Curso de Matemáticas dirigido a Estudiantes de Ingeniería de

Sistemas.

IRS - 101

Material Preparado Por:

Jesús Del Valle Sierra

Profesor Titular Departamento de Matematicas

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

jadeva@matematicas.udea.edu.co

jadeva@latinmail.com Página Elaborada por

EL CENTRO DE CAPACITACIÓN INTERNET C.C.I

6. SECCIONES CÓNICAS

6.1. LA PARABOLA 6.1.1. Ecuaciones analíticas de la parábola. 6.1.2. Traslación de ejes. 6.1.4. Valores máximos y mínimos de la parábola. 6.2. LA ELIPSE 6.2.1. Ecuaciones analíticas de la elipse.

6.2.2. Construcción de la elipse.

6..3.LA HIPERBOLA

6.3.1. Ecuaciones analíticas de la hipérbola.

6.3.2. Asíntotas de una hipérbola.

6.4. ANALISIS DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO

GRADO.EN LAS VARIABLES X E Y

6.5. Ejercicios resueltos de la unidad N°6.

6.5.1. Ejercicios resueltos sobre la parábola.

6.5.1. Ejercicios resueltos sobre la elipse.

6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola.

6.5.4. Ejercicios resueltos sobre la ecuación de

segundo grado en

las variables x e y.

6.6. Ejercicios propuestos de la unidad N°6.

6. SECCIONES CÓNICAS

Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono circular recto.

Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse

incluyendo la circunferencia como un caso especial) y la hipérbola. (Ver fig. 6.1.)

fig. 6.1.

..

6.1 LA PARABÓLA

Definiciones

i. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se

define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto

F es igual a la distancia a larecta DD.

ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.)

Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por

PDD-F.

Esto es:

PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}

PD

fig. 6.1.1.

Observaciones:

i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del

foco a la directriz.

ii. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece

a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.

El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’

es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo

PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces,

, lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.

6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola

En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas

y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)

fig. 6.1.2.

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .

Pero, y

Luego,

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios,

se obtiene: , y simplificando queda finalmente,

(1)

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y

pruebe que P e PDD-F.

Por hipótesis, (2)

Se debe probar que

De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.

TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)

i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2

(fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del plano, satisface (3)

entonces P PDD-F

ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)

iii. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P PDD-F

fig. 6.1.3.

fig. 6.1.4.

Observaciones:

i. En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso

de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto

F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.

Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones

que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en

una potencia par.

ii. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de parábolas abiertas

hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0)

y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos

con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos,

poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.

6.1.2. Traslación de Ejes

En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con

centro en C(4,3) y radio 5 era:

ó

Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene

.

De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la

gráfica (fig. 6.1.5.).

fig. 6.1.5.

Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y,

se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios

que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema

de coorde- nadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o’(h, k) que se

llama: ORIGEN del nuevo sistema.

Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con

origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas

por las relaciones:

x = x’ + h (1)

y = y’ + k (2)

llamadas: ECUACIONES DE

TRASLACIÓN DE EJES, y que

pueden deducirse fácilmente de la

fig. 6.1.6.

fig. 6.1.6.

Observación:

La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no

altera la forma de la curva.

Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecua- ciones

generales de la parábola, con vértice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las

cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes.

Si se toma como referencia los ejes x’ e y’, hallar las ecuaciones de la parábola con vértice

en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parábola con vértice en (0, 0) referido

al nuevo sistema.

Las ecuaciones , permiten escribir las ecuaciones en forma

general de la parábola, como lo afirma el siguiente teorema:

6.1.3. Teorema2 (Ecuaciones de la parábola. Forma general)

i. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en y por directriz la recta:

(fig. 6.1.7.) viene dada por:

(1)

fig. 6.1.7.

ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en y por directriz la recta:

(fig. 6.1.8.) viene dada por:

(2)

fig. 6.1.8.

Demostración:

Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x’-y’ y luego hacer

e

Observación:

Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la

forma:

(3)

(4)

En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cua- drado y la

otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya varia- ble aparece

lineal. Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y

positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4)

representa una parábola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p <

0).

6.1.4. Valores máximos y mínimos de una parábola

Se ha visto en la sección precedente que la ecuación (1) puede

escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y representa una

parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p < 0).

Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la

parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto

máximo o mínimo de la curva.

fig. 6.1.9. (a) fig. 6.1.9. (b)

Si como en la fig. 6.1.9.(a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto mas alto de

la curva) es llamado el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada

correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa.

Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. 6.1.9.(b)), el vértice V es llama- do el

punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la

función.

Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos.

6. SECCIONES CÓNICAS

6.2 LA ELIPSE

Definiciones:

i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F . Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugar geométrico de

los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento se llaman EJES DE

SIMETRÍA DE LA ELIPSE.

iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B

y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.

Si el segmento es mayor que el segmento , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE

MAYOR y EJE MENOR de la elipse.

fig. 6.2.1.

Observaciones:

i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se

considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son

simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.2.2.).

ii. Nótese también que como , se sigue que (teorema de

Pitágoras).

fig. 6.2.2.

6.2.1. Ecuaciones Analíticas de la Elipse

Caso 1. Elipses con focos. F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0

Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0)

Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)

TEOREMA:

La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.)

viene dada por:

(1)

fig. 6.2.3. fig. 6.2.4.

Demostración

Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la

definición ique , o equivalentemente, (fórmula

de distancia entre dos puntos)

Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se

obtiene:

Simplificando la última igualdad se llega a:

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:

La cual se reduce a:

Recordando además que y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se

obtiene finalmente : que corresponde a la ecuación pedida.

Caso 2. Elipses con focos F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0

Eje mayor: Longitud 2a (a > 0)

Eje menor: Longitud 2b (b > 0)

TEOREMA:

La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.),

viene dada por:

(2)

Demostración:

Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

NOTA:

Nótese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la

ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio a.

Caso 3. (Caso General).

Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se

considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones

de traslación (sección 6.1.2.) en:

(3)

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k)

Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h)

fig. 6.2.5.

(a) (x-h) + (y-k) b (x-h) + (y-

k)

a b b a

Observaciones:

i. La ecuación (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.

ii. Si a > b, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x

(fig. 6.2.5. a).

Si b > a, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y

(fig. 6.2.5. b).

6.2.2. Construcción de la Elipse

Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer

algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados

hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse.

Construcción 1

Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F’. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la

distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en

todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida. (fig. 6.2.6.)

fig. 6.2.6.

Construcción 2

Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por , con a >

b.

Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados círculos directores, que son círculos concéntricos ,

con centro en 0, uno de radio y el otro de radio . (Ver fig. 6.2.7.)

fig. 6.2.7.

Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por

estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm,

ym).

Se puede afirmar que el punto M está en la elipse de ecuación .

En efecto, basta demostrar que .

Para ello, nótese que:

Sumando miembro a miembro las últimas igualdades, se concluye que

6. SECCIONES CÓNICAS

..

6.3 LA HIPERBOLA

Definiciones

i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el

lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es

constante e igual a 2a. (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se

llaman:Ejes de simetría de la hipérbola.

iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los

puntos A y A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola.

fig. 6.3.1.

Observaciones:

i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de

una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales

los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al

origen (fig. 6.3.1.).

ii. Si se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que

si se obtiene la otra rama.

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un triángulo siempre es menor que el

tercer lado. Además, se toma .

6.3.1. Ecuaciones Analíticas de la Hipérbola

caso 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y

F(c, 0) viene dada por:

(1).

Demostración:

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de

acuerdo a la definición i. que:

ó

De donde,

ó

Es decir,

Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de

simplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando además que (observación iii.) y al dividir ambos miembros de la

última igualdad por , se obtiene finalmente, que corresponde a la

ecuación pedida.

Caso 2. Hipérbola con focos en F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F’(0, -c) y

F(0, c) viene dada por:

(1).

fig. 6.3.2.

La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

Caso 3. (Caso General)

Si en vez de considerar el centro de la hipérbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos

casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente,

se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.) en:

(3)

(4)

Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.

Observaciones:

i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hipérbola centrada en el origen y focos en los puntos

F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son

V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas:

M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b).

El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola.

fig. 6.3.3.

ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje x y con respecto al eje y.

iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas

oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por:

y

Una forma "nemotécnica" de obtener las ecuaciones de las los asíntotas de la hipérbola es la

siguiente: En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0

(cero).

Así, en el caso particular de la hipérbola ,

Hacemos: (factorizando)

Estas son las ecuaciones de las asíntotas

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hipérbola se transforman

en: ó

En ambos, la hipérbola se llama: Hipérbola Equilátera y tienen como asíntotas las rectas

y = x e y = -x

6. SECCIONES CÓNICAAS

.

6.4 ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO

GRADO

Las secciones cónicas mencionadas hasta ahora, se refieren a curvas cuyas ecuaciones son

casos particulares de la ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

Llamada: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO.

Asi, por ejemplo, la ecuación de la circunferencia (sección 5) (x – h)2 + (y – k)2 = r2, se obtiene

de la ecuación (1) haciendo A = B = 1; D = -2h; E = -2k y F = h2 + k2 – r2.

Igualmente, la parábola (sección 6.1.) de ecuación: (x – h)2 = 4p (y – k), se obtiene de la

ecuación (1) haciendo: A = 1, B = 0, D = -2h,E = -4p y F = h2 + 4pk.

Incluso, la linea recta aparece como un caso especial de la ecuación (1) haciendo

A = B = 0.

Los términos Ax2y By2 de la ecuación (1) son de segundo grado o términos cuadráticos.La

naturaleza de la curva determinada por la ecuación (1), cuando contiene al menos uno de estos

términos, está expresada en el siguiente teorema.

TEOREMA (Análisis de la Ecuación de Segundo Grado).

La ecuación:

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (2)

Donde A, B, D, E y F son constantes reales, A y B no simultáneamente nulos, representa:

i. Una circunferencia. Si A = B (diferentes de 0). (En casos especiales puede reducirse a un

punto, o incluso carecer de puntos reales).

ii. Una parábola. Si A . B = 0. (Recordar que si A . B = 0, implica que A = 0 ó B = 0). Esto

significa que la ecuación (2) es de segundo grado respecto a una de las variables y lineal con

respecto a la otra.

iii. Una elipse. Si A . B > 0. (Recordar que si A . B > 0, entonces A y B tienen el mismo signo).

En casos especiales, el lugar se reduce a un solo punto, o incluso, el lugar carece en absoluto de

puntos reales.

iv. Una hipérbola. Si A . B < 0. (Esto implica que A y B tienen signos opuestos). En casos

especiales, el lugar puede reducirse a un par de rectas secantes, como sucede por ejemplo con

la ecuación

x2 – y2 = 0.

Observación.

El recíproco del teorema es igualmente válido, es decir, cualquiera de estas curvas, satisface

una ecuación de segundo grado de la forma (2).

6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6

..

6.5.1. Ejercicios Resueltos Sobre La Parábola

1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en

F(2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x= -2.

Solución:

Trácese la gráfica con los elementos dados.

De acuerdo a la definición, un

punto

Pero,

Luego,

Elevando ambos miembros al

cuadrado, se tiene:

fig. 6.5.1.

De donde y2 = 8x es la ecuación de la

parábola pedida.

2. Dada la parábola que tiene por ecuación

x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.

Solución:

la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.

Como p < 0, la parábola se abre

hacia abajo. El foco se encuentra sobre el eje y

en el punto F (0, -p/2). La ecuación de la directriz es la

recta ,

es decir,

Fig 6.5.2

3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B

pasa la parábola (1).

Determine el foco y la ecuación de la directriz

Solución:

Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y

por lo tanto B pertenece a la parábola.

Ahora, de acuerdo a la parte ii

del teorema 1.

con lo

cual

En consecuencia, el foco se

encuentra localizado

en el punto y la

ecuación de la directriz

es la recta

fig 6.5.3 4. Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen

es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y.

Solución: La ecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en

O’(2, 3). La parábola se abre hacia la derecha y además 2p = 4, de donde p

= 2. Con lo cual

= distancia del vértice al foco.

Fig. 6.5.4. Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:

de donde

Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se obtiene:

Esta última ecuación, representa una parábola cuyo vértice es el punto V (2,

3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.

5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).

Solución:

Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el

eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ción y = 2.

El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco.

Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).

fig. 6.5.5. Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por:

ó

6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución:

Se debe expresar la ecuación en la forma:

(1)

Así,

(Completación de cuadrados)

(2) (Factorizando)

Comparando (1) y (2) se deduce q ue:

Así que las

coordenadas del

vértice

son . Como p = 4 > 0 y la

variable lineal es y,

se deduce entonces que la

parábola se abre

hacia arriba. El eje focal es la

recta paralela al

eje y de

ecuación y el foco se

encuentra localizado

en el punto

, esto

es, fig. 6.5.6.

La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación ; esto

es,

En la figura 6.5.6. aparece la gráfica de la parábola con todos sus elementos.

7. Para la parábola demostrar que el vértice

está en el punto y que corresponde a un máximo o un mínimo

de acuerdo al signo de a.

Solución.

La ecuación: , puede escribirse en la

forma: .

Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la última igualdad, se tiene:

Con lo cual,

Al comparar esta última ecuación, con la igualdad (1) del teorema 2 (sección

6.1.3.), se deduce que el punto son las coordenadas del

vértice de la parábola y además,

Ahora, si a > 0, entonces p > 0 y la parábola se abre hacia arriba. En este caso, el punto V corresponde a un punto mínimo de la parábola.

Si a < 0, entonces p < 0 y la parábola se abre hacia abajo. En este caso, el punto

V corres- ponde a un punto máximo de la parábola.

8. (Propiedad óptica (o focal) de la parábola)

Demostrar que la normal a la parábola en un punto Q, hace ángulos iguales con la recta que pasa por Q y F y con la paralela al eje focal trazada por el punto.

Solución.

Considere la parábola y2 = 2px que aparece en la figura 6.5.7., la normal nn y la

tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1). Al trazar las rectas que pasan por Q y F y la

paralela al eje focal, se forman los ángulos y .

fig. 6.5.7. Se debe probar que = .

La ecuación de la tangente tt a la curva en el punto Q(x1, y1) viene dada

por: .

De aquí se deduce que y por lo tanto .

Ahora, .

Asi que (1).

En el triángulo QFN, se tiene, , de donde .

Luego, .

Pero, .

De esta forma:

(puesto que y12=2Px1)

Es decir, .

Luego, y por tanto = . La propiedad demostrada anteriormente, significa que si se supone un espejo

parabólico per- fectamente liso, como el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, todo

rayo para- lelo al eje de simetría de la parábola, se refleja pasando por el foco.

Esta propiedad conocida como la propiedad óptica (o focal) de la parábola es utilizada en la construcción de reflectores y de antenas parabólicas.

6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6

6.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Elipse

1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos

F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).

Solución:

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se

tiene que, y por tanto .

fig. 6.5.8. De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y

V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:

25x2 + 4y2 = 100

Solución:

La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqué?)

4 25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y

eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se

encuentran localizados en los puntos y .

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida.

fig. 6.5.9.

3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:

4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0

Solución:

La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completación de cuadrado)

(factorización y simplificación)

(dividiendo por 4)

Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;

a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig.

6.5.10.).

Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los focos están localizados en los

puntos y .

fig. 6.5.10.

4. Propiedad Óptica de la Elipse

En geometría plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un triángulo ABC y un

punto Dsobre BC (ver figura 6.5.11), entonces:

es Bisectriz del ángulo .

Esta propiedad permite construir la normal y por ende la

tangente en un punto cualquiera de la elipse. Al unir el punto P1 de la elipse con F’ y con F, puede

demostrarse que la bisectriz del ángulo F’P1F es la normal nn a la curva por P1 (fig. 6.5.12.).

fig. 6.5.11.

Esta propiedad se conoce como la propiedad óptica o focal de la elipse y tiene interesantísimas

aplicaciones:

fig. 6.5.12.

1) Considérese un rayo de luz que se enfoca desde un foco hacia un punto P1 de la curva.

Comonn es bisectriz del ángulo F’P1F, entonces, ángulo de incidencia = ángulo de reflexión y por

tanto el rayo se reflejará pasando por el otro foco. Este hecho es utilizado en la construcción de

conchas acústicas.

Supongamos que la elipse se hace rotar alrededor del eje x formando una superficie de

revolución e imaginemos un salón cuyos techos y paredes son la superficie anterior. Cuando

una persona habla desde un foco F, puede ser escuchada en el otro foco a pesar de estar

muy lejos del anterior y puede no ser audible en otros puntos intermedios a causa de que las

ondas de sonido chocan contra las paredes y son reflejadas en el segundo foco y llegan a él en

el mismo tiempo ya que ellas viajan el mismo tiempo.

2) Estudiando una gran cantidad de datos experimentales, Kepler (1571 – 1630) determinó

empirica- mente los tres siguientes hechos sobre el movimiento de los planetas conocidos como

las leyes de Kepler:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos.

2. El radio vector trazado desde el sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. Los cuadrados de los períodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la órbita elíptica.

Newton (1642 – 1727) partiendo de estas tres leyes empíricas y utilizando elementos del cálculo

diferencial e integral pudo deducir la ley de gravitación universal: "la fuerza que ejerce el sol so-

bre un planeta es una fuerza de atracción radial e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia entre los dos centros del sol y del planeta y viene dada por donde m:

masa del planeta, M: masa del sol y constante de gravitación universal".

Fijadas la directriz, el foco F y la excentricidad , sabemos que si llamamos p: distancia foco -

directriz, la ecuación de la elipse es (1) donde y

donde como se puede demostrar fácilmente que a > b.

Ahora, cuando , dejando fijos los demás elementos; directriz, foco y p, la elipse se

aproxima a una circunferencia y por tanto la órbita es cada vez mas cercana a una circuferencia

En efecto:

.

Si y y por tanto, a y b se acercan al mismo valor y

la ecuación (1) tiende a ser la ecuación de una circunferencia.

Esto puede verse también en el siguiente cuadro.

p = 1

0.5

0.4

0.2

0.1

0.01

0.002

0.001

0.6666

0.4762

0.2083

0.1010

0.0100

0.002

0.001

0.57735

0.4364

0.2041

0.1005

0.0100

0.002

0.001

Muchos de los planetas incluyendo la tierra tienen órbitas que son aproximadamente

circulares:

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

Júpiter

0.21

0.01

0.02

0.09

0.05

Saturno

Urano

Neptuno

Plutón

0.06

0.05

0.01

0.25

Uno de los objetos mas importantes del sistema solar es el cometa Halley que tiene una

excetrici- dad de y una órbita de alrededor de 7 U.A. de ancho x 35 U.A. de largo

(1 U.A.: 150 millones de kilómetros = semieje mayor de la órbita de la tierra » distancia tierra –

sol). El período de revolución de este cometa es de 76 años. Fue observado por el astrónomo

Edmund Halley en 1682 el cual predijo que volvería a aparecer en 1758. Asi efectivamente fue

pero Halley no pudo ver verificada su predicción ya que murió en 1742. Esta periodicidad de

la órbita del Halley fue uno de los sucesos mas convincentes a favor de la teoría de Gravitación

de Newton.

6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6

6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola

1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y

V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e

indicar las asíntotas.

SOLUCIÓN

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la

forma: .

fig. 6.5.13.

En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En

consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,

2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine:

coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.

SOLUCIÓN

La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y

(fig. 6.5.14.)

fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas

son las rectas de ecuación: e . ..

3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3.

Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8

unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de

las asíntotas.

SOLUCIÓN

Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10,

se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).

fig. 6.5.15.

Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la

hipérbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).

Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y y = 3. Esto es, V1(6,

3) yV2(-2, 3).

Además, de la ecuación: , se deduce

que: ; y

son las ecuaciones de las asíntotas.

4. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0.

Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN

La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje

focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.)

fig. 6.5.16.

Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: .

Las coordenadas de los focos son: x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F’(2, -3).

Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e . Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1).

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , e, .

5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglas en inglés),

una estación principal de radio y una estación secundaria emiten señales que pueden ser

recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos

señales, por lo regular se halla mas cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay

cierta diferencia en las distancias que recorren las dos señales, lo cual se traduce en una

pequeña diferencia de tiempo entre las señales registradas. Mientras la diferencia de

tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias también será constante.

Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguirá la trayectoria

de una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones de

radio.

fig. 6.5.17.

Asi que para cada diferencia de tiempo se tiene como resultado una trayectoria hiperbólica

diferente, cada una llevando al barco a una posición distinta en la costa. Las cartas de

navegación muestran las diferentes rutas hiperbólicas correspondientes a diferencias de

tiempo distintas.

Dos estaciones LORAN están separadas 250 millas a lo largo de una costa recta. a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg. entre las señales LORAN.

Establezca un sistema de coordenadas rectangulares apropiado para determinar donde el

barco alcanzará la costa si continúa sobre la trayectoria de la hipérbola correspondiente a

esta diferencia de tiempo.

b) Si el barco debe entrar a un puerto localizado entre las dos estaciones a 25 millas desde

la estación principal, ¿qué diferencia de tiempo debe observar?.

c) Si el barco está a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo

deseada, ¿cuál es su ubicación exacta? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es de

186.000 millas/seg.). ..

SOLUCIÓN

a. Se puede establecer un sistema de coordenadas rectangulares de tal forma que las dos

estaciones estén sobre el eje x y el origen de coordenadas en la mitad del camino entre

ellas (Ver fig. 6.5.18.).

fig. 6.5.18.

Como la diferencia de tiempo constante de las señales desde cada estación implica

unadiferencia constante en la distancia del barco a cada una de las estaciones, se deduce

entonces que el barco está localizado sobre una hipérbola cuyos focos son las estaciones e

radio.

Ahora, dif. dist. = Veloc. (dif. de tiempos)= 186.000 x 0.00086 = 160 millas.

Esto indique que 2a = 160 (recordar la definición de la hipérbola) y de aquí a = 80, lo que

indica que uno de los vértices de la hipérbola está en el punto V1(80, 0). Ahora, como uno

de los focos está en el punto F(125, 0) se deduce entonces que el barco siguiendo la

trayectoria hiperbólica alcanzará la costa a 125 – 80 = 45 millas de la estación principal.

b. Si el barco desea entrar sobre la costa a 25 millas de la estación principal, esto indica

que debe seguir una trayectoria hiperbólica cuyo vértice es el punto V(100, 0). Asi que 2a

= 200(diferencia constante entre las distancias del barco a cada estación).

De esta forma: .

c. Para encontrar la ubicación exacta del barco, se necesita determinar la ecuación de la

hipérbola cuyo vértice es V(100, 0) y uno de sus focos es F(125, 0).

Asi que a = 100, c = 125. Con lo cual, b2 = c2 – a2 = 5625.

De esta forma, la ecuación de la hipérbola viene dada por:

Como el barco está a 80 millas sobre la costa, quiere decir que está en el punto (x,

80)sobre la hipérbola. En consecuencia, , de donde x = 146.

Por lo tanto, la ubicación exacta del barco es sobre la hipérbola en el punto P(146, 80).

6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA

UNIDAD Nro 6

6.5.4. Ejercicios resueltos sobre la ecuación de 2º grado

1. Considere la ecuación de segundo grado:3x2 – 2y2 – 6x – 4y – 5 = 0, identificar la curva

que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos.

SOLUCIÓN

Comparando la ecuación dada con la ecuación (1) de la sección 6.4. se observa que A = 3,

B = -2, D = -6, E = -4 y F = -5.

Como A.B = 3(-2) = -6 < 0, se deduce entonces que la ecuación representa una hipérbola,

o como caso especial dos rectas secantes.

La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación representa una hipérbola con centro en C(1, -1) y cuyo eje focal es la

recta y = -1 (Ver fig. 6.5.19.)

fig. 6.5.19.

Las coordenadas de los focos son: y = –1, . Esto es

y .

Las coordenadas de los vértices son: y = –1, . Esto

es y .

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:

e .

2. Considere la ecuación de segundo grado: x2 + y2 + 2x – 2y + 2 = 0.

Identificar la curva que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos.

SOLUCIÓN

Como A = B = 1 ¹ 0, la ecuación representa una circunferencia o uno de los casos especiales.

La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:

De la última ecuación se ve claramente que el único punto que la satisface es el punto

P(-1, 1). De aquí que la ecuación original se reduce al punto P(-1, 1). 6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA UNIDAD

..

1. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas:

a. F(3, 0), V(2, 0)

b. F(0, 0), V(-1, 0)

c. F(2, 3), directriz: x = 6

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2)

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2)

f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y

C(16, -7)

2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a

parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación

del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice.

a. y2 + 4x – 4y – 20 = 0

b. y2 – 8x + 4y + 12 = 0

c. y2 + 4x + 4y = 0

d. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0

e. 8y2 + 22x – 24y – 128 = 0

f. x2 – 6x – 12y – 15 = 0

g. x2 + 4x + 4y – 4 = 0

h. x2 – 8x + 3y + 10 = 0

i. 6x2 – 8x + 6y + 1 = 0

j. 5x2 – 40x + 4y + 84 = 0

3. Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el

punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q).

4. a. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el

punto (p, q) de la curva, viene dada por: .

b. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: x2 = 4cy en el

punto (p, q) de la curva, viene dada por: .

5. a. Demuestre que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por

un punto cualqui- era de la parábola corta a esta en un punto localizado

sobre el eje y.

b. Si Z denota el punto de intersección de la perpendicular desde el foco a la

tangente, demuestre que: , donde : es el radio vector

asociado al punto P.

6. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas:

a. y = x2 – 2x – 8

b. y = x2 – 6x + 9

c. y = 5 – 4x - x2

d. y = 9 – x2

7. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se

pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos:

a. 16x2 + 25y2 = 100

b. 9x2 + 4y2 = 36

c. 4x2 + y2 = 16

d. x2 + 9y2 = 18

e. 4y2 + x2 = 8

f. 4x2 + 9y2 = 36

8. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que

satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica.

Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vértice en (5, 0).

Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vértice en (3, 0).

Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vértice en (0, -2).

Focos en (± 2, 0); longitud del eje mayor 6.

Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ± 2.

Centro en (0, 0), vértice en (0, 4); b = 1.

Vértices en (± 5, 0); c = 2.

Centro en (2, -2), vértice en (7, -2); focos en (4, -2).

Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8.

Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2).

9. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y

los vértices de cada elipse. Trace la gráfica correspondiente.

10. Demuestre que una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A ¹ 0,

C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son del mismo signo:

a. Es la ecuación de una elipse con centro en (0, 0) si A ¹ C

b. Es la ecuación de un círculo con centro en (0, 0) si A = C

11. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx

+ Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son del mismo signo:

a. Es una elipse si tiene el mismo signo que A.

b. Es un punto si

c. No tiene puntos si tiene el signo contrario de A.

12. La excentricidad e de una elipse se define: e = c/a donde c y a son los

números dados en las ecuaciones de la elipse. Escriba un párrafo breve

acerca de la forma general de cada una de las siguientes elipses. Justifique

sus conclusiones.

a. e cercana a 0.

b. e = 0.5

c. e = 1

13. Considere la circunferencia C(o, r): centro en el origen y radio r.

Sea Aun punto fijo en el interior de C con . Encontrar el lugar

de los puntos P(x, y) del plano tales que d(P, A) = d(P, C)

14. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles,

se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las

ecuaciones de las asíntotas.

a. 16x2 – 25y2 = 100

b. 9x2 – 4y2 = 36

c. 4x2 – y2 = 16

d. x2 – 9y2 = 18

e. 4y2 – x2 = 8

f. 4y2 – 9x2 = 36

15. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que

satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas.

Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0).

Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0).

Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3).

Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5).

V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6.

F(-7, 3), F’(-1, 3); 2a = 4.

V1(4, 0), V2(-4, 0); asíntota la recta y = 2x.

16. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos,

los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la

gráfica correspondiente.

17. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F =

0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos, es una hipérbola

con centro en (0, 0).

18. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx

+ Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos:

a. Es una hipérbola si

b. Son dos rectas que se cortan si

19. La excentricidad e de una hipérbola se define como el número e = c/a,

donde c y a son los números dados en las ecuaciones de la hipérbola. Como

c > a, se deduce que e > 1. Describa la forma general de una hipérbola

cuya excentricidad es cercana a 1. ¿Cuál será la forma si e es muy

grande?.

20. Dos estaciones LORAN están separadas 200 millas a lo largo de una

costa recta:

a. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00038 seg. entre las

señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares para

determinar donde alcanzará el barco la costa si sigue la trayectoria de la

hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo.

b. Si el barco quiere entrar al puerto localizado entre las dos estaciones a

20 millas de la estación central, ¿Qué diferencia de tiempo está buscando?.

c. Si el barco se encuentra a 50 millas mar adentro al obtener la diferencia

de tiempo deseada, ¿cuál es la ubicación exacta del barco? (Nota: la

velocidad de cada señal de radio es de 186.000 millas/seg.).

21. En cada uno de los ejercicios siguientes identificar la curva que

representa cada una de las ecuaciones dadas. Trazar la gráfica con todos

sus elementos:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.