curso gum y mcm para principiantes

Estimación de incertidumbre en las

mediciones: GUM y método de

Monte Carlo para principiantes

1

Grupo de Ultrasonido, Dirección de Vibraciones y Acústica

Dirección General de Metrología Física, CENAM.

Instructores:

Ana Lilia López Sánchez ([email protected])

Alfredo Elías Juárez ([email protected])

Tel. (442) 2 11 05 00 ext. 3599 y 3515

24 al 26 de marzo de 2015

mailto:[email protected]

Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes. 2

Que el participante adquiera los conocimientos

básicos para realizar la estimación de

incertidumbre en las mediciones;

- empleando la ley de propagación de incertidumbres

conforme a la GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in

Measurement), y

- el Suplemento 1 de la GUM (método de Monte Carlo).

Objetivo


los datos y parámetros estadísticos que necesariamente requiere un

presupuesto de incertidumbres;

en el caso del método de Monte Carlo, se utilizará

software libre para realizar la propagación de

distribuciones de probabilidad.

El participante identificará, con base en un modelo de medición,

OCTAVE


Se revisa la metodología GUM para la estimación

de incertidumbres de medida; contrastando los

resultados obtenidos entre dos técnicas

(combinación de varianzas vs. método de Monte Carlo).

Se sugiere que cada participante proporcione un problema de

estimación de incertidumbres; de ser posible, con datos reales

de un proceso de calibración, medición o publicación técnica.

Descripción del curso


1. Introducción: modelo de una medición

Temario

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al

método de la “Guide to the expression of uncertainty in

measurement” (GUM).

5. Reflexiones y consideraciones finales en su aplicación a los

ensayos o mediciones por ultrasonido.

4. Estimando la incertidumbre de medición utilizando el método

de simulación Monte Carlo.

2. Repaso de conceptos básicos de probabilidad y estadística.

GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, BIPM, lEC, IFCC, ISO, IUPAC, lUPAP, OIML. Equivalente

a la norma NMX-CH-140-IMNC 2002 Guía para la expresión de la incertidumbre en las mediciones.

0. Motivación y Referencias clave


Instrumentación típica

+ +

Medidores

y detectores

Unidades

rastreadoras

(transductores)

Bloques

de referencia

y accesorios

(ej. acoplante)

=

+ … ? =

+

Personal

calificado

+ Referencia

Normativa

Procedimiento

Código,

norma,

Instrumentación y cadenas de medición en aplicaciones de ultrasonido

práctica

Recomen-

dada, etc.

0. Motivación… un caso de aplicación


¿Cómo indica o declara actualmente el valor de

espesor de una tubería?

? mm

Medidor

ultrasónico de

espesor

Tubería

Condiciones

ambientales

interiores

Espesor

Condiciones

ambientales

exteriores

0. Motivación… ¿es relevante el tema de

la incertidumbre de medida?

¿25.6 mm?

¿25.4 mm?

¿25.35 mm?


0. Motivación… ¿incertidumbre en la

evaluación de la conformidad?

Tolerancia

superior

Tolerancia

inferior

Pasa No Pasa No Pasa

Valores medidos considerando la dispersión de los datos debido al

proceso de medición y/o usuario.


http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html

0. … Referencias clave




JCGM 100:2008 … “aka la GUM”

0.1 When reporting the result of a measurement of a

physical quantity, it is obligatory that some quantitative

indication of the quality of the result be given so that those

who use it can assess its reliability. Without such an

indication, measurement results cannot be compared, either

among themselves or with reference values given in a

specification or standard. It is therefore necessary that there

be a readily implemented, easily understood, and generally

accepted procedure for characterizing the quality of a result

of a measurement, that is, for evaluating and expressing

its uncertainty.

Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

11

https://archive.org/details/MathematicsAndStatistics

1. Introducción…

Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman,

The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication




12

1. Introducción…

Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of

England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication


13

1. Introducción…

“La cuantificación de la incertidumbre debe obtenerse sobre la base de un adecuado entendimiento

del proceso de medición involucrado y del sistema sujeto a medición”



Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of

England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication


15

VERSIÓN VIM 2008

Mensurando se mide directamente

Ej.: Medición del volumen de un cilindro por

desplazamiento de agua.

Mensurando se mide de forma indirecta

Cálculo del mensurando a partir de otras

magnitudes medidas.

Ej.: Volumen de un cilindro: V = (/4)·d^2·h

d

h



16

CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medida

http://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf



1. Introducción…


18

Resultado no

corregido Dispersión por

errores aleatorios

Valor verdadero

Incertidumbre Resultado corregido

Corrección (error sistemático)

Mensurando

Tolerancia

Tolerancia

2. Repaso de conceptos básicos de

probabilidad y estadística.


19

n

i

ixn

x

1

1

n

i

i xxn

1

22

1

1

n

j

j qqn

qs

1

22

1

1)(

NNll xXxXll

lX

f

x

fc

1

1 11

22 ),()()(2)()(

n

i

N

ik

kiki

n

i

i xxryuyuyuyu

ji

ji

jixuxu

xxuxxr

,,

mi xxfy ,...,

)(

)(

1

4

4

N

i i

i

cef

yu

yu


20

Definiciones iniciales y … Etc.,



J. N. Razo Razo, “Incertidumbre en la integración numérica de curvas de medición” , mayo 2003


21

Probabilidad, funciones de densidad probabilística

(probability density functions, PDFs) de uso común,

esperanza y momentos de una variable aleatoria.

Parámetros estadísticos: mediana, moda, media

aritmética, varianza, desviación estándar,

incertidumbre estándar, histograma de resultados.

Nivel de confianza, factor de cobertura,

incertidumbre combinada vs. incertidumbre

expandida




22

* CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medida





CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medida





24

C.2.1 probabilidad número real, entre 0 y 1, asociado a un suceso aleatorio

C.2.4 función de distribución función que da, para cada valor de x, la probabilidad de que la

variable aleatoria X sea menor o igual que x: F(x) = Pr(X ≤ x)

C.2.5 función de densidad de probabilidad (para

una variable aleatoria continua) es la derivada (cuando existe)

de la función de distribución:

f(x) = dF(x)/dx




C.2.19 media aritmética; valor medio suma de valores dividida entre el número de valores

Mediana: el valor central de los datos ordenados

Moda: el valor que más veces se repite

n

1i

ixn

1x




26

C.2.9 esperanza matemática (de una variable aleatoria

o de una distribución de probabilidad); valor esperado;

media … Para una variable aleatoria continua X, con función de densidad de

probabilidad f(x), la esperanza, si existe, es

μ = E(X ) = ∫x f(x) dx

C.2.13 momento central de orden q en una distribución de una única variable, es la esperanza matemática

de la q-ésima potencia de la variable aleatoria centrada (X − μ):

E[ (X −μ )^q ]




27

del mensurando

Media

Medida de su Dispersión

n

1i

2

ixx1n

1s

Desviación estándar experimental

s2 : Varianza experimental

C.2.20 varianza medida de dispersión, igual a la suma de los cuadrados de las

desviaciones de las observaciones con respecto a su valor

medio, dividido por el número de observaciones menos uno




28

Tiempo

Valores

C.2.18 distribución de

frecuencia

relación empírica entre los valores de

una característica y sus frecuencias o

frecuencias relativas NOTA La distribución puede representarse gráficamente como un

histograma (ISO 3534-1:1993, definición 2.17), un diagrama de

barras (ISO 3534-1:1993, definición 2.18),…


29

y funciones de densidad de probabilidad (PDF)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

Clase

Fre

cu

en

cia

0123456789

10

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

Clase

Fre

cu

en

cia

Los histogramas permiten visualizar de manera preliminar la distribución, a partir de su envolvente.

¿uniforme? ¿normal?


30

2

2

22

1

)(exp)(

xxf

x

f(x)

= Distribución de Laplace-Gauss

= Distribución Gaussiana

= Media

= Desviación estándar


Intervalo

Nivel de confianza 68,3% 95,4% 99,7%

3 2 2 3

2 3

Probabilidad de encontrar x en un intervalo:

b

adxxf )(bxaP

x

f(x)

Para una distribución normal


Ref. VIM, JCGM 200:2008, trad. Español.

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0


Fuente: Ref. NMX-CH-140-IMNC


-3uc -2uc -uc +uc +2uc +3uc

k 1 2 3

nivel de confianza 68,3% 95,4% 99,7%

cukU

• Aumentar el nivel de confianza.

• k es elegido por el usuario según conveniencia.

La incertidumbre estándar uc representa un intervalo que contiene el valor verdadero del

mensurando con una probabilidad p de 68% aproximadamente, llamado el “nivel de

confianza”. Para obtener una probabilidad mayor, se expande el intervalo de

incertidumbre por un factor k, llamado “factor de cobertura”. El resultado se llama

“incertidumbre expandida”


3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al

método de la “Guide to the expression of uncertainty in

measurement” (GUM).

3.1 Mensurando, variables de influencia y variables de entrada (del

modelo de medición).

3.2 Ley de propagación de incertidumbres: con y sin correlación de

variables.

3.3 Coeficientes de sensibilidad y el “peso” de las contribuciones en la

incertidumbre de una medición.

3.4 Incertidumbre: Tipo A vs. Tipo B.

3.5 Componentes “mínimos” en un presupuesto de incertidumbres.

3.6 Ejercicio ilustrativo: medición de espesores utilizando ultrasonido.


Parámetro no negativo que caracteriza la dispersión de los valores

atribuidos a un mensurando, a partir de la información que se utiliza.

¿25.4 mm?

¿25.6 mm?

¿25.35 mm?

NOTA. El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación típica (o un múltiplo de ella), o el semi

intervalo con un nivel de confianza determinado.

No es posible conocer con certeza absoluta el valor

verdadero de una magnitud. Siempre nos

quedamos con incertidumbre.

La incertidumbre se estima, no es una cuantificación

exacta.

El nivel de incertidumbre apropiado depende del

uso intencionado.

3. Estimando la incertidumbre de una

medición conforme al método de la GUM

http://www.checkline.com/wall_thickness_gauges/TI-1071


Fu

en

tes

po

sib

les

de

in

ce

rtid

um

bre

definición incompleta del mensurando;

realización imperfecta de la definición del mensurando;

muestra no representativa del mensurando;

lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del técnico;

resolución finita del instrumento de medida;

conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones ambientales en la medición, o medición imperfecta de las mismas.

valores inexactos de los patrones de medida;

valores inexactos de constantes y otros parámetros tomados de fuentes externas;

variaciones en las observaciones repetidas del mensurando, en condiciones aparentemente idénticas.






Esta Guía proporciona reglas

generales para evaluar y

expresar la incertidumbre de

medida de una magnitud física

bien definida, el mensurando.

NMX-CH-140-IMNC Guía para la expresión de

incertidumbre en las mediciones




1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada .

2) Determinar el valor estimado de las magnitudes de entrada

3) Evaluar la incertidumbre estándar de cada estimación de entrada.

4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén correlacionadas.

5) Calcular la estimación del mensurando.

6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando.

7) Determinar la incertidumbre expandida.

8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre.




Magnitud que se desea medir.

Cantidad particular objeto de una medición.

En general, un proceso de medición involucra cantidades de entrada 𝑋𝑖

cuyo valor estimado, 𝑥𝑖, contribuyen al valor estimado 𝑦 del mensurando o

cantidad de salida, 𝑌.

Proceso

de

medición

⋮

𝑋1

𝑋𝑁

𝑌

𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑁




1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de

entrada .

Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes

de entrada (Xi ) de las que depende Y.

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Decidir qué se quiere medir. Decidir qué mediciones y cálculos se requieren para obtener el resultado final.


Volumen de un cilindro.

D

h



𝑉 =𝜋

4∙ 𝐷2 ∙ ℎ

Volumen del cilindro

Diámetro del cilindro

Altura del cilindro

𝑉

𝐷

ℎ

Mensurando 𝑌

𝑋𝑖 Magnitudes de entrada


entrada .




2) Determinar el valor estimado 𝒙𝒊 de la magnitud de entrada 𝑿𝒊.

Las magnitudes de entrada 𝑋𝑖 pueden ser a su vez mensurandos,

pudiendo depender de otras magnitudes.

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛

Se pueden determinar a partir del análisis estadístico de una serie de

observaciones.

Por el instrumento Por magnitudes de

influencia (ej. temperatura,

presión atmosférica, o

humedad)





Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se introducen en la

medición procedentes de fuentes externas:

Magnitudes asociadas a patrones,

Materiales de referencia certificados

Valores de referencia tomados de publicaciones.


Diámetro del cilindro.

D

h



𝐷 = 𝐷𝑚𝑒𝑑 + 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡 + 𝐶𝑐𝑜𝑛𝑑.𝑎𝑚𝑏.


Certificado de

calibración

Material del

instrumento

y/o del objeto.

Regla.

Corrección = 0 mm.

U = ± 0.1 % de la lectura, k=2.

Lata de aluminio.

Coeficiente de expansión térmica lineal

del aluminio (α) = 2.3x10-5 °C-1.

𝐿 = 𝐿0 1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇


Altura del cilindro.



ℎ = ℎ𝑚𝑒𝑑 + 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡 + 𝐶𝑐𝑜𝑛𝑑.𝑎𝑚𝑏.


Certificado de

calibración

Material del

instrumento

y/o del objeto.

Regla.

Corrección = 0 mm.

U = ± 0.1 % de la lectura, k=2.

Lata de aluminio.

Coeficiente de expansión térmica lineal

del aluminio (α) = 2.3x10-5 °C-1.

𝐿 = 𝐿0 1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇

D

h




3) Evaluar la incertidumbre estándar, 𝒖 𝒙𝒊 , de cada estimación de entrada 𝒙𝒊.

a) Identificación de las fuentes de incertidumbre.

b) Clasificación según su método de evaluación.

c) Distribución de probabilidad.

d) Determinación incertidumbre estándar.

Certificado de

calibración.

Resolución del

instrumento.

Repetibilidad de

las lecturas.

Bibliografía.

etc.

Tipo A.

Se evalúa por análisis

estadístico de una serie

de observaciones.

Tipo B.

Adopción de valores

“externos” al proceso

de medición.

Tipo A.

a partir de distribución de

frecuencia observada.

Tipo B.

distribuciones supuestas

a priori.





Distribución de

probabilidad

Expresión para obtener

𝒖 𝒙𝒊

Comentarios o ejemplos

Rectangular 𝒖 𝒙𝒊 =𝒂𝒊

𝟑 Un termómeltro digital tiene una resolución de 0.1°C.

Límites del semi-intervalo de 0.05 °C. 𝒖 𝒙𝒊 =𝟎.𝟎𝟓

𝟑

Normal

(evaluación de

repetibilidad)

𝒖 𝒙𝒊 = 𝒔 𝒒

𝒔 𝒒 =𝒔 𝒒

𝒏

𝒔𝟐 𝒒 =𝟏

𝒏 − 𝟏 𝒒𝒋 − 𝒒

𝒏

𝒋=𝟏

Evaluación estadística de la repetibilidad proporciona

el resultado en términos de una desviación estándar;

por lo que no es necesario realizar un procesamiento

adicional.

Proporciona una indicación de la repetibilidad del

proceso, el cual depende de factores como:

instrumento utilizado, el método de medición, y en

algunas ocasiones de la persona que realiza la

medición.





Distribución de

probabilidad


𝒖 𝒙𝒊


Normal (de un

certificado de

calibración)

𝒖 𝒙𝒊 =𝑼

𝒌

Un certificado de calibración expresa una

incertidumbre expandida U, con una probabilidad de

cobertura o nivel de confianza. Es necesario dividir U

por el factor de cobertura, k, que corresponde al nivel

de confianza informado.

Normal (de las

especificaciones

del fabricante)

𝒖 𝒙𝒊

=𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒍𝒆𝒓𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂

𝒌

Algunas especificaciones de fabricantes se indican para

un nivel de confianza, en estos casos se supone una

distribución normal y el límite de tolerancia se divide

entre el correspondiente factor de cobertura.

Si no se especifica un nivel de confianza, entonces se

debe suponer una distribución uniforme.





Distribución de

probabilidad


𝒖 𝒙𝒊


Triangular 𝒖 𝒙𝒊 =𝒂𝒊

𝟔

La combinación de dos distribuciones uniformes

idénticas, cada una con límites del semi-intervalor de

± 𝑎, resulta en una distribución triangular con un

semi-intervalor de ±2𝑎.


Repetibilidad

Resolución del instrumento 𝐷𝑚𝑒𝑑

Repetibilidad

Resolución del termómetro ∆𝑇

Certificado de calibración del termómetro

Bibliografía ∝

𝐷




Certificado de calibración del instrumento 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡




Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información

Tipo de distribución Incertidumbre estándar,

𝒖 𝒙𝒊

Diámetro medido, 𝑫𝒎𝒆𝒅

Repetibilidad Lecturas A. Normal

Resolución Instrumento B. Uniforme

Corrección por

instrumento, 𝑪𝒊𝒏𝒔𝒕

Calibración Certificado B. Normal.k=2


𝐷 = 𝐷𝑚𝑒𝑑 + 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡 + 𝐶𝑐𝑜𝑛𝑑.𝑎𝑚𝑏.

5) Calcular la estimación 𝒚 del mensurando 𝒀, a partir de la relación funcional 𝒇 utilizando para

las magnitudes de entrada 𝑿𝒊 las estimaciones 𝒙𝒊




Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información


𝒖 𝒙𝒊

Diámetro medido, 𝒉𝒎𝒆𝒅

Repetibilidad

Resolución

Corrección por


Calibración


Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información


𝒖 𝒙𝒊

Diámetro medido, 𝒉𝒎𝒆𝒅

Repetibilidad Lecturas A. Normal

Resolución Instrumento B. Uniforme

Corrección por


Calibración Certificado B. Normal.k=2

ℎ = ℎ𝑚𝑒𝑑 + 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡 + 𝐶𝑐𝑜𝑛𝑑.𝑎𝑚𝑏.






6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, 𝒖𝒄 𝒚

La incertidumbre típica combinada 𝑢𝑐 𝑦 es la raíz cuadrada positiva de la

varianza combinada 𝑢𝑐2 𝑦 , dada por:

𝑢𝑐2 𝑦 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖

2

𝑢2 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

Ley de propagación de incertidumbre

𝑢𝑐2 𝑦 = 𝑐𝑖 ∙ 𝑢 𝑥𝑖

2

𝑁

𝑖=1

≡ 𝑢𝑖2 𝑦

𝑁

𝑖=1

𝑐𝑖 ≡𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖 Coeficiente de sensibilidad, es el

impacto de cada fuente sobre el

mensurando.

contribución de cada fuente a la incertidumbre

combinada.

magnitudes de entrada independientes





La incertidumbre típica combinada 𝑢𝑐 𝑦 es la raíz cuadrada positiva de la varianza

combinada 𝑢𝑐2 𝑦 , dada por:

𝑢𝑐2 𝑦 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖

2

𝑢2 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

+ 2 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑗

𝑁

𝑗=𝑖+1

𝑢 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗

𝑁−1

𝑖=1

Ley de propagación de incertidumbre

𝑟 =𝑢 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗

𝑢 𝑥𝑖 𝑢 𝑥𝑗

Coeficiente de

correlación entre 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗 .

magnitudes de entrada correlacionadas

𝑢𝑐2 𝑦 = 𝑐𝑖

2𝑢2 𝑥𝑖

𝑁

𝑖=1

+ 2 𝑐𝑖𝑐𝑗𝑢 𝑥𝑖 𝑢 𝑥𝑗

𝑁

𝑗=𝑖+1

𝑟 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗

𝑁−1

𝑖=1

Covarianza estimada

asociada a 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗 .


𝑢𝑐2 𝐷 = 𝑢𝐷𝑚𝑒𝑑

2 𝐷 + 𝑢𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙2 𝐷




𝑢𝑐2 𝐷 =

𝜕𝐷

𝜕𝐷𝑚𝑒𝑑

2

𝑢2 𝐷𝑚𝑒𝑑 +𝜕𝐷

𝜕𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙

2

𝑢2 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙

𝑢2 𝐷𝑚𝑒𝑑 =𝑠 𝐷𝑚𝑒𝑑𝑛𝐷𝑚𝑒𝑑

2

+𝑅𝑒𝑠 𝐷𝑚𝑒𝑑

12

2

𝑢2 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙 =𝑈𝑐𝑎𝑙 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙𝑘𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙

2

𝑐𝐷𝑚𝑒𝑑 =𝜕𝐷

𝜕𝐷𝑚𝑒𝑑= 1

𝑐𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙 =𝜕𝐷

𝜕𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙= 1





Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Tipo

distribución

𝒖 𝒙𝒊 𝒄𝒊 contribución 𝒄𝒊 ∙ 𝒖 𝒙𝒊

Diámetro medido,

𝑫𝒎𝒆𝒅

Repetibilidad

Resolución

Corrección por


Calibración

𝑢𝑐 𝐷 = 𝑢𝐷𝑚𝑒𝑑2 𝐷 + 𝑢𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙

2 𝐷

𝑢𝑐 𝐷 = 𝑐𝐷𝑚𝑒𝑑 ∙ 𝑢 𝐷𝑚𝑒𝑑2+ 𝑐𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙 ∙ 𝑢 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑐𝑎𝑙

2


Intervalo

Nivel de confianza 68.3% 95.4% 99.7%

2 3

3 2 2 3

k=1 k=2 k=3

Teorema del Límite Central:

La distribución del mensurando Y es (aproximadamente) normal, si las

contribuciones Xi son independientes (no correlacionadas) y la varianza s2(Y)

es mucho más grande que cualquier componente individual ci2·s2(Xi) cuya

distribución no sea normal.

Factor de cobertura






7) Determinar la incertidumbre expandida

y-U y y+U

k = ?

𝑈 = 𝑘 ∙ 𝑢𝑐 𝑦

𝑌 = 𝑦 ± 𝑈 𝑦 − 𝑈 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝑈

De acuerdo con prácticas internacionales

generalmente aceptadas, se recomienda

que se utilice un factor de cobertura de k=2

para calcular la incertidumbre expandida.

Este valor de k dará un nivel de confianza

de aproximadamente 95%, suponiendo

una distribución normal.




8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre

con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución

normal del error de medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de

confianza de aproximadamente 95%.

𝐷 ± 𝑈





e) D = 1.025 3 km, U = 2.3 m (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

a) D = (1.025 3 0.002 3) km (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

Y = y U con k = ? @ x %

Y Mensurando

y Mejor estimado del mensurando

U Incertidumbre expandida

b) D = 1.025 3 km 2.3 m (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

c) D = 1.025 3 km 0.22 % (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

d) D = 1.025 3 km 2.2·10-3 (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

f) D = 1.025 3 km, U = 0.22 % (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

g) D = 1.025 3 km, U = 2.2·10-3 (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

Ejemplos de expresión de resultados en la magnitud de longitud:

Resultado:


Volumen de un cilindro. D

h



𝑉 =𝜋

4∙ 𝐷2 ∙ ℎ




Unidad

rastreadora

(transductor)

Bloque de referencia

Acoplante

Cable

Medidor

Reflexión (eco)

Mensurando:

Error de medida

Magnitudes de entrada:

Espesor medido

Espesor de referencia (𝑋2)

(𝑋1)

(𝑌)

𝑌 = 𝑓 𝑋1, 𝑋2





entrada .

Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes

de entrada (Xi ) de las que depende Y.

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑒 = 𝑙𝑚𝑒𝑑 − 𝑙𝑟𝑒𝑓





entrada .

Las magnitudes de entrada Xi, de las que depende la magnitud de salida Y pueden ser

consideradas a su vez como mensurandos, pudiendo depender de otras magnitudes,

junto con las correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos.

𝑙𝑟𝑒𝑓 = 𝑙𝑐𝑎𝑙 1 +∝ 𝑡 − 𝑡𝑐𝑎𝑙 + 𝑙𝑎𝑐

Longitud del bloque

patrón dada en su

certificado de

calibración

Coeficiente de

dilatación térmica

lineal del bloque

patrón

Temperatura del

bloque durante la

medición

Temperatura de

calibración del

bloque

Espesor de la capa de

acoplante a la

temperatura de

medición.





entrada.

𝑒 = 𝑙𝑚𝑒𝑑 − 𝑙𝑐𝑎𝑙 1 +∝ 𝑡 − 𝑡𝑐𝑎𝑙 − 𝑙𝑎𝑐




2) Determinar el valor estimado xi de la magnitud de entrada Xi.

A partir del análisis estadístico de una serie de observaciones:

d1 (mm) d2 (mm) d3 (mm) d4 (mm) d5 (mm) d6 (mm) d7 (mm)

2.543 5.072 7.635 10.165 12.708 19.042 25.40

2.541 5.08 7.633 10.166 12.700 19.036 25.40

2.547 5.087 7.635 10.162 12.706 19.034 25.41

2.541 5.084 7.627 10.168 12.704 19.053 25.40

2.543 5.08 7.624 10.165 12.708 19.047 25.398

2.543 5.081 7.631 10.165 12.705 19.042 25.401 media aritmética

(n = 5)

observaciones

repetidas e

independientes.

𝑙𝑚𝑒𝑑

𝑡 = 21.4 °C Temperatura promedio del

bloque durante la medición.

21.3 °C 𝑡 =

21.5 °C 𝑡 =

Temperatura del bloque.

Al iniciar la medición.

Al finalizar la medición.


Magnitudes cuyos valores e incertidumbres se introducen en la medición

procedentes de fuentes externas:



2) Determinar el valor estimado xi de la magnitud de entrada Xi.

𝑙𝑎𝑐 (0 ± 0.005) mm 𝑙𝑐𝑎𝑙 (mm)

2.543

5.085

7.621

10.161

12.702

19.048

25.400

Del certificado de

calibración del

bloque.

De estudio realizado.

∝ 1.1 x 10-5 (°C-1)

De bibliografía.

𝑡𝑐𝑎𝑙 (20 ± 0.2) °C

Del certificado de calibración del bloque.

𝑈𝑙𝑐𝑎𝑙 = 0.004 (mm)





Repetibilidad

Resolución del medidor ultrasónico de espesores 𝑙𝑚𝑒𝑑

Repetibilidad

Resolución del termómetro 𝑡

Certificado de calibración del termómetro

Certificado de calibración del bloque de referencia 𝑙𝑐𝑎𝑙

Bibliografía ∝

Medición del espesor de la capa de acoplante. 𝑙𝑎𝑐

𝑒

Certificado de calibración del bloque de referencia 𝑡𝑐𝑎𝑙


Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información


𝒖 𝒙𝒊

Espesor medido, 𝒍𝒎𝒆𝒅 2.543 mm

Repetibilidad 0.002 mm Lecturas A. Normal 0.001 mm

Resolución 0.001 mm Carátula B. Uniforme 2.887x10-4 mm

Longitud del bloque, 𝒍𝒄𝒂𝒍 2.543 mm

Calibración 0.004 mm Certificado B. Normal.k=2 0.002 mm

Temperatura del bloque, 𝒕 21.4 °C

Repetibilidad 0.14 °C Lecturas A. Normal 0.1 °C

Resolución 0.1 °C Carátula B. Uniforme 0.03 °C

Calibración 0.2 °C Certificado B. Normal.k=2 0.1 °C

Temp. calibración bloque, 𝒕𝒄𝒂𝒍 20 °C

Calibración 0.2 °C Certificado B. Uniforme 0.06 °C

Coef. dil. térmica lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1

Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 Referencia B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1

Espesor capa acoplante, 𝒍𝒂𝒄 0 mm

Informe 0.005 mm Informe B. Normal.k=2 0.0025 mm




Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm







Espesor Medido

𝒍𝒎𝒆𝒅

Espesor Referencia

𝒍𝒓𝒆𝒇 Error de medida

𝒆 (mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000

𝑙𝑟𝑒𝑓


𝑢2 𝑙𝑚𝑒𝑑 =𝑠 𝑙𝑚𝑒𝑑𝑛𝑙𝑚𝑒𝑑

2

+𝑅𝑒𝑠 𝑙𝑚𝑒𝑑

12

2

𝑢2 𝑙𝑐𝑎𝑙 =𝑈𝑐𝑎𝑙 𝑙𝑐𝑎𝑙𝑘𝑙𝑐𝑎𝑙

2

𝑢2 𝑙𝑐𝑎𝑙 =𝑢𝑅𝐵 ∝

12

2

𝑢2 𝑡 =𝑠 𝑡

𝑛𝑡

2

+𝑅𝑒𝑠 𝑡

12

2

+𝑈𝑐𝑎𝑙 𝑡

𝑘𝑡

2

𝑢2 𝑡𝑐𝑎𝑙 =𝑈𝑐𝑎𝑙 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑘𝑡𝑐𝑎𝑙

2

𝑢2 𝑡𝑎𝑐 =𝑈 𝑙𝑎𝑐𝑘𝑙𝑎𝑐

2

𝑢𝑐2 𝑒 = 𝑢𝑙𝑚𝑒𝑑

2 𝑒 + 𝑢𝑙𝑐𝑎𝑑2 𝑒 + 𝑢∝

2 𝑒 + 𝑢𝑡2 𝑒 + 𝑢𝑡𝑐𝑎𝑑

2 𝑒 + 𝑢𝑙𝑎𝑐2 𝑒




𝑢𝑐2 𝑒 =

𝜕𝑒

𝜕𝑙𝑚𝑒𝑑

2

𝑢2 𝑙𝑚𝑒𝑑 +𝜕𝑒

𝜕𝑙𝑐𝑎𝑙

2

𝑢2 𝑙𝑐𝑎𝑙 +𝜕𝑒

𝜕 ∝

2

𝑢2 ∝ +𝜕𝑒

𝜕𝑡

2

𝑢2 𝑡 +𝜕𝑒

𝜕𝑡𝑐𝑎𝑙

2

𝑢2 𝑡𝑐𝑎𝑙 +𝜕𝑒

𝜕𝑙𝑎𝑐

2

𝑢2 𝑙𝑎𝑐






𝑐𝑙𝑚𝑒𝑑 =𝜕𝑒

𝜕𝑙𝑚𝑒𝑑= 1

𝑐𝑙𝑐𝑎𝑙 =𝜕𝑒

𝜕𝑙𝑐𝑎𝑙= −1 +∝ 𝑡 − 𝑡𝑐𝑎𝑙

𝑐∝ =𝜕𝑒

𝜕 ∝= −𝑙𝑐𝑎𝑙 𝑡 − 𝑡𝑐𝑎𝑙

𝑐𝑡 =𝜕𝑒

𝜕𝑡= −𝑙𝑐𝑎𝑙 ∙∝

𝑐𝑡𝑐𝑎𝑙 =𝜕𝑒

𝜕𝑡𝑐𝑎𝑙= 𝑙𝑐𝑎𝑙 ∙∝

𝑐𝑙𝑎𝑐 =𝜕𝑒

𝜕𝑙𝑎𝑐= −1


Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Tipo

distribución

𝒖 𝒙𝒊 𝒄𝒊 contribución 𝒄𝒊 ∙ 𝒖 𝒙𝒊

Espesor medido, 𝒍𝒎𝒆𝒅 2.543 mm 1

Repetibilidad 0.002 mm A.Normal 0.001 mm 0.001 mm

Resolución 0.001 mm B.Uniforme 2.887x10-4 mm 2.887x10-4 mm

Longitud bloque, 𝒍𝒄𝒂𝒍 2.543 mm -1

Calibración 0.004 mm B. Normal.k=2 0.002 mm -0.002 mm

Temperatura bloque, 𝒕 21.4 °C -2.8x10-5 mm/°C

Repetibilidad 0.14 °C A. Normal 0.1 °C -2.8x10-6 mm

Resolución 0.1 °C B. Uniforme 0.03 °C -8.08x10-7 mm

Calibración 0.2 °C B. Normal.k=2 0.1 °C -2.8x10-6 mm

Temp. cal. bloque, 𝒕𝒄𝒂𝒍 20 °C 2.8x10-5 mm/°C

Calibración 0.2 °C B. Uniforme 0.06 °C 1.62x10-6 mm

Coef. dil. térm. lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1 -3.56 mm·°C

Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1 -1.13x10-6 mm

Espesor acoplante, 𝒍𝒂𝒄 0 mm -1

Informe 0.005 mm B. Normal.k=2 0.0025 mm -0.0025 mm



Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm






𝑢𝑐 𝑒 = 𝑢𝑙𝑚𝑒𝑑2 𝑒 + 𝑢𝑙𝑐𝑎𝑑

2 𝑒 + 𝑢∝2 𝑒 + 𝑢𝑡

2 𝑒 + 𝑢𝑡𝑐𝑎𝑑2 𝑒 + 𝑢𝑙𝑎𝑐

2 𝑒

Espesor

Medido

Espesor

Referencia

Error de

medida 𝒖𝒄 𝒆

(mm) (mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000 0.004

5.081 5.085 -0.004 0.006

7.631 7.621 0.010 0.006

10.165 10.161 0.004 0.004

12.705 12.702 0.003 0.005

19.042 19.048 -0.006 0.008

25.401 25.400 0.001 0.005




7) Determinar la incertidumbre expandida

Espesor

Medido

Espesor

Referencia

Error de

medida 𝑼 𝒆

(mm) (mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000 0.008

5.081 5.085 -0.004 0.012

7.631 7.621 0.010 0.012

10.165 10.161 0.004 0.008

12.705 12.702 0.003 0.010

19.042 19.048 -0.006 0.016

25.401 25.400 0.001 0.010

𝑈 = 𝑘 ∙ 𝑢𝑐 𝑒

Considerando un factor de cobertura 𝑘 = 2 representa un intervalo con un nivel

de confianza de aproximadamente el 95%





Espesor

Medido

Espesor

Referencia

Error de medida

𝒆 ± 𝑼

(mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000 ± 0.008

5.081 5.085 -0.004 ± 0.012

7.631 7.621 0.010 ± 0.012

10.165 10.161 0.004 ± 0.008

12.705 12.702 0.003 ± 0.010

19.042 19.048 -0.006 ± 0.016

25.401 25.400 0.001 ± 0.010

con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal del error de

medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.




Unidad rastreadora

(transductor)

Bloque

Acoplante

Cable

Reflexión (eco)

Medidor ultrasónico

de espesores

25.4 mm

2

tcd c es la velocidad de propagación de

las ondas ultrasónicas en el material,

t es el tiempo de vuelo.

d

- Depende del tipo de material,

- Se considera constante en un

material homogéneo e isotrópico.




Bloque de

referencia Bloque a

medir

l lref cref c

1tcl refref 2tcl

ref

ref

l

l

c

c

t

t

1

2




Bloque de referencia Bloque a medir

l lref cref c

ref

med

l

l

t

t

1

2

Se utiliza bloque de referencia

para ajustar el medidor

1tcl ajusteref 2tcl ajustemed




ref

ref

l

l

c

c

t

t

1

2

Bloque de referencia Bloque a medir

l lref cref c

ref

med

l

l

t

t

1

2

med

ref

lc

cl

el tiempo de vuelo no se incluye en este modelo!




Calibración del

instrumento de medición

Resolución del

instrumento de medición lmed

l c

cref Calibración del bloque de

referencia

Tablas o medición

med

ref

lc

cl

Repetibilidad



2


12

2

+𝑈𝑐𝑎𝑙 𝑙𝑚𝑒𝑑𝑘𝑙𝑚𝑒𝑑

2

𝑢2 𝑐 =𝑈 𝑐

𝑘𝑐

2

𝑢2 𝑐𝑟𝑒𝑓 =𝑈 𝑐𝑟𝑒𝑓

𝑘𝑐𝑟𝑒𝑓

2

𝑢𝑐2 𝑙 = 𝑢𝑙𝑚𝑒𝑑

2 𝑙 + 𝑢𝑐2 𝑙 + 𝑢𝑐𝑟𝑒𝑓

2 𝑙

Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, 𝒖𝒄 𝒚



𝑢𝑐2 𝑙 =

𝜕𝑙

𝜕𝑙𝑚𝑒𝑑

2

𝑢2 𝑙𝑚𝑒𝑑 +𝜕𝑙

𝜕𝑐

2

𝑢2 𝑐 +𝜕𝑙

𝜕𝑐𝑟𝑒𝑓

2

𝑢2 𝑐𝑟𝑒𝑓

𝑐𝑙𝑚𝑒𝑑 =𝜕𝑙

𝜕𝑙𝑚𝑒𝑑=𝑐

𝑐𝑟𝑒𝑓

𝑐𝑐 =𝜕𝑙

𝜕𝑐=𝑙𝑚𝑒𝑑𝑐𝑟𝑒𝑓

𝑐𝑐𝑟𝑒𝑓 =𝜕𝑙

𝜕𝑐𝑟𝑒𝑓= −

𝑐

𝑐𝑟𝑒𝑓2 𝑙𝑚𝑒𝑑




lref

Bloque de referencia

lref= (24.99 ± 0.03) mm, (k=2 @ 95%)

Ajuste

cref= (5 914.8 ± 57.7) m/s, (k=2 @ 95%)

cref

Reflexión (eco)

AISI 1018

eMUE ± Ucal,MUE = (0 ± 0.01) mm,

(k=2 @ 95%)

lref




Bronce

AISI 304

AISI 4140 l

Nylamid

AISI 6061

lnom=25.4 mm

Medición

𝑙𝑚𝑒𝑑




AISI 304 AISI 4140 AISI 6061 Bronce Nylamid

25.72 24.89 23.17 36.22 54.05

25.77 24.91 23.17 36.3 54.08

25.78 24.9 23.16 36.12 54.13

25.76 24.91 23.17 36.31 54.18

25.75 24.89 23.15 36.26 54.19

25.76 24.90 23.16 36.24 54.13 media aritmética

(n = 5)

observaciones

repetidas e

independientes.

𝑙𝑚𝑒𝑑 (mm)




Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información

Tipo de

distribución

Incertidumbre

estándar, 𝒖 𝒙𝒊

Coeficiente de

sensibilidad 𝒄𝒊 Contribución

𝒄𝒊 ∙ 𝒖 𝒙𝒊

Espesor medido, 𝒍𝒎𝒆𝒅 23.16 mm 1

Repetibilidad 0.009 mm Lecturas A. Normal 0.004 mm 0.004 mm

Resolución 0.01 mm Carátula B. Uniforme 2.89x10-3 mm 2.89x10-3 mm

Corrección MUE, 𝑪 0 mm 1

Calibración 0.01 mm Certificado B. Normal.k=2 0.005 mm 0.005 mm

𝒖𝒄 𝒍 0.01 mm

𝑼 𝒍

(k=2 @ 95%)

0.02 mm

Cll med

Ej. Bloque de aluminio AISI 6061

𝑢2 𝑙 =𝑠 𝑙𝑚𝑒𝑑𝑛𝑙𝑚𝑒𝑑

2


12

2


2




AISI 304 AISI 4140 AISI 6061 Bronce Nylamid

𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 25.76 24.90 23.16 36.24 54.13

𝒖𝒓𝒆𝒑,𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 0.010 0.004 0.004 0.034 0.027

𝒖𝒓𝒆𝒔,𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 0.00289 0.00289 0.00289 0.00289 0.00289

𝒖𝒄𝒂𝒍,𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005

𝒖 𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 0.01 0.01 0.01 0.03 0.03

𝑼 𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 0.02 0.02 0.02 0.06 0.06


2


12

2


2

con 𝑈 determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal de la longitud

medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.




Bloque AISI 304 AISI 4140 AISI 6061 Bronce Nylamid

𝒍 (mm) 25.76 24.90 23.16 36.24 54.13

𝑼 𝒍 (mm) 0.02 0.02 0.02 0.06 0.06

𝒍𝒓𝒆𝒇 (mm) 25.03 24.99 25.01 25.04 25.04

𝑼 𝒍𝒓𝒆𝒇 (mm) 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03

Error normalizado

( 𝑬𝒏 ≤ 𝟏) 20.2 2.5 51.3 167.0 433.6

𝑈 𝑙

Repetibilidad

Resolución del instrumento

Calibración del instrumento

22

ref

ref

n

lUlU

llE

Las mediciones son consistentes 1nE

1nE Las mediciones no son consistentes

Cll med




med

ref

lc

cl

Bronce AISI 304 AISI 4140

Nylamid AISI 6061

c= (4 104.9 ± 129.1) m/s,

(k=2 @ 95%)

c= (5 754.0 ± 59.3) m/s,

(k=2 @ 95%)

c= (5 932.3 ± 57.7) m/s,

(k=2 @ 95%)

c= (6 380.1 ± 59.3) m/s,

(k=2 @ 95%)

c= (2 721.7 ± 57.7) m/s,

(k=2 @ 95%)

Obtenida midiendo

el tiempo de vuelo

y el espesor del

bloque.




Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información

Tipo de

distribución

Incertidumbre


Coeficiente de

sensibilidad 𝒄𝒊 Contribución

𝒄𝒊 ∙ 𝒖 𝒙𝒊

Espesor medido, 𝒍𝒎𝒆𝒅 23.16 mm 1.0787

Repetibilidad 0.009 mm Lecturas A. Normal 0.004 mm 0.0043 mm

Resolución 0.01 mm Carátula B. Uniforme 2.89x10-3 mm 0.0031 mm

Calibración 0.01 mm Certificado B. Normal.k=2 0.005 mm 0.0054 mm

Velocidad de

propagación del

bloque medido, 𝒄 6 380.1 m/s 3.916x10-6 s

Calibración 59.3 m/s Certificado B. Normal.k=2 29.65 m/s 0.116 mm

Velocidad de

propagación del

bloque referencia, 𝒄𝒓𝒆𝒇 5 914.8 m/s -4.224x10-6 s

Calibración 57.7 m/s Certificado B. Normal.k=2 28.85 m/s -0.122 mm

𝒖𝒄 𝒍 0.17 mm

𝑼 𝒍

(k=2 @ 95%)

0.34 mm


𝑙 =𝑐

𝑐𝑟𝑒𝑓𝑙𝑚𝑒𝑑




Bloque AISI 304 AISI 4140 AISI 6061 Bronce Nylamid

𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 25.76 24.90 23.16 36.24 54.13

𝑼 𝒍𝒎𝒆𝒅 (mm) 0.02 0.02 0.02 0.08 0.06

𝒍 (mm) 25.06 24.97 24.98 25.15 24.91

𝑼 𝒍 (mm) 0.36 0.34 0.34 0.83 0.58

𝒍𝒓𝒆𝒇 (mm) 25.03 24.99 25.01 25.04 25.04

𝑼 𝒍𝒓𝒆𝒇 (mm) 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03

Error normalizado

( 𝑬𝒏 ≤ 𝟏) 0.09 0.06 0.09 0.13 0.22

med

ref

lc

cl

lectura

corregida del

medidor

Todas las mediciones por ultrasonido son

consistentes con los valores de referencia

obtenidos utilizando un calibrador vernier.


4. Estimando la incertidumbre de

medición utilizando el método SMC

94

4.1 Breve introducción al software Octave y Matlab: vectores y

operaciones básicas

4.2 Gráfica de variables aleatorias: PDFs vs. histogramas

4.3 Modelo de una medición y el concepto de propagación de

incertidumbres

4.4 Simulación por el método de Monte Carlo: datos de medición

para llevarla a cabo

4.5 Incertidumbre en las mediciones ultrasónicas: comparación

de resultados GUM vs Monte Carlo


95

Matlab y Octave tienen la misma sintaxis y nombre de muchas

funciones. Por supuesto hay diferencias, pero en general son

bastante compatibles.

Octave es software libre, en tanto que Matlab no lo es.

Existe una tremenda cantidad de librerías y programas

desarrollados en ambas plataformas. Algunos son más eficientes

y robustos; siendo importante saber qué estamos resolviendo y

contar con algún mecanismo de comprobación.

GNU Octave, http://www.octave.org

Matlab, http://www.mathworks.com

4.1 Octave y Matlab

http://www.octave.org/

http://www.mathworks.com/


Modelos y transformaciones matemáticas

v y

y_w v_w

A

inv(A)

T T inv(T) inv(T)

¿?

Modelo v(t) y(t)


Algebra con matrices y vectores

AA

ABAB

AA

BABA

TT

TTT

TT

TTT

)(

)(

)(

)(

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

A

...

:...::

...

...

21

22221

11211

n

j

jj

T xyxy1

La transpuesta de una

matriz o vector cumple con:

Sea A la matriz, real o imaginaria…,

Producto interno

(punto o escalar),

vector columna:

vector renglón:

𝑣 =

𝑣1𝑣2𝑣…𝑣𝑛

𝑤 = 𝑤1 𝑤2 𝑤… 𝑤𝑚


Líneas de código demostrativo

t=0:0.01:2*pi; x = sin(t);

plot (t,x)

title(‘ x = sin(t), con t=0:0.01:2*pi’)

xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)

t=0:0.01:4*pi; x = sin(t);

plot (t,x)

xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)

Graficando vectores


t=0:0.01:4*pi; x = sin(t);

y=cos(t);

mesh(x'*y)

imagesc(x’*y); axis('square')

contour(x'*y); axis('square')

imshow(x'*y)

Graficando matrices


4.2 Variables aleatorias (o random)

Variable aleatoria con distribución normal

y=randn(1000,1); plot(y)

mean(y)

median(y)

mode(y)

std(y)

hist(y)

hist(y,20)

histfit(y,20)


Variable aleatoria con distribución uniforme

y=rand(1000,1); plot(y)

mean(y)

median(y)

mode(y)

std(y)

hist(y)

hist(y,20)

histfit(y,20)

Histograma de variables aleatorias


Histograma vs PDF

y=randn(1000000,1);

mean(y), std(y)

median(y), moda(y)

subplot(221)

plot(y)

subplot(222);

hist(y,20)

subplot(223);

histfit(y,20)

subplot(224);

hist(y,20,1)

title('PDF')


y=rand(1000000,1);

mean(y), std(y)

median(y), moda(y)

subplot(221)

plot(y)

subplot(222);

hist(y,20)

subplot(223);

histfit(y,20)

subplot(224);

hist(y,20,1)

title('PDF')

Histograma vs PDF


4.3 Modelo de una medición y el

concepto de propagación de

incertidumbres

Referencia: JCGM 101:2008 Evaluation of measurement data — Supplement

1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” —

Propagation of distributions using a Monte Carlo method

“Introduction

This Supplement to the … (GUM) is concerned with the propagation of

probability distributions through a mathematical model of measurement

[GUM:1995 3.1.6] as a basis for the evaluation of uncertainty of

measurement, and its implementation by a Monte Carlo method. The

treatment applies to a model having any number of input quantities, and

a single output quantity.”


“This Supplement also provides guidance in situations where the conditions for

the GUM uncertainty framework [GUM:1995 G.6.6] are not fulfilled, or it is

unclear whether they are fulfilled. It can be used when it is difficult to apply the

GUM uncertainty framework, because of the complexity of the model, for

example. …

This Supplement can be used to provide (a representation of) the PDF for the

output quantity from which

a) an estimate of the output quantity,

b) the standard uncertainty associated with this estimate, and

c) a coverage interval for that quantity, corresponding to a specified coverage

probability

can be obtained. …”

Suplemento 1 de la GUM


Suplemento 1 de la GUM

“4.1 A mathematical model of a measurement [GUM:1995 4.1] of a single

(scalar) quantity can be expressed as a functional relationship f:

Y = f(X), (1)

where Y is a scalar output quantity and X represents the N input quantities

(X1, . . . ,XN)>. Each Xi is regarded as a random variable with possible

values ξ_𝑖 and expectation x_i. Y is a random variable with possible values η_i

and expectation y.”

“4.2 … The concepts of

model, PDF, and distribution

function are central to

following and implementing

the guidance provided. … The

symbol f is reserved for the

model.


Pero antes de continuar, tres definiciones

importantes…

“3.17

propagation of distributions

method used to determine the probability distribution for an output quantity from the

probability distributions assigned to the input quantities on which the output quantity

depends

NOTE The method may be analytical or numerical, exact or approximate.

3.18

GUM uncertainty framework

application of the law of propagation of uncertainty and the characterization of the

output quantity by a Gaussian distribution or a scaled and shifted t-distribution in

order to provide a coverage interval

3.19

Monte Carlo method

method for the propagation of distributions by performing random sampling from

probability distributions”


“Receta” para la propagación de

incertidumbres

Método de Monte Carlo, sección 5.9.6 de Suplemento 1 de la GUM:

a) definir el número de veces, M, que será evaluado el modelo de

medición Y = f(X);

b) generar datos aleatorios para cada magnitud de entrada X_i

conforme a su correspondiente PDF asignada;

c) evaluar M veces el modelo de medición f(X);

d) ordenar en forma creciente los valores obtenidos para el

mensurando; y obtener su distribución de probabilidad G_Y;

e) obtener el valor del mensurando e incertidumbre estándar;

f) utilizar G_Y para obtener el intervalo de cobertura para una

probabilidad de cobertura estipulada, p.


a) Formulation

b) Propagation

c) Summarizing


1. Un valor grande para M; e.g., 1e6 o utilizar métodos adaptivos

2. Una probabilidad de cobertura, e.g., 0.95

3. Un modelo de medición, Y = f(X), con los siguientes datos

para cada magnitud de entrada

Magnitudes de entrada

Valor PDF u(k = 1)

… … …

Valor medido o

asignado a cada X_i

Tipo de

distribución

Incertidumbre

estándar

Qué datos necesito para la propagación de incertidumbres:

4.4 Simulación por el método de Monte

Carlo: datos de medición para

llevarla a cabo


Ejemplos GUM


4.5 Incertidumbre en las mediciones

ultrasónicas: comparación de resultados

GUM vs Monte Carlo

Interface de usuario desarrollada en OCTAVE, por los instructores de

este curso, para realizar la estimación de incertidumbres empleando el

método de simulación de Monte Carlo para cualquier mensurando,

definido con una sola ecuación o modelo matemático del tipo:

Para n variables de entrada, Xn. Cada variable de entrada acepta un

máximo de tres contribuciones de incertidumbre. Esto es, las magnitudes

de entrada del modelo pueden representarse, a su vez, como:

donde, representan las mediciones

repetidas, el error por resolución y el error por calibración,

respectivamente.

XfXXXfY n ,...,, 2,1

ncalibracióiresoluciónimedidaii XX ,,,

ncalibracióiresoluciónimedidaiX ,,, ,,


Comparación de resultados GUM vs Monte Carlo


MODELO:


Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Tipo

distribución

𝒖 𝒙𝒊


Repetibilidad 0.002 mm A.Normal 0.001 mm

Resolución 0.001 mm B.Uniforme 2.887x10-4 mm

Longitud bloque, 𝒍𝒄𝒂𝒍 2.543 mm

Calibración 0.004 mm B. Normal.k=2 0.002 mm

Temperatura bloque, 𝒕 21.4 °C

Repetibilidad 0.14 °C A. Normal 0.1 °C

Resolución 0.1 °C B. Uniforme 0.03 °C

Calibración 0.2 °C B. Normal.k=2 0.1 °C

Temp. cal. bloque, 𝒕𝒄𝒂𝒍 20 °C

Calibración 0.2 °C B. Uniforme 0.06 °C

Coef. dil. térm. lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1

Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1

Espesor acoplante, 𝒍𝒂𝒄 0 mm

Informe 0.005 mm B. Normal.k=2 0.0025 mm


115

I.C. = [-6.6246e-003, 6.5681e-003] @ 95% M = 1 000 000

MODELO:



med

ref

lc

cl MODELO:

Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información

Tipo de

distribución

Incertidumbre



Repetibilidad 0.009 mm Lecturas A. Normal 0.004 mm

Resolución 0.01 mm Carátula B. Uniforme 2.89x10-3 mm

Calibración 0.01 mm Certificado B. Normal.k=2 0.005 mm

Velocidad de

propagación del

bloque medido, 𝒄 6 380.1 m/s

Calibración 59.3 m/s Certificado B. Normal.k=2 29.65 m/s

Velocidad de

propagación del

bloque referencia, 𝒄𝒓𝒆𝒇 5 914.8 m/s

Calibración 57.7 m/s Certificado B. Normal.k=2 28.85 m/s



117

I.C. = [24.653, 25.314] @ 95% M = 1 000 000

med

ref

lc

cl MODELO:


5. Reflexiones y consideraciones finales…

118

¿Cuál es el mensurando? …

¿Medición directa o medición indirecta?...

¿Qué modelo matemático puedo utilizar

para representar la medición? …

¿Cuáles son las magnitudes de entrada? …

¿Es aceptable suponer independencia estadística

entre las magnitudes de entrada del modelo de medición?

.

.

¿Método GUM-varianzas o Método GUM-SMC?

¿Software y/o plataformas de programación disponibles?

25,4mm

25,4mm


119

¿Realmente necesito estimar la incertidumbre de una medición?

¿Qué beneficios obtengo al estimar la incertidumbre del

resultado de una medición?

¿Las mediciones repetidas y su correspondiente estimación de

incertidumbres, dado que implican más tiempo de operación y

demoran el proceso para emitir un resultado, son un gasto

innecesario o en qué momento agregan valor al resultado?

con o sin una estimación de incertidumbres el responsable o usuario

de la medición tomará una decisión respecto a la aceptación o

rechazo del artefacto medido, evaluado o inspeccionado… ¿entre

varios laboratorios, cómo establecer la confiabilidad de sus

mediciones y resultados?

5. Reflexiones y consideraciones finales…

curso gum y mcm para principiantes

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