curso de química de simetría coordinación...

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5 abril 09 Simetría 0

SimetríaSimetría

Rafael Moreno EsparzaRafael Moreno Esparza(2009-2)(2009-2)

Curso de Química deCurso de Química decoordinacióncoordinación


SimetríaSimetríaAntes de comenzar a trabajar con este concepto,Antes de comenzar a trabajar con este concepto,conviene familiarizarnos con su lenguajeconviene familiarizarnos con su lenguajePor el momento confinaremos la discusión a losPor el momento confinaremos la discusión a loscompuestos octaédricos que además de ser los máscompuestos octaédricos que además de ser los másabundantes, tienen la ventaja de que son muyabundantes, tienen la ventaja de que son muysimétricossimétricos¿Pero que significa simetría?¿Pero que significa simetría?La simetría es un fenómeno común en laLa simetría es un fenómeno común en lanaturalezanaturalezaY resulta muy difícil desestimar la importancia deY resulta muy difícil desestimar la importancia dela simetría en la ciencia en general y en particularla simetría en la ciencia en general y en particularen la químicaen la química


SimetríaSimetríaEs decir, los métodos de análisis de la simetría,Es decir, los métodos de análisis de la simetría,además de que permiten simplificar el tratamientoademás de que permiten simplificar el tratamientode los problemas complejos, constituyen unde los problemas complejos, constituyen unlenguaje unificador de estos problemaslenguaje unificador de estos problemasLa simetría en matemáticas es un poco másLa simetría en matemáticas es un poco másrestrictiva que la que empleamos en la vidarestrictiva que la que empleamos en la vidacotidianacotidianaAsí, decimos que un objeto tiene simetría si tieneAsí, decimos que un objeto tiene simetría si tienedos o más orientaciones en el espacio que sondos o más orientaciones en el espacio que sonindistinguibles una de otraindistinguibles una de otra


SimetríaSimetríaLas primeras observaciones y clasificaciones de loscristales se basaron en su simetríaEl NaCl forma cubos perfectos, la alúmina formaoctaedros, hasta los copos de nieve sonhexagonales.Estas formas tan particulares, no son mas que unreflejo de la estructura interna de estos materiales.Si las moléculas que forman estos materialestienen simetría, es razonable pensar que seacomodarán en un arreglo simétrico.Claro que este arreglo estará influenciado poralgunos otros factores como las fuerzasintermoleculares y la disponibilidad de espacio.

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SimetríaSimetríaEn general se puede decir que debe existir unacuerdo entre la energía potencial, el espaciodisponible y la simetría del sistema.Lo más importante aquí es hacer notar que lasimetría en los cristales es esencialmente unresultado de los mismos factores que hacen que lacristalinidad sea el estado natural de una partículaSi no nos sorprende que los materiales sólidos seancristalinos, debemos aceptar entonces que laaparición de la simetría es una consecuenciainevitable de algunas leyes muy simples.Veremos finalmente que la cristalinidad puedeconsiderarse como una clase especial de simetría.La utilidad de la simetría se extiende más allá de lasaplicaciones en la cristalografía.


SimetríaSimetríaHasta el momento hemos hablado de la simetríacomo si todo mundo supiera de lo que se trata.Aunque esto es probablemente cierto al menoscualitativamente, es mejor tener una definición quenos asegure que tenemos la misma comprensión delconcepto de simetría, esta definición puedeexpresarse así:Se dice que un objeto o figura tiene simetríasi un movimiento u operación aplicado a lafigura la deja en una posición indistinguiblede la posición original.Es decir, la inspección del objeto y sus alrededoresno muestran si la operación se ha llevado a cabo ono.


SimetríaSimetríaEn la figura se tiene la representación de unamolécula de agua.Si rotamos la molécula 180° alrededor del ejerepresentado por la flecha.

El átomo de O a pesar de que le dimos la vuelta nomuestra ningún cambio.Ahora bien, los átomos de H habrán cambiado deposición sin embargo, no hay manera de apreciarlopues estos son iguales entre sí y en esta moléculatienen entornos químicos idénticos.

H1 H2 H2 H1


SimetríaSimetríaO sea que, la rotación de 180° aplicada a lamolécula de agua la ha dejado en una posiciónindistinguible de su posición original, y estosatisface nuestra definición de simetría.En el agua esta rotación alrededor del eje que bisecaal ángulo H-O-H, es una operación de simetría.Y el propio eje de rotación es un elemento desimetría.Este elemento de simetría se designa con el símboloC2 en la notación de Schoenflies (empleada por losespectroscopistas), o simplemente con el símbolo 2en la notación internacional de Hermann-Mauguin(que prefieren usar los cristalógrafos.)Además de designar al elemento de simetría, C2 o 2también implica la operación de rotar 180°

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Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaDe esta manera, en el caso de una esfera, podemosDe esta manera, en el caso de una esfera, podemosorientarla de la manera que se nos de la gana (unorientarla de la manera que se nos de la gana (unnúmero infinito de orientaciones)número infinito de orientaciones)Y no podremos distinguirlas unas de las otras, porY no podremos distinguirlas unas de las otras, portanto, la esfera tiene gran simetríatanto, la esfera tiene gran simetríaEl criterio para juzgar esto se basa en dos factoresEl criterio para juzgar esto se basa en dos factoresinterrelacionados:interrelacionados:

elementos de simetríaelementos de simetría del objeto y las del objeto y lasoperaciones de simetríaoperaciones de simetría que se le pueden aplicar que se le pueden aplicar


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaUn Un elemento de simetríaelemento de simetría es una propiedad de un es una propiedad de unobjeto respecto a la cual se puede llevar a cabo oobjeto respecto a la cual se puede llevar a cabo ose puede aplicar una se puede aplicar una operación de simetríaoperación de simetríaUna Una operación de simetríaoperación de simetría es la transformación de es la transformación deun objeto respecto a sus un objeto respecto a sus elementos de simetríaelementos de simetría,,que deja al objeto en una posición que esque deja al objeto en una posición que esindistinguible de su posición originalindistinguible de su posición originalCada objeto, tendrá un conjunto de Cada objeto, tendrá un conjunto de elementos deelementos desimetríasimetría sobre los cuales pueden aplicarse las sobre los cuales pueden aplicarse lasoperaciones de simetríaoperaciones de simetría apropiadas apropiadas


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaSi en el objeto existe un punto en el espacio queSi en el objeto existe un punto en el espacio quepermanece sin cambio al aplicar todas laspermanece sin cambio al aplicar todas lasoperaciones de simetríaoperaciones de simetría pertenecientes al objeto pertenecientes al objetoestudiado, la simetría resultante se le conoce comoestudiado, la simetría resultante se le conoce comosimetría puntualsimetría puntualCualquier objeto existente tendrá uno o másCualquier objeto existente tendrá uno o máselementos de simetríaelementos de simetría y por tanto será posible y por tanto será posibleaplicar una o más aplicar una o más operaciones de simetríaoperaciones de simetríaAl conjunto de Al conjunto de elementos de simetríaelementos de simetría de un objeto de un objetose le llama se le llama grupo puntualgrupo puntualPrimero discutiremos cuPrimero discutiremos cuááles son los les son los elementos deelementos desimetrsimetríaía y después presentaremos los y después presentaremos los gruposgrupos..


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaAsí, los objetos en general y en el caso de laAsí, los objetos en general y en el caso de laquímica, las moléculas; pueden tener una serie dequímica, las moléculas; pueden tener una serie deelementos de simetría, estos elementos son:elementos de simetría, estos elementos son:

IdentidadIdentidad EERotación propiaRotación propia CCnn

Centro de simetría o de inversiónCentro de simetría o de inversión iiPlano de simetríaPlano de simetría

VerticalVertical σσvv

DiedroDiedro σσdd

HorizontalHorizontal σσhh

Rotación impropiaRotación impropia SSnn

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Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaAlgunos de ustedes les serán familiares algunosAlgunos de ustedes les serán familiares algunosde los elementos,de los elementos,A continuación los definiremos en términos deA continuación los definiremos en términos delas operaciones aplicables al objeto al quelas operaciones aplicables al objeto al quepertenecenpertenecen

IdentidadIdentidad EELa operación de identidad no afecta al objetoLa operación de identidad no afecta al objeto(molécula) es decir, no le hace nada o sea que lo(molécula) es decir, no le hace nada o sea que lodeja como estaba (deja como estaba (x,y,zx,y,z ⇒⇒ x,y,zx,y,z))Como su nombre lo indica es el elemento queComo su nombre lo indica es el elemento quetienen todos los objetos y forma parte de todostienen todos los objetos y forma parte de todoslos los grupos puntualesgrupos puntuales


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaEn el siguiente diagrama se muestra un ejemplo deEn el siguiente diagrama se muestra un ejemplo dela operación la operación identidad (E)identidad (E)


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaRotación propiaRotación propia CCnn

Si al girar una moléculaSi al girar una molécula 360°360°/n/n (donde (donde nn es un es unentero) entero) se obtiene como resultado unase obtiene como resultado unaconfiguración indistinguible, decimos que laconfiguración indistinguible, decimos que lamolécula tiene un eje rotacionalmolécula tiene un eje rotacional nnEntonces, la rotación propia es un giroEntonces, la rotación propia es un giro(operación de simetría) en un eje de rotación(operación de simetría) en un eje de rotación(elemento de simetría) de(elemento de simetría) de 22ππ//nn gradosgradosPor ejemplo, una operaciónPor ejemplo, una operación CC22 es un giro en unes un giro en unelementoelemento (eje C(eje C22)) de de 22ππ//22 grados es decir 180°grados es decir 180°Las rotaciones propias pueden serLas rotaciones propias pueden ser CC11, , CC22, , CC33, , CC44,,CC55, , CC66,,……CC∞∞


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaEn el siguiente diagrama se presenta un ejemploEn el siguiente diagrama se presenta un ejemplode la operaciónde la operación CC44

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Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaY en este un ejemplo de la operaciónY en este un ejemplo de la operación CC∞∞

Finalmente sobre la misma molécula un ejemploFinalmente sobre la misma molécula un ejemplode la operaciónde la operación CC22


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaCentro de inversiCentro de inversiónón iiUna molécula tiene un centro de simetría si esUna molécula tiene un centro de simetría si esposible mover en línea recta cualquier átomo de laposible mover en línea recta cualquier átomo de lamolécula a través de un punto hasta un átomomolécula a través de un punto hasta un átomoidéntico a la misma distancia al otro lado de esteidéntico a la misma distancia al otro lado de estepuntopuntoEs decir, el centro de simetría es un punto en laEs decir, el centro de simetría es un punto en lamolécula a través del cual todos los otros puntosmolécula a través del cual todos los otros puntosse inviertense invierten(x,y,z(x,y,z ⇒⇒ -x-x,-y,,-y,-z-z))


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaUn ejemplo de la operación Un ejemplo de la operación ii se presenta aquí: se presenta aquí:


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaPlanos de simetríaPlanos de simetría

El elemento de simetría es un plano especularEl elemento de simetría es un plano especular(un espejo pues) y la operación de simetría es(un espejo pues) y la operación de simetría esuna reflexión a través de dicho planouna reflexión a través de dicho planoExisten tres tipos de planos especularesExisten tres tipos de planos especulares,,

Vertical Vertical ((σσvv)), , DiedroDiedro ((σσdd)) yyHorizontalHorizontal ((σσhh))

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Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaPlanos de simetríaPlanos de simetría

Los tres planos de simetrLos tres planos de simetría son:ía son:El plano de simetría verticalEl plano de simetría vertical σσvv es verticales verticalrespecto al eje principal de rotación de larespecto al eje principal de rotación de lamolécula (es decir el de mayormolécula (es decir el de mayor nn))El plano de simetría El plano de simetría diedraldiedral σσdd se encuentra ase encuentra aun ángulo respecto al eje principal de laun ángulo respecto al eje principal de lamoléculamoléculaFinalmente,Finalmente, el plano de simetría horizontalel plano de simetría horizontal σσhhes horizontal respecto al eje principal dees horizontal respecto al eje principal derotación de la molécularotación de la molécula


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaPlano especular VerticalPlano especular Vertical ( (σσvv),),

Un plano vertical se muestra en el siguienteUn plano vertical se muestra en el siguienteejemploejemplo::


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaPlano especular HorizontalPlano especular Horizontal ( (σσhh))

Un plano horizontal se muestra en el siguienteUn plano horizontal se muestra en el siguienteejemplo:ejemplo:


Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaPor último, un ejemplo de unPor último, un ejemplo de un plano especularplano especulardiedrodiedro ((σσdd)) es:es:

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Símbolos y simetríaSímbolos y simetríaRotación impropiaRotación impropia SSnn

Este Este elemento de simetríaelemento de simetría requiere de las dos requiere de las dosoperaciones de simetríaoperaciones de simetría,,Cada una por si misma Cada una por si misma no es una no es una operación deoperación desimetríasimetría del objeto del objeto,,pero cuando se aplican en secuencia se obtienepero cuando se aplican en secuencia se obtieneuna configuración indistinguible de la moléculauna configuración indistinguible de la molécula


Definición de grupo puntualDefinición de grupo puntualLa mayoría de las moléculas simples o ionesLa mayoría de las moléculas simples o ionespoliatómicos y claro los compuestos depoliatómicos y claro los compuestos decoordinación, tienen más de un coordinación, tienen más de un elemento deelemento desimetríasimetría y muy a menudo cuentan con varias y muy a menudo cuentan con variasrepeticiones del mismo repeticiones del mismo elementoelementoA la A la colección de elementos de simetríacolección de elementos de simetría que una que unamolécula posee se le llama molécula posee se le llama grupo puntualgrupo puntualLa palabra La palabra puntualpuntual indica que al menos un puntoindica que al menos un puntoen la molécula permanece fijo al aplicárseleen la molécula permanece fijo al aplicárselecualquier operación de simetríacualquier operación de simetríaLa palabra La palabra grupogrupo implica una serie de condiciones implica una serie de condicionesmas o menos severas que deben cumplirsemas o menos severas que deben cumplirse


Definición de grupo puntualDefinición de grupo puntualUn Un grupo puntualgrupo puntual es la colección de es la colección de elementos deelementos desimetríasimetría que tiene un objeto determinado y que tiene un objeto determinado ynecesariamente incluye al elemento de necesariamente incluye al elemento de identidadidentidadEn todas las operaciones que hemos discutido, alEn todas las operaciones que hemos discutido, almenos hay un punto que no se mueve debido a lamenos hay un punto que no se mueve debido a laoperaciónoperaciónAsAsí, í, todos los puntos en un eje de rotación propia otodos los puntos en un eje de rotación propia oen un plano especular son estacionarios y no seen un plano especular son estacionarios y no segeneran nuevos puntos en ellos por la acción delgeneran nuevos puntos en ellos por la acción deloperadoroperadorEn los casos de la En los casos de la rotación impropiarotación impropia o de la o de lainversióninversión, hay un punto que queda fijo durante la, hay un punto que queda fijo durante laoperaciónoperación


Definición de grupo puntualDefinición de grupo puntualEn general, si queremos discutir la simetría de lasEn general, si queremos discutir la simetría de lasmoléculas únicamente necesitamos de losmoléculas únicamente necesitamos de loselementos de los que hemos habladoelementos de los que hemos habladoA estos elementos se les conoce como A estos elementos se les conoce como elementos deelementos desimetría puntualsimetría puntualPor otra parte, los cristales pueden tener Por otra parte, los cristales pueden tener elementoselementosde simetríade simetría que no dejan fijo ningún punto, a esto que no dejan fijo ningún punto, a estose le conoce como simetría de translación y no lose le conoce como simetría de translación y no lodiscutiremos, los grupos a los que pertenecen sediscutiremos, los grupos a los que pertenecen seconocen como conocen como grupos espacialesgrupos espacialesA continuaciA continuación presentamos los grupos conocidos,ón presentamos los grupos conocidos,es decir aquellos que cumplen con la ley dees decir aquellos que cumplen con la ley decombinación indicadocombinación indicado

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Grupos Grupos CCnnSi los únicos elementos del grupo son un eje deSi los únicos elementos del grupo son un eje derotación y sus potencias rotación y sus potencias CCnn,,CCnn

22,,……EE, se le llama, se le llamagrupo cíclicogrupo cíclico, y como en estos grupos todos los, y como en estos grupos todos loselementos conmutan, se les conoce como elementos conmutan, se les conoce como gruposgruposabelianosabelianosPara diferenciarlos empleamos un subPara diferenciarlos empleamos un subíndice al queíndice al quese llamase llama el orden del grupo el orden del grupo nn..

CC11:: EECCi i :: E iE iCC2 2 :: E CE C22

CC3 3 :: E CE C33 C C3322

CC4 4 :: E CE C44 C C22 C C4422


Grupos Grupos CCnnLa molécula deLa molécula de BrClCH-CHClBr BrClCH-CHClBrtiene únicamente los elementostiene únicamente los elementosde simetría: de simetría: CC22 y y EE..Esta molécula pertenece alEsta molécula pertenece algrupo grupo CC22

En tanto que en la moléculaEn tanto que en la moléculaCHCH33-CCl-CCl33,, se tienen losse tienen lossiguientes elementos:siguientes elementos:CC33, , CC33

22 y y EE..Y pertenece al grupo Y pertenece al grupo CC33


Grupos Grupos CCnhnhTienen un eje de rotaciónTienen un eje de rotación CCnn y además tienen uny además tienen unplano especular perpendicular al eje de rotación yplano especular perpendicular al eje de rotación yademademás un eje de rotación impropioás un eje de rotación impropioSi Si nn = = 11, los únicos elementos de simetría, los únicos elementos de simetríaobservados serán observados serán CC11 y y EEA este grupo en particular se le llamaA este grupo en particular se le llama CCss..

CCss E E σσhh

CC2h2h E CE C22 ii σσhh

CC3h3h E CE C33 CC3322 σσv v SS3 3 SS33

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CC4h4h E CE C44 C C22 C C4433 i S i S4 4 σσhh S S44

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La moléculaLa molécula CHCl CHCl22Br Br perteneceperteneceal grupoal grupo CCss


Grupos Grupos CCnhnhLa configuración La configuración trans trans de la molécula de de la molécula de ClCl22CH-CH-CHClCHCl2 2 tiene los siguientes elementos de simetríatiene los siguientes elementos de simetríaCC22, , σσhh, , ii y y EEPor tanto pertenece al grupo Por tanto pertenece al grupo CC2h2h

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Grupos Grupos CCnvnv

Tienen un ejeTienen un eje CCnn y además y además nn planos especulares planos especulares σσvv

Cuando Cuando n n ==11, hay un solo plano y esto hace que, hay un solo plano y esto hace queCC1v1v = = CC1h1h = = CCss..Estos grupos tienen un orden deEstos grupos tienen un orden de 2n2n

CC2v2v E CE C22 σσvv((xyxy)) σσvv’’((xzxz))

CC3v3v E 2CE 2C33 33σσvv

CC4v4v E 2CE 2C44 C C22 2 2σσvv 22σσdd

CC5v5v E 2CE 2C55 2C 2C5522 5 5σσvv

CC6v6v E 2CE 2C66 2C 2C33 C C22 3 3σσvv 33σσdd


Grupos Grupos CCnvnvEntre las molEntre las moléculas que pertenecen a esta clase deéculas que pertenecen a esta clase desimetría se encuentran el agua y el simetría se encuentran el agua y el CHCH22ClCl22 (ambas(ambastienen la simetría tienen la simetría CC2v2v) por un lado) por un lado

Y por otro el Y por otro el CHCH33Cl Cl que tiene la simetría que tiene la simetría CC3v3v


Grupos Grupos CCnvnvEl grupoEl grupo CC∞∞vv es muy importante pues todas lases muy importante pues todas lasmoléculas lineales que no tienen un planomoléculas lineales que no tienen un planoespecular perpendicular al eje de la moléculaespecular perpendicular al eje de la moléculapertenecen a este grupo.pertenecen a este grupo.El eje principal esEl eje principal es CC∞∞ pues cualquier rotación lapues cualquier rotación ladeja igual.deja igual.Entre las moléculas que tienen la simetrEntre las moléculas que tienen la simetríaía CC∞∞vvestán CO y HCN:están CO y HCN:


Grupos Grupos SSnnLos elementos de estos grupos se generan aplicandoLos elementos de estos grupos se generan aplicandoun eje un eje SSnn. . Un eje Un eje SS11 es idéntico a un plano es idéntico a un plano σσhh..Esto significa que Esto significa que SS11 = = CCss..El eje El eje SS22 es idéntico a un centro de inversión y eles idéntico a un centro de inversión y elgrupo que tiene grupo que tiene EE e e ii como únicos elementos se como únicos elementos sellama llama CCii..Cuando Cuando nn es impar, los grupos es impar, los grupos SSnn y y CCnhnh son sonequivalentes y usamos la segunda notación.equivalentes y usamos la segunda notación.La otra notación La otra notación SSnn la emplearemos cuando la emplearemos cuando nn es par. es par.Al grupo Al grupo SS66 se le llama se le llama CC3i3i en algunas ocasiones en algunas ocasiones(tiene un eje (tiene un eje CC33 y un centro de inversión y un centro de inversión ii..

SS44 E SE S44 C C22 S S4433

SS66 E CE C33 C C3322 i S i S66

55 S S66

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Grupos Grupos DDnnLas clasesLas clases CCnn,, CCnhnh,, CCnvnv, y , y SSnn, son las únicas donde, son las únicas dondehay un solo eje de rotación.hay un solo eje de rotación.Cuando ademCuando además se cuentaás se cuenta nn ejes ejes CC22 perpendiculares perpendicularesa un eje a un eje CCnn,, se les conoce con el nombre de se les conoce con el nombre de DDnn y sey seles designa les designa también también con un subcon un subíndice queíndice quecorresponde al número de ejescorresponde al número de ejesperpendiculares perpendiculares CC22

DD22:: E CE C22(x) C(x) C22(y) C(y) C22(z)(z)DD3 3 :: E 2CE 2C33 3C 3C22DD4 4 :: E 2CE 2C44 C C22=C=C44

2 2 2C2C22’’ 2C 2C22””El etano es un ejemplo de El etano es un ejemplo de DD33,,siempre y cuando no estésiempre y cuando no estéalternado.alternado.


Grupos Grupos DDnhnh

Además de los ejesAdemás de los ejes CCnn y losy los nn ejes ejes CC22, , estos gruposestos grupostienen un plano especular perpendicular al ejetienen un plano especular perpendicular al eje CCnn

Las moléculas lineales que tienen un planoLas moléculas lineales que tienen un planoespecular perpendicular al eje molecular o principalespecular perpendicular al eje molecular o principalsonson DD∞∞hh

DD2h2h E CE C22(x)(x) C C22(y)(y) C C22(z)(z) i i σσvv((xyxy)) σσvv((xzxz)) σσvv((yzyz))

DD3h3h E 2CE 2C33 3C 3C22 σσhh 2S 2S33 3 3σσvv

DD4h4h E 2CE 2C44 2C 2C22 2C 2C22’’ 2C 2C22”” i 2S i 2S44 σσhh 2 2σσvv 2 2σσdd

DD5h5h E 2CE 2C55 2C 2C5522 5C 5C22 σσhh 2S 2S55 2S 2S55

33 5 5σσvv

DD6h6h etcetc



Las moléculas lineales que tienen un planoLas moléculas lineales que tienen un planoespecular perpendicular al eje molecular o principalespecular perpendicular al eje molecular o principalsonson DD∞∞hh

Moléculas lineales que tienen la simetríaMoléculas lineales que tienen la simetría DD∞∞hh



Esta clase de grupos tiene un eje Esta clase de grupos tiene un eje CCnn yynn ejes ejes CC22 perpendiculares al eje perpendiculares al eje CCnn

y además y además nn planos especulares verticales queplanos especulares verticales quebisecan los ángulos entre los ejes bisecan los ángulos entre los ejes CC22

DD2h2h E CE C22(x)(x) C C22(y)(y) C C22(z)(z) i i σσvv((xyxy)) σσvv((xzxz)) σσvv((yzyz))

DD3h3h E 2CE 2C33 3C 3C22 σσhh 2S 2S33 3 3σσvv

DD4h4h E 2CE 2C44 2C 2C22 2C 2C22’’ 2C 2C22”” i 2S i 2S44 σσhh 2 2σσvv 2 2σσdd

DD5h5h E 2CE 2C55 2C 2C5522 5C 5C22 σσhh 2S 2S55 2S 2S55

33 5 5σσvv

DD6h6h etcetc

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Grupos Grupos DDnhnhEntre las molEntre las moléculas que tienen esta simetría, seéculas que tienen esta simetría, seencuentra el Nencuentra el N44SS44 cuya simetría es cuya simetría es DD2h2h::

Por otro lado Por otro lado el etano en suel etano en suconfiguración alternada configuración alternada tienetienela simetría la simetría DD3h3h::


Grupos CúbicosGrupos CúbicosTodos tienen en común una característicaTodos tienen en común una característicadistintiva del cubo, al menos cuatro ejesdistintiva del cubo, al menos cuatro ejes CC33 que seque seintersecanintersecanLos grupos cúbicos son:Los grupos cúbicos son: TT,, T Thh,, T Tdd,, O O y y O Ohh..Las operaciones de simetrLas operaciones de simetría (elementos del grupo)ía (elementos del grupo)son las siguientesson las siguientes..

TT E 4CE 4C33 4C 4C3322 3C 3C22

TThh E 4CE 4C33 4C 4C3322 3C 3C22 i 4S i 4S66 4S 4S66

55 33σσhhTTdd E 8CE 8C33 3C 3C22 6S 6S44 6 6σσddOO E 8CE 8C33 3C 3C22 6C 6C44 6C 6C22OOhh E 8CE 8C33 6C 6C22 6C 6C44 3C 3C22 i 6S i 6S44 8S 8S66 3 3σσhh 6 6σσdd

El grupo El grupo TT tiene los mismos elementos de simetría tiene los mismos elementos de simetríarotacional que un tetraedro regular.rotacional que un tetraedro regular.


Grupos CúbicosGrupos CúbicosAl inscribir un tetraedro en un cubo notamos queAl inscribir un tetraedro en un cubo notamos que

cada un de las cuatro diagonales del cubocada un de las cuatro diagonales del cubocorresponde a un eje corresponde a un eje CC33

CC33

CC33

CC33

CC335 abril 09 Simetría 43

Grupos CúbicosGrupos CúbicosAdemás de estos ejes triples,Además de estos ejes triples,el grupo tiene tres ejes el grupo tiene tres ejes CC22 paralelos a las aristas del paralelos a las aristas delcubo bisecando las aristas opuestas del tetraedro.cubo bisecando las aristas opuestas del tetraedro.El grupo El grupo TThh tiene además un centro de inversión.tiene además un centro de inversión.El grupo El grupo TTdd además de los elementos del grupo además de los elementos del grupo TT,,tiene tres ejes tiene tres ejes SS44..El orden de este El orden de este últimoúltimogrupo es de 24.grupo es de 24.Las moléculas como el CHLas moléculas como el CH44pertenecen a este grupopertenecen a este grupo

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Grupos CúbicosGrupos Cúbicos El grupo El grupo OO es de orden 24. es de orden 24. Tiene todas las rotaciones propias de un octaedroTiene todas las rotaciones propias de un octaedro

regular, estas son:regular, estas son: cuatro ejes cuatro ejes CC33

tres ejes tres ejes CC44

seis ejes seis ejes CC22.. El grupo El grupo OOhh además tieneademás tiene

un centro de inversión yun centro de inversión ysu orden es de 48.su orden es de 48.

CC33CC44

CC44

CC33


Grupos CúbicosGrupos Cúbicos Las molLas moléculas octaédricas como el SFéculas octaédricas como el SF66 sienen la sienen la

misma simetría que el misma simetría que el OOhh


Grupos Grupos IcosaédricosIcosaédricosSe llamanSe llaman II ee IIhh

El grupoEl grupo II tiene todas las rotaciones de untiene todas las rotaciones de unicosaedro regularicosaedro regular es decires decir::

seis ejes seis ejes CC55,,

diez ejes diez ejes CC33,,

quince ejes quince ejes CC22..

El grupoEl grupo IIhh además tiene unademás tiene un centro de inversióncentro de inversión


DeterminaciDeterminación del grupo puntualón del grupo puntualPara determinar el grupo puntual de un objeto serequiere inspeccionarlo cuidadosamente. Lassiguientes reglas permiten hacerlosistemáticamente.

1. Si la molécula es lineal, pertenece al grupo C∞vo al D∞h, si además tiene un plano especularperpendicular al eje principal.

2. Si la molécula tiene la gran simetría de losgrupos cúbicos, será sencillo encontrar loscuatro ejes C3 y la búsqueda cuidadosa de otroselementos permitirá distinguir entre T, Th, Td,O y Oh. La gran simetría que presentan losgrupos icosaédricos los hace fácilmentereconocibles.

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DeterminaciDeterminación del grupo puntualón del grupo puntual3. Después de eliminar a los grupos de gran

simetría, buscaremos ejes propios de rotación sino hay ninguno el grupo es Cs, Ci, o C1.

4. Si hay más de un eje de rotación propio,buscamos el de mayor orden, este será únicoexcepto cuando haya tres ejes C2. Ahoradeterminamos si este eje único es propio (Cn) oen realidad es un eje impropio (S2n). Si es S2n yno encontramos más elementos de simetría elgrupo es S2n.


DeterminaciDeterminación del grupo puntualón del grupo puntual5. Si el eje único no es S2n o si hay otros

elementos de simetría, buscamos la presenciade n ejes C2 perpendiculares al eje único Cn. Sino hay ninguno, el grupo es Cn, si no tieneplanos especulares; Cnv, si tiene un planovertical o Cnh, si tiene un plano horizontal.

6. Si hay n ejes C2 perpendiculares al eje único, elgrupo debe ser Dn si no tiene planosespeculares, Dnd si hay n planos σd quebisecan los ángulos entre los ejes C2 yfinalmente será Dnh si hay un plano especularhorizontal.


DeterminaciDeterminación del grupo puntualón del grupo puntualPrima

Molécula

¿es lineal? NS

¿Hay dos o más Cn con n>2?

S N NS

D∞h C∞v

¿Hay un centro de inversión i?

¿Hay un centro de inversión i?

NS

¿Hay un C5?

Td

S

OhIh

N


DeterminaciDeterminación del grupo puntualón del grupo puntualy NS

¿Hay dos o más Cn con n>2?

S N

NS

Dnh Cnv

¿Hay un centro de inversión i?¿Hay un centro

de inversión i?

N

S

S2n

S

DnDnd

N

Cn CιCsCnvCnh

¿Hay un Cn con n>2?

¿Hay un σ?

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¿Hay m¿Hay más grupos puntuales?ás grupos puntuales?Una pregunta que surge es ¿si Una pregunta que surge es ¿si hhay o no otrosay o no otrosgrupos puntuales ademgrupos puntuales ademásás de los descritos? de los descritos?Por ejemplo:Por ejemplo:

¿¿ppuede existir un objeto que tenga dos ejesuede existir un objeto que tenga dos ejesCC66??O bien O bien ¿p¿podemos tener un ejeodemos tener un eje CC44 y un ejey un eje CC33perpendiculares?perpendiculares?

La respuesta a estas y otras preguntas es fLa respuesta a estas y otras preguntas es fácácilil de deenunciar pero menunciar pero másás bien dif bien difícíciil de probar.l de probar.El hecho es que no hay grupos de simetrEl hecho es que no hay grupos de simetríaía finitosfinitosademademásás de los que ya hemos presentado. de los que ya hemos presentado.Desafortunadamente va mucho mDesafortunadamente va mucho más allá de losás allá de losobjetivos de este curso y generalmente esobjetivos de este curso y generalmente esmatemática.matemática.


Combinación de los elementosCombinación de los elementosHemos visto que una molécula puede tener más deHemos visto que una molécula puede tener más deun elemento de simetríaun elemento de simetríaPodemos describir la simetría de una moléculaPodemos describir la simetría de una moléculaenlistando todos sus elementos de simetríaenlistando todos sus elementos de simetríaPara la molécula de metano Para la molécula de metano CHCH44 se necesitan 24se necesitan 24elementos en tanto que el elementos en tanto que el SFSF66 requiere de 48requiere de 48Aún entonces, nuestra descripción de la simetríaAún entonces, nuestra descripción de la simetríano será clara, a menos que también expliquemosno será clara, a menos que también expliquemoscomo los elementos de simetría se orientan unoscomo los elementos de simetría se orientan unosrespecto a otrosrespecto a otrosHemos visto también que los elementos deHemos visto también que los elementos desimetría de una molécula no tienen que sersimetría de una molécula no tienen que sermutuamente independientes.mutuamente independientes.


Combinación de los elementosCombinación de los elementosPor ejemplo si dos Por ejemplo si dos planos especularesplanos especulares se intersecan se intersecancon ángulos rectos, la línea de intersección es uncon ángulos rectos, la línea de intersección es uneje de eje de rotación doblerotación dobleUna prueba sencilla de esto se puede obtenerUna prueba sencilla de esto se puede obtenerconsiderando los cambios en las coordenadas deconsiderando los cambios en las coordenadas delos puntos conforme se aplican las operacioneslos puntos conforme se aplican las operacionesAsí un punto cualquiera con coordenadas Así un punto cualquiera con coordenadas x,y,z x,y,z se seconvierte en convierte en ––xx,y,z,y,z al aplicar un al aplicar un plano especularplano especularperpendicularperpendicular al eje al eje xx, un , un plano especularplano especularperpendicularperpendicular al eje al eje yy convertirá al punto convertirá al punto ––xx,y,z,y,z en en––xx,-y,z,-y,zEste punto, es justamente el resultante de aplicarEste punto, es justamente el resultante de aplicaral punto al punto x,y,zx,y,z un un eje doble de rotacióneje doble de rotación


Combinación de los elementosCombinación de los elementosSi decimos que la molécula de agua tiene dosSi decimos que la molécula de agua tiene dosplanos especulares perpendicularesplanos especulares perpendiculares, es suficiente para, es suficiente paradescribir por completo la simetría de la moléculadescribir por completo la simetría de la moléculaYa hemos visto, que es posible aplicar una Ya hemos visto, que es posible aplicar una rotaciónrotaciónpropiapropia y una y una reflexión en el plano horizontalreflexión en el plano horizontal, el, elresultado de esta combinación, es otra operaciónresultado de esta combinación, es otra operaciónde simetría a la cual le llamamos de simetría a la cual le llamamos rotación impropiarotación impropia,,de esta manera, podemos decir que de esta manera, podemos decir que SSnn es eles elproducto de producto de CCnn por por σσhhTambién es importante notar que en este casoTambién es importante notar que en este casoparticular, no importa el orden de aplicación elparticular, no importa el orden de aplicación elresultado obtenido es el mismo, de manera queresultado obtenido es el mismo, de manera quepodemos escribir: podemos escribir: SSnn = = CCnn xx σσhh = =σσhh xx CCnn

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Combinación de los elementosCombinación de los elementosEsta es la manera algebraica de expresar el hecho deEsta es la manera algebraica de expresar el hecho deque aplicaciones sucesivas de dos operaciones deque aplicaciones sucesivas de dos operaciones desimetría tienen el mismo efecto que el de unasimetría tienen el mismo efecto que el de unaterceraterceraEs evidente, que conviene hablar de ello como elEs evidente, que conviene hablar de ello como elproducto obtenido al multiplicar una por otraproducto obtenido al multiplicar una por otraEn general, podemos decir que cualesquiera dosEn general, podemos decir que cualesquiera dosoperaciones de simetría pueden multiplicarse paraoperaciones de simetría pueden multiplicarse paradar una terceradar una tercera

((CC22 xx C C22 = E = E))Ahora bien, si ahora escogemos un grupoAhora bien, si ahora escogemos un grupocualquiera, por ejemplo el grupo cualquiera, por ejemplo el grupo CC2v2v, , que tiene lasque tiene lassiguientes operaciones de simetría:siguientes operaciones de simetría:E, CE, C22,, σσvv((xzxz),), σσvv’’((yzyz))


Combinación de los elementosCombinación de los elementosSi ahora elaboramos una tabla de todos losSi ahora elaboramos una tabla de todos losposibles productos de este grupo (aplicacionesposibles productos de este grupo (aplicacionessucesivas de cualesquiera dos operaciones)sucesivas de cualesquiera dos operaciones)Obtendremos el resultado siguiente:Obtendremos el resultado siguiente:

σσvv’’((yzyz)) xx σσvv((xzxz)) = = σσvv((xzxz)) x x σσvv’’((yzyz)) = = CC22σσvv((xzxz)) x x CC22 = = CC22 x x σσvv((xzxz) ) == σσvv’’((yzyz))σσvv((yzyz)) x x CC2 2 = = CC22 x x σσvv((yzyz) ) == σσvv’’((xzxz))

Además es importante notar que al aplicarAdemás es importante notar que al aplicarcualquiera de estas operaciones dos vecescualquiera de estas operaciones dos vecesseguidas, obtenemos como resultado la identidadseguidas, obtenemos como resultado la identidadY claro cualquier operación por Y claro cualquier operación por EE nos da ellanos da ellamismamisma


Combinación de los elementosCombinación de los elementosDe esta manera, la tabla de multiplicar queDe esta manera, la tabla de multiplicar queobtenemos para el grupo puntual obtenemos para el grupo puntual CC2v2v, es esta:, es esta:

EECC22σσvv (xz) (xz)σσvv’’(yz)(yz)σσvv’’(yz)(yz)

CC22EEσσvv’’(yz)(yz)σσvv(xz)(xz)σσvv(xz)(xz)

σσvv(xz)(xz)σσvv’’(yz)(yz)EECC22CC22

σσvv’’(yz)(yz)σσvv(xz)(xz)CC22EEEE

σσvv’’(yz)(yz)σσvv(xz)(xz)CC22EE


Propiedades de los gruposPropiedades de los gruposAsí, un conjunto de Así, un conjunto de elementos de simetríaelementos de simetría será un será ungrupogrupo si existe si existe una ley de combinación llamadauna ley de combinación llamadamultiplicaciónmultiplicación de tal manera que:de tal manera que:

la la ley de combinaciónley de combinación es es asociativaasociativa,,existe un existe un elemento de identidadelemento de identidad en el conjunto, en el conjunto,el el inversoinverso de cada elemento es un elemento del de cada elemento es un elemento delconjunto yconjunto yla combinación de cualesquiera dos la combinación de cualesquiera dos elementoselementos es esun elemento del conjuntoun elemento del conjunto

La ley de combinación o multiplicaciónLa ley de combinación o multiplicación de los de losgrupos puntualesgrupos puntuales es la aplicación sucesiva de dos es la aplicación sucesiva de dosoperaciones de simetríaoperaciones de simetría..

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Propiedades de los gruposPropiedades de los gruposEl conjunto completo de operaciones de simetríaEl conjunto completo de operaciones de simetríaque pueden aplicarse a una molécula se le llamaque pueden aplicarse a una molécula se le llamagrupo de simetríagrupo de simetría de esa moléculade esa moléculaAquí, la palabraAquí, la palabra grupo grupo no tiene el significado usual no tiene el significado usualsinónimo de colección o conjunto, sino un sentidosinónimo de colección o conjunto, sino un sentidomás preciso que tiene que ver con las matemáticasmás preciso que tiene que ver con las matemáticasen general y con una rama de estas que se llamaen general y con una rama de estas que se llamaTeoría de GruposTeoría de GruposEs decir, las operaciones de simetría queEs decir, las operaciones de simetría quepertenecen a un pertenecen a un grupo puntualgrupo puntual, son una colección, son una colecciónde objetos que exhiben ciertas interrelacionesde objetos que exhiben ciertas interrelacionescompatibles con un conjunto de criterios formalescompatibles con un conjunto de criterios formales


Propiedades de los gruposPropiedades de los gruposPor ejemplo podríamos aplicar un eje Por ejemplo podríamos aplicar un eje CC22 seguido deseguido dela aplicación de un plano vertical la aplicación de un plano vertical σσvv..Esto se escribe así: Esto se escribe así: σσvvCC22, , y se lee de derecha ay se lee de derecha aizquierda.izquierda.Tomando en cuenta que el resultado de estas dosTomando en cuenta que el resultado de estas dosoperaciones sucesivas es otro plano, podemosoperaciones sucesivas es otro plano, podemosescribir: escribir: σσvvCC22= = σσvv’’..En este ejemplo, la operación En este ejemplo, la operación CC22σσvv también nostambién nosda da σσvv’’..AA los grupos que les pasa esto se les llaman los grupos que les pasa esto se les llamanabelianosabelianos..


Propiedades de los gruposPropiedades de los gruposEsto no ocurre siempre,Esto no ocurre siempre,por ejemplo en la figurapor ejemplo en la figurael punto el punto AA se se transformatransformaen el punto en el punto DD al aplicarle al aplicarleσσvvCC33, pero se convierte, pero se convierteen el punto en el punto BB al aplicarleal aplicarlela operación la operación CC33σσvv..Cuando ocurre estoCuando ocurre estodecimos que ladecimos que lamultiplicación delmultiplicación delgrupogrupono es conmutativano es conmutativa..


Propiedades de los gruposPropiedades de los gruposEs claro, que aquí la palabra multiplicación tieneEs claro, que aquí la palabra multiplicación tieneun sentido más amplio que en álgebra oun sentido más amplio que en álgebra oaritmética.aritmética.Esto es, en Esto es, en teoría de gruposteoría de grupos el orden de los el orden de losfactores si puede alterar el producto.factores si puede alterar el producto.La ley de combinación es asociativaLa ley de combinación es asociativa, significa que, significa quesi hacemos el producto de tres elementos si hacemos el producto de tres elementos σσvv’’σσvvCC33podremos escribirlo ya sea así: podremos escribirlo ya sea así: σσvv’’((σσvvCC33)) o así o así((σσvv’’σσvv))CC33..Esto es lo mismo que decir que a pesar de que elEsto es lo mismo que decir que a pesar de que elorden de los factores es importante, los podemosorden de los factores es importante, los podemosaparear de cualquier manera.aparear de cualquier manera.

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Propiedades de los gruposPropiedades de los gruposLa existencia del idénticoLa existencia del idénticoComo el elemento Como el elemento CC11 está presente en todos los está presente en todos losgrupos de simetría y además su operación deja algrupos de simetría y además su operación deja alobjeto como si no le hubiera pasado nada, esteobjeto como si no le hubiera pasado nada, esteelemento sirve como elemento sirve como el elementoel elemento idénticoidéntico..Usaremos el símbolo Usaremos el símbolo EE para designar a este para designar a esteelemento.elemento.Este elemento se define como un elemento queEste elemento se define como un elemento quecumple con cumple con EAEA = = AEAE = = AA, donde , donde AA es cualquier es cualquierelemento del grupoelemento del grupo


Definición de grupo puntualDefinición de grupo puntualLa existencia del inversoLa existencia del inverso se expresa así: se expresa así:

Para cualquier elemento del grupo existe unPara cualquier elemento del grupo existe unelemento elemento AA-1-1 tal que tal que AA-1-1AA = = AAAA-1-1 = = EE

Al elemento Al elemento AA-1-1 se le llama el inverso de se le llama el inverso de AA..Por ejemplo: el inverso de Por ejemplo: el inverso de CC22 es es CC22 puespuesCC22CC22 = = CC22

22 = = EEEl inverso de El inverso de CC33 es es CC33

22 pues pues CC3322 = = CC33CC33 y entonces y entonces

CC33CC3322 = = EE..

La última propiedad es la de La última propiedad es la de cerraduracerradura, y significa, y significaque la operación de cualesquiera dos elementosque la operación de cualesquiera dos elementosdel grupo siempre produce un elemento quedel grupo siempre produce un elemento quetambién está en el grupo.también está en el grupo.


Tablas de multiplicarTablas de multiplicarPara poder considerar a un conjunto cualquiera dePara poder considerar a un conjunto cualquiera deelementos como un grupo puntual, debe cumplirelementos como un grupo puntual, debe cumplircon todas estas condicionescon todas estas condicionesY aunque cueste trabajo creerlo existen muchosY aunque cueste trabajo creerlo existen muchosgrupos puntuales, tantos como para clasificarlosgrupos puntuales, tantos como para clasificarlosTodas las propiedades de un grupo se describenTodas las propiedades de un grupo se describenconcisamente en estas tablasconcisamente en estas tablasPor ejemplo, el grupo de simetría de la molécula dePor ejemplo, el grupo de simetría de la molécula deagua contiene los siguientes cuatro elementos:agua contiene los siguientes cuatro elementos:

EE, , CC22,, σσvv y y σσvv’’

Al número de elementos del grupo le llamamosAl número de elementos del grupo le llamamosorden, el orden del grupo del agua es 4.orden, el orden del grupo del agua es 4.


Tablas de multiplicarTablas de multiplicarPara construir esta tabla enlistamos los elementosPara construir esta tabla enlistamos los elementosdel grupo a lo largo del primer renglón y la primeradel grupo a lo largo del primer renglón y la primeracolumna,columna,Poniendo los productos de los pares de elementosPoniendo los productos de los pares de elementosen el lugar apropiadoen el lugar apropiadoAunque en este ejemplo los elementos del grupoAunque en este ejemplo los elementos del grupoconmutanconmutan ( (es abelianoes abeliano), ), hemos visto que esto nohemos visto que esto noocurre siempre y ocurre siempre y tendremos que ser muytendremos que ser muycuidadosos con el orden de los elementoscuidadosos con el orden de los elementosPara ello usaremos una convención muy sencilla yPara ello usaremos una convención muy sencilla yfácil de recordar:fácil de recordar:los elementos en la izquierda de la tabla estánlos elementos en la izquierda de la tabla estántambién a la izquierda del productotambién a la izquierda del producto

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Tablas de multiplicarTablas de multiplicarLas propiedades del inverso y del idéntico son útilesLas propiedades del inverso y del idéntico son útilespara construir las tablaspara construir las tablasDado que Dado que EAEA = = AEAE = = AA, para cualquier elemento, la, para cualquier elemento, laprimera columna y el primer renglón se puedenprimera columna y el primer renglón se puedenescribir de inmediatoescribir de inmediatoY las posiciones de Y las posiciones de EE se pueden obtener se pueden obtenerencontrando el inverso de cada elementoencontrando el inverso de cada elementoconsiderando que: considerando que: AA-1-1AA = = AAAA-1-1 = = EEAdemás conviene saber que:Además conviene saber que:un elemento del grupo solo puede aparecer unaun elemento del grupo solo puede aparecer unasola vez en cada columna y en cada renglónsola vez en cada columna y en cada renglón..


Representaciones irreduciblesRepresentaciones irreduciblesHasta el momento, solo hemos considerado a lasHasta el momento, solo hemos considerado a lasoperaciones de simetríaoperaciones de simetría en tanto que afectan a los en tanto que afectan a losátomos de una molécula,átomos de una molécula,Pero es obvio que también se puede considerar laPero es obvio que también se puede considerar lamanera de representar otras propiedadesmanera de representar otras propiedades(imaginarias o reales) de la molécula desde el(imaginarias o reales) de la molécula desde elpunto de vista de la simetrpunto de vista de la simetría de dicha propiedadía de dicha propiedadPor ejemplo, podemos pensar en una propiedadPor ejemplo, podemos pensar en una propiedaddinámica de la molécula (la translación)dinámica de la molécula (la translación)Para captarlo, usaremos un ejemplo sencillo, laPara captarlo, usaremos un ejemplo sencillo, lamolécula de aguamolécula de agua


Representaciones irreduciblesRepresentaciones irreduciblesAntes que nada, la referimos a un sistema deAntes que nada, la referimos a un sistema decoordenadas: de manera que el eje de mayorcoordenadas: de manera que el eje de mayorrotación (rotación (CC22)) se alinea al eje se alinea al eje ZZ y dejamos que el eje y dejamos que el ejeXX quede perpendicular al plano de la molécula quede perpendicular al plano de la moléculaRepresentaremos a la translación de la molécula enRepresentaremos a la translación de la molécula enla dirección la dirección YY con vectores unitarios con vectores unitariosDe manera que podamos observar como cambianDe manera que podamos observar como cambianestos vectores con cada operación de simetríaestos vectores con cada operación de simetríaAsAsí, cí, con cada operación de simetría, los vectoreson cada operación de simetría, los vectoresapuntarán ya sea a la dirección apuntarán ya sea a la dirección +Y+Y o o ––YY,,Y las etiquetamos con Y las etiquetamos con +1+1 y y ––11 respectivamente respectivamenteSi llamamos a la primera comportamientoSi llamamos a la primera comportamientosimétrico y a la segunda, asimétrico obtendremossimétrico y a la segunda, asimétrico obtendremosla siguiente tabla:la siguiente tabla:


Representaciones irreduciblesRepresentaciones irreduciblesTranslación del agua en la dirección Translación del agua en la dirección ++YY

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Representaciones irreduciblesRepresentaciones irreduciblesEl conjunto de cuatro etiquetas generado en esteEl conjunto de cuatro etiquetas generado en esteanálisis, es una análisis, es una representación irreduciblerepresentación irreducible del delgrupo grupo CC2v2v y la bautizamos así: y la bautizamos así: BB22Es irreducible en el sentido de que no puedeEs irreducible en el sentido de que no puededescomponerse en otra forma más simpledescomponerse en otra forma más simpleY no solamente describe los efectos de lasY no solamente describe los efectos de lasoperaciones del grupo en las translaciones en laoperaciones del grupo en las translaciones en ladirección dirección YY,, sino que también el comportamiento sino que también el comportamientode otras funciones de otras funciones YY,, por ejemplo el orbital por ejemplo el orbital ppyyAsí, decimos que Así, decimos que YY es el conjunto base de esta es el conjunto base de estarepresentaciónrepresentaciónDe la misma manera que hemos podido hacerlo conDe la misma manera que hemos podido hacerlo conesta función, esto se puede extender a cualquieresta función, esto se puede extender a cualquierfunción u objetofunción u objeto


Representaciones irreduciblesRepresentaciones irreduciblesLos principios de la Los principios de la Teoría de gruposTeoría de grupos dictan que el dictan que elnúmero total de representaciones irreducibles denúmero total de representaciones irreducibles decualquier grupocualquier grupoEs igual al número de tipos o Es igual al número de tipos o clasesclases u u operacionesoperacionessimetríasimetría del grupo ( del grupo (al al orden del grupoorden del grupo pues pues))De manera que debemos esperar cuatroDe manera que debemos esperar cuatrorepresentaciones irreducibles para este grupo,representaciones irreducibles para este grupo,Y entonces al ponerlos en una tabla, podemos a laY entonces al ponerlos en una tabla, podemos a lavez indicar al conjunto base de cada representaciónvez indicar al conjunto base de cada representaciónObteniendo así una representación sencilla de lasObteniendo así una representación sencilla de lasoperaciones y sus representacionesoperaciones y sus representacionesA estas tablas las conocemos como tablas deA estas tablas las conocemos como tablas decaracterescaracteres


Representaciones irreduciblesRepresentaciones irreducibles

La tabla de caracteres del grupo La tabla de caracteres del grupo CC2v2v es así: es así:

Lo mismo que hemos hecho para el grupo Lo mismo que hemos hecho para el grupo CC2v2v,,podemos hacerlo para todos los demáspodemos hacerlo para todos los demás


Representaciones irreduciblesRepresentaciones irreduciblesLa siguiente figura es laLa siguiente figura es larepresentación de unrepresentación de uncompuesto cuadradocompuesto cuadradoCon todas lasCon todas lasoperaciones deoperaciones desimetría que nossimetría que nospermitenpermitentransformar altransformar alcomplejo un unacomplejo un unaconfiguraciónconfiguraciónindistinguible de laindistinguible de lade la figurade la figura

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Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesEstas dieciséis operaciones y los elementos de lasEstas dieciséis operaciones y los elementos de lascuales proceden se ponen a lo largo del primercuales proceden se ponen a lo largo del primerrenglón de la tabla siguiente con una etiqueta a larenglón de la tabla siguiente con una etiqueta a laizquierda que muestre el grupo al que pertenece:izquierda que muestre el grupo al que pertenece:


Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesEn el lado izquierdo de la tabla hay unaEn el lado izquierdo de la tabla hay unacolumna con 10 símbolos, los cuales se asociancolumna con 10 símbolos, los cuales se asociancon un solo renglón de caracterescon un solo renglón de caracteresA cada uno de los números de esta tabla se leA cada uno de los números de esta tabla se leconoce como carácter y a la tabla laconoce como carácter y a la tabla laconocemos como tabla de caracteresconocemos como tabla de caracteresEsta serEsta seráá entonces la entonces la tabla de caracterestabla de caracteres del delgrupo grupo DD4h4hNinguno de los renglones de caracteres esNinguno de los renglones de caracteres esigual a ninguno otroigual a ninguno otroAhora bien, si inspeccionamos con cuidado,Ahora bien, si inspeccionamos con cuidado,veremos que podemos dividir la tabla enveremos que podemos dividir la tabla encuatro bloques de 5x5cuatro bloques de 5x5


Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesEn esta tabla, nos encontramos que los caracteresEn esta tabla, nos encontramos que los caracteresde cada bloque están relacionados simplementede cada bloque están relacionados simplementecon los otroscon los otros

Adicionalmente observamos que cada Adicionalmente observamos que cada caráctercarácterpertenece a una pertenece a una operación de simetríaoperación de simetría particular (su particular (sucolumna)columna) y a un y a un ssímbolo de simetríaímbolo de simetría (su renglón) (su renglón) ..


Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesPor tanto, a cadaPor tanto, a cada representación irreduciblerepresentación irreducible le lecorresponde un corresponde un ssímbolo de simetríaímbolo de simetríaEstos caracteres tienen la propiedad de decir, comoEstos caracteres tienen la propiedad de decir, comose comporta algo que tiene una simetría particular,se comporta algo que tiene una simetría particular,ante una operación de simetría particularante una operación de simetría particularAsí, un objeto que tiene la simetría Así, un objeto que tiene la simetría AA2u2u, al aplicarle, al aplicarlela operación la operación CC22 se multiplica por se multiplica por 11 (es decir, se (es decir, sequeda como estaba), pero al aplicarle las rotacionesqueda como estaba), pero al aplicarle las rotacionesCC22’’ y y CC22”” se multiplica por se multiplica por ––11 (es decir, se voltea) (es decir, se voltea)Un objeto que tiene esta simetría es por ejemplo elUn objeto que tiene esta simetría es por ejemplo elorbital orbital ppzzEl El 00 indica que ninguna de estas dos cosas se indica que ninguna de estas dos cosas setransforma en sí misma debido a la operación, sinotransforma en sí misma debido a la operación, sinoque una se cambia a la otra.que una se cambia a la otra.

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Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesAquellos caracteres que tienen el número Aquellos caracteres que tienen el número 22,,describen simultáneamente el comportamiento dedescriben simultáneamente el comportamiento dedos cosas dos cosas interdependientesinterdependientesEl número El número 22 significa que cada uno se convierte en significa que cada uno se convierte ensí mismo con los signos cambiadossí mismo con los signos cambiadosUn par de objetos que tienen esta simetría seránUn par de objetos que tienen esta simetría seránlos orbitales los orbitales ppxx y y ppzz

Al aplicar los métodos de la teoría de grupos a losAl aplicar los métodos de la teoría de grupos a losproblemas relacionados a la estructura o laproblemas relacionados a la estructura o ladinámica molecular, se sigue un procedimientodinámica molecular, se sigue un procedimientoque permite derivar una que permite derivar una representaciónrepresentación deldelfenómeno estudiado,fenómeno estudiado,Después descomponerlo en sus componentes esDespués descomponerlo en sus componentes esdecir, en sus decir, en sus representaciones irreduciblesrepresentaciones irreducibles


Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesEl producto directo de dos El producto directo de dos representacionesrepresentacionesirreduciblesirreducibles se obtiene multiplicando los caracteres se obtiene multiplicando los caracteresde cada representación para cada operación dede cada representación para cada operación desimetríasimetríaEste producto se le llama Este producto se le llama representación reduciblerepresentación reducible::

Al compararlo con la tabla de caracteres, nosAl compararlo con la tabla de caracteres, nosencontramos que, este producto directo es a su vezencontramos que, este producto directo es a su vezla la representación irreducible representación irreducible BB2g2g


Representaciones reduciblesRepresentaciones reducibles

Es decir: Es decir: AA2g2g xx BB1g1g = B = B2g2g


Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesEn ocasiones, el producto directo de dosEn ocasiones, el producto directo de dosrepresentacionesrepresentaciones no genera otra única no genera otra única representaciónrepresentaciónsino que produce un conjunto de sino que produce un conjunto de representacionesrepresentaciones

Por ejemplo el producto Por ejemplo el producto EEgg xx EEuu, , es un poco máses un poco máscomplicado:complicado:

Que no corresponde a ninguna de lasQue no corresponde a ninguna de lasrepresentacionesrepresentaciones irreducibles de la tabla irreducibles de la tabla

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Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesSin embargo al sumar las representacionesSin embargo al sumar las representacionesirreducibles siguientes:irreducibles siguientes:

AA1u1u+ A+ A2u2u + A+ A1u1u + B + B2u2u , ,nos encontramos que:nos encontramos que:

Que es la misma Que es la misma representación reduciblerepresentación reducible que la que que la queobtuvimos con el producto directo, de manera que:obtuvimos con el producto directo, de manera que:EEgg xx EEuu=A=A1u1u+A+A2u2u+A+A1u1u+B+B2u2u

Nótese que el producto de Nótese que el producto de gg xx uu genera generaúnicamente elementos únicamente elementos uu


Representaciones reduciblesRepresentaciones reduciblesFinalmente, la tabla de caracteres del grupo Finalmente, la tabla de caracteres del grupo DD4h4hcompleta con sus representaciones irreducibles ycompleta con sus representaciones irreducibles ytodos los conjuntos base de cada representacitodos los conjuntos base de cada representación esón esasíasí::


Tablas de caracteresTablas de caracteresLa tabla de caracteres del grupo La tabla de caracteres del grupo TTdd es así:es así:


Tablas de caracteresTablas de caracteresLa tabla de caracteres del grupo La tabla de caracteres del grupo OOhh es así:es así:

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Usos de la simetríaUsos de la simetríaActividad ópticaActividad óptica

En sus cursos de Orgánica, ya se habrán topadoEn sus cursos de Orgánica, ya se habrán topadocon el concepto de con el concepto de quiralidadquiralidad basada en términosbasada en términosde la presencia de de la presencia de carbonos asimétricoscarbonos asimétricosA pesar de que en muchos libros, la definición deA pesar de que en muchos libros, la definición dequiralidadquiralidad se basa en imágenes especulares quese basa en imágenes especulares queno se pueden no se pueden superimponersuperimponer, pocos son los que, pocos son los quediscuten el tema en términos diferentes al de losdiscuten el tema en términos diferentes al de loscarbonos asimétricoscarbonos asimétricosLo cierto es que, con mucho, la mayoría de lasLo cierto es que, con mucho, la mayoría de lasmoléculas que son moléculas que son quiralesquirales no tienen un solono tienen un soloátomo asimétrico sino que son átomo asimétrico sino que son quirales quirales debido adebido asu simetría molecularsu simetría molecularEspecíficamente la ausencia de un eje de rotaciónEspecíficamente la ausencia de un eje de rotaciónimpropioimpropio


Usos de la simetríaUsos de la simetríaDe esta manera, una definición equivalente deDe esta manera, una definición equivalente dequiralidadquiralidad para una molécula, es la de que para una molécula, es la de que nonoposea un eje rotación impropioposea un eje rotación impropioAhora bien, la ausencia de un plano especular noAhora bien, la ausencia de un plano especular noasegura que la molécula sea asegura que la molécula sea quiralquiral, pues todavía, pues todavíapuede tener un eje de rotación impropiopuede tener un eje de rotación impropioLa presencia de un La presencia de un plano especularplano especular por otro lado por otro ladosi asegura que la molécula será si asegura que la molécula será ópticamenteópticamenteinactivainactivaDado que las moléculas Dado que las moléculas quiralesquirales poseen aposeen amenudo algún elemento de simetría, no esmenudo algún elemento de simetría, no escorrecto llamarles correcto llamarles asimétricasasimétricas, de manera que, de manera queestas moléculas se les llama estas moléculas se les llama disimétricasdisimétricas


Usos de la simetríaUsos de la simetríaMomento dipoloMomento dipolo

Si una molécula tiene un centro de inversión,Si una molécula tiene un centro de inversión,este la obliga a que su momento dipolo neto seaeste la obliga a que su momento dipolo neto seacerocero

La presencia de dos o más ejes propiosLa presencia de dos o más ejes propios CCnn paraparan>1n>1, , previenen la existencia del momento dipoloprevienen la existencia del momento dipoloen una moléculaen una molécula

La existencia de un plano especular horizontalLa existencia de un plano especular horizontalpreviene que haya dipolopreviene que haya dipolo


Usos de la simetríaUsos de la simetríaEspectroscopia de InfrarrojoEspectroscopia de Infrarrojo

Los fotones que tienen energíasLos fotones que tienen energíascorrespondientes a la excitación de ciertascorrespondientes a la excitación de ciertasvibraciones moleculares se absorben y elvibraciones moleculares se absorben y elresultado es una resultado es una disminución en ladisminución en latransmitancia transmitancia de la luz infrarrojade la luz infrarroja de esas de esasfrecuenciasfrecuencias

El número de modos vibracionales de unaEl número de modos vibracionales de unamolécula de molécula de NN átomos es igual a átomos es igual a

3N-63N-6 ( (3N-53N-5 si es lineal) si es lineal)

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Usos de la simetríaUsos de la simetríaPara que una vibración molecular sea activa enPara que una vibración molecular sea activa enel IR, debe haber un cambio en el vector deel IR, debe haber un cambio en el vector demomento dipolo asociado a esa vibraciónmomento dipolo asociado a esa vibración

(¡¡¡(¡¡¡NN22 y y OO22 afortunadamente no son activos por afortunadamente no son activos poreso, en cambio eso, en cambio COCO22, si que lo es!!!), si que lo es!!!)

Cada Cada modo normal de vibraciónmodo normal de vibración formará una formará unabase para la representación irreducible del grupobase para la representación irreducible del grupopuntual de la molécula, puntual de la molécula, una vibración seráuna vibración seráactiva si su modo normal pertenece a una de lasactiva si su modo normal pertenece a una de lasrepresentaciones irreducibles correspondientes arepresentaciones irreducibles correspondientes alos vectoreslos vectores XX, , YY, , ZZ


Usos de la simetría de grupos puntualesUsos de la simetría de grupos puntuales

EnlaceEnlace

Aunque lo veremos más tarde, la descripciónAunque lo veremos más tarde, la descripciónde orbitales moleculares y la construcción dede orbitales moleculares y la construcción deorbitales moleculares de una moléculaorbitales moleculares de una moléculacualquiera, deben cumplir ciertos requisitoscualquiera, deben cumplir ciertos requisitosde simetría para que resulten adecuadosde simetría para que resulten adecuados

curso de química de simetría coordinación...

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