CURVAS EQUIPOTENCIALES

I. OBJETIVOS

1.a. Determinar experimentalmente las graficas de curvas

equipotenciales de 3 configuraciones de carga distinta.

1.b. A partir de esto, obtener las líneas de campo eléctrico de forma

aproximada.

II. FUNDAMENTO TEORICO

Al presentarse una carga unitaria o configuración de cargas en el

espacio esta origina perturbaciones en el espacio circundante. Cuando

las cargas son estáticas se originan 2 magnitudes medibles íntimamente

relacionadas: El campo eléctrico E magnitud de vectorial y el potencial

eléctrico V magnitud escolar, amba función de la posición (x,y,z). [ ].

Cuando se coloca una carga de prueba q0 en un punto P=(x,y,z)

sobre esta activa una fuerza con ser activa Fe da origen eléctrico

provocada por las cargas iniciales en el espacio. Se define el campo

eléctrico como E=Fe/q siendo este un campo conservatorio [ ].

El trabajo realizado para mover una carga en este campo será igual

al trabajo que realiza el campo E pero con signo cambiado.

Wext = - WE

Luego para un desplazamiento infinitesimal ds (Vease Anexos 1)

DW=Fext . dS

Entonces:

dW= - Fe . ds

dW= - q0 E.ds .................................... (1.1)

Para una trayectoria C el trabajo total estará dado entonces por la

integral de línea de E sobre C.

W = - q. c E.ds ................................. (1,2)

1

Se define el potencial eléctrico a suplente potencial V como el

trabajo por unidad de carga que debido hacer una fuerza externa para

traer una carga desde el infinito a la posición que ocupa en el campo E,

por lo tanto la diferencia de potenciales entre el punto A y el punto B

será

W A B / 90 = - donde A; B є C

VAB = VB – VA = ................ (1,3)

Como E es un campo comenvativo, sea una curva C´ ≠ C se define que

VAB = - c E.ds = - c´ E.ds A,B є C, C´/1,4

Entonces vemos que el cambo de potenciado no defiende de la

trayectoria solo de los puntos inicial y final.

Para nuestro caso estudiamos campos producida por cargas

puntuales por lo tanto:

E=Q/4π E0 1/r2 de (1,1) ÷ dW/ q = - E ds cosθ

Pero del anexo 2: ds cosθ=dr

Reemplazando esto último en (1,4) se obtiene:

VAB = - Q/4 π E0 1/r2 dr = - Q/4 π E0 dr / r2 = Q/ 4 π E0 [1/rB –

1/rA]

Por lo tanto de la definición de potenciado:

V(r) = - Edr= Q/4 π E0 [1/r – 1/∞=Q/4 π E0 (1/r)............

(1,5)

Para obtener el campo de una configuración de mucha cargas se

une el principio de super posición.

Al tenativamento, el potencial debido a un campo E uniforme

(Vease Anexos 3) según (1,3):

VAB = - E.ds= -E. dS= - E.(B-A)

Entonces: VAB = |E| |B-A| como ............................ (1,6)

2

Líneas de fuerza

El concepto de líneas de fuerza fue inventado por Michael Faraday. Esta

línea es tal que la fuerza eléctrica sobre una carga en el espacio, siempre

es tangente a la línea. Señalan la dirección del campo E en cualquier

punto. Siempre apuntan en la dirección en la que el potencial es

decreciente de la ec. (1,6) reemplazado para 2 puntas al mismo

potencial.

VA - VB = 0 = E(B-A) cos θ=0 cos θ = 0 ↔ θ = 90°

Entonces el campo E es perpendicular a la superficie que contiene

a los puntos con misma potencial, este lugar geométrico se denomina

superficie equipotencial, y se puede demostrar que en general las líneas

de campo E son perpendicular a toda superficie equipotencial.

Ex potencialmente resulta mucho más sencillo medir el valor del

potencial V en un punto (x,y,z), y además conociendo la función de

potencial se puede determinar el valor del campo E en cualquier punto

mediante la relación

E(x,y,z)=-V V (x,y,z)..................................... (1,7)

Entonces se puede definir al campo E como la razón de cambio de

V respecto a la posición [E] = V/m = N/C.

Para poder medir la diferencia de potencial entre 2 puntos del

espacio necesitaremos establecer una cociente entre estos para esto

utilizaremos una solución conductora de sulfato de cobre la corriente

puede ser medida con un galvometro, por lo tanto en aquellos puntos en

donde no se establezca una corriente serán los que están al mismo

potencial, de esta manera trataremos de encontrar puntos para poder

trazar curvas equipotenciales [ ].

III. EQUIPO

1. Una bandeja de plástico

2. Una fuente de poder DC (zv)

3

3. Un Galvanómetro

4. Electrodos con forma de punta laminas y anillos

5. Solución de sulfato de cobre

6. Tres laminas de papel milimetrado

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

4.1. En una hoja de papel milimetrado se dibujo un sistema de

coordenadas XY tomando como origen el centro de la hoja y se pego

la hoja debajo de la bandeja de plástico.

4.2. Se conecta la fuente de poder a la toma de AC, también se

conectaron los electrodos en forma de punta; como lo indica el

anexo 4.

4.3. Luego se ajusto la fuente de poder 2.2 voltios.

4.4. Se tomo el puntero fijo y se posiciono sobre el eje X en una

coordenada de números enteros entre los electrodos.

4.5. Se conecta un terminal del puntero fijo al galvanómetro y también

se conecta el puntero móvil y el galvanómetro.

4.6. Tomando una coordenada Y fija se movió el puntero movil de forma

paralela al eje X hasta que el galvanómetro marque cero y se apunto

las coordenadas del punto.

4.7. Con el puntero móvil se buscaron 4 puntos sobre el eje X y 4

puntos bajo el eje X, y un punto mas en el eje X con esto se

estableció una curva.

4.8. Para la configuración de electrodos de puntas se llega establecer

10 curvas distintas entre los electrodos.

4.9. Se repitió lo mismo para las configuraciones de electrodos en

forma de laminas y de anillos, leyéndoles previamente.

V. DATOS EXPERIMENTALES

Los datos recogidos en el laboratorio son los puntos en coordenadas XY

para cada curva equipotencial estos puntos se muestran en las tablas N°

1 y N° 3, siendo las respectivas graficas N° 1, N° 2 y N° 3.

* Vease luego de datos experimentales

VI. TRATAMIENTO DE DATOS

6.1. SOBRE LAS GRÁFICAS EXPERIMENTALES:

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6.1.a. Grafica N° 1

En este caso se trato de determinar las curvas equipotenciales

producidas por un polo (2 cargas opuestas separadas la misma

distancia del origen). Observamos una distorsión de las curvas en

la parte cercana al eje X, se trato de aproximar las líneas de campo

E de forma perpendicular a cada curva equipotencial estas curvas

tienen apariencia hiperbólica.

6.1.b. Gráfica N° 2

Aquí se intento reproducir las curvas creadas por 2 planos paralelos

de densidad de carga opuesta. Podemos ver que en la parte media

(cercana al eje x) las curvas son casi paralelas y por tanto las líneas

de campo E son casi rectilíneas en la dirección de +O a –O cercano

a los bordes las líneas se distorsionan hacia fuera, las líneas de

campo E se curvan hacia fuera de las placas.

6.1.c.Gráfica N° 3

Ahora tratamos reproducir las curvas creadas por la distribución de

2 anillos con sus centros posicionales en (x,y)=(-7,0) para el anillo

con carga – Q y (x,y)=(7,0) para el anillo con carga +Q se observa

que las curvas son muy similares a las de la gráfica N° 4 en la

distribución de cargas puntuales, excepto que aquí no se observa

una distorsión entre la línea que une los anillos, además se produjo

un total de 12 curvas, las 2 adicionales son las que bordean los

anillos, y están incompletas por que no se hallaron mas puntas con

el mismo potencial además hay que percatarnos que al trazar las

líneas de fuerza estas caen en los bordes de los anillos

perpendicularmente y si se prolongasen estas coincidieran en cada

uno de los centros de los anillos.

(*) A partir de los puntos obtenidos en las tablas N° 1, N° 2 y

N° 3 hemos tratado de obtener curvas mas delineadas

mediante una aproximación gráfica para todos los puntos de

las curvas. Estas aproximaciones se muestran en las

siguientes paginas siendo la grafica N° 4 un ajuste grafico para

la gráfica N° 1 lo mismo para la gráfica N° 5 con la gráfica N° 2

y también para la N° 6 con la N° 3.

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6.2. EXPLICACIÓN PARA LAS APROXIMACIONES

6.2.a. Gráfica N° 4

Las líneas de campo, envosa van en la dirección de la carga

positiva a la negativa, además vemos que en las proximidades

de las cargas las líneas están mas juntas lo que será la que el

campo E en esta zona es mucho más intenso en comparación

de las cercanías de la recta X=0 (eje y) donde las líneas están

más separadas y el campo E es menos intenso, sobre las

curvas equipotenciales; vemos que cerca del eje Y se obtienen

curvas casi rectilíneas mientras que al acercarse a las cargas

se hacen casi hiperbólicas.

6.2.b. Gráfica N° 5

Podemos ver que el campo E es casi uniforme y se dirige la

placa +O hacia la placa –O, la deformación del campo en el

borde es debido a los bordes de las placas (poder de las

puntas) y también debemos recordar que la idealización de

campo uniforme es cuando la longitud L de las placas (L=12

cm) es mucho mayor que A distancia d que las separa (d=12

cm) es decir <>>d.

6.2.c. Gráfica N° 6

Esta gráfica resulta prácticamente idéntica a la gráfica N° 4.

Esto se debe a que si consideramos los 2 anillos y el plano XY

como la sección transversal de un sistema de 2 cilindros de

longitud infinita con densidad superficial +O y – O, el campo

será el mismo creado por 2 cargas puntuales (Vease la

demostración de esto en los anexos). También hay que

percatarnos que las líneas de campo atraviesan

perpendicularmente las circunferencia de los anillos esto

debido aquellas superficies metálicas conductores son también

superficies equipotenciales.

RESPUESTA A LAS PREGUNTAS:

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1.º. Motivo del uso de la solución conductora de Cu SO4:

En un inicio en el medio el campo E no tiene mayor efecto

sobre su al medidor, al introducir la solución de Cu SO4 el

campo eléctrico causa una influencia en las cargas ionicas y

el agua se vuelve conductora [ ]. En un medio conductor.

Las cargas viajan según el sentido de las líneas de fuerza

como se muestran las gráficas aproximadas al introducir los

punteros, electrodos conectados mediante un galvanómetro

lo que hacemos es ofrecer en esa capa alterno las cargas en

el líquido para que se puedan desplazar (algo así como un

modo según la ley de Kirchoff de las iones). Cuando los

punteros se encuentran en 2 puntos cualquiera que

presentan una diferencia de parte cual AV, sobre las cargas

en los terminales se realizará trabajo W tal que Ws q(AV),

por el teorema de trabajo y la energía W= EK (energía

cinética) entonces la diferencia de potencial produce

movimiento de cargas, es decir convierte I (I=dq/dt) y esta

es detectada por el galvanómetro, dispositivo que detecta

los cambios de concierte gracias a los efectos de rotación

que reproducen en su bobina interna debido a la variación

del campo magnético B esto a la presencia de cargas en

movimiento. De todo lo anterior.

Entonces para puertas con el mismo potencial (AV=0) se

tiene que AEr=0 será inicialmente no había movimiento de

carga en el alambre conductor (EK0=0) esto quiere decir

que no habrá movimiento de cargas I=0 entonces los

puntos en una superficie equipotencial se hallan buscando

aquellos pares en donde el galvanómetro marque cero.

VII. OBSERVACIONES

8.1 Respecto a la gráfica N° 1 la distorsión que se comenta en 6.1.a. puede

haber sido causada por el efecto de las puntas de los electrodos, como

sabemos en esta región el valor del campo E es mas intenso y además

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en la raíz cercana al eje de un depolo siempre el campo es muy intenso,

también hay que considerar los errores debido a los equipos que

dejamos, como la fuente de poder que puede haber dado un voltaje no

muy constante y esto hacia que el campo no solo vacía con respecto a la

posición (V(x,y,z);E(x,y,z) sino también con el tiempo (V(x,y,z,t); E

(x,y,z,t)). Este error no es tan grosero en las demás gráficas.

8.2 En la gráfica N° 2 al pertenecen mayor es producida en los bordes de las

placas debido al poder de las puntas.

8.3 De la gráfica N° 3 se concluye que los anillos son superficie

equipotenciales por lo tanto se esperaría entonces que todas las curvas

tanto en las gráficas N° 1 y N° 3 sirvan segmentos de circunferencia de

distinto radio (comparace en anexos 5).

8.4 Según la ecuación (1,7) podemos interpretar el campo eléctrico E como

la razón de cambio del campo escalar V respecto a la posición (x,y,z),

esto es generalizado en espacio mediante el operador Nabla (V).

E x i + E y i + E z k= V V = - av/ax i – av/ay i – av/az k

8.5 Como otra de las posibles causas de error no debemos olvidar la

conexión en los electrodos debido al proceso de electrolisis del Cu SO4,

por esto se tuvo que ligarlos.

8.6 Además debido a que fuimos al tercer grupo en realizar el experimento

después de 2 secciones mas A y B la solución de Cu SO4 ya había sido

sometida a un proceso electrolítico muchas veces, tal efecto reduce su

conductividad, esto afectaría la lectura en el galvanómetro.

VIII. CONCLUSIONES

8.1 Las líneas de campo E están mas juntas donde la magnitud de este es

más intenso, y las curvas equipotenciales son más apegadas en estas

zonas.

8

8.2 Sobre una superficie equipotencial no ocurre movimiento de cargas por

acción eléctrica.

8.3 También se puede comprobar la ortogonalidad del vector E a la

superficie equipotencial por la ecuación (1,7) y la definición de vector

gradiente V, matemáticamente el vector VV siempre es ortogonal al

cualquier superficie de nivel de V.

8.4 El de polo creado por 2 anillos crea el mismo campo que 2 cargas

punteales de signo opuesto, esto se puede generalizar también para un

dipolo de 2 esferas.

IX. RECOMENDACIONES

Para la mayor realización de este experimento es necesario que los

electrodos se encuentren lo más limpio posible, el galvanómetro

correctamente calibrado y los puntos en la gráfica se deben de tomar con

aproximación hasta milímetros, puesto que para este experimento

trabajamos solo con números enteros en lo posible.

X. BIBLIOGRAFÍA

[1] Serway, Raymond; Jewett, Jhon: Física para ciencias e Ingeniería. Vol II.

[1] Thomson. Mexico 2005.

[2] Sears, F.W.; Zemansk M.; Young H.: Freddman.: Física Universitaria

[2] Vol II Adisson Wesley. Mexico 2004.

[2] Páginas: 878-879-880-890-891-892-893-899

[3] Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Ingeniería. Manual de

Laboratorio de Física General 2da. Edición Lima. Fc UNI 2004.

[2] Páginas: 114-115-116-117-118-119

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