Matemática III

Curvas Paramétricas

Hasta ahora sabemos que las curvas en el plano se pueden expresar de la forma: y=f (x ) , x=g( y) , e

incluso pueden estar dadas en su forma implícita f ( x , y )=0 . Ahora se analizarán las curvas dadas en su forma de ecuación paramétrica. Las ecuaciones en forma paramétrica hacen posible describir gran variedad de curvas un poco más complejas, extravagantes y extrañas.

Observe que en la figura anterior es imposible describir esa curva por medio de una ecuación de la forma: y=f (x ) ya que dicha curva no pasa la prueba de la línea vertical, en otras palabras, si para la ecuación de esa curva se asigna un valor a la variable x no se obtiene un único valor de y , por tanto no cumple con la definición de una función, entonces no tiene sentido decir que esa curva está dada por una función y=f (x ).

Prueba de la línea vertical: La prueba de la línea vertical se realiza para verificar que una curva cualquiera en el plano este dada por una función y=f (x ), esta prueba consiste en pasar una línea vertical imaginaria por la curva, si corta a la curva en dos puntos entonces dicha curva no es una función y=f ( x ) y si la corta en un solo punto significa que es una función y=f (x ).

Suponga que las variables x y y se dan como función de una tercera variable t llamada parámetro:

{x=f (t)y=g(t )

Estas se denominan ecuaciones paramétricas, donde cada valor de t determina un punto (x , y ) que se puede graficar en el plano cartesiano, el parámetro puede llamarse de otra forma, pero generalmente se usa la letra t . Es importante destacar que estas dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva referida al sistema de ejes cartesianos.

( x , y )=[ f ( x ) , g ( y )]

y

x

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Son ejemplos de curvas dadas en su forma paramétrica:

La Parábola

Ej: Una parábola que intercepta con el eje x en 3 y abre hacia la derecha

De forma Ordinaria De forma paramétrica

x= y2−4 y+3 {x=t 2−2ty=t+1

La elipse

Ej: Una elipse que intercepta con el eje x en ± 3 y con el eje y en ± 6

De forma Ordinaria De forma paramétrica

x2

36+ y2

49=1 { x=√36 ∙ cos (t)

y=√49 ∙ Sen (t)

La circunferencia

Ej: Una circunferencia de radio 5

De forma Ordinaria De forma paramétrica

x2

25+ y2

25=1 {x=√25 ∙ cos (t)

y=√25 ∙ Sen(t )

Para las curvas dadas en forma paramétrica se puede obtener su forma de función o su forma ordinaria, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Dada la ecuación paramétrica {x=t 2−2ty=t+1

y nos dicen que es una parábola, ¿cómo puedo obtener su

forma de función para confirmar que efectivamente sea una parábola?

Se debe despejar el parámetro t de la ecuación donde sea más sencillo hacerlo, como sigue: t= y−1 , ahora sustituyendo el parámetro en la otra ecuación se obtiene:

x=( y−1 )2−2 ( y−1 )= y2−2 y+1−2 y+2= y2−4 y+3

Y por lo tanto, la curva representada por las ecuaciones paramétricas es:

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x= y2−4 y+3

Ejemplo 2:

Dada la ecuación de la elipse { x=√36 ∙ cos (t)y=√49 ∙ Sen (t)

, buscar su forma ordinaria!

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones paramétricas

x2=(√36 )2 Co s2( t)

x2

36=Co s2(t)

y2=(√49 )2 Sen2( t)

x2

49=Sen2(t )

Sumando miembro a miembro:

x2

36+ x2

49=Co s2 (t )+Se n2(t)

Pero se sabe que : Co s2 (t )+Se n2 ( t )=1 , por tanto, la ecuación ordinaria buscada es:

x2

36+ x2

49=1

Ecuaciones con parámetro restringido

En los ejemplos anteriores el parámetro t no está restringido, así que en ese caso t pudiese ser cualquier número real, pero algunas veces t se restringe a estar en un intervalo finito. Por ejemplo la curva paramétrica:

{x=t 2−2ty=t+1

con 0 ≤ t ≤ 4

Empieza en el punto (0 ,1) y termina en el punto ( 8 , 5) ; corrobore esto por usted mismo evaluando el inicio del parámetro “0” y el fin del parámetro “4” en las ecuaciones.

El ejemplo planteado anteriormente se puede escribir en forma general como:

Para una curva : {x=f (t)y=g(t ) con parámetro restringido “entre a y b” ( a ≤ t ≤ b ) , el punto inicial es

( f (a ) , g ( a )) y el punto final es ( f (b ) , g (b ))

Dispositivos de graficación

Actualmente las calculadoras y los programas de graficación se pueden usar para graficar curvas definidas por ecuaciones paramétricas. De hecho, es instructivo observar una curva paramétrica que es

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dibujada con una calculadora, porque los puntos se trazan en orden a medida que se incrementan los valores del parámetro.

Ejemplo: Utilice un dispositivo de graficación para trazar la curva: x= y 4+3 y2.

Si permite que el parámetro sea t= y , en seguida se obtienen las ecuaciones

{x=t 4+3 t2

y=t al usar estas ecuaciones para trazar la curva, se obtiene:

En general, si se requiere hacer una gráfica de una ecuación de la forma: y=f (x ) se pueden usar las

ecuaciones: { x=ty=f (t) o si es de la formax=f ( y ) se puede usar las ecuaciones {x=g(t)

y=t

Los dispositivos de graficación son de extremada conveniencia cuando se grafican curvas complicadas, existen curvas que son imposibles de realizar a mano.

La curva Cicloide

La curva trazada por un punto P sobre la circunferencia de un círculo cuando el circulo rueda a lo largo de una recta se llama Cicloide, si el circulo tiene radio r y rueda a lo largo del eje x , y además si una posición de P está en el origen, un problema típico es deducir las ecuaciones paramétricas del cicloide; pero la idea no es centrarse en deducirla, de hecho es aceptable conocerla.

{ x=r (t−sent )y=r (1−cos t) ;

t∈ R

El arco de la curva cicloide viene de una rotación del círculo, y por lo tanto, se describe mediante el parámetro entre 0 y 360 ° , es decir, 0 ≤ t ≤ 2π , aunque es posible eliminar el parámetro t de la

xxxxx

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ecuación de la cicloide, la ecuación resultante x=f ( y ) resultante es muy complicada y es más conveniente trabajar la cicloide con su ecuación paramétrica.

Ejercicios

1. Bosqueje la curva por medio de las ecuaciones paramétricas dadas. Indique con una flecha, la dirección en la que se traza la curva cuando crece el parámetro t

(a) { x=1+√ty=t 2−4 t

; 0 ≤ t ≤ 5

(b) {x=2cos (t )t−cos (t) ; 0 ≤ t ≤ 2π

(c) {x=5 sen (t)y=t 2 ; −π ≤t ≤ π

(d) {x=e−t+ty=e t−t

; −2 ≤t ≤2

2. Para cada curva paramétrica:- Bosqueje la curva usando las ecuaciones paramétricas para trazar puntos. Indique con una

flecha la dirección en la que se traza la curva cuando aumenta el parámetro.- Elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva.

(a) {x=3 t−5y=2 t+1

; (b) { x=t 2−2y=5−2t

, −3 ≤ t ≤ 4 ; (c) { x=√ty=1−t

(d) {x=Sen (t)y=cos( t) ,

0 ≤ t ≤ π ; (e) {x=Sen (t)y=Csc (t) ,

0 ≤ t ≤π2

; (f) { x=e2 t

y=t +1

3. Suponga que una curva está dada por las ecuaciones paramétricas {x=f ( y)y=g(x ) , donde el intervalo

donde esta definida f es [1,4] y g esta definida en el intervalo [ 2 ,3 ]. ¿Qué se puede decir acerca de esa curva?Sol: La curva estará contenida en el rectángulo descrito por 1 ≤ x ≤ 4 y 2 ≤ y ≤ 3.

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Este documento fue creado con fines educativos para estudiantes de ingeniería.

Fuente Bibliográfica: Cálculo multivariable 6º Ed. ; James Stewart.

Venezuela, mayo 2011