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CURSO EN METODOS

DE LA FISICA TEORICA

P.L. TORRES

[email protected]

FACULTAD DE CIENCIAS

U.C.V.

CARACAS

VENEZUELA

c⃝ P. L. TORRES

( C ) P. L. TORRES 2000.

HECHO EL DEPOSITO DE LEY

DEPOSITO LEGAL lf2522000530945

ISBN 980-07-6587-5

P. L. TORRES

EDITOR

CARACAS

VENEZUELA.

Es propiedad del autor. Reservados todos los derechos.Ni la totalidad, ni parte de este libro, puede reproducirseo transmitirse por ningun procedimiento electronico omecanico, incluyendo fotocopias, grabacion magnetica ocualquier almacenamiento de informacion y sistema derecuperacion, sin permiso escrito del autor

Septiembre 2018 - Reimpresion, revisada y ampliada,de la edicion original de junio del 2000.

Indice general

Prefacio vii

Agradecimientos ix

Glosario de Sımbolos y Terminologıa xi

Capıtulo 1. Espacios de Hilbert y Operadores 11. Espacios Normados y de Pre-Hilbert 12. Convergencia en Espacios Normados y de Pre-Hilbert. Espacios de Hilbert 33. Proyeccion de un Vector en un Subespacio. Dimension 64. Sistemas de Vectores Ortonormales 95. Ejemplos de Espacios de Hilbert 146. Isomorfismo entre Espacios Normados 197. Funciones Lineales en Espacios Vectoriales y Normados 208. Funcionales Lineales en Espacios de Hilbert 269. Operadores Lineales en Espacios de Pre-Hilbert y de Hilbert 2710. Adjunto de un Operador 3011. Ejemplos de Operadores en Espacios de Hilbert 3512. Operadores Unitarios y de Proyeccion 4113. Autovalores y Autovectores 4814. El Espectro Continuo 5615. Problemas 60

Capıtulo 2. Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales(EDOL). El Problema de Cauchy 81

1. El Espacio de las Soluciones 812. EDOL Homogeneas de Orden n a Coeficientes Constantes 823. Operador Diferencial y su Adjunto Formal 834. EDOL de Segundo Orden 865. Ejemplos de EDOL 906. Problemas 92

Capıtulo 3. Soluciones por Series de EDOL. Funcion Hipergeometrica eHipergeometrica Confluente. Metodo de Representaciones Integrales 95

1. EDOL en el Campo Complejo 952. Puntos Ordinarios 973. Puntos Singulares Regulares 984. La Funcion Hipergeometrica. 1015. La Funcion Hipergeometrica Confluente 1046. Solucion de EDOL por el Metodo de Representaciones Integrales 105

iii

iv Indice general

7. La EDOL Hipergeometrica 1078. La EDOL Hipergeometrica Confluente 1099. Solucion General de la Ec. de Schrodinger para algunos Potenciales 11110. Problemas 117

Capıtulo 4. El Problema de Sturm-Liouville (P.S-L) 1191. El Planteo del Problema 1192. Condiciones de Frontera 1223. Condiciones de Frontera y Fısica 1254. Teoremas sobre el P.S-L. 1265. El Oscilador Armonico Clasico 1276. El Espectro Continuo 1307. Problemas 130

Capıtulo 5. Funciones Especiales 1311. La EDOL Hipergeometrica 1312. La EDOL de Legendre 1333. La EDOL Asociada de Legendre 1394. Armonicos Esfericos 1445. La EDOL Hipergeometrica Confluente 1486. La EDOL Generalizada de Laguerre 1517. La EDOL de Hermite 1598. Autovalores y Autofunciones de la Ecuacion de Schrodinger (en una dimension)1639. Autovalores y Autofunciones de la Ecuacion de Schrodinger en Coordenadas

Esfericas 16510. Atomos Hidrogenoides en Coordenadas Parabolicas 16811. Problemas 169

Capıtulo 6. EDOL Inhomogeneas. Funciones de Green 1731. Soluciones de EDOL Inhomogeneas (Funciones de Green) 1732. Problema de Cauchy para EDOL Inhomogeneas 1773. P.S-L.R. Inhomogeneo con Condiciones de Frontera Homogeneas 1774. P.S-L.S. Inhomogeneo 1825. Artificios de Calculo 1836. Ejercicios 1857. P.S-L.R. Inhomogeneo con Condiciones de Frontera Inhomogeneas 1888. El Espectro Continuo 1899. Problemas 191

Capıtulo 7. Funciones de Bessel 1931. La EDOL de Bessel y sus Soluciones 1932. Funciones de Bessel de Segunda Clase 1953. Funciones de Hankel 1964. Funciones Modificadas de Bessel 1975. Funciones Esfericas de Bessel 1986. Representaciones Integrales 1997. Desarrollos Asintoticos 202

Indice general v

8. Wronskianos 2049. Relaciones de Recurrencia 20510. Ceros de las Funciones de Bessel 20711. El Problema de Sturm-Liouville 20812. El Espectro Continuo 21413. Autovalores y Autofunciones de la Ecuacion de Schrodinger 21614. Desarrollo de una Onda Plana en Armonicos Esfericos 21915. Calculo de Funciones de Green 22016. Problemas 222

Capıtulo 8. Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales (EDPL) 2251. Identidades de Green 2262. Planteo del Problema 2283. Unicidad de la Solucion de la EDPL de Poisson y de Helmholtz Inhomogenea 2304. Soluciones de la Ecuacion de Helmholtz Homogenea o la de Laplace 2325. Funciones de Green - Algunas Relaciones Utiles 2336. Ecuacion de Helmholtz Inhomogenea con Condiciones de Dirichlet Arbitrarias 2347. Ecuacion de Helmholtz Inhomogenea con Condiciones de Neumann 2368. Parte Singular de Funciones de Green Correspondientes a la Ec. de Helmholtz 2399. Desarrollo de Funciones de Green en Autofunciones 24410. Calculo de Funciones de Green 24511. Desarrollo en Multipolos Esfericos 25012. Ecuacion de Onda Escalar 25313. Problemas 262

Apendice A. Sistemas de Coordenadas y Separacion de Variables 2651. Coordenadas Rectangulares (Cartesianas): (x, y, z) 2652. Coordenadas Esfericas: (r, θ, ϕ) 2673. Coordenadas Cilındricas: (ρ, ϕ, z) 2694. Coordenadas Parabolicas: (ξ, η, ϕ) 2715. Problemas 273

Apendice B. La Delta de Dirac 2751. La Delta de Dirac en Una Dimension 2752. La Delta de Dirac en N Dimensiones 2803. Resultados Para la Delta de Dirac en Tres Dimensiones 2844. Problemas 285

Apendice C. Continuacion Analıtica. Funciones Beta y Gamma 2871. Continuacion Analıtica 2872. La Funcion Gamma 2933. La Funcion Beta 297

Apendice D. Desarrollos Asintoticos. Metodo del Descenso Mas Rapido 2991. Desarrollos Asintoticos 2992. Metodo del Descenso Mas Rapido 305

Bibliografıa 317

vi Indice general

Indice alfabetico 321

Prefacio

Esta obra esta destinada, fundamentalmente, a estudiantes de fısica. Constituye unaantesala (la cual es ineludible) al estudio de cursos avanzados de electromagnetismo (verp. ej.: [1, 2, 3, 4, 5]) y de mecanica cuantica (ver p. ej.: [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]).

Con el fin de satisfacer los objetivos mencionados, este libro ha sido escrito con uncriterio totalmente pragmatico. Hemos incluido en el exclusivamente temas que resultanimprescindibles para esos estudios posteriores. Sin embargo, el lector no deberıa pensar queen este texto encontrara todos los topicos utilizados en esas obras, aunque sı la mayorıa;de manera tal que el estudio de esos cursos resulte (presuntamente) comodo, permitiendoentonces enfatizar la parte fısica de los mismos en su dictado.

Debido al propio caracter de la obra hemos debido suprimir una cantidad gigantesca detopicos (sin siquiera mencionarlos), muchos de los cuales resultan ser de vital importanciapara la vida profesional de un fısico. Con el fin de evitar tener que dar explicaciones(que resultarıan largas y embarazosas) sobre esas supresiones, hemos usado la palabra“curso” en el tıtulo del libro; lo cual pensamos nos disculpa un poco con el lector. Lacantidad de problemas asignados es minuscula (en armonıa con lo de “curso”), y formanuna parte indisoluble del texto; practicamente, todos deben ser resueltos por el estudiante(recomendamos fuertemente el que se guarden sus resultados y desarrollos; pues pueden serutiles, tanto en este curso como en cursos posteriores). Tambien forma una parte integraldel curso el completar y verificar todos los detalles del texto.

El lector se percatara que el estilo empleado en esta obra es bastante parco (“seco”),con el fin de mantener la extension del texto bien acotada; p. ej., no se discuten ni semotivan la mayorıa de los topicos tratados, dejando este tipo de tareas al profesor en eldictado de su clase. No deberıa esperarse que un estudiante “inteligente y estudioso” quehaya concluido exitosamente este curso, se encuentre dotado de gran maestrıa y “agilidad”en el manejo de los temas aquı abordados; pues a pesar de las supresiones sugeridas masadelante, este es un curso bastante denso. Esa maestrıa y agilidad la adquirira al completarlos cursos posteriores de electromagnetismo y mecanica cuantica; de hecho, el presentecurso no deberıa ser concebido independientemente de esos otros dos.

Quizas, al estudiar (u ojear) el capıtulo uno y dos, el lector piense que esta obra es algoabstracta y alejada de su pregonado caracter pragmatico. Al lector le pedimos paciencia yconfianza, pues vera en los capıtulos posteriores (ya explıcitamente en linea con la voceadafilosofıa) el uso ası como la necesidad de los temas tratados en esos dos primeros capıtulos.Ademas, el capıtulo uno (por sı solo) resulta (a nuestro entender) indispensable para elestudio de la mecanica cuantica.

En general, exceptuando el capıtulo uno (salvo los lineamientos de la integral de Le-besgue, la seccion 14 y algunos de los problemas propuestos) y el capıtulo dos, este libro NOes riguroso matematicamente. Es por ello que hemos preferido tomar de la impresionanteobra de referencia [13] y [14] la denominacion “metodos de la fısica teorica” como parte del

vii

viii PREFACIO

tıtulo; en vez de la usual: metodos matematicos de la fısica. Sin embargo, el lector deberıatener claro que la gran mayorıa de los resultados obtenidos de manera no rigurosa, sonsusceptibles de demostraciones que si lo son. Para libros rigurosos en metodos matemati-cos de la fısica senalemos las tres colecciones: [15, 16]; [17, 18, 19, 20] y [21, 22, 23].Existen muchısimas otras obras cuyo interes generico son los metodos de la fısica teorica(algunas de ellas rigurosas matematicamente); citemos: [24]-[46]. Para una interesantecoleccion de problemas resueltos, con cierta incidencia en evaluaciones numericas, ver F.Marın, Metodos Matematicos de la Fısica II, http://fisica.ciens.ucv.ve/felix, 2006.

Existen muchas tablas matematicas. Citemos solamente algunas: [47] y [48], que secomplementan muy bien; [49] y la monumental coleccion: [50, 51, 52, 53, 54].

En este texto no se hace ningun tipo de aporte original al tema. Lo que lo particulariza,quizas, es su caracter de curso. Ademas, pretendemos que se encuentra concatenado deuna manera tal que resulta clara la unidad de los temas tratados. En general, no haremoscitas puntuales de autores (tanto en aportes originales como de libros); pues resultarıa unatarea bastante compleja, extensa y pastosa.

Este libro es basicamente autocontenido, y los requisitos para poder abordar su es-tudio, son. (a) Matematicos. Analisis matematico ([56, 57, 58]; p. ej.); variable compleja([56, 58]; p. ej.); espacios vectoriales y calculo vectorial ([57, 58, 59, 60, 61, 62, 63];p. ej.); elementos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales ([58]; p. ej.). (b) Fısicos.Mecanica ([64]; p. ej.); electricidad y magnetismo ([65]; p. ej.); fısica cuantica ([66]; p. ej.).

Hemos tenido que apoyarnos en la buena fe del lector al pedirle la aceptacion deciertos resultados (que no verificamos); si bien, hemos tratado de mantener este tipo desituaciones al mınimo.

Todas aquellas crıticas (incluso cosas menores) destinadas a mejorar el contenido deesta obra, seran mas que bienvenidas.

Posibles Supresiones

A pesar del caracter conciso de esta obra, resulta imposible dictar todo su contenidoen un semestre (al menos, esa es mi experiencia). Es por ello que se deben suprimir algunostemas, pero sin sacrificar el objetivo fundamental del curso. Aparte los fraseados dados: atıtulo “informativo”, esas supresiones se pueden efectuar basicamente en los capıtulos uno,cinco, siete, ocho y en el apendice D. Evidentemente, dada una omision, automaticamentequedan eliminados los problemas relacionados con esta; ası como cualquier mencion oelaboracion posterior sobre esta. Mis sugerencias sobre posibles eliminaciones, son.

Capıtulo 1. 4.8; 4.10; 5.6; 7.16 - 7.18; 10.2 - 10.4; 11.6; 11.13; seccion 12 (dandounicamente las definiciones de proyector ortogonal y de operador unitario); 13.14. Qui-zas tambien sea conveniente suprimir algunos problemas (como el: 1.P.29, 1.P.30, 1.P.45,1.P.51 - 1.P.53, 1.P.56; p. ej.), ademas de los automaticamente eliminados. Pero cuidado,que algunos son cruciales para el curso, como el: 1.P.1 - 1.P.11, 1.P.15, 1.P.22, 1.P.49,1.P.50, 1.P.58, 1.P.64; p. ej. Capıtulo 5. 6.9; 9.3; seccion 10. Capıtulo 7. Seccion 5; 9.4;9.5; seccion 14. Capıtulo 8. Seccion 11; quizas (si “no alcanzase el tiempo”), la seccion12. Apendice A. Seccion 4. Apendice B. 1.3.vii. Apendice C. 1.7; 1.8. Apendice D. Sec-cion 2. Hemos usado el metodo del descenso mas rapido para obtener (al menos) la parteprincipal del desarrollo asintotico de la funcion Gamma y de las dos funciones de Hankel.De suprimir este tema, sugerimos obtener estos resultados usando argumentos (rapidos)“intuitivos”; o bien, simplemente pidiendo su aceptacion por parte del estudiante.

Agradecimientos

A los estudiantes que con sus preguntas me incentivaron a reflexionar sobre la materia,ası como por sus sugerencias y correcciones de diversa ındole hechas al manuscrito usadoen clase (incluso, estimulandome a que lo convirtiese en forma de libro). Tambien hasido fundamental el continuo soporte recibido de parte de la Facultad de Ciencias de laUniversidad Central de Venezuela.

De manera totalmente sobresaliente, a mi colega y amigo (ex alumno, que padecio en1980 la primera version de este curso), el Dr. Abraham Lozada, quien ha usado mi ultimomanuscrito (el de 1982) al dictar esta materia, aportando correcciones y adiciones de todotipo ası como valiosas mejoras al mismo.

A mi colega y amigo, el Dr. Vidal Alonso, quien aporto interesantısimas sugerenciasy correcciones al texto. Tambien (junto al Dr. Abraham Lozada), sistematicamentente meha estimulado a que (por fin) emprendiese la conversion de mi manuscrito en forma delibro.

Al M. Sc., Jean Carlos Perez, por transcribir el manuscrito (con correcciones) de 1982a la edicion preliminar e incompleta de Marzo de 2000 (la cual representaba practicamenteun noventa por ciento de la proyectada obra “final”). Me dejo impresionado la rapidezcon la que concluyo la tarea, ası como la calidad de la transcripcion (aportando inclusosignificativas correcciones).

Este documento fue escrito usando AMS-LATEX.

Caracas, septiembre 2018 P. L. Torres

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Glosario de Sımbolos y Terminologıa

sii; si y solo si.∅; el conjunto vacıo.A B; A es un subconjunto propio de B. Es de-

cir: A ⊂ B y A = B.Z ≡ · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · ; el conjunto de los numeros enteros.Z+ ≡ 1, 2, 3, · · · ; los enteros positivos.N ≡ 0, 1, 2, 3, · · · ; el conjunto de los numeros naturales. Es

decir: Z+ ∪ 0.Q; el conjunto de los numeros racionales.Q+; el conjunto de los racionales positivos. Es

decir, x ∈ Q+ si x ∈ Q y x > 0.R; el conjunto de los numeros reales.R+; los reales positivos. Es decir, x ∈ R+ si

x ∈ R y x > 0.|x| ≡ (x · x)1/2; el modulo, el valor absoluto o la norma

de x ∈ R.supC (∈ R); el supremo de un conjunto C ⊂ R, con C

no vacıo y acotado superiormente.R∗; el conjunto de los reales extendidos. Es de-

cir, R junto con los dos sımbolos formales:“−∞” y “+∞ ≡ ∞”; con: −∞ < c < ∞,∀c ∈ R.

R∗+; los reales extendidos positivos. Es decir:

x ∈ R∗+ si x ∈ R+ o x = ∞.

I (⊂ R);(por razones de conveniencia, no da-mos la definicion mas general)

un intervalo general (con extremos, p. ej.:a y b; a, b ∈ R∗, a < b). Es decir, cualquierade los siguientes intervalos de R: (−∞, d);(−∞, d]; (−∞,∞) ≡ R; (c,∞); [c,∞); (c, d);[c, d); (c, d]; [c, d]; con c, d ∈ R, c < d. Noteseque I = ∅ y que I = c, c ∈ R.

C; el conjunto de los numeros complejos.z = ℜz + iℑz; parte real y parte imaginaria de z ∈ C.z ≡ ℜz − iℑz; el complejo conjugado de z ∈ C.|z| y arg z (z = |z| ei arg z si z = 0); el modulo (o la norma) y el argumento

principal de z ∈ C, respectivamente. |z| ≡(zz)1/2. Siendo: −π < arg z ≤ π si z = 0.

RN y CN , N ∈ Z+; el producto cartesiano de N ≥ 2 conjun-tos R y C, respectivamente. R1 ≡ R,C1 ≡ C.

xi

xii GLOSARIO DE SIMBOLOS Y TERMINOLOGIA

g : A→ B, o bien g(·) : A→ B; una funcion “g” (o “g(·)”), de dominio A yrango contenido en B (A = ∅ y B = ∅).

g[C], C = ∅; el conjunto transformado de C bajo g; esdecir, el conjunto de los valores que toma unafuncion g : A → B para todos los elementosde un conjunto no vacıo C ⊂ A (g[C] ⊂ B).En particular, g[A] es el rango de g.

g′ y g′′; la derivada primera y la derivada segun-da, respectivamente; de g : A → B, conA,B ⊂ C (o en R).

C0(I) ≡ C(I); el conjunto de todas las funciones f : I →C (o en R, si ası se senalase explıcitamente)continuas en I.

Cn(I), n ∈ Z+; el conjunto de todas las funciones f : I → C(o en R, si ası se senalase explıcitamente) queposeen derivada enesima, contınua en I.

r, x, x′, y, etc.; vectores de un espacio vectorial real de di-mension dos o tres.

x · y; el producto escalar de x con y.|r| ≡ (r · r)1/2 ≡ r; elmodulo o la norma de r. Se tiene: x · y =

|x| |y| cos θ si x = 0 e y = 0; siendo θ(θ ∈ [0, π]) la medida del angulo (o bien,abusando del lenguaje; tal como lo haremosa lo largo del texto: el angulo) entre x e y.

~ (~ ≡ h/2π, la “h barra”); la constante de Planck (h > 0) con barra.

Un espacio vectorial arbitrario de dimension N ∈ Z+, que podrıa denotarse generica-mente: V(N); sera denotado, abusando del lenguaje: RN o CN (segun que V(N) sea real ocomplejo, respectivamente).

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Veamos rapidamente con ejemplos la manera de citar en este texto.En un capıtulo o apendice, “seccion 2”, significa la seccion dos de ese capıtulo o apendi-

ce; y “1-2” o “D-2”, la seccion dos del capıtulo uno o del apendice D, respectivamente,citados desde capıtulos o apendices diferentes.

Si aparece “2.3” o bien “(2.3)” en un capıtulo o apendice ello significa; para “2.3”,la subseccion tres de la seccion dos (que puede ser: un teorema, una definicion, un co-mentario, un ejercicio, un ejemplo, etc.) y para “(2.3)”, la relacion (≡ Rel.; o Rels.) oecuacion (≡ Ec.; o Ecs.) tres de la seccion dos; de ese mismo capıtulo o apendice. Desdeotros capıtulos o apendices se antepone el numero del capıtulo con un guion o la letra delapendice con un guion a la cita; p. ej.: “3-2.3”, “C-2.3”, “3-(2.3)”, “C-(2.3)”.

Con “5.P.3” o con “B.P.3” se indica el problema tres del capıtulo cinco o del apendiceB, respectivamente (incluso si se cita en el propio capıtulo o apendice). Con “[13, 14, 15,16]” o con “[13]-[16]”, se estaran citando las obras [13], [14], [15] y [16] de la bibliografıa.

⃝

Al finalizar la formulacion de todo problema, definicion (≡ Def.; o Defs.) o teoremacuya demostracion no se efectue a continuacion; o de cualquier enunciado que queramos

GLOSARIO DE SIMBOLOS Y TERMINOLOGIA xiii

separar claramente de lo que le sigue; agregaremos el simbolo: N. Al final de toda demos-tracion se agregara el sımbolo: .

xiv GLOSARIO DE SIMBOLOS Y TERMINOLOGIA

V ( = 0); pag. 1F (= 0); pag. 1, 1-1.1G ( = 0); pag. 1, 1-1.4H (= 0); pag. 1, 1-2.13∥·∥; 1-1.1, 1-1.6, 1-7.16⟨·| ·⟩; 1-1.3N; 1-2.3φ ⊥ ψ; 1-3.1N1 ⊥ N2; 1-3.1δνµ; 1-3.2N⊥; 1-3.3dimG; 1-3.8L2(I) ≡ L2(a, b); 1-5.3l2 ≡ l2(Z+); 1-5.4Λ; 1-5.5W(x); 1-5.5L2W(Λ); 1-5.5

T; 1-5.6D(F ); 1-7.1R(F ); 1-7.1O(V1,V2); 1-7.1O(V) ≡ O(V,V); 1-7.1F 2 ≡ FF ; F n, n ∈ Z+; 1-7.7F−1; 1-7.8F ≡ F ; 1-7.120 ≡ 0 (∈ O(V1,V2)); 1-7.12

IV ≡ I ≡ I (∈ O(V)); 1-7.12L(F1,F2); 1-7.15L(F) ≡ L(F,F); 1-7.15H∗ ≡ L(H,C); 1-8.1Aψ ≡ A(ψ), o bien: Aψ ≡ A(ψ); 1-9.1[·, ·]; 1-9.7A†, o bien: A†; 1-10.1A ≥ cI, o bien: cI ≤ A; 1-10.7A ≥ 0, o bien: 0 ≤ A; 1-10.7A ≤ B, o bien: B ≥ A; 1-10.7Pφ; 1-11.1

Q; 1-11.3M ; 1-11.4M2; 1-11.5W ; 1-11.6X; 1-11.7P ; 1-11.8EM; 1-12.9 y 1-12.10E1 ⊥ E2; 1-12.13

Sp(A); 1-13.1

ρ(A); 1-13.2

S(A); 1-13.2

Sc(A); 1-13.10E, Eg; 1-14.1l2(N); 1-5.1, 1.P.13

D(B)N; 1.P.45

(∆A)ψ; 1.P.45

(δA)ψ; 1.P.45

det A; 1.P.50TrA; 1.P.51⟨A∣∣∣ B⟩

2; 1.P.51∥∥∥A∥∥∥

2; 1.P.51

P ; 1.P.61X; 1.P.61L; 1.P.64Lx, Ly, Lz; 1.P.64

L2 ≡ L2 ≡

L · L; 1.P.64L+, L−; 1.P.64

L(λ) ≡ L(λ)x ; 2-3.1

L ≡ L(0), Lx ≡ L(0)x ; 2-3.1

w0(x); 2-3.2w(x); 2-3.5

L(λ)w ; 2-3.6

Lw ≡ L(0)w ; 2-3.6

L(λ), L ≡ Lx ≡ L(0); 2-3.6L∗x; 2-3.6

Qw(φ, ψ); 2-3.7Qw0(φ, ψ)(x); 2-3.10W (g, h;x) ≡ W (g, h) ≡ W (x); 2-4.6F (a, b; c; z); 3-4.1M(a, c, z); 3-5.1K(z, t); 3-6.2, 3-6.4v(t); 3-6.2U(a, c, z); 3-8.2, 5-5.5, 5-5.6Rl; 3-9.1L2w0(I) ≡ L2

w0(a, b); 4-1.1

F1(φ), F2(φ); 4-2.1Pν(z); 5-2.1Pn(z); 5-2.1Pmν (x); 5-3.1, 5-3.3Pν(x); 5-3.1

GLOSARIO DE SIMBOLOS Y TERMINOLOGIA xv

Y ml (θ, ϕ); 5-4.1

Yml (r); 5-4.3Lαβ(z); 5-6.1Lαn(z); 5-6.1Lβ(z), Ln(z); 5-6.1fnm(x); 5-6.9Hν(z); 5-7.1Hn(z); 5-7.1Rnl(r); 5-9.1ψnlm(r); 5-9.1

Qsr, Qr; 5-9.3α0; 6-1.2gλ(x, y); 6-1.2, 6-1.3g(x, y) ≡ g0(x, y); 6-6.4Jν(z); 7-1.1Jn(z), J−n(z); 7-1.1Yν(z); 7-2.1Yn(z), Y−n(z); 7-2.1

H(1)ν (z); 7-3.1

H(2)ν (z); 7-3.1

Iν(z), I−ν(z); 7-4.1In(z), I−n(z); 7-4.1Kν(z); 7-4.2jl(z); 7-5.1yl(z); 7-5.1

h(1)l (z); 7-5.1

h(2)l (z); 7-5.1

Cν(z); 7-9.1Zν(z); 7-9.3xνn; 7-10.1yνn; 7-10.2kνn; 7-10.1 y 7-10.2L2ρ(0, a), L

2ρ(0,∞); 7-11.1

Φνk(ρ); 7-12.3Ω, Ω; 8-1.1Σ, Σ′, Σ′′; 8-1.1da = nda; 8-1.1ϕ(x)|x∈Σ ≡ ϕ|Σ; 8-1.1∂ϕ∂n, ∂ϕ(x)

∂n

∣∣∣x∈Σ

; 8-1.1(∂ϕ∂n

)−,(∂ϕ(x)∂n

)−

∣∣∣∣x∈Σ

; 8-1.1

lım|x|→∞x∈Ω

; 8-1.4

L(k,g)ϕ ≡ L(k,g)x ϕ(x); 8-2.1

L(k)x ≡ L(k) ≡ L(k,0); 8-2.1

Lx ≡ L ≡ L(0); 8-2.1Gk(x, x

′); 8-5.1G(x, x′) ≡ G0(x, x

′); 8-7.2

G(0)k (x, x′); 8-8.1

Fk(x, x′); 8-8.1

G(0)(x, x′) ≡ G(0)0 (x, x′); 8-8.2

F (x, x′) ≡ F0(x, x′); 8-8.5

Φ(r); 8-11.1qlm; 8-11.1p; 8-11.1q′lm; 8-11.1ψ ≡ (r,t)ψ(r, t); 8-12.1G(r, t|r0, t0); 8-12.4ψp(r, t); 8-12.5ψh(r, t); 8-12.5∆ ≡ ∇2; A-1.1d3x; A-1.1, A-2.1, A-3.1, A-4.1(x, y, z); A-1.1(r, θ, ϕ); A-2.1(ρ, ϕ, z); A-3.1(ξ, η, ϕ); A-4.1

δ(ϵ)(x− y) ≡ δ(ϵ)y (x); B-1.1

δ(x− y) ≡ δy(x); B-1.1, B-2.1Θ(x− y) ≡ Θy(x); B-1.3

Θ(ϵ)(x− y) ≡ Θ(ϵ)y (x); B-1.3

Θ′y(x) ≡

dΘy(x)

dx; B-1.3

sgn (x− y) ≡ sgn y(x); B-1.3

δ(n)(x− y) ≡ δ(n)y (x); B-1.4

Jα(x′); B-2.2

ψ(p); B-2.3

δy(p); B-2.4δ(r − r0); B-3.1Γ(z); C-2.1γ; C-2.7

ψ(z) ≡ d ln Γ(z)dz

; C-2.8B(a, b); C-3.1o(g); D-1.2O(g); D-1.2N(g0, · · · , gM ;D; z0); D-1.4∼

z→z0z∈D

; D-1.4

γ, Γ, γ[I], γ(a), γ(b); D-2.1γ, γ1, γ0, γ2, Sϕ; D-2.7

Capıtulo 1

Espacios de Hilbert y Operadores

En este capıtulo nos ocuparemos fundamentalmente de establecer las propiedadesesenciales de los espacios de Hilbert y de sus operadores.

La bibliografıa matematica en este tema es muy vasta; citemos p. ej.: [67]-[81].Estos conceptos son indispensables cuando se estudia la Mecanica Cuantica. Ademas,

algunos de los resultados que expondremos se utilizaran posteriormente en el estudio delas ecuaciones diferenciales (en electromagnetismo, p. ej.).

En todo este capıtulo y en los subsiguientes (salvo por ındices) reservaremos los sımbo-los: V, F, G y H; para denotar a espacios: vectoriales, normados, de pre-Hilbert y deHilbert, respectivamente; complejos o reales. Esos conjuntos son no vacıos, y siempresupondremos que son diferentes de 0. Ademas, de la seccion 4 en adelante G y H seranseparables.

Notemos que las definiciones que habremos de dar de espacio normado, de pre-Hilberty de Hilbert, son validas de manera obvia para el espacio vectorial 0. Solo hemos excluidoeste espacio por razones de conveniencia posterior (tal como hemos excluido la “funcionvacıa”: ∅, ver glosario).

1. Espacios Normados y de Pre-Hilbert

Definicion 1.1. Sea V = 0 un espacio vectorial, real o complejo. Una funcion∥·∥ : V → R, sera una norma si ∀φ, ψ ∈ V y ∀λ real o complejo, segun la naturaleza delespacio vectorial, se cumple que:

i. ∥φ∥ ≥ 0.ii. ∥φ∥ = 0 sii φ = 0.iii. ∥λφ∥ = |λ| ∥φ∥.iv. ∥φ+ ψ∥ ≤ ∥φ∥+ ∥ψ∥ (desigualdad triangular).

Un espacio vectorial ( = 0), real o complejo, provisto de una norma se llama unespacio normado; que denotaremos genericamente por F (F = 0). N

Observemos que al efectuar el cambio: ψ → −ψ en 1.1.iv y usar 1.1.iii, se obtiene:

∥φ− ψ∥ = ∥ψ − φ∥ ≤ ∥φ∥+ ∥ψ∥ , ∀φ, ψ ∈ F. (1.1)

Resulta de mucho interes, el que el lector interprete geometricamente (en R2) a ladesigualdad triangular y a la Rel. (1.1).

Teorema 1.2. Sea F un espacio normado, real o complejo. Entonces:

| ∥φ∥ − ∥ψ∥ | ≤ ∥φ± ψ∥ , ∀φ, ψ ∈ F. (1.2)

Demostracion. De la desigualdad triangular se tiene que:

∥φ∥ = ∥(φ− ψ) + ψ∥ ≤ ∥φ− ψ∥+ ∥ψ∥ ,

1

2 1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES

de donde se obtiene: ∥φ∥−∥ψ∥ ≤ ∥φ− ψ∥. Al efectuar el cambio: ψ → −ψ en esta ultimaexpresion y usar 1.1.iii., obtenemos: ∥φ∥ − ∥ψ∥ ≤ ∥φ+ ψ∥. Por lo tanto: ∥φ∥ − ∥ψ∥ ≤∥φ± ψ∥; con lo que se completa la demostracion al efectuarse los cambios ψ → φ, φ→ ψy usarse la igualdad establecida en (1.1).

Para vectores de un espacio vectorial real de dimension uno, dos o tres y para losvectores de C, hemos establecido una notacion y denominaciones alternativas para lanorma, las cuales se describen en el glosario.

Definicion 1.3. Sea V = 0 un espacio vectorial complejo. Una funcion ⟨·| ·⟩ :V× V → C, sera un producto escalar si ∀φ, ψ, χ ∈ V y ∀λ ∈ C, se cumple que:

i. ⟨φ|ψ + χ⟩ = ⟨φ|ψ⟩+ ⟨φ|χ⟩ .ii. ⟨φ|λψ⟩ = λ ⟨φ|ψ⟩ .iii. ⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|φ⟩.iv. ⟨φ|φ⟩ ≥ 0.v. ⟨φ|φ⟩ = 0 sii φ = 0.

NDebemos ser cuidadosos al consultar la literatura ya que la mayorıa de los matematicos

usan, en vez de 1.3.ii : ⟨φ|λψ⟩ = λ ⟨φ|ψ⟩. Ademas, el sımbolo mas frecuentemente halladopara el producto escalar es: (·, ·). Aquı seguiremos la costumbre establecida en la literaturafısica. Ver comentario 8.4.

Las propiedades 1.3.i y 1.3.ii del producto escalar nos indican que este es lineal en lasegunda variable. Esto es:

⟨φ|λ1ψ1 + λ2ψ2⟩ = λ1 ⟨φ|ψ1⟩+ λ2 ⟨φ|ψ2⟩ , ∀λ1, λ2 ∈ C; ∀φ, ψ1, ψ2 ∈ V. (1.3)

Demostremos que es antilineal con respecto a la primera variable. Tendremos:

⟨λ1φ1 + λ2φ2|ψ⟩ = ⟨ψ|λ1φ1 + λ2φ2⟩ = λ1 ⟨ψ|φ1⟩+ λ2 ⟨ψ|φ2⟩.Es decir:

⟨λ1φ1 + λ2φ2|ψ⟩ = λ1 ⟨φ1|ψ⟩+ λ2 ⟨φ2|ψ⟩ , ∀λ1, λ2 ∈ C; ∀φ1, φ2, ψ ∈ V. (1.4)

Si el espacio vectorial V = 0 es real, tambien se define de manera similar un productoescalar. En ese caso ⟨·| ·⟩ : V × V → R; entonces, en 1.3.ii: λ ∈ R, y 1.3.iii se escribe⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|φ⟩. El producto escalar sera entonces lineal en cada una de sus dos variables.

Definicion 1.4. Un espacio vectorial ( = 0), real o complejo, provisto de un pro-ducto escalar se llama un espacio de pre-Hilbert; que denotaremos genericamente porG (G = 0). N

Cualquier subespacio vectorial M = 0 de un espacio normado F [de pre-Hilbert G];M ⊂ F [M ⊂ G]; tambien sera (de manera obvia) un espacio normado [de pre-Hilbert].

Para vectores de un espacio vectorial real de dimension dos o tres hemos establecidouna notacion alternativa para el producto escalar, la cual se describe en el glosario.

Teorema 1.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Se tiene, para un espacio depre-Hilbert G (real o complejo), que:

|⟨φ|ψ⟩|2 ≤ ⟨φ|φ⟩ ⟨ψ|ψ⟩ ; ∀φ, ψ ∈ G. (1.5)

2. CONVERGENCIA EN ESPACIOS NORMADOS Y DE PRE-HILBERT 3

Demostracion. Hagamosla suponiendo G complejo.

i. Si ψ = 0, (1.5) es obvio.ii. Si ψ = 0, consideremos el vector φ− λψ (λ ∈ C). Entonces:

0 ≤ ⟨φ− λψ|φ− λψ⟩ = ⟨φ|φ⟩ − λ ⟨ψ|φ⟩ − λ ⟨φ|ψ⟩+ |λ|2 ⟨ψ|ψ⟩ .

Escojamos ahora λ = ⟨ψ|φ⟩⟨ψ|ψ⟩ . Tendremos:

⟨φ|φ⟩ − ⟨ψ|φ⟩⟨ψ|ψ⟩

⟨ψ|φ⟩ − ⟨ψ|φ⟩⟨ψ|ψ⟩

⟨φ|ψ⟩+ |⟨ψ|φ⟩|2

⟨ψ|ψ⟩2⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0,

obteniendose (1.5).

Teorema 1.6. Sea G un espacio de pre-Hilbert, real o complejo. El producto escalar

induce una norma ∥·∥ en G, definida por:

∥φ∥ =√

⟨φ|φ⟩ ; ∀φ ∈ G. (1.6)

Demostracion. Las propiedades 1.1.i-iii son obvias de 1.3.ii-v. Demostremos 1.1.iv.

∥φ+ ψ∥2 = ⟨φ+ ψ|φ+ ψ⟩ = ⟨φ|φ⟩+ ⟨φ|ψ⟩+ ⟨ψ|φ⟩+ ⟨ψ|ψ⟩= ⟨φ|φ⟩+ ⟨ψ|ψ⟩+ 2ℜ⟨φ|ψ⟩ ≤ ∥φ∥2 + ∥ψ∥2 + 2 |⟨φ|ψ⟩|

≤ ∥φ∥2 + ∥ψ∥2 + 2√

⟨φ|φ⟩ ⟨ψ|ψ⟩ = (∥φ∥+ ∥ψ∥)2 ,

donde hemos usado el hecho que ℜλ ≤ |λ|, ∀λ ∈ R o C (segun que G sea real o complejo);y a (1.5) en la ultima desigualdad.

Notemos que la desigualdad de Cauchy-Schwartz puede escribirse en terminos de lanorma inducida, ası:

|⟨φ|ψ⟩| ≤ ∥φ∥ ∥ψ∥ ; ∀φ, ψ ∈ G. (1.7)

Este teorema nos indica que todo espacio de pre-Hilbert es un espacio normado, y porlo tanto, toda definicion o resultado referida a espacios normados sera valida para espaciosde pre-Hilbert. Siempre supondremos (salvo que se indique lo contrario) que un espaciode pre-Hilbert es un espacio normado, con la norma inducida por el producto escalar.

De ahora en adelante F y G denotaran a un espacio normado y de pre-Hilbert, res-pectivamente; y, salvo que se diga lo contrario, se supondran complejos.

Muchos de los teoremas y definiciones que estableceremos suponiendo los espacioscomplejos seran validos de manera obvia para espacios reales, y ello se usara (sin adver-tencia alguna) a lo largo del texto. Ello ocurre, p. ej., con todo lo expuesto en las secciones2, 3 y 4.

2. Convergencia en Espacios Normados y de Pre-Hilbert. Espacios deHilbert

Para un espacio normado o de pre-Hilbert, es necesario establecer en que sentidoconverge una sucesion. Para espacios normados estableceremos la nocion de convergenciafuerte. Para espacios de pre-Hilbert tambien resulta util una segunda nocion de conver-gencia, generalmente diferente a la fuerte, llamada convergencia debil.


Definicion 2.1. Diremos que una sucesion ψn ⊂ F converge fuertemente haciaψ ∈ F, si:

lımn→∞

∥ψ − ψn∥ = 0. (2.1)

NDe no indicarse el tipo de convergencia (sobre todo en espacios de pre-Hilbert), esta

se referira a la fuerte. P. ej., si aparece la expresion: ψ =∑∞

k=1 λkψk ∈ F (λk ∈ C; ψk ∈ F),ella significa que: lımn→∞ ∥ψ −

∑nk=1 λkψk∥ = 0.

A veces, en espacios de pre-Hilbert, la convergencia fuerte se suele llamar tambienconvergencia en media.

Partiendo de esta nocion de convergencia definiremos a continuacion unos conceptosque resultan muy utiles.

Definicion 2.2. Un conjunto arbitrario N ⊂ F, sera cerrado, si para toda sucesionψn ⊂ N que converge a un vector ψ ∈ F tenemos que ψ ∈ N. N

De la propia definicion vemos que F y N = φ con φ ∈ F son, obviamente, cerrados.

Definicion 2.3. Sea N ⊂ F un conjunto arbitrario. El conjunto N ⊂ F formado portodos los puntos lımites de N; esto es, todos los vectores de F que son lımite fuerte de unasucesion de elementos de N; se llama la clausura de N. N

Notemos que N ⊂ N, y que N ≡ (N) = N.

Teorema 2.4. N ⊂ F es cerrado sii N = N.

Demostracion. Obvia de las definiciones 2.2 y 2.3. Teorema 2.5. Sea M ⊂ F un espacio vectorial. Entonces M tambien es un espacio

vectorial (cerrado).

Demostracion. Sean ψ, φ ∈ M; y λ, γ ∈ C. Entonces existen sucesiones ψn, φn ⊂M, que convergen a ψ y φ respectivamente (ver Def. 2.3). Tenemos que: λψn + γφn ∈ M,y:

∥(λψ + γφ)− (λψn + γφn)∥ ≤ |λ| ∥ψ − ψn∥+ |γ| ∥φ− φn∥ −−−→n→∞

0;

con lo que vemos que: λψ + γφ ∈ M. Definicion 2.6. Un conjunto arbitrario N ⊂ F se dice denso en F si N = F. NP. ej., los racionales Q son densos en R.

Definicion 2.7. Sean F1 y F2 dos espacios normados, de normas ∥·∥1 y ∥·∥2, res-pectivamente. Sean N ⊂ X ⊂ F1 subconjuntos arbitrarios no vacıos de F1, y F cualquierfuncion, F : X → F2. Diremos que F es continua en N si para toda sucesion ψn ⊂ X

que converge fuertemente a un elemento ψ ∈ N (lımn→∞ ∥ψ − ψn∥1 = 0), tenemos que:

lımn→∞

∥F (ψn)− F (ψ)∥2 = 0. (2.2)

NEstamos diciendo que la sucesion φn ≡ F (ψn) ∈ F2 converge (fuertemente) a φ ≡

F (ψ) ∈ F2.

2. CONVERGENCIA EN ESPACIOS NORMADOS Y DE PRE-HILBERT 5

Comentario 2.8. Como todo espacio de pre-Hilbert G es un espacio normado (conla norma inducida por el producto escalar) tendremos para el la nocion de convergenciafuerte. Para estos espacios tenemos una segunda nocion de convergencia que pasamos adefinir.

Definicion 2.9. Una sucesion ψn ⊂ G converge debilmente a ψ ∈ G, si:

lımn→∞

⟨ψn|φ⟩ = ⟨ψ|φ⟩ , ∀φ ∈ G. (2.3)

NEvidentemente, la Rel. (2.3) sera valida sii lo es: lımn→∞ ⟨φ|ψn⟩ = ⟨φ|ψ⟩ , ∀φ ∈ G.

Teorema 2.10. Si una sucesion ψn ⊂ G converge fuertemente a ψ ∈ G, entoncestambien converge debilmente a ψ.

Demostracion.|⟨ψn|φ⟩ − ⟨ψ|φ⟩| = |⟨ψn − ψ|φ⟩|

≤ ∥φ∥ ∥ψn − ψ∥ −−−→n→∞

0; ∀φ ∈ G.

A veces, este teorema se expresa diciendo que el producto escalar es contınuo en cada

una de sus variables. P. ej., si ψ =∑∞

k=1 λkφk ∈ G; con λk ∈ C, φk ∈ G (convergenciafuerte), entonces:

⟨ψ|φ⟩ =

⟨∞∑k=1

λkφk

∣∣∣∣∣φ⟩

=∞∑k=1

λk ⟨φk|φ⟩ , ∀φ ∈ G. (2.4)

Es decir, podemos sacar el sımbolo de suma del producto escalar. En efecto, siψn ≡

∑nk=1 λkφk; se tendra entonces que lımn→∞ ∥ψn − ψ∥ = 0, y por lo tanto: ⟨ψ|φ⟩ =

lımn→∞ ⟨ψn|φ⟩ = lımn→∞∑n

k=1 λk ⟨φk|φ⟩ =∑∞

k=1 λk ⟨φk|φ⟩ ,∀φ ∈ G.La recıproca de este teorema no es cierta (esto es, convergencia debil no implica

generalmente convergencia fuerte) como veremos mas adelante en 4.3.El proximo teorema nos indica que el producto escalar es no solo contınuo en cada

una de sus variables, sino contınuo simultaneamente en sus dos variables.

Teorema 2.11. Si las sucesiones ψn, φn ⊂ G convergen (fuertemente) a ψ y φrespectivamente, entonces:

lımn→∞

⟨ψn|φn⟩ = ⟨ψ|φ⟩ . (2.5)

Demostracion.|⟨ψn|φn⟩ − ⟨ψ|φ⟩| = |⟨ψn|φn⟩ − ⟨ψn|φ⟩+ ⟨ψn|φ⟩ − ⟨ψ|φ⟩|

≤ |⟨ψn|φn − φ⟩|+ |⟨ψn − ψ|φ⟩|≤ ∥ψn∥ ∥φn − φ∥+ ∥ψn − ψ∥ ∥φ∥ −−−→

n→∞0,

ya que ∥ψn∥ −−−→n→∞

∥ψ∥ (ver 1.P.5).

Definicion 2.12. Diremos que ψn ⊂ F es una sucesion de Cauchy, si:

lımn,m→∞

∥ψn − ψm∥ = 0. (2.6)

N


Toda sucesion (fuertemente) convergente de F es de Cauchy (ver 1.P.7). No todasucesion de Cauchy de F es (fuertemente) convergente en F; p. ej., si F = Q y ψn ⊂ Qes una sucesion de Cauchy ya sabemos que esta siempre posee un lımite que pertenecea R, mas no forzosamente a Q. Aunque no hemos tratado este caso: F = Q, suponemosque al lector le resulte evidente que Q es un espacio vectorial definido sobre sı mismo;normado, con la norma definida por el valor absoluto: |·|. De allı el interes en establecerlas siguientes definiciones.

Definicion 2.13. Un espacio normado (real o complejo) es completo si toda sucesionde Cauchy converge (fuertemente) en el.

Un espacio normado completo (real o complejo) se llama un espacio de Banach.Un espacio de pre-Hilbert ( = 0), real o complejo, que sea completo (con respecto

a la norma inducida por el producto escalar), se denomina espacio de Hilbert; quedenotaremos genericamente por H (H = 0). N

Por ejemplo, R y C son completos para la norma |·|; ver [56], p. ej.Si ψn ⊂ F es una sucesion de Cauchy, siendo F completo, entonces ∃ψ ∈ F (unico,

ver 1.P.4), tal que, lımn→∞ ∥ψ − ψn∥ = 0. Recalquemos que en un espacio completo, alproporcionarse una sucesion de Cauchy no se esta involucrando el conocimiento del limitede la sucesion (el cual siempre existe en ese caso).

Como todo espacio de Hilbert es un espacio de pre-Hilbert, toda definicion o resultadoreferida a espacios de pre-Hilbert sera valida para espacios de Hilbert.

3. Proyeccion de un Vector en un Subespacio. Dimension

Definicion 3.1. Dos vectores ψ y φ de G son ortogonales si ⟨φ|ψ⟩ = 0, y ello sedenota por φ ⊥ ψ.

Dos conjuntos arbitrarios no vacıos N1 y N2 de G se llaman mutuamente ortogo-nales u ortogonales entre sı, si φ ⊥ ψ, ∀φ ∈ N1 y ∀ψ ∈ N2; y ello se denota porN1 ⊥ N2.

NEs importante observar que para todo espacio normado F tenemos definida la nocion

de distancia entre dos vectores φ y ψ por ∥φ− ψ∥. En espacios de pre-Hilbert G, ademasde tener definida la nocion de distancia (vıa la norma inducida), tendremos la nocionde perpendicularidad (ortogonalidad) entre dos vectores no nulos φ y ψ: ⟨φ|ψ⟩ = 0(si es que existen en G tal par de vectores; en G = R y en G = C, ver ejemplos 5.1 y5.2, no existen). Esta es la principal diferencia geometrica entre espacios normados y depre-Hilbert. Vemos pues que los espacios de pre-Hilbert son “muy geometricos”. Incluso,para cualquier espacio de pre-Hilbert real tambien se puede definir de manera unica a la

medida del angulo: θ, 0 ≤ θ ≤ π, entre dos vectores no nulos φ y ψ ası: cos θ = ⟨φ|ψ⟩∥φ∥∥ψ∥

(gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz). Ver tambien al ejemplo 5.1.

Definicion 3.2. Un vector φ ∈ F esta normalizado si: ∥φ∥ = 1. Tambien se diceque φ es un vector unitario. Todo vector no nulo ψ ∈ F se puede normalizar, alconstruir el vector normalizado: φ = ψ

∥ψ∥ .

Un conjunto arbitrario de vectores ψν ⊂ G, constituido por al menos dos vectoresdiferentes, se llama un sistema (o conjunto) ortogonal si cualquier par de vectoresdiferentes de ese conjunto son ortogonales.

3. PROYECCION DE UN VECTOR EN UN SUBESPACIO. DIMENSION 7

Un conjunto arbitrario de vectores φν ∈ G, se llama un sistema (o conjunto)ortonormal si es un sistema ortogonal y si todos los vectores del conjunto estan norma-lizados. Esto se indica convenientemente ası: ⟨φν |φµ⟩ = δνµ, donde δνµ es la delta deKroenecker (esto es: δµµ = 1, δνµ = 0 si ν = µ; con ν, µ elementos del conjunto deındices). N

Definicion 3.3. Si N ⊂ G es un subconjunto arbitrario no vacıo, denotaremos porN⊥ al conjunto:

N⊥ = φ ∈ G| ⟨ψ|φ⟩ = 0,∀ψ ∈ N, (3.1)

y lo llamaremos el complemento ortogonal de N. N

Evidentemente: N⊥ = φ ∈ G| ⟨φ|ψ⟩ = 0,∀ψ ∈ N.

Teorema 3.4. Sean N,N1,N2 subconjuntos arbitrarios no vacıos de G. Se tiene:

i. 0⊥ = G; y G⊥ = 0.ii. N⊥ es un espacio vectorial cerrado de G.iii. N ∩N⊥ ⊂ 0.iv. Si N1 ⊂ N2, entonces N

⊥2 ⊂ N⊥

1 .

Demostracion. i ∀ψ ∈ G, tenemos ⟨0|ψ⟩ = 0. Si ⟨ψ|φ⟩ = 0 ∀ψ ∈ G, entonces φ = 0(ver 1.P.1).

ii ∀φ1, φ2 ∈ N⊥; ∀λ1, λ2 ∈ C, tendremos que ⟨ψ|λ1φ1 + λ2φ2⟩ = λ1 ⟨ψ|φ1⟩ +λ2 ⟨ψ|φ2⟩ = 0, ∀ψ ∈ N; esto es, N⊥ es un subespacio vectorial. Si φn ⊂ N⊥ converge(fuertemente) a φ ∈ G; entonces, por el teorema 2.10 tendremos ⟨ψ|φ⟩ = lımn→∞ ⟨ψ|φn⟩ =0, ∀ψ ∈ N; esto es, φ ∈ N⊥ (por lo tanto N⊥ es cerrado, ver definicion 2.2).

iii Si φ ∈ N ∩N⊥, entonces ∥φ∥ = 0 ⇒ φ = 0.iv Si φ ∈ N⊥

2 , tendremos ⟨ψ|φ⟩ = 0, ∀ψ ∈ N2; y por lo tanto ⟨ψ|φ⟩ = 0, ∀ψ ∈ N1;esto es, φ ∈ N⊥

1 .

El hecho que G⊥ = 0 nos indica que el elemento 0 es el unico vector ortogonal atodo elemento de G (incluso a sı mismo).

El que N ∩N⊥ ⊂ 0 nos indica que N ∩N⊥ es o 0, o el conjunto vacıo. Notemos(de ii.) que: N∩N⊥ = 0, sii 0 ∈ N (en particular, si N es un subespacio vectorial de G).

Teorema 3.5 (de la proyeccion ortogonal). Sea M un subespacio vectorial cerradode un espacio de Hilbert H (real o complejo). Entonces, todo vector ψ ∈ H puede serrepresentado de manera unica de la forma ψ = φ+ χ, donde φ ∈ M y χ ∈ M⊥.

El vector φ es llamado proyeccion ortogonal de ψ en M. N

No demostraremos este importante teorema. Notemos que se trata de la generalizacionde la proyeccion de un vector de un espacio vectorial real de dimension tres sobre una rectaunidimensional o sobre un plano bidimensional M (ver Fig. 1). Este teorema no puedeestablecerse para espacios de pre-Hilbert (si son infinito dimensionales, incluso separables;ver definiciones en 3.8); con lo que los espacios de Hilbert se afianzan como “los masgeometricos de todos” (ver discusion en 3.1).

Corolario 3.6. Si M es un subespacio vectorial cerrado de H, entonces:

M⊥⊥ ≡(M⊥)⊥ = M. (3.2)


....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................... ......................................

.......................................... ................................................................................................................... .....

ψ χ

φ

M

H

Figura 1. Proyeccion Ortogonal

Demostracion. Sea ψ ∈(M⊥)⊥, y escribamos ψ = φ + χ con φ ∈ M, χ ∈ M⊥

(usamos el teorema 3.5). Tendremos que χ ∈(M⊥)⊥, ya que: ⟨χ|χ′⟩ = ⟨ψ − φ|χ′⟩ =

⟨ψ|χ′⟩ − ⟨φ|χ′⟩ = 0, ∀χ′ ∈ M⊥. Pero χ ∈ M⊥, y como M⊥ ∩(M⊥)⊥ = 0 (ver 3.4),

resulta que χ = 0; esto es, ψ = φ ∈ M. Hemos obtenido que M⊥⊥ ⊂ M.

Por otra parte, si φ ∈ M, tendremos ⟨φ|χ⟩ = 0, ∀χ ∈ M⊥; esto es, φ ∈(M⊥)⊥.

Hemos obtenido que M ⊂ M⊥⊥. Corolario 3.7. Un subespacio vectorial D ⊂ H es denso en H, sii D⊥ = 0.

Demostracion. i. Si D es denso, sea φ ∈ H tal que, ⟨φ|ψ⟩ = 0 ∀ψ ∈ D (esto es, φ ∈D⊥). Por definicion de denso (ver 2.6), ∃ una sucesion φn ⊂ D, tal que ∥φ− φn∥ −−−→

n→∞0,

y por lo tanto por el teorema 2.10, tendremos que ⟨φ|φ⟩ = lımn→∞ ⟨φ|φn⟩ = 0; esto es,φ = 0.

ii. Sea D⊥ = 0. Como D ⊂ D, tendremos que D⊥ ⊂ D⊥ (ver 3.4.iv), y por lo tanto

D⊥= 0 (ver 3.4.ii). Entonces, como D es un subespacio vectorial cerrado (ver 2.5), se

sigue que D = D⊥⊥

= 0⊥ = H (ver 3.4.i, y 3.6), lo que implica que D es denso (verDef. 2.6).

Este corolario resulta muy util como criterio para verificar si un subespacio vectorialD es denso en H.

Definicion 3.8. Si todos los sistemas ortonormales posibles de un espacio de pre-Hilbert G son conjuntos finitos, el espacio de pre-Hilbert es de dimension finita y sudimension (dimG) se define como el maximo numero de vectores con los cuales se puedeformar un conjunto ortonormal. Si G = 0 no posee sistemas ortonormales, diremos queG es de dimension (finita) uno: dimG = 1 (los complejos o los reales). Si G = 0 no es de

dimension finita, entonces se dice que es de dimension infinita (dimG = ∞).Un espacio de pre-Hilbert es separable si todo conjunto ortonormal de vectores

ψν ⊂ G es a lo sumo numerable o si dimG = 1 (esto es, ν ⊂ Z+). N

4. SISTEMAS DE VECTORES ORTONORMALES 9

Existen espacios de pre-Hilbert separables, y luego en la seccion 5 veremos algunosejemplos.

Notemos que si dimG <∞, entonces G es separable.Si dimG = ∞, el hecho de ser separable implica una restriccion al “tamano” de G ya

que existen espacios de pre-Hilbert “mas grandes” no separables donde se pueden formarsistemas ortonormales que no son numerables.

Los espacios no separables no son generalmente usados en fısica, y por lo tanto de aho-ra en adelante, al referirnos a un espacio de pre-Hilbert (o de Hilbert) queda sobrentendidoque se trata de un espacio separable.

En virtud de 1.P.10 y 1.P.11 tendremos que la definicion de dimension que hemosestablecido es equivalente a la definicion de “dimension algebraica” establecida para cual-quier espacio vectorial (en particular; normado, de Banach, de pre-Hilbert o de Hilbert),si estos son de dimension finita.

Senalemos como informacion que la definicion de dimension; si es infinita; que ya he-mos establecido, es diferente de la de: dimension “algebraica”; ası como de la de dimension“topologica” valida para espacios de Banach y de Hilbert; definiciones (diferentes entre sıen el caso no finito) que podemos conseguir en la literatura, ver I.1.1.9, II.1.2.7 y II.3.3.10de [69], p. ej.

4. Sistemas de Vectores Ortonormales

Teorema 4.1. Sea φk un sistema ortonormal de vectores de G (o de H), y λk ⊂C una sucesion arbitraria. Sea ψn ≡

∑nk=1 λkφk. Tendremos (para la convergencia fuerte):

i. Si ψn ∈ G converge a ψ ∈ H, entonces∑

k |λk|2 <∞. Ademas: ∥ψ∥2 =

∑k |λk|

2.

ii. Si φk ⊂ H; ψn ∈ H converge a ψ ∈ H sii∑

k |λk|2 <∞, y ∥ψ∥2 =

∑k |λk|

2.

Demostracion. Sea un ≡∑n

k=1 |λk|2 (un ∈ R) y tomemos n > m. Al usar 1.P.9

obtenemos que:

∥ψn − ψm∥2 =

∥∥∥∥∥n∑

k=m+1

λkφk

∥∥∥∥∥2

=n∑

k=m+1

|λk|2 = |un − um| . (4.1)

Tendremos entonces:

i. Si ψn converge entonces es de Cauchy (ver 1.P.7), y por (4.1) vemos que un tambienlo es. Por lo tanto un converge (propiedad de completitud de los reales; ver p. ej., [56,teorema 4.8]).

ii. Si un converge entonces es de Cauchy, y por (4.1) vemos que ψn tambien lo es. ComoH es completo, ψn converge a un elemento ψ de H.

El que ∥ψ∥2 =∑

k |λk|2 es inmediato de 1.P.5 (iv) y 1.P.9.

Teorema 4.2 (Desigualdad de Bessel). Sea φk ⊂ G un sistema ortonormal, yψ un vector arbitrario de G. Tendremos:∑

k

|⟨φk|ψ⟩|2 ≤ ∥ψ∥2 . (4.2)


Demostracion. Tenemos que:

0 ≤

⟨ψ −

n∑k=1

⟨φk|ψ⟩φk

∣∣∣∣∣ψ −n∑j=1

⟨φj|ψ⟩φj

⟩

= ∥ψ∥2 − 2n∑k=1

|⟨φk|ψ⟩|2 +n∑k=1

n∑j=1

⟨φk|ψ⟩ ⟨φj|ψ⟩ ⟨φk|φj⟩

= ∥ψ∥2 −n∑k=1

|⟨φk|ψ⟩|2 ,

ya que ⟨φk|φj⟩ = δkj. Hemos obtenido que∑n

k=1 |⟨φk|ψ⟩|2 ≤ ∥ψ∥2, de donde obtenemos

(4.2) aun si el conjunto φk es infinito (al hacer n→ ∞).

Corolario 4.3. Sea φk ⊂ G un sistema ortonormal infinito (dimG = ∞). Enton-ces:

lımk→∞

⟨φk|ψ⟩ = 0, ∀ψ ∈ G.

Demostracion. Es inmediato de (4.2), ya que forzosamente: |⟨φk|ψ⟩| −−−→k→∞

0.

Este corolario nos indica que φk converge debilmente a cero. Pero tenemos que:∥φn − φm∥2 = 2 si n = m (verificarlo, ver 1.P.9); y φk no es por lo tanto de Cauchy, dedonde concluimos que φk no converge fuertemente (ver 1.P.7).

Corolario 4.4. Sea φk ⊂ H un sistema ortonormal, y ψ un vector arbitrario deH. Entonces, la expresion:

∑k ⟨φk|ψ⟩φk, siempre converge.

Demostracion. Es inmediata de los teoremas 4.1 y 4.2.

Notemos que no estamos diciendo que∑

k ⟨φk|ψ⟩φk converge a ψ. Luego veremosbajo que condiciones ello es cierto; ver teorema 4.9.

Definicion 4.5. Sea φn ⊂ G un sistema ortonormal, y ψ un vector arbitrario deG. Entonces, los numeros:

⟨φn|ψ⟩ ; n ∈ Z+, (4.3)

se llaman los coeficientes de Fourier de ψ con respecto al sistema ortonormal φn. N

Teorema 4.6. Sea φk ⊂ G cualquier sistema ortonormal y λk ⊂ C (o R, si Ges real) constantes arbitrarias. Para cualquier ψ ∈ G y para cada n ∈ Z+ (con n menor oigual que el numero de elementos de φk, si este es un conjunto finito), tendremos quela expresion: ∥∥∥∥∥ψ −

n∑k=1

λkφk

∥∥∥∥∥ , (4.4)

sera un mınimo; sii: λk = ⟨φk|ψ⟩, k = 1, · · · , n.


Demostracion. Hagamosla suponiendo que G es complejo. Se tiene:∥∥∥∥∥ψ −n∑k=1

λkφk

∥∥∥∥∥2

=

⟨ψ −

n∑k=1

λkφk

∣∣∣∣∣ψ −n∑j=1

λjφj

⟩= ∥ψ∥2 −

∑k

λk ⟨φk|ψ⟩ −∑j

λj ⟨ψ|φj⟩+∑k

∑j

λkλj ⟨φk|φj⟩

= ∥ψ∥2 −∑k

λk ⟨φk|ψ⟩ −∑k

λk ⟨φk|ψ⟩+∑k

|λk|2

=

(∥ψ∥2 −

n∑k=1

|⟨φk|ψ⟩|2)

+n∑k=1

|⟨φk|ψ⟩ − λk|2 .

(4.5)

De las relaciones (4.2) y (4.5), el teorema es claro. Este teorema nos indica que de todos los conjuntos posibles de λk’s, los coeficientes

de Fourier son los que nos dan la mejor aproximacion a ψ con respecto a la norma ∥·∥.Definicion 4.7. Un sistema ortonormal φν ≡ N ⊂ G (con G separable o no; real

o complejo) es completo en G si N⊥ = 0. NEsto es; si ⟨φ|φν⟩ = 0, ∀φν ∈ N, entonces φ = 0.No demostraremos un importante teorema que establece que si N1 ⊂ G (dimG ≥ 2; G

separable; real o complejo) es un sistema ortonormal finito, entonces existe N2 ⊂ N⊥1 , tal

que N ≡ N1 ∪N2 es un sistema ortonormal completo. Si G = H es de Hilbert el teorematambien es cierto si N1 es un conjunto infinito. Dicho teorema establece, en particular,que todo espacio de pre-Hilbert separable (incluso infinito dimensional) posee un sistemaortonormal completo. Estos resultados no son validos para espacios de pre-Hilbert noseparables (p. ej., un espacio de pre-Hilbert no separable, que no sea de Hilbert, no poseeun sistema ortonormal completo); sin embargo, se prueba que sı lo son para espacios deHilbert no separables. Ver [77], p. ej.

Es importante observar que el concepto de completitud de un sistema ortonormalno tiene nada que ver con el concepto de completitud de un espacio normado (ver 2.13).P. ej., si dimG = ∞ y G es separable, aun si G no es de Hilbert (esto es, G no es unespacio completo; ver Defs. 2.13) este posee un sistema ortonormal completo φn ⊂ G,como acabamos de discutir.

Un sistema ortonormal completo de G es maximal; esto es, no existen vectores nor-malizados de G que sean ortogonales a todos los elementos de ese conjunto.

Sabemos que si dimG = N(N < ∞;N ≥ 2), con G real o complejo, entonces todosistema ortonormal en ⊂ G de N vectores es completo (ver 1.P.12); y que en sera unconjunto linealmente independiente de N vectores (ver 1.P.10). Por lo tanto (de la teorıa

del algebra lineal) todo vector φ ∈ G se podra escribir: φ =∑N

k=1 λkek con λk ∈ R o C siG es real o complejo respectivamente.

Teorema 4.8. Todo espacio de pre-Hilbert G (real o complejo) finito dimensional escompleto; vale decir, G es un espacio de Hilbert. En particular, todo subespacio vectorialfinito dimensional de cualquier espacio de pre-Hilbert sera un subespacio vectorial cerrado.

Demostracion. Hagamosla suponiendo G complejo. Ya sabemos que C es completo.Sea entonces G con dimG = N ≥ 2. Sabemos que existira un sistema ortonormal completo


e1, · · · , eN ⊂ G, con lo que cualquier sucesion de Cauchy φn ⊂ G se podra escribir:

φn =∑N

k=1 λknek (ver 4.7). Al usar 1.P.9, obtenemos que:

∥φn − φm∥2 =N∑k=1

|λkn − λkm|2.

De donde concluimos que para cada k, la sucesion λknn∈Z+ ⊂ C es una sucesion de

Cauchy. Por lo tanto: λkn −−−→n→∞

λk para algun λk ∈ C. Al poner: φ ≡∑N

k=1 λkek ∈ G,

tendremos:

∥φ− φn∥2 =

∥∥∥∥∥N∑k=1

(λk − λkn)ek

∥∥∥∥∥2

=N∑k=1

|λk − λkn|2 −−−→n→∞

0.

Por lo tanto, φn es convergente en G. Teorema 4.9. Sea H un espacio de Hilbert separable (real o complejo), y φn ≡

N ⊂ H un sistema ortonormal. Sea D el subespacio vectorial generado por N (estoes, el conjunto de todas las combinaciones lineales (finitas) de elementos de N). Entonces,las cinco condiciones siguientes son equivalentes:

i. φn es completo en H.ii. D es denso en H.iii. ψ =

∑n ⟨φn|ψ⟩φn; ∀ψ ∈ H.

iv. ⟨ψ|φ⟩ =∑

n ⟨ψ|φn⟩ ⟨φn|φ⟩ ; ∀ψ, φ ∈ H.

v. ∥ψ∥2 =∑

n |⟨φn|ψ⟩|2 ; ∀ψ ∈ H.

Demostracion. Si demostramos las implicaciones: i ⇒ ii ⇒ iii ⇒ iv ⇒ v ⇒ i,habremos probado el teorema.

i⇒ ii. Como N ⊂ D, tendremos que D⊥ ⊂ N⊥ (ver 3.4.iv), y por lo tanto D⊥ = 0si N⊥ = 0 (ver 3.4.ii). Esto es, D es denso en H (ver corolario 3.7).

ii⇒ iii. Para todo ψ ∈ H,∑

n ⟨φn|ψ⟩φn converge (ver 4.4).Como todo φ ∈ D es de la forma φ =

∑mk=1 λkφk, es de verificacion trivial (usar 2.10)

que: ⟨ψ −

∑n

⟨φn|ψ⟩φn

∣∣∣∣∣φ⟩

= 0, ∀φ ∈ D.

Entonces: ψ −∑

n ⟨φn|ψ⟩φn = 0, ya que D es denso (ver 3.7).iii ⇒ iv. Sustituyendo ψ =

∑n ⟨φn|ψ⟩φn en ⟨ψ|φ⟩, y usando el teorema 2.10,

obtenemos iv.iv ⇒ v. Hagamos φ = ψ en iv.v ⇒ i. Sea ψ ∈ H ortogonal a todo φn ∈ N, entonces de v obtenemos que ∥ψ∥ = 0 y

por lo tanto ψ = 0. Las relaciones 4.9.iv y 4.9.v se llaman identidades de Parseval.Si dimH = N (N <∞), entonces todo sistema ortonormal de N vectores es completo

(1.P.12), y por lo tanto vale (en particular) la Rel. 4.9.iii para ese sistema.Si dimH = ∞, no basta con decir que un sistema ortonormal tiene infinitos vectores

para que valga la relacion 4.9.iii, sino que debemos indicar si son “los suficientes”. Esteteorema nos indica que tendremos los suficientes si el sistema ortonormal es completo.


Notemos que la Rel. 4.9.iii es una generalizacion obvia correspondiente a un vector aen tres dimensiones para el cual a = (e1 · a)e1 + (e2 · a)e2 + (e3 · a)e3, donde e1, e2, e3 es unsistema ortonormal.

El que hayamos demostrado las implicaciones i ⇔ iii justifica plenamente que a unsistema ortonormal completo en un espacio de Hilbert se le llame tambien una base orto-normal. Pero cuidado, que no corresponde (si dimH = ∞) a lo usualmente denominado“base” (o “base de Hamel”) en algebra lineal (ver [69, I.1.1.], p. ej.).

Con este teorema tenemos que: ∥ψ −∑

n ⟨φn|ψ⟩φn∥2 = ∥ψ∥2 −

∑n |⟨φn|ψ⟩|

2 = 0,∀ψ ∈ H; sii φn ⊂ H es completo. Comparar con el teorema 4.6 y con la Rel. (4.5).

Comentario 4.10. Aunque solo estamos considerando espacios de Hilbert separables,veamos como informacion unos pocos hechos basicos que permiten tratar los espacios deHilbert infinito dimensionales no separables. Tenemos el siguiente lema (ver [69, LemmaII.3.3.3.], p. ej.), que resulta crucial.

Lema. Si A = γα es cualquier conjunto de numeros reales positivos y si para cual-quier subconjunto finito: γ1, · · · , γn ⊂ A se tiene que γ1+ · · ·+γn ≤M , donde M ∈ R+

es una constante fija, entonces A es numerable.Demostracion. Dado cualquier m ∈ Z+, sea Am ≡ γα ∈ A|γα > 1/m. Entonces:

A = ∪∞m=1Am. Sera entonces suficiente probar que cada Am es un conjunto finito. En

efecto, si γ1, · · · , γn son n elementos de Am, se tendra: n/m < γ1 + · · ·+ γn ≤M , y por lotanto n ≤ Mm. Cada Am tendra a lo sumo [mM ] elementos, donde [mM ] ∈ N es el masgrande de los enteros no negativos tal que [mM ] ≤ mM .

Al usar este lema se puede probar el siguiente teorema (ver [69, Theorem II.3.3.4.],p. ej.).

Teorema. Sea φα ⊂ H un sistema ortonormal arbitrario, con H no separable (porlo tanto, φα puede ser no numerable; p. ej., si es completo, ver 4.7). Sea ψ ∈ H yλα ≡ ⟨φα|ψ⟩ los coeficientes de Fourier de ψ. Entonces.

(a) λα = 0 para todo α excepto por un conjunto numerable (que depende de ψ).(b) Si λn son los coeficientes no nulos, entonces la serie:

∑α λαφα ≡

∑n λnφn

converge y es valida la desigualdad de Bessel:

∑α

|⟨φα|ψ⟩|2 ≡∑n

|⟨φn|ψ⟩|2 ≤ ∥ψ∥2. (4.6)

Demostracion. (a) Para cualquier subconjunto finito φ1, · · · , φn ⊂ φα es validala desigualdad (4.2). Por lo tanto, en virtud del lema tendremos que A ≡ |λα|2 es a losumo numerable.

(b) Por (4.2) tenemos que: |λ1|2 + · · · + |λn|2 ≤ ∥ψ∥2 para todo n ∈ Z+; entonces esvalida la Rel. (4.6) y

∑n |λn|

2 =∑

n |⟨φn|ψ⟩|2 es una serie numerica convergente. De 4.1

obtenemos que∑

α λαφα converge. Resulta ser que el teorema 4.9 (debidamente refraseado), p. ej., tambien es valido

para espacios de Hilbert no separables.


5. Ejemplos de Espacios de Hilbert

Ejemplo 5.1. RN , N ∈ Z+ sera un espacio de Hilbert real al definir el productoescalar:

⟨x| y⟩ =N∑k=1

xk · yk, ∀x, y ∈ RN , (5.1)

donde x = (x1, · · · , xN), y = (y1, · · · , yN).Ya sabemos que RN es un espacio vectorial real (ver, p. ej., [56, Def. 3.2.]). La Rel.

(5.1) define de manera obvia un producto escalar. La completitud esta asegurada por elteorema 4.8.

Sabemos que los N vectores:

e1 = (1, 0, · · · , 0); e2 = (0, 1, · · · , 0); · · · ; eN = (0, 0, · · · , 1), (5.2)

son una base ortonormal de RN si N ≥ 2, y por lo tanto RN es un espacio de Hilbertseparable de dimRN = N . RN considerado como espacio de Hilbert tambien se denotapor l2(N).

Cualquier espacio de Hilbert real de dimension finita N (N ∈ Z+), en particular RN ,se llama un espacio vectorial euclidiano (de dimension N).

Solo a tıtulo informativo, senalemos que con el concepto de espacio afın de dimensionN asociado a un espacio vectorial euclidiano de dimension N (ver [57], p.ej.); se gene-ra la geometrıa euclidiana de dimension N (tambien es usual referirse a esta como unespacio puntual euclidiano). Para los casos particulares N = 2 y N = 3, se obtiene en-tonces la conocida geometrıa euclidiana en “el plano” y en “el espacio”, respectivamente;geometrıas que tambien pueden formularse de manera alternativa gracias a los axiomas (ovariantes de los mismos) establecidos por D. Hilbert, ver p. ej.: [82] y [83].

Ejemplo 5.2. El conjunto de los numeros complejos C, o mas generalmente CN(N ∈ Z+), es un espacio de Hilbert complejo de dimension N ; ver 1.P.13 y 1.P.14.

Ejemplo 5.3. Sea I ⊂ R un intervalo general (esto es, un intervalo finito o infinito;abierto, cerrado o semi-abierto) de extremos a y b (con a < b). Para las funciones ψ : I →C, definiremos al espacio:

L2(I) ≡ L2(a, b) ≡ψ : I → C

∣∣∣∣∫ b

a

|ψ(x)|2 dx <∞, (5.3)

llamado espacio de las funciones de cuadrado integrable el cual resulta ser un espaciode Hilbert complejo separable de dimension infinita, si definimos el producto escalar ası:

⟨φ|ψ⟩ =∫ b

a

φ(x)ψ(x)dx, ∀φ, ψ ∈ L2(I). (5.4)

No demostraremos este hecho pero sı haremos unos comentarios.

i. El hecho de que ∀ψ1, ψ2 ∈ L2(a, b), y ∀λ1, λ2 ∈ C, tengamos que λ1ψ1+λ2ψ2 ∈ L2(a, b),no es obvio a priori y debe ser demostrado (con lo cual se tiene que L2(a, b) es unespacio vectorial).

ii. Tambien deberıamos demostrar que ∀ψ, φ ∈ L2(I), se cumple que |⟨ψ|φ⟩| < ∞ (locual es necesario para que (5.4) sea un producto escalar). Las propiedades 1.3.i - ivdel producto escalar estan obviamente satisfechas.

5. EJEMPLOS DE ESPACIOS DE HILBERT 15

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f(x)

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7

X

Figura 2. Una Funcion

iii. Ademas, para obtener realmente un espacio de Hilbert, la integral que aparece en (5.3)y en (5.4) no es una integral en el sentido de Riemann sino una integral en el sentidode Lebesgue. No es el proposito nuestro el de desarrollar la integral de Lebesgue, sinembargo quisieramos proporcionar algunos elementos con el fin de entender de unamanera muy cualitativa este tipo de integral. Para una definicion rigurosa, con unenfoque diferente del que vamos a esbozar aquı, ver [56] o [74]. Para nuestros fines,recordemos que dada una funcion f : X → Y , se define para cualquier conjuntoZ ⊂ Y , la imagen inversa de Z bajo f , como el conjunto:

f−1(Z) = x ∈ X| f(x) ∈ Z , (⊂ X). (5.5)

Notemos que esta f−1 no es la funcion inversa, la cual puede no existir; aunque laf−1 definida por (5.5) siempre existe.

Sea la funcion f : (0, 7] → R, definida de manera obvia por la Fig. 2. Tendremosque:

f−1(1) = (1, 2] ∪ (5, 7]; f−1(2) = (0, 1] ∪ (2, 4];

f−1(3) = (4, 5]; f−1(Z) = ∅, si Z ⊂ R, pero 1, 2, 3 /∈ Z.

Demos ahora una idea de lo que se llamamedida de Lebesgue de un subconjuntode los reales. Para cualquier intervalo general I de extremos a y b (a < b) o paracualquier intervalo cerrado: [c, c] = c ⊂ R, definiremos las medidas M de esosconjuntos ası:

M(I) = (b− a), M(c) = 0. (5.6)

M(I) y M(c) no son mas que las longitudes de esos intervalos. La medida deLebesgue es una generalizacion de esta nocion a subconjuntos mas generales de R,tal que para intervalos generales o conjuntos c ⊂ R valga la Rel. (5.6). Esto es, lamedida de Lebesgue M de un conjunto A ⊂ R es una funcion:

M : A→ R∗+ ∪ 0, (5.7)

para la cual se cumplen las siguientes propiedades:(a) M(∅) = 0,(b) Si A ⊂ B, entonces, M(A) ≤M(B),


(c) M (∪∞k=1Ak) ≤

∑∞k=1M(Ak),

(d) Si Ak ∩ Aj = ∅, ∀k = j, la relacion iiic. es una igualdad.Al observar la Rel. (5.6) se concluye que las propiedades iiib. - iiid. son satisfechas

para intervalos generales e intervalos cerrados [c, c] = c ⊂ R. Notese que paracualquier c ∈ R: M ((c, c)) =M ([c, c)) =M ((c, c]) =M(∅) = 0.

Hemos dejado de lado algunas precisiones en la definicion de la medida de Le-besgue. Por ejemplo, ¿Cuales son los subconjuntos de R para los cuales esta definidasu medida? (resulta ser que existen subconjuntos de R que no son medibles). Enlas Rels. iiia. - iiid. se sobrentiende que los conjuntos mencionados son conjuntosmedibles. Digamos como informacion que bajo la formulacion precisa de “conjuntomedible”, resulta que todos los intervalos generales, todos los conjuntos abiertos asıcomo todos los cerrados de R y todos los conjuntos numerables de R, son conjuntosmedibles.

Si aceptamos el hecho que todo conjunto numerable A ⊂ R es medible, el esbozode definicion de la medida de Lebesgue que hemos dado es suficiente para demos-trar que todo conjunto numerable tiene medida nula (esto es, es un conjunto demedida nula). En efecto, numeremos los elementos de A llamandolos xk; esto es,A ≡ xkk∈Z+ . Para cualquier ε > 0, definamos intervalos abiertos Ik centrados en ca-da xk y de longitud ε

2k, esto es: Ik =

(xk − ε

2k+1 , xk +ε

2k+1

). Tendremos: A ⊂

∪∞k=1 Ik.

Usando las relaciones (5.6), iiib. y iiic. se obtiene:

M(A) ≤M

(∞∪k=1

Ik

)≤

∞∑k=1

M(Ik) =∞∑k=1

ε

2k= ε, (5.8)

y como ε puede ser arbitrariamente pequeno tendremos M(A) = 0.Entonces, en particular, el conjunto Q o cualquier subconjunto de Q tendran

medida nula.Con los conceptos arriba enunciados, establezcamos los lineamientos (la nocion)

de la integral de Lebesgue para una funcion f : I → R, siendo a, b ∈ R (a < b) losextremos de un intervalo general acotado I; ver figura 3.

En vez de efectuar una particion del eje X (como para la integral de Riemann)efectuemos una particion del eje Y , denominando a los intervalos de la particion ∆k,k = 1, 2, · · · . Llamemos fk al valor de la funcion en el punto medio del intervalo ∆k.Formemos ahora la suma siguiente:∑

k

fkM(f−1(∆k)

). (5.9)

Si para particiones cada vez mas finas del eje Y la suma (5.9) tiene un lımite, estese llama la integral de Lebesgue IL, la cual se indica con el mismo sımbolo que la

integral de Riemann; esto es: IL =∫ baf(x)dx.

Para apreciar la diferencia entre esta integral y la de Riemann es conveniente queel lector refresque sus conocimientos sobre la integral de Riemann (usar, p. ej., [56]).Para precisar mas las ideas evaluemos la integral de la funcion definida por la fig. 2en el intervalo (0, 7], en el sentido de Riemann y en el sentido de Lebesgue.

5. EJEMPLOS DE ESPACIOS DE HILBERT 17

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∆k

a b

X

f(x)Y

Figura 3. Integral de Lebesgue

a) Segun Riemann:

IR =

∫ 7

0

f(x)dx = (1− 0) · 2 + (2− 1) · 1 + (4− 2) · 2 + (5− 4) · 3 + (7− 5) · 1 = 12.

b) Segun Lebesgue:

IL =

∫ 7

0

f(x)dx = 1 ·M(f−1(1)

)+ 2 ·M

(f−1(2)

)+ 3 ·M

(f−1(3)

)= 1 · [(2− 1) + (7− 5)] + 2 · [(1− 0) + (4− 2)] + 3 · (5− 4) = 12.

En este ejemplo tenemos que IR = IL, y de hecho se prueba que (para intervalosgenerales acotados) si IR existe entonces IL tambien y son iguales. Sin embargo, larecıproca no es cierta como lo muestra el ejemplo siguiente. Sea fD : [0, 1] → R,definida ası:

fD(x) =

1 si x es racional0 si x es irracional,

(5.10)

llamada funcion de Dirichlet. Para esta funcion la integral de Riemann IR =∫ 1

0fD(x)dx no existe ya que la integral inferior de Riemann es igual a 0 y la inte-

gral superior de Riemann es igual a 1. Sin embargo, la integral de Lebesgue existe:

IL =

∫ 1

0

fD(x)dx = 1 ·M(f−1D (1)

)+ 0 ·M

(f−1D (0)

)= 1 ·M(Q ∩ [0, 1]) + 0 ·M((R−Q) ∩ [0, 1])

= 1 · 0 + 0 ·M((R−Q) ∩ [0, 1]) = 0.

(5.11)

Mencionemos que los teoremas usuales para la integral de Riemann (la integracionpor partes, p. ej.) son validos para la integral de Lebesgue.


iv. La completitud de L2(a, b); para la cual es imprescindible que la integral sea de Le-besgue; es un teorema no trivial (teorema de Riesz-Fischer; ver [56], p.ej.).

v. Finalmente, notemos que aunque para la funcion f ≡ 0 ∈ L2(a, b) tenemos ⟨f | f⟩ = 0,no se cumple el axioma 1.3.v del producto escalar, y por lo tanto, estrictamentehablando L2(a, b) no es ni siquiera un espacio de pre-Hilbert. Podemos probar estaafirmacion en L2(0, 1) con la funcion de Dirichlet definida en (5.10), la cual no es lafuncion nula y sin embargo:

⟨fD| fD⟩ =∫ 1

0

[fD(x)]2 dx =

∫ 1

0

fD(x)dx = 0. (5.12)

En realidad cuando hablamos del espacio de Hilbert L2(a, b), sus vectores no sonlas funciones de L2(a, b) sino las clases de equivalencia fabricadas ası: tomemos unafuncion f ∈ L2(a, b) arbitraria y formemos el conjunto que denotamos por [f ] ⊂L2(a, b), de todas las funciones de L2(a, b) que difieren de f en un conjunto de medidanula. Luego tomemos g ∈ L2(a, b) con g /∈ [f ] y formemos [g], y ası sucesivamente.Ahora los vectores del espacio de Hilbert L2(a, b) son los [f ], [g], etc., y para ellos si secumple el axioma 1.3.v (ası como todos los demas). En L2(0, 1), p. ej., con la funcioncero formamos al vector [0], el cual es el vector cero del espacio de Hilbert L2(0, 1); ytendremos, por construccion de [0], que fD ∈ [0] siendo fD la funcion de Dirichlet.

Como es usual en la literatura, a lo largo del texto abusaremos del lenguaje aldenominar “vector” de L2(a, b), a una funcion de L2(a, b); denotandolo p. ej.: f , g, φ,ϕ, ψ, etc., y no [f ], [g], [φ], [ϕ], [ψ], etc.

Ejemplo 5.4. Otro ejemplo es el espacio l2 ≡ l2(Z+) de todas las sucesiones x ≡xnn∈Z+ con xn ∈ C [Resp. xn ∈ R], tales que

∑∞n=1 |xn|

2 < ∞, el cual es un espacio deHilbert complejo [Resp. real] separable de dimension infinita si definimos la multiplicacionescalar, suma y producto escalar, ası:

αx = αxn ; x+ y = xn + yn (5.13)

⟨x| y⟩ =∞∑n=1

xnyn. (5.14)

Tampoco demostraremos este hecho.Tambien se usa la notacion: x = (x1, x2, x3, · · · ), ∀x ∈ l2.Los vectores de l2:

e1 = (1, 0, 0, 0, · · · ), e2 = (0, 1, 0, 0, · · · ), · · · ; (5.15)

forman una base ortonormal de l2.

Ejemplo 5.5. Sea Λ ⊂ R un conjunto no vacıo abierto o cerrado, o un intervalogeneral de R; o tambien: Λ = I1× I2×· · ·× IN ⊂ RN (N ≥ 2), siendo Ik ⊂ R un intervalogeneral, k = 1, 2, . . . , N . Sea W una funcion, W : Λ → R+, salvo quizas en puntos aisladosde Λ en los cuales podrıa anularse. Entonces:

L2W(Λ) ≡

ψ : Λ → C

∣∣∣∣∫Λ

|ψ(x)|2W(x)dNx <∞, (5.16)

6. ISOMORFISMO ENTRE ESPACIOS NORMADOS 19

resulta ser un espacio de Hilbert complejo separable infinito dimensional, si definimos elproducto escalar ası:

⟨φ|ψ⟩ =∫Λ

φ(x)ψ(x)W(x)dNx; ∀φ, ψ ∈ L2W(Λ). (5.17)

Notemos que seran validos todos los comentarios (debidamente refraseados y genera-lizados) que hemos hecho en el ejemplo 5.3.

Entre los casos particulares de espacios de Hilbert de tipo L2W(Λ), se destacan:

i. W(x) = 1, ∀x ∈ Λ, en cuyo caso usamos la notacion L2(Λ).ii. Λ = I ⊂ R, siendo I un intervalo general de extremos a y b (a < b), en cuyo caso

usamos la notacion L2W(I) ≡ L2

W(a, b).

Los estados de sistemas fısicos en mecanica cuantica vienen generalmente representa-dos por vectores normalizados (funciones de onda) de ciertos espacios del tipo L2

W(Λ).Por ejemplo, en mecanica cuantica no relativista, L2(R3N) es el espacio adecuado paradescribir un sistema de N partıculas en tres dimensiones sin espın y L2(R) es adecuadopara describir a una partıcula en una dimension sin espın.

Ejemplo 5.6. El espacio T de todas las funciones f : C → C enteras (esto es,analıticas en todo C) equipado del producto escalar:

⟨f | g⟩ = 1

π

∫Cf(z)g(z)e−|z|2dxdy; ∀f, g ∈ T, (5.18)

siendo la integral una integral de Lebesgue; z = x + iy; resulta ser un espacio de Hilbertcomplejo, infinito dimensional y separable.

Este espacio de Hilbert es llamado espacio de Hilbert de las funciones analıticas.En este espacio, el conjunto φn(z) ≡ zn√

n!∈ T, con n = 1, 2, . . ., es un sistema orto-

normal (ver 1.P.16) que es completo. Tenemos entonces, en particular, que:

f(z) =∞∑n=0

λn√n!zn, ∀f ∈ T, (5.19)

siendo λn = ⟨φn| f⟩ el coeficiente de Fourier de la f .Este espacio tiene diferencias notorias con L2. Por ejemplo aquı los vectores de T son

precisamente las funciones de f a diferencia de lo que ocurre en L2 (ver 5.3.v); y aquı laconvergencia fuerte implica la convergencia puntual (en particular la serie especificada en(5.19) la cual converge fuertemente, tambien lo hace puntualmente) cosa que no ocurre enL2 (ver comentarios hechos en 13.14 y en 1.P.15).

Dicho espacio es muy utilizado en mecanica cuantica, especialmente en teorıa cuanticade campos y en optica cuantica (ver p. ej., [84, 85, 86]).

6. Isomorfismo entre Espacios Normados

Definicion 6.1. Dos espacios normados complejos [Resp. reales] F1 y F2 de normas∥·∥1 y ∥·∥2 respectivamente se dicen isomorfos (o equivalentes) si existe una correspon-dencia biyectiva (φ1 ↔ φ2) entre sus vectores, tal que si φ1 ↔ φ2, ψ1 ↔ ψ2; φ1, ψ1 ∈ F1;φ2, ψ2 ∈ F2, entonces, ∀λ, γ ∈ C [Resp. ∀λ, γ ∈ R] tenemos:

i. λφ1 + γψ1 ↔ λφ2 + γψ2.ii. ∥φ1∥1 = ∥φ2∥2.


NLa relacion 6.1.i nos indica que la estructura de espacio vectorial es preservada al

efectuar la correspondencia. La Rel. 6.1.ii nos indica que tambien se preserva la norma.Por lo tanto, dos espacios normados isomorfos tienen exactamente las mismas pro-

piedades, y se dice que son dos realizaciones diferentes (tambien a veces, abusando dellenguaje, se dice que son iguales).

Para dos espacios de pre-Hilbert G1 y G2 de productos escalares ⟨·| ·⟩1 y ⟨·| ·⟩2 respec-tivamente, la propiedad 6.1.ii puede ser sustituida de manera equivalente por:

⟨φ1|ψ1⟩1 = ⟨φ2|ψ2⟩2 ; ∀φ1, ψ1 ∈ G1; ∀φ2, ψ2 ∈ G2, (6.1)

siendo ello posible en virtud de las identidades de polarizacion (ver 1.P.3).

Teorema 6.2. i. Todos los espacios de Hilbert complejos [Resp. reales] finito dimen-sionales son isomorfos entre sı, sii son de igual dimension N (en particular, son isomorfosa l2(N)). ii. Todos los espacios de Hilbert complejos [Resp. reales] infinito dimensionalesseparables, son isomorfos entre sı (en particular, son isomorfos a l2(Z+)).

Demostracion. Consideraremos unicamente el caso en que el espacioH sea complejoe infinito dimensional separable, ya que para todos los otros casos la demostracion esanaloga. En virtud de 1.P.17.iii bastara probar que H es isomorfo a l2(Z+). Sea entoncesφn ⊂ H una base ortonormal.

Sabemos que ∀ψ ∈ H, ψ =∑

n ⟨φn|ψ⟩φn (ver 4.9). Llamemos λn ≡ ⟨φn|ψ⟩. Vemospues que a cada ψ ∈ H le asociamos x ≡ λn ∈ l2(Z+) y se cumple que ∥ψ∥ = ∥x∥ (ver4.1, 4.9 y 5.4).

Recıprocamente, a todo x = λn ∈ l2(Z+) le podemos asociar un vector ψ =∑n λnφn ∈ H y se cumple que ∥x∥ = ∥ψ∥ (ver 4.1, 4.9 y 5.4).Es evidente que la correspondencia que acabamos de establecer es biyectiva y que

satisface la Rel. 6.1.i. Este teorema nos indica, en particular, que los espacios de Hilbert: L2(a, b); L2

W(Λ);l2(Z+); T, que hemos considerado en la seccion 5 son simplemente, diferentes realizaciones.

7. Funciones Lineales en Espacios Vectoriales y Normados

En toda esta seccion V1,V2,V3 y V, denotaran espacios vectoriales; F1,F2,F3 y F

espacios normados de normas ∥·∥1 , ∥·∥2 , ∥·∥3 y ∥·∥ respectivamente (complejos o reales).Todos estos diferentes de 0.

Como todo espacio normado es un espacio vectorial, toda definicion o resultado esta-blecida para espacios vectoriales sera valida para espacios normados.

Definicion 7.1. Sean V1 y V2 ambos complejos [o bien, ambos reales]. Una funcionF : D(F ) → V2; siendo D(F ) ⊂ V1 un subespacio vectorial; que satisfaga:

F (λ1ψ1 + λ2ψ2) = λ1F (ψ1) + λ2F (ψ2); ∀λ1, λ2 ∈ C [R]; ∀ψ1, ψ2 ∈ D(F ), (7.1)

se llamara una funcion lineal, o tambien operador lineal.Para el caso particular en que V2 = C si V1 es complejo (o R, si V1 es real), una

funcion lineal se denominara un funcional lineal en V1.D(F ) ⊂ V1 se llama el dominio de F , y el rango de F (R(F ) ⊂ V2), se define como:

R(F ) = φ ∈ V2|φ = F (ψ), para algun ψ ∈ D(F ) (⊂ V2). (7.2)

7. FUNCIONES LINEALES EN ESPACIOS VECTORIALES Y NORMADOS 21

Sea N ⊂ D(F ) un conjunto no vacio cualquiera. Denotaremos por F [N] ≡ φ ∈V2|φ = F (ψ) para algun ψ ∈ N ⊂ V2 al conjunto transformado de N bajo F . Ten-dremos que R(F ) = F [D(F )].

Denotaremos por O(V1,V2) al conjunto de todas las funciones lineales de dominiocontenido en V1 y rango en V2; usando en particular: O(V) ≡ O(V,V).

Si F ∈ O(F1,V2) tiene dominio denso en F1 (siendo F1 un espacio normado), diremosque F esta densamente definido. N

Si F ∈ O(V1,V2) tendremos que 0 ∈ D(F ) y que F (0) = 0 (ver (7.1)).

Definicion 7.2 (Igualdad). F1, F2 ∈ O(V1,V2) seran iguales, y lo denotaremos porF1 = F2, si D(F1) = D(F2) ≡ D, y si:

F1(ψ) = F2(ψ) ∀ψ ∈ D. (7.3)

NTeorema 7.3. Sea F ∈ O(V1,V2), y M ⊂ D(F ) un subespacio vectorial. Entonces,

F [M] ⊂ V2 es un subespacio vectorial.

Demostracion. Si φ1, φ2 ∈ F [M], por definicion de F [M], existiran ψ1, ψ2 ∈ D(F )tales que φk = F (ψk); k = 1, 2. Entonces, ∀λ1, λ2 ∈ C (o R), tendremos (al usar lalinealidad de F ) que: φ ≡ λ1φ1+λ2φ2 = λ1F (ψ1)+λ2F (ψ2) = F (λ1ψ1+λ2ψ2) ∈ F [M].

Notemos que, en particular, R(F ) ⊂ V2 es un subespacio vectorial (tomeseM = D(F );esto es, F [D(F )] = R(F )).

Comentario 7.4. Si F ∈ O(V1,V2), resulta que el vector cero pertenece a D(F ) ya R(F ), ya que por definicion de funcion lineal D(F ) es un subespacio vectorial ası comoR(F ) (ver 7.3). Entonces, para F,G ∈ O(V1,V2), el conjunto D(F )∩D(G) nunca es vacıo,aunque puede ocurrir que D(F ) ∩D(G) = 0 (esto ultimo puede ser cierto aun si V1 esun espacio normado F1, y tanto D(F ) como D(G) son densos en F1; para un ejemplo, veral final de 4-1.1).

Definicion 7.5. Si F ∈ O(V1,V2) y λ ∈ C (o λ ∈ R, si V1 y V2 son reales) podemosdefinir la multiplicacion de F con un escalar λ como la funcion (obviamente lineal):G ≡ λF ∈ O(V1,V2); dada por:

G(ψ) = λF (ψ), ∀ψ ∈ D(G) ≡ D(λF ) = D(F ). (7.4)

NDefinicion 7.6. Si F,G ∈ O(V1,V2), podemos definir la suma de F con G, como

la funcion (obviamente lineal): H ≡ F +G ∈ O(V1,V2), dada por:

H(ψ) = F (ψ) +G(ψ); ∀ψ ∈ D(H) ≡ D(F +G) = D(F ) ∩D(G). (7.5)

NNotemos que la funcion H siempre esta definida, pero que puede resultar muy poco

interesante ya que puede ocurrir que D(H) = 0. Evidentemente:

F +G = G+ F. (7.6)

Observemos que si D(F ) ⊂ D(G), p. ej. si D(G) = V1, entonces: D(H) = D(F ).


Definicion 7.7. Si G ∈ O(V1,V2) y F ∈ O(V2,V3), podemos definir al productode G con F , como la funcion (obviamente lineal): H ≡ FG ∈ O(V1,V3), dada por:

H(ψ) = F (G(ψ)) , ∀ψ ∈ D(H) ≡ D(FG), (7.7)

siendo D(H) el conjunto de todos los elementos de D(G) transformados bajo G en ele-mentos de D(F ).

Para F ∈ O(V), pondremos: F 2 ≡ FF ∈ O(V), con D(F 2) = D(FF ) ⊂ D(F ). Engeneral, definiremos a F n ∈ O(V); con n ∈ Z+; recursivamente, ası: F n = FF n−1, n ≥ 2;F 1 ≡ F . N

H siempre se encuentra definida, y tambien puede ocurrir que D(H) = 0.Observemos que si R(G) ⊂ D(F ), p. ej. si D(F ) = V2, entonces: D(H) = D(G).

Definicion 7.8. Si F ∈ O(V1,V2), considerada como funcion F : D(F ) → R(F ) esinyectiva (y por lo tanto automaticamente biyectiva), entonces existe la funcion inversade F (u operador inverso de F , o la inversa de F ) que denotaremos por F−1; para lacual D(F−1) = R(F ), R(F−1) = D(F ), y:

F−1 (F (ψ)) = ψ, ∀ψ ∈ D(F ); F(F−1(φ)

)= φ, ∀φ ∈ D(F−1) = R(F ). (7.8)

Si F posee inversa decimos que F es invertible. N

Nos hemos apoyado en la Def. general, ya conocida, de inversa de una funcion. Note-mos que de la propia definicion de F−1, se concluye que:(

F−1)−1

= F. (7.9)

Teorema 7.9. Si F ∈ O(V1,V2) posee inversa F−1, entonces F−1 ∈ O(V2,V1).

Demostracion. Si φ1, φ2 ∈ R(F ), entonces existiran ψ1, ψ2 ∈ D(F ), tales que: φk =F (ψk), k = 1, 2. Tenemos que ∀λ1, λ2 ∈ C (o R), φ ≡ λ1φ1 + λ2φ2 ∈ R(F ) en virtud de7.3. Por la linealidad de F , tendremos que φ = F (λ1ψ1 + λ2ψ2), y por lo tanto:

F−1(φ) = F−1 (F (λ1ψ1 + λ2ψ2)) = λ1ψ1 + λ2ψ2

= λ1F−1(φ1) + λ2F

−1(φ2);

esto es, F−1 es lineal.

Teorema 7.10. F ∈ O(V1,V2) posee inversa sii F (ψ) = 0 (con ψ ∈ D(F )) implicaque ψ = 0.

Demostracion. Supongamos que F−1 existe. Entonces, si F (ψ) = 0, tendremos ψ =F−1 (F (ψ)) = F−1(0) = 0; ver (7.8) y 7.9.

Supongamos que F (ψ) = 0 ⇒ ψ = 0. Tomemos ψ1, ψ2 ∈ D(F ), con ψ1 = ψ2.Tendremos que ψ = ψ1−ψ2 = 0, y en consecuencia: F (ψ) = F (ψ1−ψ2) = F (ψ1)−F (ψ2) =0; esto es, F es inyectiva, y por lo tanto F−1 existe.

Este teorema nos proporciona un criterio muy util para saber si una funcion linealtiene inversa.

Tendremos entonces que F ∈ O(V1,V2) no posee inversa sii existe un φ ∈ D(F ) conφ = 0, tal que F (φ) = 0.


Teorema 7.11. Sea F ∈ O(V1,V2). Si existe un operador G ∈ O(V2,V1), con D(G) =R(F ), que satisface a:

G (F (ψ)) = ψ, ∀ψ ∈ D(F ); F (G(φ)) = φ, ∀φ ∈ D(G) = R(F ), (7.10)

entonces G es unico y es la inversa de F (esto es, G = F−1).

Demostracion. Tenemos que R(G) = G [D(G)] = G [R(F )], y de la primera expre-sion de la Rel. (7.10) vemos que G [R(F )] = D(F ); por lo tanto R(G) = D(F ).

Veamos que tanto G como F son inyectivas. Sea ψ1, ψ2 ∈ D(F ), tal que, ψ1−ψ2 = 0;de la Rel. (7.10) tendremos que G (F (ψ1 − ψ2)) = G (F (ψ1)− F (ψ2)) = ψ1 − ψ2 = 0, ycomo G es lineal, F (ψ1) = F (ψ2). De igual manera, sea φ1, φ2 ∈ D(G), tal que, φ1−φ2 = 0;de la Rel. (7.10) tendremos que F (G(φ1 − φ2)) = F (G(φ1)−G(φ2)) = φ1 − φ2 = 0, ycomo F es lineal, G(φ1) = G(φ2).

Consideremos la unicidad. Sea H otro operador que satisface las mismas propieda-des de G. Para φ ∈ R(F ), sea H(φ) ≡ ψ′, G(φ) ≡ ψ; ψ, ψ′ ∈ D(F ). Se tiene que:F ((H −G)(φ)) = F (H(φ)−G(φ)) = F (ψ′−ψ) = F (ψ′)−F (ψ) = F (H(φ))−F (G(φ)) =φ − φ = 0; y por lo tanto F−1 (F (ψ′ − ψ)) = ψ′ − ψ = 0. Entonces H(φ) = G(φ), ∀φ ∈R(F ); esto es, H = G.

Entonces, la Rel. (7.10) sirve para definir, de manera equivalente, al operador inverso.

Definicion 7.12. El operador cero: 0 ∈ O(V1,V2), se define como:

0(ψ) = 0 (∈ V2); ∀ψ ∈ V1. (7.11)

El operador identidad: IV ≡ I ∈ O(V), se define como:

IV(ψ) ≡ I(ψ) = ψ; ∀ψ ∈ V. (7.12)

NEstos dos operadores son obviamente lineales; con R(0) = 0 ⊂ V2 y R(IV) = V.Notemos que con el operador identidad podemos expresar (al usar el teorema 7.11)

con mucha comodidad la existencia de la inversa de F ∈ O(V1,V2). Esto es; F poseeinversa, sii: existe G ≡ F−1 ∈ O(V2,V1), con D(G) = R(F ); tal que:

GF = IV1 en D(F ) , FG = IV2 en R(F ) (= D(G)). (7.13)

Se han usado los hechos que: D(GF ) = D(F ), y puesto que GF = IV1 : D(FG) = R(F ).Observemos que:

0 + F = F + 0 = F en D(F ), ∀F ∈ O(V1,V2) (0 ∈ O(V1,V2)); (7.14)

FIV = IVF = F y 0F = 0 en D(F ), F0 = 0 en V; ∀F ∈ O(V) (0 ∈ O(V)). (7.15)

Un operador lineal F ∈ O(V1,V2) tambien podra ser designado por: F . Esta notacion

alternativa puede evitar ambiguedades; p. ej.: 0I = 0, 0I = 0, 00 = 0 o 00 = 0 con 0 ∈ C,I ∈ O(V) y 0 ∈ O(V); o bien: 0(ψ) = 0 con 0 ∈ O(V1,V2), ψ ∈ V1 y 0 ∈ V2.

Teorema 7.13. De manera natural, el conjunto de todos los elementos de O(V1,V2)con V1 por dominio, es un espacio vectorial; real o complejo si V1 es real o complejo,respectivamente.

Demostracion. Es obvia de las definiciones 7.5, 7.6 y 7.12; y de la Rel. (7.14).


Teorema 7.14. Sean G ∈ O(V1,V2) y F ∈ O(V2,V3) invertibles. Entonces: FG ∈O(V1,V3) es invertible, y:

(FG)−1 = G−1F−1. (7.16)

Demostracion. (FG) es inyectiva, y por lo tanto invertible ((FG)−1 ∈ O(V3,V2)).Tendremos:

(FG)(FG)−1 = IV3 en D(FG(FG)−1). (7.17)

Al aplicar G−1F−1 a la relacion (7.17), obtenemos:

G−1F−1(FG)(FG)−1 = (FG)−1 = G−1F−1, (7.18)

ya que F−1F = IV2 en D(F−1F ), G−1G = IV1 en D(G−1G). Notemos el cambio de orden de los factores en la Rel. (7.16).

Definicion 7.15. F ∈ O(F1,F2) sera acotado si existe una constante real no nega-tiva: MF ∈ R+ ∪ 0, tal que:

∥F (ψ)∥2 ≤MF ∥ψ∥1 ; ∀ψ ∈ D(F ). (7.19)

El conjunto de todos los operadores lineales y acotados de O(F1,F2) con F1 por dominiose simboliza con L(F1,F2); pondremos en particular: L(F) ≡ L(F,F). N

Observemos que dado un F ∈ O(F1,F2) arbitrario; acotado o no; para cualquier

ψ ∈ D(F ) siempre se tiene: ∥F (ψ)∥2 = M(ψ)F ∥ψ∥1, con un unico numero real no negativo

(el cual depende de ψ): M(ψ)F si ψ = 0 y con M

(0)F = 0 si ψ = 0. En efecto, como ψ ∈ F1

y F (ψ) ∈ F2, ∀ψ ∈ D(F ); ello se desprende del hecho que tanto ∥ψ∥1 como ∥F (ψ)∥2existen (∥ψ∥1 < ∞ y ∥F (ψ)∥2 < ∞). Tendremos entonces que F sera acotado sii existe

una constante (independiente de ψ): MF ∈ R+ ∪ 0, tal que: M (ψ)F ≤MF , ∀ψ ∈ D(F ).

Teorema 7.16. L(F1,F2) es un espacio normado, con la norma ∥·∥, definida por:

∥F∥ = supψ∈F1,ψ =0

∥F (ψ)∥2∥ψ∥1

= supφ∈F1,∥φ∥1=1

∥F (φ)∥2 ; ∀F ∈ L(F1,F2). (7.20)

Demostracion. La ultima igualdad en (7.20) es obvia. El conjunto de todos loselementos de O(F1,F2) con F1 por dominio, es un espacio vectorial; ver teorema 7.13.

∀λ ∈ C (o R), ∀F,G ∈ L(F1,F2), tendremos que D(λF ) = F1; D(F + G) = F1.Ademas:

∥(λF )(ψ)∥2 = |λ| ∥F (ψ)∥2 ≤ (|λ|MF ) ∥ψ∥1 , (7.21)

∥(F +G)(ψ)∥2 = ∥F (ψ) +G(ψ)∥2 ≤ ∥F (ψ)∥2 + ∥G(ψ)∥2 ≤ (MF +MG) ∥ψ∥1 . (7.22)

Esto es, L(F1,F2) es un espacio vectorial.

Para ψ = 0, tenemos que ∥F (ψ)∥2 ≤MF ∥ψ∥1, y por lo tanto∥F (ψ)∥2∥ψ∥1

≤MF . De esta

ultima expresion observamos que el “sup ”, especificado en la Rel. (7.20) existe y es unnumero real no negativo. Ademas, tambien de la Rel. (7.20) es claro que ∥F∥ = 0 sii F = 0(ver 1.P.19). Finalmente, al dividir la Rel. (7.21) y la Rel. (7.22) por ∥ψ∥1, para ψ = 0;tomar el “sup ” a cada relacion; y usar la Rel. (7.20), obtenemos que:

∥λF∥ = |λ| ∥F∥ , (7.23)

∥F +G∥ ≤ ∥F∥+ ∥G∥ . (7.24)


Esto es, L(F1,F2) es un espacio normado. Notemos que de la propia definicion de ∥F∥ (ver Rel. (7.20)), resulta que para cual-

quier F ∈ L(F1,F2):∥F (ψ)∥2 ≤ ∥F∥ ∥ψ∥1 ; ∀ψ ∈ F1. (7.25)

Teorema 7.17. Sea G ∈ L(F1,F2) y F ∈ L(F2,F3). Entonces: FG ∈ L(F1,F3), y:

∥FG∥ ≤ ∥F∥ ∥G∥ . (7.26)

Demostracion. De 7.7: D(FG) = F1. Para ψ = 0 ∈ F1 tenemos, ver Rel. (7.25):

∥F (G(ψ))∥3∥ψ∥1

≤ ∥F∥ ∥G(ψ)∥2∥ψ∥1

≤ ∥F∥ ∥G∥ ∥ψ∥1∥ψ∥1

= ∥F∥ ∥G∥ . (7.27)

Al tomar el “sup ” en la Rel. (7.27) y usar la Rel. (7.20), obtenemos la Rel. (7.26). Es importante percatarse que en general; para G ∈ L(F1,F2) y F ∈ L(F2,F1):

∥FG∥ = ∥GF∥. Por ejemplo, para las matrices A y B definidas en 1.P.28, se obtiene:∥AB∥ = ∥0∥ = 0 y ∥BA∥ = ∥A∥ = 0 ya que A = 0 (se puede verificar que: ∥A∥ = 1).Tambien es importante notar que al usar ∥FG∥ y ∥GF∥ estamos abusando del lenguaje(como es usual en la literatura), al utilizar el mismo simbolo para la norma; y que dichoabuso tambien se comete en las Rels. (7.26) y (7.27).

Definicion 7.18. Un espacio vectorial V = 0, dotado de un producto interno:CD ∈ V, ∀C,D ∈ V; tal que: i. (CD)E = C(DE). ii. C(D + E) = CD + CE. iii.(C +D)E = CE +DE. iv. (λC)(γD) = (λγ)(CD); donde C,D,E ∈ V y λ, γ complejos oreales segun la naturaleza de V, se llama un algebra (asociativa). Un algebra (asociativa)puede poseer o no una identidad I ∈ V para el producto: CI = IC = C, ∀C ∈ V.

R se llama un algebra normada (asociativa), si: (a) R es un algebra (asociativa).(b) R es un espacio normado, de norma ∥·∥. (c) La norma satisface la Rel. (7.26). N

El teorema 7.13, la definicion 7.7 y la Rel. (7.15); nos indican que el conjunto detodos los elementos de O(V) con V por dominio, es un algebra (asociativa) con identidadI ∈ O(V).

Los teoremas 7.16, 7.17 y el problema 1.P.19; nos indican que L(F) es un algebranormada (asociativa), con identidad I ∈ L(F); de norma: ∥I∥ = 1.

Sea J(V) el conjunto de todos los elementos de O(V) con V por dominio. Para los coefi-cientes arbitrarios: a0, · · · , an ∈ C (o R, si V es real), n ∈ N, con an = 0 si n ≥ 1; se puededefinir (ver Def. 7.7 y teorema 7.13) ∀X ∈ J(V) el polinomio de grado n de variable X:Pn(X) ∈ J(V), ası:

Pn(X) =n∑k=0

akXk = a0I + a1X + · · ·+ anX

n, ∀X ∈ J(V) (X0 ≡ I). (7.28)

Si V es un espacio normado F, tendremos que: Pn(X) ∈ L(F), ∀X ∈ L(F).

Teorema 7.19. Toda F ∈ O(F1,F2) que es acotada, es contınua en D(F ).

Demostracion. Sea ψn ⊂ D(F ) una sucesion que converge a un elemento ψ ∈D(F ). Entonces, F es contınua en D(F ) (ver 2.7), ya que:

∥F (ψn)− F (ψ)∥2 = ∥F (ψn − ψ)∥2 ≤MF ∥ψn − ψ∥1 −−−→n→∞0.


Resulta ser que toda F ∈ O(F1,F2) que es contınua en D(F ) es acotada, pero noprobaremos este hecho.

En particular, este teorema nos indica que para todo ψ =∑∞

k=1 λkχk ∈ F1, se tiene:

F (ψ) = F (∞∑k=1

λkχk) =∞∑k=1

λkF (χk), ∀F ∈ L(F1,F2); (7.29)

esto es, podemos sacar el sımbolo de suma de la F . En efecto, si : ψn ≡∑n

k=1 λkχk ∈ F1, es-tamos diciendo que ψn converge (fuertemente) a ψ; es decir,∥ψn − ψ∥1 −−−→n→∞

0. Entonces: φn ≡ F (ψn) =∑n

k=1 λkF (χk) ∈ F2 converge (fuertemente)

a φ ≡ F (ψ); esto es, ∥φn − φ∥2 = ∥∑n

k=1 λkF (χk)− F (ψ)∥2 −−−→n→∞0, lo que se encuentra

simbolizado en la Rel. (7.29).

8. Funcionales Lineales en Espacios de Hilbert

Definicion 8.1. El conjunto H∗ ≡ L(H,C) formado por todos los funcionales linea-les, acotados de dominio H (ver 7.1 y 7.15) se llama el dual (topologico) de H. N

Sabemos que H∗ es un espacio normado (ver 7.16) de norma ∥·∥, dada por:

∥f∥ = supψ∈H,ψ =0

|f(ψ)|∥ψ∥

, ∀f ∈ H∗. (8.1)

Notemos que (abusando del lenguaje) hemos empleado el mismo sımbolo ∥·∥ para lanorma de los vectores de H y de H∗. Esto lo hacemos (siguiendo la costumbre establecidaen la literatura) ya que no se presta a confusiones.

Si H es real, su dual sera: L(H,R).

Teorema 8.2. A todo vector φ ∈ H (fijo) le corresponde un funcional lineal y acotadofφ ∈ H∗ (φ→ fφ) dado por:

fφ(ψ) = ⟨φ|ψ⟩ , ∀ψ ∈ H. (8.2)

Se tiene que:

∥fφ∥ = ∥φ∥ , (8.3)

y

f(λ1φ1+λ2φ2) = λ1fφ1 + λ2fφ2 ; ∀φ1, φ2 ∈ H, ∀λ1, λ2 ∈ C. (8.4)

Demostracion. De que fφ es lineal y que D(fφ) = H, es claro de la Rel. (8.2). Esacotado, ya que |fφ(ψ)| = |⟨φ|ψ⟩| ≤ ∥φ∥ ∥ψ∥ (ver 1.6).

La Rel. (8.3) se obtiene al notarse que para ψ = 0, |fφ(ψ)|∥ψ∥ ≤ ∥φ∥, y de la Rel. (8.2)

tenemos que |fφ(φ)|∥φ∥ = ∥φ∥ si φ = 0. Por lo tanto, forzosamente, supψ∈H,ψ =0

|fφ(ψ)|∥ψ∥ = ∥φ∥.

La Rel. (8.4) es clara de la Rel. (8.2) y de las propiedades del producto escalar.

La Rel. (8.4) nos indica que la correspondencia φ→ fφ es antilineal.El teorema siguiente (que no probaremos) nos dice mucho mas. Nos indica que todos

los vectores de H∗ pueden ser expresados por una relacion del tipo (8.2).

9. OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS DE PRE-HILBERT Y DE HILBERT 27

Teorema 8.3 (Riesz). A todo vector f ∈ H∗ le corresponde un unico vector φf ∈ H

(f → φf), tal que:

f(ψ) = ⟨φf |ψ⟩ , ∀ψ ∈ H. (8.5)

Ademas:

∥f∥ = ∥φf∥ . (8.6)

N

Hemos establecido pues que la correspondencia fφ ↔ φf es biyectiva, antilineal y quepreserva la norma.

En particular: L(C) = C∗ se identifica con C. Es decir, para cada f ∈ L(C) tendremosque existe un unico elemento z ∈ C tal que: f(z′) = ⟨z| z′⟩ = zz′, ∀z′ ∈ C, y a cada z ∈ Cse le asocia un f ∈ L(C) de ese tipo (∥f∥ = |z|).

Los teoremas 8.2 y 8.3, resultan ser ciertos siH es real. En ese caso, la correspondenciaes lineal. En particular, tendremos que L(R) se identifica con R.

Comentario 8.4. En mecanica cuantica, es imprescindible tomar en cuenta el teo-rema 8.3, para entender la notacion de Dirac tal como esta expuesta en los libros decuantica. Tambien es posible, usando el teorema 8.3, hacer que esta notacion y sus con-secuencias sean rigurosas matematicamente (cosa que no esta hecha en los libros usualesdel fısico; ver p. ej., [6, 11]).

Esta famosa notacion consiste en lo siguiente: un vector de H lo denotamos por |ψ⟩;en vez de ψ como nosotros; y lo llamamos un ket. Un vector de H∗ lo denotamos por ⟨φ|;en vez de f como nosotros; y lo llamamos un bra. Ahora bien, el valor del funcional ⟨φ|para el vector |ψ⟩; esto es, ⟨φ| (|ψ⟩); lo denotamos por ⟨φ|ψ⟩, sımbolo que correspondecon el del producto escalar de ψ ∈ H y φ ∈ H (con el ket |ψ⟩ y el bra ⟨φ| hemos formadoel bracket ⟨φ|ψ⟩; esto es, el “parentesis”). Vemos pues que, automaticamente, al escribirel bra ⟨φ| de H∗ ya hemos hecho la identificacion con el vector φ ∈ H, lo que nos permiteusar el producto escalar ⟨φ|ψ⟩ para hallar el valor de ese funcional para cualquier vectorψ ∈ H (tambien vemos el porque la notacion ⟨·| ·⟩ para el producto escalar resulta util).

Esta notacion tiene implicaciones que la convierten en un instrumento agil desde elpunto de vista de las manipulaciones algebraicas.

El uso de esta notacion nos hace ver el porque los fısicos definen al producto escalarlineal en su segunda variable; en vez de en la primera, como suelen hacerlo los matematicos.

9. Operadores Lineales en Espacios de Pre-Hilbert y de Hilbert

Comentario 9.1. Siguiendo una costumbre establecida llamaremos operador lineala cualquier elemento de O(G1,G2) o de O(H1,H2), y nunca usaremos la denominacionde funcion lineal para estos. Ademas, como solo consideraremos operadores lineales, alreferirnos a un operador (a secas) siempre supondremos que este es lineal (esto es, quepertenece a O(G1,G2) o bien a O(H1,H2)).

La notacion: Aψ ≡ A(ψ) para A ∈ O(V1,V2) y ∀ψ ∈ D(A) o bien: Aψ ≡ A(ψ); serausada sistematicamente ∀A ∈ O(G1,G2) y ∀A ∈ O(H1,H2).

Teorema 9.2. Sean G1 y G2 dos espacios de pre-Hilbert de productos escalares ⟨·| ·⟩1y ⟨·| ·⟩2 respectivamente, con dimG1 = N < ∞. Entonces, todo elemento de O(G1,G2) esacotado.


Demostracion. Sea φ1, · · · , φN ⊂ G1 una base ortonormal y A ∈ O(G1,G2). Tene-

mos, ∀ψ ∈ D(A) que ψ =∑N

k=1 ⟨φk|ψ⟩1 φk ∈ D(A) ⊂ G1. Entonces, al usar la desigualdadde Cauchy-Schwartz; obtenemos ∀ψ ∈ D(A):

∥Aψ∥22 = ⟨Aψ|Aψ⟩2 = |⟨Aψ|Aψ⟩2| ≤N∑

i,k=1

|⟨φk|ψ⟩1| |⟨φi|ψ⟩1| |⟨Aφi|Aφk⟩2|

≤

(N∑

i,k=1

|⟨Aφi|Aφk⟩2|

)∥ψ∥21 ≡M2

A ∥ψ∥21 .

Entonces, para un espacio de pre-Hilbert G1 con dimG1 < ∞, tendremos que elconjunto de todos los elementos de O(G1,G2) con dominio igual a G1 es igual al conjuntoL(G1,G2).

En particular, el conjunto de las matrices complejas N ×N se identifica precisamentecon el conjunto L(CN); ver 1.P.50.

Comentario 9.3. Queremos puntualizar que un elemento de L(G1,G2) que sea in-vertible, su inversa (perteneciente a O(G2,G1)) no pertenece necesariamente a L(G2,G1).

Demos a continuacion un ejemplo. Sea V ∈ O(l2); l2 ≡ l2(Z+) y con D(V ) = l2,definido por:

V (x1, x2, x3, · · · ) = (0, x1,x22,x33, · · · ); ∀(x1, x2, x3, · · · ) ∈ l2. (9.1)

Tenemos que V ∈ L(l2), pues V es acotado. En efecto:

∥V (x1, x2, x3, · · · )∥2 =∑n

|xn|2

n2≤∑n

|xn|2 = ∥(x1, x2, x3, · · · )∥2 ; ∀(x1, x2, x3, · · · ) ∈ l2.

(9.2)De hecho, se tiene: ∥V ∥ = 1; lo que resulta obvio de la Rel. (9.2) y de: V (x1, 0, 0, 0, · · · ) =(0, x1, 0, 0, 0, · · · ), pues: ∥V (x1, 0, 0, 0, · · · )∥ = ∥(0, x1, 0, 0, 0, · · · )∥ = ∥(x1, 0, 0, 0, · · · )∥.

Pero, V −1 ∈ O(l2) no pertenece a L(l2), por cualquiera de las dos razones siguientes.

(a) D(V −1) = R(V ) = y ∈ l2|y = (0, x1,x22, x3

3, · · · ), con

∑n |xn|

2 < ∞. Esto es,D(V −1) l2 ya que y ∈ D(V −1) tiene su primera componente igual a cero; notemosque D(V −1) ni siquiera es denso en l2.

(b) V −1 no es acotado. En efecto, ∀k ≥ 2, sea ek ∈ D(V −1), con ek definido en (5.15).Tendremos: ∥∥V −1ek

∥∥ = ∥(k − 1)ek−1∥ = k − 1 = (k − 1) ∥ek∥ ; (9.3)

esto es,∥V −1ek∥

∥ek∥= (k − 1), y como k puede ser arbitrariamente grande, tenemos que

V −1 no es acotado. NSolo a tıtulo informativo, senalemos que.

i. Si H es de dimension finita, para todo A ∈ L(H) invertible, tendremos que A−1 ∈L(H). Resulta del teorema 9.2 y del hecho que necesariamente: D(A−1) = H (ver [76,Theorem 1.3-E], p.ej.). Este sera el caso para las matrices invertibles.

9. OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS DE PRE-HILBERT Y DE HILBERT 29

ii. Para el caso finito dimensional (dimH1 = dimH2 < ∞) la existencia de la inversade A ∈ L(H1,H2) viene asegurada por la existencia de un operador B ≡ A−1 ∈L(H2,H1) tal que: BA = IH1 (o bien, tal que: AB = IH2). En efecto, en ese casoBA = IH1 implica AB = IH2 (o bien, AB = IH2 implica BA = IH1); ver p. ej. §36de [62] o pag. 20 de [73]. Esta caracterizacion resulta insuficiente en el caso infinitodimensional, como lo muestra el operador V ∈ L(l2) para el cual V −1V = Il2 en l2

pero V −1 /∈ L(l2) o el operador S ∈ L(l2) del problema 1.P.30 (ver Rel. (7.13)).

Teorema 9.4. Sean A,B ∈ O(H1,H2), con D(A) = D(B) ≡ D1 ⊂ H1. Sea D2 ⊂ H2

cualquier subespacio vectorial denso en H2. Entonces, si:

⟨Aψ|φ⟩2 = ⟨Bψ|φ⟩2 ; ∀ψ ∈ D1, ∀φ ∈ D2, (9.4)

tendremos que A = B.

Demostracion. De la Rel. (9.4), tenemos que (∀ψ ∈ D1): ⟨(A−B)ψ|φ⟩2 = 0,∀φ ∈ D2, y por lo tanto (A−B)ψ = Aψ−Bψ = 0 (ver 3.7); esto es, Aψ = Bψ, ∀ψ ∈ D1,y por lo tanto A = B (ver 7.2).

Teorema 9.5. Sean A,B ∈ L(H1,H2), y φk ⊂ H1, una base ortonormal cualquie-ra. Entonces, si Aφk = Bφk, ∀k, tendremos que A = B.

Demostracion. Sea ψ ∈ H1 arbitrario, entonces ψ =∑

k ⟨φk|ψ⟩1 φk. Tendremos,por la linealidad de A y B, que A (

∑nk=1 ⟨φk|ψ⟩1 φk) = B (

∑nk=1 ⟨φk|ψ⟩1 φk). Haciendo

ahora el lımite (fuerte) n → ∞, tendremos que Aψ = Bψ, ya que A y B son contınuos(ver 7.19), y por lo tanto A = B (ver 7.2).

Definicion 9.6. Sea A ∈ O(H) y φn cualquier base ortonormal de H tal queφn ⊂ D(A). Diremos que el conjunto de numeros reales o complejos (segun la naturalezade H): ⟨φi |Aφj⟩ es una representacion de A en la base φn.

Si ocurre que: ⟨φi |Aφj⟩ = ⟨φi |Aφi⟩ δij, diremos que el operador A es diagonalen la base ortonormal φn. N

Notemos que la representacion de un operador A ∈ O(H) puede no existir en ningunabase ortonormal, aunque sı existe para toda base ortonormal si A ∈ L(H).

Si H es separable y dimH = ∞, el conjunto ⟨φi |Aφj⟩ es susceptible de ser es-crito como una “matriz infinita”; pero no nos ocuparemos de establecer este conceptorigurosamente (ver [67] o [79], p. ej.). Ver 1.P.50 para el caso en que H = CN .

Definicion 9.7. Para A,B ∈ O(H), definiremos el conmutador de A con B; parael cual usamos el sımbolo [·, ·]; como el operador C ∈ O(H) dado por:

C = [A,B] = AB −BA; D(C) = D([A,B]) = D(AB) ∩D(BA). (9.5)

NEl operador [A,B] siempre se encuentra definido, aunque puede ser poco interesante;

pues se puede tener: D([A,B]) = 0. Si A,B ∈ L(H), tendremos que D([A,B]) = H yque [A,B] ∈ L(H).

Digamos como informacion que en la literatura fısica es usual decir que A y B “con-mutan” si [A,B]φ = 0, ∀φ ∈ D([A,B]). Pero esta definicion de conmutacion no resultaadecuada desde el punto de vista matematico; ver [17, VIII.5], p ej. Sin embargo, siA,B ∈ L(H), es correcto decir que A y B conmutan si: [A,B] = 0.


Una de las caracterısticas mas importantes de los operadores de H, es que estos noconmutan en general (si dimH > 1). Un ejemplo claro de este hecho lo constituyen lasmatrices complejas N × N , las cuales se identifican con los operadores en el espacio deHilbert CN ; y que se suelen considerar, por abuso de lenguaje, como elementos de L(CN).Ver los comentarios en 1.P.50 para una discusion sobre esa identificacion.

10. Adjunto de un Operador

Teorema 10.1. Sea A ∈ O(H1,H2), densamente definido; siendo H1 y H2 complejos(o reales).

Definamos a: D(A†) (⊂ H2), como el conjunto de todos los φ ∈ H2 para los cualesexiste un χφ ∈ H1 tal que:

⟨φ|Aψ⟩2 = ⟨χφ|ψ⟩1 , ∀ψ ∈ D(A). (10.1)

Entonces, existe un unico operador lineal de dominio D(A†), que denotaremos por A†

(o por A†), para el cual:A†φ = χφ , ∀φ ∈ D(A†). (10.2)

El operador A† (A† : D(A†) → H1, A† ∈ O(H2,H1)) es llamado el adjunto de A.

Demostracion. D(A†) no es vacıo ya que φ = 0 satisface la igualdad (10.1) paraχ0 = 0. Ademas, de la Rel. (10.1) es claro que D(A†) es un subespacio vectorial de H2.

Ahora bien, para un φ ∈ D(A†) dado χφ es unico, pues si χ′φ ∈ H1 tambien satisface

la Rel. (10.1) se tiene que:⟨χ′φ − χφ

∣∣ψ⟩1= 0, ∀ψ ∈ D(A) ⇒ χ′

φ − χφ = 0, ya que D(A)

es denso (ver 3.7). Esto es, a cada φ ∈ D(A†) le asociamos un χφ ∈ H1 unico, denotandoesta funcion por A†; es decir, A† : D(A†) → H1 con A†(φ) = χφ, ver Rel. (10.2).

Veamos que la funcion A† es un operador lineal. Para φ1, φ2 ∈ D(A†) arbitrarios,tendremos:

⟨φk|Aψ⟩2 =⟨A†(φk)

∣∣ψ⟩1; ∀ψ ∈ D(A), k = 1, 2. (10.3)

Multiplicando la Rel. (10.3) por λk ∈ C (o por λk ∈ R si los espacios de Hilbert son reales)y sumando, obtenemos:

⟨λ1φ1 + λ2φ2|Aψ⟩2 =⟨A†(λ1φ1 + λ2φ2)

∣∣ψ⟩1=⟨λ1A

†(φ1) + λ2A†(φ2)

∣∣ψ⟩1,∀ψ ∈ D(A);

(10.4)donde se esta usando la definicion de la funcion A† y el hecho que (λ1φ1+λ2φ2) ∈ D(A†).De la Rel. (10.4) obtenemos:⟨

A†(λ1φ1 + λ2φ2)− [λ1A†(φ1) + λ2A

†(φ2)]∣∣ψ⟩

1= 0, ∀ψ ∈ D(A); (10.5)

lo que implica, por 3.7, que:

A†(λ1φ1 + λ2φ2) = λ1A†(φ1) + λ2A

†(φ2), ∀λ1, λ2 ∈ C (o R); ∀φ1, φ2 ∈ D(A†); (10.6)

esto es, A† es un operador lineal.Finalmente, A† es unico, ya que si existiese otro operador B con D(B) = D(A†)

satisfaciendo a la Rel. (10.3) se tendrıa que A† = B, en virtud de 9.4. Notemos que la nocion de adjunto de A solo es posible si D(A) es denso; esto es, A†

existe sii D(A) es denso. Sin embargo, D(A†) no es necesariamente denso (aunque nuncaes vacıo). Incluso puede ocurrir que D(A†) = 0 (en cuyo caso D(A†) no es denso); o, siH1 = H2, que D(A) D(A†) (en cuyo caso D(A†) es denso, ya que D(A) lo es).

10. ADJUNTO DE UN OPERADOR 31

En virtud de la definicion de adjunto de un operador densamente definido A ∈O(H1,H2), se tiene que:

⟨φ|Aψ⟩2 =⟨A†φ

∣∣ψ⟩1; ∀ψ ∈ D(A),∀φ ∈ D(A†). (10.7)

El adjunto de A se denota tambien muy comunmente por A∗.En particular, todo operador A ∈ L(H1,H2) posee adjunto (ya que D(A) = H1). Es

mas, podemos probar el siguiente teorema.

Teorema 10.2. Si A ∈ L(H1,H2), entonces A† ∈ L(H2,H1).

Demostracion. Para φ ∈ H2, arbitrario pero fijo, definamos al funcional lineal fφası: fφ(ψ) = ⟨φ|Aψ⟩2, ∀ψ ∈ H1. fφ es acotado ya que:

|fφ(ψ)| = |⟨φ|Aψ⟩2| ≤ ∥φ∥2 ∥Aψ∥2 ≤ (∥φ∥2 ∥A∥) ∥ψ∥1 , (10.8)

en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwartz y de (7.25). Por el teorema de Riesz (ver8.3) existe un χφ ∈ H1 unico que satisface:

fφ(ψ) = ⟨χφ|ψ⟩1 = ⟨φ|Aψ⟩2 , ∀ψ ∈ H1. (10.9)

La relacion (10.9) nos indica que a cada φ ∈ H2 le hemos asociado un χφ ∈ H1

(unico); pero esta funcion es precisamente A† (esto es, A†φ = χφ), como podemos verde la propia Rel. (10.9) y del teorema 10.1. Vemos pues que en este caso D(A†) = H2.Probemos que A† es acotado. Tendremos:∣∣⟨A†φ

∣∣ψ⟩1

∣∣ = |⟨φ|Aψ⟩2| ≤ ∥φ∥2 ∥Aψ∥2 ≤ ∥φ∥2 ∥A∥ ∥ψ∥1 , ∀ψ ∈ H1. (10.10)

Si tomamos ψ = A†φ en la Rel. (10.10), obtenemos la expresion:∥∥A†φ∥∥21=⟨A†φ

∣∣A†φ⟩1≤ ∥φ∥2 ∥A∥

∥∥A†φ∥∥1;

la cual, al simplificarse da:∥∥A†φ

∥∥1≤ ∥A∥ ∥φ∥2, ∀φ ∈ H2. Por lo tanto, A† es acotado;

A† ∈ L(H2,H1). Tambien hemos obtenido en la demostracion (ver 1.P.20), que:∥∥A†∥∥ ≤ ∥A∥ . (10.11)

Notemos que en la Rel. (10.11) hemos abusado del lenguaje (como es usual en laliteratura) al usar el mismo sımbolo para la norma de A ∈ L(H1,H2) y de A† ∈ L(H2,H1).Para operadores de L(H), tambien se abusa del lenguaje al usar el mismo sımbolo parala norma de ψ ∈ H y de A ∈ L(H) o A† ∈ L(H). Seguiremos usando esta practica ya quealivia la notacion (ver p. ej.: Rel. (10.16)) y no se presta a confusiones.

Teorema 10.3. i. Sean A,B ∈ L(H1,H2), y λ ∈ C. Entonces:

(λA)† = λA†, (10.12)

(A+B)† = A† +B†, (10.13)(A†)† = A, (10.14)∥∥A†A∥∥ = ∥A∥2 , (10.15)∥∥A†∥∥ = ∥A∥ . (10.16)


ii. Sea A ∈ L(H2,H3) y B ∈ L(H1,H2). Entonces:

(AB)† = B†A†. (10.17)

Demostracion. Como los operadores λA,A+B,A† y AB son acotados, y de dominiotodo el espacio de Hilbert en el cual se encuentran definidos, (ver teoremas 7.16, 7.17, y10.2), tendremos que el adjunto de ellos existira, sera acotado y de dominio todo el espaciode Hilbert en el cual se encuentra definido.

i. ∀φ ∈ H2, ∀ψ ∈ H1, tendremos,

(a)⟨(λA)†φ

∣∣∣ψ⟩1= ⟨φ|λAψ⟩2 = λ ⟨φ|Aψ⟩2 = λ

⟨A†φ

∣∣ψ⟩1=⟨λA†φ

∣∣ψ⟩1; es decir,

vale (10.12) en virtud del teorema 9.4

(b)⟨(A+B)†φ

∣∣∣ψ⟩1

= ⟨φ |(A+B)ψ⟩2 = ⟨φ|Aψ⟩2 + ⟨φ|Bψ⟩2 =⟨A†φ

∣∣ψ⟩1

+⟨B†φ

∣∣ψ⟩1=⟨(A† +B†)φ

∣∣ψ⟩1; esto es, vale (10.13) en virtud del teorema 9.4.

(c)⟨(A†)†ψ∣∣∣φ⟩

2= ⟨ψ|A†φ

⟩1= ⟨A†φ|ψ⟩1 = ⟨φ|Aψ⟩2 = ⟨Aψ|φ⟩2; es decir, vale

(10.14) en virtud del teorema 9.4.(d) De la Rel. (7.20), tenemos:

∥A∥2 = supψ∈H1,ψ =0

∥Aψ∥22∥ψ∥21

= sup⟨Aψ|Aψ⟩2

∥ψ∥21

= sup

⟨A†Aψ

∣∣ψ⟩1

∥ψ∥12 ≤ sup

∥∥A†Aψ∥∥1∥ψ∥1

∥ψ∥21

= supψ∈H1,ψ =0

∥∥A†Aψ∥∥1

∥ψ∥1=∥∥A†A

∥∥ .Pero por otro lado, ver Rels. (7.26) y (10.11):

∥∥A†A∥∥ ≤

∥∥A†∥∥ ∥A∥ ≤ ∥A∥2 .

Hemos obtenido entonces la Rel. (10.15).(e) De las Rels. (10.15) y (7.26), tenemos: ∥A∥2 =

∥∥A†A∥∥ ≤

∥∥A†∥∥ ∥A∥; con lo que:

∥A∥ ≤∥∥A†∥∥ . (10.18)

Notemos que la Rel. (10.18) aplicada a A† (esto es: A → A†) arroja:∥∥A†

∥∥ ≤∥∥∥(A†)†∥∥∥, que con la Rel. (10.14) implica (de nuevo, ver Rel. (10.11)):

∥∥A†∥∥ ≤ ∥A∥.

ii. ∀φ ∈ H3 y ∀ψ ∈ H1, tendremos:⟨(AB)†φ

∣∣∣ψ⟩1= ⟨φ| (AB)ψ⟩3 = ⟨φ|A(Bψ)⟩3 =

⟨A†φ

∣∣Bψ⟩2

=⟨B† (A†φ

)∣∣ψ⟩1=⟨B†A†φ

∣∣ψ⟩1;

es decir, vale la Rel. (10.17) en virtud del teorema 9.4.

Es muy importante observar el cambio en el orden de los factores en la Rel. (10.17).Queremos hacer notar que las Rels. (10.13), (10.14) y (10.17) no son ciertas en general

para operadores no acotados (la (10.15) y (10.16), por supuesto, nunca es cierta para ellos,ya que no existe la norma) siendo las relaciones adecuadas mas delicadas de establecer(tomar en cuenta los dominios); y es por ello que nos hemos limitado a operadores acotados.

10. ADJUNTO DE UN OPERADOR 33

Notemos que la funcion: A 7→ A†, ∀A ∈ L(H), es una biyeccion de L(H) sobre L(H);

pues: (A†)†= A, ∀A ∈ L(H).

Comentario 10.4. Sea A un algebra (asociativa) compleja, con o sin identidad; verDef. 7.18. Una funcion: F 7→ F ∗ de A en A, se llama una involucion si las siguientescondiciones son satisfechas; ∀λ ∈ C y ∀F,G ∈ A: i. (λF )∗ = λF ∗. ii. (F +G)∗ = F ∗ +G∗.iii. (F ∗)∗ = F . iv. (FG)∗ = G∗F ∗. Un algebra (asociativa) compleja, con o sin identidad,dotada de una involucion se llama un algebra∗ (se lee: algebra estrella). Notemos que unainvolucion en A es una biyeccion de A sobre A; en virtud de la propiedad iii.

Un algebra∗ normada A (ver Def. 7.18), de norma ∥·∥; para la cual: ∥F ∗∥ = ∥F∥,∀F ∈ A, se denomina un algebra involutiva normada (con o sin identidad).

En 7.18 hemos visto que L(H) es un algebra (asociativa) con identidad. Las relaciones(10.12) - (10.14) y (10.17) nos indican que la operacion de tomar el adjunto en L(H), esprecisamente una involucion si H es complejo; esto es, L(H) es entonces un algebra∗.

Demos otro ejemplo de algebra∗. Sea K cualquier espacio de Hausdorff compacto (si ellector desconoce estos conceptos, puede pensar en el caso particular en que K es cualquiersubconjunto no vacıo cerrado y acotado de RN), y sea C(K) el conjunto de todas lasfunciones continuas en K a valores complejos, f : K → C. Entonces, C(K) es obviamenteun algebra (asociativa) compleja con identidad: ι (ι(x) = 1,∀x ∈ K); que ademas es unalgebra∗ si tomamos la operacion de conjugacion como involucion: f 7→ f, ∀f ∈ C(K).

En efecto: i′. (λf) = λ f . ii′. (f + g) = f + g. iii′.(f)= f . iv′. (fg) = f g = g f . Notese

que: ι = ι. La gran diferencia entre el algebra∗ C(K) y el algebra∗ L(H), es que C(K) esun algebra∗ conmutativa mientras que L(H) no lo es (si dimH ≥ 2).

Un algebra∗ normada A (con o sin identidad), que sea completa con respecto a la

norma (ver 2.13) y para la cual se cumple: ∥F ∗F∥ = ∥F∥2, ∀F ∈ A (de iii. y de la Rel.(7.26) satisfechas por toda algebra* normada, y de la parte (e) de la demostracion delteorema 10.3, vemos que esta propiedad implica: ∥F ∗∥ = ∥F∥, ∀F ∈ A; con lo que A esun algebra involutiva normada); se llama un algebra C∗ (se lee: algebra c estrella).

De 7.18 y 10.3 vemos que paraH complejo, L(H) es un algebra involutiva normada. Siaceptamos (sin demostrarlo) el hecho que L(H) es completa, entonces, con la Rel. (10.15)vemos que L(H) es un algebra C∗ (no conmutativa si dimH ≥ 2) con identidad: I.

Informemos que se puede definir una norma en C(K), ası: ∥f∥ = supx∈K |f(x)|.Resulta ser que C(K) es entonces un algebra C∗ (conmutativa) con identidad: ι (∥ι∥ = 1).

Las algebras C∗ han resultado utiles en la formulacion de sistemas fısicos (clasicos ocuanticos), especialmente si poseen un numero infinito de grados de libertad (teorıas decampos; mecanica estadıstica en el lımite termodinamico); ver, p. ej., [87].

Definicion 10.5. Sea A ∈ O(H), siendo H real o complejo.A sera Hermıtico, si:

⟨Aφ|ψ⟩ = ⟨φ|Aψ⟩ , ∀φ, ψ ∈ D(A). (10.19)

A sera simetrico si es Hermıtico y D(A) es denso en H.A sera autoadjunto si es simetrico y D(A†) = D(A). NEs claro que todo operador autoadjunto es simetrico, por lo tanto, toda definicion o

resultado establecido para operadores simetricos sera valida para operadores autoadjun-tos. Ası mismo, todo operador simetrico es Hermıtico, y por lo tanto toda definicion o


resultado establecida para operadores Hermıticos sera valida para operadores simetricos oautoadjuntos.

Un operador Hermıtico no es necesariamente simetrico ya que puede ocurrir que D(A)no sea denso en H. Ası mismo, para todo operador simetrico A (para el cual existe A† yaque D(A) es denso) tendremos que D(A) ⊂ D(A†), como puede observarse de las Rels.(10.19) y (10.2); de donde concluimos que D(A†) es denso. Un operador simetrico no esnecesariamente autoadjunto ya que puede ocurrir que D(A) D(A†).

De las Rels. (10.19) y (10.7) y del teorema 9.4 observamos que todo A ∈ O(H)densamente definido sera autoadjunto sii:

A† = A. (10.20)

Se puede probar (cosa que no haremos; ver teoremas 2.24 y 2.25 en [75], p. ej.) queun operador autoadjunto de O(H) sera acotado, sii su dominio es todo H. Por lo tanto,sera un elemento de L(H).

Si un operador simetrico A no es autoadjunto (esto es,D(A) D(A†)), es natural pre-guntarnos si podemos extender el operador A; esto es, definir un nuevo operador linealB con dominio mas grande que el de A (D(A) D(B)), tal que Bψ = Aψ, ∀ψ ∈ D(A) (By A coinciden en D(A); B es una extension de A); de manera tal que B sea autoadjunto.Este es un problema generalmente muy delicado desde el punto de vista matematico, ypuede ser que no exista tal extension, o tambien que existan muchas extensiones, inclusoinfinitas; quedandonos en este caso el problema de elegir la que resulta conveniente; desdeel punto de vista fısico, p. ej.

Como para A ∈ L(H) tenemos que D(A) = D(A†) = H, vemos que los tres conceptosde operadores Hermıticos, simetricos y autoadjuntos son equivalentes en L(H).

Teorema 10.6. i. Sean A,B ∈ L(H) autoadjuntos, y λ ∈ R. Entonces:

(λA)† = λA, (10.21)

(A+B)† = A+B, (10.22)

(AB)† = BA. (10.23)

ii. Sea A ∈ O(H), Hermıtico. Entonces:

⟨ψ|Aψ⟩ es real ∀ψ ∈ D(A). (10.24)

Demostracion. Obvia. Ver 1.P.24.

Notemos que hemos obtenido que λA y A + B son autoadjuntos (Rels. (10.21) y(10.22)); pero AB no es necesariamente autoadjunto (ver Rel. (10.23)). Vease 1.P.25 parauna condicion necesaria y suficiente para que AB sea autoadjunto.

Tambien se tiene, para A ∈ O(H) y B ∈ L(H) Hermıticos [simetricos o autoadjuntos],que: C ≡ αA+βB (D(C) = D(A)) es Hermıtico [simetrico o autoadjunto] ∀α, β ∈ R. Ver1.P.27.

La parte ii de este teorema es en realidad interesante si H es complejo, pudiendoentonces ampliarse ası: A ∈ O(H), con H complejo, sera Hermitico sii ⟨ψ|Aψ⟩ es real∀ψ ∈ D(A). Ver teorema 4.18 en [77], p. ej.

11. EJEMPLOS DE OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT 35

Definicion 10.7. Si A ∈ O(H) es Hermıtico y existe una constante c ∈ R, tal que:⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ ≥ c ⟨ψ|ψ⟩ = c ∥ψ∥2 , ∀ψ ∈ D(A); (10.25)

diremos que A esta acotado inferiormente y que c es una cota inferior de A, lo queindicaremos con los sımbolos A ≥ cI o bien cI ≤ A. En particular, si c = 0 diremos queel operador A es positivo, y lo indicaremos por A ≥ 0 o bien 0 ≤ A.

Designemos por m a la mayor cota inferior de A; es decir: m = ınfψ∈D(A)∥ψ∥=1

⟨ψ∣∣∣Aψ⟩

(la cual es una cota inferior de A).

Para A, B ∈ L(H) autoadjuntos; pondremos: A ≤ B o bien B ≥ A, si B − A ≥ 0. N

Notemos que en esta definicion⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ es real ∀ψ ∈ D(A); ver 10.6.ii. Si A ≥ 0,

serıa preferible decir (ver [71] y [77], p. ej.) que A es no negativo (en vez de positivo);pero hemos optado por seguir a la mayoria de los autores.

El lector no tendra dificultades en establecer las definiciones de acotado superior-mente y cota superior d ∈ R; A ≤ dI o bien dI ≥ A; para un operador Hermıtico A,

ası como la de menor cota superior de A: M = supψ∈D(A)∥ψ∥=1

⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ . Se puede probar

facilmente que todo A ∈ O(H) Hermıtico y acotado (ver 7.15), es acotado inferiormente

y superiormente. Es mas, para A simetrico, se puede probar el reciproco de ese teorema;ver los teoremas 2.21 y 2.22 de [75].

Si A ∈ L(H) es autoadjunto: mI ≤ A ≤MI y∥∥∥A∥∥∥ = max|m|, |M |; ver [74].

11. Ejemplos de Operadores en Espacios de Hilbert

Ejemplo 11.1. Sea H cualquier espacio de Hilbert (real o complejo). Sea φ ∈ H, con

∥φ∥ = 1. Definamos al operador Pφ, llamado operador de proyeccion en el subespaciovectorial generado por φ, ası:

Pφψ = ⟨φ|ψ⟩φ, ∀ψ ∈ H. (11.1)

NDe la propia definicion observamos que Pφ es lineal y que D(Pφ) = H. Pφ es acotado:∥∥∥Pφψ∥∥∥ = |⟨φ|ψ⟩| ∥φ∥ ≤ ∥φ∥2 ∥ψ∥ = ∥ψ∥ , ∀ψ ∈ H. (11.2)

Entonces: Pφ ∈ L(H).La interpretacion geometrica de este operador es muy clara. Por ejemplo, en tres

dimensiones, sea e un vector unitario, y a un vector cualquiera; entonces: Pea = (e · a)e(ver Fig. 4).

Pruebese que Pφ es autoadjunto y positivo (1.P.31).

Comentario 11.2. La notacion de Dirac para vectores y funcionales lineales (ver8.4), se extiende al definirse operadores: |χ⟩ ⟨ϕ| ∈ L(H), ası: |χ⟩ ⟨ϕ| (|ψ⟩) ≡ |χ⟩ ⟨ϕ|ψ⟩ =|χ⟩ (⟨ϕ|ψ⟩) = (⟨ϕ|ψ⟩) |χ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩ |χ⟩, ∀ |ψ⟩ ∈ H (la verificacion de la acotacion de |χ⟩ ⟨ϕ|es trivial).


...................................... ......................................................................

..................................

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................................................

......................................

..................

....................

.......................................................................

a

e

Pea

Figura 4. Interpretacion geometrica del operador de proyeccion Pφ

El operador Pφ definido en (11.1) se podra reescribir entonces:

P|φ⟩ = |φ⟩ ⟨φ| . (11.3)

En efecto, se tiene: P|φ⟩ |ψ⟩ = |φ⟩ ⟨φ|ψ⟩ = ⟨φ|ψ⟩ |φ⟩, ∀ |ψ⟩ ∈ H.Si |φn⟩ es un sistema ortonormal completo en H, la Rel. (11.3) el teorema 4.9.iv y

el teorema 9.4 nos indican que, formalmente:∑n

P|φn⟩ =∑n

|φn⟩ ⟨φn| = I . (11.4)

Decimos “formalmente”, pues si el conjunto |φn⟩ es infinito debemos precisar bajo queconvergencia la Rel. (11.4) es rigurosa matematicamente (resulta ser que lo es en el sentido

de que: lımk→∞

∥∥∥∑kn=1 P|φn⟩ |ψ⟩ − |ψ⟩

∥∥∥ = 0, ∀ |ψ⟩ ∈ H).

La Rel. (11.4), o bien:∑

n Pφn = I; que expresa la completitud del sistema ortonormal|φn⟩, o bien: φn; se denomina relacion de clausura o relacion de cierre en H (esusual referirse a esta como: “suma de proyectores igual a uno”).

Solo a tıtulo informativo, senalemos que P|φn⟩ y P|φm⟩ (o bien: Pφn y Pφm) son proyecto-

res ortogonales entre sı (P|φn⟩ ⊥ P|φm⟩) si n = m, pues: P|φn⟩P|φm⟩ = |φn⟩ ⟨φn|φm⟩ ⟨φm| =|φn⟩ (⟨φn|φm⟩) ⟨φm| = δnm |φn⟩ ⟨φm|. Por lo tanto,

∑kn=1 P|φn⟩ (o bien:

∑kn=1 Pφn) con

k ∈ Z+ (k ≤ dimH si dimH <∞), sera un proyector ortogonal en H; ver teorema 12.14.

Ejemplo 11.3. Sea H = L2(a, b), con a y b finitos. Definamos al operador Q, ası:

Qφ(x) = xφ(x), ∀φ ∈ L2(a, b). (11.5)

N

De la propia definicion observamos que Q es lineal y que D(Q) = L2(a, b). Q esacotado ya que si M ≡ max |a| , |b| tendremos:∥∥∥Qφ∥∥∥2 = ∫ b

a

x2 |φ(x)|2 dx ≤M2

∫ b

a

|φ(x)|2 dx =M2 ∥φ∥2 . (11.6)

Entonces: Q ∈ L (L2(a, b)).

En mecanica cuantica no relativista, Q representa el observable posicion en unacaja, para una partıcula en una dimension, localizada en [a, b].

Pruebese que Q es autoadjunto (1.P.31).


Ejemplo 11.4. Sea H = L2(a, b), con a y b finitos. Definamos al operador M , ası:

Mφ(x) = −i~dφ(x)dx

, ∀φ ∈ D(M), (11.7)

siendo D(M) el conjunto de elementos φ de L2(a, b) que poseen derivada φ′ en (a, b), salvoquizas en un subconjunto de (a, b) de medida nula, tal que: φ′ ∈ L2(a, b);

∫ xaφ′(t)dt =

φ(x)− φ(a); y:

φ(a) = φ(b). (11.8)

NNotemos que si φ es derivable, ello no implica que φ(x) =

∫ xaφ′(t)dt+φ(a), ya que es

posible construir funciones estrictamente crecientes (y por lo tanto φ(x)− φ(a) > 0, parax > a), contınuas, cuyas derivadas φ′ son nulas salvo en un conjunto de medida nula (ypor lo tanto

∫ xaφ′(t)dt = 0).

Tenemos que M ∈ O(L2(a, b)), y D(M) L2(a, b) ya que existen funciones de L2(a, b)que no son derivables, o que aun siendo derivables, su derivada no pertenece a L2(a, b);

p. ej.: φ(x) = (x−a)− 14 . M no es acotado, como puede probarse facilmente con el siguiente

ejemplo. Sea n ∈ Z+ arbitrario, y definamos: χn(x) = exp(i2πnb−a x

)∈ D(M) (ver 1.P.15).

Tendremos: ∥∥∥Mχn

∥∥∥ =2πn~b− a

∥χn∥ ; esto es,

∥∥∥Mχn

∥∥∥∥χn∥

=

(2π~b− a

)n, (11.9)

y como n puede ser tan grande como se quiera, concluimos que M no es acotado.En mecanica cuantica no relativista M representa al observable momentum en

una caja, para una partıcula en una dimension, localizada en [a, b].

Para el caso a = 0, b = 2π; M ≡ Lz, corresponde al observable componente z delmomento angular orbital en mecanica cuantica no relativista.

Ejemplo 11.5. Sea H = L2(a, b), con a y b finitos. Definamos al operador M2, ası:

M2φ(x) = −~2d2φ(x)

dx2; ∀φ ∈ D(M2), (11.10)

siendo D(M2) el conjunto de elementos de L2(a, b) que poseen derivada segunda en (a, b),

salvo quizas en un conjunto de medida nula, tal que: D(M2) ⊂ D(M); φ′′ ∈ L2(a, b);∫ xaφ′′(t)dt = φ′(x)− φ′(a); y:

dφ

dx(a) =

dφ

dx(b). (11.11)

NTenemos (ver 1.P.31) que M2 ∈ O(L2(a, b)), D(M2) L2(a, b) y que M2 no es

acotado.Esta definicion de M2 corresponde a la caracterizacion (matematicamente) rigurosa

del cuadrado del operador M definido en 11.4; de allı la notacion usada para el.Notemos que D(M2) D(M); pues existen elementos de D(M) que no poseen deri-

vada segunda, o, que no satisfacen a la Rel. (11.11). P. ej.: xsen 2π(x−a)b−a ∈ D(M), pero no

pertenece a D(M2) ya que a = b.


En mecanica cuantica no relativista M2 representa; a menos de una constante mul-tiplicativa: 1/2µ, µ ∈ R+; al observable energıa cinetica en una caja, para unapartıcula de masa µ en una dimension; localizada en [a, b]. Tambien representara (al mul-tiplicarlo por 1/2µ) al observable energıa de una partıcula libre en una caja (suHamiltoniano); aquı, la palabra “libre” es crucial (ver ejemplo 11.6).

Ejemplo 11.6. Sea H = L2(a, b), con a y b finitos. Definamos al operador W , ası:

Wφ(x) = −~2d2φ(x)

dx2; ∀φ ∈ D(W ), (11.12)

siendo D(W ) ⊂ L2(a, b) el conjunto D(M2) definido en 11.5, excepto por la imposicion delas Rels. (11.8) y (11.11); y en vez de las cuales se exige:

φ(a) = φ(b) = 0. (11.13)

N

Tenemos (ver 1.P.31) que W ∈ O(L2(a, b)), D(W ) L2(a, b) y que W no es acotado.

Notemos que D(W ) no esta contenido en D(M2); aunque D(W ) D(M). P. ej.:

xsen 2π(x−a)b−a ∈ D(W ), pero no pertenece a D(M2). Ası mismo, D(M2) no esta contenido

en D(W ). P. ej.: cos 2π(x−a)b−a ∈ D(M2), pero no pertenece a D(W ).

Los operadores M2 y W (aparentemente muy parecidos) son muy diferentes entre sı.En efecto, al ser sus dominios diferentes, tambien lo son sus propiedades; ver p. ej. 13.13y 13.14, y lo que sigue.

Es comun identificar a W (multiplicado por 1/2µ) en los libros de mecanica cuanticano relativista, como el “Hamiltoniano de una partıcula libre en una caja”. Esta identifi-cacion es inapropiada, pues W no es el cuadrado de M . Ademas, se puede probar (cosa

que no haremos) que W no conmuta con el observable momentum de la partıcula (M),

cuestion que sı hace M2. El operador W (multiplicado por 1/2µ) debe representar el Ha-miltoniano de una partıcula en una caja con cierta interaccion; interaccion “generada” porlas condiciones de frontera (11.13), o como se dice a veces: una interaccion topologica.

Enfaticemos que la caracterizacion del dominio de un operador es fundamental, tantodesde el punto de vista matematico como del fısico; tal como nos lo ha mostrado el ejem-plo (muy sencillo) de los operadores M2 y W . La caracterizacion de los dominios de losoperadores es usualmente desestimada en los textos de cuantica.

Ejemplo 11.7. Sea H = L2(−∞,∞). Definamos al operador X, ası:

Xφ(x) = xφ(x), ∀φ ∈ D(X), (11.14)

siendo D(X) el conjunto de todos los elementos φ de L2(−∞,∞), tales que para ψ(x) ≡xφ(x) tenemos ψ ∈ L2(−∞,∞). N

X ∈ O(L2(−∞,∞)) y D(X) L2(−∞,∞), como lo demuestra la funcion, φ ∈L2(−∞,∞):

φ(x) =

x−1 si x ≥ 1,0 si x < 1,

(11.15)


la cual no pertenece a D(X). X no es acotado, ya que para n ∈ Z+, la funcion φn ∈ D(X)∥φn∥ = 1, definida por:

φn(x) =

1 si x ∈ [n, n+ 1],0 si x /∈ [n, n+ 1],

(11.16)

satisface: ∥∥∥Xφn∥∥∥2 = ∫ n+1

n

x2dx > n2 = n2 ∥φn∥2 , (11.17)

y por lo tanto, como n puede ser tan grande como se quiera, concluimos que X no esacotado.

En mecanica cuantica no relativista, X representa el observable posicion de unapartıcula en una dimension.

Ejemplo 11.8. Sea H = L2(−∞,∞). Definamos al operador P , ası:

Pφ(x) = −i~dφ(x)dx

, ∀φ ∈ D(P ), (11.18)

siendo D(P ) el conjunto de elementos φ de L2(−∞,∞) que poseen derivada φ′ en R, salvoquiza en un subconjunto de medida nula, y tal que, φ′ ∈ L2(−∞,∞);

∫ xφ′(t)dt = φ(x).

NTenemos que P ∈ O(L2(−∞,∞)). Ademas, D(P ) L2(−∞,∞), como lo muestra:

φ(x) = |x − c|− 14 en un intervalo general acotado I ⊂ R, con c ∈ I y cero fuera de I. El

operador P no es acotado, como lo muestra: φd(x) = e−d|x|, con d ∈ R+. Ver 1.P.31.

En mecanica cuantica no relativista, P representa el observable momentum deuna partıcula en una dimension.

Comentario 11.9. Debemos notar que, contrariamente a lo que podrıa esperarse, siφ ∈ L2(−∞,∞) ello no implica que φ(x) −−−−→

x→±∞0, como lo demuestran los dos ejemplos

siguientes (ver [39]):

φ(x) = exp(−x4sen2 x

)∈ L2(−∞,∞), (11.19)

φ(x) = x2 exp(−x8sen2 x

)∈ L2(−∞,∞). (11.20)

Sin embargo, tenemos el lema siguiente.

Lema 11.10. Sea H = L2(a,∞), con a ∈ R∗ y a = ∞. Sea φ ∈ L2(a,∞) tal queφ′ existe en todo (a,∞) salvo quizas en un subconjunto de (a,∞) de medida nula; conφ′ ∈ L2(a,∞) y con

∫ xφ′(t)dt = φ(x), ∀x ∈ (a,∞). Entonces: φ(x) −−−→

x→∞0.

Demostracion. Al integrar por partes tenemos, para b ∈ (a,∞):∫ x

b

φ(t)φ′(t)dt+

∫ x

b

φ′(t)φ(t)dt = |φ(x)|2 − |φ(b)|2 ; ∀x ∈ (b,∞). (11.21)

El lado izquierdo de la Rel. (11.21) es finito ya que φ, φ′ ∈ L2(a,∞), y por lo tanto|φ(b)| < ∞. Eso sigue siendo cierto si hacemos x → ∞ con lo cual hemos probado queexiste: lımx→∞ |φ(x)| ≡M ∈ R+∪0. PeroM debe ser cero, ya que si no lo es; para ε > 0,con M − ε > 0 siempre existira una constante A ∈ R+, tal que, ∀x ≥ A, |φ(x)| ≥ M − ε(todo ello por la definicion de lımite). En ese caso

∫∞A

|φ(x)|2 dx ≥∫∞A

|M − ε|2 dx =

|M − ε|2 (∞− A) = ∞, en contradiccion con el hecho que φ ∈ L2(a,∞).


Notemos que este lema, valdra de manera analoga para x → −∞ en L2(−∞, b), conb ∈ R∗ y b = −∞; esto es: φ(x) −−−−→

x→−∞0.

Vamos a demostrar a continuacion que M, M2, W , X y P son autoadjuntos.

Teorema 11.11. M ∈ O(L2(a, b)), definido en el ejemplo 11.4, es autoadjunto.

Demostracion. Aceptemos sin demostracion queD(M) es denso en L2(a, b). Veamos

que M es simetrico:⟨φ∣∣∣Mψ

⟩=

∫ b

a

φ(x)

[−i~dψ(x)

dx

]dx = −i~

[φ(x)ψ(x)

]ba+ i~

∫ b

a

dφ(x)

dxψ(x)dx

=

∫ b

a

[−i~dφ(x)

dx

]ψ(x)dx =

⟨Mφ

∣∣∣ψ⟩ ; ∀φ, ψ ∈ D(M).

(11.22)

No demostraremos el hecho que D(M †) = D(M), con lo que quedarıa probado que

M es autoadjunto. Notemos que la condicion φ(b) = φ(a), para que φ ∈ D(M), ha resultado crucial para

que M sea simetrico. Digamos como informacion (ver [67], p. ej.) que podemos definir una

infinidad de operadores Mα con α ∈ R, tal como hemos definido a M pero con la condicion(11.8) sustituida por: φ(b) = eiαφ(a); M0 ≡ M . Para cada α, la condicion φ(b) = eiαφ(a)

implica que Mα es autoadjunto; Mα y Mα′ con α = α′ seran operadores diferentes, coninterpretaciones fısicas diferentes.

Digamos como informacion que el operador: −i~dφ(x)dx

, ∀φ ∈ D(M) con φ(a) = φ(b) =0 (lo que caracteriza su dominio) es simetrico, pero no es autoadjunto; lo que implicaque no puede representar a un observable en mecanica cuantica (si es que seguimos suspostulados usuales), ver 13.11.

Teorema 11.12. M2 ∈ O(L2(a, b)), definido en el ejemplo 11.5, es autoadjunto ypositivo.

Demostracion. Aceptemos sin demostracion que D(M2) es denso en L2(a, b). Com-

probemos que M2 es simetrico.⟨φ∣∣∣M2ψ

⟩=

∫ b

a

φ(x)

[−~2d

2ψ(x)

dx2

]dx = −~2

[φ(x)

dψ(x)

dx

]ba

+ ~2∫ b

a

dφ(x)

dx

dψ(x)

dxdx

= ~2[dφ(x)

dxψ(x)

]ba

− ~2∫ b

a

d2φ(x)

dx2ψ(x)dx =

∫ b

a

[−~2d

2φ(x)

dx2

]ψ(x)dx

=⟨M2φ

∣∣∣ψ⟩ ; ∀φ, ψ ∈ D(M2).

(11.23)

No demostraremos el hecho que D(M2†) = D(M2), con lo que quedarıa probado que

M2 es autoadjunto. La positividad de M2 resulta obvia del hecho que M2 = MM y de11.11; o bien, de la Rel. (11.23).

Notemos que las condiciones: φ(a) = φ(b) y dφdx(a) = dφ

dx(b), para que φ ∈ D(M2), han

resultado cruciales para que M2 sea simetrico.

12. OPERADORES UNITARIOS Y DE PROYECCION 41

Teorema 11.13. W ∈ O(L2(a, b)), definido en el ejemplo 11.6, es autoadjunto ypositivo.

Demostracion. Aceptemos sin demostracion que D(W ) es denso en L2(a, b).

Veamos que W es simetrico. Efectivamente, ello resulta directamente de las Rels.(11.13) y (11.23).

No demostraremos el hecho que D(W †) = D(W ), con lo que quedarıa probado que

W es autoadjunto.El que W es positivo resulta directamente al usar la Rel. (11.23). Notemos que la condicion φ(a) = φ(b) = 0, para que φ ∈ D(W ) ha resultado crucial

para que W sea simetrico.Notemos que D(W ) es un subconjunto propio del dominio del operador no autoad-

junto definido al final de 11.11. Digamos como informacion que W no es el cuadrado de eseoperador (pues serıa necesario en ese caso que φ′′(a) = φ′′(b) = 0 para todo φ ∈ D(W )).

Teorema 11.14. X ∈ O(L2(−∞,∞)), definido en el ejemplo 11.7, es autoadjunto.

Demostracion. Aceptemos sin demostrarlo, queD(X) es denso en L2(−∞,∞). Vea-

mos que X es simetrico:⟨φ∣∣∣Xψ⟩ =

∫ ∞

−∞φ(x)

[Xψ(x)

]dx =

∫ ∞

−∞φ(x) [xψ(x)] dx =

∫ ∞

−∞[xφ(x)]ψ(x)dx

=

∫ ∞

−∞

[Xφ(x)

]ψ(x)dx =

⟨Xφ∣∣∣ψ⟩ , ∀φ, ψ ∈ D(X).

(11.24)

No demostraremos el hecho que D(X†) = D(X), con lo cual quedarıa probado que Xes autoadjunto.

Teorema 11.15. P ∈ O(L2(−∞,∞)), definido en el ejemplo 11.8, es autoadjunto.

Demostracion. Aceptemos sin demostrarlo, que D(P ) es denso en L2(−∞,∞). Vea-

mos que P es simetrico:⟨φ∣∣∣Pψ⟩ =

∫ ∞

−∞φ(x)

[−i~dψ(x)

dx

]dx = −i~

[φ(x)ψ(x)

]∞−∞

+ i~∫ ∞

−∞

dφ(x)

dxψ(x)dx

=

∫ ∞

−∞

[−i~dφ(x)

dx

]ψ(x)dx =

⟨Pφ∣∣∣ψ⟩ ; ∀φ, ψ ∈ D(P ),

(11.25)

donde hemos usado al lema 11.10.No demostraremos que D(P †) = D(P ), con lo que quedarıa probado que P es auto-

adjunto.

12. Operadores Unitarios y de Proyeccion

Definicion 12.1. U ∈ O(H1,H2), con H1 y H2 complejos, se denomina operadorunitario si D(U) = H1, R(U) = H2; y si:

⟨Uφ|Uψ⟩2 = ⟨φ|ψ⟩1 ; ∀φ, ψ ∈ H1. (12.1)

Si H1 y H2 son reales, U se denomina operador ortogonal. N


Es importante notar de la Rel. (12.1) que un operador unitario deja invariante lanorma de un vector, esto es:

∥Uψ∥2 = ∥ψ∥1 ; ∀ψ ∈ H1. (12.2)

La Rel. (12.2) nos indica que, automaticamente, todo operador unitario U es acotado;por lo tanto: U ∈ L(H1,H2).

Un operador unitario perteneciente a L(H) no es generalmente autoadjunto, aunque

existen operadores de L(H) que son unitarios y autoadjuntos; el operador identidad I ∈L(H), p. ej. Para otros ejemplos ver 1.P.52.

Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert. De las propias definiciones de isomorfismoentre espacios de Hilbert (ver 6.1) y de operador unitario, es claro que H1 y H2 seranisomorfos, sii existe un operador unitario U ∈ L(H1,H2); ver 1.P.35.

Teorema 12.2. U ∈ L(H1,H2) es unitario, sii:

U †U = IH1 ; UU † = IH2 . (12.3)

Demostracion. De las Rels. (12.1) y (10.7) tenemos que⟨U †Uφ

∣∣ψ⟩1= ⟨φ|ψ⟩1,

∀ψ, φ ∈ H1, de donde concluimos (ver 9.4) que U †U = IH1 .Por otra parte, si ψ ∈ H2, existe φ ∈ H1, tal que ψ = Uφ (ya que R(U) = H2).

Tendremos entonces que UU †ψ = U(U †U)φ = Uφ = ψ, ∀ψ ∈ H2; esto es, UU † = IH2 .Para la recıproca, vease 1.P.36. Este teorema nos indica que podemos definir de manera equivalente a un operador

unitario U , como un operador U ∈ L(H1,H2) que satisface la Rel. (12.3). Tal definicionse encuentra frecuentemente en la literatura.

Para el caso finito dimensional (dimH1 = dimH2 <∞) se puede definir un operadorunitario U , como un operador U ∈ L(H1,H2) tal que U

†U = IH1 (o bien, tal que: UU † =IH2). En efecto, en ese caso U †U = IH1 implica UU † = IH2 (o bien, UU † = IH2 implicaU †U = IH1); ver p. ej. los teoremas 1 y 2 del §36 y el teorema del §73 de [62] ası como el8.17 de [60]. Esta caracterizacion resulta insuficiente en el caso infinito dimensional, comolo muestra el operador S ∈ L(l2) del problema 1.P.30.

Comentario 12.3. El teorema 12.2 nos indica (ver Rel. (7.13)) que un operadorU ∈ L(H1,H2) sera unitario sii:

U † = U−1. (12.4)

La Rel. (12.3) nos indica (ver Rel. (7.13)) que los operadores U y U † tienen inversas

U−1 ∈ L(H2,H1) y(U †)−1 ∈ L(H1,H2) respectivamente, dadas por:

U−1 = U † ;(U †)−1

= U. (12.5)

Con la ayuda de las Rels. (12.5), (10.14) y (7.9) se ve facilmente que todo operadorU ∈ L(H1,H2) con inversa U−1 ∈ L(H2,H1), sera unitario sii U−1 lo es. De maneraequivalente, U ∈ L(H1,H2) sera unitario sii U † lo es.

Si H = CN , de la Rel. (12.5) y del 1.P.22, observamos que la adjunta de una matrizunitaria de L(CN); esto es, la matriz traspuesta y conjugada; es la matriz inversa. Si

H = RN , la adjunta de una matriz ortogonal de L(RN); esto es, la matriz traspuesta,

puesto que los elementos de toda matriz de L(RN) son reales; vendra dada por la matrizinversa.


Teorema 12.4. Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert separables e isomorfos. Ten-dremos.

i. Si ψn ⊂ H1 es una base ortonormal de H1, y U ∈ L(H1,H2) es unitario; entoncesUψn ⊂ H2 es una base ortonormal de H2.

ii. Sean ψn ⊂ H1 y φn ⊂ H2 dos bases ortonormales; entonces existe un unicooperador unitario U ∈ L(H1,H2), tal que φn = Uψn, ∀n.

Demostracion. Hagamosla suponiendo que: dimH1 = dimH2 = ∞.

i. Uψn es un conjunto ortonormal, ya que: ⟨Uψn|Uψk⟩2 = ⟨ψn|ψk⟩1 = δnk.Ademas Uψn es completo enH2, ya que si para φ ∈ H2 se cumple ⟨φ|Uψn⟩2 = 0,

∀n; entonces⟨U †φ

∣∣ψn⟩1 = 0, ∀n ⇒ U †φ = 0 (ya que ψn es completo), y por lo

tanto φ = 0 (puesto que U † tiene inversa).ii. ∀ψ ∈ H1, tendremos que χ =

∑∞k=1 ⟨ψk|ψ⟩1 φk ∈ H2 converge puesto que∑∞

k=1 |⟨ψk|ψ⟩1|2 = ∥ψ∥21 (< ∞); teoremas 4.1 y 4.2. Es claro que podemos cons-

truir cualquier vector χ de H2 de esa manera (puesto que H1 y H2 son isomorfos),escogiendo adecuadamente los coeficientes ⟨ψk|ψ⟩1, al variar la ψ. Definamos un ope-rador U ası:

Uψ = U

(∞∑k=1

⟨ψk|ψ⟩1 ψk

)=

∞∑k=1

⟨ψk|ψ⟩1 φk, ∀ψ ∈ H1. (12.6)

U definido en (12.6) es obviamente lineal, con D(U) = H1, R(U) = H2 y Uψn =φn. Ademas, por 2.11:

⟨Uψ|Uχ⟩2 = lımn→∞

⟨n∑k=1

⟨ψk|ψ⟩1 φk

∣∣∣∣∣n∑j=1

⟨ψj|χ⟩1 φj

⟩2

= lımn→∞

n∑k,j=1

⟨ψk|ψ⟩1 ⟨ψj|χ⟩1 ⟨φk|φj⟩2

= lımn→∞

n∑k=1

⟨ψk|ψ⟩1 ⟨ψk|χ⟩1 = ⟨ψ|χ⟩1 , ∀ψ, χ ∈ H1,

donde se ha usado el teorema 4.9.iii y 4.9.iv en la ultima igualdad. Entonces, U esunitario.

Como Uψn = φn, ∀n, y U ∈ L(H1,H2), este operador es unico en virtud delteorema 9.5.

Notemos que en la demostracion hemos proporcionado explıcitamente al operador U

que se menciona en 12.4.ii; esto es, U viene dado por la Rel. (12.6).Para el caso en que H1 = H2 ≡ H, este teorema unido al hecho que ∥Uψ∥ = ∥ψ∥,

∀ψ ∈ H, nos indica (geometricamente hablando) que una rotacion en el espacio de HilbertH esta caracterizada por un operador unitario U ∈ L(H) y que un operador unitarioU ∈ L(H) determina una rotacion en el espacio de Hilbert H.

Lema 12.5. Sea U ∈ L(H1,H2) unitario, y D ⊂ H1 un subespacio vectorial denso enH1. Entonces, U [D] ⊂ H2 es un subespacio vectorial denso en H2.


Demostracion. Ya sabemos que U [D] es un subespacio vectorial (ver 7.3).Sea χ ∈ H2, y supongamos que ⟨χ|ψ⟩2 = 0, ∀ψ ∈ U [D] ⊂ H2. Como ψ = Uφ para

algun φ ∈ D, tendremos ⟨χ|Uφ⟩2 =⟨U †χ

∣∣φ⟩1= ⟨U−1χ|φ⟩1 = 0, ∀φ ∈ D; lo que implica

(ver 3.7) que U−1χ = 0; esto es, χ = 0 (ver 7.10). Entonces, U [D] es denso en H2; ver3.7.

Teorema 12.6. Sea U ∈ L(H1,H2) unitario y A ∈ O(H1). Definamos al operadorB ∈ O(H2), ası:

B = UAU−1 , D(B) = U [D(A)]. (12.7)

Entonces, A es autoadjunto sii B lo es. Ademas, A ≥ 0 sii B ≥ 0.

Demostracion. Si A es autoadjunto, D(B) ⊂ H2 es un subespacio vectorial densoen H2 (ver 12.5) y por lo tanto B† existe.

Para ψ′ = Uψ, φ′ = Uφ; con ψ, φ ∈ D(A), tendremos:

⟨Bψ′|φ′⟩2 = ⟨BUψ|Uφ⟩2 = ⟨UAψ|Uφ⟩2= ⟨Aψ|φ⟩1 = ⟨ψ|Aφ⟩1 = ⟨Uψ|UAφ⟩2= ⟨Uψ|BUφ⟩2 = ⟨ψ′|Bφ′⟩2 ,

(12.8)

lo que prueba que B es simetrico y que D(B†) = D(B). El resto es obvio.

Definicion 12.7. Un operador E ∈ O(V), con V real o complejo, se denomina ope-

rador de proyeccion o un proyector en V, si D(E) = V y si:

E2 = E. (12.9)

Un proyector E en H, con H real o complejo, que sea autoadjunto (E† = E), se llamaproyector ortogonal. N

Debido a que un proyector E satisface la Rel. (12.9), decimos que E es idempotente.

Teorema 12.8. Todo proyector ortogonal E en H, es positivo y acotado. Por lo tanto:

E ∈ L(H).

Demostracion. En efecto, ∀ψ ∈ H:∥∥∥Eψ∥∥∥2 = ⟨Eψ∣∣∣ Eψ⟩ =

⟨E†Eψ

∣∣∣ψ⟩ =⟨E2ψ

∣∣∣ψ⟩ =⟨Eψ∣∣∣ψ⟩ ≤

∥∥∥Eψ∥∥∥ ∥ψ∥ ,de donde concluimos que

∥∥∥Eψ∥∥∥ ≤ ∥ψ∥, y por lo tanto:⟨Eψ∣∣∣ψ⟩ =

⟨ψ∣∣∣Eψ⟩ =

∥∥∥Eψ∥∥∥2 ≤ ∥ψ∥2 , ∀ψ ∈ H. (12.10)

Es facil verificar que I , 0, Pφ ∈ L(H), Pφ definido en 11.1, son proyectores ortogonales.

Ası mismo, E es un proyector ortogonal en H sii (I − E) lo es. Ver 1.P.40.Para precisar la diferencia geometrica entre un proyector no ortogonal y uno ortogonal,

consideremos a la figura 5; donde a es un vector en un plano: a ∈ R2, y e1, e2 ⊂ R2

es una base normalizada pero no ortogonal. Para los ejes oblıcuos X e Y (determinadospor e1 y e2, respectivamente) podemos considerar dos tipos de proyecciones del vector

a sobre ellos. Las proyecciones ortogonales estan determinadas por los proyectores Pe1


y Pe2 (proyectores definidos en 11.1), y las proyecciones paralelas no ortogonales estan

determinadas por proyectores (no ortogonales) E1 y E2.

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..........

e2

E2a

Pe2 a

e1 E1a Pe1 a

a

Y

X

Figura 5. Proyecciones ortogonales y no ortogonales

En la practica se trabaja casi exclusivamente con proyectores ortogonales y por bre-vedad es usual llamarlos “proyectores” (a secas).

Teorema 12.9. Sea M un subespacio vectorial cerrado de H. Entonces podemos defi-nir unıvocamente un proyector ortogonal EM en H, que llamaremos proyector asociadoa M, el cual satisface:

EMφ = φ, ∀φ ∈ M ; EMχ = 0, ∀χ ∈ M⊥. (12.11)

Ademas, se tiene que: R(EM) = M.

Demostracion. Como por el teorema 3.5, toda ψ ∈ H se escribe unıvocamenteψ = φ+ χ, con φ ∈ M, χ ∈ M⊥; definamos al operador EM ası: EMψ = φ; ∀ψ ∈ H. Esteoperador satisface a la Rel. (12.11); D(EM) = H; R(EM) = M; y EM es lineal (hacemosuso del hecho que M⊥ es lineal, por 3.4.ii).

Tambien vemos de la Rel. (12.11) que E2M = EM, ya que E2

Mφ = EMφ, ∀φ ∈ M, y

E2Mχ = EM0 = 0, ∀χ ∈ M⊥.

Finalmente veamos que EM = E†M. Para ello, sean ψi = φi+χi, con φi ∈ M, χi ∈ M⊥;

i = 1, 2, arbitrarios. Entonces:⟨ψ2

∣∣∣EMψ1

⟩= ⟨ψ2|φ1⟩ = ⟨φ2 + χ2|φ1⟩ = ⟨φ2|φ1⟩

= ⟨φ2|φ1 + χ1⟩ = ⟨φ2|ψ1⟩ =⟨EMψ2

∣∣∣ψ1

⟩, ∀ψ1, ψ2 ∈ H.

Teorema 12.10. Sea E un proyector ortogonal en H. Entonces, E define unıvoca-

mente un subespacio vectorial cerrado M, tal que:

Eφ = φ, ∀φ ∈ M ; Eχ = 0, ∀χ ∈ M⊥. (12.12)

Ademas: M = R(E).


Demostracion. Sea M el conjunto de todos los vectores φ ∈ H, tales que Eφ = φ.M es un subespacio vectorial de H ya que E es lineal. Ademas, M es cerrado puesto queE ∈ L(H) (ver comentarios en 12.7), y si φn es cualquier sucesion de elementos de M

que converge a φ ∈ H, tendremos que Eφn = φn (que converge a φ), tambien converge a

Eφ por 7.19; esto es, Eφ = φ ∈ M.Para un ψ ∈ H arbitrario, sea:

φ ≡ Eψ ; χ ≡ (I − E)ψ. (12.13)

Para el φ y χ definidos en (12.13), tenemos:

φ+ χ = Eψ + (I − E)ψ = ψ, (12.14)

Eφ = E2ψ = Eψ = φ; esto es, φ ∈ M, (12.15)

Eχ =(E − E2

)ψ = 0. (12.16)

Veamos que el χ ∈ M⊥. Sea φ′ ∈ M, tendremos ⟨φ′|χ⟩ =⟨φ′∣∣∣(I − E)ψ

⟩=⟨

(I − E)φ′∣∣∣ψ⟩ =

⟨φ′ − Eφ′

∣∣∣ψ⟩ = 0; esto es, χ ∈ M⊥.

Pero por el teorema 3.5 y las Rels. (12.13)-(12.15), toda χ ∈ M⊥ sera del tipo χ =

(I − E)ψ para algun ψ ∈ H, y concluimos que Eχ = 0 ∀χ ∈ M⊥.

Tambien por el teorema 3.5, es claro que M = R(E).

Este teorema nos indica que todo proyector ortogonal E en H, es un proyector aso-ciado a un unico subespacio vectorial cerrado M de H. Esto es, E es del tipo EM.

Es claro, por ejemplo, que el proyector ortogonal Pφ ∈ L(H) proyecta en el subespaciovectorial cerrado de dimension uno generado por el vector φ; ver teorema 4.8. Esto es,M = λφλ∈C (o bien: M = λφλ∈R).

Comentario 12.11. Los dos teoremas: 12.9 y 12.10, nos indican que existe unacorrespondencia biyectiva entre proyectores ortogonales y subespacios vectoriales cerrados.Esto es, podemos expresar propiedades geometricas de los subespacios vectoriales cerradosen terminos de propiedades algebraicas de sus proyectores (y viceversa).

Si E ≡ EM es un proyector ortogonal en H, resulta evidente que: E = 0 sii M = 0,y que: E = I sii M = H.

Teorema 12.12. Sea M un subespacio vectorial cerrado de H, y EM el proyectorasociado a M. Entonces, el proyector asociado a M⊥ es: EM⊥ = (I − EM).

Demostracion. (I − EM) es un proyector ortogonal (ver 1.P.40iii). Sea N el subes-

pacio vectorial cerrado correspondiente a (I − EM) (teorema 12.10). Entonces:

(I − EM)χ = χ, ∀χ ∈ N ; (I − EM)φ = 0, ∀φ ∈ N⊥. (12.17)

Pero la Rel. (12.17), se puede escribir:

EMχ = 0, ∀χ ∈ N ; EMφ = φ, ∀φ ∈ N⊥. (12.18)

Como N⊥ es un subespacio vectorial cerrado (por el teorema 3.4) y como(N⊥)⊥ = N

(por el corolario 3.6), tendremos, por Def. de EM que N⊥ = M y N = M⊥.


Teorema 12.13. Sean M1 y M2 dos subespacios vectoriales cerrados de H. Entonces,las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

(a) M1 ⊥ M2.

(b) EM1EM2 = 0.

(c) EM2EM1 = 0.

Demostracion. Notando que por definicion, si M1 ⊥ M2, entonces M1 ⊂ M⊥2 y

M2 ⊂ M⊥1 , el teorema es una consecuencia directa de las igualdades:⟨EM2ψ

∣∣∣ EM1ψ′⟩=⟨EM1EM2ψ

∣∣∣ψ′⟩=⟨ψ∣∣∣EM2EM1ψ

′⟩, ∀ψ, ψ′ ∈ H.

Este teorema nos indica que bajo la premisa impuesta, EM1 y EM2 conmutan; es decir:

[EM1 , EM2 ] = 0.

Este teorema nos lleva a decir que dos proyectores ortogonales E1 y E2 en H, son

mutuamente ortogonales u ortogonales entre sı, y a denotarlo por E1 ⊥ E2, siE1E2 = 0; o bien: E2E1 = 0.

Teorema 12.14. La suma:

E = EM1 + · · ·+ EMn (12.19)

de un numero finito de proyectores ortogonales en H es un proyector ortogonal, sii:

EMj⊥ EMk

, ∀j = k; (12.20)

esto es, sii los subespacios Mj, j = 1, · · · , n son mutuamente ortogonales.Ademas, si la Rel. (12.20) es satisfecha, y si M es el subespacio vectorial cerrado

asociado a E (con lo cual ponemos E = EM) tendremos que M sera igual al espaciovectorial formado por todos los vectores φ ∈ H que se pueden escribir:

φ = φ1 + · · ·+ φn; con φj ∈ Mj , j = 1, · · · , n. (12.21)

Demostracion. E sera autoadjunto pues los Ej’s lo son.

Si vale la Rel. (12.20), entonces es claro que E2 = E (de donde concluimos que E esun proyector ortogonal).

Si E = E2, tendremos de la Rel. (12.10), y de la positividad de los Ej’s (ver 1.P.41),que:

∥φ∥2 ≥⟨Eφ∣∣∣φ⟩ =

n∑i=1

⟨EMi

φ∣∣∣φ⟩ ≥

⟨EMj

φ∣∣∣φ⟩+

⟨EMk

φ∣∣∣φ⟩ , ∀φ ∈ H;

y por lo tanto (usando la Rel. (12.10)):∥∥∥EMjφ∥∥∥2 + ∥∥∥EMk

φ∥∥∥2 ≤ ∥φ∥2 . (12.22)

Sea φ = EMkψ, entonces sustituyendo en (12.22) obtenemos:∥∥∥EMj

EMkψ∥∥∥2 + ∥∥∥EMk

ψ∥∥∥2 ≤ ∥∥∥EMk

ψ∥∥∥2 , ∀ψ ∈ H;

y por lo tanto:∥∥∥EMj

EMkψ∥∥∥ = 0 y EMj

EMk= 0.


Si la Rel. (12.20) es satisfecha:

Eψ = EM1ψ + · · ·+ EMnψ, ∀ψ ∈ H;

esto es, ∀φ ∈ M (φ = Eψ) tenemos que φ es del tipo (12.21).Si φ es del tipo (12.21), tendremos, en virtud de (12.20) que:

EMjφk =

0 si j = kφk si j = k.

Entonces:Eφ = EM1φ+ · · ·+ EMnφ = φ1 + · · ·+ φn = φ;

esto es, φ ∈ M.

Teorema 12.15. Sean E1 ≡ EM1 y E2 ≡ EM2 dos proyectores ortogonales en H.Entonces:

EM1 ≤ EM2 sii M1 ⊂ M2. (12.23)

E1 ≤ E2 sii E1E2 = E1 (E1E2 = E2E1 = E1). (12.24)

Demostracion. Ver 1.P.42. En el parentesis indicado en la Rel. (12.24) se esta estableciendo el hecho (de verifica-

cion inmediata) que bajo la premisa impuesta, E1 y E2 conmutan; es decir: [E1, E2] = 0.

Comentario 12.16. Es interesante comparar las propiedades de un proyector or-togonal con las de una funcion caracterıstica, que pasamos a definir. Para un conjuntoarbitrario no vacıo X se define XA, la funcion caracterıstica de A, donde A es cualquiersubconjunto de X (A ⊂ X); XA : X → R, ası:

XA(x) =

1 si x ∈ A0 si x ∈ X − A.

(12.25)

Resulta inmediato probar que; ∀x ∈ X y ∀A,B ⊂ X: XA(x)XA(x) = [XA(x)]2 =

XA(x); X∅(x) = 0; XX(x) = 1; XA(x) ≤ XB(x) sii A ⊂ B; XA∩B(x) = XA(x)XB(x);XA∪B(x) = XA(x) + XB(x)− XA∩B(x), en particular: XX−A(x) = 1− XA(x). Ver 1.P.43.

13. Autovalores y Autovectores

Definicion 13.1. Para V complejo (o real), sea A ∈ O(V). Si existe φ ∈ D(A) conφ = 0 y λ ∈ C (o λ ∈ R, si V es real), tal que:

Aφ = λφ; (13.1)

se dice que φ es un autovector o vector propio de A y que λ es un autovalor o valorpropio de A.

Al conjunto de todos los autovalores de A lo llamaremos el espectro puntual odiscreto de A, designandolo: Sp(A). N

De la propia definicion resulta que: λφ ∈ R(A); entonces, si λ = 0: φ ∈ R(A).

Tambien, que: Aφ ∈ D(A), y por lo tanto que: φ ∈ D(A2).

Geometricamente hablando (para V real), si λ = 0; A actua sobre el vector φ dejandoloen la misma direccion cambiandole, quizas, su modulo (si λ = ±1) o su sentido (si λ < 0).

13. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 49

Comentario 13.2. Sea A ∈ O(V).

i. Para V complejo, resulta evidente que si φ es un autovector de A de autovalor λ ∈ C;entonces φ es un autovector de: C ≡ αA + βI, ∀α, β ∈ C (D(C) = D(A)), deautovalor (αλ+ β). Para V real, lo correspondiente es obvio.

ii. Es importante observar que λ ∈ C sera un autovalor de A sii el operador (λI − A) notiene inversa en O(V).

En efecto, sea φ ∈ D(A), y consideremos (λI − A)φ = 0. Lo dicho se desprendeentonces del teorema 7.10.

Entonces, el conjunto de valores λ ∈ C para los cuales (λI − A)−1 no existe es

igual a Sp(A).Para V real, lo correspondiente es obvio.

iii. Por lo tanto, otra forma de expresar el teorema 7.10 en O(V) serıa: A posee inversa

en O(V) sii λ = 0 no es un autovalor de A. De manera equivalente, A no posee inversa

en O(V) sii λ = 0 es un autovalor de A.

Definicion 13.3. Si para un autovalor dado λ de A ∈ O(V) existen a lo sumoM auto-vectores asociados a λ (conM ≥ 1;M puede ser infinito), linealmente independientes: φ(d),d indexando a los autovectores; se dice que el autovalor λ tiene multiplicidad geometri-ca M . En la practica, es usual decir: “multiplicidad M”, a secas.

Si M ≥ 2, tambien se dice que λ es M veces degenerado; y si M = 1, tambien sedice que λ es simple o que es no degenerado. N

Comentario 13.4. Sigamos, suponiendo que V es un espacio de Hilbert H.Cuando el espacio de Hilbert H es del tipo L2

W(Λ) o T (ver seccion 5), los autovectoresde un operador tambien se llaman autofunciones.

Sea entonces: A ∈ O(H).

i. El conjunto de todos los λ ∈ R o C segun que H sea real o complejo respectivamente,para los cuales R(λI − A) es denso en H y (λI − A) posee una inversa acotada de

dominio D((λI − A)−1) = R(λI − A), se denomina conjunto resolvente de A; y

se denota: ρ(A).

ii. Definiremos al espectro de A, designandolo: S(A), como el complemento en los

complejos (o en los reales si H es real) del conjunto resolvente de A. Es decir:

S(A) = C− ρ(A).

Se puede probar (cosa que no haremos) que S(A) es un conjunto cerrado, acotado

y no vacıo si A ∈ L(H), para H complejo y H = 0. Ademas, si A ∈ L(H) esautoadjunto, siendo m su mayor cota inferior y M su menor cota superior (ver 10.7);

entonces: m,M ∈ S(A) ⊂ R, m = ınf S(A) y M = supS(A); por lo tanto, S(A) ⊂[m,M ].

Tambien se prueba que el espectro S(A) ⊂ R de todo operador autoadjunto A ∈O(H)), es cerrado.

iii. Notemos que: Sp(A) ⊂ S(A).

iv. Es inmediato verificar que: S(I) = Sp(I) = 1 y S(0) = Sp(0) = 0, si H = 0.v. Si dimH = N ∈ Z+, para todo A ∈ L(H) se tiene que S(A) = Sp(A).


En efecto, en ese caso ρ(A) es el conjunto de valores λ para los cuales existe

(λI − A)−1 ∈ L(H); ver i., 9.2 y 13.2.ii.

Comentario 13.5. Veamos algunas propiedades relativas a los autovectores y auto-valores.

i. Si φ es un autovector de A ∈ O(H) de autovalor λ, entonces ∀a ∈ C, con a = 0,tendremos que ψ = aφ tambien sera un autovector de A de autovalor asociado λ.Esto es obvio de la linealidad de A.

Entonces, si A ∈ O(H) y φ es un autovector de A, vemos que siempre podremosnormalizar al autovector φ. Sin embargo, la exigencia de normalizacion de los auto-vectores no los determina unıvocamente ya que si φ es un autovector normalizado,ψ ≡ eiαφ con α ∈ R, tambien lo es. La constante α se llama fase. Por eso se dice quela normalizacion determina unıvocamente a un autovector a menos de una fase.Usualmente, la fase se elige igual a cero (α = 0).

ii. Sea φ(d) un conjunto maximal de autovectores de A ∈ O(H) linealmente indepen-dientes, de autovalor λ (es decir, no existe otro autovector de autovalor λ linealmenteindependiente a estos). Denotando por M (M ≥ 1) el numero de autovectores deφ(d), sean a(d) ∈ C; d = 1, · · · , K; K ≤ M si M < ∞ y K ∈ Z+ si M = ∞;constantes complejas arbitrarias con al menos una no nula. El vector:

ψ ≡K∑d=1

a(d)φ(d), (13.2)

sera un autovector de A de autovalor asociado λ: Aψ = λψ (linealidad de A).Designemos por M(λ) al subespacio vectorial generado por el conjunto φ(d) de

autovectores de autovalor λ (el cual no es mas que el subespacio constituido portodos los autovectores de A de autovalor λ, junto con el vector cero), entonces vemosque: M = dimM(λ). Llamaremos a M(λ) el subespacio vectorial asociado a λ.Evidentemente M(λ) = 0, ya que dimM(λ) ≥ 1.

El operador A deja invariante a M(λ); esto es: Aφ ∈ M(λ), ∀φ ∈ M(λ).Podremos extraer a lo sumo un numero finito M (si M < ∞) o una infinidad

numerable (si M = ∞) de autovectores φ(k) ⊂ M(λ) que sean ortonormales entreellos si M ≥ 2; pues estamos suponiendo que H es separable. Una manera de ha-cerlo es escoger un subconjunto numerable de φ(d) si M ≥ 2 y aplicar el procesode ortogonalizacion de Gram-Schmidt; ver 1.P.11. Para afianzar ideas considerese al

operador identidad o al cero: I , 0 ∈ L(H). SiM = ∞ y 0 =∑∞

k=1

∣∣a(k)∣∣2 <∞, resulta

que Aψ = λψ (con ψ ≡∑∞

k=1 a(k)φ(k) = 0; ver 4.1-(ii)), para A ∈ O(H) autoadjunto.

Esto tambien sera valido ∀A ∈ L(H); pues A sera continuo (ver 7.19).

De ahora en adelante (al usar i), siempre supondremos, sin mas, que los M =dimM(λ) autovectores degenerados de M(λ) forman un sistema ortonormal maximalsi M ≥ 2 o que consiste de un solo vector normalizado si M = 1.

iii. Notemos que si Aφk = λkφk, k = 1, 2 (A ∈ O(H)) y λ1 = λ2, entonces el vectorφ = a1φ1 + a2φ2 ∈ D(A); con a1, a2 ∈ C y a1 = 0, a2 = 0; no es un autovector de A.

iv. Si A ∈ O(H) posee una base ortonormal φn ⊂ H de autovectores, entonces A seradiagonal en esa base (ver 9.6).

Teorema 13.6. Si A ∈ O(H) es Hermıtico, sus autovalores son reales.


Demostracion. Si Aφ = λφ, tendremos:

λ ⟨φ|φ⟩ = ⟨φ|λφ⟩ = ⟨φ|Aφ⟩ = ⟨Aφ|φ⟩ = ⟨λφ|φ⟩= λ ⟨φ|φ⟩ ⇒ λ = λ, ya que ⟨φ|φ⟩ = 0.

Teorema 13.7. Sea A ∈ O(H), Hermıtico. Si φ1, φ2 son dos autovectores de A, de

autovalores λ1, λ2 respectivamente, con λ1 = λ2, entonces φ1 ⊥ φ2; esto es, φ1 y φ2 sonortogonales.

Demostracion. Tenemos Aφk = λkφk; k = 1, 2. Entonces, usando 13.6:

λ1 ⟨φ2|φ1⟩ = ⟨φ2|λ1φ1⟩ = ⟨φ2|Aφ1⟩= ⟨Aφ2|φ1⟩ = ⟨λ2φ2|φ1⟩ = λ2 ⟨φ2|φ1⟩ ⇒ ⟨φ2|φ1⟩ = 0,

ya que λ1 = λ2. Comentario 13.8. Sea A ∈ O(H) Hermıtico. Lo que sigue sera entonces valido para

operadores simetricos o autoadjuntos.

i. Si λ y λ′ son dos autovalores diferentes de A tendremos entonces que:

M(λ) ⊥ M(λ′), si λ = λ′. (13.3)

ii. ComoH es separable, en virtud de (13.3) tendremos que el conjunto de los autovaloresdiferentes de A (es decir: Sp(A)) sera finito o infinito numerable. Puede ser vacıo; verejercicio 13.15.

Pongamos: Sp(A) = λn ⊂ R; λn = λn′ si n = n′.iii. En virtud de las discusiones hechas en 13.5.i, 13.5.ii y del teorema 13.7, designemos

al conjunto de todos los autovectores ortonormales de un operador Hermitico A por

φ(dn)n , n = 1, · · · ; dn = 1, · · · ,Mn (Mn ≥ 1), donde:

Aφ(dn)n = λnφ

(dn)n , (13.4)⟨

φ(dn)n

∣∣φ(dm)m

⟩= δnmδdndm . (13.5)

En general, un conjunto ortonormal φ(dn)n no sera completo en H (aun siendo A

autoadjunto); incluso, se puede carecer de autovectores, ver ii.

Teorema 13.9. Sea A ∈ O(H) un operador Hermıtico acotado inferiormente por c

(c ∈ R); esto es, A ≥ cI (ver 10.7). Entonces, si λ es cualquier autovalor de A, tendremosque λ ≥ c.

Demostracion. Si Aφ = λφ, tendremos:

λ ⟨φ|φ⟩ = ⟨φ|λφ⟩ =⟨φ∣∣∣Aφ⟩ ≥ c ⟨φ|φ⟩ ⇒ λ ≥ c, ya que ⟨φ|φ⟩ > 0.

Comentario 13.10. Si A ∈ O(H) es autoadjunto se puede probar (cosa que no

haremos) que el espectro de A (ver 13.4.ii) es real; es decir: S(A) ⊂ R. Tambien se puede

probar que el espectro de A se encuentra acotado inferiormente por c ∈ R sii A ≥ cI; ver10 del §3, del capıtulo V de [73], p. ej.


Para A ∈ O(H) autoadjunto definiremos al espectro continuo de A, designandolo:

Sc(A), como el complemento en S(A) del conjunto Sp(A). Es decir: Sc(A) = S(A)−Sp(A).Notemos que: Sc(A) ⊂ R; S(A) = Sp(A) si Sc(A) = ∅; y S(A) = Sc(A) si Sp(A) = ∅.

Tendremos entonces que:

S(A) = Sp(A) ∪ Sc(A); C = ρ(A) ∪ Sp(A) ∪ Sc(A), (13.6)

para todo A autoadjunto; siendo ρ(A), Sp(A) y Sc(A) conjuntos disjuntos. Tendrıamos:

R = ρ(A) ∪ Sp(A) ∪ Sc(A) si H fuese real.

Comentario 13.11. Entre los postulados fundamentales de la mecanica cuanticausual; vinculada al principio de relatividad de Galileo o al de Einstein (como suele decirse:“no relativista” y “relativista”, respectivamente); que nos permiten caracterizar un siste-ma fısico cuantico (sin “reglas de superseleccion” y con un “numero finito de grados delibertad”), figuran los siguientes; ver [8], [11] y [89], p. ej.

(a) Se proporciona un espacio de Hilbert H; complejo, separable y con dimH ≥ 2.(b) Cada uno de los vectores normalizados de H representa un estado fısico (“puro”) del

sistema fısico.(c) Las variables dinamicas del sistema fısico; energıa, posicion, momentum, momento

angular, etc.; vienen representadas por operadores autoadjuntos de O(H). Es usualreferirse a estos como observables.

(d) Si ψ ∈ H representa un estado del sistema fısico y ψ ∈ D(A) para un observableA ∈ O(H), el valor medio de A para ese estado viene dado por: ⟨ψ|Aψ⟩.

Puntualicemos que ⟨ψ|Aψ⟩ es real; ver teorema 10.6.ii.(e) Los unicos valores medibles posibles son valores medios de observables.

Por ejemplo, si ψ ∈ H es un autovector normalizado de un observable A ∈ O(H)de autovalor λ ∈ R (Aψ = λψ), tenemos para el valor medible λ: ⟨ψ |Aψ⟩ = λ. Otroejemplo serıa la probabilidad de transicion: | ⟨φ|ψ⟩ |2, de un vector normalizado ψ ∈ H

al vector normalizado φ ∈ H; la cual viene dada por el valor medio:⟨ψ∣∣∣Pφψ⟩ , donde

Pφ se define en 11.1.(f) La evolucion de cualquier estado ψ(0), vendra dada por: ψ(t) = U(t)ψ(0); don-

de U(t)t∈R es un grupo unitario monoparametrico. Ver comentario al principio delcapıtulo 8 para el caso no relativista. N

i. Dado un vector normalizado ψ ∈ H, es claro que todos los vectores normalizados:eiαψ ∈ H, ∀α ∈ R, nos proporcionaran los mismos valores medios para todos losobservables del sistema fısico con ψ en su dominio. En efecto, se tiene: ⟨ψ|Aψ⟩ =⟨eiαψ|Aeiαψ⟩ , ∀α ∈ R y ∀A ∈ O(H) tal que ψ ∈ D(A). Es por ello que se sueleconsiderar las clases de equivalencia fabricadas ası: tomemos un vector normalizadoψ ∈ H y formemos el conjunto que denotamos por < ψ > ⊂ H y que llamamosrayo unitario, de todos los vectores normalizados de H que difieren de ψ por unafase (eiα, α ∈ R); luego tomemos un vector normalizado φ ∈ H con φ /∈ < ψ >y formemos < φ >, y ası sucesivamente. Con ello se obtiene una correspondenciabiyectiva entre estados fısicos (“puros”) y rayos unitarios.

Los estados fısicos vienen dados de manera mas general (los “puros” y las “mez-clas”) por los llamados operadores (o matrices) densidad; ver [8], [11] y [89], p. ej.Resulta ser que la relacion entre operadores densidad y estados fısicos es biyectiva.


ii. Tratemos de motivar ligeramente al hecho que las variables dinamicas de un siste-ma fısico cuantico se representen mediante operadores autoadjuntos. La exigencia delinealidad del operador se encuentra ligada al usualmente denominado: “principio desuperposicion”. Para los propositos de esta discusion, sigamos denominando “valormedio” de una variable dinamica A ∈ O(H) para un estado fısico ψ ∈ D(A), a:⟨ψ|Aψ⟩; con A arbitrario.

Si seguimos el punto de vista tradicional en fısica, que exige que todos los valoresmedios (los valores medibles) de una variable dinamica deben ser reales; el teorema10.6.ii ası como la informacion dada al final del mismo, nos indican que los operadoresdeben ser al menos Hermıticos.

Es deseable poder calcular el valor medio de una variable dinamica para suficientesestados fısicos, y por lo tanto es natural exigir que el dominio de los operadores sea almenos denso en H; con lo cual tenemos que los operadores son al menos simetricos.

Las variables dinamicas se representan mediante operadores autoadjuntos, en vir-tud de los siguientes argumentos: i′. Ciertas variables dinamicas (energıa, momentum,momento angular; p. ej.) se obtienen directamente de primeros principios, al invocarargumentos de simetrıa e invariancia, resultando ser operadores autoadjuntos. ii′. So-lo para operadores autoadjuntos (y no para operadores simetricos) vale el teoremaespectral, el cual da mucho control sobre la estructura del operador. iii′. Solamentecon operadores autoadjuntos (y no con operadores simetricos) se puede formar (vıa elcalculo funcional; ver [89], p. ej.) la exponencial; por ejemplo: e−iHt/~, con H ∈ O(H)autoadjunto, t ∈ R; lo que nos proporcionara la dinamica si H es el Hamiltoniano.

Queremos senalar que (en contra del punto de vista tradicional) valores medios(medibles) de variables dinamicas en terminos de numeros complejos pueden ser jus-tificados plenamente desde el punto de vista fısico, y por lo tanto, operadores linealesno autoadjuntos (y no Hermıticos) tambien pueden representar a variables dinamicas.

iii. En la literatura fısica se usa (inadecuadamente) el termino de operador Hermıticopara designar un operador autoadjunto.

Este tipo de manejo impropio de la matematica es caracterıstico del fısico, quefrecuentemente no le presta la debida atencion a los dominios de los operadores querepresentan observables, considerando que estos dominios son todo H (lo cual no es

cierto para los operadores M , X y P , definidos en 11.4, 11.7 y 11.8, p. ej.); es decir,considerando a los operadores de O(H) como si fuesen operadores de L(H) y usandopara ellos teoremas validos para elementos de L(H), como el teorema 10.6. i, p. ej.

iv. Finalmente, senalemos que todo Hamiltoniano H (observable energıa) debe ser aco-

tado inferiormente (H ≥ cI) para que su espectro sea acotado inferiormente (porc ∈ R); en particular, cualquier autovalor de la energıa (ver 13.10 y teorema 13.9).Esta exigencia es necesaria para no violar la segunda ley de la termodinamica.

Ejercicio 13.12. Hallemos los autovalores y autovectores del operador M definidoen el ejemplo 11.4.

Tendremos:

Mφ = λφ⇒ −i~dφ(x)dx

= λφ(x), esto es;

dφ(x)

φ(x)=iλdx

~⇒ lnφ(t)|xa =

iλ

~(x− a) ⇒ φ(x) = deiλx/~,


donde, d ∈ C, d = 0, es una constante arbitraria.Para que φ ∈ D(M), es necesario que φ(b) = φ(a); esto es, eiλa/~ = eiλb/~ ⇒

eiλ(b−a)/~ = 1. Por lo tanto λ solo puede ser del tipo:

λn =2πn~b− a

; n = 0,±1,±2, · · · . (13.7)

Si normalizamos los φn’s correspondientes a los λn’s, tendremos:

⟨φn|φn⟩ =∫ b

a

φn(x)φn(x)dx = |d|2 (b− a) = 1 ⇒ |d|2 = 1

b− a.

Entonces d = |d| eiα y escogemos la fase igual a cero. Hemos obtenido:

φn(x) =1√b− a

eiλnx/~, n = 0,±1,±2, · · · . (13.8)

Notemos que no hay degeneracion para M y por lo tanto, automaticamente, como Mes autoadjunto, los vectores φn dados por (13.8) son ortogonales, en virtud del teorema13.7. Este hecho ya se habıa probado directamente en 1.P.15.

En mecanica cuantica, los valores posibles de la componente z del momento angularorbital (a = 0, b = 2π; M ≡ Lz) son discretos: n~, n = 0,±1,±2, · · · ; esto es, haycuantizacion.

Finalmente, recordemos que se habıa mencionado en 1.P.15, que el sistema ortonormalφn dado en (13.8) es completo.

Notemos que en vez del conjunto (13.8), se podrıa escoger:

χn(x) =1√b− a

eiλn(x−a)/~; n = 0,±1,±2, · · · , (13.9)

como el sistema ortonormal y completo de autovectores de M . En efecto, φn y χnsolo difieren entre sı por una fase: e−iλna/~.

El conjunto (13.9) satisface: χn(a) = χn(b) =1√b−a .

Ejercicio 13.13. Resulta facil demostrar (ver 1.P.55) que el sistema ortonormal y

completo (13.8) o (13.9), son los autovectores normalizados de M2 (ver ejemplo 11.5)asociados a todos sus autovalores λ2n; con:

λ2n =

(2πn~b− a

)2

; n = 0,±1,±2, · · · . (13.10)

Los conjuntos (13.8) o (13.9) seran entonces autovectores simultaneos de M y M2.

El espectro puntual de M2 es doblemente degenerado para n = 0; lo que resulta

coherente con la interpretacion fısica de M2 (ver 11.5).

Al usar la doble degeneracion (si n = 0) de M2, (13.8), (13.9) y lo establecido en13.5.ii., resulta facil demostrar (ver 1.P.55) que los conjuntos:

φ0(x) =1√b− a

; Γn(x) =

√2

b− asen

λnx

~;

Ωn(x) =

√2

b− acos

λnx

~; n = 1, 2, 3, · · · ,

(13.11)


o bien:

φ0(x) =1√b− a

; Φn(x) =

√2

b− asen

λn(x− a)

~;

Ψn(x) =

√2

b− acos

λn(x− a)

~; n = 1, 2, 3, · · · ,

(13.12)

son tambien, cada uno de ellos, un sistema ortonormal y completo de autovectores de M2

asociados a los autovalores λ2n (ver (13.10)).Sin embargo, aunque los elementos de los conjuntos (13.11) y (13.12) pertencen a

D(M), estos no son (excepcion hecha de φ0) autovectores de M . Notemos que: Φn(a) =

Φn(b) = 0 y Ψn(a) = Ψn(b) =√

2b−a ; n =, 1, 2, · · · .

Ejercicio 13.14. Resulta facil demostrar (ver 1.P.55) que el conjunto:

ψn(x) =

√2

b− asen

nπ(x− a)

b− a; n = 1, 2, 3, · · · , (13.13)

representa a los autovectores normalizados de W (ver ejemplo 11.6) asociados a todos susautovalores ϵn; con:

ϵn =

(πn~b− a

)2

; n = 1, 2, 3, · · · . (13.14)

Observemos que los autovalores de W (a diferencia de los de M2 si n = 0) no sondegenerados; y por lo tanto ψn es automaticamente un sistema ortogonal (ver 13.7),

cuestion que se puede verificar directamente. El valor cero no es autovalor de W , pero side M2. Por lo tanto (ver 13.2.iii.) existe la inversa W−1 de W , pero no la de M2.

Se puede demostrar (cosa que no haremos) que el conjunto ortonormal ψn es

completo en L2(a, b). Se tiene ψn(a) = ψn(b) = 0; como debe ser, pues ψn ∈ D(W ).

No toda φ ∈ L2(a, b) se anula en sus extremos, y su desarrollo en terminos de los ψn’s(debido a su completitud) no debe llamarnos la atencion, pues la convergencia involucradaen ese desarrollo es en media (la fuerte); ver tambien los comentarios en 1.P.15.

Notemos que aunque el conjunto ψn ⊂ D(M), sus elementos no son autovectores

de M . Notemos tambien que ψ2n−1 /∈ D(M2) para n = 1, 2, 3, · · · .Notemos que ψ2n(x) = Φn(x) ∈ D(M2), n = 1, 2, 3, · · · (ver 13.13); y por lo tanto ψ2n

tambien seran autovectores de M2. Siendo Φn, n = 1, 2, · · · , un subconjunto propio deψn, este no sera completo en L2(a, b); lo cual tambien es obvio del hecho que φ0,Φn,Ψn,n = 1, 2, · · · , es un sistema ortonormal completo (ver 13.13).

Ejercicio 13.15. Veamos que ni P , ni X, ni Q, poseen autovectores (vale decir, notienen autovalores).

i. Sea Pφp(x) = −i~dφp(x)dx

= pφp(x) con p ∈ R, ya que P es autoadjunto. Entonces,

como en el ejercicio 13.12, tenemos que φp(x) = deipx/~. Pero:

⟨φp|φp⟩ = |d|2∫ ∞

−∞dx = ∞, y: φp /∈ L2(−∞,∞).


ii. Sea Xφa(x) = aφa(x) con a ∈ R, ya que X es autoadjunto.

Se tiene: Xφa(x) = xφa(x) = aφa(x). Entonces: (x − a)φa(x) = 0, ∀x ∈ R. Peroesto solo se cumple (ya que se exige que φa ≡ 0) si:

φa(x) =

0 ; ∀x = acualquier numero complejo no nulo ; si x = a,

(13.15)

y esto quiere decir que la funcion φa es un representante del vector cero en el espaciode Hilbert L2(−∞,∞) ya que ⟨φa|φa⟩ = 0 (o lo que es lo mismo; por el hecho que φadifiere de la funcion cero en un conjunto de medida nula: el conjunto a). Entonces,como el vector cero nunca es autovector, concluimos que X no tiene autovectores.

iii. Para el operador Q, el argumento es similar al usado en ii.

Comentario 13.16. En los tratamientos no matematizados mas serios de la mecanicacuantica (ver, p. ej., [6, 11]) se acostumbra exigir que todos los observables (operadoresautoadjuntos) posean un sistema ortonormal y completo de autovectores (como hemos

visto se cumple para Lz), y que sus autovalores sean valores medibles.Este postulado fundamental de la mecanica cuantica contrasta fuertemente con el

hecho de que dos de los operadores mas importantes en mecanica cuantica, P y X, nisiquiera tienen autovectores (ver 13.15).

Esto es sin duda alguna una contradiccion insalvable matematicamente. Sin embargo,en la proxima seccion veremos en que “sentido” los fısicos entienden el contenido de estepostulado.

14. El Espectro Continuo

En toda esta seccion trataremos una especie de generalizacion de algunos de los con-ceptos que se han desarrollado hasta ahora. Esta generalizacion estara completamentedesprovista de rigor matematico.

Definicion 14.1. Sean E y Eg dos espacios vectoriales, tales que E Eg (la “g” espor espacio “grande”), y sea J un conjunto de ındices arbitrario (p. ej.: J = Z+, J = I ′).Diremos que un conjunto linealmente independiente de vectores φαα∈J, con φα ∈ Eg, esuna base generalizada de E, si todo vector de E puede expresarse como una combinacionlineal (incluso infinita si dimE = ∞; la cual puede venir dada por una integral, p. ej. siJ = I ′) de los φα’s; a esto lo llamaremos tambien completitud generalizada del conjuntoφα. N

Sea Eg un espacio vectorial de funciones definidas sobre un conjunto no vacio arbitrarioX a valores en C o en el infinito. Si J = I ′ ⊂ R es un intervalo general, la completitudgeneralizada de un conjunto de funciones complejas φαα∈I′ ⊂ Eg se expresara con larelacion:

ψ(x) =

∫I′c(α)φα(x)dα; ∀ψ ∈ E, (14.1)

siendo c(α) ∈ C los coeficientes del desarrollo.

Ejercicio 14.2. Veamos tres ejemplos de bases generalizadas.

i. Sea Eg el plano R2, n cualquier vector fijo no nulo en ese plano, y E = λnλ∈R.Entonces, i, j es una base generalizada de E. Ver figura 6.

14. EL ESPECTRO CONTINUO 57

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

......................................

.............................................................................

i

j

E

n

Figura 6. Base Generalizada

ii. Sea Eg ≡ E(1) el espacio vectorial de funciones f : R→ C, donde tambien se incluyena “funciones” como la delta de Dirac (E(1) serıa el espacio de la cuantica en unadimension). Sea E = H = L2(R); entonces φp(x)p∈R, con:

φp(x) =1√2π~

eipx/~, (14.2)

es una base generalizada de L2(R). En efecto:a) Las φp’s son linealmente independientes, ya que si c(p)p∈R son constantes para

cada p, c(p) ∈ C, tendremos que∫∞−∞ dpc(p)φp(x) = 0 ⇒ c(p) = 0 ∀p ∈ R, puesto

que la transformada de Fourier de cero es cero.b) φpp∈R es completo ya que:

ψ(x) =1

(2π~)1/2

∫ ∞

−∞ψ(p)eipx/~dp, ∀ψ ∈ L2(R),

siendo ψ(p) los coeficientes c(p) (contınuos) del desarrollo (ver (14.1)).iii. Sean E y Eg como en ii. Entonces φa(x)a∈R, con:

φa(x) = δ(x− a), (14.3)

es una base generalizada de L2(R). En efecto:a) Los φa’s son linealmente independientes, ya que si c(a)a∈R son constantes para

cada a, c(a) ∈ C, tendremos que J ≡∫∞−∞ dac(a)φa(x) = 0 ⇒ c(a) = 0, ∀a ∈ R,

puesto que J = c(x).b) φaa∈R es completo ya que:

ψ(x) =

∫ ∞

−∞daψ(a)δ(x− a), ∀ψ ∈ L2(R),

siendo ψ(a) los coeficientes (contınuos) del desarrollo (ver (14.1)).

Definicion 14.3. Sea φαα∈I′ , con φα ∈ E(1) (E(1) definido en 14.2.ii). Diremos queφαα∈I′ es un conjunto ortonormal generalizado en L2(R), o que es un conjunto


ortonormal en el sentido de la delta en L2(R), si se cumple que:

⟨φα|φα′⟩ ≡∫ ∞

−∞φα(x)φα′(x)dx = δ(α− α′); α, α′ ∈ I ′. (14.4)

NSeguimos usando, formalmente, al sımbolo del producto escalar.Tanto φpp∈R definido en (14.2), como φaa∈R, definido en (14.3), son conjuntos

ortonormales generalizados (ver 1.P.57).

Comentario 14.4. Sea φαα∈I′ , con φα ∈ E(1), (E(1) y E definidos como en 14.2.ii)un conjunto ortonormal completo generalizado (esto es, una base ortonormal generalizada).Entonces, el coeficiente c(α) de la Rel. (14.1) viene dado por:

c(α) = ⟨φα|ψ⟩ , (14.5)

y lo llamamos tambien coeficiente de Fourier generalizado de la ψ ∈ L2(R).

En efecto, con las Rels. (14.1) y (14.4), obtenemos:

⟨φα′|ψ⟩ =∫Rφα′(x)ψ(x)dx =

∫R

∫I′dxdαφα′(x)c(α)φα(x)

=

∫I′dαc(α)

[∫Rdxφα′(x)φα(x)

]=

∫Rdαc(α)δ(α− α′) = c(α′).

Comentario 14.5. Un conjunto ortonormal generalizado φαα∈I′ con φα ∈ E(1) (Ey E(1) definidos como en 14.2.ii) es completo generalizado en L2(R) sii es satisfecha larelacion: ∫

I′dαφα(x′)φα(x) = δ(x− x′); x, x′ ∈ R. (14.6)

La relacion (14.6) se llama relacion de clausura generalizada o tambien relacion decierre generalizada en L2(R); la cual expresa la completitud de los φα’s.

En efecto, si (14.6) es cierta, la multiplicamos por ψ(x′) ∈ L2(R) e integramos en x′:

ψ(x) =

∫Rδ(x− x′)ψ(x′)dx′ =

∫I′dα

[∫Rφα(x′)ψ(x

′)dx′]φα(x)

=

∫I′c(α)φα(x)dα, ∀ψ ∈ L2(R),

siendo c(α) el coeficiente de Fourier de la ψ.Por otra parte, si la Rel. (14.1) es cierta, c(α) viene dada por la Rel. (14.5), ya que

los φα’s son ortonormales generalizados. Al sustituir (14.5) en (14.1) obtenemos:

ψ(x) =

∫Rdx′[∫

I′dαφα(x′)φα(x)

]ψ(x′), ∀ψ ∈ L2(R),

lo cual es cierto si el corchete es la delta; esto es, si se cumple la Rel. (14.6).

Comentario 14.6. Generalizaciones de lo dicho anteriormente; p. ej., a N dimensio-nes; resultan obvias.


Sea E = L2W(Λ) definido en 5.5 y Eg = E(Λ), siendo E(Λ) el espacio vectorial de las

funciones f : Λ → C, donde tambien se incluyen a “funciones” como la delta de Dirac(usaremos la notacion E(N) ≡ E(RN)). Entonces, p. ej., un conjunto ortonormal y completo

generalizado φαα∈I(j) ⊂ E(Λ) en L2W(Λ), siendo I

(j) ⊂ Rj, j ∈ Z+, un intervalo generalsi j = 1 o el producto cartesiano de j ≥ 2 intervalos generales arbitrarios de R; conφα ∈ E(Λ); satisface:

⟨φα|φα′⟩ =∫Λ

φα(x)φα′(x)W(x)dNx = δ(α− α′); α, α′ ∈ I(j), (14.7)

∫I(j)

djαφα(y)φα(x) =δ(x− y)

W(x); x, y ∈ Λ. (14.8)

Si φαα∈I(j) ⊂ E(Λ) satisface la Rel. (14.7) con α = α′, diremos que es un conjuntoortogonal generalizado en L2

W(Λ).Notemos que si φk(x)k∈Z+ es un conjunto ortonormal y completo de L2

W(Λ); φk ∈L2W(Λ); podremos escribir:

⟨φk|φj⟩ = δkj ;∞∑k=1

φk(y)φk(x) =δ(x− y)

W(x); x, y ∈ Λ. (14.9)

Consideraremos que con lo ya dicho, las expresiones de ortonormalidad y clausura

generalizadas en L2W(Λ) para un conjunto φαα∈J ⊂ E(Λ), con J en parte continuo y en

parte discreto, resultan faciles de establecer. P. ej., si J = I(j)∪Z+, con φαα∈I(j) ⊂ E(Λ)y φαα∈Z+ ⊂ L2

W(Λ).

Comentario 14.7. Para un operador A ∈ O(L2W(Λ)), extendemos su dominio a todas

aquellas funciones φ de E(Λ), con E(Λ) definido en 14.6, para las cuales Aφ tenga sentido;esto es, Aφ ∈ E(Λ). Puede ocurrir que para un operador A ∈ O(L2

W(Λ)), aun sin poseereste autofunciones (ni autovalores), se cumpla que:

Aφλ = λφλ; φλ ∈ E(Λ); φλ = 0; λ ∈ Ck. (14.10)

En este caso decimos que φλ es una autofuncion generalizada de A asociada alautovalor generalizado λ. Si λ ∈ Ck con k ≥ 1, A ∈ O(L2

W(Λ)) sera un operador de“k” componentes con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares k-dimensional.P. ej., el momentum o la posicion de una particula en cuantica, ver 1.P.61; que son ejemplosde operadores vectoriales (ver [8] o [12]), ası como el momento angular (ver 1.P.64).

Al conjunto de todos los autovalores generalizados de A se le llama usualmente, abu-sando del lenguaje (en los textos de cuantica; y ası lo habremos de hacer en este texto),el “espectro” de A (deberıamos decir: el espectro generalizado de A). En matematicala nocion de espectro de un operador (para k = 1) tiene un sentido (bastante relacionadocon el que acabamos de definir) muy preciso (ver 13.4.ii).

La nocion de autovalor degenerado (multiplicidad geometrica) se extiende de maneraobvia al caso de autovalores generalizados.

Un operador k-dimensional (k ≥ 1) A ∈ O(L2W(Λ)) sera autoadjunto, si cada una

de sus componentes lo es en D(A). Tendremos que los autovalores generalizados de un


operador k-dimensional (k ≥ 1) autoadjunto son elementos de Rk y que dos autofuncio-nes generalizadas correspondientes a autovalores generalizados diferentes son ortogonales

generalizadas en L2W(Λ). Ver 1.P.60.

Comentario 14.8. El espectro generalizado de P y X es no degenerado y es todoel eje real; y sus autofunciones generalizadas vienen dadas por las Rels. (14.2) y (14.3),respectivamente. En efecto:

Pφp(x) = −i~ ddx

[eipx/~√2π~

]= pφp(x); ∀p ∈ R. (14.11)

Xφa(x) = xφa(x) = xδ(x− a) = aδ(x− a) = aφa(x); ∀a ∈ R. (14.12)

Comentario 14.9. Con todo lo dicho en esta seccion vemos como puede resolverseel problema discutido en 13.16. El postulado de la mecanica cuantica debe enunciarse:todos los observables de la mecanica cuantica son operadores autoadjuntos que poseenun sistema ortonormal y completo de autovectores, todo ello en el sentido generalizado;siendo sus autovalores generalizados, valores medibles del observable.

Por ejemplo, hemos visto que P y X, dos de los observables mas importantes poseenestas propiedades; notemos que el espectro de P y de X es todo el eje real, como debe serfısicamente.

Comentario 14.10. La solucion que hemos dado en 14.9, del problema planteadoen 13.16, carece por completo de rigor matematico. Para una formulacion matematicarigurosa de la mecanica cuantica en un espacio de Hilbert (formulacion perfectamentevalida para sistemas fısicos con un numero finito de grados de libertad), senalaremos amanera de informacion dos caminos diferentes (existen muchos mas) desde el punto devista matematico pero equivalentes desde el punto de vista fısico.

i. Seguir la vıa que senalo von Neumann, al usar la teorıa (bastante desarrollada; enbuena parte por el mismo, junto a Riesz y Stone) de operadores; particularmente losautoadjuntos; en espacios de Hilbert (descartando en principio el lenguaje que habla deautovectores, autovalores, etc.). Con ello se logra una teorıa fısica y matematicamentecoherente (ver, p. ej., [84, 88, 89]).

ii. Empenarnos en rigorizar matematicamente a la formulacion usual de la mecanicacuantica; esto es, hacer riguroso de alguna manera al contenido de esta seccion. Elloresulta factible, gracias a la teorıa matematica de las ternas de Gel’fand, tambienllamadas ternas Hilbertianas; ver [90] para el desarrollo matematico y a [91, 92]para aplicaciones a la mecanica cuantica.

15. Problemas

1.P.1 Sea φ ∈ G; con G real o complejo. Si ⟨φ|ψ⟩ = 0, ∀ψ ∈ G, entonces: φ = 0. N1.P.2 Demostrar la identidad del paralelogramo. Esto es, para G real o complejo:

∥ψ + φ∥2 + ∥ψ − φ∥2 = 2(∥ψ∥2 + ∥φ∥2

), ∀φ, ψ ∈ G. (15.1)

Interpretar geometricamente (15.1) en R2. N

15. PROBLEMAS 61

1.P.3 Demostrar la identidad de polarizacion para G complejo. Esto es:

⟨φ|ψ⟩ = 1

4

(∥φ+ ψ∥2 − ∥φ− ψ∥2 + i ∥φ− iψ∥2 − i ∥φ+ iψ∥2

); ∀φ, ψ ∈ G. (15.2)

NNotemos que si el espacio G es real, la identidad de polarizacion tiene una forma

diferente a la Rel. (15.2), que (por referencia) senalamos a continuacion:

⟨φ|ψ⟩ = 1

4

(∥φ+ ψ∥2 − ∥φ− ψ∥2

); ∀φ, ψ ∈ G. (15.3)

Dado un espacio normado F de norma ∥·∥, siempre se puede definir al sımbolo:⟨φ|ψ⟩, ∀φ, ψ ∈ F, mediante la Rel. (15.2) o (15.3); segun que F sea complejo o real,respectivamente. La pregunta que nos podemos formular es si ese sımbolo representaun producto escalar; esto es, si F es entonces un espacio de pre-Hilbert. La respuestasera afirmativa unicamente si la norma de F satisface la identidad del paralelogramo(Rel. (15.1)); ver [77, teorema 1.6], p. ej.

1.P.4 Demostrar que si una sucesion φn ⊂ F converge (fuertemente), entonces el lımitees unico. N

1.P.5 Sean ψn, φn ⊂ F sucesiones que convergen (fuertemente) a ψ y φ ∈ F respecti-vamente, y λn ⊂ C (o R, si F es real) una sucesion que converge a λ ∈ C (o R).Demostrar que:i. φn + ψn converge (fuertemente) a (φ+ ψ).ii. γψn con γ ∈ C (o R), converge (fuertemente) a γψ.iii. λnχ con χ ∈ F, converge (fuertemente) a λχ.iv. lımn→∞ ∥ψn∥ = ∥ψ∥.v. λnψn converge (fuertemente) a λψ.

N1.P.6 Demostrar que si una sucesion φn ⊂ G converge debilmente, entonces el lımite es

unico. N1.P.7 Demostrar que si una sucesion ψn ⊂ F converge (fuertemente), entonces es de

Cauchy. N1.P.8 Si M = 0 es un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert [de Banach],

entonces M es un espacio de Hilbert [de Banach]. N1.P.9 Sea φ1, · · · , φn ∈ G, un sistema ortogonal. Demostrar que:

∥φ1 + · · ·+ φn∥2 = ∥φ1∥2 + · · ·+ ∥φn∥2 . (15.4)

NPara el caso de dos vectores no nulos, este resultado se llama teorema de

Pitagoras.Notemos que si el conjunto φ1, · · · , φn ∈ G es arbitrario, no valdra la Rel. (15.4)

sino:

∥φ1 + · · ·+ φn∥ ≤ ∥φ1∥+ · · ·+ ∥φn∥ , (15.5)

como se desprende de 1.1.iv.1.P.10 Recordemos que una coleccion finita de vectores φ1, · · · , φn ⊂ V = 0, n ∈ Z+, es

linealmente independiente, si cualquier ecuacion del tipo∑n

k=1 λkφk = 0 (λk ∈ Co R, segun que V sea complejo o real) implica que λ1 = · · · = λn = 0. Una coleccion


infinita de vectores de V es linealmente independiente si todo subconjunto finito novacıo, es linealmente independiente.

Demostrar que todo sistema de vectores no nulos y ortogonales de G (dimG ≥ 2),es linealmente independiente. N

Cualquier conjunto: φ ⊂ V = 0 con φ no nulo, es linealmente independiente.Notemos que si φν es un conjunto linealmente independiente de vectores de V

(V = 0), entonces cada φν es no nulo.1.P.11 Sea ψn ⊂ G con dimG ≥ 2 un conjunto; finito o infinito numerable, n ≥ 1 y 2; de

vectores linealmente independientes (y por lo tanto no nulos). A cada elemento ψnse le puede asociar un vector no nulo φn ∈ G; combinacion lineal de ψ1, · · · , ψn; talque φn sea un sistema ortogonal. En efecto, demuestre (por induccion) que φndado por:

φ1 = ψ1; φn = ψn −n−1∑k=1

⟨φk|ψn⟩φk∥φk∥2

, n ≥ 2, (15.6)

es uno de esos sistemas ortogonales. NLa construccion dada por la Rel. (15.6) se llama el proceso de ortogonaliza-

cion de Gram-Schmidt.Notemos que si deseamos obtener un sistema ortonormal a partir del conjunto

ψn, bastara con normalizar al conjunto ortogonal φn.1.P.12 Si dimG = N (N < ∞, N ≥ 2), demostrar que todo sistema ortonormal de N

vectores es completo. NBasta con usar las Defs. de dimG y la de completitud.

1.P.13 Sea z = (z1, · · · , zN) ∈ CN y z′ = (z′1, · · · , z′N) ∈ CN ; N ∈ Z+. Definamos:

⟨z| z′⟩ =N∑i=1

ziz′i. (15.7)

Demostrar que ⟨z| z′⟩ es un producto escalar en CN . NCN equipado del producto escalar (15.7) sera entonces un espacio de Hilbert

complejo; ver teorema 4.8.CN considerado como espacio de Hilbert tambien se denota por l2(N).Notemos que si N ≥ 2 podemos usar el calculo matricial para expresar (15.7).

En efecto, si:

z′ =

z′1...z′N

es la matriz compleja N × 1 que representa a z′, entonces pondremos:

⟨z| z′⟩ = (z1 · · · zN)

z′1...z′N

, (15.8)

donde (z1 · · · zN) es la matriz compleja 1×N que representa a z.

15. PROBLEMAS 63

1.P.14 Demostrar que el conjunto de N ≥ 2 vectores de CN (obviamente) linealmenteindependientes; denominado base canonica de CN :

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , eN =

00...1

;

es una base ortonormal en l2(N). Por lo tanto: dimCN = N (como ya sabıamos). N1.P.15 Para a y b finitos, sea H = L2(a, b). Consideremos al sistema de vectores:

φn(x) =1√b− a

ei2πnx/(b−a) ∈ L2(a, b); n = 0,±1,±2, · · · . (15.9)

i. Usando el hecho de que ab−a = b

b−a − 1, demostrar que:

φn(b) = φn(a), n = 0,±1,±2, · · · . (15.10)

ii. Demostrar que el sistema φn es ortonormal en L2(a, b).N

Afirmaremos, sin demostrarlo, que el conjunto φn dado en (15.9) es completo

en L2(a, b). Por lo tanto, toda ψ ∈ L2(a, b) se puede desarrollar en serie de los φn’s(ver teorema 4.9.i y 4.9.iii).

Como una funcion ψ ∈ L2(a, b) no es necesariamente periodica, el desarrollo dela ψ antes mencionado puede parecer extrano, ya que la exigencia de periodicidadpara una funcion ψ es permanente en la teorıa clasica de las series de Fourier. Estaaparente contradiccion queda aclarada si recordamos que en la teorıa clasica de lasseries de Fourier el espacio de las funciones ψ no es L2(a, b), y que la convergenciausada allı es la puntual en los complejos y no la fuerte.

1.P.16 Demostrar que el conjunto φn(z) ≡ zn√n!n = 0, 1, · · · ; del espacio T (ver 5.6) es un

sistema ortonormal. NUsar las coordenadas polares; esto es: z = reiθ, dxdy = rdrdθ.

1.P.17 Demostrar que la relacion de isomorfismo entre espacios normados es una relacionde equivalencia. Es decir, la relacion es:i. Reflexiva: todo F es isomorfo a sı mismo.ii. Simetrica: F1 es isomorfo a F2 si y solo si F2 es isomorfo a F1.iii. Transitiva: si F1 es isomorfo a F2 y F2 es isomorfo a F3, entonces F1 es isomorfo

a F3.N

1.P.18 Ya sabemos que los vectores de CN , N ≥ 2, pueden escribirse como matrices N × 1(ver 1.P.13). Tambien sabemos (por algebra lineal) que las matrices complejas N×Nson operadores lineales en CN .

Si A ≡ (aij) es una matriz compleja N × N ; i, j = 1, · · · , N , enunciar (sindemostrar) la condicion necesaria y suficiente para que A tenga inversa. N

1.P.19 Demostrar que los operadores cero e identidad (ver 7.12) pertenecientes a O(F1,F2)

y a O(F), respectivamente, son acotados; y que:∥∥0∥∥ = 0,

∥∥∥I∥∥∥ = 1. NPor lo tanto: 0 ∈ L(F1,F2) e I ∈ L(F).


1.P.20 Sea F ∈ L(F1,F2) y C cualquier constante real no negativa (C ≥ 0); tal que:

∥F (ψ)∥2 ≤ C ∥ψ∥1 , ∀ψ ∈ F1. (15.11)

Demostrar que:∥F∥ ≤ C. (15.12)

N1.P.21 Sean A,B,C ∈ L(H); y: λ, γ ∈ C. Demostrar que: [A,B] ∈ L(H); y que:

[A,B] = − [B,A] , (15.13)

[A, λB + γC] = λ [A,B] + γ [A,C] , (15.14)

[A,BC] = [A,B]C +B [A,C] . (15.15)

NLas Rels. (15.13)-(15.15) tambien son validas para operadores de O(H), pero

habrıa que especificar los dominios.1.P.22 Sea A ≡ (aij) ∈ L(CN), una matriz compleja N×N (N ≥ 2). Aplicando la definicion

de operador adjunto, demostrar que A† es la matriz traspuesta y conjugada de A;

esto es, A† ≡ (bij) = (aji). NUsar el producto escalar (15.8), y el hecho que (Az′)i =

∑j aijz

′j.

No debemos confundir a la adjunta de una matriz como la hemos definido aquıcon la “adjunta” que aparece en el calculo de la inversa de una matriz (o de unoperador), la cual puede llamarse: la adjunta clasica (ver 4.6 en [60]).

1.P.23 Demostrar que todo operador A ∈ L(H), se puede escribir de manera unica, ası:

A = A1 + iA2, (15.16)

con A1, A2 ∈ L(H) autoadjuntos. NEs facil verificar que A1, A2, dados por:

A1 =1

2

(A+ A†) A2 =

1

2i

(A− A†) , (15.17)

son precisamente esos operadores.La Rel. (15.16) constituye una generalizacion de la expresion: z = x+iy, x, y ∈ R

con z ∈ C.1.P.24 Demostrar el teorema 10.6. N1.P.25 Si A1, A2 ∈ L(H) son autoadjuntos, demostrar que B ≡ A1A2 ∈ L(H) es autoad-

junto sii [A1, A2] = 0. N1.P.26 Demostrar que los operadores 0, I ∈ L(H) son autoadjuntos y positivos. N1.P.27 Demostrar que para A ∈ O(H) y B ∈ L(H) Hermıticos [simetricos o autoadjuntos]:

C ≡ αA+βB, es Hermıtico [simetrico o autoadjunto] ∀α, β ∈ R. Demostrar tambienque si A y B son positivos, α ≥ 0 y β ≥ 0; entonces C es positivo. N

1.P.28 Si A ∈ L(H), demostrar que B ≡ A†A y C ≡ AA†, son autoadjuntos y positivos.

Demuestre tambien que A†A = 0 (o AA† = 0) sii A = 0. NNotese que para A, B ∈ L(H) con dimH ≥ 2 se puede tener A = 0, B = 0

y sin embargo AB = 0; incluso, se puede tener: A2 ≡ AA = 0. P. ej., para las

matrices: A =

(0 10 0

)y B =

(1 00 0

), tenemos: A2 = 0 y AB = 0 (observese

que BA = A).

15. PROBLEMAS 65

1.P.29 Demostrar que todo operador Hermıtico y acotado, es acotado inferiormente y su-periormente (ver 10.7). N

1.P.30 Sea V ∈ L(l2) definido en 9.3 y S ∈ L(l2) definido por:

S(x1, x2, x3, · · · ) = (0, x1, x2, x3, · · · ), ∀(x1, x2, x3, · · · ) ∈ l2. (15.18)

Demostrar que sus adjuntos, V † ∈ L(l2) y S† ∈ L(l2), vienen dados por:

V †(x1, x2, x3, x4, · · · ) = (x2,x32,x43, · · · ), ∀(x1, x2, x3, x4, · · · ) ∈ l2; (15.19)

S†(x1, x2, x3, x4, · · · ) = (x2, x3, x4, · · · ), ∀(x1, x2, x3, x4, · · · ) ∈ l2. (15.20)

NSe tiene: ∥V ∥ =

∥∥V †∥∥ = 1; ver 9.3 y la Rel. (10.16).

Notese que: SS†(x1, x2, x3, x4, · · · ) = (0, x2, x3, x4, · · · ),∀(x1, x2, x3, x4, · · · ) ∈ l2;y que: S†S = Il2 en l2. Se tiene: ∥S∥ =

∥∥S†∥∥ = 1; usar la Rel. (10.15) y la (10.16).

Observese que aunque S−1 ∈ O(l2) es (obviamente) acotado: S−1 /∈ L(l2); yaque: D(S−1) = R(S) l2. Por lo tanto: S† = S−1 (lo que ya era claro del parrafoanterior; ver Rel. (7.13)), pues D(S†) = l2. Se tiene que S† es una extension deloperador S−1, de D(S−1) a l2; pues S†S = Il2 en l2 y SS† = Il2 en R(S) = D(S−1),

ver Rel. (7.13).

1.P.31 Demostrar todas las afirmaciones no probadas en 11.1-11.8. En particular, que: Q,M , M2, W , X y P , son operadores lineales. N

Notemos que tambien debemos demostrar que sus dominios son subespacios vec-toriales.

1.P.32 Ignorando la cuestion de los dominios, verificar formalmente que en L2(R):[X, P

]= i~I . (15.21)

N1.P.33 Demostrar que si U ∈ L(H1,H2) satisface la Rel. (12.2) y R(U) = H2, entonces U

es unitario. N1.P.34 Si U ∈ L(H1,H2) es unitario, demostrar que:

∥U∥ =∥∥U †∥∥ = 1. (15.22)

NUsar la Rel. (10.15) y la (10.16).

1.P.35 Demostrar que H1 y H2, ambos reales o ambos complejos, son isomorfos sii existeU ∈ L(H1,H2) unitario. N

Usar las identidades de polarizacion (ver 1.P.3).1.P.36 Completar la demostracion del teorema 12.2. N1.P.37 Si U, V ∈ L(H) son unitarios, demostrar que UV y Un (n ∈ Z+) tambien lo son. N1.P.38 Sea A ∈ L(H1) y U ∈ L(H1,H2) un operador unitario. Definamos: B ≡ UAU−1 ∈

L(H2). Demostrar que:∥B∥ = ∥A∥ , (15.23)

B† = UA†U−1. (15.24)

NUsar 10.3.ii para demostrar (15.24).Notemos que A sera autoadjunto sii B lo es.


1.P.39 Sean A,B,C ∈ L(H1), con C = [A,B]. Sea T ∈ L(H1,H2) un operador invertiblecon inversa T−1 ∈ L(H2,H1), con el cual definimos los operadores en L(H2):

A′ = TAT−1; B′ = TBT−1; C ′ = TCT−1. (15.25)

Demostrar que:[A′, B′] = C ′. (15.26)

NTodo operador unitario U ∈ L(H1,H2) satisface automaticamente los requeri-

mientos que le hemos exigido a T . Si ignoramos la cuestion de los dominios y llama-mos X ′ = TXT−1; P ′ = T PT−1 con T ∈ L2(R); del 1.P.32, obtenemos formalmente:[

X ′, P ′]= i~I . (15.27)

1.P.40 i. Demostrar que E ∈ O(V) es un proyector sii (I − E) ∈ O(V) lo es.

ii. Demostrar que 0, I , Pφ ∈ L(H) son proyectores ortogonales.

iii. E ∈ L(H) es un proyector ortogonal sii (I − E) ∈ L(H) lo es. N1.P.41 Si E ∈ L(H) es un proyector ortogonal, demostrar que:∥∥∥E∥∥∥ = 1 si E = 0 ;

∥∥0∥∥ = 0. (15.28)

NUsar la Rel. (10.15).

1.P.42 Demostrar el teorema 12.15. N1.P.43 Demostrar todo lo afirmado en 12.16. N1.P.44 Sea A ∈ O(V) y φ un autovector de A (φ ∈ D(A)), de autovalor λ (Aφ = λφ).

Demostrar que φ es un autovector de A2 ∈ O(V) con autovalor λ2; esto es:

A2φ = λ2φ. (15.29)

NEn general, tendremos que φ es un autovector de An ∈ O(V) con autovalor λn

(Anφ = λnφ), n ∈ Z+.Notemos que un autovector ψ de A2 ∈ O(V), ψ ∈ D(A2), no es forzosamente

autovector de A; si bien: ψ ∈ D(A). Para ejemplos, ver 13.13.

1.P.45 Para cualquier B ∈ O(H), designemos por D(B)N ⊂ D(B) al conjunto de todos los

vectores normalizados de D(B).

Sea A ∈ O(H) Hermıtico. Demostrar.i.

(∆A)ψ ≡√⟨

ψ∣∣∣A2ψ

⟩−⟨ψ∣∣∣Aψ⟩2

≥ 0, ∀ψ ∈ D(A2)N (⊂ D(A)N). (15.30)

ii. (∆A)ψ = 0 sii ψ ∈ D(A2)N es autovector de A (y por lo tanto de A2; ver 1.P.44).N

Ayuda. Considerese: 1.3.iv, 10.5, 10.6.ii, 1.P.27; y por lo tanto, ∀ψ ∈ D(A2)N:⟨ψ

∣∣∣∣(A−⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ I)2 ψ⟩ =

⟨(A−

⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ I)ψ∣∣∣ (A−

⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ I)ψ⟩ ≥ 0.

Comentarios. La expresion (∆A)ψ se denomina la dispersion cuadratica me-

dia o indeterminacion de A para el vector ψ.

15. PROBLEMAS 67

La Rel. (15.21) tiene una importancia muy grande en mecanica cuantica, y sellama regla canonica de conmutacion (de Heisenberg); lleva a la relacion (ver

(15.30)): (∆X)ψ(∆P )ψ ≥ ~2(∥ψ∥ = 1), llamada principio de incertidumbre de

Heisenberg. Esas relaciones resultan delicadas de probar rigurosamente desde el

punto de vista matematico; tomar en cuenta los dominios de P , X, P 2, X2 y[X, P

].

Para una formulacion precisa de estas relaciones, ver p. ej. [87]; donde se cita (con surespectiva bibliografıa, ver sus paginas 226 y 227), el hecho que en el subconjunto detodas las funciones normalizadas del (frecuentemente) llamado espacio de SchwartzS(R) ⊂ L2(R), denso en L2(R), tanto el principio de incertidumbre como la reglacanonica de conmutacion son validas.

Para todo A ∈ O(H), Hermıtico o no, se puede establecer la siguiente definicion;

mas general, incluso si A es Hermıtico:

(δA)ψ ≡√⟨

Aψ∣∣∣ Aψ⟩−

∣∣∣⟨ψ ∣∣∣Aψ⟩∣∣∣2, ∀ψ ∈ D(A)N. (15.31)

Con:⟨(A−

⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ I)ψ∣∣∣ (A−

⟨ψ∣∣∣Aψ⟩ I)ψ⟩ ≥ 0, ∀ψ ∈ D(A)N, tambien se

prueba que: (δA)ψ ≥ 0; y que: (δA)ψ = 0, sii ψ ∈ D(A)N es autovector de A. En la

literatura fısica; si A es Hermıtico, (δA)ψ suele recibir las mismas denominaciones que

(∆A)ψ; en ese caso, el valor absoluto en la Rel. (15.31) puede ser omitido (ver teorema

10.6.ii). Notese que si A es Hermıtico: (∆A)ψ = (δA)ψ, ∀ψ ∈ D(A2)N ⊂ D(A)N, yque en ese caso ambas definiciones son equivalentes en L(H).

1.P.46 Sea A ∈ O(H), y φ1, φ2 dos autovectores ortonormales de A de autovalor λ. Demos-trar que para cualquier constante α ∈ R, la pareja:

ψ1 = φ1 cosα + φ2senα,

ψ2 = −φ1senα + φ2 cosα,(15.32)

tambien satisface las propiedades de φ1, φ2. N1.P.47 Para todo operador unitario U ∈ L(H), tendremos que. (a) Si λ es un autovalor de

U , entonces λ = eiα con α ∈ R; vale decir: |λ| = 1. (b) φ es un autovector de U deautovalor λ (Uφ = λφ) sii φ es un autovector de U † de autovalor λ (U †φ = λφ). (c)Si λ1 y λ2 son dos autovalores diferentes de U (λ1 = λ2), de autovectores φ1 y φ2

respectivamente, entonces: ⟨φ1|φ2⟩ = 0. N1.P.48 Hallar los autovalores y autovectores ortonormales de los operadores: 0, I , Pφ; y de

un proyector ortogonal E. N1.P.49 Sea A ∈ O(H1) y T ∈ L(H1,H2), siendo T invertible con inversa T−1 ∈ L(H2,H1).

Definamos al operador B ∈ O(H2), ası:

B = TAT−1; D(B) = T [D(A)]. (15.33)

Se dice que A y B son operadores similares. Demostrar:i. Si φ ∈ H1 [Resp. ψ ∈ H2] es un autovector de A [Resp. B], de autovalor λ,entonces Tφ ∈ H2 [Resp. T−1ψ ∈ H1] es un autovector de B [Resp. de A] deautovalor λ.

ii. Las multiplicidades (geometricas) para un autovalor dado son iguales para A yB.


NLa parte i. nos indica que los autovalores de A y B son iguales; es decir: Sp(A) =

Sp(B).Notemos que ni Tφ ni T−1ψ en i. son nulos, en virtud de 7.10.Observemos finalmente que un operador unitario U ∈ L(H1,H2) satisface au-

tomaticamente los requerimientos que le hemos exigido a T .1.P.50 Sean A y B dos matrices complejas N × N (N ≥ 2); esto es, A,B ∈ L(CN).

Demostrar que para que exista un vector no nulo z ∈ CN tal que:

Az = λBz, (15.34)

siendo λ ∈ C una constante, es necesario y suficiente que λ sea solucion de laecuacion:

det (A− λB) = 0. (15.35)

NAyuda. Considerese: (A− λB)z = 0, a 1.P.18 y a 7.10.Comentarios. Aprovechemos la ocasion para recordar algunos hechos supuesta-

mente conocidos por el lector. Supondremos que: N ≥ 2.Notemos que los elementos de L(CN) son operadores lineales (“abstractos”), y

no matrices. El llamar a los elementos de L(CN) “matrices” corresponde a un abusode lenguaje; totalmente rutinario, que no hemos vacilado en usar en este texto; vea-se lo que sigue. Dado un elemento A ∈ L(CN) y dada cualquier base en de CN ,la matriz de A en la base en se expresa mediante la matriz compleja N × N :

A ≡ (aij), definida por: Aej =∑N

k=1 akjek; la denominacion “A” es arbitraria, podrıallamarse: “A′ ”, “B”, “D”, etc.; una notacion mas precisa serıa: Aen. Nos referire-

mos a “A” como una matriz A de A. En el caso particular en que la base en seaortonormal, diremos que la matriz A = (aij) es una representacion matricial de

A (ver Def. 9.6); se tendra en ese caso: A = (⟨ei

∣∣∣Aej⟩); notemos que la acepcion

“representacion” es diferente a la usada en [59, §10]. Se tiene que a toda matriz

compleja N ×N : A = (aij), le corresponde un unico operador A ∈ L(CN) tal que:Az = Az, ∀z ∈ CN ; y que A es la representacion matricial de ese operador A en labase canonica (ver 1.P.14). Si A y A′ son las matrices de un operador A ∈ L(CN)en las bases (arbitrarias) en y e′n, respectivamente, tendremos que A′ = TAT−1

donde T = (tij) es la unica matriz invertible de L(CN) tal que: en =∑N

k=1 tkne′k;

ver [62], p. ej.; se dice que A y A′ son matrices similares. En el caso particular enque en y e′n sean bases ortonormales tendremos que la matriz T sera unitaria;ver [62] o el teorema 12.4. Resulta claro que cualquier representacion matricial deun operador autoadjunto [positivo o unitario] es una matriz autoadjunta [positi-

va o unitaria], respectivamente. Un operador A posee caracteristicas intrinsecasque se encuentran reflejadas identicamente en cualquiera de sus matrices. P. ej.,

la estructura de los autovalores de A (ver mas adelante); o el determinante de A:

det A = detA, para toda matriz A de A. Ver [57] o [62], p. ej., para la definicion

de determinante. Recordemos tambien que: det I = 1; det (λA) = λN det A, ∀λ ∈ C;

15. PROBLEMAS 69

det (AB) ≡ det AB = det BA = (det A)(det B) y que det A† = det A. En particu-

lar: det A−1 = (det A)−1 para todo A invertible; si A es autoadjunto, det A ∈ R; y| det U | = 1 para todo operador unitario U (es decir: det U = eiδ

′, δ′ ∈ R).

En (15.34) y (15.35), tomemos el caso B = I y denotemos por A el operadorcorrespondiente a la matriz A. Tendremos entonces la ecuacion de autovalores:

Az = λz, (15.36)

y λ sera un autovalor de A sii λ es solucion de:

det (A− λI) = 0. (15.37)

La Rel. (15.37) se llama ecuacion caracterıstica del operador A (o ecuacion

secular de A), o la de cualquiera de sus matrices. Las raıces de la Ec. (15.37); estoes, los autovalores; se llaman tambien raıces caracterısticas.

La multiplicidad de una raız λ de la ecuacion caracterıstica se llama multi-plicidad algebraica de esa raız. Como las raıces de (15.37) las buscamos en loscomplejos, el numero total de raıces, si contamos sus multiplicidades algebraicas,siempre sera N (teorema fundamental del algebra) y podremos escribir:

det (A− λI) = (λ1 − λ)m1 · · · (λn − λ)mn , (15.38)

donde λ1, · · · , λn ∈ C (1 ≤ n ≤ N), son las raıces diferentes de la Rel. (15.37), y mk

la multiplicidad algebraica de λk; k = 1, · · · , n (m1 + · · ·+mn = N). Notemos que:

λ1, · · · , λn = Sp(A) = S(A).En general, la multiplicidad geometrica de un autovalor de un operador de L(CN)

sera menor o igual que la de su multiplicidad algebraica; sin embargo, seran igualespara operadores autoadjuntos y para operadores unitarios.

Notemos que en CN , convertimos al problema geometrico (Rel. (15.36)) de hallar

los autovalores de un operador de L(CN), en un problema algebraico (Rel. (15.37)).

Los autovalores de A† son los complejos conjugados de los de A, con las mismasmultiplicidades algebraicas.

Se prueba (ver [62, §55], p. ej.) que:

det A =n∏k=1

(λk)mk , ∀A ∈ L(CN); (15.39)

donde λk y mk (k = 1, · · · , n) son los autovalores diferentes de A y sus multiplici-dades algebraicas, respectivamente.

Si A y B = T AT−1 son dos operadores (o matrices) similares de L(CN), siendoT ∈ L(CN) cualquier operador (o matriz) invertible, seran aplicables los resultadosdel problema 1.P.49; y tendremos ademas que las multiplicidades algebraicas de

las raices caracterısticas de A y B son iguales, pues: det(B − λI) = det(T AT−1 −λT T−1) = det

(T (A− λI)T−1

)= det(A − λI). Este ultimo resultado nos indica

que el valor de cada uno de los coeficientes de λj (j = 0, · · · , N) correspondientes a

las ecuaciones caracteristicas de A y B son iguales.


Observemos que si una matriz B ≡ (bij) es diagonal; esto es: bij = biδij; el pro-blema de hallar todos sus autovalores (λ′1, λ

′2, · · · , λ′N ∈ C) y todos sus autovectores

es trivial. En efecto, tenemos que: λ′i = bi; y que la base canonica, ver 1.P.14, es unconjunto (linealmente independiente) que representa a todos sus autovectores. Por lotanto, dada cualquier matriz A, si existe una matriz invertible T tal que B ≡ TAT−1

sea diagonal (vale decir: si A es diagonalizable), habremos resuelto el problemade hallar los autovalores y los autovectores de A (en virtud de lo recopilado en elparrafo anterior). Es por ello que frecuentemente el problema de hallar los autovec-tores y autovalores de un operador es referido como el problema de diagonalizarun operador.

Todo operador A ∈ L(CN), o toda matriz compleja N × N : A, siempre tieneal menos un autovector, mas no forzosamente N linealmente independientes. Unamatriz A ∈ L(CN) sera diagonalizable sii posee N autovectores linealmente in-dependientes; como ocurre, p. ej., si posee N autovalores diferentes; ver p. ej., [59,§10]. Tendremos que si una matriz A es diagonalizable, entonces lo sera medianteuna matriz unitaria sii existe un sistema ortonormal completo de autovectores de

A. Se tiene, p. ej., que: A =

(0 10 0

)∈ L(C2) solo posee (a menos de una fase)

un autovector normalizado; a saber:

(10

); y por lo tanto no es diagonalizable. El

autovalor λ = 0 de esta matriz triangular A (que no es autoadjunta) tiene multipli-cidad geometrica “uno” y multiplicidad algebraica “dos”. Una matriz autoadjunta ounitaria, siempre sera diagonalizable mediante una matriz unitaria. En beneficio dela brevedad hemos evitado referirnos a los importantısimos operadores (o matrices)normales (incluso definidos y vitales en espacios de Hilbert infinito dimensionales)los cuales singularizan muchas de las propiedades comunes e intrınsecas de los ope-radores autoadjuntos y unitarios; ver p. ej.: [59] y [62] en el caso finito dimensional,y [77] en el caso infinito dimensional.

Al hallar los autovalores de una matriz de L(CN), antes de usar la Rel. (15.37)directamente, resulta conveniente estudiar primero la estructura de la matriz; verp. ej. si esta en forma triangular (pues sabemos que los elementos de la diagonalson los autovalores de la matriz con sus respectivas multiplicidades algebraicas, yque toda matriz es triangulizable mediante una matriz unitaria; ver [62, §56 y §74],p. ej.) o en forma de bloques (la llamada forma canonica de Jordan); pues ello nospuede aligerar los calculos. Tambien (para verificar resultados) es conveniente versi es autoadjunta [unitaria], pues sus autovalores seran reales [de modulo uno]; yexistiran N autovectores linealmente independientes, que siempre se pueden escogerortonormales.

1.P.51 Para todo operador lineal A ∈ L(CN); N ≥ 2; definamos una funcion, denominadatraza y denotada Tr, con Tr : L(CN) → C, ası:

Tr(A) ≡ TrA =n∑k=1

mkλk, ∀A ∈ L(CN), (15.40)

15. PROBLEMAS 71

donde λk y mk (k = 1, · · · , n) son los autovalores diferentes de A y sus multiplici-dades algebraicas, respectivamente.

Tambien definiremos la traza (usando la misma notacion: Tr) de cualquier ma-triz A ∈ L(CN), ası:

Tr(A) ≡ TrA =n∑k=1

mkλk. (15.41)

Por lo tanto tendremos:

TrA = TrA, para toda matriz A de A, (15.42)

puesto que toda matriz A de A tiene los mismos autovalores con iguales multiplici-dades algebraicas que A.

Demostrar.i. Que para cualquier matriz A ≡ (ajk) de A, se tiene:

TrA =N∑k=1

akk. (15.43)

Evidentemente, la Rel. (15.43) sera valida para una matriz arbitraria A ≡(ajk) ∈ L(CN).

ii. Que para cualquier base ortonormal en de CN , se tiene:

TrA =N∑k=1

⟨ek

∣∣∣Aek⟩ , ∀A ∈ L(CN). (15.44)

Lo afirmado en este parrafo, puede ser usado como definicion alternativa de lafuncion “traza”.

iii. Que la funcion “traza” es un operador lineal; un funcional lineal en L(CN).iv. Que:

TrA† = TrA, ∀A ∈ L(CN). (15.45)

Por lo tanto, si A es autoadjunto: TrA es real (lo que ya era obvio de (15.40)).

v. Al tomar: Tr(AB) ≡ TrAB, que:

TrAB = TrBA, ∀A, B ∈ L(CN). (15.46)

vi. Que para cualquier operador lineal (o matriz, si A es una matriz) invertible T(en particular, un operador unitario), tenemos que:

Tr(T AT−1) = TrA, ∀A ∈ L(CN). (15.47)

vii. Que para operadores (o matrices, si A son matrices) autoadjuntos y positivos:

TrA ≥ 0 (para todo A ≥ 0). (15.48)

viii. Que: ∥∥∥A∥∥∥2 ≤ TrA†A, ∀A ∈ L(CN). (15.49)

Por lo tanto: TrA†A = 0 sii A = 0.


ix. Que en L(CN) podemos definir un producto escalar, de la siguiente manera:⟨A∣∣∣ B⟩

2= TrA†B, ∀A, B ∈ L(CN). (15.50)

El subindice “dos” es comun en la literatura.x. Que:

si A y B son autoadjuntos :⟨A∣∣∣ B⟩

2es real. (15.51)

xi. Que: ∥∥∥A∥∥∥ ≤∥∥∥A∥∥∥

2, ∀A ∈ L(CN), (15.52)

donde ∥·∥ es la norma en L(CN) que hemos definido en 7.16 y ∥·∥2 es la normainducida por el producto escalar (15.50).

xii. Que: ∥∥∥A∥∥∥2=∥∥∥A†

∥∥∥2, ∀A ∈ L(CN). (15.53)

xiii. Que: ∥∥∥A∥∥∥22=

n∑k=1

mkγ2k, ∀A ∈ L(CN), (15.54)

donde γ2k y mk (k = 1, · · · , n) son los autovalores diferentes de A†A y susmultiplicidades algebraicas, respectivamente; usamos la notacion γ2k (≥ 0) para

enfatizar que A†A es autoadjunto y positivo.xiv. Que para cualquier base ortonormal en de CN , se tiene:∥∥∥A∥∥∥2

2=

N∑j=1

∥∥∥Aej∥∥∥2, ∀A ∈ L(CN). (15.55)

xv. Que:∥∥∥AB∥∥∥2≤∥∥∥A∥∥∥∥∥∥B∥∥∥

2≤∥∥∥A∥∥∥

2

∥∥∥B∥∥∥2;∥∥∥BA∥∥∥

2≤∥∥∥A∥∥∥∥∥∥B∥∥∥

2, ∀A, B ∈ L(CN). (15.56)

NAyudas. Para i., percatarse del hecho que el valor de la suma en (15.43) corres-

ponde al del coeficiente de (−1)N−1λN−1 de la ecuacion caracteristica de A (que

sabemos no depende de la matriz A de A); y que para todo operador A ∈ L(CN)existe una base ortonormal de CN tal que su representacion matricial en esa basees una matriz triangular, siendo entonces los elementos de su diagonal los auto-valores de A con sus respectivas multiplicidades algebraicas; ver [62, §56 y §74],p. ej. La Rel. (15.44) en ii. es obvia de la (15.43) y de la definicion de repre-

sentacion de un operador. Para iii. y v., usar una representacion matricial de Ay B y (15.43). Para viii., para cualquier z ∈ CN con ∥z∥ = 1 tenemos que:∥∥∥Az∥∥∥2 =

⟨Az∣∣∣ Az⟩ =

⟨z∣∣∣A†Az

⟩=⟨e1

∣∣∣A†Ae1

⟩≤∑N

k=1

⟨ek

∣∣∣A†Aek

⟩= TrA†A

en virtud de (15.43); ya que z = e1 siempre puede tomarse como el primer elemento

de una base ortonormal en de CN (ver 4.7) y A†A ≥ 0 (ver 1.P.28 y la definicion10.7); luego, se usa la definicion (7.20) de la norma ∥·∥. Para ix., usar iii., iv., vii.,viii. y 1.P.28. Para x., usar iv. y v. Para xiii. usar la definicion de ∥·∥2 y la de la

15. PROBLEMAS 73

traza. Para xiv. tenemos:∥∥∥Aej∥∥∥2 = ⟨

Aej

∣∣∣ Aej⟩ =⟨ej

∣∣∣A†Aej

⟩de donde se obtiene

en virtud de (15.43):∑N

j=1

∥∥∥Aej∥∥∥2 =∑N

j=1

⟨ej

∣∣∣A†Aej

⟩= TrA†A =

∥∥∥A∥∥∥22. Para

xv. tenemos, para una base ortonormal en de CN :∥∥∥ABej∥∥∥2 ≤ ∥∥∥A∥∥∥2∥∥∥Bej∥∥∥2; luego

se suma sobre j y se usa (15.55) y (15.52); y para lo remanente, al usar (15.53) y

(10.16), tenemos:∥∥∥BA∥∥∥

2=∥∥∥(A†B†)

†∥∥∥2=∥∥∥A†B†

∥∥∥2≤∥∥∥A†

∥∥∥∥∥∥B†∥∥∥2=∥∥∥A∥∥∥∥∥∥B∥∥∥

2.

Comentarios. Notese que:∥∥∥I∥∥∥ = 1 <

∥∥∥I∥∥∥2=

√N ; y que:

∥∥∥A∥∥∥2≤

√N∥∥∥A∥∥∥,

∀A ∈ L(CN), ver (15.56). Comparar esta ultima expresion con (15.52); con lo que

se obtiene: 1√N

∥∥∥A∥∥∥2≤∥∥∥A∥∥∥ ≤

∥∥∥A∥∥∥2≤

√N∥∥∥A∥∥∥, ∀A ∈ L(CN).

L(CN); de dimension N2; dotado del producto escalar (15.50) sera entonces unespacio de Hilbert (ver teorema 4.8) complejo, siendo este un ejemplo de los llamadosespacios de Liouville (por los fısicos) o espacios de Hilbert-Schmidt (porlos matematicos); y su norma inducida, ∥·∥2, se denomina norma de Liouvilleo norma de Hilbert-Schmidt en L(CN). Mas aun, L(CN), dotado de la norma

∥·∥2, tambien es un algebra involutiva normada (con identidad I) para esta norma

(ver 10.4); pero no es un algebra C∗ (pues faltarıa por cumplirse que:∥∥∥A†A

∥∥∥2=∥∥∥A∥∥∥2

2,∀A ∈ L(CN); lo que resulta obvio al tomarse: A = I).

En virtud de iii., tendremos que el operador traza es un funcional lineal y acotado(ver teorema 9.2) en L(CN), de dominio L(CN); vale decir: Tr ∈ L(L(CN),C). Estoes, el operador traza pertenece al dual de L(CN). Es mas, en virtud del teorema de

Riesz (ver 8.3), para cualquier f ∈ L(L(CN),C) existe un operador Bf ∈ L(CN)unico tal que: f(A) =

⟨Bf

∣∣∣ A⟩2= TrB†

f A, ∀A ∈ L(CN); cumpliendose que: ∥f∥ =∥∥∥Bf

∥∥∥2. En particular: ∥Tr∥ =

∥∥∥I∥∥∥2=

√N .

Tambien se puede definir un espacio de Liouville (de Hilbert-Schmidt) para uncierto subconjunto de operadores de L(H), con H infinito dimensional; ver [81] o[89], p. e.j.

1.P.52 Sean σx, σy, σz, I ∈ L(C2), definidas por:

σx =

(0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

); σz =

(1 00 −1

); I =

(1 00 1

). (15.57)

(a) Demostrar que:i. σ2

x = σ2y = σ2

z = I.ii. detσx = det σy = det σz = −1.iii. σxσy = iσz; σyσz = iσx; σzσx = iσy.iv. σ†

x = σx; σ†y = σy; σ

†z = σz.

v. σxσy + σyσx = 0; σyσz + σzσy = 0; σzσx + σxσz = 0.vi. [σx, σy] = 2iσz; [σy, σz] = 2iσx; [σz, σx] = 2iσy.vii. Las cuatro matrices: σx, σy, σz e I, forman un conjunto linealmente indepen-

diente en el espacio vectorial (de dimension cuatro) de las matrices complejas2× 2; y por lo tanto son una base de ese espacio.


(b) Hallar los autovalores y autovectores normalizados de σx, σy, σz. Como no haydegeneracion, y vale 52aiv, resulta que automaticamente los dos autovectores decada matrız son ortogonales; y por lo tanto son una base de C2.

(c) Sea u = (1, θ, φ) ∈ R3 un vector unitario adimensional constante expresado encoordenadas esfericas; el cual indica una direccion y un sentido en el espacio. Ten-dremos: u = (sen θ cosφ, sen θsenφ, cos θ) en coordenadas rectangulares (conve-nientemente escogidas). Pongamos: σ ≡ (σx, σy, σz), y definamos formalmente:

σu ≡ σ · u = σxsen θ cosφ+ σysen θsenφ+ σz cos θ. (15.58)

i. Demostrar que:

σu =

(cos θ e−iφsen θeiφsen θ − cos θ

). (15.59)

ii. Demostrar que: σ2u = I, det σu = −1, (σu)

† = σu.iii. Hallar los autovalores y autovectores normalizados de σu ∈ L(C2).

(d) Demostrar que toda matriz unitaria U ∈ L(C2); cuyo determinante siempre sepodra expresar en cualquiera de las dos formas: detU = ±ei2δ, δ ∈ R; se puedeescribir entonces:

U = eiδ(

eiα cos β e−iγsen β∓eiγsen β ±e−iα cos β

); α, β, γ ∈ R (detU = ±ei2δ, δ ∈ R). (15.60)

. NNotemos que las matrices: I, σx, σy, σz, σu ∈ L(C2), ademas de ser autoadjuntas,

tambien son unitarias; siendo casos particulares de la matriz (15.60) con eiδ = 1.La Rel. (15.60) nos indica que toda matriz unitaria U ∈ L(C2) con detU = ±1

(tomemos: eiδ = 1) esta caracterizada por tres parametros reales independientes:α, β, γ; los cuales se pueden escoger sin perdida de generalidad como pertenecientesal intervalo [0, 2π).

Las matrices: σx, σy, σz, llamadas matrices de Pauli, son muy importantes enmecanica cuantica no relativista ya que si ≡ ~

2σi, i = x, y, z, representa al observa-

ble espın para un electron, p. ej.1.P.53 Consideremos L(C2) como el espacio de Hilbert de producto escalar ⟨·| ·⟩2; ver 1.P.51.

Demostrar que la base: 1√2σx,

1√2σy,

1√2σz,

1√2I (ver 1.P.52 (a) vii.) de L(C2), es

entonces una base ortonormal. NAyuda. Al notarse que: Trσx = Trσy = Trσz = 0, este problema es inmediato

de 1.P.52 (a) i., iii. e iv.Comentarios. Por lo tanto, toda matriz A ∈ L(C2) se podra escribir ası:

A =1

2

[⟨I|A⟩2I + ⟨σx|A⟩2σx + ⟨σy|A⟩2σy + ⟨σz|A⟩2σz

]=

1

2[(TrA)I + (TrσxA)σx + (TrσyA)σy + (TrσzA)σz] .

(15.61)

En particular, toda matriz de traza nula sera una combinacion lineal de las tresmatrices: σx, σy y σz.

Notemos que las expresiones (15.58) y (15.59) de σu son coherentes con el desa-rrollo (15.61).

15. PROBLEMAS 75

1.P.54 Hallar todos los autovalores y todos los autovectores normalizados de: A,B,C,D ∈L(C3), dadas por:

A =

0 0 10 1 00 0 2

; B =

0 0 10 0 00 0 0

; C =

1 0 00 0 10 1 0

; D =

0 0 11 0 00 1 0

.

(15.62)N

Notese que A y B estan en forma triangular (y que no son autoadjuntas ni unita-rias); que C es autoadjunta y que esta en forma de bloques, y que D es unitaria. Porlo tanto, C (que posee el autovalor “uno” con multiplicidad “dos”) y D son diago-nalizables mediante matrices unitarias. Notese tambien que A posee tres autovaloresdiferentes y que sus tres autovectores linealmente independientes no resultan todosortogonales (ni ortogonalizables) entre sı; y por lo tanto, si bien A es diagonalizable,no lo sera mediante una matriz unitaria. En cambio, B no resulta diagonalizable.

1.P.55 Demostrar todas las afirmaciones no probadas en 13.13 y 13.14. N1.P.56 Sean Q, M , M2 y W definidos en 11.4-11.9. Sean φn, Φn, Ψn y ψn los con-

juntos definidos en (13.8), (13.12) y (13.13). Usemos las notaciones del problema1.P.45. Demostrar.i. Que (∆M)φn = 0 y (∆Q)φn = b−a

2√3(< (b − a)), pero que [Q, M ]φn no esta

definido (es decir: φn /∈ D([Q, M ])); n = 0,±1,±2, · · · .ii. Que

(∆Q)Ψn(∆M)Ψn =~2

(4n2π2 + 6

3

)1/2

>~2; n = 1, 2, · · · , (15.63)

pero que [Q, M ]Ψn no esta definido.

iii. Que ψ2n−1 ∈ D([Q, M ]), y que

[Q, M ]ψ2n−1 = i~ψ2n−1; n = 1, 2, · · · , (15.64)

pero que (∆M)ψ2n−1 ; y por lo tanto: (∆Q)ψ2n−1(∆M)ψ2n−1 ; no esta definido.iv. Que en el conjunto de todos los vectores normalizados, las dos expresiones:

[Q, M ]ψ y (∆Q)ψ(∆M)ψ se encontraran simultaneamente bien definidas sii ψ ∈D(M2)N ∩D(W ); es decir: ψ ∈ D(M2)N (⊂ D(M)N) y ψ(a) = ψ(b) = 0.

Ademas, que se tiene, ∀ψ ∈ D(M2)N ∩D(W ):

[Q, M ]ψ = i~ψ, (15.65)

(∆Q)ψ(∆M)ψ ≥ ~2. (15.66)

NAyuda: para demostrar (15.66). Sea: M ′ ≡ M−

⟨ψ∣∣∣Mψ

⟩I, Q′ ≡ Q−

⟨ψ∣∣∣Qψ⟩ I

y Q′ + iδM ′, siendo δ cualquier numero real. ∀ψ ∈ D(M2)N ∩ D(W ) considerese:

y(δ) ≡∥∥∥(Q′ + iδM ′)ψ

∥∥∥2 ≥ 0, y usese (15.65).

Comentarios fısicos sobre los resultados de este problema.


La parte i. nos indica que existen vectores normalizados ψ para los cuales aun-que (∆Q)ψ(∆M)ψ esta bien definido, no es valido para ellos el principio de in-certidumbre: Rel. (15.66); ni tampoco la regla canonica de conmutacion: Rel.(15.65). Este hecho puede tornarse mas dramatico. En efecto, tomese p. ej. el vec-

tor normalizado: φ(x) = ex/2√eb−ea

∈ L2(a, b), para el cual ni (∆M)φ; ni por lo tanto

(∆Q)φ(∆M)φ; ni [Q, M ]φ, estan bien definidos.La parte ii. nos indica que existen vectores normalizados para los cuales es valido

el principio de incertidumbre pero no la regla canonica de conmutacion.La parte iii. nos indica que existen vectores normalizados para los cuales es valida

la regla canonica de conmutacion, pero no el principio de incertidumbre.La parte iv. nos indica que en el conjunto de los vectores normalizados, la regla

canonica de conmutacion y el principio de incertidumbre son ambos (simultanea-

mente) validos para todos los vectores de D(M2)N∩D(W ), y solo para ellos. Notese

que: Φn = ψ2n ⊂ D(M2)N ∩D(W ); n = 1, 2, · · · .Notese que aun si f1, f2 ∈ D(M2)N satisfacen: (∆Q)fj(∆M)fj ≥ ~

2, j = 1, 2;

para ψ = λ1f1 + λ2f2 ∈ D(M2)N (λ1, λ2 ∈ C, ∥ψ∥ = 1), no se tendra en general que

(∆Q)ψ(∆M)ψ ≥ ~2. En efecto, tomese p. ej.: f1 = Ψ1, f2 = Φ1, λ1 = 1√

2y λ2 = i√

2

(con lo que se obtiene: ψ = φ1 y (∆M)φ1 = 0). Sin embargo, si f1, f2 ∈ D(M2)N ∩D(W ), como esa ψ tambien pertenece a D(M2)N ∩ D(W ), tambien sera valido elprincipio de incertidumbre para ella; ası como la regla canonica de conmutacion.

Si en vez de la definicion (∆A)ψ se usase: (δA)ψ, ver (15.31), las partes i.-iv

cambiarıan ası. i′. (δM)φn = 0, (δQ)φn = (∆Q)φn y [Q, M ]φn no definido. ii′.

(δQ)Ψn(δM)Ψn = (∆Q)Ψn(∆M)Ψn y [Q, M ]Ψn no definido. iii′. [Q, M ]ψn = i~ψny (hacer el calculo):

(δQ)ψn(δM)ψn =~2

(n2π2 − 6

3

)1/2

>~2; n = 1, 2, · · · . (15.67)

iv′. Que en el conjunto de todos los vectores normalizados, las expresiones: [Q, M ]ψ

y (δQ)ψ(δM)ψ se encontraran simultaneamente bien definidas sii ψ ∈ D′ ≡ φ|φ ∈D(M)N, φ(a) = φ(b) = 0. Ademas, que: [Q, M ]ψ = i~ψ y (δQ)ψ(δM)ψ ≥ ~

2,

∀ψ ∈ D′. Los comentarios fısicos serıan similares, excepto por el correspondiente a

iii.; pues si [Q, M ]ψ (∥ψ∥ = 1) esta bien definido, automaticamente tambien lo esta:

(δQ)ψ(δM)ψ (y por lo tanto vale iv′. para ese ψ ∈ D′); lo que nos permite senalarla conveniencia fısica de usar la definicion (15.31) en vez de la (15.30).

1.P.57 Verificar explıcitamente que los conjuntos φpp∈R y φaa∈R; definidos en (14.2)y (14.3) son ortonormales en el sentido de la delta, y que la relacion de clausurageneralizada es valida para ellos. N

1.P.58 Sean I e I ′ dos intervalos generales arbitrarios de R. Sea E = L2W(I), definido en

5.5, y Eg = E(1), con E(1) definido en 14.2.ii. Sea φαα∈I′ ⊂ E(1) un conjuntoortonormal generalizado en L2

W(I), esto es:

⟨φα|φα′⟩ ≡∫I

φα(x)φα′(x)W(x)dx = δ(α− α′); α, α′ ∈ I ′. (15.68)

15. PROBLEMAS 77

Verificar que φα es completo generalizado en L2W(I), sii:∫

I′dαφα(x′)φα(x) =

δ(x− x′)

W(x); x, x′ ∈ I. (15.69)

NLa expresion (15.69) es la relacion de clausura generalizada o relacion de

cierre generalizada en L2W(I). Para un conjunto ortonormal completo φnn∈Z+ ⊂

L2W(I), la relacion de clausura generalizada se escribira:

∞∑n=1

φn(x′)φn(x) =δ(x− x′)

W(x); x, x′ ∈ I. (15.70)

1.P.59 Escribir la relacion de clausura generalizada correspondiente a los conjuntos orto-normales y completos en L2(a, b): φn, φ0,Γn,Ωn, φ0,Φn,Ψn y ψn; definidosen (13.8), (13.11), (13.12) y (13.13), respectivamente. N

1.P.60 Verificar, formalmente, lo afirmado en 14.7. N1.P.61 Definamos en L2(R3) a los operadores vectoriales 3-dimensionales

P y

X, ası:

P = −i~∇, (15.71)

X = X1i+ X2j + X3k; Xkψ(r) = xkψ(r); k = 1, 2, 3;x1 = x, x2 = y, x3 = z. (15.72)

Aquı ignoraremos la cuestion de los dominios. Hallar las autofunciones orto-normales y autovalores generalizados de estos operadores discutiendo la degenera-cion. Verificar que sus autofunciones generalizadas forman una base generalizada deL2(R3); es decir, que satisfacen la relacion de clausura generalizada. N

P y

X representan al observable momentum y al observable posicion de

una partıcula (en tres dimensiones) en mecanica cuantica no relativista.

1.P.62 ConP y

X definidos en el 1.P.61, verificar (formalmente) que:[

Xk, Pj

]= i~Iδkj; k, j = 1, 2, 3. (15.73)

NLa Rel. (15.73) es la regla canonica de conmutacion (en tres dimensiones).

1.P.63 Verificar que las funciones: φp(x) =1

(2π)3/2eip·x/~, con p ∈ R3, son las autofunciones

generalizadas del operador K, definido en L2(R3), por:

K =P · P2µ

=P 2

2µ= − ~

2

2µ∆, (15.74)

donde µ es una constante positiva. Discutir la degeneracion. NK es el observable energıa cinetica en mecanica cuantica no relativista. Sien-

do K un operador positivo, sus autovalores son no negativos (como debe ser fısi-camente) y cada autovalor generalizado no nulo es infinitamente degenerado (comodebe ser fısicamente). La completitud generalizada (relacion de clausura genera-lizada) de estas autofunciones (ası como el hecho que tambien son autofunciones

generalizadas deP ) ya fue verificada en 1.P.61.


1.P.64 El momento angular orbital en mecanica clasica viene dado por l = r×p, y al sustituirp →

P ; r → X (

P y

X definidos en 1.P.61), obtenemos al observable momento

angular orbital (al menos, el operador vectorial 3-dimensional formal)L en

mecanica cuantica no relativista. Sus componentes rectangulares son:

Lx = −i~(y∂

∂z− z

∂

∂y

); Ly = −i~

(z∂

∂x− x

∂

∂z

); Lz = −i~

(x∂

∂y− y

∂

∂x

).

(15.75)

El cuadrado deL: L2 ≡

L2 ≡ L · L, viene dado por:

L2 = L2x + L2

y + L2z. (15.76)

Definamos a los operadores L+ y L−, ası:

L+ = Lx + iLy; L− = Lx − iLy. (15.77)

i. Ignorando la cuestion de los dominios, verificar que Lx, Ly y Lz son autoadjun-

tos; entonces: L†+ = L−, L†

− = L+.ii. Verificar las reglas de conmutacion:[Lx, Ly

]= i~Lz;

[Ly, Lz

]= i~Lx;

[Lz, Lx

]= i~Ly. (15.78)

iii. Si L1 ≡ Lx; L2 ≡ Ly; L3 ≡ Lz, verificar que:[L2, Lk

]= 0; k = 1, 2, 3. (15.79)

iv. Efectuando el cambio a coordenadas esfericas (r, θ, ϕ) en la Rel. (15.75), obtenerlas relaciones:

Lx = i~(senϕ

∂

∂θ+

cosϕ

tan θ

∂

∂ϕ

); Ly = i~

(− cosϕ

∂

∂θ+

senϕ

tan θ

∂

∂ϕ

); (15.80)

Lz = −i~ ∂∂ϕ, (15.81)

de donde se obtienen (verificarlo), las relaciones:

L+ = ~eiϕ(∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

); L− = ~e−iϕ

(− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

), (15.82)

L2 = −~2[

1

sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂

∂θ

)+

1

sen2 θ

∂2

∂ϕ2

]. (15.83)

NDe las Rels. (15.81) y (15.83), vemos que L2 tambien puede escribirse:

L2 = −~2[

1

sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂

∂θ

)− 1

~2sen2 θL2z

]. (15.84)

15. PROBLEMAS 79

De A-(2.4) y de (15.83), vemos que tambien podemos expresar al operador La-placiano formal en coordenadas esfericas, ası:

∆ =1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)− 1

~2r2L2 =

∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r− 1

~2r2L2. (15.85)

Capıtulo 2

Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales OrdinariasLineales (EDOL). El Problema de Cauchy

Despues de hacer un breve repaso de las propiedades de las ecuaciones diferencialesordinarias lineales (≡ EDOL) de orden n a coeficientes constantes, nos concentraremosen las propiedades fundamentales de las EDOL de segundo orden (basicamente en lasEDOL homogeneas). No formularemos el problema de las EDOL de segundo orden en sumaxima generalidad, y muchos de los teoremas que enunciaremos siguen siendo validosbajo condiciones mucho menos restrictivas que las que hemos usado.

La bibliografıa matematica en este tema es muy vasta; citemos p. ej.: [93]-[101].

1. El Espacio de las Soluciones

Dada una ecuacion diferencial, es fundamental plantearse en que espacio se deseanobtener las soluciones ya que los teoremas de existencia y unicidad dependen fuertementede esa escogencia como lo veremos en los dos ejemplos que siguen.

Ejemplo 1.1. La EDOL:

dφ(x)

dx= |x| , x ∈ R; (1.1)

con la condicion inicial:

φ(0) = α , α ∈ R; (1.2)

tiene solucion unica en C1(R), dada por :

φ(x) =

12x2 + α ; x ≥ 0

−12x2 + α ; x < 0.

(1.3)

Sin embargo, la EDOL (1.1) no tiene soluciones en C2(R).

Ejemplo 1.2. Sea la ecuacion diferencial ordinaria (no lineal):

dφ(x)

dx= [φ(x)]1/3 , x ∈ [0, 1]; (1.4)

con la condicion inicial:

φ(0) = 0. (1.5)

Si por solucion entendemos cualquier funcion φ en [0, 1] no trivial (esto es, φ ≡ 0), conφ ∈ C1([0, 1]), que satisfaga a (1.4) y (1.5); entonces, existe una infinidad de soluciones.En efecto, para cualquier c, con c ∈ [0, 1):

φc(x) =

0 ; x ∈ [0, c][2(x− c)

3

]3/2; x ∈ (c, 1],

(1.6)

81

82 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

son soluciones.Pero, si por solucion entendemos cualquier funcion φ en [0, 1] no trivial, con φ ∈

C2((0, 1]), que satisfaga (1.4) y (1.5); entonces, la solucion sera unica y vendra dada porφ0(x). Mas no existirıan soluciones no triviales si exigiesemos que φ ∈ C2([0, 1]).

Comentario 1.3. Es muy frecuente en la literatura fısica el que no se preste atenciona este punto; o bien, que el espacio en el cual se van a hallar las soluciones de la EDOL sesobrentienda.

2. EDOL Homogeneas de Orden n a Coeficientes Constantes

Definicion 2.1. Sea I ⊂ R un intervalo general, y p0, p1, . . . , pn (n ∈ Z+) constantescomplejas arbitrarias, con p0 = 0. La ecuacion:

p0dnφ(x)

dxn+ p1

dn−1φ(x)

dxn−1+ · · ·+ pn−1

dφ(x)

dx+ pnφ(x) = 0, (2.1)

con φ ∈ Cn(I) se llama una EDOL homogenea de orden n en I a coeficientesconstantes. Diremos que una φ ∈ Cn(I) que satisface a (2.1) es una solucion. N

Teorema 2.2. La EDOL (2.1) tiene n soluciones linealmente independientes, dadaspor:

φ(dk)k (x) = xdkeλkx, (2.2)

donde λk ∈ C, k = 1, 2, . . . , s (s ≤ n); son las raıces diferentes del polinomio carac-terıstico (p(λ) = 0):

p(λ) = p0λn + p1λ

n−1 + · · ·+ pn−1λ+ pn, (2.3)

y dk = 0, 1, . . . ,Mk − 1; siendo Mk la multiplicidad algebraica de la raız λk (M1 +M2 +· · ·+Ms = n).

Ademas, para x0 ∈ I arbitrario, las condiciones iniciales (datos de Cauchy)estipuladas por n constantes complejas arbitrarias: α1, α2, . . . , αn; determinan una solucionunica φ(x) que satisface a la EDOL (2.1), y a:

φ(x0) = α1;dφ

dx(x0) = α2; · · · ;

dn−1φ

dxn−1(x0) = αn. (2.4)

NComo la ecuacion (2.1) es lineal, el subespacio de las soluciones (subconjunto de Cn(I))

es un espacio vectorial de dimension n. Los φ(dk)k ’s dados en (2.2) constituyen una base

de soluciones; o lo que es lo mismo, cualquier solucion de (2.1) puede escribirse:

φ(x) =s∑

k=1

Mk−1∑dk=0

c(dk)k φ

(dk)k (x), (2.5)

donde los c(dk)k ’s son constantes complejas.

Los datos de Cauchy determinan unıvocamente los coeficientes c(dk)k en (2.5).

Comentario 2.3. Evidentemente, todo lo dicho en el teorema 2.2, sera valido en elcaso particular en que los coeficientes p0, . . . , pn sean reales.

En ese caso, como p(λ) = p(λ) (lo cual es inmediato de la Rel. (2.3)), tendremos quesi λk es una raız, entonces λk tambien lo es y tendran iguales multiplicidades algebraicas.

3. OPERADOR DIFERENCIAL Y SU ADJUNTO FORMAL 83

Supongamos entonces que 2j (2j ≤ s) raıces (diferentes) no son reales y que las (s − 2j)restantes son reales. En este caso nos conviene numerar las raıces diferentes, ası:

λ1, λ1, λ2, λ2, . . . , λj, λj;λ2j+1, λ2j+2, . . . , λs, (2.6)

donde:λk = µk + iνk; k = 1, . . . , j; µk, νk ∈ R; νk = 0. (2.7)

En este caso, si lo deseamos, podemos usar una base de soluciones real, como lo indicael proximo teorema.

Teorema 2.4. La EDOL (2.1), con coeficientes p0, . . . , pn reales posee una base desoluciones real, dada por:

ψ(dk)k (x) = xdkeµkx cos νkx; χ

(dk)k (x) = xdkeµkxsen νkx; φ(dm)

m (x), (2.8)

donde di = 0, . . . ,Mi−1, i = k,m; k = 1, . . . , j; m = 2j+1, . . . , s; donde hemos numerado

las raıces como en (2.6) y (2.7); y donde φ(dm)m (x) vienen dadas por la Rel. (2.2).

Demostracion. Obvia del teorema 2.2, pues del conjunto de funciones (2.8) se ob-tiene (mediante combinaciones lineales) el conjunto (2.2), y viceversa.

Esto es, cualquier solucion φ ∈ Cn(I) de la EDOL (2.1) se podra escribir:

φ(x) =

j∑k=1

Mk−1∑dk=0

[a(dk)k ψ

(dk)k (x) + b

(dk)k χ

(dk)k (x)

]+

s∑m=2j+1

Mm−1∑dm=0

c(dm)m φ(dm)

m (x), (2.9)

donde a(dk)k , b

(dk)k , c

(dm)m son constantes complejas.

Naturalmente, los datos de Cauchy determinan unıvocamente los coeficientes (en ge-neral complejos) de la Rel. (2.9). Pero si ademas los datos de Cauchy son reales, tendremos

que φ(x) ∈ R, ya que conjugando a (2.1) vemos que φ(x) tambien es solucion con los mis-

mos datos de Cauchy; y por lo tanto φ(x) = φ(x) (unicidad; teorema 2.2). En este casolos coeficientes de la Rel. (2.9) seran reales. La base (2.8) es muy util en este caso ya quepodemos hallar la solucion real directamente; en vez de usar la base dada por (2.2), locual nos alargarıa el calculo de los coeficientes.

3. Operador Diferencial y su Adjunto Formal

Definicion 3.1. Sea I ⊂ R un intervalo general, de extremos a y b (a < b). λ una

constante compleja arbitraria. Definiremos al operador diferencial formal L(λ) (o L(λ)x ),

ası:

L(λ) ≡ L(λ)x = p0(x)

d2

dx2+ p1(x)

d

dx+ (p2(x)− λ), (3.1)

donde pk : I → C, pk ∈ C2−k(I), k = 0, 1, 2; ℜ [p0(x)] > 0, ∀x ∈ I.Usaremos las notaciones:

L ≡ L(0) ; Lx ≡ L(0)x . (3.2)

Si las funciones pk; k = 0, 1, 2, son a valores reales nos referiremos a un: L real. NEs claro de (3.1) que L(λ)φ tendra sentido para cualquier funcion φ : I → C que

posea segunda derivada (en esta seccion cualquier funcion φ, ψ sera de este tipo). Se tiene:L(λ)φ = Lφ− λφ, ∀λ ∈ C. Tambien es claro que L(λ) es lineal.


Definicion 3.2. Llamaremos a w0(x), dado por:

w0(x) =1

p0(x)exp

(∫ x p1(t)

p0(t)dt

), (3.3)

peso asociado al operador L(λ) (o a L); definido en 3.1. El peso w0 es unico salvo porun factor multiplicativo complejo no nulo; que resultara irrelevante. N

Teorema 3.3. El operador L(λ) definido en 3.1 se puede escribir de forma equivalente:

L(λ) ≡ L(λ)x =

1

w0(x)

d

dx

[p0(x)w0(x)

d

dx

]+ (p2(x)− λ) . (3.4)

Demostracion. Obvia, al derivar (3.4) tomando en cuenta la definicion (3.3). Comentario 3.4. El operador:

w0(x)L(λ)x =

d

dx

[p(x)

d

dx

]+ (q(x)− λw0(x)) , (3.5)

donde hemos llamado:

p(x) ≡ p0(x)w0(x) ; q(x) ≡ p2(x)w0(x), (3.6)

define el mismo problema homogeneo. Esto es, hallar las soluciones de w0L(λ)φ = 0, es el

mismo problema que hallar las soluciones de L(λ)φ = 0 (ya que w0 = 0 en I).

Definicion 3.5. Una funcion w : I → R+; siendo I un intervalo general; con w ∈C2(I) se denominara un peso. N

Notemos que si L es real, w0 definido en 3.2 es un peso en el sentido de esta definicion.

Definicion 3.6. Para cualquier peso w, definiremos a L(λ)w como el operador ad-

junto formal de L(λ) respecto al peso w, ası:

L(λ)w ψ(x) =

1

w(x)

d2

dx2

[p0(x)w(x)ψ(x)

]− d

dx

[p1(x)w(x)ψ(x)

]+(p2(x)− λ

)ψ(x),

(3.7)siendo ψ cualquier funcion ψ : I → C, dos veces derivable.

Usaremos las notaciones:

Lw ≡ L(0)w . Si w(x) = 1, ∀x ∈ I, haremos: L

(λ)w → L(λ); L ≡ Lx ≡ L(0). (3.8)

Tambien definiremos al operador formal Lx estrella asociado a Lx; denotado L∗x;

ası:

L∗xψ(x) =

d2

dx2[p0(x)ψ(x)]−

d

dx[p1(x)ψ(x)] + p2(x)ψ(x). (3.9)

NLa denominacion “ Lx estrella” es no convencional.Si Lx es real y w(x) = 1, se tiene: L∗

x = Lx.

Teorema 3.7 (Identidad de Lagrange). Para cualquier peso w, tendremos:

w(x)[ψ(x)L(λ)φ(x)− φ(x)L

(λ)w ψ(x)

]=

d

dxQw(φ, ψ), (3.10)

3. OPERADOR DIFERENCIAL Y SU ADJUNTO FORMAL 85

donde φ y ψ son funciones arbitrarias, φ, ψ : I → C, dos veces derivables, y la formabilineal Qw(φ, ψ), que se denomina concomitante bilineal respecto al peso w de lasfunciones φ y ψ, viene dada por:

Qw(φ, ψ) = p0(x)w(x)ψ(x)dφ(x)

dx− φ(x)

d

dx

[p0(x)w(x)ψ(x)

]+ w(x)p1(x)ψ(x)φ(x).

(3.11)

Demostracion. Es puramente algebraica y se deja como problema. Teorema 3.8 (Identidad de Lagrange). Se tiene:

ψ(x)Lxφ(x)− φ(x)L∗xψ(x) =

d

dxQ(φ, ψ), (3.12)

donde Q(φ, ψ) indica al concomitante bilineal (3.11) de φ y ψ (= ψ) respecto al peso

w(x) = 1 (es decir: Q1(φ, ψ) → Q(φ, ψ)).

Demostracion. Es puramente algebraica y se deja como problema. Corolario 3.9 (Identidad Generalizada de Green). Sea w cualquier peso. Si

x1, x2 ∈ I, con x1 < x2, tendremos:∫ x2

x1

dxw(x)ψ(x)L(λ)φ(x)−∫ x2

x1

dxw(x)φ(x)L(λ)w ψ(x) = Qw(x2)− Qw(x1), (3.13)

donde Qw(x) indica al concomitante bilineal (dado por la Rel. (3.11)), evaluado en x.

Demostracion. Integrando la identidad de Lagrange 3.7. Corolario 3.10. Si L es real y w0 es su peso asociado, tendremos:

Qw0(φ, ψ) ≡ Qw0(φ, ψ)(x) = p0(x)w0(x)

[ψ(x)

dφ(x)

dx− φ(x)

dψ(x)

dx

]. (3.14)

Demostracion. Es inmediata, al notar de la Rel. (3.3) que ddx

(w0p0) = (p1w0), y alusar este hecho en la Rel. (3.11).

Teorema 3.11. Si L es real y w0 es su peso asociado, entonces:

Lw0 = L (3.15)

y decimos que L es autoadjunto formal (con respecto al peso w0).

Demostracion. Es puramente algebraica y se deja como problema. Estas definiciones de adjunto formal y de autoadjunto formal no tienen nada que ver

en principio con las definiciones de adjunto y autoadjunto en un espacio de Hilbert. Sinembargo, luego, en el capıtulo 4, relacionaremos estos conceptos.

Comentario 3.12. Es muy frecuente que uno (o ambos) de los extremos del inter-valo I sea abierto. En este caso hablamos del valor de las funciones en consideracion enese extremo en el sentido del lımite a la derecha o a la izquierda (segun corresponda).Admitiremos al valor ∞ como lımite (+∞ y −∞, si la funcion es a valores reales).


Si I es abierto en a, pondremos entonces, por ejemplo (abusando de la notacion):

pk(a) ≡ lımx→a+

pk(x); k = 0, 1, 2.

w0(a) ≡ lımx→a+

w0(x).

φ(a) ≡ lımx→a+

φ(x),

siendo φ cualquier funcion φ : I → C, que posea derivada segunda.Ası mismo, si I es abierto en b:

pk(b) ≡ lımx→b−

pk(x), k = 0, 1, 2.

w0(b) ≡ lımx→b−

w0(x).

φ(b) ≡ lımx→b−

φ(x).

4. EDOL de Segundo Orden

Definicion 4.1. Sea L(λ) (o L) el operador definido en 3.1. Sea f cualquier funciondada, f : I → C, con f ∈ C(I). A la Ec.:

L(λ)φ ≡ L(λ)x φ(x) = f(x) , φ ∈ C2(I), (4.1)

la denominaremos EDOL de segundo orden en I. De ahora en adelante, al mencionar“EDOL” (en I) a secas, siempre supondremos que se trata de una de este tipo.

Toda φ ∈ C2(I) que satisfaga a la Ec. (4.1), sera solucion de esta EDOL.Si f ≡ 0 en I, la Ec. (4.1) definira una EDOL inhomogenea.Si f ≡ 0 en I, la Ec. (4.1) definira una EDOL homogenea. NNotese que φ(x) = 0, ∀x ∈ I (φ ≡ 0 en I) siempre es solucion de la EDOL homogenea

(4.1), o de la (2.1); y se llama la solucion trivial. Diremos que una solucion φ ≡ 0 en I,es una solucion no trivial.

Al referirnos a “una” (o a “la”) segunda solucion de una EDOL (4.1), quedarasobrentendido que se trata de una solucion no trivial de la EDOL homogenea correspon-diente, la cual es linealmente independiente con respecto a otra solucion ya dada.

Definicion 4.2. Si dividimos a la Ec. (4.1) con λ = 0 por p0, obtendremos a la Ec.:

Sφ ≡ Sxφ(x) ≡d2φ(x)

dx2+ P (x)

dφ(x)

dx+Q(x)φ(x) = r(x), (4.2)

donde:

P (x) =p1(x)

p0(x); Q(x) =

p2(x)

p0(x); r(x) =

f(x)

p0(x). (4.3)

Para P ∈ C1(I); Q, r ∈ C(I), la Ec. (4.2) se llama la forma normal de una EDOLde segundo orden. N

Como p0(x) = 0, ∀x ∈ I, el operador S sera un operador diferencial formal del tipo“L” definido en 3.1. El peso w0 asociado a S (ver Def. 3.2) vendra entonces dado por:

w0(x) = exp

(∫ x

P (t)dt

). (4.4)

4. EDOL DE SEGUNDO ORDEN 87

Tambien, como p0(x) = 0, ∀x ∈ I, la EDOL (4.1) es equivalente a la EDOL (4.2) enel sentido de que φ es solucion de (4.1) sii φ es solucion de (4.2).

Comentario 4.3. Metodos para resolver una EDOL homogenea, se trataran en elproximo capıtulo. La solucion de EDOL inhomogeneas quedara relegada al capıtulo 6.

A continuacion daremos dos teoremas (el primero de los cuales no sera demostrado)de existencia y unicidad de las soluciones.

Teorema 4.4. Para la EDOL homogenea especificada en 4.1 (o en 4.2) siempre

existen dos soluciones linealmente independientes φ1 y φ2 (∈ C2(I)), que forman unabase de soluciones (o sistema fundamental de soluciones). Esto es, toda solucionφ ∈ C2(I) de la EDOL se escribe:

φ(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x); c1, c2 ∈ C. (4.5)

La Rel. (4.5) se llama solucion general de la EDOL homogenea.Ademas, para x0 ∈ I arbitrario, dados los datos de Cauchy: α1, α2 ∈ C, arbitrarios,

la EDOL homogenea tiene una solucion unica φ ∈ C2(I) que satisface:

φ(x0) = α1 ;dφ

dx(x0) = α2. (4.6)

Si L es real, siempre podremos escoger φ1 y φ2 (con: Lφk = 0; k = 1, 2) a valores reales.N

Vemos pues, que este teorema nos indica que el espacio vectorial de las soluciones deuna EDOL homogenea, especificada en 4.1 (o en 4.2), es de dimension dos.

Si L es real y los datos de Cauchy son numeros reales, la solucion φ de Lφ = 0 serauna funcion a valores reales (en virtud de la unicidad de la solucion).

Teorema 4.5. Para la EDOL inhomogenea especificada en 4.1 (o en 4.2) siempre

existe una solucion en C2(I); y cualquiera de ellas se denominara: solucion particular.Ademas, para x0 ∈ I arbitrario, dados los datos de Cauchy α1, α2 ∈ C arbitrarios,

la EDOL inhomogenea tiene una solucion unica φ ∈ C2(I), dada por:

φ(x) = φh(x) + φp(x), (4.7)

donde φh ∈ C2(I) es una solucion de la EDOL homogenea correspondiente a la EDOLinhomogenea (esto es, hacemos f ≡ 0 o r ≡ 0), y φp ∈ C2(I) es una solucion particular;satisfaciendo φ a las relaciones (4.6).

Demostracion. La existencia de una solucion particular φp sera probada en el capıtu-lo 6; teorema 1.5.

φh dada por (4.5) existe por 4.4, y ajustando los coeficientes c1 y c2 siempre podremossatisfacer los datos de Cauchy para la φ dada en (4.7), la cual es obviamente solucion dela EDOL inhomogenea.

Supongamos que φi, i = 1, 2, son soluciones; esto es: L(λ)φi = f , i = 1, 2; y φ1(x0) =φ2(x0) = α1,

dφ1

dx(x0) =

dφ2

dx(x0) = α2. Tendremos que ψ(x) ≡ φ1(x) − φ2(x), satisface la

EDOL homogenea L(λ)ψ = 0, junto con ψ(x0) =dψdx(x0) = 0. Entonces, por el teorema 4.4

(unicidad), tendremos que ψ ≡ 0.


En el capıtulo 6 veremos que para hallar una solucion particular, basta con resolverla EDOL homogenea (esto es, buscar una base de soluciones). El hallar la solucion de laEDOL (4.1) sujeta a las condiciones (4.6) se llama el problema de Cauchy.

Por mas que las Rels. (4.1) o (4.2) se llamen ecuaciones diferenciales lineales (envirtud de la linealidad de L(λ)), ello no implica (si f ≡ 0) que combinaciones linealesde soluciones particulares tambien sean soluciones particulares. En efecto, si φp es unasolucion particular, 2φp no lo es, p. ej. Evidentemente, si φp es una solucion particular:φp + φh, tambien lo sera (para cualquier φh).

Definicion 4.6. Definiremos al Wronskiano de dos funciones diferenciables g, h :I → C ası:

W (g, h;x) ≡ W (g, h) ≡ W (x) ≡ g(x)h′(x)− h(x)g′(x) = det

(g(x) h(x)g′(x) h′(x)

). (4.8)

NEs importante observar que el Wronskiano W (g, h;x) es lineal, tanto en la variable g

como en la h. Se tiene ademas que: W (g, h) = −W (h, g).

Teorema 4.7. Sea la EDOL homogenea especificada en 4.1 (o en 4.2). Para x0 ∈ Iarbitrario y para cualquier par de soluciones φ1 y φ2, de esa EDOL homogenea, tendremos:

W (φ1, φ2;x) = W (φ1, φ2;x0) exp

(−∫ x

x0

p1(t)

p0(t)dt

)= W (φ1, φ2;x0) exp

(−∫ x

x0

P (t)dt

).

(4.9)

Demostracion. En efecto, si derivamos a (4.8) obtenemos W ′ = φ1φ′′2 − φ2φ

′′1. Sus-

tituyendo φ′′1 y φ′′

2 por la Rel. (4.2) (con r = 0) obtendremos W ′(x) = −P (x)W (x). De la Rel. (4.9) observamos que el Wronskiano de dos soluciones de la EDOL ho-

mogenea en I es nulo en I (W ≡ 0) o bien no nulo en I (W (x) = 0,∀x ∈ I).La Rel. (4.9) nos sirve para evaluar el Wronskiano de cualquier par de soluciones de

la EDOL homogenea, y puede escribirse tambien ası (al usar las Rels. (3.3) y (3.6)):

W (x) = A exp

(−∫ x p1(t)

p0(t)dt

)= A exp

(−∫ x

P (t)dt

)=

A

p(x), (4.10)

donde A es una constante que depende del par de soluciones. A, puede ser calculadaevaluando W (x) en un punto particular; p. ej, con las formas asintoticas de las soluciones.

Lema 4.8. Para dos funciones diferenciables arbitrarias; g, h : I → C, linealmentedependientes; su Wronskiano se anula identicamente en I (W ≡ 0).

Demostracion. Como g y h son linealmente dependientes, existen dos constantescomplejas d1, d2, al menos una de las cuales no es nula, que satisfacen las dos ecuaciones:

d1g(x) + d2h(x) = 0, ∀x ∈ I; d1g′(x) + d2h

′(x) = 0, ∀x ∈ I. (4.11)

El determinante correspondiente a las ecuaciones lineales y homogeneas (4.11), el cuales: W (g, h;x), debe anularse identicamente (ya que existe solucion no trivial d1, d2).

Es facil verificar (ver 2.P.3) que las dos funciones g y h, definidas por:

g(x) = x3; h(x) = |x|3 ; I = (−1, 1), (4.12)

4. EDOL DE SEGUNDO ORDEN 89

son linealmente independientes en I y que su Wronskiano se anula identicamente en I.Entonces, vemos que no es cierto en general que la anulacion del Wronskiano implique ladependencia lineal. Sin embargo, tenemos el teorema siguiente.

Teorema 4.9. Dos soluciones φ1 y φ2, de la EDOL homogenea especificada en 4.1 (oen 4.2) son linealmente independientes sii para algun x0 ∈ I, tenemos: W (φ1, φ2;x0) = 0;y por ende, W (φ1, φ2;x) = 0,∀x ∈ I.

Demostracion. Notemos que si W (φ1, φ2;x0) = 0, ello implica que W (φ1, φ2) = 0en todo I (ver 4.7).

Entonces, si W ≡ 0, φ1 y φ2 son linealmente independientes, ya que si no, valdrıaW ≡ 0 para ellas (ver 4.8).

Por otra parte, si φ1 y φ2 son linealmente independientes, supongamos que existe unpunto y ∈ I en el cual W (φ1, φ2; y) = 0. En este caso, el sistema lineal y homogeneo:

d1φ1(y) + d2φ2(y) = 0d1φ

′1(y) + d2φ

′2(y) = 0

(4.13)

tendra una solucion no trivial; d1, d2. Sea entonces ψ(x) ≡ d1φ1(x)+d2φ2(x), ∀x ∈ I. Estaψ satisface a la EDOL homogenea ya que φ1 y φ2 lo hacen. Pero como ψ(y) = ψ′(y) = 0,tendremos que ψ ≡ 0 en I por el teorema de unicidad (ver 4.4). Por lo tanto φ1 y φ2 sonlinealmente dependientes en el intervalo I, en contra de la hipotesis.

Teorema 4.10. Todo cero de una solucion no trivial φ de la EDOL homogeneaespecificada en 4.1 (o 4.2); es decir, todo punto x0 ∈ I donde la solucion se anula: φ(x0) =0; es simple (≡ cero de orden uno: φ′(x0) = 0).

Demostracion. Si φ(x0) = 0, x0 ∈ I, para una solucion no trivial φ, entoncesφ′(x0) = 0, ya que si no φ ≡ 0 en I por la unicidad de la solucion (teorema 4.4).

Por lo tanto (ver, p. ej., [56, Teorema 5.7]) todo cero de una solucion no trivial de laEDOL homogenea es aislado (esto es, para todo cero existe un entorno de ese punto queno contiene mas ceros de la solucion).

Teorema 4.11 (Formula de Liouville). Sea φ1 una solucion no trivial de la EDOLhomogenea en I especificada en 4.1 (o en 4.2). Para todo intervalo general I1 ⊂ I en elcual φ1 no se anula, tendremos que:

φ2(x) = φ1(x)

∫ x dy

[φ1(y)]2 exp

(−∫ y p1(t)

p0(t)dt

)en I1, (4.14)

es una segunda solucion linealmente independiente de la EDOL homogenea en I1.

Demostracion. Es claro que φ2 dada por (4.14) es de clase C2(I1).La funcion ϕ ≡ φ1ψ definida en I1 satisface a la EDOL homogenea (4.2), sii, φ1ψ

′′ +(2φ′

1 + Pφ1)ψ′ = 0, lo cual es equivalente (ya que φ1 = 0 en I1) a la EDOL homogenea:

ψ′′ +

(P + 2

φ′1

φ1

)ψ′ = 0; en I1, (4.15)

la cual tiene solucion ψ′(y) = 1[φ1(y)]2

exp(−∫ yP (t)dt

).


Al integrar ψ′, vemos que ϕ es el φ2 de la Rel. (4.14). Tenemos que W (φ1, φ2) =

φ21ddx

(φ2

φ1

)= exp

(−∫ x

P (t)dt)= 0, y por lo tanto φ1 y φ2 son linealmente independientes

en I1 (ver teorema 4.9).

Vemos que una segunda solucion se ha obtenido al reducir el orden de la EDOL, yaque la EDOL homogenea (4.15) es una EDOL de primer orden, si llamamos ψ′ ≡ χ.

Si φ1 no se anula en I, entonces φ2 es una segunda solucion linealmente independienteen el intervalo I.

5. Ejemplos de EDOL

A continuacion especificaremos algunas EDOL homogeneas de segundo orden. Todaslas EDOL mencionadas son de gran importancia en fısica, y seran estudiadas posterior-mente. Sus soluciones son tan importantes que a algunas de ellas se les llama funcionesespeciales.

El intervalo general I asignado a cada EDOL no es el unico posible. En particular,cualquier subintervalo general I1 ⊂ I sera un intervalo de definicion valido.


Sxφ(x) ≡ φ′′(x) +2

x− aφ′(x) = 0; a ∈ R; I = (a,∞). (5.1)

a es una constante arbitraria.


Lxφ(x) ≡ φ′′(x) + ν2φ(x) = 0; ν ∈ C; I = (−∞,∞). (5.2)

ν es una constante arbitraria.La llamaremos EDOL de un oscilador armonico clasico, pues corresponde a la

ecuacion del movimiento de un oscilador armonico clasico si ν ∈ R− 0.

Ejemplo 5.3. La EDOL de Hermite:

Lxφ(x) ≡ φ′′(x)− 2xφ′(x) + 2αφ(x) = 0; α ∈ C; I = (−∞,∞). (5.3)

α es una constante arbitraria.Esta EDOL aparece en mecanica cuantica al considerar un oscilador armonico.


Sxφ(x) ≡ φ′′(x) +a

xφ′(x) +

b

x2φ(x) = 0; a, b ∈ C; I = (0,∞). (5.4)

a, b son constantes arbitrarias.Este tipo de EDOL aparece al separar el Laplaciano en coordenadas esfericas (ver

A-(2.13)) y en cilindricas (ver A-(3.9), para el caso en que k = 0).

Ejemplo 5.5. La EDOL Hipergeometrica Confluente:

Lxφ(x) ≡ xφ′′(x) + (c− x)φ′(x)− aφ(x) = 0; a, c ∈ C; I = (0,∞). (5.5)

a, c son constantes arbitrarias.Muchos casos importantes en fısica de EDOL, son casos particulares de esta EDOL.

5. EJEMPLOS DE EDOL 91

Ejemplo 5.6. La EDOL Generalizada de Laguerre:

Lxφ(x) ≡ xφ′′(x) + (α + 1− x)φ′(x) + βφ(x) = 0; α, β ∈ C; I = (0,∞). (5.6)

α, β son constantes arbitrarias.Obviamente es un caso particular de la EDOL Hipergeometrica Confluente (al hacer

c = α+1 y a = −β), y aparece en mecanica cuantica al considerar atomos “hidrogenoides”.

Ejemplo 5.7. La EDOL de Laguerre:

Lxφ(x) ≡ xφ′′(x) + (1− x)φ′(x) + βφ(x) = 0; β ∈ C; I = (0,∞). (5.7)

β es una constante arbitraria.Es un caso particular de la EDOL generalizada de Laguerre (al hacer α = 0).

Ejemplo 5.8. La EDOL Bessel:

Lxφ(x) ≡ x2φ′′(x) + xφ′(x) + (x2 − ν2)φ(x) = 0; ν ∈ C; I = (0,∞). (5.8)

ν es una constante arbitraria.Esta EDOL viene muy frecuentemente especificada por su forma normal, esto es:

φ′′(x) +1

xφ′(x) +

(1− ν2

x2

)φ(x) = 0; I = (0,∞). (5.9)

Esta EDOL aparece al separar el Laplaciano en coordenadas cilındricas (ver A-(3.9)para el caso k = 0 que implica a la Rel. A-(3.10)), y es por ello que sus soluciones sellaman frecuentemente funciones cilındricas. Tambien aparece al separar el Laplacianoen coordenadas esfericas (ver A-(2.13)).

Ejemplo 5.9. La EDOL Hipergeometrica:

Lxφ(x) ≡ x(1− x)φ′′(x) + [c− (a+ b+ 1)x]φ′(x)− abφ(x) = 0; a, b, c ∈ C; I = (0, 1).(5.10)

a, b, c son constantes arbitrarias.Tambien, muchos casos importantes en fısica son casos particulares de esta EDOL.

Ejemplo 5.10. La EDOL Asociada de Legendre:

Lxφ(x) ≡ (1− x2)φ′′(x)− 2xφ′(x) +

[ν(ν + 1)− µ2

1− x2

]φ(x) = 0;µ, ν ∈ C; I = (−1, 1).

(5.11)µ, ν son constantes arbitrarias.

Esta EDOL aparece al separar el Laplaciano en coordenadas esfericas (ver A-(2.18)).

Ejemplo 5.11. La EDOL de Legendre:

Lxφ(x) ≡ (1− x2)φ′′(x)− 2xφ′(x) + ν(ν + 1)φ(x) = 0; ν ∈ C; I = (−1, 1). (5.12)

ν es una constante arbitraria.Es un caso particular de la EDOL Asociada de Legendre (al hacer µ = 0).


6. Problemas

2.P.1 La ecuacion del movimiento (en R) de una partıcula de masam, sujeta a una fuerza

restauradora −kx(t) y a una fuerza de roce −bdx(t)dt

, esta dada por:

Ltx(t) ≡ md2x(t)

dt2+ b

dx(t)

dt+ kx(t) = 0; t ∈ R, (6.1)

con m, b, k ∈ R+.i. Discutir las soluciones de (6.1) para los tres casos posibles respecto a las cons-tantes m, b, k. Usar las notaciones:

ω0 ≡√k

m; γ ≡ b

2m; ω1 ≡ (ω2

0 − γ2)1/2. (6.2)

ii. Hallar la solucion cuando: x(0) ≡ x0 ∈ R, x0 = 0 y dxdt(0) = 0; haciendo un

esbozo del grafico de la solucion en los tres casos.iii. Repetir ii cuando: x0 = 0 y dx

dt(0) ≡ v0 ∈ R, v0 = 0.

NGuardar los resultados encontrados, pues seran usados en el problema 6.P.1.La Rel. (6.1) se denomina EDOL de un oscilador armonico amortiguado

(tambien se obtiene al considerar un circuito LRC).2.P.2 Demostrar los teoremas 3.7, 3.8 y 3.11. N2.P.3 Demostrar que las dos funciones definidas en (4.12) son linealmente independientes

y que su Wronskiano se anula identicamente en I. N2.P.4 i. Demostrar que al efectuar el cambio:

ψ(x) ≡ φ(x) exp

(∫ x P (t)

2dt

), (6.3)

en la EDOL homogenea (4.2), obtenemos la EDOL homogenea:

ψ′′(x) + I(x)ψ(x) = 0 ; I(x) = Q(x)− [P (x)]2

4− P ′(x)

2. (6.4)

ii. Verificar que para la EDOL de Bessel (5.9) obtenemos:

ψ′′(x) +

[1− 4ν2 − 1

4x2

]ψ(x) = 0. (6.5)

NVemos pues que siempre es posible eliminar la derivada primera en una EDOLhomogenea del tipo (4.2).En algunos libros la expresion (6.4) de una EDOL se denomina “forma normal”;acepcion diferente de la usada en la definicion 4.2.

2.P.5 Sea S el operador definido en 5.1, y:

Sxφ(x) = −ν2φ(x); esto es, S(−ν2)x φ(x) ≡ Sxφ(x) + ν2φ(x) = 0, (6.6)

la ecuacion de autovalores de S (ν ∈ C).Demostrar que con los cambios sucesivos: (i) y ≡ x − a, φ(x) ≡ ϕ(y); (ii)

ψ(y) ≡ ϕ(y) exp(∫ y P (t)

2dt), ver 2.P.4; obtenemos a la EDOL:

ψ′′(y) + ν2ψ(y) = 0. (6.7)

6. PROBLEMAS 93

NEl poner (−ν2) en la Ec. de autovalores (en vez de λ) es una cuestion de

conveniencia.Vemos pues que la consideracion de la ecuacion de autovalores del operador S

nos lleva a la EDOL del oscilador armonico clasico 5.2.2.P.6 Sea S el operador definido en 5.4, y:

Sxφ(x) = −λφ(x); esto es, S(−λ)x φ(x) ≡ Sxφ(x) + λφ(x) = 0, (6.8)

la ecuacion de autovalores de S (λ ∈ C). Para λ = 0, demostrar que con los cambios

sucesivos: (i) ψ(x) ≡ φ(x) exp(∫ x P (t)

2dt), ver 2.P.4; (ii) y ≡

√λx, ψ(x) ≡ χ(y);

obtenemos a la EDOL:

χ′′(y) +

[1 +

4b− a2 + 2a

4y2

]χ(y) = 0. (6.9)

NEl poner (−λ) en la Ec. de autovalores (en vez de λ) es una cuestion de conve-

niencia.Vemos pues que la consideracion de la ecuacion de autovalores del operador S

nos lleva, para autovalores no nulos, a una EDOL de Bessel (ver 2.P.4-ii).2.P.7 Demostrar que al hacer los cambios: x ≡ y2; c = 1

2; a = −α

2; en la EDOL Hi-

pergeometrica confluente, obtenemos la EDOL de Hermite, restringida al intervalo(0,∞).

NUn cambio como: y2 = x, de R en R+ ∪ 0 (y ∈ R, x ∈ R+ ∪ 0) no es

una transformacion, pues no es biyectivo. Es por ello que dicho cambio restringido,p. ej., de R+ en R+ lo llamamos una transformacion local; la cual si es biyectiva.

Bajo esa denominacion tambien incluiremos restricciones adecuadas (biyecti-vas) de cambios de subconjuntos de C en subconjuntos de C.

2.P.8 Sea ψ(x) una solucion de la EDOL Hipergeometrica confluente. Demostrar queal hacer los cambios: φ(x) ≡ xνe−ixψ(2ix); c = 2ν + 1; a = ν + 1

2; en la EDOL

Hipergeometrica confluente, obtenemos la EDOL de Bessel para la φ. N2.P.9 Demostrar que al hacer los cambios: x ≡ 1−y

2; a = −ν; b = ν + 1; c = 1; en la

EDOL Hipergeometrica obtenemos a la EDOL de Legendre. N2.P.10 Demostrar que al hacer el cambio x ≡ y

ben la EDOL Hipergeometrica y luego

tomar el lımite b→ ∞, obtenemos a la EDOL Hipergeometrica confluente. N2.P.11 Escribir a todas las EDOL homogeneas mencionadas en la seccion 5, en las formas

equivalentes (ver 3.3 y 3.4):

1

w0(x)

d

dx

[p(x)

dφ(x)

dx

]+ p2(x)φ(x) = 0, (6.10)

d

dx

[p(x)

dφ(x)

dx

]+ q(x)φ(x) = 0, (6.11)

siendo w0 el peso de la EDOL; p ≡ p0w0 y q ≡ p2w0. NLa expresion de una EDOL en las formas (6.10) o (6.11) se suele denominar

forma autoadjunta de la EDOL, ya que si L es real: Lw0 = L (ver: 3.11).Este problema se reduce a verificar la siguiente tabla.


EDOL w0(x) p(x) ≡ p0(x)w0(x) p2(x) q(x) ≡ p2(x)w0(x)(5.1) (x− a)2 (x− a)2 0 0

Osciladorarmonico clasi-co (5.2)

1 1 ν2 ν2

De Hermite(5.3)

e−x2

e−x2

2α 2αe−x2

(5.4) xa xa bx−2 bxa−2

Hipergeometri-ca confluen-te (5.5)

xc−1e−x xce−x −a −axc−1e−x

Generalizada deLaguerre (5.6)

xαe−x xα+1e−x β βxαe−x

De Laguerre(5.7)

e−x xe−x β βe−x

De Bessel (5.8) x−1 x x2 − ν2 x−1(x2 − ν2)

Bessel - FormaNormal (5.9)

x x 1− ν2

x2x(1− ν2

x2

)Hipergeometri-ca (5.10)

xc−1(1− x)a+b−c xc(1− x)a+b+1−c −ab − abxc−1

(1−x)c−a−b

Asociada de Le-gendre (5.11)

1 1− x2 ν(ν + 1)− µ2

1−x2 ν(ν + 1)− µ2

1−x2

De Legendre(5.12)

1 1− x2 ν(ν + 1) ν(ν + 1)

Capıtulo 3

Soluciones por Series de EDOL. Funcion Hipergeometrica eHipergeometrica Confluente. Metodo de Representaciones

Integrales

Ademas de la bibliografıa citada al principio del capıtulo 2, ver: [13, 102, 103].En este capıtulo (y en todo este texto) usaremos la palabra: recinto para referirnos

a un conjunto no vacıo, abierto y conexo de C o de RN , N ∈ Z+; terminos definidos en[56], p. ej. Los terminos: simplemente conexo, polo, etc.; se toman de [56], p. ej.

1. EDOL en el Campo Complejo

Definicion 1.1. Vamos a considerar EDOL homogeneas analıticas de segundoorden en R; esto es, EDOL homogeneas dadas por:

d2φ(z)

dz2+ P (z)

dφ(z)

dz+Q(z)φ(z) = 0, (1.1)

donde P y Q son funciones complejas analıticas definidas en algun recinto simplementeconexo (es decir, “sin huecos”) R ⊂ C, excepto quizas en un numero finito de puntos deR donde esas funciones pueden tener polos aislados.

Al mencionar “EDOL” (analıticas) a secas, siempre supondremos que se trata de unade este tipo; y si no se explicita R se supondra que R = C. N

Comentario 1.2. El considerar EDOL analıticas tiene la ventaja de que sus puntossingulares pueden circunvalarse en recintos de C. Esto permite continuar la solucion masalla y alrededor de los puntos singulares; mientras que en la recta real, las solucionesterminan abruptamente en los puntos singulares.

P. ej., para la ecuacion diferencial ordinaria: φ′(x) = φ(x)2, con x y φ reales; φ(x) =−1/x define dos soluciones, una para x > 0 y otra para x < 0. Cuando x→ 0 una tiendea +∞ y la otra a −∞ (ambas soluciones no se pueden relacionar en x = 0). Sin embargo,la Ec.: φ′(z) = φ(z)2 tiene una solucion analıtica no trivial unica φ(z) = −1/z en todoC−0 (notemos que esta Ec. no es del tipo que estamos considerando ya que no es linealni de segundo orden, sin embargo ilustra bien el punto).

Definicion 1.3. A continuacion, clasifiquemos las singularidades de la EDOL (1.1)en R. Para la EDOL especificada en 1.1 diremos que z0 ∈ R es un punto ordinario deesa EDOL si P y Q son analıticas en z = z0. Si z0 no es un punto ordinario diremos quees un punto singular o una singularidad de esa EDOL.

Un punto z0 ∈ R es un punto singular regular de la EDOL (1.1) si se cumplen lastres propiedades siguientes:

i. z0 es un punto singular.ii. P (z) es analıtica en z0 o bien tiene un polo de orden uno en z0.

95

96 3. SOLUCIONES DE EDOL

iii. Q(z) es analıtica en z0 o bien tiene un polo de orden uno o dos en z0.

Cualquier punto z0 ∈ R singular que no sea regular se llamara punto singularirregular de la EDOL (1.1).

Por definicion, la clasificacion del z = ∞ (si es que R se extiende hasta alla) vendradada por la naturaleza del punto ξ0 = 0 en la EDOL obtenida de la EDOL (1.1) bajo elcambio z = 1/ξ. N

Comentario 1.4. Para las EDOL dadas en 2-5, en las cuales hacemos x → z ∈ C,todas sus singularidades vendran dadas (con restricciones obvias para las constantes deestas EDOL) por (para z = ∞, ver 3.P.1):

i. Para la Hipergeometrica los tres puntos 0, 1,∞ son singulares regulares.ii. Para la de Legendre y la de Legendre Asociada los tres puntos −1, 1,∞ son singulares

regulares.iii. Para la Hipergeometrica Confluente, la de Bessel, la de Laguerre y la de Laguerre

Generalizada, z = 0 es un punto singular regular y el punto z = ∞ es singularirregular.

iv. La de Hermite y del oscilador armonico clasico si ν = 0, solamente tienen el puntoz = ∞ singular, el cual es irregular.

Notemos que es natural que la EDOL i. y la de Legendre tengan tres puntossingulares regulares puesto que ya sabemos (ver 2.P.9) que estan relacionadas por uncambio de coordenadas que reubican las singularidades en el plano.

Notemos que como ya sabemos (ver 2.P.10), pasamos de la EDOL hipergeometricaa la Hipergeometrica Confluente con un lımite (b → ∞), con el cual “empujamos”la singularidad de z = 1 a z = ∞ convirtiendo a este ultimo en un punto singularirregular (tal lımite se llama una confluencia).

Comentario 1.5. En el capıtulo 5 de [13] se ofrece una cierta clasificacion de lasEDOL analıticas de segundo orden segun el numero y complejidad de sus puntos singulares.

Se debe tener claro que para un numero dado de puntos singulares de cierto tipoubicados en puntos dados, pueden corresponder (en general) EDOL genericas (esto es, consus constantes generales no particularizadas a valores numericos especıficos) de diferentesespecies; vale decir, no se puede pasar de una EDOL a otra con identificaciones de susconstantes algebraicas (una base de soluciones generica de una de ellas no sirve como basede soluciones para las otras). P. ej., la EDOL del oscilador armonico clasico con ν = 0 yla de Hermite son de diferentes especies.

Consideremos EDOL’ s en C; ver Rel. (1.1); con n ∈ Z+ puntos singulares (sin exclu-sion del infinito), todos regulares (denominadas ecuaciones de Fuchs). En el capıtulo 6de [103] se establece que el numero de puntos singulares debe ser finito, que los coeficien-tes P y Q son funciones racionales y que cualquiera de estas EDOL con n singularidadessiempre puede ser llevada a una forma “canonica”; ver sus teoremas 21 y 25; es decir, noexisten otras de diferente especie. Ver casos particulares en 3.P.3, 3.P.5 y la seccion 4.

El problema 2.P.7 nos muestra que con transformaciones locales se puede pasar deuna EDOL a otra con un numero diferente de puntos singulares.

Dada cualquier EDOL que deseamos resolver, lo primero que debemos hacer es identi-ficar todos sus puntos singulares determinando su naturaleza. Luego se verifica si se puedehacer corresponder con una de la misma especie (tomando valores numericos para las cons-tantes generales de ser ello necesario), cuyas soluciones sean conocidas. Para ello, quizas se

2. PUNTOS ORDINARIOS 97

deban reubicar las singularidades de la EDOL estudiada. P. ej., w = a se puede reubicaren z = 0, z = b o z = ∞; mediante las transformaciones: z = w − a, z = (w − a) + b yz = 1/(w − a), respectivamente. Si ese simple procedimiento no resulta exitoso, entoncesse deben buscar transformaciones de la EDOL estudiada (a base de ingenio) que la llevena una EDOL de soluciones conocidas (si es que ello es posible). En la seccion 9 se ofrecenalgunos “trucos” (ver [10]) para lograr ese tipo de objetivo.

2. Puntos Ordinarios

Teorema 2.1. Sea z0 ∈ R un punto ordinario de la EDOL (1.1), y sea Rz0 el recintoformado por los puntos interiores de un cırculo de radio Rz0 centrado en z0, siendo Rz0 elmayor numero real positivo tal que , todo punto de Rz0 sea un punto de R y sea un puntoordinario de la EDOL (por lo tanto, la frontera de Rz0 contendra un punto singular dela EDOL si el cırculo centrado en z0 que pasa por la singularidad mas cercana a z0 estaincluido en R).

Entonces existe una base de soluciones:

φ1(z) = c0 +∞∑k=1

c2k(z − z0)2k ; φ2(z) = c1(z − z0) +

∞∑k=1

c2k+1(z − z0)2k+1, (2.1)

donde φ1 depende de una unica constante compleja no nula arbitraria c0, y φ2 de unaunica constante compleja no nula arbitraria c1. La solucion general sera entonces:

φ(z) = c′1φ1(z) + c′2φ2(z) =∞∑n=0

dn(z − z0)n; c′1, c

′2 ∈ C, (2.2)

d2n = c′1c2n y d2n+1 = c′2c2n+1; y dependera de dos constantes complejas arbitrarias: d0 yd1.

Los puntos singulares de φ1 y φ2 seran puntos singulares de la EDOL (1.1).Las series en (2.1) seran uniformemente convergentes en Rz0 (esto es, seran analıticas

en Rz0).Ademas φ1 y φ2 seran analıticas en todo punto de R, excepto quizas en las singula-

ridades de la EDOL.Finalmente, si φ(z0) y φ

′(z0) son datos dados (datos de Cauchy), entonces la solucionde la EDOL (1.1) que los satisface es unica en Rz0 (esto es, d0 y d1 estan determinadosunivocamente). N

No demostraremos este teorema.

Comentario 2.2. Veamos como funciona el teorema 2.1 para la EDOL de Hermitepara el punto z0 = 0.

La base de soluciones sera analıtica en todo C pero no en el ∞. Sustituyamos (2.2)en la EDOL (2-5.3):

φ′ =∞∑n=0

ndnzn−1 ∴ 2zφ′ =

∞∑n=0

2ndnzn

φ′′ =∞∑n=0

n(n− 1)dnzn−2 =

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)dn+2zn,


o sea:∞∑n=0

[(n+ 2)(n+ 1)dn+2 − 2ndn + 2αdn] zn = 0.

Como esta relacion es valida ∀z, el coeficiente de zn debe anularse (unicidad del desa-rrollo en serie de Taylor de la funcion analıtica: cero), dando la relacion de recurrencia:

dn+2 =2(n− α)

(n+ 2)(n+ 1)dn. (2.3)

Con d0 generamos con (2.3) todos los coeficientes pares: d2, d4, d6, · · · . Con d1 gene-ramos con (2.3) todos los coeficientes impares: d3, d5, d7, · · · .

Notemos que si α es un numero natural, todos los coeficientes que comienzan condα+2 se anulan; por lo tanto, si α es par φ1(z) es un polinomio y si α es impar φ2(z) es unpolinomio ( polinomios de Hermite).

Comentario 2.3. No todo punto singular de una EDOL (1.1) es necesariamente unpunto singular de una de sus soluciones o de su solucion general; como lo muestra la EDOLen C con el punto z0 = 0, singular regular:

z2φ′′(z)− 4zφ′(z) + 6φ(z) = 0, (2.4)

de solucion general, analıtica en z0 = 0 (y en todo C): φ(z) = c1z2 + c2z

3 (c1, c2 ∈ C); ver3.P.5.

Este mismo ejemplo nos sirve para constatar que si z0 es un punto singular de unaEDOL, los datos de Cauchy estipulados en z0 no determinan en general una solucion unicao que se puede carecer entonces de solucion; y tambien, que si z0 es un cero de una solucionno trivial, este no es necesariamente simple (con lo que se anularıa el Wronskiano de lasdos soluciones linealmente independientes en z0). En efecto, z0 = 0 es un cero no simplede la solucion general de la EDOL (2.4), la cual satisface ademas los datos de Cauchy:φ(0) = φ′(0) = 0; en cambio, si se exigiese que φ(0) = φ′(0) = 1, p. ej., no se tendrıasolucion.

Todo esto no contradice los teoremas 2-4.4, 2-4.5, 2-4.9, 2-4.10 y 6-2.3 (pues allı seexige que ℜ[p0(x)] > 0, ∀x ∈ I), o al 2.1 (pues allı se exige que z0 sea un punto ordinario).

Notemos que aunque la solucion φ(z) de la EDOL (1.1) es analıtica para todo puntode R, excepto quizas en las singularidades de la EDOL, esto no implica que esta sea“analıtica en todo R” excepto en esos puntos singulares, ya que φ puede ser multivaluada(por lo tanto ni siquiera “funcion”, y menos aun funcion analıtica). Por ejemplo, log z enla region 1 ≤ |z| ≤ 2 es analıtica en cada punto de la region cerrada pero no en toda ella,ya que es multivaluada.

3. Puntos Singulares Regulares

Comentario 3.1. Si z0 es un punto singular regular de la EDOL (1.1), entoncestendremos que las funciones:

A(z) ≡ (z − z0)P (z) ; B(z) ≡ (z − z0)2Q(z), (3.1)

3. PUNTOS SINGULARES REGULARES 99

seran analıticas en Rz0 (ver notacion en 2.1) y podran desarrollarse en una serie de Tayloralrededor de z0:

A(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n ; B(z) =

∞∑n=0

bn(z − z0)n, (3.2)

donde:

an =1

2πi

∫γ

A(z′)dz′

(z′ − z0)n+1; bn =

1

2πi

∫γ

B(z′)dz′

(z′ − z0)n+1, (3.3)

y la trayectoria de γ es una circunferencia en Rz0 centrada en z0 (recorrida en el sentidocontrario a las manecillas de un reloj).

Intentemos una solucion de la forma (con c0 = 0):

φ(z) = (z − z0)r

∞∑n=0

cn(z − z0)n (3.4)

(esto es, aislando la posible singularidad de la solucion), donde r y cn (n = 0, 1, 2, · · · ) sonconstantes a determinar. Sustituyamos (3.4) en (1.1), usando (3.2) y luego multipliquemospor (z − z0)

2−r. Obtenemos:

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)(z − z0)ncn +

(∞∑n=0

an(z − z0)n

)(∞∑n=0

cn(n+ r)(z − z0)n

)

+

(∞∑n=0

bn(z − z0)n

)(∞∑n=0

cn(z − z0)n

)= 0.

Acordandonos que dos series se multiplican de la siguiente manera:(∞∑n=0

anzn

)(∞∑n=0

bnzn

)=

∞∑n=0

cnzn, con cn =

n∑m=0

an−mbm, (3.5)

obtenemos que:

∞∑n=0

(n+ r)(n+ r − 1)cn +

n∑m=0

[(m+ r)an−m + bn−m] cm

(z − z0)

n = 0,

lo cual implica que:

(n+ r)(n+ r − 1)cn +n∑

m=0

[(m+ r)an−m + bn−m] cm = 0, (3.6)

o, lo que es lo mismo:

[(n+ r)(n+ r − 1) + (n+ r)a0 + b0] cn +n−1∑m=0

[(m+ r)an−m + bn−m] cm = 0. (3.7)

Definamos las funciones:

I0(r) ≡ r(r − 1) + ra0 + b0, (3.8)

Ii(r) ≡rai + bi si i > 00 si i < 0

. (3.9)


Entonces podemos reescribir (3.7) ası:

I0(r + n)cn = −n−1∑m=0

In−m(r +m)cm. (3.10)

Con (3.10) podemos determinar los cn, excepto c0. Para n = 0, de la Rel. (3.6) y (3.8)resulta I0(r)c0 = 0 ⇒ (ya que c0 = 0):

I0(r) = r2 + (a0 − 1)r + b0 = 0. (3.11)

llamada ecuacion indicial. Si r1 y r2 son las dos raıces, siempre las denominaremos demanera tal que:

ℜr1 ≥ ℜr2. (3.12)

Teorema 3.2. Sea z0 ∈ R un punto singular regular de la EDOL (1.1). Entonces,existe una base de soluciones φ1(z) y φ2(z), donde:

φ1(z) = (z − z0)r1

∞∑n=0

cn(z − z0)n (3.13)

depende de una sola constante compleja no nula arbitraria c0 (estando las demas constantesdeterminadas por (3.10), con r = r1). Esta serie converge al menos en un anillo 0 <|z − z0| < σ1, 0 < σ1 ≤ Rz0 (Rz0 definido en 2.1).

Si r1 − r2 ≡ s no es un entero, entonces:

φ2(z) = (z − z0)r2

∞∑n=0

dn(z − z0)n (3.14)

es una segunda solucion la cual depende de una sola constante compleja no nula arbitrariad0 (estando las demas constantes determinadas por (3.10), con r = r2). Esta serie convergeal menos en un anillo 0 < |z − z0| < σ2, con 0 < σ2 ≤ Rz0.

En este caso la solucion general:

φ(z) = c′1φ1(z) + c′2φ2(z); c′1, c′2 ∈ C, (3.15)

dependera de dos constantes complejas arbitrarias: e1 ≡ c′1c0 y e2 ≡ c′2d0.Para el caso en que s es un entero, la solucion (3.14) generalmente falla, y una

segunda solucion puede ser hallada con:

φ2(z) = φ1(z)

∫ z dz′

[φ1(z′)]2 exp

(−∫ z′

P (z′′)dz′′

). (3.16)

La Rel. (3.16) tambien puede ser usada para hallar una segunda solucion aun en elcaso que s no sea un entero (en vez de la (3.14)).

La solucion general (3.15) con φ2 dada por (3.16) dependera de dos constantescomplejas arbitrarias: e1 ≡ c′1c0 y e2 ≡ c′2/c0.

Finalmente, si la ecuacion indicial tiene una raız entera, la EDOL siempre tiene unasolucion que es mono valuada; es mas, si esa raız es positiva o nula la solucion es analıtica.

4. LA FUNCION HIPERGEOMETRICA. 101

Demostracion. Para n > 0, I0(r1+n) en (3.10) nunca se anula y por lo tanto los cn’svienen definidos en terminos de c0. Para probar (3.13) faltarıa demostrar la convergencia(cosa que no haremos). Si s = r1−r2 no es un entero, entonces I0(r2+n) en (3.10) tampocose anula y pasa lo mismo que para r1.

Para probar (3.15) habrıa que comprobar que W (φ1, φ2; z) no se anula (cosa que noharemos).

Si r1 − r2 = N (N un entero), I0(r2 +N) = I0(r1) = 0, y la Rel. (3.10) no determinalos coeficientes. Entonces usamos el teorema 2-4.11 (para el campo complejo).

Notemos finalmente que de (3.2), sale que:

a0 = A(z0) ; b0 = B(z0). (3.17)

El metodo de series resulta muy util en la practica siempre que los coeficientes pk,k = 0, 1, 2, de la EDOL sean polinomios o se puedan llevar a estos mediante cambios devariables.

4. La Funcion Hipergeometrica.

Comentario 4.1. Consideremos en C la EDOL Hipergeometrica, la cual solo poseetres puntos singulares, todos regulares; a saber, z0 = 0, z1 = 1 y z2 = ∞:

z(1− z)φ′′(z) + [c− (a+ b+ 1)z]φ′(z)− abφ(z) = 0. (4.1)

Esta EDOL es muy importante, pues cualquier EDOL (1.1) en C con solo tres puntossingulares, todos regulares, puede ser llevada mediante transformaciones a esta ecuacion;ver la seccion 46 de [103] y el comentario 1.5.

En el punto z0 = 0 tendremos (ver (3.17)), A(z0) = a0, B(z0) = b0, esto es: a0 = c,

b0 = 0. La Ec. indicial sera (ver (3.11)) I0(r) = r2 + (c − 1)r = 0 de soluciones 0 y(1− c). Si c no es un entero, tendremos las soluciones (3.13) y (3.14) que podemos hallarsustituyendo (3.4) en (4.1), (ya que es mas rapido este procedimiento que el calcular loscoeficientes an y bn en (3.2)). En este caso no importa quien es r1 o r2.

(a) Empecemos discutiendo el caso: c = 0,−1,−2, · · · .Si sustituimos la Ec. (3.4) en (4.1) para r = 0, obtendremos:

∞∑n=0

[n(n+ c− 1)] cnzn−1 −

∞∑n=0

[n(n+ a+ b) + ab] cnzn = 0,

o sea:∞∑n=0

[(n+ 1)(n+ c)cn+1 − (n+ a)(n+ b)cn] zn = 0,

y obtenemos la formula de recurrencia:

cn+1 =(n+ a)(n+ b)cn(n+ 1)(n+ c)

; c = 0,−1,−2, · · · ; n = 0, 1, 2, · · · , (4.2)

la cual tiene la solucion simple, si escogemos c0 = 1:

c0 = 1 , cn =a(a+ 1) · · · (a+ n− 1)b(b+ 1) · · · (b+ n− 1)

n!c(c+ 1) · · · (c+ n− 1); n ∈ Z+. (4.3)


Usando las propiedades de la funcion Γ; esto es, Γ(n + z) = (n − 1 + z)(n − 2 +z) · · · (1 + z)zΓ(z); ver C-(2.6); obtenemos, si llamamos a la solucion F (a, b; c; z), otambien a veces 2F1(a, b; c; z); F (a, b |c| z):

F (a, b; c;z) =Γ(c)

Γ(a)Γ(b)

∞∑n=0

Γ(a+ n)Γ(b+ n)

Γ(c+ n)

zn

n!;

|z| < 1; c = 0,−1,−2,−3, · · · ,(4.4)

denominada funcion Hipergeometrica. Se llama ası, ya que F (1, b; b; z) es la seriegeometrica.

Esta funcion es analıtica en z = 0 y en todo el interior del circulo |z| < 1. Enefecto:i. Si a = 0,−1,−2, · · · , o b = 0,−1,−2, · · · (o ambos), entonces la serie (4.4) setermina en el termino (1−a) o el (1−b) segun el caso y la funcion Hipergeometricaes un Polinomio de grado n.

ii. Si no ocurre lo de i., entonces (usando (4.2)):∣∣∣∣cn+1zn+1

cnzn

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(n+ a)(n+ b)

(1 + n)(n+ c)

∣∣∣∣ |z| −−−→n→∞|z| ,

por lo tanto la serie converge absolutamente para |z| < 1 (y diverge para |z| > 1).O sea, es analıtica en |z| < 1.Si (1 − c) no es un entero la segunda solucion sera de la forma z1−cg1(z), siendo

g1 una serie de potencias en z (ver (3.14)), lo cual sustituido en la EDOL nos da unaecuacion para g1:

z(1− z)g′′1 + [(2− c)− (a− c+1+ b− c+1+ 1)z]g′1 − (a− c+1)(b− c+1)g1 = 0, (4.5)

la cual no es mas que una EDOL Hipergeometrica cuya solucion es F (a − c + 1, b −c+ 1; 2− c; z) con propiedades analıticas ya conocidas en |z| < 1.

Por lo tanto, la solucion general de (4.1), para |z| < 1; sera:

φ(z) = c1F (a, b; c; z) + c2z1−cF (a− c+ 1, b− c+ 1; 2− c; z);

|z| < 1; c = 0,±1,±2, · · · .(4.6)

Notemos que la segunda solucion φ2 no es analıtica en z = 0 ya que tiene un compor-tamiento del tipo z1−c que es singular en z = 0 (z = 0 es un punto de ramificacion).

Finalmente, si (1 − c) es un entero no positivo, podemos usar la relacion (3.16)para la segunda solucion φ2 (con φ1 dada por F (a, b; c; z)).

La relacion (3.16) junto con el conocimiento de que F (a, b; c; z) −−→z→0

1 nos per-

mite observar el comportamiento de φ2 en z = 0. En efecto, como∫ z′

P (z′′)dz′′ =

ln[(1− z′)a+b+1−cz

′c],⇒ exp

(−∫ z′

P (z′′)dz′′)= (1−z′)c−a−b−1z

′−c, tendremos: φ2 ∼z→0∫

dz′z′−c, o sea φ2 ∼ ln z si c = 1 y z1−c si c = 1.

En resumen, tendremos que φ2 no es analıtica en z = 0 y su comportamiento enese punto es del tipo:

φ2(z) ∼z→0

z1−c ∀c = 1, 0,−1,−2,−3, · · ·ln z si c = 1.

(4.7)

4. LA FUNCION HIPERGEOMETRICA. 103

(b) Para el caso: c = 0,−1,−2,−3, · · · , no se requiere de una nueva discusion, ya quer1 = 1 − c > r2 = 0 y la transformacion φ(z) = z1−cψ(z) nos lleva a la resolucion dela EDOL (4.5) para g1 = ψ. La solucion sera entonces en ese caso:

φ(z) = c1z1−cF (a− c+ 1, b− c+ 1; 2− c; z) + c2φ2(z);

|z| < 1; c = 0,−1,−2,−3, · · · ,(4.8)

siendo la primera solucion analıtica en |z| < 1, y la φ2(z) dada por (3.16), la cual noes singular en z = 0 (efectuar su desarrollo asintotico).

Comentario 4.2. Las soluciones de la EDOL Hipergeometrica alrededor de los otrospuntos singulares se facilita mucho con el uso de las propiedades de simetrıa de estaecuacion (propiedades que no vamos a desarrollar en toda su generalidad). Esas propieda-des de simetrıa son tambien utiles para obtener propiedades interesantes de las solucionesde esta EDOL, como veremos a continuacion.

Comentario 4.3. Para hallar las soluciones de la EDOL Hipergeometrica alrededorde z = 1, consideremos el cambio z → 1−z ≡ t en (4.1). Obtenemos (con φ(1−t) ≡ ψ(t)):

t(1− t)ψ′′ + [(a+ b− c+ 1)− (a+ b+ 1)t]ψ′ − abψ = 0, (4.9)

la cual es otra vez una Ec. Hipergeometrica cuya solucion para |t| < 1 ya conocemos.Por lo tanto, con las restricciones que senalamos, la solucion general de la EDOL (4.1)alrededor de z = 1, sera (ver (4.6)):

φ(z) = c1F (a, b; a+ b− c+ 1; 1− z) + c2(1− z)c−a−bF (c− b, c− a; c− a− b+ 1; 1− z);

|1− z| < 1; (a+ b− c) = 0,±1,±2, · · · .(4.10)

Por supuesto, las discusiones hechas para |z| < 1 son validas en este caso.

Comentario 4.4. Para el punto z = ∞, haciendo el cambio ψ(ξ) = ξ−aφ(1ξ) en la

EDOL Hipergeometrica, obtenemos:

ξ(1− ξ)ψ′′ + [(a− b+ 1)− (a+ (a− c+ 1) + 1)ξ]ψ′ − a(a− c+ 1)ψ = 0, (4.11)

la cual es una EDOL Hipergeometrica, y la solucion de la EDOL (4.1) alrededor de z = ∞estara (como en 4.3) dada por:

φ(z) = c1z−aF

(a, a− c+ 1; a− b+ 1;

1

z

)+ c2z

−bF

(b, b− c+ 1; b− a+ 1;

1

z

);

|z| > 1; a− b = 0,±1,±2, · · · .(4.12)

Comentario 4.5. Notemos que de (4.1) o (4.4) tenemos que:

F (a, b; c; z) = F (b, a; c; z). (4.13)


Muchas funciones elementales son casos especiales de la funcion Hipergeometrica. Porejemplo:

F (a, b; b; z) = (1− z)−a, (4.14)

F

(1

2,1

2;3

2; z2)

=1

zsen−1 z, (4.15)

F (1, 1; 2; z) = −1

zlog (1− z). (4.16)

Estas relaciones se pueden obtener al comparar los desarrollos en serie.

5. La Funcion Hipergeometrica Confluente

Comentario 5.1. Consideremos en C la EDOL Hipergeometrica confluente, la cualsolo posee dos puntos singulares; z0 = 0 (regular) y z1 = ∞ (irregular):

zφ′′(z) + (c− z)φ′(z)− aφ(z) = 0. (5.1)

En el punto z0 = 0 la Ec. indicial tendra a 0 y (1− c) como raıces.

(a) Empecemos discutiendo el caso: c = 0,−1,−, 2, · · · .Si sustituimos la Ec. (3.4) en (5.1) para r = 0, obtendremos:

∞∑n=0

n[n− 1 + c]cnzn−1 −

∞∑n=0

cn[n+ a]zn = 0,

o sea:∞∑n=0

[(n+ 1)(n+ c)cn+1 − (n+ a)cn] zn = 0,

y obtenemos la formula de recurrencia:

cn+1 =(n+ a)cn

(n+ 1)(n+ c); c = 0,−1,−2, · · · , n = 0, 1, 2, · · · . (5.2)

Si escojemos c0 = 1, y si llamamos a la solucion M(a, c, z); o tambien a veces:F (a, c, z), F (a|c|z), ϕ(a, c, z), 1F1(a, c, z); tendremos:

M(a, c, z) =Γ(c)

Γ(a)

∞∑n=0

Γ(a+ n)

Γ(c+ n)

zn

n!;

|z| <∞; c = 0,−1,−2, · · · .(5.3)

M(a, c, z) se denomina funcion Hipergeometrica confluente. Esta funcion esanalıtica en todo el plano complejo finito ya que si a = 0,−1,−2, · · · , M(a, c, z) es

un Polinomio. Si a = 0,−1,−2, · · · , entonces∣∣∣ cn+1zn+1

cnzn

∣∣∣ −−−→n→∞

0, ∀z, y por lo tanto

converge en todo el plano complejo finito.Si (1 − c) no es un entero, la segunda solucion sera de la forma z1−cg1(z), lo cual

sustituido en la EDOL (5.1) nos produce la EDOL:

zg′′1 + [(2− c)− z]g′1 − (a− c+ 1)g1 = 0, (5.4)

6. SOLUCION DE EDOL POR EL METODO DE REPRESENTACIONES INTEGRALES 105

cuya solucion es M(a− c+ 1, 2− c, z). Por lo tanto, la solucion general de (5.1) sera:

φ(z) = c1M(a, c, z) + z1−cc2M(a− c+ 1, 2− c, z); |z| <∞; c = 0,±1,±2, · · · .(5.5)

Notemos que la segunda solucion φ2, no es analıtica en z = 0 ya que tiene uncomportamiento del tipo z1−c que es singular en z = 0.

Si (1− c) es un entero no positivo, podemos usar la relacion (3.16) para la segundasolucion φ2 (con φ1 dada por M(a, c, z)). Veamos el comportamiento de φ2 en z0 = 0en este caso. Sabemos que M(a, c, z) −−→

z→01. Ademas:∫ z

P (z′)dz′ = c ln z − z ⇒ exp

(−∫ z

P (z′)dz′)

= z−cez,

entonces:

φ2(z) ∼z→0

∫ z

dz′z′−c,

lo que nos da φ2 ∼ ln z si c = 1 y φ2 ∼ z1−c si c = 1.En resumen, hemos obtenido:

φ2(z) ∼z→0

z1−c ∀c = 1, 0,−1,−2, · · ·ln z si c = 1.

(5.6)

(b) Para el caso: c = 0,−1,−2, · · · , no se requiere de una nueva discusion, ya que r1 =1 − c > r2 = 0 y la transformacion φ(z) = z1−cψ(z), nos lleva a la discusion de laEDOL (5.4) para g1 = ψ. La solucion sera en ese caso:

φ(z) = c1z1−cM(a− c+ 1, 2− c, z) + c2φ2(z); |z| <∞; c = 0,−1,−2, · · · , (5.7)

siendo la primera solucion analıtica en |z| <∞, y la φ2(z) dada por (3.16), la cual noes singular en z = 0 (efectuar su desarrollo asintotico).

6. Solucion de EDOL por el Metodo de Representaciones Integrales

Comentario 6.1. Este metodo ofrece muchas ventajas sobre el metodo de solucionpor series. En efecto, la continuacion analıtica de soluciones se convierte en una trivia-lidad, las soluciones obtenidas son compactas y permiten deducir relaciones interesantesde manera sencilla. Ası mismo, el estudio de las soluciones cerca de puntos singulares sesimplifica. Los desarrollos asintoticos pueden ser intentados por el metodo del descensomas rapido. En general, dada una solucion con una representacion integral es facil imponercondiciones en la frontera.

Definicion 6.2. Diremos que ψ(z) es una representacion integral o transforma-da integral de una solucion de la EDOL analıtica en R:

Lzψ(z) = p0(z)d2ψ(z)

dz2+ p1(z)

dψ(z)

dz+ p2(z)ψ(z) = 0, (6.1)

si existe una funcion K : R×D → C, llamada nucleo, donde D ⊂ C es un cierto recintosimplemente conexo; otra funcion v : D → C; y un camino γ contenido en D (en particular


un lazo) o un camino sin fin, de extremos t1, t2, tal que:

ψ(z) =

∫γ

K(z, t)v(t)dt ≡∫ t2

t1

K(z, t)v(t)dt. (6.2)

NNotemos que aquı se admite que p0(z

′) = 0 para ciertos valores z′ ∈ R, siempre ycuando la EDOL (1.1) con P = p1/p0 y Q = p2/p0 sea analıtica en R.

Comentario 6.3. Establezcamos ahora un metodo que permite para ciertos casos,dado un nucleo, hallar v(t) que satisface a (6.2).

Supongamos que existe un operador Mt con t ∈ D, dado por:

Mtu(t) = α(t)d2u(t)

dt2+ β(t)

du(t)

dt+ γ(t)u(t), (6.3)

tal que:

LzK(z, t) = MtK(z, t); (z, t) ⊂ R×D. (6.4)

En este caso, de (6.2) obtenemos que:

Lzψ(z) =

∫γ

LzK(z, t)v(t)dt =

∫γ

[MtK(z, t)] v(t)dt. (6.5)

Ahora bien, el operador formal Mt estrella (ver 2-(3.9)); esto es:

M∗tv(t) =

d2

dt2[α(t)v(t)]− d

dt[β(t)v(t)] + γ(t)v(t), (6.6)

satisface la identidad de Lagrange en su version 2-3.8, la cual es obviamente cierta en elrecinto D ⊂ C (al extenderla analıticamente). Al integrarla sobre γ tenemos:∫

γ

v [MtK] dt =

∫γ

K [M∗tv] dt+ Q(K, v)

∣∣∣∣t2t1

. (6.7)

Con todo lo dicho, tendremos que la Ec. (6.1) sera satisfecha por la (6.2) si se cumplelo que sigue:

i. Los lımites de integracion t1 y t2 y el camino γ (o el camino sin fin) sobre el cual esefectuada la integral (6.2) es tal que Q (con w = 1) regrese a su valor inicial al final

del camino (tambien pueden ser lazos, con t1 = t2). Para esa eleccion, Q|t2t1 = 0 en(6.7).

ii.M∗

tv(t) = 0, (6.8)

con lo cual obtenemos Lzψ(z) = 0 en (6.5) al usar i.. Se supone que la EDOL (6.8)es analıtica en D.

Comentario 6.4. Sin entrar en detalles matematicos, diremos que la integral en(6.2) debe ser razonablemente convergente para que, por ejemplo, valgan las operacionesefectuadas en la Rel. (6.5).

La idea basica del metodo consiste en hallar un operador Mt que satisfaga (6.4), yademas que sea bastante simple encontrar una solucion no trivial de la EDOL homogenea

7. LA EDOL HIPERGEOMETRICA 107

analıtica en D: M∗tv(t) = 0 (mas simple que para Lzψ(z) = 0, por supuesto). Este reque-

rimiento de simplicidad depende crucialmente del nucleo K escogido.En general existiran diferentes caminos de integracion posibles que cumplen con 6.3.i.

(incluso con diferentes extremos t1, t2). Las diferentes integrales obtenidas al usar esoscaminos corresponden, generalmente, a diferentes soluciones independientes de Lzψ(z) = 0(obviamente, simultaneamente solo hay dos soluciones linealmente independientes de (6.1)en un mismo recinto).

Este metodo puede ser generalizado al considerarse dos nucleos (en vez de uno solo);ver pagina 187 de [99].

A continuacion damos algunos nucleos que han resultado ser utiles en la practica.

i. El nucleo de Laplace:

K(z, t) = ezt. (6.9)

Resulta util en EDOL con coeficientes lineales en z.ii. El nucleo de Euler:

K(z, t) ≡ f(z − t) = (z − t)µ, (6.10)

donde µ es una constante compleja.

Resulta util en EDOL en las cuales el coeficiente de dkψ(z)dzk

es un polinomio degrado k.

iii. El nucleo de Mellin:

K(z, t) = g(zt). (6.11)

Resulta util en EDOL del tipo:

znH1

(zd

dz

)ψ(z) +H2

(zd

dz

)ψ(z) = 0, (6.12)

donde H1

(z ddz

)y H2(z

ddz) son funciones de productos de z d

dz.

iv. Para la EDOL de Bessel es util el nucleo:

K(z, t) =(z2

)νet−z

2/4t, (6.13)

donde ν es una constante compleja.

7. La EDOL Hipergeometrica

Comentario 7.1. Queremos hallar la solucion de esta EDOL por el metodo detransformadas integrales. Por lo dicho en 6.4, intentaremos la solucion con el nucleo deEuler. Esto es, buscamos una solucion del tipo:

φ(z) =

∫ t2

t1

(z − t)µv(t)dt, (7.1)

donde debemos determinar µ, v(t) y el camino de extremos t1 y t2.


De (4.1) obtenemos:

Lz(z − t)µ = z(1− z)µ(µ− 1)(z − t)µ−2 + [c− (a+ b+ 1)z]µ(z − t)µ−1 − ab(z − t)µ

= (z − t)µ−2z(1− z)µ(µ− 1) + [c− (a+ b+ 1)z]µ(z − t)− ab(z − t)2

= (z − t)µ−2

z2 [−µ(µ− 1)− µ(a+ b+ 1)− ab] + z(µ− 1)µ+ cµz

−µt[c− (a+ b+ 1)z] + 2abzt− abt2.

(7.2)

Ahora debemos hacer lo posible para que la expresion (7.2) sea de lo mas simple. Laanulacion del coeficiente de z2 en (7.2) cumple con ese objetivo. Esto es:

µ(µ− 1) + µ(a+ b+ 1) + ab = 0, (7.3)

la cual tiene por soluciones −a y −b. Escojamos la solucion µ = −a (la escogencia µ = −bes igualmente valida y nos llevarıa a una representacion diferente). Ahora bien, es facilverificar que:

Mt = −(t2 − t)d2

dt2+ [(b− a− 1)t+ (a− c+ 1)]

d

dt(7.4)

satisface (6.4). Por lo tanto:

−M∗tv(t) =

d2

dt2[(t2 − t)v(t)] +

d

dt[(b− a− 1)t+ (a− c+ 1)]v(t) = 0. (7.5)

Integrando primero en la variable t y escogiendo por simplicidad la constante de integracionigual a cero, y tomando: g(t) ≡ (t2 − t)v(t); resulta que:

d

dtg(t) = −

[(b− a− 1)t+ (a− c+ 1)

t2 − t

]g(t); (7.6)

de donde obtenemos que:

v(t) = Ata−c(t− 1)c−b−1, (7.7)

donde A ∈ C es una constante arbitraria. Finalmente, de las expresiones 2-(3.11) y (7.4)es facil verificar que el concomitante bilineal esta dado por:

Q(K, v) = −aAta−c+1(t− 1)c−b(z − t)−a−1. (7.8)

Si ℜc > ℜb > 0, tendremos que Q se anulara en t = 1 y t = ∞. Si escogemos elcamino sin fin cuya trayectoria se extiende desde t = 1 hasta t = ∞ a lo largo del eje realpositivo tendremos que una solucion de la EDOL Hipergeometrica vendra dada por:

φ(z) = A

∫ ∞

1

(t− z)−ata−c(t− 1)c−b−1dt; ℜc > ℜb > 0. (7.9)

Nos faltarıa determinar para que valores de z es (7.9) uniformemente convergente.Trataremos ahora de relacionar a φ(z) dado por (7.9) con F (a, b; c; z). Tendremos que

(ver (4.4) y (4.14)):

(t− z)−a = t−a∞∑n=0

Γ(a+ n)

Γ(a)Γ(n+ 1)

(zt

)n= t−aF

(a, b; b;

z

t

), (7.10)

8. LA EDOL HIPERGEOMETRICA CONFLUENTE 109

valida para |z| < |t|, o lo que es lo mismo |z| < 1 (ya que 1 ≤ t <∞). Sustituyendo (7.10)en (7.9), obtenemos:

φ(z) = A

∞∑n=0

Γ(a+ n)

Γ(a)Γ(n+ 1)zn∫ ∞

1

t−c−n(t− 1)c−b−1dt

=

[AΓ(b)Γ(c− b)

Γ(c)

][Γ(c)

Γ(a)Γ(b)

∞∑n=0

Γ(a+ n)Γ(b+ n)

Γ(c+ n)Γ(n+ 1)zn

],

(7.11)

donde hemos usado C-(3.2) y C-(3.4).Si escogemos:

A =Γ(c)

Γ(b)Γ(c− b), (7.12)

tendremos que: φ(z) = F (a, b; c; z). Esta igualdad ha sido deducida para |z| < 1. Sinembargo, si analizamos la integral (7.9) vemos que esta es uniformemente convergente enun recinto que incluye a z, ∀z con z ∈ [1,∞), y por lo tanto, automaticamente, nos pro-porciona la continuacion analıtica de F (a, b; c; z) a ese recinto, continuacion que seguimosllamando F (a, b; c; z). Entonces:

F (a, b; c;z) =Γ(c)

Γ(b)Γ(c− b)

∫ ∞

1

(t− z)−ata−c(t− 1)c−b−1dt;

ℜc > ℜb > 0; ∀z ∈ C, con z ∈ [1,∞).

(7.13)

Si hacemos el cambio t→ 1/t en (7.13) obtendremos la llamada formula de Euler:

F (a, b; c;z) =Γ(c)

Γ(b)Γ(c− b)

∫ 1

0

(1− tz)−atb−1(1− t)c−b−1dt;

ℜc > ℜb > 0; ∀z ∈ C, con z ∈ [1,∞).

(7.14)

Para aquellos casos en los cuales ℜb ≤ 0, basta con intercambiar a con b en (7.13) o(7.14) para obtener una representacion valida, ya que F (a, b; c; z) = F (b, a; c; z). Habrıamosobtenido este resultado si hubiesemos tomado la raız µ = −b en (7.3).

8. La EDOL Hipergeometrica Confluente

Comentario 8.1. Queremos hallar la solucion de esta EDOL por el metodo detransformadas integrales. Por lo dicho en 6.4, intentaremos la solucion con el nucleo deLaplace. Esto es, buscamos una solucion de la forma:

φ(z) =

∫ t2

t1

eztv(t)dt, (8.1)

donde debemos determinar v(t) y el camino de extremos t1 y t2.De (5.1), obtenemos:

Lzezt = zt2 + (c− z)t− aezt = [(t2 − t)z + ct− a]ezt =

[(t2 − t)

∂

∂t+ ct− a

]ezt. (8.2)

De (8.2) y (6.4), resulta que:

Mt = (t2 − t)d

dt+ (ct− a). (8.3)


Por lo tanto:

M∗tv(t) = − d

dt[(t2 − t)v(t)] + (ct− a)v(t) = 0, (8.4)

EDOL que tiene por solucion:

v(t) = Ata−1(1− t)c−a−1, (8.5)

donde A es una constante compleja arbitraria.Finalmente, de las expresiones 2-(3.11), (8.3) y (8.4) resulta que:

Q(K, v) = −A[eztta(1− t)c−a]. (8.6)

Entonces, si ℜc > ℜa > 0, Q se anulara en t1 = 0 y t2 = 1. Si escogemos el caminoque se extiende de t1 = 0 hasta t2 = 1 a lo largo del eje real positivo, tendremos que unasolucion de la EDOL Hipergeometrica confluente vendra dada por:

φ(z) = A

∫ 1

0

eztta−1(1− t)c−a−1dt; ℜc > ℜa > 0. (8.7)

La integral (8.7) es uniformemente convergente ∀z ∈ C.Tratemos ahora de relacionar a φ(z) dada por (8.7) con M(a, c, z). Como ezt =∑∞

n=0(zt)n

n!, tendremos que:

φ(z) = A∞∑n=0

zn

n!

∫ 1

0

ta+n−1(1− t)c−a−1dt. (8.8)

Entonces, con C-(3.1) y C-(3.4), obtenemos:

φ(z) =

[AΓ(c− a)Γ(a)

Γ(c)

][Γ(c)

Γ(a)

∞∑n=0

Γ(a+ n)

Γ(c+ n)Γ(n+ 1)zn

]. (8.9)

Si escogemos:

A =Γ(c)

Γ(c− a)Γ(a), (8.10)

tendremos que φ(z) =M(a, c, z). Entonces:

M(a, c, z) =Γ(c)

Γ(c− a)Γ(a)

∫ 1

0

eztta−1(1− t)c−a−1dt;

ℜc > ℜa > 0; ∀z ∈ C.(8.11)

Comentario 8.2. De la expresion (8.6) de Q vemos que si ℜa > 0, ℜz > 0 y c ∈ C,entonces Q se anulara en t1 = −∞ y en t2 = 0. Si escogemos el camino sin fin cuyatrayectoria se extiende desde t1 = −∞ hasta t2 = 0 por el eje real negativo, obtendremosotra solucion de la EDOL Hipergeometrica confluente:

φ(z) = A

∫ 0

−∞dteztta−1(1− t)c−a−1. (8.12)

Haciendo el cambio t → −t en (8.12) y escogiendo A = (−1)−a+1/Γ(a) obtendremosuna solucion de la EDOL Hipergeometrica confluente que es muy usada en la literatura

9. ECUACION DE SCHRODINGER 111

y que llamaremos U(a, c, z), aunque tambien es frecuentemente denotada por ψ(a, c, z) opor G(a, c, z). Esto es:

U(a, c, z) =1

Γ(a)

∫ ∞

0

e−ztta−1(1 + t)c−a−1dt;

ℜa > 0; ℜz > 0; c ∈ C.(8.13)

Luego estudiaremos esta funcion.

9. Solucion General de la Ec. de Schrodinger para algunos Potenciales

Unicamente consideraremos ejemplos de la ecuacion radial en coordenadas esfericas,y en una dimension. Solamente buscaremos las soluciones generales para estas EDOL;en particular, no buscaremos las autofunciones ni los autovalores correspondientes a losejemplos tratados (para ese tema, ver capıtulos 5 y 7).

Comentario 9.1. Ya hemos visto en A-(2.9), A-(2.15) y A-(2.16) que la Ec. radialde la Ec. de Schrodinger se puede escribir:

d2Rl(r)

dr2+

2

r

dRl(r)

dr+

[2µ

~2(E − U(r))− l(l + 1)

r2

]Rl(r) = 0; ~, µ ∈ R+; I = (0,∞),

(9.1)o al efectuar el cambio (ver, 2.P.4):

Rl(r) ≡ul(r)

r, (9.2)

de la siguiente forma (llamada ecuacion radial reducida; ver A-(2.11)):

d2ul(r)

dr2+

[2µ

~2(E − U(r))− l(l + 1)

r2

]ul(r) = 0. (9.3)

Ya sabemos que l es cualquier numero complejo en la separacion del Laplaciano formal.Sin embargo, en esta seccion supondremos que l es cualquier numero real no negativo:l ≥ 0 (cuestion que se clarificara posteriormente; ver 5-4.2).

Hallemos la solucion general de esta EDOL para varios potenciales.

Ejemplo 9.2. Consideremos el potencial de Coulomb (atractivo) para E < 0:

U(r) = −αr; α > 0, (9.4)

correspondiente a un atomo de un solo electron. Definamos:

a ≡ ~2

µα, (9.5)

llamado radio de Bohr. Definamos tambien:

ϵ ≡√

−8µE

~2; λ ≡ 2

ϵa. (9.6)

Con (9.5) y (9.6) tendremos para la Rel. (9.3) que:

u′′l +

[−ϵ

2

4+

2

ar− l(l + 1)

r2

]ul = 0. (9.7)


Efectuando el cambio:ρ = ϵr; yl(ρ) ≡ ul(r), (9.8)

obtendremos la EDOL:

y′′l (ρ) +

[−1

4+λ

ρ− l(l + 1)

ρ2

]yl(ρ) = 0. (9.9)

Consideremos cualitativamente la EDOL (9.9). Para ρ→ ∞, despreciamos los termi-nos en ρ y ρ2 obteniendo la EDOL: y′′l = 1

4yl, de soluciones yl = e±ρ/2. Para ρ → 0, des-

preciamos el termino(−1

4+ λ

ρ

)frente a l(l+1)

ρ2si l = 0; obteniendo la EDOL: y′′l =

l(l+1)ρ2

yl,

de soluciones ρl+1 y ρ−l (ver 3.P.5). Las soluciones de mejor comportamiento en ρ → ∞y ρ→ 0 son: yl ∼ e−ρ/2 e yl ∼ ρl+1, respectivamente. Esto nos sugiere el cambio (tambienvalido para l = 0):

yl(ρ) = ρl+1e−ρ/2wl(ρ), (9.10)

con el cual obtenemos la EDOL:

ρw′′l (ρ) + [(2l + 2)− ρ]w′

l(ρ)− (l + 1− λ)wl(ρ) = 0, (9.11)

la cual es una EDOL Hipergeometrica confluente de solucion general:

wl(ρ) = c′1M(l + 1− λ, 2l + 2, ρ) + c′2φ2(ρ), (9.12)

donde φ2(ρ) es una segunda solucion de (9.11); dada por (3.16), p. ej..Finalmente, la solucion general sera:

Rl(r) = c1(ϵr)le−ϵr/2M (−(λ− l − 1), 2l + 2, ϵr) + c2(ϵr)

le−ϵr/2φ2(ϵr). (9.13)

Ejemplo 9.3. Consideremos el potencial de un oscilador armonico en tres dimen-siones, esto es:

U(r) =1

2µω2r2; ω ∈ R+. (9.14)

Definamos:

α2 ≡ µω

~; λ ≡ 2E

~ω. (9.15)

De (9.14), (9.15) y (9.3) tendremos que:

u′′l (r) +

[λα2 − α4r2 − l(l + 1)

r2

]ul(r) = 0. (9.16)

Si hacemos el cambio (sugerido por el mismo tipo de consideraciones que en el ejemploanterior):

ul(r) = rl+1e−α2r2/2yl(r), (9.17)

obtendremos la EDOL:

y′′l + 2

[l + 1

r− α2r

]y′l +

[λα2 − 2α2

(l +

3

2

)]yl = 0. (9.18)

Finalmente, efectuando el cambio:

ρ = α2r2; wl(ρ) ≡ yl(r), (9.19)

obtenemos la EDOL:

ρw′′l (ρ) +

[(l +

3

2

)− ρ

]w′l(ρ)−

[1

2

(l +

3

2

)− λ

4

]wl(ρ) = 0. (9.20)


Si consideramos que l es un numero natural; entonces, como(l + 3

2

)no lo es; la solu-

cion general de (9.20) sera; al usar (5.5):

wl(ρ) = c′1M

(1

2

(l +

3

2

)− λ

4, l +

3

2, ρ

)+ c′2ρ

−l−1/2M

(1

2

(−l + 1

2

)− λ

4,−l + 1

2, ρ

).

(9.21)La solucion general sera por lo tanto:

Rl(r) = c1e−α2r2/2(αr)lM

(1

2

(l +

3

2

)− λ

4, l +

3

2, α2r2

)+

c2e−α2r2/2(αr)−l−1M

(1

2

(−l + 1

2

)− λ

4,−l + 1

2, α2r2

); l ∈ N.

(9.22)

Ejemplo 9.4. Consideremos; para E < 0; el potencial (ver Fig. 1):

U(r) =A

r2− B

r; A > 0, B > 0. (9.23)

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................

....................................

....................................

..........................................

....................................................

....................................................................

..........................................................................................

.................................................................................................................................

.........................................................

..............................

..............................

r

U(r)

Figura 1. El Potencial (9.23)

Podremos escribir a (9.1) ası:

d2Rl

dr2+

2

r

dRl

dr+

2µ

~2

(E − ~2

2µl(l + 1)

1

r2− A

r2+B

r

)Rl = 0. (9.24)

Efectuando el cambio:

ρ = 2(−2µE)1/2r

~, (9.25)

y usando las notaciones:

2µA

~2+ l(l + 1) ≡ s(s+ 1); escogemos la raız s > 0; (9.26)


B

~

√− µ

2E≡ λ, (9.27)

obtendremos de (9.24):

R′′l (ρ) +

2

ρR′l(ρ) +

(−1

4+λ

ρ− s(s+ 1)

ρ2

)Rl(ρ) = 0. (9.28)

La EDOL (9.28) es similar a la EDOL (9.1) para el potencial de Coulomb (9.4). Porlo tanto, la solucion general sera (ver (9.13)):

Rl(ρ) = c1ρse−ρ/2M (−(λ− s− 1), 2s+ 2, ρ) + c2ρ

se−ρ/2φ2(ρ). (9.29)

donde ρ esta dado por (9.25); φ2(ρ) es una segunda solucion de (9.28); dada por (3.16),p. ej..

Ejemplo 9.5. Consideremos el potencial:

U(r) =A

r2+Br2; A > 0, B > 0. (9.30)

De (9.1) tendremos que:

d2Rl

dr2+

2

r

dRl

dr+

2µ

~2

[E − ~2l(l + 1)

2µr2− A

r2−Br2

]Rl = 0. (9.31)

Efectuando el cambio:

ρ =(2µB)1/2r2

~, (9.32)

e introduciendo las notaciones:

l(l + 1) +2µA

~2≡ 2s(2s+ 1); se escoge la raız s > 0, (9.33)√2µ/BE

~≡ 4(λ+ s) + 3, (9.34)

obtenemos la EDOL:

ρR′′l (ρ) +

3

2R′l(ρ) +

[λ+ s+

3

4− ρ

4− s

ρ

(s+

1

2

)]Rl(ρ) = 0. (9.35)

Cuando ρ → ∞ la EDOL (9.35) tiene un comportamiento del tipo R′′l (ρ) =

14Rl(ρ)

de soluciones Rl(ρ) = e±ρ/2. En ρ = 0 la EDOL (9.35) tiene un comportamiento del tipo:

R′′l +

3

2ρR′l −

s

ρ2

(s+

1

2

)Rl = 0. (9.36)

La EDOL (9.36) tiene por soluciones (ver 3.P.5): ρs y ρ−s−12 . Toda esta discusion sugiere

el cambio:

Rl(ρ) = ρse−ρ/2w(ρ), (9.37)

el cual lleva a la EDOL:

ρw′′(ρ) +

(2s+

3

2− ρ

)w′ + λw = 0, (9.38)


de solucion general:

w(ρ) = c1M

(−λ, 2s+ 3

2, ρ

)+ c2φ2(ρ), (9.39)

donde φ2(ρ) es una segunda solucion de la EDOL (9.38); dada por (3.16), p. ej. La soluciongeneral sera (con ρ dado por (9.32)):

Rl(ρ) = c1ρse−ρ/2M

(−λ, 2s+ 3

2, ρ

)+ c2ρ

se−ρ/2φ2(ρ), (9.40)

Ejemplo 9.6. Consideremos ahora el oscilador armonico en una dimension. LaEDOL de Schrodinger estara dada, para el potencial:

U(x) =1

2µω2x2; µ, ω ∈ R+, (9.41)

por:

− ~2

2µ

d2φ(x)

dx2+

1

2µω2x2φ(x) = Eφ(x); I = (−∞,∞). (9.42)

Definamos:

α2 ≡ µω

~; λ ≡ 2E

~ω. (9.43)

De (9.42) y (9.43), si efectuamos el cambio:

ξ = αx ; ψ(ξ) ≡ φ(x) ; ξ ∈ (−∞,∞), (9.44)

obtenemos que:

−d2ψ(ξ)

dξ2+ ξ2ψ(ξ) = λψ(ξ). (9.45)

Cuando ξ → ±∞, el comportamiento de la EDOL (9.45) es del tipo ψ′′ = ξ2ψ, de

soluciones asintoticas: ψ ∼ e±ξ2/2. Esto nos sugiere el cambio:

ψ(ξ) = e−ξ2/2χ(ξ), (9.46)

con el cual obtenemos la EDOL:

χ′′(ξ)− 2ξχ′(ξ) + (λ− 1)χ(ξ) = 0 ; ξ ∈ (−∞,∞). (9.47)

La EDOL (9.47) es llamada la Ec. diferencial de Hermite. Finalmente, efectuando latransformacion local (ver, 2.P.7):

y = ξ2 ; v(y) ≡ χ(ξ) ; ξ ∈ (0,∞), (9.48)

obtenemos la EDOL (Hipergeometrica confluente):

yv′′(y) +

(1

2− y

)v′(y)− 1

4(1− λ)v(y) = 0, y > 0, (9.49)

de solucion general (usando (9.48)), ya que c = 1/2 no es entero (ver (5.5)):

χ(ξ) = c1M

(1− λ

4,1

2, ξ2)+ c2 ξM

(3− λ

4,3

2, ξ2); ξ ∈ (−∞,∞), (9.50)

donde se ha extendido la solucion a ξ ≤ 0.


Por lo tanto, la solucion general del problema sera:

φ(x) = c1e−α2x2/2M

(1− λ

4,1

2, α2x2

)+ c2(αx)e

−α2x2/2M

(3− λ

4,3

2, α2x2

). (9.51)

Ejemplo 9.7. Consideremos al potencial de Morse en una dimension (ver figura2), dado por:

U(x) = A(e−2αx − 2e−αx

); A,α ∈ R+. (9.52)

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................

.................................

..................................

.......................................

................................................

............................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

..........................

...........................

.

−A

U(x)

X

Figura 2. Potencial de Morse

Al efectuar el cambio de variable:

ξ ≡ βe−αx; β ≡ 2√2µA

α~; ξ ∈ (0,∞), (9.53)

e introducir las notaciones:

ε ≡√−2µE

α~; λ ≡ β

2−(ε+

1

2

); φ(x) ≡ ψ(ξ), (9.54)

obtenemos para la Ec. de Schrodinger (9.42):

ψ′′(ξ) +1

ξψ′(ξ) +

[−1

4− ε2

ξ2+λ+ ε+ 1/2

ξ

]ψ(ξ) = 0. (9.55)

Estudiemos el comportamiento de la EDOL (9.55) en los extremos. Cuando ξ → ∞,la EDOL (9.55) es del tipo ψ′′ = 1

4ψ, de soluciones ψ = e±ξ/2. Cuando ξ → 0, la EDOL es

del tipo ψ′′ + 1ξψ′ − ε2

ξ2ψ = 0 si ε = 0; de soluciones ξ±ε (ver 3.P.5). Al tomar en cuenta la

Rel. (9.53), estos hechos nos sugieren el cambio (tambien valido para ε = 0):

ψ(ξ) = ξεe−ξ/2w(ξ), (9.56)

que lleva a la EDOL:

ξw′′(ξ) + (2ε+ 1− ξ)w′(ξ) + λw(ξ) = 0. (9.57)

10. PROBLEMAS 117

La EDOL (9.57) es una EDOL Hipergeometrica confluente, de solucion general:

w(ξ) = c1M(−λ, 2ε+ 1, ξ) + c2φ2(ξ), (9.58)

donde φ2 es una segunda solucion.Por lo tanto, la solucion general de la EDOL de Schrodinger para el potencial (9.52),

es:

φ(x) = (βe−αx)ε exp

(−βe

−αx

2

)[c1M(−λ, 2ε+ 1, βe−αx) + c2φ2(βe

−αx)]. (9.59)

10. Problemas

3.P.1 i. Demostrar (usando la definicion de singularidad en el infinito) que las singula-ridades de la EDOL analıtica (1.1) en el infinito vienen dadas por las singula-ridades de la EDOL homogenea y analıtica en algun recinto de C que contengaal punto ξ0 = 0:

d2ψ(ξ)

dξ2+ P1(ξ)

dψ(ξ)

dξ+Q1(ξ)ψ(ξ) = 0, (10.1)

con:

P1(ξ) =2

ξ− 1

ξ2P

(1

ξ

); Q1(ξ) =

1

ξ4Q

(1

ξ

), (10.2)

en el punto ξ0 = 0.ii. Hallar la naturaleza de las singularidades de las EDOL especificadas en la

seccion 2-5, en el punto z = ∞.N

3.P.2 Demostrar que no existen EDOL analıticas de segundo orden en C cuyos puntossean todos ordinarios (en C y en el infinito). N

3.P.3 i. Demostrar que la EDOL analıtica de segundo orden en C mas general (esdecir, no hay otras de diferentes especies; ver 1.5) que solamente tiene unpunto singular (en a ∈ C), siendo este regular, es:

ψ′′(w) +2

w − aψ′(w) = 0. (10.3)

ii. Verificar que la transformacion:

z =1

w − a; ψ(w) ≡ φ(z) (10.4)

(la cual coloca el punto singular regular en el infinito), nos lleva a la EDOL:

φ′′(z) = 0. (10.5)

iii. Por el metodo de series (alrededor del punto z0 = 0) encontrar la conocidasolucion general de la EDOL (10.5): φ(z) = c1 + c2z, c1, c2 ∈ C; y por lo tantola de (10.3), mediante (10.4). NLa ecuacion (10.3) se habia mencionado (restringidamente) en 2-(5.1). La ecua-cion (10.5) corresponde a la del oscilador armonico clasico con ν = 0.


3.P.4 Hallar dos soluciones linealmente independientes de la EDOL analıtica en C deloscilador armonico clasico:

φ′′(z) + ν2φ(z) = 0; para ν = 0 (ν ∈ C) (10.6)

(que solamente tiene un punto singular, siendo este irregular, en el infinito), con elmetodo de series (alrededor del punto z0 = 0); comprobando que se obtienen lassoluciones sen νz y cos νz. N

3.P.5 Consideremos la EDOL analıtica en C:

ψ′′(w) +2w + c(λ+ µ− 1)− a(λ+ µ+ 1)

(w − a)(w − c)ψ′(w) +

λµ(a− c)2

(w − a)2(w − c)2ψ(w) = 0, (10.7)

con a, c, µ, λ ∈ C; a = c.i. Demostrar que excepto por la condicion: λµ = 0 y λ + µ = ±1 (que lleva altipo de EDOL tratada en 3.P.3) esta EDOL solamente tiene dos puntos singu-lares (en a y en c), siendo estos regulares (senalemos que bajo las condicionesestipuladas, es la mas general de este tipo; es decir, no hay otras de diferenteespecie; ver 1.5).

ii. Verificar que la transformacion:

z =w − a

w − c; ψ(w) ≡ u(z) (10.8)

(la cual coloca el punto a en cero y el c en el infinito), nos lleva a la ecuacion:

u′′(z)−(λ+ µ− 1

z

)u′(z) +

(µλ

z2

)u(z) = 0. (10.9)

iii. Si µ = λ, demostrar por el metodo de series (alrededor del punto z0 = 0) quela solucion general de (10.9) es:

u(z) = c1zλ + c2z

µ; c1, c2 ∈ C; µ = λ. (10.10)

iv. Si λ = µ, demostrar, usando (3.16), que la solucion general de (10.9) es:

u(z) = zλ(c1 + c2 ln z); c1, c2 ∈ C. (10.11)

NMediante (10.8) podemos obtener la solucion general de la EDOL (10.7).La EDOL 2-(5.4) es del tipo (10.9).La Rel. (10.10) nos indica que la solucion general de la parte radial Rl(r) del

Laplaciano formal en coordenadas esfericas (ver A-(2.11), con f(r) = 0) estaradada por:

Rl(r) =ul(r)

r=

1

r

(c1r

l+1 + c2r−l) = c1r

l + c2r−(l+1); ∀l ∈ C, con l = −1

2. (10.12)

Para l = −12se tendra: R−1/2(r) = r−1/2(c1 + c2 ln r); en virtud de (10.11).

3.P.6 Verificar las relaciones: (4.5), (4.9), (4.11) y (4.12). N3.P.7 Verificar las relaciones: (4.14), (4.15) y (4.16). N3.P.8 Verificar la relacion (5.4). N3.P.9 Verificar las afirmaciones no probadas de la seccion 9. N

Capıtulo 4

El Problema de Sturm-Liouville (P.S-L)

Nos ocuparemos del problema de Sturm-Liouville (≡ P.S-L), el cual consiste esen-cialmente en hallar los autovalores y autofunciones de un operador diferencial de segundoorden. Este problema tiene sus complicaciones matematicas, en las cuales no entraremos.Para un desarrollo riguroso de este problema ver p. ej., [71]. Ver tambien [104]-[107].

En todo este capıtulo usaremos libremente las definiciones y teoremas establecidos enla seccion 2-3. En todo momento L se referira a un operador formal real.

1. El Planteo del Problema

Comentario 1.1. Hasta ahora hemos venido considerando al operador formal Lcomo un operador en C2(I). Vamos a considerarlo aquı como un operador en el espacio deHilbert L2

w0(I) ≡ L2

w0(a, b), siendo a y b los extremos del intervalo general I (a < b) y w0

el peso asociado a L; es decir: W = w0 y Λ = I, ver 1-5.5. Para ello debemos precisar cuales su dominio.

Consideremos al conjunto de funciones H20 (I) definido ası: si f ∈ H2

0 (I) entoncesf : I → C, anulandose f fuera de un intervalo cerrado If = [c, d] I; con a < c < d < b(If varıa con cada funcion). Ademas f tiene derivada continua y la segunda derivada existe

salvo en un conjunto de medida nula, cumpliendose que: df(x)dx

=∫ x d2f(t)

dt2dt.

De su definicion sale que, para cualquier w0: H20 (I) ⊂ L2

w0(I); y que Qw0(φ, ψ)(b) =

Qw0(φ, ψ)(a) = 0, ∀φ, ψ ∈ H20 (I), siendo Qw0 el concomitante bilineal; esto es:

Qw0(φ, ψ)(x) = p(x)

[ψ(x)

dφ(x)

dx− φ(x)

dψ(x)

dx

]. (1.1)

Si consideramos a L definido en el espacio vectorial H20 (I); como Lw0 = L, ya que

L es real; tendremos, al usar la identidad generalizada de Green (ver 2-3.9) con x1 = a yx2 = b; que:

⟨ψ|Lφ⟩ = ⟨Lψ|φ⟩ ; ∀ψ, φ ∈ H20 (I) ⊂ L2

w0(I). (1.2)

Como H20 (I) es denso en L2

w0(I), cosa que no probaremos, la Rel. (1.2) nos indica que

L es simetrico. Sin embargo, L definido en H20 (I) no es autoadjunto.

En este punto el matematico se plantea el problema de extender el operador lineal Lde H2

0 (I) a un espacio vectorial mas grande que llamaremos D(L) ⊂ L2w0(I), en el cual el

operador lineal, que seguiremos denominando L, sea autoadjunto (H20 (I) D(L)). Este

es el problema realmente dificil, y pueden no existir dichas extensiones, o bien que existanmuchas (incluso infinitas) en cuyo caso se debe decidir cual es la adecuada al problemafısico que se este considerando.

Al consultar la identidad generalizada de Green (con x1 = a y x2 = b) vemos que unacondicion necesaria que deben obedecer las funciones del dominio D(L) en el cual L es

119

120 4. EL PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE (P.S-L)

eventualmente autoadjunto, es que:

Qw0(φ, ψ)(b)− Qw0(φ, ψ)(a) = 0; ∀φ, ψ ∈ D(L) ⊂ L2w0(I). (1.3)

La Rel. (1.3) puede ser satisfecha al imponer a las funciones condiciones en los extre-mos a y b (esto es, en dos puntos diferentes). Dichas condiciones se denominan condicionesde frontera autoadjuntas, o mas brevemente: condiciones de frontera.

Observemos que para L2(I) con I acotado, se tiene que M ⊂ L2(I); el subespaciovectorial generado por el conjunto φn ⊂ L2(I) especificado en 1-(13.8); es denso enL2(I) ya que φn lo es, ası como lo es H2

0 (I) ⊂ L2(I). Un momento de reflexion nos haraver que: M ∩H2

0 (I) = 0.

Comentario 1.2. Si D(L) ⊂ L2w0(I) es el dominio en el cual L es eventualmente

autoadjunto, el problema de hallar todas las soluciones no triviales (para un λ dado) dela EDOL:

L(λ)φ = 0, φ ∈ D(L) ⊂ L2w0(I), λ ∈ C; (1.4)

donde φ ∈ D(L) implica, entre otras cosas, que φ esta sujeta a condiciones de fronteraautoadjuntas (las cuales satisfacen la Rel. (1.3)); se denomina el Problema de Sturm-Liouville (≡ P.S-L.) homogeneo y autoadjunto.

De manera equivalente, podemos decir que el P.S-L. consiste en hallar los posiblesautovectores del operador L correspondientes a un valor dado: λ ∈ C. Si existe uno de esosautovectores, necesariamente: λ sera real (de hecho, en todo P.S-L. autoadjunto, siemprese puede exigir “de entrada” que λ sea real); puesto que L es autoadjunto. Se tiene:

Lφ = λφ, φ ∈ D(L) ⊂ L2w0(I); (1.5)

donde φ ∈ D(L) implica que φ esta sujeta a condiciones de frontera autoadjuntas.En este curso no nos ocuparemos del problema de la existencia o no de extensiones

autoadjuntas de un operador L; tomando (sin justificacion alguna) como un “hecho”, elque la sola imposicion de una condicion de frontera autoadjunta determina un operadorL autoadjunto. Al imponer condiciones de frontera autoadjuntas diferentes a un operadorL, se obtienen en general extensiones (operadores) muy diferentes; ver, p.ej., 5.2 y 5.4.

Para los efectos de la aplicacion de la imposicion: φ ∈ L2w0(I) ≡ H, resulta util tener

presente unos pocos hechos obvios. Sean λ1, λ2 ∈ C constantes arbitrarias; φS, ϕS ∈ H yφN , ϕN ∈ H, funciones de I en C; entonces. (a) λ1φS ∈ H, y λ2φN ∈ H si λ2 = 0. (b)Siempre se tiene: λ1φS + λ2ϕS ∈ H. (c) λ1φS + λ2φN ≡ ψ ∈ H si λ2 = 0; pues si ψ ∈ H

se tendrıa una contradiccion (ver (a)) ya que entonces: λ2φN = ψ − λ1φS ∈ H, en virtudde (a) y (b). (d) Se puede tener: λ1φN + λ2ϕN ∈ H, aun si λ1 = 0 y λ2 = 0 (tomar p. ej.:λ1 = λ2 = 1; y: ϕN = (φS − φN), ϕN ∈ H en virtud de (c)).

Comentario 1.3. Vemos que el problema de Cauchy y el P.S-L. son radicalmentediferentes. En efecto, en el problema de Cauchy buscamos soluciones para λ ∈ C arbi-trario, pero fijo, de L(λ)φ = 0, con φ ∈ C2(I); estando las soluciones vinculadas por doscondiciones en un solo punto x0 ∈ I; esto es: φ(x0) = α1, φ

′(x0) = α2. Sabemos que esteproblema tiene solucion unica.

En cambio en el P.S-L., para λ ∈ C fijo, buscamos soluciones no triviales de (1.4) enD(L) ⊂ L2

w0(I), estando las soluciones vinculadas en dos puntos, a y b, con las condiciones

de frontera. Tambien, a diferencia del problema de Cauchy, este problema no tiene solucionen general (para un λ dado; p. ej., ya sabemos que no existiran tales soluciones si λ /∈ R),

1. EL PLANTEO DEL PROBLEMA 121

y si la tiene puede no ser unica (degeneracion). En el P.S-L. debemos buscar aquellos λ’spara los cuales se tiene solucion (a veces no hay ningun λ para el cual exista solucion).Vemos pues que el operador L(λ) es completamente diferente si se considera el problemade Cauchy o el P.S-L.; en particular, su dominio es radicalmente diferente.

Como L es autoadjunto, si λ1, λ2 ∈ R son autovalores de L con λ1 = λ2, de autofun-ciones correspondientes φ1 y φ2, tendremos que estas seran ortogonales en L2

w0(a, b); esto

es: ⟨φ1|φ2⟩ = 0.

Comentario 1.4. A veces, se generaliza el P.S-L. al buscar autofunciones y autova-lores generalizados de L.

Asociado al P.S-L., se encuentran varios otros problemas. Por ejemplo, el averiguar

si de existir soluciones φ(dn)n n∈Z+ , con φ

(dn)n ∈ L2

w0(I), dn = 1, · · · ,Mn (Mn es el orden

de la degeneracion de λn ∴ Lφ(dn)n = λnφ

(dn)n ), estas constituyen un conjunto ortonormal

(eso siempre es posible) completo en L2w0(I); esto es, si:

ψ =∞∑n=1

Mn∑dn=1

⟨φ(dn)n

∣∣ψ⟩φ(dn)n ; ∀ψ ∈ L2

w0(I), (1.6)

donde la convergencia en (1.6) es la fuerte, esto es:∥∥∥∥∥ψ −n∑k=1

Mk∑dk=1

⟨φ(dk)k

∣∣∣ψ⟩φ(dk)k

∥∥∥∥∥ −−−→n→∞

0. (1.7)

Tambien queremos saber si para ciertos subconjuntos de L2w0(I) que satisfacen las

mismas condiciones de frontera autoadjuntas que las soluciones φ(dn)n , es valida la Rel.

(1.6), siendo la convergencia la puntual en los complejos; esto es, si para cada x de I:∣∣∣∣∣ψ(x)−n∑k=1

Mk∑dk=1

⟨φ(dk)k

∣∣∣ψ⟩φ(dk)k (x)

∣∣∣∣∣ −−−→n→∞0. (1.8)

O mas aun, si la convergencia puntual en (1.8) es uniforme en I.Otros problemas que se plantean es el de los ceros de las autofunciones, y el de la

estructura del conjunto de autovalores.

Definicion 1.5. Un extremo de un intervalo general I que sea finito, en el cual p nose anule; y que p, p1, p2 puedan ser extendidos continuamente a ese extremo, se denominaraun extremo regular. Si el extremo no es regular (p. ej., si es ±∞ o si p se anula allı),entonces decimos que es un extremo singular.

Si los dos extremos de I son regulares, el P.S-L. se denominara un P.S-L. regular (≡P.S-L.R.). Si alguno de los extremos de I es singular, el P.S-L. se denominara un P.S-L.singular (≡ P.S-L.S.). Si un resultado es valido para el caso regular y el singular nosreferiremos al P.S-L. a secas. N


2. Condiciones de Frontera

Definicion 2.1. Sea φ ∈ L2w0(I) con L(λ)φ ∈ L2

w0(I), arbitraria. Dos relaciones

linealmente independientes:

Fi(φ) ≡ aiφ(a) + biφ′(a) + ciφ(b) + diφ

′i(b) = Ai; i = 1, 2, (2.1)

con: ai, bi, ci, di, Ai constantes complejas; se denominaran condiciones de fronteraasociadas a la Ec. L(λ)φ = 0, si con ambas obtenemos una dependencia en a y en b.

Si al menos A1 o A2 es diferente de cero, estas condiciones de frontera se llamarancondiciones de frontera inhomogeneas. Si A1 = A2 = 0, se denominaran condicionesde frontera homogeneas. N

Notemos que las condiciones de frontera inhomogeneas llevan a un problema no lineal.Posteriormente (ver capıtulo 6) habremos de considerar el problema de Sturm-Liouville

inhomogeneo: L(λ)φ = f , y queremos enfatizar que la homogeneidad o inhomogeneidad delas condiciones de frontera no tienen nada que ver con la homogeneidad o inhomogeneidadde las EDOL: L(λ)φ = f consideradas.

Definicion 2.2. Si al menos una de las relaciones F1(φ) o F2(φ) depende de a y b,las condiciones (2.1) se llaman condiciones de frontera mixtas. Si ello no ocurre, sellaman condiciones de frontera no mixtas, cuyo caso general viene dado por:

F1(φ) = a1φ(a) + b1φ′(a) = A1, (2.2)

F2(φ) = c2φ(b) + d2φ′(b) = A2. (2.3)

NA continuacion consideraremos ejemplos de condiciones de frontera autoadjuntas; esto

es, para las cuales se cumple (1.3). Al tratar el P.S-L.S. habremos de generalizar la nocionde condicion de frontera (ver 2.1) considerando que cualquier restriccion a las solucionesde L(λ)φ = 0 que lleve a la Rel. (1.3) es una condicion de frontera. Enfaticemos quelas condiciones de frontera autoadjuntas son forzosamente homogeneas; pues el P.S-L.homogeneo y autoadjunto es lineal.

Comentario 2.3. Para un P.S-L.R. las condiciones de frontera no mixtas yhomogeneas, dadas por:

F1(φ) = a1φ(a) + b1φ′(a) = 0, a1, b1 ∈ R; |a1|+ |b1| = 0, (2.4)

F2(φ) = c2φ(b) + d2φ′(b) = 0; c2, d2 ∈ R; |c2|+ |d2| = 0, (2.5)

son autoadjuntas ya que Qw0(φ, ψ)(a) = Qw0(φ, ψ)(b) = 0.En efecto, para a, sea b1 = 0 (por ejemplo), entonces:

Qw0(φ, ψ)(a) = p(a)[ψ(a)φ′(a)− φ(a)ψ′(a)]

= p(a)

[ψ(a)

(−a1b1

)φ(a)− φ(a)

(−a1b1

)ψ(a)

]= 0,

y lo mismo vale para b.Un caso particular de las Rels. (2.4) y (2.5) es el de las condiciones de Dirichlet

homogeneas, el cual se obtiene haciendo b1 = d2 = 0; esto es:

φ(a) = φ(b) = 0. (2.6)

2. CONDICIONES DE FRONTERA 123

Otro caso particular es el de las condiciones de Neumann homogeneas, el cualse obtiene haciendo a1 = c2 = 0; esto es:

φ′(a) = φ′(b) = 0. (2.7)

Comentario 2.4. Para un P.S-L.R. las condiciones de frontera homogeneas y mixtasdadas por:

φ(b) = βeiα

√p(a)

p(b)φ(a),

φ′(b) =eiα

β

√p(a)

p(b)φ′(a), α ∈ R; β ∈ R+, (2.8)

son autoadjuntas. En efecto:

Qw0(b)− Qw0(a) = p(b)[ψ(b)φ′(b)− φ(b)ψ′(b)]− p(a)[ψ(a)φ′(a)− φ(a)ψ

′(a)]

= [p(a)− p(a)][ψ(a)φ′(a)− φ(a)ψ′(a)] = 0.

Notemos que ninguna de las dos condiciones en (2.8) se anulan (si son mixtas), yaque la anulacion de una de ellas llevarıa a problemas particulares de: (2.6) o (2.7); y laanulacion simultanea de ambas llevarıa unicamente a la solucion trivial (por el teoremade unicidad del problema de Cauchy).

En el caso particular que p(a) = p(b), ası como α = 0 y β = 1 en (2.8), estascondiciones se denominan condiciones de frontera periodicas.

Comentario 2.5. Ha quedado establecido que el hallar las autofunciones de un P.S-L. implica, en particular, que φ ∈ L2

w0(I). Esta condicion es satisfecha automaticamente

en el caso regular por toda solucion de la EDOL Lλφ = 0; y es por esta razon que sedeben imponer condiciones adicionales; como la (2.4), la (2.5) o la (2.8), p. ej. Pero enun P.S-L.S. esta pertenencia no se encuentra automaticamente satisfecha. Al evaluar elespectro discreto (puntual) esta condicion siempre se exige explicitamente.

La condicion φ ∈ L2w0(I) equivale a dos condiciones de frontera no mixtas. En efecto,

esta condicion significa que para cualquier c ∈ (a, b); a y b son los extremos de I; se cumple:

φ ∈ L2w0(a, c), ∀φ solucion de L(λ)φ = 0, (2.9)

en a, y que en b:

φ ∈ L2w0(c, b), ∀φ solucion de L(λ)φ = 0. (2.10)

En la practica, es preferible aplicar la condicion φ ∈ L2w0(I) separadamente en las

formas (2.9) y (2.10), ya que ello permite simplificar la evaluacion de las autofunciones.

Comentario 2.6. Si un extremo es singular y finito, a por ejemplo, y p(a) = 0, elP.S-L.S. conlleva al empleo de la condicion de frontera (2.9).

En lo que sigue supondremos que si el otro extremo b, es regular se le impone lacondicion (2.5). Si b es singular le impondremos (2.10) o sino las condiciones (2.11)-(2.17)que discutimos a continuacion (que llevan a que Qw0(b) = 0). Por lo tanto, concentremonosen el punto a.

A veces, las condiciones (2.9) y (2.10) son suficientes para asegurar la validez de laRel. (1.3), ∀φ, ψ soluciones de L(λ)φ = 0.


Sin embargo, a veces ocurre que automaticamente, para toda solucion φ de L(λ)φ = 0tenemos que φ ∈ L2

w0(a, c). En ese caso imponemos la condicion de frontera en a:

p(a)φ(a)ψ′(a) = 0; ∀φ, ψ soluciones de L(λ)φ = 0. (2.11)

Puede ocurrir que la sola imposicion de la condicion de frontera en a:

φ(x) es acotada cuando x→ a; ∀φ solucion de L(λ)φ = 0, (2.12)

sea suficiente ya que implica a la Rel. (2.11).A veces, la imposicion de la condicion de frontera en a:

a1φ(a) + b1φ′(a) = 0; a1, b1 ∈ R;

|a1|+ |b1| = 0; ∀φ solucion de L(λ)φ = 0,(2.13)

es suficiente, ya que implica a la Rel. (2.11).Finalmente, tambien ocurre que la sola imposicion de la condicion de frontera en a:

p(a)φ′(a) = 0; ∀φ solucion de L(λ)φ = 0, (2.14)

sea suficiente ya que implica a la Rel. (2.11).En la practica, una condicion de frontera muy usada para a < ∞ en un P.S-L.S., es

el de la acotacion en a. P. ej., para problemas del potencial electrico en electrostatica.

Comentario 2.7. Si un extremo es infinito, b = ∞ por ejemplo, y se procede comoen 2.6 en el otro extremo (a, en este caso), resulta que a veces la imposicion (2.10) essuficiente para asegurar la validez de la Rel. (1.3), ∀φ, ψ soluciones de L(λ)φ = 0. Siφ ∈ L2

w0(c,∞) para toda solucion de L(λ)φ = 0, impondremos a la condicion de frontera

en x = ∞:lımx→∞

p(x)φ(x)ψ′(x) = 0; ∀φ, ψ soluciones de L(λ)φ = 0. (2.15)

A veces ocurre que la sola imposicion de la condicion de frontera x = ∞:

lımx→∞

[c2φ(x) + d2φ′(x)] = 0; c2, d2 ∈ R; |c2|+ |d2| = 0; ∀φ solucion de L(λ)φ = 0,

(2.16)sea suficiente ya que implica a la Rel. (2.15).

Tambien, a veces ocurre que la imposicion de la condicion de frontera en x = ∞:

φ(x) es acotada cuando x→ ∞; ∀φ solucion de L(λ)φ = 0, (2.17)

es suficiente, ya que implica a la Rel. (2.15).

Comentario 2.8. Si b = ∞, tambien podremos estar interesados en hallar autofun-ciones generalizadas, en cuyo caso suprimimos a la exigencia φ ∈ L2

w0(c,∞); y por lo tanto

φ /∈ L2w0(I). En este caso son de uso frecuente como condiciones de frontera en x = ∞;

la condicion (2.16); la condicion de acotacion (2.17), ası como las siguientes condicionesasintoticas para las soluciones de Lφ = λφ:

φ(x) ∼x→∞

e±ikx

x; k ∈ R+ ∪ 0, (2.18)

φ(x) ∼x→∞

e±ikx; k ∈ R+ ∪ 0, (2.19)

o tambien:

φ(x) ∼x→∞

eikx

x; k ∈ C, ℑk ≥ 0. (2.20)

3. CONDICIONES DE FRONTERA Y FISICA 125

Notemos que para la EDOL de Bessel (p(x) = x) tenemos que la Rel. (2.15) es validacon la condicion asintotica (2.18).

3. Condiciones de Frontera y Fısica

Comentario 3.1. En la seccion 2 hemos discutido algunas condiciones de fronte-ra autoadjuntas, las cuales nos llevan a un P.S-L.. En un problema dado tendremos unagran cantidad de estas condiciones a nuestra disposicion. Las condiciones de frontera au-toadjuntas que nos llevan a un problema autoadjunto adecuado dependen de la fısica delproblema. Ilustremos esto con algunos ejemplos.

Comentario 3.2. Consideremos una barra cilındrica de longitud b − a. La propa-gacion de una perturbacion longitudinal en esa barra (la cual supondremos uniforme encualquier seccion transversal), sin fuerzas externas aplicadas a los lados de la barra, vendradescrita por la ecuacion diferencial parcial:

ρ(x)∂2v(x, t)

∂t2=

∂

∂x

[p(x)

∂v(x, t)

∂x

], (3.1)

siendo ρ(x) la masa por unidad de longitud y estando p relacionado con el modulo de laelasticidad. La Ec. (3.1) puede separarse, al tomar:

v(x, t) = φ(x)T (t), (3.2)

de donde obtenemos la EDOL:

d

dx

[p(x)

dφ(x)

dx

]+ k2ρ(x)φ(x) = 0, (3.3)

siendo k la constante de separacion.Para este problema ocurren diferentes situaciones fısicas para las cuales corresponden

diferentes condiciones de frontera en los extremos a y b de la barra. Por ejemplo:

i. φ(a) = φ(b) = 0 (barra fija en los extremos).ii. φ′(a) = φ′(b) = 0 (extremos de la barra libres).iii. Las condiciones (2.4) y (2.5) con a1; b1; c2; d2 no nulos, que corresponden al caso de

los extremos de la barra fijados elasticamente.iv. Si p(a) = p(b), las condiciones periodicas (2.8) (con α = 0 y β = 1), que corresponden

a un sistema periodico de barras (condicion de empleo frecuente en solidos).

Comentario 3.3. En electrostatica usualmente el potencial electrico φ se elige nuloen el infinito φ(∞) = 0. Frecuentemente la fısica del problema nos indica que el trabajoWpara llevar la unidad de carga positiva desde el infinito al origen; esto es:W = φ(0)−φ(∞),es finito. En este caso la condicion de frontera de que φ sea finita en el origen es la condicionadecuada. Notemos que la imposicion de la condicion de frontera φ(0) = 0 es muy fuertee inadecuada (aunque lleve a un problema autoadjunto) desde el punto de vista fısico.

Comentario 3.4. En la teorıa de difusion de partıculas, la condicion φ(x) ∼x→∞

eikx

x

y la φ(x) ∼x→∞

eikx (k > 0) representan, respectivamente, a una onda esferica y a una plana

que provienen de un centro difusor.


Comentario 3.5. Consideremos la componente z del momento angular en mecanicacuantica. El operador que representa a esta magnitud fısica es Lz = −i~ d

dϕ, con 0 ≤ ϕ ≤ 2π

(este es un operador diferencial de primer orden pero permite una discusion importante

respecto a las condiciones de frontera; en todo caso tomar L2z). Para toda funcion de onda

ψ ∈ L2(0, 2π) se debera cumplir, bajo una rotacion de 2π, que: ψ(ϕ+2π) ≡ eiαψ(ϕ); dondeα ∈ R es una constante fija e igual ∀ψ ∈ L2(0, 2π); ya que si no cambiarıa la funcion deonda dando lugar a valores diferentes para magnitudes experimentalmente medibles (p. ej,probabilidades de transicion: |⟨χ|ψ⟩|2). La constante α debe ser la misma ∀ψ ya que siψ(ϕ) = φ1(ϕ) + φ2(ϕ), y φk(ϕ + 2π) = eiαkφk(ϕ); k = 1, 2; tendrıamos, si α1 = α2, queψ(ϕ+ 2π) = eiα1φ1(ϕ) + eiα2φ2(ϕ) = eiα

′ψ(ϕ).

Si Lz = XxPy− XyPx es la componente z del momento angular, se debe tomar α = 0,con lo cual obtendremos condiciones de frontera periodicas.

4. Teoremas sobre el P.S-L.

Comentario 4.1. Como ya hemos dicho, el P.S-L. no es nada trivial (sobre todo enel caso de P.S-L.S.) y por lo tanto nos limitaremos a enunciar sin demostracion algunosteoremas que nos seran de utilidad. Ver [96], p. ej..

Teorema 4.2. Sea el P.S-L.R. con condiciones de frontera (2.1) homogeneas auto-adjuntas (esto es, para las cuales es valida la Rel. (1.3)), entonces:

i. Existen infinitas autofunciones las cuales forman un conjunto ortonormal y completoen L2

w0(a, b) (esto es, son validas las Rels. (1.6) y (1.7)).

ii. Si ψ ∈ C2((a, b)) y si F1(ψ) = F2(ψ) = 0, entonces la convergencia de la Rel. (1.6) esuniforme (ver (1.8)) en I.

iii. El conjunto de autovalores λn es no acotado; esto es: lim|n|→∞|λn| = ∞.

NComo I es finito, tenemos que ψ ∈ C(I) ⇒ ψ ∈ L2

w0(I), ya que limx→aψ(x) y

limx→bψ(x) son finitos; pues el problema es regular.

Teorema 4.3. Para el P.S-L. que lleva a soluciones en terminos de polinomios orto-gonales, vale i. del teorema 4.2. Si ademas ψ ∈ C1(I), ψ ∈ L2

w0(I) y

√p0(x)ψ

′(x) ∈ L2w0(I),

entonces la serie (1.6) converge uniformemente en (a, b). NTeorema 4.4. Para el P.S-L.R. con condiciones de frontera no mixtas y homogeneas

(dadas por (2.4) y (2.5)) o para el P.S-L. especificado en el teorema 4.3, se cumple que:Las autofunciones son no degeneradas y vienen determinadas a menos de una constante.Los infinitos autovalores λ0, λ1, λ2, · · · , forman una sucesion monotona decreciente λ0 >λ1 > λ2 > · · · con λn −−−→

n→∞−∞. Mas aun, la autofuncion correspondiente a λn tiene

exactamente n ceros en (a, b); n = 0, 1, 2, · · · . NEntonces, −∞ es el unico punto de acumulacion de los autovalores y por lo tanto

tendremos a lo sumo un numero finito de autovalores positivos.Las soluciones en terminos de polinomios pueden considerarse definidas en todo el

plano complejo C, y como todo polinomio de grado n tiene n ceros (teorema fundamentaldel algebra), estos n ceros se encontraran precisamente en el intervalo (a, b), real, deortogonalidad de esos polinomios.

5. EL OSCILADOR ARMONICO CLASICO 127

Teorema 4.5. Si p2(x) ≤ 0, ∀x ∈ I, y:

p(x)φ(x)φ′(x)|ba = 0, ∀φ solucion de Lφ = λφ, (4.1)

entonces los autovalores λ seran negativos o nulos (si es que existen).

Demostracion. Basta probar que el operador A ≡ −L es positivo. Tendremos, alusar la expresion 2-(3.4) de L, que:⟨

φ∣∣∣Aφ⟩ = −

∫ b

a

w0(x)φ(x)Lxφ(x)dx

= −∫ b

a

φ(x)d

dx(p(x)φ′(x)) dx−

∫ b

a

p2(x)w0(x)φ(x)φ(x)dx

= −p(x)φ(x)φ′(x)|ba +∫ b

a

p(x)φ′(x)φ′(x)dx−∫ b

a

p2(x)w0(x) |φ(x)|2 dx

=

∫ b

a

dx[p(x) |φ′(x)|2 − p2(x)w0(x) |φ(x)|2

]≥ 0,

ya que el integrando es positivo o nulo en (a, b). Notemos que la Rel. (4.1) es satisfecha en un P.S-L.R. si imponemos las condiciones

(2.6) o (2.7). Si ademas p(a) = p(b), la condicion (2.8) tambien satisface a (4.1). Si el P.S-L. es singular, la imposicion de las condiciones (2.11) o (2.15) en un extremo satisfacen ala Rel. (4.1) si en el otro extremo tambien se anula pφφ′.

Comentario 4.6. Para un teorema sobre la naturaleza de los autovalores y autofun-ciones de un P.S-L.R., correspondiente al caso p(a) = p(b) y a las condiciones de fronteraperiodicas, ver [96, capıtulo 8, teorema 3.1].

5. El Oscilador Armonico Clasico

Comentario 5.1. Solamente consideraremos al oscilador armonico clasico comoejemplo de P.S-L., dejando para capıtulos subsiguientes otros ejemplos asociados a funcio-nes especiales.

Ejercicio 5.2. Sea I = [a, b], con a, b finitos. Consideremos el P.S-L.:

Lϕψ(ϕ) ≡d2ψ(ϕ)

dϕ2= −ν2ψ(ϕ); ν ∈ C, (5.1)

sujeto a las condiciones de frontera periodicas (ver 2.4). Este P.S-L. es regular y auto-adjunto, y por lo tanto los autovalores λ ≡ −ν2 son reales, no positivos (ver teorema4.5).

La solucion general de la EDOL (5.1) viene dada por:

ψ(ϕ) = Aνeiνϕ +Bνe

−iνϕ; Aν , Bν ∈ C; ν ∈ R, ν = 0. (5.2)

ψ(ϕ) = E +Dϕ; ν = 0; E,D ∈ C. (5.3)

Al imponer las condiciones de periodicidad a las soluciones (5.2) y (5.3) obtenemosque D = 0, y que νm = 2πm

b−a con m = 0, 1, 2, · · · . Como eiνmϕ y e−iνmϕ son autofunciones

ortogonales (ver 1.P.15) correspondientes al mismo autovalor λm = −ν2m, tendremos quelos autovalores no nulos de este problema son dos veces degenerados.


Un conjunto ortonormal correspondiente a este P.S-L.R. viene dado por (ver 1-13.13):

φm(ϕ) =1√b− a

ei2πmϕ/(b−a); m = 0,±1,±2, · · · , (5.4)

de autovalores correspondientes:

λm ≡ −ν2m = − 4π2m2

(b− a)2. (5.5)

De manera equivalente, se puede escoger para este P.S-L.R. el conjunto ortonormalφ0(ϕ),Ωm(ϕ),Γm(ϕ), m = 1, 2, 3, · · · , dado por:

φ0(ϕ) =1√b− a

; Ωm(ϕ) =

√2

b− acos

2πmϕ

b− a; Γm(ϕ) =

√2

b− asen

2πmϕ

b− a, (5.6)

que tienen los mismos autovalores dados por la Rel. (5.5).El teorema 4.2, nos asegura que las autofunciones dadas por la Rel. (5.4) o por la

Rel. (5.6) forman un conjunto ortonormal completo en L2(a, b). La relacion de clausurageneralizada correspondiente al conjunto (5.4) se escribe:

∞∑m=−∞

φm(ϕ1)φm(ϕ2) =1

b− a

∞∑m=−∞

ei2πm(ϕ2−ϕ1)/(b−a) = δ(ϕ2 − ϕ1). (5.7)

Ası mismo, la relacion de clausura generalizada correspondiente al conjunto (5.6) seescribe:

φ0(ϕ1)φ0(ϕ2) +∞∑m=1

[Ωm(ϕ1)Ωm(ϕ2) + Γm(ϕ1)Γm(ϕ2)

]=

1

b− a

1 + 2

∞∑m=1

[cos

(2πmϕ1

b− a

)cos

2πmϕ2

b− a+ sen

(2πmϕ1

b− a

)sen

2πmϕ2

b− a

]= δ(ϕ2 − ϕ1),

(5.8)

de donde obtenemos, al usar las formulas de productos de funciones trigonometricas, a laRel.:

1

b− a

(1 + 2

∞∑m=1

cos2πm(ϕ2 − ϕ1)

b− a

)= δ(ϕ2 − ϕ1), (5.9)

la cual es obviamente equivalente a la Rel. (5.7), como debe ser.

Comentario 5.3. Notemos que para este P.S-L.R., la imposicion de condicionesde frontera periodicas no implica ninguna restriccion sobre los valores de los coeficientesAm, Bm de la Rel. (5.2); excepto por los valores: Am = Bm = 0.

Al hallar las autofunciones del cuadrado del momento angular Lz en mecanica cuanticano relativista (caso a = 0; b = 2π; ~ = 1) se eligen usualmente a las funciones (5.4) comoautofunciones. Sin embargo, no habrıa nada de “malo” en escoger a las funciones dadaspor (5.6), de autovalores (−λm) dados por (5.5). Lo que ocurre es que se desea obtener

autofunciones simultaneas de L2z y Lz, lo cual sı implica (a menos de una fase) a las

funciones (5.4).

5. EL OSCILADOR ARMONICO CLASICO 129

Ejercicio 5.4. Sea I = [a, b], con a, b finitos. Consideremos el P.S-L. :

Lϕψ(ϕ) ≡d2ψ(ϕ)

dϕ2= −ν2ψ(ϕ); ν ∈ C, (5.10)

sujeto a las condiciones de Dirichlet homogeneas

ψ(a) = 0 ; ψ(b) = 0. (5.11)

Este P.S-L. es regular y autoadjunto, y por lo tanto los autovalores λ ≡ −ν2 sonreales.

La solucion general de la EDOL (5.10) viene dada por:

ψ(ϕ) = Aνsen νϕ+Bν cos νϕ; Aν , Bν ∈ C; ν = 0, (5.12)

ψ(ϕ) = E +Dϕ; ν = 0; E,D ∈ C. (5.13)

De la Rel. (5.13) vemos que para ningun valor de las constantes E y D se puedesatisfacer a la Rel. (5.11) y obtener una ψ no trivial. Por lo tanto el cero no es un autovalordel problema.

Al imponer las condiciones de frontera (5.11) a la solucion (5.12), obtenemos:

Aνsen νa+Bν cos νa = 0, (5.14)

Aνsen νb+Bν cos νb = 0. (5.15)

Pero este par de ecuaciones solamente tendra una solucion no trivial para Aν , Bν ; si:

det

(sen νb cos νbsen νa cos νa

)= sen ν(b− a) = 0. (5.16)

De la Rel. (5.16), vemos pues que los autovalores (reales negativos) de L, λn, vienendados por:

λn ≡ −ν2n = − π2n2

(b− a)2; n = 1, 2, · · · . (5.17)

Al tomar Bνn = −Aνn sen νnacos νna

de la Rel. (5.14), tendremos, al sustituirlo en (5.12):

ψn(ϕ) = Aνn

[sen νnϕ− sen νna

cos νnacos νnϕ

]=

Aνncos νna

sen νn(ϕ− a). (5.18)

Al normalizar las autofunciones (5.18) obtenemos (a menos de una fase):

ψn(ϕ) =

√2

b− asen

πn(ϕ− a)

b− a; n = 1, 2, · · · . (5.19)

Los valores n = −1,−2, · · · nos producen soluciones linealmente dependientes.En resumen, tenemos que el conjunto ortonormal de autofunciones no degeneradas

dado por la Rel. (5.19) es completo en L2(a, b), (ver teorema 4.2).Esa completitud puede expresarse con la relacion de clausura generalizada:

∞∑n=1

ψn(ϕ1)ψn(ϕ2) =2

b− a

∞∑n=1

sen

(πn(ϕ1 − a)

b− a

)sen

πn(ϕ2 − a)

b− a= δ(ϕ2 − ϕ1). (5.20)



Comentario 6.1. Como ya hemos dicho anteriormente, con frecuencia ocurre que elP.S-L.S. no tiene soluciones. Esto es, no existen autofunciones ni autovalores del operadorL. Sin embargo, a veces ocurre que existen autofunciones generalizadas correspondientesa autovalores del continuo, siendo dichas autofunciones ortonormales en el sentido de ladelta y que forman un conjunto completo generalizado (ver 1-14).

Ejercicio 6.2. Consideremos el P.S-L.S.:

Lxψ(x) ≡d2ψ(x)

dx2= λψ(x); I = (−∞,∞); λ ∈ C. (6.1)

Imponemos como condiciones de frontera la acotacion en x = ±∞. Un conjunto deautofunciones generalizadas correspondiente a este P.S-L.S., ψλ, χλ, viene dado por:

ψλ(x) =1√2πe−i

√−λx; χλ(x) =

1√2πei

√−λx, (6.2)

con autovalores λ ∈ (−∞, 0], doblemente degenerados si λ = 0. Este es un conjuntoortonormal y completo en el sentido generalizado (ver lo que sigue).

En vez de usar el conjunto ψλ, χλ, tambien podemos usar (de manera equivalente,pero mas compacta), el conjunto φνν∈R, con:

φν(x) =1√2πeiνx; ν ∈ R. (6.3)

φνν∈R dado por (6.3) es un conjunto ortonormal y completo generalizado (ver lasRels. 1-(14.4), 1-(14.6), B-(2.11) y B-(4.1)), siendo la relacion de clausura generalizada:∫ ∞

−∞φν(x1)φν(x2)dν =

1

2π

∫ ∞

−∞eiν(x2−x1)dν = δ(x2 − x1). (6.4)

Las funciones de Bessel (ver capıtulo 7) proporcionaran otro ejemplo de autofuncionesgeneralizadas.

7. Problemas

4.P.1 Resolver el ejercicio 5.4, pero para las condiciones de frontera:

i. φ′(a) = φ′(b) = 0. (7.1)

ii. φ′(a) = 0, φ(b) = 0. (7.2)

Usar los teoremas de la seccion 4 para discutir la completitud (escribir la relacionde clausura generalizada), degeneracion y signo de los autovalores en cada caso. N

4.P.2 Resolver el ejercicio 6.2, pero para el intervalo I = [0,∞), con la acotacion comocondicion de frontera en el infinito, y en el origen:

i. φ(0) = 0. (7.3)

ii. φ′(0) = 0. (7.4)

Escribir la relacion de clausura y la de ortonormalidad generalizadas en cada caso.NUsar las Rels. B-(2.18) y B-(2.19).

Capıtulo 5

Funciones Especiales

En este capıtulo vamos a establecer algunas relaciones y propiedades de ciertas fun-ciones especiales, que resultan ser de utilidad.

Obtendremos diversas funciones especiales como el resultado de un P.S-L.Las funciones de Bessel no seran abordadas aquı, y les dedicaremos luego un capıtulo

aparte (debido a la gran cantidad de resultados utiles que existen para esas funciones).En todo este capıtulo, dada una solucion no trivial de una EDOL homogenenea,

indicaremos a una segunda solucion (no trivial, linealmente independiente) con la notacionφ2 o ψ2. A menudo sera el caso que esa φ2 o ψ2 es objeto de un estudio particular en laliteratura (incluso tiene nombre propio muchas veces), pero nosotros solo queremos obteneralgunas caracterısticas cruciales de esa segunda solucion.

A menudo intercambiaremos la derivacion con el signo integral o con una suma infi-nita. En cada caso ello estara plenamente justificado por un argumento de convergenciauniforme; sin embargo, no nos detendremos a probar estos hechos.

Para bibliografıa, ver: [108]-[112]; p. ej. Ver [113] o [114] para el establecimiento dela relacion que existe entre las funciones especiales y la teorıa de grupos.

1. La EDOL Hipergeometrica

Comentario 1.1. En 3-4 y 3-7 ya hemos discutido las soluciones de la EDOL Hi-pergeometrica:

z(1− z)φ′′(z) + [c− (a+ b+ 1)z]φ′(z)− abφ(z) = 0. (1.1)

De 3-(4.4) se puede deducir (por induccion) que:

dk

dzkF (a, b; c; z) =

Γ(a+ k)Γ(b+ k)Γ(c)

Γ(a)Γ(b)Γ(c+ k)F (a+ k, b+ k; c+ k; z); k ∈ Z+. (1.2)

Haciendo el cambio: φ(z) = (1−z)c−a−bψ(z), en la EDOL (1.1) obtenemos una EDOLHipergeometrica en ψ, con parametros c−a, c− b y c; en vez de a, b y c; respectivamente.Por lo tanto, al usar la finitud de F en z = 0, tendremos que:

F (a, b; c; z) = (1− z)c−a−bF (c− a, c− b; c; z), | arg(1− z)| < π. (1.3)

Las seis funciones: F (a±1, b; c; z); F (a, b±1; c; z); F (a, b; c±1; z), se llaman funcionesHipergeometricas contiguas a F (a, b; c; z). Existen quince relaciones entre estas funcionescontiguas, las cuales se hallan en tablas.

Comentario 1.2. Para a, b, c ∈ R; con a, b, c = 0,−1,−2, · · · ; y para a + b ≥ c;x ∈ (0, 1), deseamos averiguar el comportamiento de F (a, b; c;x) en x = 1. Para ello

131

132 5. FUNCIONES ESPECIALES

veamos primero que F diverge en x = 1. En efecto, de D-(2.35) se tiene:

Γ(a+ n) ∼n→∞

√2π(a+ n)a+n−1/2e−a−n

∼n→∞

√2πna−1/2e−a−n(a+ n)n =

√2πna−1/2e−a−nnn

[(1 +

a

n

)n/a]a∼

n→∞

√2πna−1/2e−a−nnnea =

√2πna−1/2e−nnn.

(1.4)

Entonces:

αn ≡ Γ(c)

Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ n)Γ(b+ n)

Γ(c+ n)Γ(n+ 1)∼

n→∞na+b−c−1 Γ(c)

Γ(a)Γ(b). (1.5)

Como F (a, b; c;x) =∑∞

n=0 αnxn tendremos que la serie diverge si a + b − c ≥ 1 ya que

lımn→∞ αn = 0.Si, 0 ≤ a + b− c < 1, la serie tambien diverge ya que es del tipo n−s con 0 < s ≤ 1.

Para la expresion asintotica, consideremos dos casos:

i. a+ b > c.Tomemos (ver 3-(4.14)):

g(x) ≡ (1− x)−α =∞∑n=0

Γ(α + n)

Γ(α)Γ(n+ 1)xn ≡

∞∑n=0

βnxn. (1.6)

g diverge en x = 1 si α > 0; βn ∈ R+; y de (1.4) obtenemos que βn ∼n→∞

nα−1

Γ(α). Para

α = a + b − c, vemos que αnβn

−−−→n→∞

Γ(c)Γ(a+b−c)Γ(a)Γ(b)

≡ δ > 0. Entonces, las hipotesis del

teorema D-1.7 estan satisfechas, y tenemos:

F (a, b; c;x) ∼x→1x∈(0,1)

Γ(c)Γ(a+ b− c)

Γ(a)Γ(b)(1− x)c−a−b;

a, b, c ∈ R; a, b, c = 0,−1,−2, · · · ; b+ a > c.

(1.7)

ii. a+ b = c.Tomemos (ver 3-(4.16)):

g(x) ≡ − ln (1− x) =∞∑n=1

xn

n≡

∞∑n=0

βnxn, (β0 = 0). (1.8)

g diverge en x = 1; βn ∈ R+ si n ≥ 1. Vemos pues que αnβn

−−−→n→∞

Γ(c)Γ(a)Γ(b)

≡ δ > 0.

Entonces, las hipotesis del teorema D-1.7 estan satisfechas, y tenemos:

F (a, b; c;x) ∼x→1x∈(0,1)

− Γ(c)

Γ(a)Γ(b)ln (1− x);

a, b,c ∈ R; a, b, c = 0,−1,−2, · · · ; b+ a = c.

(1.9)

2. LA EDOL DE LEGENDRE 133

2. La EDOL de Legendre

Comentario 2.1. Ya sabemos que la EDOL de Legendre:

(1− z2)φ′′(z)− 2zφ′(z) + ν(ν + 1)φ(z) = 0; z, ν ∈ C, (2.1)

se obtiene de la ecuacion Hipergeometrica al hacer el cambio (ver 2.P.9) z → (1 − z)/2;a = −ν; b = ν + 1; c = 1. Por lo tanto, una solucion que denotaremos por Pν(z), llamadafuncion de Legendre de primera clase, viene dada por:

Pν(z) = F

(−ν, ν + 1; 1;

1− z

2

); ν ∈ C, (2.2)

la cual sabemos es al menos analıtica en |1− z| < 2 (no discutiremos la analiticidad dePν(z) en todo el plano).

Como c = 1, una segunda solucion φ2 podra ser hallada con 3-(3.16).Por la simetrıa de la funcion Hipergeometrica (ver 3-(4.13)) y la Rel. (2.2), vemos

que:

P−ν−1(z) = Pν(z); ∀ν ∈ C. (2.3)

De (2.2) tenemos tambien que:

Pν(1) = 1; ∀ν ∈ C. (2.4)

Comentario 2.2. Para ν ∈ R; ν = 0,±1,±2, · · · , vemos de (2.2) y (1.9), que:

Pν(x) ∼x→−1x∈(−1,1)

sen πν

πln

(x+ 1

2

);

ν ∈ R; ν = 0,±1,±2, · · · ,(2.5)

donde hemos usado a la Rel. C-(2.12).En virtud de 3-(4.7), la segunda solucion φ2, tendra en x = 1, un comportamiento

asintotico:

φ2(x) ∼x→1

x∈(−1,1)

ln1− x

2; ∀ν ∈ C. (2.6)

Si ν ≡ n = 0, 1, 2, · · · , Pn(z) sera un polinomio de grado n (y por lo tanto definido entodo el plano complejo) denominado polinomio de Legendre.

Comentario 2.3. Estos polinomios de Legendre se obtienen como soluciones delP.S-L. correspondiente a la EDOL (2.1) para I = (−1, 1).

Sabemos que w0(x) = 1, y como p(x) = 1− x2 se anula en los extremos, estamos enpresencia de un P.S-L.S.. Como estamos considerando un problema autoadjunto tendremosque los autovalores λ ≡ −ν(ν +1) son reales; mas aun, λ ≤ 0 y por lo tanto ν es real (−λson autovalores del cuadrado del momento angular orbital, un operador positivo).

Imponemos, como condiciones de frontera, el que las soluciones pertenezcan a L2(−1, 1),ver 4-2.5. Sin embargo, de las Rels. (2.5) y (2.6) y del hecho que los Pn’s con n =0,±1,±2, · · · son polinomios (ver Rel. (2.3)), tenemos que Pν ∈ L2(−1, 1) y que φ2 ∈L2(c, 1) para c ∈ (−1, 1); tambien tenemos que: φ2 ∈ L2(−1, 1), ver 5.P.2. Entonces,exigiremos (ver 4-(2.12)) que las soluciones de (2.1) sean acotadas.


La solucion general es, c1Pν(x) + c2φ2(x), y de la Rel. (2.6), valida ∀ν ∈ C, vemosque forzosamente c2 = 0 si queremos esta acotacion. Ademas, de (2.5) vemos que Pν nosera acotada en x = −1 si ν = 0,±1,±2, · · · .

Por lo tanto, tendremos acotacion, solamente si ν = n = 0,±1,±2, · · · (ya quelos Pn’s son polinomios). En virtud de (2.3) tendremos que las soluciones linealmenteindependientes seran Pn(x) con n = 0, 1, 2, · · · .

La acotacion, que hemos impuesto como condicion de frontera, implica la validez dela Rel. 4-(2.11), esto es, p(±1)Pn(±1)P ′

n′(±1) = 0, ∀n, n′.Los teoremas 4-4.3 y 4-4.4, nos indican que el conjunto Pn(x), n = 0, 1, 2, · · · , es

completo en L2(−1, 1) y que Pn(x) tiene n ceros en (−1, 1).

Comentario 2.4. Deseamos obtener dos representaciones integrales para el caso ν =n = 0, 1, 2, · · · . Para ello resolvamos a la EDOL (2.1) por el metodo de las transformadasintegrales. Tomemos K(z, t) = (t− z)−n−1 como nucleo. Tendremos que:

(1−z2)∂2K

∂z2−2z

∂K

∂z+n(n+1)K = (n+1)(t−z)−(n+3)

[nt2 − 2tz(n+ 1) + (n+ 2)

]. (2.7)

Es inmediato verificar que con:

Mt = (1− t2)∂2

∂t2− 2(n+ 1)t

∂

∂t, (2.8)

tenemos que MtK reproduce a la Rel. (2.7). Entonces, debemos resolver a la EDOL:

M∗tv(t) = [(1− t2)v(t)]′′ + 2(n+ 1)[tv(t)]′ = 0. (2.9)

Para g(t) ≡ (t2 − 1)v(t) obtenemos de (2.9) que:

d

dt

[g′(t)− 2(n+ 1)

t

t2 − 1g(t)

]= 0, (2.10)

y concluimos facilmente que:

v(t) = A(t2 − 1)n; A, constante compleja. (2.11)

El concomitante bilineal (para w(t) = 1) viene dado por:

Q(K, v)(t) = A(n+ 1)(t2 − 1)n+1(t− z)−(n+2). (2.12)

De (2.12) vemos que para todo lazo γ en el plano complejo, que contenga a z en suregion interior tenemos que Q(t2) = Q(t1) ∀t1 = t2 ∈ γ. Entonces para un camino γ de esetipo, tenemos que la funcion cn(z) definida por:

cn(z) = A

∮γ

(t2 − 1)n

(t− z)n+1dt (2.13)

satisface a la EDOL (2.1), es analıtica para todo z en la region interior de γ, y como γpuede ser arbitrario, cn es entera.

Evaluemos cn en z = 1 por el teorema de los residuos:

cn(1) = A

∮γ

(t+ 1)n

(t− 1)dt = 2πiRes

t=1A(t+ 1)n

(t− 1)= 2πi2nA. (2.14)


Como cn es entera y la segunda solucion linealmente independiente de la Pn es singularen z = 1 (ver (2.6)), concluimos que cn debe ser proporcional a Pn. Como Pn(1) = 1 ∀ntendremos que cn = Pn si hacemos A = 1

2πi2n(ver (2.14)). Esto es, hemos obtenido que:

Pn(z) =1

2πi2n

∮γ

(t2 − 1)n

(t− z)n+1dt, n = 0, 1, 2, · · · ; z ∈ C. (2.15)

siendo γ cualquier lazo con z en su region interior. La Rel. (2.15) se llama representacionintegral de Schlafli de Pn(z).

De la Rel. (2.15) podemos deducir otra representacion integral. Consideremos el con-torno γ, como un cırculo centrado en z de radio

∣∣√z2 − 1∣∣. Hagamos t = z +

√z2 − 1eiϕ

con −π ≤ ϕ ≤ π. Entonces, como t2 − 1 = (t+ 1)(t− 1):

Pn(z) =1

2n+1πi

∫ π

−πidϕ

[(z − 1) + (z2 − 1)1/2eiϕ][(z + 1) + (z2 − 1)1/2eiϕ]

(z2 − 1)1/2eiϕ

n=

1

2π

∫ π

−π[z + (z2 − 1)1/2 cosϕ]ndϕ,

(2.16)

donde la ultima igualdad se obtiene al efectuar el producto de los dos binomios del nu-merador, y simplificando. Como el integrando de (2.16) es par, obtenemos la llamadarepresentacion de Laplace de Pn(z):

Pn(z) =1

π

∫ π

0

(z +√z2 − 1 cosϕ)ndϕ; n = 0, 1, 2, · · · ; z ∈ C. (2.17)

Notemos que para ϕ ∈ [0, 2π], x ∈ [−1, 1], se tiene que∣∣x+ i

√1− x2 cosϕ

∣∣ ≤ 1,obteniendose de la Rel. (2.17) que:

|Pn(x)| ≤ 1; ∀x ∈ [−1, 1]; n = 0, 1, 2, · · · . (2.18)

Comentario 2.5. Recordemos que para f analıtica, el teorema de Cauchy aseveraque:

f (n)(z) =n!

2πi

∮γ

f(t)

(t− z)n+1dt; n = 0, 1, 2, · · · . (2.19)

Entonces, para f(t) = (t2−1)n

2nn!, las Rels. (2.19) y (2.15) nos indican que:

Pn(z) =1

2nn!

dn

dzn(z2 − 1)n; n = 0, 1, 2, · · · ; z ∈ C, (2.20)

resultado conocido como la formula de Rodrigues; de la cual resulta transparente quelos Pn(x), con x ∈ (−∞,∞), son polinomios a valores reales. De la Rel. (2.20), obtenemos:

Pn(−z) = (−1)nPn(z); n = 0, 1, 2, · · · ; z ∈ C. (2.21)

Comentario 2.6. Para cada x ∈ [−1, 1], la funcion (1 − 2hx + h2)−1/2, con h ∈ C,es analıtica si |h| < 1. En efecto, si hacemos x = cos θ, vemos que 1 − 2h cos θ + h2 = 0para h = e±iθ (esto es, sobre el cırculo unidad). Entonces, consideremos a la funcion:

F (h, x) ≡ 1

(1− 2hx+ h2)1/2; x ∈ [−1, 1]; h ∈ C; |h| < 1. (2.22)


Como F es analıtica para |h| < 1, podemos desarrollarla en potencias de h, esto es:

F (h, x) =∞∑n=0

an(x)hn; |h| < 1. (2.23)

Demostraremos que an = Pn. En efecto, de (2.17) tenemos que:

∞∑n=0

Pn(x)hn =

1

π

∫ π

0

∞∑n=0

hn(x+√x2 − 1 cosϕ)ndϕ

=1

π

∫ π

0

dϕ

1− hx− h√x2 − 1 cosϕ

=1√

1− 2hx+ h2.

(2.24)

Hemos obtenido que:

F (h, x) =1√

1− 2hx+ h2=

∞∑n=0

hnPn(x); h ∈ C; |h| < 1; x ∈ [−1, 1]. (2.25)

F (h, x) se llama funcion generatriz de los Pn(x), y como veremos enseguida tienemuchas aplicaciones.

Por ejemplo, comparando el (conocido) desarrollo:

(1 + h2)−1/2 = 1− 1

2h2 +

3

8h4 + · · ·+ (−1)n1 · 3 · · · (2n− 1)

2nn!h2n + · · · ; |h| < 1,

con la Rel. (2.25) para x = 0, vemos que:

P0(0) = 1; P2n+1(0) = 0; para n = 0, 1, 2, · · ·

P2n(0) = (−1)n1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nn!; para n = 1, 2, 3, · · · .

(2.26)

Comentario 2.7. Sean dos vectores r1 y r2 de R3, de modulos r1 ≡ |r1|; r2 ≡ |r2|,los cuales forman un angulo γ ∈ [0, π] entre sı (ver fig. 1).

Adoptemos la notacion (muy comun):

r< ≡ mın r1, r2 ; r> ≡ max r1, r2. (2.27)

Debemos tener que r< = 0, pues el angulo γ se supone definido.Entonces:

|r1 − r2| =√r21 + r22 − 2r1r2 cos γ =

r1

√1 +

(r2r1

)2− 2

(r2r1

)cos γ; para r2 ≤ r1

r2

√1 +

(r1r2

)2− 2

(r1r2

)cos γ; para r1 ≤ r2,

o sea:

|r1 − r2| = r>

√1 +

(r<r>

)2

− 2

(r<r>

)cos γ; r< > 0, γ ∈ [0, π]. (2.28)


-

6

:γ

Z

Y

X

r1

r2

Figura 1. Relacion (2.29)

Por lo tanto, si r1 = r2, al usar (2.25) y (2.28) obtenemos:

1

|r1 − r2|=

1

r>

√1 +

(r<r>

)2− 2

(r<r>

)cos γ

=1

r>

∞∑n=0

(r<r>

)nPn(cos γ).

Hemos obtenido entonces que:

1

|r1 − r2|=

∞∑n=0

rn<rn+1>

Pn(cos γ); 0 < r< < r>, γ ∈ [0, π]. (2.29)

Comentario 2.8. A partir de la Rel. (2.25) vamos a deducir algunas propiedades,genericamente llamadas relaciones de recurrencia. Tenemos que:

(n+ 1)Pn+1(z)− (2n+ 1)zPn(z) + nPn−1(z) = 0; ∀n ≥ 1. (2.30)

En efecto:∂F (h, x)

∂h=

x− h

1− 2hx+ h2F (h, x); (2.31)

esto es, (1− 2hx+ h2)∂F∂h

= (x− h)F . Igualando los coeficientes de hn en ambos lados deesta expresion, obtenemos:

(n+ 1)Pn+1(x)− 2xnPn(x) + (n− 1)Pn−1(x) = xPn(x)− Pn−1(x),

la cual implica a la Rel. (2.30) por continuacion analıtica.De la Rel. (2.3) tenemos que: P−1(z) = P0(z), y podemos reescribir a la Rel (2.30),

ası (ver las expresiones de P0 y de P1 en (2.38)):

(2n+ 1)zPn(z) = (n+ 1)Pn+1(z) + nPn−1(z); ∀n ≥ 0. (2.32)


Si derivamos a la Rel. (2.25) respecto a x, obtenemos (1 − 2hx + h2)∂F∂x

= hF , de dondeconcluimos, por continuacion analıtica, que:

P ′n(z)− 2zP ′

n−1(z) + P ′n−2(z) = Pn−1(z); n ≥ 1. (2.33)

De las Rels. (2.30) y (2.33) se deducen las siguientes relaciones de recurrencia:

P ′n+1(z)− zP ′

n(z) = (n+ 1)Pn(z); n ≥ 0. (2.34)

zP ′n(z)− P ′

n−1(z) = nPn(z); n ≥ 0. (2.35)

P ′n+1(z)− P ′

n−1(z) = (2n+ 1)Pn(z); n ≥ 0. (2.36)

(z2 − 1)P ′n(z) = nzPn(z)− nPn−1(z); n ≥ 0. (2.37)

Comentario 2.9. De la Rel. (2.25) observamos que F (0, x) = P0(x) = 1, lo queimplica por continuacion analıtica que P0(z) = 1, ∀z ∈ C. Ademas, de la Rel. (2.31) y

(2.25) obtenemos que P1(x) = ∂F (h,x)∂h

∣∣∣h=0

= x, y por continuacion analıtica obtenemos

P1(z) = z. Con la relacion de recurrencia (2.30) obtenemos los demas Pn’s. Algunos deellos son:

P0(z) = 1; P1(z) = z;

P2(z) =1

2(3z2 − 1); P3(z) =

1

2(5z3 − 3z);

P4(z) =1

8(35z4 − 30z2 + 3); P5(z) =

1

8(63z5 − 70z3 + 15z).

(2.38)

Comentario 2.10. Queremos demostrar que en z = x ∈ [−1, 1]:∫ 1

−1

Pn(x)Pn′(x)dx =2

2n+ 1δnn′ ; n, n′ = 0, 1, 2, · · · . (2.39)

Para n = n′ ya sabemos que (2.39) es valida puesto que los Pn’s son las autofunciones(no degeneradas) de un P.S-L. (autoadjunto), (ver 2.3). Para n = n′, probemos (2.39) por

induccion. Para n = 0:∫ 1

−1[P0(x)]

2dx = 2, ya que P0(x) = 1. Ademas:∫ 1

−1[P1(x)]

2dx = 23,

ya que P1(x) = x.Multiplicamos a la Rel. (2.30) por Pn+1(x) e integremos:∫ 1

−1

Pn+1(x)Pn+1(x)dx =2n+ 1

n+ 1

∫ 1

−1

xPn+1(x)Pn(x)dx−n

n+ 1

∫ 1

−1

Pn+1(x)Pn−1(x)dx.

(2.40)La ultima integral se anula. Al hacer n→ n+1 en la Rel. (2.30) obtenemos xPn+1(x) quesustituimos en la Rel. (2.40). Tendremos:∫ 1

−1

[Pn+1(x)]2dx =

2n+ 1

n+ 1

∫ 1

−1

[n+ 2

2n+ 3Pn+2(x) +

n+ 1

2n+ 3Pn(x)

]Pn(x)

=2n+ 1

2n+ 3

∫ 1

−1

[Pn(x)]2dx =

2

2n+ 3,

(2.41)

3. LA EDOL ASOCIADA DE LEGENDRE 139

donde hemos supuesto la validez de (2.39) para n (con lo cual hemos probado la validezde (2.39) para n+ 1).

Los Pn’s no estan normalizados, siendo las funciones√

2n+12Pn(x) normalizadas. Como

los Pn’s son completos en L2(−1, 1), (ver 2.3) tendremos que:

f(x) =∞∑n=0

⟨Pn| f⟩2n+ 1

2Pn(x); ∀f ∈ L2(−1, 1). (2.42)

3. La EDOL Asociada de Legendre

Comentario 3.1. Consideraremos a la EDOL Asociada de Legendre, dada por:

(1− x2)ψ′′(x)− 2xψ′(x) +

[ν(ν + 1)− m2

1− x2

]ψ(x) = 0;

x ∈ (−1, 1); ν ∈ C; m = 0,±1,±2, · · · .(3.1)

Las restricciones que imponemos a la EDOL (3.1) se hacen por razones de brevedadpudiendo encontrarse en la literatura la extension al caso complejo (mucho cuidado con lasdefiniciones en el plano complejo, ya que difieren del caso x ∈ (−1, 1)). Como m apareceal cuadrado en (3.1), consideraremos el caso m > 0 extendiendo luego los resultados alcaso m < 0 (el caso m = 0 corresponde a la EDOL de Legendre que ya hemos estudiado).Para el solo proposito del estudio de las soluciones de la EDOL (3.1) no tiene interes elseguir considerando el caso m < 0; sin embargo, es importante hacerlo para estudiar ladegeneracion de los autovalores del cuadrado del momento angular, p. ej.; ver seccion 4.

Si en (3.1) hacemos el cambio:

ψ(x) = (1− x2)m/2φ

(1− x

2

); y =

1− x

2, (3.2)

obtenemos a la EDOL Hipergeometrica:

y(1− y)φ′′(y) + (m+ 1)− [(−ν +m) + (ν + 1 +m) + 1]yφ′(y)

− (m− ν)(m+ ν + 1)φ(y) = 0,(3.3)

siendo φ(y) = F (−ν+m, ν+1+m;m+1; y) una de las soluciones de la EDOL (3.3). Porlo tanto, una solucion de la EDOL (3.1) que denotaremos por Pm

ν y que se llama funcionde Legendre de grado ν y orden m, viene dada por:

Pmν (x) = (−1)m

Γ(ν +m+ 1)

2mΓ(ν −m+ 1)m!(1− x2)m/2F

(m− ν,m+ ν + 1;m+ 1;

1− x

2

);

x ∈ (−1, 1]; ν ∈ C; m = 0, 1, 2, · · · .(3.4)

De (3.4) y (2.2) vemos que:

P 0ν (x) = Pν(x); ν ∈ C, (3.5)

como debe ser.


Como sen π(ν −m+ 1) = (−1)msen π(−ν), usando reiteradamente a la Rel. C-(2.12),obtenemos que:

1

Γ(ν −m+ 1)=

sen π(ν −m+ 1)

πΓ(m− ν) = (−1)mΓ(m− ν)

sen π(−ν)π

=(−1)mΓ(m− ν)

Γ(−ν)Γ(ν + 1).

(3.6)

Usando (3.6), (1.2) y (2.2) obtenemos de (3.4) que:

Pmν (x) = (−1)m(1− x2)m/2

dm

dxmF

(−ν, ν + 1; 1;

1− x

2

)= (−1)m(1− x2)m/2

dmPν(x)

dxm;

x ∈ (−1, 1]; ν ∈ C; m = 0, 1, 2, · · · .(3.7)

En la literatura se consiguen definiciones diferentes de Pmν (p. ej., algunos autores no

usan el (−1)m en la definicion). Una segunda solucion de la EDOL (3.1) podra ser halladacon 3-(3.16).

De (2.3) y (3.7) obtenemos:

Pm−ν−1(x) = Pm

ν (x); ∀ν ∈ C; m = 0, 1, 2, · · · . (3.8)

Comentario 3.2. De (3.4), (3.5) y (2.4), se concluye que:

Pmν (1) = 0, m = 1, 2, 3, · · · ; P 0

ν (1) = Pν(1) = 1; ∀ν ∈ C. (3.9)

Para ν ∈ R; ν = 0,±1,±2, · · · ; m = 1, 2, · · · ; de (3.4), (1.7) y C-(2.12) tenemos que:

Pmν (x) ∼

x→−1x∈(−1,0)

−2m/2(m− 1)!senπν

π(1 + x)−m/2;

ν ∈ R; ν = 0,±1,±2,±3 · · · ; m = 1, 2, 3 · · · ,(3.10)

donde hemos usado al hecho que: (1− x2)m/2 = (1+ x)m/2(1− x)m/2 ∼x→−1

2m/2(1 + x)m/2.

Si ν = n = 0, 1, 2, · · · , vemos de la Rel. (3.7) que Pmn (x) sera una solucion no trivial de

la EDOL (3.1), solamente si m ≤ n (ya que Pn es un polinomio de grado n y P0(x) = 1);o sea: Pm

n (x) = 0 si m > n. En el caso: m ≤ n, la solucion vendra dada por:

Pmn (x) = (−1)m(1− x2)m/2

dm

dxmPn(x);

n = 0, 1, 2, · · · ; m = 0, 1, 2, · · · , n; x ∈ [−1, 1].(3.11)

Aunque Pmn es un polinomio de grado n si m es par (m ≤ n), el conjunto de los

Pmn ’s NO es un conjunto de polinomios; como a veces se les llama, abusando del lenguaje,

en la literatura.De la Rel. (3.11) obtenemos que:

Pmn (x) ∼

x→−1x∈(−1,0)

(−1)mKmn (1 + x)m/2; Km

n ≡ 2m/2dm

dxmPn(x)

∣∣∣∣x=−1

;

n = 0, 1, 2, · · · ; m = 0, 1, 2, · · · , n.(3.12)


ya que los Pn’s son polinomios y tienen un buen comportamiento en x = −1.De (3.12), (2.21) y (2.4), obtenemos que:

Pmn (−1) = 0, m ≤ n, m, n ∈ Z+; P 0

n(−1) = Pn(−1) = (−1)n, n ∈ N. (3.13)

Estudiemos el comportamiento de la segunda solucion ψ2(x) (dada por 3-(3.16)) parax → 1. De la Rel. (3.4) tenemos que, excepto por una constante, Pm

ν (x) ∼x→1

(−1)m(1 −x2)m/2; ∀ν ∈ C, ∀m ∈ Z+ (el caso m = 0 ya fue estudiado). Entonces, como P (x) = −2x

1−x2

(el “P” de la forma normal definido en 2-(4.3)), tendremos que∫ yP (t)dt = ln (1− y2), y

por lo tanto e− ln (1−y2) = 11−y2 ; entonces ψ2(x) ∼

x→1(−1)m(1− x2)m/2

∫ x dy(1−y2)m+1 .

En tablas conseguiremos que (tambien se puede verificar directamente):∫ x dy

(1− y2)m+1=

1

2m

x

(1− x2)m+

2m− 1

2m

∫ x dy

(1− y2)m. (3.14)

Usando reiteradamente a (3.14) llegamos a una integral del tipo∫ x dy

1−y2 = 12ln 1+x

1−x .

Por lo tanto, los terminos de ψ2(x) seran del tipo 1(1−x2)m/2−k , k = 0, 1, 2, · · · ; hasta

(1 − x2)m/2 ln (1− x); siendo el primer termino (con k = 0) el dominante en x = 1.Entonces:

ψ2(x) ∼x→1x∈(0,1)

(−1)mAmν (1− x)−m/2;

Amν ≡ const.; ν ∈ C; m = 1, 2, 3, · · · .(3.15)

Comentario 3.3. De las Rels. (3.11) y (2.21), observamos que:

Pmn (−x) = (−1)n+mPm

n (x), m, n = 0, 1, 2, · · · ; m ≤ n. (3.16)

Como en la EDOL (3.1) aparece m2, una solucion de (3.1) para m = −1,−2, · · ·no sera mas que el producto de una constante por cualquier solucion corrrespondientepara m = 1, 2, · · · . Restrinjamos la discusion al caso ν = n ∈ N. Se tendra enton-ces: Pm

n (x) = 0 si m ∈ Z y |m| > n. La escogencia de la constante es arbitraria, p. ej.,

la escogencia P−mn (x) = Pm

n (x) podrıa parecernos la mas natural (en la literatura se en-cuentra tal definicion). Sin embargo, de las Rels. (2.20) y (3.11) observamos que param,n = 0, 1, 2, · · · ; m ≤ n, se obtiene la interesante relacion:

Pmn (x) = (−1)m

(1− x2)m/2

2nn!

dn+m

dxn+m(x2 − 1)n;

m = 0,±1,±2, · · · ,±n; n = 0, 1, 2, · · · ,(3.17)

cuyo lado derecho tiene sentido aun si m = −1,−2, · · · ,−n (hecho que ya se ha indicadoen esa relacion). Se puede probar (ver problemas) que partiendo de (3.17), se obtiene:

P−mn (x) = (−1)m

(n−m)!

(n+m)!Pmn (x);

n = 0, 1, 2, · · · ; m = 0, 1, 2, · · · , n,(3.18)

por lo que es consistente el definir a P−mn ;m = 1, 2, 3, · · · , n; con la Rel. (3.17) o de manera

equivalente con la (3.18). Definicion que adoptamos de una vez.


De la Rel. (3.17) resulta transparente que los Pmn (x), con x ∈ [−1, 1], son funciones a

valores reales.

Comentario 3.4. Las formulas (3.11); (2.30); (2.34) y (2.35) nos permiten hallarrelaciones de recurrencia.

En efecto, derivemos la expresion (2.30)m veces y multipliquemos la expresion halladapor (−1)m(1− x2)m/2. Obtendremos, al usar la formula de Leibnitz (ver problemas) que:

(2n+ 1)xPmn (x)− (2n+ 1)m

√1− x2Pm−1

n (x) = (n+ 1)Pmn+1(x) + nPm

n−1(x);

m ∈ Z+, m ≤ n− 1.(3.19)

Derivando (2.35) y (2.34), (m − 1) veces y multiplicando por (−1)m(1 − x2)m/2, ob-tenemos:

(n−m+ 1)√1− x2Pm−1

n (x)− Pmn−1(x) = −xPm

n (x); m ∈ Z+, m ≤ n− 1, (3.20)

Pmn+1(x) = −(n+m)

√1− x2Pm−1

n (x) + xPmn (x); m ∈ Z+, m ≤ n. (3.21)

Eliminando√1− x2Pm−1

n de (3.19) y (3.20), obtenemos:

(2n+ 1)xPmn (x) = (n−m+ 1)Pm

n+1(x) + (n+m)Pmn−1(x); m ∈ N, m ≤ n− 1. (3.22)

Se pueden deducir muchas otras relaciones de este tipo.Es posible extender los limites de validez de estas relaciones. P. ej., como: P 0

−1(x) =P−1(x) = 1, al notarse que: P n

n−1(x) = 0 si n = 0, tendremos que la Rel. (3.22) sera validapara: 0 ≤ m ≤ n; es decir, quedan incluidos los valores: m = n, n ≥ 0. Al notarse que:P−nn−1(x) = 0 si n = 0, y al usarse la Rel. (3.18), se comprueba que la Rel. (3.22) tambien

es valida para valores negativos de m: m = −1, · · · ,−n (n ≥ 1). En resumen, se tiene:

(2n+ 1)xPmn (x) = (n−m+ 1)Pm

n+1(x) + (n+m)Pmn−1(x);

n ∈ N, m ∈ Z, 0 ≤ |m| ≤ n(P 0−1(x) = 1, P±n

n−1(x) = 0 si n = 0).

(3.23)

Comentario 3.5. Los Pmn ’s, con m ≥ 0, se obtienen como soluciones del P.S-L.

correspondiente a la EDOL (3.1).Sabemos que w0(x) = 1, y como p(x) = 1− x2 se anula en los extremos, estamos en

presencia de un P.S-L.S.. Como estamos considerando un problema autoadjunto tendre-mos que los autovalores λ ≡ −ν(ν +1) son reales, mas aun λ ≤ 0 y por lo tanto ν es real.Consideraremos el caso m = 0 ya que el caso m = 0 ha sido considerado anteriormente.En este caso, la solucion general es c1P

mν (x)+ c2ψ2(x). De (3.15) vemos que ψ2 /∈ L2(c, 1),

c ∈ (−1, 1), para ningun valor real de ν; y de (3.4) que Pmν ∈ L2(c, 1); por lo tanto, forzo-

samente c2 = 0. Por otro lado, de (3.10) vemos que Pmν /∈ L2(−1, c) si ν = 0,±1,±2, · · · .

En virtud de (3.8) observamos que las soluciones linealmente independientes son Pmn con

n = 0, 1, 2, · · · en cuyo caso n ≥ m para no tener solucion trivial . De (3.12) vemos quePmn ∈ L2(−1, 1).

La condicion de frontera que hemos impuesto; esto es, la pertenenecia a L2(−1, 1);implica la validez de la Rel. 4-(2.11), es decir, p(±1)Pm

n (±1)Pm′

n′ (±1) = 0.


Como Pn tiene n ceros en (−1, 1), dmPn(x)dxm

, m ≤ n, tendra (n−m) ceros en (−1, 1), ypodremos decir, en virtud de (3.7), (3.9) y (3.13), que:

Pmn (x); n = 1, 2, · · · ; m = 1, 2, · · · , n;

tiene (n−m) ceros en (−1, 1) y (n−m+ 2) ceros en [−1, 1].(3.24)

Comentario 3.6. Por induccion podemos probar que:∫ 1

−1

Pmn (x)Pm

n′ (x)dx =2

(2n+ 1)

(n+m)!

(n−m)!δnn′ ;

n, n′ = 0, 1, 2, · · · ; m = 0,±1,±2, · · · ,±n.(3.25)

En efecto, para m = 0 es cierto por (2.39). Para m > 0, de la Rel. (3.11) obtenemosque:

Pm+1n (x) = (−1)m+1(1− x2)(m+1)/2 d

dx

[dm

dxmPn(x)

]= −(1− x2)1/2

dPmn (x)

dx− mx

(1− x2)1/2Pmn (x).

(3.26)

Al usar (3.26), obtenemos que:∫ 1

−1

dxPm+1n (x)Pm+1

n′ (x) =

∫ 1

−1

dx(1− x2)dPm

n

dx

dPmn′

dx+m

∫ 1

−1

x

[Pmn

dPmn′

dx+ Pm

n′dPm

n

dx

]dx

+m2

∫ 1

−1

(1

1− x2− 1

)Pmn P

mn′ dx.

(3.27)

Integrando por partes, y usando a las Rels. (3.9) y (3.13) obtenemos:∫ 1

−1

x

[Pmn

dPmn′

dx+ Pm

n′dPm

n

dx

]dx =

∫ 1

−1

xd

dx(Pm

n Pmn′ )dx = −

∫ 1

−1

Pmn P

mn′ dx. (3.28)

Por otra parte, al integrar por partes usando a las Rels. (3.9) y (3.13), y usando luegoa la Rel. (3.1) obtenemos:∫ 1

−1

(1− x2)dPm

n

dx

dPmn′

dxdx = (1− x2)

dPmn

dxPmn′

∣∣∣∣1−1

−∫ 1

−1

dxPmn′

[−2x

dPmn

dx+ (1− x2)

d2Pmn

dx2

]=

∫ 1

−1

Pmn′

[(n+ 1)n− m2

1− x2

]Pmn dx.

(3.29)

Al sustituir los resultados (3.28) y (3.29) en la Rel. (3.27), obtenemos:∫ 1

−1

dxPm+1n Pm+1

n′ = [n(n+ 1)−m2 −m]

∫ 1

−1

Pmn P

mn′ dx. (3.30)

Si suponemos que (3.25) es cierto para m, de la Rel. (3.30) vemos que tambien es ciertapara m+ 1 (al sustituir el resultado (3.25) en (3.30)).

Finalmente vemos que (3.25) es valida para m = −1,−2, · · · , al usar la Rel. (3.18).


Comentario 3.7. Del hecho de que los Pn’s son completos en L2(−1, 1) es facildemostrar que para un m dado fijo, Pm

n , n = m,m + 1, · · · es un conjunto completo enL2(−1, 1). Si ∀ψ ∈ L2(−1, 1) tenemos que ⟨Pm

n |ψ⟩ = 0 ∀n = m,m + 1,m + 2, · · · ,⇒ψ(x) = 0 salvo quizas en un conjunto de medida nula, esto significara que para m ≥ 0 losPmn ’s son un conjunto ortonormal completo en L2(−1, 1) (ver Def. 1-4.7).

Supongamos entonces que ⟨Pmn |ψ⟩ = 0. Multiplicando (3.22) por ψ(x) e integran-

do entre −1 y 1, obtenemos ⟨x|Pmn ψ⟩ = 0. Usando este metodo k veces obtenemos que⟨

xk∣∣Pm

n ψ⟩= 0. Multiplicando

⟨xk∣∣Pm

n ψ⟩por los coeficientes adecuados y sumando obte-

nemos que ⟨Pl|Pmn ψ⟩ = 0, l = 0, 1, 2, · · · , lo cual implica (ya que los Pl’s son una base) que

Pmn (x)ψ(x) = 0 (salvo quizas en un conjunto de medida nula). En virtud de (3.24) ten-

dremos entonces que ψ = 0 salvo quizas en un conjunto de medida nula (como queriamosdemostrar).

Para cada m (m = 0, 1, 2, · · · ), la validez de la completitud de los Pmn ’s se expresa:

ψ(x) =∞∑n=m

⟨Pmn |ψ⟩

⟨Pmn |Pm

n ⟩Pmn (x); ψ ∈ L2(−1, 1), (3.31)

donde hemos dividido por ⟨Pmn |Pm

n ⟩ ya que los Pmn ’s no estan normalizados (ver (3.25)).

4. Armonicos Esfericos

Comentario 4.1. Son de gran importancia los armonicos esfericos Y ml , los cuales

vienen definidos por la expresion:

Y ml (θ, ϕ) ≡

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ)eimϕ;

0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π; l = 0, 1, 2, · · · ; m = 0,±1,±2, · · · ,±l.(4.1)

De la Rel. (4.1) y de 3.3, observamos que:

Y −ml (θ, ϕ) = (−1)mY m

l (θ, ϕ). (4.2)

Como cos (π − θ) = − cos θ; eim(ϕ+π) = (−1)meimϕ; de (4.1) y (3.16), obtenemos que:

Y ml (π − θ, ϕ+ π) = (−1)lY m

l (θ, ϕ). (4.3)

En virtud de la Rel. (4.3) decimos que la paridad de Y ml es (−1)l ya que el hacer

r → −r (r es un vector posicion; r = 0) corresponde al cambio (r, θ, ϕ) → (r, π− θ, ϕ+ π)en coordenadas esfericas.

De la Def. (4.1); del hecho que 12π

∫ 2π

0ei(m−m′)ϕdϕ = δmm′ ; y de (3.25) obtenemos que:∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sen θY ml (θ, ϕ)Y m′

l′ (θ, ϕ)dθ = δll′δmm′ ;

l, l′ = 0, 1, 2, · · · ; m(m′) = 0,±1,±2, · · · ,±l(l′).(4.4)

4. ARMONICOS ESFERICOS 145

De (4.1) observamos que:

Y 0l (θ, ϕ) =

√2l + 1

4πPl(cos θ), (4.5)

y que:

Y ml (θ, ϕ)e−imϕ = Y m

l (θ, 0). (4.6)

De las Rels. (4.1), (3.11) y (2.38) se puede establecer que:

Y 00 (θ, ϕ) =

1√4π

Y 11 (θ, ϕ) = −

√3

8πsen θeiϕ

Y 01 (θ, ϕ) = −

√3

4πcos θ

Y 22 (θ, ϕ) =

1

4

√15

2πsen2 θe2iϕ

Y 12 (θ, ϕ) = −

√15

8πsen θ cos θeiϕ

Y 02 (θ, ϕ) =

√5

4π

(3

2cos2 θ − 1

2

)Y 33 (θ, ϕ) = −1

4

√35

4πsen3 θe3iϕ

Y 23 (θ, ϕ) =

1

4

√105

2πsen2 θ cos θe2iϕ

Y 13 (θ, ϕ) = −1

4

√21

4πsen θ

(5 cos2 θ − 1

)eiϕ

Y 03 (θ, ϕ) =

√7

4π

(5

2cos3 θ − 3

2cos θ

).

(4.7)

Las relaciones para m < 0 salen automaticamente de la Rel. (4.2).

Comentario 4.2. Las relaciones: 1-(15.83), 1-(15.84) y A-(2.8), con h ≡ 0; la sub-seccion A-2.5; junto con las relaciones: (3.1), (3.7), (4.1) y (4.4); nos muestran que Y m

l

son autofunciones ortonormales simultaneas del cuadrado del momento angular orbital yde su componente z, de autovalores ~2l(l + 1) y m~ respectivamente. Esto es:

L2Y ml (θ, ϕ) = ~2l(l + 1)Y m

l (θ, ϕ),

LzYml (θ, ϕ) = m~Y m

l (θ, ϕ),

l = 0, 1, 2 · · · ; m = 0,±1, · · · ,±l.(4.8)

Tambien se tiene (ver 1.P.44): L2zY

ml (θ, ϕ) = m2~2Y m

l (θ, ϕ).


El resultado (4.8) se ha obtenido al considerar problemas de Sturm-Liouville; verseccion 4-5, 2.3 y 3.5. Es interesante notar que para m = 0 (ver 2.3) la condicion defrontera impuesta fue la de acotacion, la cual no es una condicion fısica obvia en mecanicacuantica (ver 4-3) como sı lo es la pertenencia al espacio de Hilbert. Esta dificultad nopuede resolverse en el marco que estamos trabajando; requiere considerar a la restriccion deL2 enH2

0 (−1, 1) para luego extenderla a un dominio en el cual el operador sea autoadjunto,tal como senalabamos en 4-1.1.

Para la solucion de este problema de autovalores, se puede recurrir a la interesantetecnica de los llamados operadores de creacion y de aniquilacion (tambien llamados: dedestruccion), que no vamos a desarrollar en este texto; ver [8] y [12], p. ej.

Finalmente, tambien se puede deducir el importante resultado:

L±Yml (θ, ϕ) = [l(l + 1)−m(m± 1)]1/2Y m±1

l (θ, ϕ), (4.9)

donde L+ y L− se encuentran definidos en 1.P.64.

Comentario 4.3. Los 2l+ 1 polinomios (en r) de grado l (l = 0, 1, 2, · · · ), definidospor:

Yml (r) ≡ rlY ml (θ, ϕ), m = 0,±1, · · · ,±l, (4.10)

llamados polinomios armonicos, satisfacen a:

∆Yml (r) = 0, (4.11)

lo cual resulta obvio de las Rels. 1-(15.85) y (4.8).

Comentario 4.4. La completitud de los eimϕ, m = 0,±1,±2, · · · (ver 4-5), unida ala completitud de los Pm

n , n = m,m + 1, · · · (ver 3.7), nos llevan al resultado de que losarmonicos esfericos Y m

l son un conjunto ortonormal (ver (4.4)) y completo en el espaciode Hilbert:

L2(Ω) =

g(θ, ϕ)

∣∣∣∣0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π;

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sen θ |g(θ, ϕ)|2 dθ <∞. (4.12)

Aunque es de esperarse esta completitud de los Y ml ’s, la demostracion tiene sus suti-

lezas matematicas (hay que considerar productos tensoriales de espacios de Hilbert, p. ej)en las cuales no entraremos (ver p. ej., capıtulo II, Theorem 6.11. y 7.6. en [89]).

Tendremos entonces:

g(θ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

⟨Y ml | g⟩Y m

l (θ, ϕ); ∀g ∈ L2(Ω), (4.13)

siendo:

⟨Y ml | g⟩ =

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sen θYm

l (θ, ϕ)g(θ, ϕ)dθ. (4.14)

De manera equivalente, con la relacion de clausura generalizada podremos expresaresa completitud:

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ml (θ2, ϕ2)Y

ml (θ1, ϕ1) = δ(ϕ1 − ϕ2)δ(cos θ1 − cos θ2), (4.15)

4. ARMONICOS ESFERICOS 147

donde usamos a la Rel. B-(3.4) en su parte angular.Tomando en cuenta las Rels. (2.4), (3.9) y (4.5), tendremos de (4.13) que:

g(θ, ϕ)|θ=0 =∞∑l=0

⟨Y 0l

∣∣ g⟩√2l + 1

4π; ∀g ∈ L2(Ω), (4.16)

donde: ⟨Y 0l

∣∣ g⟩ =√2l + 1

4π

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sen θPl(cos θ)g(θ, ϕ)dθ. (4.17)

Comentario 4.5. Expresemos un resultado muy importante llamado teorema deadicion para los armonicos esfericos. Para ello consideremos a la fig. 2. El anguloγ ∈ [0, π] corresponde al angulo entre dos direcciones en el espacio; determinadas por:(θ1, ϕ1) y (θ2, ϕ2). Ese teorema dice que:

-

6

:γ

Z

Y

X

θ1

θ2

ϕ2

ϕ1

r1

r2

Figura 2. Teorema de Adicion para los Armonicos Esfericos

Pl(cos γ) =4π

2l + 1

l∑m=−l

Y ml (θ2, ϕ2)Y

ml (θ1, ϕ1); γ ∈ [0, π], l ∈ N. (4.18)

Para probar este teorema basta con igualar la Rel. 8-(10.30) (que verificaremos luego)y la Rel. (2.29); efectuando cambios de notacion obvios.

A veces, el teorema de adicion se expresa en terminos de las funciones de Legendreasociadas. En efecto, usando las Rels. (3.18), (4.1), (4.2) y (4.5), tenemos:

Pl(cos γ) = Pl(cos θ1)Pl(cos θ2) + 2l∑

m=1

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1)P

ml (cos θ2) cos[m(ϕ2 − ϕ1)].

(4.19)


Para γ = 0, como Pl(1) = 1, de (4.18) obtenemos:

l∑m=−l

|Y ml (θ, ϕ)|2 = 2l + 1

4π, (4.20)

donde hemos tomado θ1 = θ2 ≡ θ, ϕ1 = ϕ2 ≡ ϕ.Como P1(x) = x, P 1

1 (x) = −(1− x2)1/2, tendremos, al tomar l = 1 en la Rel. (4.19),que:

cos γ = cos θ1 cos θ2 + sen θ1sen θ2 cos (ϕ2 − ϕ1), (4.21)

relacion que tambien se puede deducir geometricamente muy facilmente.

5. La EDOL Hipergeometrica Confluente

Comentario 5.1. En 3-5 y 3-8, ya hemos discutido las soluciones de la EDOL Hi-pergeometrica Confluente:

zφ′′(z) + (c− z)φ′(z)− aφ(z) = 0. (5.1)

De la Rel. 3-(8.11) vemos que haciendo el cambio 1− t = u, obtenemos:∫ 1

0

eztta−1(1− t)c−a−1dt = ez∫ 1

0

e−zuuc−a−1(1− u)a−1du, (5.2)

de donde se sigue que M(a, c, z) = ezM(c − a, c,−z), valida para ℜc > ℜa > 0. Sinembargo, por continuacion analıtica, es una relacion valida ∀a y ∀c, con c = 0,−1,−2, · · · .Esto es, hemos obtenido la llamada transformacion de Kummer:

M(a, c, z) = ezM(c− a, c,−z); a, c, z ∈ C; c = 0,−1,−2, · · · . (5.3)

Comentario 5.2. De la relacion 3-(8.11), y de la continuacion analıtica, es inmediatoprobar que:

dkM(a, c, z)

dzk=

Γ(a+ k)Γ(c)

Γ(a)Γ(c+ k)M(a+ k, c+ k, z);

a, c, z ∈ C; c = 0,−1,−2, · · · .(5.4)

Comentario 5.3. De la expresion de M en serie, al comparar coeficientes de igualpotencia en z, se pueden deducir las siguientes relaciones:

(1 + a− c)M(a,c, z)− aM(a+ 1, c, z) + (c− 1)M(a, c− 1, z) = 0;

a, c, z ∈ C; c = 1, 0,−1,−2, · · · , (5.5)

cM(a, c, z)− cM(a− 1, c, z)− zM(a, c+ 1, z) = 0;

a, c, z ∈ C; c = 0,−1,−2, · · · . (5.6)

De las Rels. (5.5) y (5.6) se puede deducir que:

c(c− 1)M(a− 1, c−1, z) = c(c− 1)M(a, c, z) + z(a− c)M(a, c+ 1, z) = 0;

a, c, z ∈ C; c = 1, 0,−1,−2, · · · . (5.7)

5. LA EDOL HIPERGEOMETRICA CONFLUENTE 149

Comentario 5.4. Consideremos el desarrollo asintotico deM(a, c, z) para z = x ∈ Ren ±∞. De 3-(8.11) obtenemos:

M(a, c, x) =Γ(c)

Γ(a)Γ(c− a)

[∫ 1

−∞extta−1(1− t)c−a−1dt−

∫ 0

−∞extta−1(1− t)c−a−1dt

].

(5.8)Efectuando el cambio t = 1 − y

xy t = − y

xen la primera y segunda integral respecti-

vamente (como x es real, t sigue siendo real) obtenemos:

M(a, c, x) =Γ(c)

Γ(a)Γ(c− a)

[xa−cex

∫ ∞

0

e−yyc−a−1(1− y

x

)a−1

dy

+(−x)−a∫ ∞

0

e−yya−1(1 +

y

x

)c−a−1

dy

].

(5.9)

Cuando x → ±∞, hacemos(1± y

x

)∼ 1 (podrıamos desarrollar

(1± y

x

)teniendose

entonces correcciones del orden x−k en el desarrollo asintotico que vamos a obtener), conlo cual, al usar C-(2.1) hallamos la expresion:

M(a, c, x) ∼ Γ(c)

Γ(a)Γ(c− a)

[xa−cexΓ(c− a) + (−x)−aΓ(a)

]. (5.10)

De la Rel. (5.10) obtenemos (ver lo que sigue despues de (5.13)):

M(a, c, x) ∼x→∞x∈(0,∞)

Γ(c)

Γ(a)xa−cex, a, c ∈ C; a, c = 0,−1,−2, · · · , (5.11)

M(a, c, x) ∼x→−∞x∈(−∞,0)

Γ(c)

Γ(c− a)|x|−a , a, c ∈ C; c = 0,−1,−2, · · · , (5.12)

y como 1Γ(a)

= 0 para a = 0,−1,−2, · · · , tambien obtenemos de la Rel. (5.10) que:

M(a, c, x) ∼x→∞x∈(0,∞)

Γ(c)

Γ(c− a)(−x)−a, a = 0,−1,−2, · · · ; c ∈ C; c = 0,−1,−2, · · · ,

(5.13)resultado obvio ya que para a = 0,−1,−2, · · · ; M es un polinomio de grado |a|.

Las Rels. (5.11), (5.12) y (5.13) han sido deducidas en realidad para ℜc > ℜa > 0.Sin embargo, podemos extender esas formulas a un rango mayor de validez (como ya seha indicado en las Rels. (5.11), (5.12) y (5.13)) si usamos la Rel. (5.7). En efecto:

i. Si x ∈ R+, y a = 0,−1,−2, · · · (si a = 0,−1,−2, · · · , 1Γ(a)

= 0 y pasamos al caso

(5.13)), tendremos (si c = 0):

c(c− 1)M(a− 1, c− 1, x) ∼x→∞

c(c− 1)Γ(c)

Γ(a)xa−cex

+ x(a− c)Γ(c+ 1)

Γ(a)xa−c−1ex =

(a− 1)Γ(c+ 1)

Γ(a)xa−cex.

Entonces:

M(a− 1, c− 1, x) ∼x→∞

Γ(c− 1)

Γ(a− 1)exxa−c. (5.14)


La Rel. (5.14) nos indica que (5.11) es valida aun si ℜc > ℜa > −1, con a, c = 0.Usando reiteradamente a la Rel. (5.13) extendemos la region de validez de la relaciontal como esta indicado en (5.11).

ii. De igual manera, si (−x) ∈ R+; o si x ∈ R+ pero a = 0,−1,−2, · · · :

c(c− 1)M(a− 1, c− 1, x) ∼x→±∞

(c− 1)cΓ(c)

Γ(c− a)(−x)−a − (−x)(a− c)

Γ(c+ 1)

Γ(c+ 1− a)(−x)−a

= (−x)−(a−1)

[−(a− c)Γ(c+ 1)

Γ(c+ 1− a)+ c(c− 1)

Γ(c)

Γ(c− a)

1

(−x)

]∼

x→±∞

(c− a)Γ(c+ 1)

Γ(c+ 1− a)(−x)−(a−1) =

Γ(c+ 1)

Γ(c− a)(−x)−(a−1).

Esto es, si c = 0; ℜc > ℜa > −1:

M(a− 1, c− 1, x) ∼x→±∞

Γ(c− 1)

Γ(c− a)(−x)−(a−1). (5.15)

Comentario 5.5. El comportamiento asintotico de la funcion U(a, c, z), dada por3-(8.13) puede ser hallado (para z ≡ x ∈ R+) con el cambio xt → y, el cual proporciona,para ℜa > 0:

U(a, c, x) =x−a

Γ(a)

∫ ∞

0

e−yya−1(1 +

y

x

)c−a−1

dy. (5.16)

Procediendo como en (5.4), obtenemos:

U(a, c, x) ∼x→∞x∈(0,∞)

x−a; ℜa > 0, c ∈ C. (5.17)

La region de validez de (5.17) puede extenderse, pero no nos ocuparemos de ello.

Comentario 5.6. Analicemos ahora la solucion U(a, c, z) extendiendola analıtica-mente fuera del dominio ℜz > 0 y relacionandola con funciones hipergeometricas con-fluentes. De (5.17) y (5.11) es facil ver que el Wronskiano de M(a, c, z) y U(a, c, z) no seanula en general, y por lo tanto son dos soluciones linealmente independientes.

Si c no es un entero,M(a, c, z) y z1−cM(a−c+1, 2−c, z) forman una base de solucionesy por lo tanto, para ℜz > 0; ℜa > 0; c no entero; U(a, c, z) debe ser una combinacionlineal de estas funciones; esto es:

U(a, c, z) = αM(a, c, z) + βz1−cM(a− c+ 1, 2− c, z). (5.18)

Determinemos α y β. Al usar las Rels. (5.17), (5.11) y (5.18), notamos que los com-

portamientos asintoticos (para x→ ∞) x−a por un lado y exxa−c[α Γ(c)

Γ(a)+ β Γ(2−c)

Γ(a−c+1)

]por

el otro, son incompatibles, salvo que las constantes α y β cancelen el termino del corchete.Esto es:

α = − Γ(a)Γ(2− c)

Γ(c)Γ(a− c+ 1)β. (5.19)

Si ademas ℜc < 1, de (5.18) obtenemos que:

α = U(a, c, 0). (5.20)

6. LA EDOL GENERALIZADA DE LAGUERRE 151

Como ℜc < 1, resulta que la integral de la Rel. 3-(8.13) tambien esta definida para x = 0,y tenemos:

α = U(a, c, 0) =1

Γ(a)

∫ ∞

0

ta−1(1 + t)c−a−1dt. (5.21)

Haciendo el cambio 1 + t→ y, obtenemos:

α =1

Γ(a)B(1− c, a) =

Γ(1− c)

Γ(a− c+ 1), (5.22)

al usar C-(3.2) y C-(3.4).Hemos hallado los coeficientes α y β de la Rel. (5.18) bajo varias restricciones en los

coeficientes a, c, y en la variable z. Sin embargo, de la misma Rel. (5.18) es obvio quepodemos continuar analıticamente a la relacion ∀a, c ∈ C, con c no entero. Ademas sitomamos una rama en (−∞, 0], en el plano complejo C (debido a la parte z1−c), vemosque la Rel. (5.18) tambien es valida ∀z ∈ C, con −π < arg z ≤ π. Es mas, resulta (cosaque no probaremos) que al tomar lımites en la expresion (5.18), U(a, c, z) tambien estadefinida para c = 1, 2, 3, · · · . En definitiva, de esta discusion, y de las Rels. (5.18), (5.19),(5.22) y C-(2.11), obtenemos que:

U(a, c, z) =π

sen πc

[M(a, c, z)

Γ(a+ 1− c)Γ(c)− z1−c

M(a+ 1− c, 2− c, z)

Γ(a)Γ(2− c)

];

∀z ∈ C, con − π < arg z ≤ π; ∀a, c ∈ C, con c = 0,−1,−2, · · · .(5.23)

Tenemos que:

U

(a,

1

2, z2)

≡ π

[M(a, 1

2, z2)

Γ(a+ 12)Γ(1

2)− z

M(a+ 12, 32, z2)

Γ(a)Γ(32)

], es analıtica ∀a y ∀z ∈ C.

(5.24)A pesar de la notacion, U

(a, 1

2, z2)depende de z y no de z2; en general: U(a, 1

2, (−z)2)

= U(a, 12, z2). Es por ello que no se tiene posteriormente una aparente contradiccion entre

las Rels. (7.6) y (7.15).Tambien es importante notar que para a = ν + 1

2; c = 2ν +1; ν ∈ C, debido a la feliz

combinacion de las funciones gamma, la funcion:

U

(ν +

1

2, 2ν + 1, z

), es analıtica ∀z y ∀ν ∈ C, con − π < arg z ≤ π. (5.25)

6. La EDOL Generalizada de Laguerre

Comentario 6.1. Vamos a considerar a la EDOL generalizada de Laguerre, dadapor:

zφ′′(z) + (α + 1− z)φ′(z) + βφ(z) = 0, (6.1)

con β ∈ C; α ∈ R con α > −1; z ∈ C.La restriccion α > −1 (innecesaria para resolver a la EDOL (6.1)) la tomamos de una

vez ya que luego en ciertas expresiones de soluciones de (6.1) se usa dicha restriccion.La EDOL es una EDOL Hipergeometrica confluente y tiene una solucion M(−β, α+

1, z). Esta solucion, multiplicada por un coeficiente conveniente, se denomina funcion


generalizada de Laguerre, y viene definida por:

Lαβ(z) =Γ(α + 1 + β)

Γ(α + 1)Γ(β + 1)M(−β, α + 1, z), α > −1; β, z ∈ C. (6.2)

Para β = n = 0, 1, 2, · · · , obtenemos de la Rel. (6.2) polinomios (de grado n), llamadospolinomios generalizados de Laguerre:

Lαn(z) =Γ(α + 1 + n)

Γ(α + 1)n!M(−n, α + 1, z), α > −1; z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · . (6.3)

De nuevo, cuidado, ya que en la literatura se utilizan definiciones (y aun nombres)diferentes para estos polinomios. P. ej., para α = k ∈ N con k ≤ n, en [10] se usa lanotacion Lkn por lo que aquı designariamos: (−1)kn!Lkn−k. Nuestra definicion es semejantea la usada en: [7], [8], [11], [25], [33], [47], p. ej.

De (6.3) y 3-(5.3) podemos hallar el desarrollo de Lαn(z) en potencias de z. En efecto:

Lαn(z) =Γ(α + 1 + n)

Γ(α + 1)n!

Γ(α + 1)

Γ(−n)

n∑r=0

Γ(r − n)

Γ(α + 1 + r)

zr

r!=

n∑r=0

Γ(α + 1 + n)

Γ(α + 1 + r)

Γ(r − n)

Γ(−n)n!zr

r!.

(6.4)

Pero: lımϵ→0Γ(r−n+ϵ)Γ(−n+ϵ)n! =

(−n)(−n+1)···(−n+r−1)n!

= (−1)r

(n−r)! , donde hemos usado a C-(2.8). Ten-

dremos entonces:

Lαn(z) =n∑r=0

(−1)rΓ(α + 1 + n)

Γ(α + 1 + r)(n− r)!r!zr, α > −1; z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · . (6.5)

Si ademas: α ≡ k = 0, 1, 2, · · · , entonces Γ(k+1+n) = (k+n)!; Γ(k+1+r) = (k+r)!,y tendremos:

Lkn(z) =n∑r=0

(−1)r(k + n)!

(n− r)!(k + r)!r!zr, z ∈ C; n, k = 0, 1, 2, · · · . (6.6)

De (6.2) tambien tenemos que:

Lkn(z) =(n+ k)!

n!k!M(−n, k + 1, z), z ∈ C; n, k = 0, 1, 2, · · · . (6.7)

Para el caso especial, α = 0; L0β ≡ Lβ se denomina funcion de Laguerre; esto es:

Lβ(z) ≡ L0β(z) =M(−β, 1, z); β, z ∈ C. (6.8)

Naturalmente, Lβ(z) es una solucion de la EDOL de Laguerre.Para β = n = 0, 1, 2, · · · , los polinomios Ln se denominan polinomios de Laguerre,

y vienen dados por (ver (6.6) y (6.8)):

Ln(z) =M(−n, 1, z) =n∑r=0

(−1)rn!zr

(r!)2(n− r)!; z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · . (6.9)

De la Rel. (6.5) se obtiene que:

Lα0 (z) = 1; z ∈ C; α > −1. (6.10)


De las Rels. (6.9) y (5.4) tendremos:

dk

dzkLn+k(z) =

dk

dzkM(−n− k, 1, z) =

Γ(−n)Γ(1)Γ(−n− k)Γ(k + 1)

M(−n, k + 1, z). (6.11)

Pero de C-(2.8), obtenemos que:

lımϵ→0

Γ(−n+ ϵ)

Γ[−(n+ k) + ϵ]= [−(n+ 1)][−(n+ 2)] · · · [−(n+ k)] = (−1)k

(n+ k)!

n!,

y al comparar con la Rel. (6.7) tenemos que:

Lkn(z) = (−1)kdk

dzkLn+k(z); z ∈ C; n, k = 0, 1, 2, · · · . (6.12)

Comentario 6.2. La siguiente Rel., tambien llamada formula de Rodrigues:

Lαn(z) = ezz−α

n!

dn

dzn(e−zzn+α

); z ∈ C; α > −1; n = 0, 1, 2, · · · , (6.13)

es facil de comprobar al usar la formula de Leibnitz (ver 5.P.9) y comparar con el desarrollodado por la Rel. (6.5). De la Rel. (6.13) resulta transparente que los Lαn(x), con x ∈(−∞,∞), son polinomios a valores reales.

Comentario 6.3. Consideremos la funcion:

F (z, t;α) ≡ F (z, t) = (1− t)−α−1e−zt/(1−t); z ∈ C; t ∈ C con |t| < 1;α > −1. (6.14)

Tal como esta definida, F es una funcion analıtica en |t| < 1 y por lo tanto podemosdesarrollarla ası:

F (z, t) =∞∑n=0

cαn(z)tn; |t| < 1. (6.15)

De la teorıa de funciones analıticas sabemos que:

cαn(z) =1

2πi

∮γ

(1− t)−α−1 e−zt/(1−t)

tn+1dt, (6.16)

donde γ es un lazo, con el punto t = 0 en su region interior, contenido en el disco |t| < 1.Si hacemos el cambio de variable u = z

1−t , hallamos que:

cαn(z) =ezz−α

2πi

∮γ′e−u

un+α

(u− z)n+1du, (6.17)

donde γ′ es un lazo con el punto u = z en su region interior. Evaluando esta integral porel metodo de residuos, hallamos que:

cαn(z) =ezz−α

n!

[dn

dune−uun+α

]u=z

=ezz−α

n!

dn

dzne−zzn+α. (6.18)

Comparando (6.18) con (6.13) vemos que cαn = Lαn. Entonces, hemos obtenido que:

Lαn(z) =1

2πi

∮γ

(1− t)−α−1 e−zt/(1−t)

tn+1dt; α > −1; z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · , (6.19)


donde γ esta especificado mas arriba. Ademas:

(1− t)−α−1e−zt/(1−t) =∞∑n=0

Lαn(z)tn; z ∈ C; α > −1; t ∈ C con |t| < 1. (6.20)

La funcion F (z, t) se llama la funcion generatriz de los Lαn(z).

Comentario 6.4. Con la ayuda de las Rels. (6.14) y (6.20) podemos establecer variasrelaciones de recurrencia. En efecto, de (6.14) obtenemos:

(1− t)2∂F

∂t= [(1− t)(1 + α)− z]F. (6.21)

Sustituyendo (6.20) en (6.21) resulta:

(1− t)2∞∑n=0

nLαntn−1 + [z − (1− t)(α + 1)]

∞∑n=0

Lαntn = 0,

de donde concluimos (al anular los coeficientes de tn) que:

(n+ 1)Lαn+1(z) + (z − α− 2n− 1)Lαn(z) + (n+ α)Lαn−1(z) = 0; n ∈ Z+. (6.22)

Igualmente, de (6.14) tenemos que:

(1− t)∂F

∂z+ tF = 0, (6.23)

con lo cual:

(1− t)∞∑n=0

tndLαn(z)

dz+

∞∑n=0

Lαntn+1 = 0, (6.24)

o sea:dLαn(z)

dz−dLαn−1(z)

dz+ Lαn−1(z) = 0; n ∈ Z+. (6.25)

De (6.22) y (6.25) obtenemos:

(z − n− 1)dLαn(z)

dz+ (n+ 1)

dLαn+1(z)

dz+ (2n+ 2 + α− z)Lαn(z)− (n+ 1)Lαn+1(z) = 0;

n = 0, 1, 2, · · · .(6.26)

Al hacer n→ n− 1 en (6.26) y al usar (6.25), concluimos que:

zdLαn(z)

dz= nLαn(z)− (n+ α)Lαn−1(z); n ∈ Z+. (6.27)

De la igualdad:(1− t)F (z, t;α + 1) = F (z, t;α), (6.28)

obtenemos, al usar la Rel. (6.20), que:

Lα+1n (z)− Lα+1

n−1(z) = Lαn(z); n ∈ Z+. (6.29)

De la igualdad:∂F (z, t;α)

∂z= −tF (z, t;α + 1), (6.30)


tenemos, al usar la Rel. (6.20), que:

dLαn(z)

dz= −Lα+1

n−1(z); n ∈ Z+. (6.31)

Comentario 6.5. Con las relaciones (6.5), (6.6) y (6.9) podemos hallar los Lαn’s.Algunos de ellos son:

Lα0 (z) = 1,

Lα1 (z) = α + 1− z, (α > −1)

Lα2 (z) =1

2[(α + 1)(α + 2)− 2(α + 2)z + z2].

L3(z) =1

6(6− 18z + 9z2 − z3),

L13(z) = 4− 6z + 2z2 − 1

6z3.

(6.32)

Comentario 6.6. Los polinomios generalizados de Laguerre se obtienen como solu-ciones de un P.S-L., correspondiente a la EDOL (6.1), para el intervalo I = (0,∞).

Sabemos que w0(x) = xαe−x, y que p(x) = xα+1e−x. Por lo tanto ambos extremos delintervalo I son singulares (p(0) = 0 ya que α > −1), y por lo tanto estamos en presenciade un P.S-L.S.. Como estamos considerando un problema autoadjunto tendremos que losautovalores λ ≡ −β son reales.

La solucion general de este problema vendra dada por c1Lαβ(x) + c2φ2(x). De la Rel.

3-(5.6) notamos que:

φ2(x) ∼x→0

x−α si α = 0; α > −1

lnx si α = 0.(6.33)

De la Rel. (6.33) notamos que φ2 ∈ L2w0(0, c), ∀α ∈ (−1, 1); φ2 /∈ L2

w0(0, c), ∀α ≥ 1

(c es una constante arbitraria: 0 < c < ∞). φ2 no es acotada en x = 0 para α ≥ 0. φ2 esacotada en x = 0 para α ∈ (−1, 0).

Ademas, p(0)φ′2(0) = 0, ∀α ∈ (−1, 0).

Por otro lado: Lαβ ∈ L2w0(0, c), ∀α > −1; Lαβ es acotada en x = 0, ∀α > −1; y

p(x)dLαβ (x)

dx

∣∣∣x=0

= 0 ∀α > −1.

De toda esta discusion vemos que segun los valores de α debemos imponer condicionesde frontera diferentes. Distinguimos tres casos:

(a) Si α ≥ 1, imponemos que las soluciones pertenezcan a L2w0(0,∞), (ver 4-2.5 y 4-(2.14)).

(b) Si α ∈ [0, 1), imponemos que las soluciones pertenezcan a L2w0(0,∞) y que sean aco-

tadas en x = 0 (ver 4-(2.12) y 4-(2.14)).(c) Si α ∈ (−1, 0), imponemos que las soluciones (φ) pertenezcan a L2

w0(0,∞) y que

p(0)φ′(0) = 0 (ver 4-(2.13) y 4-(2.14)).

Vemos, por todo lo dicho anteriormente, que la imposicion de las condiciones defrontera en x = 0, para los tres casos llevan a que c2 = 0 (en la solucion general).

Notemos que los casos (a) y (b) (esto es, α ≥ 0) pueden unificarse al exigir que lassoluciones sean acotadas en x = 0, obteniendose el mismo resultado (esto es, c2 = 0).


Usando la Rel. (5.11), vemos que, excepto por constantes:

Lαβ(x) ∼x→∞

x−β−α−1ex; α > −1; β = 0, 1, 2 · · · , (6.34)

y por lo tanto, para β = 0, 1, 2, · · · , tenemos que Lαβ /∈ L2w0(0,∞). La unica posibilidad

que nos queda es Lαn, n = 0, 1, 2, · · · , solucion para la cual Lαn ∈ L2w0(0,∞) ya que los Lαn

son polinomios.Como p(x) = xα+1e−x, tendremos que las condiciones de frontera que hemos impues-

to implican la validez de las Rels. 4-(2.11) ası como la pertenencia de las soluciones a

L2w0(0,∞); esto es, lımx→∞

x→0p(x)Lαn(x)

dLαn′

dx= 0, ∀n, n′ = 0, 1, 2, · · · .

Comentario 6.7. Queremos demostrar que en z = x ∈ (0,∞):∫ ∞

0

xαe−xLαn(x)Lαn′(x)dx =

Γ(n+ α + 1)

n!δnn′ ; α > −1; n, n′ = 0, 1, 2, · · · . (6.35)

Para n = n′, ya sabemos que (6.35) es valida puesto que los Lαn son las autofunciones(no degeneradas) de un P.S-L. (autoadjunto), (ver 6.6).

De las Rels. (6.32), tendremos que para n = 0, 1:∫ ∞

0

xαe−x[Lα0 ]2dx =

∫ ∞

0

xαe−xdx = Γ(α + 1), (6.36)∫ ∞

0

xαe−x[Lα1 ]2dx =

∫ ∞

0

xαe−x[(α + 1)− x]2dx = (α + 1)Γ(α + 1). (6.37)

Luego, hagamos n→ n−1 en la Rel. (6.22) y multipliquemos por Lαn. A ese resultadorestemosle la Rel. (6.22) multiplicada por Lαn−1. Obtendremos:

n[Lαn]2−(n+ α)[Lαn−1]

2 − (n+ 1)Lαn+1Lαn−1 + 2LαnL

αn−1 + (n+ α− 1)LαnL

αn−2 = 0;

n = 2, 3, · · · .(6.38)

Multiplicando la Rel. (6.38) por xαe−x, integrandola, y usando la ortogonalidad delos Lαn’s, se obtiene que:

n

∫ ∞

0

xαe−x[Lαn]2dx = (n+ α)

∫ ∞

0

xαe−x[Lαn−1]2dx; n = 2, 3, · · · . (6.39)

Usando reiteradamente a la Rel. (6.39), obtenemos:∫ ∞

0

xαe−x[Lαn]2dx =

(n+ α)(α + n− 1) · · · (α + 2)

n(n− 1) · · · 3 · 2

∫ ∞

0

e−xxα[Lα1 ]2dx =

Γ(n+ α + 1)

n!;

n = 2, 3, · · · .(6.40)

Con las Rels. (6.36), (6.37) y (6.40) vemos que (6.35) ha quedado probado.

Comentario 6.8. Los Lαn’s no estan normalizados, siendo las funciones√

n!Γ(n+α+1)

Lαn

normalizadas. El conjunto de los Lαn es completo en L2w0(0,∞), (ver teorema 4-4.3), y tiene


n ceros en el intervalo (0,∞), (ver teorema 4-4.4). Tendremos que:

f(x) =∞∑n=0

n!

Γ(n+ α + 1)⟨Lαn| f⟩Lαn(x); ∀f ∈ L2

w0(0,∞); w0(x) = xαe−x; α > −1.

(6.41)

Comentario 6.9. Evaluemos algunas integrales que resultan utiles.Sea una funcion f : (0,∞) → C, con f ∈ Cn((0,∞)). Sea α > −1; y xαf(x) ∼

x→0xr

con r > −1. Si ademas el comportamiento de la f en el infinito es tal que la siguienteintegral converge, tendremos que:∫ ∞

0

f(x)xαe−xLαn(x)dx =(−1)n

n!

∫ ∞

0

e−xxn+αf (n)(x)dx, α > −1; n = 0, 1, 2, · · · .

(6.42)La demostracion de (6.42) es inmediata al usar la formula de Rodrigues para Lαn (ver

Rel. (6.13)) e integrar por partes n veces.Al tomar f(x) = e(1−a)x; a > 0, obtenemos:∫ ∞

0

xαe−axLαn(x)dx =(a− 1)n

aα+n+1

Γ(α + n+ 1)

n!, a ∈ R+; α > −1; n = 0, 1, 2, · · · .

(6.43)De la Rel. (6.43) obtenemos integrales del tipo:∫ ∞

0

xα+me−axLαn(x)dx; α > −1; a ∈ R+; m,n = 0, 1, 2, · · · , (6.44)

al derivar la Rel. (6.43) con respecto al parametro a. Integrales del tipo (6.44) se usan paradeterminar las intensidades de lıneas espectrales de atomos hidrogenoides (ver [7]). Esimportante observar que la integral dada en la Rel. (6.42) se anula si f(x) es un polinomiode grado menor que n. Como aplicacion de este resultado, tomemos f(x) = Lαn(x)/x. Dela Rel. (6.5), vemos que:

Lαn(x)

x=

Γ(α + 1 + n)

Γ(α + 1)n!

1

x+ [polinomio de grado (n− 1)] . (6.45)

Tendremos entonces:∫ ∞

0

xα−1e−x[Lαn(x)]2dx =

Γ(α + n+ 1)

αn!; α > 0; n = 0, 1, 2, · · · . (6.46)

Procediendo de manera analoga se pueden hallar integrales de tipo similar. Por ejem-plo:

In,m ≡∫ ∞

0

xα+2e−xLαn(x)Lαm(x)dx, α > −1; m,n = 0, 1, 2, · · · . (6.47)

Esta ultima integral aparece al considerar las correciones en la energıa de un atomo hidro-genoide al aplicarle un campo electrico externo uniforme (efecto Stark); ver p. ej., [10].Para evaluar In,m debemos notar que esa integral es simetrica en los ındices n,m. Por lotanto, podemos suponer que m ≤ n. Al tomar f(x) = x2Lαm, vemos que solamente tres


integrales pueden ser no nulas; a saber, aquellas con m = n, m = n − 1 y m = n − 2. Seobtiene que:

In,n =Γ(n+ α + 1)

n![6(n2 + nα + n) + (α + 1)(α + 2)], n ≥ 0;

In,n−1 = −2(2n+ α)Γ(n+ α + 1)

(n− 1)!, n ≥ 1;

In,n−2 =Γ(n+ α + 1)

(n− 2)!, n ≥ 2.

(6.48)

Al estudiar atomos hidrogenoides en coordenadas parabolicas, conviene definir a lasfunciones:

fnm(x) ≡1

|m|!

√(n+ |m|)!

n!x|m|/2e−x/2M(−n, |m|+ 1, x); n ∈ N, m ∈ Z. (6.49)

Al usar (6.7), obtenemos que:

fnm(x) =

√n!

(n+ |m|)!x|m|/2e−x/2L|m|

n (x); n ∈ N, m ∈ Z. (6.50)

De la Rel. (6.35) se obtiene inmediatamente que:∫ ∞

0

fnm(x)fn′m(x)dx = δnn′ ; n, n′ ∈ N, m ∈ Z. (6.51)

De las Rels. (6.42) y (6.50) se obtiene, para m ∈ Z, que:∫ ∞

0

x2[fnm(x)]2dx = 6[n2 + |m|n+ n] + (|m|+ 1)(|m|+ 2), n ≥ 0;∫ ∞

0

x2fnm(x)f(n−1)m(x)dx = −2(2n+ |m|)√n(n+ |m|), n ≥ 1;∫ ∞

0

x2fnm(x)f(n−2)m(x)dx =√n(n− 1)(n+ |m|)(n+ |m| − 1), n ≥ 2.

(6.52)

Procediendo de igual forma se obtiene que:∫ ∞

0

e−xxα+1[Lαn(x)]2dx = (2n+ α + 1)

Γ(n+ α + 1)

n!; n ∈ N, α > −1. (6.53)

Finalmente, de la Rel. (6.53), se obtiene que:∫ ∞

0

x[fnm(x)]2dx = (2n+ |m|+ 1); n ∈ N, m ∈ Z. (6.54)

7. LA EDOL DE HERMITE 159

7. La EDOL de Hermite

Comentario 7.1. Consideremos ahora la EDOL de Hermite la cual esta dada por:

φ′′(z)− 2zφ′(z) + 2νφ(z) = 0; ν ∈ C. (7.1)

Ya sabemos (ver 2.P.7) que al efectuar la transformacion local: z2 ≡ u; ψ(u) ≡ φ(z),obtenemos a la EDOL Hipergeometrica confluente:

uψ′′(u) +

(1

2− u

)ψ′(u) +

ν

2ψ(u) = 0. (7.2)

Por lo tanto (como c = 12no es entero), la solucion general de la EDOL (7.1) sera

(ver 3-(5.5)); al extenderla a todo C:

φ(z) = c1M

(−ν2,1

2, z2)+ c2 zM

(1− ν

2,3

2, z2); c1, c2 ∈ C; ν ∈ C; z ∈ C. (7.3)

Esta solucion general es una funcion entera en ν y en z (esto es, analıtica ∀ν y ∀z ∈ C).Al escoger para las constantes c1 y c2 los valores particulares:

c1 =2νΓ

(12

)Γ(1−ν2

) ; c2 =2νΓ

(−1

2

)Γ(−ν

2

) , (7.4)

definimos una funcion entera en ν y en z, que denotaremos por Hν(z) y que llamamosfuncion de Hermite de grado ν; esto es:

Hν(z) =2νΓ

(12

)Γ(1−ν2

)M (−ν2,1

2, z2)+

2νΓ(−1

2

)Γ(−ν

2

) zM

(1− ν

2,3

2, z2); ν, z ∈ C. (7.5)

Al comparar esta funcion con las Rels. (5.23) y (5.24), vemos que:

Hν(z) = 2νU

(−ν2,1

2, z2); ν, z ∈ C. (7.6)

De las propiedades de la Γ, notemos que si ν = 2n + 1; n = 0, 1, 2, · · · , el primertermino de la Rel. (7.5) se anula y el segundo es un polinomio de grado 2n+1 . En cambiosi ν = 2n; n = 0, 1, 2, · · · , el primer termino es un polinomio de grado 2n, y el segundose anula. Esto es, Hn(z), n = 0, 1, 2, · · · , son polinomios de grado n llamados polinomiosde Hermite. Usando algunas propiedades de la Γ, de la Rel. (7.5) se obtiene:

H2n(z) = (−1)n(2n)!

n!M

(−n, 1

2, z2); z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · , (7.7)

H2n+1(z) = (−1)n(2n+ 1)!

n!2zM

(−n, 3

2, z2); z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · . (7.8)

De las Rels. (7.7) y (7.8) vemos que la paridad de Hn es (−1)n, esto es:

Hn(−z) = (−1)nHn(z). (7.9)


De la Rel. (7.5) obtenemos que:

Hν(0) =2νΓ

(12

)Γ(1−ν2

) ; H ′ν(0) =

2νΓ(−1

2

)Γ(−ν

2

) ; ν ∈ C. (7.10)

Particularizando la Rel. (7.10) para ν = 0, 1, 2, · · · , obtenemos:

H2n(0) = (−1)n(2n)!

n!; H2n+1(0) = 0; n = 0, 1, 2, · · · , (7.11)

H ′2n(0) = 0 ; H ′

2n+1(0) = 2(2n+ 1)(−1)n(2n)!

n!; n = 0, 1, 2, · · · . (7.12)

Comentario 7.2. Ya hemos dicho que la solucion general de la EDOL (7.1) vienedada por la Rel. (7.3); sin embargo, a veces es conveniente tener una base de soluciones enla cual Hν(z) es una de las dos funciones. Con ese fin, notemos de la propia EDOL (7.1),que Hν(−z) es tambien una de sus soluciones.

Para ν = 0, 1, 2, · · · , es evidente que Hν(z) y Hν(−z) son linealmente independientesya que sumandolas y restandolas podemos hallar la base de soluciones indicada en la Rel.(7.3). Sin embargo, confirmemos este hecho calculando el Wronskiano. Tenemos al usar2-(4.10) y 2-(6.11), que:

W (z) = Aez2

. (7.13)

Al usar la Def. del Wronskiano 2-4.8 para z = 0 y la Rel. (7.10), determinamos laconstante A. Hallamos, al usar propiedades de la Γ, que:

W (Hν(z), Hν(−z); z) =2ν+1

√π

Γ(−ν)ez

2

; z, ν ∈ C. (7.14)

Vemos pues que W (z) = 0 si ν = 0, 1, 2, · · · . Tenemos entonces que:

φ(z) = c1Hν(z) + c2Hν(−z); c1, c2, z, ν ∈ C, con ν = 0, 1, 2, · · · , (7.15)

es una solucion general de la EDOL (7.1).Si ν = n = 0, 1, 2 · · · ; W (z) = 0, y las dos soluciones Hn(z) y Hn(−z) son linealmente

dependientes (como ya era claro de la Rel. (7.9)). En este caso hay que buscar otra solucionlinealmente independiente de la Hn(z), cosa que no haremos (ver p. ej. [110]).

Comentario 7.3. Consideremos la funcion:

F (z, t) = e−t2+2tz; z, t ∈ C. (7.16)

F es una funcion entera en t y en z. Podemos desarrollarla alrededor del punto t = 0,obteniendo:

F (z, t) =∞∑n=0

cn(z)

n!tn. (7.17)

Por el teorema de Cauchy tendremos que:

cn(z)

n!=

1

2πi

∮γ

e−t2+2tz

tn+1dt, (7.18)

7. LA EDOL DE HERMITE 161

donde γ es un lazo con el punto t = 0 en su region interior. La integral (7.18) puedeefectuarse por el teorema de los residuos. Esto es:

cn(z)

n!= Res

t=0

[e−t

2+2tz

tn+1

]=

1

n!

dn

dtne−t

2+2tz

∣∣∣∣t=0

=ez

2

n!

dn

dtne−(t−z)2

∣∣∣∣t=0

=ez

2

n!(−1)n

dne−u2

dun

∣∣∣∣∣u=z

=ez

2

n!(−1)n

dne−z2

dzn.

Hemos obtenido:

cn(z) = (−1)nez2 dne−z

2

dzn. (7.19)

Con la Rel. (7.16) obtenemos:∂F

∂z= 2tF, (7.20)

relacion con la cual obtenemos inmediatamente, al usar la Rel. (7.17); el hecho que c0(z) =1 (ver (7.19)); y al anular los coeficientes de tn, que:

c′n(z) = 2ncn−1(z); n ∈ Z+. (7.21)

De las Rels. (7.16) y (7.17) se obtiene que:

F (0, t) = e−t2

=∞∑n=0

(−1)nt2n

n!=

∞∑n=0

cn(0)

n!tn, (7.22)

lo cual unido al hecho que:∞∑n=0

antn =

∞∑n=0

bnt2n

implica que a2n+1 = 0, bn = a2n, para n = 0, 1, 2, · · · ; nos lleva a que:

c2n(0) = (−1)n(2n)!

n!; c2n+1(0) = 0. (7.23)

Con la Rel. (7.21), obtenemos que:

c′2n(0) = 0 ; c′2n+1(0) = 2(2n+ 1)(−1)n(2n)!

n!. (7.24)

Finalmente, es facil verificar, usando el metodo de las transformadas integrales, quecn(z) dado por (7.18) es solucion de la EDOL (7.1) para ν = n. Entonces, en virtud delas Rels. (7.11), (7.12), (7.23), (7.24), y por la unicidad de la solucion para el problema deCauchy, tenemos que:

cn(z) = Hn(z). (7.25)

Recopilando los resultados, hemos obtenido las relaciones (7.26)-(7.29) abajo indica-das.

F (z, t) ≡ e−t2+2tz =

∞∑n=0

Hn(z)

n!tn; t, z ∈ C. (7.26)

F (z, t) = e−t2+2tz se llama la funcion generatriz de los polinonios de Hermite (en

realidad, la funcion generatriz de Hn(z)n!

).


Tenemos la siguiente representacion integral de Hn(z).

Hn(z) =n!

2πi

∮γ

e−t2+2tz

tn+1dt; z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · , (7.27)

donde γ es un lazo con t = 0 en su region interior.Tenemos la tambien llamada formula de Rodrigues:

Hn(z) = (−1)nez2 dn

dzne−z

2

; z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · ; (7.28)

de la cual resulta transparente que los Hn(x), con x ∈ (−∞,∞), son polinomios avalores reales. Finalmente, hemos obtenido la Rel. de recurrencia:

H ′n(z) = 2nHn−1(z); z ∈ C; n ∈ Z+. (7.29)

Comentario 7.4. De la Rel. (7.16) se deduce que:

∂F

∂t= (2z − 2t)F, (7.30)

lo cual unido a la Rel. (7.26), nos proporciona que:

Hn+1(z)− 2zHn(z) + 2nHn−1(z) = 0; z ∈ C; n ∈ Z+. (7.31)

De la Rel. (7.28) obtenemos que H0(z) = 1; H1(z) = 2z; lo cual unido a la Rel. (7.31)nos proporciona los polinomios de Hermite, algunos de los cuales son:

H0(z) = 1 H1(z) = 2z

H2(z) = 4z2 − 2 H3(z) = 8z3 − 12z

H4(z) = 16z4 − 48z2 + 12 H5(z) = 32z5 − 160z3 + 120z.

(7.32)

Otra manera de obtener los polinomios Hn(z), es recurrir a las expresiones (7.7) y(7.8) y a la Rel. 3-(5.3).

Comentario 7.5. Los polinomios de Hermite se obtienen como soluciones del P.S-L.,correspondiente a la EDOL (7.1) para el intervalo I = (−∞,∞).

Sabemos que w0(x) = e−x2, y como los extremos son infinitos, estamos en presencia

de un P.S-L.S.. Como estamos considerando un problema autoadjunto tenemos que losautovalores λ ≡ −2ν son reales.

Imponemos como condicion de frontera el que las soluciones pertenezcan al espaciode Hilbert L2

w0(−∞,∞), ver 4-2.7.

De la solucion general (7.3), de la EDOL (7.1) y de la Rel. (5.11) se puede ver alefectuar un analisis detallado que ninguna solucion de (7.1) pertenece a L2

w0(−∞,∞), si

ν = 0, 1, 2, · · · . Si ν = 2n, n = 0, 1, 2, · · · , debemos tomar c2 = 0 en la Rel. (7.3) obteniendolos polinomios de Hermite H2n como solucion (los cuales sı pertenecen a L2

w0(−∞,∞)).

Si ν = 2n + 1; n = 0, 1, 2, · · · , debemos tomar c1 = 0 en la Rel. (7.3) obteniendo lospolinomios de Hermite H2n+1 como solucion (los cuales sı pertenecen a L2

w0(−∞,∞)).

Como p(x) = e−x2, tendremos que la condicion de frontera que hemos impuesto,

esto es, la pertenencia a L2w0(−∞,∞), implica la validez de la Rel. 4-(2.15); vale decir,

lımx→±∞ p(x)Hn(x)H′n′(x) = 0, ∀n, n′ = 0, 1, 2, · · · .

8. ECUACION DE SCHODINGER EN UNA DIMENSION 163

Comentario 7.6. Queremos demostrar que en z = x ∈ (−∞,∞):∫ ∞

−∞e−x

2

Hn(x)Hn′(x)dx = 2nn!√πδnn′ ; n, n′ = 0, 1, 2, · · · . (7.33)

Para n = n′, ya sabemos que (7.33) es valida puesto que los Hn’s son las autofunciones(no degeneradas) de un P.S-L. (autoadjunto), (ver 7.5). Para n = 0, tenemos:∫ ∞

−∞[H0(x)]

2e−x2

dx =

∫ ∞

−∞e−x

2

dx =√π. (7.34)

Ademas (al usar la Rel. (7.28) y (7.29)):∫ ∞

−∞[Hn(x)]

2e−x2

dx = (−1)n∫ ∞

−∞Hn(x)

dn

dxne−x

2

dx

= (−1)nHn(x)dn−1e−x

2

dxn−1

∣∣∣∣∣∞

−∞

− (−1)n∫ ∞

−∞H ′n(x)

dn−1e−x2

dxn−1dx

=

∫ ∞

−∞H ′n(x)Hn−1(x)e

−x2dx = 2n

∫ ∞

−∞[Hn−1(x)]

2e−x2

dx.

(7.35)

Al usar la Rel. (7.35) reiteradamente, junto con la Rel. (7.34) obtenemos a la Rel.(7.33).

Comentario 7.7. Los Hn’s no estan normalizados, siendo las funciones Hn(x)

(2nn!√π)1/2

normalizadas. El conjunto de los Hn es completo en L2w0(−∞,∞); ver teorema 4-4.3; y

tiene n ceros en el intervalo (−∞,∞); ver teorema 4-4.4. Tendremos entonces que:

f(x) =∞∑n=0

⟨Hn| f⟩2nn!

√πHn(x); ∀f ∈ L2

w0(−∞,∞), con w0(x) = e−x

2

. (7.36)

8. Autovalores y Autofunciones de la Ecuacion de Schrodinger (en unadimension)

Comentario 8.1. El hallar las autofunciones y autovalores E de la energıa de unapartıcula de masa µ en un potencial U (en una dimension), corresponde a resolver elP.S-L.S. (Ec. de Schrodinger en una dimension):

φ′′(x)− 2µ

~2U(x)φ(x) = −2µE

~2φ(x); I = (−∞,∞). (8.1)

Como condicion de frontera impondremos el que las soluciones de (8.1) pertencezcana L2(−∞,∞); pues el peso de la EDOL (8.1) es: w0(x) = 1.

A continuacion consideramos dos ejemplos.

Ejercicio 8.2. Consideremos el oscilador armonico (ver 3-9.6).De la Rel. 3-(9.46) observamos que el imponer que φ ∈ L2(−∞,∞) es equivalente a

imponer que χ ∈ L2w0(−∞,∞), con w0(x) = e−x

2y χ(x) dado por 3-(9.46). Este P.S-L.S.


ya ha sido resuelto en la seccion 7, y obtenemos (a menos de una fase) que las autofuncionesnormalizadas (usar (7.33)) vienen dadas por:

φn(x) =

√α

2nn!√πHn(αx)e

−α2x2/2; n = 0, 1, 2, · · · , (8.2)

y los autovalores (no degenerados) de la energıa por:

En = ~ω(1

2+ n

); n = 0, 1, 2, · · · . (8.3)

De lo discutido en 7.7 vemos que φn dado por (8.2) es un conjunto ortonormalcompleto en L2(−∞,∞); y tenemos entonces (ver (7.36)):

f(x) =∞∑n=0

⟨φn| f⟩φn(x); ∀f ∈ L2(−∞,∞). (8.4)

Para la solucion de este problema mediante la tecnica de los llamados operadores decreacion y de aniquilacion; ver [8] y [11], p. ej.

Ejercicio 8.3. Consideremos al potencial de Morse (ver 3-9.7).Veamos primero que no pueden existir autofunciones en L2(−∞,∞) para E > 0.

En efecto, en ese caso ε ≡ iγ con γ ∈ R+ (ver 3-(9.54)), y φ2(x) = β−2εe2εαxM(−λ −2ε, 1 − 2ε, βe−αx); ver 3-(5.5). Al hacer x → −∞, vemos de las Rels. (5.11) y 3-(9.59),que ninguna solucion pertenece a L2(−∞,∞). Esto era de esperarse, puesto que para unP.S-L. autoadjunto ε y λ deben ser reales; lo que implica E ≤ 0.

Para ε = 0; esto es, E = 0; tendremos de la Rel. 3-(5.6) que φ2(βe−αx) ∼

x→∞−αx, y de

la Rel. 3-(9.59) vemos que la segunda solucion se comporta como (−αx) cuando x → ∞,y por lo tanto no pertenece a L2(−∞,∞). La primera solucion de 3-(9.59) se comportaen este caso como una constante no nula (∀λ) cuando x→ ∞, y por ende no pertenece aL2(−∞,∞). Por lo tanto, para ε = 0 no hay soluciones.

Para ε > 0; esto es, E < 0; tendremos de la Rel. 3-(5.6), que φ2(βe−αx) ∼

x→∞e2εαx, y

de la Rel. 3-(9.59) vemos que la segunda solucion se comporta como eεαx cuando x→ ∞,y por lo tanto no pertenece a L2(−∞,∞). La primera solucion de la Rel. 3-(9.59) secomporta como e−εαx cuando x → ∞, lo cual implica que pertenece a L2(c,∞) donde ces cualquier numero real (c > −∞). Todo ello nos lleva a tomar c2 = 0. De la Rel. (5.11)y 3-(9.59) vemos, al hacer al analisis para x → −∞, que la primera solucion perteneceraa L2(−∞,∞) solamente si λ ≡ n, con n = 0, 1, 2, · · · .

Entonces, de la Rel. 3-(9.54) obtenemos:

En = −A[1− 2

β

(n+

1

2

)]2; n = 0, 1, 2, · · · , N, con

(N +

1

2

)<β

2y β > 1. (8.5)

Las restricciones(N + 1

2

)< β

2y β > 1 son necesarias para que exista εn ≡ β

2−(n+ 1

2

)y sea mayor que cero; siendo por lo tanto el numero (N + 1) de estados ligados finito. Siβ ≤ 1, no existiran soluciones al problema (esto es, no habran estados ligados en ese caso).

9. ECUACION DE SCHRODINGER EN COORDENADAS ESFERICAS 165

Las autofunciones correspondientes a los autovalores (no degenerados) En, vendrandadas por:

φn(x) = Nne−εnαx exp

(−βe

−αx

2

)M(−n, 2εn + 1, βe−αx

), (8.6)

siendo Nn un factor de normalizacion que puede determinarse (a menos de una fase)haciendo uso de tablas.

9. Autovalores y Autofunciones de la Ecuacion de Schrodinger enCoordenadas Esfericas

Comentario 9.1. De lo dicho en la seccion 2 del apendice A, y en 4.2, se desprendeque el problema de hallar las autofunciones y autovalores E de la energıa de una partıculade masa µ o de la energıa interna de un par de partıculas de masa reducida µ, en coorde-nadas esfericas, para un potencial central U(r), se ha reducido a resolver la EDOL 3-(9.1)o 3-(9.3) con condiciones de frontera adecuadas.

Este es un P.S-L.S., que resolveremos imponiendo como condiciones de frontera:

ul(0) = 0, (9.1)

llamada condicion de regularidad; y en el infinito que Rl ∈ L2r2(c,∞), c > 0; pues el

peso de la EDOL 3-(9.1) es: w0(r) = r2; lo que equivale a:

ul ∈ L2(c,∞), c > 0. (9.2)

Para una discusion acerca de las condiciones de frontera (9.1) y (9.2), ver p. ej.,[8, 11].

Generalmente, este P.S-L. lleva a la cuantizacion de los niveles E de la energıa quedependen (al menos) de un ındice; usualmente denominado n, en cuyo caso la funcionradial se designa por Rnl(r). La solucion general del problema viene dada entonces por:

ψnlm(r) = Rnl(r)Yml (θ, ϕ), (9.3)

donde: l = 0, 1, 2, · · · ; m = 0,±1,±2, · · · ,±l. Si se han normalizado las Rnl(r), las ψnlmseran autofunciones normalizadas.

A continuacion resolveremos algunos ejemplos de potenciales.

Ejercicio 9.2. Consideremos el potencial atractivo de Coulomb para E < 0 (estoes, atomos hidrogenoides; ver 3-9.2.).

La EDOL 3-(9.11) es la Ec. generalizada de Laguerre. Del cambio 3-(9.10) y de 6.6,observamos que la condicion de frontera (9.1) para ul es satisfecha solo si wl es acotadaen ρ = 0. Pero esto nos lleva (ver 6.6) a que la segunda solucion de la EDOL 3-(9.11) noes aceptable (esto es, c′2 = 0). Tendremos entonces que wl(ρ) = AL2l+1

λ−l−1(ρ). La condicionde frontera (9.2) implica, en virtud de (5.11), que:

λ− l − 1 ≡ nr; nr = 0, 1, 2, · · · , (9.4)

donde nr se llama numero cuantico radial y nos proporciona el numero de ceros (nodos)de Rl(r) en el intervalo (0,∞). Vemos pues que λ debe ser de la forma λ = n, n = 1, 2, · · · ;esto es:

λ ≡ n = nr + l + 1; n = 1, 2, 3, · · · . (9.5)

A n se le llama numero cuantico principal.


De la Rel. 3-(9.6) vemos que las energıas E (E < 0) vienen dadas por:

En = − ~2

2µa21

n2; n = 1, 2, · · · (9.6)

De la Rel. (9.5) vemos que para un n dado, entonces: l = 0, 1, · · · , n− 1.Las autofunciones (9.3) correspondientes al autovalorEn; degenerado n

2 veces; vendran

dadas entonces por: Rnl(r) = A (εnr)l e−εnr/2L2l+1

n−l−1(εnr). Podemos normalizar estas auto-funciones al usar la Rel. (6.35), obteniendose (a menos de una fase) :

Rnl(r) =2

a3/2n2

[(n− l − 1)!

(n+ l)!

]1/2(εnr)

le−εnr/2L2l+1n−l−1(εnr);

n = 1, 2, · · · ; l = 0, 1, · · · , n− 1; εn ≡ 2

an.

(9.7)

Para una solucion algebraica del problema de autovalores de atomos hidrogenoidesen terminos de dos operadores “tipo momento angular”, ver la seccion 7 del capıtulo 6 de[8] (tambien se pueden consultar las pags. 175-178 de [115], ası como su problema 3 en lapag. 179). Otra solucion de este problema que consideramos de gran interes es la dada enel “espacio de los momentos”, la cual se expone en la seccion 6 de la parte IV de [7].

Comentario 9.3. Consideremos unos resultados que son de interes para los atomoshidrogenoides. Definamos al operador Qr, el operador coordenada radial: Qsrψ(r) =

rsψ(r), s ∈ R (Q1r ≡ Qr; Q

0r = I). El valor medio de Qsr para una funcion normalizada ψ

de su dominio, sera: ⟨ψ∣∣∣Qsrψ⟩ ≡ ⟨rs⟩ψ. (9.8)

Para las autofunciones ψnlm dadas por la Rel. (9.3) y la (9.7) tendremos, tomando encuenta la normalizacion de los Y m

l ’s y haciendo ⟨rs⟩ψnlm → ⟨rs⟩nl:

⟨rs⟩nl =∫ ∞

0

[Rnl(r)]2 rs+2dr. (9.9)

Al usar la Rel. (9.7), y efectuar el cambio x ≡ εnr en (9.9), tendremos:

⟨rs⟩nl =(n− l − 1)!

(n+ l)!

asns−1

2s+1

∫ ∞

0

x2l+s+2e−x[L2l+1n−l−1(x)

]2dx. (9.10)

Al analizar el integrando de la Rel. (9.10) en x = 0, observamos que ⟨rs⟩nl sera finitosolamente si:

s > −(2l + 3). (9.11)

Dicho de otra manera, es necesario para que ψnlm pertenezca al dominio de Qsr el que laRel. (9.11) sea satisfecha. Ademas, de lo discutido en 3-9.2, se desprende que:

y(x) ≡ xl+1e−x/2L2l+1n−l−1(x), (9.12)

satisface a la EDOL:

y′′(x) +

[n

x− 1

4− l(l + 1)

x2

]y(x) = 0. (9.13)

9. ECUACION DE SCHRODINGER EN COORDENADAS ESFERICAS 167

Multiplicando la EDOL (9.13) por[xs+1y′(x)− s+1

2xsy(x)

], e integrando por partes, se

obtiene la llamada relacion de Kramers:

s+ 1

n2⟨rs⟩nl − (2s+ 1)a⟨rs−1⟩nl +

s

4

[(2l + 1)2 − s2

]a2⟨rs−2⟩nl = 0; s > −(2l + 1).

(9.14)De la Rel. (9.14) se obtienen las importantes relaciones (validas ∀l ≤ n− 1):

⟨r−1⟩nl =1

n2a,

⟨r⟩nl =a

2

[3n2 − l(l + 1)

],

⟨r2⟩nl =1

2

[5n2 + 1− 3l(l + 1)

]n2a2.

(9.15)

Con la relacion de Kramers no podemos evaluar ⟨r−2⟩nl, y debemos recurrir a unaevaluacion directa. Al usar la Rel. (9.10) y la Rel. (6.46), obtenemos (∀l ≤ n− 1) que:

⟨r−2⟩nl =1

a2n3(l + 1

2

) . (9.16)

Ejercicio 9.4. Consideremos ahora el potencial de un oscilador armonico en tresdimensiones; ver 3-9.3.

Al imponer la condicion de regularidad a la ul (esto es, ul(0) = 0) dada por 3-(9.17),3-(9.18), 3-(9.19), 3-(9.21), vemos que forzosamente c′2 = 0, y por lo tanto la solucion sera:

Rl(r) = Ae−α2r2/2(αr)lM

(l

2+

3

4− λ

4, l +

3

2, α2r2

). (9.17)

Al imponer la condicion de frontera (9.2), vemos, debido a la Rel. (5.11), que forzo-samente: l

2+ 3

4− λ

4≡ −n; con n = 0, 1, 2, · · · .

Esto es, la M es un polinomio. Los niveles de energıa Enl seran por lo tanto:

Enl = ~ω(2n+ l +3

2); l, n = 0, 1, 2, · · · , (9.18)

y las autofunciones Rnl:

Rnl(r) = Nnlrle−α

2r2/2M

(−n, l + 3

2, α2r2

); l, n = 0, 1, 2, · · · , (9.19)

donde Nnl es un factor de normalizacion que puede ser evaluado (a menos de una fase) alconsultar tablas.

Para la solucion del problema de autovalores de un oscilador armonico en N dimen-siones, N ∈ Z+; con cierto enfasis en N = 1, N = 2 y N = 3; mediante la tecnica de losoperadores de creacion y de aniquilacion; ver [11].


10. Atomos Hidrogenoides en Coordenadas Parabolicas

Comentario 10.1. Ya hemos visto que el problema de hallar las autofunciones yautovalores de la energıa para un potencial dado por la Rel. 3-(9.4) es separable en coor-denadas parabolicas (ver A-4). Se obtienen las ecuaciones:

Q′′(ϕ) = −m2Q(ϕ), (10.1)

d

dξ

(ξdF (ξ)

dξ

)+

[µE

2~2ξ − m2

4ξ+( µα2~2

− β)]

F (ξ) = 0, (10.2)

d

dη

(ηdG(η)

dη

)+

[µE

2~2η − m2

4η+( µα2~2

+ β)]

G(η) = 0, (10.3)

donde m2 y β son constantes de separacion.Al imponer las condiciones de frontera periodicas a las soluciones de (10.1) obtenemos

el conocido resultado:

Qm(ϕ) =1√2πeimϕ; m = 0,±1,±2, · · · . (10.4)

El P.S-L. asociado a las Ecs. (10.2) y (10.3) lo resolveremos imponiendo condicionesde regularidad en el origen (esto es: F (0) = G(0) = 0), y de integrabilidad en el infinito

(esto es: F,G ∈ L2(0,∞), pues w0 = 1).

Comentario 10.2. Para E < 0, al hacer los cambios:

ρ1 ≡√

−2µE

~2ξ ; β1 ≡

√− ~22µE

( µα2~2

− β), (10.5)

ρ2 ≡√

−2µE

~2η ; β2 ≡

√− ~22µE

( µα2~2

+ β), (10.6)

f1(ρ1) ≡ F (ξ) ; f2(ρ2) ≡ G(η), (10.7)

en las ecuaciones (10.2) y (10.3), obtenemos las EDOL:

f ′′k (ρk) +

1

ρkf ′k(ρk) +

[−1

4+βkρk

− m2

4ρ2k

]fk(ρk) = 0; k = 1, 2. (10.8)

Analicemos cualitativamente la EDOL (10.8), suprimiendo ındices temporalmente.Para ρ→ ∞ la EDOL es del tipo f ′′ = 1

4f , de soluciones f = e±ρ/2. Para ρ→ 0, la EDOL

es del tipo f ′′ + 1ρf ′ − m2

4ρ2f = 0 si m = 0; de soluciones ρ±m/2 (ver 3.P.5).

Todo esto nos sugiere el cambio (tambien valido para m = 0):

fk(ρk) ≡ e−ρk/2ρ|m|/2k wk(ρk), (10.9)

el cual lleva a las EDOL:

ρkw′′k(ρk) + (|m|+ 1− ρk)w

′k(ρk) +

(βk −

|m|+ 1

2

)wk(ρk) = 0. (10.10)

11. PROBLEMAS 169

La EDOL (10.10) es una EDOL Hipergeometrica confluente cuya segunda solucionφ2 tiene un comportamiento cerca del origen del tipo:

φ2(ρk) ∼ρk→0

ρ−|m|k si m = 0,

ln ρk si m = 0.(10.11)

De la Rel. (10.11) y (10.9) vemos que debido a la condicion de regularidad, estasegunda solucion debe ser excluida. Nos queda como solucion:

wk(ρk) =M

(−βk +

|m|+ 1

2, |m|+ 1, ρk

). (10.12)

La condicion de integrabilidad implica, en virtud de la Rel. (5.11), que:

βk −|m|+ 1

2= nk, nk = 0, 1, 2, · · · ; k = 1, 2, (10.13)

con lo cual wk son polinomios. De la relacion (10.13) obtenemos que β1 + β2 = n1 + n2 +|m| + 1, lo que implica β1 + β2 ≡ n, siendo n = 1, 2, · · · . Concluimos de esto ultimo y delas Rels. (10.5) y (10.6) que los niveles de energıa En, son los mismos que los dados porla Rel. (9.6), como debe ser.

Obtenemos tres numeros cuanticos en la solucion del problema: el numero cuanticomagneticom, conm = 0,±1,±2, · · · ; y los dos numeros cuanticos parabolicos n1, n2,con n1, n2 = 0, 1, 2, · · · . El numero cuantico principal n, viene dado por:

n = n1 + n2 + |m|+ 1; n = 1, 2, · · · . (10.14)

Tendremos entonces que (a menos de una fase) las autofunciones normalizadas ψn1n2m,correspondientes a los autovalores de energıa En con n dado por la Rel. (10.14), vendrandadas por:

ψn1n2m(ξ, η, ϕ) =

√2

n2a3/2fn1m

(ξ

an

)fn2m

( ηan

) eimϕ√2π, (10.15)

donde a es el radio de Bohr (ver 3-(9.5)), y fn′m(x) es la funcion definida en (6.49). Lanormalizacion se verifica inmediatamente al usar A-(4.5), (6.51) y (6.54); tambien hay quetener en cuenta la Rel. (10.14).

11. Problemas

5.P.1 Verificar las Rels. (1.2) y (1.3). N5.P.2 Para ν real, demostrar en 2.3, que φ2 ∈ L2(−1, c) para c ∈ (−1, 1). N

Usar la Rel. 2-(4.14); la Rel. (2.5) y el hecho que para ν = n = 0,±1,±2, · · · ,los Pn(x)’s son polinomios que no se anulan en x = −1 (ver Rels. (2.3), (2.4) y(2.21)).

5.P.3 Verificar las Rels. (2.34)-(2.37). N5.P.4 Verificar las Rels. expresadas en (2.38). N5.P.5 Demostrar que: ∫ 1

0

P2n(x)dx = δn0; n = 0, 1, 2, · · · , (11.1)

170 5. FUNCIONES ESPECIALES∫ 1

0

P2n+1(x)dx =(−1)n

2√π(n+ 1)!

Γ(n+1

2); n = 0, 1, 2, · · · . (11.2)

NAyuda: para n = 0 es obvio, y para n ≥ 1, usar la Rel. (2.36), junto con las

Rels. (2.4), (2.26) y la C-(2.17).Comentario: en virtud de la Rel. (2.21), se obtiene de (11.1) y (11.2), que:∫ 1

−1Pl(x)dx = 2δl0, l = 0, 1, 2, · · · (coherentemente con la Rel. (2.39)).

5.P.6 Desarrollar a la funcion f : (−1, 1) → R, definida por:

f(x) =

−1 si x < 0

1 si x ≥ 0,(11.3)

en terminos de los polinomios de Legendre. N5.P.7 Usando las relaciones de recurrencia y (2.39), probar que:

i. ∫ 1

−1

xPn(x)Pn′(x)dx =

2(n+1)

(2n+1)(2n+3)si n′ = n+ 1

2n(2n−1)(2n+1)

si n′ = n− 1

0 ∀n, n′, con n′ = n± 1.

(11.4)

ii. Para n′ ≥ n:

∫ 1

−1

x2Pn(x)Pn′(x)dx =

2(n+1)(n+2)

(2n+1)(2n+3)(2n+5); n′ = n+ 2

2(2n2+2n−1)(2n−1)(2n+1)(2n+3)

; n′ = n

0; ∀n, n′; con n′ > n, n′ = n+ 2.

(11.5)

N5.P.8 Demostrar a la Rel. (3.3). N5.P.9 Usando la formula de Leibnitz para la derivada enesima de un producto, esto

es:

dn

dxn[A(x)B(x)] =

n∑k=0

n!

(n− k)!k!

[dn−kA(x)

dxn−k

] [dkB(x)

dxk

], (11.6)

probar a la Rel. (3.18) partiendo de (3.17). NAyuda: tomar A(x) = (x+ 1)n, B(x) = (x− 1)n.

5.P.10 Verificar las Rels. (3.19)-(3.23). N5.P.11 Probar las Rels. (4.7). N5.P.12 Verificar la Rel. (4.8). N5.P.13 Verificar la Rel. (4.9). N5.P.14 Verificar la Rel. (4.11). N5.P.15 Demostrar la Rel. (5.4). N5.P.16 Demostrar las Rels. (5.5), (5.6) y (5.7). N5.P.17 Probar la Rel. (6.13). N5.P.18 Probar las Rels. (6.17) y (6.18). N5.P.19 Comprobar las Rels. (6.29) y (6.31). N5.P.20 Comprobar las relaciones contenidas en (6.32). N5.P.21 Comprobar la Rel. (7.14). N

11. PROBLEMAS 171

5.P.22 Usando el metodo de las transformadas integrales, verificar que cn(z) dado por laRel. (7.18) satisface a la EDOL de Hermite (para ν = n). N

Ayuda: usar K(z, t) = ezt.5.P.23 Verificar la Rel. (7.31). N5.P.24 Verificar la Rel. (7.32). N5.P.25 Si definimos Iknm ∈ R (Iknm = Ikmn), por:

Iknm ≡ [2n+mπn!m!]−1/2

∫ ∞

−∞xke−x

2

Hn(x)Hm(x)dx; m,n, k = 0, 1, 2, · · · , (11.7)

demostrar:i.

I0nm = δnm; I1nm =

√n+ 1

2δ(n+1)m +

√n

2δ(n−1)m. (11.8)

ii.

Iknm =∞∑r=0

I1nrIk−1rm =

√n+ 1

2Ik−1(n+1)m +

√n

2Ik−1(n−1)m; k ∈ Z+. (11.9)

Para n = 0 se toma Ik−1(−1)m (que no ha sido definido), como cualquier numero

real.N

Ayuda: para hallar I1nm usar las Rels. (7.31) y (7.33).

Para la relacion (11.9) utilizar 1-4.9.iv con ψ(x) = [2nn!√π]−1/2xHn(x);

φ(x) = [2mm!√π]−1/2xk−1Hm(x); φr(x) = [2rr!

√π]−1/2Hr(x).

Comentarios: las Rels. (11.8) y (11.9) son muy importantes en mecanica cuanti-ca al considerar el oscilador anarmonico.

5.P.26 Obtener la Rel. (9.7); esto es, normalizar Rnl. Demostrar que la degeneracion deEn es n2. N

5.P.27 Demostrar las Rels. (9.11), (9.14), (9.15) y (9.16). N5.P.28 Hallar los autovalores y autofunciones (no normalizadas) correspondientes a los

ejemplos 3-9.4 y 3-9.5. N5.P.29 Comprobar todos los cambios hechos en la seccion 10. N

Capıtulo 6

EDOL Inhomogeneas. Funciones de Green

En capıtulos anteriores hemos dirigido nuestros esfuerzos a las EDOL homogeneas.En este capıtulo queremos abordar las EDOL no homogeneas.

Para EDOL no homogeneas tambien se nos presentan tres problemas diferentes. (a)La existencia de soluciones del problema no homogeneo. (b) El problema de Cauchy. (c)El P.S-L.

Para la solucion de estos tres problemas es particularmente util la consideracion defunciones de Green asociadas a las EDOL.

Para obras especıficas sobre este tema ver: [116] y [117].En este capıtulo usaremos libremente las definiciones y resultados de la seccion 2-3.

1. Soluciones de EDOL Inhomogeneas (Funciones de Green)

Comentario 1.1. Deseamos hallar soluciones φp, llamadas soluciones particularesdel problema inhomogeneo en I:

L(λ)φ = f. (1.1)

Para ello consideraremos a funciones de Green cuya definicion damos a continuacion.

Definicion 1.2. Una funcion gλ : I × I → C, que satisface:

L(λ)x gλ(x, y) = p0(x)

∂2gλ(x, y)

∂x2+p1(x)

∂gλ(x, y)

∂x+(p2(x)− λ) gλ(x, y) = α0

δ(x− y)

w0(x), (1.2)

siendo α0 una constante real arbitraria no nula y w0 el peso asociado a L(λ); la cual escontinua en I × I, y cuya derivada es discontinua en x = y; x, y ∈ I; se llama funcion deGreen correspondiente a L(λ) y a su peso w0. N

La constante α0 se usa por conveniencia. En la practica son frecuentes las escogenciasα0 = 1 y α0 = −4π.

Notemos que gλ debe ser continua, aun en x = y, ya que si no lo fuese g′λ serıa una δallı y g′′λ serıa una δ′, contrariamente a lo exigido en (1.2).

El hecho de que gλ sea continua en x = y, pero que su derivada sea discontinua allı,nos indica que para un y ∈ I arbitrario pero fijo el grafico de gλ en funcion de x, cerca dex = y, debe ser del tipo indicado en la Fig. 1.

173

174 6. EDOL INHOMOGENEAS. FUNCIONES DE GREEN

- X

6

gλ(x, y)

y

Figura 1. Funcion de Green

Comentario 1.3. De la propia definicion de funcion de Green, queremos verificarque estas vienen dadas en general por:

gλ(x, y) = s1(y)φ1(x) + s2(y)φ2(x)− α0Θ(x− y)φ1(x)φ2(y)− φ1(y)φ2(x)

p(y)W (φ1, φ2; y).

φ1, φ2 es una base de soluciones del problema L(λ)φ = 0 en I; p(y) = p0(y)w0(y).

sk : I → C, k = 1, 2; son funciones arbitrarias de clase C(I),

(1.3)siendo Θ(x−y) la funcion salto definida en B-1.3.vi, yW el Wronskiano. Es muy importan-te notar, de la Rel. 2-(4.10), que p(y)W (φ1, φ2; y) es una constante no nula (no depende

de y; para una EDOL dada, su valor solamente depende de φ1 y φ2).Notemos que una base de soluciones φ1, φ2 existe por el teorema 2-4.4. Para x < y o

x > y, gλ satisface a la Ec. L(λ)gλ = 0 (ver (1.2)); en cuyo caso las soluciones seran (yaque φ1 y φ2 es una base de soluciones):

gλ(x, y) = a1φ1(x) + a2φ2(x); x > y, (1.4)

gλ(x, y) = s1φ1(x) + s2φ2(x); x < y, (1.5)

siendo ak : I → C; sk : I → C; k = 1, 2; funciones continuas arbitrarias de y.Como ∂gλ

∂xno es continua en x = y, veamos que su salto en x = y viene dado por:

lımϵ→0ϵ>0

[∂gλ(x, y)

∂x

∣∣∣∣x=y+ϵ

− ∂gλ(x, y)

∂x

∣∣∣∣x=y−ϵ

]=

α0

p(y). (1.6)

Integrando la Rel. (1.2) entre x = y − ϵ y x = y + ϵ, tendremos:∫ y+ϵ

y−ϵp0(x)

∂2gλ(x, y)

∂x2dx+

∫ y+ϵ

y−ϵp1(x)

∂gλ(x, y)

∂xdx+

∫ y+ϵ

y−ϵ(p2(x)− λ) gλ(x, y)dx

= α0

∫ y+ϵ

y−ϵ

δ(x− y)

w0(x)dx =

α0

w0(y).

(1.7)

1. SOLUCIONES DE EDOL INHOMOGENEAS (FUNCIONES DE GREEN) 175

Para ϵmuy pequeno, como las pk’s (k = 0, 1, 2) son continuas, podremos reemplazarlaspor su valor en x = y; esto es:

p0(y)

∫ y+ϵ

y−ϵ

∂2gλ(x, y)

∂x2dx+ p1(y)

∫ y+ϵ

y−ϵ

∂gλ(x, y)

∂xdx+ (p2(y)− λ)

∫ y+ϵ

y−ϵgλ(x, y)dx =

α0

w0(y).

(1.8)Por la continuidad de la gλ, las dos ultimas integrales de la Rel. (1.8) se anulan (al

hacer ϵ→ 0), y obtenemos de esa Rel. que:

p0(y)

[∂gλ(x, y)

∂x

∣∣∣∣x=y+ϵ

− ∂gλ(x, y)

∂x

∣∣∣∣x=y−ϵ

]=

α0

w0(y), (1.9)

con lo que se ha obtenido a la Rel. (1.6).Impongamos ahora la continuidad de la gλ en x = y para las soluciones (1.4) y (1.5):

a1φ1(y) + a2φ2(y) = s1φ1(y) + s2φ2(y). (1.10)

De las Rels. (1.4), (1.5) y (1.6), obtenemos:

a1φ′1(y) + a2φ

′2(y)− [s1φ

′1(y) + s2φ

′2(y)] =

α0

p(y). (1.11)

Al combinar terminos en las Rels. (1.10) y (1.11), se obtiene:

(a1 − s1)φ1(y) + (a2 − s2)φ2(y) = 0,

(a1 − s1)φ′1(y) + (a2 − s2)φ

′2(y) =

α0

p(y).

(1.12)

Por Cramer, las soluciones de (1.12) son:

a1 − s1 = − α0φ2(y)

p(y)W (y); a2 − s2 =

α0φ1(y)

p(y)W (y). (1.13)

Al sustituir (1.13) en la Rel. (1.4), tendremos:

gλ(x, y) = s1φ1(x) + s2φ2(x)− α0φ1(x)φ2(y)− φ1(y)φ2(x)

p(y)W (y); x > y

gλ(x, y) = s1φ1(x) + s2φ2(x); x < y.

(1.14)

La verificacion es completa, ya que la Rel. (1.14) se puede reescribir en la forma (1.3).

Comentario 1.4. La definicion y el calculo de funciones de Green que hemos ex-puesto carecen de rigor matematico. Notemos sin embargo que hubieramos podido definira gλ rigurosamente como una funcion gλ : I × I → C, continua en I × I, que satisface a la

EDOL homogenea L(λ)x gλ(x, y) = 0 para x < y e y < x; y cuya derivada tiene un salto en

x = y: ∂gλ(x,x+)∂x

− ∂gλ(x,x−)∂x

= α0

p(x).

Estas son precisamente las propiedades satisfechas (rigurosamente) por la gλ dadapor la Rel. (1.3).

A continuacion nos ocuparemos de la existencia de soluciones particulares de la EDOL(1.1).


Teorema 1.5. La EDOL (1.1) tiene una solucion particular φp, dada por:

φp(x) =1

α0

∫ x

gλ(x, y)w0(y)f(y)dy, (1.15)

donde gλ (para y ≤ x; ver (1.15)) viene dada por:

gλ(x, y) = α0φ1(y)φ2(x)− φ1(x)φ2(y)

p(y)W (φ1, φ2; y). (1.16)

Demostracion. Sabemos que una base de soluciones φ1, φ2 existe (teorema 2-4.4)y que φ1, φ2 ∈ C2(I). En virtud de todas las propiedades de continuidad que tenemos,podremos aplicar la formula de Leibnitz (para la derivacion bajo el signo integral). Ten-dremos:

α0φ′p(x) =

∫ x ∂gλ(x, y)

∂xw0(y)f(y)dy + gλ(x, x)w0(x)f(x), (1.17)

donde el ultimo termino se anula ya que gλ(x, x) = 0. Ademas:

α0φ′′p(x) =

∫ x ∂2gλ(x, y)

∂x2w0(y)f(y)dy +

∂gλ(x, x)

∂xw0(x)f(x), (1.18)

siendo ∂gλ(x,x)∂x

= α0

p(x). Tendremos entonces:

L(λ)x φp(x) =

1

α0

∫ x [L(λ)x gλ(x, y)

]w0(y)f(y)dy + f(x) = f(x), (1.19)

ya que L(λ)x gλ(x, y) = 0 para y < x.

Las funciones s1 y s2 de la Rel. (1.3) se han escogido iguales a cero en I.Notemos que la verificacion (formal) de este teorema es inmediata. En efecto:

L(λ)x φp(x) =

1

α0

gλ(x, x)w0(x)f(x) +

∫ x [L(λ)x gλ(x, y)

] w0(y)

α0

f(y)dy

=

∫ x [α0δ(x− y)

w0(x)

]w0(y)

α0

f(y)dy = f(x).

(1.20)

Comentario 1.6. De la propia Def. 1.2, vemos que podemos pensar en una funcion deGreen gλ como una solucion para una perturbacion impulsiva (que tambien podemosdenominar puntual) a la EDOL homogenea. Por ejemplo, en mecanica clasica en unadimension perturbamos al sistema fısico en el instante t0, con una fuerza impulsiva f(t)dependiente del tiempo, del tipo f(t) = δ(t − t0); o en electromagnetismo en vez deconsiderar una region libre de cargas, colocamos una carga puntual no nula q en r0; esto es,una densidad de carga ρ(r) = qδ(r− r0); este ultimo ejemplo se refiere a tres dimensiones,pero ilustra el punto.

De la Rel. (1.15) observamos que la funcion de Green gλ dada por la Rel. (1.16)

determina un operador lineal Gλ, tal que: Gλ(f) = φp, ∀f ∈ C(I). Se tiene que Gλ es una

inversa a la derecha del operador L(λ), ya que: L(λ)(Gλ(f)

)= f , ∀f ∈ C(I). Para una

buena discusion sobre la inversa a la derecha y a la izquierda de cualquier funcion (linealo no), ver 16.6 en [55].

3. P.S-L.R. INHOMOGENEO CON CONDICIONES DE FRONTERA HOMOGENEAS 177

El considerar funciones de Green trasciende al problema de hallar soluciones de EDOLinhomogeneas, ya que tambien es un instrumento util cuando tratamos problemas del tipo:

L(λ)x φ(x) = f(x;φ(x)). (1.21)

Aunque no entraremos en este tipo de topicos (ecuaciones integrales; ver [118, 119], p. ej.);las Rels. 7-(16.3) y 8-(8.8) nos proporcionan dos ejemplos.

2. Problema de Cauchy para EDOL Inhomogeneas

Comentario 2.1. Ya sabemos que para los datos de Cauchy φ(x0) = α1; φ′(x0) = α2;

x0 ∈ I, la EDOL (1.1) tiene una solucion unica (ver teorema 2-4.5)Para resolver este problema haremos una escogencia muy especıfica para la solucion

particular. Tenemos el siguiente teorema:

Teorema 2.2. Para la gλ dada por la Rel. (1.16), la funcion φp, dada por:

φp(x) =1

α0

∫ x

x0

gλ(x, y)w0(y)f(y)dy; x0 ∈ I, (2.1)

satisface a la EDOL (1.1) y a los datos de Cauchy:

φp(x0) = 0 ; φ′p(x0) = 0. (2.2)

Demostracion. De que (2.1) satisface a (1.1) ya fue demostrado en el teorema 1.5.De que φp(x0) = 0 es claro de la propia Rel. (2.1). De que φ′

p(x0) = 0 es tambien claro dela Rel. (1.17).

Teorema 2.3. La solucion de la EDOL (1.1) con los datos de Cauchy: φ(x0) = α1,φ′(x0) = α2, x0 ∈ I; vendra dada por:

φ(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x) +

∫ x

x0

φ1(y)φ2(x)− φ1(x)φ2(y)

p(y)W (φ1, φ2; y)w0(y)f(y)dy, (2.3)

estando los coeficientes complejos c1 y c2 unıvocamente determinados por los datos deCauchy.

Demostracion. Obvia de los teoremas 2-4.5 y 2.2, y de sustituir la Rel (1.16) en laRel. (2.1).

Vemos pues la gran ventaja que se ha conseguido al escoger como solucion particulara la (2.1). Con ello, el problema de satisfacer los datos de Cauchy ha quedado relegado ala EDOL homogenea.

3. P.S-L.R. Inhomogeneo con Condiciones de Frontera Homogeneas

Comentario 3.1. Deseamos hallar la solucion de la EDOL (1.1) sujeta a condicionesde frontera homogeneas (ver 4-2.1):

F1(φ) = 0 ; F2(φ) = 0, (3.1)

donde supondremos que L es real, y que el problema homogeneo es autoadjunto (ello secumple si las condiciones de frontera son no mixtas y a coeficientes reales, p. ej.).

Para ello nos planteraremos primero el problema de existencia y unicidad de la funcionde Green sujeta a las condiciones de frontera homogeneas. Tendremos el siguiente teorema:


Teorema 3.2. Sea L real, y sea L(λ)φ = 0 sujeto a las condiciones de fronterahomogeneas (3.1) un P.S-L.R. autoadjunto. Entonces, la funcion de Green dada por laRel. (1.3) que satisface las condiciones de frontera:

F1(gλ) = 0 ; F2(gλ) = 0, (3.2)

existira sii el parametro λ ∈ C no es un autovalor del operador L con las condiciones defrontera (3.1). Ademas, de existir, la funcion de Green sera unica.

Demostracion. i. Supongamos que λ no es un autovalor de L. Definamos:

hλ(x, y) ≡ −α0Θ(x− y)φ1(x)φ2(y)− φ1(y)φ2(x)

p(y)W (φ1, φ2; y). (3.3)

Al imponer las condiciones (3.2), tendremos que:

F1(gλ) = F1(hλ) + s1(y)F1(φ1) + s2(y)F1(φ2) = 0,

F2(gλ) = F2(hλ) + s1(y)F2(φ1) + s2(y)F2(φ2) = 0,(3.4)

ya que las condiciones F1 y F2 son lineales.

Notemos que no puede ocurrir que F1(hλ) = F2(hλ) = 0; ya que L(λ)x hλ(x, y) = 0,

∀y < x; y tendrıamos que hλ(x, y), (y < x), serıa una autofuncion de Lx de autovalorλ (contrariamente a la hipotesis). Por lo tanto, las Ecs. (3.4) tendran solucion unicapara s1, s2, sii:

det

(F1(φ1) F1(φ2)F2(φ1) F2(φ2)

)= 0, (3.5)

lo cual se cumple a su vez, sii (excepto para α = β = 0) las relaciones:

αF1(φ1) + βF1(φ2) = 0,

αF2(φ1) + βF2(φ2) = 0,(3.6)

no son satisfechas para ninguna constante α, β. Por la linealidad de F1, F2, podremosreescribir a la Rel. (3.6) ası:

F1(αφ1 + βφ2) = 0,

F2(αφ1 + βφ2) = 0.(3.7)

Si (3.7) ocurriese, ello significarıa que χ ≡ αφ1+βφ2 serıa una autofuncion de L deautovalor λ, que satisface las condiciones (3.1). Entonces, como λ no es un autovalorde L ((3.7) no puede ocurrir), las ecuaciones (3.4) tienen solucion unica para s1, s2.

ii. Si existe gλ que satisface a las condiciones (3.2); supongamos que existe una χ ≡ 0que satisface las condiciones (3.1) y a L(λ)χ = 0. Tendremos, al usar la Rel. 2-(3.13):∫ b

a

w0(x)χ(x)[L(λ)x gλ(x, y)]dx =

∫ b

a

w0(x)gλ(x, y)L(λ)x χ(x)dx = 0, (3.8)

ya que el problema es autoadjunto. Pero el miembro izquierdo de la Rel (3.8) es

precisamente α0χ(y), lo cual se puede verificar formalmente (L(λ)x gλ = α0

δ(x−y)w0(x)

), o

rigurosamente como lo hacemos al probar el teorema 3.5. Entonces, χ(y) = 0, y porlo tanto no existe autofuncion para ese autovalor λ.


iii. Finalmente, la unicidad de gλ es inmediata ya que si existiesen dos funciones deGreen que satisfagan a (3.2), su diferencia gλ tambien lo harıa y ademas satisfarıa ala ecuacion L(λ)gλ = 0, lo cual contradice el hecho de que λ no debe ser un autovalorpara la existencia de la funcion de Green. Por lo tanto gλ = 0.

La unicidad de la funcion de Green nos indica, que para una escogencia dada de

la base de soluciones φ1, φ2; las funciones s1, s2 de la Rel. (1.3) estaran unıvocamentedeterminadas al imponer las condiciones de frontera (3.2).

Al acordarnos de la conexion que existe entre gλ y el operador inverso de L(λ) (ver1.6) notamos que la condicion de que λ no sea un autovalor es analogo al caso de unaecuacion matricial A(λ)φ ≡ (A−λI)φ = f siendo A una matriz N ×N (f = 0). En efecto,el problema A(λ)φ = f tiene solucion unica si la matriz (A− λI) es no singular; esto es, si(A− λI)−1 existe, lo que ocurre sii det (A− λI) = 0 (o sea, si λ no es un autovalor de A).

A continuacion damos otro procedimiento para hallar la funcion de Green.

Teorema 3.3. Sea L real, y sea L(λ)φ = 0 sujeto a las condiciones de frontera

homogeneas (3.1) un P.S-L.R. autoadjunto. Sabemos que las autofunciones de L: φ(dn)n ;

n = 1, 2, · · · , dn = 1, 2; esto es:Lφ(dn)

n = λnφ(dn)n , (3.9)

que satisfacen:F1(φ

(dn)n ) = F2(φ

(dn)n ) = 0; (3.10)

forman un conjunto ortonormal completo en L2w0(I); ver teorema 4-4.2.

Entonces, si λ ∈ C no es autovalor, la funcion de Green dada por la Rel. (1.3) quesatisface la Rel. (3.2) puede escribirse ası:

gλ(x, y) = α0

∞∑n=1

∑dn

φ(dn)n (y)φ

(dn)n (x)

λn − λ. (3.11)

Demostracion. Como estamos considerando un P.S-L.R (en particular, los extremosdel intervalo I son finitos), tendremos que gλ ∈ L2

w0(I). Entonces:

gλ(x, y) =∑n,dn

a(dn)n (y)φ(dn)n (x). (3.12)

Tendremos:

λna(dn)n (y) = λn

∫ b

a

dxw0(x)φ(dn)n (x)gλ(x, y) =

∫ b

a

dxw0(x)[Lxφ(dn)n (x)]gλ(x, y)

=

∫ b

a

dxw0(x)φ(dn)n (x)Lxgλ(x, y),

(3.13)

donde hemos usado el hecho de que λn es real y a la Rel. 2-(3.13) (al tener presente queel problema es autoadjunto). Entonces:

λna(dn)n (y) =

∫ b

a

dxw0(x)φ(dn)n (x)(Lx − λ)gλ(x, y) + λ

∫ b

a

dxw0(x)φ(dn)n (x)gλ(x, y)

=

∫ b

a

dxw0(x)φ(dn)n (x)L(λ)

x gλ(x, y) + λa(dn)n (y).

(3.14)


Pero la integral del miembro derecho de la Rel. (3.14) es precisamente α0φ(dn)n (y), lo cual

se puede verificar formalmente (L(λ)x gλ(x, y) = α0

δ(x−y)w0(x)

, o rigurosamente como lo hacemos

al probar el teorema 3.5. De la Rel. (3.14) tendremos entonces:

a(dn)n (y) = α0φ(dn)n (y)

λn − λ. (3.15)

Comentario 3.4. Hagamos unos comentarios que resultan pertinentes:

(a) De la relacion (3.11) vemos que es necesario que λ = λn, ∀n; para que tenga sentidodicha relacion. Pero esta es precisamente la condicion necesaria para la existencia degλ (ver teorema 3.2).

(b) En la expresion (3.11) es transparente que F1(gλ) = F2(gλ) = 0, debido a la linealidadde F1, F2 y a la Rel. (3.10).

(c) Si la gλ se puede escribir en la forma (3.11) entonces tambien podra obtenerse en laforma estipulada por el teorema 3.2 (a traves de la Rel. (1.3)). Pero la inversa no escierta en general si se trata de un P.S-L.S., ya que si λ no es un autovalor gλ siempreexiste en la forma estipulada por el teorema 3.2, pero puede ocurrir que L no tenganinguna autofuncion, o que las autofunciones de L no formen un conjunto completoen L2

w0(I).

(d) Cuando la gλ puede obtenerse explıcitamente en sus dos versiones, teorema 3.2 y(3.11), la primera es quizas la mas interesante ya que es una formula “cerrada” y nouna serie infinita como en (3.11). De todas maneras, debido a la unicidad, estas dosexpresiones seran iguales y pueden ser utilizadas para obtener un desarrollo en seriede la expresion cerrada de gλ.

Teorema 3.5. Sea L real, y sea L(λ)φ = 0 sujeto a las condiciones de fronterahomogeneas (3.1) un P.S-L.R. autoadjunto. Entonces:

i. Si λ ∈ C no es un autovalor de L, la solucion del problema:

L(λ)φ = f, (3.16)

sujeto a las condiciones de frontera (3.1) vendra dada por:

φ(x) =1

α0

∫ b

a

dyw0(y)gλ(x, y)f(y), (3.17)

donde gλ es la funcion de Green especificada en el teorema 3.2.ii. De existir solucion a (3.16) con las condiciones de frontera (3.1), esta sera unica sii

λ ∈ C no es un autovalor de L.

Demostracion. i. Si λ no es un autovalor, gλ existe (teorema 3.2). De que (3.17)satisface las condiciones de frontera (3.1) es obvio de la linealidad de F1, F2 y de laRel. (3.2).

Escribamos la φ de (3.17) ası: φ =∫ xa+∫ bx. Entonces:

α0φ′(x) =

∫ x

a

∂gλ(x, y)

∂xw0(y)f(y)dy +

∫ b

x

∂gλ(x, y)

∂xw0(y)f(y)dy

+ [gλ(x, x+)w0(x+)f(x+)− gλ(x, x−)w0(x−)f(x−)] ,

(3.18)


donde el termino del corchete se anula debido a la continuidad de las funciones.Ademas:

α0φ′′(x) =

∫ x

a

∂2gλ(x, y)

∂x2w0(y)f(y)dy +

∫ b

x

∂2gλ(x, y)

∂x2w0(y)f(y)dy

+

[∂gλ(x, x+)

∂xw0(x+)f(x+)− ∂gλ(x, x−)

∂xw0(x−)f(x−)

]=

∫ x

a

∂2gλ(x, y)

∂x2w0(y)f(y)dy +

∫ b

x

∂2gλ(x, y)

∂x2w0(y)f(y)dy +

α0f(x)

p0(x),

(3.19)

ya que w0 y f son continuas; y[∂gλ(x,x+)

∂x− ∂gλ(x,x−)

∂x

]= α0

w0(x)p0(x), como se desprende

de la Rel. 1.3.Al usar las Rels. (3.18) y (3.19), tendremos:

L(λ)x φ(x) = f(x) +

∫ x

a

[L(λ)x gλ(x, y)]w0(y)f(y)dy +

∫ b

x

[L(λ)x gλ(x, y)]w0(y)f(y)dy = f(x),

(3.20)

puesto que L(λ)x gλ(x, y) = 0 para x < y o x > y.

ii. Si λ no es un autovalor, la solucion es unica ya que si φ1, φ2 son soluciones φ ≡ φ1−φ2

tambien lo sera del problema L(λ)φ = 0 con las condiciones (3.1), contrariamente ala hipotesis; entonces φ = 0.

Por otra parte si φ es una solucion que es unica, no puede existir autofuncion φλde L con autovalor λ ya que entonces χ ≡ φ+ φλ tambien serıa solucion, violando launicidad.

Comentario 3.6. Si λ es un autovalor de L, la solucion de la EDOL (3.16) sujeta

a las condiciones de frontera (3.1) puede existir (en cuyo caso no sera unica por 3.5.ii).Demos un ejemplo de ello. Sea:

L(−π2)x φ(x) = Lxφ(x) + π2φ(x) = φ′′(x) + π2φ(x) = −3π2sen 2πx; I = [0, 1], (3.21)

sujeta a las condiciones de frontera:

φ(0) = φ(1) = 0. (3.22)

Vemos que χ(x) ≡ senπx es una autofuncion de L de autovalor −π2 (Lχ = χ′′ = −π2χ;

por lo tanto: L(−π2)χ = 0), la cual satisface las condiciones (3.22). Por otra parte, tenemosque φ(x) = sen 2πx satisface a (3.21) y (3.22). La no unicidad es clara, ya que las funciones:

sen 2πx+ αsenπx; α ∈ C, (3.23)

satisfacen a (3.21) y (3.22).No nos detendremos en la problematica planteada por este tipo de situaciones, que

llevan a la consideracion de la llamada funcion de Green modificada o pseudo funcion deGreen. Para tratamientos de estos problemas, se puede consultar, p. ej.: [15], [32], [33],[96], [116], [117].

Demos a continuacion unas propiedades importantes de gλ.

Teorema 3.7. Sea L real, y sea L(λ)φ = 0 sujeto a las condiciones de frontera (3.1)un P.S-L.R. autoadjunto. Supongamos que λ ∈ C no sea un autovalor de L. Entonces:


i.

gλ(x, y) = gλ(y, x). (3.24)

ii. Si ademas, λ y los coeficientes de F1, F2 son reales:

gλ(x, y) = gλ(x, y). (3.25)

Demostracion. i. De 2-(3.7) y 2-(3.15) tenemos que L(λ)w0 = L(λ). Al usar la Rel.

2-(3.13), como el problema es autoadjunto, tendremos al tomar ψ(x) = gλ(x, y);φ(x) = gλ(x, y

′):∫ b

a

dxw0(x)gλ(x, y)L(λ)x gλ(x, y

′) =

∫ b

a

dxw0(x)gλ(x, y′)L

(λ)x gλ(x, y). (3.26)

Pero la Rel. (3.26) nos produce: α0gλ(y′, y) = α0gλ(y, y

′), como se puede verificar

formalmente (L(λ)x g(x, y) = α0

δ(x−y)w0(x)

) o al proceder de manera rigurosa como en la

demostracion del teorema 3.5. Obtenemos (3.24) al hacer y′ → x.

ii. En este caso, como L(λ) = L(λ), tendremos L(λ)x gλ(x, y) = 0 para x < y; x > y. La

discontinuidad de la derivada sera la misma para gλ y gλ (esto es, α0/p(x)); y comolos coeficientes de F1, F2 son reales tendremos (conjugando) que F1(gλ) = F2(gλ) = 0.Entonces, por la unicidad de la solucion (ver teorema 3.2) tendremos a la Rel. (3.25).

Si L; λ; y los coeficientes de F1, F2, son todos reales, tendremos de las Rels. (3.24) y

(3.25) que:

gλ(x, y) = gλ(y, x). (3.27)

La Rel. (3.27) se llama principio de reciprocidad, y significa que la respuesta enel punto y debido a una fuente puntual en el punto x, es la misma que la respuesta en xdebido a una fuente puntual en y.

4. P.S-L.S. Inhomogeneo

Comentario 4.1. Este problema es mucho mas complejo desde el punto de vista ma-tematico. Sin embargo, si nos decidimos a proceder formalmente, el P.S-L.S. inhomogeneono ofrece dificultades desde el punto de vista practico. A continuacion precisaremos esteproblema, indicando su solucion.

Comentario 4.2. Sea L real, y sea L(λ)φ = 0 sujeto a condiciones de fronteraespecificadas en 4-2.6 o 4-2.7, un P.S-L.S. autoadjunto. Queremos hallar la solucion delproblema:

L(λ)φ = f ; f ∈ L2w0(I), (4.1)

sujeto a las condiciones de frontera antes mencionadas. Para ello, si λ ∈ C no es un autova-lor de L; y el espectro de L no posee parte continua; determinamos las funciones s1, s2, dela funcion de Green dada por (1.3) al imponerle a gλ las mismas condiciones de fronteraque las de la EDOL (4.1) (la verificacion de la unicidad de la gλ; esto es, de s1, s2, para

φ1, φ2 dadas; se efectua como para el caso regular). La solucion de la EDOL (4.1) vendradada por:

φ(x) =1

α0

∫ b

a

dyw0(y)gλ(x, y)f(y). (4.2)

5. ARTIFICIOS DE CALCULO 183

En este caso tambien seran validas las Rels. (3.24), (3.25) y (3.27).Si es el caso que L posee un conjunto ortonormal completo de autofunciones φdnn

(como en (3.9)) que satisfaga el tipo de condiciones de frontera que estamos considerando,tambien tendremos que la Rel. (3.11) sera valida (lo que facilmente se puede comprobarformalmente).

Si bien en algunos casos estas reglas funcionan si el espectro de L posee parte continua,en general, bajo esa situacion, si λ ni siquiera es un autovalor generalizado, no se le imponeforzosamente a la gλ las mismas condiciones de frontera que las de la EDOL (4.1). P. ej.,en el calculo de las autofunciones generalizadas del ejercicio 4-6.2, se exige la acotacionmientras que a gλ se le impone la pertenencia a L2(R), ver 6.P.9. Es bueno senalar que siλ es un autovalor generalizado, es posible calcular la funcion de Green gλ (ver, p. ej., laseccion 8).

5. Artificios de Calculo

Comentario 5.1. Hemos visto en las secciones 3 y 4, que el punto crucial para resol-ver un P.S-L. inhomogeneo (regular o singular) es el calculo de la funcion de Green. A suvez, el calculo de esa gλ se reduce a hallar las funciones s1, s2 de la Rel. (1.3). Hemos vistoque las imposiciones de las condiciones de frontera determinan unıvocamente estas fun-ciones; esto es, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, problema queen principio no ofrece ninguna dificultad (como ya sabemos desde la escuela secundaria).

Sin embargo, vamos a ver que una escogencia adecuada de las soluciones linealmenteindependientes nos agiliza la resolucion de este sistema de ecuaciones.

Comentario 5.2. Si φ1, φ2 son dos soluciones arbitrarias, linealmente independientesde la EDOL homogenea L(λ)φ = 0, las combinaciones lineales:

ψ1 ≡ c1φ1 + c2φ2, (5.1)

ψ2 ≡ d1φ1 + c2φ2, (5.2)

tambien seran soluciones de la EDOL homogenea.Si el P.S-L. es regular con condiciones de frontera homogeneas (ver (3.1)), resulta

conveniente imponer:

F1(ψ1) = 0, (5.3)

F2(ψ2) = 0. (5.4)

Notemos que al imponer (5.3) y (5.4) tendremos:

F1(ψ2) = 0 ; F2(ψ1) = 0, (5.5)

ya que si alguna de estas expresiones se anulase, como λ no es un autovalor de L,tendrıamos que a la fuerza la ψ correspondiente serıa nula. Ademas ψ1 y ψ2 no pue-den ser linealmente dependientes (esto es, ψ1 = αψ2) ya que entonces ψ1 y ψ2 satisfarıanambas condiciones de frontera y por lo tanto tendrıamos ψ1 = ψ2 = 0.

Por supuesto, las imposiciones (5.3) y (5.4) no determinan unıvocamente los coefi-cientes de (5.1) y (5.2), sino c1 en funcion de c2 y d1 en funcion de d2 (p. ej.). Podemosescoger los dos coeficientes indeterminados de manera arbitraria (pero tal que ψ1 ≡ 0,ψ2 ≡ 0); tomando el valor uno, p. ej..


Finalmente, usamos estas ψ1, ψ2 en la Rel. (1.3), determinando s1, s2 con las condi-ciones de frontera correspondientes a la gλ.

Si el P.S-L. es regular y no mixto o si es singular, entonces imponemos la condicionde frontera correspondiente al punto a a la ψ1; y la correspondiente al punto b a la ψ2,usando luego estas ψ1, ψ2 en la Rel. (1.3), y determinando s1, s2 con las condiciones defrontera correspondientes a la gλ.

A continuacion veremos que para casos particulares el procedimiento arriba indicadolleva a una formula compacta para la gλ.

Teorema 5.3. Si al P.S-L.R. se le imponen las condiciones de frontera homogeneasno mixtas, o si tenemos a un P.S-L.S., entonces (si λ ∈ C no es un autovalor de L):

gλ(x, y) = α0ψ1(x<)ψ2(x>)

p(y)W (ψ1, ψ2; y); x> ≡ max x, y; x< ≡ mın x, y, (5.6)

donde ψ1, ψ2 vienen determinadas tal como lo hemos indicado en 5.2.

Demostracion. Empecemos por la verificacion de la Rel. (5.6) para el P.S-L.R. De(1.3) tendremos, en virtud de las Rels. (5.3) y (5.4):

F1(gλ) = s2(y)F1(ψ2) = 0, (5.7)

F2(gλ) = s1(y)F2(ψ1)− α0F2(ψ1)ψ2(y)

p(y)W (y)= 0. (5.8)

De las Rels. (5.7) y (5.8) obtenemos, al tomar en cuenta la Rel. (5.5):

s2(y) = 0 ; s1(y) = α0ψ2(y)

p(y)W (y). (5.9)

Al sustituir la Rel. (5.9) en la Rel. (1.3), obtenemos:

gλ(x, y) =α0

p(y)W (y)ψ1(x)ψ2(y)−Θ(x− y) [ψ1(x)ψ2(y)− ψ2(x)ψ1(y)] . (5.10)

Pero la Rel. (5.10) es precisamente la Rel. (5.6).Para considerar el P.S-L.S., notemos primero que ψ1 (respectivamente ψ2) no satisface

a la condicion de frontera en el punto b (respectivamente a) ya que λ no es un autovalor.Entonces, de (1.3), tendremos:

gλ(a, y) = s1(y)ψ1(a) + s2(y)ψ2(a), (5.11)

y s2(y) = 0 para que gλ satisfaga la condicion de frontera en a (ya que ψ2 no la satisface).Por otra parte, tambien de (1.3) tendremos:

gλ(b, y) =

[s1(y)− α0

ψ2(y)

p(y)W (y)

]ψ1(b) + α0

ψ1(y)ψ2(b)

p(y)W (y). (5.12)

Como ψ1(b) no satisface la condicion de frontera en b, para que gλ pueda hacerlo, tendremos

forzosamente que s1(y) = α0ψ2(y)

p(y)W (y).

6. EJERCICIOS 185

6. Ejercicios

Comentario 6.1. Daremos algunos ejemplos de calculo de funciones de Green. Losejemplos escogidos son de utilidad en electromagnetismo, y las notaciones que usaremosson de una vez las adecuadas para estos problemas. Seguiremos las indicaciones sugeridasen la seccion 5.

Ejercicio 6.2. Para λ > 0, hallar la funcion de Green correspondiente al operador:

L(λ)z φ(z) ≡ φ′′(z)− λφ(z); z ∈ [0, c]; 0 < c <∞, (6.1)

sujeta a las condiciones de Dirichlet homogeneas:

gλ(0, z′) = gλ(c, z

′) = 0. (6.2)

NEste es un P.S-L.R., y para λ > 0 no existen autofunciones de L que satisfagan

φ(0) = φ(c) = 0 (por lo tanto gλ existe y es unica).Un sistema fundamental de soluciones del problema homogeneo L(λ)φ(z) = 0, viene

dado por:

φ1(z) = senh√λz ; φ2(z) = cosh

√λz. (6.3)

La solucion φ1 ya satisface a φ1(0) = 0. Tomemos entonces ψ1(z) ≡ φ1(z). Para la segundasolucion, sea:

ψ2(z) = d1senh√λz + d2 cosh

√λz. (6.4)

Al imponer ψ2(c) = 0 en la Rel. (6.4) obtenemos:

d1 = −d2cosh

√λc

senh√λc. (6.5)

Al escoger (arbitrariamente) d2 = 1, tendremos:

ψ2(z) = cosh√λz − cosh

√λc

senh√λc

senh√λz, (6.6)

o lo que es lo mismo:

ψ2(z) =senh

√λ(c− z)

senh√λc

. (6.7)

Al tomar la ψ1 y ψ2 halladas, es inmediato verificar (usando (6.6) y la linealidad deW (ψ1, ψ2; z) en ψ2) que:

W (ψ1, ψ2; z) = −√λ. (6.8)

Sabemos que w0(z) = 1 y que p(z) = 1, con lo que al sustituir estos resultados en laRel. (5.6), obtenemos:

gλ(z, z′) = −α0

senh(√λz<)senh

√λ(c− z>)√

λ senh√λc

; λ > 0. (6.9)

Ejercicio 6.3. Resolvamos el mismo ejercicio anterior, pero por el metodo de series(ver 3.3).


Al consultar la subseccion 4-5.4, vemos que al hacer λ ≡ −ν2; a ≡ 0; b ≡ c, ten-dremos de 4-(5.18) y 4-(5.17) que las autofunciones y autovalores de L que satisfacen lascondiciones de Dirichlet homogeneas en 0 y c, vienen dadas por:

φn(z) =

√2

csen

πnz

c; λn = −π

2n2

c2; n = 1, 2, · · · . (6.10)

Como el conjunto ortonormal φn es completo en L2(0, c) tendremos al usar la Rel. (3.11):

gλ(z, z′) = −α0

(2

c

) ∞∑n=1

sen(nπz′

c

)λ+

(πnc

)2 sen(nπzc ); λ > 0. (6.11)

Por la unicidad de la funcion gλ, podemos obtener el desarrollo en serie de la forma“cerrada” (6.9) al igualar las expresiones (6.9) y (6.11).

Ejercicio 6.4. Para λ = 0, hallar la funcion de Green g(r, r′) ≡ g0(r, r′) correspon-

diente al operador:

Lrφ(r) ≡ φ′′(r) +2

rφ′(r)− l(l + 1)

r2φ(r); l ∈ C, l = −1

2, (6.12)

para el intervalo I = [a, b], con 0 < a < b < ∞, y las condiciones de frontera de Dirichlethomogeneas:

g(a, r′) = g(b, r′) = 0. (6.13)

NEste es un P.S-L.R.. Sabemos que w0(r) = r2 y que p(r) = r2; y que un sistema

fundamental de soluciones del problema homogeneo Lrφ(r) = 0, viene dado por:

φ1(r) = rl y φ2(r) = r−l−1. (6.14)

Notemos que λ = 0 no es un autovalor de Lr, con condiciones de frontera φ(a) =φ(b) = 0. En efecto, si φ ≡ αφ1+βφ2 fuese una autofuncion, las Ecs. αφ1(a)+βφ2(a) = 0;αφ1(b) + βφ2(b) = 0, implicarıan α = β = 0 (para φ1, φ2 dadas por la Rel. (6.14)). Por lotanto g existe y es unica.

Hallemos las ψ1, ψ2, tal como se indica en 5.2. Tendremos (para (5.1) y (5.2)):

ψ1(a) = c1al + c2a

−l−1 = 0, (6.15)

ψ2(b) = d1bl + d2b

−l−1 = 0, (6.16)

de donde obtenemos:

c2 = −c1a2l+1 ; d1 = −d2b−2l−1. (6.17)

Al escoger (arbitrariamente) c1 = 1 y d2 = 1, tendremos, al sustituir esos valores:

ψ1(r) = rl − a2l+1

rl+1; ψ2(r) =

1

rl+1− rl

b2l+1. (6.18)

Al evaluar el Wronskiano de ψ1 y ψ2 en r = a obtenemos: W (a) = −ψ2(a)ψ′1(a) =

− (2l+1)a2

[1−

(ab

)2l+1], y como (por 2-(4.10)) tenemos W (r) = A

r2, obtenemos que:

W (ψ1, ψ2; r) = −(2l + 1)

r2

[1−

(ab

)2l+1]. (6.19)

6. EJERCICIOS 187

Al sustituir estos resultados en la Rel. (5.6), obtenemos:

g0(r, r′) ≡ g(r, r′) = − α0

(2l + 1)[1−

(ab

)2l+1] (rl< − a2l+1

rl+1<

)(1

rl+1>

− rl>b2l+1

). (6.20)

Ejercicio 6.5. Hallar la funcion de Green correspondiente al operador Lr definidopor la Rel. (6.12), para λ = 0; para el intervalo I = (0, b], con b < ∞; l ≥ 0; y con lascondiciones de frontera:

g(0, r′) es acotada ; g(b, r′) = 0. (6.21)

NEste es un P.S-L.S., ya que p(r) = r2 se anula en r = 0. Tenemos que:

ψ1(r) = rl y ψ2(r) =1

rl+1− rl

b2l+1, (6.22)

satisfacen las condiciones de frontera (6.21) en r = 0 y r = b, respectivamente.

Al evaluar el Wronskiano de ψ1, ψ2 en b, tenemos W (b) = ψ1(b)ψ′2(b) = − (2l+1)

b2.

Entonces:

W (ψ1, ψ2; r) = −(2l + 1)

r2. (6.23)


g0(r, r′) ≡ g(r, r′) = − α0

(2l + 1)rl<

(1

rl+1>

− rl>b2l+1

); l ≥ 0. (6.24)

Notemos que la Rel. (6.24) se puede obtener al tomar el lımite a→ 0 en la Rel. (6.20).

Ejercicio 6.6. Hallar la funcion de Green correspondiente al operador Lr definidopor la Rel. (6.12), para λ = 0; para el intervalo I = (0,∞); l ≥ 0 y con las condiciones defrontera:

g(0, r′) es acotada ; lımr→∞

g(r, r′) = 0. (6.25)

NEste es un P.S-L.S. en ambos extremos. En este caso, φ1 y φ2 dados por la Rel. (6.14)

ya satisfacen las condiciones de frontera (6.25) en r = 0 y en el infinito, respectivamente(esto es; ya son las ψ1, ψ2). Al evaluar directamente el Wronskiano, tenemos:

W (φ1, φ2; r) = −(2l + 1)

r2. (6.26)


g0(r, r′) ≡ g(r, r′) = − α0

(2l + 1)

rl<rl+1>

; l ≥ 0. (6.27)

Notemos que la Rel. (6.27) se puede obtener al tomar el lımite b → ∞ en la Rel.(6.24).


7. P.S-L.R. Inhomogeneo con Condiciones de Frontera Inhomogeneas

Comentario 7.1. Para el P.S-L.R. inhomogeneo solamente hemos considerado con-diciones de frontera homogeneas. A continuacion damos un teorema que trata el caso decondiciones de frontera inhomogeneas.

Teorema 7.2. Sea L real, y sea L(λ)φ = 0 sujeto a las condiciones de fronterahomogeneas F1(φ) = F2(φ) = 0 un P.S-L.R. autoadjunto. Supongamos ademas que elparametro λ ∈ C no es un autovalor de L sujeto a las condiciones de frontera homogeneasantes mencionadas. Entonces, la EDOL:

L(λ)φ = f, (7.1)

sujeta a las condiciones de frontera inhomogeneas:

F1(φ) = A1 , F2(φ) = A2; A1, A2 ∈ C, |A1|+ |A2| = 0, (7.2)

tiene una solucion unica dada por:

φ(x) =1

α0

∫ b

a

w0(y)gλ(x, y)f(y)dy +A2

F2(ψ1)ψ1(x) +

A1

F1(ψ2)ψ2(x), (7.3)

siendo gλ la (unica) funcion de Green dada por la Rel. (1.3) y sujeta a las condiciones defrontera homogeneas F1(gλ) = F2(gλ) = 0. Finalmente, ψ1, ψ2, es una base de solucionesde la EDOL homogenea L(λ)ψ = 0 las cuales satisfacen F1(ψ1) = 0; F2(ψ2) = 0.

Demostracion. Con todo lo hecho anteriormente, esta demostracion es muy facil yse deja como problema.

Notemos que si las condiciones de frontera son no mixtas, se puede usar a la Rel. (5.6)para gλ directamente.

Corolario 7.3. Bajo las condiciones estipuladas para el teorema 7.2, vemos que lasolucion unica del problema L(λ)φ = 0, sujeto a las condiciones de frontera inhomogeneas(7.2) viene dada por:

φ(x) =A2

F2(ψ1)ψ1(x) +

A1

F1(ψ2)ψ2(x). (7.4)

Demostracion. Obvia. Ejercicio 7.4. Sea L

(λ)

z dado por (6.1). Hallar para λ > 0 la solucion de:

L(λ)

z φ(z) = f(z), (7.5)


φ(0) = A1, φ(c) = A2; A1, A2 ∈ C. (7.6)

NEl presente ejercicio ya esta practicamente resuelto al usar el teorema 7.2, el ejer-

cicio 6.2 o el ejercicio 6.3. En efecto, tenemos: w0(z) = 1, ψ1(z) = senh√λz, ψ2(z) =

senh√λ(c− z)/senh

√λc; y por ende: F2(ψ1) = ψ1(c) = senh

√λc y F1(ψ2) = ψ2(0) = 1.

Por lo tanto:

φ(z) =1

α0

∫ c

0

gλ(z, z′)f(z′)dz′ + A2

senh√λz

senh√λc

+ A1senh

√λ(c− z)

senh√λc

, (7.7)


donde gλ viene dada por (6.9) o por (6.11).Al usar la expresion (6.9) para gλ, el termino de (7.7) con la integral sera:

−∫ c

0

[senh(

√λz<)senh

√λ(c− z>)√

λsenh√λc

]f(z′)dz′ = −

∫ z

0

[·] f(z′)dz′ −∫ c

z

[·] f(z′)dz′. (7.8)

Ahora bien, en la integral entre 0 y z tendremos 0 ≤ z′ ≤ z, y por lo tanto: z< = z′,z> = z. En la integral entre z y c tendremos z ≤ z′ ≤ c, y por lo tanto: z< = z, z> = z′.La expresion (7.8) sera entonces:

−senh√λ(c− z)√

λsenh√λc

∫ z

0

senh(√λz′)f(z′)dz′ − senh

√λz√

λsenh√λc

∫ c

z

senh[√λ(c− z′)]f(z′)dz′.

(7.9)Notemos que la expresion (7.9) se anula en z = 0 y en z = c (como debe ser); con lo queφ(0) = A1 y φ(c) = A2, al usar (7.7).

Para proseguir necesitarıamos la expresion explıcita de la funcion f . Esa expresionnos indicarıa cual de las dos formas de la gλ es la mas conveniente para efectuar la in-tegracion en (7.7); que vendrıa a ser la (7.9) si se escogiese la (6.9). En particular, sif(z) fuese una combinacion lineal de autofunciones del conjunto φn dado por (6.10), eldesarrollo en serie (6.11) serıa el mas conveniente, pues podrıamos usar las propiedades deortonormalidad del conjunto φn. Por ejemplo, para f(z) = φm(z), m ∈ Z+, se obtienedirectamente:

1

α0

∫ c

0

gλ(z, z′)φm(z

′)dz′ = − 1

λ+(πmc

)2 φm(z) = − 1

λ+(πmc

)2√

2

csen

πmz

c. (7.10)

Notemos que en este caso (f = φm), es “como si” tuviesemos:

gλ(z, z′) = − α0

λ+(πmc

)2 δ(z − z′).


Comentario 8.1. Ya sabemos que existen P.S-L.S., que no tienen solucion sino enel continuo. En ese caso no se impone la pertenencia a L2

w0(I) como condicion de frontera.

Mas aun, para autovalores generalizados λ, se calcula la funcion de Green en muchasaplicaciones.

A continuacion daremos dos ejemplos de funciones de Green en tal situacion.

Ejercicio 8.2. Para λ ∈ (−∞, 0), hallar la funcion de Green correspondiente aloperador:

L(λ)x φ(x) ≡ φ′′(x)− λφ(x); x ∈ (−∞,∞), (8.1)

definido en el ejercicio 4-6.2, sujeta a las condiciones de frontera:

gλ(x, y) ∼x→−∞

e−ikx; k ∈ R+, (8.2)

gλ(x, y) ∼x→+∞

eikx; k ∈ R+. (8.3)

NNotemos que λ ∈ (−∞, 0) serıa un autovalor generalizado de este operador.


En terminos fısicos las condiciones de frontera (8.2) y (8.3) se expresan diciendo quedeseamos ondas planas salientes en x = ∞ y en x = −∞ (en mecanica cuantica diriamosque la partıcula se dirige hacia x = ∞ para x > 0; y que se dirige hacia x = −∞ parax < 0).

Notemos que para esos valores de λ no hay ninguna funcion φ que satisfaga a lasRels. (8.2), (8.3) y la EDOL homogenea correspondiente al operador (8.1); ni siquiera en

el sentido generalizado. Pero para el P.S-L. original de L(λ)x (en el ejercicio 4-6.2) si; pues

las condiciones de frontera son diferentes.Una base de soluciones de la EDOL L(λ)φ = 0 viene dada por:

φ1(x) = e−i√−λx ; φ2(x) = ei

√−λx. (8.4)

Pero φ1 ya satisface a la Rel. (8.2), ası como φ2 satisface a la Rel. (8.3); esto es, ya sonlas ψ1, ψ2 mencionadas en la seccion 5. Al evaluar directamente el Wronskiano, obtenemos:

W (φ1, φ2;x) = 2i√−λ. (8.5)

Al sustituir estos resultados en la Rel. (5.6), tenemos:

gλ(x, y) = − α0i

2√−λ

e−i√−λx<ei

√−λx> ; λ ∈ (−∞, 0). (8.6)

La Rel. (8.6) se puede reescribir de manera equivalente:

gλ(x, y) = − α0i

2√−λ

ei√−λ|x−y|; λ ∈ (−∞, 0). (8.7)

Ejercicio 8.3. Para λ = 0, hallar la funcion de Green correspondiente al operador:

Lzφ(z) ≡ φ′′(z)− k2φ(z); k > 0, z ∈ (−∞,∞), (8.8)


g0(z, z′) −−−−→

z→±∞0. (8.9)

NUna base de soluciones de la EDOL Lzφ(z) = 0 viene dada por:

φ1(z) = ekz ; φ2(z) = e−kz. (8.10)

Notemos que para el valor λ = 0 no hay ninguna funcion φ que satisfaga a la Rel.(8.9) y la EDOL homogenea correspondiente al operador (8.8); ni siquiera en el sentidogeneralizado.

Tenemos que φ1 ya satisface a la Rel. (8.9) para z → −∞, ası como φ2 la satisfacepara z → ∞; esto es, ya son las ψ1, ψ2 mencionadas en la seccion 5. Al evaluar directamenteel Wronskiano, obtenemos: W (φ1, φ2; z) = −2k.

Al sustituir estos resultados en la Rel. (5.6), tenemos:

g0(z, z′) ≡ g(z, z′) = −α0

2ke−k(z>−z<) = −α0

2ke−k|z−z

′|; k > 0. (8.11)

Notemos que la Rel. (8.11) puede obtenerse de la (8.6) al efectuar el cambio: λ→ k2.

9. PROBLEMAS 191

9. Problemas

6.P.1 Sea Lt el operador definido en 2.P.1.i. Hallar las funciones de Green para Lt correspondientes al problema de Cauchy,para los tres casos posibles respecto de las constantes m, k, b.

ii. Para los datos de Cauchy en t0 = 0: x(0) = 0 y dxdt(0) = 0, resolver el problema:

Ltx(t) = F (t) ≡ F0(1− e−at), (9.1)

donde F0, a ∈ R+ (tambien para los tres casos posibles) suponiendo ademasque para la fuerza externa F (t) tenemos los dos casos:(a) k = 4ma2; b = ma.(b) k = ma2; b = 2ma.

iii. Demostrar, para cualquier condicion inicial, que el efecto de una fuerza exteriorconstante F (t) = F0, es el de desplazar la posicion de equilibrio, sin afectar elmovimiento.

NLa parte iii. corresponde a la situacion de un oscilador colgado sujeto a la

influencia de la gravedad (supuesta uniforme).6.P.2 Hallar la funcion de Green del ejercicio 6.4, pero para l = −1

2(demostrar primero

que λ = 0 no es un autovalor). N6.P.3 Para las condiciones de frontera establecidas en los ejercicios 6.5 y 6.6, demostrar

que λ = 0 no es un autovalor de L. N6.P.4 Hallar la funcion de Green, en forma “cerrada” y por series para el problema:

L(λ)z φ(z) = φ′′(z)− λφ(z); z ∈ [0, c], 0 < c <∞; λ > 0, (9.2)

con las condiciones de frontera periodicas. N6.P.5 Consideremos el P.S-L.S. inhomogeneo:

Lrψ(r) ≡ 4r(1− r)ψ′′(r) + (6− 12r)ψ′(r)− 3ψ(r) =√1− r; r ∈ (0, 1), (9.3)

sujeto a las condiciones de frontera de acotacion en cada extremo del intervalo(0, 1).

Demostrar que λ = 0 no es un autovalor de Lr y hallar la funcion de Greencorrespondiente. Luego, encontrar la solucion del problema. N

6.P.6 Demostrar el teorema 7.2. N6.P.7 i. Hallar la funcion de Green del problema planteado en el ejercicio 6.2, pero para

λ = 0. Resolver tambien el problema por el desarrollo en serie.ii. Resolver el problema Lzφ(z) = φ′′(z) = f(z) para las condiciones de frontera:

φ(0) = A1 , φ(c) = A2; A1, A2 ∈ C. (9.4)

iii. Resolver el problema Lzφ(z) = φ′′(z) = f(z) para las condiciones de frontera:

φ(0) = 0 ; φ′(c) + c2φ(c) = A2; c2, A2 ∈ R (c2, A2 = 0; c2c = −1), (9.5)

y tambien para las condiciones de frontera:

φ′(0) = 0 ; φ′(c) + c2φ(c) = A2; c2, A2 ∈ R (c2, A2 = 0). (9.6)

NNotese que para las condiciones de frontera (9.6) hay que distinguir dos casos,

a saber: c2c = −1 y c2c = −1.


6.P.8 Hallar la funcion de Green para:

L(λ)x φ(x) = φ′′(x)− λφ(x); x ∈ [0,∞); λ ∈ C con λ /∈ (−∞, 0], (9.7)

para las condiciones de frontera:

gλ(0, y) = 0; gλ ∈ L2(0,∞) en el infinito. (9.8)

N6.P.9 Hallar la funcion de Green para:

L(λ)x φ(x) = φ′′(x)− λφ(x); x ∈ (−∞,∞); λ ∈ C con λ /∈ (−∞, 0], (9.9)

para la condicion de frontera: gλ ∈ L2(−∞,∞). N

Capıtulo 7

Funciones de Bessel

En este capıtulo trataremos la EDOL de Bessel y sus soluciones; genericamentellamadas: funciones de Bessel.

La EDOL de Bessel se presenta frecuentemente en fısica ya que es la EDOL que seobtiene al separar la ecuacion de Helmholtz en coordenadas cilındricas y en esfericas (verA-3.3 y A-2.3).

Debido a que en problemas fısicos con simetrıa cilındrica aparecen funciones de Bessel,es frecuente llamarlas tambien funciones cilındricas.

Para un tratamiento extenso de las funciones de Bessel, se puede consultar a [120].Ver tambien a [121].

1. La EDOL de Bessel y sus Soluciones

Comentario 1.1. Vamos a considerar a la EDOL de Bessel, especificada en su formanormal, esto es:

S(−1)φ ≡ S(−1)z φ(z) ≡ φ′′(z) +

1

zφ′(z) +

(1− ν2

z2

)φ(z) = 0; z, ν ∈ C. (1.1)

Vamos a resolver la EDOL (1.1) por el metodo de series, alrededor del punto z0 = 0(el cual es un punto singular regular). Las dos soluciones de la ecuacion indicial son ±ν.Restrinjamos temporalmente la ν, suponiendo que ℜν ≥ 0. Por lo tanto, una solucionvendra dada por:

φ(z) = zν∞∑n=0

cnzn. (1.2)

Si sustituimos a la Rel. (1.2) en (1.1) obtenemos:

∞∑n=0

n(2ν + n)cnzn +

∞∑n=0

cn−2zn = 0 (con: c−1 ≡ 0 y c−2 ≡ 0). (1.3)

De la Rel. (1.3) obtenemos que c0 es un numero complejo arbitrario, y a las Ecs.:

(2ν + 1)c1 = 0, (1.4)

n(2ν + n)cn + cn−2 = 0; n ≥ 2. (1.5)

Como ℜν ≥ 0, de (1.4) obtenemos que c1 = 0; lo cual unido a (1.5) nos indica que todoslos coeficientes impares son nulos. De la Rel. (1.5) obtenemos que los coeficientes paresvienen dados por:

c2n =(−1)nc0

22nn!(ν + 1)(ν + 2) · · · (ν + n); n ∈ Z+. (1.6)

193

194 7. FUNCIONES DE BESSEL

Si elegimos (como es usual): c0 = 1/2νΓ(ν + 1), tendremos que:

c2n =(−1)n

2ν22nn!Γ(ν + n+ 1); n ≥ 0. (1.7)

Investiguemos la convergencia de la serie∑cnz

n, siendo ahora ν un numero complejoarbitrario. Si |z| < R1 y |ν| < R2, donde R1 y R2 son arbitrariamente grandes, tendremosque: ∣∣∣∣ c2nz

2n

c2n−2z2n−2

∣∣∣∣ = |z|2

4n |n+ ν|≤ R2

1

4n(n−R2)≤ 1

4, (1.8)

para n ≥ maxR21, R2 +1. Por lo tanto la serie converge uniformemente con respecto a z

y ν; y siendo los terminos de la serie funciones analıticas en las variables z y ν concluimosque la serie

∑cnz

n define una funcion entera en z y ν.Definamos la funcion Jν(z), llamada funcion de Bessel de primera clase y de

orden ν, ası:

Jν(z) =(z2

)ν ∞∑k=0

(−1)k

k!Γ(ν + k + 1)

(z2

)2k; ν ∈ C. (1.9)

Sea ν = −n, con n = 1, 2, · · · . Como [Γ(−n+ k + 1)]−1 = 0 para k = 0, 1, · · · , n− 1;de (1.9) vemos que:

J−n(z) =(z2

)−n ∞∑k=n

(−1)k

k!Γ(−n+ k + 1)

(z2

)2k= (−1)n

(z2

)−n ∞∑m=0

(−1)m

(n+m)!Γ(m+ 1)

(z2

)2n+2m

= (−1)n(z2

)n ∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(n+m+ 1)

(z2

)2m,

(1.10)

donde hemos puesto k = n+m, y usado el hecho que (m+ n)! = Γ(m+ n+1). De (1.10)concluimos pues, que:

J−n(z) = (−1)nJn(z); ∀z ∈ C; n = 0, 1, 2, · · · . (1.11)

Por todo lo que hemos visto tenemos que, por continuacion analıtica:

Jν(z) es solucion de la EDOL de Bessel, analıtica en ν cuando el valor de log z

es especificado, ∀ν ∈ C. Si ν = 0,±1,±2, · · · , Jν(z), es una funcion analıtica de z

en todo el plano complejo hendido a lo largo del segmento (−∞, 0] si ℜν ≤ 0 y del

segmento (−∞, 0) si ℜν > 0. Jν(z) es una funcion entera de z si ν = 0,±1,±2, · · · ,(1.12)

donde las restricciones para la analiticidad en la variable z provienen del termino(z2

)ν.

De la Rel. (1.9) y de (1.12) obtenemos que:

Jn(−z) = (−1)nJn(z); ∀z ∈ C; n = 0,±1,±2, · · · . (1.13)

2. FUNCIONES DE BESSEL DE SEGUNDA CLASE 195

Comentario 1.2. Del problema 2.P.8, observamos que:

1

Γ(ν + 1)

(z2

)νe−izM

(ν +

1

2, 2ν + 1; 2iz

), (1.14)

satisface a la EDOL de Bessel. Las funciones Jν(z) y la dada en la Rel. (1.14) poseenlas mismas propiedades analıticas, siendo ademas su comportamiento asintotico cerca decero identico; esto es: 1

Γ(ν+1)

(z2

)νpara ν = −1,−2,−3, · · · . Por lo tanto, por continuacion

analıtica tendremos que:

Jν(z) =1

Γ(ν + 1)

(z2

)νe−izM

(ν +

1

2, 2ν + 1; 2iz

); ν ∈ C; ν = −(n+ 1)

2, n ∈ N.

(1.15)En virtud de (1.11) la Rel. (1.15) para ν = −1,−2,−3, · · · , se escribira:

J−n(z) =(−1)n

Γ(n+ 1)

(z2

)ne−izM

(n+

1

2, 2n+ 1; 2iz

); n = 1, 2, 3, · · · . (1.16)

Comentario 1.3. De la propia EDOL (1.1) notamos que J−ν(z) es tambien solucionde esa EDOL. Aquı p(z) = z, y con la relacion 2-(4.10) podemos evaluar el Wronskiano al

usar la forma asintotica de Jν y J−ν cerca de cero; esto es: 1Γ(±ν+1)

(z2

)±ν, ν = ±1,±2, · · · .

Por continuacion analıtica se obtiene:

W (Jν , J−ν ; z) = −2sen πν

πz, ν ∈ C. (1.17)

De la Rel. (1.17) vemos pues que:

Jν y J−ν es una base de soluciones si ν = 0,±1,±2, · · · . (1.18)

El hecho que Jν y J−ν sean linealmente dependientes para ν = 0,±1, · · · , tambien esclaro de la Rel. (1.11). Para los valores ν = 0,±1,±2, · · · debemos buscar otra solucionlinealmente independiente.

2. Funciones de Bessel de Segunda Clase

Comentario 2.1. Definimos a la funcion de Bessel de segunda clase, o funcionde Neumann, Yν(z); denotada tambien por Nν(z); ası:

Yν(z) =Jν(z) cos πν − J−ν(z)

sen πν. (2.1)

Para ν = 0,±1,±2, · · · , es claro de (1.12) que Yν es analıtica en z en todo el planocomplejo hendido a lo largo del segmento (−∞, 0], siendo analıtica en ν. Para ν ≡ n =0,±1, · · · , debemos comprobar que Yν tiene sentido al hacer el lımite ν → n. Ese lımitepuede efectuarse por l’Hopital. Se obtiene:

Yn(z) = lımν→n

Yν(z) =1

πlımν→n

[∂Jν(z)

∂ν− (−1)n

∂J−ν(z)

∂ν

]. (2.2)


De la Rel. (1.9) se obtiene:

∂Jν(z)

∂ν= Jν(z) ln

(z2

)−

∞∑k=0

(−1)k(z2

)ν+2k ψ(ν + k + 1)

k!Γ(ν + k + 1), (2.3)

siendo ψ(z) ≡ ddzln Γ(z), definida en C-2.8. Ası mismo, obtenemos:

∂J−ν(z)

∂ν= −J−ν(z) ln

(z2

)+

∞∑k=0

(−1)k(z2

)2k−ν ψ(−ν + k + 1)

k!Γ(−ν + k + 1). (2.4)

En definitiva, hemos obtenido que:

Yn(z) =2

πJn(z) ln

(z2

)− 1

π

∞∑k=0

(−1)k(z2

)2k+n ψ(n+ k + 1)

k!Γ(n+ k + 1)

− 1

π

∞∑k=0

(−1)k+n(z2

)2k−n ψ(−n+ k + 1)

k!Γ(−n+ k + 1), n = 0,±1,±2, · · · .

(2.5)

De la Rel. (2.5) y (1.11) observamos que:

Y−n(z) = (−1)nYn(z); n = 0, 1, 2, · · · . (2.6)

Para ν no entero es claro de (1.17) que Yν es una solucion de la EDOL de Bessel; estoes, S(−1)Yν = 0. Pero como S(−1)Yν es una funcion entera de ν, tendremos por continuacionanalıtica que S(−1)Yν = 0, ∀ν ∈ C.

Para ν no entero Yν y Jν forman una base de soluciones, ya que con ellas recobramosJν y J−ν . Para ν entero tambien forman una base de soluciones como se ve al compararlos comportamientos asintoticos de Jn, Yn en z = 0. Notese que de las Rels. (2.5) y (2.1)se tiene que:

Y0(z) ∼z→0

2

π

[ln(z2

)+ γ]

; Yν(z) ∼z→0

−Γ(ν)

π

(z2

)−ν, ℜν > 0, (2.7)

siendo γ la constante de Euler-Mascheroni (ver C-(2.20)).En resumen, hemos obtenido que:

Yν es una funcion analıtica de z en todo el plano complejo hendidoa lo largo del segmento (−∞, 0], y una funcion entera de ν.Ademas, Yν y Jν forman una base de soluciones de la EDOL deBessel, ∀ν ∈ C.

3. Funciones de Hankel

Comentario 3.1. Ya sabemos que Yν , Jν forman una base de soluciones de la EDOLde Bessel. En la practica, es conveniente definir otra base de soluciones. Definamos:

H(1)ν (z) ≡ Jν(z) + iYν(z), (3.1)

H(2)ν (z) ≡ Jν(z)− iYν(z), (3.2)

llamadas funciones de Bessel de tercera clase o tambien funciones de Hankel.

4. FUNCIONES MODIFICADAS DE BESSEL 197

Es claro de todo lo dicho para Jν e Yν , que H(1)ν y H

(2)ν son analıticas en todo el plano

complejo hendido a lo largo del segmento (−∞, 0], enteras en ν, y que forman una basede soluciones de la EDOL de Bessel.

Comentario 3.2. Con las Rels. (3.1), (3.2) y (2.1) obtenemos:

H(1)ν (z) =

J−ν(z)− e−iπνJν(z)

isen πν; H(2)

ν (z) =eiπνJν(z)− J−ν(z)

isen πν. (3.3)

De la Rel. (3.3) obtenemos:

H(1)−ν (z) = eiπνH(1)

ν (z) ; H(2)−ν (z) = e−iπνH(2)

ν (z). (3.4)

4. Funciones Modificadas de Bessel

Comentario 4.1. Consideremos a la EDOL (ver seccion A-3):

S(1)ψ(z) ≡ ψ′′(z) +1

zψ′(z)−

(1 +

ν2

z2

)ψ(z) = 0; z, ν ∈ C, −π < arg z <

π

2. (4.1)

Las fuertes restricciones impuestas a z son innecesarias para considerar esta EDOL. Lastomamos por razones de brevedad y porque se cumplen para la mayoria de los casospracticos.

Al hacer el cambio z → iz en la EDOL (4.1), obtenemos a la EDOL de Bessel. Porlo tanto una solucion de la EDOL (4.1) es Jν(iz). Definamos por lo tanto a la funcion:

Iν(z) = (i)−νJν(iz) = e−iπν/2Jν(zeiπ/2); z, ν ∈ C; −π < arg z <

π

2, (4.2)

llamada funcion de Bessel modificada de primera clase. Notemos que como para−π < arg z < π

2se tiene que −π

2< arg (iz) < π, tendremos que Jν(iz) esta bien definida

por la Rel. (1.9), y que Iν(z) tendra las propiedades enunciadas para la Jν en (1.12). De(1.18) tenemos que:

Iν e I−ν es una base de soluciones de (4.1) si ν = 0,±1,±2, · · · . (4.3)

De la Rel. (4.2) y (1.11) se obtiene que:

I−n(z) = In(z); n = 0, 1, 2, · · · . (4.4)

De las Rels. (4.2), (1.15) y 5-(5.3), se obtiene que:

Iν(z) =e−z

Γ(ν + 1)

(z2

)νM

(ν +

1

2, 2ν + 1; 2z

); ν ∈ C; ν = −(n+ 1)

2, n ∈ N.

(4.5)De (4.4) y (4.5) obtenemos:

I−n(z) =e−z

Γ(n+ 1)

(z2

)nM

(n+

1

2, 2n+ 1; 2z

); n = 1, 2, 3, · · · . (4.6)

Tenemos que para ν ∈ R y z ∈ R+, Iν es real. En efecto, para ν = −12,−3

2,−5

2, · · · ,

es claro de (4.5) y (4.6), y para ν = −12,−3

2,−5

2, · · · , es claro (recursivamente) del hecho

que I1/2(z) e I3/2(z) son reales y de la Rel. (9.6).


Comentario 4.2. Para ν entero ya sabemos que Jn(iz) y J−n(iz) son linealmentedependientes. Un par de soluciones linealmente independientes ∀ν ∈ C, lo constituyen

Jν(iz) y H(1)ν (iz). Definamos por lo tanto la funcion:

Kν(z) =π

2iν+1H(1)

ν (iz) =π

2ieiπν/2H(1)

ν (zeiπ/2); z, ν ∈ C; −π < arg z <π

2, (4.7)

llamada funcion de Bessel modificada de segunda clase o funcion de Macdonald.Tenemos entonces que:

Iν(z) y Kν(z) es una base de soluciones de (4.1) , ∀ν ∈ C. (4.8)

De la Rel. (4.7) y (3.4) obtenemos que:

K−ν(z) = Kν(z), ν ∈ C. (4.9)

De las Rels. (4.2), (4.7) y (3.3) se obtiene:

Kν(z) =π

2

I−ν(z)− Iν(z)

sen πν; ν ∈ C, (4.10)

relacion que tiene sentido aun para ν entero al tomar el lımite.Al sustituir la Rel. (4.5) en la (4.10), y al usar la Rel. 5-(5.23), junto con C-(2.11) y

C-(2.16) se obtiene (ver la Rel. 5-(5.25)):

Kν(z) =√π(2z)νe−zU

(ν +

1

2, 2ν + 1; 2z

); ν ∈ C. (4.11)

De la Rel. (4.10) y de lo dicho para la Iν , resulta que Kν es real para ν ∈ R y z ∈ R+.

5. Funciones Esfericas de Bessel

Comentario 5.1. Consideremos a la EDOL:

z2φ′′(z) + 2zφ′(z) + [z2 − l(l + 1)]φ(z) = 0; z ∈ C; l = 0,±1,±2, · · · . (5.1)

Dicha EDOL es la parte radial de la Ec. de Helmholtz, vease A-2.2 (como f(r) = k2,se hace el cambio z = kr, para obtener (5.1)). Sabemos (ver A-2.3) que al efectuar elcambio:

φ(z) =v(z)√z, (5.2)

se obtiene a la EDOL de Bessel de orden ν = l + 12:

v′′(z) +1

zv′(z) +

[1−

(l + 1

2

)2z2

]v(z) = 0. (5.3)

Un par de soluciones linealmente independientes de la EDOL (5.1) lo constituyen lasfunciones jl(z), yl(z), definidas por:

jl(z) =

√π

2zJl+ 1

2(z); l = 0,±1,±2, · · · , (5.4)

6. REPRESENTACIONES INTEGRALES 199

yl(z) =

√π

2zYl+ 1

2(z); l = 0,±1,±2, · · · . (5.5)

jl se denomina funcion esferica de Bessel de primera clase, e yl funcion esfericade Bessel de segunda clase.

Otro par de soluciones linealmente independientes de la EDOL (5.1) lo constituyenlas funciones esfericas de Bessel de tercera clase, tambien llamadas funciones

esfericas de Hankel, h(1)l y h

(2)l , definidas por:

h(1)l (z) =

√π

2zH

(1)

l+ 12

(z) = jl(z) + iyl(z); l = 0,±1,±2, · · · , (5.6)

h(2)l (z) =

√π

2zH

(2)

l+ 12

(z) = jl(z)− iyl(z); l = 0,±1,±2, · · · , (5.7)

Comentario 5.2. De las Rels. (5.6) y (5.7) y de (3.4) se obtiene que:

h(1)−l−1(z) = i(−1)lh

(1)l (z); h

(2)−l−1(z) = −i(−1)lh

(2)l (z); l = 0, 1, 2, · · · . (5.8)

De las Rels. (5.6), (5.7) y (5.8) se sigue que:

yl(z) = (−1)l+1j−l−1(z); l = 0,±1,±2, · · · . (5.9)

Comentario 5.3. Al tomar ν = 12en la Rel. (1.9), al usar la Rel. C-(2.16), la Def.

(5.4) y a la Rel. (5.9), se obtiene:

j0(z) = y−1(z) =sen z

z. (5.10)

Procediendo de manera similar para ν = −12, obtenemos:

y0(z) = −j−1(z) = −cos z

z. (5.11)

De las Rels. (5.10) y (5.11) se obtiene inmediatamente, que:

h(1)0 (z) = −ie

iz

z; h

(2)0 (z) = i

e−iz

z. (5.12)

6. Representaciones Integrales

Comentario 6.1. Vamos a comprobar que las funciones analıticas J(1)ν (z) y J

(2)ν (z)

definidas en D-(2.37) y en D-(2.42) son precisamente las funciones H(1)ν (z) y H

(2)ν (z),

respectivamente.

i. Empecemos comprobando que estas dos funciones satisfacen la EDOL de Bessel. Alderivar bajo el signo integral (operacion perfectamente legıtima), aplicando el opera-

dor z2S(−1)z (ver (1.1)) a esas integrales, se obtiene el siguiente integrando:[

z2(senh t)2 + zsenh t+ z2 − ν2]ezsenh t−νt. (6.1)

Pero la expresion (6.1) se puede escribir:

∂

∂t

[(z cosh t+ ν)ezsenh t−νt

]. (6.2)


La comprobacion se completa al notar que el termino dentro del corchete en (6.2) seanula cuando ℑt = const. y ℜt→ ±∞.

ii. Para x > 0, de la Rel. (4.7) y de la Rel. (7.11), tenemos que:

H(1)ν (ix) ∼

x→∞x∈(0,∞)

√2

πxe−(x+iν π

2+iπ

2). (6.3)

Pero la Rel. (6.3) es exactamente el desarrollo asintotico de J(1)ν (ix), con x ∈ (0,∞)

cuando x → ∞; ver Rel. D-(2.38). Por lo tanto, estas dos funciones son iguales enz = ix, x ∈ (0,∞), y por ende (por continuacion analitica) iguales en su dominiocomun del plano complejo. Es decir, hemos obtenido que:

H(1)ν (z) =

1

πi

∫Γ(α)1

ezsenh t−νtdt; ∀ν ∈ C,

∀z ∈ C, z = 0, −π2+ α < arg z <

π

2+ α, α ∈ [0,

π

2),

(6.4)

donde la trayectoria del camino sin fin Γ(α)1 se encuentra especificada en la fig. D-4.

iii. Verifiquemos que [J(1)ν (z) + J

(2)ν (z)]/2 es precisamente la funcion Jν(z). Resulta claro

que esta semisuma (solucion de la EDOL de Bessel) nos propociona una integral sobreel camino sin fin Γ(α) cuya trayectoria se encuentra descrita en la fig. 1. Se tendraentonces:

Jν(z) =1

2πi

∫Γ(α)


∀z ∈ C, z = 0, −π2+ α < arg z <

π

2+ α, α ∈ [0,

π

2).

(6.5)

-

6ℑt

ℜt(π − α)i

−(π + α)i

6-

Figura 1. Trayectoria de Γ(α)

En efecto, para x > 0, de la Rel. (4.2) y de la Rel. (7.12), tenemos que:

6. REPRESENTACIONES INTEGRALES 201

Jν(ix) ∼x→∞x∈(0,∞)

√2

πxe(x−iν

π2−iπ

2). (6.6)

Pero la Rel. (6.6) es exactamente el desarrollo asintotico de [J(1)ν (ix)+J

(2)ν (ix)]/2, con

x ∈ (0,∞) cuando x → ∞; ver Rels. D-(2.38) y D-(2.42). Por lo tanto, estas dosfunciones son iguales en z = ix, x ∈ (0,∞), y por ende (por continuacion analitica)iguales en su dominio comun del plano complejo.

iv. Finalmente, en virtud de lo ya establecido (J(2)ν = 2Jν − H

(1)ν ) y de las Rels. (3.1) y

(3.2), se tiene que: J(2)ν = H

(2)ν ; vale decir:

H(2)ν (z) = − 1

πi

∫Γ(α)2


∀z ∈ C, z = 0, −π2+ α < arg z <

π

2+ α, α ∈ [0,

π

2),

(6.7)

donde la trayectoria del camino sin fin Γ(α)2 se encuentra especificada en la fig. D-6.

Comentario 6.2. Consideremos, para ν = n ∈ N, el siguiente nucleo (ver 3-(6.13)):

K(z, t) =(z2

)net−z

2/4t. (6.8)

El lector no tendra dificultad en comprobar (al seguir el metodo de las representacionesintegrales) que una solucion integral de la EDOL de Bessel, que se identifica con Jn, vienedada por (ver (1.11)):

Jn(z) = (−1)nJ−n(z) =1

2πi

(z2

)n ∮γ

t−n−1et−z2/4tdt; z ∈ C, n ∈ N, (6.9)

donde γ es cualquier lazo en el plano complejo t con el cero en su region interior. Laidentificacion de la integral en (6.9) con Jn se puede efectuar al comparar sus desarrollosasintoticos cerca de z = 0. En efecto, por el teorema de los residuos se tiene:

∮γt−n−1etdt =

2πi/n! con n ∈ N; y por otra parte tenemos la Rel. (7.1).Al efectuar el cambio de variable: t = zw/2 en (6.9) para n ≥ 0, obtenemos:

(2πi)Jn(z) =∮γw−n−1e(w−

1w)z/2dw; y al tomar n → −n obtenemos: (2πi)J−n(z) =∮

γwn−1e(w−

1w)z/2dw. Al efectuar el cambio de variable: w → −1/w en esta ultima in-

tegral, obtendremos: J−n(z) = (−1)nJn(z). Vale decir, hemos obtenido que:

Jn(z) =1

2πi

∮γ

w−n−1e(w−1w)z/2dw; z ∈ C, n ∈ Z. (6.10)

Al efectuar la integral (6.10) sobre el cırculo de radio unidad, centrado en el cero,tomando: w = ieiϕ, ϕ ∈ [0, 2π]; o bien: w = eiϕ; obtenemos:

Jn(z) =1

2πin

∫ 2π

0

ei(z cosϕ−nϕ)dϕ =1

2π

∫ 2π

0

ei(zsenϕ−nϕ)dϕ; z ∈ C, n ∈ Z. (6.11)


Comentario 6.3. Al efectuar el desarrollo de Laurent de la funcion: e(t−1t )z/2 para

t = 0 y comparar los coeficientes de ese desarrollo con la Rel. (6.10), se ve que:

e(t−1t )z/2 =

∞∑m=−∞

Jm(z)tm; z, t ∈ C, t = 0. (6.12)

Es por ello que la funcion del lado izquierdo de (6.12) se denomina: funcion generatrizde las funciones de Bessel (sobrentendido: de primera clase) de orden entero.

Consideremos una onda plana: eik·r; con k = 0, r = 0 y k · r = kr cos θ, θ ∈ [0, π]. Dela Rel. (6.12) se obtiene que:

eik·r = eikr cos θ =∞∑

m=−∞

imJm(kr)eimθ; r, k = 0. (6.13)

En efecto, tomese: t = ieiθ, z = kr.La Rel. (6.13) se suele denominar desarrollo de una onda plana en ondas

cilındricas.

7. Desarrollos Asintoticos

Solamente consideraremos la parte principal de diversos desarrollos asintoticos de lasfunciones de Bessel que hemos estudiado. Las restricciones que impondremos a los valoresde arg z se pueden aminorar en muchos casos, pero no nos ocuparemos de ello.

Comentario 7.1. Ya hemos mencionado, que del desarrollo en serie de Jν , ası comode (1.11) se tiene que:

Jν(z) ∼z→0

1

Γ(ν + 1)

(z2

)ν; ν ∈ C, ν = −1,−2, · · · .

Para ν = −n = −1,−2, · · · , usamos J−n(z) = (−1)nJn(z).

z ∈ C; |arg z| < π si ν = 0,±1,±2, · · · .

(7.1)

Hemos visto tambien (vease (2.7)) que:

Y0(z) ∼z→0

|arg z|<π

2

π

[ln(z2

)+ γ], (7.2)

y que:

Yν(z) ∼z→0

|arg z|<π

−Γ(ν)

π

(z2

)−ν; ℜν > 0.

Para ν = −n = −1,−2, · · · , usamos Y−n(z) = (−1)nYn(z).

(7.3)

De las Rels. (7.1), (7.2), (7.3) y (3.1), (3.2), se obtiene (tomando la mayor aproxima-cion Y0(z) ∼ 2

πln(z2

)):

H(1)0 (z) ∼

z→0|arg z|<π

2i

πln(z2

); H

(2)0 (z) ∼

z→0|arg z|<π

−2i

πln(z2

), (7.4)

7. DESARROLLOS ASINTOTICOS 203

H(1)ν (z) ∼

z→0|arg z|<π

− i

πΓ(ν)

(z2

)−ν; H(2)

ν (z) ∼z→0

|arg z|<π

i

πΓ(ν)

(z2

)−ν; ℜν > 0.

Para ℜν < 0 usamos las Rels. (3.4) .

(7.5)

De las Rels. (7.1), (7.4), (7.5) y (4.2), (4.7) se sigue que:

Iν(z) ∼z→0

−π<arg z<π2

1

Γ(ν + 1)

(z2

)ν; ν ∈ C, ν = −1,−2, · · · .

Para ν = −1,−2, · · · , usamos I−n(z) = In(z), z ∈ C,(7.6)

K0(z) ∼z→0

−π<arg z<π2

− ln(z2

), (7.7)

Kν(z) ∼z→0

−π<arg z<π2

Γ(ν)

2

(z2

)−ν; ℜν > 0.

Para ℜν < 0 usamos K−ν(z) = Kν(z).

(7.8)

De las Rels. (7.1), (7.2), (7.3) y (5.4)-(5.7), se obtiene que:

jl(z) ∼z→0

|arg z|<π

1

1 · 3 · 5 · · · (2l + 1)zl; l = 0, 1, 2, · · · , (7.9)

yl(z) ∼z→0

|arg z|<π

−ih(1)l (z) ∼ ih(2)l (z) ∼ −1 · 3 · 5 · · · (2l − 1)z−l−1; l = 0, 1, 2, · · · . (7.10)

Comentario 7.2. Obtengamos los desarrollos asintoticos de Iν(x) y Kν(x) parax ∈ R+ grande y ν ∈ C fijo.

De las Rels. (4.11), 5-(5.17) y (4.9), deducimos que:

Kν(x) ∼x→∞x∈(0,∞)

√π

2xe−x; ν ∈ C. (7.11)

Verifiquemos que:

Iν(x) ∼x→∞x∈(0,∞)

ex√2πx

; ν ∈ C. (7.12)

Para ν = −12,−3

2,−5

2, · · · , la Rel. (7.12) se sigue de las Rels. (4.5), (4.6), 5-(5.11) y

C-(2.16). Para ν = −12,−3

2,−5

2, · · · , obtenemos el resultado al utilizar (recursivamente) la

Rel. (9.6) y la (7.12) para ν = 1/2 y ν = 3/2.

Comentario 7.3. Consideraremos ahora los desarrollos asintoticos de varias funcio-nes para |z| grande y ν ∈ C fijo, llamados desarrollos de tipo Hankel.


De las representaciones integrales de H(1)ν y H

(2)ν (ver Rels. (6.4) y (6.7)) y de las Rels.

D-(2.38) y D-(2.42), se obtiene:

H(1)ν (z) ∼

z→∞−π

2 +α<arg z<π2 +α

√2

πzei(z−ν

π2−π

4 ); ν ∈ C, α ∈ [0,π

2), (7.13)

H(2)ν (z) ∼

z→∞−π

2 +α<arg z<π2 +α

√2

πze−i(z−ν

π2−π

4 ); ν ∈ C, α ∈ [0,π

2). (7.14)

De las Rels. (7.13), (7.14) y (3.1)-(3.2) se sigue que:

Jν(z) ∼z→∞

−π2 +α<arg z<π2 +α

√2

πzcos(z − ν

π

2− π

4

); ν ∈ C, α ∈ [0,

π

2), (7.15)

Yν(z) ∼z→∞


√2

πzsen(z − ν

π

2− π

4

); ν ∈ C, α ∈ [0,

π

2). (7.16)

De las Rels. (7.13)-(7.16) y de las definiciones de jl, yl, h(1)l , h

(2)l , se obtiene:

jl(z) ∼z→∞


1

zsen(z − l

π

2

); l ∈ Z, α ∈ [0,

π

2), (7.17)

yl(z) ∼z→∞


1

zcos(z − l

π

2

); l ∈ Z, α ∈ [0,

π

2), (7.18)

h(1)l (z) ∼

z→∞−π

2 +α<arg z<π2 +α

(−i)l+1 eiz

z; h

(2)l (z) ∼

z→∞−π

2 +α<arg z<π2 +α

(i)l+1 e−iz

z; l ∈ Z, α ∈ [0,

π

2).

(7.19)Para los efectos de la aplicacion de condiciones de frontera en P.S-L., es conveniente

recordar que las funciones sen z y cos z definidas ∀z ∈ C, son no acotadas si ℑz = 0.

8. Wronskianos

Comentario 8.1. Usando la Rel. 2-(4.10), los desarrollos asintoticos de la seccionanterior, y si es necesario la continuacion analıtica, se pueden deducir los Wronskianosentre las diferentes funciones de Bessel. A continuacion indicamos algunos:

W (Jν , J−ν) = W (Iν , I−ν) = −2sen πν

πz; ν ∈ C, (8.1)

W (Jν , Yν) =2

πz; ν ∈ C, (8.2)

W (H(1)ν , H(2)

ν ) = −2W (Jν , H(1)ν ) = − 4i

πz; ν ∈ C, (8.3)

9. RELACIONES DE RECURRENCIA 205

W (Iν , Kν) = −1

z; ν ∈ C, (8.4)

W (jl, yl) =i

2W (h

(1)l , h

(2)l ) = −iW (jl, h

(1)l ) = −W (yl, h

(1)l ) =

1

z2. (8.5)

Comentario 8.2. Frecuentemente, aunque la variable sea z, el argumento de lasfunciones de Bessel es αz siendo α una constante, con: α ∈ C, α = 0 y αz en el do-minio de las funciones involucradas. En ese caso las Rels. (8.1)-(8.4) no cambian, p. ej.:W (Iν(αz), Kν(αz); z) = −1/z; y en las relaciones que aparecen en (8.5) hay que efectuar

el cambio: 1z2

→ 1αz2

, p. ej.: W (jl(αz), h(1)l (αz); z) = i/αz2.

9. Relaciones de Recurrencia

Comentario 9.1. Denotemos por Cν a: Jν , Yν , H(1)ν , H

(2)ν o cualquier combinacion

lineal de estas funciones con coeficientes independientes de z y de ν. Queremos demostrarlas siguentes relaciones:

d

dz[zνCν(z)] = zνCν−1(z); ν ∈ C, (9.1)

d

dz

[z−νCν(z)

]= −z−νCν+1(z); ν ∈ C, (9.2)

Para la funcion Jν , las Rels. (9.1) y (9.2) se obtienen al multiplicar el desarrollo enserie (1.9) de Jν por z±ν y luego derivar con respecto a z. Para la funcion Yν el resultadoes obvio para ν no entero, al usar la Rel. (2.1), y la validez de esas relaciones para Jν .Para el caso de ν = n entero el resultado se obtiene para Yn al hacer el lımite ν → n yaque las funciones involucradas son continuas en ν. Las relaciones restantes se obtienen porlinealidad.

Comentario 9.2. Al efectuar la derivacion en las Rels. (9.1) y (9.2) y dividir porz±ν , se obtiene:

C′ν(z) = Cν−1(z)−

ν

zCν(z); C′

ν(z) = −Cν+1(z) +ν

zCν(z); ν ∈ C. (9.3)

De las Rels. (9.3) se obtiene inmediatamente que:

Cν−1(z) + Cν+1(z) =2ν

zCν(z); ν ∈ C, (9.4)

Cν−1(z)− Cν+1(z) = 2dCν(z)

dz; ν ∈ C. (9.5)

Comentario 9.3. Denotemos por Zν a: Iν , eiπνKν o cualquier combinacion lineal de

estas funciones con coeficientes independientes de z y de ν. Tendremos:

Zν−1(z)− Zν+1(z) =2ν

zZν(z); ν ∈ C, (9.6)

Zν−1(z) + Zν+1(z) = 2dZν(z)

dz; ν ∈ C. (9.7)


En efecto, es inmediato de las Rels. (4.2), (4.7), (9.4) y (9.5).

Comentario 9.4. Denotemos por fl a: jl, yl, h(1)l , h

(2)l o cualquier combinacion lineal

de estas funciones con coeficientes independientes de z y de ν. De las definiciones de

las funciones de Bessel esfericas, se desprende que Cl+ 12(z) =

√2zπfl(z). Al sustituir esta

relacion en las Rels. (9.1), (9.2) y (9.4) obtenemos:(1

z

d

dz

)(zl+1fl(z)) = zlfl−1(z); l = 0,±1,±2, · · · , (9.8)

(−1

z

d

dz

)(z−lfl(z)) = z−(l+1)fl+1(z); l = 0,±1,±2, · · · , (9.9)

fl−1(z) + fl+1(z) =2l + 1

zfl(z); l = 0,±1,±2, · · · . (9.10)

Al usar la Rel. (9.5) junto con la Rel. (9.10) se obtiene:

lfl−1(z)− (l + 1)fl+1(z) = (2l + 1)dfl(z)

dz; l = 0,±1,±2, · · · . (9.11)

De la Rel. (9.9) se prueba por induccion que:

fl(z) = (−1)lzl(1

z

d

dz

)lf0(z); l = 1, 2, 3, · · · . (9.12)

Comentario 9.5. Con la Rel. (9.12) y las Rels. (5.10)-(5.12), se pueden obtener lasdiversas funciones de Bessel esfericas. Por ejemplo, se obtiene que:

j0(z) =sen z

z; y0(z) = −cos z

z; h

(1)0 (z) = −ie

iz

z; h

(2)0 (z) = i

e−iz

z

j1(z) =sen z

z2− cos z

z; y1(z) = −cos z

z2− sen z

z

h(1)1 (z) = −e

iz

z

(1− i

z

); h

(2)1 (z) = −e

−iz

z

(1 +

i

z

)j2(z) =

(3

z3− 1

z

)sen z − 3

cos z

z2

y2(z) = −(

3

z3− 1

z

)cos z − 3

sen z

z2

h(1)2 (z) = i

eiz

z

(1 +

3i

z− 3

z2

)j3(z) =

(15

z4− 6

z2

)sen z −

(15

z3− 1

z

)cos z

y3(z) = −(15

z4− 6

z2

)cos z −

(15

z3− 1

z

)sen z

h(1)3 (z) =

eiz

z

(1 +

6i

z− 15

z2− 15i

z3

).

(9.13)

10. CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 207

10. Ceros de las Funciones de Bessel

El problema de los ceros de las funciones de Bessel ha sido bastante estudiado. Acontinuacion damos dos teoremas, los cuales no probaremos o lo haremos solo parcialmente.

Teorema 10.1. Para ν ≥ 0, los ceros de Jν(z), z ∈ C (con |arg z| < π si ν =0, 1, 2, · · · ) son todos reales y aislados, y hay una infinidad numerable de ellos. Los cerosson simples excepto posiblemente z = 0; el cual es el mismo un cero si ν = 0. Estansimetricamente colocados con respecto al punto z = 0 si ν = 0, 1, 2, · · · . Los ceros deJ−m(z), m ∈ Z+, son los mismos que los de Jm(z), ∀z ∈ C.

Demostracion. De que los ceros son aislados es consecuencia del hecho que Jν(z),ν ≥ 0, es una funcion analıtica (para |arg z| < π). De que la infinidad de ceros es numerablees consecuencia del hecho de ser aislados (ver [56, Ejercicio 3.17]). De que hay infinitosceros reales es claro de la formula asintotica (7.15). De que z = 0 es un cero de Jν siν = 0 es claro de (7.1). De que los ceros (excluyendo z = 0) son simples es el contenidodel teorema 2-4.10. De que los ceros estan colocados simetricamente si ν = 0, 1, 2, · · · esclaro de (1.13). La ultima aseveracion se desprende de la Rel. (1.11).

Designaremos a los ceros positivos (> 0) de Jν(z) con xνn, n = 1, 2, 3, · · · los cualesestan numerados en orden ascendente de magnitud. Tambien usaremos la notacion alter-nativa: xνn ≡ kνn. Algunos de esos ceros se encuentran tabulados. Se tiene: x(−m)n = xmn,∀m ∈ Z.


J ′ν(xνn) = Jν−1(xνn) = −Jν+1(xνn); ν ∈ R+ o ν ∈ Z− Z+, n ∈ Z+. (10.1)

Notemos que Jν−1(xνn) = 0 y que Jν+1(xνn) = 0; en virtud de la Rel. (10.1) y del teorema2-4.10 (al considerar la EDOL de Bessel en el intervalo I = (0,∞)).

De la formula asintotica (7.15):

Jν(x) ∼x→∞

√2

πxcos(x− νπ

2− π

4

), (10.2)

obtenemos una forma asintotica (para n grandes) para los ceros de Jν ; esto es: x− νπ2− π

4=(

n− 12

)π,

xνn ∼n→∞

nπ +

(ν − 1

2

)π

2. (10.3)

n debe ser grande ya que x lo es en (10.2).

Teorema 10.2. Los ceros de la ecuacion:

αJν(z) + γzJ ′ν(z) = 0, (10.4)

para: ν ≥ 0; α, γ ∈ R con γ = 0; αγ+ ν ≥ 0; z ∈ C (con |arg z| < π si ν = 0, 1, 2, · · · );

son todos reales y aislados, y hay una infinidad numerable de ellos. Estan simetricamentedistribuidos respecto al punto z = 0 si ν = 0, 1, 2, · · · . Los ceros de la Ec. (10.4) paraν = −m, m ∈ Z+, son los mismos que los correspondientes a ν = m ∈ Z+, ∀z ∈ C.

Demostracion. De que los ceros son aislados es una consecuencia del hecho queαJν(z) + γzJ ′

ν(z), ν ≥ 0, es una funcion analıtica. Si admitimos que son infinitos ceros


entonces debe ser una infinidad numerable ya que son aislados (ver [56, Ejercicio 3.17]).De que estan simetricamente distribuidos alrededor de z = 0 es claro de (1.12) y (1.13) yaque si denominamos gn(z) ≡ αJn(z) + γzJ ′

n(z), obtenemos que gn(−z) = (−1)ngn(z). Laultima aseveracion se desprende de la Rel. (1.11).

Indiquemos los ceros positivos (> 0) de (10.4) por kνn, n = 1, 2, 3, · · · ; los cuales estannumerados en orden de magnitud ascendente. Se tiene: k(−m)n = kmn, ∀m ∈ Z.

En particular, si α = 0 denotaremos kνn por yνn. Algunos de los ceros yνn estantabulados.

11. El Problema de Sturm-Liouville

Comentario 11.1. Consideremos el P.S-L. correspondiente a la EDOL:

S(−λ)ρ φ(ρ) ≡ φ′′(ρ) +

1

ρφ′(ρ) +

(λ− ν2

ρ2

)φ(ρ) = 0,

λ ∈ C; ρ ∈ I = (0, a] (a <∞); ν ∈ [0,∞).

(11.1)

Este P.S-L. es regular en ρ = a, y singular en ρ = 0 ya que p(ρ) = ρ; esto es, p(0) = 0. Yasabemos que el peso de la EDOL (11.1) es w0(ρ) = ρ.

En 1-5.5 hemos establecido la notacion: L2W(Λ). En este capıtulo usaremos: L2

ρ(Λ) ≡L2w0(Λ); Λ = (0, a) o Λ = (0,∞); ya que w0(ρ) = ρ.Empecemos discutiendo el P.S-L. excluyendo al autovalor cero: λ′ ≡ −λ = 0. Hagamos

el cambio:

x ≡√λρ; λ = 0, (11.2)

y usemos la notacion ψ(x) ≡ φ(

x√λ

)= φ(ρ). Obtendremos la EDOL de Bessel:

ψ′′(x) +1

xψ′(x) +

(1− ν2

x2

)ψ(x) = 0, (11.3)

la cual tiene solucion general:

ψ(x) = AJν(x) +BYν(x). (11.4)

Por lo tanto, la solucion general de (11.1) sera:

φ(ρ) = AJν(√λρ) +BYν(

√λρ); λ = 0. (11.5)

Tenemos que Jν(ρ) ∈ L2ρ(0, a), ∀ν ≥ 0 ya que Jν ∼

ρ→0ρν . Por otra parte Yν(ρ) /∈

L2ρ(0, a) si ν ≥ 1 ya que Yν ∼

ρ→0ρ−ν para ν > 0, y por lo tanto debemos hacer B = 0 en

(11.5) si ν ≥ 1. Vemos entonces que:

Si ν ≥ 1, exigimos que φ(ρ) ∈ L2ρ(0, a). (11.6)

Yν ∈ L2ρ(0, a) si 0 ≤ ν < 1; cosa ya vista para 0 < ν < 1. Para ν = 0 resulta del hecho

que Y0 ∼ρ→0

ln ρ.

11. EL PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE 209

Entonces, si 0 ≤ ν < 1, impondremos en ρ = 0 una de las dos condiciones que abajose especifican (las cuales llevan a identicos resultados).

Si 0 ≤ ν < 1, exigimos que ρφ′(ρ) −−→ρ→0

0.

Si ν ≥ 1, tambien se puede imponer esta condicion en vez de la (11.6),(11.7)

o tambien:

Si 0 ≤ ν < 1, exigimos que φ(ρ) sea acotada en ρ = 0.

Si ν ≥ 1, tambien se puede imponer esta condicion en vez de la (11.6).(11.8)

Las condiciones (11.7) o (11.8) son satisfechas por Jν si ν ≥ 0. Entonces, la condicion(11.7) o la condicion (11.8) llevan a que B = 0 en (11.5) si ν ≥ 0. En efecto, si ν > 0,ρY ′

ν(ρ) ∼ρ→0

ρ−ν −−→ρ→0

∞, e Yν(ρ) ∼ρ→0

ρ−ν −−→ρ→0

∞ (esto es, Yν(ρ) no cumple ni con (11.7)

ni con (11.8) para ν > 0). Ademas, ρY ′0(ρ) ∼

ρ→0const. = 0, e Y0(ρ) ∼

ρ→0ln ρ −−→

ρ→0−∞ (esto

es, Y0 no cumple ni con (11.7) ni con (11.8)). Todo esto nos lleva a que hagamos B = 0en (11.5) para ν ≥ 0.

La condicion de frontera (11.7) se usa (p. ej.) en los problemas de conduccion del calor(en coordenadas cilındricas, siendo ρ la coordenada radial) y significa que el flujo total decalor en un pequeno entorno del origen se anula (esto es, que no hay fuentes de calor enel origen). La condicion de frontera (11.8) es muy usada en la teorıa del potencial.

En el caso que 12≤ ν < 1, tambien se puede especificar la condicion:

Si1

2≤ ν < 1, exigimos que

√ρφ(ρ) −−→

ρ→00.

Si ν ≥ 1, tambien se puede imponer esta condicion en vez de la (11.6).(11.9)

La condicion (11.9) es satisfecha por Jν si ν ≥ 12; lo que lleva a que B = 0 en (11.5).

En efecto, si ν ≥ 12,√ρYν(ρ) ∼

ρ→0ρ−ν+

12 que tiende, cuando ρ → 0, a ∞ si ν > 1

2y a una

constante no nula si ν = 12. Esta condicion es usada en mecanica cuantica (se encuentra

asociada a la condicion de regularidad); ver 5-9.1 y 13.1.Toda esta discusion nos ha llevado (despues de aplicar las condiciones, segun sea el

caso: (11.6), (11.7), (11.8) o (11.9)), a que la solucion del problema es del tipo

φ(ρ) = AJν(√λρ); λ = 0. (11.10)

Falta por imponer las condiciones de frontera en ρ = a.Hagamos:

+√λ ≡ k

a; k = 0. (11.11)

Entonces:

φ(ρ) = AJν

(kρ

a

); k = 0. (11.12)


Comentario 11.2. En ρ = a impondremos condiciones generales homogeneas y nomixtas:

αφ(a) + βφ′(a) = 0; α, β ∈ R, |α|+ |β| = 0; ν ≥ 0.

Ademas, si β = 0 exigiremos que:aα

β+ ν ≥ 0.

(11.13)

Hasta ahora tenemos que el P.S-L. (11.1) es efectivamente autoadjunto, ya que con(11.13) el concomitante bilineal se anula en ρ = a (revisar 4-2.3), y en ρ = 0 tendremos(al usar Jν(z) ∼

z→0zν):

Qρ[Jν(√λρ), Jν(

√λ′ρ)] ∼

ρ→0νρ[(

√λρ)ν(

√λ′ρ)ν−1 − (

√λρ)ν−1(

√λ′ρ)ν ]

= [(√λ)ν(

√λ′)ν−1 − (

√λ)ν−1(

√λ′)ν ](νρ2ν).

(11.14)

Si ν = 0, Qρ[·, ·] −−→ρ→0

0 y si ν = 0, Qρ[·, ·] = 0.

Entonces, bajo estas condiciones los autovalores λ′ ≡ −λ seran reales (como debe seren un problema autoadjunto). Las condiciones (11.13) para autovalores no nulos se escri-ben, al usar (11.12):

αJν(k) +β

akJ ′

ν(k) = 0; ν ≥ 0; α, β ∈ R, |α|+ |β| = 0; k = 0.

Ademas, si β = 0 solamente consideraremos el caso en que:aα

β+ ν ≥ 0.

(11.15)

El P.S-L. nos ha proporcionado las autofunciones (11.12) correspondientes a los au-tovalores λ′ ≡ −λ no nulos (ver (11.11)), los cuales vienen dados por las soluciones de(11.15).

Si las condiciones (11.15) son o bien Jν(k) = 0, o bien J ′ν(k) = 0, se tendra entonces

ρJν(kρa

)J ′ν

(kρa

)∣∣a0= 0; y como p2(ρ) = −ν2

ρ2≤ 0, tendremos (teorema 4-4.5) que los

autovalores λ′ ≡ −λ seran negativos. Podemos demostrar este hecho en general para lacondicion (11.15) ya que sabemos (ver teoremas 10.1 y 10.2; tomando en cuenta que k esen principio real positivo o imaginario puro pues λ es real, y por lo tanto |arg k| < π) quelas raices de la Ec (11.15) son todas reales, y entonces forzosamente λ > 0 (ver (11.11)).

El autovalor cero (λ′ = λ = 0) nos lleva a buscar las soluciones no triviales de la

EDOL: S(0)ρ φ(ρ) = φ′′(ρ) + 1

ρφ′(ρ) − ν2

ρ2φ(ρ) = 0, ν ≥ 0 (ver 3.P.5); sujetas a condicio-

nes de frontera autoadjuntas (11.6), (11.7), (11.8) y (11.13) que hemos considerado; asıcomo la (11.9) si ν ≥ 1

2. Se deja como problema el hallar que todas las autofunciones

correspondientes al autovalor (no degenerado) cero son:

φν0(ρ) = ρν ; ν ≥ 0; solo si: β = 0 yα

β= −ν

a. (11.16)

Por coherencia, se debe terminar de comprobar que el P.S-L. es efectivamente autoadjunto,ya que todas las autofunciones satisfacen la Rel. 4-(1.3); ver problemas.

En resumen, hemos obtenido el siguiente resultado:


Para cada ν ≥ 0, todas las autofunciones correspondientes al P.S-L. en L2ρ(0, a) dado

por la EDOL (11.1), con todas las condiciones de frontera que hemos considerado

(incluyendo la (11.9) si ν ≥ 12) seran. (a) Las autofunciones (no normalizadas): φνn(ρ)

= Jν(kνnaρ), de autovalores negativos (no degenerados) correspondientes: λ′νn = −λνn

= −k2νna2

; n = 1, 2, 3, · · · ; donde kνn son las raices positivas de la Ec. (11.15). (b) Ade-

mas, se tendran las autofunciones (no normalizadas): φν0(ρ) = ρν correspondientes al

autovalor (no degenerado) cero: λ′ν0 = λν0 = 0; solo si: β = 0 y αβ= −ν

a.

(11.17)

Comentario 11.3. Evaluemos la integral:∫ a

0

ρ[Jν(δρ)]2dρ; δ ∈ R+; ν ≥ 0. (11.18)

Para ello consideremos las EDOL (con ν ≥ 0):

d2φϵdρ2

(ρ) +1

ρ

dφϵdρ

(ρ) +

(ϵ2 − ν2

ρ2

)φϵ(ρ) = 0;

d2φδdρ2

(ρ) +1

ρ

dφδdρ

(ρ) +

(δ2 − ν2

ρ2

)φδ(ρ) = 0,

(11.19)donde ϵ, δ son dos numeros reales positivos diferentes. Las EDOL (11.19) tienen solucionesφϵ(ρ) = Jν(ϵρ) y φδ(ρ) = Jν(δρ). Restando la primera ecuacion multiplicada por ρφδ dela segunda ecuacion multiplicada por ρφϵ e integrando entre 0 y a, obtenemos que:

(ϵ2 − δ2)

∫ a

0

ρφϵφδdρ = ρ

(φϵdφδdρ

− φδdφϵdρ

)∣∣∣∣a0

. (11.20)

La expresion (11.20) nos dice que:∫ a

0

ρJν(ϵρ)Jν(δρ)dρ =a

ϵ2 − δ2[δJν(ϵa)J

′ν(δa)− ϵJν(δa)J

′ν(ϵa)], (11.21)

donde J ′ν(ϵa) significa

dJν(z)dz

∣∣∣z=ϵa

, y lo similar para J ′ν(δa).

Consideremos a δ como una constante y ϵ como una variable que hacemos tendera δ. Para evaluar ese lımite en (11.21) podemos usar la regla de l’Hopital. Tendremos,derivando respecto de ϵ:

a

2ϵ[aδJ ′

ν(ϵa)J′ν(δa)− aϵJν(δa)J

′′ν (ϵa)− Jν(δa)J

′ν(ϵa)]

−−→ϵ→δ

a

2δ

[aδ[J ′

ν(δa)]2 − aδJν(δa)J

′′ν (δa)− Jν(δa)J

′ν(δa)

].

(11.22)

De la EDOL (11.19) vemos que:

−J ′′ν (δρ) =

1

δρJ ′ν(δρ) +

(1− ν2

δ2ρ2

)Jν(δρ), (11.23)

y podemos usar (11.23) para eliminar J ′′ν (δa) en (11.22). Obtenemos:

a2

2

[[J ′ν(δa)]

2 +

(1− ν2

δ2a2

)[Jν(δa)]

2

]. (11.24)


En definitiva hemos obtenido que:∫ a

0

ρ[Jν(δρ)]2dρ =

a2

2

[J ′ν(x)]

2 +

(1− ν2

x2

)[Jν(x)]

2

∣∣∣∣x=δa

; δ ∈ R+; ν ≥ 0. (11.25)

Comentario 11.4. Ya sabemos que las autofunciones del P.S-L. (11.1) son ortogo-nales en L2

ρ(0, a) para autovalores diferentes. Escribamos ahora las expresiones de “orto-normalizacion”. Tendremos, haciendo δ = kνn/a en (11.25), que:∫ a

0

ρJν

(kνnρ

a

)Jν

(kνn′ρ

a

)dρ =

a2

2

[J ′ν(kνn)]

2 +

(1− ν2

k2νn

)[Jν(kνn)]

2

δnn′ ;

n, n′ ∈ Z+; ν ≥ 0.

(11.26)

En particular, para β = 0 en (11.15); como J ′ν(xνn) = −Jν+1(xνn), ver (10.1); tendre-

mos de (11.26) que:∫ a

0

ρJν

(xνnρa

)Jν

(xνn′ρ

a

)dρ =

a2

2[Jν+1(xνn)]

2δnn′ , n, n′ ∈ Z+; ν ≥ 0. (11.27)

En particular, para α = 0 en (11.15), tendremos de (11.26) que:∫ a

0

ρJν

(yνnρa

)Jν

(yνn′ρ

a

)dρ =

a2

2

(1− ν2

y2νn

)[Jν(yνn)]

2δnn′ , n, n′ ∈ Z+; ν ≥ 0.

(11.28)La ortogonalidad en L2

ρ(0, a) de φ00(ρ) = 1 con el conjuntoJ0(y0nρa

)n∈Z+

(ver

(11.17)) nos proporciona las siguientes integrales:∫ a

0

ρJ0

(y0nρa

)dρ = 0; ∀n ∈ Z+. (11.29)

Comentario 11.5. Por desgracia ninguno de los teoremas que hemos enunciado an-teriormente son aplicables a este P.S-L. para asegurar la completitud de las autofuncionesdescritas en (11.17) en el espacio de Hilbert L2

ρ(0, a). Nos limitaremos a enunciar esta com-pletitud en forma de tres teoremas que describen posibles situaciones de la Ec. (11.15).No demostraremos estos teoremas (ver, p. ej., [120]).

Teorema 11.6. Sea β = 0 en (11.15), entonces:El conjunto de autofunciones Jν

(xνnρa

), n = 1, 2, 3, · · · , del P.S-L. (11.1) es completo

en L2ρ(0, a). Por lo tanto:

f(ρ) =∞∑n=1

AνnJν

(xνnρa

); ∀f ∈ L2

ρ(0, a); ν ≥ 0, β = 0, (11.30)

donde la convergencia de la serie es en media, y:

Aνn =2

a2[Jν+1(xνn)]2

∫ a

0

ρf(ρ)Jν

(xνnρa

)dρ. (11.31)

N


El coeficiente Aνn (11.31) se obtiene al multiplicar a (11.30) por ρJν(xνn′ρ

a

), integrar

entre 0 y a y usar la Rel. (11.27).El desarrollo (11.30) se llama serie de Fourier-Bessel. El cero no es autovalor en

este caso. Corresponde a la condicion de frontera de Dirichlet homogenea en ρ = a, paralos valores: ν ≥ 0.

Teorema 11.7. Si β = 0 y aαβ

+ ν > 0, el conjunto de funciones Jν(kνnρa

), n =

1, 2, 3, · · · , del P.S-L. (11.1) es completo en L2ρ(0, a). Por lo tanto:

f(ρ) =∞∑n=1

AνnJν

(kνnρ

a

); ∀f ∈ L2

ρ(0, a); ν ≥ 0; β = 0 yaα

β+ ν > 0, (11.32)

donde la convergencia de la serie es en media, y:

Aνn =2

a2[J ′ν(kνn)]

2 +(1− ν2

k2νn

)[Jν(kνn)]2

∫ a

0

ρf(ρ)Jν

(kνnρ

a

)dρ. (11.33)

N

El coeficiente Aνn en (11.33) se obtiene al multiplicar a (11.32) por ρJν

(kνn′ρa

), inte-

grar entre 0 y a, y usar la Rel. (11.26).El desarrollo (11.32) se llama serie de Fourier-Dini o mas comunmente serie de

Dini. El cero no es autovalor en este caso.Si β = 0 y aα

β+ ν = 0; ν ≥ 0; el conjunto de autofunciones Jν

(kνnρa

), n = 1, 2, · · · ,

del P.S-L. (11.1) no es completo; lo cual es obvio de (11.17).El teorema 11.7 nos dice, en particular, que si α = 0 y ν > 0, el conjunto de autofun-

ciones Jν(yνnρa

)es completo. Esto es:

f(ρ) =∞∑n=1

AνnJν

(yνnρa

); ∀f ∈ L2

ρ(0, a); ν > 0, α = 0, (11.34)

donde:

Aνn =2

a2(1− ν2

y2νn

)[Jν(yνn)]2

∫ a

0

ρf(ρ)Jν

(yνnρa

)dρ. (11.35)

Teorema 11.8. Si α = 0 y ν = 0, el conjunto de autofunciones φ00(ρ) = 1 ∪J0(y0nρa

)n∈Z+

del P.S-L. (11.1) es completo en L2ρ(0, a). Por lo tanto:

f(ρ) = A00 +∞∑n=1

A0nJ0

(y0nρa

); ∀f ∈ L2

ρ(0, a), α = 0, (11.36)

donde la convergencia es en media,

A00 =2

a2

∫ a

0

ρf(ρ)dρ, (11.37)

y A0n, n = 1, 2, · · · , viene dado por la expresion (11.35) con ν = 0. N


Obtenemos A00 al multiplicar (11.36) por φ00(ρ)ρ = ρ, integrar entre 0 y a y usar laRel. (11.29). El cero es autovalor en este caso, el cual viene mal tratado en algunos textos;faltando en general el termino A00 (lo que es inconsistente con f(ρ) = 1, p. ej.).

Este teorema junto con la situacion tipificada en la Rel. (11.34) corresponden a lacondicion de frontera de Neumann homogenea en ρ = a, para los valores: ν ≥ 0.

Comentario 11.9. Condiciones que se le deben imponer a las funciones f(ρ) paraque las series (11.30), (11.32), (11.36) converjan puntualmente, o mas aun uniformemente,se pueden hallar en la literatura; ver p. ej., [120].


Comentario 12.1. Con frecuencia el P.S-L.S. no tiene soluciones. Esto es, no existenautofunciones ni autovalores del operador L. Sin embargo, a veces ocurre que existenautofunciones generalizadas correspondientes a autovalores del continuo (ver 1-14). Dichasautofunciones son ortonormales en el sentido de la delta. Para un ejemplo sencillo ver 4-6.2.

Comentario 12.2. Para el intervalo (0, a] con a < ∞ sabemos que Jν(xνnρa

), n =

1, 2, · · · es un conjunto completo en L2ρ(0, a), solucion del P.S-L. de la ecuacion de Bessel

(11.1) para β = 0, y que podemos por lo tanto desarrollar cualquier funcion de L2ρ(0, a)

en terminos de ese conjunto (ver (11.30)). Si el intervalo es (0,∞) este P.S-L.S. no tienesolucion. Veremos sin embargo que tiene solucion en el sentido generalizado.

Comentario 12.3. Para ν ≥ 0 e I = (0,∞), impongamos en ρ = 0 cualquiera delas tres condiciones de frontera: (11.7), (11.8), o (11.9) si ν ≥ 1/2; con lo que se eliminala funcion Yν . La otra condicion sera la exigencia que las soluciones formen un conjuntoortonormal generalizado en L2

ρ(0,∞); ver el principio de la seccion 11 para precisiones encuanto a esta notacion. “Deduzcamos” lo que se obtiene al usar esta ultima condicion defrontera por paso al lımite de las relaciones (11.30) y (11.31). Sabemos que se tiene, sia <∞ y f ∈ L2

ρ(0, a):

f(ρ) =∞∑n=1

2

a2[Jν+1(xνn)]2

[∫ a

0

ρ′f(ρ′)Jν

(xνnρ

′

a

)dρ′]Jν

(xνnρa

), (12.1)

donde xνn son los ceros positivos de Jν ordenados en orden creciente. Esto es:

Jν(xνn) = 0. (12.2)

Analicemos los autovalores: λ′νn ≡ −λνn = −x2νna2

de este P.S-L. (los cuales yacen en el

intervalo (−∞,−x2ν1a2

], para a <∞) cuando a→ ∞.Es obvio que los primeros ceros de Jν van a cero cuando a→ ∞; esto es, lıma→∞

xνna

=0. Sin embargo, si en el lımite a → ∞, n tambien va a infinito, se puede obtener quelıma→∞

xνna

≡ k sea finito (suprimimos el subındice ν en la k). Esto se puede hacerde muchas maneras, obteniendo un continuo de valores de k. En efecto, tendremos que

∆√λνn ≡

√λν(n+1) −

√λνn =

xν(n+1)−xνna

∼a→∞

πa

∼a→∞

0 (ver (10.3)); esto es, el espaciado

entre autovalores se hace nulo; o lo que es lo mismo, los autovalores tienden al continuo;vale decir:

√λνn = xνn

a−−−→a→∞

k, con:

k ∈ (0,∞). (12.3)


Por otro lado, sabemos de (7.15) que: [Jν+1(x)]2 ∼x→∞

(2πx

)cos2

[x− (ν + 1)π

2− π

4

]=(

2πx

)sen2

(x− ν π

2− π

4

)= 2

πx

[1− cos2

(x− ν π

2− π

4

)]∼

x→∞2πx

− [Jν(x)]2. Por lo tanto, de

(12.2) vemos que [Jν+1(xνn)]2 ∼a→∞

2πxνn

= 2πa

√λνn

. Al usar ∆√λνn ∼

a→∞πaobtenemos de

(12.1) que:

f(ρ) ∼a→∞

∞∑n=1

√λνn

(∆√λνn

)Jν(√λνnρ)

[∫ a

0

ρ′f(ρ′)Jν(√λνnρ

′)dρ′]. (12.4)

Como cuando a → ∞ se tiene: ∆√λνn → 0 y

√λνn → k ∈ (0,∞), podemos reemplazar

la suma por una integral:

f(ρ) =

∫ ∞

0

kFν(k)Jν(kρ)dk; ρ, k ∈ R+; ν ≥ 0; ∀f ∈ L2ρ(0,∞), (12.5)

donde

Fν(k) =

∫ ∞

0

ρf(ρ)Jν(kρ)dρ; ρ, k ∈ R+; ν ≥ 0; ∀f ∈ L2ρ(0,∞). (12.6)

Ver el principio de la seccion 11 para precisiones en cuanto a la notacion: L2ρ(0,∞).

La integral (12.5) con la Fν(k) dada por (12.6) se llama integral de Fourier-Bessel.Las formulas (12.5) y (12.6) son llamadas transformadas de Hankel. Ver [120] parateoremas que convierten todo esto en algo serio.

Notemos que si tomamos f(ρ) = Jν(k′ρ), k′ ∈ R+, ν ≥ 0, obtenemos de (12.5):

Jν(k′ρ) =

∫ ∞

0

kFν(k)Jν(kρ)dk, (12.7)

de donde se concluye que Fν(k) =δ(k−k′)

k. Al usar este resultado en (12.6) obtenemos la

relacion de ortogonalidad generalizada en L2ρ(0,∞):∫ ∞

0

ρJν(k′ρ)Jν(kρ)dρ =

δ(k − k′)

k; k, k′ ∈ R+, ν ≥ 0, (12.8)

para las autofunciones generalizadas: Jν(kρ); de autovalores generalizados (no degenera-dos): −k2 ∈ (−∞, 0). En virtud de (12.8), para cada ν ≥ 0, el conjunto:

Φνk(ρ) ≡√kJν(kρ); ρ, k ∈ R+ (ν ≥ 0), (12.9)

sera entonces un conjunto ortonormal generalizado en L2ρ(0,∞); ver Rel. 1-(15.68). Resulta

irrelevante (para el continuo) si k = 0 es o no un autovalor generalizado.Partiendo de la EDOL de Bessel se puede verificar (ver problemas) que para cada

ν ≥ 0, se tiene que:∫ ∞

0

Jν(kρ′)Jν(kρ)kdk =

δ(ρ− ρ′)

ρ; ρ, ρ′ ∈ R+, ν ≥ 0. (12.10)

La Rel. (12.10) nos indica que para cada ν ≥ 0, Φνkk∈R+ dado por la Rel. (12.9)

es un conjunto completo generalizado en L2ρ(0,∞); ver Rel. 1-(15.69). Vale decir, la Rel.

(12.10) expresa la relacion de clausura generalizada en L2ρ(0,∞) del conjunto Φνkk∈R+ .


13. Autovalores y Autofunciones de la Ecuacion de Schrodinger

Ejemplo 13.1. Hallar las autofunciones normalizadas y los autovalores de la energıaE para una particula de masa µ encerrada en una esfera impenetrable de radio a (“pozocuadrado infinito” en tres dimensiones).

Resolvamos el problema en coordenadas esfericas, con origen en el centro de la esfera.La coordenada radial r pertenecera al intervalo I = (0, a]. Ya sabemos que la solucionvendra dada por: Rl(r)Y

ml (θ, ϕ), donde Rl es solucion de la ecuacion radial 3-(9.1) con

I = (0, a] e Y ml (θ, ϕ) son los armonicos esfericos.

Al usar la notacion:2µ

~2E ≡ β2, (13.1)

y efectuar el cambio: Rl(r) = vl(r)/√r, se obtiene (ver A-(2.13) con f(r) = β2):

v′′l (r) +1

rv′l(r) +

[β2 −

(l + 1

2

)2r2

]vl(r) = 0; r ∈ (0, a]. (13.2)

Se impone que Rl ∈ L2r2(0, a), y por lo tanto vl(r) ∈ L2

r(0, a). En r = a impondremosla condicion de frontera de Dirichlet: Rl(a) = 0; vale decir, la condicion de Dirichlet:vl(a) = 0. En r = 0 impondremos la condicion de regularidad para la ul(r) =

√rvl(r); ver

5-9.1. Entonces, en virtud de lo establecido en la seccion 11 (en particular la condicion(11.9), pues ν ≡ l+ 1

2≥ 1

2; e identificando λ con β2) tendremos que los autovalores Enl de

la energıa seran positivos y vienen dados por:

Enl =~2

2µa2

(x(l+ 1

2)n

)2; n ∈ Z+, l ∈ N, (13.3)

donde x(l+ 12)n

son los ceros positivos de Jl+ 12(x); ver seccion 10; y que las autofunciones

son: Rnl(r) = NnlJl+ 12

(x(l+ 1

2)nra

)/√r, Nnl ∈ C. Mediante la Rel. (11.27), obtenemos (a

menos de una fase) que el conjunto de autofunciones ortonormales completo (ver teorema11.6) sera:

Rnl(r) =

√2

aJl+ 32

(x(l+ 1

2)n

) Jl+ 12

(x(l+ 1

2)nra

)√r

; n ∈ Z+, l ∈ N. (13.4)

En resumen, a menos de una fase, el conjunto de autofunciones ortonormales completodel problema sera:

ψnlm(r) ≡ ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Yml (θ, ϕ); n ∈ Z+, l ∈ N, m ∈ Z, 0 ≤ |m| ≤ l.

(13.5)Al usar las funciones de Bessel esfericas jl; ver definicion (5.4); podremos reescribir a

la Rel. (13.4), ası:

Rnl(r) =

√2

a3/2

jl

(x(l+ 1

2)nra

)jl+1

(x(l+ 1

2)n

) ; n ∈ Z+, l ∈ N. (13.6)

13. AUTOVALORES Y AUTOFUNCIONES DE LA ECUACION DE SCHRODINGER 217

Ejemplo 13.2. En coordenadas esfericas; hallar las autofunciones y los autovaloresde la energia para E 6 0, para el valor l = 0, para el potencial:

U(r) = −V0e−2r/a; a, V0 ∈ R+. (13.7)

Ya sabemos que la solucion vendra dada por: R0(r)Y00 (θ, ϕ) = R0(r)/

√4π, donde R0

es solucion de la ecuacion radial 3-(9.1) con I = (0,∞) y l = 0.Si partimos de la ecuacion radial reducida (con u0(r) = rR0(r)); ver 3-(9.3); introdu-

ciendo las notaciones:

λ ≡ 2µa2V0~2

(λ > 0); ν ≡√

−2µa2E

~2(ν ≥ 0), (13.8)

y efectuando el cambio:

ρ = e−r/a; u0(r) ≡ φ(ρ), (13.9)

se obtiene:

S(−λ)ρ φ(ρ) ≡ φ′′(ρ) +

1

ρφ′(ρ) +

(λ− ν2

ρ2

)φ(ρ) = 0. (13.10)

Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion radial reducida sera (ver (11.1)-(11.5)):

u0(r) = AJν(√λe−r/a) +BYν(

√λe−r/a); A,B ∈ C (λ > 0, ν ≥ 0). (13.11)

Las condiciones de frontera impuestas a la u0 seran: u0 ∈ L2(0,∞), que implicau0(r) −−−→

r→∞0, y la de la regularidad en r = 0 (u0(0) = 0). Ahora bien, aquı λ es una

constante positiva fija (dada) y el problema consiste en averiguar para que valores deν ≥ 0 la constante (−λ) sera precisamente un autovalor del operador S(0) (ver (13.10));con lo que φ ≡ 0 en I). La condicion en el infinito implica (ver (7.1) y (7.3)) que B = 0 en(13.11) si ν > 0; y que no existen soluciones para ν = 0 (ver (7.1) y (7.2)). La condicionde regularidad implica entonces que:

Jν(√λ) = 0 (λ > 0, ν > 0). (13.12)

Hemos visto que E = 0 (ν = 0) no es un autovalor de la energıa para este problema.La evaluacion de los valores ν > 0 que satisfacen (13.12) es numerica; ver [8] para algunosresultados numericos. Por lo tanto, para esas soluciones ν > 0, los autovalores de la energıa:Eν = − ~2

2µa2ν2 seran negativos y las autofunciones (no normalizadas) seran: Rν0(r) =

NνJν(√λe−r/a)/r, Nν ∈ C.

Ejemplo 13.3. Hallar las autofunciones normalizadas y los autovalores de la energıaE para una particula de masa µ encerrada en un cilindro truncado impenetrable, de radioa y altura L.

Resolvamos el problema en coordenadas cilındricas (ρ, ϕ, z). Hagamos coincidir el ejedel cilindro con el eje zeta, escogiendo: z ∈ [0, L].

La ecuacion de Schrodinger (ver A-(2.14) y A-(2.15)) se separa en las tres ecuaciones:A-(3.7) con h(z) = 0; A-(3.8) con g(ϕ) = 0, ϕ ∈ [0, 2π] y A-(3.9) con f(ρ) = 2µ

~2E ≡ β2,ρ ∈ (0, a]. Se tiene: ψ(r) ≡ ψ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Q(ϕ)Z(z).

Para la coordenada z escogemos la condicion de frontera de Dirichlet en z = 0 yen z = a, y para la ϕ escogemos las condiciones de frontera periodicas. De 4-5.2 y 4-5.4 tenemos que (a menos de una fase) el producto de las autofunciones ortonormales


correspondientes a Q(ϕ)Z(z), son:

Qm(ϕ)Zp(z) =1√πL

eimϕsenπpz

L; m ∈ Z, p ∈ Z+, (13.13)

de autovalores correspondientes: −ν2m = −m2 y −α2p = −

(πpL

)2.

Obtenemos entonces la ecuacion de autovalores para la energıa:

R′′m(ρ) +

1

ρR′m(ρ) +

(λ− m2

ρ2

)Rm(ρ) = 0; λ ≡ β2 −

(πpL

)2, ρ ∈ (0, a]. (13.14)

Para los efectos de la solucion de la EDOL (13.14) (la cual depende de m2) tomemosm ∈ N (m ≥ 0), pues los valores negativos de m arrojan soluciones linealmente depen-dientes; las cuales tomaremos como iguales: R−m(ρ) = Rm(ρ). Usemos los resultados dela seccion 11. Se impone que Rm(ρ) ∈ L2

ρ(0, a). En ρ = a impondremos la condicion defrontera de Dirichlet: Rm(a) = 0. En ρ = 0 exigiremos que Rm sea acotada (ver (11.8));aunque para m ≥ 1 la sola pertenencia a L2

ρ(0, a) es suficiente (ver (11.6)). Entonces, los

autovalores (−λ) correspondientes a la EDOL (13.14) con λ = 0 seran: −x2mn/a2, n ∈ Z+;donde xmn son los ceros positivos de Jm(x); ver seccion 10. Por lo tanto, al tener presenteque x(−m)n = xmn,m ∈ Z, ver seccion 10; tendremos que los autovalores Enmp de la energıaseran positivos y vendran dados por:

Enmp =~2

2µ

[(xmna

)2+(pπL

)2]; n ∈ Z+, m ∈ Z, p ∈ Z+, (13.15)

y que las autofunciones son: Rnm(ρ) = NnmJm(xmnaρ), Nnm ∈ C. Mediante la Rel. (11.27),

obtenemos (a menos de una fase) que las autofunciones normalizadas seran:

Rnm(ρ) =

√2

a

Jm(xmnaρ)

Jm+1 (xmn); n ∈ Z+, m ∈ Z, (13.16)

donde hemos usado (1.11), (10.1) y el hecho que x(−m)n = xmn. En efecto: J−m+1(x(−m)n) =−J−m−1(xmn) = −J−(m+1)(xmn) = −(−1)m+1Jm+1(xmn) = (−1)mJm+1(xmn), con lo queRn(−m)(ρ) = Rnm(ρ), m ∈ Z. Sin querer entrar en detalles (ver comentarios en 5-4.2),notemos que la condicion de regularidad para la u(ρ) = ρR(ρ): u(0) = 0; si bien funcionapara m ≥ 1, no lo hace para m = 0 (no lleva a la anulacion de la B en (11.5)). Esto sepuede comprobar al usar (7.1), (7.2) y (7.3).

En resumen, a menos de una fase, el conjunto de autofunciones ortonormales completo(ver teorema 11.6) del problema sera:

ψnmp(r) ≡ ψnmp(ρ, ϕ, z) = Rnm(ρ)Qm(ϕ)Zp(z); n ∈ Z+, m ∈ Z, p ∈ Z+.

(13.17)

Ejemplo 13.4. Hallar las autofunciones y los autovalores de la energıa E para unaparticula libre de masa µ en coordenadas esfericas.

Al tomar en cuenta lo establecido en 13.1; efectuando el cambio de notacion: β → k;impongamos como condiciones de frontera para Rl(r) con r ∈ (0,∞), la de la regularidaden r = 0 para la ul(r) = rRl(r) y la de la “pertenencia” de Rl en L

2r2(0,∞) en el sentido

generalizado. Sabemos, en virtud del problema 1.P.63, que el Laplaciano tiene autovalores

14. DESARROLLO DE UNA ONDA PLANA EN ARMONICOS ESFERICOS 219

generalizados no negativos; por lo tanto, tendremos que los autovalores generalizados dela energıa Ek vendran dados por:

Ek =~2

2µk2; k ∈ R+ ∪ 0. (13.18)

De la seccion 12 tendremos, a menos de una fase, que el conjunto completo de autofuncionesortonormales Rkl(r) para k > 0, todo ello en el sentido generalizado, vendra dado por:

Rkl(r) =

√kJl+ 1

2(kr)

√r

; k ∈ R+, l ∈ N. (13.19)

En resumen (a menos de una fase), el conjunto de autofunciones ortonormales com-pleto (todo ello en el sentido generalizado) del problema sera:

ψklm(r) ≡ ψklm(r, θ, ϕ) = Rkl(r)Yml (θ, ϕ); k ∈ R+, l ∈ N, m ∈ Z, 0 ≤ |m| ≤ l.

(13.20)En terminos de las funciones esfericas de Bessel jl, escribiremos la Rel. (13.19), ası:

Rkl(r) = k

(2

π

) 12

jl(kr); k ∈ R+, l ∈ N. (13.21)

14. Desarrollo de una Onda Plana en Armonicos Esfericos

Consideremos una onda plana: eik·r, con k = 0, r = 0. Pongamos, en coordenadas

esfericas: k = (k, θk, ϕk) y r = (r, θr, ϕr); k · r = kr cos θ, θ ∈ [0, π]. Queremos verificar que:

eik·r = eikr cos θ =∞∑l=0

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cos θ); r, k = 0. (14.1)

Al utilizar la Rel. 5-(4.18), obtenemos de (14.1):

eik·r = 4π∞∑l=0

l∑m=−l

iljl(kr)Y ml (θk, ϕk)Y

ml (θr, ϕr); r, k = 0. (14.2)

La Rel. (14.2) se denomina desarrollo de una onda plana en armonicos esferi-cos.

Como el conjunto (13.20) con Rkl dado por (13.21) es ortonormal completo en el

sentido generalizado, para cada k > 0 tendremos el siguiente desarrollo de eik·r:

eik·r = eikr cos θ =∞∑l=0

l∑m=−l

Alm(k)jl(kr)Yml (θ, ϕ). (14.3)

Escojamos: k = (k, 0, 0), lo que corresponde a tomar el eje zeta del sistema de coor-

denadas esferico en la direccion y sentido de k. Como eikr cos θ no depende de ϕ, tendremosque m = 0. En efecto: Lz(e

ikr cos θ) = −i~ ∂∂ϕ(eikr cos θ) = 0.


Pongamos: ρ ≡ kr (ρ ∈ (0,∞)) y x ≡ cos θ. Tendremos:

eiρx =∞∑l=0

Cl(k)jl(ρ)Pl(x), (14.4)

donde: Cl(k) ≡√

2l+14πAl0(k) =

√2l+14πAl0((k, 0, 0)); ver 5-(4.5).

Si derivamos termino a termino la serie (14.4) con respecto a ρ, obtendremos:

ixeiρx =∞∑l=0

Cl(k)d

dρjl(ρ)Pl(x). (14.5)

Al usar la Rel. (9.11), de (14.5) obtenemos:

ixeiρx =∞∑l=0

[l

2l + 1Cljl−1 −

l + 1

2l + 1Cljl+1

]Pl. (14.6)

Al multiplicar la Rel. (14.4) por (ix), usar la Rel. 5-(2.32) y cambiar luego conve-nientemente los ındices de la suma (al exigir que: C−1 ∈ R; pues C−1 no esta definido), seobtiene:

ixeiρx = i∞∑l=0

[l

2l − 1Cl−1jl−1 +

l + 1

2l + 3Cl+1jl+1

]Pl. (14.7)

Al igualar los coeficientes de Pl en las Rels. (14.6) y (14.7), se obtiene:

l

[1

2l + 1Cl −

i

2l − 1Cl−1

]jl−1(ρ) = (l + 1)

[1

2l + 1Cl +

i

2l + 3Cl+1

]jl+1(ρ). (14.8)

Las relaciones en (14.8) seran validas para todo valor de ρ sii los miembros de cadacorchete son nulos; por lo tanto:

1

2l + 3Cl+1 =

i

2l + 1Cl, l ∈ N; (14.9)

vale decir:Cl(k) = (2l + 1)ilC0(k). (14.10)

Al tomarse el lımite: ρ→ 0 en la Rel. (14.4), se obtiene C0(k) = 1; pues jl(0) = δl0 yP0(x) = 1. Entonces: Cl(k) = (2l + 1)il.

15. Calculo de Funciones de Green

Comentario 15.1. En esta seccion hallaremos, para λ = 0, funciones de Greencorrespondientes al operador:

Lρφ(ρ) ≡ φ′′(ρ) +1

ρφ′(ρ)−

(α2 +

m2

ρ2

)φ(ρ); α ∈ R+, m ∈ Z, (15.1)

para ciertos intervalos I y diversas condiciones de frontera.En esta seccion debemos ser cuidadosos con la notacion, pues λ corresponde a lo

establecido en 6-(1.2). Para comparar con la Rel. (15.1), el λ de la seccion 11 se deberıacambiar ası: λ→ −α2.

Las funciones de Green dependeran del coeficiente m; denotemoslas en este parrafopor: g(ρ, ρ′|m) ≡ g0(ρ, ρ

′|m). Para los efectos de la solucion de la EDOL (15.1) (la cualdepende de m2) tomemos m ≥ 0, pues los valores negativos de m arrojan soluciones

15. CALCULO DE FUNCIONES DE GREEN 221

linealmente dependientes; las cuales tomaremos como iguales: g(ρ, ρ′| −m) = g(ρ, ρ′|m),m ≥ 0.

Este es un P.S-L.S y sabemos que w0(ρ) = ρ y que p(ρ) = ρ. Al efectuar el cambio:x = αρ, φ(ρ) ≡ ψ(x) obtenemos la EDOL (4.1), ver A-(3.10); y por lo tanto (ver seccion4) un sistema fundamental de soluciones del problema homogeneo Lρφ(ρ) = 0, viene dadopor:

φ1(ρ) = Im(αρ) y φ2(ρ) = Km(αρ); m ∈ Z. (15.2)

Seguiremos las sugerencias de la seccion 5 del capitulo 6.

Ejemplo 15.2. Hallar la funcion de Green correspondiente a lo planteado en 15.1para el intervalo I = (0, a], a ∈ R+; sujeta a las condiciones de frontera:

g(0, ρ′) es acotada, g(a, ρ′) = 0. (15.3)

Notemos que λ = 0 no es un autovalor de Lρ para esas condiciones de frontera. Enefecto, de la seccion 11; en particular de: (11.8), (11.13) y (11.17); vemos que solamentese tendrıa solucion si α2 = −x2mn/a2 donde xmn son las raices positivas de Jm(x), lo queno puede ser pues α > 0. Por lo tanto, g(ρ, ρ′) existe y es unica.

La solucion φ1(ρ); ver (15.2); ya satisface la condicion de acotacion en ρ = 0 (ver(7.6)); y por lo tanto (ver seccion 6-5) tomamos: ψ1(ρ) ≡ Im(αρ). Para la segunda soluciontomamos: ψ2(ρ) = d1Im(αρ) + d2Km(αρ); con lo que al imponer ψ2(a) = 0 se obtiene (al

escoger arbitrariamente d2 = 1): ψ2(ρ) = Km(αρ) − Km(αa)Im(αa)

Im(αρ). Notemos que para

αa > 0 se tiene Im(αa) = 0 (ver (4.2) y el teorema 10.1). En virtud de la linealidad deW (ψ1, ψ2; ρ) en la variable ψ2 y de la seccion 8, se tiene que: W (ψ1(ρ), ψ2(ρ); ρ) = −1/ρ.Por lo tanto (ver teorema 6-5.3):

g0(ρ, ρ′) ≡ g(ρ, ρ′) = −α0Im(αρ<)

[Km(αρ>)−

Km(αa)

Im(αa)Im(αρ>)

];

α > 0, m ∈ Z, ρ, ρ′ ∈ (0, a].

(15.4)

Se ha usado el hecho que I−m(x) = Im(x) y K−m(x) = Km(x), m ∈ Z; ver (4.4) y (4.9).

Ejemplo 15.3. Resolvamos el mismo ejercicio anterior, pero por el metodo de series;ver Rel. 6-(3.3) y lo discutido en la seccion 4 del capıtulo 6.

Para el problema de autovalores en L2ρ(0, a): Lρφ(ρ) = λφ(ρ), correspondiente al

operador Lρ dado por la Rel. (15.1), definamos: α2 + λ ≡ λ′. Para las condicionesde frontera consideradas tendremos entonces (ver (11.17)) que: λ′mν = −x2mn/a2, n ∈Z+, donde xmn son los ceros positivos de Jm(x). Por lo tanto, los autovalores λ de

Lρ seran: λmn = −(α2 + x2mn

a2

). Las autofunciones (no normalizadas) seran: φmn(ρ) =

NmnJm(xmnaρ), Nmn ∈ C. De la Rel. (11.27) tenemos (a menos de una fase) que el factor

de normalizacion es: Nmn =1/a

2

2[Jm+1(xmn)]

21/2

. Todo esto ya habia sido establecido

en 13.3, con otras notaciones.Como el conjunto φmn, n ∈ Z+, es completo en L2

ρ(0, a); ver teorema 11.6; obtene-mos entonces, al usar la Rel. 6-(3.3) con λ = 0:


g0(ρ, ρ′) ≡ g(ρ, ρ′) = −2α0

a2

∞∑n=1

Jm(xmnρ′

a)Jm(

xmnρa

)[(xmna

)2+ α2

][Jm+1(xmn)]

2;

α > 0, m ∈ Z, ρ, ρ′ ∈ (0, a].

(15.5)

Se ha usado el hecho que J−m(x) = (−1)mJm(x), que x(−m)n = xmn, m ∈ Z y la Rel.(10.1); ver (1.11) y seccion 10.

Ejemplo 15.4. Hallar la funcion de Green correspondiente a lo planteado en 15.1para el intervalo I = (0,∞), sujeta a las condiciones de frontera:

g(0, ρ′) es acotada, g(ρ, ρ′) −−−→ρ→∞

0. (15.6)

Notemos que λ = 0 no es un autovalor de Lρ para esas condiciones de frontera.En efecto, de la Rel. (15.2) tendremos que la solucion general es: φ(ρ) = AmIm(αρ) +BmKm(αρ). Tenemos que Im satisface la condicion en ρ = 0 pero no Km (ver (7.6), (7.7)y (7.8)); por lo tanto: Bm = 0. Tenemos que Km satisface la condicion en el infinito perono Im (ver (7.11) y (7.12)); por lo tanto: Am = 0. Entonces, g(ρ, ρ′) existe y es unica.

La solucion φ1(ρ); ver (15.2); ya satisface la condicion de acotacion en ρ = 0 (ver(7.6)); y por lo tanto (ver seccion 6-5) tomamos: ψ1(ρ) ≡ Im(αρ). La solucion φ2(ρ); ver(15.2); ya satisface la condicion en el infinito (ver (7.11)); y por lo tanto (ver seccion 6-5)tomamos: ψ2(ρ) ≡ Km(αρ). De la seccion 8, se tiene que: W (ψ1(ρ), ψ2(ρ); ρ) = −1/ρ. Porlo tanto (ver teorema 6-5.3):

g0(ρ, ρ′) ≡ g(ρ, ρ′) = −α0Im(αρ<)Km(αρ>); α > 0, m ∈ Z, ρ, ρ′ ∈ (0,∞).

(15.7)Se ha usado el hecho que I−m(x) = Im(x) y K−m(x) = Km(x), m ∈ Z; ver (4.4) y (4.9).

La Rel. (15.7) se obtiene tambien de la (15.4), al tomarse el lımite: a→ ∞; ver Rels.(7.11) y (7.12).

16. Problemas

7.P.1 Comprobar todos los detalles y las afirmaciones no probadas de este capıtulo. N7.P.2 Consideremos, para λ = 0, la funcion de Green g0(r, r

′) correspondiente al opera-dor:

Lrφ(r) ≡ φ′′(r) +2

rφ′(r) +

[k2 − l(l + 1)

r2

]φ(r); r ∈ I = (0,∞);

l ∈ N; k ∈ C, k = 0, ℜk ≥ 0, ℑk ≥ 0,

(16.1)

con cualquiera de las siguientes condiciones de frontera en r = 0 y en el infinito.En r = 0: (a) la de la acotacion de φ(r); (b) la de la regularidad de u(r) ≡ rφ(r):u(0) = 0. En el infinito: (c) g0(r, r

′) ∼r→∞

eikr/r; (d) g0(r, r′) −−−→

r→∞0, si ℑk > 0.

Verificar que g0 viene dada por:

g0(r, r′) ≡ g(r, r′) = −α0ikjl(kr<)h

(1)l (kr>). (16.2)

Constatar que λ = 0 no es un autovalor de Lr para esas condiciones de frontera,ni siquiera en el sentido generalizado (por lo tanto g0 es unica). N

16. PROBLEMAS 223

Ayuda. Tomar de una vez: ψ1(r) = jl(kr) y ψ2(r) = h(1)l (kr) como base de

soluciones. Ver secciones 5, 7 y 8.Comentario. En virtud de A-2.2, A-2.4 y de la Rel. (16.2), obtendremos en coor-

denadas esfericas, para un potencial central U(r) y energıas negativas: E < 0, lasiguiente ecuacion integral para la parte radial Rl(r) de la ecuacion de Schrodingersujeta a la condicion de regularidad en r = 0 y a la condicion Rl(r) ∼

r→∞e−κr/r

con k = i(

2µ|E|~2

)1/2≡ iκ en el infinito:

Rl(r) =

(2µ

~2

)κ

∫ ∞

0

jl(iκr<)h(1)l (iκr>)U(r

′)Rl(r′)r′

2dr′; κ ≡

(2µ|E|~2

)1/2

, E < 0.

(16.3)Notemos que de existir una funcion Rl(r) que satisfaga la ecuacion radial y estas

condiciones de frontera, automaticamente se encuentra asegurada su pertenenciaa L2

r2(0,∞).

Capıtulo 8

Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales (EDPL)

La bibliografıa referente a las ecuaciones diferenciales parciales lineales (≡ EDPL)es muy vasta; citemos p. ej.: [13]-[16], [38], [44], [116], [117], [122]-[137].

Las dificultades matematicas relacionadas con las EDPL son bastante considerables;ni hablar de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Es por ello que en lo que serefiere (particularmente) al rigor matematico en este capıtulo, lo mejor sera mirar paraotro lado; cuestion que los fısicos sabemos hacer estupendamente.

Solamente vamos a considerar EDPL de segundo orden; vale decir, que poseenderivadas parciales de orden dos siendo ese el mayor orden de esas derivadas. Es usual daruna clasificacion (“no completa”) de las EDPL de segundo orden en tres tipos importantes:las elıpticas (p. ej., la de Poisson), las hiperbolicas (p. ej., la de la propagacion de ondas)y las parabolicas (p. ej., la ecuacion de la conduccion del calor). No estableceremos estaclasificacion aquı; ver p. ej., [16] y [133]. De hecho (excepto por la seccion 12, dondetrataremos la ecuacion de onda escalar; de tipo hiperbolico), solamente consideraremosEDPL elıpticas de segundo orden del genero dado por la Rel. (2.1). Coherentemente conlas metas fijadas en el prefacio, no abordaremos la EDPL (parabolica) de la difusion

(tambien llamada de la conduccion del calor): ∆ψ(r, t) = a2 ∂ψ(r,t)∂t

, a ∈ R+; la cual puedeser tratada siguiendo lineamientos similares a los que seran establecidos en este capıtulo.

Si bien en este capıtulo usaremos tecnicas asociadas a los espacios de Hilbert, laconvergencia de las series involucradas se referira a la convergencia puntual (que no nosdetendremos en probar) y no a la fuerte; ver 4-1.4.

COMENTARIO. Antes de entrar en materia consideremos, solo a tıtulo informati-vo, ciertas particularidades de la mecanica cuantica no relativista para sistemas fısicosaislados (“sin reglas de superseleccion” y con un “numero finito de grados de libertad”).Ya sabemos que todos los vectores normalizados de un espacio de Hilbert H (complejo,separable y con dimH ≥ 2) representan estados fısicos (“puros”) del sistema fısico. Su

dinamica viene determinada por un operador autoadjunto H ∈ O(H) acotado inferior-

mente e independiente del tiempo t, denominado Hamiltoniano (en general D(H) H, en

cuyo caso H no es acotado; ver 1-10.5), via la llamada forma diferencial de la ecuacion de

Schrodinger de la dinamica: Hψ(t) = i~dψ(t)dt

, ψ(t) ∈ D(H)N; es decir, dado un vec-

tor normalizado ψ(0) ∈ D(H)N en el instante t = 0, dicha ecuacion nos proporcio-na un unico vector normalizado ψ(t) para cada instante t > 0 (pues resulta ser que:

ψ(t) ∈ D(H)N, ∀t > 0). Si se considera la parte de traslacion del sistema fısico encuestion (p. ej., no es un sistema de espines) y, p. ej., H = L2(RN), N ∈ Z+, siendo ladimension fısica de R la de una longitud; esta ecuacion es una EDPL de segundo orden

225

226 8. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES LINEALES (EDPL)

(D(H) H), y no corresponde a ninguno de los tres tipos senalados anteriormente. No-temos que la forma diferencial de la ecuacion de Schrodinger de la dinamica no determinaen general la evolucion de todos los estados de H (salvo que: D(H) = H). Esto se reme-dia (de manera rigurosa matematicamente, gracias al llamado calculo funcional; ver [89],

p. ej.), pues con H ∈ O(H) se generan los operadores unitarios (por lo tanto acotados

y de dominio H): U(t) = e−iHt/~ ∈ L(H), t ∈ R; que nos proporcionan la dinamica

de todos los vectores normalizados de H, ası: ψ(t) = e−iHt/~ψ(0), ψ(0) ∈ H (llamadaforma integral de la ecuacion de Schrodinger de la dinamica); observemos que al derivarformalmente esta ultima relacion con respecto al tiempo, se obtiene la forma diferencial dela ecuacion de Schrodinger de la dinamica (tambien se puede obtener de manera rigurosa

matematicamente). Dichos operadores U(t) forman un grupo unitario monoparametrico

conmutativo en t ∈ R; es decir: U(t) ∈ L(H), U(t)†= U(t)−1 y U(t1)U(t2) = U(t1 + t2),

∀t, t1, t2 ∈ R (se desprende que: U(0) = I, U(t1)U(t2) = U(t2)U(t1) y U(t)−1 = U(−t),∀t, t1, t2 ∈ R); el cual satisface: lımt→0

∥∥∥U(t)ψ − ψ∥∥∥ = 0, ∀ψ ∈ H (ver [89], p. ej.).

La dinamica en mecanica cuantica tambien se puede formular (de una manera masfundamental; via simetrıas y el teorema de Wigner; ver [8], p. ej.), al proporcionarse

un grupo unitario monoparametrico conmutativo: U(t) ∈ L(H), t ∈ R para el cual:

lımt→0

∥∥∥U(t)ψ − ψ∥∥∥ = 0, ∀ψ ∈ H; pues el teorema de Stone (ver [89], p. ej.), nos in-

dica que existe un unico operador autoadjunto H ∈ O(H) tal que: U(t) = e−iHt/~. De

manera rigurosa, el Hamiltoniano H sera acotado inferiormente por c ∈ R (H ≥ cI), sii:

(i~) ddt

⟨ψ∣∣∣eict/~U(t)ψ⟩∣∣∣

t=0≥ 0, ∀ψ ∈ D(H); siendo la verificacion formal de este hecho

trivial, en efecto:⟨ψ∣∣∣eict/~U(t)ψ⟩ =

⟨ψ∣∣∣e−i(H−cI)t/~ψ

⟩.

Resulta ser (ver seccion 1 del capıtulo VIII de [70], p. ej.), que un grupo unitario

monoparametrico conmutativo: U(t) ∈ L(H), t ∈ R; satisface: U(t) = e−iHt/~ con un

unico operador H autoadjunto acotado; y por lo tanto con D(H) = H (H ∈ L(H), ver

1-10.5); sii: lımt→0

∥∥∥U(t)− I∥∥∥ = 0 (lo que implica: lımt→0

∥∥∥U(t)ψ − ψ∥∥∥ = 0, ∀ψ ∈ H;

pues:∥∥∥U(t)ψ − ψ

∥∥∥ =∥∥∥(U(t)− I

)ψ∥∥∥ ≤

∥∥∥U(t)− I∥∥∥ ∥ψ∥). N

1. Identidades de Green

Comentario 1.1. Antes de plantearnos el problema que nos interesa, fijemos algunasconvenciones y “probemos” las dos identidades (formulas) de Green.

Consideraremos regiones cerradas Ω ⊂ RN con 2 ≤ N ≤ 3, siendo Ω la clausura deun recinto Ω de RN . Denotemos por Σ (Σ′, Σ′′, etc.) cualquier frontera de Ω (Σ ⊂ Ω); lacual siempre se supondra compuesta por un numero finito de superficies suficientemente“lisas” (“suaves”), como p. ej., las de un paralelepıpedo o las de un cilindro truncado; siΣ esta contenida en un conjunto acotado de RN (de manera tal que sea factible el podersuponer que cualquiera de las integrales efectuadas sobre Σ sean existentes). Al area de esasuperficie Σ la denominaremos por S (S ∈ R+). Al elemento de area de Σ lo denotaremospor da = nda; siendo n un vector unitario adimensional siempre dirigido hacia afuerade la superficie; esto es, alejandose del volumen dentro de Σ; ver ejemplos en la Fig. 1.

1. IDENTIDADES DE GREEN 227

.........................................................................

(c)

Σ′.................................................

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.........................................................................

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.............................................................................................

.................................................................................................................................

................................

.........

..........................................................................

............................................................................

Ω

Ω ΩΣ Σ

Σ′′

da

da′′

da′

(b)(a)

da

Figura 1. Ejemplos de Recintos Ω

Indicaremos a una funcion de dominio contenido en RN a valores complejos ϕ(x), evaluadaen una superficie Σ ası: ϕ(x)|x∈Σ ≡ ϕ|Σ; y de ahora en adelante, para cualquier funcion

ϕ de dominio Ω si se pone: ϕ(x)|x∈Σ (o bien: ϕ(x),∀x ∈ Ω), quedara sobrentendido que:ϕ(x)|x∈Σ = lımx′→x

x′∈Ω

ϕ(x′), lımite que se supondra existente. La derivada normal de una

funcion ϕ en una superficie Σ se indicara ası: ∂ϕ∂n

o bien ∂ϕ(x)∂n

∣∣∣x∈Σ

; esto es, ∇ϕ · n = ∂ϕ∂n;

y siempre supondremos que el lımite para realizar esa derivada se efectua con vectorespertenecientes a Ω, y por ello tambien utilizaremos las notaciones mas precisas:

(∂ϕ∂n

)− o

bien(∂ϕ(x)∂n

)−

∣∣∣∣x∈Σ

.

De aquı en adelante, con la notacion Σ se estara especificando al conjunto de todaslas fronteras acotadas de Ω; p. ej.: Σ = Σ′ ∪ Σ′′ en (c) de la Fig. 1.

Solamente consideraremos cuatro tipos de recintos Ω, a saber: Ω = RN con 2 ≤N ≤ 3, y los tres casos descritos en la Fig. 1. Salvo que se indique lo contrario sesupondra que N = 3.

Teorema 1.2. Si ψ y ϕ son funciones de Ω en C con propiedades adecuadas, ten-dremos: ∫

Ω

(ϕ∆ψ +∇ϕ · ∇ψ) d3x =

∮Σ

ϕ∂ψ

∂nda, (1.1)

∫Ω

(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) d3x =

∮Σ

(ϕ∂ψ

∂n− ψ

∂ϕ

∂n

)da. (1.2)

La expresion (1.1) se llama primera identidad de Green y la (1.2) se denominasegunda identidad de Green o tambien teorema de Green.

Demostracion. Sea A = ϕ∇ψ. Sabemos que:

∇ · (ϕ∇ψ) = ϕ∆ψ +∇ϕ · ∇ψ. (1.3)


Al sustituir (1.3) en el teorema de la divergencia obtenemos (1.1).Finalmente, al reescribir a (1.1) con ϕ y ψ intercambiados y al restar esta ultima

expresion de la (1.1) obtenemos (1.2). Notemos que la integral de superficie en las Rels. (1.1) y (1.2) representa la suma de

dos integrales de superficie (una en Σ′ y la otra en Σ′′) en el caso (c) de la Fig. 1.

Comentario 1.3. Las Rels. (1.1) y (1.2) son tambien validas en recintos no acotadoscomo el caso (b) de la Fig. 1 o para Ω = R3 (en este ultimo caso el miembro derecho deesas Rels. es nulo), si ademas de las condiciones normalmente impuestas a las funcionespara Ω acotado, se exige que estas sean regulares en el infinito. Es decir, que existauna esfera de radio R0 en Ω (tan grande como se quiera) y A ∈ R+ tal que, p. ej. para ϕ:

|x||ϕ(x)| < A; |x|2|∇ϕ(x)| < A; ∀x ∈ R3, con |x| ≥ R0. (1.4)

Probemoslo para la (1.1), pues la validez de la (1.2) se sigue de ella. Para el caso (b) dela Fig. 1 se toma primero el recinto acotado (c) de esa Fig., siendo Σ′′ una esfera de radioR0. Como da′′ es proporcional a R2

0 en Σ′′, de la Rel. (1.4) tendremos que |ϕ ∂ψ∂n′′ |da′′ sera

proporcional a 1R0

en Σ′′. Al tomar el limite: R0 → ∞ vemos que la integral en Σ′′ se anula;

luego se efectua el cambio de notacion: Σ′ → Σ. En virtud de (1.4) el termino |∇ϕ.∇ψ|d3xsera proporcional a 1

R20fuera de la esfera, con lo que existira el limite R0 → ∞ de su

integral en Ω, y por lo tanto la de ϕ∆ψ (ver (1.1)). Para el caso Ω = R3 el procedimientoes similar, partiendo del recinto (a) de la Fig. 1.

Comentario 1.4. Diremos que una funcion ϕ(x) de dominio Ω, al menos definida so-bre y fuera de una esfera de radio R0 (tan grande como se quiera) tiende uniformementea cero en el infinito si existe una funcion ϵ∗(|x|) definida sobre y fuera de la esfera talque lım|x|→∞ ϵ∗(|x|) = 0 y que |ϕ(x)| < ϵ∗(|x|), ∀x ∈ R3 con |x| ≥ R0. Indicaremos estatendencia uniforme mediante la Rel.:

lım|x|→∞x∈Ω

ϕ(x) = 0. (1.5)

Evidentemente, una funcion regular en el infinito tendera uniformemente a cero enel infinito (ver (1.4)). Se puede probar (cosa que no haremos; ver [133] p. ej.) que unafuncion ϕ que tiende uniformemente a cero en el infinito y que satisface: ∆ϕ(x) = 0 fuerade una esfera, es regular.

2. Planteo del Problema

Comentario 2.1. Vamos a considerar la EDPL en Ω (de tipo elıptico) siguiente :

L(k,g)ϕ ≡ L(k,g)x ϕ(x) ≡ ∆ϕ(x) +

[g(x) + k2

]ϕ(x) = −4πρ(x), (2.1)

donde g : Ω → R, siendo g acotada y continua; k2 es una constante compleja arbitraria; ysiendo ρ : Ω → C, acotada e integrable en Ω. Se exige que ϕ : Ω → C sea continua en Ω;

salvo quizas en algunos conjuntos de medida nula en las fronteras (acotadas en R3) de Ω;en cuyos puntos se exige la acotacion de ϕ o la de su derivada normal. g, k y ρ son datosdados. Posteriormente, se relajan las condiciones impuestas a la ρ, admitiendo densidadespuntuales; tipo “deltas de Dirac”.

Varios casos particulares de (2.1) reciben nombres especiales. P. ej.

2. PLANTEO DEL PROBLEMA 229

i. Para g(x) = −2µ~2U(x), k

2 = 2µ~2E y ρ(x) = 0, la EDPL (2.1) se denomina ecuacion

de Schrodinger de los autovalores en R3; ver A-(2.15).ii. Para g = 0, si usamos:

L(k) ≡ L(k,0), (2.2)

la EDPL:L(k)ϕ ≡ L

(k)x ϕ(x) ≡ ∆ϕ(x) + k2ϕ(x) = −4πρ(x), (2.3)

se llama ecuacion de Helmholtz Inhomogenea.iii. Si en (2.3) hacemos ρ = 0, la EDPL:

L(k)ϕ ≡ L(k)x ϕ(x) ≡ ∆ϕ(x) + k2ϕ(x) = 0, (2.4)

se llama ecuacion de Helmholtz Homogenea o mas comunmente ecuacion deHelmholtz (a secas).

iv. Para g = 0 y k = 0, si usamos:L ≡ L(0), (2.5)

la EDPL:Lϕ ≡ Lxϕ(x) ≡ ∆ϕ(x) = −4πρ(x), (2.6)

se llama ecuacion de Poisson.v. Si en (2.6), ρ = 0, la EDPL:

Lϕ ≡ Lxϕ(x) ≡ ∆ϕ(x) = 0, (2.7)

se llama ecuacion de Laplace. Una ϕ que satisface (2.7) se llama funcion armoni-ca.

Comentario 2.2. Estamos interesados en la existencia y unicidad de las solucionesde la EDPL (2.3) o sus casos particulares para condiciones de frontera impuestas en la (olas) frontera de Ω. Dichas soluciones pertenecen a L2(Ω) si Ω es acotado.

Consideraremos unicamente condiciones de frontera de Dirichlet (homogeneas e in-homogeneas) en Σ; esto es, especificando ϕ en Σ (ϕ|Σ); y condiciones de frontera de Neu-mann (homogeneas e inhomogeneas) en Σ; esto es, especificando ∂ϕ

∂nen Σ. Si Ω no es

acotado, siempre impondremos como condicion de frontera en el infinito el que ϕ tiendauniformemente a cero allı (es decir, la Rel. (1.5)). Es importante advertir que la condicion(1.5) no es la unica posible, pues existen otras que resultan ser de vital importancia enfısica; incluso, esta condicion resulta ser totalmente inconveniente en problemas en el plano(caso N = 2); ver, p. ej., [133].

Para los casos (a) y (c) de la Fig. 1 diremos que estamos considerando un problemainterior (de Dirichlet o de Neumann, segun la condicion impuesta en Σ; Σ = Σ′ ∪ Σ′′ en(c)), y para el (b) diremos que estamos considerando un problema exterior (de Dirichleto de Neumann, segun la condicion impuesta en Σ). Si Ω es acotado ello implica que seesta considerando un problema interior, y si Ω no es acotado que se esta considerando unproblema exterior o que Ω = R3.

Las cuatro restricciones que se han impuesto a Ω en la seccion 1 se han tomado porrazones de comodidad de lenguaje y de notacion. Sin embargo, los resultados basicos deeste capitulo (p. ej., el 6.3) seguiran siendo validos; de manera que supondremos maso menos “obvia” para el lector; para otros casos en los cuales Ω no es acotado. Estamospensando en situaciones en las cuales, p. ej., Ω sea la parte interior o exterior de un cilindroo un semi-espacio abierto de R3 (p.ej., en coordenadas rectangulares: Ω = (x, y, z) ⊂ R3,


con x > 0). En esos casos, las superficies (no acotadas) de esos Ω se pueden seguir llamandoΣ, siempre y cuando supongamos que sigue valiendo la Rel. (1.5) para ϕ o su gradiente enellas (p. ej., si se imponen condiciones de Dirichlet o de Neumann homogeneas en ellas).De igual manera se debe proceder en situaciones ideales en las cuales no se cumpla el quela ρ sea integrable en Ω; p. ej., si se toma una densidad superficial de carga no nula yconstante en el plano determinado por un semi-espacio (carga total infinita).

3. Unicidad de la Solucion de la EDPL de Poisson y de HelmholtzInhomogenea

Comentario 3.1. Si ϕ1 y ϕ2 satisfacen la Rel. (2.6) con condiciones de frontera deDirichlet o de Neumann arbitrarias en Σ ası como la Rel. (1.5) si Ω no es acotado, entonces:

ϕ ≡ ϕ1 − ϕ2 (3.1)

satisface condiciones de frontera de Dirichlet o de Neumann homogeneas en Σ ası como laRel. (1.5) y a la EDPL de Laplace.

Tenemos el siguiente teorema.

Teorema 3.2. Si ϕ satisface condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas [con-diciones de frontera de Neumann homogeneas] en Σ; salvo quizas en algunos conjuntos demedida nula en Σ, en cuyos puntos se exige la acotacion; a la Rel. (1.5) en el infinito siΩ no es acotado y a la ecuacion de Laplace:

∆ϕ = 0; (3.2)

entonces, ϕ es nula en Ω [ϕ es una constante compleja arbiraria en Ω para el problemainterior; nula en Ω para el problema exterior].

Demostracion. (Demostracion que deja mucho que desear en el caso Dirichlet; verpaginas 345 y 346 de [133], p. ej.). De (1.1) tendremos (ver 1.3 y 1.4 si Ω no es acotado):∫

Ω

(ϕ∆ϕ+∇ϕ · ∇ϕ) d3x =

∮Σ

ϕ∂ϕ

∂nda, (3.3)

de donde obtenemos que (ya que ϕ|Σ = 0, que ∂ϕ∂n

∣∣Σ= 0 o que vale (1.5)):∫

Ω

|∇ϕ|2 d3x = 0, (3.4)

lo cual implica que ∇ϕ = 0. Entonces, en Ω, ϕ es constante. Para las condiciones deDirichlet, para el problema exterior de Neumann o para Ω = R3, tendremos ϕ = 0 ya queϕ es continua en Ω (excepto en eventuales puntos pertenecientes a conjuntos de medidanula en Σ).

Aclaremos con un ejemplo lo que se tiene en mente con la posible exclusion de “algunosconjuntos de medida nula en Σ”. Tomese una bola abierta Ω en cuya superficie Σ (unaesfera) se toma un circulo mayor el cual determina dos hemisferios abiertos (el “+” y el“−”); los cuales excluyen los puntos del circulo mayor, de medida nula en Σ. Se puede exigirque las dos funciones ϕ1 y ϕ2 en (3.1) satisfagan las condiciones de frontera especificadaspor dos funciones continuas arbitrarias V+(x) y V−(x), una para cada uno de los hemisferiosabiertos; en particular, V+ = V y V− = −V con V constante. Se tendrıa entonces que:ϕ = ϕ1 − ϕ2 = 0, en cada uno de los hemisferios abiertos.

3. UNICIDAD DE LA SOLUCION 231

Comentario 3.3. Este teorema nos asegura entonces la unicidad de una solucion (deexistir esta) de la ecuacion de Poisson para condiciones de Dirichlet tanto en el problemainterior como en el exterior (y para Ω = R3) y de Neumann en el problema exterior, asıcomo la unicidad a menos de una constante para condiciones de Neumann en el problemainterior.

En particular, esta demostracion de “unicidad” vale (en caso de existir) para la funcionde Green correspondiente a la ecuacion de Poisson, la cual definiremos en 5.1 (al tomarformalmente ρ(x) = δ(x − x′)). Para condiciones de Neumann en el problema interior lafuncion de Green sera unica a menos de una funcion χ(x′); unica en el problema exterior.

Tambien nos indica que λ = 0 no es un autovalor del operador L con Lϕ = ∆ϕ = 0si las condiciones de frontera son de Dirichlet homogeneas tanto en el problema interiorcomo en el exterior (y para Ω = R3), ası como de Neumann homogeneas en el problemaexterior, y que ϕ(x) = C (C una constante compleja arbitraria no nula) es (salvo pornormalizacion) la unica autofuncion de L con autovalor λ = 0 si las condiciones de fronterason de Neumann homogeneas en el problema interior.

Comentario 3.4. Consideremos ahora a la Ec. de Helmholtz Inhomogenea con con-diciones de frontera de Dirichlet arbitrarias (tanto el problema interior como el exterior,y para Ω = R3). De existir una solucion, esta sera unica si k2 no es un valor de C para elcual exista una funcion ϕ no nula que satisfaga ∆ϕ + k2ϕ = 0 y condiciones de fronterade Dirichlet homogeneas (o la (1.5)).

En efecto, si ϕ1 y ϕ2 fuesen dos soluciones tendriamos que ϕ ≡ ϕ1−ϕ2 satisfarıa la Ec.de Helmholtz homogenea: ∆ϕ+k2ϕ = 0 y condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas(o (1.5)); y si ϕ ≡ 0 en Ω, esto serıa una contradiccion.

De lo discutido en 3.3 y del hecho que −∆ = (−i∇) · (−i∇) es un operador positivo,vemos que salvo quizas para ciertos valores no nulos de k ∈ R no existen funciones no nulasque satisfagan la ecuacion de Helmholtz y condiciones de frontera de Dirichlet homogeneaso (1.5). En particular, si Ω = R3 o se trata de un problema exterior, excluiremos todos losvalores no nulos de k ∈ R. En efecto, para k ∈ R y k = 0; la funcion continua en Ω = R3:ϕ(r) = sen kr/r, ∀r ∈ R3 con r = 0 y ϕ(0) = k (restar la Rel. B-(4.6) de la B-(4.7)); op. ej. la funcion continua en Ω ⊂ R3: ψ(r) = sen k(r −R)/r, con r > R, para el problemaexterior correspondiente a una bola abierta de radio R (lo que define al recinto Ω); serıanfunciones del tipo que queremos excluir.

Veamos rapidamente un punto algo delicado. Si Ω es acotado, esos valores excluidosde k2 corresponden a autovalores de −∆ en L2(Ω). Pero si Ω no es acotado, esos valoresde k2 excluidos no son necesariamente autovalores de −∆ en L2(Ω); p. ej., es un resultadoconocido el que ese operador no posee autofunciones para Ω = R3. Notemos que lasautofunciones buscadas en 1.P.63 para Ω = R3 lo son en el sentido generalizado, que sonortonormales en el sentido generalizado y que no satisfacen la Rel. (1.5); que para lasfunciones ϕ(r) y ψ(r) definidas en el parrafo anterior, se tiene: que ϕ(r) no pertenece aL2(R3) y que ni siquiera es autofuncion en el sentido generalizado, que ψ(r) no pertenece aL2(Ω) y que ni siquiera es autofuncion en el sentido generalizado (pues no son ortogonalesen el sentido generalizado; ver final de 1-14.7).

Esta demostracion de unicidad tambien es valida (en caso de existir) para la funcionde Green correspondiente a la ecuacion de Helmholtz inhomogenea (la cual definiremos en5.1) sujeta a condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas o la Rel. (1.5).


Comentario 3.5. Estas aseveraciones de unicidad (o de unicidad al menos de unaconstante) nos indican que no se puede imponer simultaneamente condiciones de fronterade Dirichlet y de Neumann en cada punto de Σ, ya que sobredeterminarıa el problema.

Sin embargo, es posible imponer condiciones de Dirichlet en una parte de Σ y condi-ciones de Neumann en el resto (condiciones de frontera mixtas) y obtener un teorema deunicidad (ver (c) de la Fig. 1, p. ej.). No trataremos ese caso.

En electrostatica, un problema importante no cubierto por las condiciones de fronteramencionadas, es el siguiente. Hallar en R3 el potencial eletrostatico debido a n conductorescuyas cargas totales son conocidas (recordemos que para un conductor, su potencial en suinterior y superficie es una constante, de valor desconocido en este caso). En las paginas420 y 421 de [133] se demuestra que este problema tiene una solucion unica. Quedaraentonces univocamente determinado el campo electrostatico en R3, ası como el valor delpotencial y la distribucion superficial de cargas de cada conductor (ver la seccion 8.5).

4. Soluciones de la Ecuacion de Helmholtz Homogenea o la de Laplace

Comentario 4.1. A veces, si las fronteras de Ω ası como la propia naturaleza de lascondiciones de frontera lo permiten; se dice: si el problema tiene la suficiente simetrıa; sepuede resolver directamente el problema de la ecuacion de Helmholtz homogenea o la deLaplace mediante la tecnica de la separacion de variables.

Puntualicemos que para problemas con simetrıa rectangular, esferica o cilındrica; concondiciones de frontera de Dirichlet o de Neumann; con el apendice A y todo lo que hemosestablecido hasta el presente en este curso, la aplicacion de la tecnica de la separacion devariables es “practicamente” una trivialidad (hemos dejado la “mesa servida” para estetipo de problemas). Por brevedad, solo vamos a dar a continuacion un ejemplo de ello aquı;con el cual pensamos va a quedar patente lo que acabamos de expresar. Ver problemasresueltos o propuestos en los capıtulos dos y tres de [1], o bien en [13] y [14]; p. ej.

Ejercicio 4.2. Sea Ω el interior de un paralelepıpedo determinado por los seis planos:x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0, z = c; a, b, c > 0; en coordenadas rectangulares. HallarΦ(x) que satisface la ecuacion de Laplace en Ω. Como condiciones de frontera impongamosla anulacion de Φ(x) ≡ Φ(x, y, z) en todas las tapas del paralelepıpedo, excepto en lacorrespondiente al plano z = c donde se exige: Φ(x, y, c) = V (x, y), siendo V (x, y) unafuncion a valores complejos (o reales) dada, con: V (0, y) = V (a, y) = V (x, 0) = V (x, b) =0, de clase C2((0, a)) y C2((0, b)) en x e y respectivamente. N

La ecuacion de Laplace en coordenadas rectangulares se separa en las tres EDOL:A-(1.6), A-(1.7) y A-(1.8); con f(x) = 0, g(y) = 0 y h(z) = 0, respectivamente. Seobtienen las siguientes soluciones para las EDOL en x y en y con condiciones de Dirichlethomogeneas en los dos extremos (ver 4-5.4):

φl(x) =

√2

asen

lπx

a; l = 1, 2, · · · , (4.1)

χm(y) =

√2

bsen

mπy

b; m = 1, 2, · · · . (4.2)

Se obtienen las siguientes soluciones para la EDOL en z (ver A-(1.8) con h(z) = 0),las cuales satisfacen la condicion de frontera de Dirichlet homogenea en z = 0:

ϕlm(z) = senh (γlmz), (4.3)

5. FUNCIONES DE GREEN - ALGUNAS RELACIONES UTILES 233

donde:

γlm ≡

[(lπ

a

)2

+(mπb

)2]1/2; l,m ∈ Z+. (4.4)

Entonces: φl(x)χm(y)ϕlm(z) con l,m ∈ Z+, seran soluciones del problema que satis-facen las condiciones de frontera impuestas, exceptuando en general la correspondiente az = c. Por lo tanto, soluciones Φ(x) del problema las cuales se anulen en las cinco tapasse podran escribir de la siguiente manera:

Φ(x, y, z) =∞∑

l,m=1

Blmφl(x)χm(y)ϕlm(z) =2√ab

∞∑l,m=1

Blm sen (lπx

a)sen (

mπy

b)senh (γlmz).

(4.5)Los coeficientes Blm ∈ C (o R; segun los valores que tome V ) vendran unıvocamente

determinados por la imposicion de la condicion: Φ(x, y, c) = V (x, y). En efecto, como φly χm son conjuntos completos (ver 4-5.4 y teorema 4-4.2), de (4.5) se tiene:

[V (x, y)]φr(x)χs(y) =

[∞∑

l,m=1

Blmφl(x)χm(y)ϕlm(c)

]φr(x)χs(y), r, s ∈ Z+; (4.6)

y al usar la ortonormalidad de los conjuntos φl y χm (ver 4-5.4), de (4.6) se obtiene:

Blm =2√

ab senh (γlmc)

∫ a

0

dx

∫ b

0

dy V (x, y) sen (lπx

a)sen (

mπy

b); l,m ∈ Z+. (4.7)

Entonces, la unica solucion del problema vendra dada por las Rels.: (4.4), (4.5) y(4.7). Notemos que si V (x, y) = 0, de (4.5) y (4.7) se obtiene: Φ(x) = 0 en Ω; como debeser, en virtud de la unicidad de la solucion.

Si se impusiesen condiciones de frontera de Dirichlet arbitrarias en cada una de las seistapas (tal como lo hemos hecho para z = c), la solucion del problema serıa una suma deseis soluciones del tipo que hemos obtenido en este ejercicio. De que esta serıa la solucion,resulta claro de la linealidad de la ecuacion de Laplace y de la unicidad de la solucion.

Comentario 4.3. No quisieramos dejar la impresion que la tecnica de la separacionde variables es una trivialidad. Pues aun si la frontera de Ω por sı sola permite separar laEDPL en algun sistema de coordenadas, es necesario que las condiciones de frontera seanadecuadas para poder aplicar esta tecnica. No nos involucraremos en esa problematica.En [13] y [14] se discute con bastante amplitud este punto.

Comentario 4.4. Para tratar la ecuacion de Helmholtz inhomogenea o la de Poisson,resulta util la tecnica de las funciones de Green que expondremos a continuacion.

Esta tecnica tambien es util en los problemas homogeneos. Por ejemplo, podemosobtener soluciones al usar las Rels. (6.6), (7.10), (7.15); tomando: ρ(x′) = 0, ∀x′ ∈ Ω.

5. Funciones de Green - Algunas Relaciones Utiles

Comentario 5.1. Para resolver la Ec. de Helmholtz (particularmente la no ho-

mogenea) es util considerar a las funciones de Green correpondientes al operador L(k)x


(ver (2.3)): Gk(x, x′), x, x′ ∈ Ω, definidas por:

L(k)x Gk(x, x

′) = ∆xGk(x, x′) + k2Gk(x, x

′) = −4πδ(x− x′); x, x′ ∈ Ω. (5.1)

Tambien se dice que son las correspondientes a la Ec. de Helmholtz, homogenea o no.No todos los autores especifican la Gk mediante la Rel. (5.1), pues algunos (ver

p. ej. [1]) prefieren hacerlo tomando el Laplaciano sobre la segunda variable (es decir:

L(k)x′ Gk(x, x

′)); lo que implica que en algunas de las relaciones que obtienen posteriormente(como la (7.9), p. ej) los argumentos de la Gk se hallen traspuestos con respecto a lasnuestras. Hemos preferido tomar (5.1) para ser consecuentes con la definicion que hemosdado de funciones de Green en el caso unidimensional.

Luego veremos que Gk(x, x′) esta bien definida como funcion en Ω × Ω si x = x′ (lo

que se enfatizara en algunas relaciones), pero que es singular si x = x′. Si en una expresion

uno o los dos argumentos de la Gk pertenecen a Ω se supondra que se ha procedido segunlo indicado en 1.1.

Consideraremos ahora la Gk sin imponerle ninguna condicion de frontera.

Comentario 5.2. Si multiplicamos L(k)x Gk(x, x

′) por Gk(x, x′′) restandole al produc-

to de L(k)x Gk(x, x

′′) por Gk(x, x′), obtenemos la relacion:

Gk(x, x′′)∆xGk(x, x

′)−Gk(x, x′)∆xGk(x, x

′′) = −4π [δ(x− x′)Gk(x, x′′)

−δ(x− x′′)Gk(x, x′)] .

(5.2)

Integrando la expresion (5.2) con respecto al volumen (∫Ωd3x) y usando el teorema

de Green obtenemos:∮Σ

[Gk(x, x

′′)∂Gk(x, x

′)

∂n−Gk(x, x

′)∂Gk(x, x

′′)

∂n

]da = 4π [Gk(x

′′, x′)−Gk(x′, x′′)] ;

∀x′, x′′ ∈ Ω, x′ = x′′.

(5.3)

Comentario 5.3. Si en el teorema de Green sustituimos la ϕ que satisface a la Ec.de Helmholtz Inhomogenea y ψ(x) = Gk(x, x

′) que satisface (5.1), tendremos:

ϕ(x′) =

∫Ω

Gk(x, x′)ρ(x)d3x+

1

4π

∮Σ

[Gk(x, x

′)∂ϕ(x)

∂n− ϕ(x)

∂Gk(x, x′)

∂n

]da. (5.4)

Al hacer x′ → x y x→ x′, obtenemos:

ϕ(x) =

∫Ω

Gk(x′, x)ρ(x′)d3x′ +

1

4π

∮Σ

[Gk(x

′, x)∂ϕ(x′)

∂n′ − ϕ(x′)∂Gk(x

′, x)

∂n′

]da′; ∀x ∈ Ω.

(5.5)

6. Ecuacion de Helmholtz Inhomogenea con Condiciones de DirichletArbitrarias

Comentario 6.1. Notemos primero que para condiciones de frontera de Dirichlethomogeneas para la Gk en Σ; esto es, para:

Gk(x, x′)|x∈Σ = 0, ∀x′ ∈ Ω; (6.1)

6. EC. DE HELMHOLTZ 235

ası como para la tendencia uniforme a cero de Gk en el infinito si Ω no es acotado:

lım|x|→∞x∈Ω

Gk(x, x′) = 0, (6.2)

se cumple el principio de reciprocidad. Esto es:

Gk(x, x′) = Gk(x

′, x); ∀x, x′ ∈ Ω, x = x′. (6.3)

Esto se desprende inmediatamente de (5.3).

Comentario 6.2. Si ψ : Ω → C es una funcion “arbitraria” y Gk(x, x′) es una

funcion de Green de la Ec. de Helmholtz que satisface condiciones de frontera de Dirichlethomogeneas (6.1) en Σ, tendremos que:

ψ(x) = − 1

4π

∮Σ

ψ(x′)∂Gk(x, x

′)

∂n′ da′, ∀x ∈ Σ. (6.4)

En efecto, obtenemos (6.4) de (5.5), al usar Gk(x′, x)|x∈Σ = 0 (ver Rels. (6.1) y (6.3)).

En (6.4) la integral es impropia, obtenida mediante el acercamiento de x ∈ Ω a x ∈ Σ.La Relacion (6.4) nos dice que la derivada normal de la funcion de Green Gk(x, x

′)de la ecuacion de Helmholtz sujeta a condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas secomporta como una especie de “Delta de Dirac Superficial”.

Teorema 6.3. Supongamos que k2 es un valor de C para el cual no existe una funcionno trivial definida en Ω, ψ, solucion de ∆ψ + k2ψ = 0 y que satisface condiciones deDirichlet homogeneas en Σ ası como la Rel. (1.5) si Ω no es acotado. Entonces, la solucion(unica) de la Ec. de Helmholtz Inhomogenea (2.3) con condiciones de Dirichlet arbitrariaspara la ϕ en Σ; esto es, para:

ϕ(x)|x∈Σ especificada y continua en cada parte conexa de Σ, (6.5)

salvo quizas en algunos conjuntos de medida nula en Σ donde se supone acotada, ası comola Rel. (1.5) si Ω no es acotado; viene dada por:

ϕ(x) =

∫Ω

Gk(x, x′)ρ(x′)d3x′ − 1

4π

∮Σ

ϕ(x′)∂Gk(x, x

′)

∂n′ da′; ∀x ∈ Ω, (6.6)

donde Gk(x, x′) es la supuestamente existente (y por lo tanto unica) funcion de Green

sujeta a las condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas (6.1) en Σ, ası como la (6.2)si Ω no es acotado (si Ω = R3, la integral de superficie en (6.6) es inexistente; “es nula”).

Demostracion. Que ϕ satisface a la ecuacion de Helmholtz Inhomogenea es claro de(5.5) y del principio de reciprocidad. De que ϕ satisface a la condicion de frontera es clarode (6.4), (6.1), (1.5) y (6.2). La unicidad ya ha sido demostrada en 3.2, 3.3 y 3.4.

En (6.5), por “continua en cada parte conexa de Σ” se entiende, p. ej., que es continuaen Σ′ y en Σ′′ (Σ = Σ′ ∪ Σ′′) en el caso (c) de la Fig. 1. Lo de “salvo quizas en algunosconjuntos de medida nula en Σ” se aclaro con el ejemplo establecido al final de 3.2.

Comentario 6.4. La existencia de la solucion ϕ(x) en la representacion (6.6) dependede la existencia de Gk. En general (independientemente de la representacion (6.6); valedecir, independientemente de la existencia o de la posibilidad de evaluar la Gk), si ϕexiste, sabemos que esta es unica (ver (3.2), (3.3) y (3.4)). Es importante tener en mente


que la unicidad esta asegurada para la Ec. de Poisson, caso k = 0 (ver 3.2). Exceptopor el problema interior de Dirichlet correspondiente a la Ec. de Poisson, para el cualtenemos asegurada la existencia de la funcion de Green (ver 9.3 y el teorema 9.2), no nosocuparemos del problema de la existencia de Gk, y solo consideraremos algunos ejemplosparticulares en los cuales esa Gk puede ser evaluada.

De (6.6) obtenemos casos particulares interesantes. A saber:

i. La condicion de Dirichlet es homogenea en Σ; esto es:

ϕ(x)|x∈Σ = 0; (6.7)

o Ω = Ω = R3, con lo que se tiene:

ϕ(x) =

∫Ω

Gk(x, x′)ρ(x′)d3x′; ∀x ∈ Ω. (6.8)

ii. Si no hay fuentes; esto es, ρ = 0; entonces:

ϕ(x) = − 1

4π

∮Σ

ϕ(x′)∂Gk(x, x

′)

∂n′ da′; ∀x ∈ Ω. (6.9)

7. Ecuacion de Helmholtz Inhomogenea con Condiciones de Neumann

Comentario 7.1. Debemos decir que en general; para el problema interior de Neu-mann (por ende: Ω acotado); no existen soluciones para condiciones de frontera de Neu-mann arbitrarias. El problema proviene del hecho que los valores del gradiente normal dela ϕ en la superficie Σ no son independientes de la EDPL. Esto resulta claro al integrarcon respecto al volumen a la ecuacion (2.3). Obtenemos:∫

Ω

∆ϕd3x+ k2∫Ω

ϕd3x = −4π

∫Ω

ρd3x, (7.1)

de donde concluimos (al aplicar el teorema de la divergencia al primer termino de (7.1)):∮Σ

∂ϕ

∂nda = −k2

∫Ω

ϕd3x− 4π

∫Ω

ρd3x. (7.2)

Vemos pues, de (7.2), que no podemos pensar en condiciones de frontera de Neumannarbitrarias.

Para el caso de la Ec. de Poisson (esto es, k = 0), de (7.2) observamos que para queel problema con condiciones de Neumann tenga sentido es necesario que:∮

Σ

∂ϕ

∂nda = −4π

∫Ω

ρd3x. (7.3)

En particular, si∫Ωρ(x)d3x = 0 no podremos aplicar condiciones de Neumann homogeneas.

Ası mismo, si∫Ωρ(x)d3x = 0 las condiciones de Neumann deberan cumplir con

∮Σ∂ϕ∂nda =

0; lo cual se cumple automaticamente si imponemos condiciones de Neumann homogeneas.

Comentario 7.2. Para la situacion que estamos considerando (Ω acotado), las li-mitaciones impuestas a la ϕ tambien se traspasan a las funciones de Green. Haciendo lomismo que en 7.1 a la Ec. (5.1), o haciendo ϕ = Gk y ρ = δ en (7.2), obtenemos:∮

Σ

∂Gk(x, x′)

∂nda = −k2

∫Ω

Gk(x, x′)d3x− 4π. (7.4)

7. ECUACION DE HELMHOLTZ INHOMOGENEA CON CONDICIONES DE NEUMANN 237

Para la Ec. de Poisson (k = 0), la G(x, x′) ≡ G0(x, x′) debera satisfacer:∮

Σ

∂G(x, x′)

∂nda = −4π. (7.5)

Vemos por lo tanto, que independientemente de las condiciones de frontera de Neumannimpuestas a la ϕ (que satisfacen (7.3), homogeneas o no) no podremos imponer la condicionde frontera de Neumann homogenea a la G. Vemos que podemos satisfacer a (7.5) sielegimos a la condicion (la mas simple de todas):(

∂G(x, x′)

∂n

)−

∣∣∣∣x∈Σ

= −4π

S; ∀x′ ∈ Ω, (7.6)

donde S ∈ R+ es el area de Σ.

Comentario 7.3. Consideremos la Ec. de Poisson (k = 0) con Ω acotado. De (5.3)vemos que aun con la escogencia (7.6) la G(x, x′) no es forzosamente simetrica.

Sin embargo, como la G(x, x′) de estar definida para el operador Lx con condicionesde frontera de Neumann lo esta a menos de una funcion χ(x′), vemos que siempre podemosexigir (sin perdida de generalidad) que:∮

Σ

G(x, x′)da = 0; ∀x′ ∈ Ω. (7.7)

En efecto, si∮ΣG(x, x′)da = f(x′), redefinimos: G(x, x′) →

[G(x, x′)− f(x′)

S

]; la cual

sigue satisfaciendo la Rel. (5.1) con k = 0 y la (7.6). Entonces, para la condicion de frontera(7.6), si se ha impuesto la Rel. (7.7) a la G(x, x′), se cumple (ver (5.3)) el principio dereciprocidad; esto es:

G(x, x′) = G(x′, x); ∀x, x′ ∈ Ω, x = x′. (7.8)

Teorema 7.4. Para Ω acotado, una solucion ϕ de la Ec. de Poisson con condicionesde frontera de Neumann en Σ que satisfagan la Rel. (7.3); arbitrarias: vale decir, para:(

∂ϕ(x)

∂n

)−

∣∣∣∣x∈Σ

especificada y continua en cada parte conexa de Σ, (7.9)

salvo quizas en algunos conjuntos de medida nula en Σ donde se supone acotada; vienedada por:

ϕ(x) =

∫Ω

G(x′, x)ρ(x′)d3x′ +1

4π

∮Σ

G(x′, x)∂ϕ(x′)

∂n′ da′ +1

S

∮Σ

ϕ(x′)da′; ∀x ∈ Ω,

(7.10)donde G(x′, x) es cualquier funcion de Green: Lx′G(x

′, x) = −4πδ(x′ − x); supuestamente

existente; sujeta a la condicion(∂G(x′,x)∂n′

)−

∣∣∣∣x′∈Σ

= −4πS. Esta solucion es unica a menos

de una constante.

Demostracion. Resulta de la Rel. (5.5) y de la seccion 3.


Comentario 7.5. Pareciera que en (7.10) no hemos resuelto el problema ya que elultimo termino de la ecuacion depende de ϕ. Sin embargo, 1

S

∮Σϕ(x′)da′ (que representa

al valor medio de ϕ sobre la superficie) no es mas que una constante, pero ya sabemos queuna solucion de la Ec. de Poisson con condiciones de Neumann solo esta definida a menosde una constante si Ω es acotado. En realidad, lo mejor serıa suprimir ese termino en laRel. (7.10); lo hemos dejado allı por ser la costumbre establecida.

Notemos que para Σ = Σ′∪Σ′′ en el caso (c) de la Fig. 1, se pueden aplicar condicionesde frontera de Neumann arbitrarias a la ϕ (en particular la homogenea) en una de las dosfronteras (la Σ′ o la Σ′′); con lo que en la otra, la condicion de frontera de Neumannimpuesta debera ser tal que la Rel. (7.3) se encuentre satisfecha.

En la Rel. (7.10), si se impone ademas la condicion (7.7) a laG, se podran intercambiarlos argumentos x y x′; ya que la G sera entonces simetrica; ver 7.3.

Comentario 7.6. Veamos que para el problema exterior de Neumann (Ω no acotado)correspondiente a la ecuacion de Poisson: ∆ϕ(x) = −4πρ(x), las condiciones de fronterade Neumann impuestas en Σ a la ϕ pueden ser arbitrarias.

Para ello, examinemos la Rel. (7.3) aplicada al recinto Ω dado por el caso (c) de laFig. 1, suponiendo que Σ′′ es una esfera de radio R′′. Al efectuar los cambios de notacion:Σ′ → Σ, n′ → n y da′ → da, se obtiene:∮

Σ

∂ϕ

∂nda+

∮Σ′′

∂ϕ

∂n′′da′′ = −4π

∫Ω

ρd3x. (7.11)

Supongamos que ρ se anula fuera de una esfera “imaginaria” en R3 (esta anulaciones bastante benigna desde el punto de vista fısico). Como se impone la Rel. (1.5) a laϕ en el infinito, tendremos entonces que una solucion ϕ (supuestamente existente) seraregular en el infinito; ver 1.4. La integral sobre Σ′′ en (7.11) sera entonces una constante,generalmente diferente de cero, aun en el limite R′′ → ∞; ver Rel. (1.4). Por lo tanto, paracondiciones de frontera de Neumann arbitrarias para la ϕ en Σ, por consistencia de la Rel.(7.11), el segundo termino se encargara de mantener su validez bajo el limite R′′ → ∞.

Una observacion final muy importante. La demostracion hecha sobre la posibilidadde imponer condiciones de frontera arbitarias en Σ para el problema exterior de Neumannes solamente valida para superficies Σ acotadas de R3 (tal como hemos venido usando lanotacion Σ). Al considerar superficies Σ no acotadas, como se ha discutido en el ultimoparrafo de 2.2, la solucion ϕ para el problema exterior de Neumann tiene vinculos. No dis-cutiremos esos casos; solamente remitimos al lector al ejemplo del semiespacio establecidoen 8.6.

Comentario 7.7. Para el problema exterior de Neumann (Ω no acotado) corres-pondiente a la ecuacion de Poisson exigiremos que la funcion de Green correspondientesatisfaga las condiciones de frontera homogeneas en Σ y a la Rel. (6.2); vale decir:(

∂G(x, x′)

∂n

)−

∣∣∣∣x∈Σ

= 0; lım|x|→∞x∈Ω

Gk(x, x′) = 0; ∀x′ ∈ Ω. (7.12)

Bajo las condiciones (7.12), la funcion de Green satisface el principio de recipro-cidad:

G(x, x′) = G(x′, x); ∀x, x′ ∈ Ω, x = x′. (7.13)

En efecto, es inmediato si se aplica la Rel. (5.3).

8. PARTE SINGULAR DE FUNCIONES DE GREEN DE LA EC. DE HELMHOLTZ 239

Teorema 7.8. Consideremos la Ec. de Poisson ∆ϕ(x) = −4πρ(x) con ρ anulandosefuera de una esfera “imaginaria” en Ω, correspondiente al problema exterior de Neumanncon condiciones de frontera arbitrarias; vale decir, para:(

∂ϕ(x)

∂n

)−

∣∣∣∣x∈Σ

especificada y continua en Σ, (7.14)

salvo quizas en algunos conjuntos de medida nula en Σ donde se supone acotada, ası comola Rel. (1.5). Entonces, la solucion (unica) ϕ, viene dada por:

ϕ(x) =

∫Ω

G(x′, x)ρ(x′)d3x′ +1

4π

∮Σ

G(x′, x)∂ϕ(x′)

∂n′ da′; ∀x ∈ Ω, (7.15)

donde G(x′, x) es la (unica) funcion de Green: Lx′G(x′, x) = −4πδ(x′− x); supuestamente

existente; sujeta a las condiciones (7.12). La solucion ϕ sera regular en el infinito.

Demostracion. Resulta de la discusion efectuada en 7.6 y de la Rel. (5.5). La uni-cidad se discute en 3.3.

Se pueden intercambiar los argumentos de la G en (7.15), pues ya sabemos que valeel principio de reciprocidad; ver 7.7.

8. Parte Singular de Funciones de Green Correspondientes a la Ec. deHelmholtz

Comentario 8.1. De la linealidad de la EDPL en Ω:

L(k)x Gk(x, x

′) = ∆xGk(x, x′) + k2Gk(x, x

′) = −4πδ(x− x′), (8.1)

resulta que siempre podremos escribir a Gk ası:

Gk(x, x′) = G

(0)k (x, x′) + Fk(x, x

′); ∀x, x′ ∈ Ω, (8.2)

donde G(0)k satisface a (8.1), es continua y regular en todo punto de Ω excepto en x = x′. A

la G(0)k no se le impone en principio ninguna condicion de frontera; siendo G

(0)k la llamada

parte singular de la funcion de Green Gk. La funcion Fk(x, x′) es continua y regular

en todo Ω, y satisface a la Ec. de Helmholtz homogenea:

∆xFk(x, x′) + k2Fk(x, x

′) = 0; x, x′ ∈ Ω. (8.3)

A la Fk se le imponen condiciones de frontera en Σ o en el infinito si Ω no es acotado,de manera tal que Gk cumpla con las condiciones de frontera estipuladas.

Notemos que tal como hemos precisado la G(0)k , esta dista mucho de ser unica. En

efecto, en B.P.9 se muestra explicitamente a tres de ellas (las cuales incluso satisfacen lacondicion de frontera (6.2) en el infinito si k ∈ R). Sin embargo, para evitar perdidas detiempo es bueno tomar en cuenta las condiciones de frontera ası como las restriccionesimpuestas a los valores de k, pues ello nos permite en general excluir de entrada algunas

G(0)k ; p. ej., si consideramos problemas exteriores o Ω = R3, casos en los cuales la G

(0)k

dada por (8.4) resulta ser la adecuada al imponer la Rel. (6.2) y ciertas restricciones a lak (ver 8.3, p. ej).


Comentario 8.2. Hemos visto (ver B.P.9) que:

G(0)k (x, x′) =

eik|x−x′|

|x− x′|=eikR

R; R ≡ |x− x′| , x = x′, (8.4)

es una posible parte singular de una funcion de Green Gk. Notese que (ver 7-(9.13)):

G(0)k (x, x′) =

eikR

R= ikh

(1)0 (kR); R = 0. (8.5)

En el caso particular de la Ec. de Laplace (k = 0) obtenemos de (8.4), al llamarG(0)(x, x′) ≡G

(0)0 (x, x′):

G(0)(x, x′) =1

|x− x′|=

1

R; R ≡ |x− x′|, x = x′. (8.6)

Notemos que a diferencia del caso unidimensional, en el cual la funcion de Green escontinua (pero de derivada discontinua), aquı Gk es una funcion singular (en x = x′).

Comentario 8.3. Consideremos el caso en que Ω = R3. En virtud de lo discutidoen 3.4 sabemos que debemos excluir todos los valores no nulos de k ∈ R para garantizarla unicidad de la funcion de Green Gk (de existir esta). De la Rel. (8.4), vemos que esta

G(0)k es precisamente la funcion de Green Gk que satisface la condicion (6.2) si ℑk > 0

en el caso que k = 0 (y por lo tanto, la unica). En este caso tendremos: Fk(x, x′) = 0,

∀x, x′ ∈ R3. Entonces, la unica solucion de la Ec. de Helmholtz inhomogenea (con ℑk > 0si k = 0); y en particular, la de Poisson (k = 0); vendra dada por (ver Rel. (6.8)):

ϕ(x) =

∫R3

eik|x−x′|

|x− x′|ρ(x′)d3x′; ∀x ∈ R3; ∀k ∈ C; ℑk > 0 si k = 0. (8.7)

En 11.2 se discute la existencia de esta integral impropia ası como la continuidad dela ϕ en R3 si ρ(x′) es acotada (es decir: |ρ(x′)| < C;∀x′ ∈ R3, C ∈ R+) e integrable en R3.En 11.1 se proporcionan metodos para evaluar la ϕ de esta integral en ciertos recintos deR3 y para ciertas restricciones adicionales para la ρ(x′).

Comentario 8.4. Consideremos la ecuacion de Schrodinger en R3 para energıasnegativas (E < 0; ver A-(2.15)) con la condicion de frontera ψ(r) ∼

r→∞e−κr/r, k =

i(

2µ|E|~2

)1/2≡ iκ, en el infinito. De lo discutido en 8.3 y de la Rel. (6.6) se obtiene la

siguiente ecuacion integral para ψ(r):

ψ(r) = −( µ

2π~2)∫

R3

e−κ|r−r′|

|r − r′|U(r′)ψ(r′)d3r′; κ ≡

(2µ|E|~2

)1/2

, E < 0. (8.8)

Comentario 8.5. Consideremos la ecuacion de Poisson. Hemos visto que una im-portante tecnica para resolverla con ciertas condiciones de frontera, consiste en hallar unafuncion de Green correspondiente que sea adecuada a esas condiciones. Usemos aquı (y en8.6) libremente el lenguaje de la electrostatica.

Consideremos entonces la funcion de Green G(x, x′):

∆xG(x, x′) = −4πδ(x− x′); x, x′ ∈ Ω. (8.9)


El significado fısico de esta funcion sujeta a la Rel. (6.2) es claro en Ω = R3 (ver 8.3); ocomo se dice a veces: “la G sin condiciones de frontera”. En efecto, representa el potencialen cualquier punto x ∈ Ω debido a una carga puntual unitaria localizada en x′ ∈ Ω(x = x′). En ese caso, como la funcion de Green satisface el principio de reciprocidad, esamisma G(x, x′) tambien representa el potencial en el punto x′ ∈ Ω debido a una cargapuntual unitaria localizada en x ∈ Ω (x = x′). De la linealidad de la EDPL obedecidapor la G(x, x′), vemos que para cualquier carga puntual no nula q′ localizada en x′ ∈ Ω,G′(x, x′) ≡ q′G(x, x′) satisface: ∆xG

′(x, x′) = −4πq′δ(x− x′); siendo el significado fısico deesa G′ el mismo que el de la G, pero referido a la carga q′ en vez de una carga unitaria (enla practica, se sigue usando la misma notacion G para esa G′; de hecho, ası procederemosen el ejemplo estipulado en 8.6).

Para cualquiera de los tres recintos Ω de la Fig. 1, el significado fısico de la funcionde Green G(x, x′) en Ω sujeta a condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas en Σ,ası como la Rel. (6.2) si Ω no es acotado, es claro. En efecto, representa el potencialen cualquier punto x ∈ Ω debido a una carga puntual unitaria localizada en x′ ∈ Ω(x = x′), el cual se anula en Σ (por supuesto, para la ecuacion de Poisson, las condicionesde Dirichlet para el potencial en Σ son arbitrarias). Aquı tambien es valido el principio dereciprocidad (ver (6.3)) y valen las acotaciones que acabamos de hacer para el caso Ω = R3,incluyendo la de la carga q′ en x′. Debemos tener presente que la naturaleza de la superficieΣ es en general arbitraria, puede ser “imaginaria”; ası como puede ser, en particular, unasuperficie conductora “real” (por una “superficie real”; entenderemos por ello “material”,incluso bajo la idealizacion en que se la considere “sin espesor”) conectada a Tierra (paralos efectos de la imaginacion, siempre podemos pensar que se trata de esa situacion en loque se refiere a una G con condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas). Mencionemosun resultado fısico totalmente general (entre dos medios de constante dielectrica: ϵ = 1):dado un recinto Ω siendo Σ una de sus fronteras (“imaginaria” o “real”), si denotamos por(∂ϕ∂n

)+a la derivada normal del potencial (con el mismo vector n que el usado para evaluar(

∂ϕ∂n

)−) al efectuar el limite con vectores pertenecientes a R3 −Ω, siempre tendremos que:

14π

[(∂ϕ∂n

)− −

(∂ϕ∂n

)+

]∣∣∣Σ≡ σ(x) representara la densidad superficial de cargas (“real”)

en Σ; ver [5], p. ej. Por lo tanto, si(∂ϕ∂n

)+= 0, tendremos que la derivada normal en Σ

de una G(x, x′) en Ω con condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas representa (amenos de un factor 1/4π) la densidad superficial de carga σ(x) inducida en Σ por unacarga puntual unitaria localizada en x′ ∈ Ω; es decir:

σ(x)|x∈Σ =1

4π

(∂G(x, x′)

∂n

)−

∣∣∣∣x∈Σ

; x′ ∈ Ω. (8.10)

La anulacion de(∂ϕ∂n

)+se puede conseguir, p. ej., si no hay cargas en el recinto Ω1 ≡ R3−Ω

sujeto a las condiciones de frontera ϕ|Σ = 0 y eventualmente la Rel. (1.5) (lo que resultaobvio al aplicar la Rel. (6.6) en Ω1, obteniendose un potencial nulo en Ω1); tambien sepuede conseguir, si Σ es la superficie de un conductor conectado a Tierra ubicado en R3−Ωel cual tiene un cierto espesor (pues sabemos que dentro del conductor y en su superficieel potencial sera nulo). Una ultima acotacion, para el calculo de la G en Ω ası como el desu derivada parcial indicada en la Rel. (8.10), es totalmente irrelevante la evaluacion de

242 8. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES LINEALES (EDPL)(∂ϕ∂n

)+, en particular su anulacion o no; esa anulacion solamente resulta vital para que sea

valida la interpretacion fısica que le hemos dado a la derivada parcial de la G indicada en(8.10).

Para intentar la evaluacion de la G dada por (8.9), sujeta a ciertas condiciones defrontera, aquı consideraremos cuatro posibles enfoques diferentes; en problemas en unplano, N = 2, tambien disponemos de tecnicas relativas a las funciones de variable com-pleja (la de las transformaciones conformes, p. ej.), las cuales no abordaremos. Tampocoabordaremos otros metodos, como p. ej. el de las ecuaciones integrales; ver [38] y [133],p. ej.

i. El metodo directo que consiste en intentar resolver (8.9) con las respectivas condicio-nes de frontera de manera directa.

A veces, si el problema tiene la suficiente simetrıa, se puede resolver directamenteel problema mediante la tecnica de la separacion de variables.

ii. Al apoyarnos en lo establecido en 8.1 y 8.2, escribimos (poner: F (x, x′) ≡ F0(x, x′)):

G(x, x′) =1

|x− x′|+ F (x, x′); ∀x, x′ ∈ Ω, x = x′, (8.11)

∆xF (x, x′) = 0; x, x′ ∈ Ω. (8.12)

El problema consiste entonces en resolver la ecuacion (8.12) con las condicionesde frontera adecuadas (ver 8.1). En general, esta tarea puede ser intentada por dosmetodos; ademas de unos pocos casos en los cuales esa F es obvia de entrada, “porinspeccion”; ver 8.3, p. ej.a) Uno de ellos es el metodo directo (por separacion de variables, si la sımetria del

problema lo permite).b) El otro es el del metodo de las imagenes que describimos en 8.6.

iii. Para un problema interior de Dirichlet, siempre dispondremos del metodo de las auto-funciones, el cual describiremos en la seccion 9; ver Rel. (9.4) con k = 0.

Comentario 8.6. Con el fin de precisar el metodo de las imagenes considere-mos cualquiera de los tres recintos Ω de la Fig. 1 y condiciones de frontera de Dirichlethomogeneas en Σ para la G(x, x′) en Ω, ası como la Rel. (6.2) si Ω no es acotado.

Supongamos que somos capaces de colocar (a punta de astucia) unas cargas en unaregion acotada del exterior de Ω, de densidad (la cual va a depender de x′ y de Σ):ρ1(y|x′) con y ∈ Ω1 ≡ R3 − Ω (incluyendose en esa densidad posibles cargas puntuales;tipo “deltas de Dirac”); de manera tal que al considerar el conjunto de todas las cargasen R3, a saber: ρ1(y|x′) en Ω1 y la puntual unitaria localizada en x′ ∈ Ω, estas nosgeneren un potencial nulo en Σ. En ese caso, por unicidad de la solucion, habremos resuelto

el problema con solo tomar: F (x, x′) = ψ1(x|x′) para todo x ∈ Ω, siendo ψ1(x|x′) elpotencial en x generado por las cargas ρ1(y|x′) localizadas en Ω1.

En efecto, esa F satisface (8.12) en Ω y la G(x, x′) correspondiente dada por (8.11)satisface las condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas en Σ y la (6.2) si Ω no esacotado, ası como a (8.9). N

En la practica, este metodo se reduce a casos en los cuales las cargas ρ1 no son mas queunas pocas cargas puntuales. Ver [13] y [160] para desarrollos ulteriores de este metodo(series de imagenes, p. ej.); ası como para bibliografıa complementaria.


En textos, es usual aplicar este metodo partiendo de una carga puntual no nula q′ enx′. De lo discutido en 8.5 resulta claro que todo se reduce a multiplicar las Rels. (8.9) y(8.11) por q′.

El origen del nombre de este metodo se encuentra en el siguiente ejemplo (muy facilde resolver). Consideremos que Ω es un semiespacio abierto, el cual especificamos en coor-denadas rectangulares mediante x > 0, en el cual se tiene una carga puntual no nulaq′ en x′ = (x′, y′, z′), x′ > 0. Es claro que al colocar una carga puntual q1 = −q′ eny = (−x′, y′, z′) = x′−2(x′ · n)n ∈ Ω1 donde n = −ı (vemos que y depende de x′; ası comode Σ, vıa n), tendremos que:

G(x, x′) =q′

|x− x′|− q′

|x− y|=

q′

|x− x′|− q′

|x− x′ + 2(x′ · n)n|=

q′

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]1/2− q′

[(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]1/2; ∀x ∈ Ω.

(8.13)

Podemos considerar que el plano x = 0 es un espejo Σ “de cara hacia Ω” y que la cargaq1 = −q′ es la correspondiente a la imagen en ese espejo de la carga q′. Notemos quebajo el espejo (operacion de paridad) el valor de la carga q′ es “vista” como q′ y no comoq1 = −q′; pues las cargas son magnitudes fısicas escalares, no pseudoescalares; aquı elespejo solo funciona en cuanto a la posicion de la imagen de q′. Ironicamente, este ejemplose sale de las especificaciones (de acotacion) que hemos impuesto a Σ; ver sin embargo lodicho en el ultimo parrafo de 2.2. Si no hay cargas en el recinto Ω1 sujeto a las condicionesde frontera ϕ|Σ = 0 y (1.5); con la Rel. (8.13), la Rel. (8.10) con n = −ı y la Rel. B-(4.5);se obtiene la siguiente densidad superficial de carga inducida en Σ por q′:

σ(x) ≡ σ(x)|x=0 = − q′

2π

x′

[x′2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]3/2. (8.14)

Notese que:∫Σσ(x)da = −q′; y como

∫Ωρ(x)d3x = q′, al tomar en cuenta (8.10)

vemos que la Rel. (7.3) es satisfecha.Tomemos como excusa el ejemplo del espejo para efectuar unas discusiones, cuya meta

es la de evitar posibles equıvocos. Desde el punto de vista de las cargas pareciera que sehan considerado “demasiados tipos de cargas”; a saber: la q′ en Ω, la q1 = −q′ en Ω1 yla σ(x) en Σ. Esto se clarifica si nos percatamos que tenemos varias maneras posibles deencarar la evaluacion del potencial en Ω partiendo del conocimiento de las cargas. Unaconsiste en considerar todo R3 y solamente dos tipos de cargas: la q′ y la q1 (metodo de lasimagenes). Otra consiste en considerar todo R3 y solamente dos tipos de cargas: la q′ y laσ(x). Otra mas consiste en considerar unicamente Ω y solamente un tipo de carga: la q′,con lo que se tiene un problema de Dirichlet para la carga q′ con las condiciones de fronterahomogeneas en Σ y la (1.5), o bien, un problema de Neumann para la carga q′ con lascondiciones de frontera dadas por la funcion [4πσ(x)] en Σ y la (1.5) (notemos que esto noconstituye una sobredeterminacion del problema; ver 3.5; pues la condicion de frontera deNeumann impuesta al potencial en Σ no es cualquiera, sino precisamente la [4πσ(x)], quepor cierto hemos visto satisface la Rel. (7.3)). Si considerasemos simultaneamente los trestipos de cargas, no reproduciriamos un potencial nulo en Σ; de hecho, veamos lo que sigue.Al considerar las dos cargas q′ y q1 = −q′ en R3, al usar la expresion (8.13) obtendremos


que(∂ϕ∂n

)+

= 4πσ, y por lo tanto una densidad superficial de carga nula en el plano Σ

(todo es coherente); ver 8.5. De considerarse las dos cargas q′ y σ(x) en R3, al evaluar elpotencial ϕσ(x) en R3 debido a la carga σ, se obtiene:

ϕσ(x) =

∫Σ

σ(x′′)

|x− x′′|da′′ =

− q′

|x−x′| ; x 6 0

− q′

|x−y| ; x ≥ 0,(8.15)

(no hay necesidad de efectuar esta integral; el resultado se puede poner al usar la teoriageneral; ver [5], p. ej.; o ver lo que sigue), con lo que se tiene un potencial total ϕ(x) = 0,∀x ∈ Ω1 (lo que era obvio desde el principio, al aplicar la Rel. (6.6) en el recinto Ω1 con lascondiciones de frontera ϕ|Σ = 0 y (1.5)) y por lo tanto:

(∂ϕ∂n

)+= 0, ası como un potencial

total ϕ(x) dado por la Rel. (8.13) en Ω (con lo que todo es coherente).Dado un recinto Ω R3 de superficie Σ, este metodo permite visualizar claramente el

significado fısico de las condiciones de frontera impuestas en Σ. En efecto, estas sustituyenla informacion, totalmente desconocida para nosotros, de todas las cargas ubicadas fuerade Ω; en R3 − Ω. Esta situacion contrasta con el caso Ω = R3, en el cual proporcionamostodas las cargas ρ en R3 (el cual ya hemos resuelto en 8.3); es decir, en “todo el universo”,correspondiendo a la mayor especificacion fısica de las cargas.

9. Desarrollo de Funciones de Green en Autofunciones

Comentario 9.1. Consideremos, para Ω acotado (es decir, para un problema inte-rior), la EDPL:

L(k,g)x ϕ(x) ≡ ∆ϕ(x) +

[g(x) + k2

]ϕ(x) = −4πρ(x), (9.1)

donde L(k,g) esta especificado en 2.1.Consideremos el caso en el cual el operador L(k,g) es autoadjunto en L2(Ω) si ϕ satisface

las condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas en Σ. Denotemos a las autofuncionesortonormales del operador L(0,g) con condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas en

Σ, ϕ(dn)n (x), con dn = 1, · · · ,Mn, y n = 1, 2, · · · , de autovalores correspondientes λn ≡ −k2n;

esto es:

L(0,g)ϕ(dn)n = −k2nϕ(dn)

n ≡ λnϕ(dn)n . (9.2)

Tendremos entonces el siguiente teorema.

Teorema 9.2. Con las especificaciones dadas en 9.1, si (−k2) no es un autovalor

del operador L(0,g) y si el conjunto de autofunciones ϕ(dn)n es completo en L2(Ω), la unica

funcion de Green que satisface:

L(0,0)x Gk(x, x

′) +[g(x) + k2

]Gk(x, x

′) = −4πδ(x− x′), (9.3)

con condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas en Σ, viene dada por:

Gk(x, x′) = 4π

∞∑n=1

Mn∑dn=1

ϕ(dn)n (x′)ϕ

(dn)n (x)

k2n − k2; ∀x, x′ ∈ Ω, x = x′. (9.4)

Demostracion. Obvia.


Comentario 9.3. Para Ω acotado, siempre se podra escribir la funcion de Greencorrespondiente a la ecuacion de Poisson (k = 0) con condiciones de frontera de Dirichletarbitrarias en la forma (9.4), con k = 0. En efecto, es un teorema bien conocido quepara Ω acotado con fronteras (“buenas”) del tipo que hemos venido considerando, el queel negativo del Laplaciano sujeto a condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas esautoadjunto y que posee un conjunto ortonormal completo de autofunciones en L2(Ω);que sus autovalores λ′jj∈Z+ ⊂ R+ satisfacen: λ′j ≤ λ′j+1, y que lımj→∞ λ′j = ∞ (ver [38]o [39], p. ej.).

Comentario 9.4. Para Ω = R3, sabemos que la (unica) funcion de Green correspon-diente a la ecuacion de Poisson es: G(x, x′) = 1/|x− x′|; ver 8.3. Se tiene:

G(x, x′) =1

|x− x′|=

1

2π2

∫R3

eik·(x−x′)

k2d3k; k2 = k · k ∈ R+, x = x′. (9.5)

En efecto, la evaluacion de esta integral puede efectuarse al tomar coordenadas esfericas

(k, θ, ϕ) para la k, con el eje Z en la direccion y sentido de (x−x′). Estrictamente hablando,la integral de Riemann en (9.5) no existe (pues no es absolutamente integrable); se puedeobtener lo allı indicado al integrar primero en θ, ϕ y luego en k.

La Rel. (9.5) es la version del continuo de la expresion (9.4) con k2 = 0. En efecto,

sabemos que las funciones: ϕk(x) = 1(2π)3/2

eik·x, k ∈ R3 con k = 0, son autofunciones

generalizadas del Laplaciano, de autovalores generalizados (−k2); cuidado con confusionesde notacion, aquı k2 es el continuo de los k2n en (9.4); las cuales forman un conjuntoortonormal completo en el sentido generalizado (ver 1.P.63). La exclusion del valor k2 = 0(que en realidad solamente hemos tomado en cuenta para ser consecuentes con el teorema9.2) es irrelevante para la completitud de estas autofunciones, pues la relacion de clausurageneralizada (ver 1.P.63), siendo esta una integral, sigue siendo valida.

Notemos que la Rel. (9.5) nos indica que G(x, x′) = 1/|x− x′| es la transformada de

Fourier inversa de la funcion: G(k, x′) =√

2πe−ik·x

′/k2; ver Rel. B-(2.9) con β = 1.

10. Calculo de Funciones de Green

Comentario 10.1. En la seccion 8 hemos senalado cuatro posibles metodos que even-tualmente nos permiten hallar la funcion de Green G(x, x′) correspondiente a la ecuacionde Poisson:

∆xG(x, x′) = −4πδ(x− x′). (10.1)

Si el problema tiene la suficiente simetrıa, elaboremos sobre la aplicacion del metododirecto en el caso que la ecuacion de autovalores: ∆ϕ(x) = λϕ(x) con condiciones defrontera de Dirichlet o de Neumann en Σ, ası como la (6.2) si Ω no es acotado, seaseparable en algun sistema de coordenadas. En estos casos, se intenta hallar la funcion deGreen con la condicion de frontera de Dirichlet homogenea o la apropiada de Neumannen Σ, ası como la (6.2) si Ω no es acotado. Hagamos un esbozo del procedimiento quevamos a plantear (ver ejemplos siguientes para mas precisiones), el cual consta de seispasos. (1) Lo primero que hay que hacer es escribir la δ(x− x′) como un producto de tresdeltas unidimensionales; ver la Rel. B-(2.7) y a B-3.2. (2) Luego se escoge; se singulariza;una de las tres coordenadas, esperando que para cada una de las otras dos se obtenga


un sistema ortonormal completo de autofunciones (el cual debe ser compatible con lascondiciones de frontera correspondientes; denominemoslos: φj y χk, p. ej.); de maneratal que se pueda extraer del producto de todas estas autofunciones (es decir, de: φjχk)un sistema ortonormal completo en el espacio de las funciones con esas dos coordenadaspor variables; incluso en el sentido generalizado. (3) Usando las relaciones de clausurageneralizadas correspondientes a las autofunciones φj y χk, se obtiene una expresionpara el producto de las dos deltas que dependen de las variables no singularizadas. (4)Se desarrolla entonces la G(x, x′) en su primera variable x, en terminos de la base de losproductos senalados en el paso (2); con un coeficiente que va a depender de la variablesingularizada (y de x′, por supuesto). (5) Al sustituir las expresiones halladas en los pasos(1), (3) y (4) en la Rel. (10.1), y usar la ortonormalidad de las autofunciones φj y χk, seespera obtener entonces una funcion de Green unidimensional en la variable singularizada;la cual se resuelve al aplicarle las condiciones de frontera correspondientes. (6) Finalmente,se recopilan los resultados.

Este tipo de procedimiento tambien puede ser usado para hallar la funcion de Greencorrespondiente a la ecuacion de Helmholtz. Ver 10.4 y 8.P.9.

La posibilidad de que este tipo de procedimiento sea exitoso depende fuertemente dela escogencia de la variable singularizada, pues no siempre se llega al establecimiento dela funcıon de Green senalada en el paso (5). No trataremos de establecer las condicio-nes necesarias y suficientes que nos permitan en general tener exito en el procedimiento.Solamente nos limitaremos a senalar que este es aplicable para la singularizacion de lasvariables no angulares de los sistemas de coordenadas rectangulares, esfericos y cilındricos;vale decir, para: x, y, z; r y ρ, z; respectivamente.

Le queremos informar al estudiante que para los efectos de hallar soluciones de laecuacion de Poisson (de Helmholtz o de Laplace) que le seran exigidas posteriormente enel curso (“tıpico”) de electromagnetismo, ha llegado “la epoca de la cosecha”. En efecto, lassoluciones seran en general “empaquetamientos” mas o menos triviales de practicamentetodo lo establecido en este curso hasta ahora (ver tambien la seccion 11).

Ejemplo 10.2. Para el problema de Poisson, sea Ω el interior de un paralelepıpedodeterminado por los seis planos: x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0, z = c; a, b, c > 0; encoordenadas rectangulares. Hallemos la (unica) G para condiciones de frontera de Dirichlethomogeneas.

(a) Por el metodo de las autofunciones.Para ello hallemos primero las autofunciones y autovalores de ∆; esto es, resolva-

mos:

∆ψ(x) = −k2ψ(x) ≡ λψ(x). (10.2)


Al separar la Ec. (10.2) en cartesianas obtenemos EDOL cuyos P.S-L. con condi-ciones de Dirichlet homogeneas tienen soluciones conocidas (ver 4-5.4), a saber:

φl(x) =

√2

asen

lπx

a; l = 1, 2, · · · , (10.3)

χm(y) =

√2

bsen

mπy

b; m = 1, 2, · · · , (10.4)

ϕn(z) =

√2

csen

nπz

c; n = 1, 2, · · · . (10.5)

Tendremos entonces que a menos de una fase, las autofunciones normalizadas seran:

ψlmn(x) =

√8

abcsen

(lπx

a

)sen(mπy

b

)sen(nπz

c

), (10.6)

de autovalores correspondientes:

λlmn ≡ −k2lmn = −π2

(l2

a2+m2

b2+n2

c2

). (10.7)

Tendremos entonces:

G(x, x′) =32

πabc

∞∑l,m,n=1

sen ( lπxa)sen ( lπx

′

a)sen (mπy

b)sen (mπy

′

b)sen (nπz

c)sen (nπz

′

c)(

l2

a2+ m2

b2+ n2

c2

) ;

∀x, x′ ∈ Ω, x = x′.

(10.8)

(b) Por el metodo directo.Resolvamos la Ec. (10.1) separando variables, singularizando la variable z. Tendre-

mos:

δ(x− x′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′). (10.9)

De la relacion de clausura generalizada para las autofunciones (10.3) y (10.4),tendremos:

δ(x− x′)δ(y − y′) =4

ab

∞∑l,m=1

sen

(lπx

a

)sen

(lπx′

a

)sen(mπy

b

)sen

(mπy′

b

)

=∞∑

l,m=1

φl(x)φl(x′)χm(y)χm(y

′).

(10.10)

Ademas, por completitud:

G(x, x′) =∞∑

l,m=1

Alm(z|x′)φl(x)χm(y) =∞∑

l,m=1

Alm(z|x′)√

4

absen

(lπx

a

)sen(mπy

b

).

(10.11)


Al sustituir (10.9), (10.10) y (10.11) en (10.1), tendremos:

∞∑l,m=1

[−(lπ

a

)2

−(mπb

)2]Alm +

∂2Alm∂z2

φl(x)χm(y)

= −4πδ(z − z′)∞∑

l,m=1

φl(x)φl(x′)χm(y)χm(y

′).

(10.12)

Al multiplicar la Rel. (10.12) por φr(x)χs(y) e integrar respecto a x, y (usando laortonormalidad de los φl, χm), tendremos:

∂2Ars∂z2

− γ2rsArs = −4πδ(z − z′)φr(x′)χs(y

′), (10.13)

donde

γlm ≡

[(lπ

a

)2

+(mπb

)2]1/2; l,m ∈ Z+. (10.14)

Se puede poner:

Alm(z|x′) ≡ −4πglm(z, z′)φl(x

′)χm(y′). (10.15)

En efecto, para r, s, z y z′ fijos se puede desarrollar Ars ası:

Ars(z|x′) =∞∑

j,k=1

ajkrs(z, z′)φj(x

′)χk(y′), (10.16)

que al ser sustituido en (10.13) multiplicando luego la igualdad por φl(x′)χm(y

′) eintegrando, nos produce:

∂2almrs∂z2

− γ2rsalmrs = −4πδ(z − z′)δlrδms. (10.17)

Como cero no es autovalor de (10.17) para l = r o m = s (para las condiciones defrontera consideradas), tendremos almrs = 0 en esos casos; y si ponemos: almlm(z, z

′) ≡−4πglm(z, z

′), obtenemos (10.15) de (10.16), ası como (ver (10.17)):

∂2glm(z, z′)

∂z2− γ2lmglm(z, z

′) = δ(z − z′). (10.18)

En realidad, esta “larga” verificacion de la Rel. (10.15) es innecesaria. En virtudde la unicidad de la G se puede imponer la Rel. (10.15) directamente, obteniendose laRel. (10.18).

La glm ya ha sido evaluada en 6-6.2 (tomar α0 = 1):

glm(z, z′) = −senh (γlmz<)senh γlm(c− z>)

γlm senh γlmc. (10.19)


Entonces (con (10.11), (10.15) y (10.19)) tendremos:

G(x, x′) =16π

ab

∞∑l,m=1

sen

(lπx

a

)sen

(lπx′

a

)sen(mπy

b

)sen

(mπy′

b

)×

senh (γlmz<)senh γlm(c− z>)

γlm senh γlmc; ∀x, x′ ∈ Ω, x = x′.

(10.20)

Comentario 10.3. Para Ω = R3 ya sabemos que la unica funcion de Green quesatisface la condicion de frontera (6.2) y la Ec. (10.1) es: G(x, x′) = 1/ |x− x′|. Las Rels.5-(2.29) y (9.5) nos muestran dos representaciones de esta funcion de Green.

El ejemplo siguiente y el problema 8.P.7 nos proporcionan otras tres representaciones.

Ejemplo 10.4. Para Ω = R3 hallar por el metodo directo, separando variables encoordenadas esfericas, la funcion de Green correspondiente a la ecuacion de Helmholtz:

∆rGk(r, r′) + k2Gk(r, r

′) = −4πδ(r − r′); k ∈ C, (10.21)

singularizando la variable r.El producto de las autofunciones ortonormales simultaneas correspondientes a las

variables θ y ϕ son los armonicos esfericos: Y ml (θ, ϕ) (ver 5-4.2); los cuales son un conjunto

completo (ver 5-4.4). De B-(3.2), tenemos:

δ(r − r′) =1

r2δ(r − r′)

δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′)

sen θ. (10.22)

De la relacion de clausura generalizada 5-(4.15), B-(3.2) y B-(3.4), tenemos:

δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′)

sen θ=

∞∑l=0

l∑m=−l

Y ml (θ′, ϕ′)Y m

l (θ, ϕ) (10.23)

Por la completitud de los Y ml (θ, ϕ), ponemos:

Gk(r, r′) =

∞∑l=0

l∑m=−l

Alm(r|r′)Y ml (θ, ϕ). (10.24)

Al sustituir las Rels. (10.22), (10.23) y (10.24) en (10.21), obtenemos (al usar 1-(15.85) y5-(4.8)):

∞∑l=0

l∑m=−l

[(r2∂2

∂r2+ 2r

∂

∂r

)Alm + k2r2Alm − l(l + 1)Alm

]Y ml (θ, ϕ)

= −4πδ(r − r′)∞∑l=0

l∑m=−l

Y ml (θ′, ϕ′)Y m

l (θ, ϕ).

(10.25)

Al multiplicar la Rel. (10.25) por Y m′l′ (θ, ϕ)sen θ e integrar en θ y en ϕ, obtenemos

(ver 5-(4.4)):(r2∂2

∂r2+ 2r

∂

∂r

)Al′m′ +

[k2r2 − l′(l′ + 1)

]Al′m′ = −4πδ(r − r′)Y m′

l′ (θ′, ϕ′). (10.26)

Si tomamos:Alm(r|r′) ≡ −4πglm(r, r

′)Y ml (θ′, ϕ′), (10.27)


y lo sustituimos en la (10.26), se obtiene:

∂2

∂r2glm(r, r

′) +2

r

∂

∂rglm(r, r

′) +

[k2 − l(l + 1)

r2

]glm(r, r

′) =δ(r − r′)

r2. (10.28)

En el problema 8.P.10 consideraremos varios valores posibles no nulos para la k yciertas condiciones de frontera. Sigamos, considerando el valor k = 0.

Para k = 0, las condiciones de frontera para la glm(r, r′) son la de la finitud en r = 0

y la de su anulacion cuando r → ∞. Esta funcion de Green ya ha sido evaluada en 6-6.6(tomar α0 = 1). Se tiene:

glm(r, r′) = − 1

(2l + 1)

rl<rl+1>

. (10.29)

Por lo tanto, con (10.24), (10.27) y (10.29), se obtiene (G ≡ G0):

G(r, r′) =1

|r − r′|=

∞∑l=0

l∑m=−l

(4π

2l + 1

)(rl<rl+1>

)Y ml (θ′, ϕ′)Y m

l (θ, ϕ); 0 < r< < r>.

(10.30)Hemos verificado la Rel. (10.30) para r = r′. Sin embargo, la condicion r< > 0 es necesariapara la existencia de los angulos (θ, ϕ) y (θ′, ϕ′) correspondientes a r y r′, respectivamente.La condicion mas fuerte r< < r>, es necesaria para la convergencia de este desarrollo,como quedo claramente establecido en la deduccion de la Rel. 5-(2.29).

La Rel. (10.30) tiene la gran ventaja sobre la 5-(2.29) que las coordenadas estanfactorizadas (resulta muy util en electromagnetismo; multipolos, p. ej.). Esta ventaja seobtiene a costas de una doble suma, en vez de una sola como se tiene en 5-(2.29).

11. Desarrollo en Multipolos Esfericos

Comentario 11.1. Consideremos la ecuacion de Poisson: ∆Φ′(r) = −4πρ′(r) enΩ = R3; siendo:

ρ′(r) = ρ(r) +n∑j=1

qjδ(r − rj), (11.1)

donde ρ(r) es una densidad acotada (es decir: |ρ(r)| < C; ∀r ∈ R3, C ∈ R+) e integrable

en R3; y el resto son n (con n tan grande como se quiera) densidades puntuales localizadasen rj, j = 1, 2, ..., n. En virtud de (8.7); al tomar k = 0 y sustituir: ρ → ρ′, x′ → r′ yx→ r; tendremos que Φ′ vendra dada por:

Φ′(r) =

∫R3

ρ(r′)

|r − r′|d3x′ +

n∑j=1

qj|r − rj|

; ∀r ∈ Ω′, (11.2)

donde: Ω′ ≡ R3 − ∪nj=1rj. Denominemos Φ(r) a la integral en (11.2).Veamos a continuacion dos casos en los cuales se puede evaluar Φ(r) en ciertos recintos

de R3, mediante la expresion (10.30) de 1/|r − r′|. Notemos que estas evaluaciones seranutiles para la obtencion de la ϕ(x) especificada en (8.7); se trata solamente de efectuarlos siguientes cambios de notacion: ρ(r′) → ρ(x′)eik|x−x

′|, ∀k ∈ C, con ℑk > 0 si k = 0;r′ → x′ y r′ → |x′|; r → x y r → |x|.

11. DESARROLLO EN MULTIPOLOS ESFERICOS 251

i. Supongamos que existe una esfera (“imaginaria”) en R3, de radio R0 y centrada enel origen O de un sistema de coordenadas esfericas; fuera de la cual la densidad ρ esnula (ρ(r) = 0,∀r ∈ R3 con r > R0). En este caso, fuera de la esfera tendremos:

Φ(r) =∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1qlm

Y ml (θ, ϕ)

rl+1; ∀r ∈ R3, con r > R0, (11.3)

donde:

qlm =

∫R3

Y ml (θ′, ϕ′)r′

lρ(r′)d3x′; (r′ < R0). (11.4)

En efecto, como r > R0 tendremos que r′ < r, y por lo tanto: r< = r′, r> = r.La expresion (11.3) se denomina: desarrollo multipolar esferico de la Φ(r), y

a los coeficientes qlm los denominaremos multipolos esfericos internos o terminosmultipolares esfericos internos. Como estos multipolos son los mas usados en laliteratura, es usual denominarlos “multipolos” o “terminos multipolares” (a secas);incluso, la palabra “internos” no es usada. Este desarrollo se podra usar al tener todala densidad concentrada en recintos Ω del tipo senalado en las partes (a) y (c) de laFig. 1.

Para un l dado existen (2l + 1) multipolos; y la evaluacion de los (l+1) terminoscon m ≥ 0 es suficiente si la densidad ρ es a valores reales, ya que los terminos res-tantes vendran dados por: ql(−m) = (−1)mqlm (ver la Rel. 5-(4.2)). Se llama terminomonopolar a q00; los tres elementos: q1(−1), q10, q11, se llaman terminos dipolares;los cinco elementos: q2m,m = 0,±1,±2, se llaman terminos cuadrupolares; y asısucesivamente.

De la tabla 5-(4.7) y de la Rel. (11.4), obtenemos que:

q00 =1√4π

∫R3

ρ(r′)d3x′ ≡ Q√4π. (11.5)

Con la ayuda de la tabla 5-(4.7) y de las Rels. (11.3), (11.4), (11.5), es facil obtener(hacerlo) que:

Φ(r) =Q

r+p · rr3

+∞∑l=2

l∑m=−l

4π

2l + 1qlm

Y ml (θ, ϕ)

rl+1; ∀r ∈ R3, con r > R0, (11.6)

donde p es el llamado momento dipolar, y viene dado por:

p =

∫R3

ρ(r′)r′d3x′; (r′ < R0). (11.7)

Senalemos que la evaluacion de los terminos multipolares depende en general delorigen elegido; ver p. ej. [1], en particular su problema 4.4.

Si la densidad ρ es a valores reales y Q (vale decir: q00; ver (11.5)) es no nulo,

podremos definir un punto B en el espacio mediante el vector posicion: RB = p/Q,denominado baricentro del sistema (en particular: un centro de masa o un cen-tro de carga). Es bien sabido (sino, probarlo; es trivial) que el punto B no dependede la eleccion del origen del sistema de referencia. Bajo las suposiciones hechas, con


elegir el origen del sistema de coordenadas esfericas precisamente en el punto B, vemosque siempre sera posible eliminar (hacerlo nulo) el momento dipolar en el desarrollo(11.6) de la Φ fuera de cualquier esfera centrada en B, la cual contenga la de radioR0.

ii. Supongamos que existe una esfera (“imaginaria”) en R3, de radio R0 y centrada enel origen O de un sistema de coordenadas esfericas; dentro de la cual la densidad ρ esnula (ρ(r) = 0,∀r ∈ R3 con r < R0). En este caso, dentro de la esfera tendremos:

Φ(r) =∞∑l=0

l∑m=−l

4π

2l + 1q′lmr

lY ml (θ, ϕ); ∀r ∈ R3, con r < R0, (11.8)

donde:

q′lm =

∫R3

Y ml (θ′, ϕ′)

r′(l+1)ρ(r′)d3x′; (r′ > R0). (11.9)

En efecto, como r < R0 tendremos que r < r′, y por lo tanto: r< = r, r> = r′.La expresion (11.8) se denomina: desarrollo multipolar esferico de la Φ(r), y a

los coeficientes q′lm los denominaremos multipolos esfericos externos. Este desarrollose podra usar al tener toda la densidad concentrada en recintos Ω del tipo senaladoen las partes (b) y (c) de la Fig. 1. Aquı tambien, para un l dado, existen (2l + 1)multipolos y para una densidad real la evaluacion de los q′lm con m ≥ 0 es suficiente,

pues tambien se tendra: q′l(−m) = (−1)mq′lm.

Comentario 11.2. Dada una densidad ρ acotada e integrable en R3 es un hecho (ver

[133], p. ej.) que las integrales impropias: Ψα(r) =∫R3

ρ(r′)|r−r′|αd

3x′ con α ∈ (0, 3) existen

(en particular, la de (11.2) y la de (8.7)) y que ademas las funciones Ψα(r) son continuasen R3 (aun si ρ no lo es). Demos tambien como informacion el que se tiene (ver [133], p.

ej.): ∇Ψ1(r) =∫R3

ρ(r′)r′

|r−r′|3d3x′, siendo ∇Ψ1(r) una funcion continua en R3.

Ejercicio 11.3. Consideremos dos esferas concentricas (centradas en el origen O deun sistema de referencia) de radios R1 y R2 con R1 < R2 y un vector adimensional unitarioconstante u (que indica una direccion y un sentido en R3). Sea ρ(r) = 0 si r < R1 y r > R2;ρ(r) = [3Q/4π(R3

2 − R31)](1 + u · r/r) si R1 < r < R2, donde Q es una constante real no

nula. Notese que no van a interesar los valores de ρ en las esferas: r = R1 y r = R2 (puesesos dos conjuntos de puntos son de medida nula en R3), siempre y cuando se supongaque ρ es acotada allı. Queremos hallar Φ para r < R1 y para r > R2. Notemos que:∫R3 ρ(r

′)d3x′ = Q. NAl elegir el eje Z de un sistema de coordenadas esfericas (con origen en el centro de

las esferas) en la direccion y sentido del vector u, vemos que la solucion de este ejerciciopasa por la evaluacion de las siguientes integrales:

M(j)lm ≡

∫ 2π

0

dϕ′∫ π

0

(cos θ′)jY ml (θ′, ϕ′)sen θ′dθ′; j = 0, 1. (11.10)

Al tomar en cuenta la Rel. 5-(4.1) y efectuar el cambio de variable: x = cos θ′, se obtiene:

M(j)lm = 2π

√2l + 1

4πδm0

∫ 1

−1

xjPl(x)dx. (11.11)

12. ECUACION DE ONDA ESCALAR 253

Con la ayuda de 5.P.5 y de 5-(11.4), se obtiene que:

M(j)lm =

√4π

2l + 1δljδm0; j = 0, 1. (11.12)

Al usar la tabla 5-(4.7); las Rels. (11.3), (11.4), (11.12) y la propia forma de la ρ (ycon un poco de algebra), se obtiene fuera de la esfera de radio R2:

Φ(r) = Q

(1

r+ A

u · rr3

); r > R2, (11.13)

donde A es la constante positiva: A ≡ (R1 +R2)(R21 +R2

2)/4(R21 +R2

2 +R1R2).Vemos que solamente se tiene un termino monopolar y un momento dipolar p = QAu

en el desarrollo multipolar de la Φ para r > R2; ver (11.6). El lector se percatara que al

elegir el punto B (el baricentro del sistema, de vector posicion: RB = Au) como origendel sistema de coordenadas esfericas, si bien quedara eliminado el momento dipolar, eldesarrollo multipolar de la Φ (fuera de cualquier esfera centrada en B que contenga la deradio R2) consistira de una infinidad de terminos multipolares.

De igual manera, dentro de la esfera de radio R1 se obtiene:

Φ(r) = QC [3(R1 +R2)/2 + u · r] ; r < R1, (11.14)

donde C es la constante positiva: C ≡ 1/(R21 +R2

2 +R1R2).Notemos de paso, que al evaluar el gradiente de la expresion (11.14) se obtiene:

∇Φ(r) = QCu; r < R1, (11.15)

de donde vemos que dentro de la cavidad el campo (bien sea gravitatorio o electrostati-co) es uniforme (no nulo) y en la direccion de u; en el sentido de u si se trata de uncampo gravitatorio (pues en ese caso se debe tener: Q ∈ R+; notandose que entonces:ρ(r) ≥ 0,∀r ∈ R3 con r = R1 y r = R2) y en el de (−Q)u si se trata de un campoelectrostatico.

Comentario 11.4. Tambien se dispone de otros desarrollos multipolares para laΦ, que denominaremos rectangulares (o cartesianos), los cuales se apoyan en el desarrollode la funcion ψ(r′) = 1/|r− r′| en serie de Taylor en coordenadas rectangulares alrededorde un punto r′ = y (y = r). Ver, p. ej., [1] y [14]. Recordemos solamente que se tiene elsiguiente desarrollo de Taylor para funciones ϕ(r′) de buen comportamiento alrededor deun punto r′ = y:

ϕ(r′) = e(r′−y)·∇yϕ(y) = ϕ(y) + (r′ − y) · [∇yϕ(y)] +

∞∑k=2

1

k![(r′ − y) · ∇y]

kϕ(y). (11.16)

12. Ecuacion de Onda Escalar

Comentario 12.1. Consideremos la ecuacion de onda escalar, tambien llamadaecuacion de D’Alembert:

ψ ≡ (r,t)ψ(r, t) ≡ ∆ψ(r, t)− 1

c2∂2ψ(r, t)

∂t2= −4πf(r, t); r ∈ R3, t ∈ R, (12.1)

donde c ∈ R+ es una constante dada y f es una funcion continua a valores complejos dada,llamada fuente; tambien admitiremos que f sea una delta de Dirac. Supondremos que f


se anula fuera de alguna esfera en R3, para cada t (lo que constituye una condicion muybenigna desde el punto de vista fısico). La funcion ψ es a valores complejos.

El operador lineal: ≡ (r,t), se denomina D’Alembertiano. Diremos que la EDPLde tipo hiperbolico (12.1) es homogenea si f ≡ 0 e inhomogenea en caso contrario. Fre-cuentemente, el fısico sobrentiende que se trata de una ecuacion homogenea al referirse auna “ecuacion de ondas” (a secas).

Vamos a considerar el problema con condiciones iniciales, el problema de Cauchy;vale decir, el hallar una solucion de la EDPL (12.1) para t > 0; esto es, una ψ que lasatisfaga y sea continua junto con sus derivadas que aparecen en la EDPL, en R3 y ∀t > 0;sujeta a las condiciones iniciales (datos de Cauchy):

ψ(r, 0) = ϕ0(r);∂ψ(r, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

= ϕ1(r), (12.2)

donde ϕ0 y ϕ1 son funciones a valores complejos dadas. Supondremos que ϕ0 y ϕ1 soncontinuas ası como sus derivadas hasta de orden tres y dos, respectivamente.

Tambien exigiremos, formando parte del problema de Cauchy, el que la funcion ψ(r, t)sea regular en el infinito ∀t ≥ 0 (ver 1.3); por lo tanto:

lım|r|→∞r∈R3

ψ(r, t) = 0; ∀t ≥ 0. (12.3)

Observemos que hemos planteado el problema de Cauchy para la ecuacion de ondaen todo el espacio R3. La consideracion de este problema para recintos Ω de los tiposindicados en la Fig. 1 es fısicamente muy importante; en ese caso deberıamos especificarademas las condiciones de frontera (de Dirichlet o de Neumann, p. ej.) en la superficie Σ;pero no nos ocuparemos de ello.

En fısica tambien resultan importantes los problemas en una y dos dimensiones (es-paciales). El problema en dos dimensiones es radicalmente diferente a los problemas endimensiones impares; no sera considerado aquı. A continuacion trataremos el caso de unaecuacion de onda escalar homogenea en una dimension.

Ver la bibliografıa citada al principio de este capıtulo; en particular: [13], [38], [133].

Comentario 12.2. Consideremos el problema de Cauchy para la ecuacion de ondaescalar en una dimension homogenea:

∂2ψ(x, t)

∂x2− 1

c2∂2ψ(x, t)

∂t2= 0; x ∈ R, t > 0. (12.4)

Demostremos que la unica solucion de (12.4) con condiciones iniciales ϕ0 ∈ C2(R) yϕ1 ∈ C1(R) en t = 0; ver (12.2); viene dada por:

ψ(x, t) =1

2

ϕ0(x+ ct) + ϕ0(x− ct) +

1

c

∫ x+ct

x−ctϕ1(s)ds

; x ∈ R, t ≥ 0, (12.5)

llamada formula de D’Alembert.En efecto, al efectuar en la EDPL (12.4) el cambio de variables:

ξ = x+ ct, η = x− ct; u(ξ, η) ≡ ψ(x, t), (12.6)

obtenemos la EDPL:∂2u(ξ, η)

∂ξ∂η= 0. (12.7)


Cualquier solucion u de la EDPL (12.7) satisfara: ∂u(ξ,η)∂η

= g(η), donde g : R→ C es

una funcion arbitraria derivable. Al integrar esta ultima expresion con respecto a η (conξ fijo), se obtiene:

u(ξ, η) =

∫g(η)dη + f1(ξ) ≡ f1(ξ) + f2(η), (12.8)

donde fk : R→ C, k = 1, 2, son funciones arbitrarias derivables dos veces.Por lo tanto, la solucion general de la EDPL (12.4) sera:

ψ(x, t) = f1(x+ ct) + f2(x− ct); x ∈ R, t > 0. (12.9)

Los terminos f1(x + ct) y f2(x − ct) representan ondas planas; que viajan en lamisma direccion (perpendicular al plano x = 0) y en sentidos opuestos, con velocidades−c y +c.

Al imponer las condiciones iniciales ϕ0 y ϕ1 a la Ec. (12.9) obtenemos:

f1(x) + f2(x) = ϕ0(x), (12.10)

cf ′1(x)− cf ′

2(x) = ϕ1(x). (12.11)


f1(x)− f2(x) =1

c

∫ x

a

ϕ1(s)ds+ A, (12.12)

donde a ∈ R y A ∈ C son constantes arbitrarias.Con las Rels. (12.10) y (12.12), hallamos:

2f1(x) = ϕ0(x) +1

c

∫ x

a

ϕ1(s)ds+ A, (12.13)

2f2(x) = ϕ0(x)−1

c

∫ x

a

ϕ1(s)ds− A. (12.14)

Las Rels. (12.9), (12.13) y (12.14) nos llevan a la Rel. (12.5).El procedimiento que hemos seguido para obtener la Rel. (12.5) nos muestra que

cualquier solucion de este problema de Cauchy vendra dada por la Rel. (12.5); y por ende,en caso de existir, sera unica. Por otra parte, se comprueba directamente que la Rel. (12.5)satisface la EDPL (12.4) y a las condiciones iniciales; por lo tanto, la solucion existe.

En [13] se obtiene la Rel. (12.5) mediante la tecnica de las funciones de Green; quepor cierto, tambien nos permite abordar la solucion de la EDPL (12.4) inhomogenea.

Comentario 12.3. Consideremos la EDPL homogenea: (r,t)ψ(r, t) = 0 para t > 0.Supongamos que sus soluciones son de la forma: ψ(r, t) ≡ ψ(r, t), r ≡ |r|. Esta suposicionpuede venir dictada por la fısica del problema; como puede constituirlo la presencia desimetrıa esferica.

En ese caso, al usar coordenadas esfericas, obtenemos la EDPL:

1

r

∂2

∂r2(rψ(r, t))− 1

c2∂2ψ(r, t)

∂t2= 0; r > 0, t > 0. (12.15)

Al tomar: u(r, t) ≡ rψ(r, t), de la Rel. (12.15) obtenemos la EDPL:

∂2u(r, t)

∂r2− 1

c2∂2u(r, t)

∂t2= 0; r > 0, t > 0. (12.16)


Por lo tanto; ver 12.2; la solucion general de la EDPL considerada, sera:

ψ(r, t) =1

rf1(r + ct) +

1

rf2(r − ct); r > 0, t > 0, (12.17)

donde f1 y f2 son dos funciones arbitrarias, derivables dos veces, tal que ψ sea regular enel infinito.

Los terminos 1rf1(r + ct) y 1

rf2(r − ct) representan ondas esfericas, acercandose y

alejandose del punto r = 0 con velocidades −c y +c, respectivamente.

Comentario 12.4. Vamos a considerar a funciones de Green, G(r, t|r0, t0), co-rrespondientes al operador (r,t) especificado en (12.1), definidas por:

(r,t)G(r, t|r0, t0) = −4πδ(r − r0)δ(t− t0); r, r0 ∈ R3, t, t0 ∈ R. (12.18)

Vemos que G describe el efecto de una fuente dada por un impulso en t0 localizadoen r0. Impondremos las siguientes condiciones a la G:

G(r, t|r0, t0)|t<t0 = 0,∂G(r, t|r0, t0)

∂t

∣∣∣∣t<t0

= 0; r, r0 ∈ R3, t, t0 ∈ R. (12.19)

Si bien la segunda condicion en (12.19) se desprende de la primera, la hemos hemosincorporado explıcitamente para nuestra posterior comodidad (y por ser ello bastantecomun).

Estas condiciones sobre la G se interpretan como que el efecto de un impulso su-ministrado en t0 no debe hacerse sentir en un tiempo anterior (t < t0); es por ello quefrecuentemente estas condiciones se denominan principio de causalidad. Sin embargo,debemos tener presente que la imposicion de otras condiciones a la G son fısicamenteadmisibles; pero no nos involucraremos en esa problematica.

Tambien exigiremos que la G sea regular en el infinito (ver 1.3); por lo tanto:

lım|r|→∞r∈R3

G(r, t|r0, t0) = 0. (12.20)

La Rel. (12.19) nos indica que el principio de reciprocidad no puede ser entonces:G(r, t|r0, t0) = G(r0, t0|r, t); pues se tendrıa G = 0. Veamos que el principio de recipro-cidad para G satisfaciendo las Rels. (12.18)-(12.20), viene dado por:

G(r, t|r0, t0) = G(r0,−t0|r,−t). (12.21)

Tomemos t0 = 0 para interpretar la Rel. (12.21). El efecto (“la G”) en r para cualquierinstante t > 0 causado por un impulso en r0 iniciado en el instante anterior t0 = 0, es igualal efecto en r0 en el instante t0 = 0 causado por un impulso en r iniciado en el instanteanterior −t.

Verifiquemos la Rel. (12.21). Para ello; notando que: (r,t) = (r,−t); consideremos laRel. (12.18) y la Rel.:

(r,t)G(r,−t|r1,−t1) = −4πδ(r − r1)δ(t− t1). (12.22)

Multipliquemos la Rel. (12.18) por G(r,−t|r1,−t1) y la Rel. (12.22) por G(r, t|r0, t0) paraluego restarlas. Integremos sobre la variable r en R3 y sobre la t desde −∞ hasta t′, con


t′ > t0 y t′ > t1. Se obtiene:∫ t′

−∞dt

∫R3

d3xG(r, t|r0, t0)(r,t)G(r,−t|r1,−t1)−G(r,−t|r1,−t1)(r,t)G(r, t|r0, t0)

= 4π G(r0,−t0|r1,−t1)−G(r1, t1|r0, t0) .

(12.23)

Al usar la forma de (r,t) (ver Rel. (12.1)), el teorema de Green junto con la Rel.(12.20), ver Rel. (1.2) y 1.3, y la identidad (verificarla):

∂

∂t

[G(r, t|r0, t0)

∂

∂tG(r,−t|r1,−t1)−G(r,−t|r1,−t1)

∂

∂tG(r, t|r0, t0)

]= G(r, t|r0, t0)

∂2

∂t2G(r,−t|r1,−t1)−G(r,−t|r1,−t1)

∂2

∂t2G(r, t|r0, t0),

(12.24)

se obtiene entonces la Rel. (12.21) de la (12.23), ya que:

G(r, t|r0, t0)∂

∂tG(r,−t|r1,−t1)−G(r,−t|r1,−t1)

∂

∂tG(r, t|r0, t0)

∣∣∣∣t=t′t=−∞

= 0;

en virtud de la Rel. (12.19), pues: t = −∞ < t0 y −t = −t′ < −t1.

Comentario 12.5. Obtengamos ahora la solucion del problema de Cauchy planteadoen 12.1. Se tiene, ver (12.1), que:

(r0,t0)ψ(r0, t0) = −4πf(r0, t0). (12.25)

Del principio de reciprocidad (12.21), del hecho que (r0,t0) = (r0,−t0), de la Rel. (12.18),de la Rel. B-(4.1) y de B-2.1, obtenemos:

(r0,t0)G(r, t|r0, t0) = −4πδ(r − r0)δ(t− t0). (12.26)

Multipliquemos la Rel. (12.25) por G(r, t|r0, t0) y la Rel. (12.26) por ψ(r0, t0) paraluego restarlas. Integremos sobre la variable r0 en R3 y sobre la t0 desde t0 = 0 hasta ∞.Se obtiene:∫ ∞

0

dt0

∫R3

d3x0G(r, t|r0, t0)(r0,t0)ψ(r0, t0)− ψ(r0, t0)(r0,t0)G(r, t|r0, t0)

= 4π

ψ(r, t)−

∫ ∞

0

dt0

∫R3

d3x0G(r, t|r0, t0)f(r0, t0).

(12.27)

Notemos que:[G(r, t|r0, t0)

∂

∂tψ(r0, t0)− ψ(r0, t0)

∂

∂tG(r, t|r0, t0)

]∣∣∣∣t0=∞

t0=0

= − [·]t0=0 , (12.28)

pues la evaluacion de esa expresion en t0 = ∞ da cero en virtud de la Rel. (12.19), ya quet <∞.

Al usar la forma de (r0,t0) (ver Rel. (12.1)), el teorema de Green junto con las Rels.(12.3) y (12.20), ver Rel. (1.2) y 1.3, la identidad (12.24) (correspondiente a ψ y G) y la


Rel. (12.28), de la Rel. (12.27) se obtiene la siguiente solucion del problema de Cauchy:

ψ(r, t) =

∫ ∞

0

dt0

∫R3

d3x0G(r, t|r0, t0)f(r0, t0)

− 1

4πc2

∫R3

d3x0

[(∂G(r, t|r0, t0)

∂t0

)t0=0

ϕ0(r0)−G(r, t|r0, t0)|t0=0ϕ1(r0)

]; r ∈ R3, t ≥ 0.

(12.29)El primer termino del lado derecho de la igualdad en (12.29) se llama solucion

particular retardada o potencial retardado, representa a la fuente (f) y lo denota-remos: ψp(r, t). Notemos que la solucion particular ψp satisface a las condiciones iniciales:

ψp(r, 0) = 0 y(∂ψp(r,t)

∂t

)t=0

= 0. Ello es claro de la Rel. (12.19), pues t = 0 < t0 en el

intervalo efectivo de la integracion en t0.Nos faltarıa por comprobar entonces, que la ψ dada por (12.29) satisface efectivamente

a las condiciones iniciales (12.2). Esto es, que el segundo termino del lado derecho dela igualdad en (12.29), que representa a las condiciones iniciales, las satisfaga. Esto lolograremos de una manera simple al evaluar explıcitamente a la G; ver comentarios 12.6 y12.7. Este segundo termino satisface la EDPL homogenea correspondiente a la Rel. (12.1)y lo denotaremos: ψh(r, t).

Comentario 12.6. Veamos que la G que satisface las Rels. (12.18), (12.19) y (12.20)viene dada por:

G(r, t|r0, t0) =

1

|r−r0| δ[|r−r0|c

− (t− t0)]

; (t− t0) > 0,

0 ; (t− t0) < 0,r = r0 (12.30)

llamada funcion de Green retardada o funcion de Green causal.Vemos pues, directamente de la Rel. (12.30), que estrictamente hablando, la “funcion”

de Green del problema considerado no existe; solo existe en un sentido generalizado. Paraplantear este problema de una manera rigurosa matematicamente se debe recurrir a lateorıa de distribuciones, ver el principio del apendice B. Aquı usaremos los recursos norigurosos matematicamente asociados a la delta de Dirac.

Para agilizar la verificacion de la Rel. (12.30) introduzcamos las notaciones:

R ≡ r − r0; R ≡ |R|; T ≡ t− t0. (12.31)

Para esa verificacion recurriremos a la transformada de Fourier; lo que constituye unmetodo general para obtener soluciones de EDPL con coeficientes constantes.

En virtud de la Rel. B-(2.11), con β = 1, se tiene:

δ(r − r0) =1

(2π)3

∫R3

d3keik·R, (12.32)

δ(t− t0) =1

2π

∫RdωeiωT . (12.33)

Tendremos entonces:

G(r, t|r0, t0) =2

(2π)3

∫RdωeiωT

∫R3

d3keik·R

k2 − ω2/c2. (12.34)


-

6

a→∞

ℑk

ℜk−ω/c

ω/c

Figura 2. Trayectoria del lazo usado para evaluar (12.36)

En efecto, aplicando (r,t) a la Rel. (12.34), con el uso de las Rels. (12.32) y (12.33), secomprueba que se satisface a la Rel. (12.18).

Al tomar coordenadas esfericas (k, θ, ϕ) para la k con el eje Z en la direccion y sentido

de R, de la Rel. (12.34) obtenemos (al integrar en θ y ϕ):

G(r, t|r0, t0) =2

(2π)2

∫RdωeiωT

∫ ∞

0

k2dk(eikR − e−ikR)

ikR(k2 − ω2/c2)

=2

(2π)2iR

∫RdωeiωT

∫R

kdkeikR

(k − ω/c)(k + ω/c).

(12.35)

La integral en k ∈ R en (12.35) no existe (ni la expresada en (12.34)). Para darle unsentido vamos a pasarla al plano complejo k (k ∈ C), evitando los dos polos k = ±ω/c; yusando el teorema de los residuos. Para ello usaremos un lazo cuya trayectoria se describeen la fig. 2. El semicirculo de radio a debe estar contenido en el semiplano ℑk > 0 paraque bajo el limite a → ∞ la integral sobre el exista y tienda a cero (tener presente queR > 0). Se obtiene entonces:∫

R

kdkeikR

(k − ω/c)(k + ω/c)= (πi)e−i(ω/c)R. (12.36)

Al sustituir (12.36) en (12.35), usar la Rel. B-(2.11) con β = 1 y N = 1, y la Rel. B-(4.1),obtenemos la Rel. (12.30); pues R/c > 0.

Debemos notar que, bajo la prescripcion seguida, existen otras tres maneras de evitarlos polos k = ±ω/c al efectuar la integracion en k ∈ C; las cuales se encuentran senaladasen la fig. 3 (completando tambien el lazo con un semicirculo ubicado en ℑk > 0). Pero esoslazos deben ser excluidos; pues con el especificado en (a) de la fig. 3 tendriamos G = 0 ycon las especificaciones dadas en (b) y (c) se obtendrıa una G que contendrıa un terminoproporcional a δ(R/c+T ), lo que violarıa el principio de causalidad (12.19) pues R/c > 0.


-−ω/c ω/c −ω/c

ω/c −ω/c ω/c

(a) (b) (c)

ℜk

Figura 3. Otras maneras de evitar los polos k = ±ω/c

Comentario 12.7. La expresion (12.29) se simplifica si sustituimos en ella la forma(12.30) de la G; que puede ser reescrita: G = δ[t0 − (t − R/c)]/R = cδ[R − c(t − t0)]/Rpara t > t0, al usar la Rel. B-(4.2).

Al efectuar la integracion en t0 obtenemos la siguiente expresion para la solucionparticular retardada:

ψp(r, t) =

∫|r0−r|c

≤t

d3x0|r − r0|

f(r0, t− |r − r0|/c); r ∈ R3, t ≥ 0. (12.37)

Veamos que para ψh (ver final de 12.5), de (12.29) y (12.30) se obtiene:

ψh(r, t) =1

4π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sen θdθ

tϕ1(r + ctn) +

∂

∂t[tϕ0(r + ctn)]

;

donde el vector unitario adimensional n representa cualquier punto de

la esfera unitaria centrada en r; expresado en coordenadas esfericas

con origen en r: n ≡ n(θ, φ) = (1, θ, φ); r ∈ R3, t ≥ 0,

(12.38)

llamada formula de Poisson.En efecto, sea (R, θ, φ) el vector (r0 − r) expresado en coordenadas esfericas con

origen en r; o sea: r0 − r = Rn, donde n ≡ n(θ, φ) es un vector unitario. Tendre-mos: d3x0 = R2dRsen θdθdφ ≡ R2dRdΩ. Se tiene: R2G(r, t|r0, t0)|t0=0 = cRδ(R − ct)

y R2(∂G(r,t|r0,t0)

∂t0

)t0=0

= cR[∂∂t0δ[R− c(t− t0)]

]t0=0

= c2R ∂∂Rδ(R− ct). Por lo tanto:

ψh(r, t) =1

4πc

∫dΩ

∫ ∞

0

dR

[R δ(R− ct)ϕ1(r +Rn)− cRϕ0(r +Rn)

∂

∂Rδ(R− ct)

].

(12.39)Al efectuar una integracion parcial en el segundo integrando de la Rel. (12.39), obtenemos:

ψh(r, t) =1

4πc

∫dΩ

∫ ∞

0

δ(R− ct)

[Rϕ1(r +Rn) + c

∂

∂R[Rϕ0(r +Rn)]

]dR. (12.40)

La Rel. (12.40) implica directamente la (12.38).


Veamos finalmente que ψh dada por (12.38) satisface las condiciones iniciales. Paraello, sea:

A(r, t) ≡ t

4π

∫Φ(r + ctn)dΩ, B(r, t) ≡ ∂

∂tA(r, t), C(r, t) ≡ ∂

∂tB(r, t); (12.41)

donde Φ es una funcion a valores complejos con suficientes derivadas continuas. Tendremos:B = 1

4π

∫[Φ + ct ∇Φ · n]dΩ y por lo tanto B(r, 0) = Φ(r), pues 1

4π

∫Φ(r)dΩ = Φ(r).

Tenemos: C = 14π

∫[2c∇Φ · n + c2t ∇(∇Φ · n) · n]dΩ y por lo tanto C(r, 0) = 0, pues∫

∇Φ(r) · ndΩ = ∇Φ(r) ·∫ndΩ = 0. Con estos resultados hemos obtenido entonces:

A(r, 0) = 0; B(r, 0) = Φ(r); C(r, 0) = 0. (12.42)

De esta ultima relacion, de la Rel. (12.41) y de la (12.38) vemos que se tiene: ψh(r, 0) =

ϕ0(r) y∂ψh(r,t)

∂t

∣∣∣t=0

= ϕ1(r).

En virtud de las condiciones impuestas a la f y de las Rels. (12.37) y (12.38) resultaclaro que la sola imposicion de regularidad en el infinito a los datos iniciales ϕ0 y ϕ1 essuficiente para garantizar que la solucion ψ = ψh+ψp tambien satisfaga esa condicion (enparticular, que vale la Rel. (12.3)).

Comentario 12.8. La solucion del problema de Cauchy correspondiente a la EDPL(12.1) es unica.

En efecto, si ψ1 y ψ2 satisfacen la EDPL (12.1) con datos de Cauchy arbitrarios ϕ0

y ϕ1; se tendra que ψ ≡ ψ1 − ψ2 satisface la EDPL homogenea ψ = 0 con los datos deCauchy ϕ0 ≡ 0 y ϕ1 ≡ 0. Pero la formula de Poisson (suponiendo que toda solucion de laEDPL homogenea se puede representar mediante esta formula; lo cual es rigurosanmentecierto) nos indica que entonces ψ ≡ 0.

Ejercicio 12.9. Consideremos una partıcula de masa no nula constante y carga

constante q, cuyo movimiento en R3 es conocido para t ≥ 0; dado por: x(t) y dx(t)dt

≡ v(t),con |v(t)| < c. Sea u un vector unitario adimensional constante, que indica una direcciony un sentido en el espacio. Consideremos una fuente f dada por:

f(r, t) = q[u · v(t)/c]k δ[r − x(t)]; q ∈ R, k = 0, 1, r ∈ R3, t ≥ 0. (12.43)

La solucion particular ψp se puede integrar completamente en este caso. Para ello espreferible partir directamente de las Rels. (12.29) y (12.30). Tendremos:

ψp(r, t) = q

∫ t

0

dt0

∫R3

d3x0[u · v(t0)/c]k δ[r0 − x(t0)]

|r − r0|δ

[|r − r0|

c− (t− t0)

]= q

∫ t

0

dt0[u · v(t0)/c]k

|r − x(t0)|δ

[|r − x(t0)|

c− (t− t0)

]; r = x(t0).

(12.44)

Para lidiar con la integracion en (12.44), introduzcamos el siguiente concepto:

Para r ∈ R3 y t > 0 dados, sea t0 = tr > 0 la posible solucion (unica) de:

t0 +|r − x(t0)|

c= t, t0 < t

(lo que implica: r − x(t0) = 0

).

Si no existe solucion, tomaremos tr como cualquier numero real negativo (tr < 0),

(12.45)


donde tr es llamado tiempo retardado. Para una discusion sobre la unicidad de lasolucion tr para tr ≥ 0 (en caso de existir), ver § 63, pagina 161, de [2].

Entonces, al usar la Rel. B-(1.25) con: g(t0) = |r − x(t0)|/c − (t − t0), y por ende:g′(t0) = 1− [r − x(t0)] · v(t0)/c|r − x(t0)|, se obtiene:

δ

[|r − x(t0)|

c− (t− t0)

]=

δ(t0 − tr)

1− [r−x(tr)]·v(tr)c|r−x(tr)|

, para tr ≥ 0, (12.46)

ya que el valor absoluto especificado en B-(1.25) puede ser omitido, pues |v(t)| < c. Sitr < 0 (esto es, si no hay solucion) la Rel. (12.44) nos indica que: ψp(r, t) = 0, tr < 0; yal sustituir la expresion (12.46) en (12.44) se obtiene entonces:

ψp(r, t) =

q[u · v(tr)/c]k/ |r − x(tr)| − [r − x(tr)] · v(tr)/c ; si tr ≥ 0,

0 ; si tr < 0,

k = 0, 1, r ∈ R3, t ≥ 0(r − x(tr) = 0 si tr ≥ 0

),

(12.47)

donde tr se encuentra precisado en (12.45).

Notemos que la Rel. (12.47) satisface las condiciones iniciales: ψp(r, 0) = 0 y ∂ψp(r,t)

∂t

∣∣∣t=0

= 0, y, que la ψp tambien satisface la Rel. (12.3).En electromagnetismo, la solucion (12.47) nos proporciona el potencial escalar si k = 0

y para k = 1 al tomar un sistema de coordenadas rectangulares, con: u = i, u = j y u = kse obtienen las tres componentes del potencial vector. La solucion (12.47) corresponde alpotencial (escalar o vector) debido a una carga puntual q que se “materializo de repente”en el instante t = 0 en x(0); no nos concierne el “universo” antes de t = 0. Si nos molestala posible violacion de la conservacion de la carga, podemos pensar que se trata de unapartıcula de carga nula que se ha desintegrado en t = 0 y x(0) en dos partıculas de cargasq y −q, siendo ψp el potencial electromagnetico de la carga q.

En electromagnetismo, cuando los datos “iniciales” son “extendidos” hasta menos in-finito, la solucion particular retardada (12.47) se llama potencial de Lienard-Wiechert.En ese caso siempre existe una (unica) solucion tr ∈ R; y para k = 0, ψp no se anula ent ∈ R (si q = 0). Senalemos que en el caso especial en que la partıcula se mueva convelocidad constante, el potencial de Lienard-Wiechert se puede reescribir explıcitamenteen terminos del instante “actual” t; ver § 63, pagina 162, de [2], p. ej.

13. Problemas

8.P.1 Demostrar (8.14). N8.P.2 Verificar (9.5). N8.P.3 Usando las Rels. (6.6) y (10.8), resolver el ejercicio 4.2. Resolverlo tambien usando

las Rels. (6.6) y (10.20). N8.P.4 Sea Ω el recinto comprendido entre dos esferas concentricas de radios a y b, a < b.

Hallar G dada por (10.1) en Ω con condiciones de frontera de Dirichlet homogeneasen cada esfera, por el metodo directo separando variables en coordenadas esfericassingularizando la variable r. N

Ayuda. La solucion es inmediata si tomamos en cuenta lo establecido en 10.4y la Rel. 6-(6.20).

13. PROBLEMAS 263

Comentario. Podemos obtener la funcion de Green dentro de una esfera deradio b (problema interior) al efectuar el limite: a → 0 en la G hallada. Podemosobtener la funcion de Green fuera de una esfera de radio a (problema exterior) alefectuar el limite: b→ ∞ en la G hallada. Naturalmente, tambien podemos hallarla G siguiendo todo el procedimiento en cada caso.

8.P.5 Sea Ω una bola abierta de radio a. Hallar G dada por (10.1) en Ω con condicionesde frontera de Dirichlet homogeneas.i. Por el metodo de las imagenes.ii. Por el metodo de las autofunciones. N

Ayuda. Para la parte ii., usar 7-(13.5).8.P.6 Hallar ϕ(x) que satisface la ecuacion de Laplace en Ω, siendo Ω una bola abierta de

radio a, en coordenadas esfericas. Como condiciones de frontera impongamos paraϕ(x) ≡ ϕ(r, θ, ϕ) que: ϕ(a, θ, ϕ) = V si θ ∈ [0, π

2) y ϕ(a, θ, ϕ) = −V si θ ∈ (π

2, π],

donde V es una constante real. (a) Usar la G hallada en 8.P.5 i. y la Rel. (6.6). Lasintegrales en θ y ϕ no pueden ser efectuadas en forma cerrada (dejarlas indicadas,despues de llevarlas hasta su expresion mas avanzada posible). (b) Usar laG halladaen 8.P.5 ii. y la Rel. (6.6). (c) Usar la G hallada en 8.P.4 (ver comentario) y la Rel.(6.6). N

8.P.7 Sea Ω = R3. Hallar G dada por (10.1) en Ω separando variables en coordenadascilındricas por el metodo directo.i. Singularizando la variable ρ; con lo que se obtiene:

G(x, x′) =1

|x− x′|=

2

π

∞∑m=−∞

∫ ∞

0

dαeim(ϕ−ϕ′) cos[α(z − z′)]Im(αρ<)Km(αρ>); x = x′.

(13.1)ii. Singularizando la variable z; con lo que se obtiene:

G(x, x′) =1

|x− x′|=

∞∑m=−∞

∫ ∞

0

dkeim(ϕ−ϕ′)Jm(kρ)Jm(kρ′)e−k|z−z

′|; x = x′. (13.2)

NAyudas. Se usa la separacion establecida en A-3.2 y la Rel. B-(3.3). Para la

parte i. se usa la Rel. B-(2.18), tomando β = 1 y haciendo p→ α; la Rel. 4-(5.7) yla Rel. 7-(15.7). Para la parte ii. se adopta la notacion: α ≡ ik, k > 0 (inducida porlas condiciones de frontera para la variable z: ϕ(z) −−−−→

z→±∞0); se usa la relacion de

clausura generalizada correspondiente a las autofunciones 7-(13.16); la Rel. 4-(5.7)y la Rel. 6-(8.11).

8.P.8 Sea Ω el interior de un cilindro truncado de radio a y altura L. Hallar G dada por(10.1) en Ω con condiciones de frontera de Dirichlet homogeneas en la superficie,separando variables en coordenadas cilındricas.i. Por el metodo directo singularizando la variable ρ.ii. Por el metodo directo singularizando la variable z.iii. Por el metodo de las autofunciones. N


Ayudas. Se aprovecha parte del trabajo realizado en 8.P.7. Para la parte i. seusa la Rel. 7-(15.5). Para la parte ii. se usa la Rel. 6-(6.9) (efectuando los cambios:c→ L y λ→ x2mn/a

2). Para la parte iii. se usa la Rel. 7-(13.17).8.P.9 Sea Ω el exterior de una bola cerrada de radio a. Hallar G dada por (10.1) en Ω

con condiciones de frontera de Neumann homogeneas en la esfera y la Rel. (6.2) enel infinito; separando variables en coordenadas esfericas, singularizando la variabler.

NComentario. La evaluacion de la funcion de Green para el problema interior con

condiciones de frontera de Neumann tiene sus dificultades, y no nos ocuparemosde esta. Dichas dificultades se encuentran asociadas al hecho que el cero es enton-ces un autovalor del Laplaciano; dicho de otra manera, que el Laplaciano no esinvertible. Esta evaluacion puede ser abordada mediante la tecnica de la llamadafuncion de Green modificada o pseudo funcion de Green; ver [116], [117].

8.P.10 Para Ω = R3, verificar que la (unica) funcion de Green correspondiente a la ecua-cion Helmholtz con k = 0, ℜk ≥ 0 e ℑk ≥ 0, sujeta a cualquiera de las dos

condiciones de frontera: Gk(r, r′) ∼r→∞

eik|r−r′|

|r−r′| ; o bien, la Rel. (6.2) si ℑk > 0; viene

dada por:

Gk(r, r′) =

eik|r−r′|

|r − r′|= ik

∞∑l=0

(2l + 1)jl(kr<)h(1)l (kr>)Pl(cos γ);

k = 0, ℜk ≥ 0, ℑk ≥ 0, r< > 0, γ ∈ [0, π], r = r′,

(13.3)

siendo γ el angulo entre r y r′. NAyuda. Usar lo establecido en 10.4, la Rel. 7-(16.2) con α0 = 1 y la Rel. 5-(4.18).Comentario. Resulta ser, que la Rel. (13.3) es valida ∀k ∈ C con k = 0.

8.P.11 Verificar las afirmaciones no probadas de la seccion 11. N8.P.12 Verificar las afirmaciones no probadas de la seccion 12. N

Apendice A

Sistemas de Coordenadas y Separacion de Variables

Es sabido que la ecuacion de Helmholtz: ∆ψ(r) ≡ ∇2ψ(r) = −k2ψ(r), k ∈ C, sesepara en once sistemas de coordenadas ortogonales (ver [13], p. ej.). Aquı nos ocuparemossolamente de cuatro sistemas de coordenadas ortogonales (tres de los cuales ya deben serperfectamente conocidos por el lector), separando ecuaciones de tipo mas general que lade Helmholtz.

Para tratamientos extensivos de estos topicos se puede consultar con provecho a [13],[25] y [138].

En este apendice, el Laplaciano (o el gradiente) se referira al Laplaciano formal. Esdecir, el operador cuyo dominio son todas las funciones suficientemente derivables para queeste tenga sentido (nada que ver en principio con el Laplaciano como operador autoadjuntoen algun espacio de Hilbert, p. ej.).

1. Coordenadas Rectangulares (Cartesianas): (x, y, z)

Comentario 1.1. Nos remitimos a la Fig. 1. Se ha indicado en la figura el vectorposicion r (r ≡ |r| = (r · r)1/2) y los tres vectores ortonormales ex, ey y ez.

Sabemos que:

−∞ < x <∞; −∞ < y <∞; −∞ < z <∞. (1.1)

El elemento de volumen d3x viene dado por:

d3x = dxdydz. (1.2)

El Laplaciano formal, que indicaremos con el sımbolo ∆ (aunque la notacion ∇2 estambien muy utilizada) vendra dado por:

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2. (1.3)

Comentario 1.2. La ecuacion:

∆ψ(r) + f(x)ψ(r) + g(y)ψ(r) + h(z)ψ(r) = 0, (1.4)

donde f , g y h son funciones de R en C, se puede separar en tres ecuaciones. Esto es, sisuponemos que:

ψ(r) ≡ ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z), (1.5)

265

266 A. SISTEMAS DE COORDENADAS Y SEPARACION DE VARIABLES

-

6

3

6

-

Z

ez ≡ k Yey ≡ j

X

ex ≡ i

O

r

-y

6

?

z

x

Figura 1. Coordenadas Rectangulares

obtenemos que:

d2X(x)

dx2+ f(x)X(x) = −α2X(x); α ∈ C, (1.6)

d2Y (y)

dy2+ g(y)Y (y) = −β2Y (y); β ∈ C, (1.7)

d2Z(z)

dz2+ h(z)Z(z) = (α2 + β2)Z(z). (1.8)

Aunque suponemos que el lector ya sabe separar ecuaciones como la (1.4) vamos, eneste caso, a obtener con todo cuidado a las Ecs. (1.6), (1.7) y (1.8). Al sustituir (1.5) en(1.4) obtenemos:

Y ZX ′′ + fXY Z +XZY ′′ + gXY Z +XY Z ′′ + hXY Z = 0. (1.9)

Dividiendo (1.9) por XY Z y pasando terminos a la derecha, obtenemos:(Y ′′

Y+ g

)+

(Z ′′

Z+ h

)= −

(X ′′

X+ f

). (1.10)

Ahora bien, el miembro izquierdo de (1.10) es una funcion de las variables indepen-dientes y, z, mientras que el miembro derecho es funcion de la variable independientex. Esto sera posible solamente si cada miembro de la igualdad es igual a una constante

2. COORDENADAS ESFERICAS: (r, θ, ϕ) 267

compleja arbitraria que llamaremos α2 (esta denominacion es completamente arbitraria;se podrıa llamar: (−α2), o α, o (−α) o de cualquier otra manera); llamada constantede separacion. Al multiplicar por X la parte dependiente de x, obtenemos (1.6), y nosqueda: (

Y ′′

Y+ g

)+

(Z ′′

Z+ h

)= α2. (1.11)

Podemos reescribir a (1.11) ası:(Z ′′

Z+ h

)− α2 = −

(Y ′′

Y+ g

). (1.12)

Pero el miembro izquierdo de (1.12) es una funcion de z y el derecho una funcion de y. Estosera solo posible si la expresion (1.12) se iguala a una constante compleja arbitraria quellamamos β2 (denominacion tambien completamente arbitraria). La obtencion de (1.7) y(1.8) es ahora inmediata.

El separar la Ec. (1.4) con este tipo de coordenadas resulta util en problemas consimetrıa rectangular.

2. Coordenadas Esfericas: (r, θ, ϕ)

Comentario 2.1. Se definen las coordenadas esfericas r, θ, ϕ como:

x = rsen θ cosϕ,

y = rsen θsenϕ,

z = r cos θ,

(2.1)

donde:0 ≤ r <∞; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ < 2π. (2.2)

El elemento de volumen viene dado por:

d3x = r2sen θdrdθdϕ. (2.3)

El Laplaciano formal vendra dado por:

∆ =1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂

∂θ

)+

1

r2sen2 θ

∂2

∂ϕ2. (2.4)

Comentario 2.2. Si ψ es una funcion, con ψ : [0,∞)× [0, π]× [0, 2π) → C, entoncestomando:

ψ(r) ≡ ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Q(ϕ), (2.5)

donde R : [0,∞) → C; Θ(θ) : [0, π] → C; Q : [0, 2π) → C, podremos separar a la Ec.:

∆ψ(r) + f(r)ψ(r) +1

r2h(θ)ψ(r) +

1

r2sen2 θg(ϕ)ψ(r) = 0; (2.6)

donde f : [0,∞) → C; h : [0, π] → C; y g : [0, 2π) → C; en las tres ecuaciones:

d2Q(ϕ)

dϕ2+ g(ϕ)Q(ϕ) = −m2Q(ϕ); m ∈ C, (2.7)

1

sen θ

d

dθ

(sen θ

dΘ(θ)

dθ

)+

[l(l + 1) + h(θ)− m2

sen2 θ

]Θ(θ) = 0; l ∈ C, (2.8)


-

6

3

ϕ

Z

R

θ

Y

3

U

er

eϕ

eθ

X

O

r

Figura 2. Coordenadas Esfericas

d

dr

(r2dR(r)

dr

)+ [r2f(r)− l(l + 1)]R(r) = 0. (2.9)

La denominacion m2 y l(l + 1) para las constantes de separacion es un hecho deconveniencia. La Ec. (2.9) se denomina ecuacion radial.

El separar la Ec. (2.6) con este tipo de coordenadas resulta util en problemas consimetrıa esferica.

Comentario 2.3. Es facil probar que si hacemos el cambio:

R(r) =u(r)

r, (2.10)

en la Ec. (2.9), obtenemos:

d2u(r)

dr2+

[f(r)− l(l + 1)

r2

]u(r) = 0. (2.11)

Tambien es facil comprobar que efectuando el cambio:

R(r) =v(r)√r, (2.12)

3. COORDENADAS CILINDRICAS: (ρ, ϕ, z) 269

en la Ec. (2.9), obtenemos:

d2v(r)

dr2+

1

r

dv(r)

dr+

[f(r)− (l + 1/2)2

r2

]v(r) = 0. (2.13)

Como estamos trabajando con el Laplaciano formal, la constante l que aparece en lasEcs. (2.9), (2.11) o (2.13) sera cualquier numero complejo.

Comentario 2.4. En mecanica cuantica no relativista, en R3, el problema de hallarlos autovalores E de la energıa de una partıcula de masa µ (µ > 0) para un potencialU(r), viene dado por las soluciones de la ecuacion de Schrodinger de los autovalores,tambien denominada independiente del tiempo o bien: para estados estacionarios:

− ~2

2µ∆ψ(r) + Ur)ψ(r) = Eψ(r); (2.14)

o lo que es lo mismo, por la Ec.:

∆ψ(r) +2µ

~2[E − U(r)]ψ(r) = 0. (2.15)

En coordenadas esfericas, la Ec. (2.15) para un potencial central U(r) no es mas quela Ec. (2.6) con:

h(θ) = 0; g(ϕ) = 0; f(r) =2µ

~2[E − U(r)]. (2.16)

En ese caso, las ecuaciones angulares tienen soluciones bien conocidas y no queda masque resolver la ecuacion radial en cualquiera de sus formas (2.9), (2.11) o (2.13). Estasecuaciones tambien describen el problema de hallar los autovalores E de la energıa internade un par de partıculas de masa reducida µ interaccionando entre sı con un potencialcentral.

Comentario 2.5. Es facil comprobar que si hacemos el cambio:

x = cos θ; −1 ≤ x ≤ 1; Θ(θ) = χ(x), (2.17)

en la Ec. (2.8) con h(θ) = 0, obtenemos la Ec.:

(1− x2)d2χ(x)

dx2− 2x

dχ(x)

dx+

[l(l + 1)− m2

1− x2

]χ(x) = 0. (2.18)

3. Coordenadas Cilındricas: (ρ, ϕ, z)

Comentario 3.1. Se definen las coordenadas cilındricas ρ, ϕ, z como:

x = ρ cosϕ,

y = ρsenϕ,

z = z,

(3.1)

donde:0 ≤ ρ <∞; 0 ≤ ϕ < 2π; −∞ < z <∞. (3.2)


d3x = ρdρdϕdz. (3.3)


-

6

3

R

I

ρ

ϕ

Z

Y

6

?

z 3

R

6

eϕ

ez ≡ k

eρ

X

O

r

Figura 3. Coordenadas Cilındricas


∆ =∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+

1

ρ2∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2. (3.4)

Comentario 3.2. Si ψ es una funcion, con ψ : [0,∞) × [0, 2π) × R → C, entoncestomando:

ψ(r) ≡ ψ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Q(ϕ)Z(z), (3.5)

donde R : [0,∞) → C; Q : [0, 2π) → C; Z : (−∞,∞) → C, podremos separar a la Ec.:

∆ψ(r) + f(ρ)ψ(r) +g(ϕ)

ρ2ψ(r) + h(z)ψ(r) = 0; (3.6)

donde f : [0,∞) → C; g : [0, 2π) → C; h : R→ C; en las tres ecuaciones:

d2Z(z)

dz2+ h(z)Z(z) = −α2Z(z); α ∈ C, (3.7)

d2Q(ϕ)

dϕ2+ g(ϕ)Q(ϕ) = −ν2Q(ϕ); ν ∈ C, (3.8)

d2R(ρ)

dρ2+

1

ρ

dR(ρ)

dρ+

[f(ρ)− α2 − ν2

ρ2

]R(ρ) = 0. (3.9)

La denominacion α2 y ν2 para las constantes de separacion es arbitraria.

4. COORDENADAS PARABOLICAS: (ξ, η, ϕ) 271

El separar la Ec. (3.6) con este tipo de coordenadas resulta util en problemas consimetrıa cilındrica.

Comentario 3.3. Si α = 0, al efectuarse el cambio: x ≡ αρ, R(ρ) ≡ ψ(x), en la Ec.(3.9), se obtiene:

d2ψ(x)

dx2+

1

x

dψ(x)

dx+

[1

α2f(xα

)− 1− ν2

x2

]ψ(x) = 0. (3.10)

Ver seccion 7-4.

4. Coordenadas Parabolicas: (ξ, η, ϕ)

Comentario 4.1. Se definen las coordenadas parabolicas ξ, η, ϕ como:

x =√ξη cosϕ,

y =√ξηsenϕ,

z =1

2(ξ − η),

(4.1)

donde:

0 ≤ ξ <∞; 0 ≤ η <∞; 0 ≤ ϕ < 2π. (4.2)

De (4.1) se obtiene que:

r =√x2 + y2 + z2 =

1

2(ξ + η). (4.3)

De (4.1) se obtiene que:

x2 + y2 = ξ(ξ − 2z); x2 + y2 = η(η + 2z). (4.4)

Las ecuaciones en (4.4) nos orientan acerca de la geometrıa de estas coordenadas. Estoes, las superficies coordenadas ξ = const. y η = const., son paraboloides de revolucion coneje OZ y foco en el origen. En la figura 4 se indican las proyecciones de estos paraboloidessobre el plano ZY (tomese x = 0 en (4.4)). Rotando alrededor del eje Z reobtenemos losparaboloides.

Los vectores unitarios eξ y eη son perpendiculares a las superficies coordenadas ξ =const. y η = const., respectivamente.

La coordenada ϕ es la misma que en las coordenadas esfericas. En la Fig. 4 el vec-tor unitario eϕ es normal al plano de la figura alejandose de nosotros (si el sistema esdextrogiro).

Al consultar la literatura hay que ser cuidadosos ya que allı se encuentran definicionesdiferentes de estas coordenadas.


d3x =1

4(ξ + η)dξdηdϕ. (4.5)


∆ =4

ξ + η

[∂

∂ξ

(ξ∂

∂ξ

)+

∂

∂η

(η∂

∂η

)]+

1

ξη

∂2

∂ϕ2. (4.6)


-

6

Y

Z

s

eξ

eη

η = const.

ξ = const.

Figura 4. Coordenadas Parabolicas

Comentario 4.2. Si ψ es una funcion, con ψ : [0,∞)×[0,∞)×[0, 2π) → C, entoncestomando:

ψ(r) ≡ ψ(ξ, η, ϕ) = F (ξ)G(η)Q(ϕ), (4.7)

donde F : [0,∞) → C; G : [0,∞) → C; Q : [0, 2π) → C, podremos separar a la Ec.:

∆ψ(r) +f(ξ)ψ(r)

ξ + η+g(η)ψ(r)

ξ + η+h(ϕ)ψ(r)

ξη= 0; (4.8)

donde f : [0,∞) → C; g : [0,∞) → C; h : [0, 2π) → C; en las tres ecuaciones:

d2Q(ϕ)

dϕ2+ h(ϕ)Q(ϕ) = −m2Q(ϕ); m ∈ C, (4.9)

d

dξ

(ξdF (ξ)

dξ

)+

[f(ξ)

4− m2

4ξ− β

]F (ξ) = 0; β ∈ C, (4.10)

d

dη

(ηdG(η)

dη

)+

[g(η)

4− m2

4η+ β

]G(η) = 0. (4.11)

Notemos que las Ecs. (4.10) y (4.11) son simetricas. Por eso, si es el caso que se hatomado f(ξ) = γ ∈ C y g(η) = 0 (o viceversa) es conveniente redefinir f(ξ) = γ

2y g(η) = γ

2para preservar la simetrıa de las Ecs.

La denominacion m2 y β para las constantes de separacion es arbitraria.

Comentario 4.3. En mecanica cuantica el problema de hallar los autovalores de la

energıa de un atomo hidrogenoide en presencia de un campo electrico externo uniforme E,en la direccion de un eje Z es separable en estas coordenadas. En efecto, el potencial es:

U(r) = −αr+ γEz = − 2α

ξ + η+γE

2(ξ − η), (4.12)

5. PROBLEMAS 273

donde α, γ y E son constantes reales (E = |E| ≥ 0).La Ec. de autovalores para la energıa viene dada por:

− ~2

2µ∆ψ(r) + U(r)ψ(r) = Eψ(r). (4.13)

Al sustituir (4.12) en (4.13), y reordenar, obtenemos:

∆ψ(r) +4µα

~2ψ(r)

ξ + η− µγE

~2(ξ − η)ψ(r) +

2µE

~2ψ(r) = 0. (4.14)

Vemos que (4.14) es del tipo (4.8) si tomamos:

h(ϕ) = 0 ; f(ξ) =2µα

~2+

2µE

~2ξ − µγE

~2ξ2;

g(η) =2µα

~2+

2µE

~2η +

µγE

~2η2.

(4.15)

Por lo tanto el problema es separable en las Ecs. (4.9), (4.10) y (4.11). Obviamenteel problema de un atomo hidrogenoide tambien es separable ya que se trata del casoparticular E = 0.

5. Problemas

A.P.1 Separar la Ec. (2.6), comprobando que se obtienen las Ecs. (2.7), (2.8) y (2.9). NA.P.2 Siguiendo las indicaciones dadas en 2.3, obtener las Ecs. (2.11) y (2.13). NA.P.3 Siguiendo la indicacion dada en 2.5, obtener la Ec. (2.18). NA.P.4 Obtener las Ecs. (3.7), (3.8) y (3.9) al separar la Ec. (3.6). NA.P.5 Demostrar lo afirmado en 3.3. NA.P.6 Calculando el Jacobiano de la transformacion (4.1) comprobar (4.5). NA.P.7 Mediante (4.1), transformar el Laplaciano formal expresado en coordenadas carte-

sianas a la forma (4.6). NA.P.8 Obtener las Ecs. (4.9), (4.10) y (4.11) al separar la Ec. (4.8). NA.P.9 Partiendo de (4.12) y (4.13) comprobar las afirmaciones contenidas en (4.14) y

(4.15). N

Apendice B

La Delta de Dirac

Vamos a definir y establecer las principales propiedades de la delta de Dirac. Estesımbolo formal ha resultado sumamente util en fısica ya que introduce una gran simplifi-cacion en las formulas.

Aquı, el gran ausente sera el rigor matematico. La formulacion matematica correctade la delta, llamada actualmente teorıa de distribuciones, fue inicialmente formulada porSobolev y luego desarrollada en toda su plenitud por Schwartz (por ello se suele llamar aesta teorıa, la teorıa de las distribuciones de Schwartz). Para una formulacion matematicarigurosa se puede consultar, por ejemplo: [90], [139]-[143]. Para un estudio (“mınimo”)de este tema, recomendamos las secciones 8 y 13 del capıtulo I ası como las 1 y 2 delcapıtulo VI de [139].

1. La Delta de Dirac en Una Dimension

Comentario 1.1. Sea y ∈ R fijo, ϵ > 0 arbitrario, y sea la funcion de variable real

δ(ϵ)y (x) ≡ δ(ϵ)(x− y) definida por:

δ(ϵ)(x− y) ≡ δ(ϵ)y (x) =

1ϵ

para − ϵ2≤ x− y ≤ ϵ

2

0 para |x− y| > ϵ2.

(1.1)

El grafico de esta funcion esta dado en la Fig. 1.

61ϵ

0 y − ϵ2

y y + ϵ2

X-

Figura 1. La Funcion δ(ϵ)y

Evaluemos∫∞−∞ dxδ(ϵ)(x − y)f(x), siendo f(x) una funcion a valores complejos, con-

tinua en el intervalo[y − ϵ

2, y + ϵ

2

]. Para ϵ suficientemente pequeno la variacion de f(x)

en el intervalo efectivo de integracion[y − ϵ

2, y + ϵ

2

]es despreciable, y en ese intervalo

tendremos que f(x) ≈ f(y). Entonces (para ϵ muy pequeno):∫ ∞

−∞dxδ(ϵ)(x− y)f(x) ≈ f(y)

∫ y+ ϵ2

y− ϵ2

dxδ(ϵ)(x− y) = f(y). (1.2)

275

276 B. LA DELTA DE DIRAC

En el lımite ϵ→ 0 obtenemos la llamada “funcion” delta de Dirac, simbolizada porδ(x− y), la cual viene definida por las relaciones (1.3) y (1.4):

δ(x− y) ≡ δy(x) =

0 para x = y

∞ para x = y,(1.3)∫ ∞

−∞dxδ(x− y)f(x) =

∫ ∞

−∞dxδy(x)f(x) = f(y), (1.4)

donde la funcion f es cualquier funcion a valores complejos, bien definida en el puntox = y, y que sea suficientemente regular (se dice que la funcion f debe ser de buencomportamiento, o bien comportada).

Aunque la Rel. (1.3) define perfectamente una funcion, es claro que la integral en Rde esa funcion multiplicada por cualquier funcion da cero, y no la Rel. (1.4) (eso es ciertotanto en el sentido de Riemann como en el sentido de Lebesgue). Vemos pues que la δ esmas bien un sımbolo formal.

Funciones δ(ϵ)y : R → R, y ∈ R fijo; ϵ > 0; pares en (x, y) ∈ R2, al menos continuas

en(y − ϵ

2, y + ϵ

2

); cuya integral en R es uno ∀ϵ > 0; y cuyo lımite cuando ϵ → 0 nos

produce la funcion definida en la Rel. (1.3), se llaman representaciones de la δ deDirac (la funcion de la Fig. 1, es una de ellas). A continuacion, demos algunos ejemplosde representaciones de la δ:

1δ(ϵ)y (x) =

1√πϵ

exp

(−(x− y)2

ϵ

), (1.5)

2δ(ϵ)y (x) =

1

π

ϵ

(x− y)2 + ϵ2, (1.6)

3δ(ϵ)y (x) =

1

π

sen ((x− y)/ϵ)

x− y. (1.7)

Ver B.P.1 y sus comentarios referentes a la Rel. (1.7).

Comentario 1.2. A menudo ocurren igualdades algebraicas en uno de cuyos miem-bros (o en ambos) esta presente una o varias deltas. Debemos precisar en que sentido sedeben entender tales igualdades.

Para verificar si una igualdad algebraica que tiene una o varias deltas (que no formanparte de algun integrando) en uno de sus miembros (o en ambos), debemos comprobardos cosas:

(a) Que los dos miembros de la igualdad tengan iguales valores para todos los valores dela variable x. Se impone que: 0 · δ(x− y) = 0 para x = y (0 · ∞ = 0).

(b) Que la igualdad siga siendo valida si multiplicamos ambos miembros por una funcionf de buen comportamiento e integramos los dos miembros en R (naturalmente, si laigualdad ya tiene una tal f en cada miembro entonces integramos directamente).

En este sentido podemos comprobar algunas de las propiedades de la delta que damosa continuacion.

Comentario 1.3. Las principales propiedades de la delta son:

1. LA DELTA DE DIRAC EN UNA DIMENSION 277

i. δ(x−y), x, y ∈ R es en cierto sentido el “analogo continuo” de la delta de Kroeneckerδij, i, j ∈ Z, ya que:

δij =

0 si i = j

1 si i = j,(1.8)

∞∑i=−∞

δijf(i) = f(j), (1.9)

siendo f cualquier funcion f : Z→ C.ii. Tomando f(x) = 1 en (1.4), tenemos:∫ ∞

−∞δ(x− y)dx = 1. (1.10)

iii. Para lımites de integracion arbitrarios a y b tendremos (de manera obvia):∫ b

a

dxδ(x− y)f(x) =

f(y) si y ∈ [a, b]

0 si y /∈ [a, b].(1.11)

iv. Se cumple que:

f(x)δ(x− y) = f(y)δ(x− y), (1.12)

y en particular:

xδ(x− y) = yδ(x− y). (1.13)

Con las indicaciones de 1.2 es claro que la Rel. (1.12) es valida.v. Tenemos que: ∫ ∞

−∞δ(x− a)δ(x− b)dx = δ(a− b). (1.14)

En efecto, si definimos F (ϵ)(a, b) =∫∞−∞ δ(ϵ)(x−a)δ(ϵ)(x− b)dx, siendo δ(ϵ)(x−a) y

δ(ϵ)(x−b), la funcion definida en 1.1, Fig. 1, tendremos que F (ϵ)(a, b) = 0 si |a− b| > ϵ;

esto es, si las dos funciones δ(ϵ)a y δ

(ϵ)b no se superponen (ver Fig. 2). Por otra parte si

-δ(ϵ)(x− a) -δ(ϵ)(x− b)

ϵ ϵ

X

6

?

1ϵ

a b-

Figura 2. Una Funcion

a = b, tendremos que:

δ(ϵ)(x− a)δ(ϵ)(x− b) =δ(ϵ)(x− a)

ϵ, y


F (ϵ)(a, a) =1

ϵ

∫ ∞

−∞dxδ(ϵ)(x− a) =

1

ϵ.

Por lo tanto:

lımϵ→0

F (ϵ)(a, b) =

0 si a = b

∞ si a = b.(1.15)

Finalmente, si multiplicamos la Rel. (1.14) por una funcion de buen comportamientof , tendremos que (usando (1.4) y (4.1)):∫ ∞

−∞daf(a)

∫ ∞

−∞δ(x− a)δ(x− b)dx =

∫ ∞

−∞δ(x− b)dx

∫ ∞

−∞f(a)δ(x− a)da

=

∫ ∞

−∞δ(x− b)f(x)dx = f(b).

Si en vez de multiplicar (1.14) por f(a) la multiplicamos por f(b) e integramos respectode la variable b, obtendremos f(a).

Entonces, de acuerdo a lo dicho en 1.2, tenemos que la Rel. (1.14) es valida.vi. Definamos la funcion salto, tambien llamada funcion de Heaviside, Θy : R→ R;

y ∈ R fijo, por:

Θy(x) ≡ Θ(x− y) =

1 si x ≥ y

0 si x < y. (1.16)

La derivada Θ′y(x) ≡ dΘy(x)

dxde Θy es nula si x = y, pero no existe para x =

y (la derivada a la izquierda vale infinito y a la derecha vale cero); sin embargo,consideraremos que Θ′

y(y) = ∞.Esto ultimo nos dice que estamos considerando a la Θy como un sımbolo formal

en lo que respecta a su derivada. De hecho, consideraremos a la funcion Θ′y como el

lımite cuando ϵ → 0, de la derivada de la funcion continua Θ(ϵ)y : R → R, ϵ > 0,

definida por (ver Fig. 3):

Θ(ϵ)y (x) ≡ Θ(ϵ)(x− y) =

0 si x < y − ϵ

212+ (x−y)

ϵsi − ϵ

2≤ x− y ≤ ϵ

2

1 si x > y + ϵ2.

(1.17)

-?

6

1

X

y − ϵ2y y + ϵ

2

Figura 3. La Funcion Θ(ϵ)y

De la Rel. (1.17), obtenemos que:

Θ(ϵ)′

y (x) =dΘ

(ϵ)y (x)

dx= δ(ϵ)y (x), (1.18)

1. LA DELTA DE DIRAC EN UNA DIMENSION 279

siendo δ(ϵ)y la funcion definida en la Fig. 1 (Rel. (1.1)).

Tenemos la importante relacion:

Θ′y(x) ≡

dΘy(x)

dx= δ(x− y). (1.19)

Pues si f es una funcion derivable, con f(∞) ∈ R, tendremos (integrando por partes):∫ ∞

−∞Θ′y(x)f(x)dx = Θy(x)f(x)|∞−∞ −

∫ ∞

−∞f ′(x)Θy(x)dx = f(∞)−

∫ ∞

y

f ′(x)dx = f(y).

.vii. Definamos la funcion signo; sgn y : R→ R; y ∈ R fijo, por:

sgn y(x) ≡ sgn (x− y) =

1 si x > y

−1 si x < y

0 si x = y.

(1.20)

De la Def. (1.20) vemos que:

|x− y| = (x− y)sgn (x− y). (1.21)

De las Defs. (1.20) y (1.16) vemos que:

sgn (x− y) = Θ(x− y)−Θ(y − x). (1.22)

Es facil probar (ver B.P.3) que:

d

dx[sgn (x− y)] = 2δ(x− y), (1.23)

d2 |x− y|dx2

= 2δ(x− y). (1.24)

viii. Si g es una funcion, g : R → R, que tiene n ceros simples xk; k = 1, · · · , n (estoes, g(xk) = 0, pero g′(xk) = dg

dx(xk) = 0), con derivada continua en algun intervalo

abierto Ik centrado en xk (con k = 1, · · · , n), entonces:

δ(g(x)) =n∑k=1

1

|g′(xk)|δ(x− xk). (1.25)

En efecto, si x = xk, ∀k, entonces g(x) = 0 y δ(g(x)) = 0. Si x = xj, entoncesδ(g(xj)) = δ(0) = ∞. Siempre podremos conseguir un ϵ > 0 suficientemente pequeno,tal que, los intervalos Ik = (xk − ϵ,Xk + ϵ) sean disjuntos; y que g′(x) = 0 ∀x ∈ Ik,k = 1, · · · , n. Por lo tanto, g es estrictamente monotona en cada Ik y su inversa existeen esos intervalos (ver, p. ej., [56, Teo. 5.17 y Teo. 4.52]). Tendremos:∫ ∞

−∞δ(g(x))f(x)dx =

n∑k=1

∫Ik

δ(g(x))f(x). (1.26)

Si hacemos el cambio de variable y = g(x) en cada integral de (1.26) obtendremos:


∫Ik

δ(g(x))f(x)dx =

∫g[Ik]

δ(y)f(g−1(y))dy

g′(g−1(y))= f(g−1(0))

1

|g′(g−1(0))|=

f(xk)

|g′(xk)|,

(1.27)donde se ha introducido el valor absoluto de la g′ debido a que si g es estrictamente

decreciente, g′ < 0 y g(xk − ϵ) > g(xk + ϵ);∫Ik

=∫ xk+ϵxk−ϵ

=∫ g(xk+ϵ)g(xk−ϵ)

= −∫ g(xk−ϵ)g(xk+ϵ)

.

De (1.26) y (1.27) obtenemos:∫ ∞

−∞δ(g(x))f(x)dx =

n∑k=1

f(xk)

|g′(xk)|. (1.28)

Notemos que es importante que los ceros de la g sean simples. Por ejemplo, δ(x2)no tiene sentido.

Comentario 1.4. La delta tiene derivadas de todos los ordenes que designamos por

δ(n)y , n ∈ Z+ (aunque colida con la notacion de una representacion de la delta; ver 1.1), enel sentido de que:∫ ∞

−∞δ(n)y (x)f(x)dx ≡

∫ ∞

−∞δ(n)(x− y)f(x)dx = (−1)nf (n)(y), (1.29)

siendo f una funcion de buen comportamiento y f (n)(x) ≡ dnf(x)dxn

. En efecto, para laprimera derivada, que indicamos tambien por una prima (δ′, f ′), tendremos:∫ ∞

−∞δ′(x− y)f(x) = f(x)δ(x− y)|∞−∞ −

∫ ∞

−∞δ(x− y)f ′(x)dx = −f ′(y).

Reiterando este proceso obtenemos la Rel. (1.29).Cualquier igualdad algebraica donde aparezca una derivada de la delta (que no forme

parte de algun integrando) en uno (o en ambos) de los miembros debe interpretarse comovalida si es satisfecha al multiplicar la igualdad por una funcion de buen comportamientoe integrada. En este sentido son validas las siguientes igualdades:

(x− y)δ′(x− y) = −δ(x− y), (1.30)

(x− y)2δ′(x− y) = 0. (1.31)

Finalmente, como la delta es una funcion par (B.P.2) las derivadas enesimas tienenlas siguientes paridades:

δ(n)(x− y) = (−1)nδ(n)(y − x). (1.32)

2. La Delta de Dirac en N Dimensiones

Comentario 2.1. Si designamos por x = (x1, · · · , xN), y = (y1, · · · , yN) ∈ RN ; ypor f a cualquier funcion de buen comportamiento, f : Rn → C; podremos generalizar la

2. LA DELTA DE DIRAC EN N DIMENSIONES 281

nocion de la δ a N dimensiones definiendola como:

δ(x− y) ≡ δy(x) =

0 si x = y

∞ si x = y,(2.1)∫

RNdNxδ(x− y)f(x) =

∫RNdNxδy(x)f(x) = f(y). (2.2)

Los comentarios hechos en 1.2, son todos validos para esta generalizacion. En esesentido tendremos, de las Rel. (2.1) y (2.2) que:

δ(x− y) = δ(x1 − y1)δ(x2 − y2) · · · δ(xN − yN). (2.3)

Para que la Rel. (2.3) sea coherente con la Rel. (1.1) debemos suponer que si p. ej.,xk = yk para algun k, entonces δ(x1 − y1) · · · δ(xk− yk) · · · δ(xN − yN) = 0, independiente-mente del valor de las demas coordenadas (esto es, si p. ej; x1 = y1; xk = yk, k = 2, · · · , N ;entonces 0 · ∞ = 0).

Las propiedades y relaciones halladas en 1.3 y 1.4, ası como la (4.1), se extienden demanera obvia a RN .

Comentario 2.2. Veamos como cambia la δ bajo una transformacion de coordena-das.

Sea T ′ ⊂ R′N , y α ≡ (α1, · · · , αN) una transformacion; α : T ′ → RN y α[T ′] = RN .Para x′, y′ ∈ T ′ llamemos x = α(x′), y = α(y′), y efectuemos la transformacion de

coordenadas α en la Rel. (2.2). Usando el teorema de transformacion de integrales por uncambio de coordenadas (ver p. ej.,[56, Teo. 15.11]) obtenemos:

f(α(y′)) =

∫RNdNxδ(x− y)f(x) =

∫T ′dNx′δ(α(x′)− α(y′))f(α(x′)) |Jα(x′)| , (2.4)

donde Jα(x′) es el determinante del Jacobiano de la transformacion α, dado por:

Jα(x′) ≡ ∂(α1, · · · , αN)

∂(x′1, · · · , x′N)= det

∂α1(x′)∂x′1

· · · ∂α1(x′)∂x′N

......

∂αN (x′)∂x′1

· · · ∂αN (x′)∂x′N

. (2.5)

Si llamamos g(y′) ≡ f(α(y′)), podremos reescribir a (2.4) ası:

g(y′) =

∫T ′dNx′ [δ(α(x′)− α(y′)) |Jα(x′)|] g(x′). (2.6)

La Rel. (2.6) es valida para toda funcion g de buen comportamiento, y concluimos deesa relacion que cuando Jα(x

′) = 0, se cumple:

δ(α(x′)− α(y′)) = δ(x− y) =δ(x′ − y′)

|Jα(x′)|. (2.7)

Comentario 2.3. Recordemos que dada una funcion ψ : RN → C, la transformadade Fourier de ψ, que denotaremos por ψ, viene dada por:

ψ(p) =1

(2πβ)N/2

∫RNdNxe−i ⟨p|x⟩/βψ(x); p ∈ RN , β ∈ R+. (2.8)


La transformada de Fourier inversa (o antitransformada) viene dada por:

ψ(x) =1

(2πβ)N/2

∫RNdNpei ⟨p|x⟩/βψ(p); x ∈ RN . (2.9)

La constante β, necesariamente debe tener las mismas dimensiones fısicas que ⟨p|x⟩.P. ej.: β y ⟨p|x⟩ adimensionales (siendo entonces la escogencia β = 1 muy comun). Enmecanica cuantica no relativista: β = ~; si x y p representan una posicion y un momentum,p. ej. Tendremos entonces que siempre podremos escribir: β = β1β2, tal que β1 ∈ R+ yβ2 ∈ R+ tengan las mismas dimensiones fısicas que p y x respectivamente, y por ende que:p′ ≡ p/β1 y x′ ≡ x/β2 sean adimensionales; representando entonces ⟨p′|x′⟩ al productoescalar 1-(5.1) en RN . Se define: ⟨p|x⟩ ≡ β ⟨p′|x′⟩.

Recordemos que en general ψ = ψ.

Comentario 2.4. Tenemos que para δy(x) = δ(x− y), δy vendra dada por:

δy(p) =1

(2πβ)N/2e−i ⟨p|y⟩/β. (2.10)

La Rel. (2.10) es obvia de (2.8) y de (2.2).

Comentario 2.5. Tenemos que:

δy(x) = δ(x− y) =1

(2πβ)N

∫RNdNpei ⟨p|x−y⟩/β. (2.11)

δy es la antitransformada de δy, y para comprobar la Rel. (2.11) bastarıa usar las Rels.(2.9) y (2.10). Sin embargo, vamos a verificar la Rel. (2.11) explıcitamente.

El lado derecho es un producto de N integrales del tipo:

Jk ≡1

(2πβ)

∫ ∞

−∞dpke

ipk(xk−yk)/β; k = 1, · · · , N. (2.12)

Para xk = yk tenemos Jk = ∞. Pero para xk = yk, Jk no existe ya que debe existir el

lımite: lım b→∞a→−∞

1(2πβ)

∫ badpke

ipk(xk−yk)/β. Sin embargo, si interpretamos a Jk como (ϵ > 0):

Jk = lımϵ→0

1

(2πβ)

∫ 1/ϵ

−1/ϵ

dpkeipk(xk−yk)/β, (2.13)

tendremos que:

Jk = lımϵ→0

1

π

sen ((xk − yk)/βϵ)

xk − yk, (2.14)

y el miembro derecho (sin el lımite) es una representacion de la δ (ver Rel. (1.7) y loscomentarios en B.P.1).

2. LA DELTA DE DIRAC EN N DIMENSIONES 283

Finalmente:1

(2πβ)N

∫RNdNxf(x)

∫RNdNpei ⟨p|x−y⟩/β

=1

(2πβ)N/2

∫RNdNpe−i ⟨p|y⟩/β

[1

(2πβ)N/2

∫RNdNxei ⟨p|x⟩/βf(x)

]=

1

(2πβ)N/2

∫RNdNpe−i ⟨p|y⟩/β f(−p)

=1

(2πβ)N/2

∫RNdNp′ei ⟨p

′|y⟩/β f(p′) = f(y),

(2.15)

donde hemos hecho el cambio de variable p′ = −p, y usado a la Rel. (2.9).

Comentario 2.6. Para funciones ψ : RN → C y φ : RN → C, tendremos (al usarformalmente la notacion del producto escalar):⟨

ψ∣∣∣ φ⟩ = ⟨ψ|φ⟩ . (2.16)

En efecto (usando las Rels. (2.8), (2.11) y (2.2)):⟨ψ∣∣∣ φ⟩ =

∫RNdNpψ(p)φ(p) =

1

(2πβ)N

∫RNdNydNxdNpei ⟨p|x⟩/βψ(x)e−i ⟨p|y⟩/βφ(y)

=

∫RNdNydNx

[1

(2πβ)N

∫RNdNpei ⟨p|x−y⟩/β

]ψ(x)φ(y)

=

∫RNdNyφ(y)

[∫RNdNxψ(x)δ(x− y)

]=

∫RNdNyψ(y)φ(y) = ⟨ψ|φ⟩ .

Comentario 2.7. Si para toda ψ ∈ L2(RN), resulta que (en algun sentido) ψ existe

y ψ ∈ L2(RN), podemos considerar a la transformada de Fourier (Rel. (2.8)) como un

operador lineal U ∈ O(L2(RN)

); esto es: ψ = Uψ. Ademas, la Rel. (2.16) nos sugiere que

el operador U es unitario. De hecho, todo ello es cierto rigurosamente, y tenemos el si-guiente teorema (que no probaremos), llamado teorema de Plancherel: la transformadade Fourier en L2(RN) esta representada por un operador unitario en L2(RN). Para esteanalisis, necesariamente p y x deben tener las mismas dimensiones fısicas (en particular,pueden ser adimensionales). U ∈ L

(L2(RN)

)sera entonces adimensional en este caso.

En general, este teorema tambien es valido para la transformada de Fourier entre dosespacios de Hilbert: H ≡ L2(RN) y H′ ≡ L2(R′N), con RN y R′N representando cadauno de ellos magnitudes de dimensiones fısicas arbitrarias; siendo en este caso el operadorunitario: U ∈ L(H,H′), ψ = Uψ con ψ ∈ H. La dimension fısica de U sera entonces la

del cociente de la de ψ con la de ψ.

Comentario 2.8. Para cualquier conjunto no vacıo cerrado Υ ⊂ RN , la generaliza-cion de (1.11) a N dimensiones es (para f de buen comportamiento y al menos definidaen Υ):

∫Υ

dNxδ(x− y)f(x) =

f(y) si y ∈ Υ

0 si y /∈ Υ.(2.17)


Comentario 2.9. La Rel. (2.11), particularizada a los reales, se puede reescribir:

δ(x− y) =1

πβ

∫ ∞

0

dp cos

(p

β(x− y)

); x, y ∈ R. (2.18)

En efecto, como:

eip(x−y)/β = cos

(p

β(x− y)

)+ isen

(p

β(x− y)

),

la parte del seno se anula si interpretamos la integral∫∞−∞ dp, como lımb→∞

b>0

∫ b−b dp, puesto

que el seno es una funcion impar. Luego usamos al hecho que el coseno es una funcion par.En ese mismo sentido tambien se puede deducir que:

1

πβ

∫ ∞

0

dp cos

(p

βx

)cos

(p

βy

)=

1

πβ

∫ ∞

0

dp sen

(p

βx

)sen

(p

βy

); ∀x, y ∈ R+. (2.19)

3. Resultados Para la Delta de Dirac en Tres Dimensiones

Comentario 3.1. En electromagnetismo la δ resulta util para representar la densidadde carga electrica ρ(r) (r ∈ R3) de una carga puntual q localizada en r0 (∈ R3). En efecto:en r = r0, ρ = ∞; ρ = 0 para r = r0;

∫R3 ρ(r)d

3x = q; entonces ρ(r) = qδ(r − r0).En general la densidad de carga ρ(r) de un conjunto de n cargas puntuales qi; i =

1, · · · , n, localizadas en ri vendra dada por:

ρ(r) =n∑i=1

qiδ(r − ri). (3.1)

Comentario 3.2. Usando la Rel. (2.7) tendremos; en coordenadas esfericas (r, θ, ϕ):

δ(r − r0) =1

r2sen θδ(r − r0)δ(θ − θ0)δ(ϕ− ϕ0), (3.2)

y en coordenadas cilındricas (ρ, ϕ, z):

δ(r − r0) =1

ρδ(ρ− ρ0)δ(ϕ− ϕ0)δ(z − z0). (3.3)

Debido a las Rels (1.25) y (1.12) podemos reescribir la δ en coordenadas esfericas(Rel. (3.2)), ası:

δ(r − r0) =1

r2δ(r − r0)δ(cos θ − cos θ0)δ(ϕ− ϕ0). (3.4)

Comentario 3.3. Para r, r0 ∈ R3, tendremos:

∆r

(1

|r − r0|

)= −4πδ(r − r0), (3.5)

donde hemos usado el subındice r en el sımbolo del Laplaciano para indicar que este actuasobre la r.

Basta verificar a (3.5) para r0 = 0, ya que luego se pasa a un r0 = 0 por traslacion.Para r = 0, ∆

(1r

)∣∣r=0

= −∞, en el sentido de que: lımϵ→0 lımr→0∆(

1r+ϵ

)= −∞ (ver

4. PROBLEMAS 285

(4.4)). Para r ≡ |r| = 0 se prueba facilmente que ∆(1r

)= 0 (ver (4.4)). Luego, sea gϵ(r)

una funcion igual a 1rcuando r esta afuera de una bola Λϵ centrada en 0 y de radio ϵ > 0. gϵ

es suficientemente regular (esto es, continua, diferenciable, etc.) y toma valores del orden1ϵdentro de la bola. Sea f una funcion de buen comportamiento. Evaluemos entonces la

integral siguiente, para ϵ→ 0:

I(ϵ) =

∫R3

d3xf(r)∆gϵ(r) =

∫r≤ϵ

d3xf(r)∆gϵ(r). (3.6)

Para ϵ suficientemente pequeno la variacion de f(r) dentro de Λϵ sera despreciable, y

tendremos f(r) ≈ f (0) en Λϵ. Entonces:

I(ϵ) ≈ f (0)

∫r≤ϵ

d3x∆gϵ(r) = f (0)

∫Σϵ

∇gϵ(r) · da, (3.7)

donde hemos aplicado el teorema de la divergencia (Σϵ es la superficie de Λϵ). Tendremos,al usar (4.5), que:

∇gϵ(r)|r=ϵ = ∇(1

r

)∣∣∣∣r=ϵ

= − r

r3

∣∣∣∣r=ϵ

= − 1

ϵ2

(r

r

). (3.8)

Al usar el resultado (3.8) en (3.7) tendremos:

I(ϵ) ≈ f (0)

(− 1

ϵ2

)∫Σϵ

r

r· da = f (0)

(− 1

ϵ2

)(4πϵ2) = −4πf (0);

esto es, lımϵ→0 I(ϵ) = −4πf (0).En expresiones como la (3.5), (4.6) o (4.7) nos referiremos (eventualmente) al Lapla-

ciano generalizado; pues solamente serıa formal si r = r0.

Comentario 3.4. La Rel. (3.5) es muy importante en electrostatica ya que la ecua-cion de Poisson: ∆φ(r) = −4πρ(r) (donde φ es el potencial electrico y ρ la densidadde carga electrica), se puede aplicar a una carga puntual q localizada en r0 (esto es:ρ(r) = qδ(r − r0)) cuyo potencial es φ(r) = q

|r−r0| .

4. Problemas

B.P.1 Verificar que las Rels. (1.5), (1.6) y (1.7) son representaciones de la delta. NNotemos que para x = y la 3δ

(ϵ)y en (1.7) no da cero cuando ϵ → 0. Hay dos

maneras de darle un sentido al hecho que esta funcion representa a la delta:

(a) Para x = y, 3δ(ϵ)y oscila con amplitud decreciente (con frecuencia 1/2πϵ) cuando

|x− y| crece. Cuando ϵ → 0 las oscilaciones se vuelven infinitamente rapidas(la funcion promedia a cero) y al integrarla con una funcion la unica parterelevante proviene del entorno x = y.

(b) Para x = y podemos considerar que efectuamos el lımite ϵ → 0 tomando

ϵn ≡ (x−y)2πn

, n ∈ Z+, y haciendo n→ ∞; ası: lımn→∞ 3δ(ϵn)y (x) = 0, para x = y.

B.P.2 La delta considerada como una funcion de (x, y) ∈ R2, es una funcion par; esto es:

δ(x− y) = δ(y − x), ∀x, y ∈ R. (4.1)

N


B.P.3 Verificar las Rels. (1.23) y (1.24). NAyuda: para (1.23), usar (1.22), (1.19) y (4.1). Para (1.24), usar (1.21), (1.23)

y (1.12).B.P.4 Usando la Rel. (1.25), verificar:

i.

δ(a(x− y)) =1

|a|δ(x− y); ∀a ∈ R, a = 0. (4.2)

ii.

δ(x2 − a2) =1

2 |a|[δ(x+ a) + δ(x− a)]; ∀a ∈ R, a = 0. (4.3)

NB.P.5 Verificar las Rels. (1.29), (1.30) y (1.31). NB.P.6 ¿Que dimension fısica tiene la delta de Dirac en RN? (segun la que tenga RN). NB.P.7 Verificar las Rels. (2.3) y (2.4). NB.P.8 Si r, r0 ∈ R3, demostrar que:

lımϵ→0

lımr→0

∆

(1

r + ϵ

)= −∞, ϵ > 0; ∆

(1

r

)= 0, si r = 0. (4.4)

∇r

(1

|r − r0|

)= − r − r0

|r − r0|3; r = r0. (4.5)

NB.P.9 Si r, r0 ∈ R3, y k ∈ C, verificar:

i.

(∆r + k2)e±ik|r−r0|

|r − r0|= −4πδ(r − r0). (4.6)

ii.

(∆r + k2)cos (k |r − r0|)

|r − r0|= −4πδ(r − r0). (4.7)

NAyuda: usar la Rel. (3.5), la 1-(15.85) y la relacion:

∆(ϕψ) = 2∇ϕ · ∇ψ + ϕ∆ψ + ψ∆ϕ, (4.8)

donde ϕ y ψ son funciones a valores complejos adecuadas de r: ϕ(r), ψ(r).B.P.10 Procediendo como en B.P.9, hallar la densidad de carga electrica ρ(r) y la carga

total Q, de un sistema electrostatico cuyo potencial es (r ≡ |r|):

φ(r) = qe−αr

r

(1 +

αr

2

); q ∈ R, q = 0; α ∈ R+. (4.9)

N

Apendice C

Continuacion Analıtica. Funciones Beta y Gamma

Trataremos los teoremas mas importantes de la continuacion analıtica. Ası mismoestudiaremos las propiedades mas importantes de las funciones Beta y Gamma.

Para obras sobre variable compleja y los temas aquı tratados, ver: [144]-[153].

1. Continuacion Analıtica

Definicion 1.1. SeanR yR′ dos recintos de C (ver definicion al principio del capıtulo3) conR R′, y f una funcion analıtica definida enR. El problema de la continuacionanalıtica consiste en hallar funciones analıticas definidas en R′, tales que coincidan conf en R. Si g es una de esas funciones, entonces diremos que g es una continuacionanalıtica directa de f en R′. N

Por ejemplo, sea f(z) = 1 + z + z2 + · · · . Esta serie solamente converge y define unafuncion analıtica en el recinto R = z| |z| < 1. Pero esta serie es sumable en R, de suma1/(1 − z). Ahora podemos definir a la funcion analıtica g(z) = 1/(1 − z), ∀z ∈ C, conz = 1. Tenemos que g(z) = f(z) en R, y por lo tanto g es una continuacion analıticadirecta de f en el recinto R′ = z|0 < |z − 1| <∞.

La continuacion analıtica de una funcion puede ser imposible mas alla de un ciertorecinto R′, y la frontera de ese recinto se llama frontera natural.

Teorema 1.2. Si una funcion analıtica f , definida en un recinto R se anula encualquier arco rectificable de Jordan A0 ⊂ R (ver Def. en [56, Sec. 16.2]), entonces f seanula identicamente en R.

Demostracion. Si z0 ∈ A0, f y todas sus derivadas se anularan en ese punto (yaque esas evaluaciones en A0 dan cero). Por otra parte, existira un entorno centrado en z0y de radio R0 = 0 tal que:

f(z) = f(z0) +∞∑n=1

f (n)(z0)

n!(z − z0)

n; con |z − z0| < R0, (1.1)

y entonces f(z) = 0, ∀z tal que |z − z0| < R0.Luego (ver Fig. 1) escogemos otro arco A1 (del mismo tipo que A0) en el recinto

|z − z0| < R0, tomamos un punto z1 en el y repetimos los mismos argumentos. Procedemosde esta manera hasta cubrir todos los puntos de R.

Notemos que segun las hipotesis de este teorema A0 no puede ser un punto.

Corolario 1.3. Una continuacion analıtica directa de una funcion analıtica f (verDef. 1.1) es unica.

Demostracion. Si g1 y g2 son dos continuaciones analıticas directas de f en R′,entonces g1 − g2 = 0 en R, y por lo tanto g1 − g2 = 0 en R′.

287

288 C. CONTINUACION ANALITICA. FUNCIONES BETA Y GAMMA

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A0A1

curva continua

R

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R0

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z0z1

Figura 1. Anulacion de f(z)

Podemos entonces hablar de la continuacion analıtica directa de una funcion f . A lacontinuacion analıtica directa de una funcion f se le suele denominar con el mismo sımbolof .

Corolario 1.4. Usemos las notaciones de la Def. 1.1. La continuacion analıticadirecta de f en R′ efectuada por metodos diferentes, debe producir la misma funcion enR′.

Demostracion. Obvia de 1.3.

Corolario 1.5. Sean f1 y f2 dos funciones analıticas definidas en los recintos R1

y R2 respectivamente, siendo R ≡ R1 ∩ R2 = ∅. Si f1(z) = f2(z), ∀z ∈ R, entonces lafuncion f definida en R1 ∪R2 por:

f(z) =

f1(z) si z ∈ R1

f2(z) si z ∈ R2,(1.2)

es la continuacion analıtica directa de f1 y de f2 en R1 ∪R2.

Demostracion. Obvia de 1.3.

Para dos funciones f1 y f2 que cumplan las condiciones de este corolario, decimos,abusando del lenguaje, que f1 es la continuacion analıtica directa de f2, y viceversa.

Corolario 1.6. Sean R, R1 y R2 tres recintos tales que R3 ≡ R1 ∩ R2 = ∅ yR ∩R3 = ∅ (ver Fig. 2); y sea f una funcion analıtica definida en R. Si f1 y f2 son lascontinuaciones analıticas directas de f en R1 ∪R y en R2 ∪R respectivamente, entoncesf1(z) = f2(z) ∀z ∈ R3.

Demostracion. En efecto, f1 − f2 = 0 en R3 ∩R, y por lo tanto f1 − f2 = 0 en R3,por 1.2.

Teorema 1.7 (Continuacion analıtica a traves de una frontera). Si R1 y R2

son dos recintos con R1∩R2 = ∅ los cuales poseen al menos un arco rectificable de Jordan,cuyo interior denotaremos por A (ver Def. en [56, Sec. 16.2]), de frontera comun (ver Fig.3); y sean f1 y f2 dos funciones continuas (a valores complejos) definidas en R1 ∪ A y

1. CONTINUACION ANALITICA 289

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R1

R3

R2

R

Figura 2. Recintos R1,R2 y R en el Corolario 1.6

R2 ∪A respectivamente. Si f1 y f2 son analıticas en R1 y R2, y si f1(z) = f2(z), ∀z ∈ A;entonces la funcion definida en R1 ∪R2 ∪A, por:

f(z) =

f1(z) si z ∈ R1 ∪A

f2(z) si z ∈ R2 ∪A,(1.3)

es analıtica y es la continuacion analıtica directa de f1 y de f2 (consideradas como fun-ciones en R1 y en R2).

Demostracion. Si f es analıtica, entonces, por definicion 1.1, f es la continuacionanalıtica directa de f1 y de f2.

Demostremos que f es analıtica. Sea z0 ∈ A; tomemos un recinto circular RΓ, deradio R0 = 0 centrado en z0 y contenido en R1 ∪ R2 ∪ A, y de frontera Γ = Γ1 ∪ Γ2,Γ1 ⊂ R1, Γ2 ⊂ R2, siendo Γ12 los puntos de A que intersectan a RΓ.

Como f es contınua en Γ, tendremos que la funcion ϕ(z) definida ∀z, con |z − z0| < R0,por:

ϕ(z) =1

2πi

∫Γ

f(w)

w − zdw; |z − z0| < R0, (1.4)

es analıtica (ver, p. ej, [56, Teo. 16.19]). Probemos ahora que ϕ(z) = f1(z) = f2(z)∀z ∈ Γ12. De (1.4) tendremos que:

ϕ(z) =1

2πi

∫Γ1∪Γ12

f1(w)

w − zdw = f1(z); ∀z ∈ R1 ∩RΓ, (1.5)

ϕ(z) =1

2πi

∫Γ2∪Γ12

f2(w)

w − zdw = f2(z); ∀z ∈ R2 ∩RΓ. (1.6)

Como ϕ, f1 y f2 son continuas en RΓ, tendremos al tomar el lımite z → z1 ∈ Γ12 enlas relaciones (1.5) y (1.6) que: ϕ(z1) = f1(z1) = f2(z1). Por lo tanto, en RΓ tendremosque ϕ = f .

Notemos que bajo las hipotesis de este teorema A no puede ser un punto.

Corolario 1.8 (Principio de Simetrıa de Schwartz). Consideremos un recintosimetrico D con respecto al eje real (esto es, z ∈ D sii z ∈ D); sea D+ la interseccionde D con el semiplano abierto y > 0; D−, la interseccion de D con el semiplano abiertoy < 0; y sea A la interseccion de D con el eje real (ver Fig. 4). Sea f una funcion continua


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A

Γ1

Γ2

R0

R1

R2

z0

Γ12

Figura 3. Continuacion Analıtica a traves de una Frontera

definida en D+∪A, siendo f analıtica en D+ y a valores reales en A. Entonces, la funciong definida en D por:

g(z) =

f(z) si z ∈ D+ ∪A

f(z) si z ∈ D− ∪A,(1.7)

es la continuacion analıtica directa de f (considerada como funcion en D+) en D.Ademas, tenemos que:

g(z) = g(z), ∀z ∈ D. (1.8)

Demostracion. Como f es real en A tenemos que f(z) = f(z) ∀z ∈ A; y f(z) esreal y continua en A. Sola falta probar que f1(z) ≡ f(z) es analıtica en D−, ya que (1.8)es obvia de (1.7). Si z0 ∈ D+, entonces en algun entorno de z0, tendremos:

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n, (1.9)

y por lo tanto:

f1(z) ≡ f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n, (1.10)

sera el desarrollo de f1 en algun entorno de z0 ∈ D−, y por lo tanto f1(z) ≡ f(z) esanalıtica allı.

Comentario 1.9. Sean f1, f2 y f3 tres funciones analıticas definidas en los recintosR1,R2 y R3 respectivamente, los cuales se intersectan mutuamente (ver Fig. 5). Suponga-mos que f2 es la continuacion analıtica directa de f1, y que f3 es la continuacion analıticadirecta de f2 (ver Def. en 1.5).

Puede ocurrir que f1 ≡ f2 en R1 ∩R3, de donde resulta que f3 no es la continuacionanalıtica directa de f1.

Para tomar en cuenta este tipo de situaciones (funciones multivaluadas), es ne-cesario generalizar el problema de la continuacion analıtica como lo exponemos a conti-nuacion. Pero antes debemos senalar que la denominacion: “funcion multivaluada”; queadoptamos por ser de uso comun en la jerga del fısico; es una abominacion, pues entradirectamente en conflicto con la esencia de lo que llamamos: “funcion” (un termino masapropiado podrıa ser: relacion; ver [56]).

1. CONTINUACION ANALITICA 291

-X

6Y

D+

D−

?

A D

z0

z0

Figura 4. Principio de Simetrıa de Schwartz

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R3

R2

R1

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Figura 5. Recintos R1,R2 y R3

Definicion 1.10. Sean R0 y R dos recintos arbitrarios, y f0, f , dos funciones analıti-cas definidas en R0 y R respectivamente. Diremos que f0 es continuacion analıticade f , y recıprocamente, si existe un numero finito de recintos R0;R1;R2; · · · ;Rn ≡ R,en los cuales estan definidas funciones analıticas f0; f1; f2; · · · ; fn ≡ f , tales que fk es lacontinuacion analıtica directa de fk−1; k = 1, 2, · · · , n (ver Def. 1.5).

Para la funcion g (que puede ser multivaluada) definida en R′ ≡ ∪nk=0Rk, por g(z) =fk(z) si z ∈ Rk, k = 1, 2, · · · , n, tambien diremos que g es una continuacion analıtica de f0.

NNotemos que en estas definiciones, a diferencia de la 1.1 y 1.5, hemos suprimido la

palabra “directa”.


En este caso tambien es la costumbre indicar las funciones f0 y f o f0 y g, por elmismo sımbolo (g en el segundo caso), el cual puede representar, si ello es el caso, a unafuncion multivaluada.

En el ejemplo tratado en 1.9, es claro que f3 es una continuacion analıtica de f1(aunque no lo sea de forma directa) y recıprocamente.

Comentario 1.11. Sea f0 una funcion analıtica definida en un recinto R0. A conti-nuacion daremos un metodo general que permite continuar analıticamente a f0 (siempreque ello sea posible; esto es, si la frontera de R0 no es una frontera natural).

Tomemos un punto z1 ∈ R0 y desarrollemos f0 alrededor de ese punto, esto es:∞∑n=0

f (n)(z1)(z − z1)

n

n!. (1.11)

La serie (1.11) es ciertamente convergente ∀z ∈ R0 y representa allı a f0(z). Sea R1(=0) el radio de convergencia de esa serie (por lo tanto existe al menos una singularidadw1 ∈ C en la frontera del cırculo de convergencia; ver, p. ej., [56, Sec. 16.13]). Si el recintoR1 ≡ z| |z − z1| < R1 contiene puntos en el plano complejo C que no pertenecen aR0, entonces la serie (1.11) define una funcion en R que llamaremos f1(z), la cual es unacontinuacion analıtica directa de f0.

Luego (en caso de haber continuado la f0 con la f1), tomemos un punto z2 ∈ R1, talque, z2 ∈ R0 y desarrollemos a f1 alrededor de ese punto. Procediendo como antes, a lomejor obtenemos una funcion analıtica f2 en un recinto R2 ≡ z| |z − z2| < R2, la cuales una continuacion analıtica directa de la f2 (ver Fig. 6).

Supongamos que hemos efectuado este proceso exitosamente n veces. Entonces lafuncion g definida en R′ ≡ ∪nk=0Rk por g(z) = fk(z) si z ∈ Rk; k = 0, 1, · · · , n, es unacontinuacion analıtica de f0 (ver Def. 1.10).

La funcion g es analıtica en cada punto de R′, mas no es forzoso que g sea monova-luada en R′, pero si lo es, entonces g es una continuacion analıtica directa de f0.

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.........................................................................................................................................................................................................R0

R1

R2w1

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z2R2R1 z1

Figura 6. Continuacion Analıtica

Comentario 1.12. Demos un ejemplo de una funcion analıtica con frontera natural.Sea:

f(z) = 1 + z2 + z4 + z8 + z16 + · · ·+ z2n

+ · · · ; ∀z, con |z| < 1. (1.12)

Tendremos que f(z) −−→z→1

∞. Esto es, z = 1 es una singularidad de f .

2. LA FUNCION GAMMA 293

Pero, como es claro de (1.12), tenemos que f(z) = z2+f(z2), resulta que f(z) −−−→z2→1

∞,

y z2 = 1 es una singularidad de f . Ası mismo, f(z) = z2 + z4 + f(z4), y por lo tantof(z) −−−→

z4→1∞, y z4 = 1 es una singularidad de f . En general, cualquier raız de las

ecuaciones:

z2 = 1; z4 = 1; z8 = 1; z16 = 1; · · · ; z2n = 1; · · · , (1.13)

es una singularidad de f . Todos estos puntos estan en el cırculo |z| = 1; y en cualquierarco del cırculo, por pequeno que sea, existe un numero ilimitado de esas raıces (esto es,las raıces son densas en el cırculo) y por lo tanto no podemos continuar analıticamente af fuera del cırculo de radio z = 1. Esto es, la frontera |z| = 1 es una frontera natural.

2. La Funcion Gamma

Comentario 2.1. Definiremos la funcion Γ (funcion Gamma), ∀z con ℜz > 0,mediante la integral:

Γ(z) =

∫ ∞

0

tz−1e−tdt; ℜz > 0. (2.1)

Esta integral es uniformemente convergente para ℜz > 0 (divergente para ℜz ≤ 0) y la Γes una funcion analıtica en ese recinto (por lo tanto se puede derivar, derivando bajo elsigno integral); ver p. ej, [149]. Notemos que se tiene: Γ(x) > 0, ∀x ∈ R+.

De la Rel. (2.1) obtenemos que:

Γ(1) = 1. (2.2)

De la Rel. (2.1), tambien obtenemos que:

zΓ(z) = Γ(z + 1). (2.3)

En efecto, sea 0 < a < b. Integrando por partes obtenemos:∫ b

a

tze−tdt = aze−a − bze−b + z

∫ b

a

tz−1e−tdt,

y haciendo a→ 0+ y luego b→ ∞ obtenemos a la Rel. (2.3).De las Rels (2.2) y (2.3) obtenemos:

Γ(n+ 1) = n! ; n ∈ N. (2.4)

En efecto, para n ∈ Z+ tendremos Γ(n + 1) = nΓ(n). Si n > 1, tenemos Γ(n + 1) =n(n−1)Γ(n−1). Si (n−1) > 1 tenemos Γ(n+1) = n(n−1)(n−2)Γ(n−2). Ası sucesivamentehasta llegar a un k tal que (n − k) = 1, con lo cual Γ(n + 1) = n(n − 1)(n − 2) · · ·Γ(1).Obtenemos (2.4), para n ∈ Z+ al usar la Rel. (2.2). Finalmente, para n = 0 vemos que(2.4) es coherente con la convencion usual:

0! = 1. (2.5)

La funcion Γ es pues una generalizacion del factorial.De la Rel. (2.3) se prueba por induccion que:

Γ(z + n) = z(z + 1) · · · (z + n− 1)Γ(z), n ∈ Z+. (2.6)


De la Rel. (2.1) obtenemos, al efectuar el cambio de variable t = y2:

Γ(z) = 2

∫ ∞

0

e−y2

y2z−1dy; ℜz > 0. (2.7)

Comentario 2.2. Para definir la funcion Γ para ℜz ≤ 0 vamos a efectuar unacontinuacion analıtica. Para ello usamos a la Rel. (2.3). En efecto, sea el recinto R1 =z|−1 < ℜz < 1; z = 0, ver Fig. 7. Definamos en ese recinto a la funcion Γ1 ası: Γ1(z) ≡

-

6

−1 1O

X

Y

Figura 7. Continuacion Analıtica de la Γ

Γ(z+1)z

, ∀z ∈ R1. Γ1 es analıtica en R1 y como tiene un recinto comun de analiticidadcon la Γ en el cual ambas funciones coinciden, resulta que Γ1 es la continuacion analıticadirecta de la Γ y la llamaremos tambien Γ (esto es, Γ1 ≡ Γ). Luego podemos considerar elrecinto R2 = z| − 2 < ℜz < 0; z = −1 efectuando una continuacion analıtica directa de

la Γ a ese recinto con la relacion Γ(z) = Γ(z+1)z

, ∀z ∈ R2. Luego, consideramos el recintoR3 = z| − 3 < ℜz < −1; z = −2, y ası sucesivamente hasta continuar la Γ al recintoR′ = z|ℜz ≤ 0; z = 0,−1,−2, · · · .

Comentario 2.3. Analicemos el comportamiento de la Γ en ℜz ≤ 0 (la cual yasabemos es analıtica en R′ definido en 2.2).

Sea z ∈ C arbitrario con z = 0,−1,−2, · · · ; entonces existe un n′ ∈ Z+ ∪ 0 tal que,ℜ(z + n′ + 1) > 0; sea n el mas pequeno de estos ene primas. De la Rel. (2.3), obtenemos:Γ(z+ n+1) = (z+ n)Γ(z+ n) = (z+ n)(z+ n− 1)(z+ n− 2) · · · zΓ(z), y Γ(z) sera finitaya que z = 0,−1,−2, · · · . Sea entonces z = −n+ ϵ con, 0 < |ϵ| < 1. Obtendremos:

Γ(−n+ ϵ) =Γ(ϵ+ 1)

ϵ(ϵ− 1)(ϵ− 2) · · · (−n+ ϵ),

esto es:

Γ(−n+ ϵ) =(−1)nΓ(ϵ+ 1)

(n− ϵ) · · · (2− ϵ)(1− ϵ)ϵ. (2.8)

2. LA FUNCION GAMMA 295

De (2.8) vemos que Γ(−n + ϵ) tiene un polo simple cuando ϵ → 0, cuyo residuo:

Res Γ(−n), es (−1)n

n!ya que Γ(1) = 1; esto es:

Res Γ(−n) = (−1)n

n!; n = 0, 1, 2, · · · . (2.9)

Resumiendo, hemos obtenido que:

Γ(z) es analıtica en todo C salvo en los puntos z = 0,−1,−2, · · · ,donde tiene polos simples de residuos dados por la Rel. (2.9).

(2.10)

Naturalmente, las Rels. (2.3) y (2.6) son validas ∀z ∈ C con z = 0,−1,−2, · · · , porla naturaleza misma de la continuacion analıtica que hemos seguido.

Notemos que Γ(z)Γ(1 − z) tiene polos simples en z = n; n = 0,±1,±2, · · · , y quesen πz tiene ceros simples en los mismos puntos. Entonces, la funcion:

Γ(z)Γ(1− z)senπz; z ∈ C; es entera, (2.11)

(entera significa analıtica en todo C).

Teorema 2.4.

Γ(z)Γ(1− z) =π

senπz; z ∈ C. (2.12)

Demostracion. Sea 0 < ℜa < 1; con (2.7) obtenemos:

Γ(a)Γ(1− a) = 4

∫ ∞

0

∫ ∞

0

e−(t2+t′2)t2a−1t

′−(2a−1)dtdt′

= 4

∫ π/2

0

∫ ∞

0

(cot θ)2a−1re−r2

drdθ = 2

∫ π/2

0

(cot θ)2a−1dθ,

(2.13)

donde hemos hecho el cambio t = r cos θ; t′ = rsen θ.Hagamos ahora el cambio s = cot θ; ds = − csc2 θdθ = (1 + s2)dθ. Para (2.13)

obtendremos:

2

∫ ∞

0

dss2a−1

1 + s2= π csc πa, (2.14)

donde la integral de (2.14) puede hallarse en tablas (ver, p. ej., [48, Pag. 292]). Ya hemosprobado a (2.12) ∀z, con 0 < ℜz < 1. Pero, sea f definida por:

f(z) ≡ Γ(z)Γ(1− z)senπz

π− 1. (2.15)

La funcion f es entera, ver la Rel. (2.11), y f(z) = 0 ∀z, con 0 < ℜz < 1, lo que implicaque f(z) = 0 ∀z ∈ C, por el teorema 1.2.

Al tomar z = 12en la Rel. (2.12), obtenemos [Γ

(12

)]2 = π, y como Γ

(12

)> 0 (ver la

Rel. (2.1)) tendremos:

Γ

(1

2

)=

√π. (2.16)

Teorema 2.5. La funcion Γ no se anula en C. La funcion: 1Γ(z)

es entera, y todos

sus ceros son simples, siendos estos: zn = −n; n = 0, 1, 2, · · · .


Demostracion. Como las singularidades de la Γ son solamente polos simples, nosfalta unicamente verificar que Γ(z) no tiene ceros en C. En efecto, de la Rel. (2.12), vemosque si Γ(z) se anula en algun z, entonces Γ(1− z) debe ser infinito allı. Pero los infinitosde Γ(1 − z) son conocidos; esto es, z = n, n ∈ Z+; y para esos puntos Γ(z) no se anula(Γ(n) = (n− 1)!).

Teorema 2.6.22z−1

√π

Γ(z) Γ

(z +

1

2

)= Γ(2z). (2.17)

NLa Rel. (2.17) se llama formula de duplicacion, y sera demostrada en 3.4.

Comentario 2.7. De la teorıa de las funciones analıticas sabemos (ver p. ej, [153,Sec. 7.5]) que si f es una funcion entera que posee un conjunto infinito numerable de ceros,zn; n ∈ Z+, todos ellos simples: con zn = 0 ∀n ∈ Z+; y con lımn→∞ |zn| = ∞, entonces:

f(z) = f(0)ecz Π∞n=1

(1− z

zn

)ez/zn , (2.18)

donde c ≡ ddzln f(z)

∣∣z=0

. Este teorema, aplicado a la funcion 1Γ(z+1)

, nos produce, al usar

luego a la Rel. (2.3) en la forma 1Γ(z)

= zΓ(z+1)

, a:

1

Γ(z)= zeγz Π∞

n=1

(1 +

z

n

)e−z/n ; ∀z ∈ C, (2.19)

siendo γ, la llamada constante de Euler-Mascheroni; la cual viene dada por:

γ = − d ln Γ(z)

dz

∣∣∣∣z=1

= 0, 57721566 · · · , (2.20)

donde la evaluacion de la γ es numerica, y puede efectuarse con la expresion:

e−γ = Π∞n=1

(1 +

1

n

)e−1/n, (2.21)

que se obtiene de (2.19) al tomar z = 1. Al notar que:∑k

n=1 lnn+1n

= ln (k + 1) = ln k+1k

+ln k; de (2.21) se obtiene que:

γ = lımk→∞

(k∑

n=1

1

n− ln k

). (2.22)

Comentario 2.8. La derivada logaritmica de la Γ es de cierta importancia y se ladenota usualmente por ψ(z); denominandola funcion Psi (o funcion Digamma). De laRel. (2.19), obtenemos que:

ψ(z) ≡ d ln Γ(z)

dz= −γ − 1

z−

∞∑n=1

(1

z + n− 1

n

). (2.23)

Al comparar a (2.20) con (2.23), vemos que:

ψ(1) = −γ. (2.24)

3. LA FUNCION BETA 297

Finalmente, la ψ satisface a la Rel.:

ψ(1− z) = π cot πz + ψ(z). (2.25)

En efecto: ψ(1 − z) = −d ln Γ(1−z)dz

, y como Γ(1 − z) = πΓ(z)senπz

(ver (2.12)), tenemos que

ln Γ(1 − z) = lnπ − ln sen πz − ln Γ(z), expresion esta que al derivarse produce la Rel.(2.25).

3. La Funcion Beta

Comentario 3.1. Definiremos a la funcion B; denominada: funcion Beta; ∀a ∈ C,∀b ∈ C, con ℜa > 0 y ℜb > 0, mediante la integral:

B(a, b) =

∫ 1

0

ta−1(1− t)b−1dt; ℜa > 0, ℜb > 0. (3.1)

Dicha integral es convergente para esos valores de a y b (ver p. ej., [149]). Notemos quese tiene: B(a, b) > 0, ∀a, b ∈ R+.

Al hacer el cambio t = 1yen la Rel. (3.1), obtenemos:

B(a, b) =

∫ ∞

1

y−a−b(y − 1)b−1dy. (3.2)

Al hacer el cambio t = sen2 θ en la Rel. (3.1), obtenemos:

B(a, b) = 2

∫ π/2

0

sen2a−1 θ cos2b−1 θdθ. (3.3)

Teorema 3.2.

B(a, b) =Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ b); ℜa > 0; ℜb > 0. (3.4)

Demostracion. De (2.7) tendremos:

Γ(a)Γ(b) = 4

∫ ∞

0

e−y2

y2a−1dy

∫ ∞

0

e−x2

x2b−1dx = 4

∫ ∞

0

∫ ∞

0

e−(x2+y2)y2a−1x2b−1dxdy.

(3.5)Haciendo el cambio a coordenadas polares en la Rel. (3.5), obtendremos:

Γ(a)Γ(b) =

[∫ ∞

0

d(r2)e−r2

(r2)a+b−1

][2

∫ π/2

0

sen2a−1 θ cos2b−1 θdθ

]= Γ(a+ b)B(a, b);

en virtud de las Rels. (2.1) y (3.3). Corolario 3.3.

B(a, b) = B(b, a). (3.6)

Demostracion. Obvia de (3.4). Teorema 3.4.

22z−1B(z, z) = B

(1

2, z

); ℜz > 0. (3.7)


Demostracion. De la Rel. (3.1), al hacer a = b = z, tenemos:

B(z, z) =

∫ 1

0

tz−1(1− t)z−1dt =

∫ 1

0

[1

4−(t− 1

2

)2]z−1

dt. (3.8)

Pero la parabola u ≡ 14−(t− 1

2

)2, es simetrica respecto a la recta t = 1

2, y por lo tanto:

B(z, z) = 2

∫ 1

1/2

[1

4−(t− 1

2

)2]z−1

dt. (3.9)

Al hacer el cambio t− 12≡

√x2

en la Rel. (3.9), obtenemos:

B(z, z) =1

22z−1

∫ 1

0

(1− x)z−1x−1/2dx =B(12, z)

22z−1. (3.10)

Al usar la Rel. (3.4) y (3.7) obtenemos la Rel. (2.17) para ℜz > 0, la cual se extiende

a cualquier complejo z, con z = 0,−1/2,−1,−3/2, · · · , por continuacion analıtica.

Apendice D

Desarrollos Asintoticos. Metodo del Descenso Mas Rapido

1. Desarrollos Asintoticos

Comentario 1.1. Por desarrollo asintotico de una funcion entendemos, esencialmen-te, el comportamiento de esa funcion cerca de un punto en comparacion con otras funcionesque tomamos como referencia. Ver [154], p. ej., ası como a: [155]-[158].

Para una breve historia de los desarrollos asintoticos, ver “Developpements Asympto-tiques” en [159].

Definicion 1.2. Sea D un recinto de C (en particular de R) y D su clausura (estoes, D y su frontera). Sea z0 ∈ D, pudiendo tambien ser |z0| = ∞ (con lo que tambien seincluye la posibilidad z0 = −∞, si D ⊂ R), y g una funcion g : D → C. Entonces:i. El sımbolo o(g), denominado o pequena de g en z0, denotara a cualquier funcion avalores complejos de dominio arbitrario R ⊂ C, con D ⊂ R, para la cual:

lımz→z0z∈D

o(g)(z)

g(z)= 0. (1.1)

Si para f : R → C, tenemos que lımz→z0z∈D

f(z)g(z)

= 0, pondremos:

f = o(g), en z0. (1.2)

Si, por ejemplo: g(z) = zn, n ∈ Z+, es usual poner: o(zn), en vez de o(g).

ii. El sımbolo O(g), denominado O grande de g en D, denotara a cualquier funcion avalores complejos de dominio arbitrario R ⊂ C, con D ⊂ R, para la cual:∣∣∣∣O(g)(z)g(z)

∣∣∣∣ < A; ∀z ∈ D; A es una constante arbitraria con 0 < A <∞. (1.3)

Si para f : R → C tenemos que∣∣∣fg (z)∣∣∣ < B ∈ R+ en D, pondremos:

f = O(g), en D. (1.4)

NIntuitivamente hablando vemos que si f = o(g) en z0, ello quiere decir que f es

despreciable frente a g en z0 (si g no se anula en z0; ver comentario al final de la Def. 1.4);y si f = O(g) en D, ello quiere decir que f es comparable con g en D (o tambien, que fes del tipo g en D).

Definicion 1.3. Sea D un recinto de C (en particular de R) y D su clausura (esto es,D y su frontera). Sea z0 ∈ D (|z0| tambien puede ser infinito), y sean (M + 1) funciones,g0, · · · , gM ; a valores complejos, definidas todas en D, tal que:

gk+1 = o(gk); k = 0, 1, · · · ,M − 1; en z0. (1.5)

299

300 D. DESARROLLOS ASINTOTICOS. METODO DEL DESCENSO MAS RAPIDO

Denotaremos a este conjunto de funciones por N ≡ N(g0, g1, · · · , gM ;D; z0) y lo lla-maremos un conjunto de funciones de comparacion cerca de z0 (o bien: en z0). N

Se supone que estas funciones son conocidas cerca de z0 y como lo indica la definicion,las usamos para comparar otras funciones en terminos de ellas.

Para z0 = ∞, un conjunto muy usado en la literatura es el N(g0, g1, · · · , gM ;D;∞),donde:

gk(z) =1

zk; k = 0, 1, · · · ,M. (1.6)

Frecuentemente el recinto D esta dado por un sector de C; esto es, un conjunto deltipo:

z|R1 < |z| < R2; θ1 < arg z < θ2, (1.7)

donde θ1, θ2 ∈ (−π, π]; R1, R2 ∈ R∗+. R2 = ∞ si z0 = ∞. Tambien es muy usado un

intervalo general abierto de R, o mas generalmente un intervalo abierto y no vacıo de unarecta en el plano complejo (en particular, una semirrecta abierta).

Definicion 1.4. Sea N(g0, · · · , gM ;D; z0) un conjunto de funciones de comparacionen z0. Sea R ⊂ C cualquier conjunto tal que D ⊂ R, y sea f una funcion f : R → C.

Supongamos que existe el lımite (finito):

lımz→z0z∈D

f(z)

g0(z)≡ c0; c0 ∈ C. (1.8)

Supongamos que existe el lımite (finito):

lımz→z0z∈D

f(z)− c0g0(z)

g1(z)≡ c1; c1 ∈ C. (1.9)

y ası sucesivamente hasta llegar para N ≤M a la existencia del lımite (finito):

lımz→z0z∈D

f(z)− c0g0(x)− · · · − cN−1gN−1(z)

gN(z)≡ cN ; cN ∈ C, 0 ≤ N ≤M. (1.10)

Si N = M ; o si N < M , pero cN+1 = ∞ (o cN+1 = −∞) o no existe el lımitepara cN+1; diremos que f admite un desarrollo asintotico de orden N respecto alconjunto N(g0, · · · , gM ;D; z0) cerca de z0; y simbolizaremos a este hecho por:

f ∼z→z0z∈D

c0g0 + c1g1 + · · ·+ cNgN , (1.11)

o tambien por:f = c0g0 + c1g1 + · · ·+ cNgN + o(gN), en z0. (1.12)

Si c0 = ∞ (o c0 = −∞) o no existe el lımite para c0; diremos que f no admite ono posee un desarrollo asintotico respecto a N.

Si f admite un desarrollo asintotico de orden N respecto a N en z0; para todo ındicek ≤ N , para el cual ck = 0, diremos que:

f ∼z→z0z∈D

c0g0 + c1g1 + · · ·+ ckgk; (1.13)

es un desarrollo asintotico de f con precision gk cerca de z0 respecto al conjuntoN(g0, · · · , gM ;D; z0).


Para la Rel. (1.11) o (1.12), si k es el menor de los indices tal que: ck = 0; diremosque la funcion ckgk es la parte principal de f con respecto a N cerca de z0. N

En el uso, cuando no haya peligro de confusion, abreviaremos estas definiciones asıcomo sus notaciones.

Por la misma definicion, es claro que el desarrollo asintotico (1.11) o (1.12) de f conrespecto a N es unico, y que los coeficientes (que son todos finitos, por definicion) sedeterminan sucesivamente con las formulas:

c0 = lımz→z0z∈D

f(z)

g0(z); cj = lım

z→z0z∈D

f(z)−∑j−1

n=0 cngn(z)

gj(z), j = 1, · · · , N. (1.14)

Notemos que al cambiar N; y ello quiere decir cambiar las gk’s, z0 o D; el desarrolloasintotico de una f es un problema diferente.

Si tomamos f(x) = sen πx; g(x) = xsen πx, definidas en (0,∞), tendremos de acuerdoa nuestra defincion 1.2, que f = o(g) en x0 = ∞. Aquı hay que ser cuidadosos, y no decirque f es despreciable frente a g en x0 = ∞, puesto que f(n) = g(n) = 0; n = 0, 1, 2, · · · .Este tipo de situaciones se plantea cuando la g se anula en ciertos puntos de D.

La existencia del desarrollo asintotico de una f respecto a N no implica que fsea unica, ya que existen funciones cuyos coeficientes del desarrollo asintotico son to-dos nulos. Por ejemplo, si f tiene un desarrollo asintotico dado por (1.11) para N =N(1, 1

x, · · · , 1

xN; (1,∞);∞

); entonces como para h(x) = e−x, x ∈ (1,∞), tenemos que

h ∼x→∞

0 (esto es, c0 = · · · = cN = 0); la funcion (h + f) tendra el mismo desarrollo

asintotico que la f .

Ejemplo 1.5. Un ejemplo de desarrollo asintotico lo proporciona una funcion f de-rivable M veces con continuidad en un entorno de x0, ya que entonces el desarrollo deTaylor:

f(x) ∼x→x0x∈D

f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + · · ·+ f (M)(x0)

M !(x− x0)

M ,

es el desarrollo asintotico de la f con respecto a N(g0, · · · , gM ;D;x0), donde gk(x) =(x− x0)

k, y D es un intervalo general abierto de R, con x0 en uno de sus extremos.

Ejemplo 1.6. Veamos otro ejemplo de desarrollo asintotico. Sea:

f(x) =

∫ ∞

x

t−1ex−tdt; x ∈ (0,∞). (1.15)

Sea N(1x, 1x2, · · · , 1

xN; (0,∞);∞

). Queremos verificar que:

f(x) ∼x→∞

1

x− 1

x2+

2!

x3− · · ·+ (−1)N−1(N − 1)!

xN, (1.16)

con respecto a ese N.En efecto, al integrar por partes reiteradamente la integral (1.15), obtenemos:

f(x) =

(1

x− 1

x2+ · · ·+ (−1)N−1(N − 1)!

xN

)+

(−1)NN !

xN+1+ (−1)N+1(N + 1)!

∫ ∞

x

ex−tdt

tN+2.

(1.17)


Como ex−t ≤ 1, ∀t ∈ (x,∞), tenemos que:

∫ ∞

x

ex−tdt

tN+2<

1

(N + 1)xN+1. (1.18)

Entonces, para n = 1, 2, · · · , N :

∣∣∣∣xnf(x)− (1

x− · · ·+ (−1)n−1 (n− 1)!

xn

)∣∣∣∣ < 2n!

x−−−→x→∞

0. (1.19)

Para valores muy grandes de x el miembro derecho de (1.16) es una buena aproxi-macion a f(x). En la practica, estos valores grandes de x, con los cuales (1.16) es unabuena aproximacion pueden ser bastante pequenos; por ejemplo, para x = 10, si llamamos

Sn(x) =∑n

k=1(−1)k−1(k−1)!

xk, tendremos (ver [153]):

S5(10) = 0, 09152; 0 < f(10)− S5(10) < 0, 00012. (1.20)

Siguiendo a Dieudonne (ver [154]), queremos aclarar una confusion muy comun. Es-to es, que la nocion de desarrollo asintotico no tiene nada que ver con la nocion de serie.Una serie tiene infinitos terminos, mientras que por definicion un desarrollo asintotico notiene mas que un numero finito. Hablar de “serie asintotica” (termino muy usado) o de“convergencia” de un desarrollo asintotico carece por lo tanto de todo sentido. Lo queocurre, a veces, es que un desarrollo asintotico puede llevarse arbitrariamente lejos (lo quesucede en el ejemplo; Rels. (1.15) y (1.16); que estamos considerando); en cuyo caso nospodemos plantear el problema de la convergencia o no de esa serie (la cual puede divergero converger). Sin embargo, este ultimo problema no tiene nada que ver con el del desa-rrollo asintotico de la funcion. En el ejemplo que estamos considerando, la “serie” (1.16)asociada a f(x) diverge ∀x > 0 (y por lo tanto no representa a f(x)), lo que se ve alconsiderar: ∣∣∣∣ (−1)NN !xN

(−1)N−1(N − 1)!xN+1

∣∣∣∣ = N

x−−−→N→∞

∞; ∀x ∈ R+. (1.21)

A continuacion damos un teorema que permite obtener desarrollos asintoticos.

Teorema 1.7. Sean f(x) ≡∑∞

n=0 αnxn y g(x) ≡

∑∞n=0 βnx

n dos series convergentes∀x ∈ (0, 1), pero divergentes en x = 1. Si αn, βn ≥ 0, ∀n; con αn, βn ∈ R+, ∀n ≥M ∈ Z+;y si αn

βn−−−→n→∞

δ siendo δ una constante positiva, entonces:

f(x) ∼x→1

δg(x), (1.22)

con respecto a N(g; (0, 1); 1).


Demostracion. Dado ϵ > 0, siempre existira un N ∈ Z+ con N ≥ M , tal que,|αn − δβn| < ϵβn, ∀n > N ≥M . Entonces, ∀x ∈ (0, 1), tendremos:∣∣∣∣f(x)g(x)

− δ

∣∣∣∣ = 1

|g(x)|

∣∣∣∣∣∞∑n=0

(αn − δβn)xn

∣∣∣∣∣≤ 1

|g(x)|

∣∣∣∣∣N∑n=0

(αn − δβn)xn

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∞∑n=N+1

(αn − δβn)xn

∣∣∣∣∣

≤ 1

|g(x)|

N∑n=0

|αn − δβn|+ ϵ∞∑

n=N+1

βnxn

≤ 1

|g(x)|

N∑n=0

|αn − δβn|+ ϵ.

(1.23)

Como g diverge en x = 1, siempre podremos escoger un x suficientemente cercanoa 1, tal que, para cualquier N fijo, el primer termino del lado derecho de (1.23) seaarbitrariamente pequeno (menor que ϵ, p. ej.).

Obviamente podemos invertir los papeles de f y g. Es decir: g ∼x→1

1δf con respecto a

N(f ; (0, 1); 1).

Teorema 1.8 (Suma). Sea N(g0, · · · , gM ;D; z0) dado y R1,R2 ⊂ C dos conjuntoscualesquiera con D ⊂ R1, D ⊂ R2 en los cuales estan definidas las funciones f y hrespectivamente, a valores complejos. Sean:

h ∼z→z0

P∑k=0

akgk, P ≤M ; f ∼z→z0

R∑k=0

bkgk, R ≤M, (1.24)

los desarrollos asintoticos de orden P y R de h y f respectivamente, con respecto a N. Siα, β ∈ C no son nulos, entonces la funcion αh+ βf , admitira un desarrollo asintotico deorden N ≡ mın P,R, con coeficientes ck ≡ αak + βbk, con respecto a N en z0. Esto es:

αh+ βf ∼z→z0z∈D

N∑k=0

(αak + βbk)gk; N = mın P,R. (1.25)

Demostracion. Obvia. En el teorema que sigue, que trata del producto y la integral, vamos a restringir el

conjunto N al dado por (1.6). Esto lo hacemos con el fin de evitar dar mayor estructura alos conjuntos N mas generales.

Teorema 1.9 (Producto e Integral). Sea N(1, 1

z, 1z2, · · · , 1

zM;D;∞

)dado, y R1,R2 ⊂

C dos conjuntos cualesquiera con D ⊂ R1, D ⊂ R2, en los cuales estan definidas lasfunciones f y g respectivamente, a valores complejos. Sean:

f ∼z→∞

P∑k=0

akzk, P ≤M ; g ∼

z→∞

R∑k=0

bkzk, R ≤M, (1.26)

los desarrollos asintoticos de orden P y R de f y g respectivamente, con respecto a N.Entonces:


i. La funcion f(z)g(z) definida ∀z ∈ R1 ∩R2, admite un desarrollo asintotico de ordenN ≡ mın P,R, con respecto a N, dado por:

f(z)g(z) ∼z→∞

N∑k=0

ckzk

; ck =k∑j=0

ajbk−j ; N = mın P,R. (1.27)

ii. Si f es integrable y P > 1, tendremos que:

G(z) ≡∫ z

f(z′)dz′ − a0z − a1 ln z ∼z→∞

−P−1∑k=1

ak+1

k

1

zk, (1.28)

es el desarrollo asintotico de G(z) de orden (P−1) con respecto a N(1z, · · · , 1

zP−1 ;D;∞).

Demostracion. i. Si llamamos:

SP (z) ≡P∑k=0

akzk

; TR(z) =R∑k=0

bkzk, (1.29)

debemos notar que SP (z)TR(z) =∑N

k=0ckzk

+ o(z−N). Entonces:

f(z)g(z) = [SP (z) + o(z−P )][TR(z) + o(z−R)]

= SP (z)TR(z) + SP (z)o(z−R) + o(z−P )TR(z) + o(z−P )o(z−R)

=N∑k=0

ckzk

+ o(z−N),

ya que los tres ultimos terminos son funciones del orden o(z−N).

ii. Si F (z) ≡ f(z)− a0 − a1z, tendremos: F (z) =

∑Nk=2

akzk

+ o(z−P ), de donde obtenemos

la Rel. (1.28) al integrar, ya que∫ zo(w−N)dw = o(z−N+1).

En general no es posible derivar un desarrollo asintotico, como lo demuestran los dos

ejemplos siguientes:

(a) Sea N ≡ N(1, 1

x, · · · , 1

xN; (0,∞);∞

). Para la funcion f(x) = e−xsen ex, x > 0; tenemos

f(x) ∼x→∞

0 con respecto a N. Pero su derivada f ′(x) = −e−xsen ex + cos ex, no posee

desarrollo asintotico con respecto a N ya que el lımx→∞ cos ex no existe.(b) Sea N ≡ N(x; (0,∞);∞). Para la funcion f(x) = x + sen x2, x > 0; tenemos que

f(x) ∼x→∞

x con respecto a N. Pero su derivada f ′(x) = 1 + 2x cosx2, no posee

desarrollo asintotico con respecto a N ya que lımx→∞ cosx2 no existe.Sin embargo, bajo las hipotesis establecidas en 1.9, si la funcion f es derivable

en D y ademas sabemos que esa derivada tiene desarrollo asintotico con respecto aN(1, 1

z, · · · , 1

zN;D;∞

), entonces dicho desarrollo asintotico sera la derivada del desa-

rrollo asintotico de la f . Ello es claro al aplicar el resultado que acabamos de obtenerpara la integral.

Comentario 1.10. Supongamos que una funcion analıtica definida en un recintoD1 posee un desarrollo asintotico con respecto a un conjunto N(g0, · · · , gM ;D1; z0) y quetanto la funcion como el desarrollo asintotico posean una continuacion analıtica a otrorecinto D2 (que posee al menos una frontera comun con D1). Muy a menudo ocurre que el

2. METODO DEL DESCENSO MAS RAPIDO 305

desarrollo asintotico de esa funcion en D2 con respecto a N(g0, · · · , gM ;D2; z0) no existe oque es diferente a la continuacion analıtica a D2 del desarrollo asintotico. A esta ocurrenciase le llama el fenomeno de Stokes.

Como ejemplo consideremos a f(z) = e−1/z definida en D1 dado por ℜz > 0. Tendre-mos que f(z) ∼

z→0ℜz>0

0 con respecto aN(1, z, z2, · · · , zM ;ℜz > 0; 0). f posee una continuacion

analıtica en D2 dado por ℜz < 0 (esto es, f(z) = e−1/z) y la funcion cero tambien (esto es,cero). Pero e−1/z no posee desarrollo asintotico con respecto a N(1, z, · · · , zM ;ℜz < 0; 0).

El hecho que para una funcion f : D → C ocurra el fenomeno de Stokes entre D1

y D2 (con D1 ∪ D2 ⊂ D), es una manifestacion de lo inadecuado que puede resultar elconsiderar un conjunto particular N(g0, · · · , gM ;D; z0) para el desarrollo asintotico de esafuncion en todo D.

Vemos pues, que al especificar el desarrollo asintotico de una funcion con respecto aun conjunto N es muy importante la senalizacion del recinto D en el cual es valido.

2. Metodo del Descenso Mas Rapido

Definicion 2.1. Siguiendo a [154], usaremos las siguientes definiciones.Un camino en C (en particular, en R), es una funcion contınua:

γ : I = [a, b] ⊂ R→ C, (2.1)

−∞ < a < b < ∞, de derivada acotada γ′ la cual es contınua en todo [a, b] excepto(quizas) en un numero finito de puntos. En esos puntos excepcionales se requiere quetanto la derivada a la derecha como a la izquierda existan. Tambien usaremos la notacionalternativa: “Γ” (Γ : I → C); en vez de “γ”.

Este concepto es llamado camino liso por trozos en [56].Al conjunto γ[I] ⊂ C (es decir, al rango de γ) se le llama la trayectoria o la curva

de γ.Diremos que γ esta contenido en un conjunto D ⊂ C, si γ[I] ⊂ D.Los puntos γ(a) y γ(b) se llaman extremos de γ. Si γ(a) = γ(b) diremos que γ es un

lazo.Notemos que un camino es rectificable (esto es, de longitud finita).Un camino sin fin en C, es una funcion γ : I = (a, b) → C (a < b), definida en

un intervalo abierto I de R (acotado o no) y tal que para todo intervalo cerrado [c, d]contenido en I, la restriccion de γ a [c, d] sea un camino. Los conceptos de: trayectoria ocurva, contenido, extremos; se extienden de manera obvia a un camino sin fin. N

Definicion 2.2. Sean f, g dos funciones analıticas definidas en un recinto simple-mente conexo R ⊂ C. f no es una funcion constante. Para un camino γ, el cual quizasa excepcion de sus extremos t1 y t2, esta contenido en R, consideremos a la funcion J(z)definida por la integral:

J(z) =

∫γ

ezf(t)g(t)dt, (2.2)

la cual existe (al menos):

∀z ∈ S0 ≡ w ∈ C|w = |w| eiϕ0 , con |w| > α0 ∈ R+;α0 y ϕ0 consts..


Es decir, (2.2) existe al menos para todos los z’s de una semirrecta abierta en C, de extremoα0.

El objetivo del metodo del descenso mas rapido; tambien llamado metodo delpuerto, metodo del paso, metodo de la silla de montar; consiste en obtener expresionesasintoticas en z0 = ∞ respecto a un conjunto N (a ser especificado), para funciones J(z)definidas por la Rel. (2.2). N

Comentario 2.3. Antes de pasar a los teoremas discutamos heurısticamente a laintegral (2.2), y para ello tomemos g(t) = 1. La mayor contribucion a la integral (2.2)provendra de aquella parte del camino γ para la cual ℜ[zf(t)] sea maximo. En realidad,lo anterior solamente sera cierto si las oscilaciones (dadas por ℑ[zf(t)]) no cancelan estagran contribucion. Lo ideal es entonces encontrar un camino γ, homotopico al γ (ver Def.en [154] o [56]), que tenga una parte γ0 donde ℑ[zf(t)] = const. (con lo que eliminamos alas oscilaciones), donde ℜ[zf(t)] sea un maximo y que ademas el decrecimiento de ℜ[zf(t)]sea muy grande; ya que entonces, para |z| grande, la parte γ0 del camino γ sera la relevantepara la evaluacion de la integral.

Comentario 2.4. Para exponer el metodo del descenso mas rapido debemos recordaralgunos teoremas cruciales respecto a funciones analıticas en R, dadas por:

k(t) = u(x, y) + iv(x, y), (2.3)

siendo u = ℜk; v = ℑk.(a) Cualquier camino γ homotopico al camino γ, y por lo tanto de mismos extremos t1 y

t2, producira la misma funcion J(z) definida por (2.2).(b) Las funciones u y v, definidas en (2.3) no tienen maximos ni mınimos en R ya que son

armonicas (esto es, ∆u = ∆v = 0), aunque los puntos para los cuales k′(t) = 0 sonpuntos de ensilladura.

(c) La maxima variacion de u esta dada por∇u, que es perpendicular a las curvas u(x, y) =const.. Si a esto le anadimos el hecho de que las curvas u = const. y v = const. sonperpendiculares entre sı, obtenemos que la maxima variacion de la u se consigue alseguir las curvas v = const. (este hecho ya cumple con dos de los requerimientos quediscutıamos en 2.3).

(d) Si para t0 ∈ R se cumple que f ′(t0) = 0 y f ′′(t0) = 0, entonces la topografıa dela superficie u = ℜ[zf(t)] es de la forma que indica la Fig. 1. Las curvas AB yCD son las curvas de maxima variacion de ℜ[zf(t)] y corresponden a las dos curvasdefinidas por ℑ[zf(t)] = ℑ[zf(t0)] = const. Existen entornos de t0, pertenecientes aR, los cuales se dividen en cuatro regiones tales que si t = t0: en las regiones I y II,ℜ[zf(t)] < ℜ[zf(t0)] y en las regiones III y IV , ℜ[zf(t)] > ℜ[zf(t0)]. Las regiones Iy II se llaman negativas.

Necesitaremos a los siguientes lemas.

Lema 2.5. ∀a, q ∈ R+; con aq−1 ≥ Γ(q) si q > 1; tendremos que:

V (a) ≡∫ a

0

xq−1e−xdx = Γ(q) +O(aq−1e−a). (2.4)

Demostracion.

V (a) =

∫ ∞

0

−∫ ∞

a

= Γ(q)−∫ ∞

a

.


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ℜ[zf(t)]

ℑt ≡ y

t0

II

IV

IV

IIIIIII

III curva ABcurva CD

ℜt ≡ x

C D

A

B

Figura 1. Topografıa de ℜ[zf(t)]

Para q > 1 tenemos:∫ ∞

a

xq−1e−xdx = e−a∫ ∞

0

e−y(y + a)q−1dy = e−a∫ a

0

+

∫ ∞

a

< e−a

∫ a

0

(2a)q−1e−ydy +

∫ ∞

0

(2y)q−1e−ydy

,

ya que y + a ≤ 2a, ∀y ∈ [0, a]; y + a ≤ 2y, ∀y ∈ [a,∞); y que∫∞a

<∫∞0

puesto que elintegrando es positivo. Entonces:∫ ∞

a

xq−1e−xdx < e−a(2a)q−1(1− e−a) + 2q−1Γ(q)

< 2q−1e−a[aq−1 + Γ(q)] ≤ 2qe−aaq−1 = O(aq−1e−a), si Γ(q) ≤ aq−1.

Ademas, para 0 < q ≤ 1:∫ ∞

a

xq−1e−xdx ≤ aq−1

∫ ∞

a

e−xdx = aq−1e−a = O(aq−1e−a).

Lema 2.6. Para a > 0; b > 0; k = 0, 1, 2, 3, · · · , tendremos que:

U ≡∫ b

−arke−|z|r2dr =

|z|−(k+1)/2 Γ(k+12

)+O

(e−|z|A2

|z|

); k = 0, 2, 4, 6, · · ·

O(e−|z|A2

|z|

); k = 1, 3, 5, · · · ,

(2.5)

∀ |z| > 0; con |z| ≥ 1A2

[Γ(k+12

)] 2k−1 si k ≥ 2; siendo A ≡ mına, b.


Demostracion. Tenemos:

U =

∫ b

0

e−|z|r2rkdr + (−1)k∫ a

0

e−|z|r2rkdr, (2.6)

que obtenemos al hacer r → −r en∫ 0

−a.∫ a

0

e−|z|r2rkdr =|z|−(k+1)/2

2

∫ |z|a2

0

x(k−1)/2e−xdx, (2.7)

obtenida al hacer r =√

x|z| .

Al sustituir el estimado hecho en (2.4) para integrales del tipo (2.7) en la Rel. (2.6),

obtenemos a la Rel. (2.5) ya que |z|−(k+1)/2O(|z|(k−1)/2 e−|z|A2) = O

(e−|z|A2

|z|

).

Teorema 2.7. Sea la funcion J(z) definida en 2.2, tal que cumple:

(a) f(t) tiene un solo punto de ensilladura t0 en R (esto es f ′(t0) = 0); y f ′′(t0) = 0.(b) Los extremos t1 y t2 de γ se encuentran cada uno en una region negativa diferente de

ℜ[zf(t)], (esto es, uno en la region I y el otro en la region II).(c) Existe un camino γ del mismo tipo que γ y homotopico a γ contenido en las dos

regiones negativas, constando γ de tres partes: γ = γ1 + γ0 + γ2. γk es un caminosiendo tk uno de sus extremos y el otro uno de los dos de γ0 (k = 1, 2). γ0 : I → Ces un camino contenido en la clausura de un entorno (un disco abierto) Nδ0 de radioδ0 > 0 centrado en t0, con t0 ∈ γ0[I] ∩ Nδ0, con γ0[I] ∩ Nδ0 = γ0[I] (Nδ0 ⊂ R es laclausura de Nδ0) y con los extremos de γ0 en la frontera de Nδ0; tal que: ℑ[zf(t)] =ℑ[zf(t0)] = const., ∀t ∈ γ0[I] (la existencia de un tal γ se desprende automaticamentede las condiciones (a) y (b)).

Sea Sϕ una semirrecta abierta en el plano complejo, definida por:

Sϕ = w|w = |w| eiϕ, con |w| > βϕ ≥ 0, ϕ y βϕ consts.. (2.8)

Para todo z = |z|eiϕ ∈ Sϕ (para algun valor de βϕ, que va a depender de la funcionJ(z) considerada) y para todo t perteneciente a la trayectorias de γ1 y de γ2, se tiene:

ℜ[zf(t0)]−ℜ[zf(t)] ≥ ℜ(zhϕ) > 0, (2.9)

siendo hϕ una constante compleja no nula que depende del valor ϕ.(d) Existe algun z′ = |z′|eiϕ ∈ Sϕ para el cual la integral siguiente converge (convergencia

absoluta): ∫γ

|g(t)| eℜ[z′f(t)]dt < M. (2.10)

Entonces, si J(z) existe para todo z = |z|eiϕ ∈ Sϕ, tendremos el siguiente desarrollo

asintotico de orden N (para |z| > |z′|+βϕ) respecto al conjunto N(ezf(t0)

z1/2, h1, · · · , hN ; Sϕ;∞

);

hk(z) =ezf(t0)

|z|k+1/2 , k = 1, 2, · · · , N ; N puede ser arbitrariamente grande:

J(z) ∼z→∞z∈Sϕ

ezf(t0)

[g(t0)

√−2π

zf ′′(t0)+

N∑k=1

c2kΓ

(k +

1

2

)1

|z|k+12

], (2.11)


donde los coeficientes c2k vienen determinados por las Rels. (2.12), (2.13) y (2.16) indica-das mas abajo.

Demostracion.

J(z) =

∫γ1

+

∫γ0

+

∫γ2

=

∫γ

.

i. Evaluemos∫γk; k = 1, 2; usando la siguiente desigualdad (ver (2.9)), valida en γk para

|z| > |z′|+ βϕ, con lo que z − z′ ∈ Sϕ:

ℜz[f(t0)− f(t)] = ℜ(z − z′)[f(t0)− f(t)] + z′[f(t0)− f(t)]≥ ℜ[(z − z′)hϕ] + ℜz′[f(t0)− f(t)].

Tendremos (ver (2.10)):∣∣∣∣∫γk

ezf(t)g(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∫γk

|g(t)| eℜ[zf(t)]dt = eℜ[zf(t0)]

∫γk

|g(t)| e−ℜz[f(t0)−f(t)]dt

≤ e−ℜ[(z−z′)hϕ]eℜ[(z−z′)f(t0)]∫γk

|g(t)| eℜ[z′f(t)]dt

< Meℜzf(t0)+z′[hϕ−f(t0)]e−ℜ[zhϕ] = eℜ[zf(t0)]O(e−ℜ(zhϕ)).

Vemos pues que la evaluacion de esta integral sobre γk es del orden ezf(t0)O(e−ℜ(zhϕ)),

termino que es despreciable (ya que ℜ(zhϕ) > 0) frente a ezf(t0)O(|z|−n−1/2), n =0, 1, 2, · · · , si z → ∞; que resulta al evaluar la integral en γ0 como veremos masadelante.

Por lo tanto, despreciamos las integrales sobre γ1 y γ2 con respecto a la integralen γ0.

ii. Definamos en Nδ0 las funciones K y r, ası:

zf(t) = |z| [eiϕf(t)] ≡ |z|K(t), (2.12)

y

K(t) ≡ K(t0)− r2(t). (2.13)

iii. Investiguemos a esta funcion r(t) en Nδ0 y en γ0[I].r2 es una funcion a valores reales en γ0[I], ya que en γ0[I]: ℑK(t) = ℑK(t0) =

const. Se ha escogido el signo menos en r2, pues el hecho de que K(t0) es un maximoen γ0[I] implica que r2 ≥ 0 en γ0[I], lo que lleva a que la funcion r = r(t) es real∀t ∈ γ0[I].

r2 es analıtica en Nδ0 ası como r, a pesar de la raız cuadrada, ya que r(t) =

eiϕ/2√f(t0)− f(t) = eiϕ/2

√−f ′′(t0)

2!(t− t0)2 − · · · y no hay problema al considerar

(t− t0) = |t− t0| eiθ y al hacer θ → θ + 2π (esto es, r es monovaluada).

Ademas drdt

= − K′(t)

2√K(t0)−K(t)

, es diferente de cero ∀t ∈ Nδ0 con t = t0, (ya que

por hipotesis K ′(t) = 0 si t = t0 en Nδ0 , y ademas K(t) es analıtica). Para t = t0,

tendremos por L’Hopital:(drdt

)2= K′(t)2

4[K(t0)−K(t)]→ 2K′(t)K′′(t)

−4K′(t)= −K′′(t)

2−−−→t→t0

−K′′(t0)2

(= 0). Entonces en Nδ0 , r(t) tiene inversa: t = t(r) la cual esta bien definida y


es analıtica en un entorno M0 ≡ r[Nδ0 ] de r0 ≡ r(t0) = 0. Notemos que hemosdemostrado que (ver [154, Pag. 261]):

dt(r)

dr

∣∣∣∣r=0

=

√− 2

K ′′(t0). (2.14)

Finalmente, designemos por γ(r)0 a la imagen de γ0 bajo la transformacion r = r(t).

γ(r)0 sera un intervalo general de R de extremos (−a) y b; con a > 0, b > 0 (esto es;

contiene al cero puesto que t0 ∈ γ0[I], y r(t0) = 0).iv. De las Rels. (2.12) y (2.13) y de lo dicho en iii., resulta que:∫

γ0

g(t)ezf(t)dt = ezf(t0)∫γ0

g(t)e−|z|r2(t)dt = ezf(t0)∫ b

−ae−|z|r2g[t(r)]

dt(r)

drdr. (2.15)

Por analiticidad tendremos:

g[t(r)]dt(r)

dr=

∞∑n=0

cnrn; ∀r ∈ M0. (2.16)

Al comparar (2.14) con (2.16), vemos que:

c0 = g(t0)

√−2

K ′′(t0). (2.17)

De (2.15) y (2.16), obtenemos:∫γ0

g(t)ezf(t)dt = ezf(t0)∫ b

−a

∞∑k=0

ckrke−|z|r2dr. (2.18)

Notemos que la expresion (2.18) es exacta para el camino γ0.v. Entonces, usando las Rels. (2.17), (2.12) y (2.5) en la Rel. (2.18) obtenemos (recordar

que, Γ(12

)=

√π) a la Rel. (2.11), ya que despreciamos O

(e−|z|A2

|z|

)frente a |z|−(k+1)/2.

Corolario 2.8. Bajo las condiciones estipuladas en el teorema 2.7; si g(t) = 1 ∀t ∈R; tendremos para J(z) el siguiente desarrollo asintotico de orden N (para |z| > |z′|+βϕ)respecto al conjunto N (g0, · · · , gN ; Sϕ;∞); gk(z) =

ezf(t0)

zk+1/2 , k = 0, 1, 2, · · · , N :


ezf(t0)N∑k=0

a2kΓ(k + 1

2

)zk+

12

, (2.19)

donde:

ak =1

k!

dk

dtk

[t− t0√

f(t0)− f(t)

]k+1∣∣∣∣∣∣t=t0

; k = 0, 1, 2, 3, · · · , (2.20)


o lo que es lo mismo:


ezf(t0)

[√−2π

zf ′′(t0)+

N∑k=1

a2kΓ(k + 1

2

)zk+

12

]. (2.21)

Demostracion. En Nδ0 tendremos:

r = r(t) =∞∑n=0

dn(t− t0)n; d0 = 0; d1 = eiϕ/2

√−f ′′(t0)

2= 0. (2.22)

En M0, tendremos:

t = t(r) = t0 +∞∑k=1

bkrk ≡ t0 +

∞∑k=1

ck−1

krk, (2.23)

donde hemos hecho bk ≡ ck−1

k; k = 1, 2, 3, · · · por conveniencia para ajustarnos a la

notacion establecida en la Rel. (2.16), ya que entonces:

dt

dr=

∞∑k=1

ck−1rk−1 =

∞∑k=0

ckrk. (2.24)

La inversion (2.24) de la serie (2.22) es conocida (ver p. ej., [154, Pag. 262]; o [13,Pag. 411]), y los coeficientes vienen dados por:

ck =1

k!

dk

dtk

[(t− t0)

k+1

r(t)k+1

]∣∣∣∣t=t0

; k = 0, 1, 2, · · · . (2.25)

Al sustituir r = eiϕ/2√f(t0)− f(t) en (2.25), podemos definir ck ≡ e−iϕ(k+1)/2ak con

lo cual obtenemos (2.20), y a (2.19) o (2.21) al comparar con (2.11).

Notemos que en la Rel. (2.19) o (2.21) hemos recuperado la fase en zk+1/2 (a diferenciade la Rel. (2.11)). Ademas, los coeficientes son mas faciles de hallar, via la Rel. (2.20).

En algunas situaciones resulta facil obtener el desarrollo:

f(t0)− f(t)

(t− t0)2=

∞∑n=0

An(t− t0)n, (2.26)

en cuyo caso obtenemos para (2.20):

ak =1

k!

dk

dxk

[∞∑n=0

Anxn

]− k+12

∣∣∣∣∣∣x=0

; k = 0, 1, 2, · · · . (2.27)

Tomemos de [13] los tres primeros coeficientes, relevantes para la Rel. (2.19) o (2.21):

a0 =1√A0

;a2a0

=15

8A2

1A−30 − 3

2A2A

−20 ;

a4a2

=5 · 7 · 9 · 11

273A4

1A−60 − 5 · 7 · 9

24A−5

0 A21A2 +

5 · 723

A−40 (A2

2 + 2A1A3)−5

2A−3

0 A4.

(2.28)


Comentario 2.9. (a) Si f(t) tiene N0 puntos de ensilladura tk; k = 1, · · · , N0; yexisten N0 caminos γ(k) correspondientes a los puntos tk, siendo cada uno de ellos uncamino del tipo γ senalado por el teorema 2.7, el desarrollo asintotico de J(z) vendradado por la suma de a lo mas N0 desarrollos asintoticos, que tienen el mismo orden,dados por (2.11).

(b) Si el camino γ que se menciona en 2.2, es un camino sin fin, el teorema de Cauchy nonos asegura que al cambiar γ por γ (de ser ello necesario; es decir, si γ no es de unavez un camino sin fin del tipo γ) el J(z) obtenido sea el mismo.

En caso de ser necesario el cambio del camino sin fin γ a otro γ, todo lo dicho enel teorema 2.7 es valido si comprobamos que J no cambia al efectuar ese cambio decamino sin fin. Esa comprobacion puede hacerse a veces considerando un camino yluego pasando al lımite.

Ejercicio 2.10. Apliquemos el metodo del descenso mas rapido a la funcion Γ.Consideremos:

Γ(z + 1) =

∫ ∞

0

e−yyzdy; ℜz > 0. (2.29)

La integral es sobre el eje real en el intervalo [0,∞). Efectuando el cambio de variable:

y = tz; z = |z| eiϕ; |z| > 0, ϕ = const., −π2< ϕ <

π

2; t = |t| e−iϕ, (2.30)

obtenemos la siguiente integral en el plano complejo t:

Γ(z + 1) = zz+1

∫ ∞

0

e−tztzdt = zz+1

∫ ∞

0

ez(ln t−t)dt, (2.31)

donde la trayectoria del camino sin fin de integracion γ es la semirrecta de extremos 0 e∞; de pendiente −ϕ; tal como se indica en la Fig. 2. Debemos considerar entonces, a la

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ϕ

trayectoria

ℜtℑt

t0 = 1

Figura 2. Trayectoria de γ para la Integral (2.32)

integral:

J(z) =

∫γ

ez(ln t−t)dt. (2.32)

En el plano complejo t, la funcion f(t) ≡ ln t − t es (en particular) analıtica en elrecinto R =

t = |t| eiθ| |t| > 0; −π

2< θ < π

2

. Aquı g(t) = 1, ∀t ∈ R. f tiene un solo


punto de ensilladura, t0 = 1 en R, y tenemos que:

f ′(t) =1

t− 1; f(1) = −1; f ′(1) = 0; f ′′(1) = −1. (2.33)

Para aplicar el corolario 2.8 a J(z) dada por (2.32) debemos establecer para queconjuntos de tipo Sϕ (ver (2.8)) contenidos en el recinto ℜz > 0, son validas las suposicionesdel mismo. Solamente haremos ese analisis para el caso real: z ∈ (0,∞); es decir: ϕ = 0.

Para ϕ = 0, se tiene:

f ′(t) < 0 si t > 1 (f decreciente),

f ′(t) > 0 si t < 1 (f creciente).

Se tiene: f(∞) = f(0) = −∞. Los extremos se encuentran en una region negativa

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2δ0

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0

trayectoria

( )

−1

ℜt = t1

f(t)

Figura 3. f(t) y trayectoria de γ para la Funcion Γ si ϕ = 0

diferente.

ℜ[zf(t0)− zf(t)] = |z| [−1− ln t+ t] ≥ |z|h0, h0 > 0.

La condicion (2.10) es satisfecha ∀z′ > 0. Ademas, con (2.26) y (2.28):

f(t0)− f(t)

(t− t0)2=

−1 + t− ln t

(t− 1)2=

1

2− t− 1

3+

(t− 1)2

4+ · · · ⇒ An =

(−1)n

n+ 2,

y hallamos que:

a0 =√2,

a2a0

=15

8

(−1

3

)2

23 − 3

2

1

422 =

1

6,

a4a0

=1

216.


Γ(z + 1) ∼ zz+1e−z

[√2π

z+

√2

6

Γ(1 + 1

2

)z1+

12

+

√2

216

Γ(2 + 1

2

)z2+

12

+ · · ·+O

(1

zN+ 12

)];

Γ

(1 +

1

2

)=

1

2Γ

(1

2

)=

√π

2, Γ

(2 +

1

2

)=

3

2Γ

(1 +

1

2

)=

3√π

4;

Γ(z + 1) ∼z→∞z∈(0,∞)

zz+1e−z√2π

z1/2

[1 +

1

12z+

1

288z2+ · · ·+O

(1

zN

)]. (2.34)

Como Γ(z + 1) = zΓ(z), tendremos que:

Γ(z) ∼z→∞z∈(0,∞)

√2πzz−1/2e−z

[1 +

1

12z+

1

288z2+ · · ·+O

(1

zN

)], (2.35)

llamado desarrollo asintotico de Stirling de orden N (o tambien: “serie” asintoticade Stirling).

Como Γ(n + 1) = n! si n ∈ Z+ (ver C-(2.4)), la Rel. (2.34) nos indica que laparte principal del desarrollo asintotico de n! es la conocida formula de Stirling:

Γ(n+ 1) = n! ∼n→∞n∈Z+

√2πnn+1/2e−n. (2.36)

Afirmaremos (sin demostracion alguna) que la Rel. (2.35) tambien es valida ∀z ∈ D,siendo D = w ∈ C|w = |w| eiϕ; con |w| > 0 y − π < ϕ < π. Es decir, ∀z ∈ C conz /∈ (−∞, 0].

Ejercicio 2.11. Consideremos la integral:

J(1)ν (z) ≡ 1

πi

∫Γ(α)1


∀z ∈ C, z = 0, −π2+ α < arg z <

π

2+ α, α ∈ [0,

π

2),

(2.37)

donde la trayectoria del camino sin fin Γ(α)1 se encuentra especificada en la fig. 4.

Se deja al cuidado del lector el comprobar que la integral en (2.37) existe (en particu-lar, analizando el comportamiento del integrando cuando ℜt → −∞ y ℜt → ∞) ∀ν ∈ C;ası como la satisfaccion de la parte (d) del teorema 2.7 (para el camino sin fin Γ

(α)1 ) para

cada valor admitido de ϕ ≡ arg z y para todo |z| > 0. Frecuentemente, la integral senalada

en (2.37) se expresa:∫Γ(α)1

[·] dt ≡∫∞+(π−α)i−∞+αi

[·] dt.La parte principal del desarrollo asintotico de la expresion (2.37) viene dada por:

J(1)ν (z) ∼z→∞


√2

πzei(z−ν

π2−π

4 ); ∀ν ∈ C, α ∈ [0,π

2). (2.38)

Para comprobar este hecho, sea R ⊂ C el recinto simplemente conexo determinado

por la interseccion de los dos semiplanos abiertos: ℑt > −π4, ℑt < 5π

4. Se tiene que Γ

(α)1

esta contenido en R, ∀α ∈ [0, π2). Sean las funciones analıticas: g(t) = e−νt y f(t) = senh t,


-

6ℑt

ℜt

(π − α)i

5π4i

−π4i

R t0 =π2i

αi-

6-

Figura 4. Trayectoria de Γ(α)1

definidas en R. La funcion f(t) tiene un solo punto de ensilladura t0 =π2i en R; se tiene:

f(t0) = f ′′(t0) = i, g(t0) = e−νπ2i.

Para cada valor fijo de ϕ admitido, se debe buscar un camino sin fin γ(α) = γ(α)1 +

γ(α)0 + γ

(α)2 , del tipo γ senalado en el teorema 2.7 (ver comentario 2.9 (b)); para el cual:

ℑ(|z|eiϕsenh t) = ℑ(|z|eiϕsenh t0) = |z| cosϕ, ∀t ∈ γ(α)0 [I]. Vale decir:

senh (ℜt) cos(ℑt)senϕ+ cosh(ℜt)sen (ℑt) cosϕ = cosϕ; ∀t ∈ γ(α)0 [I]. (2.39)

Notemos que la satisfaccion de la Rel. (2.39) no es suficiente, pues tambien se debesatisfacer la Rel. (2.9). Esto es: |z|ℜ[eiϕsenh t0] − |z|ℜ[eiϕsenh t] ≥ |z|ℜ[eiϕhϕ] > 0. Valedecir, para cada valor de ϕ admitido:

−senϕ− senh (ℜt) cos(ℑt) cosϕ+ cosh(ℜt)sen (ℑt)senϕ ≥ ℜ[eiϕhϕ] > 0, (2.40)

para alguna constante compleja hϕ (podemos tomar: hϕ = ϵϕe−iϕ, ϵϕ > 0) y para todos los

valores de t pertenecientes a las trayectorias de γ(α)1 y de γ

(α)2 .

Observemos que para el valor ϕ = π/2 (por lo tanto: α > 0; y 0 < sen (π − α) =

senα < 1) se podrıa pensar que Γ(α)1 ya es de una vez el camino sin fin γ(α), siendo γ

(α)0 la

parte del camino de trayectoria ℜt = 0; pues la Rel. (2.39) se encuentra satisfecha (0 = 0).Sin embargo, el miembro izquierdo de la Rel. (2.40) arrojarıa: −1 + cosh(ℜt)sen (ℑt) =

−1+cosh(ℜt)senα, fuera del camino γ(α)0 ; y para valores de ℜt cercanos a cero, se tendrıan

valores negativos para esta ultima expresion.Mediante un estudio numerico de las Rels. (2.39) y (2.40) se deduce que existe un

camino sin fin γ(α) del tipo buscado, cuya trayectoria es de la forma indicada en la fig. 5.Se obtiene entonces el resultado (2.38) directamente del teorema 2.7.

Ejercicio 2.12. Como en 2.11, se puede verificar que la parte principal del desarrolloasintotico de la expresion:

J(2)ν (z) ≡ − 1

πi

∫Γ(α)2


∀z ∈ C, z = 0, −π2+ α < arg z <

π

2+ α, α ∈ [0,

π

2),

(2.41)


-

6ℑt

ℜt

(π − α)i

t0 =π2i

αi-

-

Figura 5. Trayectoria de γ(α)

(donde la trayectoria del camino sin fin Γ(α)2 esta especificada en la fig. 6); viene dada por:

-

6ℑt

ℜt

−(π + α)i

αi-

? -

Figura 6. Trayectoria de Γ(α)2

J(2)ν (z) ∼z→∞


√2

πze−i(z−ν

π2−π

4 ); ∀ν ∈ C, α ∈ [0,π

2). (2.42)

Frecuentemente, la integral senalada en (2.41) se expresa:∫Γ(α)2

[·] dt ≡∫∞−(π+α)i

−∞+αi[·] dt.

Las expresiones (2.37) y (2.41) se denominan integrales de Sommerfeld.Mencionemos (sin probarlo) que los desarrollos asintoticos (2.38) y (2.42) son validos

para | arg z| < π.

Bibliografıa

[1] Jackson J.D., Classical Electrodynamics, Third Ed., John Wiley, 1999.[2] Landau L.D. and Lifshitz E.M., The Classical Theory of Fields, Fourth Ed., Pergamon, 1975.[3] Landau L.D. and Lifshitz E.M., Electrodynamics of Continuous Media, Pergamon, 1960.[4] Panofsky W.K.H. and Phillips M., Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Second

Ed., 1962.[5] Stratton J.A., Electromagnetic Theory, Mc. Graw-Hill, 1941.[6] Dirac P.A.M., The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Ed., Oxford, 1962.[7] Fock V.A., Fundamentals of Quantum Mechanics, Mir, 1978.[8] Galindo A. y Pascual P., Mecanica Cuantica, Tomo I, EUDEMA, S.A., 1989.[9] Galindo A. y Pascual P., Mecanica Cuantica, Tomo II, EUDEMA, S.A., 1989.[10] Landau L.D. and Lifshitz E.M., Quantum Mechanics, Non-Relativistic Theory, Third Ed., Perga-

mon, 1977.[11] Messiah A., Quantum Mechanics, Vol. I, North-Holland, 1970.[12] Messiah A., Quantum Mechanics, Vol. II, North-Holland, 1966.[13] Morse P.M. and Feshback H., Methods of Theoretical Physics, Part I, Mc. Graw-Hill, 1953.[14] Morse P.M. and Feshback H., Methods of Theoretical Physics, Part II, Mc. Graw-Hill, 1953.[15] Courant R. and Hilbert D., Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Interscience Publishers, 1953.[16] Courant R. and Hilbert D., Methods of Mathematical Physics, Vol. II, Interscience Publishers, 1966.[17] Reed M. and Simon B., Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I, Functional Analysis,

Academic Press, 1972.[18] Reed M. and Simon B., Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. II, Fourier Analysis, Self-

Adjointness, Academic Press, 1975.[19] Reed M. and Simon B., Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. III, Scattering Theory,

Academic Press, 1979.[20] Reed M. and Simon B., Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. IV, Analysis of Operators,

Academic Press, 1978.[21] Thirring W., A Course in Mathematical Physics, Vol. I, Classical Dynamical Systems, Springer-

Verlag, 1978.[22] Thirring W., A Course in Mathematical Physics, Vol. II, Classical Field Theory, Springer-Verlag,

1979.[23] Thirring W., A Course in Mathematical Physics, Vol. III, Quantum Mechanics of Atoms and Mo-

lecules, Springer-Verlag, 1981.[24] Aubin J.P., Applied Functional Analysis, Wiley-Interscience, 1979.[25] Arfken G.B. and Weber H.J., Mathematical Methods for Physicists, 4th Ed., Academic Press, 1995.[26] Balanzat M., Matematica Avanzada para la Fısica, EUDEBA, 1977.[27] Byron F.W. and Fuller R.W., Mathematics of Classical and Quantum Physics, Vol. I, Addison-

Wesley, 1969.[28] Byron F.W. and Fuller R.W., Mathematics of Classical and Quantum Physics, Vol. II, Addison-

Wesley, 1970.[29] Bitsadze A.V., Equations of Mathematical Physics, Mir, 1980.[30] Bitsadze A.V. and Kalinichenko D.F., A Collection of Problems on the Equations of Mathematical

Physics, Mir, 1980.[31] Butkov E., Mathematical Physics, Addison-Wesley, 1968.[32] Cushing J.T., Applied Analytical Mathematics for Physical Scientists, John Wiley, 1975.

317

318 BibliografIa

[33] Dennery P. and Krzywicki A., Mathematics for Physicists, Harper & Row, 1967.[34] Friedmann B., Principles and Tecniques of Applied Mathematics, John Wiley, 1957.[35] Harper C., Introduction to Mathematical Physics, Prentice-Hall, 1976.[36] Lee T.D., Mathematical Methods of Physics, Columbia University.[37] Mathews J. and Walker R.L., Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, 1965.[38] Mikhlin S.G., Mathematical Physics, an Advanced Course, North-Holland, 1970.[39] Richtmeyer R.D., Principles of Advanced Mathematical Physics, Vol. I, Springer-Verlag, 1978.[40] Richtmeyer R.D., Principles of Advanced Mathematical Physics, Vol. II, Springer-Verlag, 1981.[41] Roman P., Some Modern Mathematics for Physicists and other Outsiders, Vol. I, Pergamon Press,

1975.[42] Roman P., Some Modern Mathematics for Physicists and other Outsiders, Vol. II, Pergamon Press,

1975.[43] Schwartz L., Mathematics for the Physical Sciences, Addison-Wesley, 1966.[44] Sommerfeld A., Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, 1964.[45] Wigner E.P., GROUP THEORY and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra,

Academic Press, 1959.[46] Wyld H.W., Mathematical Methods for Physics, W.A. Benjamin, 1976.[47] Abramowitz M. and Stegun I., Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1974.[48] Gradshteyn I.S. and Ryzhik I.M., Tables of Integrals, Series, and Products, 5th Ed., Academic Press,

1994.[49] Magnus W., Oberhettinger F. and Soni R.P., Formulas and Theorems for the Special Functions of

Mathematical Physics, Springer-Verlag, 1966.[50] Erdelyi A. (editor), Bateman Manuscript Project, Higher Trascendental Functions, Vol. I, Mc. Graw-

Hill, 1953.[51] Erdelyi A. (editor), Bateman Manuscript Project, Higher Trascendental Functions, Vol. II, Mc.

Graw-Hill, 1953.[52] Erdelyi A. (editor), Bateman Manuscript Project, Higher Trascendental Functions, Vol. III, Mc.

Graw-Hill, 1955.[53] Erdelyi A., Bateman Manuscript Project, Tables of Integral Transforms, Vol. I, 1954.[54] Erdelyi A., Bateman Manuscript Project, Tables of Integral Transforms, Vol. II, 1954.[55] Apostol T.M., Calculus, Volumen 1, Segunda Ed., Editorial Reverte, S.A., 1982.[56] Apostol T.M., Mathematical Analysis, Second Ed., Addison-Wesley, 1974.[57] Dixmier J., Matematicas Generales I, Aguilar, 1974.[58] Dixmier J., Matematicas Generales II, Aguilar, 1977.[59] Gel’fand I.M., Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, INC., 1961.[60] Greub, W., Linear Algebra, Fourth Edition, Springer-Verlag, 1975.[61] Greub, W., Multilinear Algebra, Second Edition, Springer-Verlag, 1978.[62] Halmos P.R., Finite-Dimensional Vector Spaces, Second Edition, Van Nostrand, 1958.[63] Santalo L.A., Vectores y Tensores con sus Aplicaciones, EUDEBA, 1976.[64] Synge J.L. and Griffith B.A., Principles of Mechanics, third Ed., Mc. Graw-Hill Book Company,

INC, 1959.[65] Purcell E.M., Electricity and Magnetism, Mc. Graw-Hill, 1965.[66] Eisberg R. and Resnick R., Quantum Physics, John Wiley, 1974.[67] Akhiezer N.I. and Glazman I.M., Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Vol. I, Frederich

Ungar, 1966.[68] Akhiezer N.I. and Glazman I.M., Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Vol. II, Frederich

Ungar, 1963.[69] Cotlar M. and Cignoli R., An Introduction to Functional Analysis, North-Holland, 1974.[70] Dunford N. and Schwartz J.T., Linear Operators, Part I, Interscience Publishers, 1957.[71] Dunford N. and Schwartz J.T., Linear Operators, Part II, Interscience Publishers, 1963.[72] Dunford N. and Schwartz J.T., Linear Operators, Part III, Interscience Publishers, 1971.[73] Kato T., Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, 1976.[74] Riesz F. and Sz-Nagy B., Functional Analysis, Ungar, 1955.

BibliografIa 319

[75] Stone M.H., Linear Transformations in Hilbert Space, American Mathematical Society, 1932.[76] Taylor A., Functional Analysis, John Wiley, 1958.[77] Weidmann J., Linear Operators in Hilbert Space, Springer-Verlag, 1980.[78] Naimark M.A., Normed Algebras, Wolters-Noordhoff, 1972.[79] Plesner A.I., Spectral Theory of Linear Operators, Vol. I, Frederick Ungar, 1969.[80] Plesner A.I., Spectral Theory of Linear Operators, Vol. II, Frederick Ungar, 1969.[81] Schatten R., Norm Ideals of Completely Continuous Operators, 2nd. Printing, Springer-Verlag, 1970.[82] Choquet G., L’enseignement de la Geometrie, Hermann, Paris, 1964.[83] Efimov N.V., Higher Geometry, Mir, 1980.[84] Jauch J.M., Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 1968.[85] Berezin F.A., The Method of Second Quantization, Academic Press, 1966.[86] Klauder J.R. and Sudarshan E.C.G., Fundamentals of Quantum Optics, Benjamin, 1968.[87] Emch G.G., Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-

Interscience, 1972.[88] Neumann J. von, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Univ. Press, 1955.[89] Prugovecki E., Quantum Mechanics in Hilbert Space, Second Ed., Academic Press, 1981.[90] Gel’fand I.M. and Vilenkin N. Ya., Generalized Functions, Vol. IV, Academic Press, 1964.[91] Bogolubov N.N., Logunov A.A. and Todorov I.T., Introduction to Axiomatic Quantum Field Theory,

Benjamin, 1975.[92] Bohm A., The Rigged Hilbert Space and Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1978.[93] Arnold V.I., Ordinary Differential Equations, MIT Press, 1973.[94] Birkhoff G. and Rota G.C., Ordinary Differential Equations, Third Ed., John Wiley, 1978.[95] Braun M., Differential Equations and their Applications, Second Ed., Springer-Verlag, 1978.[96] Coddington E.A. and Levinson N., Theory of Ordinary Differential Equations, Mc. Graw-Hill, 1955.[97] Hochstadt H., Differential Equations, Dover, 1975.[98] Hirsh M.W. and Smale S.,Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic

Press, 1974.[99] Ince E.L., Ordinary Differential Equations, Dover, 1956.[100] Pontryaguin L.S., Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, 1962.[101] Zeldovitch I. et Mychkis A., Elements de Mathematiques Appliquees, Mir, 1974.[102] Hille E., Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, Wiley-Interscience, 1976[103] Rainville E.D., Intermediate Differential Equations, Second Ed., the Macmillan Co., 1964.[104] Atkinson F.V., Discrete and Continuous Boundary Problems, Academic Press, 1964.[105] Churchill R.V., Series de Fourier and Problemas de Contorno, Ediciones del Castillo, 1977.[106] Hanna R.J., Fourier Series and Integrals of Boundary Value Problems, Wiley, 1982.[107] Reid W.T., Sturmian Theory for Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1980.[108] Carlson B.C., Special Functions of Applied Mathematics, Academic Press, 1977.[109] Hochstadt H., The Functions of Mathematical Physics, Wiley Interscience, 1971.[110] Lebedev N.N., Special Functions & their Applications, Dover, 1972.[111] Nikiforov A. et Ouvarov V., Elements de la Theorie des Functions Speciales, Mir, 1976.[112] Rainville E.D., Special Functions, the Macmillan Co., 1960.[113] Talman J.D., Special Functions, Group Theoretical Approach, Benjamin, 1964.[114] Vilenkin N. Ya., Special Functions and the Theory of Representations Groups, Amer. Math. Soc.,

1968.[115] Baym G., Lectures on Quantum Mechanics, Benjamin, 1969.[116] Stakgold I., Green Functions and Boundary Value Problems, Second Ed., Wiley-Interscience, 1998.[117] Barton G., Elements of Green’s Functions and Propagation, Claredon Press, 1991.[118] Hochstadt H., Integral Equations, Wiley Interscience, 1973.[119] Yosida K., Lectures on Differential and Integral Equations, Interscience, 1960.[120] Watson G.N., Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge Univ. Press, 1958.[121] Gray A. and Mathews G.B., A Treatise on Bessel Functions and their Applications to Physics,

Dover, 1966.[122] Bateman H., Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Cambridge Univ. Press, 1964.

320 BibliografIa

[123] Copson E.T., Partial Differential Equations, Cambridge Univ. Press, 1975.[124] Godunov S.K., Ecuaciones de la Fısica Matematica, Mir, 1978.[125] John H.N., Partial Differential Equations, Second Ed., Springer-Verlag, 1975.[126] Kellog O.D., Foundations of Potential Theory, Springer-Verlag, 1967.[127] Mijailov V.P., Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, Mir, 1978.[128] Mizohata S., The Theory of Partial Differential Equations, Cambridge Univ. Press, 1973.[129] Muller C., Mathematical Theory of Electromagnetic Waves, Springer-Verlag, 1969.[130] Petrovsky I.G., Lectures on Partial Differential Equations, Interscience, 1957.[131] Shilov G.E., Generalized Functions and Partial Differential Equations, Gordon and Breach, 1968.[132] Sobolev S.L., Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Pergamon Press, 1964.[133] Tijonov A. y Samarsky A., Ecuaciones de la Fısica Matematica, Segunda Ed., Mir, 1980.[134] Vladimirov V.S., Equations of Mathematical Physics, Marcel Dekker, 1971.[135] Vladimirov V.S., Generalized Functions in Mathematical Physics, Mir, 1974.[136] Weinberger H.F., Partial Differential Equations, Blaisdell, 1965.[137] Zachmanoglu E.C. and Thoc D.W., Introduction to Partial Differential Equations with Applications,

The Williams and Wilkins, 1976.[138] Moon P. and Spencer D.E., Field Theory Handbook, Springer-Verlag, 1966.[139] Yosida K., Functional Analysis, Fifth Ed., Springer-Verlag, 1960.[140] Gel’fand I.M. and Schilov G.E., Generalized Functions, Vol. I, Academic Press, 1964.[141] Gel’fand I.M. and Schilov G.E., Generalized Functions, Vol. II, Academic Press, 1968.[142] Gel’fand I.M. and Schilov G.E., Generalized Functions, Vol. III, Academic Press, 1967.[143] Gel’fand I.M., Graev M.I. and Vilenkin N. Ya., Vol. V, Academic Press, 1966.[144] Ahlfors L.V., Complex Analysis, Second Ed., Mc Graw-Hill, 1966.[145] Cartan H., Elementary Theory of Analitic Functions of One or Several Variables, Addison-Wesley,

1963.[146] Churchill R.V., Brown J.W. and Verkey R.F., Complex Variables and Applications, Mc. Graw-Hill,

Third Ed., 1974.[147] Lavrentiev M. et Chabat B., Methodes de la Theorie des Functions d’une Variable Complexe, Mir,

1972.[148] Svesknikov A. and Tijonov A., The Theory of Functions of Complex Variables, Mir, 1978.[149] Titchmarsh E.C., The Theory of Functions, Oxford Univ. Press, 1939.[150] Evgrafov M.A., Analitic Functions, Dover, 1978.[151] Gunning R.C. and Rossi H., Analitic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall, 1975.[152] Osgood W., Topics in the Theory of Functions of Several Complex Variables, Dover, 1966.[153] Wittaker E.T. and Watson G.N., A Course of Moderns Analysis, Cambridge University Press, 1965.[154] Dieudonne J., Calculo Infinitesimal, Omega, 1971.[155] Blestein N. and Hyelsman R.A., Asymptotic Expansions of Integrals, Holt Rinchart and Winston,

1975.[156] Erdelyi A., Asymptotic Expansions, Dover, 1956.[157] Olver F.W.J., Introduction to Asymptotic Expansions and Special Functions, Academic Press, 1974.[158] Sirovich L., Thecniques of Asymptotic Analysis, Springer-Verlag, 1971.[159] Bourbaki N., Elements d’Histoire des Mathematiques, Springer-Verlag, 2007.[160] Mason M. and Weaver W., The Electromagnetic Field, Dover, 1929.

Indice alfabetico

L real, 83f1 es la continuacion analıtica directa de f2, 288algebra, 25, 33algebra C∗, 33algebra involutiva normada, 33algebra normada, 25algebra∗, 33angulo, xii“serie” asintotica de Stirling, 314

a menos de una fase, 50acotado, 24acotado inferiormente, 35acotado superiormente, 35adjunto, 30argumento principal, xiarmonicos esfericos, 144teorema de adicion para, 147

autoadjunto, 33autoadjunto formal, 85autofuncion generalizada, 59autofunciones, 49autovalor, 48autovalor generalizado, 59autovector, 48

baricentro del sistema, 251base canonica, 63base de soluciones, 82, 87, 97, 100base generalizada, 56base ortonormal, 13Besseldesigualdad de, 9

bien comportada, 276bra, 27bracket, 27buen comportamiento, 276

camino, 305camino liso por trozos, 305camino sin fin, 305Cauchy

problema de, 88sucesion de, 5

Cauchy-Schwartzdesigualdad de, 2

centro de carga, 251centro de masa, 251cero de una solucion, 89cerrado, 4clausura, 4coeficiente de Fourier generalizado, 58coeficientes de Fourier, 10complejo conjugado, xicomplemento ortogonal, 7completitud generalizada, 56completo, 6, 11completo generalizado, 58, 77concomitante bilineal, 85condicion de regularidad, 165condiciones de Dirichlet homogeneas, 122condiciones de frontera, 120, 122homogeneas, 122inhomogeneas, 122mixtas, 122no mixtas, 122periodicas, 123

condiciones de frontera autoadjuntas, 120condiciones de Neumann homogeneas, 123condiciones iniciales, 82, 254confluencia, 96confluentefuncion Hipergeometrica, 104

conjuntoortogonal, 6ortonormal, 7

conjunto de medida nula, 16conjunto ortogonal generalizado, 59conjunto ortonormal en el sentido de la delta, 57conjunto ortonormal generalizado, 57, 76conjunto resolvente, 49conjunto transformado, 20conjunto transformado de C bajo g, xii

321

322 Indice alfabetico

conjunto vacıo, xiconmutador, 29conmutan, 29constante de Euler-Mascheroni, 296constante de Planck, xiiconstante de separacion, 267contenido, 305contiguas, 131continua, 4continuacion analıtica, 291Continuacion analıtica a traves de una frontera,

288continuacion analıtica directaproblema de la, 287

converge debilmente, 5converge fuertemente, 4convergencia en media, 4cota inferior, 35cota superior, 35curva, 305

D’Alembertiano, 254datos de Cauchy, 82, 87, 254Def., xiiDefs., xiidegenerado, 49delta de Dirac, 276delta de Kroenecker, 7densamente definido, 21densidad superficial de carga, 241densidad superficial de cargas, 241denso, 4derivada primera, xiiderivada segunda, xiidesarrollo asintotico de f con precision gk cerca

de z0 respecto al conjuntoN(g0, · · · , gM ;D; z0), 300

desarrollo asintotico de orden N respecto alconjunto N(g0, · · · , gM ;D; z0) cerca de z0,300

desarrollo asintotico de Stirling, 314desarrollo de una onda plana en armonicos

esfericos, 219desarrollo de una onda plana en ondas

cilındricas, 202desarrollo multipolar, 251, 252desarrollos de tipo Hankel, 203desarrollos multipolares, 253desigualdad triangular, 1diagonal, 29, 70diagonalizable, 70diagonalizar un operador, 70diferentes especies, 96dimension, 8

dimension finita, 8dimension infinita, 8Dirichlet, 229discreto, 48dispersion cuadratica media, 66distancia, 6dominio, 20dual, 26

Ec., xiiEcs., xiiecuacion caracterıstica, 69ecuacion de D’Alembert, 253ecuacion de Helmholtz, 229, 265ecuacion de Helmholtz Homogenea, 229ecuacion de Helmholtz Inhomogenea, 229ecuacion de Laplace, 229ecuacion de onda escalar, 253ecuacion de onda escalar en una dimension, 254ecuacion de Poisson, 229, 285ecuacion de Schrodinger, 229, 269ecuacion indicial, 100ecuacion radial, 268ecuacion radial reducida, 111ecuacion secular, 69ecuaciones diferenciales

ordinarias lineales (EDOL), 81EDOL, 81, 86, 95

de Bessel, 91de Hermite, 90de Laguerre, 91Generalizada, 91

de Legendre, 91Asociada, 91

de segundo orden en I, 86Hipergeometrica, 91Confluente, 90

homogenea, 86de orden n, 82

homogeneas analıticas, 95inhomogenea, 86

EDOL de Bessel, 193EDPL, 225EDPL de segundo orden, 225entera, 295enteros positivos, xiequivalentes, 19espacio de Banach, 6espacio de Hilbert, 6espacio de Hilbert de las funciones analıticas, 19espacio de pre-Hilbert, 2espacio normado, 1espacio vectorial euclidiano, 14espacios de Hilbert-Schmidt, 73


espacios de Liouville, 73espectro, 49, 59continuo, 52discreto, 48puntual, 48

espectro continuo, 52espectro generalizado, 59espectro puntual, 48estado, 52estados, 19Eulerformula de, 109nucleo de, 107

evolucion, 52extender el operador, 34extension, 34extremo regular, 121extremo singular, 121extremos, 305

formula de D’Alembert, 254formula de duplicacion, 296formula de Euler, 109formula de Leibnitz, 170formula de Poisson, 260formula de Rodrigues, 135, 153, 162formula de Stirling, 314fase, 50fenomeno de Stokes, 305formaautoadjunta, 93normal, 86

frontera natural, 287fuente, 253funcion, xiifuncion armonica, 229funcion Beta, 297funcion caracterıstica, 48funcion de Bessel de primera clase y de orden ν,

194funcion de Bessel de segunda clase, 195funcion de Bessel modificada de primera clase,

197funcion de Bessel modificada de segunda clase,

198funcion de Dirichlet, 17funcion de Green, 173, 174funcion de Green causal, 258funcion de Green retardada, 258funcion de Heaviside, 278funcion de Hermite de grado ν, 159funcion de Laguerre, 152funcion de Legendrede grado ν y orden m, 139

de primera clase, 133funcion de Macdonald, 198funcion de Neumann, 195funcion Digamma, 296funcion esferica de Bessel de primera clase, 199funcion esferica de Bessel de segunda clase, 199funcion Gamma, 293funcion generalizada de Laguerre, 151funcion generatriz, 136, 154, 161, 202funcion inversa, 22funcion lineal, 20funcion Psi, 296funcion salto, 278funcion signo, 279funcional lineal, 20funcionesiguales, 21

funciones cilındricas, 91, 193funciones de Bessel, 193funciones de Bessel de tercera clase, 196funciones de comparacion cerca de z0, 300funciones de cuadrado integrable, 14funciones de Green, 233, 256funciones de Hankel, 196funciones de onda, 19funciones esfericas de Bessel de tercera clase,

199funciones esfericas de Hankel, 199funciones especiales, 90funciones multivaluadas, 290

GreenIdentidad Generalizada de, 85

Hermıtico, 33Hermite, 90, 115ecuacion diferencial de, 115polinomios de, 98

Hipergeometricafuncion, 101

idempotente, 44identidad de polarizacion, 61identidad del paralelogramo, 60identidades de Parseval, 12iguales, 21imagen inversa de Z bajo f , 15indeterminacion, 66integral de Fourier-Bessel, 215integral de Lebesgue, 16integrales de Sommerfeld, 316intervalo general, 14invariante, 50inversa, 22


inversa a la derecha, 176invertible, 22involucion, 33isomorfos, 19

ket, 27

LagrangeIdentidad de, 84, 85

Laplacenucleo de, 107

Laplaciano formal, 265Laplaciano generalizado, 285lazo, 305linealmente independiente, 61Liouville, formula de, 89

metodo de las imagenes, 242metodo del descenso mas rapido, 306modulo, xi, xiimatrices de Pauli, 74matrices similares, 68matriz A de A, 68matriz de A en la base en, 68matriz ortogonal, 42mayor cota inferior, 35medida de Lebesgue, 15medida del angulo, xii, 6Mellinnucleo de, 107

menor cota superior, 35momento dipolar, 251multiplicacion de F con un escalar λ, 21multiplicidad, 49multiplicidad algebraica, 69multiplicidad geometrica, 49multipolos, 251, 252mutuamente ortogonales, 6, 47

nucleo, 105numero cuantico magnetico, 169numero cuantico principal, 165, 169numero cuantico radial, 165numeros complejos, xinumeros cuanticos parabolicos, 169numeros enteros, xinumeros naturales, xinumeros racionales, xinumeros reales, xiNeumann, 229no degenerado, 49norma, xi, xii, 1norma de Hilbert-Schmidt, 73norma de Liouville, 73

normalizado, 6normalizar, 6notacion de Dirac, 27, 35

O grande, 299o pequena, 299observable componente z del momento angular

orbital, 37observable energıa cinetica, 77observable energıa cinetica en una caja, 38observable energıa de una partıcula libre en una

caja, 38observable espın, 74observable momento angular orbital, 78observable momentum, 39, 77observable momentum en una caja, 37observable posicion, 39, 77observable posicion en una caja, 36observables, 52ondas esfericas, 256ondas planas, 255operador, 27

adjunto formal, 84diferencial formal, 83peso asociado al, 84

operador cero, 23operador coordenada radial, 166operador de “k” componentes, 59operador de proyeccion, 44operador de proyeccion en el subespacio

vectorial generado por φ, 35operador formal Lx estrella, 84operador identidad, 23operador inverso, 22operador lineal, 20, 27operador unitario, 41operador vectorial, 78operadores similares, 67operadores vectoriales, 59, 77ortogonal

matriz, 42proyeccion, 7

ortogonales, 6ortogonales entre sı, 6, 47ortonormal

base, 13oscilador

armonico clasico, 90oscilador armonico, 112, 115

amortiguado, 92

P.S-L., 120P.S-L. regular, 121P.S-L. singular, 121


P.S-L.R., 121P.S-L.S., 121parte imaginaria, xiparte principal de f con respecto a N cerca de

z0, 301parte real, xiparte singular de la funcion de Green, 239perpendicularidad, 6perturbacion impulsiva, 176peso, 84peso asociado al operador, 84polinomio caracterıstico, 82polinomio de Legendre, 133polinomios armonicos, 146polinomios de Hermite, 159polinomios de Laguerre, 152polinomios generalizados de Laguerre, 152positivo, 35potencial de Coulomb, 111potencial de Lienard-Wiechert, 262potencial de Morse, 116potencial retardado, 258primera identidad de Green, 227principio de causalidad, 256principio de incertidumbre, 76principio de incertidumbre de Heisenberg, 67principio de reciprocidad, 182, 235, 237, 238,

256Principio de Simetrıa de Schwartz, 289problema de Cauchy, 254Problema de Sturm-Liouville, 120problema exterior, 229problema interior, 229proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt,

62producto de G con F , 21producto escalar, xii, 2propiedades de simetrıa, 103proyeccion ortogonal, 7proyector, 44proyector asociado, 45proyector ortogonal, 44punto ordinario, 95punto singular, 95punto singular irregular, 96punto singular regular, 95

raıces caracterısticas, 69racionales positivos, xiradio de Bohr, 111rango, 20rayo unitario, 52reales extendidos, xireales extendidos positivos, xi

reales positivos, xirealizaciones diferentes, 19recinto, 95regla canonica de conmutacion, 67, 76, 77regulares en el infinito, 228Rel., xiirelacion de cierre, 36relacion de cierre generalizada, 58, 77relacion de clausura, 36relacion de clausura generalizada, 58, 77relacion de Kramers, 167relacion de recurrencia, 98relaciones de recurrencia, 137Rels., xiirepresentacion de A en la base φn, 29representacion de Laplace, 135representacion integral, 105representacion integral de Schlafli, 135representacion matricial, 68representaciones de la δ de Dirac, 276Rieszteorema de, 27

sector, 300segunda identidad de Green, 227segunda solucion, 86separable, 8serie de Dini, 213serie de Fourier-Bessel, 213serie de Fourier-Dini, 213simetrico, 33simple, 49singularidad, 95singulariza, 245sistemafundamental, 87ortogonal, 6ortonormal, 7

solucion, 82, 86solucion general, 87, 97, 100solucion no trivial, 86solucion particular, 87, 176solucion particular retardada, 258solucion trivial, 86subespacio vectorial asociado a λ, 50subespacio vectorial generado, 12suma de F con G, 21sup, xisupremo, xi

tecnica de la separacion de variables, 232termino monopolar, 251terminos cuadrupolares, 251terminos dipolares, 251


terminos multipolares, 251teorema de adicion para los armonicos esfericos,

147teorema de Green, 227teorema de Pitagoras, 61teorema de Plancherel, 283ternas de Gel’fand, 60ternas Hilbertianas, 60tiempo retardado, 262tiende uniformemente a cero en el infinito, 228transformacion de Kummer, 148transformada de Fourier, 281transformada de Fourier inversa, 282transformada integral, 105transformadas de Hankel, 215trayectoria, 305traza, 70, 71

valor medio, 52valor propio, 48valores medibles, 52variables dinamicas, 52vector propio, 48vector unitario, 6

Wronskiano, 88

curso en metodos de la f isica teoricafisica.ciens.ucv.ve/pltorres/metodos.pdf · curso en metodos...

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