curso de integraciÓn

CURSO DEINTEGRACIÓN

https://aprendeconmigomelon.com

21 de octubre de 2021

Iñigo Zunzunegui MonterrubioEste libro contiene más de 400 ejercicios resueltos de integrales indefinidas. Puedesencontrar desde las más directas y sencillas del nivel de 1º de Bachillerato hastaalgunas realmente complejas con las que te encontrarás en cualquier Ingeniería.Todos los tipos de integrales tienen una introducción teórica en la que te explico

paso a paso la técnica de integración. Espero que este libro te sea de utilidad y porúltimo no olvides que a integrar se aprende integrando.

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Indice general

1. Calculo de primitivas. Reglas basicas. 31.1. Definicion y nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Integrales Inmediatas 52.1. Formulas de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Integrales Inmediatas. Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Integrales racionales 233.1. Raices reales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales simples. . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Raices reales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales multiples. . . . . . . . . . . . . . 363.3. Raices reales simples y multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales simples y multiples. . . . . . . . . 433.4. Raices complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.1. Ejercicios resueltos. Raıces complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. Raices reales y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales y complejas. . . . . . . . . . . . . 59

4. Integrales por cambio de variable 674.1. Sustitucion recıproca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2. Integrales por Cambio de Variable. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Integracion por partes 915.1. Integrales por Partes. Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6. Integrales Trigonometricas 105

6.1. Potencias de senos y cosenos∫

senn x · cosm x dx . . . . . . . . . . . . . . . 106

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6.1.1. Cuando n es impar∫

senn x · cosm x dx . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.1.2. Cuando m es impar∫

senn x · cosm x dx . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1.3. Cuando m y n son pares∫

senn x · cosm x dx . . . . . . . . . . . . . 1076.1.4. Formulas de Reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.1.5. Ejercicios resueltos

∫senn x · cosm x dx . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2. Potencias de secante y tangente∫

secn x · tanm x dx . . . . . . . . . . . . . 125

6.2.1. Cuando n es par∫

secn x · tanm x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


secn x · tanm x dx . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2.3. La tangente tiene potencia par∫

tan2k x dx . . . . . . . . . . . . . 126

6.2.4. La secante tiene potencia impar∫

sec2k+1 x dx . . . . . . . . . . . . 126

6.2.5. Ninguno de los anteriores∫

secn x · tanm x dx . . . . . . . . . . . . 1266.2.6. Formulas de Reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2.7. Ejercicios resueltos

∫secn x · tanm x dx . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3. Potencias de cosec y cotan .∫

cosecn x · cotan mx dx . . . . . . . . . . . . . 136


cosecn x · cotan mx dx . . . . . . . . . . . . . . . 136


cosecn x · cotan mx dx . . . . . . . . . . . . . 136

6.3.3. La cotangente tiene potencia par∫

cotan 2kx dx . . . . . . . . . . . 137

6.3.4. La cosecante tiene potencia impar∫

cosec2k+1 x dx . . . . . . . . . 137

6.3.5. Ninguno de los anteriores∫

cosecn x · cotan mx dx . . . . . . . . . . 1376.3.6. Formulas de reduccion de cosecn x y cotan nx . . . . . . . . . . . . 1376.3.7. Ejercicios resueltos

∫cosecn x · cotan mx dx . . . . . . . . . . . . . . 139

6.4. Sustitucion Trigonometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.4.1. Ejercicios resueltos. Sustitucion Trigonometrica. . . . . . . . . . . . 153

6.5. Sustitucion de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.5.1. Ejercicios resueltos. Sustitucion de Weierstrass. . . . . . . . . . . . 168

2 Curso de Integracion

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1Calculo de primitivas. Reglas basicas.

1.1. Definicion y nomenclatura

F (x) es una primitiva de f(x) si F ′(x) = f(x). Se expresa como:∫f(x) dx = F (x)

Se suele escribir∫f(x) dx = F (x) + C debido a que si F (x) es una primitiva de f(x),

tambien lo sera si le sumamos una constante cualquiera, ya que su derivada es cero.A la expresion

∫f(x) dx se le llama tambien integral indefinida.

1.2. Propiedades

Debido a que el proceso de integracion es opuesto del de derivacion, muchas de suspropiedades se deducen inmediatamente.

1)∫

[f(x) + g(x)] dx =∫f(x) dx+

∫g(d) dx

2)∫k · f(x) dx = k

∫f(x) dx

3)∫

[f(x) · g(x)] dx 6=∫f(x) dx ·

∫g(x) dx. Al igual que en derivacion. Ojo con esto!

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2Integrales Inmediatas

2.1. Formulas de integrales inmediatas

No puedes comenzar el estudio de las integrales inmediatas sin manejar con solturalas reglas de integracion. En las siguientes tablas tienes las integrales de las funcionesmas usuales. En ellas expresamos como u = f(x) a una funcion de x. De esta forma porejemplo sen (x2 + x) se expresarıa como sen u.

Integrales Potenciales, Exponenciales y Logarıtmicas∫dx = x+ C∫xn dx = xn+1

n+ 1 + C∫u′ · un dx = un+1

n+ 1 + C∫ 1xdx = ln|x|+ C

∫ u′

udx = ln |u|+ C∫

ex dx = ex + C∫u′ · eu dx = eu + C∫

ax dx = ax

ln a + C∫u′ · au dx = au

ln a + C

En las integrales trigonometricas no debes perder de vista las siguientes relaciones:

1 = sen2 x+ cos2 x

1cos2 x

= sec2 x = 1 + tan2 x

1sen2 x

= cosec2 x = 1 + cotan 2x

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Capıtulo 2. Integrales Inmediatas

Integrales Trigonometricas∫sen x dx = − cosx+ C

∫u′ · sen u dx = − cosu+ C∫

cosx dx = sen x+ C∫u′ · cosu dx = sen u+ C∫

sec2 x dx = tan x+ C∫u′ · sec2 u dx = tan u+ C∫

cosec2 x dx = −cotan x+ C∫u′ · cosec2 u dx = −cotan u+ C∫ 1√

1− x2dx = arc sen x+ C

∫ u′√1− u2

dx = arc sen u+ C

∫ −1√1− x2

dx = arc cos x+ C∫ −u′√

1− u2dx = arc cosu+ C

∫ 11 + x2 dx = arctan x+ C

∫ u′

1 + u2 dx = arctan u+ C∫ −11 + x2 dx = arc cotan x+ C

∫ −u′

1 + u2 dx = arc cotan u+ C∫secx · tan x dx = secx+ C

∫u′ · secu · tan u dx = secu+ C∫

cosecx · cotan x dx = − cosecx+ C∫u′ · cosecu · cotan u dx = − cosecu+ C

Basicamente lo que vamos a intentar en el calculo de las integrales inmediatas esidentificar a que tipo de integral pertenece nuestro problema.

Cuando ves como se resuelven puede parecerte magia pero detras de ello hay una seriede tecnicas que pasamos a relatar.

¿Es una potencia?

Si la integral es una potencia ”suma 1 y divide por lo mismo”. Es decir, suma unaunidad al exponente y divide por la misma cantidad

∫x3 − 5x2 + 3 dx = x4

4 −5x3

3 + 3x+ C

Si puedes operar...

A veces vemos una integral que a priori parece difıcil pero se puede operar un pocoantes de integrarla, convirtiendose en algo mucho mas sencillo∫ x2 ·

√x

3√x2

dx =∫ x2 · x1/2

x2/3= dx =

∫x

11/6 dx = x17/6

17/6+ C = 6

176√x17 + C = 6x2

176√x5 + C


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¿Se puede partir la integral?

Si la integral es una fraccion y en el denominador tienes un monomio es posible dividirla integral en suma de fracciones que te facilitaran el calculo∫ 4√x− x3

2x2 dx =∫ 4√x

2x2 dx−∫ x3

2x2 dx = 2∫ x

1/2

x2 dx− 12

∫x dx = 2x−3/2 − 1

2 ·x2

2 + C

= 2√x3− x2

4 + C = 2x√x− x2

4 + C

¿Es la potencia de una funcion?

Si tenemos la potencia de una funcion (a veces con exponente 1) multiplicada por

algo similar a la derivada de lo de dentro del tipo∫u′ · un dx = un+1

n+ 1, estamos ante unaintegral potencial. Solo queda apanarla:∫

3x · (x2 − 3)4 dx =

Necesitamos porner 3x como u′ = 2x. Actuaremos como sigue: ”Si me molesta algo losaco. Si necesito algo lo pongo y lo quito”. Ası que sacamos fuera de la integral el 3 yponemos un 2 y lo quitamos multiplicando por 1

2 fuera de la integral

= 3 · 12

∫2x︸︷︷︸u′

· (x2 − 3)4︸︷︷︸u4

dx = 3 · 15 · (x

2 − 3)5︸︷︷︸u5/5

+C = 3 · (x2 − 3)5

5 + C

¿Se parece a un logaritmo?

Si estamos ante la integral de una fraccion lo primero que tenemos que ver es si se”parece” a una integral logarıtmica

∫ u′

udx = ln u, es decir, si el numerador se parece a

la derivada del denominador.∫ 72x− 3 dx =

Ahora la apanaremos. Recuerda: ”lo que me molesta lo saco. Lo que pongo lo quito”

= 7 · 12

∫ 22x− 3︸︷︷︸

u′/u

dx = 72 · ln (2x− 3) + C

Igual no es una fraccion sino un producto

A veces vemos la integral de una fraccion, pensamos que se trata de una integrallogarıtmica pero el numerador no se parece a la derivada del denominador. A veces si laescribimos como un producto nos damos cuenta de que realmente era la potencia de unafuncion.∫ 5x

(2x2 + 1)3 dx =

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La derivada del denominador es 3 · (2x2 + 1)2 · 2 que ni de lejos es parecida al numerador.Escribamosla entonces como un producto y la apanamos un poco.

=∫

5x · (2x2 + 1)−3 dx = 5 · 14

∫4x︸︷︷︸u′

· (2x2 + 1)−3︸︷︷︸u−3

dx = 54 ·

(2x2 + 1)−2

−2︸︷︷︸u−2/− 2

= −58 ·

1(2x2 + 1)2 + C = − 5

8 · (2x2 + 1)2 + C

¿Que hacemos con las exponenciales?

Las exponenciales son faciles de indentificar. Recuerda que son del tipo∫u′ ·eu dx = eu

o bien∫u′ · au · ln a dx = au

∫7x · ex2−1 dx = 7 · 1

2

∫2x︸︷︷︸u′

· ex2−1︸︷︷︸eu

dx = 72 · e

x2−1 + C

Si es del tipo au la unica diferencia es que hay que arremangarse un poco mas paraapanarla∫

3x2 · 52x3+2 dx = �3 ·1�62 ·

1ln 5

∫6x2︸︷︷︸

u′

· 52x3+2︸︷︷︸5u

· ln 5 dx = 12 · ln 5 · 5

2x3+2 + C

¿Alguna otra cosita de las trigonometricas?

Pues que en las trigonometricas no debes perder de vista las siguientes igualdades quete pueden ayudar:

sen2 x+ cos2 x = 1sen (2x) = 2 · sen x · cosxcos (2x) = cos2 x− sen2 x

∫ 3x√1− x4

dx =

Y el caso es que el denominador recuerda a un arcoseno del tipo∫ u′√

1− u2dx. Pues

transformaremos x4 en un cuadrado

= 3∫ x√

1− (x2)2dx

y no olvidaremos ”poner” y ”quitar” u′

= 3 · 12

∫ 2x√1− (x2)2︸︷︷︸

u′√1−u2

dx = 32 arc sen

(x2)

+ C


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2.2. Integrales Inmediatas. Ejercicios resueltos.

1∫ (7

3x2 − 2x+ 3

)dx

2∫ √

x ·√x2 ·√x3 dx

3∫ (3x− 5

2

)·(x2 − 1

)dx

4∫ 1√

x+ 2−√x+ 1

dx

5∫ 1− x3

x2 dx

6∫ 2 + 3x2√x

dx

7∫ (x2 + 3x

2x2

)·(x2 + 3

)dx

8∫ 2x− 3

x+ 2 dx

9∫ sen (2x) + cos x

cosx dx

10∫ sen x+ cosx

cos3 xdx

11∫ x2

1 + x2 dx

12∫ x4

x2 + 1 dx

13∫ x2 − 1x2 + 1 dx

14∫ (x+ 1)2

x2 + 1 dx

15∫

6x ·(3x2 − 7

)4dx

16∫x ·√x2 + 1 dx

17∫ (3− 5x

2

)3dx

18∫ x

(x2 + 3)5 dx

19∫ x+ 1√

3x2 + 6x− 5dx

20∫ √

(1 + cos x)3 · sen x dx

21∫ 3x√

x2 − 2dx

22∫

sen2 x · cosx dx

23∫

tan x · sec2 x dx

24∫ √arc sen x√

1− x2dx

25∫ 1√

x · cos2√xdx

26∫ 1 + sen x

1− sen x dx

27∫

sen5 x · cosx dx

28∫

2x · sen(x2)· cos4

(x2)dx

29∫ √1 + tan x

cos2 xdx

30∫ 1 + tan2 x√

1 + 2 tan xdx

31∫ √7 + 2 tan x

cos2 xdx

32∫ lnn |x|

xdx

33∫ ln |x|

xdx

34∫ ln2 |x|

xdx

35∫ ln3 |x|

xdx

36∫ 1x · ln |x| dx

37∫ 1x · ln3 |x|

dx

38∫ ln (2x2)

xdx

39∫ 12x

3√

5x2 − 7dx

40∫ x− 1x2 − 2x+ 1 dx



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41∫ ex

1 + exdx

42∫ 1

1 + exdx

43∫

tan x dx

44∫

cotan x dx

45∫ sen x+ cosx

sen x− cosx dx

46∫ 1− cos2 x

sen (2x) dx

47∫

tan (2x+ 1) dx

48∫ x2 + 2x3 + 6x+ 1 dx

49∫ 6x+ 6x2 + 2x+ 7 dx

50∫ 8x3 − 3x2

6x4 − 3x2 dx

51∫ex · sen (ex) dx

52∫e3x−2 dx

53∫

3x · ex2−1 dx

54∫ e

√x

√xdx

55∫esen x · cosx dx

56∫

72x−5 dx

57∫ 4x + 6x

2x−1 dx

58∫ (

12x2 − 8)· ex3−2x dx

59∫ (

1− cos x2

)dx

60∫x · cos

(x2 + 1

)dx

61∫

3 · sec2 (x+ π) dx

62∫ 3

√x

x · cos2 ( 3√x) dx

63∫ sec2 (3

√x)√

xdx

64∫ sec (

√x)√

xdx

65∫

5x · tan(x2)dx

66∫ x2√

1− x6dx

67∫ ex

√1− e2x

dx

68∫ 1√

4− 3x2dx

69∫ 8x√

1− 9x2dx

70∫ x+ 3√

9− x2dx

71∫ 1

1 + 4x2 dx

72∫ 3x2 + 1 dx

73∫ 1

9 + x2 dx

74∫ 1

4 + 5x2 dx

75∫ 5xx4 + 1 dx

76∫ x

x4 + 9 dx

77∫ cosx

1 + sen2 xdx

78∫ sen x

1 + cos2 xdx

79∫ 4x + 5 · 16x

1 + 16xdx

80∫ 1x2 + 2x+ 2 dx

81∫ 7

1 + (x− 3)2 dx

82∫ 5x+ 2

1 + 2x2 dx


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83∫

sen2 x dx

84∫

sen3 x dx

85∫

sen5 x dx

86∫

cos2 x dx

87∫

cos3 x dx

88∫

cos5 x dx

89∫ secx

tan x+ cotan x dx

90∫

tan2 x dx

91∫

cotan 2x dx

92∫

(1 + cotan x)2 dx

93∫ 1 + sen2 x

sen x · cosx dx

94∫ 1

cos (2x)− cos2 xdx

95∫ 1

sen x · cosx dx

96∫ 1− x

1−√xdx



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Solucion.

1∫ (7

3x2 − 2x+ 3

)dx = 7

3 ·x3

3 − 2 · x2

2 + 3x+ C = 7x3

9 − x2 + 3x+ C

2∫ √

x ·√x2 ·√x3 dx =

∫ √√x2 · x2 ·

√x3 dx =

∫ √√√x8 · x3 dx =

∫8√x11 dx

=∫x

11/8 dx = x19/8

19/8= 8

198√x19 + C

3∫ (3x− 5

2

)·(x2 − 1

)dx = 1

2

∫3x ·

(x2 − 1

)dx− 5

2

∫ (x2 − 1

)dx

= 32 ·

12

∫2x︸︷︷︸u′

·(x2 − 1

)︸︷︷︸

u

dx− 52 ·(x3

3 − x)

+C = 34 ·

12 ·(x2 − 1

)2− 5x3

6 + 5x2 +C =

38 ·(x2 − 1

)2− 5x3

6 + 5x2 + C

4∫ 1√

x+ 2−√x+ 1

dx =∫ √x+ 2 +

√x+ 1

�x+ 2− (�x+ 1) dx =∫ (√

x+ 2 +√x+ 1

)dx

=∫

(x+ 2)1/2 dx+∫

(x+ 1)1/2 dx = 23 · (x+ 2)3/2 + 2

3 · (x+ 1)3/2 + C

= 23 ·(√

(x+ 2)3 +√

(x+ 1)3)

+ C

5∫ 1− x3

x2 dx =∫ 1x2 dx−

∫ x�3

��x2 dx =

∫x−2 dx−

∫x dx = x−1

−1 −x2

2 + C

= −1x− x2

2 + C

6∫ 2 + 3x2√x

dx =∫ 2√

xdx+

∫ 3x2√xdx =

∫2x−1/2 dx+

∫3x3/2 dx

= 2x1/2

1/2+ 3x5/2

5/2+ C = 4

√x+ 6

5√x5 + C

7∫ (x2 + 3x

2x2

)·(x2 + 3

)dx =

∫ 12 ·(x2 + 3

)dx+

∫ 32x ·

(x2 + 3

)dx

= 12 ·(x3

3 + 3x)

+∫ (3x

2 + 92x

)dx = x3

6 + 3x2 + 3x2

4 + 92 · ln |x|+ C

8∫ 2x− 3

x+ 2 dx•©=∫

2 dx+∫ −7x+ 2 dx = 2x− 7

∫ 1x+ 2 dx = −7 · ln (x+ 2) + C

•© 2x+ 2

)2x− 3− 2x− 4

− 7

9∫ sen (2x) + cos x

cosx dx =∫ 2 · sen x ·��cosx+��cosx

��cosu dx =∫

(2 · sen x+ 1) dx

= −2 cosx+ x+ C


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10∫ sen x+ cosx

cos3 xdx =

∫ sen xcos3 x

dx+∫ cosx

cos3 xdx =

∫secx︸︷︷︸

u

· secx · tan x︸︷︷︸u′

dx

+∫

sec2 x dx = 12 · sec2 x+ tan x+ C

11∫ x2

1 + x2 dx•©=∫dx+

∫ −11 + x2 dx = x− arctan x+ C

•© 1x2 + 1

)x2

− x2 − 1− 1

12∫ x4

x2 + 1 dx•©=∫ (

x2 − 1)dx+

∫ 1x2 + 1 dx = x3

3 − x+ arctan x+ C

•© x2 − 1x2 + 1

)x4

− x4 − x2

− x2

x2 + 11

13∫ x2 − 1x2 + 1 dx

•©=∫dx+

∫ −2x2 + 1 dx = x− 2 · arctan x+ C

•© 1x2 + 1

)x2 − 1− x2 − 1

− 2

14∫ (x+ 1)2

x2 + 1 dx =∫ x2 + 2x+ 1

x2 + 1 dx•©=∫dx+

∫ 2xx2 + 1︸︷︷︸

u′/u

dx = x+ ln(x2 + 1

)+ C

•© 1x2 + 1

)x2 + 2x + 1− x2 − 1

2x

15∫

6x︸︷︷︸u′

·(3x2 − 7

)4

︸︷︷︸u4

dx = 15 ·(3x2 − 7

)5+ C

16∫x ·√x2 + 1 dx = 1

2

∫2x︸︷︷︸u′

·(x2 + 1

)1/2

︸︷︷︸u1/2

dx = 1�2· �23 ·

(x2 + 1

)3/2+ C

17∫ (3− 5x

2

)3dx = −2

5

∫−5

2︸︷︷︸u′

·(3− 5x

2

)3

︸︷︷︸u3

dx = − �25 ·1�42 ·

(3− 5x2

)4+ C

= − 110 ·

(3− 5x2

)4+ C



http

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pren

deco

nmig

omel

on.c

om


18∫ x

(x2 + 3)5 dx = 12

∫2x︸︷︷︸u′

·(x2 + 3

)−5

︸︷︷︸u−5

dx = 12 ·

1−4 ·

(x2 + 3

)−4+ C

= −18 ·(x2 + 3

)4+ C

19∫ x+ 1√

3x2 + 6x− 5dx = 1

6

∫(6x+ 6)︸︷︷︸

u′

·(3x2 + 6x− 5

)−1/2

︸︷︷︸u−1/2

dx

= 1�63 · �2 ·

(3x2 + 6x− 5

)1/2+ C = 1

3 ·√

3x2 + 6x− 5 + C

20∫ √

(1 + cos x)3 · sen x dx = −∫

(1 + cos x)3/2︸︷︷︸u3/2

· (− sen x)︸︷︷︸u′

dx− 25 · (1 + cos x)5/2 + C

21∫ 3x√

x2 − 2dx =

∫3x ·

(x2 − 2

)−1/2dx = 3 · 1

2

∫2x︸︷︷︸u′

·(x2 − 2

)−1/2

︸︷︷︸u−1/2

dx

= 3�2· �2 ·

(x2 − 2

)1/2+ C = 3 ·

√x2 − 2 + C

22∫

sen2 x︸︷︷︸u2

· cosx︸︷︷︸u′

dx = 13 · sen3 x+ C

23∫

tan x︸︷︷︸u

· sec2 x︸︷︷︸u′

dx = 12 · tan2 x+ C

24∫ √arc sen x√

1− x2dx =

∫(arcsenx)1/2︸︷︷︸

u1/2

· 1√1− x2︸︷︷︸

u′

dx = 23 · (arc sen x)3/2 + C

= 23 ·√

arc sen3 x+ C

25∫ 1√

x · cos2√xdx =

∫ 1√x︸︷︷︸

u′

· sec2√x︸︷︷︸sec2 u

dx = 2∫ 1

2√x· sec2√x dx = 2 · tan

√x+ C

26∫ 1 + sen x

1− sen x dx =∫ (1 + sen x)2

(1− sen x) · (1− sen x) dx =∫ 1 + 2 · sen x+ sen2 x

1− sen2 xdx

=∫ 1 + 2 · sen x+ sen2 x

cos2 xdx =

∫ 1cos2 x

dx+∫ 2 · sen x

cos2 xdx+

∫ sen2 x

cos2 xdx

=∫

sec2 x dx+∫

2 · sen x · cos−2 x dx+∫

tan2 x dx

= tan x− 2∫− sen x︸︷︷︸

u′

· cos−2 x︸︷︷︸u−2

dx+∫ (

1− 1 + tan2 x)dx

= tan x− 2 · cos−1 x

−1 +∫ (

1 + tan2 x)dx−

∫dx = tan x+ 2 · secx+ tan x− x+C

= 2 · (tan x+ secx)− x+ C


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om

27∫

sen5 x︸︷︷︸u5


dx = 16 · sen6 x+ C

28∫

2x · sen(x2)· cos4

(x2)dx = −

∫−2x · sen

(x2)

︸︷︷︸u′

· cos4(x2)

︸︷︷︸u4

dx = 15 · cos5

(x2)

+ C

29∫ √1 + tan x

cos2 xdx =

∫sec2 x︸︷︷︸

u′

· (1 + tan x)1/2︸︷︷︸u−1/2

dx = 23 · (1 + tan x)3/2

= 2 ·√

(1 + tan x)3 + C

30∫ 1 + tan2 x√

1 + 2 tan xdx = 1

2

∫2 · sec2 x · (1 + 2 · tan x)−1/2 dx = 1

�2· �2 · (1 + 2 tan x)1/2

=√

1 + 2 · tan x+ C

31∫ √7 + 2 tan x

cos2 xdx = 1

2

∫ 2cos2 x︸︷︷︸

u′

· (7 + 2 · tan x)1/2︸︷︷︸u1/2

dx = 1�2· �23 · (7 + 2 · tan x)3/2 + C

= 13 ·√

(7 + 2 · tan x)3 + C

32∫ lnn |x|

xdx =

∫ 1x︸︷︷︸u′

· lnn |x|︸︷︷︸un

dx = 1n+ 1 · ln

n+1 |x|+ C , ∀n 6= −1

33∫ ln |x|

xdx =

∫ 1x︸︷︷︸u′

· ln |x|︸︷︷︸u

dx = 12 · ln

2 |x|+ C

34∫ ln2 |x|

xdx =

∫ 1x︸︷︷︸u′

· ln2 |x|︸︷︷︸u2

dx = 13 · ln

3 |x|+ C

35∫ ln3 |x|

xdx =

∫ 1x︸︷︷︸u′

· ln3 |x|︸︷︷︸u3

dx = 14 · ln

4 |x|+ C

36∫ 1x · ln |x| dx =

∫ 1/x

ln |x|︸︷︷︸u′/u

dx = ln (ln |x|) + C

37∫ 1x · ln3 |x|

dx =∫ 1

x︸︷︷︸u′

· ln−3 x︸︷︷︸u−3

dx = −12 · ln

−2 x+ C = − 12 ln2 |x|

+ C

38∫ ln (2x2)

xdx = 1

2

∫ 2x︸︷︷︸u′

· ln(2x2

)︸︷︷︸

u

dx = 12 ·

12 · ln

2(2x2

)+ C = 1

4 · ln2(2x2

)+ C

39∫ 12x

3√

5x2 − 7dx =

∫12x ·

(5x2 − 7

)−1/3dx = 12 · 1

10 ·∫

10x︸︷︷︸u′

·(5x2 − 7

)−1/3

︸︷︷︸u1/3

dx

= 1210 ·

32 ·(5x2 − 7

)2/3+ C = 9

5 ·3√

(5x2 − 7)2 + C



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om


40∫ x− 1x2 − 2x+ 1 dx = 1

2 ·∫ 2x− 2x2 − 2x+ 1︸︷︷︸

u′/u

dx = 12 · ln

(x2 − 2x+ 1

)+ C

41∫ ex

1 + ex︸︷︷︸u′/u

dx = ln (1 + ex) + C

42∫ 1

1 + exdx =

∫ e−x

e−x· 1

1 + exdx =

∫ e−x

e−x + 1 dx = −∫ −e−x

e−x + 1︸︷︷︸u′/u

dx

= − ln∣∣∣e−x + 1

∣∣∣+ C

43∫

tan x dx =∫ sen x

cosx dx = −∫ − sen x

cosx︸︷︷︸u′/u

dx = − ln |cosx|+ C

44∫

cotan x dx∫ cosx

sen x︸︷︷︸u′/u

dx = ln |sen x|+ C

45∫ sen x+ cosx

sen x− cosx︸︷︷︸u′/u

dx = ln |sen x− cosx|+ C

46∫ 1− cos2 x

sen (2x) dx =∫ sen�2 x

2 ·��sen x · cosx dx = −12

∫ − sen xcosx︸︷︷︸

u′/u

dx = −12 · ln (cos x) + C

47∫

tan (2x+ 1) dx =∫ sen 2x+ 1

cos (2x+ 1) dx = −12

∫ −2 sen 2x+ 1cos (2x+ 1)︸︷︷︸

u′/u

dx

= −12 · ln |cos (2x+ 1)|+ C

48∫ x2 + 2x3 + 6x+ 1 dx = 1

3

∫ 3 · (x2 + 2)x3 + 6x+ 1︸︷︷︸

u′/u

dx = 13 · ln

(x3 + 6x+ 1

)+ C

49∫ 6x+ 6x2 + 2x+ 7 dx = 3

∫ 2x+ 2x2 + 2x+ 7︸︷︷︸

u′/u

dx = 3 · ln(x2 + 2x+ 7

)+ C

50∫ 8x3 − 3x2

6x4 − 3x2 dx = 13

∫ 3 · (8x3 − 3x2)6x4 − 3x2 dx = 1

3

∫ 24x2 − 6x6x4 − 3x2︸︷︷︸

u′/u

dx

= 13 · ln

∣∣∣6x4 − 3x2∣∣∣+ C

51∫

ex︸︷︷︸u′

· sen (ex)︸︷︷︸sen u

dx = − cos (ex) + C


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52∫e3x−2 dx = 1

3

∫3︸︷︷︸u′

· e3x−2︸︷︷︸eu

dx = 13 · e

3x−2 + C

53∫

3x · ex2−1 dx = 3 · 12

∫2x︸︷︷︸u′

· ex2−1︸︷︷︸eu

dx = 32 · e

x2−1 + C

54∫ e

√x

√xdx = 2

∫ 12√x︸︷︷︸

u′

· e√

x︸︷︷︸eu

dx = 12 · e

√x + C

55∫esen x︸︷︷︸

eu


dx = esen x + C

56∫

72x−5 dx = 12 · ln 7

∫2 · ln 7︸︷︷︸

u′

· 72x−5︸︷︷︸7u

dx = 12 · ln 7 · 7

2x−5 + C

57∫ 4x + 6x

2x−1 dx =∫ 4x

2x−1 dx+∫ 6x

2x−1 dx =∫ 22x

2x−1 dx+∫ 2x · 3x

2x−1 dx

=∫

2x+1 dx+∫

2 · 3x dx = 1ln 2

∫2x+1 · ln 2 dx+ 2

ln 3

∫3x · ln 3 dx

= 1ln 2 · 2

x+1 + 2ln 3 · 3

x + C

58∫ (

12x2 − 8)· ex3−2x dx = 4

∫ 14 ·(12x2 − 8

)· ex3−2x dx

= 4∫ (

3x2 − 2)

︸︷︷︸u′

· ex3−2x︸︷︷︸eu

dx = 4ex3−2x + C

59∫ (

1− cos x2

)dx =

∫dx− 2 ·

∫ 12︸︷︷︸u′

· cos x2︸︷︷︸cos u

dx = x− 2 · sen x2 + C

60∫x · cos

(x2 + 1

)dx = 1

2

∫2x︸︷︷︸u′

· cos(x2 + 1

)︸︷︷︸

cos u

dx = 12 · sen

(x2 + 1

)+ C

61∫

3 · sec2 (x+ π) dx = 3∫

1︸︷︷︸u′

· sec2 (x+ π)︸︷︷︸sec2 u

dx = 3 · tan (x+ π) + C

62∫ 3

√x

x · cos2 ( 3√x) dx = 3

∫ 13 · x

−2/3︸︷︷︸u′

· sec2(x

1/3)

︸︷︷︸sec2 u

dx = 3 · tan(

3√x)

+ C

63∫ sec2 (3

√x)√

xdx =

∫ 1√x· sec2

(3√x)dx = 2

3

∫ 32√x· sec2

(3√x)

︸︷︷︸u′·sec2 u

dx

= 23 · tan

(3√x)

+ C

64∫ sec (

√x)√

xdx =

∫ 1√x· sec

(√x)dx = 2

∫ 12√x· sec

(√x)

︸︷︷︸u′·sec u

dx



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•©= 2 ln∣∣∣sec

(√x)

+ tan(√

x)∣∣∣+ C

•©∫

secu du =∫

secu · secu+ tan usecu+ tan u du =

∫ sec2 u+ secu · tan usecu+ tan u dx

= ln|secu+ tan u|+ C

65∫

5x · tan(x2)dx = 5 · 1

2

∫2x · tan

(x2)

︸︷︷︸u′·tan u

dx = −52 · ln

∣∣∣cos(x2)∣∣∣+ C

66∫ x2√

1− x6dx = 1

3

∫ 3x2√1− (x3)2︸︷︷︸

u′√1−u2

dx = 13 · arc sen

(x3)

+ C

67∫ ex

√1− e2x

dx =∫ ex√

1− (ex)2︸︷︷︸u′√

1−u2

dx = arc sen (ex) + C

68∫ 1√

4− 3x2dx =

∫ 1/2√1− 3x2

4

dx = 12

∫ √3/2√

1−(√

3x2

)2

︸︷︷︸u′√

1−u2

dx = 12 · arc sen

(√3

2 x

)+ C

69∫ 8x√

1− 9x2dx = 8 · 1

3

∫ 3√1− (3x)2︸︷︷︸

u′√1−u2

dx = 83 · arc sen (3x) + C

70∫ x+ 3√

9− x2dx =

∫ x√9− x2

dx+∫ 3√

9− x2dx = −1

2

∫−2x︸︷︷︸

u′

·(9− x2

)−1/2

︸︷︷︸u−1/2

dx

+∫ 1√

1− x2

9

dx = −1�2· �2 ·

(9− x2

)1/2+ 3

∫ 1/3√1−

(x3

)2

︸︷︷︸u′√

1−u2

dx

= −√

9− x2 + 3 · arc sen(x

3

)+ C

71∫ 1

1 + 4x2 dx = 12

∫ 21 + (2x)2︸︷︷︸

u′1+u2

dx = 12 · arctan (2x) + C

72∫ 3x2 + 1 dx = 3 · arctan x+ C

73∫ 1

9 + x2 dx =∫ 1/9

1 + x2

9dx = 1

�93 · �3∫ 1/3

1 +(

x3

)2

︸︷︷︸u′

a+u2

dx = 13 · arctan

(x

3

)+ C


http

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om

74∫ 1

4 + 5x2 dx =∫ 1/4

1 + 5x2

4dx = 1

�42 ·�2√5

∫ √5/2

1 +(√

5x2

)2

︸︷︷︸u′

1+u2

dx

= 12√

5· arctan

(√5x2

)+ C

75∫ 5xx4 + 1 dx5 · 1

2

∫ 2x(x2)2 + 1︸︷︷︸

u′u2+1

dx = 52 · arctan

(x2)

+ C

76∫ x

x4 + 9 dx =∫ x/9

x4

9 + 1dx = 1

�93 ·�32

∫ 2x/3(x2

3

)2+ 1︸︷︷︸

u′/u

dx = 16 · arctan

(x2

3

)+ C

77∫ cosx

1 + sen2 x︸︷︷︸u′

1+u2

dx = arctan(

sen x)

+ C

78∫ sen x

1 + cos2 xdx = −

∫ − sen x1 + cos2 x︸︷︷︸

u′1+u2

dx = − arctan(

cosx)

+ C

79∫ 4x + 5 · 16x

1 + 16xdx =

∫ 4x

1 + 42xdx+ 5

∫ 16x

1 + 16xdx = 1

ln 4

∫ 4x · ln 41 + (4x)2︸︷︷︸

u′1+u2

dx

+ 5ln 16

∫ 16x · ln 161 + 16x︸︷︷︸

u′/u

dx = 1ln 4 · arctan (4x) + 5

ln 16 · ln (1 + 16x) + C

80∫ 1x2 + 2x+ 2 dx =

∫ 1(x+ 1)2 + 1︸︷︷︸

u′1+u2

dx = arctan (x+ 1) + C

81∫ 7

1 + (x− 3)2 dx = 7∫ 1

1 + (x− 3)2 dx = 7 · arctan (x− 3) + C

82∫ 5x+ 2

1 + 2x2 dx =∫ 5x

1 + 2x2 dx+∫ 2

1 + 2x2 dx = 5 · 14

∫ 4x1 + 2x2︸︷︷︸

u′/u

dx

+ 2 · 1√2

∫ √2

1 +(√

2x)2

︸︷︷︸u′

1+u2

dx = 54 ln

(1 + 2x2

)+√

2 · arctan(√

2x)

+ C

83∫

sen2 x dx•©=∫ 1− cos (2x)

2 dx = 12

∫dx− 1

2

∫cos (2x) dx



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= 12

∫dx− 1

2 ·12

∫2︸︷︷︸u′

· cos (2x)︸︷︷︸cos u

dx = 12x−

14 · sen (2x) + C

•©1 = sen2 x+��cos2 x

cos (2x) =��cos2 x− sen2 x1− cos (2x) = 2 · sen2 x =⇒ sen2 x = 1− cos (2x)

2

84∫

sen3 x dx =∫

sen x · sen2 x dx =∫

sen x ·(1− cos2 x

)dx

=∫

sen x dx−∫

sen x · cos2 x dx = −∫− sen x dx+

∫− sen x︸︷︷︸

u′

· cos2 x︸︷︷︸u2

dx

= − cosx+ 13 · cos3 x+ C

85∫

sen5 x dx =∫

sen x · sen4 x dx =∫

sen x ·(sen2 x

)2dx =

∫sen x ·

(1− cos2 x

)2dx

=∫

sen x ·(1− 2 · cos2 x+ cos4 x

)dx =

∫sen x dx− 2

∫sen x · cos2 x dx

+∫

sen x · cos4 x dx = −∫− sen x dx+ 2

∫− sen x︸︷︷︸

u′

· cos2 x︸︷︷︸u2

dx−∫− sen x︸︷︷︸

u′

· cos4 x︸︷︷︸u4

dx

= − cosx+ 23 · cos3 x− 1

5 · cos5 x+ C

86∫

cos2 x dx•©=∫ 1 + cos (2x)

2 dx = 12

∫dx+ 1

2

∫cos (2x) dx

= 12

∫dx+ 1

2 ·12

∫2︸︷︷︸u′

· cos (2x)︸︷︷︸cos u

dx = 12x+ 1

4 · sen (2x) + C

•©1 =��sen2 x+ cos2 x

cos (2x) = cos2 x−��sen2 x

1 + cos (2x) = 2 · cos2 x =⇒ cos2 x = 1 + cos (2x)2

87∫

cos3 x dx =∫

cosx · cos2 x dx =∫

cosx ·(1− sen2 x

)dx

=∫

cosx dx−∫

cosx︸︷︷︸u′

· sen2 x︸︷︷︸u2

dx = sen x− 13 · sen3 x+ C

88∫

cos5 x dx =∫

cosx · cos4 x dx =∫

cosx ·(cos2 x

)2dx =

∫cosx ·

(1− sen2 x

)2dx

=∫

cosx ·(1− 2 · sen2 x+ sen4 x

)dx =

∫cosx dx− 2

∫cosx︸︷︷︸

u′

· sen2 x︸︷︷︸u2

dx

+∫

cosx︸︷︷︸u′

· sen4 x︸︷︷︸u4

dx = sen x− 23 · sen3 x+ 1

5 · sen5 x+ C

89∫ secx

tan x+ cotan x dx =∫ 1

cos xsen xcos x

+ cos xsen x

dx =∫ 1

cos xsen2 x+cos2 x

sen x·cos x

dx =∫ 1

cos x1

sen x·cos x

dx

=∫ sen x ·��cosx

��cosx dx =∫

sen x dx = − cosx+ C


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90∫

tan2 x dx =∫ (

1− 1 + tan2 x)dx =

∫ (1 + tan2 x

)dx−

∫dx

=∫

sec2 x dx− x = tan x− x+ C

91∫

cotan 2x dx =∫ (

1− 1 + cotan 2x)dx =

∫ (1 + cotan 2x

)dx−

∫dx

=∫

cosec2 x dx− x = −cotan x− x+ C

92∫

(1 + cotan x)2 dx =∫ (

1 + 2 · cotan x+ cotan 2x)dx

=∫ (

1 + cotan 2x)dx+ 2

∫cotan x dx =

∫cosec2 x dx+ 2

∫ cosxsen x dx

= −cotan x+ 2 · ln|senx|+ C

93∫ 1 + sen2 x

sen x · cosx dx =∫ sen2 x+ cos2 x+ sen2 x

sen x · cosx dx =∫ 2 · sen2 x+ cos2 x

sen x · cosx dx

= −2∫ − sen x


dx+∫ cosx


dx = −2 · ln |cosx|+ ln |sen x|+ C

94∫ 1

cos (2x)− cos2 xdx =

∫ 1cos2 x− sen2 x− cos2 x

dx =∫ −1

sen2 xdx

=∫− cosecx dx = cotan x+ C

95∫ 1

sen x · cosx dx =∫ sen2 x+ cos2 x

sen x · cosx dx =∫ sen�2 x��sen x · cosx dx+

∫ cos�2 xsen x ·��cosx dx

= −∫ − sen x


dx+∫ cosx


dx+ C = − ln (cos x) + ln (sen x) + C

96∫ 1− x

1−√xdx =

∫ (1 +√x) ·��

�(1−√x)

��1−√x

dx =∫ (

1 +√x)dx = x+ 2

3 · x3/2 + C

= x+ 23 ·√x3 + C



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3Integrales racionales

Si tenemos∫ P (x)Q(x) dx, en donde P (x) y Q(x) son dos polinomios la manera de actuar

sera la siguiente:

i Si grado P (x) ≥ grado Q(x) dividiremos ambos polinomios, obteniendo un cocienteC(x) y un resto R(x).Si en la ecuacion Dividendo = Divisor ·Cociente+Resto, dividimos ambos miem-bros por el Divisor obtenemos:

P (x) = Q(x) · C(x) +R(x) =⇒ P (x)Q(x) = �

��P (x) · C(x)��Q(x) + R(x)

Q(x) = C(x) + R(x)Q(x)

con lo que nuestra integral quedara dividida en dos: la primera sera la integral deun polinomio (que es inmediata) y la segunda un cociente de polinomios en dondeel grado del numerador ya es menor que el del denominador:∫ P (x)

Q(x) dx =∫C(x) dx+

∫ R(x)Q(x) dx

En este documento las divisiones tienen el siguiente aspecto

C(x)

Q(x))

P (x). . .. . .R(x)

Veamos como se harıa la integral∫ x3 − xx− 2 dx

•©=∫ (

x2 + 2x+ 3)dx+

∫ 6x− 2 dx = x3

3 + 2x2

2 + 3 +∫ 6x− 2 dx

•© x2 + 2x+ 3x− 2

)x3 − x− x3 + 2x2

2x2 − x− 2x2 + 4x

3x− 3x+ 6

6

23

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Capıtulo 3. Integrales racionales

ii Si grado P (x) ≤ grado Q(x). Factorizamos el denominador y analizamos sus raıces.La estrategia varıa en funcion de como sean estas:

a Raıces reales simples.

b Raıces reales multiples.c Raıces reales simples y multiples.

d Raıces complejase Raıces reales y complejas

3.1. Raices reales simples

Hemos llegado hasta aquı con una integral∫ P (x)Q(x) dx, en donde

grado P (x) < grado Q(x) y cuyo denominador tiene raıces reales simples. Continuaremosla explicacion con un ejemplo∫ 6x2 + 11x− 5x3 + 2x2 − x− 2 dx

∗©=

Lo primero que hacemos es factorizar el denominador

∗© x3 + 2x2 − x− 2 = (x− 1) · (x+ 1) · (x+ 2)

Por cada raiz escribimos una fraccion con un coeficiente A, B,. . . en el numerador y elcorrespondiente factor en el denominador

6x2 + 11x− 5((((

(((((

x3 + 2x2 − x− 2= A

x− 1 + B

x+ 1 + C

x+ 2

Hallamos el denominador comun de las fracciones

= A(x+ 1) · (x+ 2) +B(x− 1) · (x+ 2) + C(x− 1) · (x+ 1)((((

(((((

x3 + 2x2 − x− 2

Sustituimos en la fraccion original y en la final, la variable x por cada una de las raıces(date cuenta que al sustituir por las raıces, y no por otro valor, se te anulan muchosfactores)

=⇒

〈x = 1 〉 12 = 6A ⇒ A = 2〈x = −1 〉 − 10 = −2B ⇒ B = 5〈x = −2 〉 − 3 = 3C ⇒ C = −1

Sustituimos la integral original por la suma de las integrales de las fracciones obtenidas∫ 6x2 + 11x− 5x3 + 2x2 − x− 2 dx

∗©=∫ 2x− 1 dx+

∫ 5x+ 1 dx+

∫ −1x+ 2 dx

El resultado de la integral son sendos logaritmos neperianos

= 2 · ln (x− 1) + 5 · ln (x+ 1)− ln (x+ 2) + C

Como has podido ver el resultado de este tipo de integrales es una suma de logaritmos.


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3.1.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales simples.

1∫ 1x2 − 4 dx

2∫ 1

1− x2 dx

3∫ 1x2 − 3x+ 2 dx

4∫ 1x2 + x

dx

5∫ 1x2 − 9x+ 20 dx

6∫ x+ 13x2 − 4x− 5 dx

7∫ x− 3x2 + 6x+ 5 dx

8∫ x+ 3x2 − 4x+ 3 dx

9∫ 1x2 − 9 dx

10∫ 3x− 2x2 − 4 dx

11∫ 3x2 − 7x+ 4

2x− 3 dx

12∫ x3 + 4x2 − 10x+ 7

x3 − 7x+ 6 dx

13∫ 5x− 3x3 − x

dx

14∫ 3x2 − 5x+ 1

x− 4 dx

15∫ 3x2 − 5x+ 1

2x+ 1 dx

16∫ x3

x2 − 1 dx

17∫ x3 − 3x2 + 5x+ 1

x− 2 dx

18∫ x3

x2 + x− 2 dx

19∫ 2x+ 1x2 − 3x+ 2 dx

20∫ x4 − 3x3 − 3x− 2

x3 − x2 − 2x dx

21∫ 4x+ 4x3 − x2 − 4x+ 4 dx

22∫ 3x− 3x3 + 2x2 − 5x− 6 dx

23∫ ex

e2x + 3ex + 2 dx

24∫ sen x

cos3 x+ cos2 x− 2 cosx dx

25∫ x4 + 2x− 6x3 + x2 − 2x dx



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Solucion.

1∫ 1x2 − 4 dx

∗©=∫ 1/4

x− 2 dx+∫ −1/4

x+ 2 dx = 14 ln (x− 2)− 1

4 ln (x+ 2) + C

= 14 · ln

x− 2x+ 2 + C

∗© x2 − 4 = (x− 2) · (x+ 2)1

��

x2 − 4 = A

x− 2 + B

x+ 2 = A(x+ 2) +B(x− 2)��

�x2 − 4

=⇒〈x = −2 〉 1 = −4B ⇒ B = −1/4〈x = 2 〉 1 = 4A ⇒ A = 1/4

2∫ 1

1− x2 dx∗©=∫ 1/2

1 + xdx+

∫ 1/2

1− x dx = 12 · ln (1 + x)− 1

2 · ln(1− x) + C

= 12 · ln

1 + x

1− x + C

∗© 1− x2 = (1− x) · (1 + x)1

��1− x2 = A

1 + x+ B

1− x = A(1− x) +B(1 + x)��

�1− x2

=⇒〈x = −1 〉 1 = 2A ⇒ A = 1/2〈x = 1 〉 1 = 2B ⇒ B = 1/2

3∫ 1x2 − 3x+ 2 dx

∗©=∫ −1x− 1 dx+

∫ 1x− 2 dx = − ln (x− 1) + ln(x− 2) + C

= ln x− 2x− 1 + C

∗© x2 − 3x+ 2 = (x− 1) · (x− 2)1

(((((((x2 − 3x+ 2 = A

x− 1 + B

x− 2 = A(x− 2) +B(x− 1)((((

(((x2 − 3x+ 2

=⇒〈x = 1 〉 1 = −A ⇒ A = −1〈x = 2 〉 1 = B ⇒ B = 1

4∫ 1x2 + x

dx∗©=∫ 1xdx+

∫ −1x+ 1 dx = ln (x)− ln(x+ 1) + C

= ln x

x+ 1 + C

∗© x2 + x = x · (x+ 1)1

��

x2 + x= A

x+ B

x+ 1 = A(x+ 1) +Bx

��

x2 + x

=⇒〈x = 0 〉 1 = A ⇒ A = 1〈x = −1 〉 1 = −B ⇒ B = −1


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5∫ 1x2 − 9x+ 20 dx

∗©=∫ −1x− 4 dx+

∫ 1x− 5 dx = − ln (x− 4) + ln(x− 5) + C

= ln x− 5x− 4 + C

∗© x2 − 9x+ 20 = (x− 4) · (x− 5)1

(((((((x2 − 9x+ 20 = A

x− 4 + B

x− 5 = A(x− 5) +B(x− 4)((((

(((x2 − 9x+ 20

=⇒〈x = 4 〉 1 = −A ⇒ A = −1〈x = 5 〉 1 = B ⇒ B = 1

6∫ x+ 13x2 − 4x− 5 dx

∗©=∫ −2x+ 1 dx+

∫ 3x− 5 dx = −2 · ln (x+ 1) + 3 · ln(x− 5) + C

= ln (x− 5)3

(x+ 1)2 + C

∗© x2 − 4x− 5 = (x+ 1) · (x− 5)x+ 13

(((((((x2 − 4x− 5 = A

x+ 1 + B

x− 5 = A(x− 5) +B(x+ 1)(((

((((x2 − 4x− 5

=⇒〈x = −1 〉 12 = −6A ⇒ A = −2〈x = 5 〉 18 = 6B ⇒ B = 3

7∫ x− 3x2 + 6x+ 5 dx

∗©=∫ −1x+ 1 dx+

∫ 2x+ 5 dx = − ln (x+ 1) + 2 · ln(x+ 5) + C

= ln (x+ 5)2

x+ 1 + C

∗© x2 + 6x+ 5 = (x+ 1) · (x+ 5)x− 3

(((((((x2 + 6x+ 5 = A

x+ 1 + B

x+ 5 = A(x+ 5) +B(x+ 1)((((

(((x2 + 6x+ 5

=⇒〈x = −1 〉 − 4 = 4A ⇒ A = −1〈x = −5 〉 − 8 = −4B ⇒ B = 2

8∫ x+ 3x2 − 4x+ 3 dx

∗©=∫ −2x− 1 dx+

∫ 3x− 3 dx = −2 · ln (x− 1) + 3 · ln(x− 3) + C

= ln (x− 3)3

(x− 1)2 + C

∗© x2 − 4x+ 3 = (x− 1) · (x− 3)x+ 3

(((((((x2 − 4x+ 3 = A

x− 1 + B

x− 3 = A(x− 3) +B(x− 1)(((

((((x2 − 4x+ 3

=⇒〈x = 1 〉 4 = −2A ⇒ A = −2〈x = 3 〉 6 = 2B ⇒ B = 3



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9∫ 1x2 − 9 dx

∗©=∫ 1/6

x− 3 dx+∫ −1/6

x+ 3 dx = 16 · ln (x− 3)− 1

6 · ln(x+ 3) + C

= ln 6

√x− 3x+ 3 + C

∗© x2 − 9 = (x− 3) · (x+ 3)1

��

x2 − 9 = A

x− 3 + B

x+ 3 = A(x+ 3) +B(x− 3)��

�x2 − 9

=⇒〈x = −3 〉 1 = −6B ⇒ B = −1/6〈x = 3 〉 1 = 6A ⇒ A = 1/6

10∫ 3x− 2x2 − 4 dx

∗©=∫ 1x− 2 dx+

∫ 2x+ 2 dx = ln (x− 2) + 2 · ln(x+ 2) + C

= ln((x− 2) · (x+ 2)2

)+ C = ln

(x3 + 2x2 − 4x− 8

)

∗© x2 − 4 = (x− 2) · (x+ 2)3x− 2��

��x2 − 4 = A

x− 2 + B

x+ 2 = A(x+ 2) +B(x− 2)��

��x2 − 4

=⇒〈x = −2 〉 − 8 = −4B ⇒ B = 2〈x = 2 〉 4 = 4A ⇒ A = 1

11∫ 3x2 − 7x+ 4

2x− 3 dx•©=∫ (3

2x−54

)dx+

∫ 1/4

2x− 3 dx = 34x

2− 54x+ 1

8 ln (2x− 3)+C

•© 32x −

54

2x− 3)

3x2 − 7x + 4− 3x2 + 9

2x

− 52x + 452x−

15414

12∫ x3 + 4x2 − 10x+ 7

x3 − 7x+ 6 dx•©=∫ (

1 + 4x2 − 3x+ 1x3 − 7x+ 6

)dx∗©=∫dx+

∫ −1/2

x− 1 dx

+∫ 11/5

x− 2 dx+∫ 23/10

x+ 3 dx = x− 12 · ln (x− 1) + 11

5 · ln (x− 2) + 2310 ln (x+ 3) +C

•© 1x3 − 7x+ 6

)x3 + 4x2 − 10x + 7− x3 + 7x− 6

4x2 − 3x + 1


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∗© x3 − 7x+ 6 = (x− 1) · (x− 2) · (x+ 3)4x2 − 3x+ 1((((

(((x3 − 7x+ 6 = A

x− 1 + B

x− 2 + C

x+ 3

= A(x− 2) · (x+ 3) +B(x− 1) · (x+ 3) + C(x− 1) · (x− 2)((((

(((x3 − 7x+ 6

=⇒

〈x = 1 〉 2 = −4A ⇒ A = −1/2〈x = 2 〉 11 = 5B ⇒ B = 11/5〈x = −3 〉 46 = 20C ⇒ C = 23/10

13∫ 5x− 3x3 − x

dx∗©=∫ 3xdx+

∫ 1x− 1 dx+

∫ −4x+ 1 dx = 3·ln x+ln(x−1)−4·ln (x+ 1)+

C

ln x4 − x3

(x+ 1)4 + C

∗© x3 − x = x · (x− 1) · (x+ 1)5x− 3��

�x3 − x

= A

x+ B

x− 1 + C

x+ 1

= A(x− 1) · (x+ 1) +Bx · (x+ 1) + Cx · (x− 1)��

�x3 − x

=⇒

〈x = 0 〉 − 3 = −A ⇒ A = 3〈x = 1 〉 2 = 2B ⇒ B = 1〈x = −1 〉 − 8 = 2C ⇒ C = −4

14∫ 3x2 − 5x+ 1

x− 4 dx•©=∫ (

3x+ 7 + 29x− 4

)dx = 3x2

2 + 7x+ 29 ln (x− 4) + C

•© 3x + 7x− 4

)3x2 − 5x + 1− 3x2 + 12x

7x + 1− 7x+ 28

29

15∫ 3x2 − 5x+ 1

2x+ 1 dx•©=∫ (3x

2 −134 +

17/4

2x+ 1

)dx = 3x2

4 −13x4 + 17

8 · ln (2x+ 1) +C

•© 32x−

134

2x+ 1)

3x2 − 5x + 1− 3x2 − 3

2x

− 132 x + 1132 x + 13

4174



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16∫ x3

x2 − 1 dx•©=∫ (

x+ x

x2 − 1

)dx∗©=∫x dx+

∫ 1/2

x− 1 dx+∫ 1/2

x+ 1 dx

= x2

2 + 12 · ln (x− 1) + 1

2 · ln (x+ 1) + C

•© x

x2 − 1)

x3

− x3 + x

x

∗© x2 − 1 = (x− 1) · (x+ 1)x3

��x2 − 1 = A

x− 1 + B

x+ 1 = A(x+ 1) +B(x− 1)��

�x2 − 1

=⇒〈x = 1 〉 1 = 2A ⇒ A = 1/2〈x = −1 〉 − 1 = −2B ⇒ B = 1/2

17∫ x3 − 3x2 + 5x+ 1

x− 2 dx•©=∫ (

x2 − x+ 3)dx+

∫ 7x− 2 dx

= x3

3 −x2

2 + 3x+ 7 · ln (x− 2) + C

•© x2 − x+ 3x− 2

)x3 − 3x2 + 5x+ 1− x3 + 2x2

− x2 + 5xx2 − 2x

3x+ 1− 3x+ 6

7

18∫ x3

x2 + x− 2 dx•©=∫

(x− 1) dx+∫ 3x− 2x2 + x− 2 dx

∗©= x2

2 −x+∫ 1/3

x− 1 dx+∫ 8/3

x+ 2 dx

= x2

2 − x+ 13 · ln (x− 1) + 8

3 · ln (x+ 2) + C

•© x− 1x2 + x− 2

)x3

− x3 − x2 + 2x− x2 + 2xx2 + x− 2

3x− 2


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∗© x2 − 1 = (x− 1) · (x+ 1)x3

((((((x2 + x− 2 = A

x− 1 + B

x+ 2 = A(x+ 2) +B(x− 1)(((

(((x2 + x− 2

=⇒〈x = 1 〉 1 = 3A ⇒ A = 1/3〈x = −2 〉 − 8 = −3B ⇒ B = 8/3

19∫ 2x+ 1x2 − 3x+ 2 dx

∗©=∫ −3x− 1 dx+

∫ 5x− 2 dx = −3 · ln (x− 1) + 5 · ln (x− 2) + C

= x2

2 − x+∫ 1/3

x− 1 dx+∫ 8/3

x+ 2 dx = x2

2 − x+ 13 · ln (x− 1) + 8

3 · ln (x+ 2) + C

∗© x2 − 1 = (x− 1) · (x+ 1)x3

(((((((x2 − 3x+ 2 = A

x− 1 + B

x− 2 = A(x− 2) +B(x− 1)((((

(((x2 − 3x+ 2

=⇒〈x = 1 〉 3 = −A ⇒ A = −3〈x = 2 〉 5 = B ⇒ B = 5

20∫ x4 − 3x3 − 3x− 2

x3 − x2 − 2x dx•©=∫

(x− 2) dx+∫ −7x− 2x3 − x2 − 2x dx

∗©= x2

2 − 2x+∫ 1xdx+

∫ 5/3

x+ 1 dx+∫ −8/3

x− 2 dx

= x2

2 − 2x+ ln x+ 53 · ln (x+ 1)− 8

3 · ln (x− 2) + C

•© x− 2x3 − x2 − 2x

)x4 − 3x3 − 3x− 2− x4 + x3 + 2x2

− 2x3 + 2x2 − 3x2x3 − 2x2 − 4x

− 7x− 2

∗© x3 − x2 − 2x = x · (x+ 1) · (x− 2)−7x− 2

(((((((x3 − x2 − 2x = A

x+ B

x+ 1 + C

x− 2

= A(x+ 1) · (x− 2) +Bx(x− 2) + Cx(x+ 1)((((

(((x3 − x2 − 2x

=⇒

〈x = 0 〉 − 2 = −2A ⇒ A = 1〈x = −1 〉 5 = 3B ⇒ B = 5/3〈x = 2 〉 − 16 = 6C ⇒ C = −8/3



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21∫ 4x+ 4x3 − x2 − 4x+ 4 dx

∗©=∫ −8/3

x− 1 dx+∫ 3x− 2 dx+

∫ −1/3

x+ 2 dx

= −83 · ln (x− 1) + 3 · ln (x− 2)− 1

3 · ln (x+ 2) + C

∗© x3 − x2 − 4x+ 4 = (x− 1) · (x− 2) · (x+ 2)4x+ 4

((((((((

(x3 − x2 − 4x+ 4

= A

x− 1 + B

x− 2 + C

x+ 2

= A(x− 2) · (x+ 2) +B(x− 1) · (x+ 2) + C(x− 1) · (x− 2)((((

(((((

x3 − x2 − 4x+ 4

=⇒

〈x = 1 〉 8 = −3A ⇒ A = −8/3〈x = 2 〉 12 = 4B ⇒ B = 3〈x = −2 〉 − 4 = 12C ⇒ C = −1/3

22∫ 3x− 3x3 + 2x2 − 5x− 6 dx

∗©=∫ 1x+ 1 dx+

∫ 1/5

x− 2 dx+∫ −6/5

x+ 3 dx

= ln (x+ 1) + 15 · ln (x− 2)− 6

5 · ln (x+ 3) + C

∗© x3 + 2x2 − 5x− 6 = (x+ 1) · (x− 2) · (x+ 3)3x− 3

(((((((

(((x3 + 2x2 − 5x− 6

= A

x+ 1 + B

x− 2 + C

x+ 3

= A(x− 2) · (x+ 3) +B(x+ 1) · (x+ 3) + C(x+ 1) · (x− 2)

(((((((

(((x3 + 2x2 − 5x− 6

=⇒

〈x = −1 〉 − 6 = −6A ⇒ A = 1〈x = 2 〉 3 = 15B ⇒ B = 1/5〈x = −3 〉 − 12 = 10C ⇒ C = −6/5

23∫ ex

e2x + 3ex + 2 dx ={u = ex

du = ex dx⇒ 1ex du = dx

}=∫

��ex

u2 + 3u+ 2 ·1��ex du

=∫ 1u2 + 3u+ 2 du

∗©=∫ 1u+ 1 du+

∫ −1u+ 2 du = ln (u+ 1)− ln (u+ 2) + C

= ln (ex + 1)− ln (ex + 2) + C

∗© u2 + 3u+ 2 = (u+ 1) · (u+ 2)1

(((((((u2 + 3u+ 2 = A

u+ 1 + B

u+ 2 = A(u+ 2) +B(u+ 1)((((

(((u2 + 3u+ 2

=⇒〈u = −1 〉 1 = A ⇒ A = 1〈u = −2 〉 1 = −B ⇒ B = −1

24∫ sen x

cos3 x+ cos2 x− 2 cosx dx = u = cosxdu = − sen x dx⇒ − 1

sen x du = dx


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=∫

��sen xu3 + u2 − 2u ·

(− 1��sen x

)du =

∫ −1u3 + u2 − 2u du

∗©=∫ 1/2

udx+

∫ −1/3

u− 1 du+∫ −1/6

u+ 2 du = 12 · ln (u)− 1

3 · ln (u− 1)− 16 · ln (u+ 2)+C

= 12 · ln (cos x)− 1

3 · ln (cos x− 1)− 16 · ln (cos x+ 2) + C

∗© u3 + u2 − 2u = u · (u− 1) · (u+ 2)−1

(((((((u3 + u2 − 2u = A

u+ B

u− 1 + C

u+ 2

= A(u− 1) · (u+ 2) +Bu(u+ 2) + Cu(u− 1)((((

(((u3 + u2 − 2u

=⇒

〈u = 0 〉 − 1 = −2A ⇒ A = 1/2〈u = 1 〉 − 1 = 3B ⇒ B = −1/3〈u = −2 〉 − 1 = 6C ⇒ C = −1/6

25∫ x4 + 2x− 6x3 + x2 − 2x dx

•©=∫

(x− 1) dx+∫ 3x2 − 6x3 − x2 − 2x dx

∗©= x2

2 − x+∫ 3xdx+

∫ −1x− 1 dx+

∫ 1x+ 2 dx

= x2

2 − x+ 3 · ln x− ln (x− 1) + ln (x+ 2) + C

•© x− 1x3 + x2 − 2x

)x4 + 2x− 6

− x4 − x3 + 2x2

− x3 + 2x2 + 2xx3 + x2 − 2x

3x2 − 6

∗© x3 + x2 − 2x = x · (x− 1) · (x+ 2)3x2 − 6

(((((((x3 + x2 − 2x = A

x+ B

x− 1 + C

x+ 2

= A(x− 1) · (x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(x− 1)((((

(((x3 + x2 − 2x

=⇒

〈x = 0 〉 − 6 = −2A ⇒ A = 3〈x = 1 〉 − 3 = 3B ⇒ B = −1〈x = −2 〉 6 = 6C ⇒ C = 1



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3.2. Raices reales multiples


grado P (x) < grado Q(x) y cuyo denominador tiene unicamente raıces reales multiples.Continuaremos la explicacion con un ejemplo

∫ x2 − 3x+ 1x3 − 3x2 + 3x− 1 dx

∗©=

Factorizamos el denominador

∗© x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3

Ponemos tantas fracciones como el grado de multiplicidad (exponente) de las raıces. Enel numerador coeficiente A, B, C y en el denominador (x− 1), (x− 1)2, (x− 1)3.

x2 − 3x+ 1

((((((((

((x3 − 3x2 + 3x− 1

= A

x− 1 + B

(x− 1)2 + C

(x− 1)3


= A(x− 1)2 +B(x− 1) + C

(((((((

(((x3 − 3x2 + 3x− 1

Sustituimos en la fraccion original y en la final, la variable x por cada una de las raıces.Como nos faltaran ecuaciones tenemos dos opciones: sustituir por un valor cualquiera (eneste caso 〈x = 0 〉) o igualar coeficientes en las dos fracciones (en este caso 〈x2 〉)

=⇒

〈x = 1 〉 − 1 = C ⇒ C = −1〈x = 0 〉 1 = A−B + C ⇒ B = −1〈x2 〉 1 = A ⇒ A = 1

Sustituimos la integral original por la suma de las integrales de las fracciones obtenidas∫ x2 − 3x+ 1x3 − 3x2 + 3x− 1 dx

∗©=∫ 1x− 1 dx+

∫ −1(x− 1)2 dx+

∫ −1(x− 1)3 dx

El resultado de la integral es un logaritmo y dos integrales potenciales

= ln |x− 1| −∫

(x− 1)−2 dx−∫

(x− 1)−3 dx

= ln |x− 1| − (x− 1)−1

−1 − (x− 1)−2

−2 + C

= ln |x− 1|+ 1x− 1 −

12 · (x− 2)2 + C

= ln |x− 1|+ 2x− 12 · (x− 2)2 + C

Como has podido ver el resultado de este tipo de integrales es un logaritmo y variaspotenciales.


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Otro ejemplo:∫ 2x− 3x4 − 2x3 − 3x2 + 4x+ 4 dx

∗©=∫ 4/27

x− 2 dx+∫ 1/9

(x− 2)2 dx+∫ −4/27

x+ 1 dx+∫ −5/9

(x+ 1)2 dx

= 427 · ln |x− 2|+ 1

9

∫(x− 2)−2 dx− 4

27 · ln |x+ 1| − 59

∫(x+ 1)−2 dx

= 427 · ln |x− 2|+ 1

9 ·(x− 2)−1

−1 − 427 · ln |x+ 1| − 5

9 ·(x+ 1)−1−1 + C

= 427 · ln |x− 2| − 1

9 · (x− 2) −427 · ln |x+ 1|+ 5

9 · (x+ 1) + C

∗© x4 − 2x3 − 3x2 + 4x+ 4 = (x− 2)2 · (x+ 1)2

2x− 3

((((((((

(((((

x4 − 2x3 − 3x2 + 4x+ 4= A

x− 2 + B

(x− 2)2 + C

x+ 1 + D

(x+ 1)2

= A(x− 2)(x+ 1)2 +B(x+ 1)2 + C(x− 2)2(x+ 1) +D(x− 2)2

(((((((

((((((

x4 − 2x3 − 3x2 + 4x+ 4

=⇒

〈x = 2 〉 1 = 9B ⇒ B = 1/9〈x = −1 〉 − 5 = 9D ⇒ D = −5/9〈 t.i. 〉 − 3 = −2A+B + 4C + 4D ⇒ C = −4/27〈x3 〉 0 = A+ C ⇒ A = 4/27



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3.2.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales multiples.

1∫ 1x2 + 2x+ 1 dx

2∫ 2x+ 5

(x+ 3)2 dx

3∫ x2 − 2x+ 6

(x− 1)3 dx

4∫ x2 + 1x3 − 6x2 + 12x− 8 dx

5∫ 3x2 − 5x+ 1x3 + 6x2 + 12x+ 8 dx

6∫ 2x− 6x3 + 12x2 + 48x+ 64 dx

7∫ x2 + 2x3 − 9x2 + 27x− 27 dx

8∫ 5x2

x3 − 3x2 + 3x− 1 dx

9∫ 2x+ 3x2 − 6x+ 9 dx

10∫ 5− x2

(x− 5)3 dx

11∫ 3x2 + 4

(x− 2)2 dx


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Solucion.

1∫ 2x− 1x2 + 2x+ 1 dx

∗©=∫ 2x+ 1 dx+

∫ −3(x+ 1)2 dx =

{u = x+ 1du = dx

}

= 2 · ln |x+ 1| − 3∫ 1u2 du = 2 · ln |x+ 1| − 3 · u

−1

−1 + C

= 2 · ln |x+ 1|+ 3x+ 1 + C

∗© x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2

2x− 1((((

(((x2 + 2x+ 1 = A

x+ 1 + B

(x+ 1)2 = A(x+ 1) +B

(((((((x2 + 2x+ 1

=⇒〈x = −1 〉 − 3 = B ⇒ B = −3〈x 〉 2 = A ⇒ A = 2

2∫ 2x+ 5

(x+ 3)2 dx∗©=∫ 2x+ 3 dx+

∫ −1(x+ 3)2 dx =

{u = x+ 3du = dx

}

= 2 · ln |x+ 1| −∫ 1u2 du = 2 · ln |x+ 1| − ·u

−1

−1 + C

= 2 · ln |x+ 3|+ 1x+ 3 + C

∗© 2x+ 5��

��(x+ 3)2 = A

x+ 3 + B

(x+ 3)2 = A(x+ 3) +B

��(x+ 3)2

=⇒〈 t = −3 〉 − 1 = B ⇒ B = −1〈x 〉 2 = A ⇒ A = 2

3∫ x2 − 2x+ 6

(x− 1)3 dx∗©=∫ 1x− 1 dx+

∫ 52 · (x− 1)3 dx =

{u = x− 1du = dx

}

= ln |x− 1|+∫ 5u3 du = ln |x− 1|+ 5u−2

−2 + C

= ln |x− 1| − 5(x− 1)2 + C

∗© x2 − 2x+ 6��

��(x− 1)3 = A

x− 1 + B

(x− 1)2 + C

(x− 1)3 = A(x− 1)2 +B(x− 1) + C

��(x− 1)3

=⇒

〈x = 1 〉 5 = C ⇒ C = 5〈x2 〉 1 = A ⇒ A = 1〈 t.i. 〉 6 = A−B + C ⇒ B = 0



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4∫ x2 + 1x3 − 6x2 + 12x− 8 dx

∗©=∫ 1x− 2 dx+

∫ 4(x− 2)2 dx+

∫ 5·(x− 2)3 dx

={u = x− 2du = dx

}= ln |x− 2|+

∫ 4u2 du+

∫ 5u3 du = ln |x− 2|+ 4u−1

−1 + 5u−2

−2 + C

= ln |x− 2| − 4x− 2 −

5(x− 2)2 + C

∗© x3 − 6x2 + 12x− 8 = (x− 2)3

x2 + 1

(((((((

(((x3 − 6x2 + 12x− 8

= A

x− 2 + B

(x− 2)2 + C

(x− 2)3 = A(x− 2)2 +B(x− 2) + C

(((((((

(((x3 − 6x2 + 12x− 8

=⇒

〈x = 2 〉 5 = C ⇒ C = 5〈x2 〉 1 = A ⇒ A = 1〈 t.i. 〉 1 = 4A− 2B + C ⇒ B = 4

5∫ 3x2 − 5x+ 1x3 + 6x2 + 12x+ 8 dx

∗©=∫ 3x+ 2 dx+

∫ −17(x+ 2)2 dx+

∫ 23(x+ 2)3 dx

={u = x+ 2du = dx

}= 3 · ln |x+ 2| −

∫ 17u2 du+

∫ 23u3 du = 3 · ln |x+ 2| − 17u−1

−1

+ 23u−2

−2 + C = 3 · ln |x+ 2|+ 17x+ 2 −

232 · (x+ 2)2 + C

∗© x3 + 6x2 + 12x+ 8 = (x+ 2)3

3x2 − 5x+ 1

(((((((

(((x3 + 6x2 + 12x+ 8

= A

x+ 2 + B

(x+ 2)2 + C

(x+ 2)3 = A(x+ 2)2 +B(x+ 2) + C

(((((((

(((x3 + 6x2 + 12x+ 8

=⇒

〈x = −2 〉 23 = C ⇒ C = 23〈x2 〉 3 = A ⇒ A = 3〈 t.i. 〉 1 = 4A+ 2B + C ⇒ B = −17

6∫ 2x− 6x3 + 12x2 + 48x+ 64 dx

∗©=∫ 2

(x+ 4)2 dx+∫ −14

(x+ 4)3 dx ={u = x+ 4du = dx

}

=∫ 2u2 du−

∫ 14u3 du = 2u−1

−1 −14u−2

−2 + C = − 2x+ 4 + 14

2 · (x+ 4)2 + C

∗© x3 + 12x2 + 48x+ 64 = (x+ 4)3

2x− 6

((((((((

((((x3 + 12x2 + 48x+ 64

= A

x+ 4 + B

(x+ 4)2 + C

(x+ 4)3

= A(x+ 4)2 +B(x+ 4) + C

((((((((

((((x3 + 12x2 + 48x+ 64

=⇒

〈x = −4 〉 − 14 = C ⇒ C = −14〈x2 〉 0 = A ⇒ A = 0〈 t.i. 〉 − 6 = 16A+ 4B + C ⇒ B = 2


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7∫ x2 + 2x3 − 9x2 + 27x− 27 dx

∗©=∫ 1x− 3 dx+

∫ 6(x− 3)2 dx+

∫ 11(x− 3)3 dx

={u = x− 3du = dx

}= ln |x− 3|+

∫ 6u2 du+

∫ 11u3 du = ln |x− 3|+ 6u−1

−1 + 11u−2

−2 +C

= ln |x− 3| − 6x− 3 −

112 · (x− 3)2 + C

∗© x3 − 9x2 + 27x− 27 = (x− 3)3

x2 + 2

((((((((

(((x3 − 9x2 + 27x− 27

= A

x− 3 + B

(x− 3)2 + C

(x− 3)3

= A(x− 3)2 +B(x− 3) + C

((((((((

(((x3 − 9x2 + 27x− 27

=⇒

〈x = 3 〉 11 = C ⇒ C = 11〈x2 〉 1 = A ⇒ A = 1〈 t.i. 〉 2 = 9A− 3B + C ⇒ B = 6

8∫ 5x2

x3 − 3x2 + 3x− 1 dx∗©=∫ 5x− 1 dx+

∫ 10(x− 1)2 dx+

∫ 5(x− 1)3 dx

={u = x− 1du = dx

}= 5 · ln |x− 1|+

∫ 10u2 du+

∫ 5u3 du

= 5 · ln |x− 1|+ 10u−1

−1 + 5u−2

−2 + C = 5 · ln |x− 1| − 10x− 1 −

52 · (x− 1)2 + C

∗© x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3

5x2

(((((((

(((x3 − 3x2 + 3x− 1

= A

x− 1 + B

(x− 1)2 + C

(x− 1)3 = A(x− 1)2 +B(x− 1) + C

(((((((

(((x3 − 3x2 + 3x− 1

=⇒

〈x = 1 〉 5 = C ⇒ C = 5〈x2 〉 5 = A ⇒ A = 5〈 t.i. 〉 0 = A−B + C ⇒ B = 10

9∫ 2x+ 3x2 − 6x+ 9 dx

∗©=∫ 2x− 3 dx+

∫ 9(x− 3)2 dx = 2 · ln |x− 3|+ 9

∫(x− 3)−2 dx

= 2 · ln |x− 3|+ 9 · (x− 3)−1

−1 + C = 2 · ln |x− 3| − 9x− 3 + C

∗© x2 − 6x+ 9 = (x− 3)2

2x+ 3((((

(((x2 − 6x+ 9 = A

x− 3 + B

(x− 3)2 = A(x− 3) +B

(((((((x2 − 6x+ 9

=⇒〈x = 3 〉 9 = B ⇒ B = 9〈 t.i. 〉 3 = −3A+B ⇒ A = 2



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10∫ 5− x2

(x− 5)3 dx∗©=∫ −1x− 5 dx+

∫ −10(x− 5)2 dx+

∫ −20(x− 5)2 dx

= − ln |x− 5| − 10∫

(x− 5)−2 dx− 20∫

(x− 5)−3 dx

= − ln |x− 5| − 10 · (x− 5)−1

−1 − 20 · (x− 5)−2

−2 + C

= − ln |x− 5|+ 10x− 5 + 10

(x− 5)2 + C

∗© 5− x2

��(x− 5)3 = A

x− 5 + B

(x− 5)2 + C

(x− 5)2 = A(x− 5)2 +B(x− 5) + C

��(x− 5)3

=⇒

〈x = 5 〉 − 20 = C ⇒ C = −20〈x2 〉 − 1 = A ⇒ A = −1〈 t.i. 〉 5 = 25A− 5B + C ⇒ B = −10

11∫ 3x2 + 4

(x− 2)2 dx•©=∫

3 dx+∫ 12x− 8

(x− 2) ∗ 2 dx∗©= 3x+

∫ 12x− 2 dx+

∫ 16(x− 2)2 dx

= 3x+ 12 · ln |x− 2|+ 16∫

(x− 2)−2 dx = 3x+ 12 · ln |x− 2| − 16x− 2 + C

•© 3x2 − 4x+ 4

)3x2 + 4− 3x2 + 12x− 12

12x − 8

∗© 3x2 + 4��

��(x− 2)2 = A

x− 2 + B

(x− 2)2 = A(x− 2) +B

��(x− 2)2

=⇒〈x = 2 〉 16 = B ⇒ B = 16〈x = 0 〉 − 8 = −2A+B ⇒ A = 12


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3.3. Raices reales simples y multiples


grado P (x) < grado Q(x) y cuyo denominador tiene raıces reales simples y multiples.Continuaremos la explicacion con un ejemplo∫ x3 − 2x+ 1x4 − 2x3 + 2x− 1 dx

∗©=

Factorizamos el denominador

∗© x4 − 2x3 + 2x− 1 = (x− 1)3 · (x+ 1)

Con las raıces reales simples actuamos como en la seccion 3.1, mientras que con lascomplejas haremos lo aprendido en la seccion 3.2.

x3 − 2x+ 1

(((((((

(((x4 − 2x3 + 2x− 1

= A

x− 1 + B

(x− 1)2 + C

(x− 1)3 + D

x+ 1


= A(x− 1)2(x+ 1) +B(x− 1)(x+ 1) + C(x+ 1) +D(x− 1)3

((((((((

((x4 − 2x3 + 2x− 1

Sustituimos en la fraccion original y en la final, la variable x por cada una de las raıces(1 y −1)

=⇒

〈x = 1 〉 0 = 2C ⇒ C = 0〈x = −1 〉 2 = −8D ⇒ D = −1/4〈x3 〉 1 = A+D ⇒ A = 5/4〈 t.i. 〉 1 = A−B + C −D ⇒ B = 1/2

Sustituimos la integral original por la suma de las integrales de las fracciones obtenidas∫ x3 − 2x+ 1x4 − 2x3 + 2x− 1 dx

∗©==∫ 5/4

x− 1 dx+∫ 1/2

(x− 1)2 dx+∫ −1/4

x+ 1 dx

El resultado de la integral son sendos logaritmos neperianos y una integral potencial

= 54 · ln |x− 1|+ 1

2

∫(x− 1)−2 dx− 1

4 ln |x+ 1|

= 54 · ln |x− 1|+ 1

2 ·(x− 1)−1

−1 − 14 ln |x+ 1|

= 54 · ln |x− 1| − 1

2 · (x− 1) −14 ln |x+ 1|+ C

Como has podido ver el resultado de este tipo de integrales es una suma de logaritmos eintegrales potenciales.

Otro ejemplo:



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∫ x2 + 2xx3 − x2 − 8x+ 12 dx

∗©=∫ 22/25

x− 2 dx+∫ 8/5

(x− 2)2 dx+∫ 3/25

x+ 3 dx

= 2225 · ln |x− 2|+ 8

5

∫(x− 2)−2 dx+ 3

25 · ln |x+ 3|

= 2225 · ln |x− 2|+ 8

5 ·(x− 2)−1

−1 + 325 · ln |x+ 3|

= 2225 · ln |x− 2| − 8

5 · (x− 2) + 325 · ln |x+ 3|+ C

∗© x3 − x2 − 8x+ 12 = x− 22 · (x+ 3)x2 + 2x

((((((((

((x3 − x2 − 8x+ 12

= A

x− 2 + B

(x− 2)2 + C

x+ 3

= A(x− 2) · (x+ 3) +B(x+ 3) + C(x− 2)2

((((((((

((x3 − x2 − 8x+ 12

=⇒

〈x = 2 〉 8 = 5B ⇒ B = 8/5〈x = −3 〉 3 = 25C ⇒ C = 3/25〈x2 〉 1 = A+ C ⇒ A = 22/25


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3.3.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales simples y multiples.

1∫ 1x3 + x2 dx

2∫ 6x5 − 7x4 − 5x3 + x2 − 5x+ 2

x6 − 2x5 + 2x3 − x2 dx

3∫ x3 + 22x2 − 12x+ 8

x4 − 4x2 dx

4∫ x3 − 4x2 + 4xx4 − 2x3 − 4x2 + 8x dx

5∫ x3 + 17x2 − 1x4 + 2x3 − 11x2 − 12x+ 36 dx

6∫ 3x+ 1x3 − x2 − x+ 1 dx

7∫ 2x2 − 3x3 + x2 − 8x− 12 dx

8∫ 4x+ 5x4 − x3 − 2x2 dx

9∫ 5x− 8x3 − 4x2 − 3x+ 18 dx

10∫ x− 2x4 − 5x3 + 7x2 − 3x dx



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Solucion.

1∫ 1x3 + x2 dx

∗©=∫ −1

xdx+

∫ 1x2 dx+

∫ 1x+ 1 dx = − ln |x| − 1

x+ ln |x+ 1|+ C

= ln∣∣∣∣x+ 1x

∣∣∣∣− 1x

+ C

∗© x3 + x2 = x2 · (x+ 1)1

��x3 + x2 = A

x+ B

x2 + C

x+ 1 = Ax · (x+ 1) +B(x+ 1) + Cx2

��x3 + x2

=⇒

〈 t = 0 〉 1 = B ⇒ B = 1〈 t = −1 〉 1 = C ⇒ C = 1〈x2 〉 0 = A+ C ⇒ A = −1

2∫ 6x5 − 7x4 − 5x3 + x2 − 5x+ 2

x6 − 2x5 + 2x3 − x2 dx∗©=∫ 1xdx+

∫ −2x2 dx+

∫ 5(x− 1) dx

+∫ 2

(x− 1)2 dx+∫ −4

(x− 1)3 dx = ln |x|+ 2x

+ 5 · ln |x− 1| − 2x− 1 + 2

(x− 1)2 +C

∗© x6 − 2x5 + 2x3 − x2 = x2 · (x+ 1) · (x− 1)3

6x5 − 7x4 − 5x3 + x2 − 5x+ 2

(((((((

((((x6 − 2x5 + 2x3 − x2

= A

x+ 1 + B

x+ C

x2 + D

(x− 1) + E

(x− 1)2 + F

(x− 1)3

= Ax2(x− 1)3 +Bx(x+ 1)(x− 1)3 + C(x+ 1)(x− 1)3 +Dx2(x+ 1)(x− 1)2 + Ex2(x+ 1)(x− 1) + Fx2(x+ 1)��

�x3 + x2

〈x = 0 〉 2 = −C ⇒ C = −2〈x = 1 〉 − 8 = 2F ⇒ F = −4〈x = −1 〉 0 = −8A ⇒ A = 0〈x 〉 − 5 = −B + 2C ⇒ B = 1〈x5 〉 6 = A+B +D ⇒ D = 5〈x4 〉 − 7 = −3A− 2B + C −D + E ⇒ E = 2

3∫ x3 + 22x2 − 12x+ 8

x4 − 4x2 dx∗©=∫ 3xdx+

∫ −2x2 dx+

∫ 5x− 2 dx+

∫ −7x+ 2 dx

= 3 · ln |x|+ 2x

+ 5 · ln |x− 2| − 7 · ln |x+ 2|+ C

∗© x4 − 4x2 = x2 · (x− 2) · (x+ 2)x3 + 22x2 − 12x+ 8

��x4 − 4x2 = A

x+ B

x2 + C

x− 2 + D

x+ 2

= Ax · (x− 2) · (x+ 2) +B(x− 2) · (x+ 2) + Cx2 · (x+ 2) +Dx2 · (x− 2)��

��x4 − 4x2

=⇒

〈x = 0 〉 8 = −4B ⇒ B = −2〈x = −2 〉 112 = −16D ⇒ D = −7〈x = 2 〉 80 = 16C ⇒ C = 5〈x3 〉 1 = A+ C +D ⇒ A = 3


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4∫ x3 − 4x2 + 4xx4 − 2x3 − 4x2 + 8x dx

∗©=∫ 1x+ 2 dx = ln |x+ 2|+ C

∗© x3 − 4x2 + 8x = x · (x+ 2) · (x− 2)2

x3 − 4x2 + 4x

(((((((

((((x4 − 2x3 − 4x2 + 8x

= A

x+ B

x+ 2 + C

x− 2 + D

(x− 2)2

= A(x+ 2) · (x− 2)2 +Bx · (x− 2)2 + Cx · (x+ 2) · (x− 2) +Dx · (x+ 2)

(((((((

((((x4 − 2x3 − 4x2 + 8x

=⇒

〈x = 0 〉 0 = 8A ⇒ A = 0〈x = −2 〉 − 32 = −32B ⇒ B = 1〈x = 2 〉 0 = 8C ⇒ C = 0〈x2 〉 − 4 = −2A+−4B +D ⇒ D = 0

5∫ x3 + 17x2 − 1x4 + 2x3 − 11x2 − 12x+ 36 dx

∗©=∫ 2x− 2 dx+

∫ 3(x− 2)2 dx+

∫ −1x+ 3 dx

+∫ 5

(x+ 3)2 dx ={u = x− 2du = dx

}={v = x+ 3dv = dx

}= 2 · ln |x− 2|+

∫ 3u2 du

− ln |x+ 3|+∫ 5v2 dv = 2 · ln |x− 2|+ 3u−1

−1 − ln |x+ 3|+ 5v−1

−1 + C

= 2 · ln |x− 2| − 3x− 2 − ln |x+ 3| − 5

x+ 3 + C

∗© x4 + 2x3 − 11x2 − 12x+ 36 = (x− 2)2 · (x+ 3)2

x3 + 17x2 − 1

(((((((

(((((((

(

x4 + 2x3 − 11x2 − 12x+ 36= A

x− 2 + B

(x− 2)2 + C

x+ 3 + D

(x+ 3)2

= A(x− 2) · (x+ 3)2 +B(x+ 3)2 + C(x− 2)2 · (x+ 3) +D(x− 2)2

(((((((

(((((((

(

x4 + 2x3 − 11x2 − 12x+ 36

=⇒

〈x = 2 〉 75 = 25B ⇒ B = 3〈x = −3 〉 125 = 25D ⇒ D = 5〈x3 〉 1 = A+ C ⇒ C = −1〈 t.i. 〉 − 1 = −18A+ 9B + 12C + 4D ⇒ A = 2

6∫ 3x+ 1x3 − x2 − x+ 1 dx

∗©=∫ −1/2

x+ 1 dx+∫ 1/2

x− 1 dx+∫ 2

(x− 1)2 dx ={u = x− 1du = dx

}

= −12 · ln |x+ 1|+ 1

2 · ln |x− 1|+∫ 2u2 du = −1

2 · ln |x+ 1|+ 12 · ln |x− 1|+ 2u−1

−1 +C

= −12 · ln |x+ 1|+ 1

2 · ln |x− 1| − 2x− 1 + C



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∗© x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1) · (x− 1)2

3x+ 1(((

((((((

x3 − x2 − x+ 1= A

x+ 1 + B

(x− 1) + C

(x− 1)2

= A(x− 1)2 +B(x+ 1) · (x− 1) + C(x+ 1)(((

((((((

x3 − x2 − x+ 1

=⇒

〈x = −1 〉 − 2 = 4A ⇒ A = −1/2〈x = 1 〉 4 = 2C ⇒ C = 2〈 t.i. 〉 1 = A−B + C ⇒ B = 1/2

7∫ 2x2 − 3x3 + x2 − 8x− 12 dx

∗©=∫ 3/5

x− 3 dx+∫ 7/5

x+ 2 dx+∫ −1

(x+ 2)2 dx ={u = x+ 2du = dx

}

= 35 · ln |x− 3|+ 7

5 · ln |x+ 2| −∫ 1u2 du = 3

5 · ln |x− 3|+ 75 · ln |x+ 2| − u−1

−1 + C

= 35 · ln |x− 3|+ 7

5 · ln |x+ 2|+ 1x+ 2 + C

∗© x3 + x2 − 8x− 12 = (x− 3) · (x+ 2)2

2x2 − 3

((((((((

((x3 + x2 − 8x− 12

= A

x− 3 + B

(x+ 2) + C

(x+ 2)2

= A(x+ 2)2 +B(x− 3) · (x+ 2) + C(x− 3)

((((((((

((x3 + x2 − 8x− 12

=⇒

〈x = −2 〉 5 = −5C ⇒ C = −1〈x = 3 〉 15 = 25A ⇒ A = 3/5〈x2 〉 2 = A+B ⇒ B = 7/5

8∫ 4x+ 5x4 − x3 − 2x2 dx

∗©=∫ −1/3

x+ 1 dx+∫ 13/12

x− 2 dx+∫ −3/4

xdx+

∫ −5/2

x2 dx

= −13 · ln |x+ 1|+ 13

12 · ln |x− 2| − 34 ln |x|+ 5

2x + C

∗© x4 − x3 − 2x2 = x2 · (x+ 1) · (x− 2)4x+ 5

((((((((x4 − x3 − 2x2 = A

x+ 1 + B

x− 2 + C

x+ D

x2

= Ax2 · (x− 2) +Bx2 · (x+ 1) + Cx · (x+ 1) · (x− 2) +D(x+ 1) · (x− 2)((((

((((x4 − x3 − 2x2

=⇒

〈x = −1 〉 1 = −3A ⇒ A = −1/3〈x = 2 〉 13 = 12B ⇒ B = 13/12〈x = 0 〉 5 = −2D ⇒ D = −5/2〈x 〉 4 = −2C −D ⇒ C = −3/4


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9∫ 5x− 8x3 − 4x2 − 3x+ 18 dx

∗©=∫ −18/25

x+ 2 dx+∫ 18/25

x− 3 dx+∫ 7/5

(x− 3)2 dx

={u = x− 3du = dx

}= −18

25 · ln |x+ 2|+ 1825 · ln |x− 3|+

∫ 7/5

u2 du

= −1825 · ln |x+ 2|+ 18

25 · ln |x− 3|+ 7u−1

−5 + C

= −1825 · ln |x+ 2|+ 18

25 · ln |x− 3| − 75(x− 3) + C

∗© x3 − 4x2 − 3x+ 18 = (x+ 2) · (x− 3)2

5x− 8

((((((((

((x3 − 4x2 − 3x+ 18

= A

x+ 2 + B

x− 3 + C

(x− 3)2

= A(x− 3)2 +B(x+ 2) · (x− 3) + C(x+ 2)

((((((((

((x3 − 4x2 − 3x+ 18

=⇒

〈x = −2 〉 − 18 = 25A ⇒ A = −18/25〈x = 3 〉 7 = 5C ⇒ C = 7/5〈 t.i. 〉 − 8 = 9A− 6B + 2C ⇒ B = 18/25

10∫ x− 2x4 − 5x3 + 7x2 − 3x dx

∗©=∫ 2/3

xdx+

∫ 1/12

x− 3 dx+∫ −3/4

x− 1 dx+∫ 1/2

(x− 1)2 dx

={u = x− 1du = dx

}= 2

3 · ln |x|+112 · ln |x− 3| − 3

4 ln |x− 1|+∫ 1/2

u2 du

= 23 · ln |x|+

112 · ln |x− 3| − 3

4 ln |x− 1|+ u−1

−2 + C

= 23 · ln |x|+

112 · ln |x− 3| − 3

4 ln |x− 1| − 12(x− 1) + C

∗© x4 − 5x3 + 7x2 − 3x = (x+ 2) · (x− 3)2

x− 2

((((((((

(((x4 − 5x3 + 7x2 − 3x

= A

x+ B

x− 3 + C

x− 1 + D

(x− 1)2

= A(x− 3) · (x− 1)2 +Bx · (x− 1)2 + Cx · (x− 3) · (x− 1) +Dx · (x− 3)

((((((((

(((x4 − 5x3 + 7x2 − 3x

=⇒

〈x = 0 〉 − 2 = −3A ⇒ A = 2/3〈x = 3 〉 1 = 12B ⇒ B = 1/12〈x = 1 〉 − 1 = −2D ⇒ D = 1/2〈x 〉 1 = 7A+B + 3C − 3D ⇒ C = −3/4



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3.4. Raices complejas

Supongamos que tenemos una integral∫ P (x)Q(x) dx, en donde grado P (x) < grado Q(x)

y cuyo denominador tiene unicamente raıces complejas.Ilustraremos la explicacion con varios ejemplos en donde mostraremos las dificultades quenos podemos encontrar en este tipo de integrales.∫ 6

9x2 + 1 dx∗©=

Analizando el discriminante del denominador: ∆ < 0, luego tiene raıces complejas

∗© 9x2 + 1 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −36 < 0

Como en el numerador tenemos una constante (que sacaremos fuera de la integral), elresultado va a ser una arcotangente. Necesitamos que el denominador tenga la pinta1 + 22. El 1 ya lo tenemos, el cuadrado lo conseguimos haciendo

(√9x2

)2= (3x)2.

∫ 69x2 + 1 dx

∗©= 6∫ 1

(3x)2 + 1dx

Para que sea una arcotangente tenemos que ponerla como u′

1 + u2 . La derivada de u = 3x

es u′ = 3 ası que lo ponemos en el numerador y sacamos fuera de la integral 13∫ 6

9x2 + 1 dx∗©= 6

∫ 1(3x)2 + 1

dx = 6 · 13

∫ 3(3x)2 + 1

dx

Cuyo resultado es arctan u∫ 69x2 + 1 dx

∗©= 6∫ 1

(3x)2 + 1dx = �62 · 1

�3

∫ 3(3x)2 + 1

dx = 2 · arctan (3x) + C

Vamos a ver otro ejemplo.∫ 625x2 + 9 dx

∗©=

Analizamos el discriminante

∗© 25x2 + 9 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −900 < 0

Para obtener en el denominador 1 + 22 dividimos numerador y denominador por 9∫ 625x2 + 9 dx

∗©=∫ 6/9

25x2

9 + 1dx

Sacamos fuera de la integral 69 = 2

3 y escribimos 25x2

9 =(√

25x2

9

)2=(

5x3

)2

∫ 625x2 + 9 dx

∗©==∫ 6/9

25x2

9 + 1dx = 2

3

∫ 1(5x3

)2+ 1

dx


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y ”ponemos” y ”quitamos” la derivada de u = 5x3∫ 6

25x2 + 9 dx∗©==

∫ 6/925x2

9 + 1dx = 2

3

∫ 1(5x3

)2+ 1

dx = 23 ·

35

∫ 5/3(5x3

)2+ 1

dx

cuya derivada es arctan u∫ 625x2 + 9 dx

∗©==∫ 6/9

25x2

9 + 1dx = 2

3

∫ 1(5x9

)2+ 1

dx = 2�3· �35

∫ 5/3(5x3

)2+ 1

dx

= 25 · arctan

(5x3

)+ C

Sigamos complicando las cosas:∫ 2x− 53x2 + 4 dx =

El numerador es un polinomio de primer grado ası que partiremos la integral en dos yaque el resultado sera un logaritmo y una arcotangente∫ 2x− 5

3x2 + 4 dx =∫ 2x

3x2 + 4 dx−∫ 5

3x2 + 4 dx = �2 ·1�63

∫ 6x3x2 + 4 dx+

∫ 53x2 + 4 dx

Resolvemos la integral logaritmica y conseguimos en el denominador de la segunda 22 +1

= 13 · ln

∣∣∣3x2 + 4∣∣∣+ 5

∫ 1/43x2

4 + 1dx = 1

3 · ln∣∣∣3x2 + 4

∣∣∣+ 5∫ 1/4(√

3x2

4

)2+ 1

dx

= 13 · ln

∣∣∣3x2 + 4∣∣∣+ 5

∫ 1/4(√3x2

)2+ 1

dx

Obtenemos en el numerador la derivada de u =√

3x2 y resolvemos

= 13 · ln

∣∣∣3x2 + 4∣∣∣+ 5 · 1

�42 ·�2√3

∫ √3/2(√

3x2

)2+ 1

dx

= 13 · ln

∣∣∣3x2 + 4∣∣∣+ 5

2√

3· arctan

(√3x2

)+ C

Y ahora la traca final:∫ 5x2 − 12x+ 4x2 − 2x+ 6 dx

•©=

Como grado P (x) ≥ grado Q(x) dividimos y separamos en dos integrales

=∫

5 dx+∫ −2x− 26x2 − 2x+ 6 dx

•© 5x2 − 2x+ 6

)5x2 − 12x + 4− 5x2 + 10x− 30

− 2x− 26



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∫ 5x2 − 12x+ 4x2 − 2x+ 6 dx

•©=∫

5 dx+∫ −2x− 26x2 − 2x+ 6 dx

La primera integral es inmediata, mientras que la segunda (que tiene un polinomio deprimer grado en el numerador) sera la suma de un logaritmo y una arcotangente. ”Apanar”el logaritmo va a ser mas trabajoso porque el polinomio de segundo grado del denominadores completo. Para ello nos fijamos en el termino de segundo grado (x2) y vemos que suderivada es 2x ası que en el numerador sacare el menos delante de la integral

= 5x−∫ 2x+ 26x2 − 2x+ 6 dx

Pero para que sea un logaritmo tengo que tener arriba la derivada de x2− 2x+ 26 que es2x− 2. Aunque aquı es muy sencillo te recomiendo que sumes y restes lo que necesitas

= 5x−∫ u′︷︸︸︷

2x− 2 +28︷︸︸︷

2 + 26x2 − 2x+ 6 dx

y partimos en dos integrales, una sera el logaritmo y la otra la arcotangente

= 5x−∫ 2x− 2x2 − 2x+ 6 dx−

∫ 28x2 − 2x+ 6 dx = 5x− ln

∣∣∣x2 − 2x+ 6∣∣∣− ∫ 28

x2 − 2x+ 6 dx

Transformamos el denominador en un cuadrado perfecto fijandonos en el doble producto−2x. Te sobrara algo pero no importa. Ahora conseguimos 22 + 1 y el proceso sigue igual

= 5x− ln∣∣∣x2 − 2x+ 6

∣∣∣− ∫ 28(x− 1)2 + 5

dx

= 5x− ln∣∣∣x2 − 2x+ 6

∣∣∣− 28∫ 1/5

(x−1)2

5 + 1dx

= 5x− ln∣∣∣x2 − 2x+ 6

∣∣∣− 285 ·√

5 ·∫ 1/

√5(

x−1√5

)2+ 1

dx

= 5x− ln∣∣∣x2 − 2x+ 6

∣∣∣− 28√

55 arctan

(x− 1√

5

)+ C


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3.4.1. Ejercicios resueltos. Raıces complejas.

1∫ x4 − 5x2 + 3x− 4

x2 + 1 dx

2∫ x

x4 + 2x2 + 2 dx

3∫ 1x2 + x+ 1 dx

4∫ 3x− 4x2 + 2x+ 4 dx

5∫ 1x2 + 2x+ 2 dx

6∫ 3x2 + 4 dx

7∫ −5x+ 3

9 + x2 dx

8∫ 3x− 5

4 + 9x2 dx

9∫ 4x4 + 12x3 + x2 + 30x− 17

9 + 4x2 dx

10∫ x− 1x2 + 2x+ 2 dx

11∫ x

x2 + 2x+ 17 dx

12∫ x+ 1x2 + x+ 1 dx

13∫ 3x+ 9x2 − 2x+ 2 dx



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Solucion.

1∫ x4 − 5x2 + 3x− 4

x2 + 1 dx•©=∫

(x2−6) dx+∫ 3x+ 2x2 + 1 dx

∗©= x3

3 −6x+32

∫ 23 · (3x+ 2)x2 + 1 dx

= x3

3 − 6x+ 32

∫ 2x+ 43

x2 + 1 dx = x3

3 − 6x+ 32

∫ 2xx2 + 1 dx+ 3

2

∫ 43

x2 + 1 dx

= x3

3 − 6x+ 32 ln

∣∣∣x2 + 1∣∣∣+ 2 · arctan x+ C

•© x2 − 6x2 + 1

)x4 − 5x2 + 3x− 4

− x4 − x2

− 6x2 + 3x− 46x2 + 6

3x + 2

∗© x2 + 1 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −4 < 0 (Raıces complejas)

2∫ x

x4 + 2x2 + 2 dx = u = x2

du = 2x⇒ 12x du = dx

=∫

�x

u2 + 2u+ 2 ·1

2�xdu

∗©= 12

∫ 1(u+ 1)2 + 1 du =

{t = u+ 1dt = du

}= 1

2

∫ 1t2 + 1 dt = 1

2 · arctan t+ C

= 12 · arctan (1 + u) + C = 1

2 · arctan (1 + x2) + C

∗© u2 + 2u+ 2 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −4 < 0 (Raıces complejas)

3∫ 1x2 + x+ 1 dx

∗©=∫ 1(

x+ 12

)2+ 3

4

dx =∫ 4

343 ·(x+ 1

2

)2+ 1

dx

= 43

∫ 1[2√3 ·(x+ 1

2

)]2+ 1

dx =

u = 2√

3·(x+ 1

2

)du = 2√

3dx⇒

√3

2 du = dx

= ��

243

∫ 1u2 + 1 ·

√3�2du = 2

√3

3

∫ 1u2 + 1 du = 2

√3

3 · arctan u+ C

= 2√

33 · arctan

[2√3·(x+ 1

2

)]+ C = 2

√3

3 · arctan(

2x√3

+ 1√3

)+ C

∗© x2 + x+ 1 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −3 < 0 (Raıces complejas)

4∫ 3x− 4x2 + 2x+ 4 dx

∗©=∫ 3x− 4x2 + 2x+ 4 dx = 3

2

∫ 23 · (3x− 4)x2 + 2x+ 4 dx

= 32

∫ 2x− 83 + 2− 2

x2 + 2x+ 2 dx = 32

∫ 2x+ 2x2 + 2x+ 4 dx+ 3

2

∫ −143

x2 + 2x+ 4 dx


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= 32 · ln

∣∣∣x2 + 2x+ 4∣∣∣− 7

∫ 113 · (x+ 1)2 + 1

dx

= 32 · ln

∣∣∣x2 + 2x+ 4∣∣∣− 7

3

∫ 1(x+1√

3

)2+ 1

dx =

u = x+ 1√

3du = 1√

3dx⇒

√3 du = dx

= 3

2 · ln∣∣∣x2 + 2x+ 4

∣∣∣− 73

∫ 1u2 + 1 ·

√3 du = 3

2 · ln∣∣∣x2 + 2x+ 4

∣∣∣− 7√

33 ·arctan u+C

= 32 · ln

∣∣∣x2 + 2x+ 4∣∣∣− 7

√3

3 · arctan(x+ 1√

3

)+ C

∗© x2 + 2x+ 4 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −12 < 0 (Raıces complejas)

5∫ 1x2 + 2x+ 2 dx

∗©=∫ 1

(x+ 1)2 + 1dx =

{u = x+ 1du = dx

}

=∫ 1u2 + 1 dx = arctan u+ C = arctan (x+ 1) + C


6∫ 3x2 + 4 dx

∗©=∫ 1

4 · 314 · x2 + 1 dx = 3

4

∫ 1(x2

)2+ 1

dx =

u = x

2du = 1

2 dx⇒ 2 du = dx

= 3

4

∫ 1u2 + 1 · 2 du = 3

2 · arctan u+ C = 32 · arctan

(x

2

)+ C

∗© x2 + 4 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −16 < 0 (Raıces complejas)

7∫ −5x+ 3

9 + x2 dx∗©= −5

∫ x

9 + x2 dx+3∫ 1

9 + x2 dx =

u = 9 + x2

du = 2x dx⇒ 12x du = dx

= −5

∫�x

u· 1

2�xdu+ 3

∫ 19

1 + x2

9dx = −5

2 · ln u+ 13

∫ 11 +

(x3

)2 dx

=

v = x

3dv = 1

3 dx⇒ 3 dv = dx

= −52 · ln

∣∣∣9 + x2∣∣∣+ 1�3

∫ 11 + v2 · �3 dv

= −52 · ln

∣∣∣9 + x2∣∣∣+ arctan v + C = −5

2 · ln∣∣∣9 + x2

∣∣∣+ arctan(x

3

)+ C

∗© 9 + x2 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −36 < 0 (Raıces complejas)

8∫ 3x− 5

4 + 9x2 dx∗©= 1

6

∫ 6 · (3x− 5)4 + 9x2 dx = 1

6

∫ 18x− 304 + 9x2 dx

= 16

∫ 18x4 + 9x2 dx− 5

∫ 14 + 9x2 dx =

u = 4 + 9x2




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= 16

∫��18xu· 1��18x du− 5

∫ 14

1 + 9x2

4dx = 1

6 · ln u−54

∫ 11 +

(3x2

)2 dx

=

v = 3x

2dv = 3

2 dx⇒23 dv = dx

= 16 · ln

∣∣∣4 + 9x2∣∣∣− 5�42

∫ 11 + v2 ·

�23 dv

= 16 · ln

∣∣∣4 + 9x2∣∣∣− 5

6 · arctan v + C = 16 · ln

∣∣∣4 + 9x2∣∣∣− 5

6 · arctan(3x

2

)+ C

∗© 4 + 9x2 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −144 < 0 (Raıces complejas)

9∫ 4x4 + 12x3 + x2 + 30x− 17

9 + 4x2 dx•©=∫ (

x2 + 3x− 2)dx+

∫ 3x+ 19 + 4x2 dx

∗©= x3

3 + 3x2

2 − 2x+∫ 3x

9 + 4x2 dx+∫ 1

9 + 4x2 dx =

u = 9 + 4x2


= x3

3 + 3x2

2 − 2x+∫ 3�x

u· 1

8�xdu+

∫ 19

1 + 4x2

9dx

= x3

3 + 3x2

2 − 2x+ 38 · ln u+ 1

9

∫ 11 +

(2x3

)2 dx =

v = 2x

3dv = 2

3 dx⇒32 dv = dx

= x3

3 + 3x2

2 − 2x+ 38 · ln

∣∣∣9 + 4x2∣∣∣+ 1�93

∫ 11 + v2 ·

�32 dv

= x3

3 + 3x2

2 − 2x+ 38 · ln

∣∣∣9 + 4x2∣∣∣+ 1

6 · arctan v + C

= x3

3 + 3x2

2 − 2x+ 38 · ln

∣∣∣9 + 4x2∣∣∣+ 1

6 · arctan(2x

3

)+ C

•© x2 + 3x − 24x2 + 9

)4x4 + 12x3 + x2 + 30x− 17

− 4x4 − 9x2

12x3 − 8x2 + 30x− 12x3 − 27x

− 8x2 + 3x− 178x2 + 18

3x + 1

∗© 9 + 4x2 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −144 < 0 (Raıces complejas)

10∫ x− 1x2 + 2x+ 2 dx

∗©= 12

∫ 2(x− 1)x2 + 2x+ 2 dx = 1

2

∫ 2x− 2x2 + 2x+ 2 dx

= 12

∫ 2x− 2 + 2− 2x2 + 2x+ 2 dx = 1

2

∫ 2x+ 2x2 + 2x+ 2 dx+ 1

2

∫ −4x2 + 2x+ 2 dx


http

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om

=

u = x2 + 2x+ 2

du = (2x+ 2) dx⇒ 12x+ 2 du = dx

= 1

2

∫��

�2x+ 2u· 1��

��2x+ 2 du− 2∫ 1

(x+ 1)2 + 1 dx ={v = x+ 1dv = dx

}

= 12 · ln u− 2

∫ 1v2 + 1 dv = 1

2 · ln∣∣∣x2 + 2x+ 2

∣∣∣− 2 · arctan v + C

= 12 · ln

∣∣∣x2 + 2x+ 2∣∣∣− 2 · arctan (x+ 1) + C


11∫ x

x2 + 2x+ 17 dx∗©= 1

2

∫ 2xx2 + 2x+ 17 dx = 1

2

∫ 2x+ 2− 2x2 + 2x+ 17 dx

= 12

∫ 2x+ 2x2 + 2x+ 17 dx−

∫ 1x2 + 2x+ 17 dx

=

u = x2 + 2x+ 17

du = (2x+ 2) dx⇒ 12x+ 2 du = dx

= 1

2

∫��

�2x+ 2u· 1��

��2x+ 2 du−∫ 1

(x+ 1)2 + 16 dx = 12 · ln u−

∫ 116

(x+1)2

16 + 1dx

= 12 · ln

∣∣∣x2 + 2x+ 17∣∣∣− ∫ 1

16(x+1

4

)2+ 1

dx =

v = x+ 1

4dv = 1

4 dx⇒ 4 dv = dx

= 1

2 · ln∣∣∣x2 + 2x+ 17

∣∣∣− 1��164

∫ 1v2 + 1 · �4 dv = 1

2 · ln∣∣∣x2 + 2x+ 17

∣∣∣− 14 · arctan v+C

= 12 · ln

∣∣∣x2 + 2x+ 17∣∣∣− 1

4 · arctan(x+ 1

4

)+ C


12∫ x+ 1x2 + x+ 1 dx = 1

2∫ 2(x+1)

x2+x+1 dx= 1

2

∫ 2x+ 2x2 + x+ 1 dx

= 12

∫ 2x+ 1x2 + x+ 1 dx+ 1

2

∫ 1x2 + x+ 1 dx

∗©={u = x2 + x+ 1du = (x+ 1) dx⇒ 1

2x+1 du = dx

}

= 12

∫ 2��2x+ 1u· 1��

�2x+ 1 du+12

∫ 1(x+ 1

2

)2+ 3

4

dx = 12

∫ 1udu+1

2

∫ 43

43

(x+ 1

2

)2+ 3

4

dx

= 12 · ln u+ 2

3

∫ 1(2x+1√

3

)2+ 1

dx =

v = 2x+ 1√

3dv = 2 2√

3dx⇒

√3

2 dv = dx

= 1

2 · ln∣∣∣x2 + x+ 1

∣∣∣+ �23

∫ 1v2 + 1 ·

√3�2dv = 1

2 · ln∣∣∣x2 + x+ 1

∣∣∣+ √33 · arctan v + C



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= 12 · ln

∣∣∣x2 + x+ 1∣∣∣+ √3

3 · arctan(

2x+ 1√3

)+ C

∗© x2 + x+ 1 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −3 < 0 (Raıces complejas)

13∫ 3x+ 9x2 − 2x+ 2 dx = 3

2

∫ 2(x+ 3)x2 − 2x+ 2 dx = 3

2

∫ 2x+ 6x2 − 2x+ 2 dx

= 32

∫ 2x+ 6− 2 + 2x2 − 2x+ 2 dx = 3

2

∫ 2x− 2x2 − 2x+ 2 dx+ 12

∫ 1x2 − 2x+ 2 dx

∗©=

u = x2 − 2x+ 2

du = (2x− 2) dx⇒ 12x− 2 du = dx

= 32

∫��

�2x− 2u· 1��

�2x− 2 du

+ 12∫ 1

(x− 1)2 + 1dx =

{v = x− 1dv = dx

}= 3

2 · ln u+ 12∫ 1v2 + 1 dx

= 32 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 2∣∣∣+12 ·arctan v+C = 3

2 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 2

∣∣∣+12 ·arctan (x− 1)+C

∗© x2 − 2x+ 2 =⇒ ∆ = b2 − 4ac = −4 < 0 (Raıces complejas)


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´´

3.5. Raices reales y complejas

Como introduccion a esta seccion vamos a hacer un ejercicio completo explicado pasoa paso:∫ x6 + 2x5 − 3x4 − 12x3 + x2 + 36x− 61

x4 + 2x3 − 10x+ 7 dx•©=

Como grado P (x) ≥ grado Q(x) dividimos los polinomios

•©=∫ (

x2 − 3)dx︸︷︷︸

I1

+∫ 4x3 − 6x2 + 6x− 40

x4 + 2x3 − 10x+ 7 dx︸︷︷︸I2

Hallaremos ambas integrales por separado

•© x2 − 3x4 + 2x3 − 10x+ 7

)x6 + 2x5 − 3x4 − 12x3 + x2 + 36x− 61

− x6 − 2x5 + 10x3 − 7x2

− 3x4 − 2x3 − 6x2 + 36x− 613x4 + 6x3 − 30x + 21

4x3 − 6x2 + 6x− 40

I1 =∫ (

x2 − 3)dx = x3

3 − 3x+ C

I2 =∫ 4x3 − 6x2 + 6x− 40

x4 + 2x3 − 10x+ 7 dx∗©=∫ 2x− 1 dx+

∫ −3(x− 1)2 dx+

∫ 2x− 5x2 + 4x+ 7 dx

Resolvemos las integrales logarıtmica y potencial y preparamos la ultima integral parasepararla en logaritmo y arcotangente

= 2 · ln |x− 1| − 3∫

(x− 1)−2 dx+∫ 2x+ 4− 9x2 + 4x+ 7 dx

= 2 · ln |x− 1| − 3 · (x− 1)−1

−1 +∫ 2x+ 4x2 + 4x+ 7 dx+

∫ −9x2 + 4x+ 7 dx

= 2 · ln |x− 1|+ 3x− 1 + ln

∣∣∣x2 + 4x+ 7∣∣∣− 9

∫ 1(x+ 2)2 + 3 dx

= 2 · ln |x− 1|+ 3x− 1 + ln

∣∣∣x2 + 4x+ 7∣∣∣− 9

∫ 1/3(x+2)2

3 + 1dx

= 2 · ln |x− 1|+ 3x− 1 + ln

∣∣∣x2 + 4x+ 7∣∣∣− �93

�3·√

3 ·∫ 1/

√3(

x+2√3

)2+ 1

dx

= 2 · ln |x− 1|+ 3x− 1 + ln

∣∣∣x2 + 4x+ 7∣∣∣− 3√

3 · arctan(x+ 2√

3

)+ C



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∗© x4 + 2x3 − 10x+ 7 = (x− 1)2 · (x2 + 4x+ 7)

4x3 − 6x2 + 6x− 40

((((((((

((x4 + 2x3 − 10x+ 7

= A

x− 1 + B

(x− 1)2 + Mx+N

x2 + 4x+ 7

= A(x− 1) · (x2 + 4x+ 7) +B(x2 + 4x+ 7) + (Mx+N) · (x− 1)2

(((((((

(((x4 + 2x3 − 10x+ 7

=⇒

〈x = 1 〉 − 36 = 12B ⇒ B = −3〈x3 〉 4 = A+M ⇒ A = 2〈x2 〉 − 6 = 3A+B +−2M +N ⇒M = 2〈 t.i. 〉 − 40 = −7A+ 7B +N ⇒ N = −5

Juntando las dos integrales tendremos finalmente:

I =∫ x6 + 2x5 − 3x4 − 12x3 + x2 + 36x− 61

x4 + 2x3 − 10x+ 7 dx = I1 + I2

= x3

3 − 3x+ 2 · ln |x− 1|+ 3x− 1 + ln

∣∣∣x2 + 4x+ 7∣∣∣− 3√

3 · arctan(x+ 2√

3

)+ C


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3.5.1. Ejercicios resueltos. Raıces reales y complejas.

1∫ 1x4 − 1 dx

2∫ 1x3 − 1 dx

3∫ −2x3 + 3x2 + 50x− 27

5x4 − 25x3 + 33x2 − 15x+ 18 dx

4∫ 5x2 − 15x+ 26x3 − 5x2 + 16x− 30 dx

5∫ −x2 − x+ 6x3 − 3x2 + 7x− 5 dx

6∫ 2x− 3x3 − 2x2 + 3x dx

7∫ 2x2 + 3

x3 + 8 dx

8∫ x2 − 11x+ 70x3 − 2x2 + 12x+ 40 dx

9∫ 5x2 + 9x+ 8x3 + 4x2 + 9x+ 10 dx

10∫ x

3x5 − 6x2 − 27x− 18 dx



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Solucion.

1∫ 1x4 − 1 dx

∗©=∫ 1/4

x+ 1 dx+∫ −1/4

x+ 1 dx+∫ −1/2

x2 + 1 dx

= 14 · ln |x− 1| − 1

4 · ln |x+ 1| − 12

∫ 1x2 + 1 dx

= 14 · ln |x− 1| − 1

4 · ln |x+ 1| − 12 · arctan x+ C

∗© x4 − 1 = (x2 − 1) · (x2 + 1) = (x− 1) · (x+ 1) · (x2 + 1)1

��x4 − 1 = A

x− 1 + B

x+ 1 + Mx+N

x2 + 1

= A(x+ 1) · (x2 + 1) +B(x− 1) · (x2 + 1) + (Mx+N) · (x− 1) · (x+ 1)��

�x4 − 1

=⇒

〈x = −1 〉 1 = −4B ⇒ B = −1/4〈x = 1 〉 1 = 4A ⇒ A = 1/4〈x3 〉 0 = A+B +M ⇒M = 0〈x2 〉 0 = A−B +N ⇒ N = −1/2

2∫ 1x3 − 1 dx

∗©=∫ 1/3

x− 1 dx+∫ −1

3x−23

x2 + x+ 1 dx = 13 · ln |x− 1|− 1

3 ·12

∫ 2 · (x+ 2)x2 + x+ 1 dx

= 13 · ln |x− 1| − 1

6

∫ 2x+ 4x2 + x+ 1 dx = 1

3 · ln |x− 1| − 16

∫ 2x+ 1x2 + x+ 1 dx

− 16

∫ 3x2 + x+ 1 dx =

u = x2 + x+ 1

du = (2x+ 1) dx⇒ 12x+ 1 du = dx

= 1

3 · ln |x− 1| − 16

∫��

�2x+ 1u· 1��

�2x+ 1 du−12

∫ 1(x+ 1

2

)2+ 3

4

dx

= 13 · ln |x− 1| − 1

6 · ln |u| −12

∫ 4/3

43 ·(x+ 1

2

)2+ 1

dx = 13 · ln |x− 1|

− 16 · ln

∣∣∣x2 + x+ 1∣∣∣− 1

2

∫ 4/3(2x+1√

3

)2+ 1

dx =

v = 2x+ 1√

3

dv = 2√3dx⇒

√3

2 dv = dx

= 1

3 · ln |x− 1| − 16 · ln

∣∣∣x2 + x+ 1∣∣∣− �23

∫ 1v2 + 1 ·

√3�2dv

= 13 · ln |x− 1| − 1

6 · ln∣∣∣x2 + x+ 1

∣∣∣− √33 · arctan v + C

= 13 · ln |x− 1| − 1

6 · ln∣∣∣x2 + x+ 1

∣∣∣− √33 · arctan

(2x+ 1√

3

)+ C


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∗© x3 − 1 = (x− 1) · (x2 + x+ 1)1

��x3 − 1 = A

x− 1 + Mx+N

x2 + x+ 1 = A(x2 + x+ 1) + (Mx+N) · (x− 1)��

�x3 − 1

=⇒

〈x = 1 〉 1 = 3A ⇒ A = 1/3〈x2 〉 0 = A+M ⇒M = −1/3〈 t.i. 〉 1 = A−N ⇒ N = −2/3

3∫ −2x3 + 3x2 + 50x− 27

5x4 − 25x3 + 33x2 − 15x+ 18 dx∗©=∫ −3x− 2 dx+

∫ 2x− 3 dx+

∫ 3x− 75x2 + 3 dx

= −3 · ln |x− 2|+ 2 · ln |x− 3|+∫ 3x

5x2 + 3 dx+∫ −7

5x2 + 3 dx

= u = 5x2 + 3du = 10x dx⇒ 1

10x du = dx

= −3 · ln |x− 2|+ 2 · ln |x− 3|+

∫ 3�xu· 1

10�xdx− 7

∫ 15x2 + 3 dx

= −3 · ln |x− 2|+ 2 · ln |x− 3|+ 310 · ln

∣∣∣5x2 + 3∣∣∣− 7

3

∫ 1(√5√3x)2

+ 1dx

=

v =

√5√3x

dv =√

53 dx⇒

√35 dv = dx

= −3 · ln |x− 2|+ 2 · ln |x− 3|+ 3

10 · ln∣∣∣5x2 + 3

∣∣∣− 73

∫ 1v2 + 1

√35 dx

= −3 · ln |x− 2|+ 2 · ln |x− 3|+ 310 · ln

∣∣∣5x2 + 3∣∣∣− 7

√3

3√

5· arctan v + C

= −3 · ln |x− 2|+ 2 · ln |x− 3|+ 310 · ln

∣∣∣5x2 + 3∣∣∣− 7

√3

3√

5· arctan

√53x+ C

∗© 5x4 − 25x3 + 33x2 − 15x+ 18 = (x− 2) · (x− 3) · (5x2 + 3)−2x3 + 3x2 + 50x− 27

((((((((

(((((((

(

5x4 − 25x3 + 33x2 − 15x+ 18= A

x− 2 + B

x− 3 + Mx+N

5x2 + 3

= A(x− 3) · (5x2 + 3) +B(x− 2) · (5x2 + 3) + (Mx+N) · (x− 2) · (x− 3)

(((((((

(((((((

((

5x4 − 25x3 + 33x2 − 15x+ 18

=⇒

〈x = 2 〉 69 = −23A ⇒ A = −3〈x = 3 〉 96 = 48B ⇒ B = 2〈x2 〉 3 = −15A− 10B − 5M +N ⇒M = 3〈 t.i. 〉 − 27 = −9A− 6B + 6N ⇒ N = −7



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4∫ 5x2 − 15x+ 26x3 − 5x2 + 16x− 30 dx

∗©=∫ 2x− 3 dx+

∫ 3dx− 2x2 − 2x+ 10 dx

= 2 · ln |x− 3|+ 3 · 12

∫ 2 ·(x− 2

3

)x2 − 2x+ 10 dx = 2 · ln |x− 3|+ 3

2

∫ 2x− 43 − 2 + 2

x2 − 2x+ 10 dx

= 2 · ln |x− 3|+ 32

∫ 2x− 2x2 − 2x+ 10 dx+ 3

2

∫ 2/3

x2 − 2x+ 10 dx

= u = x2 − 2x+ 10du = (2x− 2) dx⇒ 1

2x− 2 du = dx

= 2 · ln |x− 3|+ 3

2

∫��

�2x− 2u· 1��

��2x− 2 du+∫ 1

(x− 1)2 + 9dx

= 2 · ln |x− 3|+ 32 · ln u+

∫ 1/9(x−1)2

9 + 1dx

= 2 · ln |x− 3|+ 32 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 10∣∣∣+ 1

9

∫ 1(x−1

3

)2+ 1

dx

=

v = x− 1

3dv = 1

3 dx⇒ 3 dv = dx

= 2 · ln |x− 3|+ 3

2 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 10

∣∣∣+ 19

∫ 1v2 + 1 · 3 dv

= 2 · ln |x− 3|+ 32 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 10∣∣∣+ 1

3 · arctan v + C

= 2 · ln |x− 3|+ 32 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 10∣∣∣+ 1

3 · arctan(x− 1

3

)+ C

∗© x3 − 5x2 + 16x− 30 = (x− 3) · (x2 − 2x+ 10)5x2 − 15x+ 26

(((((((

((((x3 − 5x2 + 16x− 30

= A

x− 3 + Mx+N

x2 − 2x+ 10

= A(x2 − 2x+ 10) + (Mx+N) · (x− 3)

(((((((

((((x3 − 5x2 + 16x− 30

=⇒

〈x = 3 〉 26 = 13A ⇒ A = 2〈x2 〉 5 = A+M ⇒M = 3〈 t.i. 〉 26 = 10A− 3N ⇒ N = −2

5∫ −x2 − x+ 6x3 − 3x2 + 7x− 5 dx

∗©=∫ 1x− 1 dx+

∫ −2x− 1x2 − 2x+ 5 dx = ln |x− 1|

−∫ 2x− 2 + 3x2 − 2x+ 5 dx = ln |x− 1| −

∫ 2x− 2x2 − 2x+ 5 dx−

∫ 3x2 − 2x+ 5 dx

= ln |x− 1| − ln∣∣∣x2 − 2x+ 5

∣∣∣− ∫ 3(x− 1)2 + 4

dx = ln |x− 1| − ln∣∣∣x2 − 2x+ 5

∣∣∣


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−∫ 3/4

(x−1)2

4 + 1dx = ln |x− 1| − ln

∣∣∣x2 − 2x+ 5∣∣∣− 3

4

∫ 1(x−1

2

)2+ 1

dx

=

u = x− 1

2du = 1

2 dx⇒ 2 du = dx

= ln |x− 1| − ln

∣∣∣x2 − 2x+ 5∣∣∣− 3�42

∫ 1u2 + 1 · �2 du = ln |x− 1| − ln

∣∣∣x2 − 2x+ 5∣∣∣

− 32 · arctan u+ C = ln |x− 1| − ln

∣∣∣x2 − 2x+ 5∣∣∣− 3

2 · arctan(x− 1

2

)+ C

∗© x3 − 3x2 + 7x− 5 = (x− 1) · (x2 − 2x+ 5)−x2 − x+ 6

(((((((

(((x3 − 3x2 + 7x− 5

= A

x− 1 + Mx+N

x2 − 2x+ 5

= A(x2 − 2x+ 5) + (Mx+N) · (x− 1)

((((((((

((x3 − 3x2 + 7x− 5

=⇒

〈x = 1 〉 4 = 4A ⇒ A = 1〈x2 〉 − 1 = A+M ⇒M = −2〈 t.i. 〉 6 = 5A−N ⇒ N = −1

6∫ 2x− 3x3 − 2x2 + 3x dx

∗©=∫ −1

xdx+

∫ x

x2 − 2x+ 3 dx = − ln |x|+ 12

∫ 2x− 2 + 2x2 − 2x+ 3 dx

= − ln |x|+ 12

∫ 2x− 2x2 − 2x+ 3 dx+ 1

�2

∫�2

x2 − 2x+ 3 dx

= − ln |x|+ 12 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 3∣∣∣+ ∫ 1

(x− 1)2 + 2dx

= − ln |x|+ 12 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 3∣∣∣+ ∫ 1/2

(x−1)2

2 + 1dx = − ln |x|+ 1

2 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 3

∣∣∣

+ 12

∫ 1(x−1√

2

)2+ 1

dx =

u = x− 1√

2

du = 1√2dx⇒

√2 du = dx

= − ln |x|+ 1

2 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 3

∣∣∣+ 12

∫ 1u2 + 1 ·

√2 du

= − ln |x|+ 12 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 3∣∣∣+ √2

2 · arctan u+ C

= − ln |x|+ 12 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 3∣∣∣+ √2

2 · arctan(x− 1√

2

)+ C



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om


∗© x3 − 2x2 + 3x = x · (x2 − 2x+ 3)2x− 3

((((((((x3 − 2x2 + 3x

= A

x+ Mx+N

x2 − 2x+ 3 = A(x2 − 2x+ 3) + (Mx+N) · x((((

((((x3 − 2x2 + 3x

=⇒

〈x = 0 〉 − 3 = 3A ⇒ A = −1〈x2 〉 0 = A+M ⇒M = 1〈x 〉 2 = −2A+N ⇒ N = 0

7∫ 2x2 + 3

x3 + 8 dx∗©=∫ 11/12

x+ 2 dx+∫ 13

12x−13

x2 − 2x+ 4 dx = 1112 · ln |x+ 2|

+ 1312 ·

12

∫ 2x− 1213 ·

13 · 2

x2 − 2x+ 4 dx = 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24

∫ 2x− 813

x2 − 2x+ 4 dx

= 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24

∫ 2x− 813 − 2 + 2

x2 − 2x+ 4 dx

= 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24

∫ 2x− 2x2 − 2x+ 4 dx+ 13

24

∫ 18/13

x2 − 2x+ 4 dx

= 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 4

∣∣∣+ 34

∫ 1(x− 1)2 + 3

dx

= 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 4

∣∣∣+ �34

∫ 1/�3(x−1)2

3 + 1dx

= 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 4

∣∣∣+ 14

∫ 1(x−1√

3

)2+ 1

dx

=

u = x− 1√

3

du = 1√3dx⇒

√3 du = dx

= 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 4

∣∣∣

+ 14

∫ 1u2 + 1 ·

√3 du = 11

12 · ln |x+ 2|+ 1324 · ln

∣∣∣x2 − 2x+ 4∣∣∣+ √3

4 · arctan u+ C

= 1112 · ln |x+ 2|+ 13

24 · ln∣∣∣x2 − 2x+ 4

∣∣∣+ √34 · arctan

(x− 1√

3

)+ C

∗© x3 + 8 = (x+ 2) · (x2 − 2x+ 4)2x− 3��

��x3 + 8 = A

x+ 2 + Mx+N

x2 − 2x+ 4 = A(x2 − 2x+ 4) + (Mx+N) · (x+ 2)��

��x3 + 8

=⇒

〈x = −2 〉 11 = 12A ⇒ A = 11/12

〈x2 〉 2 = A+M ⇒M = 13/12

〈 t.i. 〉 3 = 4A+ 2N ⇒ N = −1/3

8∫ x2 − 11x+ 70x3 − 2x2 + 12x+ 40 dx

∗©=∫ 3x+ 2 dx+

∫ −2x+ 5x2 − 4x+ 20 dx


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= 3 · ln |x+ 2| −∫ 2x− 4− 1x2 − 4x+ 20 dx = 3 · ln |x+ 2| −

∫ 2x− 4x2 − 4x+ 20 dx

+∫ 1x2 − 4x+ 20 dx = 3 · ln |x+ 2| − ln

∣∣∣x2 − 4x+ 20∣∣∣+ ∫ 1

(x− 2)2 + 16dx

= 3 · ln |x+ 2| − ln∣∣∣x2 − 4x+ 20

∣∣∣+ ∫ 1/16(x−2)2

16 + 1dx

= 3·ln |x+ 2|−ln∣∣∣x2 − 4x+ 20

∣∣∣+ 116

∫ 1(x−2

4

)2+ 1

dx =

u = x− 2

4

du = 14 dx⇒ 4 du = dx

= 3 · ln |x+ 2| − ln

∣∣∣x2 − 4x+ 20∣∣∣+ 1��164

∫ 1u2 + 1 · �4 du

= 3 · ln |x+ 2| − ln∣∣∣x2 − 4x+ 20

∣∣∣+ 14 · arctan u+ C

= 3 · ln |x+ 2| − ln∣∣∣x2 − 4x+ 20

∣∣∣+ 14 · arctan

(x− 2

4

)+ C

∗© x3 − 2x2 + 12x+ 40 = (x+ 2) · (x2 − 2x+ 4)x2 − 11x+ 70

((((((((

(((x3 − 2x2 + 12x+ 40

= A

x+ 2 + Mx+N

x2 − 2x+ 4

= A(x2 − 2x+ 4) + (Mx+N) · (x+ 2)

(((((((

((((x3 − 2x2 + 12x+ 40

=⇒

〈x = −2 〉 96 = 32A ⇒ A = 3〈x2 〉 1 = A+M ⇒M = −2〈 t.i. 〉 70 = 20A+ 2N ⇒ N = 5

9∫ 5x2 + 9x+ 8x3 + 4x2 + 9x+ 10 dx

∗©=∫ 2x+ 2 dx+

∫ 3x− 1x2 + 2x+ 5 dx

= 2 · ln |x+ 2|+ 3 · 12

∫ 13 · 2 · (3x− 1)x2 + 2x+ 5 dx = 2 · ln |x+ 2|+ 3

2

∫ 2x− 23 + 2− 2

x2 + 2x+ 5 dx

= 2 · ln |x+ 2|+ 32

∫ 2x+ 2x2 + 2x+ 5 dx+ �3

�2

∫ −�84

�3x2 + 2x5 dx

= 2 · ln |x+ 2|+ 32 ln

∣∣∣x2 + 2x+ 5∣∣∣− 1

4

∫ 1(x+ 1)2 + 4

dx

= 2 · ln |x+ 2|+ 32 ln

∣∣∣x2 + 2x+ 5∣∣∣− 1

4

∫ 1/4(x+1)2

4 + 1dx

= 2·ln |x+ 2|+32 ln

∣∣∣x2 + 2x+ 5∣∣∣−1

4

∫ 1(x+1

2

)2+ 1

dx =

u = x+ 1

2

du = 12 dx⇒ 2 du = dx

= 2 · ln |x+ 2|+ 3

2 ln∣∣∣x2 + 2x+ 5

∣∣∣− 1�42

∫ 1u2 + 1 · �2 du



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= 2 · ln |x+ 2|+ 32 ln

∣∣∣x2 + 2x+ 5∣∣∣− 1

2 · arctan u+ C

= 2 · ln |x+ 2|+ 32 ln

∣∣∣x2 + 2x+ 5∣∣∣− 1

2 · arctan(x+ 1

2

)+ C

∗© x3 + 4x2 + 9x+ 10 = (x+ 2) · (x2 + 2x+ 5)5x2 + 9x+ 8

((((((((

((x3 + 4x2 + 9x+ 10

= A

x+ 2 + Mx+N

x2 + 2x+ 5

= A(x2 − 2x+ 4) + (Mx+N) · (x+ 2)

((((((((

((x3 + 4x2 + 9x+ 10

=⇒

〈x = −2 〉 10 = 5A ⇒ A = 2〈x2 〉 5 = A+M ⇒M = 3〈 t.i. 〉 8 = 5A+ 2N ⇒ N = −1

10∫ x

3x5 − 6x2 − 27x− 18 dx∗©=∫ 2/63

3(x− 2) dx+∫ −1/216

x+ 1 dx+∫ 1/36

(x+ 1)2 dx

+∫ − x

168 −356

x2 + 3 dx = 2189 · ln |x− 2| − 1

216 ln |x+ 1| − 136(x+ 1) −

1336

∫ 2xx2 + 3 dx

− 356

∫ 1x2 + 3 dx = 2

189 · ln |x− 2| − 1216 ln |x+ 1| − 1

36(x+ 1) −1

336 · ln∣∣∣x2 + 3

∣∣∣− �3

56

∫ 1/�3x2

3 + 1dx = 2

189 · ln |x− 2| − 1216 ln |x+ 1| − 1

36(x+ 1) −1

336 · ln∣∣∣x2 + 3

∣∣∣

− 156

∫ 1(x√3

)2+ 1

dx =

u = x√

3

du = 1√3dx⇒

√3 du = dx

= 2

189 · ln |x− 2|− 1216 ln |x+ 1|− 1

36(x+ 1)−1

336 · ln∣∣∣x2 + 3

∣∣∣− 156

∫ 1u2 + 1 ·

√3 du

= 2189 · ln |x− 2| − 1

216 ln |x+ 1| − 136(x+ 1) −

1336 · ln

∣∣∣x2 + 3∣∣∣− √3

56 · arctan u+C

= 2189 ·ln |x− 2|− 1

216 ln |x+ 1|− 136(x+ 1)−

1336 ·ln

∣∣∣x2 + 3∣∣∣−√3

56 ·arctan(x√3

)+C

∗© 3x5 − 6x2 − 27x− 18 = 3 · (x− 2) · (x+ 1)2 · (x2 + 3)x

(((((((

(((((

3x5 − 6x2 − 27x− 18= A

3(x+ 2) + B

x+ 1 + C

(x+ 1)2 + Mx+N

x2 + 3

= A(x+ 1)2(x2 + 3) + 3B(x− 2)(x+ 1)(x2 + 3) + 3C(x− 2)(x2 + 3) + 3(Mx+N)(x− 2)(x+ 1)2

((((((((

((((3x5 − 6x2 − 27x− 18

=⇒

〈x = 2 〉 2 = 63A ⇒ A = 2/63〈x = −1 〉 − 1 = −36C ⇒ C = 1/36〈x4 〉 0 = A+ 3B + 3M ⇒ B = −1/216〈x3 〉 0 = 2A− 3B + 3C + 3N ⇒M = −1/168〈x2 〉 0 = 4A+ 3B − 6C − 9M ⇒ N = −3/56


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4Integrales por cambio de variable

Si queremos calcular una integral∫f(x) dx podemos hacer el siguiente cambio de

variable de manera que la integral quede mas sencilla:

∫f(x) dx =

u = f(x)du = f ′(x) dx⇒ 1

f ′(x) du = dx

=∫u · 1

f ′(x) du

Ahora integraremos una funcion cuya variable es u y por ultimo tendremos que deshacerel cambio de variable sustituyendo u por f(x).

Por ejemplo, en la integral∫

sen4 x · cosx dx, como vemos que cosx es la derivada desen x, haremos el siguiente cambio de variable:

∫sen4 x · cosx dx =

u = sen xdu = cosx dx⇒ 1

cosx du = dx

=∫u4 ·��cosx · 1

��cosx du

=∫u4 du = u5

5 + C = 15 · sen5 x+ C

Si ahora nos piden resolver∫x·e(2−3x2) dx, como vemos que x se ”parece” a la derivada

de 2− 3x2 haremos el siguiente cambio de variable:

∫x · e2−3x2

dx = u = 2− 3x2

du = −6x⇒ − 16x du = dx

=∫�x · eu ·

(− 1

6�x

)du

= −6∫eu du = −6 · eu + C = −6 · e2−3x2 + C

Probemos ahora a resolver∫ 4x

3x2 − 1 dx. En este caso 4x se parece a la derivada de3x2 − 1 por lo que el cambio de variable elegido serıa:

∫ 4x3x2 − 1 dx =

u = 3x2 − 1du = 6x dx⇒ 1

6x du = dx

=∫�42�x

u· 1�63�x

du

= 23

∫ 1udu = 2

3 · ln |u|+ C = 23 · ln

∣∣∣3x2 − 1∣∣∣+ C

67

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Capıtulo 4. Integrales por cambio de variable

4.1. Sustitucion recıproca.

Hay un tipo de sustitucion, llamada sustitucion recıproca que puede convertir unaintegral aparentemente compleja en otra mas sencilla de resolver. Tomemos por ejemplola siguiente integral: ∫ 1√

x− x2dx

Podrıamos tratar de completar el cuadrado y luego buscar alguna sustitucion trigonometri-ca para resolverla, pero la siguiente sustitucion puede simplificar el problema:

∫ 1√x− x2

dx =

u = 1

x⇒ x = 1

u

du = − 1x2 dx ⇒ −x

2 du = dx

=∫ 1√

1u− 1

u2

·(− 1u2

)du = −

∫ 1u ·√u− 1

du

integral mas sencilla que resolveremos con otro cambio de variable:

={v2 = u− 1 ⇒ v =

√u− 1

2v dv = du

}= −

∫ 1(v2 + 1) ·�v

· 2�v dv

= −2∫ 1v2 + 1 dv = −2 · arctan v + C = −2 · arctan

(√u− 1

)+ C

= −2 · arctan√1

x− 1

+ C = −2 · arctan√1− x

x

+ C


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4.2. Integrales por Cambio de Variable. Ejercicios.1

∫(3x− 5)2 dx

2∫

2x · 3√x2 + 5 dx

3∫x3 · cosx4 dx

4∫ 2

3 +√xdx

5∫ 1 + ln |x|

xdx

6∫ x2√x3 + 5

dx

7∫ x

(5 + x2)2 dx

8∫

(x3 + 5)4 · x2 dx

9∫ 1

2x ·√x− 1

dx

10∫ x2 + 2x√

x3 + 3x2dx

11∫ cosx

1 + sen2 xdx

12∫ 1√

x cos2√xdx

13∫ ex

√1− e2x

dx

14∫ x

1 + x4 dx

15∫ cosx

1 + sen2 xdx

16∫ 2 sen x cosx

1 + sen2 xdx

17∫ tan3 x

cos2 xdx

18∫ √

(1 + ex)3 · ex dx

19∫ 1 + x

1 +√xdx

20∫ 1x · ln2 |x|

dx

21∫ ln (ln |x|)

x ln |x| dx

22∫ex · sen (ex) dx

23∫ √

ln |x|x

dx

24∫ 1x− x · ln |x| dx

25∫

cosx · esen x dx

26∫ x+ 1√

x− 1dx

27∫ 1x2 + 2x+ 2 dx

28∫ x3√

1− x2dx

29∫ ex

ex + 1 dx

30∫ arctan x

1 + x2 dx

31∫ x3

x8 + 5 dx

32∫e√

x dx

33∫ x2

x6 + 5 dx

34∫ sen x− cosx

sen x+ cosx dx

35∫ sen

(ln |x|

)x

dx

36∫

sen x · cosx dx

37∫

sen3 x · cos2 x dx

38∫x · arc sen (x2) dx

39∫

sen x · (1 + cos x) dx

40∫ arc cos x√

1− x2dx

41∫ ln (tan x)

sen x cosx dx

42∫ x2√

1− xdx

43∫ x3

1 + x2 dx

44∫ 1x · ln |x| dx

45∫ √1 + x2

x2 dx

46∫ 1

(1 + x2)2 dx

47∫x2√x− 1 dx

48∫x · arc sen x dx

49∫ ex + 1ex + x

dx

50∫ 1x ·(1 + ln2 |x|

) dx51

∫ √1− x√x

dx

52∫ x

4 + x4 dx

53∫ x5√

1− x3dx

54∫ 2

2x+ 7 dx

55∫ x

x2 + 4x+ 5 dx

56∫x3 ·√x2 − 1 dx

57∫ √1 + x√

1− x2dx

58∫ √

1 +√x dx

59∫ 1x+√xdx

60∫

ln(x+√x)dx



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61∫ √

x · ln(√

x)dx

62∫ ln

(x+√

1 + x2)

√1 + x2

dx

63∫ √√√√ ln

(x+√

1 + x2)

1 + x2 dx

64∫ cosxesen x

dx

65∫ arctan

(ln |x|

)x

dx

66∫

sen 2x · cosx dx

67∫ 1

3√x+ x

dx

68∫ √

x3 − 1x11 dx

69∫ 1

cosx dx

70∫ 1

sen x dx

71∫

cosx · ln (sen x) dx

72∫ ln (x2)

xdx

73∫ 3√

1 +√x

√x

dx

74∫ex · eex

dx

75∫ √

x · e√

x dx

76∫ 1x ·√

1 + ln |x|dx

77∫ e

1/x

x2 dx

78∫ cosx

1 + sen x dx

79∫ex · sen (ex) ·

cos (ex) dx

80∫ tan x

cosx dx

81∫ 1ex + e−x

dx

82∫ 2

1 +√xdx

83∫ 1√

1 + exdx

84∫ √

a2 − x2 dx

85∫ x2

4− x2 dx

86∫ 1√

x+ 3√xdx

86∫ x5√

1 + x3dx

87∫ 2x

√1− 4x

dx

88∫ x · arc sen x√

1− x2dx

89∫ √1− x2

x4 dx

90∫ 1x2 ·√x2 − 1

dx


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Solucion.

1∫

(3x− 5)2 dx = u = 3x− 5 ⇒ u2 = (3x− 5)2

du = 3 dx ⇒ dx = 13 du

=∫ 1

3u2 du = u3

9 + C

= 19 · (3x− 5)3 + C

2∫

2x · 3√x2 + 5 dx =

{u = x2 + 5du = 2x dx

}=∫

3√u du = 3

43√u4 + C = 3

43√

(x2 + 5)4 + C

3∫x3 · cosx4 dx =

u = x4

du = 4x3 dx⇒ 14 du = x3 dx

=∫ 1

4 cosu du = 14 sen u+ C

= 14 sen (x4) + C

4∫ 2

3 +√xdx =

u =√x ⇒ du = 1

2√xdx

2√x du = dx ⇒ 2u du = dx

=∫ 2

3 + u·2u du =

∫ 4u3 + u

du

=∫ (

4− 12u+ 3

)du = 4u− 12 ln |u+ 3|+ C = 4

√x− 12 ln

∣∣∣√x+ 3∣∣∣+ C

5∫ 1 + ln |x|

xdx =

u = ln |x|

du = 1xdx

=∫

(1 +u) du = u+ u2

2 +C = ln |x|+ ln2 |x|2 +C

6∫ x2√x3 + 5

dx = u = x3 + 5du = 3x2 dx ⇒ 1

3 du = x2 dx

=∫ 1

3√udu = 1

3

∫u−

1/2 du

= u1/2

1/2+ C = 2

3√u+ C = 2

3√x3 + 5 + C

7∫ x

(5 + x2)2 dx =

u = 5 + x2

du = 2x dx⇒ 12 du = dx

=∫ 1

2u2 du = 12

∫u−2 du

= 12 ·

u−1

−1 + C = − 12u + C = − 1

2(5 + x2) + C

8∫

(x3 + 5)4 · x2 dx = u = x3 + 5du = 3x2 dx⇒ 1

3 du = x2 dx

=∫ 1

3u4 du = 1

3 ·u5

5 + C

= (x3 + 5)5

15 + C

9∫ 1

2x ·√x− 1

dx =

u =√x− 1 x = 1 + u2

du = 12√x− 1

dx

=∫ 1

1 + u2 du

= arctan u+ C = arctan(√

x− 1)

+ C



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10∫ x2 + 2x√

x3 + 3x2dx =

u = x3 + 3x2 ⇒ du = (3x2 + 6x) dxdu = 3 · (x2 + 2x) ⇒ 1

3 du = x2 + 2x

=∫ 1

3√udu

= 13

∫u−

1/2 du = 13 ·

u1/2

1/2+ C = 2

√u

3 + C = 2√x3 + 3x2

3 + C

11∫ cosx

1 + sen2 xdx =

{u = sen x⇒ u2 = sen2 udu = cosx dx

}=∫ 1

1 + u2 dx = arctan u+ C

= arctan (sen x) + C

12∫ 1√

x cos2√xdx =

u =√x

du = 12√xdx⇒ 2 du = 1√

xdx

=∫ 2

cos2 udu

= 2∫

sec2 u du = 2 tan u+ C = 2 tan(√

x)

+ C

13∫ ex

√1− e2x

dx ={u = ex ⇒ u2 = e2x

du = ex dx

}=∫ 1√

1− u2du = arc sen u+ C

= arc sen (ex) + C

14∫ x

1 + x4 dx = u = x2 ⇒ u2 = x4

du = 2x dx ⇒ 12 du = x dx

=∫ 1

2 ·1

1 + x2 du

= 12 arctan u+ C = 1

2 arctan (x2) + C

15∫ cosx

1 + sen2 xdx =

u = sen x

du = cosx dx⇒ 1cosx du = dx

=∫

��cosx1 + sen2 x

· 1��cosx dx

=∫ 1

1 + u2 du = arctan u+ C = arctan (sen x) + C

16∫ 2 sen x cosx

1 + sen2 xdx =

u = sen2 x

du = 2 sen x cosx dx⇒ 12 sen x cosx du = dx

=∫((((

(((2 sen x cosx1 + u

· 1((((

(((2 sen x cosx du =∫ 1

1 + udu = ln |1 + u|+ C

= ln∣∣∣1 + sen2 x

∣∣∣+ C

17∫ tan3 x

cos2 xdx =

u = tan x

du = sec2 x dx = 1cos2 x

dx⇒ cos2 x du = dx

=∫ tan3 x

��cos2 x· ·��cos2 x du =

∫u3 du = u4

4 + C = 14 · tan4 x+ C

18∫ √

(1 + ex)3 · ex dx =

u = ex

du = ex dx⇒ 1exdu = dx

=∫ √

(1 + u)3 ·��ex · 1��ex du


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=∫ √

(1 + u)3 du =∫

(1 + u)3/2 du = (1 + u)5/2

5/2+ C = 2

5 ·√

(1 + u)5 + C

= 25 ·√

(1 + ex)5 + C

19∫ 1 + x

1 +√xdx =

{u =√x ⇒ u2 = x

2u du = dx

}=∫ 1 + u2

1 + u· 2u du =

∫ 2u+ 2u3

1 + udu

•©=∫ (

2u2 − 2u+ 4)du+

∫ −41 + u

du = 2u3

3 − u2 + 4u− 4 ln |1 + u|+ C

= 2√x3

3 − x+ 4 ·√x− 4 ln

∣∣∣1 +√x∣∣∣+ C = 2x

√x

3 − x+ 4√x− 4 ln

∣∣∣1 +√x∣∣∣+ C

•© 2u2 − 2u + 4u+ 1

)2u3 + 2u− 2u3 − 2u2

− 2u2 + 2u2u2 + 2u

4u− 4u− 4

− 4

20∫ 1x · ln2 |x|

dx =

u = ln |x|

du = 1xdx⇒ x du = dx

=∫ 1�x · u2 ·�x du =

∫ 1u2 du

=∫u−2 du = u−1

−1 + C = −1u

+ C = − 1ln |x| + C

21∫ ln (ln |x|)

x ln |x| dx =

u = ln |x|


=∫ ln |u|�x · u

·�x du =∫ ln |u|

udu

=

t = ln |u|

dt = 1udu⇒ u dt = du

=∫ t

�u·�u dt =

∫t dt = t2

2 + C

= 12 · ln

2 |u|+ C = 12 · ln

2(

ln |x|)

+ C

22∫ex · sen (ex) dx =

{u = ex

du = ex dx

}=∫

sen u du = − cosu+ C = − cos (ex) + C

23∫ √

ln |x|x

dx =

u = ln |x|


=∫ √u�x·�x du =

∫ √u du =

∫u

1/2 du

= 23√u3 + C = 2

3

√ln3 |u|+ C



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


24∫ 1x− x · ln |x| dx =

∫ 1x · (1− ln |x|) dx =

u = ln |x|


=∫ 1�x · (1− u) ·�x du =

∫ 11− u du = − ln |1− u|+ C = − ln |1− ln |x||+ C

25∫

cosx · esen x dx =

u = sen x


=∫��cosx · eu · 1

��cosx du

=∫eu du = eu + C = esen x + C

26∫ x+ 1√

x− 1dx =

u =√x− 1 ⇒ x = 1 + u2

du = 12√x− 1

dx ⇒ 2 ·√x− 1 du = dx

=∫ x+ 1��

�√x− 1 · 2 ·�

��√x− 1 du =

∫2 · (1 + u2 + 1) du =

∫(4 + 2u2) dx = 4u+ 2u3

3 +C

= 4√x− 1 + 2

3 · (x− 1) ·√x− 1 + C =

(4 + 2

3 · (x− 1))·√x− 1 + C

27∫ 1x2 + 2x+ 2 dx =

∫ 11 + (x+ 1)2 dx =

{u = x+ 1du = dx

}=∫ 1

1 + u2 du

= arctan u+ C = arctan (x+ 1) + C

28∫ x3√

1− x2dx =

u =√

1− x2 ⇒ x2 = 1− u2

du = − x√1− x2

dx ⇒ −√

1− x2

xdu = dx

=∫ x�3 2

��

√1− x2 ·

(−��

�√1− x2

�x

)du = −

∫x2 du = −

∫(1− u2) du = −u+ u3

3 + C

= −√

1− x2 + 13 · (1− x

2) ·√

1− x2 + C =(−1 + 1

3 −x2

3

)·√

1− x2 + C

= −13 · (2 + x2) ·

√1− x2 + C

29∫ ex

ex + 1 dx =

u = ex + 1


=∫��ex

u· 1��ex du =

∫ 1udu

= ln |u|+ C = ln |ex + 1|+ C

30∫ arctan x

1 + x2 dx =

u = arctan x

du = 11 + x2 dx⇒ (1 + x2) du = dx

=∫ u

��1 + x2 ·��

��

(1 + x2

)du

=∫u du = u2

2 + C = 12 · arctan2 x+ C

31∫ x3

x8 + 5 dx = u = x4 ⇒ u2 = x8

du = 4x3 dx ⇒ 14x3 du = dx

=∫

��x3

u2 + 5 ·1

4��x3 du


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

= 14

∫ 1u2 + 5 du = 1

4

∫ 1/5u2/5 + 1 du = 1

20

∫ 1(u/√

5)2 + 1du

=

t = u√

5dt = 1√

5du⇒

√5 dt = du

= 120

∫ 1t2 + 1 ·

√5 dt =

√5

15

∫ 11 + t2

dt

=√

520 arctan t+ C =

√5

20 arctan ( u√5

) + C

√5

20 arctan ( x4√

5) + C

32∫e√

x dx =

t =√x ⇒ dt = 1

2√xdx

dx = 2√x dt ⇒ dx = 2t dt

=∫

2t · et dt

={u = 2t ⇒ du = 2 dtdv = et dt ⇒ v = et

}= 2t·et−

∫2·et dt = 2t·et−2et+C = 2et ·(t−1)+C

= 2e√

x ·(√

x− 1)

+ C

33∫ x2

x6 + 5 dx = u = x3 ⇒ u2 = x6

du = 3x2 dx ⇒ 13x2 du = dx

=∫

��x2

u2 + 5 ·1

3��x2 du

= 13

∫ 1u2 + 5 du = 1

3

∫ 1/5u2/5 + 1 du = 1

15

∫ 1(u/√

5)2 + 1du

=

t = u√

5dt = 1√

5du⇒

√5 dt = du

= 115

∫ 1t2 + 1 ·

√5 dt =

√5

15

∫ 11 + t2

dt

=√

515 arctan t+ C =

√5

15 arctan(u√5

)+ C =

√5

15 arctan(x3√

5

)+ C

34∫ sen x− cosx

sen x+ cosx dx = u = sen x+ cosxdu = (cosx− sen x) dx⇒ − 1

sen x− cosx du = dx

=∫(((

((((sen x− cosxu

·(− 1((((

(((sen x− cosx du)

= −∫ 1udu = − ln |u|+ C

= − ln |sen x+ cosx|+ C

35∫ sen

(ln |x|

)x

dx =

u = ln |x|

du = 1xdx =⇒ x du = dx

=∫ sen u

�x·�x du =

∫sen u du

= − cosu+ C = − cos (ln |x|) + C

36∫

sen x · cosx dx =

u = sen x


=∫

sen x ·��cosx · 1��cosx du

=∫u du = u2

2 + C = sen2 x

2 + C



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


37∫

sen3 x · cos2 x dx =∫

sen x · (1− cos2 x) · cos2 x dx

=

u = cosx

du = − sen x dx⇒ − 1sen x du = dx

=∫��sen x · (1− u2) · u2 ·

(− 1��sen x

)du

= −∫

(1− u2) · u2 du =∫

(u4 − u2) du = u5

5 −u3

3 + C = 15 cos5 x− 1

3 cos3 x+ C

38∫x · arc sen (x2) dx =

t = x2

dt = 2x dx⇒ 12x dt = dx

=∫�x · arc sen t · 1

2�xdu

= 12

∫arc sen t dt =

u = arc sen t ⇒ du = 1√1− t2

dt

dv = dt ⇒ v = t

= 1

2 ·[t · arc sen t−

∫ t√1− t2

dt

]= 1

2 ·[x2 · arc sen (x2)−

∫ t√1− t2

dt

]

= u = t2

du = 2t dt⇒ 12 du = dt

= 12 ·[x2 · arc sen (x2)−

∫ 12√

1− u

]du

= 12 ·[x2 · arc sen (x2)−

√1− u

]+ C = 1

2 ·[x2 · arc sen (x2)−

√1− t2

]+ C

= 12 ·[x2 · arc sen (x2)−

√1− x4

]+ C

39∫

sen x · (1 + cos x) dx =

u = cosx


=∫��sen x · (1 + u) ·

(− 1��sen x

)du = −

∫(1 + u) du = −u− u2

2 + C

= − cosx− 12 · cos2 x+ C

40∫ arc cosx√

1− x2dx =

u = arc cos x

du = −1√1− x2

dx⇒ −√

1− x2 du = dx

=∫ u

��

√1− x2 ·

(−��

�√1− x2

)du = −

∫u du = −u

2

2 + C = −12 · arc cos2 x+ C

41∫ ln |tan x|

sen x cosx dx =

u = ln (tan x)

du =1/cos�x x

sen x/��cos xdx = 1

sen x · cosx dx⇒ sen x · cosx du = dx

=∫ u

(((((((sen x · cosx ·((

(((((sen x · cosx du =

∫u du = u2

2 + C = 12 · ln

2 |tan x|+ C

42∫ x2√

1− xdx =

u =√

1− x ⇒ x = 1− u2

dx = −2u

=∫ (1− u2)2

�u· (−2�u) du


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

= −2∫ (

1− u2)2du = −2

∫ (1− 2u2 + u4

)du = −2 ·

(u− 2u3

3 + u5

5

)+ C

= − 215u ·

(15− 10u2 + 3u4

)+C = −2

√1− x15 ·

(15− 10 · (1− x) + 3 · (1− x)2

)+C

= −2√

1− x15 ·

(15− 10 + 10x+ 3− 6x+ 3x2

)+C = −2

√1− x15 ·

(3x2 + 4x+ 8

)+C

43∫ x3

1 + x2 dx•©=∫ (

x− x

1 + x2

)dx = x2

2 −∫ x

1 + x2 dx

= u = 1 + x2


= x2

2 −∫�x

u· 1

2�xdu = x2

2 −12

∫ 1udx

= x2

2 −12 ln |u|+ C = 1

2 ·(x2 − ln

∣∣∣1 + x2∣∣∣)+ C

•© x

x2 + 1)

x3

− x3 − x− x

44∫ 1x · ln |x| dx =

u = ln |x|


=∫ 1�x · u

·�x du =∫ 1udu = ln |u|+C

= ln(

ln |x|)

+ C

45∫ √1 + x2

x2 dx ={x = tan u ⇒ u = arctan xdx = sec2 u du

}=∫ √1 + tan2 u

tan2 u· sec2 u du

=∫ √sec2 x

tan2 u· sec2 u du =

∫ sec3 u

tan2 udu =

∫ 1/cos�3 u

sen2 u/��cos2 udu =

∫ 1cosu · sen2 u

du

=∫ cosu

cos2 u · sen2 udu =

t = sen u⇒ 1− t2 = cos2 u

dt = cosu du⇒ 1cosx dt = du

=∫

��cosu(1− t2)t2 ·

1��cosu dt

=∫ 1

(1− t2) · t2 dt∗©=∫ 1/2

1 + tdt+

∫ 1/2

1− t dt+∫ 1t2dt

= 12

∫ 11 + t

dt− 12

∫ −11− t dt+

∫ 1t2dt = 1

2 · ln |1 + t| − 12 · ln |1− t| −

1t

+ C

= 12 · ln |1 + sen u| − 1

2 · ln |1− sen u| − 1sen u + C

= 12 · ln |1 + sen u| − 1

2 · ln |1− sen u| − cosecu+ C

•©= 12 · ln

∣∣∣1 + sen (arctan x)︸︷︷︸x√

1+x2

∣∣∣− 12 · ln

∣∣∣1− sen (arctan x)︸︷︷︸x√

1+x2

∣∣∣− cosecu︸︷︷︸√1+x2x

+C



http

s://a

pren

deco

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omel

on.c

om


= 12 · ln

∣∣∣∣∣1 + x√1 + x2

∣∣∣∣∣− 12 · ln

∣∣∣∣∣1− x√1 + x2

∣∣∣∣∣−√

1 + x2

x+ C

= 12 · ln

∣∣∣∣∣√

1 + x2 + x√1 + x2 − x

∣∣∣∣∣−√

1 + x2

x+ C

∗© 1��

��(1− t2) · t2= A

1 + t+ B

1− t + C

t+ D

t2

= At2 · (1 + t) +Bt2 · (1− t) + Ct · (1− t2) +D(1− t2)��

��(1− t2) · t2

=⇒

〈 t = 0 〉 1 = D ⇒ D = 1〈 t = 1 〉 1 = 2A ⇒ A = 1/2〈 t = −1 〉 1 = 2B ⇒ B = 1/2〈 t3 〉 0 = A−B − C ⇒ C = 0

•© sen(

arctan x)

= x√1 + x2

cosec(

arctan x)

=√

1 + x2

x

46∫ 1

(1 + x2)2 dx ={x = tan x ⇒ u = arctan xdx = sec2 u du

}=∫ 1

(1 + tan2 u)2 · sec2 u du

=∫ 1

sec�4 2 u·��sec2 u du =

∫cos2 u du

∗©= 12

∫(1 + cos (2u)) du

= t = 2udt = 2 du⇒ 1

2 dt = du

= 12

∫(1 + cos t) · 1

2 dt = 14

∫(1 + cos t) dt

= 14 · (t+ sen t) + C = 1

4 · (2u+ sen (2u)) + C

= 14 ·(2 · arctan x+ sen (2 · arctan x)

)+ C

•©= 12 ·(

arctan x+ sen (arctan x)︸︷︷︸x√

1+x2

· cos (arctan x)︸︷︷︸1√

1+x2

)+ C

= 12 ·(

arctan x+ x√1 + x2

· 1√1 + x2

)+ C = 1

2 ·(

arctan x+ x

1 + x2

)+ C

∗©1 =��sen2 u cos2 u

cos (2u) = cos2 u−��sen2 u

1 + cos (2u) = 2 · cos2 u =⇒ cos2 u = 1 + cos (2u)2


http

s://a

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omel

on.c

om

•© sen(

arctan x)

= x√1 + x2

cos(

arctan x)

= 1√1 + x2

47∫x2√x− 1 dx =

{u = x− 1⇒ du = dx

x2 = (1 + u)2

}=∫

(1 + u)2 ·√u du

=∫ (

1 + 2u+ u2)·√u du =

∫ (u

1/2 + 2u3/2 + u5/2)du = 2

3u3/2 + 2 · 25u

5/2 + 27u

7/2 +C

= 2u√u

3 + 4u2√u5 + 2u3√u

7 + C = u√u

105 ·(35 + 84u+ 30u2

)+ C

= (x− 1) ·√x− 1

105 ·(35 + 84 · (x− 1) + 30 · (x− 1)2

)+ C

=√x− 1105 ·

(70x3 + 6x2 − 43x+ 19

)+ C

48∫x · arc sen x dx =

u = arc sen x ⇒ du = 1√

1− x2dx

dv = x dx ⇒ v = x2

2

= x2

2 · arc sen x

−∫ x2

2√

1− x2dx *©= x2

2 · arc sen x+ 14 ·(

arc cosx+ x ·√

1− x2)

+ C

∗©∫ x2

2√

1− x2dx =

{x = cosu⇒ dx = − sen u du1− x2 = 1− cos2 u = sen2 u

}=∫− cos2 u

2 ·��sen u ·��sen u du

= −12

∫cos2 u du

•©= −12

∫ 1 + cos (2u)2 du =

t = 2udt = 2 du⇒ 1

2 dt = du

= −1

8

∫(1 + cos t) dt = −1

8 · (t+ sen t) = −18 ·(2u+ sen (2u)

)+ C

= −18 ·(2u+ 2 · sen u · cosu) •© •©= −1

4 ·(

arc cosx+sen (arc cos x)︸︷︷︸√1−x2

· cos (arc cosx)︸︷︷︸x

)+C

= −14 ·(arc cosx+ x ·

√1− x2

)+ C

•©1 =��sen2 u cos2 u





http

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on.c

om


•© •© sen(arc cos x) =√

1− x2

cos(arc cos x) = x

49∫ ex + 1ex + x

dx =

u = ex + x

du = (ex + 1) dx⇒ 1ex + 1 du = dx

=∫��

�ex + 1u· 1��

�ex + 1 du

=∫ 1udu = ln |u|+ C = ln |ex + x|+ C

50∫ 1x ·(1 + ln2 |x|

) dx = u = ln |x|du = 1

xdx⇒ x du = dx

=∫ 1�x · (1 + u2) ·�x du

=∫ 1

1 + u2 du = arctan u+ C = arctan(

ln |x|)

+ C

51∫ √1− x√

xdx =

u =√x ⇒ x = u2

du = 12√xdx ⇒ dx = 2

√x du

=∫ √1− u2

��√x· 2��√x du

= 2∫ √

1− u2 du ={u = sen t⇒ du = cos t dt1− u2 = 1− sen2 t = cos2 t

}= 2

∫ √cos2 t · cos t dt

= 2∫

cos2 t dt•©= �2

∫ 1 + cos (2t)�2

dt = t+∫

cos (2t) dt = z = 2tdz = 2 dt⇒ dt = 1

2 dz

= t+ 1

2

∫cos z dz = t+ 1

2 · sen z+C = t+ 12 · sen (2t) +C = t+ 1

�2· �2 sen t · cos t+C

•© •©= arc sen u+ sen (arc sen u)︸︷︷︸u

· cos (arc sen u)︸︷︷︸√1−u2

+C = arc sen u+ u ·√

1− u2 + C

= arc sen(√

x)

+√x ·√

1−(√

x)2

+ C = arc sen(√

x)

+√x− x2 + C

•©1 =��sen2 u cos2 u



•© •© sen(arc sen u) = u

cos(arc sen u) =√

1− u2


http

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on.c

om

52∫ x

4 + x4 dx = u = x2 ⇒ u2 = x4

du = 2x dx ⇒ dx = 12x du

=∫

�x

4 + u2 ·1

2�xdu = 1

2

∫ 14 + u2 du

= 12

∫ 1/4

1 + u2/4du =

t = u

2 ⇒ t2 = u2

4dt = 1

2 du ⇒ 2 dt = du

= 1�2

∫ 1/4

1 + t2�2 dt

= 14

∫ 11 + t2

dt = 14 · arctan t+ C = 1

4 · arctan(u

2

)+ C = 1

4 · arctan(x2

2

)+ C

53∫ x5√

1− x3dx =

u = 1− x3 ⇒ x3 = 1− udu = −3x2 dx ⇒ − 1

3x2 du = dx

=∫��x

2 ·1−u︷︸︸︷x3

√u·(− 1

3��x2

)du

= −13

∫ 1− u√udu = −1

3

∫ (u−

1/2 − u1/2)du = −1

3 ·(u

1/2

1/2− u

3/2

3/2

)+ C

= −13 ·(

2√u− 2

√u3

3

)+ C = −1

9 ·(6√u− 2u

√u)

+ C

= −√u

9 ·(6− 2u)+C = −√

1− x3

9 ·[6− 2 ·

(1− x3

)]+C = −

√1− x3

9 ·(4 + 2x3

)+C

= −29√

1− x3 ·(x3 + 2

)+ C

54∫ 2

2x+ 7 dx =

u = 2x+ 7

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

=∫�2u· 1�2du =

∫ 1udu = ln |u|+ C

= ln |2x+ 7|+ C

55∫ x

x2 + 4x+ 5 dx =∫ x

(x+ 2)2 + 1 dx ={u = x+ 2 ⇒ u− 2 = xdu = dx

}

=∫ u− 2

1 + u2 du =∫ u

1 + u2 du− 2∫ 1

1 + u2 du = t = u2

dt = 2u du⇒ 12u dt = du

=∫

�u

1 + t· 1

2�udt − 2 · arctan u = 1

2

∫ 11 + t

dt + 2 · arctan u = 12 · ln |1 + t| + 2 ·

arctan u+ C

= 12 · ln

∣∣∣1 + u2∣∣∣+ 2 · arctan u+ C = 1

2 · ln∣∣∣1 + (x+ 2)2

∣∣∣+ 2 · arctan (x+ 2) + C

= 12 ·ln

∣∣∣x2 + 4x+ 5∣∣∣+2·arctan (x+ 2)+C = ln

√x2 + 4x+ 5+2·arctan (x+ 2)+C

56∫x3 ·√x2 − 1 dx =

u = x2 − 1 ⇒ u+ 1 = x2

du = 2x dx ⇒ 12x du = dx

=∫

x2︸︷︷︸u+1

·�x ·√u · 1

2�xdu

= 12

∫(u+ 1) ·

√u du = 1

2

∫ (u

3/2 + u1/2)du = 1

2 ·(u

5/2

5/2+ u

3/2

3/2

)+C = u

5/2

5 + u3/2

3 +C



http

s://a

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omel

on.c

om


= u√u3

5 +√u3

3 = 115 · (3u+ 5) ·

√u3 +C = 1

15 ·[3 · (x2 − 1) + 5

]·√

(x2 − 1)3 +C

= 115 · (3x

2 + 2) ·√

(x2 − 1)3 + C

57∫ √1 + x√

1− x2dx =

∫��

�√1 + x

��√

1 + x ·√

1− xdx =

∫ 1√1− x

dx

={u = 1− xdu = −dx⇒ −du = dx

}=∫− 1√

udu = −

∫u−

1/2 du = −u1/2

1/2+ C

= −2√u+ C = −2

√1− x+ C

58∫ √

1 +√x dx =

u =√x ⇒ du = 1

2√xdx

2√x du = dx ⇒ 2u du = dx

=∫

2u ·√

1 + u du

={t = 1 + u⇒ t− 1 = udt = du

}=∫

2 · (t− 1) ·√t dt =

∫ (2t3/2 − 2t1/2

)dt

= 2t5/2

5/2− 2t3/2

3/2+ C = 4

15 · t3/2 · (3t− 5) + C = 4

15 · (1 + u)3/2 · (3(1 + u)− 5) + C

= 415 ·

√(1 + u)3 · (3u− 2) + C = 4

15 ·√(

1 +√u)3·(3√x− 2

)+ C

59∫ 1x+√xdx =

u =√x ⇒ u2 = x

du = 12√xdx ⇒ 2

√x du = dx

=∫ 1u2 + u

· 2u du

=∫ 2u+ 1 du =

{t = u+ 1dt = du

}= 2

∫ 1tdt = 2 ln |t|+ C = 2 ln |u+ 1|+ C

= 2 ln∣∣∣√x+ 1

∣∣∣+ C

60∫

ln(x+√x)dx =

u = ln (x+√x) ⇒ du =

1 + 12√

x

x+√xdx

dv = 1 dx ⇒ v = x

= x · ln(x+√x)

−∫x ·

1 + 12√

x

x+√xdx∗©= x · ln

(x+√x)−(x−√x+ ln

∣∣∣1 +√x∣∣∣)+ C

= x · ln(x+√x)− x+

√x− ln

∣∣∣1 +√x∣∣∣+ C

∗©∫x ·

1 + 12√

x

x+√xdx =

∫�x ·

2√x+ 1

2�x√x+ 2�x

dx =∫ 2√x+ 1

2√x+ 2 dx

=

u =√x

du = 12√xdx⇒ 2

√x du = dx

=∫ 2u+ 1�2u+ �2

· �2√x︸︷︷︸

u

du =∫ 2u2 + u

u+ 1 du

•©=∫ (

2u− 1 + 1u+ 1

)du =

{t = u+ 1dt = du

}= u2 − u+

∫ 1tdt = u2 − u+ ln |t|+ C

= u2 − u+ ln |u+ 1|+ C = x−√x+ ln

∣∣∣1 +√x∣∣∣+ C


http

s://a

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on.c

om

•© 2u− 1u+ 1

)2u2 + u

− 2u2 − 2u− uu + 1

1

61∫ √

x · ln(√

x)dx =

t =√x

dt = 12√x⇒ 2√x dt = dx

=∫t · ln |t| · 2

√x︸︷︷︸

t

dt

=∫

2t2 · ln |t| dt =

u = ln |t| ⇒ du = 1

tdt

dv = 2t2 dt ⇒ v = 2t33

= 2t33 · ln |t| −

∫ 2t�3 2

3 · 1�tdt

= 2t33 · ln |t| −

∫ 2t23 dt = 2t3

3 · ln |t| −2t39 + C = 2

3 · t3 ·(

ln |t| − 13

)+ C

= 23 ·√x3 ·

(ln√x− 1

3

)+ C

62∫ ln

(x+√

1 + x2)

√1 + x2

dx =

u = x+√

1 + x2

du = 1 + 2x2√

1 + x2dx = 2

√1 + x2 + 2x2√

1 + x2dx

2√

1 + x2

2√

1 + x2 + 2xdu = dx

∫ ln |u|��

��√

1 + x2 ·�2��

�√1 + x2

�2√

1 + x2 + �2xdu =

∫ln |u| · 1√

1 + x2 + x︸︷︷︸1/u

du =∫ ln |u|

udu

=

t = ln |u|

dt = 1udu

=∫t dt = t2

2 + C = (ln |u|)2

2 = 12 ·[ln(x+√

1 + x2)]2

+ C

63∫ √√√√ ln

(x+√

1 + x2)

1 + x2 dx =∫ √

ln(x+√

1 + x2)

√1 + x2

dx

=

u = x+√

1 + x2

du = 1 + 2x2√

1 + x2dx = 2

√1 + x2 + 2x2√

1 + x2dx

2√

1 + x2

2√

1 + x2 + 2xdu = dx

=∫ √

ln |u|��

��√1 + x2 ·

�2��√

1 + x2

�2√

1 + x2 + �2xdu =

∫ √ln |u| · 1√

1 + x2 + x︸︷︷︸1/u

du =∫ √

ln |u|u

du



http

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om


=

t = ln |u|

dt = 1udu⇒ u dt = du

=∫ √t�u·�u dt =

∫ √t dt =

∫t

1/2 dt = t3/2

3/2+ C

= 23 · ln

3/2 |u|+ C = 23 · ln

3/2∣∣∣x+

√1 + x2

∣∣∣+ C

64∫ cosxesen x

dx =

u = sen x


=∫��cosxeu· 1��cosx du =

∫ 1eudu

=∫e−u du = −e−u + C = − 1

esen x+ C

65∫ arctan

(ln |x|

)x

dx =

t = ln |x|

dt = 1xdx⇒ x dt = dx

=∫ arctan t

�x�x dt

∫arctan t dt =

u = arctan t ⇒ du = 11 + t2

dt

dv = dt ⇒ v = t

= t · arctan t−∫ t

1 + t2dt

=

z = 1 + t2

dz = 2t dt⇒ 12t dz = dt

= t · arctan t−∫�t

z· 1

2�tdz = t · arctan t

= −12

∫ 1zdz = t · arctan t− 1

2 · ln |z|+ C = t · arctan t− 12 · ln (1 + t2) + C

= ln |x| · arctan(

ln |x|)− 1

2 · ln(1 + ln2 |x|

)+ C

66∫

sen 2x ·cosx dx =∫

2 · sen x ·cos2 x dx =

u = cosx


=∫

2 ·��sen u · u2 ·(− 1��sen x

)du = −

∫2u2 du = −2u3

3 + C = −23 · cos3 x+ C

67∫ 1

3√x+ x

dx =

u = 3√x ⇒ u3 = x

du = 13 3√x2dx ⇒ 3 3

√x2 du = dx

=∫ 1u+ u3 · 3

3√x2︸︷︷︸

u2

du

=∫ 3u2

u+ u3 du =∫ 3u

1 + u2 du =

t = 1 + u2

dt = 2u du⇒ 12u dt = du

=∫ 3�u

t· 12�u

dt = 32

∫ 1tdt = 3

2 · ln |t|+C = 32 · ln

∣∣∣1 + u2∣∣∣+C = 3

2 · ln∣∣∣1 + 3

√x2∣∣∣+C

68∫ √

x3 − 1x11 dx =

u = x3 − 1 ⇒ u+ 1 = x3

du = 3x2 dx ⇒ 13x2 du = dx

=∫ √

u

x11 ·1

3x2 du

= 13

∫ √u

x15 du = 13

∫ √u

(u+ 1)5 du = 13

∫ 1(u+ 1)2 ·

√u · 1

u+ 1 du


http

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=

t = 1

u+ 1 ⇒ u = 1− tt

dt = − 1(u+ 1)2 du ⇒ −(u+ 1)2 dt = du

= −1

3

∫ 1��

��(u+ 1)2 ·√u · t ·��

�(u+ 1)2 dt = −13

∫ √1− t�t· �t dt = −1

3

∫ √1− t dt

={z = 1− tdz = −dt

}= 1

3

∫ √z dz = 1

3 ·z

3/2

3/2+ C = 2

9 · z3/2 + C = 2

9 · (1− t)3/2 + C

= 29 ·(

1− 1u+ 1

)3/2

+ C = 29 ·(

x3 − 1x3 − 1 + 1

)3/2

+ C = 29 ·(x3 − 1x3

)3/2

+ C

69∫ 1

cosx dx =∫

secx dx =∫

secx · secx+ tan xsecx+ tan x dx =

∫ sec2 x+ secx · tan xsecx+ tan x dx

= u = secx+ tan xdu = (secx · tan x+ sec2 x) dx⇒ 1

secx · tan x+ sec2 xdu = dx

=∫((((

(((((((

sec2 x+ secx · tan xu

· 1

(((((((

((((secx · tan x+ sec2 xdu =

∫ 1udu = ln |u|+ C

= ln |secx+ tan x|+ C

70∫ 1

sen x dx =∫

cosecx dx =∫

cosecx · cosecx+ cotan xcosecx+ cotan x dx

=∫ cosec2 x+ cosecx · cotan x

cosecx+ cotan x dx

=

u = cosecx+ cotan xdu = (− cosecx · cotan x− cosec2 x) dx⇒ − du

cosecx · cotan x+ cosec2 x= dx

= −

∫((((

((((((((

((

cosec2 x+ cosecx · cotan xu

· 1

((((((((

((((((

cosecx · cotan x+ cosec2 xdu = −

∫ 1udu

= − ln |u|+ C = − ln |cosecx+ cotan x|+ C

71∫

cosx · ln (sen x) dx =

t = sen x

dt = cosx dx⇒ 1cosx dt = dx

=∫��cosx · ln |t| · 1

��cosx dt

=∫

ln |t| dt = u = ln |t| ⇒ du = 1

tdt

dv = dt ⇒ v = t

= t · ln |t| −∫�t ·

1�tdt = t · ln |t| − t+C

= t ·(

ln |t| − 1)

+ C = sen x ·(

ln |sen x| − 1)

+ C

72∫ ln (x2)

xdx =

u = ln (x2)

du = 2�xx�2dx⇒ x

2 du = dx

=∫ u

�x·�x2 du = 1

2

∫u du

= 12 ·

u2

2 + C = 14 · ln

2 (x2) + C



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73∫ 3√

1 +√x

√x

dx =

u = 1 +

√x

du = 12√x⇒ 2√x du = dx

=∫ 3√u

��√x· 2��√x du = 2

∫u

1/3 du

= 2 · u4/3

4/3+ C = 3

2u4/3 + C = 3

2 ·3

√(1 +√x)4

+ C

74∫ex · eex

dx =

u = ex


=∫��ex · eu · 1

��ex du =∫eu du

= eu + C = eex + C

75∫ √

x·e√

x dx =

t =√x ⇒ t2 = x

dt = 12√xdx ⇒ 2

√x dt = dx

=∫t·et ·2

√x︸︷︷︸

t

dt =∫

2t2 ·et dt

={u = 2t2 ⇒ du = 4t dtdv = et dx ⇒ v = et

}= 2t2 · et −

∫4t · et dt

={u = 4t ⇒ du = 4 dtdv = et dx ⇒ v = et

}= 2t2 · et −

(4t · et −

∫4et dt

)

= 2t2 · et − 4t · et + 4et + C =(2t2 − 4t+ 4

)· et + C =

(2x− 4

√x+ 4

)· e√

x + C

76∫ 1x ·√

1 + ln |x|dx =

u = 1 + ln |x|


=∫ 1�x ·√u·�x du =

∫u−

1/2 du

= u1/2

1/2+ C = 2

√u+ C = 2

√1 + ln |x|+ C

77∫ e

1/x

x2 dx =

u = 1

x

du = − 1x2 dx⇒ −x

2 du = dx

= −∫ eu

��x2 ·��x

2 du = −∫eu du

= −eu + C = −e1/x + C

78∫ cosx

1 + sen x dx =

u = sen x


=∫��cosx1 + u

· 1��cosx du =

∫ 11 + u

du ={t = 1 + udt = du

}=∫ 1tdt = ln |t|+ C

= ln |1 + u|+ C = ln |1 + sen x|+ C

79∫ex · sen (ex) · cos (ex) dx =

u = sen (ex)

du = ex · cos (ex)⇒ 1ex · cos (ex) du = dx

=∫��ex · u ·��cos (ex) · 1

��ex ·��cos (ex) du =∫u du = u2

2 + C = 12 · sen2 (ex) + C


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80∫ tan x

cosx dx =∫ sen x

cos x

cosx dx =∫ sen x

cos2 xdx =

u = cosx


= −

∫��sen xu2 ·

1��sen x du = −

∫u−2 du = −u

−1

−1 + C = 1u

+ C = 1cosu + C

81∫ 1ex + e−x

dx =∫ ex

e2x + 1 dx =

u = ex


=∫

��ex

u2 + 1 ·1��ex du =

∫ 1u2 + 1 du = arctan u+ C = arctan (ex) + C

82∫ 2

1 +√xdx =

u =√x

du = 12√xdx⇒ 2

√x du = dx

=∫ 2

1 + u· 2√x︸︷︷︸

u

du

=∫ 4u

1 + udu∗©=∫

4 du+∫ −4

1 + udu = 4u− 4 · ln (1 + u) + C

= 4√x− 4 · ln

(1 +√x)

+ C

∗© 4x+ 1

)4x− 4x− 4

− 4

83∫ 1√

1 + exdx =

u =√

1 + ex ⇒ u2 − 1 = ex

du = ex

2√

1 + exdx ⇒ 2

√1 + ex

exdu = dx

=∫ 1��

��√1 + ex

· 2��√

1 + ex

exdu = 2

∫ 1u2 − 1 du =

u = sec v ⇒ v = arc cos(

1u

)du = sec v · tan v dv

= 2

∫ 1sec2 v − 1 · sec v · tan v dv = 2

∫ 1tan�2 v

· sec v ·��tan v dv = 2∫ 1��cos vsen vcos v

dv

= 2∫ 1

sen v dv = 2∫

cosec v dv = 2∫

cosec v · cosec v + cotan vcosec v + cotan v dv

= 2∫ cosec2 v + cosec v · cotan v

cosec v + cotan v dv

=

t = cosec v + cotan v

dt = − cosec v · cotan v dv ⇒ −1cosec v · cotan v dt = dv

= 2

∫((((

(((((((

(((

cosec2 v + cosec v · cotan vt

· −1

(((((((

(((((((

cosec v · cotan v + cosec2 vdt = −2

∫ 1tdt

= −2 · ln |t|+ C = −2 · ln |cosec v + cotan v|+ C



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•©= −2 · ln∣∣∣ cosec

(arc cos (1/u)

)︸︷︷︸

u√u2−1

+ cotan (1/u)︸︷︷︸1√

u2−1

∣∣∣+ C

= −2 · ln∣∣∣∣∣ u√u2 − 1

+ 1√u2 − 1

∣∣∣∣∣+ C = −2 · ln∣∣∣∣∣ u+ 1√u2 − 1

∣∣∣∣∣+ C

= −2 · ln∣∣∣∣∣√

1 + ex + 1√1 + ex − 1

∣∣∣∣∣+ C = −2 · ln∣∣∣∣∣√

1 + ex + 1√ex

∣∣∣∣∣+ C

•© cosec(

arc cos (1/u))

= u√u2 − 1

cotan(

arc cos (1/u))

= 1√u2 − 1

84∫ √

a2 − x2 dx =∫ √√√√a2 ·

(1− x2

a2

)dx = a

∫ √1−

(x

a

)2dx

=

sen u = x

a⇒ u = arc sen

(xa

)cosu du = 1

adx ⇒ a · cosu du = dx

= a∫ √

1− sen2 u︸︷︷︸cos u

·a · cosu du

= a2∫

cos2 u du∗©= a2

∫ 1 + cos (2u)2 du = a2

2 ·[∫

du+ 12

∫2 · cos (2u) du

]

= a2

2 ·[u+ 1

2 · sen (2u)]

+ C = a2

2 ·[u+ 1

�2· �2 sen u · cosu

]+ C

•©= a2

2 ·[

arc sen (x/a) + sen(

arc sen (x/a))

︸︷︷︸xa

· cos(

arc sen (x/a))

︸︷︷︸√1−(x

a )2

]+ C

= a2

2 ·arc sen (x/a) + x

a·√

1−(x

a

)2+C = a2

2 · arc sen(x

a

)+ ax

2 ·√a2 − x2

a2 +C

= a2

2 · arc sen(x

a

)+�ax2 ·

1�a·√a2 − x2 + C = a2

2 · arc sen(x

a

)+ x

2 ·√a2 − x2 + C

∗©1 =��sen2 u cos2 u



•© sen(

arc sen (x/a))

= x

a

cos(

arc sen (x/a))

=√a2 − x2

a=√

1−(x

a

)2


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85∫ x2

4− x2 dx =

u =√

4− x2 ⇒ x =√

4− u2

du = −�2x�2√

4− x2du ⇒

√4− x2

−xdx

=∫ x�2

�u·

�u︷︸︸︷√4− x2

−�xdu

= −∫ √

4− u2 du84= −22

2 · arc sen(u

2

)− u

2 ·√

22 − u2 + C

= −2 · arc sen(√

4− x2

2

)−√

4− x2

2 ·√

4− (4− x2)︸︷︷︸x

= −2 · arc sen(√

4− x2

2

)− x ·

√4− x2

2 + C

86∫ 1√

x+ 3√xdx =

u = 3√x ⇒ x = u3

du = 13 3√x2dx ⇒ 3 3

√x2 du = dx

=∫ 1√

u3 + u· 3 ·

u2︷︸︸︷3√x2 du

=∫ 3u�2

�u ·(√

u+ 1) du =

∫ 3u√u+ 1 du =

t =√u ⇒ u = t2

dt = 12√udu ⇒ 2

√u dt = du

=∫ 3t2t+ 1 · 2

√u︸︷︷︸

t

dt = 6∫ t3

t+ 1 dx•©= 6

∫ (t2 − t+ 1

)dt− 6

∫ 1t+ 1 dt

= 6 ·(t3

3 −t2

2 + t

)− 6 · ln (t+ 1) + C = 2t3 − 3t2 + 6t− 6 · ln (t+ 1) + C

= 2√u3−3u+ 6

√u−6 · ln

(√u+ 1

)+C = 2

√x−3 3

√x+ 6 6

√x−6 · ln

(6√x+ 1

)+C

•© x2 − x + 1x+ 1

)x3

− x3 − x2

− x2

x2 + x

x− x− 1− 1

87∫ 2x

√1− 4x

dx =∫ 2x√

1− (2x)2dx =

u = 2x

du = 2x · ln 2 dx⇒ 12x · ln 2 du = dx

=∫

�u√1− u2

· 12x︸︷︷︸�u

· ln 2 du = 1ln 2

∫ 1√1− u2

du = 1ln 2 · arc sen u+ C

= 1ln 2 · arc sen (2x) + C



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88∫ x · arc sen x√

1− x2dx =

t = arc sen x ⇒ x = sen t

dt = 1√1− x2

dx ⇒√

1− x2 dt = dx

=∫ x · t��

��√1− x2 ·��

��√

1− x2 dt =∫t · sen t dt =

{u = t ⇒ du = dtdv = sen t dt ⇒ v = − cos t

}

= −t · cos t+∫

cos t dt = −t · cos t+ sen t+C = − arc sen x · cos (arc sen x)︸︷︷︸√1−x2

+x+C

= − arc sen x ·√

1− x2 + x+ C

89∫ √1− x2

x4 dx =

u = 1

x⇒ x = 1

u

du = − 1x2 dx ⇒ −x

2 du = dx

=∫ √

1− 1u2

1u4

·(− 1u2

)du

= −∫ √

1− 1u2 ·

u�4 2

��u2du = −

∫u ·√u2 − 1 du = −1

2

∫2u︸︷︷︸u′

·(u2 − 1

)1/2

︸︷︷︸u−1/2

du

= −1�2· (u2 − 1)3/2

3/�2+ C = −1

3 ·√

(u2 − 1)3 + C = −13 ·√( 1

x2 − 1)3

+ C

= −13 ·

√√√√(1− x2

x2

)3

+ C

90∫ 1x2 ·√x2 − 1

dx =

u = 1

x⇒ x = 1

u

du = − 1x2 ⇒ −x2 du = dx

=∫ 1

1��u2 ·

√1

u2 − 1·(− 1��u

2

)du =

∫ −u√1− u2

du = 12

∫−2u ·

(1− u2

)−1/2du

= 1�2· (1− u

2)1/2

1/�2+C =

√1− u2 +C =

√1− 1

x2 +C =√x2 − 1x2 +C =

√x2 − 1x

+C


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5Integracion por partes

Si recordamos le formula de derivacion de un producto:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Si ingeramos en ambos miembros respecto a x y pasamos restando a la izquierda obtene-mos la forumul de integracion por partes∫

u dv = u · v −∫v du

La forma tıpica de memorizar esta integral es la siguiente:∫u dv = u︸︷︷︸

Un

· v︸︷︷︸V aliente

−∫︸︷︷︸

Soldadito

v︸︷︷︸V estido

du︸︷︷︸De Uniforme

Si te preguntas como y cuando utilizar este metodo de integracion, la respuesta es cuandotengas el producto de dos funciones: la primera facil de derivar (u) y la segunda facil deintegrar (dv).

Pero hay multitud de ocasiones en que no vas a saber determinar quien es u y quiendv. Para ello la regla de los ALPES es fundamental. Lo que dice es que como u cogeremoslo primero que aparezca en esta lista:

A︸︷︷︸F uncion Arco

L︸︷︷︸Logaritmo

P︸︷︷︸P otencia

E︸︷︷︸Exponencial

S︸︷︷︸Seno/Coseno

Por ejemplo en la siguiente integral haremos la eleccion de u y v siguiente∫x · cosx dx =

{u = xdv = cosx dx

}

Derivamos u e integramos dv∫x · cosx dx =

{u = x ⇒ du = dx dxdv = cosx dx ⇒ v = sen x

}

Y aplicamos ”Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme”∫x · cosx dx =

{u = x ⇒ du = dxdv = cosx dx ⇒ v = sen x

}= x · sen x−

∫sen x dx

= x · sen x+ cosx+ C

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Capıtulo 5. Integracion por partes

5.1. Integrales por Partes. Ejercicios resueltos.1

∫x · sen x dx

2∫x · ex dx

3∫

ln |x| dx

4∫

(1− x) · e−x dx

5∫x2 ln |x| dx

6∫ √

x ln |x| dx

7∫

(x2 + 1) · cosx dx

8∫x · e−x/2 dx

9∫

sen2 x dx

10∫ x

2xdx

11∫

arc tg x dx

12∫

(x2 + x) · e−2x+1 dx

13∫

ln |x+ 1| dx

14∫ ln |x|

x2 dx

15∫x3 · e−x2

dx

16∫x · ln |x| dx

17∫x · ln2 |x| dx

18∫ex · cos (3x) dx

19∫x2 · cosx dx

20∫x2 · e2x dx

21∫

ln2 |x| dx

22∫

arc sen x dx

23∫x2 · sen x dx

24∫x3 · ln |x| dx

25∫

sec3 x dx

26∫ x · ex

(x+ 1)2 dx

27∫ 1x · ln3 |x|

dx

28∫ x · e2x

(2x+ 1)2 dx

29∫x · sec2 x dx

30∫ ln |2x|

x2 dx

31∫ x√

2 + 3xdx

32∫

arc cosx dx

33∫x2 ·√x− 1 dx

34∫ x3 · ex2

(x2 + 1)2 dx

35∫x · secx · tan x dx

36∫e2x · sen x dx

37∫ ln

√x√x

dx

38∫x · arctan x dx

39∫ex ·

(x2 − 2x− 1

)dx

40∫ x

cos2 xdx

41∫e−2x · (2x+ 1)2 dx

42∫ √

x · ln |x| dx

43∫

sen (ln |x|) dx

44∫

cos (ln |x|) dx

45∫x · arc cosx dx

46∫x · arc sen x dx

47∫

arctan x dx

48∫x2 · ln2 |x| dx

49∫ √

x · ln2 |x| dx

50∫x·cosecx·cotan x dx


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Solucion.

1∫x · sen x dx =

{u = x ⇒ du = dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

}= −x cosx+

∫cosx dx

= −x cosx+ sen x+ C

2∫x · ex dx =

{u = x ⇒ du = dxdv = ex dx ⇒ v = ex

}= x · ex −

∫ex dx = x · ex − ex + C

= (x− 1) · ex + C

3∫

ln |x| dx = u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv = dx ⇒ v = x

= x · ln |x|−∫x · 1xdx = x · ln |x|−

∫dx

= x · ln |x| − x+ C = x ·(

ln |x| − 1)

+ C

4∫

(1− x) · e−x dx ={u = 1− x ⇒ du = −dxdv = e−x dx ⇒ v = −e−x

}= −(1− x) · e−x −

∫e−x dx

= −(1− x) · e−x + e−x + C = (−1 + x+ 1) · e−x + C = x · e−x + C

5∫x2 ln |x| dx =

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv = x2 dx ⇒ v = x3

3

= x3

3 · ln |x| −∫ x�32

3 ·1�xdx

= x3

3 · ln |x| −∫ x2

3 dx = x3

3 · ln |x| −x3

9 + C = x3

3 ·(

ln |x| − 13

)+ C

6∫ √

x ln |x| dx =

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv =√x dx ⇒ v = 2

3√x3

= 23√x3 · ln |x| −

∫ 23√x3 · 1

xdx

= 23√x3 · ln |x| −

∫ 23√x dx = 2

3√x3 · ln |x| − 2

3

∫x

1/2 dx

= 23√x3 · ln |x| − 2

3 ·x

3/2

3/2= 2

3√x3 · ln |x| − 4

9 ·√x3 + C = 2

9√x3 ·

(3 ln |x| − 2

)+ C

7∫

(x2 + 1) · cosx dx ={u = x2 + 1 ⇒ du = 2x dxdv = cosx dx ⇒ v = sen x

}= (x2 + 1) · sen x

−∫

2x·sen x dx ={u = 2x ⇒ du = 2 dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

}= (x2 +1)·sen x−

[−2x·cosx

+∫

2 cosx dx]

= (x2+1)·sen x+2x·cosx−2 sen x+C = (x2−1)·sen x+2x·cosx+C

8∫x · e−x/2 dx =

{u = x ⇒ du = dxdv = e−

x/2 dx ⇒ v = −2 · e−x/2

}= −2x · e−x/2 +

∫2 · e−x/2 dx

= −2x · e−x/2 − 4e−x/2 + C = −2e−x/2 · (x+ 2) + C = − 2√ex· (x+ 2) + C



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9∫

sen2 x dx︸︷︷︸I

={u = sen x ⇒ du = cosx dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

}= − sen x · cosx+

∫cos2 x dx

= − sen x · cosx+∫ (

1− sen2 x)dx = − sen x · cosx+ x−

∫sen2 x dx︸︷︷︸

I

=⇒ 2I = − sen x · cosx+ x+ C =⇒ I = 12 · (x− sen x · cosx) + C

10∫ x

2xdx =

∫x · 2−x dx =

u = x ⇒ du = dx

dv = 2−x dx ⇒ v = −2−x

ln 2

= −x · 2−x

ln 2 −∫ −2−x

ln 2 dx

= −x · 2−x

ln 2 − 2−x

(ln 2)2 + C = − 2−x

(ln 2)2 · (x · ln 2 + 1) + C

11∫

arc tg x dx = u = arc tg x ⇒ du = 1

1 + x2 dx

dv = dx ⇒ v = x

= x · arc tg x−∫ x

1 + x2 dx

= x · arc tg x− 12

∫ 2x1 + x2 dx = x · arc tg x− 1

2 · ln∣∣∣1 + x2

∣∣∣+ C

12∫

(x2 + x) · e−2x+1 dx = u = x2 + x ⇒ du = (2x+ 1) dxdv = e−2x+1 dx ⇒ v = −1

2 · e−2x+1

= −1

2 · (x2 + x) · e−2x+1 +

∫ (x+ 1

2

)· e−2x+1 dx = −1

2 · (x2 + x) · e−2x+1− 1

4 · e−2x+1

+∫x · e−2x+1 dx =

u = x ⇒ du = dx

dv = e−2x+1 dx ⇒ v = −12 · e

−2x+1

= −1

4 · e−2x+1 ·

(2x2 + 2x+ 1

)− 1

2 · x · e−2x+1 +

∫ 12 · e

−2x+1 dx

= −14 · e

−2x+1 ·(2x2 + 2x+ 1

)− 1

2 · x · e−2x+1 − 1

4 · e−2x+1 + C

= −14 · e

−2x+1 ·(2x2 + 2x+ 1 + 2x+ 2

)= −1

2 · e−2x+1 · (x+ 1)2 + C

13∫

ln |x+ 1| dx = u = ln |x+ 1| ⇒ du = 1

x+ 1 dxdv = dx ⇒ v = x

= x · ln |x+ 1|−∫ x

x+ 1 dx

= x · ln |x+ 1| −∫ (

1− 1x+ 1

)dx = x · ln |x+ 1| − x+ ln |x+ 1|+ C

= (1 + x) · ln |x+ 1| − x+ C

14∫ ln |x|

x2 dx =

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv = 1x2 dx ⇒ v = −1

x

= − ln |x|x

+∫ 1x2 dx

= − ln |x|x− 1x

+ C = − ln |x|+ 1x

+ C


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om

15∫x3 ·e−x2

dx =

u = x2 ⇒ du = 2x dx

dv = x · e−x2dx ⇒ v = −1

2 · e−x2

= −x2 · e−x2

2 +∫x ·e−x2

dx

= −x2 · e−x2

2 − 12 · e

−x2 + C = −12 · e

−x2 · (x2 + 1) + C

16∫x · ln |x| dx =

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv = x dx ⇒ v = x2

2

= x2

2 · ln |x| −∫ x

2 dx

= x2

2 · ln |x| −x2

4 + C = x2

4 ·(2 ln |x| − 1

)+ C

17∫x · ln2 |x| dx =

u = ln2 |x| ⇒ du = 2 ln |x| · 1

xdx

dv = x dx ⇒ v = x2

2

= x2

2 · ln2 |x|

−∫ x�2

�2· �2 ln |x| · 1

�xdx = x2

2 · ln2 |x| −

∫x · ln |x| dx

16= x2

2 · ln2 |x| − x2

4 ·(2 ln |x| − 1

)+ C = x2

4 ·[2 ln2 |x| − 2 ln |x|+ 1

]+ C

18∫ex · cos (3x) dx︸︷︷︸

I

=

u = ex ⇒ du = ex dx

dv = cos (3x) dx ⇒ v = 13 sen (3x)

= 13 · e

x · sen (3x)

−∫ 1

3 · ex · sen (3x) dx =

u = ex ⇒ du = ex dx

dv = 13 sen (3x) dx ⇒ v = −1

9 cos (3x)

= 1

3 · ex · sen (3x)−

[−1

9 · ex · cos (3x) +

∫ 19e

x · cos (3x) dx]

= 19 · e

x ·(

3 sen (3x) + cos (3x))− 1

9

∫ex · cos (3x) dx︸︷︷︸

I

=⇒ I + 19I = 1

9 · ex ·(

3 sen (3x) + cos (3x))

+ C

=⇒ I = �910 ·

1�9·ex ·

(3 sen (3x)+cos (3x)

)+C = 1

10 ·ex ·(

3 sen (3x)+cos (3x))

+C

19∫x2 · cosx dx =

{u = x2 ⇒ du = 2x dxdv = cosx dx ⇒ v = sen x

}= x2 · sen x−

∫2x · sen x dx

={u = 2x ⇒ du = 2 dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

}= x2 · sen x−

[−2x cosx+

∫2 cosx dx

]= x2 · sen x+ 2x · cosx− 2 sen x+ C = (x2 − 2) · sen x+ 2x · cosx+ C



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20∫x2 · e2x dx =

u = x2 ⇒ du = 2x dxdv = e2x dx ⇒ v = 1

2 · e2x

= 12x

2 · e2x −∫�2x ·

1�2· e2x dx

= u = x ⇒ du = dx

dv = e2x dx ⇒ v = 12 · e

2x

= 12x

2 · e2x −[12x · e

2x −∫ 1

2 · e2x dx

]

= 12x

2 · e2x − 12x · e

2x + 14 · e

2x + C = 14 · e

2x ·(2x2 − 2x+ 1

)+ C

21∫

ln2 |x| dx = u = ln2 |x| ⇒ du = 2 ln |x| · 1

xdx

dv = dx ⇒ v = x

= x·ln2 |x|−∫�x·2 ln |x|· 1

�xdx

= x · ln2 |x| − 2∫

ln |x| dx = u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv = 2 dx ⇒ v = 2x

= x · ln2 |x| −

[2x · ln |x| −

∫2�x ·

1�xdx]

= x · ln2 |x| − 2x · ln |x|+ 2x+ C

= x ·[ln2 |x| − 2 · ln |x|+ 2

]+ C

22∫

arc sen x dx =

u = arc sen x ⇒ du = 1√1− x2

dx

dv = dx ⇒ v = x

= x · arc sen x

−∫ x√

1− x2dx = x · arc sen x−

∫x ·(1− x2

)−1/2dx

= x · arc sen x− 12

∫2x ·

(1− x2

)−1/2dx = x · arc sen x+ 1

�2· �2 ·

(1− x2

)1/2+ C

= x · arc sen x+√

1− x2 + C

23∫x2 · sen x dx =

{u = x2 ⇒ du = 2x dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

}= −x2 · cosx+

∫2x · cosx dx

={u = 2x ⇒ du = 2 dxdv = cosx dx ⇒ v = sen x

}= −x2 · cosx+ 2x · sen x−

∫2 sen x dx

= −x2 · cosx+ 2x · sen x+ 2 cosx+ C =(2− x2

)· cosx+ 2x · sen x+ C

24∫x3 · ln |x| dx =

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv = x3 dx ⇒ v = x4

4

= x4

4 · ln |x| −∫ x�43

4 ·1�xdx

= x4

4 · ln |x| −14

∫x3 dx = x4

4 · ln |x| −x4

16 + C = x4

16 · (4 ln |x| − 1) + C

25∫

sec3 x dx︸︷︷︸I

={u = secx ⇒ du = secx · tan x dxdv = sec2 x dx ⇒ v = tan x

}= secx · tan x

−∫

secx · tan2 x dx = secx · tan x−∫

secx ·(sec2 x− 1

)dx+ C


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= secx · tan x−∫


+∫

secx dx ∗©= secx · tan x− I + ln |secx · tan x|+ C

2I = secx·tan x+ln |secx+ tan x|+C ⇒ I = 12 ·(

secx·tan x+ln |secx+ tan x|)+C

∗©∫

secx dx =∫

secx ·(secx+ tan x

secx+ tan x

)dx =

∫ (sec2 x+ secx · tan xsecx+ tan x

)dx

={u = secx · tan xdu = (secx · tan x+ sec2 x) dx

}=∫ du

u= ln |y|+ C = ln |secx+ tan x|+ C

26∫ x · ex

(x+ 1)2 dx =

u = x · ex ⇒ du = (ex + x · ex) dx = (x+ 1) · ex dx

dv = 1(x+ 1)2 dx ⇒ v = − 1

x+ 1

= −x · e

x

x+ 1 +∫ 1��x+ 1 · (�

��x+ 1) · ex dx = −x · ex

x+ 1 + ex + C =(− x

x+ 1 + 1)· ex + C

= ex

x+ 1 + C

27∫ 1x · ln3 |x|

dx︸︷︷︸I

=

u = 1

ln3 |x|⇒ du = − 3

x · ln4 |x|dx

dv = 1xdx ⇒ v = ln |x|

= ��ln |x|

ln�3 2 |x|

+∫ 3 ·��

�ln |x|x · ln�4 3 |x|

dx = 1ln2 |x|

+ 3∫ 1x · ln3 |x| dx I

=⇒ I = 1ln2 |x|︸︷︷︸+3I

=⇒ −2I = 1ln2 |x|

+ C =⇒ I = − 12 · ln2 |x|

+ C

28∫ x · e2x

(2x+ 1)2 dx =

u = x · e2x ⇒ du = (2x+ 1) · e2x dx

dv = 1(2x+ 1)2 dx ⇒ v = − 1

2 · (2x+ 1)

= − x · e2x

2 · (2x+ 1) +∫��

��(2x+ 1) · e2x

2 ·��(2x+ 1) dx = − x · e2x

2 · (2x+ 1) + 12

∫e2x dx

= − x · e2x

2 · (2x+ 1) + e2x

4 + C = −��2x+��2x+ 1

4 · (2x+ 1) · e2x + C = e2x

4 · (2x+ 1) + C

29∫x · sec2 x dx =

{u = x ⇒ du = dxdv = sec2 x dx ⇒ v = tan x

}= x · tan x−

∫tan x dx

= x · tan x−∫ sen x

cosx dx = x · tan x+ ln |cosx|+ C

30∫ ln |2x|

x2 dx =

u = ln |2x| ⇒ du = 1

xdx

dv = 1x2 dx ⇒ v = −1

x

= − ln |2x|x

+∫ 1x2 dx

= − ln |2x|x− 1x

+ C = −1 + ln |2x|x

+ C



http

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31∫ x√

2 + 3xdx =

u = x ⇒ du = dx

dv = 1√2 + 3x

dx ⇒ v = 23 ·√

2 + 3x

= 2x3√

2 + 3x

−∫ 2

3√

2 + 3x dx = 2x3 ·√

2 + 3x− 23 ·

29 ·√

(2 + 3x)3 + C

= 2x3 ·√

2 + 3x− 4 · (2 + 3x) ·√

2 + 3x27 + C = 18x− 8− 12x

27 ·√

2 + 3x+ C

= 2 · (3x− 4) ·√

2 + 3x27 + C

32∫

arc cosx dx =

u = arc cos x ⇒ du = −1√1− x2

dx

dv = dx ⇒ v = x

= x · arc cosx

+∫ x√

1− x2dx = x · arc cosx− 1

�2· �2√

1− x2 + C = x · arc cosx−√

1− x2 + C

33∫x2 ·√x− 1 dx =

u = x2 ⇒ du = 2x dx

dv =√x− 1 dx ⇒ v = 2

3 ·√

(x− 1)3

= 2x2

3 ·√

(x− 1)3

−∫ 4x

3 ·√

(x− 1)3 dx =

u = 4x

3 ⇒ du = 43 dx

dv =√

(x− 1)3 dx ⇒ v = 25 ·√

(x− 1)5

= 2x2

3 ·√

(x− 1)3 −[8x

15 ·√

(x− 1)5 −∫ 8

15 ·√

(x− 1)5 dx]

= 2x2

3 ·√

(x− 1)3 − 8x15 ·

√(x− 1)5 + 16

105 ·√

(x− 1)7 + C

= 2105 ·

√(x− 1)3 ·

[35x2 − 28x · (x− 1) + 8 · (x− 1)2

]+ C

= 2105 ·

√(x− 1)3 ·

(15x2 + 12x+ 8

)+ C

34∫ x3 · ex2

(x2 + 1)2 dx =

u = x2 · ex2 ⇒ du = 2x · (1 + x2) · ex2

dx

dv = x

(x2 + 1)2 dx ⇒ v = − 12 · (x2 + 1)

= − x2 · ex2

2 · (x2 + 1) +∫�2x ·��(1 + x2) · ex2

�2 ·��(x2 + 1) dx = − x2 · ex2

2 · (x2 + 1) +∫x · ex2

dx

= − x2 · ex2

2 · (x2 + 1) + 12 · e

x2 + C = (−��x2 +��x2 + 1) · ex2

2 · (x2 + 1) + C = ex2

2x2 + 2 + C

35∫x · secx · tan x dx =

{u = x ⇒ du = dxdv = secx · tan x dx ⇒ v = secx

}= x · secx−

∫secx dx

∗©= x · secx− ln |secx+ tan x|+ C

∗©∫

secx dx =∫




http

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on.c

om

=

u = secx+ tan x

du = (secx · tan x+ sec2 x) dx⇒ 1secx · tan x+ sec2 x

du = dx

=∫((((

(((((((sec2 x+ secx · tan x

u· 1

(((((((

((((sec2 x+ secx · tan xdu =

∫ 1udu = ln |u|+ C


36∫e2x · sen x dx︸︷︷︸

I

={u = e2x ⇒ du = 2e2x dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

}= −e2x · cosx

+∫

2e2x · cosx dx ={u = 2e2x ⇒ du = 4e2x dxdv = cosx dx ⇒ v = sen x

}= −e2x · cosx+ 2e2x · sen x

− 4∫e2x sen x dx︸︷︷︸

I

=⇒ I = e2x · (2 sen x− cosx)− 4I

=⇒ I = 15 · e

2x · (2 sen x− cosx) + C

37∫ ln

√x√x

dx =

u = ln

√x ⇒ du =

12√

x√xdx = 1

2xdv = 1√

xdx ⇒ v = 2

√x

= 2√x · ln

√x

−∫�2√x · 1�2x

dx = 2√x · ln

√x−

∫ 1√xdx = 2

√x · ln

√x− 2

√x+ C

= 2√x ·(ln√x− 1

)+ C =

√x · (ln |x| − 2) + C

38∫x · arctan x dx =

u = arctan x ⇒ du = 1

1 + x2 dx

dv = x dx ⇒ v = x2

2

= x2

2 · arctan x−∫ x2

2 + 2x2 dx•©= x2

2 · arctan x−∫ 1

2 dx−∫ −1

2 + 2x2 dx

= x2

2 · arctan x− x

2 + 12

∫ 11 + x2 dx = x2

2 · arctan x− x

2 + 12 · arctan x+ C

= x2 + 12 · arctan x− x

2 + C

•© 12

2x2 + 2)

x2

− x2 − 1− 1

39∫ex ·

(x2 − 2x− 1

)dx =

{u = x2 − 2x− 1 ⇒ du = (2x− 2) dxdv = ex dx ⇒ v = ex

}



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


= (x2 − 2x− 1) · ex −∫

(2x− 2) · ex dx ={u = 2x− 2 ⇒ du = 2 dxdv = ex dx ⇒ v = ex

}

= (x2−2x−1)·ex−[(2x− 2) · ex −

∫2ex dx

]= (x2−2x−1)·ex−(2x−2)·ex+2ex+C

= (x2 − 2x− 1− 2x+ 2 + 2) · ex + C = (x2 − 4x+ 3) · ex + C

40∫ x

cos2 xdx =

u = x ⇒ du = dx

dv = 1cos2 x

dx ⇒ v = tan x

= x · tan x−∫

tan x dx

= x · tan x−∫ sen x

cosx dx = x · tan x+ ln |cosx|+ C

41∫e−2x · (2x+ 1)2 dx =

u = (2x+ 1)2 ⇒ du = 8x+ 4 dxdv = e−2x dx ⇒ v = −1

2 · e−2x

= −12 · e

−2x · (2x+ 1)2 +∫

(4x+ 2) · e−2x dx =

u = 4x+ 2 ⇒ du = 4 dx

dv = e−2x dx ⇒ v = −12 · e

−2x

= −1

2 · e−2x · (2x+ 1)2 − (2x+ 1) · e−2x +

∫2e−2x dx

= e−2x ·(−2x2 − 2x− 1

2 − 2x− 1)− e−2x + C = e−2x ·

(−2x2 − 4x− 3

2 − 1)

+ C

= e−2x ·(−2x2 − 4x− 5

2

)+ C

42∫ √

x · ln |x| dx =

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv =√x dx ⇒ v = 2

3√x3

= 23√x3 · ln |x| −

∫ 23√x3 · 1

xdx

= 23√x3 · ln |x| −

∫ 23√x dx = 2

3√x3 · ln |x| − 4

9√x3 +C = 2

9√x3 ·

)3 ln |x|

)− 2 +C

43∫

sen (ln |x|) dx︸︷︷︸I

= u = sen (ln |x|) ⇒ du = cos (ln |x|) · 1

xdx

dv = dx ⇒ v = x

= x · sen (ln |x|)

−∫�x · cos (ln |x|) · 1

�xdx =

u = cos (ln |x|) ⇒ du = − sen (ln |x|) · 1xdx

dv = dx ⇒ v = x

= x · sen (ln |x|)− x · cos (ln |x|)−

∫�x · sen (ln |x|) · 1

�xdx

= x ·[

sen (ln |x|)− cos (ln |x|)]−∫

sen (ln |x|) dx︸︷︷︸I

=⇒ 2I = x·[

sen (ln |x|)−cos (ln |x|)]+C =⇒ I = x

2 ·[

sen (ln |x|)−cos (ln |x|)]+C

44∫

cos (ln |x|) dx︸︷︷︸I

= u = cos (ln |x|) ⇒ du = − sen (ln |x|) · 1

xdx

dv = dx ⇒ v = x

= x·cos (ln |x|)


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+∫�x · sen (ln |x|) · 1

�xdx =

u = sen (ln |x|) ⇒ du = cos (ln |x|) · 1xdx

dv = dx ⇒ v = x

= x · cos (ln |x|) + x · sen (ln |x|)−

∫�x · cos (ln |x|) · 1

�xdx

= x ·[

sen (ln |x|) + cos (ln |x|)]−∫

cos (ln |x|) dx︸︷︷︸I

=⇒ 2I = x·[

sen (ln |x|)+cos (ln |x|)]+C =⇒ I = x

2 ·[

sen (ln |x|)+cos (ln |x|)]+C

45∫x · arc cos x dx =

u = arc cos x ⇒ du = − 1√

1− x2dx

dv = x dx ⇒ v = x2

2

= x2

2 · arc cosx

+∫ x2

2√

1− x2dx *©= x2

2 · arc cosx− 14 ·(arc cosx+ x ·

√1− x2

)+ C

∗©∫ x2

2√

1− x2dx =

{x = cosu⇒ dx = − sen u du1− x2 = 1− cos2 u = sen2 u

}=∫− cos2 u

2��sen u ·��sen u du

= −12

∫cos2 u du

•©= −12

∫ 1 + cos (2u)2 du =

t = 2udt = 2 du⇒ 1

2 dt = du

= −1

8

∫(1 + cos t) dt = −1

8 · (t+ sen t) = −18 ·(2u+ sen (2u)

)+ C

= −18 · (2u+ 2 sen u · cosu) = −1

4 ·(

arc cosx+ sen (arc cosx)︸︷︷︸√1−x2

· cos (arc cosx)︸︷︷︸x

)+ C

= −14 ·(arc cosx+ x ·

√1− x2

)+ C

•©

1 =��sen2 u+ cos2 u

cos (2u) = cos2 u−��sen2 u1 + cos (2u) = 2 cos2 u

=⇒ cos2 u = 1 + cos (2u)2

46∫x · arc sen x dx =

u = arc sen x ⇒ du = 1√

1− x2dx

dv = x dx ⇒ v = x2

2

= x2

2 · arc sen x

−∫ x2

2√

1− x2dx =

{x = cosu⇒ u = arc cos xdx = − sen u du

}= x2

2 · arc sen x

−∫ cos2 u

2√

1− cos2 u· (− sen u) du = x2

2 · arc sen x+ 12

∫ cos2 u

��sen u ·��sen u du

= x2

2 · arc sen x+ 12

∫cos2 u du

∗©= x2

2 · arc sen x+ 14 ·(arc cos x+ x ·

√1− x2

)+ C



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∗©∫

cos2 u du•©=∫ 1 + cos (2u)

2 du = 12

∫(1 + cos (2u)) du = u

2 + 12

∫cos (2u) du

= u

2 + 14

∫2 · cos (2u)︸︷︷︸

v′·cos v

du = u

2 + 14 · sen (2u) + C = u

2 + 1�42 · �2 sen u · cosu+ C

= 12 ·(u+ sen u · cosu

)+ C = 1

2 ·

arc cos x+ sen(

arc cosx)

︸︷︷︸√1−x2

· cos(

arc cosx)

︸︷︷︸x

+ C

= 12 ·(arc cosx+

√1− x2 · x

)+ C = 1

2 ·(arc cos x+ x ·

√1− x2

)+ C

•©

1 =��sen2 u+ cos2 u

cos (2u) = cos2 u−��sen2 u1 + cos (2u) = 2 cos2 u

=⇒ cos2 u = 1 + cos (2u)2

47∫

arctan x dx =

u = arctan x ⇒ du = 11 + x2 dx

dv = dx ⇒ v = x

= x · arctan x−∫ x

1 + x2 dx

= x · arctan x− 12

∫ 2x1 + x2︸︷︷︸

u′/u

dx = x · arctan x− 12 · ln

∣∣∣1 + x2∣∣∣+ C

48∫x2 · ln2 |x| dx =

u = ln2 |x| ⇒ du = 2 · ln |x| · 1

xdx

dv = x2 dx ⇒ v = x3

3

= x3

3 · ln2 |x|

−∫ x�3 2

3 ·2·ln |x|·1�xdx = x3

3 ·ln2 |x|−2

3

∫x2·ln |x| dx =

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv = x2 dx ⇒ v = x3

3

= x3

3 · ln2 |x|− 2

3 ·[x3

3 · ln |x|−∫ x�3 2

3 ·1�xdx]

= x3

3 · ln2 |x|− 2

3 ·[x3

3 · ln |x|−13

∫x2 dx

]

= x3

3 · ln2 |x| − 2x3

9 · ln |x|+2x3

27 + C = x3

27 ·(

9 · ln2 x|x| − 6 · ln |x|+ 2)

+ C

49∫ √

x · ln2 |x| dx =

u = ln2 |x| ⇒ du = 2 · ln |x| · 1

xdx

dv =√x dx ⇒ v = 2

√x3

3

= 2√x3

3 · ln2 |x| −∫ 2√x3

3 · 2 · ln |x| · 1xdx = 2

√x3

3 · ln2 |x| − 43

∫ √x · ln |x| dx

=

u = ln |x| ⇒ du = 1

xdx

dv =√x dx ⇒ v = 2

√x3

3

= 2√x3

3 · ln2 |x| − 43 ·[2√x3

3 · ln |x|


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−∫ 2√x3

3 · 1xdx]

= 2√x3

3 · ln2 |x| − 43 ·[2√x3

3 · ln |x| − 23

∫ √x dx

]

= 2√x3

3 · ln2 |x| − 43 ·[2√x3

3 · ln |x| − 49√x3]

+ C

= 2√x3

27 ·(

9 · ln2 |x| − 12 · ln |x|+ 8)

+ C

50∫x · cosecx · cotan x dx =

{u = x ⇒ du = dxdv = cosecx · cotan x dx ⇒ v = − cosecx

}

= −x · cosecx+∫

cosecx dx ∗©= −x · cosecx− ln |cosecx+ cotan x|+ C

∗©∫

cosecx dx =∫

cosecx· cosecx+ cotan xcosecx+ cotan x dx =

∫ cosec2 x+ cosecx · cotan xcosecx+ cotan x dx

=

u = cosecx+ cotan x

du = (− cosecx · cotan x− cosec2 x) dx⇒ −1cosecx · cotan x+ cosec2 x

du = dx

=∫((((

(((((((

(((


·

−1

(((((((

(((((((

cosecx · cotan x+ cosec2 x

du = −∫ 1udu

= − ln |u|+ C = − ln |cosecx+ cotan x|+ C



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6Integrales Trigonometricas

Una recomendacion generica que suele ser muy util es expresar las potencias de las fun-ciones trigonometricas mediante funciones de angulos multiples. Esto se logra aplicandolas siguientes identidades:

cos2n+1 x =(eix + e−ix

2

)2n+1

= 122n

n∑k=0

(2n+ 1k

)cos

((2n+ 1)− 2k

)x

cos2n x =(eix + e−ix

2

)2n

= 122n

(2nn

)+ 2

22n

n−1∑k=0

(2nk

)cos (2n− 2k)x

Veamos unos ejemplos:

cos2 x = 122

(21

)+ 2

22

(20

)cos (2− 0)x+ C = 1

�42 · �2 + �2�42 cos (2x) + C

= 12 + 1

2 · cos (2x)

cos3 x = 14

(30

)cos (3x) + 1

4

(31

)cosx+ C = 1

4 · cos (3x) + 34 · cosx

cos4 x = 116

(42

)+ 2

16

(40

)cos (4x) + 2

16

(41

)cos (2x) + C

= 38 + 1

8 · cos (4x) + 12 · cos (2x)

cos5 x = 116

(50

)cos (5x) + 1

16

(51

)cos (3x) + 1

16

(52

)cosx+ C

= 116 · cos (5x) + 5

16 · cos (3x) + 58 · cosx

105

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Capıtulo 6. Integrales Trigonometricas

6.1. Potencias de senos y cosenos∫

senn x · cosm x dx

En general lo que vamos a intentar es tener un solo seno y el resto cosenos o viceversa.Para ello nos apoyaremos en la ecuacion fundamental de la trigonometrıa:

sen2 x+ cos2 x = 1

Como puedes comprobar de esta forma podremos sustituir potencias pares de una razontrigonometrica en terminos de la otra.

Estudiaremos tres tipologıas diferentes:

6.1.1. Cuando n es impar∫

senn x · cosm x dx

Cuando n es impar (n = 2k + 1) podemos apartar un seno y agrupar el resto enpotencias de 2 de manera que haciendo el cambio sen2 x = 1 − cos2 x los escribamos enterminos del coseno.∫

sen2k+1 · cosm x dx =∫

sen x · sen2k x · cosm x dx =∫

sen x ·(sen2 x

)k· cosm x dx

=∫


)k· cosm x dx

que resolveremos con el cambio de variable siguiente

=

u = cosx


=∫��sen x ·

(1− u2

)k· um ·

(− 1��sen x

)du = −

∫ (1− u2

)k· um du

Veamos un ejemplo:∫sen5 · cos2 x dx =

∫sen x · sen4 x · cos2 x dx =

∫sen x ·

(sen2 x

)2· cos2 x dx

=∫


)2· cos2 x dx

=

u = cosx


=∫��sen x ·

(1− u2

)2· u2 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫ (1− u2

)2· u2 du

= −∫ (

u6 − 2u4 + u2)du = −u

7

7 + 2u5

5 −u3

3 + C

= −17 cos7 x+ 2

5 cos5−13 cos3 x+ C


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senn x · cosm x dx

En este caso es el coseno el que esta elevado a una potencia impar m = 2k+ 1, por loque apartaremos un coseno y escribiremos el resto en funcion del seno∫

sinn x · cos2k+1 dx =∫

sinn x · cosx · cos2k x dx =∫

sinn x · cosx ·(cos2 x

)kdx

=∫

sinn x · cosx ·(1− sen2 x

)kdx

=

u = sen x


=∫unx ·��cosx ·

(1− u2

)k· 1��cosx du =

∫un ·

(1− u2

)kdu

Veamos un ejemplo∫sen2 x · cos3 x dx =

∫sen2 x · cos2 x · cosx dx =

∫sen2 x ·

(1− sen2 x

)· cosx dx

= u = sen xdu = cosx dx⇒ 1

cosx du = dx

=∫u2 ·

(1− u2

)·��cosx · 1

��cosx du =∫u2 ·

(1− u2

)du

=∫ (

u2 − u4)du = u3

3 + u5

5 + C = 13 sen3 x− 1

5 sen5 x+ C

6.1.3. Cuando m y n son pares∫

senn x · cosm x dx

Si ambas potencias son pares, esto es, n = 2k y m = 2p utilizaremos las identidadesdel angulo mitad siguientes:

sen2 x = 1− cos (2x)2

cos2 x = 1 + cos (2x)2

sen (2x) = 2 · sen x · cosx =⇒ sen x · cosx = 12 sen (2x)



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Veamos un ejemplo:

∫sen2 x · cos4 x dx =

∫sen2 x ·

(cos2 x

)2dx =

∫ (1− cos (2x)2

)·(

1 + cos (2x)2

)2

dx

=∫ (1− cos (2x)

2

)·(

1 + cos (2x)2

)·(

1 + cos (2x)2

)dx

= 18

∫ (1− cos2 (2x)

)·(1 + cos (2x)

)dx = 1

8

∫sen2 (2x) ·

(1 + cos (2x)

)dx

= 18

∫sen2 (2x) dx+ 1

8

∫sen2 (2x) · cos (2x) dx

= 18

∫ 1− cos (4x)2 dx+ 1

8 ·12

∫sen2 (2x)︸︷︷︸

u2

· 2 · cos (2x)︸︷︷︸u′

dx

= 116

∫dx− 1

16

∫cos (4x) dx+ 1

16 ·sen3 (2x)

3= x

16 −116 ·

14

∫4 · cos (4x) dx+ 1

48 · sen3 (2x)

= x

16 −164 sen (4x) + 1

48 · sen3 (2x) + C

6.1.4. Formulas de Reduccion

Para las potencias de las funciones trigonometricas podemos utilizar las siguientesformulas de reduccion que resultan de mucha utilidad:∫

senn x dx = − 1n· senn−1 x · cosx+ n− 1

n

∫senn−2 x dx∫

cosn dx = 1n· cosn−1 x · sen x+ n− 1

n

∫cosn−2 x dx


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6.1.5. Ejercicios resueltos∫

senn x · cosm x dx

1∫

sen2 x dx

2∫

sen3 x dx

3∫

sen4 x dx

4∫

sen5 x dx

5∫

sen6 x dx

6∫

cos2 x dx

7∫

cos3 x dx

8∫

cos4 x dx

9∫

cos5 x dx

10∫

cos6 x dx

11∫

sen x · cosx dx

12∫

sen x · cos2 x dx

13∫

sen x · cos3 x dx

14∫

sen x · cos4 x dx

15∫

sen x · cos5 x dx

16∫

sen x · cos6 x dx

17∫

sen2 x · cosx dx

18∫

sen2 x · cos2 x dx

19∫

sen2 x · cos3 x dx

20∫

sen2 x · cos4 x dx

21∫

sen2 x · cos5 x dx

22∫

sen2 x · cos6 x dx

23∫

sen3 x · cosx dx

24∫

sen3 x · cos2 x dx

25∫

sen3 x · cos3 x dx

26∫

sen3 x · cos4 x dx

27∫

sen3 x · cos5 x dx

28∫

sen3 x · cos6 x dx

29∫

sen4 x · cosx dx

30∫

sen4 x · cos2 x dx

31∫

sen4 x · cos3 x dx

32∫

sen4 x · cos4 x dx

33∫

sen4 x · cos5 x dx

34∫

sen4 x · cos6 x dx

35∫

sen5 x · cosx dx

36∫

sen5 x · cos2 x dx

37∫

sen5 x · cos3 x dx

38∫

sen5 x · cos4 x dx

39∫

sen5 x · cos5 x dx

40∫

sen5 x · cos6 x dx

41∫

sen6 x · cosx dx

42∫

sen6 x · cos2 x dx

43∫

sen6 x · cos3 x dx

44∫

sen6 x · cos4 x dx

45∫

sen6 x · cos5 x dx

46∫

sen6 x · cos6 x dx



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Solucion.

1∫

sen2 x dx =∫ (

1− cos2 x)dx = x−

∫cos2 x dx

6= x−

(x

2 + 14 sen (2x)

)+ C

= x

2 −14 · sen (2x) + C

Otra forma:∫sen2 x dx =

∫ 1− cos (2x)2 dx = 1

2

∫dx− 1

2 ·12

∫2 · cos (2x) dx

= x

2 −14 · sen (2x) + C

Metodo de reduccion:∫sen2 x dx =

{∫senn x dx = − 1

n· senn−1 x · cosx+ n− 1

n

∫senn−2 x dx

}

= −12 · sen x · cosx+ 1

2

∫dx = −1

2 · sen x · cosx+ x

2 + C

2∫

sen3 x dx =∫

sen2 x · sen x dx =∫ (

1− cos2 x)· sen x dx

=

u = cosx


=∫ (

1− u2)·��sen x ·

(− 1��sen x

)du

= −∫ (

1− u2)du = −u+ u3

3 + C = − cosx+ 13 · cos3 x+ C




n

∫senn−2 x dx

}

= −13 · sen2 x · cosx+ 2

3

∫sen x dx = −1

3 · sen2 x · cosx− 23 · cosx+ C

= −13 ·(1− cos2 x

)· cosx− 2

3 · cosx+ C = − cosx+ 13 · cos3 x+ C

3∫

sen4 x dx︸︷︷︸I

={u = sen3 x ⇒ du = 3 · sen2 x · cosx dxdv = sen x dx ⇒ v = − cosx

}

= − sen3 x·cosx+∫

3·sen2 x·cos2 x dx = − sen3 x·cosx+∫

3·sen2 x·(1− sen2 x

)dx

= − sen3 x · cosx+ 3∫

sen2 x dx− 3∫

sen4 x dx︸︷︷︸3I

1=⇒ 4I = − sen3 x · cosx+ 3 ·

(x

2 −14 · sen (2x)

)

=⇒ I = −14 sen3 x · cosx+ 3x

8 −316 · sen (2x) + C

Otra forma:


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∫sen4 x dx =

∫ (sen2 x

)2dx =

∫ (1− cos (2x)2

)2

dx = 14

∫ [1− cos (2x)

]2dx

= 14

∫ (1− 2 · cos (2x) + cos2 (2x)

)dx = 1

4

∫dx−1

4

∫2·cos (2x) dx+1

4

∫cos2 (2x) dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= x

4 −14 · sen (2x) + 1

4

∫cos2 u · 1

2 du

6= x

4 −14 · sen (2x)+ 1

8

(u

2 + 14 · sen (2u)

)= x

4 −14 · sen (2x)+ 1

8

(2x2 + 1

4 · sen (4x))

= 3x8 −

14 · sen (2x) + 1

32 · sen (4x) + C




n

∫senn−2 x dx

}

= −14 ·sen3 x·cosx+3

4

∫sen2 x dx

1= −1

4 sen3 x·cosx+34 ·(−1

2 sen x · cosx+ x

2

)+C

= 3x8 −

38 · sen x · cosx− 1

4 · sen3 x · cosx+ C

4∫

sen5 x dx =∫ (

sen2 x)2· sen x dx =

∫ (1− cos2 x

)2· sen x dx

= u = cosxdu = − sen x⇒ − 1

sen x du = dx

=∫ (

1− u2)2·��sen x

(− 1��sen x

)du

= −∫ (

1− 2u2 + u4)dx = −u+ 2u3

3 + u5

5 +C = − cosx+ 23 · cos3 3 + 1

5 · cos5 x+C




n

∫senn−2 x dx

}

= −15 ·sen4 x ·cosx+ 4

5

∫sen3 x dx

2= −1

5 sen4 x ·cosx+ 45

(− cosx+ 1

3 · cos3 x)

+C

= −15 · sen4 x · cosx− 4

5 · cosx+ 415 · cos3 x+ C

5∫

sen6 x dx =∫ (

sen2 x)3dx =

∫ (1− cos (2x)2

)3

dx

= 18

∫ (1− 3 · cos (2x) + 3 · cos2 (2x)− cos3 (2x)

)dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 18

∫ (1− 3 · cosu+ 3 · cos2 u− cos3 u

)· 1

2 du

= 116

∫du− 3

16

∫cosu du+ 3

16

∫cos2 u du− 1

16

∫cos3 u du



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6= u

16 −316 · sen u+ 3

16 ·(u

2 + 14 · sen (2u)

)− 1

16

∫cos3 u du

7= 5u

32 −316 · sen u+ 3

64 · sen (2u)− 116

( 112 · sen (3u) + 3

4 · sen u)

+ C

= 5u32 −

1564 · sen u+ 3

64 · sen (2u)− 1192 · sen (3u) + C

= 5x16 −

1564 · sen (2x) + 3

64 · sen (4x)− 1192 · sen (6x) + C




n

∫senn−2 x dx

}

= −16 · sen5 x · cosx+ 5

6

∫sen4 x dx

3= −1

5 · sen5 x · cosx

+ 56 ·(3x

8 −38 · sen x · cosx− 1

4 · sen3 x · cosx)

+ C

= 5x16 −

516 · sen x · cosx− 5

32 · sen3 x · cosx− 15 · sen5 x · cosx+ C

6∫

cos2 x dx ={

cos2n x = 122n

(2nn

)+ 2

22n

n−1∑k=0

(2nk

)cos (2n− 2k)x

}

=∫ (1

2 + 12 · cos (2x)

)dx = 1

2

∫dx+ 1

2 ·12

∫2 · cos (2x) dx

= x

2 + 14 · sen (2x) + C

Otra forma:∫cos2 x dx =

∫ 1 + cos (2x)2 dx = 1

2

∫dx+1

2 ·12

∫2·cos (2x) dx = x

2 +14 ·sen (2x)+C

Metodo de reduccion:∫cos2 x dx =

{∫cosn dx = 1

n· cosn−1 x · sen x+ n− 1

n

∫cosn−2 x dx

}

= 12 · cosx · sen x+ 1

2

∫dx = 1

2 · cosx · sen x+ x

2 + C

7∫

cos3 x dx ={

cos2n+1 x = 122n

n∑k=0

(2n+ 1k

)cos

((2n+ 1)− 2k

)x

}

=∫ (1

4 · cos (3x) + 34 · cosx

)dx = 1

4 ·13

∫3 · cos (3x) dx+ 3

4

∫cosx dx

= 112 · sen (3x) + 3

4 · sen x+ C

Otra forma∫cos3 x dx =

∫cos2 x · cosx dx =

∫ (1− sen2 x

)· cosx dx


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

=

u = sen x


=∫ (

1− u2)·��cosx · 1

��cosx du

=∫ (

1− u2)du = u− u3

3 + C = sen x− 13 · sen3 x+ C


{∫cosn dx = 1


n

∫cosn−2 x dx

}

= 13 · cos2 x · sen x+ 2

3

∫cosx dx = 1

3 · cos2 x · sen x+ 23 · sen x+ C

8∫

cos4 x dx

{cos2n x = 1

22n

(2nn

)+ 2

22n

n−1∑k=0

(2nk

)cos (2n− 2k)x

}

=∫ (3

8 + 18 · cos (4x) + 1

2 · cos (2x))dx

= 38

∫dx+ 1

8 ·14

∫4 · cos (4x) dx+ 1

2 ·12

∫2 · cos (2x) dx

= 3x8 + 1

32 · sen (4x) + 14 · sen (2x) + C

Otra forma:∫cos4 x dx =

∫ (cos2 x

)2dx =

∫ (1 + cos (2x)2

)2

dx

= 14

∫ (1 + 2 cos (2x) + cos2 (2x)

)dx = 1

4

∫dx+ 1

4

∫2 cos (2x) dx+ 1

4

∫cos2 (2x) dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= x

4 + 14 · sen (2x) + 1

8

∫cos2 u du

6= x

4 + 14 · sen (2x) + 1

8 ·(u

2 + 14 · sen (2u)

)+ C

= x

4 + 14 · sen (2x) + x

8 + 132 · sen (4x) + C = 3x

8 + 14 · sen (2x) + 1

32 · sen (4x) + C


{∫cosn dx = 1


n

∫cosn−2 x dx

}

= 14 ·cos3 x·sen x+ 3

4

∫cos2 x dx

6= = 1

4 ·cos3 x·sen x+ 34 ·(1

2 · cosx · sen x+ x

2

)+C

= 3x8 + 3

8 · cosx · sen x+ 14 · cos3 x · sen x+ C

9∫

cos5 x dx ={

cos2n+1 x = 122n

n∑k=0

(2n+ 1k

)cos

((2n+ 1)− 2k

)x

}

=∫ ( 1

16 · cos (5x) + 516 · cos (3x) + 5

8 · cosx)dx



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


= 116 ·

15

∫cos (5x) dx+ 5

16 ·13

∫cos (3x) dx+ 5

8

∫cosx dx

= 180 · sen (5x) + 5

48 · sen (3x) + 58 · sen x+ C

Otra forma:∫cos5 x dx

∫ (cos2

)2x · cosx dx

∫ (1− sen2 x

)2dx

= u = sen xdu = cosx dx⇒ 1

cosx du = dx

=∫ (

1− u2)2·��sen x· 1

��cosx du =∫ (

1− u2)2du

=∫ (

1− 2u2 + u4)du = u− 2u3

3 + u5

5 + C = sen x− 23 · sen3 x+ 1

5 sen5 x+ C


{∫cosn dx = 1


n

∫cosn−2 x dx

}

= 15 · cos4 x · sen x+ 4

5

∫cos3 x dx

7= 1

5 · cos4 x · sen x+ 45 ·(1

3 · cos2 x · sen x+ 23 · sen x

)+ C

= 815 · sen x+ 4

15 · cos2 x · sen x+ 15 · cos4 x · sen x+ C

10∫

cos6 x dx =∫ (

cos2 x)3dx =

∫ (1 + cos (2x)2

)3

dx

= 18

∫ (1 + 3 · cos (2x) + 3 · cos2 (2x) + cos3 (2x)

)dx =

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 1

8

∫ (1 + 3 · cosu+ 3 · cos2 u+ cos3 u

)· 1

2 du

= 116

∫du+ 3

16

∫cosu du+ 3

16

∫cos2 u du+ 1

16

∫cos3 u du

= u

16 + 316 · sen u+ 3

16

∫cos2 u du+ 1

16

∫cos3 u du

6= u

16 + 316 · sen u+ 3

16 ·(u

2 + 14 · sen (2u)

)+ 1

16

∫cos3 u du

= 5u32 + 3

16 · sen u+ 364 · sen (2u) + 1

16

∫cos3 u du

7= 5u

32 + 316 · sen u+ 3

64 · sen (2u) + 116 ·

( 112 · sen (3u) + 3

4 · sen u)

+ C

= 5u32 + 15

64 · sen u+ 364 · sen (2u) + 1

192 · sen (3u) + C


{∫cosn dx = 1


n

∫cosn−2 x dx

}


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

= 16 · cos5 x · sen x+ 5

6

∫cos4 x dx

8= 1

6 · cos5 x · sen x+ 56

(3x8 + 3

8 · cosx · sen x+ 14 · cos3 x · sen x

)+ C

= 5x16 + 5

16 · cosx · sen x+ 524 · cos3 x · sen x+ 1

6 · cos5 x · sen x+ C

11∫

sen x · cosx dx =

u = sen x

du = cosx⇒ 1cosx du = dx

=∫u ·��cosx · 1

��cosx du

=∫u du = u2

2 + C = 12 · sen2 x+ C

Otra forma:∫sen x · cosx dx = 1

2

∫2 · sen x · cosx dx = 1

2

∫sen (2x) dx = 1

2 ·12

∫2 · sen (2x) dx

= −14 · cos (2x) + C

12∫

sen x·cos2 x dx =

u = cosx

du = − sen x⇒ − 1sen x du = dx

=∫��sen x·u2·

(− 1��sen x

)du

= −∫u2 du = −u

3

3 + C = −13 · cos3 x+ C

13∫

sen x · cos3 x dx =

u = cosx


=∫��sen x · u3 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫u3 du = −u

4

4 + C = −14 · cos4 x+ C

14∫


u = cosx


=∫��sen x · u4 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫u4 du = −u

5

5 + C = −15 · cos5 x+ C

15∫


u = cosx


=∫��sen x · u5 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫u5 du = −u

6

6 + C = −16 · cos6 x+ C

16∫


u = cosx


=∫��sen x · u6 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫u6 du = −u

7

7 + C = −17 · cos7 x+ C



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


17∫

sen2 x · cosx dx =

u = sen x


=∫u2 ·��cosx · 1

��cosx du

=∫u2 du = u3

3 + C = 13 · sen3 x+ C

18∫

sen2 x · cos2 x dx =∫ (1− cos (2x)

2

)·(

1 + cos (2x)2

)dx = 1

4

∫ (1− cos2 (2x)

)dx

= 14

∫dx− 1

4

∫cos2 (2x) dx = x

4 −14

∫ 1 + cos (4x)2 dx

= x

4−18

∫dx− 1

8 ·14

∫4·cos (4x) dx = x

4−x

8−132 ·sen (4x)+C = x

8−132 ·sen (4x)+C

19∫


sen2 x · cos2 x · cosx dx =∫

sen2 x ·(1− sen2 x

)· cosx dx

=

u = sen x


=∫u2 ·

(1− u2

)·��cosx · 1

��cosx du

=∫u2 du−

∫u4 du = u3

3 −u5

5 + C = 13 · sen3 x− 1

5 · sen5 x+ C

20∫


sen2 x ·(cos2 x

)2dx =

∫ (1− cos (2x)2

)·(

1 + cos (2x)2

)2

dx

=∫ (1− cos (2x)

2

)·(

1 + cos (2x)2

)·(

1 + cos (2x)2

)dx

= 18

∫ (1− cos2 (2x)

)·(1 + cos (2x)

)dx = 1

8

∫sen2 (2x) ·

(1 + cos (2x)

)dx

= 18

∫sen2 (2x) dx+ 1

8

∫sen2 (2x) · cos (2x) dx

= 18

∫ 1− cos (4x)2 dx+ 1

8 ·12

∫sen2 (2x)︸︷︷︸

u2

· 2 · cos (2x)︸︷︷︸u′

dx

= 116

∫dx− 1

16

∫cos (4x) dx+ 1

16 ·sen3 (2x)

3

= x

16−116 ·

14

∫4 ·cos (4x) dx+ 1

48 · sen3 (2x) = x

16−164 · sen (4x)+ 1

48 · sen3 (2x)+C

21∫



sen2 x ·(cos2 x

)2· cosx dx

=∫


)2· cosx dx =

u = sen x


=∫u2 ·

(1− u2

)2·��cosx · 1


(1− 2u2 + u4

)du

=∫u2 du−2

∫u4 du+

∫u6 du = u3

3 −2u5

5 +u7

7 = 13 ·sen3 x− 2

5 ·sen5 x+ 17 ·sen7 x+C


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

22∫


sen2 x ·(cos2 x

)3dx =

∫ (1− cos (2x)2

)·(

1 + cos (2x)2

)3

dx

=∫ (1− cos (2x)

2

)·(

1 + cos (2x)2

)·(

1 + cos (2x)2

)2

dx

= 116

∫ (1− cos2 (2x)

)·(1 + cos (2x)

)2dx = 1

16

∫sen2 (2x) ·

(1 + cos (2x)

)2dx

= 116

∫sen2 (2x) ·

(1 + 2 · cos (2x) + cos2 (2x)

)dx

= 116

∫sen2 (2x) dx+ 1

8

∫sen2 (2x) · cos (2x) dx+ 1

16

∫sen2 (2x) · cos2 (2x) dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 1

16

∫sen2 u · 1

2 du+ 18

∫sen2 u · cosu · 1

2 du+ 116

∫sen2 u · cos2 u · 1

2 du

= 132

∫sen2 u du+ 1

16

∫sen2 u · cosu du+ 1

32

∫sen2 u · cos2 u du

1= 1

32 ·(u

2 −14 · sen (2u)

)+ 1

16

∫sen2 u · cosu du+ 1

32


17= u

64 −1

128 · sen (2u) + 116 ·

(13 · sen3 u

)+ 1

32


18= u

64 −1

128 · sen (2u) + 148 · sen3 u+ 1

32 ·(u

8 −132 · sen (4u)

)+ C

= 5u256 + 1

48 · sen3 u− 1128 · sen (2u)− 1

1024 · sen (4u) + C

= 5u256 + 1

48 · sen3 (2x)− 1128 · sen (4x)− 1

1024 · sen (8x) + C

23∫

sen3 x · cosx dx =

u = sen x


=∫u3 ·��cosx · 1

��cosx du

=∫u3 du = u4

4 + C = 14 · sen4 x+ C

24∫


sen x · sen2 x · cos2 x dx =∫


)· cos2 x dx

=∫

sen x · cos2 x dx−∫


u = cosx


=∫��sen x · u2 ·

(− 1��sen x

)du−

∫��sen x · u4 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫u2 du+

∫u4 du

= −u3

3 + u5

5 + C = −13 · cos3 x+ 1

5 · cos5 x+ C



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


25∫




)· cosx dx

=

u = sen x


=∫u3 ·

(1− u2

)·��cosx · 1

��cosx du

=∫u3 du−

∫u5 du = u4

4 −u6

6 + C = 14 · sen4 x− 1

6 · sen6 x+ C

26∫




)· cos4 x dx

=∫

sen x · cos4 x dx−∫


u = cosx


=∫��sen x · u4 ·

(− 1��sen x

)du−

∫��sen x · u6 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫u4 du+

∫u6 du

= −u5

5 + u7

7 + C = −15 · cos5 x+ 1

7 · cos7 x+ C

27∫

sen3 x · cos5 x dx∫

sen x · sen2 x · cos5 x dx∫


)· cos5 x dx

=

u = cosx


=∫��sen x ·

(1− u2

)· u5 ·

(− 1��sen x

)du

=∫ (

1− u2)·u5 du = −

∫u5 du+

∫u7 du = −u

6

6 +u8

8 +C = −16 ·cos6 x+1

8 cos8 x+C

28∫



sen x ·(1− cos2

)· cos6 x dx

=

u = cosx


=∫��sen x ·

(1− u2

)· u6 ·

(− 1��sen x

)du

=∫ (

u6 − u8)du = u7

7 −u9

9 + C = 17 · cos7 x− 1

9 · cos9 x+ C

29∫

sen4 x · cosx dx =

u = sen x


=∫u4 ·��cosx · 1

��cosx du

=∫u4 du = u5

5 + C = 15 · sen5 x+ C

30∫

sen4 x · cos2 x dx =∫ (

sen2 x)2· cos2 x dx =

∫ (1− cos (2x)2

)2

·(

1 + cos (2x)2

)dx

=∫ (1− cos (2x)

2

)·(

1− cos (2x)2

)·(

1 + cos (2x)2

)dx

= 18

∫ (1− cos (2x)

)·(1− cos2 (2x)

)dx = 1

8

∫ (1− cos (2x)

)· sen2 (2x) dx

= 18

∫sen2 (2x) dx− 1

8

∫cos (2x) · sen2 (2x) dx


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

= 18

∫ 1− cos (4x)2 dx− 1

8 ·12

∫2 · cos (2x)︸︷︷︸

u′

· sen2 (2x)︸︷︷︸u2

dx

= 116

∫dx− 1

16

∫cos (4x) dx− 1

16 ·sen3 (2x)

3

= x

16−116 ·

14

∫4 ·cos (4x) dx− 1

48 · sen3 (2x) = x

16−164 · sen (4x)− 1

48 · sen3 (2x)+C

31∫




)· cosx dx

=

u = sen x


=∫u4 ·

(1− u2

)·��cosx · 1

��cosx du

=∫u4 du−

∫u6 du = u5

5 −u7

7 + C = 15 · sen5 x− 1

7 · sen7 x+ C

32∫

sen4 x·cos4 x dx =∫ (

sen2 x)2·(cos2 x

)2dx =

∫ (1− cos (2x)2

)2(1 + cos (2x)2

)2

dx

= 116

∫ (1− cos2 (2x)

)2dx = 1

16

∫ (1− 2 · cos2 (2x) + cos4 (2x)

)dx

= 116

∫dx− 1

8

∫cos2 (2x) dx+ 1

16

∫cos4 (2x) dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 116

∫dx− 1

8

∫cos2 u · 1

2 du+ 116

∫cos4 u

12 du

= 116

∫dx− 1

16

∫cos2 u du+ 1

32

∫cos4 u du

6= x

16 −116 ·

(u

2 + 14 · sen (2u)

)+ 1

32

∫cos4 u du

8= x

16 −116 ·

(2x2 + 1

4 · sen (4x))

+ 132 ·

(3u8 + 1

4 · sen (2u) + 132 · sen (4u)

)+ C

= x

16 −116 ·

(2x2 + 1

4 · sen (4x))

+ 132 ·

(3 · 2x8 + 1

4 · sen (4x) + 132 · sen (8x)

)+ C

=��x

16 −��x

16 −164 · sen (4x) + 3x

128 + 1128 · sen (4x) + 1

1024 · sen (8x) + C

= 3x128 −

1128 · sen (4x) + 1

1024 · sen (8x) + C

Otra forma∫sen4 x · cos4 x dx =

∫(sen x · cosx)4 dx = 1

16

∫sen4 (2x) dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 116 ·

∫sen4 u · 1

2 du = 132

∫sen4 u du

3= 1

32 ·(3u

8 −14 · sen (2u) + 1

32 · sen (4u))

+ C



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


= 132 ·

(6x8 −

14 · sen (4x) + 1

32 · sen (8x))

+ C

= 3x128 −

1128 · sen (4x) + 1

1024 · sen (8x) + C

33∫



sen4 x ·(cos2 x

)2· cosx dx

=∫


)2· cosx dx =

u = sen x


=∫u4 ·

(1− u2

)2·��cosx · 1


(1− 2u2 + u4

)du

=∫u4 du−2

∫u6 du+

∫u8 du = u5

5 −2u7

7 +u9

9 = 15 ·sen5 x− 2

7 ·sen7 x+ 19 ·sen9 x+C

34∫


sen4 x · cos4 x · cos2 x dx =∫

(sen x · cosx)4 · cos2 x dx

=∫ (1

2 · sen (2x))4·(

1 + cos (2x)2

)dx = 1

32

∫sen4 (2x) · (1 + cos (2x)) dx

= 132

∫sen4 (2x) dx+ 1

32

∫sen4 (2x) · cos (2x) dx =

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 1

32

∫sen4 u· 12 du+ 1

32

∫sen4 u·cosu· 12 du = 1

64

∫sen4 u du+ 1

64

∫sen4 u·cosu du

3= 1

64 ·(−1

4 · sen3 u · cosu+ 3u8 −

316 · sen (2u)

)+ 1

64

∫sen4 u · cosu du

= − 1256 · sen3 u · cosu+ 3u

512 −3

1024 · sen (2u) + 164

∫sen4 u · cosu du

= v = sen udv = cosu du⇒ 1

cosu dv = du

= − 1

256 · sen3 u · cosu+ 3u512 −

31024 · sen (2u) + 1

64

∫v4 ·��cosu · 1

��cosu dv

= − 1256 · sen3 u · cosu+ 3u

512 −3

1024 · sen (2u) + 164

∫v4 dv

= − 1256 · sen3 u · cosu+ 3u

512 −3

1024 · sen (2u) + 164 ·

v5

5 + C

= − 1256 · sen3 u · cosu+ 3u

512 −3

1024 · sen (2u) + 1320 · sen5 u+ C

= − 1256 · sen3 (2x) · cos (2x) + 3x

256 −3

1024 · sen (4x) + 1320 · sen5 (2x) + C

35∫

sen5 x · cosx dx =

u = sen x


=∫u5 ·��cosx · 1

��cosx du


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

=∫u5 du = u6

6 + C = 16 · sen6 x+ C

36∫


sen x ·(sen2 x

)2· cos2 x dx =

∫sen x ·

(1− cos2 x

)2· cos2 x dx

=∫

sen x ·(1− 2 cos2 x+ cos4 x

)· cos2 x dx

=∫

sen x · cos2 x dx− 2∫

sen x · cos6 dx+∫

sen x · cos6 dx

=

u = cosx


=∫��sen x · u2 ·

(− 1��sen x

)du

− 2∫��sen x · u4 ·

(− 1��sen x

)du+

∫��sen x · u6 ·

(− 1��sen x

)du

= −∫u2 du+ 2

∫u4 du−

∫u6 du = −u

3

3 + 2u5

5 −u7

7 + C

= −13 · cos3 x+ 2

5 · cos5 x− 17 · cos7 x+ C

37∫


sen5 x · cos2 · cosx dx =∫


)· cosx dx

=

u = sen x


=∫u5 ·

(1− u2

)·��cosx · 1

��cosx du

=∫u5 ·

(1− u2

)du =

∫u5 du−

∫u7 du = u6

6 −u8

8 + C

= 16 · sen6 x− 1

8 · sen8 x+ C

38∫



sen x ·(sen2 x

)2· cos4 x dx

=∫


)2· cos4 x dx =

u = cosx


=∫��sen x ·

(1− u2

)2· u4 ·

(− 1��sen x

)du = −

∫ (u4 − 2u6 + u8

)du

= −u5

5 + 2u7

7 −u9

9 + C = −15 · cos5 x+ 2

7 · cos7 x− 19 · cos9 x+ C

39∫


sen2 x)2·(cos2 x

)2· sen x · cosx dx

=∫ (1− cos (2x)

2

)2

·(

1 + cos (2x)2

)2

· 12 · sen (2x) dx

= 132

∫ (1− cos2 (2x)

)2· sen (2x) dx

=

u = cos (2x)

du = −2 · sen (2x) dx⇒ − 12 · sen (2x) du = dx



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om


= 132

∫ (1− u2

)2·��sen (2x) ·

(− 1

2 ·��sen (2x)

)dx = − 1

64

∫ (1− 2u2 + u4

)dx

= − 164 ·

(u− 2u3

3 + u5

5

)+ C = − 1

64 ·(

cos (2x)− 2 cos3 (2x)3 + cos5 (2x)

5

)+ C

= − 164 · cos (2x) + 1

96 cos3 (2x)− 1320 · cos5 (2x) + C

40∫



sen x ·(sen2 x

)2· cos6 x dx

=∫


)2· cos6 x dx =

∫sen x ·

(1− 2 · cos2 x+ cos4 x

)· cos6 x dx

=

u = cosx


=∫��sen x ·

(1− 2u2 + u4

)· u6 ·

(− 1��sen x

)du =

∫ (−u6 + 2u8 − u10

)du

= −u7

7 + 2u9

9 −u11

11 + C = −17 cos7 x+ 2

9 · cos9 x− 111 · cos11 x+ C

41∫

sen6 x · cosx dx =

u = sen x


=∫u6 ·��cosx · 1

��cosx du

=∫u6 du = u7

7 + C = 17 · sen7 x+ C

42∫


sen2 x)3· cos2 x dx =

∫ (1− cos (2x)2

)3(1 + cos (2x)2

)dx

= 116

∫ (1− cos2 (2x)

)· (1− cos (2x))2 dx

= 116

∫ (1− cos2 (2x)

)·(1− 2 · cos (2x) + cos2 (2x)

)dx

= 116

∫ (1− 2 · cos (2x) + 2 · cos3 (2x)− cos4 (2x)

)dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 116

∫ (1− 2 · cosu+ 2 · cos3 u− cos4 u

)· 1

2 du

= 132

∫du− 1

16

∫cosu du+ 1

16

∫cos3 u du− 1

32

∫cos4 u du

7= u

32 −116 sen u+ 1

16

( 112 · sen (3u) + 3

4 · sen u)− 1

32

∫cos4 u du

8= u

32 −164 · sen u+ 1

192 · sen (3u)− 132 ·

(3u8 + 1

32 · sen (4u) + 14 · sen (2u)

)

= u

32 −164 · sen u+ 1

192 · sen (3u)− 3u256 −

11024 · sen (4u)− 1

128 · sen (2u)


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= 5u256 −

164 · sen u− 1

128 · sen (2u) + 1192 · sen (3u)− 1

1024 · sen (4u) + C

= 5x128 −

164 · sen (2x)− 1

128 · sen (4x) + 1192 · sen (6x)− 1

1024 · sen (8x) + C

43∫




)· cosx dx

=

u = sen x


=∫u6 ·

(1− u2

)·��cosx · 1

��cosx du

=∫u6 du−

∫u6 du = u6

6 −u8

8 + C = 16 · sen6 x− 1

8 · sen8 x+ C

44∫


sen2 x)3(

cos2 x)2dx =

∫ (1− cos (2x)2

)3(1 + cos (2x)2

)2

dx

= 132

∫ (1− cos2 (2x)

)2· (1− cos (2x)) dx

= 132

∫ (1− 2 · cos2 (2x) + cos4 (2x)

)· (1− cos (2x)) dx

= 132

∫ (1− cos (2x)− 2 · cos2 (2x) + 2 · cos3 (2x) + cos4 (2x)− cos5 (2x)

)dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 1

32

∫ (1− cosu− 2 · cos2 u+ 2 · cos3 u+ cos4 u− cos5 u

)· 1

2 du

= u

64 −164 · sen u− 1

32

∫cos2 u du+ 1

32

∫cos3 u du+ 1

64

∫cos4 u du− 1

64

∫cos5 u du

6= u

64 −164 sen u− 1

32

(u

2 + 14 sen (2u)

)+ 1

32

∫cos3 u du+ 1

64

∫cos4 u du

− 164

∫cos5 u du = − 1

64 · sen u− 1128 · sen (2u) + 1

32

∫cos3 u du+ 1

64

∫cos4 u du

− 164

∫cos5 u du

7= − 1

64 · sen u− 1128 · sen (2u) + 1

32 ·( 1

12 · sen (3u) + 34 · sen u

)

+ 164

∫cos4 u du− 1

64

∫cos5 u du = 1

128 · sen u− 1128 · sen (2u) + 1

384 · sen (3u)

+ 164

∫cos4 u du− 1

64

∫cos5 u du

8= 1

128 · sen u− 1128 · sen (2u) + 1

384 · sen (3u)

+ 164 ·

(3u8 + 1

32 · sen (4u) + 14 · sen (2u)

)− 1

64

∫cos5 u du = 3u

512 + 1128 · sen u

− 1256 · sen (2u) + 1

384 · sen (3u) + 12048 · sen (4u)− 1

64

∫cos5 u du

9= 3u

512 + 1128 · sen u− 1

256 · sen (2u) + 1384 · sen (3u) + 1

2048 · sen (4u)



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− 164 ·

( 180 · sen (5u) + 5

48 · sen (3u) + 58 · sen u

)

= 3u512−

1512 sen u− 1

256 sen (2u)+ 11024 sen (3u)+ 1

2048 sen (4u)− 15120 sen (5u)+C

= 3x256 −

1512 sen (2x)− 1

256 sen (4x) + 11024 sen (6x) + 1

2048 sen (8x)

− 15120 sen (10x) + C

45∫



sen6 x ·(cos2 x

)2· cosx dx

=∫


)2· cosx dx =

u = sen x


=∫u6 ·

(1− u2

)2·��cosx · 1


(1− 2u2 + u4

)du

=∫u6 du− 2

∫u8 du+

∫u10 du = u7

7 −2u9

9 + u11

11 + C

= 17 · sen7 x− 2

9 · sen9 x+ 111 · sen11 x+ C

46∫


sen2 x)3·(cos2 x

)3dx =

∫ (1− cos (2x)2

)3(1 + cos (2x)2

)3

dx

= 164

∫ (1− cos2 (2x)

)3dx = 1

64

∫ (1− 3 · cos2 (2x) + 3 · cos4 (2x)− cos6 (2x)

)dx

={u = 2xdu = 2 dx⇒ 1

2 du = dx

}= 1

64

∫ (1− 3 · cos2 u+ 3 · cos4 u− cos6 u

)· 1

2 du

= u

128 −3

128

∫cos2 u du+ 3

128

∫cos4 u du− 1

64

∫cos6 u du

={∫

cosn du = 1n· cosn−1 u · sen u+ n− 1

n

∫cosn−2 u du

}

= u

128 −3

128

∫cos2 u du+ 3

128

∫cos4 u du− 1

64 ·[16 · cos5 u · sen u+ 5

6

∫cos4 u du

]

= u

128 −3

128

∫cos2 u du+ 1

96

∫cos4 u du− 1

384 · cos5 u · sen u

6= u

128 −3

128 ·(u

2 + 14 · sen (2u)

)+ 1

96

∫cos4 u du− 1

384 · cos5 u · sen u

= − u

256 −1

384 · cos5 u · sen u− 3512 · sen (2u) + 1

96

∫cos4 u du

8= − u

256−1

384 cos5 u · sen u− 3512 sen (2u)+ 1

96

[3u8 + 1

32 sen (4u) + 14 sen (2u)

]+C

= − 1384 cos5 u · sen u− 5

1536 · sen (2u) + 1384 · sen (4u) + C

= − 1384 cos5 (2x) · sen (2x)− 5

1536 · sen (4x) + 1384 · sen (8x) + C


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Otra forma:∫sen6 x · cos6 x dx =

∫(sen x · cosx)6 dx =

∫ (12 · sen (2x)

)6dx = 1

64

∫sen6 (2x) dx

=

u = 2x

du = 2 dx⇒ 12 du = dx

= 164

∫sen6 u · 1

2 du = 1128

∫sen6 u du

5= 1

128 ·(5u

16 −516 · sen u · cosu− 5

32 · sen3 u · cosu− 15 · sen5 u · cosu

)+ C

= 5u2048 −

52048 · sen u · cosu− 5

4096 · sen3 u · cosu− 1640 · sen5 u · cosu+ C

= 5x1024−

52048 ·sen (2x)·cos (2x)− 5

4096 ·sen3 (2x)·cos (2x)− 1640 ·sen5 (2x)·cos (2x)+C



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6.2. Potencias de secante y tangente∫

secn x · tanm x dx

Para disenar la estrategia de resolucion de este tipo de integrales vamos a apoyarnosen que: ∫

sec2 x dx = tan x+ C &∫

secx · tan x dx = secx+ C

De esta forma, si la potencia de la secante es par, podemos separar un factor sec2 x yconvertir la potencia restante (tambien par) en tangente apoyandonos en la identidad:

sec2 x = 1 + tan2 x

para hacer despues el cambio de variable u = tan x.

Si tenemos que la potencia de la tangente es impar podemos separar un factorsecx · tan x y poner la potencia de la tangente restante (par) en funcion de la secante conla identidad anterior, para proceder a hacer el cambio de variable u = secx.

Tenemos cinco variantes diferentes de este tipo de integrales


secn x · tanm x dx

Si la potencia del la secante es par n = 2k separamos un factor sec2 x y trasformamosel resto de la potencia en tangente con la igualdad sec2 x = 1 + tan2 x.∫

sec2k · tanm x dx =∫

sec2 x · sec2k−2 x · tanm x dx =∫

sec2 x ·(sec2 x

)k−1· tanm x dx

=∫

sec2 x ·(1 + tan2 x

)k−1· tanm x dx

=

u = tan x

du = sec2 x dx⇒ 1sec2 x

du = dx

=∫��

�sec2 x ·(1 + u2

)k−1· um · 1

��sec2 xdu =

∫ (1 + u2

)k−1· um du


secn x · tanm x dx

Si la potencia de la tangente es impar m = 2k+ 1 apartaremos los factores sec x · tan xy expresamos el resto de los factores de la tangente (pares) como secantes con la identidad:

1 + tan2 x = sec2 x =⇒ tan2 x = sec2 x− 1∫secn x · tan2k+1 x dx =

∫secx · tan x · secn−1 x · tan2k x dx

=∫

secx · tan x · secn−1 x ·(tan2 x

)kdx

=∫

secx · tan x · secn−1 x ·(sec2 x− 1

)kdx

=

u = secx

du = secx · tan x dx⇒ 1secx · tan x du = dx

=∫��secx ·��tan x · un−1 ·

(u2 − 1

)k· 1��secx ·��tan x du+ C

=∫un−1 ·

(u2 − 1

)kdu+ C


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6.2.3. La tangente tiene potencia par∫

tan2k x dx

La convertimos en el caso anterior sin mas que separar el factor tan2 x y sustituirlopor sec2 x− 1.∫

tan2k x dx =∫

tan2k−2 x · tan2 x dx =∫

tan2k−2 x ·(sec2−1

)dx

=∫

tan2k−2 x · sec2 x dx−∫

tan2k−2 x dx

6.2.4. La secante tiene potencia impar∫

sec2k+1 x dx

En este caso integraremos por partes haciendo que u = tan x

∫tan2k+1 x dx =

u = tan x ⇒ du = sec2 x dx

dv = tan2k dx ⇒ v =∫

tan2k dx

6.2.5. Ninguno de los anteriores

∫secn x · tanm x dx

Si la integral no es de ninguna de las tipologıas anteriores la convertimos en senos ycosenos teniendo en cuenta que:

secx = 1cosx & tan x = sen x

cosx

Recuerda las siguientes integrales que pueden serte de utilidad:∫tan x dx =

∫ sen xcosx dx = − ln |cosx|+ C∫

secx dx =∫


∫ sec2 x+ secx+ tan xsecx · tan x︸︷︷︸

u′/u

dx = ln |u|+ C


6.2.6. Formulas de Reduccion

Para las potencias de las funciones trigonometricas podemos utilizar las siguientesformulas de reduccion que resultan de mucha utilidad:∫

tann x dx = 1n− 1 · tann−1 x−

∫tann−2 x dx∫

secn x dx = 1n− 1 · secn−2 x · tan x+ n− 2

n− 1

∫secn−2 x dx



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secn x · tanm x dx

1∫

tan x dx

2∫

tan2 x dx

3∫

tan3 x dx

4∫

tan4 x dx

5∫

tan5 x dx

6∫

tan6 x dx

7∫

secx dx

8∫

sec2 x dx

9∫

sec3 x dx

10∫

sec4 x dx

11∫

sec5 x dx

12∫

sec6 x dx

13∫

secx · tan x dx

14∫

secx · tan2 x dx

15∫

secx · tan3 x dx

16∫

secx · tan4 x dx

17∫

sec2 x · tan x dx

18∫

sec2 x · tan2 x dx

19∫

sec2 x · tan3 x dx

20∫

sec2 x · tan4 x dx

21∫

sec3 x · tan x dx

22∫

sec3 x · tan2 x dx

23∫

sec3 x · tan3 x dx

24∫

sec3 x · tan4 x dx

25∫

sec4 x · tan x dx

26∫

sec4 x · tan2 x dx

27∫

sec4 x · tan3 x dx

28∫

sec4 x · tan4 x dx


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Solucion.

1∫

tan x dx =∫ sen x

cosx dx =

u = cosx


=∫��sen xu·(− 1��sen x

)du = −

∫ 1udu = − ln |u|+ C = − ln |cosx|+ C

2∫

tan2 x dx =∫ (

1− 1 + tan2 x)dx =

∫ (1 + tan2 x

)dx−

∫dx =

∫sec2 x dx− x

= tan x− x+ C

Metodo de reduccion:∫tan2 x dx =

{∫tann x dx = 1

n− 1 · tann−1 x−∫

tann−2 x dx}

= 11 · tan x−

∫dx = tan x− x+ C

3∫

tan3 x dx =∫

tan2 x · tan x dx =∫ (

sec2 x− 1)· tan x dx

=∫

sec2 x · tan x dx−∫

tan x dx =∫

secx · secx · tan x dx

=

u = secx

du = secx · tan x⇒ 1secx · tan x du = dx

=∫u·(((((

((secx · tan x· 1((((

(((secx · tan x du

−∫

tan x dx =∫u du+ ln |cosx| = u2

2 + ln |cosx|+ C = 12 · sec2 x+ ln |cosx|+ C


{∫tann x dx = 1

n− 1 · tann−1 x−∫

tann−2 x dx}

= 12 · tan2 x−

∫tan x dx = 1

2 · tan2 x+ ln |cosx|+ C

4∫

tan4 x dx =∫

tan2 x · tan2 x dx =∫ (

sec2 x− 1)· tan2 x dx

=∫

sec2 x · tan2 x dx−∫

tan2 x dx =

u = tan x


du = dx

??=∫��

��sec2 x · u2 · 1��

�sec2 xdu− (tan x− x) =

∫u2 du− tan x+ x = u3

3 − tan x+ x+C

= 13 · tan3 x− tan x+ x+ C


{∫tann x dx = 1

n− 1 · tann−1 x−∫

tann−2 x dx}

= 13 · tan3 x−

∫tan2 x dx

2= 1

3 · tan3 x− (tan x− x)+C = 13 · tan3 x− tan x+x+C



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5∫

tan5 x dx =∫

tan4 x · tan x dx =∫ (

sec2 x− 1)2

tan x dx

=∫ (

sec4 x− 2 sec2 x+ 1)·tan x dx =

∫sec4 x tan x dx−2

∫sec2 x tan x dx+

∫tan x dx

=∫ sen x

cos5 dx− 2∫ sen x

cos3 xdx+

∫ sen xcosx dx =

u = cosx

du = − sen x⇒ − 1sen x du = dx

=∫��sen x · u−5 ·

(− 1��sen x

)du− 2

∫��sen x · u−3 ·

(− 1��sen x

)du− ln |cosx|

= −∫u−5 du+ 2

∫u−3 du− ln |cosx| = −u

−4

−4 + 2u−2

−2 − ln |cosx|+ C

= 14u4 −

1u2 − ln |cosx|+ C = 1

4 cos4 x− 1

cos2 x− ln |cosx|

= 14 sec4 x− sec2 x− ln |cosx|+ C


{∫tann x dx = 1

n− 1 · tann−1 x−∫

tann−2 x dx}

= 14 · tan4 x−

∫tan3 x dx

3= 1

4 · tan4 x−(1

2 · tan2 x+ ln |cosx|)

+ C

= 14 · tan4 x− 1

2 · tan2 x− ln |cosx|+ C

6∫

tan6 x dx =∫

tan2 x · tan4 x dx =∫ (

sec2 x− 1)· tan4 x dx

=∫

sec2 x · tan4 x dx−∫

tan4 x dx =

u = tan x


du = dx

4=∫��

�sec2 x · u4 · 1��

��sec2 xdu−

(13 · tan3 x− tan x+ x

)

=∫u4 du− 1

3 · tan3 x+ tan x− x = u5

5 −13 · tan3 x+ tan x− x+ C

= 15 · tan5 x− 1

3 · tan3 x+ tan x− x+ C


{∫tann x dx = 1

n− 1 · tann−1 x−∫

tann−2 x dx}

= 15 · tan5 x−

∫tan4 x dx

4= 1

5 · tan5 x−(1

3 · tan3 x− tan x+ x)

+ C

= 15 · tan5 x− 1

3 · tan3 x+ tan x− x+ C

7∫

secx dx =∫




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=

u = secx+ tan x

du = secx · tan x+ sec2 x dx⇒ 1secx · tan x+ sec2 x

du = dx

=∫((((

(((((((secx · tan x+ sec2 x

u· 1

(((((((

((((secx · tan x+ sec2 xdu =

∫ 1udu = ln |u|+ C


8∫

sec2 x dx = tan x+ C

9∫


=∫

secx · sec2 x dx ={u = secx ⇒ du = secx · tan x dxdv = sec2 x dx ⇒ v = tan x

}


secx · tan2 x dx = secx · tan x−∫

secx ·(sec2 x− 1

)dx


sec3 x dx+∫

secx dx

7= secx · tan x−

∫sec3 x dx︸︷︷︸

I

+ ln |secx+ tan x|+ C

=⇒ 2I = secx · tan x+ ln |secx+ tan x|+ C

=⇒ I = 12 ·(

secx · tan x+ ln |secx+ tan x|)

+ C

Metodo de reduccion:∫sec3 x dx =

{∫secn x dx = 1

n− 1 · secn−2 x · tan x+ n− 2n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 12 · secx · tan x+ 1

2

∫secx dx

7= 1

2 · secx · tan x+ 12 · ln |secx+ tan x|+ C

= 12 ·(


+ C

10∫

sec4 x dx =∫

sec2 x · sec2 x dx =∫


)dx

=∫

sec2 x dx+∫

sec2 x · tan2 x dx =

u = tan x

du = sec2 x⇒ 1sec2 x

du = dx

= tan x+

∫��

�sec2 x · u2 · 1��

�sec2 xdu = tan x+

∫u2 du = tan x+ u3

3 + C

= tan x+ 13 · tan3 x+ C


{∫secn x dx = 1

n− 1 · secn−2 x · tan x+ n− 2n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 13 · sec2 x · tan x+ 2

3

∫sec2 x dx

8= = 1

3 · sec2 x · tan x+ 23 · tan x+ C



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om


11∫


=∫

sec3 x · sec2 x dx

={u = sec3 x ⇒ du = 3 · sec2 x · secx · tan x dxdv = sec2 x dx ⇒ v = tan x

}

= sec3 x · tan x−∫

3 · sec3 · tan2 x dx = sec3 x · tan x−∫

3 · sec3 ·(sec2 x− 1

)dx

= sec3 x · tan x− 3∫

sec5 x dx︸︷︷︸3I

+3∫

sec3 x dx

9= sec3 x · tan x− 3I + 3 · 1

2 ·(


+ C

=⇒ 4I = sec3 x · tan x+ 32 · secx · tan x+ 3

2 · ln |secx+ tan x|+ C

=⇒ I = 14 · sec3 x · tan x+ 3



{∫secn x dx = 1

n− 1 · secn−2 x · tan x+ n− 2n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 14 · sec4 x · tan x+ 3

4

∫sec3 x dx

9= 1

4 · sec4 x · tan x

+ 34 ·

12 ·(


+ C

= 14 sec4 x · tan x+ 3

8 ·(


12∫

sec6 x dx =∫ (

sec2 x)2· sec2 x dx =

∫ (tan2 x− 1

)2· sec2 x dx

=∫ (

tan4 x− 2 tan2 x+ 1)· sec2 x dx =

u = tan x

du = sec2 x⇒ 1sec2 x

du = dx

=∫ (

u4 − 2u2 + 1)·��sec2 x · 1

��sec2 xdu =

∫ (u4 − 2u2 + 1

)·��sec2 x du

= u5

5 −2u3

3 + u+ C = 15 · tan5 x− 2

3 · tan3 x+ tan x+ C


{∫secn x dx = 1

n− 1 · secn−2 x · tan x+ n− 2n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 15 · sec5 x · tan x+ 4

5

∫sec4 x dx

10= 1

5 · sec5 x · tan x+ 45 ·(1

3 · sec2 x · tan x+ 23 · tan x

)+ C

= 15 · sec5 x · tan x+ 4

15 · sec2 x · tan x+ 815 · tan x+ C


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

13∫

secx · tan x dx = secx+ C

14∫

secx · tan2 x dx =∫

secx ·(sec2 x− 1

)dx =

∫sec3 dx−

∫secx dx

7=∫

sec3 dx− ln |secx+ tan x|9= 1

2 ·(


− ln |secx+ tan x|+ C = 12 ·(

secx · tan x− ln |secx+ tan x|)

+ C

15∫


secx · tan x · tan2 x dx =∫

secx · tan x ·(sec2 x− 1

)dx

=

u = secx

du = secx · tan x dx⇒ 1secx · tan x du = dx

=∫(((

((((secx · tan x ·(u2 − 1

)· 1((((

(((secx · tan x du =∫ (

u2 − 1)du = u3

3 − u+ C

= 13 · sec3 x− secx+ C

16∫


secx ·(tan2 x

)2dx =

∫secx ·

(sec2 x− 1

)2dx

=∫

secx ·(sec4 x− 2 · sec2 x+ 1

)dx =

∫sec5 x dx− 2

∫sec3 x dx+

∫secx dx

11= 1

4 · sec4 x · tan x+ 38 ·(

secx · tan x+ln |secx+ tan x|)−2

∫sec3 x dx+

∫secx dx

9= 1

4 · sec4 x · tan x+ 38 ·(


− �2 ·1�2·(


+∫

secx dx

= 14 · sec4 x · tan x− 5

8 · secx · tan x− 58 · ln |secx+ tan x|+

∫secx dx

7= 1

4 · sec4 x · tan x− 58 · secx · tan x− 5

8 · ln |secx+ tan x|+ ln |secx+ tan x|+ C

= 14 · sec4 x · tan x− 5


17∫

sec2 x · tan x dx =

u = tan x


du = dx

=∫��

�sec2 x · u · 1��

�sec2 xdu

=∫u du = u2

2 + C = 12 · tan2 x+ C

Otra forma:∫

sec2 x·tan x dx =∫

secx·secx·tan x dx =

u = secx

du = secx tan x dx⇒ 1secx · tan x



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


=∫u ·(((((

((secx · tan x · 1((((

(((secx · tan x du =∫u du = u2

2 + C = 12 · sec2 x+ C

18∫


u = tan x


du = dx

=∫��

��sec2 x ·u2 · 1��

�sec2 xdu

=∫u2 du = u3

3 + C = 13 · tan3 x+ C

19∫


u = tan x


du = dx

=∫��

�sec2 x ·u3 · 1��

�sec2 xdu

=∫u3 du = u4

4 + C = 14 · tan4 x+ C

20∫


u = tan x


du = dx

=∫��

�sec2 x ·u4 · 1��

��sec2 xdu

=∫u4 du = u5

5 + C = 15 · tan5 x+ C

21∫

sec3 x·tan x dx =∫

sec2 x·secx·tan x dx =

u = secx

du = secx tan x dx⇒ 1secx · tan x

=∫u2 ·(((((

((secx · tan x · 1((((

(((secx · tan x du =∫u2 du = u3

3 + C = 13 · sec3 x+ C

22∫

sec3 x · tan2 x dx =∫

sec3 x ·(sec2 x− 1

)dx =

∫sec5 x dx−

∫sec3 x dx

11= 1

4 · sec3 x · tan x+ 38 · secx · tan x+ 3

8 · ln |secx+ tan x| −∫

sec3 x dx

9= 1

4 · sec3 x · tan x+ 38 · secx · tan x+ 3

8 · ln |secx+ tan x|

−[12 ·(

secx · tan x+ ln |secx+ tan x|)]

+ C

= 14 · sec3 x · tan x− 1

8 · secx · tan x− 58 · ln |secx+ tan x|+ C

23∫


sec2 x · tan2 x · secx · tan x dx

=∫

sec2 x(sec2 x− 1

)secx tan x dx =

u = secx

du = secx tan x du⇒ 1secx tan x du = dx

=∫u2 ·

(u2 − 1

)·(((((

((secx · tan x · 1((((

(((secx · tan x du =∫u2 ·

(u2 − 1

)du =

∫ (u4 − u2

)du

= u5

5 −u3

3 + C = 15 · sec5 x− 1

3 · sec3 x+ C


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

24∫


sec3 x ·(tan2 x

)2dx =

∫sec3 x ·

(sec2 x− 1

)2dx

=∫

sec3 x ·(sec4 x− 2 · sec2 x+ 1

)dx =

∫sec7 x dx− 2

∫sec5 x dx+

∫sec3 x dx

={∫


n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 16 · sec5 x · tan x+ 5

6

∫sec5 x dx− 2

∫sec5 x dx+

∫sec3 x dx

= 16 · sec5 x · tan x− 7

6

∫sec5 x dx+

∫sec3 x dx

={∫


n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 16 · sec5 x · tan x− 7

6 ·(1

4 · sec3 x · tan x+ 34

∫sec3 x dx

)+∫

sec3 x dx

= 16 · sec5 x · tan x− 7

24 · sec3 x · tan x+ 18

∫sec3 x dx

9= 1

6 · sec5 x · tan x− 724 · sec3 x · tan x+ 1

8 ·12 ·(


+C

= 16 · sec5 x · tan x− 7

24 · sec3 x · tan x+ 116 ·

(secx · tan x+ ln |secx+ tan x|

)+ C

25∫

sec4 x · tan x dx =∫

sec3 x · secx · tan x dx

=

u = secx

du = secx · tan x du⇒ 1secx · tan x du = dx

=∫u3 ·(((((

((secx · tan x · 1(((

((((secx · tan x du =∫u3 du = u4

4 + C = 14 · sec4 x+ C

26∫


sec2 x · sec2 x · tan2 x dx =∫


)· tan2 x dx

=

u = tan x


du = dx

=∫��

��sec2 x ·(1 + u2

)· u2 · 1

��sec2 xdu

=∫ (

1 + u2)· u2 du =

∫ (u2 + u4

)du = u3

3 + u5

5 + C = 13 · tan3 x+ 1

5 · tan5 x+ C

27∫


sec3 x · tan2 x · secx · tan x dx

=∫

sec3 x(sec2 x− 1

)secx tan x dx =

u = secx

du = secx tan x du⇒ 1secx tan x du = dx

=∫u3 ·

(u2 − 1

)·(((((

((secx · tan x · 1((((

(((secx · tan x du =∫u3 ·

(u2 − 1

)du =

∫ (u5 − u3

)du

= u6

6 −u4

4 + C = 16 · sec6 x− 1

4 · sec4 x+ C



http

s://a

pren

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nmig

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on.c

om


28∫


sec2 x · sec2 x · tan4 x dx =∫


)· tan4 x dx

=

u = tan x


du = dx

=∫��

�sec2 x ·(1 + u2

)· u4 · 1

��sec2 xdu

=∫ (

1 + u2)· u4 du =

∫ (u4 + u6

)du = u5

5 + u7

7 + C = 15 · tan5 x+ 1

7 · tan7 x+ C


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s://a

pren

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om

6.3. Potencias de cosec y cotan .∫

cosecn x · cotanmx dx

Para disenar la estrategia de resolucion de este tipo de integrales vamos a apoyarnosen que:∫

cosec2 x dx = −cotan x+ C &∫

cosecx · cotan x dx = − cosecx+ C

De esta forma, si la potencia de la cosecante es par, podemos separar un factor cosec2 x yconvertir la potencia restante (tambien par) en cotangente apoyandonos en la identidad:

1 + cotan 2x = cosec2 x

para hacer despues el cambio de variable u = cotan x.

Si tenemos que la potencia de la cotangente es impar podemos separar un factorcosecx · cotan x y poner la potencia de la cotangente restante (par) en funcion de lacosecante con la identidad anterior, para proceder a hacer el cambio de variableu = cosecx.

Tenemos cinco variantes diferentes de este tipo de integrales


cosecn x · cotan mx dx

Si la potencia del la cosecante es par n = 2k separamos un factor cosec2 x y trasfor-mamos el resto de la potencia en cotangente con la igualdad cosec2 x = 1 + cotan 2x.∫

cosec2k ·cotan mx dx =∫

cosec2 x · cosec2k−2 x · cotan mx dx

=∫

cosec2 x ·(cosec2 x

)k−1· cotan mx dx

=∫

cosec2 x ·(1 + cotan 2x

)k−1· cotan mx dx

=

u = cotan x

du = − cosec2 x dx⇒ − 1cosec2 x

du = dx

=∫��

��cosec2 x ·(1 + u2

)k−1· um ·

(− 1��

��cosec2 x

)du

= −∫ (

1 + u2)k−1

· um du



Si la potencia de la cotangente es impar m = 2k + 1 apartaremos los factorescosecx · cotan x y expresaremos el resto de los factores de la cotangente (pares) comocosecantes con la identidad:

1 + cotan 2x = cosec2 x =⇒ cotan 2x = cosec2 x− 1



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on.c

om


∫cosecn x · cotan 2k+1x dx =

∫cosecx · cotan x · cosecn−1 x · cotan 2kx dx

=∫

cosecx · cotan x · cosecn−1 x ·(cotan 2x

)kdx

=∫

cosecx · cotan x · cosecn−1 x ·(cosec2 x− 1

)kdx

=

u = cosecx

du = − cosecx · cotan x dx⇒ − 1cosecx · cotan x du = dx

=∫((((cosecx ·��cotan x · un−1 ·

(u2 − 1

)k(− 1((((cosecx ·��cotan x

)du+ C

= −∫un−1 ·

(u2 − 1

)kdu+ C

6.3.3. La cotangente tiene potencia par∫

cotan 2kx dx

La convertimos en el caso anterior sin mas que separar el factor cotan 2x y sustituirlopor cosec2 x− 1.∫

cotan 2kx dx =∫

cotan 2k−2x · cotan 2x dx =∫

cotan 2k−2x ·(cosec2−1

)dx

=∫

cotan 2k−2x · cosec2 x dx−∫

cotan 2k−2x dx

6.3.4. La cosecante tiene potencia impar∫

cosec2k+1 x dx

En este caso integraremos por partes haciendo que u = cotan x∫

cotan 2k+1x dx = u = cotan x ⇒ du = − cosec2 x dx

dv = cotan 2k dx ⇒ v =∫

cotan 2k dx

6.3.5. Ninguno de los anteriores

∫cosecn x · cotan mx dx

Si la integral no es de ninguna de las tipologıas anteriores la convertimos en senos ycosenos teniendo en cuenta que:

cosecx = 1sen x & cotan x = cosx

sen xRecuerda las siguientes integrales que pueden serte de utilidad:∫

cotan x dx =∫ cosx

sen x dx = ln |sen x|+ C∫cosecx dx =

∫cosecx · cosecx+ cotan x

cosecx+ cotan x dx =∫ cosec2 x+ cosecx · cotan x

cosecx+ cotan x︸︷︷︸−u′/u

dx

= − ln |u|+ C = − ln |secx+ tan x|+ C

6.3.6. Formulas de reduccion de cosecn x y cotan nx

Para las potencias de la cosecante y la cotangente podemos utilizar las siguientesformulas de reduccion que resultan de mucha utilidad:


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pren

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on.c

om

∫cosecn x dx = − 1

n− 1 · cosecn−2 x · cotan x+ n− 2n− 1

∫cosecn−2 x dx∫

cotan nx dx = − 1n− 1 · cotan n−1x−

∫cotan n−2x dx



http

s://a

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deco

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on.c

om




1∫

cosecx dx

2∫

cosec2 x dx

3∫

cosec3 x dx

4∫

cosec4 x dx

5∫

cosec5 x dx

6∫

cosec6 x dx

7∫

cotan x dx

8∫

cotan 2x dx

9∫

cotan 3x dx

10∫

cotan 4x dx

11∫

cotan 5x dx

12∫

cotan 6x dx

13∫

cosecx · cotan x dx

14∫

cosecx · cotan 2x dx

15∫


16∫


17∫

cosec2 x · cotan x dx

18∫

cosec2 x · cotan 2x dx

19∫


20∫


21∫


22∫


23∫


24∫


25∫


26∫


27∫


28∫



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Solucion.

1∫

cosecx dx =∫

cosecx · cosecx+ cotan xcosecx+ cotan x dx =

∫ cosec2 x+ cosecx · cotan xcosecx+ cotan x dx

=

u = cosecx+ cotan x

du = (− cosecx · cotan x− cosec2 x) dx⇒ −1cosecx · cotan x+ cosec2 x

du = dx

=∫((((

(((((((

(((


·

− 1

(((((((

(((((((

cosecx · cotan x+ cosec2 x

du= −

∫ 1udu = − ln |u|+ C = − ln |cosecx+ cotan x|+ C

2∫

cosec2 x dx = −cotan x+ C

3∫

cosec3 x dx︸︷︷︸I

=∫

cosecx · cosec2 x dx

={u = cosecx ⇒ du = − cosecx · cotan x dxdv = cosec2 x dx ⇒ v = −cotan x

}

= − cosecx · cotan x−∫



cosecx ·(cosec2 x− 1

)dx



+∫

cosecx dx

1= − cosecx · cotan x− I − ln |cosecx+ cotan x|+ C

=⇒ 2I = − cosecx · cotan x− ln |cosecx+ cotan x|+ C

=⇒ I = 12 ·(− cosecx · cotan x− ln |cosecx+ cotan x|

)+ C

Metodo de reduccion:∫cosec3 x dx =

{∫cosecn x dx = −1

n− 1 cosecn−2 x · cotan x+ n− 2n− 1

∫cosecn−2 x dx

}

= −12 · cosecx · cotan x+ 1

2

∫cosecx dx

1= −1

2 · cosecx · cotan x− 12 · ln |cosecx+ cotan x|+ C

= −12 ·(

cosecx · cotan x+ ln |cosecx+ cotan x|)

+ C

4∫

cosec4 x dx =∫

cosec2 x · cosec2 x dx =∫


)dx

=∫

cosec2 x dx+∫

cosec2 x · cotan 2x dx = −cotan x+∫




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=

u = cotan x


du = dx

= −cotan x+

∫��

��cosec2 x · u2 ·(− 1��

��cosec2 x

)du = −cotan x−

∫u2 du

= −cotan x+ u3

3 + C = −cotan x+ 13 · cotan 3x+ C




∫cosecn−2 x dx

}

= −13 · cosec2 x · cotan x+ 2

3

∫cosec2 x dx

2= −1

3 · cosec2 x · cotan x

+ 23 ·[−1

2 ·(

cosecx · cotan x+ ln |cosecx+ cotan x|)]

+ C

= −13 · cosec2 x · cotan x− 1

3 ·(


+ C

= −13 ·(

cosec2 x · cotan x+ cosecx · cotan x+ ln |cosecx+ cotan x|)

+ C

5∫


=∫

cosec3 x · cosec2 x dx

={u = cosec3 x ⇒ du = −3 · cosec2 x cosecx · cotan x dxdv = cosec2 x dx ⇒ v = −cotan x

}

= − cosec3 x · cotan x− 3∫


= − cosec3 x · cotan x− 3∫

cosec3 x ·(cosec2 x− 1

)dx

= − cosec3 ·cotan x− 3∫

cosec5 x dx︸︷︷︸3I

−3∫

cosec3 x dx

= − cosec3 x · cotan x− 3I + 3∫

cosec3 x dx

3= − cosec3 x · cotan x− 3I + 3 · 12 ·

(− cosecx · cotan x− ln |cosecx+ cotan x|

)+C

= − cosec3 x · cotan x− 3I − 32 · cosecx · cotan x− 3

2 · ln |cosecx+ cotan x|+ C

=⇒ 4I = −32 · cosecx · cotan x− cosec3 x · cotan x− 3


=⇒ I = 14 ·[−3

2 cosecx · cotan x− cosec3 x · cotan x− 32 ln |cosecx+ cotan x|

]+C

=⇒ I = −38 cosecx · cotan x− 1

4 cosec3 x · cotan x− 38 · ln |cosecx+ cotan x|+ C

Metodo de reduccion:


http

s://a

pren

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omel

on.c

om

∫cosec5 x dx =



∫cosecn−2 x dx

}


4

∫cosec3 x dx

3= −1

4 · cosec3 x · cotan x+ 34 ·[−1

2(

cosecx · cotan x+ ln |cosecx+ cotan x|)]

+ C


8 ·(


+ C

6∫

cosec6 x dx =∫

cosec2 x ·(cosec2 x

)2dx =

∫cosec2 x ·

(1 + cotan 2x

)2dx

=∫

cosec2 x ·(1 + 2 · cotan 2x+ cotan 4x

)2dx

=∫

cosec2 x dx+∫ (

2 cosec2 x+ cosec4 x)· cotan 2x dx

= −cotan x+∫ (

2 cosec2 x+ cosec4 x)· cotan 2x dx

=

u = cotan x


du = dx

= −cotan x+

∫��

��cosec2 x ·(2u2 + u4

)·(− 1��

��cosec2 x

)du

= −cotan x−∫ (

2u2 + u4)du = −cotan x+ 2u3

3 + u5

5 + C

= −cotan + 23 · cotan 3x+ 1

5 · cotan 5x+ C




∫cosecn−2 x dx

}


5

∫cosec4 x dx

4= −1


+ 45 ·[−1

3 ·(

cosec2 x · cotan x+ cosecx · cotan x+ ln |cosecx+ cotan x|)]

+ C


15 ·(

cosec2 x · cotan x+ cosecx · cotan x

+ ln |cosecx+ cotan x|)

+ C

7∫

cotan x dx =∫ cosx

sen x dx =

u = sen x


=∫��cosxsen x ·

1��cosx du =

∫ 1udu = ln |u|+ C = ln |sen x|+ C

8∫

cotan 2x dx =∫ (

cosec2 x− 1)dx =

∫cosec2 x dx−

∫dx = −cotan x− x+ C



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om


9∫

cotan 3x dx =∫

cotan 2x · cotan x dx =∫ (

cosec2 x− 1)· cotan x dx

=∫

cosec2 x · cotan x dx−∫

cotan x dx

=

u = cotan x


du = dx

=∫��cosec2 x · u ·

(− 1��

��cosec2 x

)du−

∫ cosxsen x dx = −

∫u du− ln |sen x|

= −u2

2 − ln |sen x|+ C = −12 · cotan 2x− ln |sen x|+ C

Otra forma:∫cotan 3x dx =

∫ cos3 x

sen3 xdx =

∫ cos2 x

sen3 x· cosx dx =

∫ 1− sen2 x

sen3 x· cosx dx

=

u = sen x


=∫ 1− u2

u3 ·��cosx · 1��cosx du =

∫ 1u3 du−

∫ 1udu

=∫u−3 du−

∫ 1udu = u−2

−2 − ln |u|+ C = −12 ·

1u2 − ln |u|+ C

= − 1sen2 x

− ln |sen x|+ C = −12 · cosec2 x− ln |sen x|+ C

Metodo de reduccion:∫cotan 3x dx =

{∫cotan nx dx = − 1

n− 1 · cotan n−1x−∫

cotan n−2x dx}

= −12 · cotan 2x−

∫cotan x dx

7= −1

2 · cotan 2x− ln |sen x|+ C

10∫

cotan 4x dx =∫ (

cotan 2x)· cotan 2x dx =

∫ (cosec2 x− 1

)· cotan 2x dx

=∫

cosec2 x · cotan 2x dx−∫

cotan 2x dx

=

u = cotan x


du = dx

??=∫��

��cosec2 x · u2 ·(− 1��

��cosec2 x

)du− (−cotan x− x) = −

∫u2 du+ cotan x+ x

= −u3

3 + cotan x+ x+ C = −13 · cotan 3x+ cotan x+ x+ C




cotan n−2x dx}


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on.c

om

= −13 · cotan 3x−

∫cotan 2x dx

8= −1

3 · cotan 3x−(− cotan x− x

)+ C

= −13 · cotan 3x+ cotan x+ x+ C

11∫

cotan 5x dx =∫

cotan 4x · cotan x dx =∫ (

cotan 2x)· cotan 3x dx

=∫ (

cosec2 x− 1)· cotan 3x dx =

∫cosec2 x · cotan 3x dx−

∫cotan 3x dx

=

u = cotan x


du = dx

??=∫��

��cosec2 x · u3 ·(− 1��

��cosec2 x

)du−

(−1

2 · cotan 2x− ln |sen x|)

= −∫u3 du+ 1

2 · cotan 2x+ ln |sen x| = −u4

4 + 12 · cotan 2x+ ln |sen x|+ C

= −14 · cotan 4x+ 1

2 · cotan 2x+ ln |sen x|+ C

Otra forma∫cotan 5x dx =

∫ cos5 x

sen5 xdx =

∫ cos4 x

sin5 x· cosx dx =

∫ (cos2 x)2

sin5 x· cosx dx

=∫ (1− sen2 x)2

sen5 x· cosx dx =

u = sen x


=∫ (1− u2)2

u5 ·��cosx · 1��cosx du =

∫ u4 − 2u2 + 1u5 du

∗©=∫ 1udu+

∫ −2u3 du+

∫ 1u5 du = ln |u| − 2

∫u−3 du+

∫u−5 du

= ln |u| − 2 · u−2

−2 + u−4

−4 + C = ln |u|+ · 1u2 −

14u4 + C

= ln |sen x|+ · 1sen2 x

− 14 · sen4 x

+ C = ln |sen x|+ cosec2 x− 14 · cosec4 x+ C

∗©u4 − 2u2 + 1��u

5= A

u+ B

u2 + C

u3 + D

u4 + E

u5 = Au4 +Bu3 + Cu2 +Du+ E

��u5

=⇒

〈 t.i. 〉 1 = E ⇒ E = 1〈u 〉 0 = D ⇒ D = 0〈u2 〉 − 2 = C ⇒ C = −2〈u3 〉 0 = B ⇒ B = 0〈u4 〉 1 = A ⇒ A = 1




cotan n−2x dx}



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


= −14 · cotan 4x−

∫cotan 3x dx

9= −1

4 · cotan 4x−(−1

2 · cotan 2x− ln |sen x|)

+C

= −14 · cotan 4x+ 1

2 · cotan 2x+ ln |sen x|+ C

12∫

cotan 6x dx =∫

cotan 4 · cotan 2x dx =∫

cotan 4 ·(cosec2 x− 1

)dx

=∫

cotan 4x · cosec2 x dx−∫

cotan 4x dx

=

u = cotan x


du = dx

=∫u4 ·��cosec2 x ·

(− 1��

��cosec2 x

)du−

∫cotan 4x dx = −

∫u4 du−

∫cotan 4x dx

= −u5

5 −∫

cotan 4x dx10= −1

5 · cotan 5x−(−1

3 · cotan 3x+ cotan x+ x)

+ C

= −cotan x+ 13 · cotan 3x− 1

5 · cotan 5x− x+ C




cotan n−2x dx}

= −15 ·cotan 5x−

∫cotan 4x dx

10= −1

5 ·cotan 5x−(−1

3 · cotan 3x+ cotan x+ x)

+C

= −15 · cotan 5x+ 1

3 · cotan 3x− cotan x− x+ C

13∫

cosecx · cotan x dx = − cosecx+ C

14∫

cosecx · cotan 2x dx =∫

cosecx ·(cosec2 x− 1

)dx =

∫cosec3 x dx−

∫cosecx dx

={∫

cosecn x dx = −1n− 1 cosecn−2 x · cotan x+ n− 2

n− 1

∫cosecn−2 x dx

}

=(−1

2 · cosecx · cotan x+ 12

∫cosecx dx

)−∫

cosecx dx

= −12 · cosecx · cotan x− 1

2

∫cosecx dx

1= −1

2 · cosecx · cotan x− 12 ·(− ln |cosecx+ cotan x|

)+ C

= −12 ·(

cosecx · cotan x− ln |cosecx+ cotan x|)

+ C

15∫

cosecx · cotan 3x dx =∫

cosecx · cotan x · cotan 2x dx

=∫

cosecx · cotan x ·(cosec2 x− 1

)dx


http

s://a

pren

deco

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omel

on.c

om

=

u = cosecx


=∫((((

(((((

cosecx · cotan x ·(u2 − 1

)·(− 1(((

((((((

cosecx · cotan x

)du = −

∫ (u2 − 1

)du

= −u3

3 − u+ C = −13 · cosec3 x− cosecx+ C

16∫

cosecx · cotan 4x dx = cosecx ·(cotan 2x

)2dx =

∫cosecx ·

(cosec2 x− 1

)2dx

=∫

cosecx ·(cosec4 x− 2 · cosec2 x+ 1

)dx

=∫

cosec5 x dx− 2∫

cosec3 x dx+∫

cosecx dx

={∫

cosecn x dx = − 1n− 1 · cosecn−2 x · cotan x+ n− 2

n− 1

∫cosecn−2 x dx

}

= −14 · cosec3 xcotan x+ 3

4

∫cosec3 x dx− 2

∫cosec3 x dx+

∫cosecx dx

= −14 · cosec3 xcotan x− 5

4

∫cosec3 x dx+

∫cosecx dx

={∫

cosecn x dx = − 1n− 1 · cosecn− 2x · cotan x+ n− 2

n− 1

∫cosecn−2 x dx

}

= −14 · cosec3 xcotan x− 5

4 ·(−1


∫cosecx dx

)+∫

cosecx dx

= −14 · cosec3 xcotan x+ 5


∫cosecx dx

1= −1

4 · cosec3 xcotan x+ 58 · cosecx · cotan x− 3


17∫

cosec2 x · cotan x dx =∫

cosecx · cosecx · cotan x dx

=

u = cosecx


=∫u ·(((((

((((cosecx · cotan x ·(− 1(((

((((((

cosecx · cotan x

)du = −

∫u du = −u

2

2 + C

= −12 · cosec2 x+ C

18∫

cosec2 x · cotan 2x dx =

u = cotan x


du = dx

=∫��cosec2 x · u2 ·

(− 1��

��cosec2 x

)du = −

∫u2 du = −u

3

3 = −13 · cotan 3x+ C

Otra forma:∫cosec2 x·cotan 2x dx =

∫cosec2 x·

(cosec2 x− 1

)dx =

∫cosec4 x dx−

∫cosec2 x dx



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


={∫


n− 1

∫cosecn−2 x dx

}


3

∫cosec2 x dx−

∫cosec2 x dx


3

∫cosec2 x dx

2= −1

3 · cosec2 x · cotan x+ 13 · cotan x+C

19∫


u = cotan x


du = dx

=∫��cosec2 x · u3 ·

(− 1��

��cosec2 x

)du = −

∫u3 du = −u

4

4 = −14 · cotan 4x+ C

20∫


u = cotan x


du = dx

=∫��cosec2 x · u4 ·

(− 1��

��cosec2 x

)du = −

∫u4 du = −u

5

5 = −15 · cotan 5x+ C

21∫


cosec2 x · cosecx · cotan x dx

=

u = cosecx


=∫u2 ·(((((

((((cosecx · cotan x ·(− 1((((

(((((

cosecx · cotan x

)du = −

∫u2 du = −u

3

3 + C

= −13 · cosec3 x+ C

22∫

cosec3 x·cotan 2x dx =∫

cosec3 x·(cosec2 x− 1

)dx =

∫cosec5 x dx−

∫cosec3 x dx

={∫


n− 1

∫cosecn−2 x dx

}


4

∫cosec3 x dx−

∫cosec3 x dx


4

∫cosec3 x dx

3= −1

4 · cosec3 x · cotan x+ 14 ·

12 ·(


+ C


8 · cosecx · cotan x+ 18 ln |cosecx+ cotan x|

)+ C

23∫

cosec3 x · cotan 3x dx =∫

cosecx · cotan x · cosec2 x · cotan 2x dx

=∫

cosecx · cotan x · cosec2 x ·(cosec2 x− 1

)dx


http

s://a

pren

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nmig

omel

on.c

om

=

u = cosecx


=∫((((

(((((

cosecx · cotan x · u2 ·(u2 − 1

)·(− 1(((

((((((

cosecx · cotan x

)du = −

∫u2 ·

(u2 − 1

)du

= −∫ (

u4 − u2)du = −u

5

5 + u3

3 + C = −15 · cosec5 x+ 1

3 · cosec3 x+ C

24∫

cosec3 x ·cotan 4x dx =∫

cosec3 x ·(cotan 2x

)2dx =

∫cosec3 x ·

(cosec2 x− 1

)2dx

=∫

cosec3 x ·(cosec4 x− 2 · cosec2 x+ 1

)dx

=∫

cosec7 x dx− 2∫

cosec5 x dx+∫

cosec3 x dx

={∫


n− 1

∫cosecn−2 x dx

}


6

∫cosec5 x dx− 2

∫cosec5 x dx+

∫cosec3 x dx


6

∫cosec5 x dx+

∫cosec3 x dx

={∫


n− 1

∫cosecn−2 x dx

}

= −16 ·cosec5 x·cotan x− 7

6 ·(−1

4 cosec3 x · cotan x+ 34

∫cosec3 x dx

)+∫

cosec3 x dx


24 · cosec3 x · cotan x+ 18

∫cosec3 x dx

3= −1

6 · cosec5 x · cotan x+ 724 · cosec3 x · cotan x

− 18 ·

12 ·(


+ C


24 · cosec3 x · cotan x− 116 · cosecx · cotan x

− 116 · ln |cosecx+ cotan x|+ C

25∫


cosec3 x · cosecx · cotan x dx

=

u = cosecx


=∫u3 ·(((((


(((((

cosecx · cotan x

)du = −

∫u3 du = u4

4 + C

= 14 · cosec4 x+ C

26∫

cosec4 x·cotan 2x dx =∫

cosec4 x·(cosec2 x− 1

)dx =

∫cosec6 x dx−

∫cosec4 x dx



http

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omel

on.c

om


={∫


n− 1

∫cosecn−2 x dx

}


5

∫cosec4 x dx−

∫cosec4 x dx


5

∫cosec4 x dx

4= −1


+ 15 ·

13 ·(

cosec2 x · cotan x+ cosecx · cotan x+ ln |cosecx+ cotan x|)

+ C


15 · cosec2 x · cotan x+ 115 · cosec4 x · cotan x

+ 115 · ln |cosecx+ cotan x|+ C

27∫


cosec3 x · cotan 2x · cosecx · cotan x dx

=∫

cosec3 x ·(cosec2 x− 1

)· cosecx · cotan x dx

=

u = cosecx


=∫u3 ·

(u2 − 1

)·(((((


(((((

cosecx · cotan x

)du = −

∫u3 ·

(u2 − 1

)du

= −∫ (

u5 − u3)du = −u

6

6 + u4

4 + C = −16 · cosec6 x+ 1

4 · cosec4 x+ C

28∫


cosec2 x · cosec2 x · cotan 4x dx

=∫


)· cotan 4x dx

=

u = cotan x


du = dx

=∫��

��cosec2 x·(1 + u2

)·u4 ·

(− 1��

��cosec2 x

)du = −

∫ (1 + u2

)·u4 du = −

∫ (u4 + u6

)du

= −u5

5 −u7

7 + C = −15 · cotan 5x− 1

7 · cotan 7x+ C


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om

6.4. Sustitucion Trigonometrica.

Si en el integrando tenemos las siguientes expresiones podemos resolver la correspon-diente integrlas haciendo el cambio de variable indicado. En la tabla adjunta u es unafuncion de x y a > 0.

Sustitucion TrigonometricaIntegrando Cambio de variable√a2 − b2x2 x = a

b· sen t

√a2 + b2x2 x = a

b· tan t

√b2x2 − a2 x = a

b· sec t

En los siguientes ejemplos justificamos el porque de este cambio de variable:∫ √a2 − b2x2 dx

dentro de la raız sacamos factor comun a2

∫ √a2 − b2x2 dx =

∫ √√√√a2 ·(

1− b2x2

a2

)dx

Sacamos a > 0 fuera de la raız∫ √a2 − b2x2 dx =

∫ √√√√a2 ·(

1− b2x2

a2

)dx = a

∫ √√√√1−(bx

a

)2

dx

hacemos el cambio de variable x = a

b· sen t

=

bx

a= sen t =⇒ t = arc sen

(bxa

)x = a

b· sen t =⇒ dx = a

b· cos t dt

= a

∫ √1− sen2 t︸︷︷︸

cos2 t

· ab· cos t dt = a2

b

∫cos2 t dt = a2

b

∫ 1 + cos (2t)2 dt

= a2

2b

∫dt+ a2

2b ·12

∫2︸︷︷︸u′

· cos (2t)︸︷︷︸cos u

dx = a2

2b · t+ a2

4b · sen (2t) + C

= a2

2b · t+ a2

�42b· �2 · sen t · cos t+ C = a2

2b · (t+ sen t · cos t) + C

Para deshacer el cambio de variable tenemos que representar un triangulo en donde elangulo sea arc sen

(bxa

)y en el que nombramos el cateto opuesto y la hipotenusa para que

su seno valga bxa

. El otro cateto lo hayamos por el Teorema de Pitagoras.•©= a2

2b ·[

arc sen (bx/a) + sen(

arc sen (bx/a))

︸︷︷︸bxa

· cos(

arc sen (bx/a))

︸︷︷︸√a2−b2x2

a

]+ C

= a2

2b · arc sen (bx/a) +��a2

2��b· ��bx�a·√a2 − b2x2

�a+ C

= a2

2b · arc sen (bx/a) + x

2 ·√a2 − b2x2 + C



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•© sen(

arc sen (bx/a))

= bx

a

cos(

arc sen (bx/a))

=√a2 − b2x2

a

tan(

arc sen (bx/a))

= bx√a2 − b2x2

Seguimos con otro ejemplo:

∫ √a2 + b2x2 dx =

∫ √√√√a2 ·(

1 + b2x2

a2

)dx = a

∫ √√√√1 +(bx

a

)2

dx

Tras sacar factor comun a2 y extraer a de la raız, hacemos el cambio de variable x = a

b·tan t

=

bx

a= tan t =⇒ t = arctan

(bxa

)x = a

b· tan t =⇒ dx = a

b· sec2 t dt

= a∫ √

1 + tan2 t︸︷︷︸sec2 t

· ab

sec2 t dt

= a2

b

∫sec3 t dx

9= a2

b· 1

2 ·(

sec t · tan t+ ln |sec t+ tan t|)

+ C

•©= a2

2b ·[

sec(

arctan (bx/a))

︸︷︷︸√a2+b2x2

a

· tan(

arctan (bx/a))

︸︷︷︸bxa

+ ln∣∣∣∣ sec

(arctan (bx/a)

)︸︷︷︸√

a2+b2x2a

+ tan(

arctan (bx/a))

︸︷︷︸bxa

∣∣∣∣]+ C

= a2

2b ·[√

a2 + b2x2

a· bxa

+ ln∣∣∣∣∣√a2 + b2x2

a+ bx

a

∣∣∣∣∣]

+ C

= x

2 ·√a2 + b2x2 + a2

2b · ln∣∣∣∣∣bx+

√a2 + b2x2

a

∣∣∣∣∣+ C

•© sen(

arctan (bx/a))

= bx√a2 + b2x2

cos(

arctan (bx/a))

= a√a2 + b2x2

tan(

arctan (bx/a))

= bx

a

Y por ultimo estudiaremos la integral:

∫ √b2x2 − a2 dx =

∫ √√√√a2 ·(b2x2

a2 − 1)dx = a

∫ √√√√(bxa

)2

− 1 dx


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om

Tras sacar factor comun a2 y extraer a de la raız, hacemos el cambio de variable x = a

b·sec t

=

bx

a= sec t =⇒ a

bx= cos t =⇒ t = arc cos

(abx

)x = a

b· sec t =⇒ dx = a

b· sec t · tan t dt

= a

∫ √sec2 t− 1︸︷︷︸

tan2 t

· ab· sec t · tan t dt = a2

b

∫sec t · tan2 t dx

14= a2

b· 1

2 ·(

sec t · tan t− ln |sec t+ tan t|)

+ C

= a2

2b ·[

sec(

arc cos (a/bx))

︸︷︷︸bxa

· tan(

arc cos (a/bx))

︸︷︷︸√b2x2−a2

a

− ln∣∣∣∣ sec

(arc cos (a/bx)

)︸︷︷︸

bxa

+ tan(

arc cos (a/bx))

︸︷︷︸√b2x2−a2

a

∣∣∣∣]+ C

= a2

2b ·[bx

a·√b2x2 − a2

a− ln

∣∣∣∣∣bxa +√b2x2 − a2

a

∣∣∣∣∣]

+ C

= x

2 ·√b2x2 − a2 − a2

2b · ln∣∣∣∣∣bx+

√b2x2 − a2

a

∣∣∣∣∣+ C

•© sen(

arc cos (a/bx))

=√b2x2 − a2

bx

cos(

arc cos (a/bx))

= a

bx

tan(

arc cos (a/bx))

=√b2x2 − a2

a



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6.4.1. Ejercicios resueltos. Sustitucion Trigonometrica.

1∫ 1x2 − 1 dx

2∫ √

x2 − 1 dx

3∫ 1√

x2 − 1dx

4∫ 1x ·√x2 − 1

dx

5∫ √x2 − 9

xdx

6∫ √

1 + x2 dx

7∫ 1√

(1 + x2)3dx

8∫ 1√

1 + x2dx

9∫ 1x ·√

1 + x2dx

10∫ 1x2 ·√

1 + x2dx

11∫ √1 + x2

xdx

12∫ √1 + x2

x2 dx

13∫ 1

(1 + x2)2 dx

14∫ x

1 + x4 dx

15∫ 1√

1− x2dx

16∫ x√

1− x2dx

17∫ x2√

1− x2dx

18∫ x3√

1− x2dx

19∫ 1x2 ·√

1− x2dx

20∫ x√

1− x4dx

21∫ 1√

9− 4x2dx

22∫ 1√

16− 9x2dx

23∫ 1x2 ·√

4− x2dx

24∫ √

1− x2 dx

25∫ √1− x2

xdx

26∫ √1− x2

x2 dx

??∫ 3 + x√

1− x2dx

28∫earc cos x dx


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Solucion.

1∫ 1x2 − 1 dx =

x = secu⇒ 1x

= cosu⇒ u = arc cos(

1x

)dx = secu · tan u du

=∫ 1

sec2 u− 1 ·secu · tan u du =∫ 1

tan�2 u·secu ·��tan u du =

∫ secutan u du =

∫ 1��cos usen u��cos u

du

=∫ 1

sen u du =∫

cosecu du =∫

cosecu · cosecu+ cotan ucosecu+ cotan u du

=∫ cosec2 u+ cosecu · cotan u

cosecu+ cotan u du

=

t = cosecu+ cotan u

dt = (− cosecu · cotan u− cosec2 u) du⇒ −1cosecu · cotan u+ cosec2 u

dt = du

=∫((((

(((((((

(((

cosec2 u+ cosecu · cotan ut

·

− 1

(((((((

(((((((

cosecu · cotan u+ cosec2 u

dt= −

∫ 1tdt = − ln |t|+ C = − ln |cosecu+ cotan u|+ C

= − ln∣∣∣∣ cosec

(arc cos (1/x)

)︸︷︷︸

x√x2−1

+ cotan(

arc cos (1/x))

︸︷︷︸1√

x2−1

∣∣∣∣+ C

•©= − ln∣∣∣∣∣ x√x2 − 1

+ 1√x2 − 1

∣∣∣∣∣+ C = − ln∣∣∣∣∣ x+ 1√x2 − 1

∣∣∣∣∣+ C

•© cosec(

arc cos (1/x))

= x√x2 − 1

cotan(

arc cos (1/x))

= 1√x2 − 1

2∫ √

x2 − 1 dx =

x = secu⇒ 1x


1x


=∫ √

sec2 u− 1 · secu · tan u du =∫ √

tan2 x · secu · tan u du =∫

secu · tan2 u du

=∫

secu ·(sec2 u− 1

)du =

∫sec3 u du−

∫secu du

={∫


n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 12 · secu · tan u+ 1

2

∫secu du−

∫secu du

= 12 · secx · tan x− 1

2

∫secu du = 1

2 · secx · tan x− 12

∫secu · secu+ tan u

secu+ tan u du



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= 12 · secx · tan x− 1

2

∫ sec2 u+ secu tan usecu+ tan u du

=

t = secu+ tan u

dt = secu · tan u+ sec2 u du⇒ 1secu · tan u+ sec2 u

dt = du

= 1

2 · secu · tan u− 12

∫(((

(((((((sec2 u+ secu tan u

t· 1

((((((((

(((secu · tan u+ sec2 u

dt

= 12 · secu · tan u− 1

2

∫ 1tdt = 1

2 · secu · tan u− 12 · ln |t|+ C

= 12 · secu · tan u− 1

2 · ln |secu+ tan u|+ C

= 12 · sec

(arc cos (1/x)

)︸︷︷︸

x

· tan(

arc cos (1/x))

︸︷︷︸√x2−1

−12 · ln

∣∣∣∣ sec(

arc cos (1/x))

︸︷︷︸x

+ tan(

arc cos (1/x))

︸︷︷︸√x2−1

∣∣∣∣+ C

•©= 12 ·x ·

√x2 − 1− 1

2 · ln∣∣∣x+

√x2 − 1

∣∣∣+C = 12 ·(x ·√x2 − 1− ln

∣∣∣x+√x2 − 1

∣∣∣)+C

•© sec(

arc cos (1/x))

= 11/x

= x

tan(

arc cos (1/x))

=√x2 − 1

3∫ 1√

x2 − 1dx =

x = secu⇒ 1x


1x


=∫ 1√

sec2 u− 1· secu · tan u du =

∫ 1√tan2 u

· secu · tan u du

=∫ 1��tan x · secx ·��tan u du =

∫secu du = ln |secu+ tan u|+ C

= ln∣∣∣∣ sec

(arc cos (1/x)

)︸︷︷︸

x

+ tan(

arc cos (1/x))

︸︷︷︸√x2−1

∣∣∣∣+ C•©= ln

∣∣∣x+√x2 − 1

∣∣∣+ C

•© sec(

arc cos (1/x))

= 11/x

= x

tan(

arc cos (1/x))

=√x2 − 1


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om

4∫ 1x ·√x2 − 1

dx =

x = secu⇒ 1x


1x


=

∫ 1secu ·

√sec2 u− 1

· secu · tan u du =∫ 1

secu ·√

tan2 x· secu · tan u du =∫ 1

(((((((secu · tan x ·(

((((((secu · tan u du =

∫du = u+ C = arc cos (1/x) + C

5∫ √x2 − 9

xdx =

∫ 3√

x2

9 − 1x

dx = 3∫ √(

x3

)2− 1

xdx

=

x

3 = secu⇒ 3x


3x

)x = 3 · secu⇒ dx = 3 · secu · tan u du

= 3∫ √sec2 u− 1

��3 secu ·��3 secu·tan u du

= 3∫ √

tan2 u · tan u du = 3∫

tan2 u du = 3∫ (

sec2 u− 1)du = 3 · (tan u− u) + C

•©= 3 ·[

tan(

arc cos (3/x))

︸︷︷︸√x2−9

3

− arc cos (3/x)]

+ C =√x2 − 9− 3 · arc cos (3/x) + C

•© tan(

arc cos (3/x))

=√x2 − 9

3

6∫ √

1 + x2 dx ={x = tan u⇒ u = arctan xdx = sec2 u du

}=∫ √

1 + tan2 u · sec2 u du

=∫ √

sec2 u · sec2 u du =∫

secu · sec2 u du =∫

sec3 u du

={∫


n− 1

∫secn−2 x dx

}

= 12 · secu · tan u+ 1

2

∫secu du = 1

2 · secu · tan u+ 12 · ln |secu+ tan u|+ C

= 12 · sec

(arctan x

)︸︷︷︸√

1+x2

· tan(

arctan x)

︸︷︷︸x

+12 · ln

∣∣∣∣ sec(

arctan x)

︸︷︷︸√1+x2

+ tan(

arctan x)

︸︷︷︸x

∣∣∣∣+ C

= 12 ·(√

1 + x2 · x+ ln∣∣∣√1 + x2 + x

∣∣∣)+ C

= 12 ·(x ·√

1 + x2 + ln∣∣∣√1 + x2 + x

∣∣∣)+ C



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


•© sec(

arctan x)

=√

1 + x2

tan(

arctan x)

= x

7∫ 1√

(1 + x2)3dx =

{x = tan u⇒ u = arctan xdx = sec2 u du

}=∫ 1√

(1 + tan2 u)3· sec2 u du

=∫ 1√

(sec2 u)3· sec2 u du =

∫ 1sec3 u

· sec2 u du =∫ 1

secu du =∫

cosu du

= sen u+ C•©= sen

(arctan x

)︸︷︷︸

x√1+x2

+C = x√1 + x2

+ C

•© sen(

arctan x)

= x√1 + x2

8∫ 1√

1 + x2dx =


}=∫ 1√

1 + tan2 u· sec2 u du

=∫ 1√

sec2 usec2 u du =

∫ 1��secu sec�2 u du =

∫secu du = ln |secu+ tan u|+ C

•©= ln∣∣∣∣ sec

(arctan x

)︸︷︷︸√

1+x2

+ tan(

arctan x)

︸︷︷︸x

∣∣∣∣+ C = ln∣∣∣√1 + x2 + x

∣∣∣+ C

•© sec(

arctan x)

=√

1 + x2

tan(

arctan x)

= x

9∫ 1x ·√

1 + x2dx =


}=∫ 1

tan u ·√

sec2 u· sec2 u du

=∫ 1

tan u ·��secu · sec�2 u du =∫��cosusen u ·

1��cosu du =

∫ 1sen u du =

∫cosecu dx

=∫

cosecu · cosecu+ cotan ucosecu+ cotan u dx =

∫ cosec2 u+ cosecu · cotan ucosecu+ cotan u dx


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

=

t = cosecu+ cotan udt = − cosec2 u− cosecu · cotan u du⇒ −dt

cosec2 u+ cosecu · cotan u = du

=∫((((

(((((((

(((

cosec2 u+ cosecu · cotan ut

· −1

((((((((

((((((

cosec2 u+ cosecu · cotan udt = −

∫ 1tdt

= − ln |t|+ C = − ln |cosecu+ cotan u|+ C

•©= − ln∣∣∣∣ cosec

(arctan x

)︸︷︷︸√

1+x2x

+ cotan(

arctan x)

︸︷︷︸1x

∣∣∣∣+ C = − ln∣∣∣∣∣√

1 + x2

x+ 1x

∣∣∣∣∣+ C

= − ln∣∣∣∣∣1 +

√1 + x2

x

∣∣∣∣∣+ C

•© cotan(

arctan x)

= 1x

cosec(

arctan x)

=√

1 + x2

x

10∫ 1x2 ·√

1 + x2dx =


}

=∫ 1

tan2 u ·√

sec2 u· sec2 u du =

∫ 1tan2 u ·��secu · sec�2 u du =

∫ cos�2 usen2 u

· 1��cosu du

=∫ cosu

sen2 udu =

t = sen u

dt = cosu du⇒ 1cosu dt = du

=∫��cosut2· 1��cosu dt =

∫ 1t2dt

=∫t−2 dt = t−1

−1 + C = −1t

+ C = − 1sen u + C

= − cosecu+ C = − cosec(

arctan x)

+ C = −√

1 + x2

x+ C

•© cosec(

arctan x)

=√

1 + x2

x

11∫ √1 + x2

xdx =


}=∫ √1 + tan2 u

tan u · sec2 u du



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


=∫ √sec2 u

tan u · sec2 u du =∫ secu

tan u · sec2 u du =∫ sec3 u

tan u du =∫ 1

cos�32 usen u��cos u

du

=∫ 1

cos2 u · sen u du =∫ sen u

cos2 u · sen2 udu =

∫ sen ucos2 u · (1− cos2 u) du

=

t = cosu

dt = − sen u du⇒ − 1sen u dt = du

=∫

��sen ut2 · (1− t2) ·

(− 1��sen u

)dt

=∫ −1t2 · (1− t2) dt

∗©=∫ −1

t2dt+

∫ −1/2

1− t dt+∫ −1/2

1 + tdt

= −∫t−2 dt+ 1

2 · ln |1− t| −12 · ln |1 + t| = 1

t+ 1

2 · ln∣∣∣∣1− t1 + t

∣∣∣∣+ C

= 1cos

(arctan x

) + 12 · ln

∣∣∣∣∣∣1− cos

(arctan x

)1 + cos

(arctan x

)∣∣∣∣∣∣+ C

= sec(

arctan x)

+ 12 · ln

∣∣∣∣∣∣1− cos

(arctan x

)1 + cos

(arctan x

)∣∣∣∣∣∣+C

•©=√

1 + x2 + 12 · ln

∣∣∣∣∣∣1− 1√

1+x2

1 + 1√1+x2

∣∣∣∣∣∣+C

=√

1 + x2 + 12 · ln

∣∣∣∣∣√

1 + x2 − 1√1 + x2 + 1

∣∣∣∣∣+ C

∗©(1− t2

)· t2 = (1− t) · (1 + t) · t2

−1��

��(1− t2) · t2= A

t+ B

t2+ C

1− t + D

1 + t

= At(1− t) · (1 + t) +B(1− t) · (1 + t) + Ct2(1 + t) +Dt2(1− t)��

��(1− t2) · t2

=⇒

〈 t = 0 〉 − 1 = B ⇒ B = −1〈 t = 1 〉 − 1 = 2C ⇒ C = −1/2〈 t = −1 〉 − 1 = 2D ⇒ D = −1/2〈 t3 〉 0 = −A+ C −D ⇒ A = 0

•© cos(

arctan x)

= 1√1 + x2

sec(

arctan x)

=√

1 + x2

12∫ √1 + x2

x2 dx ={x = tan u⇒ u = arctan xdx = sec2 u du

}=∫ √1 + tan2 u

tan2 u· sec2 u du

=∫ √sec2 u

tan2 u· sec2 u du =

∫ secutan2 u

· sec2 u du =∫ sec3 u

tan2 udu =

∫ 1cos�3 usen2 u��cos2 u

du


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

=∫ 1

cosu · sen2 udu =

∫ cosucos2 u · sen2 u

du =∫ cosu

(1− sen2 u) · sen2 udu

=

t = sen u

dt = cosu du⇒ 1cosu dt = du

=∫

��cosu(1− t2) · t2 ·

1��cosu dt =

∫ 1(1− t2) · t2 dt

∗©=∫ 1t2dt+

∫ 1/2

1− t dt+∫ 1/2

1 + tdt =

∫t−2 dt− 1

2 · ln |1− t|+12 · ln |1 + t|

= −1t

+ 12 · ln

∣∣∣∣1 + t

1− t

∣∣∣∣+ C = − 1sen u + 1

2 · ln∣∣∣∣1 + sen u1− sen u

∣∣∣∣+ C

= − 1sen

(arctan x

) + 12 · ln

∣∣∣∣∣∣1 + sen

(arctan x

)1− sen

(arctan x

)∣∣∣∣∣∣+ C = − cosec

(arctan x

)

+ 12 · ln

∣∣∣∣∣∣1 + sen

(arctan x

)1− sen

(arctan x

)∣∣∣∣∣∣+ C

•©= −√

1 + x2

x+ 1

2 · ln∣∣∣∣∣∣1 + x√

1+x2

1− x√1+x2

∣∣∣∣∣∣+ C

= −√

1 + x2

x+ 1

2 · ln∣∣∣∣∣√

1 + x2 + x√1 + x2 − x

∣∣∣∣∣+ C

∗©(1− t2

)· t2 = (1− t) · (1 + t) · t2

1��

��(1− t2) · t2

= A

t+ B

t2+ C

1− t + D

1 + t

= At(1− t) · (1 + t) +B(1− t) · (1 + t) + Ct2(1 + t) +Dt2(1− t)��

��(1− t2) · t2

=⇒

〈 t = 0 〉 1 = B ⇒ B = 1〈 t = 1 〉 1 = 2C ⇒ C = 1/2〈 t = −1 〉 1 = 2D ⇒ D = 1/2〈 t3 〉 0 = −A+ C −D ⇒ A = 0

•© sen(

arctan x)

= x√1 + x2

cosec(

arctan x)

=√

1 + x2

x

13∫ 1

(1 + x2)2 dx ={x = tan u⇒ u = arctan xdx = sec2 u du

}=∫ 1

(1 + tan2 u)2 · sec2 u du

=∫ 1

(sec2 u)2 · sec2 u du =∫ 1

sec�42 u·��sec2 u du =

∫cos2 u du =

∫ 1 + cos (2u)2 du

=

t = 2u

dt = 2 du⇒ 12 dt = du

=∫ 1 + cos t

2 · 12 dt = 1

4 ·(t+ sen t

)+ C



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


= 14 ·(2u+ sen (2u)

)+ C = 1

4 ·[(

2 · arctan x)

+ sen(2 · arctan x

)]+ C

•©= 12 · arctan x+ 1

�42 · �2 · sen(

arctan x)

︸︷︷︸x√

1+x2

· cos(

arctan x)

︸︷︷︸1√

1+x2

+C

= 12 ·(

arctan x+ x√1 + x2

· 1√1 + x2

)+ C = 1

2 ·(

arctan x+ x

1 + x2

)+ C

•© sen(

arctan x)

= x√1 + x2

cos(

arctan x)

= 1√1 + x2

14∫ x

1 + x4 dx =∫ x

1 + (x2)2 dx =

x2 = tan u⇒ u = arctan (x2)

2x dx = sec2 u du⇒ dx = sec2 u

2x du

=∫

�x

1 + tan2 u· sec2 u

2�xdu = 1

2

∫ 1��

�sec2 u·��sec2 u du = 1

2

∫du = 1

2 · u+ C

= 12 · arctan

(x2)

+ C

15∫ 1√

1− x2dx =

{x = sen u⇒ u = arc sen xdx = cosu du

}=∫ 1√

1− sen2 u· cosu du

=∫ 1√

cos2 u· cosu du =

∫ 1��cosu ·�

��cosu du =∫du = u+ C = arc sen x+ C

16∫ x√

1− x2dx =


}=∫ sen u√


=∫ sen u√

cos2 u· cosu du =

∫ sen u��cosu ·�

��cosu du =∫

sen u du = − cosu+ C

•©= − cos(

arc sen x)

︸︷︷︸√1−x2

+C = −√

1− x2 + C

•© cos(

arc sen x)

=√

1− x2


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

17∫ x2√

1− x2dx =


}=∫ sen2 u√


=∫ sen2 u√

cos2 u· cosu du =

∫ sen2 u

��cosu ·��cosu du =

∫sen2 u du =

∫ 1− cos (2u)2 du

= 12

∫du− 1

2 ·12

∫2 ·cos (2u) du = u

2 −14 · sen (2u)+C = u

2 −1�42 · �2 · sen u ·cosu+C

= 12 ·(u− sen u · cosu

)+C

•©= 12 ·]

arc sen x− sen(

arc sen x)

︸︷︷︸x

· cos(

arc sen x)

︸︷︷︸√1−x2

]+C

= 12 ·[arc sen x− x ·

√1− x2

]+ C

•© sen(

arc sen x)

= x

cos(

arc sen x)

=√

1− x2

18∫ x3√

1− x2dx =


}=∫ sen3 u√


=∫ sen3 u√

cos2 u· cosu du =

∫ sen3 u

��cosu ·��cosu du =

∫sen3 u du =

∫sen2 u · sen u du

=∫ (

1− cos2 u)· sen u du =

t = cosudt = − sen u du⇒ − 1

sen u dt = du

=∫ (

1− t2)·��sen u ·

(− 1��sen u

)dt = −

∫ (1− t2

)dt = −t+ t3

3 + C

= − cosu+ cos3 u

3 + C•©= − cos

(arc sen x

)︸︷︷︸√

1−x2

+13 · cos3

(arc sen x

)︸︷︷︸

(√1−x2)3

+C

= −√

1− x2 + 13 ·√

(1− x2)3 + C =√

1− x2 ·[−1 + 1

3 ·(1− x2

)]+ C

= 13 ·√

1− x2 ·(−2− x2

)+ C

•© cos(

arc sen x)

=√

1− x2



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


19∫ 1x2 ·√

1− x2dx =


}=∫ 1

sen2 u ·√

1− sen2 u·cosu du

=∫ 1

sen2 u ·√

cos2 u·cosu du =

∫ 1sen2 u ·��cosu ·�

��cosu du =∫

cosec2 du = −cotan u+C

•©= − cotan(

arc sen x)

︸︷︷︸√1−x2x

+C = −√

1− x2

x+ C

•© cotan(

arc sen x)

=√

1− x2

x

20∫ x√

1− x4dx =

∫ x√1− (x2)2

dx = x2 = sen u⇒ u = arc sen (x2)

2x dx = cosu du⇒ cosu2x du = dx

=∫

�x√1− sen2 u

· cosu2�x

du = 12

∫ 1√cos2 u

· cosu du = 12

∫ 1��cosu ·�

��cosu du

= 12

∫du = u

2 + C = 12 · arc sen

(x2)

+ C

21∫ 1√

9− 4x2dx =

∫ 13 ·√

1− 4x2

9

dx = 13

∫ 1√1−

(2x3

)2dx

=

sen u = 2x

3 ⇒ u = arc sen(

2x3

)cosu du = 2

3 dx⇒32 · cosu du = dx

= 13

∫ 1√1− sen2 u

· 32 · cosu du

= 1�3

∫ 1√cos2 u

· �32 · cosu du = 12

∫ 1��cosu ·�

��cosu du = 12

∫du = u

2 + C

= 12 · arc sen

(2x3

)+ C

22∫ 1√

16− 9x2dx =

∫ 14 ·√

1− 9x2

16

dx = 14

∫ 1√1−

(3x2

)2dx

=

sen u = 3x

4 ⇒ x = arc sen(

3x4

)cosu du = 3

4 dx⇒43 cosu du = dx

= 1�4

∫ 1√1− sen2 u

· �43 · cosu du

= 13

∫ 1√cos2 u

· cosu du = 13

∫ 1��cosu ·�

��cosu du = 13

∫du = u

3 + C

= 13 · arc sen

(3x4

)+ C


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

23∫ 1x2 ·√

4− x2dx =

∫ 12x2 ·

√1− x2

4

dx = 12

∫ 1

x2 ·√

1−(

x2

)2dx

= sen u = x

2 ⇒ u = arc sen(

x2

)x = 2 · sen u⇒ dx = 2 · cosu du

= 1�2

∫ 14 · sen2 u ·

√1− sen2 u

· �2 · cosu du

= 14

∫ 1sen2 u ·

√cos2 u

· cosu du = 14

∫ 1sen2 u ·��cosu ·�

��cosu du

= 14

∫ 1sen2 u

du = 14

∫cosec2 u du = −1

4 ·cotan u+C •©= −14 ·cotan

(arc sen (x/2)

)︸︷︷︸√

4−x2x

+C

= −14 ·√

4− x2

x+ C = −

√4− x2

4x + C

•© cotan(

arc sen (x/2))

=√

4− x2

x

24∫ √

1− x2 dx ={

sen u = x⇒ u = arc sen xcosu du = dx

}=∫ √

1− sen2 u · cosu du

=∫ √

cos2 u · cosu du =∫

cosu · cosu du =∫

cos2 u du∗©=∫ 1 + cos (2u)

2 du

= 12

∫du+ 1

2

∫cos (2u) du = 1

2

∫du+ 1

2 ·12

∫2︸︷︷︸v′

· cos (2u)︸︷︷︸cos v

du = u

2 + 14 ·sen (2u)+C

= u

2 + 1�42 · �2 sen u · cosu+C

•©= 12 · arc sen x+ 1

2 · sen(

arc sen x)

︸︷︷︸x

· cos(

arc sen x)

︸︷︷︸√1−x2

+C

= 12 · arc sen x+ 1

2 · x ·√

1− x2 + C = 12 ·(arc sen x+ x ·

√1− x2

)+ C

∗©1 = cos2 u+��sen2 u


1 + cos (2u) = 2 cos2 u =⇒ cos2 u = 1 + cos (2u)2

•© sen(

arc sen x)

= x

cos(

arc sen x)

=√

1− x2



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


25∫ √1− x2

xdx =

{sen u = x⇒ u = arc sen xcosu du = dx

}=∫ √1− sen2 u

sen u · cosu du

=∫ √cos2 u

sen u · cosu du =∫ cos2 u

sen u du =∫ 1− sen2 u

sen u du =∫ 1

sen u du−∫ sen�2

��sen u du

=∫

cosecu du−∫

sen u du1= − ln |cosecu+ cotan u|+ cosu+ C

•©= − ln∣∣∣∣ cosec

(arc sen x

)︸︷︷︸

1x

+ cotan(

arc sen x)

︸︷︷︸√1−x2x

∣∣∣∣+ cos(

arc sen x)

︸︷︷︸√1−x2

+C

= − ln∣∣∣∣∣1x +

√1− x2

x

∣∣∣∣∣+√1− x2 + C = − ln∣∣∣∣∣1 +

√1− x2

x

∣∣∣∣∣+√1− x2 + C

= ln∣∣∣∣∣ x

1 +√

1− x2

∣∣∣∣∣+√1− x2 + C

•© sen(

arc sen x)

= x

cosec(

arc sen x)

= 1x

cos(

arc sen x)

=√

1− x2

cotan(

arc sen x)

=√

1− x2

x

26∫ √1− x2

x2 dx ={

sen u = x⇒ u = arc sen xcosu du = dx

}=∫ √1− sen2 u

sen2 u· cosu du

=∫ √cos2 u

sen2 u· cosu du =

∫ cos2 u

sen2 udu =

∫cotan 2u du =

∫ (1− 1 + cotan 2u

)du

=∫ (

1 + cotan 2u)du−

∫du =

∫cosec2 u du−

∫du = −cotan u− u+ C

•©= − cotan(

arc sen x)

︸︷︷︸√1−x2x

− arc sen x+ C = −√

1− x2

x− arc sen x+ C

•© cotan(

arc sen x)

=√

1− x2

x

27∫ 3 + x√

1− x2dx =

∫ 3 + x√1− (2x)2

dx ={

2x = sen u ⇒ u = arc sen (2x)x = 1

2 · sen u ⇒ dx = 12 · cosu du

}


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om

∫ 3 + 12 · sen u√

1− sen2 u︸︷︷︸cos2 u

· 12 · cosu du =

∫ 3 + 12 · sen u��cosu · 1

2 ·��cosu du = 1

2

∫ (3 + 1

2 · sen u)du

= 12 ·(

3u− 12 · cosu

)+ C = 1

2 ·[3 · arc sen (2x)− 1

2 · cos(

arc sen (2x))

︸︷︷︸√1−4x2

]+ C

•©= 12 ·[3 · arc sen (2x)− 1

2 ·√

1− 4x2]

+ C = 14 ·[6 · arc sen (2x)−

√1− 4x2

]+ C

•© cos(

arc sen (2x))

=√

1− 4x2

x

28∫earc cos x dx =

{x = cos t⇒ t = arc cos xdx = − sen t dt

}=∫et · (− sen t) dt = −

∫et · sen t dt

∗©= −12 · e

t · (sen t− cos t) + C = 12 · e

t · (cos t− sen t)

•©= 12 · e

arc cos x ·(

cos(

arc cosx)

︸︷︷︸x

− sen(

arc cosx)

︸︷︷︸√1−x2

)+ C

= 12 · e

arc cos x ·(x−√

1− x2)

+ C

∗©∫et · sen t dt︸︷︷︸

I

={u = sen t ⇒ du = cos t dtdv = et dt ⇒ v = et

}= et · sen t−

∫et · cos t dt

={u = cos t ⇒ du = − sen t dtdv = et dt ⇒ v = et

}= et · sen t− et · cos t−

∫et · sen t dt︸︷︷︸

I

=⇒ I = et · sen t− et · cos t− I =⇒ 2I = et · (cos t− sen t)

=⇒ I = 12 · e

t · (sen t− cos t)

•© sen(

arc cosx)

=√

1− x2

cos(

arc cosx)

= x



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6.5. Sustitucion de Weierstrass

Si el integrando se puede escribir como un cociente de polinomios de funciones trigo-nometricas: ∫

R(sen x, cosx) dx =∫ P (sen x, cosx)Q(sen x, cosx) dx

El siguiente cambio de variable:

u = tan

(x

2

)=⇒ x

2 = arctan u =⇒ x = 2 · arctan u

dx = 21 + u2 du

sen x = 2 · sen(x

2

)· cos

(x

2

)= 2 · u√

1 + u2· 1√

1 + u2=⇒ sen x = 2u

1 + u2

cosx = cos2(x

2

)− sen2

(x

2

)=(

1√1 + u2

)2

−(

u√1 + u2

)2

=⇒ cosx = 1− u2

1 + u2

permite escribir la integral de la siguiente forma:∫R(sen x, cosx) dx =

∫R

(2t

1 + t2,

1− t21 + t2

)· 2

1 + t2dt

Y de esta forma habrıamos transformado la integral trigonometrica en una integral racio-nal cuya resolucion es mucho mas mecanica.


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6.5.1. Ejercicios resueltos. Sustitucion de Weierstrass.

1∫ 1

sen x dx

2∫ 1

cosx dx

3∫ sen x

1 + cos x dx

4∫ cosx

1 + sen x dx

5∫ sen x

1 + sen x dx

6∫ cosx

1 + cos x dx

7∫ 1

sen x · cosx dx

8∫ 1

1 + cos x+ sen x dx

9∫ 1

2 + sen x dx

10∫ sen2 x

(1 + cos x)2 dx



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Solucion.

1∫ 1

sen x dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫��

�1 + u2

�2u· �2��

��1 + u2 du

=∫ 1udu = ln |u|+ C = ln

∣∣∣∣tan(x

z

)∣∣∣∣+ C

2∫ 1

cosx dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫��

�1 + u2

1− u2 ·2

��1 + u2 du

=∫ 2

1− u2 du =∫ −2u2 − 1 du

∗©=∫ 1u+ 1 du+

∫ −1u− 1 du =

∫ 1u+ 1 du−

∫ 1u− 1 du

= ln |u+ 1| − ln |u− 1|+ C = ln∣∣∣∣tan

(x

2

)+ 1

∣∣∣∣− ln∣∣∣∣tan

(x

2

)− 1

∣∣∣∣+ C

∗© u2 − 1 = (u+ 1) · (u− 1)−2��

�u2 − 1 = A

u+ 1 + B

u− 1 = A(u− 1) +B(u+ 1)��

�u2 − 1

=⇒〈u = −1 〉 − 2 = −2A ⇒ A = 1〈u = 1 〉 − 2 = 2B ⇒ B = −1

3∫ sen x

1 + cos x dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ 2u

1+u2

1 + 1−u2

1+u2

· 21 + u2 dx

=∫ 2u

1+u2

��21+u2

·��2

1 + u2 du =∫ 2u

1 + u2 du = ln∣∣∣1 + u2

∣∣∣+ C = ln∣∣∣∣1 + tan2

(x

2

)∣∣∣∣+ C

4∫ cosx

1 + sen x dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ 1−u2

1+u2

1 + 2u1+u2· 21 + u2 du

=∫ 1−u2

��1+u2

u2+2u+1��1+u2

· 21 + u2 du =

∫ 1− u2

u2 + 2u+ 1 ·2

1 + u2 du =∫ (1− u) ·��(1 + u)

(1 + u)�2· 21 + u2 du

=∫ 2− 2u

(1 + u) · (1 + u2) du•©=∫ 2

1 + udu+

∫ −2u1 + u2 du

= 2 · ln |1 + u| − ln∣∣∣1 + u2

∣∣∣+ C = 2 · ln∣∣∣∣1 + tan

(x

2

)∣∣∣∣− ln∣∣∣∣1 + tan2

(x

2

)∣∣∣∣+ C


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•© 2− 2u

(((((((

(((1 + u) · (1 + u2)= A

1 + u+ Mu+N

1 + u2 = A(1 + u2) + (Mu+N) · (1 + u)

(((((((

(((1 + u) · (1 + u2)

=⇒

〈u = −1 〉 4 = 2A ⇒ A = 2〈u 〉 − 2 = M ⇒M = −2〈 t.i. 〉 2 = A+N ⇒ N = 0

5∫ sen x

1 + sen x dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ 2u

1+u2

1 + 2u1+u2· 21 + u2 du

=∫ 2u

��1+u2

u2+2u+1��1+u2

· 21 + u2 du =

∫ 2uu2 + 2u+ 1 ·

21 + u2 du =

∫ 4u(u+ 1)2 · (u2 + 1)

dx

•©=∫ −2

(u+ 1)2 du+∫ 2u2 + 1 du = −2

∫(u+ 1)−2 du+ 2

∫ 1u2 + 1 du

= −2 · (u+ 1)−1

−1 + 2 · arctan u+ C = 2u+ 1 + 2 · arctan u+ C

= 2tan

(x2

)+ 1

+ �2 ·x

�2+ C = 2

tan(

x2

)+ 1

+ x+ C

•© 4u

(((((((

((((u+ 1)2 · (u2 + 1)= A

u+ 1 + B

(u+ 1)2 + Mu+N

u2 + 1

= A(u+ 1) · (u2 + 1) +B(u2 + 1) + (Mu+N) · (u+ 1)2

(((((((

((((u+ 1)2 · (u2 + 1)

=⇒

〈u = −1 〉 − 4 = 2B ⇒ B = −2〈u = 0 〉 0 = A+B +N ⇒ A = 0〈u3 〉 0 = A+M ⇒M = 0〈u 〉 4 = A+M + 2N ⇒ N = 2

6∫ cosx

1 + cos x dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ 1−u2

1+u2

1 + 1−u2

1+u2

· 21 + u2 du

=∫ 1−u2

��1+u2

�2��1+u2

· �21 + u2 du =

∫ 1− u2

1 + u2 du•©= −

∫du+

∫ 21 + u2 du = −u+2 ·arctan u+C

= − tan(x

2

)+2 ·arctan

[tan

(x

2

)]+C = − tan

(x

2

)+�2 ·

x

�2+C = − tan

(x

2

)+x+C

•© − 1u2 + 1

)− u2 + 1u2 + 1

2



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7∫ 1

sen x · cosx dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ 1�2u

1+u2 · 1−u2

��1+u2

· �2��

��1 + u2 du =∫ 1 + u2

u · (1− u2) du∗©=∫ 1udu+

∫ 11− u du+

∫ −11 + u

du

= ln |u| − ln |1− u| − ln |1 + u|+ C = ln |u| − ln∣∣∣1− u2

∣∣∣+ C

= ln∣∣∣∣tan

(x

2

)∣∣∣∣− ln∣∣∣∣1− tan2

(x

2

)∣∣∣∣+ C

∗© 1 + u2

��

�u · (1− u2)

= A

u+ B

1− u + C

1 + u

= A(1− u) · (1 + u) +Bu · (1 + u) + Cu · (1− u)��

�u2 − 1

=⇒

〈u = 0 〉 1 = A ⇒ A = 1〈u = 1 〉 2 = 2B ⇒ B = 1〈u = −1 〉 2 = −2C ⇒ C = −1

8∫ 1

1 + cos x+ sen x dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ 1

1 + 1−u2

1+u2 + 2u1+u2

· 21 + u2 du =

∫ 1�2·(u+1)��1+u2

· �2��

�1 + u2 du =∫ 1u+ 1 du = ln |u+ 1|+C

= ln∣∣∣∣tan

(x

2

)+ 1

∣∣∣∣+ C

9∫ 1

2 + sen x dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ 1

2 + 2u1+u2· 21 + u2 du

=∫ 1�2·(u2+u+1)��1+u2

· 2��

��1 + u2 du =∫ 1u2 + u+ 1 du =

∫ 1(u+ 1

2

)2+ 3

4

du

=∫ 4/3

43 ·(u+ 1

2

)2+ 1

du = 43

∫ 1[2√3 ·(u+ 1

2

)]2+ 1

du

=

t = 2√

3·(u+ 1

2

)dt = 2√

3du⇒

√3

2 dt = du

= �42

3

∫ 1t2 + 1 ·

√3�2dt = 2

√3

3 · arctan t+ C

= 2√

33 · arctan

[2√3·(u+ 1

2

)]+ C = 2

√3

3 · arctan[

2√3·(

tan(x

2

)+ 1

2

)]+ C

2√

33 · arctan

[2√3· tan

(x

2

)+ 1√

3

]+ C


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10∫ sen2 x

(1 + cos x)2 dx =

u = tan

(x

2

)⇒ dx = 2

1 + u2

sen x = 2u1 + u2 & cosx = 1− u2

1 + u2

=∫ (

2u1+u2

)2

(1 + 1−u2

1+u2

)2 ·2

1 + u2 du =∫ (

�2u��1+u2

)2

(�2��1+u2

)2 ·2

1 + u2 du =∫ 2u2

1 + u2 du

=∫

2 du+∫ −2

1 + u2 du = 2u− 2 · arctan u+ C

= 2 · tan(x

2

)− 2 · arctan

(tan

(x

2

))+ C = 2 · tan

(x

2

)− �2 ·

x

�2

= 2 · tan(x

2

)− x+ C

•© 2u2 + 1

)2u2

− 2u2 − 2− 2



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