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“Curso de Nivelación de Matemática”

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Marzo 2017

CURSO DE NIVELACIÓN DEmatemática


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PROGRAMA ANALÍTICO DE MATEMÁTICA

UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto de números naturales.

Conjunto de números enteros.

Conjunto de números racionales.

Conjunto de números irracionales.

Conjunto de números reales.

Conjunto de los números enteros: recta numérica, operaciones, problemas de aplicación, ejercicios combinados.

UNIDAD 4 UNIDADES DE MEDIDA

Longitud

Peso

Capacidad

Pulgada

Área ( y volumen

Conversiones. Resolución de problemas

UNIDAD 2 NÚMEROS RACIONALES: Fracciones

El conjunto racional.

Ubicación en la recta numérica.

Orden y comparación.

Fracciones equivalentes: Amplificación y Simplificación.

Suma y resta de fracciones con igual denominador.

Suma y restas de fracciones con distinto denominador.

Multiplicación y división de fracciones.

Ejercicios combinados.

UNIDAD 5 GEOMETRÍA EN EL PLANO

Clasificación de los cuerpos geométricos

Triangulo Rectángulo o Teorema de Pitágoras

Cuadrado

Rectángulo

Circunferencia

Calculo de Área y Perímetro. Resolución de problemas

UNIDAD 3 NÚMEROS RACIONALES: Decimales

Expresión decimal de números racionales.

Pasaje de expresión decimal a fracción.

Fracciones decimales.

Porcentaje. Cálculo de Regla de tres simple.

Suma y resta de expresiones decimales.

Multiplicación y división de expresiones decimales.

Resolución de problemas

UNIDAD 6 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

Superficie lateral

Superficie total.

Volumen.

Cubo

Prisma

Cilindro

Esfera Resolución de problemas.


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UNIDAD I ~ Conjuntos numéricos

Marzo 2017


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El conjunto de los Números Naturales es el primer conjunto con el que se

comienza a operar en matemática. Este conjunto surge ante la necesidad que tuvo el

hombre de contar los elementos de la naturaleza que lo rodeaban. Simbólicamente se lo

expresa con la letra IN.

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}

Este conjunto se caracteriza por:

Tener un número infinito de elementos

Su primer elemento en el número 1 y no tiene un último elemento

Cada elemento tiene un sucesor, y todos excepto el 1, un antecesor.

Entre dos números consecutivos no existe otro número natural, por eso decimos que

el conjunto de los números naturales es discreto (no continuo)

En el conjunto de los Números Naturales podemos realizar las operaciones

de suma y multiplicación sin ningún inconveniente, siendo el resultado de estas operaciones

también un número natural. No ocurre lo mismo con la resta y la división.

Actividad:

I. Indicar cuál de los siguientes números pertenecen a IN:

a) 145 c) 11 e) 3/2

b) -50 d) 3,575 f) 5


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II. Ordenar de menor a mayor:

a) 7 , 23 , 2 , 10 , 4 , 35 , 27 , 1

El Conjunto de los Números Enteros se crea

para dar solución a un tipo de resta muy particular que no se

puede resolver en el conjunto de los números naturales. Dicha

resta es aquella que tiene un minuendo mayor que el

sustraendo, (como por ej.: 5 – 20).

Esta operación en el conjunto de los números

enteros tiene la siguiente solución: 5 – 20 = Nacen de

este modo los números negativos. El conjunto de los números enteros está formado por los

números positivos, los negativos y el cero. Es decir, es la unión de los subconjuntos , y

el cero.

Simbólicamente el conjunto de números enteros se denota con la letra .

= {..., –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Gráficamente en la recta numérica hacia la derecha del cero se encuentra los

enteros positivos (números naturales) y hacia la izquierda los enteros negativos.

Representación gráfica de

Recordar: “El conjunto incluye al conjunto IN, es decir que todo número

natural es también un número entero. Pero no todo número entero es un

número natural”.


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Actividad:

I. Indicar que números pertenecen a :

a) 0 e) 548

b) 2/5 f) - 79

c) - 14 g) 1000

d) 1,65 h) - 37

II. Completar el siguiente mapa conceptual:

III. Observar la temperatura que marca cada termómetro y elige la opción correcta:


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Al igual que los conjuntos anteriormente

estudiados, el conjunto de los Números Racionales se crea

para dar solución a una operación en particular, la división

formada por un dividendo que no es múltiplo del divisor. Este

tipo de divisiones no tienen por resultado un número entero.

De este modo, el conjunto de los Números

Racionales está formado por las fracciones y sus equivalentes

decimales, (decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto) incluyendo

también a los números naturales y enteros.

Cualquier número que pueda expresarse con fracción es número racional. El

término racional proviene de ración que significa parte.

Para la notación simbólica se usa la letra .


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A medida que se grafican los conjuntos numéricos, la recta numérica se va

completando

Ejemplos de números racionales:

Actividad

Dar ejemplos de números racionales:

a) d)

b) e)

c) f)

El conjunto de los números irracionales reúne a

ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores.

Entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi

(π), etc.

La particularidad que tienen los irracionales es

que son números que no pueden ser expresados como una

fracción entre dos enteros porque poseen infinitas cifras

decimales todas diferentes, por ello decimos que es un conjunto que esta apartado de los

anteriores.

Simbólicamente se identifica con la letra

El primer número irracional que se descubrió fue √ y el segundo fue .

Luego se fueron descubriendo una infinidad de números irracionales.


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“PI” es un número irracional. Se han calculado

más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse.

El número “E”, (el número de EULER) es otro

número irracional. Se han calculado muchas cifras

decimales de “E” sin encontrar ningún patrón.

La “RAZON DE ORO” ó “NUMERO AUREO”

es un número irracional, equivale a √

Los números irracionales también pueden graficarse sobre la recta numérica,

a pesar de tener infinitas cifras decimales diferentes. Los puntos correspondientes a estos

números completan la recta:

Actividad

Indica que números pertenecen al conjunto :

a) 3 d) 1,284509…

b) √ e) 13/5

c) 2,0987345721 f) π


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El conjunto de los Números Reales se representa

con la letra IR. Lo integran:

El conjunto de los Números Racionales ( ), que a su

vez incluyen a los Enteros ( ) y estos a los Naturales (IN)

El conjunto de los Números Irracionales ( ) que está

formado por los números que tienen infinitos decimales

no periódicos.

Por esta característica, se llaman Números Reales

a todos aquellos números que se pueden expresar en forma de

decimal finito o infinito; es decir, como elemento de ó de

Actividad

Clasificar los siguientes números de acuerdo al conjunto al que pertenecen

a) e) i)

b) f) j) 57

c) √

g) π k)

d) h) l) √


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6.1 Suma y Resta

La suma y resta de números enteros, se puede presentar de cuatro formas

distintas de acuerdo al signo de los números intervinientes:

Procedimiento:

1_ Cuando los dos números tienen el mismo signo la operación mental a realizar es la suma de los valores absolutos de ambos números, y el resultado lleva el mismo signo.

2_ Cuando ambos números tienen distinto signo, la operación mental es, restar al mayor valor absoluto el menor valor absoluto y el resultado lleva el signo del mayor valor

absoluto.

Observa como utilizamos los números enteros en nuestra vida cotidiana:


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6.2 Multiplicación y División

Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos

de cada uno de los factores y “aplicar la regla de los signos”.

REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION

“En la división se procede de la misma forma como muestra el ejemplo”

Pasos a seguir para resolver un ejercicio combinado con números enteros:

I. Realizar las siguientes operaciones con números enteros:

a) d) g)

b) 15+12= e) h)

c) f) i)


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II. Resolver los siguientes ejercicios combinados:

a.

b.

c.

d.

e. [ ]

f.


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UNIDAD iI

NÚMEROS racionales: Fracciones

Marzo 2017


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Una fracción es un número compuesto por dos

elementos y representa una porción de un todo, por ejemplo,

media manzana, un pastel cortado en tres raciones para tres

personas, etc. Siempre uno de los dos números representará las

partes que se deben tomar, y el otro, el número de porciones en

que se dividirá la unidad. Por ello, la palabra fracción significa

dividir una cosa en partes iguales

Definición: Un número racional b

a es el cociente de dos números enteros “

y , con .

Cuando hablamos de números racionales nos referimos al conjunto de

números fraccionarios y sus expresiones decimales equivalentes.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para

representar partes de un todo. Los números racionales pueden expresarse como fracción y

también como un número decimal, pero a veces es más conveniente trabajarlos como

fracción antes que convertirlos a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de

decimales que se podrían obtener.

Este conjunto se puede graficar sobre la recta numérica pero a diferencia de

los números enteros entre cada número racional existen infinitos números racionales


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A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA y SOBRE LA RECTA

Para representar una fracción gráficamente, se debe observar el numerador y

denominador. El denominador indica la cantidad de partes iguales en la que se divide

el entero y el numerador cuantas partes debemos considerar.

Ejemplos:

Para representar fracciones en la recta numérica se aplica el mismo concepto

trabajado en la representación gráfica, tomando la distancia entre 0 y 1 como un

entero.


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B. FRACCIONES EQUIVALENTES

Las fracciones equivalentes son fracciones que poseen distintos numeradores

y denominadores pero representan la misma cantidad o valor numérico, dicho en otras

palabras, representan el mismo número racional.

Actividad:

Graficar sobre la recta numérica los siguientes números fraccionarios:

a)𝟐

𝟓 d)

𝟕

𝟐

b)𝟔

𝟏𝟎 e)

𝟖

𝟖

c) 𝟒

𝟕 f)

𝟏𝟐

𝟓


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Una fracción es IRREDUCIBLE cuando el numerador y denominador tienen como único

divisor en común el número “1”, es decir, no se puede seguir simplificando. La

simplificación permite llegar a la fracción irreducible

C. OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA

La suma y resta de fracciones presenta dos situaciones

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR

Para sumar o restar fracciones del mismo denominador, se suman o restan los

numeradores y se deja el mismo denominador

Ejemplo

Actividad:

Hallar tres fracciones equivalentes a las dadas:

a)𝟏

𝟒 d)

𝟐

𝟕

b)𝟑

𝟓 e)

𝟑

𝟒

c)𝟓

𝟐 f)

𝟔

𝟏𝟏


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SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a

un común denominador que es el mínimo común múltiplo de los denominadores;

después se divide ese denominador por cada uno de los denominadores dados y el

resultado se multiplica por el numerador correspondiente. Por último se suman o

restan los numeradores resultantes y se conserva el común denominador.

Ejemplo

m.c.m.

m.c.m.

m.c.m.

Para obtener el m.c.m. se desarrollan los múltiplos de cada denominador, y de toma

el menor de todos los múltiplos iguales

Actividad

Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones:

a-𝟐

𝟑

𝟔

𝟑 d-

𝟑

𝟒

𝟐

𝟑

𝟓

𝟐

b-𝟏𝟑

𝟖

𝟕

𝟖 e-

𝟓

𝟔

𝟏𝟑

𝟖

𝟓

𝟒

c-𝟏𝟐

𝟕

𝟒

𝟕

𝟖

𝟕 f-

𝟐

𝟕

𝟓

𝟑

𝟏

𝟐


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MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los numeradores entre sí,

al igual que los denominadores. Es decir, la fracción resultante tiene por numerador el

resultado del producto de todos los numeradores dados y por denominador, el resultado del

producto de todos los denominadores correspondientes. No olvidar aplicar la regla de los

signos en caso de ser necesario.

Ejemplo:

DIVISIÓN

La división de fracciones se convierte en una multiplicación. Se multiplica la

primer fracción por la reciproca de la segunda fracción. (Fracción invertida)

Ejemplo

Actividad

Calcular las siguientes multiplicaciones:

a-𝟐

𝟑

𝟒

𝟓 c-

𝟐

𝟕

𝟏𝟐

𝟓

𝟓

𝟐

b-𝟓

𝟒

𝟑

𝟕 d-

𝟑

𝟐

𝟕

𝟓

𝟐

𝟗


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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

En una operación combinada con fracciones se puede encontrar sumas,

restas multiplicaciones, divisiones, etc. A la hora de resolver hay que tener en cuenta lo

siguiente

1) Convertir a fracción los números decimales.

2) Separar en términos (los signos “+” y “-“separan términos.

3) Resolver las operaciones que estén entre paréntesis, corchetes y llaves.

4) Efectuar los productos y cocientes

5) Realizar las sumas y restas.

6) Simplificar las fracciones siempre que sea posible para que las cuentas a realizar sean

más simples

Ejemplo:

⌈(

) (

)⌉

[(

) (

)]

[

]

Actividad

Realizar las siguientes divisiones con fracciones:

a-𝟒

𝟓 ∶

𝟑

𝟖 c

𝟑

𝟐 ∶

𝟒

𝟗

b-𝟑

𝟒 ∶

𝟐

𝟒 d

𝟏

𝟕 ∶

𝟑

𝟓 ∶

𝟐

𝟑


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Actividad

Operar los siguientes ejercicios combinados:

a- 𝟐

𝟕 𝟓

𝟐

𝟏

𝟓

𝟑

𝟏𝟎 c-

𝟕

𝟑

𝟒

𝟓 𝟐

𝟑

𝟓

b- 𝟓

𝟒

𝟑

𝟐

𝟕

𝟖

𝟏𝟕

𝟐𝟒 d-

𝟓

𝟐

𝟏𝟓

𝟒

𝟏

𝟔

𝟑

𝟐

𝟏

𝟐

ACTIVIDADES

I. Realizar las siguientes sumas de fracciones graficando el resultado y luego ubica

sobre la recta numérica :


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II. Realizar los siguientes ejercicios combinados de fracciones:

(

)

(

) (

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

) (

)


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UNIDAD iIi

NÚMEROS racionales: decimales

Marzo 2017


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Los números decimales nacen como una forma especial de la escritura de las

fracciones, de manera que la “coma” o “punto decimal” separa a la parte entera de la

decimal. Si no hay parte entera se coloca un cero delante de la coma.

Dicho de otra forma, la expresión decimal de una fracción es el cociente que

se obtiene al dividir el numerador por el denominador, este cociente puede ser un decimal

con una cantidad finita o infinita de cifras decimales.

Los números decimales forman parte del conjunto de números racionales.

A. CLASIFICACIÓN DE NUMEROS DECIMALES:

De acuerdo a la cantidad de cifras en su parte decimal, los números decimales pueden

clasificarse en:

EXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es finita

Ejemplos:

INEXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es infinita

PERIÓDICO PURO: Es cuando el período empieza inmediatamente después

de la coma decimal

Ejemplos:


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PERIÓDICO MIXTO: Es cuando la parte periódica empieza algunas cifras

después de la coma decimal.

Ejemplos:

Actividad

Pasar a número decimal las siguientes fracciones y clasificar:

B. PASAJE DE EXPRESIÓN DECIMAL A FRACCIÓN

• Decimal Exacto o Finito a Fracción: Se escribe en el numerador de la fracción, la

expresión decimal sin la coma (como números enteros), y en el denominador un uno

seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el decimal exacto.

Ejemplos:

Actividad

Pasar a fracción los siguientes números decimales:

• Decimal Periódico Puro a Fracción: La fracción correspondiente a un decimal

periódico puro tiene como numerador la diferencia (resta) entre la expresión decimal

escrita sin la coma, y la parte anterior al período. Y como denominador, tantos 9

como cifras tenga el período.


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Ejemplo

Recordar:

Actividad

Pasar a fracción los siguientes números decimales:

f

Decimal periódico mixto: El decimal periódico mixto tendrá como numerador la diferencia

(resta) entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al período; y como denominador

tantos 9 como cifras tenga el período y otros tantos ceros como cifras tenga el ante período.

Ejemplo:


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Actividad

Convertir en fracción los siguientes números decimales:

f

C. REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES EN LA RECTA

Los números decimales, “racionales”, también pueden graficarse sobre la recta

numérica. De acuerdo al número decimal con el que se trabaje se deben tener en

cuenta los siguientes pasos:

1) Para ubicar los décimos se divide la distancia entre dos números enteros

consecutivos en 10 partes iguales.

DÉCIMOS


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2) Para ubicar los centésimos se divide la distancia entre dos números enteros consecutivos en

100 partes iguales.

CENTÉSIMOS

Actividad

Representar sobre la recta numérica los siguientes números decimales:

f

D. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES

La suma y resta con números decimales se realiza siguiendo un procedimiento

similar a la suma y resta de números naturales. Es decir, se trabaja encolumnando

los elementos comunes. Para ello hay encolumnar las comas de los números a

sumar o restar, quedando de esta forma encolumnadas las cifras enteras y

decimales como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo de suma y resta de decimales:

Puede ocurrir que en la suma o en la resta haya algún número que no lleve todas las

cifras decimales, en este caso operamos como si en su lugar hubiera un 0 (cero).


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Actividad

Resolver las siguientes sumas y restas de decimales:

E. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

La multiplicación de números decimales se realiza como si fueran números naturales.

Una vez obtenido el resultado, del mismo se separan con una coma tantas cifras

como cifras decimales tengan entre los dos números decimales multiplicados

Ejemplo:

Actividad

Realizar las multiplicaciones de decimales:

F. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

La división de decimales presenta tres situaciones distintas:

(División de un numero decimal por un numero natural)

Ejemplo:

Dividir entre


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“Se divide como si fueran números naturales y al bajar la primera cifra decimal del

dividendo, se escribe la coma en el cociente”

Ejemplo:

Dividir entre

“Como la parte entera del dividendo es menor que la del divisor, se escribe 0 (cero)

y coma en el cociente y se sigue dividiendo entre ”.

(División de un numero decimal por otro decimal)

Ejemplo:

Dividir entre

“Cuando el divisor es un numero decimal, se debe convertir el mismo a un

número natural mediante la amplificación. Para ello, se multiplica el dividendo y el

divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el

divisor”

(División de un numero natural por un numero decimal)

Ejemplo:

Dividir entre


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“Como en el caso anterior, es necesario convertir el divisor en un numero

natural, amplificándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras

decimales tenga. Esta amplificación nuevamente modifica al dividendo.

Actividad

Resolver las siguientes divisiones de números decimales

a) 1,9 ÷ 7 = b) 4 ÷ 9= c) 3,41 ÷ 1,8 =

G. CÁLCULOS COMBINADOS CON NUMEROS DECIMALES

Para resolver ejercicios combinados con números decimales se aplican los pasos ya

mencionados en cálculos combinados con fracciones

1) Convertir a fracción los números

decimales. (exactos y periódicos)

2) Separar en términos (los signos “+” y “-“

separan términos.

3) Resolver las operaciones que estén entre

paréntesis, corchetes y llaves.

4) Efectuar los productos y cocientes

5) Realizar las sumas y restas.

6) Simplificar las fracciones siempre que sea

posible para que las cuentas a realizar sean más simples


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H. RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMATICAS

Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:


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ACTIVIDADES

1) Resolver los siguientes ejercicios combinados con números decimales

(

)

(

)

( )

( )


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UNIDAD iV

Unidades de medida

Marzo 2017


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4. UNIDADES DE MEDIDA

Desde hace muchos siglos, el hombre sintió la necesidad de efectuar mediciones, ya fuera

por relaciones comerciales, construcciones, etc.

¿A quién recurrir? La respuesta la halló en su propio cuerpo y así surgieron el

codo (la distancia del codo hasta el extremo del dedo mayor), el palmo (ancho

de la mano extendida), el dedo (ancho del dedo), el pie (largo del pie

extendido), la pulgada (ancho del dedo pulgar).

Pronto surgieron las dificultades: no todos los seres humanos tienen el mismo

tamaño y esto traía problemas en los intercambios comerciales.

¿Cuál fue la solución? En 1795 se creó el SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

* Métrico: porque la base es el metro.

* Decimal: porque la razón entre las medidas mayores y menores que el metro

siempre es potencia de 10.

La siguiente tabla de unidades diferencia entre el sistema C.G.S y el sistema M.K.S, la

magnitud que utilicemos según lo que se desea medir:

UNIDADES

Magnitud Sistema C.G.S Sistema M.K.S

Masa g kg

Longitud cm M

Tiempo s s

Velocidad cm/s m/s

Aceleración cm/s 2 m/s 2

Fuerza Dina N

Presión dina/cm 2 Pa = N/m 2

Trabajo Ergio (J) Joule

Potencia ergio/s Watt (J/s)

Momento dina.cm N.m


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4.1 Longitud

La unidad principal para medir longitud es el metro (m).

Kilómetro

0.001 km

Hectómetro

0.01 hm

Decámetro

0.1 dam

Metro

1m

Decímetro

10 dm

Centímetro

100 cm

Milímetro

1000 mm

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la

unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplo 1:

Pasar 32 m a cm

Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una

unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el

centímetro hay dos lugares de separación.

32 m × 100 = 3200 cm

Ejemplo 2:

Pasar 46,7 dm a hm

Si queremos pasar de decímetro a hectómetro tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una

unidad menor a otra mayor)

46,7 dm: 1000 = 0,0467 dm

4.2 Peso

La unidad principal para medir peso es el gramo (g).

Kilogramo

0.001 kg

Hectogramo

0.01 hg

Decagramo

0.1 dag

gramo

1g

Decigramo

10 dg

Centigramo

100 cg

Miligramo

1000 mg

El Kg es una unidad de medida equivalente a (1000g). Se usa para medir el peso de objetos o

personas entre otros.

Para la conversión entre unidades de peso procedemos de la misma manera que en las unidades de

longitud, por lo tanto, si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de

una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad

seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

× 10

÷ 10

×10

÷ 10


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4.4 Capacidad

La unidad principal para medir la capacidad es el litro (l).

Kilolitro

0.001 Kl

Hectolitro

0.01 Hl

Decalitro

0.1 Dal

litro

1L

Decilitro

10 Dl

Centilitro

100 Cl

Mililitro

1000 Ml

La conversión se trabaja de la misma manera que en las unidades de longitud y masa.

Lo importante será considerar los múltiplos y los submúltiplos en cada unidad que se trabaje:

.

×10

÷ 10

Actividad: Completar

LONGITUD

Km hm dam m dm cm mm

48

73,5

PESO

kg hg dag g dg cg mg

5317

9,12

CAPACIDAD

kl hl dal l dl cl ml

832,10

52490


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4.5 Área

Para medir el área utilizamos una medida derivada del metro, el metro cuadrado (m2).

Kilometro2

0.000001 km2

Hectómetro2

0.0001 hm2

Decametro2

0.01 dam2

metro2

1m2

Decimetro2

100 dm2

Centimetro2

10000 cm2

Milimetro2

1000000 mm2

Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la

unidad seguida de dos ceros por cada lugar haya entre ellas.

Ejemplo:

Pasar 45,5 m2 a cm2

Si queremos pasar de metros cuadrados a centímetros cuadrados tenemos que multiplicar (porque

vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que

entre el metro cuadrado y el centímetro cuadrado hay dos lugares de separación (dos lugares por

dos).

45,5 m2 · 10000 = 455000 cm2

Completar:

491,836

162,3449

4.6 Volumen

Para medir el volumen utilizamos una medida derivada del metro, el metro cúbico (m3).

Kilometro3

0.000000001 km3

Hectómetro3

0.000001 hm3

Decametro3

0.001 dam3

metro3

1m3

Decimetro3

1000 dm3

Centimetro3

1000000 cm3

Milimetro3

1000000000 mm3

÷ 1000

1000

× 100

÷ 100


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Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la

unidad seguida de tres ceros por cada lugar haya entre ellas.

Ejemplo:

Pasar 92,671 m3 a cm3

Si queremos pasar de metros cúbicos a centímetros cúbicos tenemos que multiplicar (porque vamos

a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de seis ceros, ya que entre el

metro cúbico y el centímetro cúbico hay dos lugares de separación (dos lugares por tres).

92,671 m3 · 1000000 = 92671000 cm3

Una unidad alternativa para medir volumen es el litro, el cual es equivalente a 1 dm3. Ésta se utiliza

mayormente para medir líquidos.

4.7 De pulgadas a centímetro

La pulgada es una unidad de longitud que equivale al ancho de la

primera falange del pulgar, y más específicamente a su falange

distal.

1 pulgada = 1” = 0,0254metros

Ejemplo:

Julián midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro es

4,36cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas, necesita Julián?

1 Pulgada = 0,0254m = 2,54cm

Actividad

a- Nicolás midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro

es 4,78cm. Pero los caños se miden en pulgadas. ¿Qué medida de caño, en pulgadas,

necesita Nicolás?


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ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

1. Transformar estas longitudes en metros y ordénalas de menor a mayor.

2. Completar las siguientes tablas, teniendo en cuenta la unidad de medida:

3. Resolver y contestar:

a) Un tonel se llena con 150 litros. ¿Cuántos hectolitros necesitamos

para llenar 6 toneles?

b) Una cuerda roja mide 2 dam y 3 m y otra cuerda azul mide 23,457

m. ¿Cuál de las dos es más larga?

c) Juan necesita aceite para sus dos coches, uno verde y otro azul. Para el

verde necesita 3 dl y 75 ml, y para el azul 13 cl y 5 ml. ¿Cuántos ml necesita en total? ¿Tendrá

suficiente con una lata de medio litro?

4. Convertir a una misma unidad y resolver las operaciones:

Km hm dam m dm cm mm

73,59

kg hg dag g dg cg mg

53017

kl hl dal l dl cl ml

0, 8325

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

32786,361


- 42 -

UNIDAD V

Geometría en el plano

Marzo 2017


- 43 -

GEOMETRÍA

El hombre preciso admirar la belleza de la creación para satisfacer su

espíritu, con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba.

Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que

dieron origen a la parte de las matemáticas que designamos con el

nombre de la geometría. Formada por las raíces griegas “geo”, tierra,

y “metrón”, medida, por lo tanto su significado es “medida de la

tierra”; la misma, es una herramienta que permite describir el mundo físico en que se vive.

1- FIGURAS GEOMÉTRICAS

Cuadriláteros

Regulares

Cubo

Pirámides

Prismas

Cono

Cilindro

Esfera

PLANO

ESPACIO

CIRCUNFERENCIA

POLIGONOS

Poliedros Cuerpo Redondo

Triángulo


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2- PERÍMETRO Y ÁREA

es la medida del contorno de una figura plana y se expresa en unidades de longitud, por

ejemplo: centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc.

Para calcular el perímetro de un polígono debemos sumar las medidas de sus lados.

Ejemplo: Si calculamos el perímetro de un rectángulo de largo 5cm y ancho 3cm, sumamos la

medida de sus lados. Por lo tanto su perímetro es 16cm.

es la medida de su superficie y se expresa en unidades de área, por ejemplo: metros

cuadrados ( ), centímetros cuadrados ( ), kilómetros cuadrados ( ), etc.

Figura Geométrica Perímetro (P) Área (A)

Cuadrado de

lado (l)

Rectángulo

Triángulo

Circunferencia

Longitud:

A=

5cm

5cm

3cm 3cm

P = 3cm + 5cm + 3cm + 5cm

P = 16cm


- 45 -

Actividad:

Calcular el perímetro y área de la siguiente figura:

Ejemplo 1

Calcular el perímetro y área del siguiente triangulo.

Ejemplo 2

Se tiene un cuadrado de 3m de lado y un triángulo equilátero de 7.5m ¿Cuál de ellas tiene mayor

perímetro?

Cuadrado Triángulo equilátero

Conclusión: La figura que mayor perímetro tiene es la del triángulo equilátero

7,5cm

7,5cm

7,5cm

7 cm 7 cm

4 cm

dam

9 cm

dam 9 cm

dam

12 cm

dam


- 46 -

4- Teorema de Pitágoras

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados (catetos)”

Ejemplo: si tenemos un triángulo de hipotenusa igual a 5 cm, cuyos lados miden 3cm y 4cm,

veamos si las áreas son las mismas:

2 =

25 = 9 + 16

25 = 25

¿Por qué es útil?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, el

Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.

(¡Pero sólo funciona en triángulos rectángulos!)

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐

5 cm


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DOS CASOS QUE PUEDEN PRESENTARSE

c2= a2 + b2

c2= 52 + 122

c2 = 25 + 144

c2 = 169

√

c = 13 cm

c2 = a2 + b2

152 = 92 + b2

225 = 81 + b2

225 – 81 = b2

144 = b2

√

12 cm = b

Solucionar utilizando lo aprendido ¿Qué calcularás? ¿Hipotenusa o cateto?

a. b.

Cuando se averigua la hipotenusa

de un triángulo rectángulo.

Cuando se averigua un lado del

triángulo rectángulo.


- 48 -

El teorema de Pitágoras como muchos temas de

matemática se lo puede aplicar en situaciones

cotidianas.

ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

Leer atentamente los siguientes problemas, construir el

triángulo rectángulo y encontrar el dato faltante

Problema 1: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera

dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

Problema 2: Un avión militar debe atacar el blanco enemigo que se encuentra a cierta distancia. Se

sabe que el avión está volando a 20 km de altura y que el blanco enemigo está a 15 km del avión en

línea horizontal. El piloto desea saber la distancia que recorrerá el misil que enviará para destruir al

enemigo. ¿Cuál será la distancia?

Actividad 2: Determinar el perímetro y el área de cada figura:

a) Un rectángulo de 10 cm de ancho y 20 cm de largo:

b) Un cuadrado de 8 m de lado:

c) Longitud de una circunferencia y área de un círculo de radio 10 cm:

d) Un triángulo isósceles de base 6 m, lados 5 m y de altura 4 m:

Perímetro: Área:

Perímetro: Área:

Área: Longitud:

Área: Perímetro:

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UNIDAD Vi

Geometría en el espacio

Marzo 2017

- 50 -

El estudio de los cuerpos geométricos no solo brindo avances en las matemáticas sino que todo este conocimiento fue extremadamente influyente en actividades muy veneradas como son la

arquitectura, la ingeniería, la física astronómica y por supuesto la física cuántica. Las principales leyes que rigen todos estos campos de conocimiento surgen del estudio matemático de los cuerpos

geométricos y los cálculos basados en ellos.

1- SUPERFICIE LATERAL, SUPERFICIE TOTAL Y VOLUMEN DE CUERPOS

SUPERFICIE LATERAL: es la suma de todas las áreas de las caras laterales.

SUPERFICIE TOTAL: es la suma del área lateral y el área de la o las bases de la figura.

VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.

ALT

O

LARGO

- 51 -

Fórmulas para calcular la superficie lateral, superficie total y volumen de los siguientes cuerpos:

Superficie Lateral

Superficie Total

Volumen

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 4 cm de

arista.

Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 6 cm de arista.

Superficie Lateral

Superficie Total

Volumen

CUBO

4 cm

𝑨 𝟒 𝒄𝒎 𝟐 𝟒 𝒄𝒎 𝟒 𝒄𝒎 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐

Área de una cara lateral = 𝒂𝟐

- 52 -

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente prisma.

Actividad: Calcular sup. Lateral, total y volumen de un prisma largo 3 cm, ancho 4 cm y altura 6 cm.

Superficie Lateral

Superficie Total

Volumen

( )

Superficie Lateral

2. ( )

Superficie Total

)

Volumen

PRISMA

c

a

2 cm

4 cm Área de una cara lateral = 𝒂 𝒄 𝟐 𝒄𝒎 𝟒𝒄𝒎 𝟖 𝒄𝒎𝟐

Área de una cara lateral del costado =𝒃 𝒄 𝟑𝒄𝒎 𝟒𝒄𝒎 𝟏𝟐𝒄𝒎𝟐

Área de una base= 𝒂 𝒃 𝟐𝒄𝒎 𝟑𝒄𝒎 𝟔𝒄𝒎𝟐

- 53 -

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente cilindro.

Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un

cilindro de radio 2 cm y altura 4 cm.

Superficie Lateral .h

Superficie Total

Volumen

Superficie Lateral

94,2

Superficie Total

94,2

Volumen

CILINDRO

h

r

5 cm

3 cm

- 54 -

Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de la siguiente esfera de

radio 2 cm.

Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de una

esfera de 4 cm.

Superficie Total

Volumen

Superficie Total

Volumen

ESFERA

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ACTIVIDAD DE LA UNIDAD

1. Completar los cuadros calculando el área lateral, área total y volumen de los

respectivos cuerpos. Utilizar los datos dados:

a)

CUBO

CUBO

b)

PRISMA DE BASE CUADRADA

c)

CILINDRO

d)

ESFERA

Arista Área Lateral Área Total Volumen

3cm

5cm

Base Altura Área Lateral Área Total Volumen

2cm 5cm

3cm 4 cm

Radio Altura Área Lateral Área Total Volumen

2cm 10cm

5cm 6cm

Radio Área Total Volumen

7cm

9cm

curso de nivelaciÓn de -...

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