superficie de nivel de g en el número k tiene la ecuación

z+k=x2+ y2, un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 ,−k ) sobre el

eje z. La figura muestra las superficies de nivel

Para k=−4 entonces tenemos la ecuación z−4=x2+ y2

Para k=−2 entonces tenemos la ecuación z−2=x2+ y2

Para k=0 entonces tenemos la ecuación z=x2+ y2

Para k=2 entonces tenemos la ecuación z+2=x2+ y2

Para k=4 entonces tenemos la ecuación z+4=x2+ y2

3. Describir las superficies de nivel para la función f ( x , y , x )=2 x2+ y2

z

Para k=1 ,2 ,3 ,4

Solución: La superficie de nivel de f en el número k tiene la ecuación

k=2x2+ y2

z, entonces zk=2 x2+ y2 que representa una familia de paraboloides

elípticos cuyo vértice es el punto (0,0 ,0).

10

Para k=1 entonces tenemos la ecuación z=2 x2+ y2

Para k=2 entonces tenemos la ecuación 2 z=2x2+ y2

Para k=3 entonces tenemos la ecuación 3k=2x2+ y2

Para k=4 entonces tenemos la ecuación 4 k=2 x2+ y2

4. Si la función w está definida por w ( x , y , z )=x2+ y2−z2

Encuentre las superficies de nivel para k=−4 ,−3 ,−2 ,−1.

Solución: La superficie de nivel de w en el número k tiene la ecuación

k=x2+ y2−z2, una familia de hiperboloides de dos hojas cuyo eje es el eje Z. La

figura muestra las superficies de nivel.

Para k=−1 entonces tenemos la ecuación −1=x2+ y2−z2




11

5. Para el mismo ejemplo anterior se puede cambiar los valores de k a valores

positivos obteniendo un cambio en los signos de la ecuación que nos da otra

gráfica. Graficaremos la ecuación para k=1 ,2 ,3 ,4

w ( x , y , z )=x2+ y2−z2

Para k=−1 entonces tenemos la ecuación 1=x2+ y2−z2




12

FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja

de números reales (x , y ) un y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un

número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden

a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z=f (x , y )

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable

dependiente.

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas

(x , y , z) en donde (x , y ) está en el dominio de f y z=f (x , y ).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que

consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas

13

están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x , y , z). Como el

dominio de f Dfes un conjunto de puntos del plano (x , y ), y puesto que cada par

ordenado (x , y ) del dominio de f (Df ¿corresponde a solo un valor de z, ninguna recta

perpendicular al plano (x , y ) puede intersectar a la grafica de f en más de un punto.

TRAZADO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Para trazar la gráfica de funciones de la forma z=f (x , y ), se sigue el mismo

procedimiento que para trazar superficies de la forma F (x , y , z )=0 , que son los

siguientes:

1) Determinamos el dominio de la función Df

2) Hallamos la intersección con los ejes coordenados.

a) Con el eje X: En la ecuación F ( x , y , z )=0se hace y=z=0 , esdecir

F ( x ,0 ,0 )=0

b) Con el eje Y: En la ecuación F ( x , y , z )=0se hace x=z=0 ,es decir

F (0 , y ,0 )=0

c) Con el eje Z: En la ecuación F ( x , y , z )=0se hace x= y=0 , esdecir

F ( x ,0 ,0 )=0

3) Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.

a) Traza sobre el plano XY : En la ecuación F ( x , y , z )=0se hace z=0 , es

decir F ( x , y ,0 )=0

b) Traza sobre el plano XZ: En la ecuación F ( x , y , z )=0se hace y=0 , es decir

F ( x ,0 , z )=0

c) Traza sobre el plano YZ: En la ecuación F ( x , y , z )=0se hace x=0 , es decir

F (0 , y , z )=0

4) Hallamos las curvas de nivel.

z=f (x , y )=k

5) Construimos la superficie.

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EJERCICIOS:

1. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es: x2+ y2−z2=1

Solución:

Determinamos el dominio de la función Df

El dominio de la ecuación son todos los reales R

Hallamos la intersección con los ejes coordenados.

Con el eje X: Se hace y=z=0, de donde x2=1 entonces x=±1 de

donde los puntos son: (1 ,0 ,0 ) , (−1 ,0 ,0 )

Con el eje Y: Se hace x=z=0, de donde y2=1 entonces y=±1 de

donde los puntos son: (0 ,−1,0 ) , (0 ,−1,0 )

Con el eje Z: Se hace x= y=0, de donde z2=−1 entonces no existe

intersección con el eje Z.

Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.

Traza sobre el plano XY : se hace z=0 , entonces x2+ y2=1 es una

circunferencia.

Traza sobre el plano XZ: se hace y=0 , entonces x2−z2=1 es una

hipérbola.

Traza sobre el plano YZ: se hace x=0 , entonces y2−z2=1 es una

hipérbola.

Hallamos las curvas de nivel.

Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea z=f (x , y )=k entonces

x2+ y2=k es una familia de circunferencias.

Construimos la superficie

La gráfica es un Hiperboloide de una hoja.

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2. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es: x2+ y2+z2=16

Solución:




Con el eje X: Se hace y=z=0, de donde x2=16 entonces x=±4 de

donde los puntos son: (−4 ,0 ,0 ) , ( 4 ,0 ,0 )

Con el eje Y: Se hace x=z=0, de donde y2=16 entonces y=±4 de

donde los puntos son: (0 ,−4 ,0 ) , (0 ,4 ,0 )

Con el eje Z: Se hace x= y=0, de donde z2=16 entonces z=±4 de

donde los puntos son: (0 ,0 ,−4 ) , (0 ,0 ,4 )


Traza sobre el plano XY : se hace z=0 , entonces x2+ y2=1 6 es una

circunferencia.

Traza sobre el plano XZ: se hace y=0 , entonces x2+ z2=16 es una

circunferencia.

16

Traza sobre el plano YZ: se hace x=0 , entonces y2+z2=1 6 es una

circunferencia.


Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea z=f (x , y )=k entonces

x2+ y2=16−k es una familia de circunferencias.


La gráfica muestra una esfera

3. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es: y2

16− z

2

4= x

3

Solución:




Con el eje X: Se hace y=z=0, de donde x /3=0 entonces x=0 de

donde los puntos son: (0 ,0 ,0 )

Con el eje Y: Se hace x=z=0, de donde y2/16=0 entonces y=0 de


Con el eje Z: Se hace x= y=0, de donde z2/4=0 entonces z=0 de



17

Traza sobre el plano XY : se hace z=0 , entonces y2

16= x

3 es una

parábola.

Traza sobre el plano XZ: se hace y=0 , entonces −z2

4= x

3 es una

parábola.

Traza sobre el plano YZ: se hace x=0 , entonces y2

16− z

2

4=0es son dos

rectas.


Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea z=k entonces

y2

16− k

4= x

3 es una familia de parábolas.

Consideramos las secciones paralelas al plano XZ; sea y=k entonces

k16

− z2

4= x

3 es una familia de parábolas.

Consideramos las secciones paralelas al plano YZ; sea x=k entonces

y2

16− z

2

4= k

3 es una familia de hipérbolas.


La gráfica es un Paraboloide Hiperbólico

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APLICACIONES DE LAS CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

Sea f :R2→R

( x , y )→T= f (x , y)

Donde T es la temperatura distribuida sobre una placa, y T=k, entonces obtenemos las cruvas de nivel k=f (x , y ), denominadas ISOTERMAS, que significa que en cualquier punto placa la temperatura es constante.

Sea f :R2→R

( x , y )→V=f (x , y )

Donde V es el potencial eléctrico distribuido sobre una placa, y V=k, entonces obtenemos las curvas de nivel k=f (x , y ), denominadas CURVAS EQUIPOTENCIALES, que significa que en cualquier punto de la placa el potencial eléctrico es constante.

Sea f :R2→R

( x , y )→P=f (x , y )

Donde P es la presión distribuida sobre una placa, y P=k, entonces obtenemos las curvas de nivel k=f (x , y ), denominadas CURVAS ISOBÁRCIAS, que significa que en cualquier punto de la placa la presión es constante.

( x , y , z )→T=f ( x , y , z )Sea f :R3→R

19

Donde T es la presión distribuida sobre una placa, T=k, entonces obtenemos las superficies de nivel k=f (x , y , z ), denominadas ISOTERMAS, que significa que en cualquier punto de la superficie la temperatura es constante.

Sea f :R3→R

( x , y , z )→V= f (x , y , z)

Donde V es el potencial eléctrico distribuido sobre una placa, y V=k, entonces obtenemos las superficies de nivel k=f (x , y ), denominadas SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES, que significa que en cualquier punto de la superficie el potencial eléctrico es constante.

Sea f :R3→R

( x , y , z )→P=f (x , y , z)

Donde P es la presión distribuida sobre una superficie, y P=k, entonces obtenemos las superficies de nivel k=f (x , y ), denominadas SUPERFICIES ISOBÁRCIAS, que significa que en cualquier punto de la superficie la presión es constante.

EJERCICIOS

El potencial eléctrico en un punto (x , y ), es V ( x , y ) voltios y está dado por:V ( x , y )=−x2+3 y−6

Dibuje las curvas equipotenciales de V para 5, 10, 15 voltios.

Solución V ( x , y )=k, entonces

k=−x2+3 y−6, es decir

y= x2+6+k

3 Que representa una familia de parábolas:

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La presión de un gas en un punto (x , y , z), del espacio tridimensional en atmósferas está dado por:

P ( x , y , z )=4 x2+2 y2

z

Describa y represente gráficamente las superficies isobáricas para 2, 4, 6 atmósferas.

P ( x , y , z )=k, entonces

k=4 x2+2 y2

z, es decir

z=4 x2+2 y2

k que representan una familia de paraboloides elípticos,

Si P=2atm . →z=2x2+ y2

Si P=4atm . →z=x2+ 12y

2

Si P=6atm . →z=23x

2

+ 13y2

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BIBLIOGRAFÍA ESPINOZA RAMOS, E. Análisis Matemático III. 3ra ed. Lima: Edit. Servicios

Gráficos JJ. 2010. (pag 297 – 320)

LEITHOLD, L. El Cálculo. 7 ed. México: Litográfica Eros, S.A. de C.V. 2003 (pag

917- 940)

CHÁVEZ, L. Análisis Matemático II. Teoría y Ejercicios. Riobamba. 2013

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curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables

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