curso de estadistica aplicada 2010
DESCRIPTION
Presentación en Power Point en formato pdf de un curso de estadística descriptiva donde desarrolla los métodos que utiliza, además de regresión y correlación lineal simple. Además se desarrolla probabilidadesTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD “GABRIEL RENE MORENO”FACULTAD POLITECNICA UNIDAD DE POSTGRADO
ESTADISTICA APLICADA
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez SolarisMgs. Educación Superior
[email protected]@hotmail.com
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
0
10
20
30
40
50
5 6 7 8 9 10 11 12 13
Núm
ero
de e
stud
iant
es
Edad (años) de los estudiantes
Normal
37.50%
Leve
43.48%
Moderada
17.39%
Severa
1.63%
Número de
especies
parásitas
Tipo de AnemiaTotal
Leve Moderada Severa
n % n % n % n %
1 3 100 0 0 0 0 3 2.61
2 12 70.59 5 29.41 0 0 17 14.78
3 30 69.77 11 25.58 2 4.65 43 37.39
4 21 67.74 9 29.03 1 3.23 31 26.96
5 11 68.75 5 31.25 0 0 16 13.91
6 3 60.00 2 40.00 0 0 5 4.35
Total 80
69.5
7 32
27.8
3 3 2.61 115 100
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PROPOSITO
METODOS
INFERENCIAL
PROPOSITO
METODO
• TABULARES• GRAFICOS• NUMERICOS
PROBABILISTICO
¿Qué es?...
ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
Características
Ciencia encargada de la Recolección,Manipulación, Organización yPresentación de información demanera tal que ésta tenga unaConfiabilidad determinada
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
PoblaciónN
Parámetros µ, σ2, p, etc
Muestran=?
EstadísticosEstadígrafos
Deducción
TECNICAS DE MUESTREO
INFERENCIA
ESTIMACION
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
MUESTRA Tipos
Probabilística
No Probabilística
Azar
Arbitraria
MUESTREO
Probabilístico
No Probabilístico
MAS, MAP y MAE
POBLACION
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
MUESTRA
Atributo
Variable
Cambiar
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Tipos
Cualitativas
Cuantitativas
Categorías
Discretas
Continuas
ESTADISTICA APLICADANociones Generales
Variable
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Medirse
Escalas de Medición
Nominal
De Razón
+
Ordinal
De Intervalo
ESTADISTICA APLICADAMétodos Tabulares
DESCRIPTIVA
METODOS
TABULARES
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn yy1, y2, … yn, valores que toman las variablesX y Y, y sean “a” y “b” dos constantes.Entonces:
Sumatoria
Propiedades
x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn
n
iyi
1
n
ixi
1
ESTADISTICA APLICADAPropiedades de Sumatoria
ESTADISTICA APLICADAMétodos Tabulares/Ordenamiento
17
18
18
16
21
15
17
19
20
18
16
18
Edad (años)
Ordenándolo
15
16
16
17
17
18
18
18
18
19
20
21
Edad (años)
Valores extremos
Valores mas frecuente
Valores extremos
Desventaja
ESTADISTICA APLICADACuadro de Frecuencia
Edad (años)
fi fr Fia Fra
15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100
Cuadros de Frecuencia
ESTADISTICA APLICADACuadro de Frecuencia
Lugar de realización del Diplomado
n %
Extranjero 19 13.87
Universidad Objeto de Estudio 87 63.50
Otras universidades bolivianas 31 22.63
Total 137 100
ESTADISTICA APLICADACuadro de Frecuencia
67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2
63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5
64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9
68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9
68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2
Cuadro deFrecuencia
La Estadística ofrece otraalternativa Tablas de FrecuenciasAbsolutas y Relativas
ESTADISTICA APLICADATabla de Frecuencia
Procedimiento
Definir el Número de Intervalos
K = 1 + 3.33* log n
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Sturges
Tipo de Intervalos (Li - LS]
Ac = A/kA = Valor Máx.- Valor Mín.
Ac = Ajustada
MD = (RI – A)/2
RI = Ac*K > A
ESTADISTICA APLICADATabla de Frecuencia
Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1
ESTADISTICA APLICADAMétodos Gráficos
Métodos Gráficos Clásicos
Diagrama de Puntos
Histograma
Polígono de Frecuencias
Ojiva
Diagrama de Sectores
ESTADISTICA APLICADADiagrama de Puntos
15 16 17 18 19 20 21
Edad (años)
ESTADISTICA APLICADAHistograma
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
Intervalos de clases
Histograma de Frecuencias Absolutas
ESTADISTICA APLICADAPolígono de Frecuencias
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
34.35 39.85 45.35 50.85 56.35 61.85 67.35 72.85
fi
Puntos Medios de Ckases
Polígono de Freecuencia Absoluta
ESTADISTICA APLICADAOjiva
05
101520253035
37.1 42.6 48.1 53.6 59.1 64.6 70.1
Fia
Tiempo (minutos)
Ojiva o Polígono de Frecuencias
Acumuladas (menor que)
ESTADISTICA APLICADADiagrama de Sectores
137-------360
19 ------- x
(19*360)
X= = 49.9
137
Lugar de realización de estudios Postgraduales
n Grados
Extranjero 19 49.927
Universidad de Interés 87 228.613
Otras universidades bolivianas 31 81.460
Total 137 360
ESTADISTICA APLICADADiagrama de Sectores
Extranjero ,
49.92701
Universidad
de Interés ,
228.61314
Otras
universidades
bolivianas ,
81.45985
Diagrama de Sectores
ESTADISTICA APLICADAMétodos Numéricos (Medidas de Tendencia Central)
Cuando se desea comparar dos o más poblaciones o bien muestras, y si las variables de interés son de carácter numérico …
Los métodos tabulares no son los más recomendables
La Estadística oferta otra herramienta
llamada Métodos Numéricos
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Métodos Numéricos
Medidas de Tendencia Central
Medidas de Dispersión
Localizan el centro deuna base de datosnuméricas
Cuantifican cuánto sedispersan los datos de unamedida de tendenciacentral
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Medidas de Tendencia Central
Promedio
Moda
Media Ponderada
Mediana
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central/Promedio
Promedio
Población
Muestra
Media µ Poblacional
Es la sumatoria de las observaciones que toma una variable dividido entre el total de éstas
Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas
Media Muestral
x
Tiempo (minutos)
52.6
38.9
68.3
67.2
63.9
64.9
68.3
39.2
42.3
61.9
567.5
56.75
Suma
Promedio
Desviaciones
-4.15
-17.85
11.55
10.45
7.15
8.15
11.55
-17.55
-14.45
5.15
0Suma
Propiedad
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
01
n
i
xxi
xxi
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Media en datos tabulados
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente:
• PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Intervalos de Clases PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
30
PMC*fi
318.8
136.05
203.4
112.7
247.4
606.15
1624.5
1624.5= = 54.15
30 x
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Cuando los datos tienen diferente peso dentro de labase de datos, si desea obtener el promedio, la mediaaritmética no es la más indicada
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Cargo fi (wi)Salario
(xi)
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Xiwi
2000
2400
1150
1250
2000
4000
1200
1080
15080
15080= = 655.65
23wx
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Mediana (Me)
Datos sin tabular
Datos tabulados
Si los datos no se distribuyen simétricamente (curva simétrica) el promedio no es la mejor medida para localizar el centro de los mismos
(b-a)(0.5- c)Me = a +
d
Me = xn/2 + 0.5
•Ordenar
Impar
Par
n
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
n es impar
Me
Me = xn/2 + 0.5
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
n es par
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
61.9 + 63.9Me = = 62.9
262.9
Mediana es aquella medida de tendencia central que antes y después de ella no existe más del 50% de la información
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)Me = a +
d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
Clase de la Mediana
• Complete la columna Fia
• Localice la menor Fia > n/2
• La clase a la que pertenece esta frecuencia es la clase de la mediana (Nj)
• La Clase antes de Nj es Nj -1
Intervalos
de ClasesPMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c)Me = a +
d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
n = 30
n/2 = 15
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
(59.1-53.6)(0.5- 0.5)Me = 53.6 + = 53.6
0.07
Ubicación de la clase de la Me
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
Connotancia de Moda (Mo) en Estadística
En caso de existir es la (s) observación (nes) que más se repiten en una base de datos
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Distribuciones:
Unimodales
Bimodales
Etc.
Mo
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal
Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
Intervalos
de ClasesPMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
(9 - 4)
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
(9 - 4) + (9 – 0)
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Medidas de Dispersión
Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido
Varianza (Variancia)
Desviación Típica o Estándar
Coeficiente de Variación
Una medida de tendencia central por si sola no es tan importante. Por esta razón debe estar acompañada de una medida de dispersión
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Varianza
Población ( σ²)
Muestra (S²)
Es el promedio de las desviaciones al cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media
2
12
N
xiN
i
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
xi (Desviaciones)2
52.6 17.2225
38.9 318.6225
68.3 133.4025
67.2 109.2025
63.9 51.1225
64.9 66.4225
68.3 133.4025
39.2 308.0025
42.3 208.8025
61.9 26.5225
Sumatoria 567.5 1372.725
Promedio 56.75
1372.725
S² = = 152.525mi²/est²
10 - 1
Desventaja
Desviación Típica S = √S²
S = √152.525 = 12.35 min/est
Interpretación x ± S
56.75 ± 12.35 min/est.
ESTADISTICA APLICADA
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la varianza de la siguiente forma:
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
PMC*fi PMC2*fi
318.8 12704.18
136.05 6169.8675
203.4 10342.89
112.7 6350.645
247.4 15301.69
606.15 40824.203
1624.5 91693.475
774.124130
30
5.1624475.91693
2
2
S
70.11774.124 S
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables)
Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa
x
SVC. 100*.
x
SVC
ESTADISTICA APLICADAMedidas de Dispersión
Las medidas de dispersión cuantifican cuánto sedispersan los datos alrededor de una medida detendencia central, pero, ¿Para donde se desvían losdatos?, a la izquierda de la media, a la derecha o sedistribuyen simétricamente.
Existen otras medidas aplicable solo a curvasunimodales que tratan de las deformación de curvastanto de forma horizontal como vertical
ESTADISTICA APLICADADeformación de Curvas Unimodales
Asimetría
Asimetría Negativa
Asimetría Positiva
Curvas Simétricas
> Me > Mox
< Me < Mox
= Me = Mox
ESTADISTICA APLICADADeformación de Curvas Unimodales
ESTADISTICA APLICADADeformación de Curvas Unimodales
Curtosis
Curva Platicúrtica
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Kur > 3
Kur < 3
Kur = 3
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple
Y
X1
X2...
Xi
En el desarrollo de los eventos,puede ser que una variable seaafectada por el comportamiento deotra (s) variable (s)
Es de interés poder cuantificareste tipo de relación de maneraque se pueda predecir una variableen función de otra
En Regresión Lineal Simple es deinterés cuando una variable afectael comportamiento de otra variable
Y: Variable Dependiente
X: Variable Independiente
Y = f(X)Propósito de la R.L.S: Predicción
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple
Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodosestadísticos que tratan con la formulación de modelosmatemáticos que describen la relación entre variables y eluso de estas relaciones modeladas con el propósito depredecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
Supuestos del Análisisde Regresión LinealSimple
“Y” es una variable aleatoria cuyadistribución probabilística dependede “X”Modelo de la Línea Recta
Homogeneidad de Varianza
Normalidad
Independencia
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósitomostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre lasvariables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema decoordenadas (bidimensional)
Y
X
(x, y)
Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y)11 1810 178 295 369 119 267 283 3511 148 207 322 399 168 266 313 40
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12
Inasis
ten
cia
Rango de Salario
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relaciónentre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puedepensar en una ecuación de la siguiente forma:
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de lasiguiente naturaleza:
Parámetros
Estimación
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
Uso de la Técnica deMínimos Cuadrados (CarlGauss)
A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple/Recta de Estimación
Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuentaque el propósito de la R.L.S es la predicción, se hacenecesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz depredecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación
Validación
Cálculo de Coeficientede Determinación R²
Análisis de Varianzade la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X”
R² ≥ 70%
ESTADISTICA APLICADARegresión Lineal Simple/Validación de la Recta de
Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a lapartición de la variación total en fuente de variación conocidaque en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modeloaditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error
FV gl SC CM Fc Ft (Pr>F)
Regresión 1 SCRegresión CMRegresiónCMRegresión
/CMError
Error n-2 SCError CMError
Total n.1 SCTotales
Regla de Decisión
NRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft
ESTADISTICA APLICADACorrelación Lineal Simple
Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de unavariable dependiente por un único cambio de la variableindependiente, existen técnicas que cuantifican la asociaciónlineal entre dos variables, esta técnica es llamada CorrelaciónLineal Simple que se exprese como el coeficiente decorrelación (r)
Este coeficiente indica el sentido de la asociación comotambién la magnitud de ésta, partiendo del hecho que elcoeficiente de correlación lineal simple toma valores en elrango de: r es -1 ≤ r ≤ 1. Entre más se acerca a 1 el valor der mayor es la asociación entre dichas variables.
ESTADISTICA APLICADACorrelación Lineal Simple
-1 ≤ r < -0.8 Asociación
fuerte y
negativa
0 ≤ r < 0.4 No hay
asociación
-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación
débil y
negativa
0.4 ≤ r < 0.8 Asociación
débil y
positiva
-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay
asociación
0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación
fuerte y
positiva
ESTADISTICA APLICADACorrelación Lineal Simple
ESTADISTICA APLICADACorrelación Lineal Simple
Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple
Mide la cantidad de cambios en “Y”por un único cambio en “X”.
Mide asociación linealentre dos variables
Existe una variable dependiente yotra independiente
Es indistinto x, y ó y, x
β1 puede tomar cualquier valor en larecta numérica
El coeficiente decorrelación toma valores enel intervalo -1 ≤ r ≤ 1
Probabilidad
PROBABILIDADES
Experimentos Aleatorios
Espacio Muestral,Eventos y Sucesos
Tipos de Experimentos Aleatorios
Relaciones entre Eventos
Enfoques de Probabilidad/Teoremas Básicos de Probabilidad
Eventos Dependientes/Independientes
Probabilidad Total/Teorema de Bayes
Experimentos
Determinísticos
No Determinísticos
Sus resultados se conocen con anticipación sin necesidad de realizar el experimento
Sus resultados se conocen una vez que el experimento ha finalizado
Es un proceso planificado a través del cual se obtiene una observación (o una medición) de un fenómeno
Se pueden describir los posibles resultados pero no se puede decir cuál de ellos ocurrirá
Experimentos AleatoriosSon experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por el azar
PROBABILIDADES
Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama “Cara” a la otra “Sol” entonces:
={CC, CS, SC, SS}
Supóngase ahora que se lanza un dado legal. Entonces:
={1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Experimentos Aleatorios
Son aquellos experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por la casualidad (azar)
PROBABILIDADES
M = {CC, CS, SC, SS}
O bien en el caso del lanzamiento del dado
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Espacio Muestral
Retomando el caso del lanzamiento de las dos monedas, ¿hay otro posible resultado en este experimento?.
Son todos los resultados que están asociados a un experimento aleatorio
Supóngase que el lanzamiento del dado se está interesado en la ocurrencia de una cara impar
A = {1,3,5} Evento
Es subconjunto del espacio muestral, es decir, sus resultados pertenecen al espacio muestral
PROBABILIDADES
Espacio Muestral
Evento
2
1
3
4
5
6
M
A
Suceso (wi)
Letras Mayúsculas del Alfabeto
A= (wiεA /wi ε M
PROBABILIDADES
Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro
Unidos por la partícula “ó” (v)
Unidos por la partícula “y” ( )
Los experimentos simples que lo componen ocurren de forma sucesiva
Los experimentos simples que lo componen ocurren al mismo tiempo
M = {M1∩M2…Mi} M = {M1UM2U…Mi}
PROBABILIDADES
Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
M = {CC, CS, SC, SS}
PROBABILIDADES
M2
M1 C S
C CC CS
S SC SS
Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”
M3
M1*M2 C S
CC CCC CCS
CS CSC CSS
SC SCC SCS
SS SSC SSS
El espacio muestral es el producto cartesiano de los espacios muestrales simples que lo conforman
PROBABILIDADES
Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
M
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
Diagrama del Árbol
Diagrama de Senderos
1ra Moneda
2da Moneda
3era Moneda
PROBABILIDADES
De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden establecer algunas relaciones entre ellos tales como:
AUB
A B M
AUB
A B M
AΠB
A B MM
AA´
PROBABILIDADES
Enfoques de
Probabilidades
Clásico
Frecuencia Relativa
Probabilidad A priori. Llamada También Probabilidad de Laplace
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
PROBABILIDADES
Probabilidad
Clásica
Supuesto
Frecuencia Relativa
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
Todos los sucesos de unexperimento aleatorio tienenla misma posibilidad deocurrir, entonces:
M
naAP
10 AP
Si en la realización deexperimento aleatorio apareceun evento A “n veces ≤N”,entonces:
N
nAP
PROBABILIDADES
Teoremas Básicos de
Probabilidades
P[AUB] = P [A] + P [B]
P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB]
P[Ø] = 0
P[M] = 1
%1000/10 APAP
APAP c 1
PROBABILIDADES
Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro evento, se dice que éste es dependiente.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento dependiente de B sí;
o bien: 0; BPB
APAP 0; APA
BPBP
Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:
• Respecto al espacio muestral original
• Respecto al espacio muestral del evento condicionante
0;
BPAPBP
BAPB
AP
0;
APBPAP
ABPA
BP
PROBABILIDADESEventos Dependientes
En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar:a. Que sea mujerb. Que sea soltero (a)c. Que sea un hombre y esté casado (a)d. Que sea una mujer divorciadae. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad
que sea hombre?f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad
que sea casado?
PROBABILIDADES
En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad que:a. Sea mujerb. Se estudiante varón dado si es de Cienciasc. Sea estudiante de Ciencias dado que es varónd. Sea estudiante de Ciencias y varón.
PROBABILIDADES
Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:
BPAPBAP *
0;
APBPAP
ABPA
BP
0;
BPAPBP
BAPB
AP
PROBABILIDADESEventos Independientes
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak] son probabilidades conocidas entonces:
]/[][...]2/[]2[1/1 AkBPAkPABPAPABPAPBP
Probabilidad Total = AkBPAkPBPk
i/
1
PROBABILIDADESProbabilidad Total
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los eventos que forman la partición muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes
k
i AkBPAkP
AkBPAkP
BAkP
1
PROBABILIDADESTeorema de Bayes