curvas verticales
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL
"LISANDRO ALVARADO"
DECANATO DE INGENIERIA CIVIL
BARQUISIMETOVENEZUELA
Departamento de Ing Vial
Ingeniera Vial I (21055)
Ing Jos Ral de la Cruz
Secciones 101/51-52-54
CURVAS VERTICALES
Los tramos contiguos de pendiente constante del Alineamiento Vertical
deben ser enlazados por arcos de curvas que satisfagan las exigencias de
seguridad y confort que caracterizan un trazado racionalmente diseado. Cada
punto de este alineamiento est caracterizado por su distancia horizontal
respecto al punto que se toma como origen (progresiva) y por su altura referida
a un plano horizontal que sirve de referencia altimtrica (cota).
Es as como el alineamiento vertical presenta una rasante conformada
por tramos de pendiente constante y tramos de pendiente variable. A los
primeros se les designa como longitudes rectas y a los segundos como curvas
o acuerdos verticales. Cabe destacar que las rectas de los alineamientos, tanto
horizontal como vertical, tienen un elemento comn: su longitud, pero las del
horizontal se singularizan por su direccin, mientras que las del vertical lo
hacen por su pendiente. As, una longitud recta puede estar inserta, o no, en
un alineamiento horizontal.
De manera anloga a como se realiza la transicin de curvatura
horizontal (incremento constante de la aceleracin centrpeta) es deseable
que se verifique la transicin de curvatura vertical cuando se enlazan con
Alineamiento vertical: Proyeccin de la rasante sobre el plano
vertical que contiene al alineamiento horizontal. Sin escala.
Curva
Vertical 1 Curva
Vertical 2
Curva
Vertical 3
Longitud
Recta
Longitud
Recta
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arcos de una determinada curva, dos longitudes rectas contiguas. Para
obtener el resultado deseado deben emplearse arcos de una curva cuya
razn de variacin de la pendiente, por unidad de longitud, sea constante,
esto es:
integrando:
e integrando nuevamente:
ecuacin que corresponde a una parbola cuadrtica.
En el sistema viario (no el ferroviario) la curva vertical por excelencia es
la parbola cuadrtica de eje vertical; esta curva compite favorablemente en
el aspecto cinemtico con otras curvas otrora ensayadas ya que la
componente horizontal del vector velocidad es constante. A las razones antes
expuestas se aade la relativa sencillez de clculo de sus elementos
geomtricos.
CLASIFICACIN DE LAS CURVAS VERTICALES
Hay dos clasificaciones a considerar: a) por el sentido de su curvatura y
b) por su simetra respecto de la vertical que contiene al punto donde las
tangentes la intersecan. En la primera de las clasificaciones el elemento a
considerar es la concavidad o convexidad generada por el desarrollo de la
curvatura diferencindose las curvas en convexas y cncavas.
Curvas Verticales. Izquierda: convexa; derecha: cncava. Sin escala.
pice
pice
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En la grfica que antecede a este prrafo el arco de parbola empleado
como enlace convexo contiene el pice de la curva (punto de mxima cota) y
ste a su vez se localiza en la vertical que contiene al y al (Centro
de la Curva Vertical). Esta situacin geomtrica solo ocurre cuando las
pendientes de las tangentes a enlazar ( y ) son de igual valor absoluto
pero de signo contrario. En el acuerdo cncavo de la misma figura el pice,
que se encuentra tambin dentro del arco de parbola, se ha desplazado a la
derecha de la vertical que pasa por el como consecuencia de la menor
inclinacin (absoluta) de la tangente de salida. Si continuamos disminuyendo
la inclinacin de la pendiente de salida, hasta anularla, el pice coincidir
planoaltimtricamente con el punto final de la curva vertical y el
corrimiento del pice respecto de la vertical que contiene el ser
mximo; el punto siempre estar en dicha vertical.
Si continua la rotacin de la tangente, ahora tomando la pendiente
valores negativos pero sin sobrepasar el valor de la de entrada, el arco
utilizado como acuerdo vertical no contendr el pice de la parbola que se
localizar fuera del enlace. Grficamente la situacin es la siguiente:
En todas las situaciones hasta ahora planteadas, sean las curvas
verticales convexas o cncavas, la distancia horizontal, medida sobre el
alineamiento horizontal, entre el y los puntos de tangencia a cada lado
del mismo, es igual y equivalente a siendo la longitud proyectada
del arco de parbola que se emplea como enlace. Esta es otra propiedad
geomtrica de la parbola que nos conduce al anlisis de la segunda de las
Acuerdo Vertical cncavo entre dos tangentes con pendiente
negativa. (Algebraicamente). Sin escala.
pice
Eje de Simetra
de la parbola
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clasificaciones ya mencionadas: la simetra. La figura que sigue al prrafo
ilustra grficamente los principales elementos geomtricos de una Curva
Vertical Asimtrica cuya caracterstica ms resaltante la constituye el hecho
de estar conformada por dos arcos de parbola (o ms de dos, pero la
solucin, elegante en lo que respecta al anlisis matemtico, tiene escaso
valor utilitario) de distinta curvatura y longitud, unidos en un punto de la
vertical que contiene al . Al punto de unin de los dos arcos, usualmente
denominado , preferimos llamarlo Punto de Unin, para evitar
ambigedad o confusin con el punto de las curvas simtricas. Los
enlaces verticales asimtricos, que las normas viales venezolanas no objetan,
pero que no son acogidos por las legislaciones viales de algunos pases, son,
cuando su diseo es correcto, de gran utilidad y su importancia se pone de
manifiesto cuando hay necesidad de pasar por puntos control (puntos
obligados del itinerario). La distancia vertical del al Punto de Unin
de los dos arcos de parbola es la Externa, que resulta comn a ambas
ramas para lograr la solucin de continuidad que el trazado exige. La
tangente en , paralela a la lnea , interseca a las rectas de
entrada y salida en los puntos y , respectivamente. Las ramas de
la curva asimtrica se convierten as en Curvas Simtricas de longitud y
y curvaturas particulares.
Curva Vertical Asimtrica Convexa. Las ramas a izquierda y
derecha del son de distinta longitud. Sin escala.
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GEOMETRIA DE LAS CURVAS VERTICALES
Hemos ya expresado que en la parbola se verifica una rata constante
de cambio de la pendiente por unidad de longitud:
integrando se tiene:
En el grfico de la pgina siguiente se observa que cuando la
pendiente es la de entrada:
Cuando la pendiente es la de salida
por lo que:
entonces:
Si integramos nuevamente se tiene:
De nuevo en el grfico: cuando por lo que y:
Si denominamos a la diferencia algebraica de pendientes se
tiene:
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: (L)ongitud de la (C)urva (V)ertical
:(P)endiente porcentual de la recta de (E)ntrada
:(P)endiente porcentual de la recta de (S)alida
: (P)unto (I)nterseccin de la (C)urva (V)ertical
: (T)angente (C)urva de la (C)urva (V)ertical
: (C)urva (T)angente de la (C)urva (V)ertical
: (C)entro de la (C)urva (V)ertical
: (P)unto genrico (S)obre la (C)urva
: Distancia (X) entre TCCV y un (PSC)
: Distancia vertical (Y) de un (PSC)
: Distancia vertical (Y) del punto (O)rigen del arco
: (D)esvo de un (PSC)
: (E)xtena
: (F)lecha
: (C)uerda (L)arga
: (P)endiente porcentual de un (PSC)
: (P)endiente de la (C)uerda (L)arga
: Distancia (X) entre TCCV y el (pice)
: Distancia (Y) del (pice)
Plano Horizontal de
Referencia Altimtrica
Prog. pice
Prog. TCCV
Prog. PSC
Principales elementos geomtricos de un Acuerdo Vertical.
pice
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Donde es la cota de cualquier punto en la parbola (implcitamente
de los puntos del arco de acuerdo) referida a la cota del punto .
El desvo bajo la tangente ser:
(
)
(
) (
)
Si observamos el grfico siguiente veremos que A resulta negativa en
las curvas convexas y positiva en las cncavas por lo que el desvo, al
adoptar distinto signo dependiendo de la curvatura del acuerdo, facilitar el
clculo numrico.
Casos posibles de curvatura convexa y cncava en Curvas
Verticales. A: diferencia algebraica de pendientes.
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La frmula para el clculo de cotas deviene entonces en:
Ejemplo:
Cota de un situado a del punto :
Solucin:
Ejemplo:
Con los datos del caso anterior determine la cota del punto .
Solucin:
tambin
El desvo bajo la tangente, cuando este se localiza en la vertical del
es igual a la Externa. Su frmula se obtiene haciendo igual a :
(
)
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Ejemplo:
Con los datos anteriores determine la Externa,
Solucin:
En una curva vertical cncava por ser la Externa un desvo, aunque
particular, adopta signo negativo.
Ejemplo:
Solucin:
La pendiente en un se obtiene evaluando la primera derivada de la
ecuacin general:
Ejemplo:
Con los datos del ejemplo anterior determine la pendiente del
punto :
Solucin:
La pendiente porcentual es:
Este valor es igual a la semisuma de las pendientes de entrada y salida:
El pice de la curva se localizar en el punto de inflexin de la
parbola. Entonces, anulando la ecuacin de la pendiente se obtiene la
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distancia , referida al punto , a la que se encuentra ese punto
culminante.
Ejemplo:
Solucin:
Si en la ecuacin general de la cota de un punto en la parbola,
sustituimos a por su valor particular en el pice, se tiene:
(
)
(
)
evaluando:
Ejemplo:
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Solucin:
Obsrvese que puede ser positivo o negativo y en el presente caso
el signo indica que el pice se encuentra por debajo del punto .
La unin de un con el punto por medio de una recta, forma
una cuerda cuya tangente es:
Ejemplo:
Solucin:
Por analoga con la frmula de la cuerda del punto podemos
escribir:
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Donde es la pendiente porcentual de un punto genrico. Podemos
entonces concluir que: la pendiente de una cuerda es igual a la semisuma de
las pendientes en los extremos del arco que subtiende. As la pendiente de la
Cuerda Larga ser:
Ejemplo:
Con los datos del problema anterior determine y .
Solucin:
La flecha, distancia vertical entre el punto y el punto medio de la
Cuerda Larga, se obtiene diferenciando la cota de dichos puntos; este
segmento de recta vertical, al igual que la Externa, est contenido en la
vertical del :
(
)
(
)
(
)
(
)
[ ]
pero: y entonces:
en efecto:
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Vemos como la flecha y la externa tienen igual signo y valor,
dependiendo el signo del sentido de la curvatura de l enlace.
Resolviendo el siguiente problema se emplearn las frmulas deducidas
hasta el momento.
Ejemplo:
Enlace con una curva vertical de metros de longitud las
tangentes definidas por los datos geomtricos. Determine
asimismo:
1) Cota y Progresiva de los puntos y .
2) Cota y Progresiva de los cuya pendiente es y
respectivamente.
3) Progresiva y Cota del pice.
4) Externa.
5) Cota del punto .
6) Pendiente de la Cuerda Larga.
Datos:
569,704 11+230,15
564,577 11+435,23
574,720 11+725,03
Solucin:
1a) Cota del punto :
(
)
1b) Progresiva del punto :
1c) Cota del punto :
(
)
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1d) Progresiva del punto :
2a) Progresiva del cuya pendiente es :
2b) Cota del cuya pendiente es :
( )
2c) Progresiva del cuya pendiente es :
2d) Cota del cuya pendiente es :
( )
Como se observa las cotas de ambos puntos son iguales por ser sus
pendientes de igual valor y de signo contrario. Esta situacin geomtrica
tiene lugar cuando los puntos se localizan a igual distancia del eje de simetra
de la parbola.
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3a) Progresiva del pice (este punto singular del enlace se localiza en
el arco de parbola y se evidencia por el cambio de signo de las
pendientes de entrada y salida:
Nota: este valor tambin puede obtenerse calculando la semisuma
de las distancias desde a puntos de la parbola con pendiente
de igual valor y distinto signo que tienen igual cota. Empleando los
anteriormente evaluados en este ejemplo, se tiene:
La progresiva entonces ser:
3b) Cota del pice:
4) Externa:
5) Cota del
(
)
(
)
(
)
(
)
4a) Externa (comprobacin):
6) Pendiente de la Cuerda Larga:
(
)
tambin:
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CURVATURA DE LA PARABOLA DE ENLACE
Si con los datos del ejemplo anterior determinramos la variacin de
pendiente en los extremos de distintos arcos de parbola simplemente
estaramos comprobando la caracterstica fundamental de la curva: su rata
constante de variacin de pendiente por unidad de longitud. En efecto:
de la misma forma:
y tambin:
De aqu que generaliza0do puede escribirse:
y entonces:
La constante , propia de cada parbola, es una expresin de su
curvatura y representa la longitud de curva necesaria (medida en proyeccin
horizontal) para que se produzca una variacin uniporcentual de pendiente.
Correlativamente el recproco de equivale a la variacin de pendiente que
tiene lugar en cada metro proyectado de desarrollo de curva.
La prctica usual de diseo de curvas verticales en Venezuela acoge la
pendiente en forma porcentual, que es la utilizada comnmente en EUNA Las
normas viales de muchos pases europeos emplean la forma decimal por lo
que el , que resulta cien veces mayor que el determinado con pendiente
porcentual, tiene tambin una significacin geomtrica: es el radio de
curvatura del crculo osculador en las inmediaciones del pice de la parbola.
Esta expresin de la curvatura segn criterio de algunos proyectistas
permite tener una nocin relativa de la razn de cambio de pendiente de la
curva, facilitndose el diseo geomtrico. Sin embargo, a pesar de que no es
posible establecer terminantemente que el uso de la forma decimal es ms
conveniente que la porcentual, si interesa destacar que el de las a
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pesar de ser cien veces menor que aquel calculado con pendientes
decimales, es una expresin equivalente.
El conocimiento del , denominado de ordinario Parmetro de la Curva
Vertical y ms rigurosamente Coeficiente Angular, es un elemento geomtrico
valioso que permite la simplificacin de algunas de las frmulas hasta ahora
deducidas; veamos:
pero
por lo que la expresin anterior se modifica a:
Otras frmulas tambin se modifican:
Ejemplo:
Se pide:
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Solucin:
tambin:
DISEO DE LAS CURVAS VERTICALES
Los criterios de diseo son, en orden de importancia, seguridad,
drenaje y apariencia. En oportunidades, el efecto sinrgico de dos o ms de
estos aspectos genera resultados de conjunto muy complejos y difciles de
prever por lo que se debe tratar, en la medida de lo posible, de disear con
longitudes de curva que es el aspecto fundamental superiores a las
mnimas.
Criterio de Seguridad
Si en una curva vertical el tramo de carretera que el conductor puede
observar delante es superior a la distancia que requiere para, luego de
divisado un obstculo en la calzada, reaccionar y detener el veh culo, se dice
que la curva es segura. De la misma manera puede la curva considerarse
segura si la distancia visible adelante permite, sin riesgo de una eventual
colisin frontal, el adelantamiento de los vehculos lentos.
Los conceptos Distancia de Visibi lidad de Frenado , y Distancia de
Visibilidad de Paso , combinan tanto aspectos atinentes al propio
conductor: edad, reflejos, estado emotivo, como al vehculo: estado de los
frenos y neumticos, potencia, y aun al obstculo que motiva la detencin:
tamao, color, forma. En sntesis, la complejidad del estudio supera los
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alcances del presente curso1 por lo que nos limitaremos a reportar en la tabla
siguiente los valores de que, de acuerdo a la AASHTO y a las NVV se
asignan a las velocidades normalizadas.
40
50
60
70
80
90
100
110
120
28
35
42
49
56
63
69
76
83
17
28
43
62
84
107
136
168
210
45
63
85
111
140
170
205
244
293
50
60
75
90
110
130
155
180
210
Los valores de de la NVV resultan menores si se les compara con
sus homlogos de la AASHTO, por lo que el uso de valores superiores
redundar en beneficio de la seguridad. Las arriba reportadas
corresponden a detenciones en calzada horizontal por lo que convendra
aplicar, para rasantes con otra inclinacin, la formula siguiente:
Donde:
: Velocidad de proyecto
: Tiempo de percepcin y reaccin
: Factor de friccin Longitudinal
: Inclinacin decimal de la rasante
La inclinacin de la rasante se tomar negativa si la pendiente es
de bajada y positiva si es de subida. A pesar de que las de la
son, para velocidades altas, insuficientes, la correccin no es empleada por
muchos proyectistas y otros solamente la utilizan para el rango de pendientes
1 Para un estudio detallado de estos conceptos vase "Carreteras. Estudio y Proyecto" de
Jacob Carciente y "El diseo geomtrico de Carreteras", Tomo I, de Pedro J. Andueza.
Distancia de Visibilidad de Frenado ; distancia de
reaccin; : distancia de frenado.
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rasante tal vez suponiendo que al usar longitudes de curva
vertical superiores a las mnimas, la correccin resulta innecesaria .
Las distancias mnimas requeridas para el adelantamiento de vehculos
lentos, son marcadamente superiores a las y aquellas
recomendadas por la NVV se tabulan a continuacin:
40
50
60
70
80
90
100
110
120
270
340
420
490
550
610
670
450
830
En las curvas verticales, como en los tramos de pendiente constante, se
deben disponer estas distancias como garanta de la seguridad. Analicemos,
para curvas cncavas y convexas, el diseo que considera las distancias de
visibilidad de frenado y paso.
CURVAS VERTICALES CONVEXAS DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE SEGURIDAD
Caso 1:
La figura de la pgina siguiente representa una curva vertical simtrica
convexa donde la visual del conductor, que es recta y tangente a la alcanzada
en el , al alcanzar la parte superior de un objeto de altura que
obstaculiza el libre trnsito. El ojo del conductor se ha supuesto situado a la
altura sobre la calzada y la distancia entre el objeto y el ojo del conductor ,
es inferior a la longitud de la curva vertical.
Siendo un desvo bajo la recta tangente en el se tiene:
Valores mnimos de la Distancia de Visibilidad de Paso
de acuerdo a las Normas Viales Venezolanas.
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De la misma manera:
Siendo se tiene que:
Elevando al cuadrado la suma de trminos:
(
)(
)
( )( )
( )
( )
Despejando :
( )
Curva Vertical Simtrica Convexa. Caso
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Caso 2:
En este anlisis se supone que supera la longitud de la curva vertical
por lo que el planteamiento grafico terico es el de la figura a continuacin:
Otra propiedad geomtrica de la parbola determina que toda recta
tangente a ella interseca a las rectas de entrada y salida en sendos puntos,
y , separados, invariablemente, por una distancia horizontal
entonces:
y tambin:
Vemos tambin que:
Sustituyendo se tiene:
Para que sea un mnimo debe cumplirse que
; derivando
Curva Vertical Simtrica Convexa. Caso
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entonces la expresin anterior encontramos el valor de que alcanza este
cometido:
(
)
Tomando raz cuadrada en ambos miembros:
En el cociente del miembro derecho el numerador ser positivo si el
denominador no lo es. Anlogamente, si el numerador es negativo el
denominador no lo ser. De aqu que el signo del miembro izquierdo que
conduce a la solucin es el negativo:
Resolviendo y despejando :
Reemplazando la expresin anterior en la ecuacin original y haciendo
, se despeja finalmente :
( )
CURVAS VERTICALES CNCAVAS DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE SEGURIDAD
En general el conductor tiene en la curva vertical cncava sobre
alineamiento recto, visibilidad total de la misma durante las horas diurnas. En
este sentido, salvo por la apariencia, no existen limitaciones a su longitud. No
obstante, el manejo nocturno reduce considerablemente la visibilidad
limitndola al alcance del haz de luces de los faros. Los diseadores de
vehculos, haciendo divergir el haz luminoso en aproximadamente
sexagesimal con respecto al eje longitudinal, garantizan que el alumbrado
aumente la distancia visible adelante . El anlisis de diseo tiene en las
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curvas verticales cncavas dos vertientes dependientes de la relacin entre la
distancia visible adelante y la longitud de curva.
Caso 1:
En la figura anterior el desnivel entre el lmite del haz rayos y la
prolongacin de la recta de entrada es un desvo sobre la tangente. Se
cumple entonces que:
El signo menos del desvo de la expresin anterior obedece a que en
las curvas cncavas este elemento es negativo. Tambin:
Sustituyendo:
Podemos expresar el trmino como:
Siendo el producto un sumando del denominador, un
Curva Vertical Simtrica Cncava. Caso ; : altura de
los faros; : ngulo vertical de la recta de entrada.
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ngulo normalmente restringido en las rasantes de carreteras y un valor
pequeo, no se comete error apreciable al asumir su valor como cero.
Entonces:
Reemplazando:
(
)
Despejando :
( )
Caso 2:
En la figura se observa que:
(
)
(
)
Desarrollando:
Curva Vertical Simtrica Cncava. Caso ; : altura de
los faros; : ngulo vertical de la recta de entrada.
(
)
(
)
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Agrupando trminos:
Anlogamente al caso anterior:
Sustituyendo entonces:
(
)
Desarrollando y agrupando:
Pero: y , por lo que:
y finalmente:
[ ]
Para el clculo de la longitud de las curvas verticales, tanto convexas
como cncavas, en base a la pauta de las N.V.V., se sustituye la longitud
por la Distancia de Visibilidad de Frenado o la Distancia de Visibilidad de
Paso, y respectivamente, segn se trate de disear bajo uno u otro
criterio. Para facilitar los clculos se sustituye por su equivalente
(vase desarrollo terico en pginas 170 y siguientes) resultando las
expresiones del que a continuacin se dan:
( )
( )
( )
( )
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Los valores de tanto de curvas convexas como cncavas, que se
obtienen con las frmulas para son mayores que aquellos calculados
para y por ello habitualmente se disean sin considerar el hecho de
que sea mayor o menor que . Las curvas resultan as ms largas y en
consecuencia ms seguras compensando con creces el incremento en los
costos de construccin.
Si en las expresiones anteriores sustituimos los respectivos valores de
y que la Norma Vial Venezolana adopta, obtendremos el
parmetro de diseo para los casos que nos interesan:
Curvas Convexas con
( )
Curvas Convexas con
( )
Curvas Cncavas con
( )
Los valores de para curvas convexas y Visibilidad de Paso son muy
altos y las longitudes de curva son difciles, si no imposibles de satisfacer.
Por otra parte, se ha comprobado empricamente que un alto porcentaje de
conductores se exime de adelantar en las curvas verticales convexas, aun
diseadas con Visibilidad de Paso, por el temor a una colisin frontal cuando
se invade el canal utilizado para la circulacin contraria. En carreteras
multicanal es obviamente innecesario disear las curvas convexas con
visibilidad de paso. Por las razones expuestas los enlaces verticales
convexos, generalmente, solo se disean con Visibilidad de Frenado.
La tabla de la siguiente pgina muestra los valores de para la
Distancia de Visibilidad de Frenado segn: a) Normativa Vial Venezolana y b)
ASSHTO2, para curvas verticales convexas y cncavas:
2 Acrnimo ingls de la "American Assotiation of state Highway and Transportation
Orficials" de los Estados Unidos de Norteamrica.
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40
50
60
70
80
90
100
110
120
50
60
75
30
110
130
155
180
210
6
8
13
19
28
40
56
76
100
8
11
15
19
24
29
36
43
52
45
63
85
111
140
170
205
244
293
5
9
17
29
46
68
99
140
202
7
12
17
24
32
40
50
61
75
Cotejando los valores del parmetro en los dos grupos de la tabla
anterior se observan diferencias importantes derivadas de las Distancias de
Visibilidad de Frenado que cada organismo acoge para las Velocidades de
Proyecto indicadas. Por ello es conveniente que las longitudes de curva
vertical calculadas con estos parmetros, que son longitudes mnimas, se
aumenten en la medida de lo posible para garantizar un diseo ms seguro.
Puesto que para una velocidad determinada existe un solo valor de
, es posible graficar, como una familia de curvas semejantes, las diversas
rectas de la relacin contra . Entrando en estas graficas con la diferencia
algebraica de pendientes, representada en el eje de las abscisas, y
desplazndose verticalmente hasta interceptar la recta cuya velocidad sea la
de proyecto, obtenemos un punto cuya horizontal, al cortar el eje de
ordenadas, indica la longitud de la curva. En las pginas 183 y 184 se han
representado las rectas de diseo con Distancias de Visibilidad de Frenado
para curvas convexas y cncavas, respectivamente.
Como se observar en las referidas grficas, los valores de tienen
un mnimo absoluto. As, para velocidades de proyecto de hasta , la
longitud mnima absoluta es de . Para velocidades superiores las
longitudes mnimas absolutas de curva vertical aumentan, aparentemente, sin
un criterio que pueda expresarse matemticamente3. Tenemos as que, con
las limitaciones que le son propias a una determinacin grfica, la longitud
mnima absoluta de una curva vertical convexa para una velocidad de
proyecto de es .
3 La Norma Vial Venezolana de 1975 consideraba como longitud mnima absoluta de la curva
vertical aquel la derivada de la aplicacin de la frmula con en . As, para la
longitud mnima absoluta era: valor que resulta ms pequeo que el de la norma de 1985.
Curvas Verticales Simtricas. Valores de para distintas .
Curvas Convexas: Curvas Cncavas: .
-
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
305070
100
200
300
400
500
600
700
800
-
184
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
30
100
150
200
250
300
350
400
40506070
-
185
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Ejemplo:
Solucin:
El valor negativo de la diferencia algebraica de pendientes indica
que la curva es convexa. El de las N.V.V. para es y
entonces ser:
Vemos entonces que el valor de calculado es inferior al mnimo
absoluto obtenido por la grfica. Finalmente la longitud ser .
Ejemplo:
Solucin:
El valor positivo de la diferencia algebraica de pendientes indica que la
curva es cncava. De acuerdo al criterio de la N.V.V. la Distancia de
Visibilidad de Frenado, para , es por lo que el parmetro de la
curva vertical ser:
-
186
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
La prescribe para una de . La longitud de la
curva vertical es entonces:
CURVAS VERTICALES DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE DRENAJE
En los acuerdos verticales cuyas rectas de entrada y salida son de
diferente signo se produce, en algn punto de su longitud, una inflexin con
la subsiguiente anulacin de la tangente. El punto donde ocurre el cambio de
sentido de la curvatura es el pice del enlace y los puntos de su entorno
cercano, a lado y lado, presentan una pendiente muy pequea que dificulta la
evacuacin rpida de las aguas de lluvia que alcanzan la calzada,
particularmente en curvas verticales de elevado parmetro.
El problema atae tanto a curvas convexas como a cncavas pero
sobre todo a estas ltimas cuando el tramo en las inmediaciones del pice se
presenta en trinchera.
Segn criterio de la AASHTO no existen dificultades de drenaje cuando,
en los puntos situados a del pice, la pendiente est en el rango
. Tomando como origen planoaltimtrico el pice de la
curva se tiene:
donde:
Evaluando:
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
La N.V.V. fija este valor crtico en y es usual su representacin
en los grficos Diferencia Algebraica de Pendientes contra Longitud de la
Curva Vertical como una recta que define el lmite para las consideraciones
al drenaje. De esta manera los trazaditas, con el parmetro de diseo y la
inspeccin visual de los grficos identifican aquellas situaciones donde hay
que dar al drenaje una especial atencin, sobre todo si existen brocales o
cunetas donde los materiales acarreados por las, aguas de escorrenta
pudieran acumularse impidiendo la evacuacin rpida de las aguas y
favoreciendo la peligrosa acumulacin.
CURVAS VERTICALES DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE APARIENCIA
Las consideraciones que se hacen en los acuerdos verticales en base a
este criterio, tambin conocido como Criterio de Apreciacin Visual, tienden
a atenuar la distorsin de la perspectiva que los conductores tienen al
aproximarse a ello.
En efecto, para que una curva vertical convexa que acuerda dos
rasantes uniformes con pequea diferencia algebraica de pendientes, resulte
adecuadamente percibida por el conductor, es necesario que su longitud no
sea inferior a un mnimo. La experiencia emprica, acogida por varias
legislaciones viales europeas, fija este mnimo igual a la distancia recorrida
en segundos por un vehculo que se desplace a la velocidad de proyecto;
de ello resulta que:
Con: en metros y
En las curvas cncava. Con pendientes de signo contrario la distorsin
de la perspectiva es muy acentuada recibiendo el fenmeno el nombre de
Verticalizacin de la Rasante de Salida. Esta manifestacin aparente es
tanto ms evidente cuanto desde ms lejos el acuerdo pueda ser observado.
En aquellos que coinciden con alineamientos horizontales rectos, donde
durante el da es, posible, visualizar tambin gran parte de las longitudes
rectas enlazadas, la distorsin perspectiva es tal que los conductores, a
pesar de disponer de visibilidad de paso, no adelantan pues suponen que la
circulacin contraria lo hace a velocidad muy superior a la propia.
La Norma Vial Venezolana solo considera el criterio de apariencia para
las curvas verticales cncavas y establece la longitud en base a la siguiente
frmula:
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Esta longitud resulta el doble de la definida por el criterio anterior y
para casi todas las velocidades de proyecto llegan a superar la longitud
mnima por Criterio de Seguridad:
Ejemplo:
Solucin:
CURVAS O ACUERDOS VERTICALES ASIMETRICOS
Como ya se indic, una curva vertical asimtrica es aquella conformada
por dos arcos de parbola de distinta curvatura unidos en un punto de la
vertical que contiene al . A este punto de unin, asimtrico en cuanto a
sus distancias a los puntos de tangencia, lo denominaremos para
diferenciarlo del punto que en las curvas verticales simtricas se localiza
tambin en dicha vertical, aunque equidistante de los extremos de la curva.
Si por el punto se traza una tangente se producirn las
intersecciones y sobre las rectas de entrada y salida,
respectivamente. Cada una de las porciones, comnmente llamadas ramas,
se comportar como una curva vertical simtrica con parmetros y y
desarrollando horizontales y .
La determinacin de la pendiente en el se basa en la proporcin en
que se encuentran las distancias verticales relacionadas por la siguiente
expresin:
(
)
(
)
(
)
Despejando :
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
La longitud total de la curva asimtrica ser:
y
La geometra de dos arcos de distinta curvatura impone la
determinacin por separado de los elementos de cada rama. De acuerdo a
esto se tiene:
(
)
(
)
(
)
Curva Vertical Asimtrica Convexa.
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Igualando los valores de :
Sumando miembro a miembro:
Tambin se cumple que:
Pero
y entonces:
De la misma manera:
Si establecemos el cociente de las dos expresiones anteriores:
(
)
-
191
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
En el grfico de la pgina 189 se tiene que:
Despejando se tiene:
que resulta la misma frmula de la pendiente en el lo que evidencia el
paralelismo de ambas rectas.
La Externa del enlace, evaluando sobre la rama izquierda, es:
(
)
De la misma manera, ahora evaluando sobre la rama derecha:
Si en la primera de las ecuaciones de la Externa se sustituye a por
su frmula, se tiene:
La flecha, de manera anloga que en las curvas verticales simtricas,
tiene igual valor que la externa:
La cota del punto es:
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Y la del punto :
La cota de un , situado en la rama izquierda, es:
La cota de un , de la rama derecha, tomando como origen el viene
dado por la siguiente frmula:
Si para el clculo de la cota de un de la rama derecha se asume
sentido inverso de recorrido, se utilizara la siguiente expresin:
Finalmente la cota del es:
Criterios para el diseo de las Curvas Verticales Asimtricas
Aunque este tipo de enlace resulta de ordinario ms largo que el
simtrico para condiciones de igualdad de las variables , y es usual su
diseo aplicando consideraciones propias de las curvas simtricas. En este
sentido debe recordarse que los anlisis para la deduccin de los parmetros
se realizaron en base a la geometra de curvas simtricas por lo que su
aplicacin a las asimtricas no es rigurosamente exacta.
Convendra, por razones de seguridad, que el parmetro de cada rama
fuese superior al que correspondera, para la misma velocidad de proyecto, a
una curva simtrica. De esta manera se atenuaran, por una parte, las
eventuales deficiencias metodolgicas y por otra, ya desde el punto de vista
cinemtica, se reducira la eventual discontinuidad dinmica que tendra lugar
al pasar, en el , de una a otra curvatura.
La aplicacin ms importante de las curvas verticales asimtricas se
pone de relieve en aquellos casos en que existiendo puntos control en el
itinerario, no es posible, con una curva simtrica, satisfacer las exigencias de
posicin, tanto de cota como de progresiva, de dichos puntos.
A continuacin algunos ejemplos relacionados con las curvas verti cales
simtricas y asimtricas.
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Ejemplo 1:
A fin de enlazar dos longitudes rectas contiguas se exige que el de
progresiva , tenga cota . Compruebe si la curva empleada
cumple con el criterio de seguridad para visibilidad de frenado de a) la N.V.V.
y b) la AASHTO.
Datos:
Solucin:
Despejando la longitud de la curva vertical:
De acuerdo a las N.V.V. se tiene que:
De acuerdo a la AASHTO:
-
194
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Ejemplo 2:
Se desea disear una curva vertical que en su desarrollo contenga el
punto control de cota y progresiva .
Datos:
Solucin:
Sustituyendo:
(
)
(
)
(
)
La segunda raz solo tiene significacin matemtica y por lo tanto se
descarta. La comprobacin que exige el problema se realiza con la primera
solucin:
Ejemplo 3:
Se desea aprovechar para drenaje un cauce natural y se requiere que el
pice de la curva vertical tenga cota . Compruebe el diseo en base
al criterio de drenaje de la N.V.V.
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Datos:
Solucin:
Sustituyendo:
Para determinar si el diseo est en concordancia con el criterio de
drenaje de la N.V.V. hay primero que efectuar la comprobacin del criterio de
seguridad:
A continuacin determinamos el parmetro de la curva:
Para que se considere el drenaje con especial atencin es menester
que Puesto que el valor de calculado es mayor, se asume que el
diseo el drenaje reviste, en las cercanas del pice, especial consideracin.
Ejemplo 4:
De la curva vertical asimtrica determine los elementos geomtricos
que se requieren a continuacin:
1) Progresiva y cota del
2) Progresiva y cota del
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
3) Pendiente y cota del
4) Externa
5)
6) Pendiente del punto de progresiva
7) Pendiente del punto de progresiva
8) Progresiva y cota del pice
9) Progresiva y cota del cuya pendiente es
Datos:
Solucin:
1a) Progresiva del punto :
1b) Cota del punto :
2a) Progresiva del punto
2b) Cota del punto :
3a) Pendientes del :
3b) Cota del :
(
)
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
(
)
3c) Cota del (comprobacin):
(
)
Recurdese que la diferencia algebraica de pendientes toma su signo
de acuerdo al sentido de recorrido del enlace. Por ello hay necesidad de
modificar los signos de las pendientes involucradas en el cmputo si el
recorrido se considera a la inversa. De acuerdo a lo mencionado y para un
sentido inverso de recorrido, estos son los cambios a realizar en los sign os
de las pendientes para no alterar los valores de las incgnitas:
Donde: y son las pendientes de y salida con signo contrario.
Entonces:
Finalmente:
(
)
En el sentido normal de recorrido el valor de es:
4a) Externa:
4b) Externa (comprobacin):
5a) Clculo de :
5b) Clculo de (comprobacin):
4c) Externa (comprobacin):
-
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Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
5c) Clculo del :
5d) Clculo del :
5e) Clculo del :
6) Pendiente en el de Progresiva :
Por su progresiva inferimos que el punto en cuestin se localiza en la
rama derecha. Su distancia horizontal al ser:
7) Pendiente en el de Progresiva :
8a) Progresiva del pice:
El pice se localizar en la rama que contenga la inflexin, esto es, la
izquierda. Tomando como origen al punto y anulando la ecuacin de la
pendiente se tiene:
8b) Progresiva del pice (comprobacin):
Tomando ahora como origen al se tiene:
( ) [ ]
-
199
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
8c) Cota del pice:
8d) Cota del pice (comprobacin):
( )
( )
8e) Cota del pice (comprobacin):
( )
9a) Progresiva del cuya pendiente es :
El punto, dado el signo de la pendiente, est en la rama derecha por lo
que su distancia al ser:
9b) Cota del cuya pendiente es :
Si en una curva vertical simtrica existen puntos del arco cuyas
pendientes sean iguales y de signo contrario, sus cotas, necesariamente,
sern idnticas. Esta condicin geomtrica es independiente de sus
distancias horizontales al . En los enlaces verticales asimtricos esta
condicin tiene lugar, exclusivamente, cuando los puntos en cuestin
pertenecen a la misma rama. Por ello, la cota arriba calculada, es diferente a
la del punto cuya pendiente es situado en la rama izquierda.
9c) Cota del cuya pendiente es (comprobacin):
[ ]
-
200
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
Ejemplo 5:
Se requiere, por exigencias topogrficas, que el pice de una curva
vertical tenga cota y progresiva . Determine la longitud de
curva vertical que permite satisfacer la referida condicin.
Datos:
Solucin:
(
)
Sustituyendo:
La longitud calculada slo indica que el arco de parbola cuyo
parmetro es
presenta en el pice la cota .
Resta ahora comprobar si la posicin planimtrica del punto es la exigida:
( )
Como se observa la progresiva calculada para el pice no concuerda
con la del dato del problema. Se concluye entonces que utilizando una curva
-
201
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
vertical simtrica no es posible satisfacer la posicin planimtrica del pice.
En el siguiente ejemplo se alcanzar el requerimiento empleando una curva
asimtrica.
Ejemplo 6:
Con los datos del ejemplo anterior disee un enlace vertical asimtrico
que satisfaga las condiciones indicadas.
Solucin:
El primer paso consiste en identificar la porcin de curva asimtrica, o
rama, donde se localiza el pice. Vemos se trata de la izquierda ya que la
progresiva del pice es menor que la del . Expresemos entonces la
progresiva del punto como una funcin de longitud de dicha rama.
La cota del punto tambin puede expresarse con una funcin de la
longitud de la rama donde se encuentra:
La progresiva del pice es:
Y reemplazando:
De donde:
Tambin se tiene que:
Pero:
Y entonces:
-
202
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
igualando (1) y (2) resulta:
La cota del pice es:
Sustituyendo y por sus equivalentes se tiene:
de donde:
Dividiendo (3) y (4) y simplificando:
Si en la ecuacin (3) sustituimos a por su equivalente y
reemplazamos luego el valor , se tiene:
Despejando la incgnita:
La longitud del enlace es entonces:
y su progresiva es:
La cota del punto :
Su progresiva:
-
203
Ingeniera Vial I Curvas Verticales /
La pendiente en el :
La externa del enlace es:
Tambin:
Y la cota del ser:
de igual manera:
La distancia es:
Valor que satisface la condicin planimtrica:
Como comprobacin final calcularemos la cota del pice para
compararla con el valor requerido en el ejemplo: