curso ingeniería económica usm
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Ingeniería Económica
Herramientas matemáticas de decisión para comparar racionalmente alternativas económicas, de modo de
seleccionar las mas conveniente.
Contenidos
Matemáticas Financieras– Valor del Dinero en el tiempo.– Interés– Tasa de Interés (simple, compuesto, nominal,
efectivo,continua).– Valor Futuro– Pagos Periódicos (PAYMENT).– Gradientes (decrecientes, crecientes, escalada).
– Interés interperiódico– Bonos – Inflación– Amortización– Depreciación. Tipos de Depreciación– Flujo de Caja
Contenidos
Contenidos
Indicadores Económicos– Valor Actual Neto (VAN)– Costo anual uniforme equivalente (CAUE)– Tasa Interna de Retorno (TIR)– Costo Capitalizado– Tasa de Rentabilidad (TIR Modificada)– Razón Beneficio/Costo , Ivan, Payback (Tiempo de
Pago)
Contenidos
Algunos Certámenes Resueltos– Certamen 1, II Semestre 1998 (Casa Central)– Certamen 1, II Semestre 1999 (Casa Central)– Certamen 2, II Semestre 1998 (ICIPEV Stgo.)– Examen, II Semestre 1999 (Casa Central)
Algunos Quices Resueltos– Quiz nº1, I Semestre 2000 (Casa Central)– Quiz nº2, I Semestre 2000 (Casa Central)– Quiz nº3, I Semestre 2000 (Casa Central)
Contenidos
Valor del dinero en el tiempo
Garfield,¿Prefieres tener $100.000 hoy
o en un año más?
Hoy, pues dentro de unaño ese dinero se desvalorizarádebido a la inflación. Además
perdería la oportunidad de invertirlos en alguna actividad
que, además de proteger dela inflación me puede generar
una utilidad adicional y asípoder comprar más pizzas!!
Valor del dinero en el tiempo
El valor del dinero en el tiempo se refiere al poder adquisitivo
que tiene el dinero en el tiempo.Debido a las razones dadas
por Garfield, se puede concluir que el dinero actual “vale” más que el dinero futuro
Interés
Es el pago que debe realizarun agente económico porutilizar fondos prestados
Es un premio por postergar el consumo (AHORRO)
o un Castigo por adelantar el consumo (PRESTAMO)
Interés
Ejemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que devolver 105.000. El interés pagado son $5.000
Inicial Monto - Final Monto Interés
Podemos decir que ...
Tasa de Interés
Porcentaje del monto inicial en un tiempo determinado
Ejemplo (siguiendo el ejemplo anterior)
Monto Inicial = $100.000
Interés = $5.000. Por lo tanto:
100Inicial Monto
Interés (%) Interés de Tasa
Interés Simple
Es el interés que se aplicatomando solamente el Monto Inicial. Se ignora cualquier
interés que pueda acumularse en los períodos precedentes
Interés CompuestoEs el interés que se calcula
sobre el Monto Inicial más la cantidad acumulada de interesesen períodos anteriores. Es decir, se cobra interés sobre el monto
inicial más el “interés sobre los intereses”
Este interés es el que mejor representa el valor del dinero en el tiempo
Cálculo del Valor Futuro
niVPVF )1(
Donde: VF = Valor FuturoVP = Valor Presente i = Tasa de Interés
n = Períodos de Capitalización
Cuando se utiliza interés simple, el cálculo del valor futuro se realiza por medio de la siguiente fórmula:
)1( niVPVF
Si se utiliza interés compuesto, el valor futuro se calculará según:
Ejemplos
1) Se ha obtenido un préstamo de $1.000 a interés simple con una tasa del 6% anual. ¿Cuanto debería pagar en dos años más? ¿Cuanto estoy pagando en intereses?
120.112,1000.1)206,01(000.1 VF
Debo pagar $1.120 al cabo de dos años
Solución: )1( niVPVF
120000.1120.1 Intereses
Inicial Monto - Final Monto Interés
2) Con el mismo ejemplo anterior, responder las preguntas considerando interés compuesto. Compare.
124.16,123.11236,1000.1)06,01(000.1 2 VF
Debo pagar $1.124 al cabo de dos años
Solución:
124000.1124.1 Intereses
Inicial Monto - Final Monto Interés
niVPVF )1(
Note que tanto VF como el interés son mayores que en el caso de interés simple
Interés Efectivo y Nominal
Interés nominal (r): La tasa de interés del período por el número de períodos.
“Nominal” significa “aparente o pretendido” es decir, una tasa nominal no es real, por lo que se debe convertir a una tasa efectiva
Interés efectivo (i): Aquella que mide realmente el interés otorgado o cobrado.
Analicémoslo con un ejemplo:
A) 1.000 pesos depositados al 10% anual EFECTIVO
1.000 1.100 Al cabo de un año
B) 1.000 pesos depositados al 10% anual con capitalización semestral (NOMINAL)
1.000 1.050 1.102,5
5% 5%
5% en cada Semestre (período de Capitalización)
Equivalente a un interés efectivo anual de 10,25%
Interés Efectivo y Nominal
Conversión de una tasa nominal a una efectiva
¿Cómo calcularon la tasa de interés efectivaen el ejercicio anterior?
En general podemos calcular la tasa de interés efectiva a partir de una tasa de interés nominal, por medio de la siguiente fórmula:
Conversión de una tasa nominal a una efectiva
11
m
m
ri
Donde:
i = tasa de interés efectivo
r = tasa de interés nominal
m = número de capitalizaciones que ocurren dentro del período indicado en el enunciado de la tasa de interés nominal
Ahora respondámosle la pregunta a Homero:
Conversión de una tasa nominal a una efectiva
Sabemos que la tasa es de10% anual con capitalización semestral . Luego,
Ocurren 2 capitalizaciones al año (ya que capitaliza semestralmente)
La tasa es de interés nominal, r = 10%.
%25,101025,012
1,0111
2
m
m
ri
Por lo tanto:
Observaciones
•Cuando el período de capitalización NO ESTA DADO, la tasa de interés es EFECTIVA
Conversión de tasas efectivas36512642 )1()1()1()1()1()1( DMBTSA iiiiii
Donde:iA = Interés Anual Efectivo
iS = Interés Semestral Efectivo
iT = Interés Trimestral Efectivo
iB = Interés Bimestral Efectivo
iM = Interés Mensual Efectivo
iD = Interés Diario Efectivo
EjercicioEn los siguientes enunciados, indique: Tipo de interés, y el período de capitalización, además calcule el interés efectivo en dicho período.
Enunciado Tipo de Interés Periodo Cap. ief del período cap.
10% anual Cap. trimestral
Nominal Trimestre 2,5%
5% Semestral Efectivo Semestre 5%
10% anual efectivo Cap. trimestral
Efectivo Trimestre 2,411%
Interés efectivo para capitalizaciones continuas
11
m
m
riSabemos que la fórmula
nos sirve para convertir una tasa de interés nominal en una efectiva, pero qué ocurre si las capitalizaciones son continuas, es decir, ¿qué ocurre si m tiende a infinito?
En estos casos podemos calcular la tasa de interés efectiva por medio de la siguiente fórmula:
1 rei
Interés efectivo para capitalizaciones continuas
Ejemplo:
Un banco aplica a los préstamos una tasa del15% anual con capitalización en segundo. ¿Cuál es es la tasa de interés efectiva?
Como en este ejercicio el valor de “m” será bastante grande, podemos estimar la tasa de interés efectiva usando la fórmula para capitalización continua:
%183,1616183,0115,0 ei
Interés efectivo para capitalizaciones continuas
000.536.31606024365 m
%196,1616196,01000.536.31
15,01
000.536.31
i
Calculemos la tasa efectiva real:
Note que existe diferencia entre la estimación y el valor real desde el 4to decimal (2do si se utiliza como porcentaje).
Payment (Pagos periódicos)
Muchos depósitos o préstamos se realizan en cuotas iguales. Por lo que es necesario conocer algunas fórmulas que ahorrarán bastante tiempo:
PMT PMTPMT PMT
0 1 2 3 n
ii
iPMT
iPMT
i
PMT
i
PMT
i
PMTVP n
nn
jjn
1
11
1
1
1......
11 121
Payment (Pagos periódicos)
Despejando el PMT, tendremos:
capital delón recuperaci deFactor ...11
1
CRFi
iin
n
En donde:
11
1n
n
i
iiVPPMT
Payment (Pagos periódicos)
También se puede relacionar el PMT con el valor futuro:
11
1
11 n
n
n i
iiVP
i
iVFPMT
Este término se conoce como SFF (Factor de amortización de capital)
Ejemplo
Saco de plomo tiene en mente comprarse un automóvil deportivo.
Si el vehículo cuesta $7.000.000 y Pepe Cortizona desea pagarlo en 48 cuotas iguales.
¿Cuál será el valor de cada cuota si el interés es del 3% mensual? ¿Cuánto debería pagar Saco de plomo si decidiera cancelar toda su deuda al final de la cuota 48?
Solución
11
1n
n
i
iiVPPMT
Para calcular el valor de cada cuota solo necesitamos ocupar la fórmula del Payment
Reemplazando, tendremos:
045.277103,1
03,003,1000.000.7 48
48
PMT
Por lo tanto, Pepe Cortizona deberá pagar cuotas de $277.045
Solución (continuación)
Para calcular cuanto debería pagar si decidiera cancelar toda su deuda al final de la cuota 48, podemos utilizar la fórmula del Payment o simplemente llevar a valor fururo el valor inicial del vehículo:
824.925.28
03,0
103,1045.277
11 48
i
iPMTVF
n
O simplemente:
763.925.2803,1000.000.71 48 niVPVF
(La pequeña diferencia entre estas dos cifras se debe solo a la aproximación usada en el cálculo del PMT)
Gradientes
Otra alternativa es que los flujos vayan variando en el tiempo, ya sea en forma fija (uniforme) o en cierto porcentaje (escalada).
F3F1 FN
0 1 2 3 n
F2O sea, los flujos ya no serán iguales en cada periodo
Gradiente Uniforme
En este caso, el aumento en los flujos es constante.
Denominamos P al valor base (que no cambia) y G al aumento período a período
P+G P+2GP P+(n-1)G
0 1 2 3 n
Gradiente Uniforme (Continuación)
Nótese que el primer término corresponde al Payment de los flujos constantes
Al obtener una relación que lleve todos los flujos a Valor Presente:
nn
n
n
n
i
n
ii
i
i
G
ii
iPVP
11
11
1
110
Signo positivo si el gradiente es creciente, negativo si es decreciente
Gradiente Uniforme (Continuación)
P = 1.000 G=100
Periodo Flujo1 1.0002 1.1003 1.2004 1.3005 1.500
El primer paso es determinar la Cantidad Base (P) y el Gradiente o aumento (G)
Ejemplo: Considere los siguientes flujos:
Interés: 4% por período
Gradiente Uniforme (Continuación)
55
5
5
5
004,01
5
04,004,01
104,01
04,0
100
04,004,01
104,011000VP
Reemplazando:
1096,44518,4·25004518,410000 VP
53073,53075,8558,44510 VP
El primer término representa solo los depósitos de 1000
El segundo término representa los sucesivos incrementos de 100 cada uno.
...Así es que compraste tu pingüino a crédito...
¿Cuanto pagarás mensualmente?
Tuve que dar $10.000 de pie y pagaré los primeros 8 meses cuotas de $10.000. Desde el
noveno mes la cuota disminuirá en $500 cada mes hasta final
de la deuda, que fue el mes 14.El interés es de un 3% anual
¿Cuál el precio delpingüino si se paga
al contado?
Ejemplo (solución)
Debemos encontrar el valor presente del pingüino tomando los datos dados por el oso polar. Primero dibujaremos el diagrama de flujos:
20 1 87 9 10 11 14
10.00010.00010.000 850090007000
10.000 10.000 9500
Note que podemos considerar un Payment hasta el séptimo mes y luego tendremos un gradiente uniforme decreciente. Por medio de las fórmulas adecuadas podemos llevar el Payment y el gradiente al valor presente y sumarles $10.000 (Del pie)
Ejemplo (solución)
5332503,1
7
03,003,1
103,1
03,0
500
03,003,1
103,110000 77
7
7
7)(
7
GradVP
6230303,003,1
103,110000 7
7)(
0
PaymentVP
Calculemos el valor presente del Payment y del gradiente:
43358
03,1
533257
)(0 GradienteVP
Ejemplo (solución)
Por lo tanto el precio contado del pingüino es $115.661
1156611000043358623030 VP
Observación:
No es la única alternativa considerar el Payment hasta el séptimo mes. Por ejemplo podríamos considerar un Payment hasta el final de la deuda. Veamos lo que ocurriría:
11296103,003,1
103,110000 14
14)(
0
PaymentVP
El valor presente del Payment sería:
Ejemplo (solución)
En el gradiente “P” ya no será igual a 10.000 sino a cero, por lo tanto tendremos:
897703,1
7
03,003,1
103,1
03,0
5000 77
7)(
7
GradVP
7299
03,1
89777
)(0
GradienteVP
Ejemplo (solución)
Llevamos a valor presente este gradiente:
1156621000072991129610 VP
Como era de esperar llegamos al mismo resultado (la pequeña diferencia se debe a la falta de rigurosidad con los decimales)
Gradiente en escalada
También es posible que el aumento en los flujos sea en determinado “porcentaje”
P(1+E) P(1+E)2P P(1+E)n-1
0 1 2 3 n
Donde E = porcentaje de aumento del flujo
Gradiente en escalada (continuación)
Nuevamente, podemos llevar a valor presente todos los flujos con una sola expresión:
11
10
n
i
E
iE
PVP
Entonces, si se dice que los flujos van aumentando en un 15% y el interés es de un 10%
E = 0,15
i = 0,1
Interés interperíodico
Qué ocurre si algunospagos que se realizan
entre períodos de capitalización
0
35 20
101 años
15 25
Capitalización anual
Interés interperíodico
1) No se paga interés sobre el dinero depositado (o retirado) entre períodos de capitalización.
2) El dinero depositado (o retirado) entre períodos de capitalización gana interés simple
El cálculo del valor futuro o presente depende de las condiciones existentes para los interperíodos de capitalización, que en general corresponden a unos de siguientes dos casos:
Interés interperiódico
A través del siguiente ejemplo, veamos como se realizan los cálculos de los dos casos:
El siguiente diagrama de flujos muestra los depósitos y giros que realizó una persona en su cuenta de ahorros durante 12 meses. Calcular la cantidad de dinero tiene dicho individuo al final de los 12 meses si el banco paga un interés del 3% trimestral y: a) No paga interés interperiódico. b) Paga interés interperiódico a los depósitos, pero no a los giros.
Interés interperiódico
90 900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
(Depósitos)
(Giros)
Solución:
a) En este caso los depósitos se consideran como si se depositarán al comienzo del siguiente período de capitalización, mientras que los giros se consideran como efectuados al final del período de capitalización anterior.
Interés interperiódico
En el diagrama de flujos:
0 1 2 3 4 5
90 90
6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
0 1 2 3 4 5
90
6 7 8 9 10 11 12
90+50 30+30 50
50 20+70 70+40
Luego tendremos:
Interés interperiódico
Ahora podemos calcular la cantidad de dinero que tiene el individuo al final de los 12 meses:
9450)03,01(50)03,01(140)03,01(90)03,01(40 23412 VF
b) Aquí los depósitos efectuados en un interperíodo ganan interés simple, llevando el monto al comienzo del siguiente período de capitalización. Los giros, al igual que en la parte a) se consideran como efectuados al final del período de capitalización anterior.
Interés interperiódico
0 1 2 3 4 5
90
6 7 8 9 10 11 12
50
50 20+70 70+40
)3
203,01(9050 )
3
103,01(30)
3
203,01(30
Análogo al caso anterior:
0 1 2 3 4 5
90 90
6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
Pero ahora los depósitos interperiódicos ganan interés simple:
Interés interperiódico
Ahora calcula de la siguiente manera la cantidad de dinero que tiene el individuo al final de los 12 meses:
50)03,1(110)3
03,01(30)
3
203,01(30)03,1()
3
203,01(9050)03,1(90)03,1(40 234
12
VF
9712 VF
Calculando:
Amortización
A la hora de cancelar un crédito en cuotas, existen dos alternativas en las formas de pago:
a) Con cuotas iguales b) Con amortización
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
1
0
2
Deuda
Amortización (continuación)
Periodos de Gracia: Independiente del método de pago, son períodos en los que solo se cancelan los Intereses, sin pagar nada del Capital
Amortización Cuotas Iguales
Calculamos el Valor de la Cuota como un Payment de n períodos e interés i. O sea CUOTA = PMT
PMT
PMT
B=A·iC=PMT-BD=A-C
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
1
0
2
A
Amortizaciones iguales
El valor de la amortización se fija :
AMORT
AMORT
B=A·iC=A-AM D=AM+B
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
1
0
2
A
Amortización: EjemploSe pide un préstamo de $1.000.000, a pagar en un período de 3 años en cuotas anuales, con un interés anual del 10%. Se dan 2 años de gracia. Calcule los pagos por ambos métodos.
A) Cuotas Iguales Calculo cuota, como Payment
40211511,1
1,01,1000.000.1
3
3
PMT
B) Amortización Igual
334.3333
000.000.1AMORT
Solución (continuación)
402.115
402.115
100.000 1
0
2
1.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3 402.115
1.000.000
1.000.000
697.885
365.559
0
100.000
69.789
36.556
100.000
100.000
100.000
302.115
332.326
365.559
Cuota Igual
Solución (continuación)
400.000
366.667
100.000 1
0
2
1.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3 433.333
1.000.000
1.000.000
666.667
333.334
0
100.000
66.667
33.333
100.000
100.000
100.000
333.333
333.333
333.334
Amortización Igual
BonosEs una obligación a largo plazo, emitida por una corporación o entidad gubernamental, con el propósito de conseguir el capital necesario para financiar obras importantes
Los bonos se utilizan frecuentemente, cuando se hace difícil el préstamo de
grandes cantidades de dinero de una sola fuente o cuando deban pagarse en un
largo período de tiempo
Condiciones de pagoEstas condiciones se especifican en el momento de emitir los bonos e incluyen en Valor nominal de bono, La tasa de interés del bono, el período de pago de interés y su fecha de vencimiento.
•Los intereses se pagan periódicamente
•En la fecha de vencimiento se paga el Interés correspondiente más el valor nominal del bono
Observaciones
•Los bonos pueden ser comprados y vendidos en el mercado abierto, por personas diferentes al beneficiario original del bono
A usted le ofrecen un bono de $10.000 cuya tasa de interés es de 6% y paga los intereses semestralmente. Si la fecha de vencimiento será en 15 años, ¿Cuánto pagaría hoy por el bono si desea ganar 4% de interés semestral?
Ejemplo:
Solución (del ejemplo anterior)
Los intereses pagados semestralmente ascienden a:
El diagrama de flujos será:
Continúa...
3002
06,0000.10
I
300 300300 300+10.000
0 1 2 3 30
P
Luego
Reemplazando, tendremos
Por lo tanto, usted estaría dispuesto a pagar $8271 por el bono.
nn
n
i
VN
ii
iIP
11
11
271.804,01
000.10
04,004,1
104,1300 3030
30
P
Solución (continuación)
Inflación
Con $100 de hoy no puedo comprar la misma cantidad de bienes o servicios como pude
en el año 1980...
Es debido a la Inflación.Esto es porque el valor del dinero ha decrecido como un resultado de dar más
dinero por menos bienes.
Cálculos del valor futuro considerando inflaciónEn los cálculos de valor futuro, se debe reconocer que la suma de dinero futuro puede representar una de las cuatro diferentes cantidades:
Cantidad Real de Dinero
Poder de Compra
Número de pesos de entonces requeridos
Ganancia de interés sobre inflación
A continuación se analizará cada uno de estos casos...
1) Cantidad real de dinero
No toma en cuenta la existencia de la inflación.
Se limita solo a calcular la cantidad de dinero que se obtendría con un interés dado.
El cálculo del valor futuro es a través de la fórmula tradicional:
niVPVF )1(
Ejemplo
Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros con10% anual de interés por 8 años.
¿Cuál será la cantidad de dinero que obtendrá ?
Por lo tanto en 8 años más usted tendría $214.359
359.214)1,01(000.100 8 VF
2) El poder de compra
En el ejemplo anterior, al cabo de 8 años usted tendría más del doble del dinero que depositó inicialmente. Sin embargo, probablemente no podrá comprar el doble de cosas que hubiera podido comprar en un principio. ¿Por qué?
La respuesta es simple, los precios se han incrementado durante la inflación.
El poder de compra (continuación)
Una solución sería llevar a valor presente el valor futuro obtenido con la tasa de interés. Para llevar a valor presente se debe considerar la tasa de inflación (f), es decir, en la fórmula reemplazar el “i” por el “f”.
El dinero que recibiré ¿Cómo lo puedo comparar con el dinero inicial?, es decir, ¿Cómo puedo comparar el poder de compra del futuro con el actual?
En fórmulas...
Llevamos a valor futuro el depósito:
niVPVF )1(
Finalmente este valor lo llevamos a valor presente (en donde reemplazaremos “i” por “f”):
El poder de compra (continuación)
nn
n f
iVP
f
VFV
1
1
1
Para realizar este cálculo, podríamos utilizar la tasa de interés real (ir ), la cual representa la tasa a la cual el dinero presente se transformará en dinero futuro equivalente con el mismo poder de compra .La fórmula sería:
nrn
n
iVPf
iVPV
11
1
Donde:
ffi
ir
1
El poder de compra (continuación)
EjemploUsted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros con10% anual de interés por 7 años.
La tasa de inflación se espera de 8% anual. La cantidad de dinero que puede acumularse con el poder de compra de hoy sería:
Veamos lo que ocurre si utilizamos la tasa de interés real para realizar los cálculos:
706.11308,01
1,01000.1007
7
V
Ejemplo
%8519,108,01,0
08,01,0
1
f
fiir
706.113018519,1000.100)1( 7 nriVPV
Calculamos la tasa de interés real:
Luego:
Tal como se esperaba, se obtuvo el mismo resultado.
3) Números de pesos de entonces requeridos
Comprar algo en una fecha futura requerirá más pesos que los requeridos ahora para la misma cosa.
Notar que este caso también reconoce que los precios se incrementan durante los períodos inflacionarios
El cálculo del valor futuro se efectúa por medio de la siguiente fórmula:
nfVPVF )1(
Ejemplo
Vilma desea comprar el mejor pájaro despertador existente en Piedradura.
¿Cuánto le costará dentro de 3 años, si actualmente cuesta 1.000 Piedradólares y se espera que el precio se incremente en 5% anual?
Solución
nfVPVF )1(
158.1)05,1(000.1 3 VF
Podemos calcular fácilmente el valor futuro del “Pájaro despertador” usando la formula
Reemplazando, tenemos
Por lo tanto, Vilma deberá juntar 1.158 piedradólares
4) Ganancia de interés sobre Inflación
Mantiene el poder de compra y la ganancia de interés.
nn ifVPVF )1()1(
Para mantener el poder de compra podemos utilizar la fórmula del caso 3, es decir, calculamos “el número de pesos de entonces requeridos”. Luego, a este valor se de debe agregar la ganancia de interés, este cálculo es análogo al caso 1.
La formula quedaría:
Ganancia de interés sobre Inflación
También podemos usar la llamada tasa de interés inflada (if ):
En donde se cumple que:
nf
nn iVPifVPVF )1()1()1(
ffiii f
Este dragón depositó $5.000 en un banco. Esperó un año y retiró todo el dinero para comprar “algo con qué entretenerse”. Si el banco lo protegió de la inflación (que fue 0,5% mensual) y ganó un 1% mensual de interés . ¿Cuánto le costo “la entretención”?
Ejemplo
El depósito en el banco hizo que el dinero mantuviera el poder de compra y además que ganara intereses, luego nos enfrentamos a un ejercicio del tipo 4, es decir, ganancia de interés sobre inflación.
Calculemos la tasa de interés inflada:
5982)01505,1(5000)1( 12 nfiVPVF
01505,0005,001,0005,001,0 ffiii f
Por lo tanto la “entretención” le costó 5.982
Depreciación
Los activos comprados por la empresa van perdiendo su valor a lo largo del tiempo.
Este efecto se materializa con una disminución del valor del activo en los libros de las empresas.
Depreciación (continuación)
¿Porque las empresas deprecian?
Porque les sirve de Escudo Fiscal (disminuye la base imponible, o sea, el valor sobre el cual se les aplican los impuestos.
´Depreciación (definiciones)
Dt = Depreciación en el período t
Vt = Valor del activo en el período t
VS = Valor de Salvamento o Valor Residual del activo al fina del su vida util
VA = Valor Inicial del Activo
P Dt Vt
0
1
2
VA
D1
D2
V1=VA-D1
V2=V1-D2
n Dn VS
Tipos de depreciación
Depreciación Línea Rectan
VSVADt
Depreciación Acelerada
Solo aplicable si n mayor o igual a 5
T
VSVADt
3
nT Redondeado
hacia abajo
Tipos de depreciación (continuación)
Depreciación Saldos decrecientes
11 tt dVAdD
tt dVAV 1¿Cuanto vale d?
ndDS
5,1..
ndDDS
2...
Ejemplo
Apliquemos todos los métodos de depreciación vistos
Don Cuasimodo comprará un camión para su empresa, por un valor de 11.000. La vida útil es de 10 años, al termino de la cual, el valor de salvamento será de 1.000
Ejemplo (continuación)
Depreciación Línea Recta 000.110
000.1000.11
tD
P Dt Vt
0
1
2
11.000
1.000 10.000
9.000
10 1.000
1.000
1.000
Ejemplo (continuación)
Depreciación Acelerada
333.33
000.1000.11
tD
33,33
10T
Como 10 es mayor o igual que 5, se puede aplicar
P Dt Vt
0
1
2
11.000
3.333 7.667
4.3343.333
2 3.334 1.000
La ultima depreciación cambia por el efecto de los decimales perdidos
Ajustes en la ultima Depreciación
En el sistema de Saldos Decrecientes, es posible que el último Valor del activo no coincida con el Valor de Salvamento establecido originalmente
Por lo tanto, la(s) ultima(s) depreciación(es) se acomodan para hacer coincidir el último Valor del Activo con el Valor de Salvamento
Ejemplo (continuación)
Depreciación Saldos decrecientes (S.D.D.)
200.22,01000.112,0 111 D 800.82,01000.11 1
1 V
2,010
2d
760.12,01000.112,0 122 D 040.72,01000.11 2
2 V
408.12,01000.112,0 133 D 632.52,01000.11 3
3 V
Ejercicio (continuación)
El calculo continua hasta el periodo 10 donde:
2952,01000.112,0 11010 D 181.12,01000.11 10
10 V
Valor final 1.181 1.000 por lo que se corrige la D10 de forma de dejar V10 en 1.000
476.12,01000.11 99 V
D10 = 476
Flujos de Caja
Es la forma de representar los ingresos y egresos de una actividad económica, con el objetivo de determinar los flujos netos que ésta entrega (o absorbe) en cada período
Especial énfasis pondremos en el estudio de los Escudos Fiscales
Flujo de Caja (continuación)
=
+-
-
=
+
=
-
-
-
=
++-
-+
-
Ing. VentasCosto Venta
Utilidad. BrutaEgresos Operacional
Ut. OperacionalIng. No Operacional.
Depreciación
Int C. y L. Plazo
Perd.Ejerc. Anterior
Ut. Antes Impuestos
DepreciaciónPerd.Ejerc. Anterior
Amort. C y L Plazo
Inversión
Venta Activos
Imp. Venta Activos
Total Anual
+ Monto Crédito
= Flujo Neto (FN)
Escudos Fiscales
Aquellos términos que se restan antes de aplicar el impuesto, para luego sumarlos al flujo. Su efecto es simple: Disminuyen la cantidad de impuesto a pagar
Intereses de Corto y Largo Plazo
Depreciación
Perdidas del Ejercicio Anterior
Por lo tanto, las empresas harán lo posible para maximizar dichos escudos.
Valor Actual Neto (VAN)
Consiste en actualizar a tiempo presente todos los flujos de un proyecto
Es uno de los indicadores económicos más utilizados, por su simpleza de cálculo e interpretación.
Calculo VAN
n
jj
j
i
FNVAN
0 1
Donde:FNj = Flujo Neto período ji = Tasa de Interés Efectiva en
el período.n = Número de períodos
¿Qué tasa de interés se ocupa?
Tasa de Descuento
Es el interés que se le exige a una alternativa de inversión para ser considerada rentable
Existen varias formas de entenderla
Corresponde al Costo de Oportunidad del evaluador
Por ahora: Interés que me ofrece mi alternativa de inversión mas cercana
Por lo tanto, la tasa de descuento es distinta para cada inversionista
Interpretación
VAN
> 0 Alternativa Recomendable
= 0 Alternativa No Recomendable
< 0 Alternativa No Recomendable
Mientras mayor sea el VAN de una alternativa, mejor es desde el punto de vista económico
EjemploSean los flujos netos de caja que me entregará un proyecto de inversión. Mi alternativa es una cuenta de ahorro que me da un 7% anual efectivo
1 2 43 5 6 7 98 100
85 100 150 200
500 4321 07,1
200
07,1
150
07,1
100
07,1
85500 VAN
2,586,1526,1223,874,79500 VAN
Tasa de descuento = 7%
Observaciones sobre el VAN
Si lo uso para comparar dos alternativas:
•A ambas se les debe aplicar la misma tasa de descuento.
•Ambas evaluadas con el mismo numero de períodos.
¿Que pasa con proyectos de distinta duración? ¿Como los comparo vía VAN?
VAN para alternativas diferente duración
Flujos Alternativa 1
FN0 FN1 FN2 FN3
-525 110 300 400
Flujos Alternativa 2
FN0 FN1 FN2
-200 50 200
Se calculan los VAN prolongando la vida de los proyectos al Mínimo Común Múltiplo de sus duraciones. MCM 2 y 3 = 6
Es equivalente a repetir el mismo proyecto una y otra vez
1 2 43 5 6 7 98 100
Alternativa 1 (Se hace 2 veces)
Alternativa 2 (Se hace 3 veces)
-525 110 300 400
-525 110 300 -125 110 300 400
-525 110 300 400
Suma año a año
Suma año a año
-200 50 200
-200 50 200
-200 50 200
0 50 20050 0 50-200
VAN para alternativas diferente duración
Ocupando una tasa de descuento del 10%
2,216
1,1
400
1,1
300
1,1
110
1,1
125
1,1
300
1,1
110525
6543211 VAN
27
1,1
200
1,1
50
1,1
0
1,1
50
1,1
0
1,1
50200
6543212 VAN
Por lo tanto la alternativa 1 es la mejor
VAN para alternativas diferente duración
Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)
•El CAUE es otro método que se utiliza comúnmente en la comparación de dos alternativas
•A diferencia del VAN, el CAUE no requiere que la comparación se realice sobre el mínimo común múltiplo de los años cuando las alternativas tienen diferentes vidas útiles. Sólo se necesita que las Tasas sean iguales.
•El CAUE nos indica cuál alternativa es mejor, sin embargo, no nos indica cuánto es una mejor a la otra.
Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)
El CAUE significa que todos los ingresos y desembolsos deben convertirse en una cantidad anual
uniforme equivalente que es la misma cada período
La alternativa seleccionada será
aquella que presente el menor CAUE
Cálculo del CAUE
Sabemos que el CAUE es la “transformación” de los ingresos y desembolsos en una cantidad anual uniforme equivalente. Por ejemplo, el siguiente flujo:
900 900900
500
0 1 2 3 8
8000 900
2955 29552955
0 1 2 3 8
2955
Si consideramos una tasa de interés del 20% anual, el CAUE será:
Cálculo del CAUE
Existen varios métodos para calcular el CAUE, sin embargo, el procedimiento general consiste en calcular el VAN y luego llevar éste a un PAYMENT.
Analicemos el Ejemplo anterior:
900 900900
500
0 1 2 3 8
8000 900
11337
2,1
400
2,1
900
2,1
900
2,1
9008000 8721 VAN
Cálculo del CAUE
295512,1
2,02,111337 8
8
CAUE
2955 29552955
0 1 2 3 8
2955
El diagrama de flujo será:
Ahora solo llevamos el VAN a un PAYMENT:
CAUE de gastos recurrentes
Algunos proyectos de vida indefinida poseen gastos recurrentes. Para calcular el CAUE de ellos podemos seguir el siguiente procedimiento:
1) Los flujos deben ser convertidos a cantidades anuales uniformes.
2) Se debe modificar el flujo, de tal manera que el PMT empiece del período nº1.
Muéstrenmeun ejemplo
CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)
Según el procedimiento señalado, necesitamos convertir el flujo a cantidades anuales uniformes:
Calculemos el CAUE del siguiente flujo (de vida indefinida), asumiendo un interés del 10% anual.
50 21 3
500
4 6 7
500500
5000 1 2
Podemos considerar quedesde el 2 año el flujo esta compuesto por infinitos subflujos
de 2 años c/u
CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)
Siguiendo el consejo de Bart...
28811,1
1,01,1500 2
2
PMT
Luego, nuestro flujo será:
0 1
288 288
2 3 n
288288 288
4 5
Finalmente, modificamos el flujo de tal manera que el PMT empiece en el año nº1:
262
1,1
288
)1( 13
2
ni
VV
262
1,1
288
)1( 12
1
ni
VV
Nota que solo necesitamoscalcular el monto del año nº1,
y luego éste se repetirá indefinidamente cada año
CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)
0
262 262
1 2 ...
262262 262
3 4 CAUE=262
CAUE de una inversión perpetua
Para estos proyectos el cálculo del CAUE se debe realizar de la siguiente manera:
¿Cómo calculo el CAUE de unproyecto de vida indefinida que
además de tener gastos recurrentes tiene algunos gastos no recurrentes?
1) Los gastos no recurrentes deben convertirse a valor presente y luego multiplicarse por la tasa de interés:
iVPCAUE *1
2) Luego calculamos el CAUE de los gastos recurrentes.CAUE2
3) CAUE=CAUE1+CAUE2
CAUE de una inversión perpetua
Un proyecto posee el siguiente diagrama de flujo:(Asumir interés del 10% anual)
¿Cuál será el CAUE del proyecto?
300+800
0
7000 300300
1 2 3
300
300+800
300+4000
4 5 6
300
300+800
300
7 8 9
Primero calculamos el CAUE de los gastos no recurrentes:
CAUE de una inversión perpetua(Ejemplo)
9731,01,1
40007000
41
CAUE
CAUE de una inversión perpetua(Ejemplo)
Luego necesitamos encontrar el CAUE de los gastos recurrentes:
Existe un gastoperiódico anual de 300, luegoCAUE2=300
Además cada 3 años se gastan 800
adicionales.Entonces,debemos calcular
el CAUE3
CAUE de una inversión perpetua(Ejemplo)
0 1 2
800
3 4 5
800
6 7 8
800
9
Calculando el CAUE3 de gastos recurrentes de este flujo:
0
266 266
1 2 ...
266266 266
3 4
1539266300973 CAUE
Finalmente:
Podemos hacer un diagrama con $500 que se gastan cada 3 años:
Para tomar en cuenta...El análisis anterior (CAUE) también se puede utilizar cuando en vez de estudiar COSTOS se estudia flujos positivos, en cuyo caso el
análisis suele llamarse VAE (Valor anual equivalente), aunque en ocasiones se sigue utilizando el término CAUE.
Lógicamente la
alternativa seleccionada
será la de mayor VAE.
VAE (Ejemplo)
Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Si la tasa del inversionista es del 10%, ¿Cuál será la mejor alternativa utilizando el método del VAE (CAUE)?
Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
A -1000 600 700 850
B -2000 700 800 900 950 1000
763AVAN 1243BVAN
Primero calculamos el VAN de cada proyecto:
Ejemplo
Ahora llevamos cada VAN al PAYMENT correspondiente:
30711,1
1,01,1763 3
3
AVAE
32811,1
1,01,11243 5
5
BVAE
Como VAEB>VAEA, este método nos indica que se debe escoger el proyecto B.
Comentarios del ejemplo Anterior
Resolvamos la pregunta de la guagua Homero:
Nota que para el análisis del
VAE no se necesitó usar el
mismo período de tiempo
de vida de los proyectos
(M.C.M.de los períodos)
¿Cuál sería el
resultado si se
analizara por el
método del VAN?
...Usando el método del VAN
150 1 2 3
-1000
600 700 850
4 5 6
-1000
600 700 850
-1000
850
El M.C.M. de los períodos de ambos proyectos es 15, luego debemos prolongar la vida de los proyectos a 15 años:
El flujo del proyecto A será:
0 3 6
763 763 763
9 12 15
763 763Proyecto A:
2334
1,1
763
1,1
763
1,1
763
1,1
763763 12963 AVAN
Modificando los flujos...
Pero como ya calculamos el VAN individual de cada Proyecto, podemos aprovechar esto y así modificar los flujos para ahorrar cálculos:
Finalmente...
0 5 10
1243 1243 1243
15
Proyecto B:
2494
1,1
1243
1,1
12431243 105 BVAN
Por lo tanto la elección por el método del VAN también favorece al Proyecto B
Costo Capitalizado
Costo capitalizado se refiere al valor presente de un
proyecto que se supone tendrávida indefinida
Cálculo del costo capitalizadoEn general, se debe seguir el siguiente procedimiento:
1) Dibujar un diagrama de flujo que muestre todos los gastos (o ingresos) no recurrentes y al menos dos ciclos de todos los gastos o ingresos recurrentes.
2) Hallar el VP (al año cero) de los gastos (o ingresos) no recurrentes.
3) Hallar el CAUE de los gastos recurrentes (desde el año 1 hasta el infinito)
4) Calcular costo capitalizado:
i
(3) Paso(2) Pasodocapitaliza Costo
Se planea construir una carretera en dos etapas, la primera tendrá una inversión de $100.000, 5 años después se ampliará y el costo de inversión será $70.000. Si se espera que el costo anual de mantención sea de$4.000 durante los primeros 7 años, y luego ascienda a $6.000 anuales de allí en adelante, calcule el costo capitalizado. Asuma i=10% anual.
Solución:
Siguiendo los pasos descritos anteriormente, dibujamos primero el diagrama de flujos
Costo capitalizado (Ejemplo)
20 1 65 7 8 9 n
40004000
100.00070.000
60006000 6000
Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes:
464.1431,1
000.70000.100
5VP
Costo capitalizado (Ejemplo)
Para calcular el CAUE desde el año 1 hasta infinito podemos dividir los flujos recurrentes en 2 flujos:
20 1 65 7 8 9 n
40004000 4000 4000 4000 4000 40004000
20 1 65 7 8 9 n
2000 2000 2000
50261,1
20004000
7CAUE
Costo capitalizado (Ejemplo)
Luego, 1937241,0
5026143464docapitaliza Costo
Costo capitalizado (Ejemplo)
Note que al calcular el VP de losgastos no recurrentes se pueden incluir los gastos anuales hasta el
séptimo período y del octavoen adelante considerar como
único gasto recurrente los 8000 anuales
Veamos que sucede si usamos este procedimiento:
Costo capitalizado (Ejemplo)
Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes:
1629381,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
000.70000.100
7654325VP
20 1 65 7 8 9 n
6000 6000 6000
El CAUE de los flujos recurrentes serán:
30791,1
60007CAUE
1937281,0
3079162938docapitaliza Costo
Tasa Interna de Retorno (TIR)
El TIR es la tasa que “entrega” un proyecto suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a esta tasa.
Se calcula buscando
la tasa que hace el
VAN igual a cero
TIR Modificada
Es la tasa que “entrega” un
proyecto suponiendo que todos
los flujos son reinvertidos a la tasa
costo capital, la cual generalmente
es la tasa atractiva de retorno
(TMAR)
Cálculo de la TIR Modificada
1) Hallar el Valor presente de las inversiones (en valor absoluto). I0
2) Calcular de VFn de los flujos (usando la tasa del costo capital, generalmente TMAR)
3) Calcular la TIR Modificada, despejando t’ de la fórmula:
ntIVF )'1(0
Cálculo de la TIR Modificada
Como para calcular el VAN de un proyecto de un proyecto se incluyen las inversiones, si queremos calcular la TIR Modificada cuando tenemos el VAN tendremos:
nn tIiIVAN )'1()1(* 00
1)1(*1'0
iI
VANt n
Despejando:
Donde i es la tasa costo capital, generalmente TMAR
Análisis incrementalCuando se realiza un proyecto, lógicamente se busca que su inversión sea la menor posible. Pero si un proyecto de mayor inversión se presenta, éste deberá justificar el incremento de capital. De esta manera si la tasa de retorno sobre la inversión adicional no iguala o supera nuestra TMAR el proyecto de mayor inversión (Proyecto retador) debe desecharse, en caso contrario debe aceptar este último y desechar el proyecto de menor inversión.
Este método se conocecomo Análisis incremental.A continuación se mostrará
el proceso de análisis
1) Ordenar las alternativas de menor a mayor inversión.
2) Calcular la TIR del proyecto con más baja inversión. Si TIR<TMAR entonces se desecha el proyecto y se continúa con el siguiente hasta que TIRTMAR, este proyecto se llamará DEFENSOR.
Análisis incremental
El procedimiento para realizar el análisis incremental es el siguiente:
3) Se igualan los períodos (M.C.M.) entre el DEFENSOR y el RETADOR (proyecto que le sigue en inversión)
Análisis incremental
4) Calcular el Flujo incremental:
. . .
0
Defensor Retador
M C M
ii iFN FN l Incrementa Flujo
5) Calcular la TIR del flujo incremental. Si esta TIRTMAR entonces el RETADOR se convierte en el nuevo DEFENSOR (en caso contrario se mantiene el defensor)
6) Se vuelve al paso 3) hasta que quede solo una alternativa.
Análisis incremental (Ejemplo)
Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
A -1500 450 550 570 600
B -1000 300 320 400 400
C -2000 450 600 800 900
D -800 240 240 250 260
Utilizando el análisis incremental, determinar cuál proyecto se debería seleccionar si la TMAR es 10%:
Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
D -800 240 240 250 260
B -1000 300 320 400 400
A -1500 450 550 570 600
C -2000 450 600 800 900
Siguiendo el procedimiento indicado, primero ordenamos las alternativas en forma ascendente según las inversiones:
Análisis incremental (Ejemplo)
2) Calculamos la TIR del proyecto con más baja inversión:
Como TIR<TMAR (8,97%<10%) entonces se desecha el proyecto “D” y se continúa con el siguiente (“B”):
0)'1(
260
)'1(
250
)'1(
240
)'1(
240800
432
tttt
Despejando obtenemos t’=8,97%
0)'1(
400
)'1(
400
)'1(
320
)'1(
3001000
432
tttt
%74,14' Bt
Análisis incremental (Ejemplo)
Como TIRBTMAR el proyecto “B” será el DEFENSOR
3) Igualar los períodos de los proyectos “B” (defensor) y “A” (retador). Ambos proyectos ya tienen el mismo número de períodos (4).
4) Calculamos el Flujo incremental:
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
-500 150 230 170 200
5) Calculamos la TIR del flujo incremental:
0)'1(
200
)'1(
170
)'1(
230
)'1(
150500
432
tttt
Análisis incremental (Ejemplo)
Despejando obtenemos t’=17,89%
Como TIRTMAR (17,89%>10%) el proyecto “A” pasa a ser el nuevo DEFENSOR.
6) Volvemos al paso 3), en donde obtenemos que el nº de períodos es nuevamente 4.
4) Calculamos el Flujo incremental:Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
-500 0 50 230 300
5) Calculamos la TIR del flujo incremental:
Análisis incremental (Ejemplo)
0)'1(
300
)'1(
230
)'1(
50
)'1(
0500
432
tttt
Despejando obtenemos t’=4,,43%
Como TIR<TMAR (4,43%<10%) entonces “A” sigue como defensor y como no quedan más proyectos con quien enfrentarse, “A” es el ganador.
Por lo tanto se debe seleccionar el proyecto “A”
Relación Beneficio/Costo
Tal como su nombre lo sugiere, el método B/C se basa en la relación de los beneficios a los costos asociados con un proyecto particular:
Costos
Beneficios
C
B
Para que el proyectosea económicamente
ventajoso B/C debe sermayor o igual a 1
IVAN
Es la relación entre el Valor actual neto de un proyecto y su inversión:
I
VANIVAN
Un proyecto se descartará si su
IVAN es menor que 1
Payback (Período de recuperación)
Es el año (o período) en el que la suma de los Flujos Netos es mayor o igual a cero
Se puede calcular con los flujos
NO actualizados
O con FlujosactualizadosLógicamente, la
mejor alternativa es la de menor Payback
0 i FN
añosiPayback
Payback (Tiempo de pago)
El cálculo del Payback considerando los flujos NO actualizados se realiza simplemente sumando algebraicamente los Flujos Netos (sin incluir ninguna tasa de interés) hasta que esta suma sea mayor o igual que cero.
En cambio si se quiere calcular con flujos actualizados, se debe tomar en cuenta una tasa de interés.
Ejemplo:
Payback (Tiempo de pago)
Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
A -1000 480 530 550 560 560
B -1200 500 550 850 950 1000
Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. ¿Cuál proyecto debe seleccionarse según el Payback si los flujos no son actualizados? ¿Qué pasa si se considera flujos actualizados a una tasa del 15% anual?
Flujos no actualizados:
Proyecto A:
1
0
520i
i FN 2
0
2 0 10i
iaños Payback FN
Payback (Tiempo de pago)
Proyecto B:
1
0
700i
i FN
3
0
3 0 700 850 550 500 1200i
iaños Payback FN
2
0
150i
i FNPor lo tanto, según el método del Payback y considerando flujos no actualizados, conviene realizar el proyecto A.
Veamos que ocurre si usamos flujos actualizados:
Proyecto A:
58315 , 1
4801000
1
0
ii FN
Payback (Tiempo de pago)
2
0
182i
i FN
3
03 2 3 0 180
15 , 1
550
15 , 1
530
15 , 1
4801000
iA iaños Payback FN
Proyecto B:
1
0
76515 , 1
5001200
ii FN
3
03 2 3 0 210
15 , 1
850
15 , 1
550
15 , 1
5001200
iB iaños Payback FN
2
0
349i
i FN
Payback (Tiempo de pago)
Como el Payback de A es igual al Payback de B (3 años), entonces según método del Payback estos proyectos son indiferentes (para flujos actualizados con una tasa del 15% anual)
Si calculan el VAN decada Proyecto obtendránque el proyecto B es el
mejor
778 A VAN
1250 B VAN
1.- Ud. desea ir con unos amigos a pasar las vacaciones de Verano en dos años más a Australia. Ya ha realizado las averiguaciones correspondientes y ha encontrado los siguientes costos actuales individuales: US$2.200 para los pasajes; US$1.900 para hospedaje; US$1.750 para comer; y US$3.000 para viajes, imprevistos y regalos. Para juntar el dinero Ud. decide utilizar los conceptos aprendidos en sus clases de Ingeniería Económica haciendo depósitos en el banco a partir del próximo mes, a los cuales usted aplicará una tasa de crecimiento voluntaria de un 0,52% mensual. Si la tasa de interés ofrecida por el banco a sus depósitos es de un 18% anual capitalizada continuamente, ¿cuál debe ser el monto a depositar los meses 1, 12 y 24?
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
1.- Solución
0053,0%53,0 E850.8000.3750.1900.1200.2 VP
0 1 24
D
D·(1+E)23
19721736,0118018
eiA 015113,011 12 mmA iii
11
1850.8
24
24
i
E
iE
DVP
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
616,41719169,21850.8 DD
616,4171 D
619,4421 11112 EDD
604,4711 23124 EDD
Por lo tanto:
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
2.- El día 1º de Enero de 1999 en su cumpleaños número 25 Alejandra tiene decidido hacer uso de una herencia que ha recibido cuando pequeña pero que no ha podido utilizar hasta cumplir la edad indicada. El saldo de la herencia es de 20 millones de pesos, con esta cantidad, ella pretende poder retirar $X cada trimestre durante los próximos dos años (a contar del 1º de Abril de 1999).
La tasa de Interés vigente para el período del 1º de Enero de 1999 hasta el 31 de Diciembre de 1999 será del 2% efectivo mensual; y del 1º de Enero del 2000 hasta el 31 de Diciembre del 2000 será de 2,5% efectivo mensual.
A) Determine la cuantía de los retiros trimestrales.
B) ¿Cuanto tiene Alejandra en su cuenta de ahorros el 1º de Abril del 2000 luego de hacer el retiro correspondiente?
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
1/4/99 1/7/99 1/10/99 1/1/99 1/4/00 1/7/00 1/10/00 1/1/011/1/99
0 1 5 6 72 3 4 8
2% Efectivo Mensual 2,5% Efectivo Mensual
061208,011%2 13 tritrim iii
07689,011%5,2 13 tritrim iii
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
44
4
4
4
061208,1
1
07689,007689,1
107689,1
061208,0061208,1
1061208,1
XXVP
4061208,1
335185184,3455542159,3 XXVP
X 085312916,6000.000.20
737,602.286.3XA)
B) 591627572,2
07689,007689,1
107689,14
4
XXVP
68,647.517.8X
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
3.- Usted desea desde ya empezar a ahorrar para la educación de sus hijos. Para esto decide comprar un bono de $10.000 al 8% del Banco Central, el cual lo logra conseguir a $8.500, y que paga intereses trimestrales, con un periodo de maduración de 10 años. Además empieza a depositar $5.000 al año en una cuenta en un Banco que da un interés de un 6% semestral con capitalización mensual, y acuerda incrementar en $1.000 sus depósitos cada año hasta el año 10. Paralelamente en el año 5 abrirá otra cuenta en otro banco que otorga un interés anual efectivo del 10%, haciendo su primer depósito por un monto de $3.000 un año después, los cuales se incrementarán en 11% hasta el año 10 ¿Cuánto dinero tendra acumulado en el año 10 para la educación de sus hijos?. Considere una tasa de interés del 10% anual efectiva para el flujo de intereses que paga el bono.
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
4.-El Banco Amigo le facilita un prestamo de $7.000.000 a 4 años plazo, con un interés del 15% anual con capitalización semestral. Además le ha otorgado tres años de gracia. Determine la tabla de amortización del crédito utilizando las dos formas vistas en clases
000.000.7VP
075,02100
15 ssA iii
155625,011 2 AAS iii
Cuotas Iguales
686,479.211556,1
1556,01556,1000.000.7
4
4
PMT
Certamen 1 II Semestre 1998 (Casa Central)
1.089.375 1
0
2
7.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.609.689 1.390.311
1.606.6784.003.011
2.146.294
(625)=0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.479.686
2.479.686
2.479.686
2.479.686
873.008
622.9691.856.717 6
7 334.0172.145.669
1.089.375 1
0
2
7.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.250.000 1.750.000
1.750.0003.500.000
1.750.000
0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.839.375
2.567.031
2.294.688
2.022.344
817.031
544.6881.750.000 6
7 272.3441.750.000
1.- Usted desea ayudar a su padre en la compra de un computador. El precio contado hoy en una Casa Comercial es de $800.000 y la tasa de interés que aplica a las compras a crédito es de un 2% mensual. En otro local se vende el mismo PC con un precio contado de $700.000, o a crédito en 24 meses con cuotas de $41.333. Otra opción es que existe un Banco que le presta $700.000 hoy y se le debe pagar $1.180.102 en 24 meses más; o le presta $800.000 hoy y se le debe pagar $1.348.688 en 24 meses más. Su padre no tiene hoy el dinero y desea comprar a 24 meses. ¿Qué opción le recomendaría Ud. a su padre y por qué, basándose en sus conocimientos de ingeniería económica?
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
Alternativa 1: Casa Comercial
8778,296.42102,1
02,002,1000.800
24
24
PMT
000.800VP %2Ni
Alternativa 2: 333.41PMT000.700VP
Alternativa 3: Banco 1
%2,21 24 iiVPVF
000.700VP 102.180.1VF
854.37PMT
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
Alternativa 4: Banco 2
%2,21 24 iiVPVF
000.800VP 688.348.1VF
261.43PMT
Por lo tanto, por tener la menor cuota, pido al banco $700.000 (alternativa 3) y pago al contado la alternativa 2
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
2.- Usted ha recibido una herencia hoy de $5.000.000 con la cual desea comprar un auto de $4.000.000 y abonar $1.000.000 al arancel de la Universidad, con lo cual se quedaría “sin ningún peso. Tiene la posibilidad de invertir su plata en un depósito en UF mensual el cual le otorgaría una tasa de interés de 0,7% o tiene la posibilidad de invertir en una cuenta de ahorro en pesos. La tasa de inflación esperada es de un 0,5% mensual y el valor de la UF hoy es de $15.000. Basado en un análisis de Ingeniería Económica que opción le conviene más de las siguientes:
a) Gastar toda la plata hoy según lo establecido.
b) Hacer un depósito en UF y realizar los gastos en 24 meses más.
c) Hacer un depósito en pesos y realizar los gastos en 24 meses más.
Nota: Considere que tanto la UF, como el valor del auto y el arancel de la Universidad se verán afectados por la inflación en el lapso de 24 meses.
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
UF333,333000.000.5 VP
Alternativa A ldiferencia0000.000.1000.000.4000.000.5
Alternativa B 0810979,394100
7,0133,333
24
VF
Los gastos crecen según la inflación
88,798.635.5$100
5,01000.000.5
24
VF
39664,907.16$100
5,01000.15
24
VFLa UF crecerá
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
Por lo tanto, tenemos 394,08 UF, cada una a $16.907,37
091,892.662.6VF
551,086.027.1lDiferencia
Alternativa C (en $) 012035,0100
7,0
100
5,0
100
7,0
100
5,0Fi
Depósito
Gastos
09,892.662.6$012035,01000.000.5 24 VF
88,798.635.5$100
5,01000.000.5
24
VF
21,093.027.1lDiferencia Se elige B o C, porque se cubren los gastos y se gana algo
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
3.- Usted adquiere un bono que tiene un valor de carátula de $10.000 al 10% con pago de intereses trimestrales y un periodo de maduración de 5 años. Los intereses que arroje el bono serán depositados en una cuenta de ahorro que aplica una tasa de interés del 10% anual capitalizada semestralmente. Además realizará dos retiros de $50 cada uno en los meses 10 y 11 de cada uno de los cinco años ¿Cuanto dinero tendrá en la cuenta una vez que reciba el valor de carátula si es que la cuenta aplica intereses simples a los depósitos interperiódicos, pero no aplica interés simple a los retiros interperiódicos?
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
Bono = 10.000, 10% , interés trimestrales, 5 años
mentetrimestral2504
1,0000.10
BONOI
Cuenta de Ahorrosemestral cioncapitaliza%10Ai semestral efectivo%5Si
Flujo de movimientos solo para un año
0 1 5 6 72 3 4 8 9 10 11 12
250 250 250 250
50 50
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
1
12 100
515050
6
3
100
51250250
6
3
100
51250250
VF
112 05,110025,25625025,256250 VF
8125,93212 VF
468
5 100
518125,932
100
518125,932
100
518125,932
AÑOVF
32458,723.15$5 AÑOVF
Certamen 1 II Semestre 1999 (Casa Central)
1.- La municipalidad está planeando la construcción de un nuevo centro cívico. La propuesta requiere una inversión inicial de $10 millones y una reinversión de $4 millones dentro de 10 años. Los costos anuales de operación se estiman en $250.000. Los ingresos provenientes de los arriendos del centro para convenciones, eventos, presentaciones, etc. se estiman en $190.000 el primer año, con un incremento de $20.000 anuales durante cuatro años más, permaneciendo luego constantes hasta el año 10. En el año 11 y de allí en adelante, se esperan ingresos anuales de $350.000. Calcule el costo capitalizado del centro cívico, si la tasa de interés es de 6% anual.
Certamen 2 II Semestre 1998 (ICIPEV Santiago)
10.000.000
0 1 5 6 72 3 4 8 9 10 11 12
190.000
210.000
230.000
250.000
270.000
270.000
270.000
270.000 270.000
270.000 350.000
4.000.000
2 5 0 . 0 0 0 2 5 0 . 0 0 0
i = 6%
11,579.233.1206,1
000.000.4000.000.10
10INVVPVP No Recurrentes
97,690.15806,1
5
06,006,1
106,1
06,0
000.2055
5
GRADVP
Certamen 2 II Semestre 1998 (ICIPEV Santiago)
02,539.274.11 PMTGRADINVNOREC VPVPVPVP
12,349.80006,006,1
106,1000.190
5
5
PMTVP
000.2501 CAUECAUE
71,759.20106,1
000.27052 CAUE
58,671.4406,1
000.80103 CAUE
71,568.3CAUE
48,017.334.11i
CAUEVPCOSTOCAP NOREC
Certamen 2 II Semestre 1998 (ICIPEV Santiago)
2.- Usted y unos amigos han decidido crear una pequeña empresa dedicada al transporte rápido de correspondencias delicadas dentro de la ciudad. Para ello han estimado que se necesita comprar dos computadores avaluados en US$2.800 cada uno; dos furgones avaluados en US$10.000 cada uno, y tres motos cuyo valor por unidad es de US$4.050. Los ingresos operacionales se espera que sean de US$25.000 el primer año y que estos tengan un crecimiento anual de un 30% hasta el año 6. Los costos de operación se estiman en US$4.500 el primer año y luego un aumento de US$700 por año. Los computadores deben ser depreciados con el método de la línea recta a seis años, con valor residual de 0. Los furgones se deben depreciar con el método de SDD y tienen un valor de salvamento esperado de US$5.000 (total por los dos);
Certamen 2 II Semestre 1998 (ICIPEV Santiago)
las motos deben ser depreciadas por el método de SD y no tienen valor residual esperado. Para la compra de los computadores no existe financiamiento. Para la compra de los furgones existe un crédito por el 75% del valor total a tres años plazo con dos de gracia, pagadero en tres amortizaciones iguales a una tasa de interés de corto plazo del 8% anual. Para la compra de las motos también existe un crédito por el 50% del valor total de éstas, pagadero en 4 amortizaciones iguales con una tasa de interés de largo plazo de 5%.El impuesto anual a las utilidades es de un 15% y la tasa a la cual usted debe evaluar su proyecto es de un 10%. No considere el capital de trabajo. La duración del proyecto es de 6años.A) Desarrolle el flujo de caja completo para cada añoB) Calcule el CAUE de este negocio
Certamen 2 II Semestre 1998 (ICIPEV Santiago)
1.-Se tienen los proyectos siguientes:Proyecto 0 1 2 3 4 5A -500 50 100 150 200 450B -500 250 200 150 100 50Si se tienen 2 tasas mínimas atractivas de retorno de: i1 = 10% y i2 = 20%.Se puede asegurar del VAN: I)El VANA para i1 es mayor que el VANB. II)El VANB para i1 es mayor que el VANA. III)Para ambas tasas, en forma indistinta, conviene realizar el proyecto IV)Para tomar una elección de proyecto, en este caso en particular, se necesitan otros indicadores a parte del VAN.Son Verdaderas:
A)Solo I D)I, III y IVB)Sólo II E)NingunaC)I y II
R: A)
Examen II Semestre 1999 (Casa Central)
2. De la TIR se puede señalar:
I)La TIRB > TIRA. II)La TIRA > TIRB. III)Si la TIR > i, entonces el VAN > 0. IV)La TIR es la tasa mínima a la cual se puede evaluar el proyecto para que sea rentable.
Son afirmaciones erróneas:A) I y IVB) Sólo IC) Sólo IID) II y III
E) I, III y IV
R: E)
Examen II Semestre 1999 (Casa Central)
3.Del Payback se puede asegurar:
I) Para el proyecto A es de 4 años.II) Para el proyecto B es de 3 años.III) El Payback modificado considera los flujos descontados a
la tasa de descuento, por lo que su valor es mayor que el payback puro.IV) Con este indicador se elige la alternativa A sobre la B.
Siempre son verdaderas:
A)Sólo IB)Sólo IIC)I y IID)I y IIIE)I, III y IV
R: D)
Examen II Semestre 1999 (Casa Central)
4.- Los VAN de los proyectos A y B se cruzan a una determinada tasa de descuento, la cual está entre:
A)12 – 13 %B)13 – 14 %C)14 – 15 %D)15 – 16 %E)16 – 17 %
R: D)
Examen II Semestre 1999 (Casa Central)
5.- Dada la siguiente información: Flujo año 0 Flujo año 1 Flujo Año 2 + 1.000 + 9.000 -11.000
Si se sabe que la TIR de este proyecto es 9 % y la tasa mínima atractiva de retorno con la cual se trabaja es de 5%, usted puede concluir que:
A) Acepto el proyecto, ya que la TIR > TMAR.B) Rechazo el proyecto, ya que, no hay inversión inicial.C) Aceptaría el proyecto si F2 = -10.500D) Aceptaría el proyecto si F1 = 9.425E) Son correctas b y d.
R: C)
Examen II Semestre 1999 (Casa Central)
6.-.Para los siguientes flujos de dos proyectos que se pueden replicar y considerando una tasa mínima atractiva de retorno del 10%Año Proyecto A Proyecto B0 -10 -101 6 42 6 43 4.75 Cual respuesta es falsa
A) El VAN individual de A es0.41B) El VAN individual de B es 0.51C) Se debe elegir el proyecto AD) Se debe elegir el proyecto BE) Ninguna de las anteriores
R: D)
Examen II Semestre 1999 (Casa Central)
7.-.Dos proyectos C y D demandan exactamente la misma inversión inicial y tienen la misma TIR, la cual es mayor que la tasa de descuento de los proyectos. Si los flujos de caja netos totales de C son más grandes que los de D, pero se producen más tarde, entonces cual de las alternativas es falsa:
A) La evaluación incremental C-D tendrá siempre un VAN positivo)B) El proyecto C tendrá una relación VAN/Inversión Inicial mayor que la de DC) Si las tasas de descuento para los proyectos fueran mayores que la TIR entonces el proyecto D entregaría un VAN mayor que el de CD) No se puede saber que proyecto tendría mejor VAN ya que depende de la tasa de descuento particular de cada unoE) Ninguna de las anteriores
R: A)
Examen II Semestre 1999 (Casa Central)
Quiz nº116 de Marzo 2000
Dado que el verano recién pasado de “vio corto de plata”, se ha decidido a que le próximo verano será mejor, para lo cual ha abierto una cuenta de ahorros en el Banco “Billetón”. Dicha cuenta le garantiza una tasa de interés del 12% anual capitalizado mensualmente. Hoy es 16 de marzo del 2000 y usted desea ahorrar hasta el 16 de diciembre del 2000, haciendo el primer depósito hoy. Ha estimado que con $220.000 a esa fecha usted tendría un buen pasar (además de lo que le pase su abuelita). Sin embargo en septiembre usted no realizará ningún ahorro debido a los gastos por el 18. ¿Cuánto deberá ahorrar cada mes, comenzando desde ahora hasta diciembre, para lograr un “verano feliz”?
Quiz nº116 de Marzo 2000
Solución:
Realizamos el diagrama de flujo de la situación dada:
DSJ
P P P
O N
P P
J A
P P P
M A M
P
963 7 84 50 1 2
Debemos calcular el interés mensual efectivo:
%112
%12mi
Quiz nº116 de Marzo 2000
Ahora hay que calcular el valor futuro (al 16 de diciembre) de los flujos:
Podríamos cada flujo a diciembre, pero esto sería un método “muy carretero”.
Otra alternativa sería usar las fórmulas del Payment:
11 ni
iVFP
Quiz nº116 de Marzo 2000
i
iPVF
n 11
Despejando VF:
Ahora solo debemos ocupar adecuadamente la fórmula:
PPPVFD
4319,9
01,0
101,101,1
01,0
101,1 34
6
Quiz nº116 de Marzo 2000
Pero sabemos que el VFD(VF9)=$220.000, luego:
325.23$4319,9
000.220 P
Por lo tanto debería ahorrar $23.325 cada mes.
Quiz nº230 de Marzo 2000
Las ganancias de un negocio de ventas por internet serán depositadas en una cuenta de ahorros donde ganarán 1% de interés mensual. Se estima que las ganancias sean de M$9.000 los primeros 14 meses y desde el mes 15 se produzcan incrementos de M$500 cada mes. Cuánto dinero tendrá ahorrado en total la empresa en el mes 34.
Tiempo 25 minutos
Quiz nº230 de Marzo 2000
Solución:
Primero nos conviene el diagrama de flujo de situación dada:
20 1 1413 15 16 17 34
9.0009.000 10.50010.000 xxxx9.000 9.000 9.500
Ahora solo debemos llevar a valor futuro (período 34) todos estos flujos, considerando un interés del 1% mensual (im=1%)
Quiz nº230 de Marzo 2000
20 1 1413 15 16 17 34
9.0009.000 9.000
Para calcular el VF34, podemos dividir el flujo en dos subflujos:
20 1 1413 15 16 17 34
10.50010.000 xxxx9.000 9.500
20 1 1413 15 16 17 34
9.0009.000 9.000
Quiz nº230 de Marzo 2000
El primer subflujo es simplemente un Payment de 13 períodos:
541,166.15301,101,001,1
101,19000 34
13
13
34
AVF
Quiz nº230 de Marzo 2000
20 1 1413 15 16 17 34
10.50010.000 xxxx9.000 9.500
El segundo subflujo es un gradiente:
10 2 3 4 21
21
2121
21
21
21
34 01,101,1
21
01,001,1
101,1
04,0
500
01,001,1
101,19000
BVF
448,112.32134 BVF
Quiz nº230 de Marzo 2000
279.474448,112.321541,166.153343434 BA VFVFVF
Finalmente:
El procedimiento usado noes el único!!!
Resuelva el problemausando otro método
Quiz nº34 de Mayo 2000
Usted conoce la siguiente informaciónEl IPC de enero del 2000 fue del 102,49 y el de febrero del 2000 fue de 103,06.El interés a los depósitos en UF en el mismo período fue de 0,5% mensual.Se supone que estas tendencias se mantendrán durante los próximos 7 meses.
Si Usted deposita “hoy” 1 de marzo del 2000 una cantidad de $500.000 en una cuenta de ahorros de pesos; y además de 10 UF en una cuenta de ahorros de UF, ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de los 7 meses?
Nota: La UF el 1 de marzo del 2000 vale $15.143
Quiz nº34 de Mayo 2000
Solución:
%556,049,102
49,10206,103
f
Primero calculemos la tasa de inflación:
Como tenemos que la tasa de interés (i=0,5% mensual), podemos calcular la tasa de interés inflada:
%059,1100
556,0
100
556,0
100
5,0
100
5,0 ffiii f
Quiz nº34 de Mayo 2000
Ahora podemos calcular el valor futuro del depósito de la cuenta de ahorros de pesos:
264.538$01059,1000.5001 77$7 fiVPVF
La cantidad de UF que existirá en la cuenta de ahorros se calcula fácilmente:
UF35529,10005,1101 777 iVPVF UF